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Cálculo Numérico – BCC760 Integração Numérica

Departamento de Computação

Página da disciplina

http://www.decom.ufop.br/bcc760/

Integração Numérica - Motivação

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• Suponha que queremos obter uma folha de papelão de 4 metros de comprimento. A altura de cada onda do papel ondulado e de 1cm, a partir de seu centro, e cada onda tem um período de, aproximadamente, 2cm. • O problema de se encontrar o comprimento da folha ondulada necessária para fabricar este papelão consiste em determinar o comprimento da curva dada por f (x) = sin(x), a partir de x = 0cm, ate x = 400cm.

Integração Numérica

1 Introdução

2 Fórmulas de Newton-Cotes

2.1 Regra dos Trapézios

2.2 Primeira Regra de Simpson

2.3 Segunda Regra de Simpson

2.4 Grau de exatidão

3. Integração dupla

4. Considerações finais

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1. Introdução

O Cálculo Diferencial e Integral ensina que se y = f(x) é uma função contínua em [a, b], então para se obter

basta determinar uma primitiva, isto é, uma função F(x), tal que F’(x) = f(x), de forma que

b

adx)x(f I

)a(F)b(Fdx)x(f Ib

a

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Problemas

• Pode não ser fácil, ou impossível, expressar F(x) por meio de uma combinação finita de funções elementares.

• Há situações nas quais y = f(x) é conhecida apenas em um conjunto discreto de pontos.

• Nestas situações, avalia-se numericamente!!!

b

adx)x(fI

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1. Introdução

• Ideia básica

Aproximar (substituir) a função integranda, y = f(x), por outra cuja integral seja fácil de avaliar.

Substitui-se, então, y = f(x) pelo polinômio que a interpola em um conjunto de pontos (xi, yi), i = 0,1, ..., n; pertencentes ao intervalo de integração [a, b].

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1. Introdução

2. Fórmulas de Newton-Cotes

• Serão estudadas as Fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado. Neste caso, todos os pontos estão no intervalo de integração [a, b], e x0 = a e xn = b são os extremos.

• Estas fórmulas permitem calcular, por aproximação, uma integral definida substituindo a função a ser integrada pelo polinômio com diferenças finitas ascendentes que a interpola em um conjunto de pontos (xi, yi), i = 0, 1, ..., n.

• Sendo assim, é necessário que as abscissas dos pontos sejam equidistantes.

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Sabe-se que

E que x = x0 + h.z dx = h.dz

Para x = x0

Para x = xn

0n

03

02

000

y!n

)]1 n(z[ ... )1z(z

... y!3

)2z)(1z(zy

!2

)1z(z y.zyh.z) x(p

h

x-x z 0

0 z h

x- x z 00

n z h

n.h

h

x- x z 0n

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• A integral que se deseja calcular é

• A integral que será, efetivamente, calculada é

• Este resultado constitui uma família de regras de integração ou de fórmulas de quadratura.

n0 x b e x a onde ,)( dxxfI

b

a

h.z).h.dz p(x I

n

0

0 h.z).dz p(xh. I

n

0

0

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• Esta regra é obtida fazendo-se n igual a um, ou seja, integrando-se o polinômio interpolador de grau um.

2.1.1 Fórmula Simples

É calculada a integral

Como y0 = y1 – y0

1

0

00 dz]yzy[.hI

2

yyhy

2

zzy.hI 0

0

1

0

0

2

0

10 yy2

hI

Fórmula simples da Regra dos Trapézios

10

2. Fórmulas de Newton-Cotes 2.1 Regra dos Trapézios

• Note-se que I é a área do trapézio de altura h = x1 – x0 e de bases y0 e y1.

)x(fy

0y

1xb 0xa

)x(py 1y

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2.1.2 Fórmula Composta

Para melhorar o resultado, o intervalo de integração é dividido em n partes de tamanho h e aplica-se a fórmula simples em cada uma delas.

hax0 1nx 1x 2x .......... bxn

nI1nI 2I1I

y

x

..........

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• Fazendo a soma

I = I1 + I2 + ... + In

• Logo

n21 I

n1n

I

21

I

10 yy2

h.........yy

2

hyy

2

hI

n1n210 yy.2...y.2y.2y2

hI

Fórmula composta da

Regra dos Trapézios

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• Erro de truncamento

n0''

2

30n

T xx)(f.n12

)xx(E

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15

Exemplos

16

Exemplos

17

Exemplos

18

Exercício

2. Fórmulas de Newton-Cotes 2.2 Primeira Regra de Simpson

• Esta regra é obtida fazendo-se n igual a dois, ou seja, integrando-se o polinômio interpolador de grau dois.



2

0

02

00 dz]y2

)1z(zyzy[.hI

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• O resultado é

Como y0 = y1 – y0 e 2y0 = y2 - 2y1 + y0

Então

2

0

02

23

0

2

0 y.4

z

6

zy.

2

zy.zhI

210 yy4y3

hI

Fórmula simples da Primeira Regra de

Simpson

20


21



Divide-se o intervalo de integração em n partes de tamanho h e aplica-se a fórmula simples de forma repetida.

• Representação geométrica

ax0 1nx 1x 2x ... bxn

2/nI2I1I

3x 4x 2nx

...

)x(fy y

x

22


23


•Fazendo a soma: I = I1 + I2 + ... + In/2

•A fórmula composta é

2n21

I

n1n2n

I

432

I

210 yy.4y3

h...yy.4y

3

hyy.4y

3

hI

]yy.4y.2.......y.2y.4y.2y.4y.[3

hI n1n2n43210

Atenção! n deve ser par!

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]x,x[)(fn180

)xx( - E n0

)IV(

4

50n

1S

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26

Exemplos

27

Exemplos

28

Exemplos

29

Exercício 1

30

Exercício 2

2. Fórmulas de Newton-Cotes 2.3 Segunda Regra de Simpson

• Esta regra é obtida fazendo-se n igual a três, ou seja, integrando-se o polinômio interpolador de grau três.



Como y0 = y1 – y0 2y0 = y2 - 2y1 + y0

3y0 = y3 - 3y2 + 3y1 - y0

dz.y!3

)2z)(1z(zy

!2

)1z(zy.zy.hI

3

0

03

02

00

3210 yy3y3y8

h3I

Fórmula simples da Segunda Regra de

Simpson

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Divide-se o intervalo de integração em n partes de tamanho h e aplica-se a fórmula simples de forma repetida.

Resultando em

3n21

I

n1n2n3n

I

6543

I

3210 yy.3y.3y8

h3...yy.3y.3y

8

h3yy.3y.3y

8

h3I

]yy.3y.3....y.2y.3y.3y.2y.3y.3y[8

h3I n1n2n6543210

Atenção! n deve ser

múltiplo de três!

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]x,x[)(fn80

)xx( - E n0

)IV(

4

50n

2S

33


34

Exemplos

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Exercício 1

x ln(x)

2 0.6931

2.5 0.9163

3 1.0986

3.5 1.2528

4 1.3863

4.5 1.5041

5 1.6094

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Exercício 2

2. Fórmulas de Newton-Cotes 2.4 Grau de exatidão

• Uma regra de integração diz-se de grau de exatidão n se integrar, exatamente, todos os polinômios de grau menor ou igual a n e existir pelo menos um polinômio de grau n + 1 que não é integrado exatamente por esta regra.

• Portanto

Regra dos Trapézios grau de exatidão 1

Primeira Regra de Simpson grau de exatidão 3

Segunda Regra de Simpson grau de exatidão 3

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3. Integração Dupla

• Trata-se da utilização de métodos numéricos para integração de funções de duas variáveis, ou seja,

• Pode-se escrever

dxdy)y,x(fIm

0

n

0

y

y

x

x

dy)y,x(fG(x) onde

dx)x(Gdxdy )y,x(fI

m

0

n

0

m

0

n

0

y

y

x

x

y

y

x

x

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Para calcular estas integrais,

Podem ser utilizadas as regras de integração estudadas.

dy)y,x(fG(x)

dx)x(GI

m

0

n

0

y

y

x

x

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Sendo

I = kx.[a0.G(x0) + a1.G(x1) + a2.G(x2) + ... + an.G(xn)]

G(xi) = ky[b0f(xi, y0) + b1f(xi, y1) + b2f(xi, y2) +… + bmf(xi, ym)]

i = 0, 1, ..., n

Verifica-se que

)y.x(f.b.ak.k I ji

mn

0 i0 j

jiyx

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4. Considerações finais

• Comparando as expressões dos erros, verifica-se que as fórmulas de Simpson têm ordem de convergência h4, enquanto que a Regra dos Trapézios é da ordem h2. Portanto , as regras de Simpson convergem para o resultado exato da integral com a mesma velocidade, e mais rapidamente do que a regra dos Trapézios, quando h → 0.

• Embora a Primeira Regra de Simpson tenha sido obtida por meio do polinômio interpolador de grau dois, ela é exata, também, para polinômios de grau três, uma que, na fórmula do erro de truncamento, aparece a derivada quarta da função. Pode ser demonstrado que, se n é par, então as fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado têm grau de exatidão (n + 1).

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cálculo numérico bcc760 - decom · comprimento. a altura de cada onda do papel ondulado e de 1cm,...

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