cálculo ii engenharia...

Cálculo IIEngenharia Electromecânica

António [email protected]

Departamento de MatemáticaUniversidade da Beira Interior

2010/2011

António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 1 / 357

Bibliografia

– Apostol, T.M., Cálculo, Vol. 1 e 2, Reverté, 1993

– Dias Agudo, F.R., Análise Real, Vol. I e II, Escolar Editora, 1989

– Demidovitch, B., Problemas e exercícios de Análise Matemática, McGrawHill,1977

– Lima, E. L., Curso de Análise, Vol. 2, Projecto Euclides, IMPA, 1989

– Lima, E. L., Análise Real, Vol. 2, Colecção Matemática Universitária, IMPA, 2004

– Mann, W. R., Taylor, A. E., Advanced Calculus, John Wiley and Sons, 1983

– Sarrico, C., Cálculo Diferencial e Integral, Esfera do Caos, 2009

– Stewart, J., Calculus (International Metric Edition), Brooks/Cole PublishingCompany, 2008

– Swokowski, E. W., Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 2, McGrawHill, 1983


Critérios de Avaliação

A avaliação ao longo das actividades lectivas será periódica, sendo efectuadosdois testes.

Os testes serão nos dias 27 de Abril de 2011 e 3 de Junho de 2011.

Os dois testes serão cotados, cada um deles, para 10 valores.

Designando por T1 a nota do primeiro teste e por T2 a nota do segundo teste,a classificação final será calculada da seguinte forma:

– se T1 + T2 for inferior a 15,5 valores, a classificação final será oarredondamento às unidades de T1 + T2;

– se T1 + T2 for superior ou igual a 15,5 valores, terá de ser feita umaprova oral; nessa prova oral será atribuída uma nota, que designaremospor PO, entre 0 e 20 valores; a classificação final será o arredondamentoàs unidades de

max{

15,T1 + T2 + PO

2

}

.

São aprovados os alunos com classificação final igual ou superior a 10 valores.

Todos os alunos são admitidos a exame.


Atendimento

O atendimento aos alunos será às às quartas-feiras, das 17 horas às 19 horas,no gabinete 4.25 do Departamento de Matemática.

Caso este horário não seja conveniente, pode ser combinado outro horário como docente da cadeira através do email

[email protected]


Índice

1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade

2 Cálculo diferencial em Rn

3 Cálculo integral em Rn

4 Integrais de linha


Índice

1 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn

Funções de Rn em Rm

LimitesContinuidade





Índice


Os espaços Rn

Distância, norma e produto internoBolas e conjuntos limitadosInterior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjuntoConjuntos abertos e conjuntos fechados


LimitesContinuidade





Índice


Os espaços Rn



LimitesContinuidade





§1.1.1 Os espaços Rn

Recordemos que se identifica o conjunto R dos números reais com arecta

0 a



Os elementos do conjunto

R2 = {(x1, x2) : x1, x2 ∈ R}

podem ser representados no plano da seguinte forma

x1

x2

b P (a, b)

a

b

Representação geométrica de um ponto de R2



Os elementos do conjunto

R3 = {(x1, x2, x3) : x1, x2, x3 ∈ R}

podem ser representados no espaço da seguinte forma

x2

x1

x3

bP (a, b, c)

a

b

c

Representação geométrica de um ponto de R3



Podemos generalizar este género de conjuntos para qualquer númeronatural n. Assim, definimos o conjunto Rn utilizando o produtocartesiano, ou seja,

Rn = R × R × · · · × R︸︷︷︸

n vezes

é o conjunto formado por todos os elementos da forma

x = (x1, . . . , xn)

onde xi é um número real para i = 1, . . . , n. A cada elemento xichamamos i-ésima coordenada de x.



Em Rn vamos considerar duas operações, a adição (entre elementos deRn) e a multiplicação de um número real por um elemento de Rn,definidas, para cada

x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn)

em Rn e para cada λ ∈ R, da seguinte forma:

x+ y = (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)

eλx = λ (x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn) .



A adição e a multiplicação verificam, para cada

x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) e z = (z1, . . . , zn)

em Rn e para cada λ, µ em R, as seguintes propriedades:

a) x+ y = y + x;

b) x+ (y + z) = (x+ y) + z;

c) (0, . . . , 0) ∈ Rn é o elemento neutro da adição;d) −x = (−x1, . . . ,−xn) é o simétrico de x = (x1, . . . , xn), já que

x+ (−x) = (0, . . . , 0);e) λ (µx) = (λµ)x;

f) λ (x+ y) = λx+ λy;

g) (λ+ µ)x = λx+ µx;

h) 1x = x.

Por se verificarem estas propriedades, é costume dizer que Rn é umespaço vectorial.



Associada a estas operações está uma outra operação, a subtracção,que é definida, para cada

x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn)

em Rn, por

x− y = (x1, . . . , xn) − (y1, . . . , yn) = (x1 − y1, . . . , xn − yn).

Sempre que não haja perigo de confusão, representaremos um elementogenérico de R2 por (x, y) em vez de (x1, x2). Da mesma forma, umelemento genérico de R3 será por vezes representado por (x, y, z) emvez de (x1, x2, x3).


Índice


Os espaços Rn



LimitesContinuidade





§1.1.2 Distância, norma e produto interno

Em R, observando a figura que se segue

x y

|x− y|

Distância entre dois números reais x e y

verificamos que a distância entre dois números reais x e y é dada por

d(x, y) = |x− y| .



Vejamos como calcular a distância entre dois elementos de R2. Paraisso consideremos dois pontos x = (x1, x2) e y = (y1, y2) e façamos asua representação geométrica.

x1

x2 b

y1

y2 bb

b

d(x,y)

b

b

x1 − y1b

b

b

b

x2 − y2

b

b

Distância entre dois pontos de R2

Pelo teorema de Pitágoras concluímos que a distância entre x e y édada por

d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2.



Do mesmo modo, a distância entre dois pontos x = (x1, x2, x3) ey = (y1, y2, y3) é dada por

d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2.

b x = (x1, x2, x3)

by = (y1, y2, y3)

b

b

b

b

b

b

Distância entre dois pontos de R3



De um modo geral, dados x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) em Rn, adistância entre x e y calcula-se usando a seguinte fórmula:

d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · · + (xn − yn)2.



Associado à definição de distância temos o conceito de norma. Dadox = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, a norma de x é dada por

‖x‖ =√

x21 + x22 + · · · + x2n.

Repare-se que se representarmos por 0 o vector nulo (0, . . . , 0) temos

‖x‖ = ‖x− 0‖ = d(x, 0)pelo que a norma de x = (x1, . . . , xn) é apenas o comprimento do vector x, talcomo ilustra a figura seguinte no caso particular de R2:

x1

x2x = (x1, x2)

Além disso, dados x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) em Rn, temos

d(x, y) = ‖x− y‖.



Para quaisquer x, y ∈ Rn e para qualquer λ ∈ R, as seguintespropriedades são verdadeiras:

a) ‖x‖ > 0b) ‖x‖ = 0 se e só se x = 0;c) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖;d) ‖x+ y‖ 6 ‖x‖ + ‖y‖. (desigualdade triangular)

As três primeiras propriedades apresentadas anteriormente são fáceisde verificar. Já a última propriedade é mais difícil de provar.



Outro conceito importante nos espaços Rn é o de produto interno.Dados

x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn,define-se o produto interno da seguinte forma:

〈x, y〉 =n∑

i=1

xiyi

= x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn.



Propriedades do produto interno

Para quaisquer x, y, z ∈ Rn e para qualquer λ ∈ R tem-sea) 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉;b) 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉 + 〈x, z〉;c) 〈λx, y〉 = λ 〈x, y〉;d) 〈x, λy〉 = λ 〈x, y〉;e) 〈x, y〉 = 〈y, x〉;f) 〈x, x〉 > 0;g) 〈x, x〉 = 0 se e só se x = 0.



Para cada x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn temos√

〈x, x〉 =√x1x1 + x2x2 + · · · + xnxn

=√

x21 + x22 + · · · + x2n

= ‖x‖ ,

ou seja, a norma pode ser definida à custa do produto interno.



É de referir que para quaisquer x, y ∈ Rn se tem

|〈x, y〉| 6√

〈x, x〉√

〈y, y〉

ou seja,∣∣∣∣∣

n∑

i=1

xiyi

∣∣∣∣∣6

√√√√

n∑

i=1

x2i .

√√√√

n∑

i=1

y2i ,

ou ainda,|〈x, y〉| 6 ‖x‖ ‖y‖ .

Esta desigualdade designa-se por desigualdade deCauchy-Schwarz.

Além disso, a igualdade só se verifica quando x e y são linearmentedependentes, ou seja, se

x = λy

para algum λ ∈ R.António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 26 / 357


Em R2 ou em R3 tem-se

〈x, y〉 = ‖x‖ ‖y‖ cos θ,

onde θ é o ângulo formado pelos vectores não nulos x e y.


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Os espaços Rn



LimitesContinuidade





§1.1.3 Bolas e conjuntos limitados

Seja a = (a1, . . . , an) um ponto de Rn. Chama-se bola aberta decentro a e raio r > 0 ao conjunto

Br(a) = {x ∈ Rn : d(x, a) < r}= {x ∈ Rn : ‖x− a‖ < r}

={

x ∈ Rn :√

(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 < r}

={

x ∈ Rn : (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 < r2}

e bola fechada de centro a e raio r > 0 ao conjunto

Br[a] = {x ∈ Rn : d(x, a) 6 r}= {x ∈ Rn : ‖x− a‖ 6 r}

={

x ∈ Rn :√

(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 6 r}

={

x ∈ Rn : (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 6 r2}

.



O conjunto

Sr(a) = {x ∈ Rn : d(x, a) = r}= {x ∈ Rn : ‖x− a‖ = r}

={

x ∈ Rn :√

(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 = r}

={

x ∈ Rn : (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 = r2}

designa-se por esfera de centro a e raio r > 0.



Em R a distância entre dois elementos é dada pelo módulo da diferençae, por conseguinte, as bolas são intervalos e as esferas conjuntos comdois pontos:

aa− r a+ r aa− r a+ r aa− r a+ r

Bola aberta, bola fechada e esfera de centro a ∈ R e raio r



A figura seguinte ilustra, em R2, os três conjuntos definidosanteriormente:

b

a1

a2 brb

rb

a1

a2

rbb

rb

a1

a2

rb

Bola aberta, bola fechada e esfera de centro (a1, a2) e raio r



Em R3 a bola de centro a = (a1, a2, a3) e raio r pode ser representadapor

ba rba rb

Representação geométrica em R3 da bola de centro a = (a1, a2, a3) e raio r



Um subconjunto A de Rn diz-se limitado se estiver contido emalguma bola centrada na origem, isto é,

A ⊆ Br[0] para algum r > 0,

ou seja, se existir r > 0 tal que

‖x‖ 6 r para cada x ∈ A.

Os subconjuntos de Rn que não são limitados dizem-se ilimitados


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Os espaços Rn



LimitesContinuidade





§1.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto

Seja A um subconjunto não vazio de Rn. Um ponto a ∈ Rn diz-seinterior a A

se existir ε > 0 tal que Bε(a) ⊆ A.

O ponto a diz-se exterior a A

se existir ε > 0 tal que Bε(a) ⊆ Rn \ A.

Um ponto a ∈ Rn diz-se fronteiro a A

se para cada ε > 0, Bε(a) ∩A 6= ∅ e Bε(a) ∩ (Rn \ A) 6= ∅.



A figura que se segue ilustra estes três conceitos.

aa

bb

cc

Pontos interiores, pontos exteriores e pontos fronteiros

O ponto a é um ponto interior ao conjunto, o ponto b é um pontoexterior ao conjunto e o ponto c é um ponto fronteiro ao conjunto.



O conjunto dos pontos interiores a A designa-se por interior de A erepresenta-se por intA ou A◦.

O conjunto dos pontos exteriores a A chama-se exterior de A erepresenta-se por extA.

O conjunto dos pontos fronteiros de A diz-se a fronteira de A erepresenta-se por frA.



Observações

a) Da definição resulta imediatamente que intA, extA e frA sãoconjuntos disjuntos dois a dois e que

Rn = intA ∪ extA ∪ frA.

b) Outra consequência imediata da definição é a seguinte

intA = ext (Rn \ A) e frA = fr (Rn \ A) .



Exemplos

a) Consideremos os conjuntos

A ={

(x, y) ∈ R2 : 1 < x < 2 ∧ 1 < y < 2}

B ={

(x, y) ∈ R2 : 3 6 x 6 4 ∧ 1 6 y 6 2}

C ={

(x, y) ∈ R2 : 5 6 x 6 6 ∧ 1 < y < 2}

Estes conjuntos estão representados na figura seguinte

1

2

1 2 3 4 5 6x

y

A B C



Exemplos

a) (continuação) Então o interior destes três conjuntos é dado por

intA ={

(x, y) ∈ R2 : 1 < x < 2 ∧ 1 < y < 2}

intB ={

(x, y) ∈ R2 : 3 < x < 4 ∧ 1 < y < 2}

intC ={

(x, y) ∈ R2 : 5 < x < 6 ∧ 1 < y < 2},

o exterior é dado por

extA ={

(x, y) ∈ R2 : x < 1 ∨ x > 2 ∨ y < 1 ∨ y > 2}

extB ={

(x, y) ∈ R2 : x < 3 ∨ x > 4 ∨ y < 1 ∨ y > 2}

extC ={

(x, y) ∈ R2 : x < 5 ∨ x > 6 ∨ y < 1 ∨ y > 2},

e a fronteira é dada por

frA ={

(x, y) ∈ R2 : ((y = 1 ∨ y = 2) ∧ 1 6 x 6 2) ∨ ((x = 1 ∨ x = 2) ∧ 1 6 y 6 2)}

frB ={

(x, y) ∈ R2 : ((y = 1 ∨ y = 2) ∧ 3 6 x 6 4) ∨ ((x = 3 ∨ x = 4) ∧ 1 6 y 6 2)}

frC ={

(x, y) ∈ R2 : ((y = 1 ∨ y = 2) ∧ 5 6 x 6 6) ∨ ((x = 5 ∨ x = 6) ∧ 1 6 y 6 2)}.



Exemplos

b) Dada a bola aberta Br(a) de centro a e raio r > 0 tem-se

int (Br(a)) = Br(a)

ext (Br(a)) = Rn \Br[a]fr (Br(a)) = Sr(a).

O interior, o exterior e a fronteira da bola fechada Br[a] de centro ae raio r > 0 coincidem, respectivamente, com o interior, o exterior ea fronteira de Br(a).

c) É óbvio que intRn = Rn, extRn = ∅ e frRn = ∅.

d) Também temos int∅ = ∅, ext∅ = Rn e fr∅ = ∅.



Um ponto a ∈ Rn diz-se aderente a um subconjunto A ⊆ Rn

se para cada ε > 0, Bε(a) ∩A 6= ∅.

O conjunto dos pontos aderentes de um conjunto A designa-se poraderência ou fecho de A e representa-se por A.



Exemplos

a) Considerando novamente os conjuntos

A ={

(x, y) ∈ R2 : 1 < x < 2 ∧ 1 < y < 2}

B ={

(x, y) ∈ R2 : 3 6 x 6 4 ∧ 1 6 y 6 2}

C ={

(x, y) ∈ R2 : 5 6 x 6 6 ∧ 1 < y < 2}

temos

A ={

(x, y) ∈ R2 : 1 6 x 6 2 ∧ 1 6 y 6 2}

B ={

(x, y) ∈ R2 : 3 6 x 6 4 ∧ 1 6 y 6 2}

C ={

(x, y) ∈ R2 : 5 6 x 6 6 ∧ 1 6 y 6 2}



Exemplos (continuação)

b) Seja Br(a) a bola aberta de centro a e raio r > 0. Então

Br(a) = Br[a].

c) Também se tem Rn = Rn e ∅ = ∅.



É evidente que para qualquer subconjunto A de Rn se tem

A = intA ∪ frA

eintA ⊆ A ⊆ A.



Sejam A um subconjunto de Rn e a ∈ Rn. Diz-se que a é um pontode acumulação de A

se para cada ε > 0, Bε(a) ∩ (A \ {a}) 6= ∅.

O conjunto dos pontos de acumulação de um conjunto A representa-sepor A′ e designa-se por derivado.

Os pontos de A que não são pontos de acumulação de A designam-sepor pontos isolados.



Exemplos

a) Seja

A ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}

∪ {(2, 2) , (−2, 2)} .

O conjunto A tem a seguinte representação geométrica

x

y

2

2

-2 1




a) (continuação) Então se

A ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}

∪ {(2, 2) , (−2, 2)}tem-se

intA ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1},

extA ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1}

\ {(2, 2) , (−2, 2)} ,frA =

{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1

}∪ {(2, 2) , (−2, 2)} ,

A ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1}

∪ {(2, 2) , (−2, 2)} ,A′ =

{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1

}.

Os pontos (2, 2) e (−2, 2) são pontos isolados de A. Além disso o conjuntoA é limitado porque

A ⊆ B3[0].

b) É óbvio que (Rn)′ = Rn e que (∅)′ = ∅.


Índice


Os espaços Rn



LimitesContinuidade





§1.1.5 Conjuntos abertos e conjuntos fechados

Um subconjunto A de Rn diz-se aberto se A = intA e diz-se fechadose A = A.

aa

conjunto aberto

bb

conjunto fechado

Conjuntos abertos e conjuntos fechados


Índice



Definição e exemplosGráfico, curvas de nível e superfícies de nível

LimitesContinuidade





Índice




LimitesContinuidade





§1.2.1 Definição e exemplos

Seja D um subconjunto não vazio de Rn. Uma função

f : D ⊆ Rn → Rm

associa a cada elemento x = (x1, . . . , xn) de D um e um só elemento deRm que representaremos por f(x). Como f(x) ∈ Rm, tem-se

f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x))

onde

f1 : D ⊆ Rn → Rf2 : D ⊆ Rn → R

...

fm : D ⊆ Rn → R.



Assim, cada função f : D ⊆ Rn → Rm pode ser definida por m funções

f1 : D ⊆ Rn → Rf2 : D ⊆ Rn → R

...

fm : D ⊆ Rn → R,

funções essas que se designam por funções coordenadas de f . Nestascondições escreve-se

f = (f1, f2, . . . , fm) .



As funçõesf : D ⊆ Rn → R

designam-se por funções escalares e as funções

f : D ⊆ Rn → Rm, m > 1,

designam-se por funções vectoriais.

O conjunto D no qual está definida a função designa-se por domíniode f e o conjunto de todas as imagens de uma função designa-se porcontradomínio de f , ou seja, o contradomínio de uma função

f : D ⊆ Rn → Rm

é o conjuntof(D) = {f(x) ∈ Rm : x ∈ D} .



Exemplos de funções f : D ⊆ Rn → Rma) Seja f a função dada por

f(x, y) = (f1(x, y), f2(x, y), f3(x, y))

= (ln(y − x), sen x, 1) .

O domínio de f é o conjunto

D ={

(x, y) ∈ R2 : y − x > 0}

={

(x, y) ∈ R2 : y > x}

Obviamente, f : D ⊆ R2 → R3 e o seu contradomínio é o conjunto

f(D) ={

(a, b, c) ∈ R3 : − 1 6 b 6 1, c = 1}

.

Esta função é uma função vectorial pois o seu contradomínio é umsubconjunto de R3.



Exemplos de funções f : D ⊆ Rn → Rm (continuação)a) (continuação) Façamos a representação geométrica do domínio

D ={

(x, y) ∈ R2 : y > x}

da função f :

x

y

1

1

y = x

D

1



Exemplos de funções f : D ⊆ Rn → Rm (continuação)b) Consideremos a função escalar dada por

f(x, y) = x ln(

y2 − x)

.

O domínio de f é o conjunto

D ={

(x, y) ∈ R2 : y2 − x > 0}

={

(x, y) ∈ R2 : y2 > x}

Assim, f : D ⊆ R2 → R e o contradomínio de f é R.



Exemplos de funções f : D ⊆ Rn → Rm (continuação)b) (continuação) Façamos a representação geométrica do domínio

D ={

(x, y) ∈ R2 : y2 > x}

da função f :

x

y

1 2

1

√2

x = y2D

1

√2


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LimitesContinuidade





§1.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível

Dada uma função f : D ⊆ Rn → Rm designa-se por gráfico de f oconjunto

G (f) = {(a, f(a)) : a ∈ D} .



Gráfico da função dada por f(x, y) = x2 + y2

Seja f a função dada por

f(x, y) = x2 + y2.

O domínio desta função é R2 e o seu contradomínio é [0,+∞[. Ográfico desta função é o conjunto

G (f) ={(

(x, y), x2 + y2)

: (x, y) ∈ R2}

.

Costuma identificar-se o ponto(

(x, y), x2 + y2)

de R2 × R com o ponto(x, y, x2 + y2

)de R3. Assim,

G (f) ={(

x, y, x2 + y2)

: (x, y) ∈ R2}

.



Gráfico da função dada por f(x, y) = x2 + y2 (continuação)

Façamos a representação geométrica do gráfico de f :

x

y

f(x, y)

1

2

5b



Sejam f : D ⊆ Rn → R uma função e k ∈ R. O conjunto

Ck = {x ∈ D : f(x) = k}

designa-se por conjunto de nível k. Em R2 os conjuntos de níveldesignam-se por curvas de nível e em R3 designam-se porsuperfícies de nível.



Curvas de nível da função dada por f(x, y) = x2 + y2

Consideremos novamente a função f : R2 → R dada por

f(x, y) = x2 + y2.

As curvas de nível desta função são

Ck ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = k}

.

Assim, se k < 0 temos Ck = ∅. Se k = 0 temos C0 = {(0, 0)}.Finalmente, para k > 0 a curva de nível é uma circunferência centradaem (0, 0) e de raio

√k.



Curvas de nível da função dada por f(x, y) = x2 + y2 (continuação)

As curvas de nível 1, 2 e 3 estão representadas na figura seguinte

x

y

1√

2√

3



Curvas de nível da função dada por f(x, y) = x2 + y2 (continuação)

As curvas de nível podem ajudar a representar geometricamente ográfico da função:

x

y

f(x, y)

1

2

3


Índice



LimitesDefinição, propriedades e exemplosLimites relativos e limites direccionais

Continuidade





Índice




Continuidade





§1.3.1 Definição, propriedades e exemplos

Comecemos por recordar a definição de limite para funções

f : D ⊆ R → R,ou seja, quando n = m = 1.

Sejam D um subconjunto de R, f : D → R uma função, a um ponto deacumulação de D e b ∈ R. Diz-se que b é o limite (de f) quando xtende para a, e escreve-se

limx→a

f(x) = b,

se para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que

|f(x) − b| < ε para qualquer x ∈ D tal que 0 < |x− a| < δ.

Simbolicamente, tem-se o seguinte

limx→a

f(x) = b ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x) − b| < ε)



A figura seguinte ilustra o conceito de limite de funções

f : D ⊆ R → R.

x

y

bb

a

b

f(a)

b−ε

b+ε

b

b

a−δ a+δ

b

a−δ a a+δ

b

a−δ a a+δ

b

xa

b−ε

b+ε

b

b

a−δ a a+δ

b

a−δ a a+δ

b

a−δaa+δ

b

a−δ a a+δ

b−ε

b

b+ε

b

Interpretação geométrica do conceito de limite de uma função real de variável real



Para generalizarmos o conceito de limite para funções

f : D ⊆ Rn → Rm

temos de utilizar normas em vez de módulos.

Deste modo, sejam D um subconjunto de Rn,

f : D ⊆ Rn → Rm

uma função, a um ponto de acumulação de D e b ∈ Rm. Dizemos que bé o limite de f quando x tende para a, e escreve-se

limx→a

f(x) = b,

se para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que

‖f(x) − b‖ < ε para qualquer x ∈ D tal que 0 < ‖x− a‖ < δ.Simbolicamente, tem-se o seguinte:

limx→a

f(x) = b ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (0 < ‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x) − b‖ < ε) .



Para interpretar geometricamente a definição de limite basta observar que

‖f(x) − b‖ < ε é equivalente a f(x) ∈ Bε(b)

e que0 < ‖x− a‖ < δ é equivalente a x ∈ Bδ(a) \ {a} .

Rn

DR

m

f(D)

f

a

f(a)

bbε

δ a

x f(x)

Interpretação geométrica do limite em a de uma função f : D ⊆ Rn → Rm



Se a for um ponto isolado do domínio D, então a definição dada atrásnão se pode aplicar porque, quando a é um ponto isolado de D, épossível escolher δ > 0 tal que

0 < ‖x− a‖ < δ

é falso para qualquer x ∈ D.



Propriedades

a) O limite de uma função (quando existe) é único.

b) Sejam D um subconjunto de Rn,

a = (a1, . . . , an) ∈ Rn

um ponto de acumulação de D e

b = (b1, . . . , bm) ∈ Rm.Se

f : D ⊆ Rn → Rm

uma função tal que

f = (f1, . . . , fm) ,

entãolimx→a

f(x) = b se e só se limx→a

fi(x) = bi, i = 1, . . . ,m.



Propriedades (continuação)

c) Sejam D ⊆ Rn, f, g : D → Rm, α : D → R e a um ponto de acumulaçãode D. Suponhamos que existem

limx→a

f(x), limx→a

g(x) e limx→a

α(x).

Então

i) existe limx→a

[f(x) + g(x)] e

limx→a

[f(x) + g(x)] = limx→a

f(x) + limx→a

g(x);

ii) existe limx→a

[α(x)f(x)] e

limx→a

[α(x)f(x)] =[

limx→a

α(x)]

.[

limx→a

f(x)]

;

iii) se limx→a

α(x) 6= 0, existe limx→a

1α(x)

e

limx→a

1α(x)

=1

limx→a

α(x).




d) Sejam D um subconjunto de Rn, a um ponto de acumulação de D e

f, g : D ⊆ Rn → R.

Suponhamos quelimx→a f(x) = 0

e g é uma função limitada numa bola centrada em a. Então

limx→a

[f(x).g(x)] = 0.




e) Sejamf : Df ⊆ Rn → Rm

eg : Dg ⊆ Rm → Rk

duas funções tais quef(Df ) ⊆ Dg.

Suponhamos que a ∈ Rn é um ponto de acumulação de Df e queb ∈ Dg é um ponto de acumulação de Dg. Se

limx→a

f(x) = b e limx→b

g(x) = g(b),

entãolimx→a

(g ◦ f)(x) = limx→a

g(f(x)) = g(b).



Rn Rm

Df

f

f(Df)

a b = f(a)b b

Rk

bb = f(a)

f(Df) Dg

g

g (Dg)

g ◦ f

bg(b) = g(f(a))

Composição de funções



Exemplos

a) Seja f : R2 → R3 a função definida por

f(x, y) = (x+ y, sen(x+ 2y), cosx) .

Entãof = (f1, f2, f3)

ondef1, f2, f3 : R2 → R

são as funções definidas por

f1(x, y) = x+ y, f2(x, y) = sen(x+ 2y) e f3(x, y) = cos x.




a) (continuação) Como

lim(x,y)→(π/2,0)

f1(x, y) = lim(x,y)→(π/2,0)

x+ y = π/2 + 0 = π/2

lim(x,y)→(π/2,0)

f2(x, y) = lim(x,y)→(π/2,0)

sen(x+ 2y)

= sen(π/2 + 2.0) = sen(π/2) = 1

lim(x,y)→(π/2,0)

f3(x, y) = lim(x,y)→(π/2,0)

cosx = cos(π/2) = 0,

temos

lim(x,y)→(π/2,0)

f(x, y)

=(

lim(x,y)→(π/2,0)

f1(x, y), lim(x,y)→(π/2,0)

f2(x, y), lim(x,y)→(π/2,0)

f3(x, y))

= (π/2, 1, 0) .




b) Seja f : R2 → R a função dada por

f(x, y) =

xy2

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0).

Esta função pode ser escrita, quando (x, y) 6= (0, 0), da seguinteforma

xy2

x2 + y2.




b) (continuação) Como lim(x,y)→(0,0)

x = 0 ey2

x2 + y2é limitada, pois

0 6y2

x2 + y26y2

y2= 1 para cada (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} ,

podemos concluir que

lim(x,y)→(0,0)

xy2

x2 + y2= 0.

e, consequentemente,

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0.


Índice




Continuidade





§1.3.2 Limites relativos e limites direccionais

Seja A um subconjunto de D ⊆ Rn e a um ponto de acumulação de A.Chama-se limite relativo a A da função

f : D ⊆ Rn → Rm

no ponto a (ou limite quando x tende para a no conjunto A) aolimite em a (quando exista) da restrição de f a A e usa-se a notação

limx→ax∈A

f(x).



É evidente para qualquer função

f : D ⊆ Rn → R

se existelimx→a

f(x),

então também existelimx→ax∈A

f(x)

para qualquer subconjunto A de D tal que a é ponto de acumulação deA e

limx→ax∈A

f(x) = limx→a

f(x).

Assim, se existirem dois limites relativos distintos, o limite não existe.



Além disso, dada uma função

f : D ⊆ Rn → Rm,

se A1 e A2 são dois subconjuntos de Rn tais que a é ponto deacumulação de A1 e de A2,

D \ {a} ⊆ A1 ∪A2e existem e são iguais os limites

limx→ax∈A1

f(x) e limx→ax∈A2

f(x),

então também existelimx→a

f(x)

elimx→a

f(x) = limx→ax∈A1

f(x) = limx→ax∈A2

f(x).



Exemplo

Seja f : R2 \ {(0, 0)} → R a função definida por

f(x, y) =x2 − y2x2 + y2

.

Considerando os conjuntos

A ={

(x, 0) ∈ R2 : x ∈ R \ {0}}

e B ={

(0, y) ∈ R2 : y ∈ R \ {0}}

temos

lim(x,y)→(0,0)

(x,y)∈A

f(x, y) = limx→0

f(x, 0) = limx→0

x2

x2= lim

x→01 = 1

e

lim(x,y)→(0,0)

(x,y)∈B

f(x, y) = limy→0

f(0, y) = limy→0

−y2y2

= limy→0

−1 = −1.



Exemplo (continuação)

Comolim

(x,y)→(0,0)(x,y)∈A

f(x, y) 6= lim(x,y)→(0,0)

(x,y)∈B

f(x, y),

não existelim

(x,y)→(0,0)f(x, y).



Para funções reais de variável real, f : D ⊆ R → R, considerando osconjuntos

D+a = {x ∈ D : x > a} = D∩ ]a,+∞[e

D−a = {x ∈ D : x < a} = D∩ ] − ∞, a[,obtemos os limites laterais à direita e à esquerda da seguinteforma

limx→a+

f(x) = limx→ax∈D+a

f(x)

elimx→a−

f(x) = limx→ax∈D−a

f(x),

desde que a seja ponto de acumulação de D+a e de D−a , respectivamente.



A generalização natural dos limites laterais a funções

f : D ⊆ Rn → Rm

é dada pelos limites direccionais. Se a e v são elementos de Rn, com v 6= 0,então

{x ∈ Rn : x = a+ tv, t ∈ R+

}

é a semi-recta de origem a e com a direcção e o sentido de v. Dada uma função

f : D ⊆ Rn → Rm,fazendo

A ={x ∈ D : x = a+ tv, t ∈ R+

},

e supondo que a é ponto de acumulação de A, chama-se a

limx→ax∈A

f(x)

limite (direccional) de f no ponto a segundo v. Este limite obtém-secalculando

limt→0+

f(a+ tv).



Observações

a) Sejam D um subconjunto de Rn,

f : D ⊆ Rn → Ruma função e a, v ∈ Rn. Se existe

limt→0+

f(a+ tv),

então, fazendo u = λv, λ ∈ R+, também existelim

t→0+f(a+ tu)

e

limt→0+

f(a+ tv) = limt→0+

f(a+ tu).

b) Tendo em conta a observação anterior, para calcular os limitesdireccionais basta considerar vectores de norma um. Assim, para funções

f : D ⊆ R2 → R,basta considerar vectores

v = (cosα, senα) , α ∈ [0, 2π[.



Exemplo

Consideremos novamente a função f : R2 \ {(0, 0)} → R definida por

f(x, y) =x2 − y2x2 + y2

.

Fazendov = (cosα, sen α) ,

com α ∈ [0, 2π[, temos

limt→0+

f(0 + t cosα, 0 + t senα) = limt→0+

t2 cos2 α− t2 sen2 αt2 cos2 α+ t2 sen2 α

= cos2 α− sen2 αe, como os limites direccionais dependem do vector v, podemos concluirque não existe

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y).



Para funções f : D ⊆ R → R é fácil provar que se existem

limx→a+

f(x) e limx→a−

f(x)

elimx→a+

f(x) = limx→a−

f(x),

então também existelimx→a

f(x)

elimx→a

f(x) = limx→a+

f(x) = limx→a−

f(x).

No entanto, para funções

f : D ⊆ Rn → Rm, n > 1,

é possível existirem e serem iguais todos os limites direccionais, sem queo limite da função exista. Vejamos um exemplo em que isso acontece.



Exemplo – f(x, y) = x2y/(x4 + y2)

No ponto (0, 0) todos os limites direccionais da função

f : R2 \ {(0, 0)} → Rdefinida por

f(x, y) =x2y

x4 + y2

são iguais a zero. De facto, fazendo

v = (cosα, sen α) ,

com α ∈ [0, 2π[, temos, para α ∈]0, π[∪]π, 2π[,

limt→0+

f((0, 0) + tv) = limt→0+

f(t cosα, t sen α) = limt→0+

t3 cos2 α senαt4 cos4 α+ t2 sen2 α

= limt→0+

t cos2 α senαt2 cos4 α+ sen2 α

=0

0 + sen2 α= 0.



Exemplo (continuação) – f(x, y) = x2y/(x4 + y2)

Se α = 0 vem

limt→0+

f(t, 0) = limt→0+

t20t4 + 02

= limt→0+

0 = 0.

e se α = π temos

limt→0+

f(−t, 0) = limt→0+

(−t)20(−t)4 + 02 = limt→0+ 0 = 0.

Assim, todos os limites direccionais são iguais a zero.



Exemplo (continuação) – f(x, y) = x2y/(x4 + y2)

No entanto, considerando o conjunto

A ={

(x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} : y = x2}

temos

lim(x,y)→(0,0)

x∈A

f(x, y) = limx→0

f(x, x2) = limx→0

x2.x2

x4 + (x2)2

= limx→0

x4

2x4= lim

x→012

=12

que é diferente dos limites direccionais. Logo não existe

lim(x,y)→(0,0)

x2y

x4 + y2.


Índice



LimitesContinuidade

Definição, propriedades e exemplosTeorema de Weierstrass





Índice



LimitesContinuidade







Sejam D um subconjunto de Rn,

f : D ⊆ Rn → Rm

uma função e a ∈ D. Diz-se que f é contínua no ponto a se paracada ε > 0, existir δ > 0 tal que

‖f(x) − f(a)‖ < ε para qualquer x ∈ D tal que ‖x− a‖ < δ.

Simbolicamente,

f é contínua em a

⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x) − f(a)‖ < ε) .



Assim temos a seguinte interpretação geométrica de continuidade numponto.

Rn

DRm

f(D)

f

a

f(a)f(a)ε

δ a

x f(x)

Função de Rn em Rm contínua no ponto a



Dizemos que a ∈ D é um ponto de descontinuidade de

f : D ⊆ Rn → Rm

se f não é contínua em a.

Uma funçãof : D ⊆ Rn → Rm

é contínua se for contínua em todos os pontos de D.



Observações

a) Ao contrário do que acontece na definição de limite, só faz sentidoconsiderar pontos do domínio D quando estamos a investigar acontinuidade de uma função.

b) Se a é um ponto isolado de D, então a função f : D → Rm é contínua ema. De facto, dado ε > 0, basta escolher δ > 0 tal que

Bδ(a) ∩D = {a} .Assim, a condição

x ∈ D ∧ ‖x− a‖ < δ é equivalente a x = ae, por conseguinte,

‖f(x) − f(a)‖ = 0 < ε.Em particular, se D só tem pontos isolados, então qualquer funçãof : D → Rm é contínua.

c) Se a ∈ D é um ponto de acumulação de D, então f : D → Rm é contínuaem a se e só se

limx→a

f(x) = f(a).



Exemplos

a) Num exemplo anterior estudamos a função

f : R2 → R3

dada porf(x, y) = (x+ y, sen(x+ 2y), cos x)

e vimos quelim

(x,y)→(π/2,0)f(x, y) = (π/2, 1, 0) .

Comof(π/2, 0) = (π/2, 1, 0) ,

a função é contínua no ponto (π/2, 0).




b) Seja f : R2 → R a função é definida por

f(x, y) =

x2 − y2x2 + y2

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).Fazendo

A ={

(x, y) ∈ R2 : x = 0}

e B ={

(x, y) ∈ R2 : y = 0},

temos

lim(x,y)→(0,0)

x∈A

f(x, y) = limy→0

f(0, y) = limy→0

02 − y202 + y2

= limy→0

−y2y2

= limy→0

−1 = −1

e

lim(x,y)→(0,0)

x∈B

f(x, y) = limx→0

f(x, 0) = limx→0

x2 − 02x2 + 02

= limx→0

x2

x2= lim

x→01 = 1.




b) (continuação) Como

lim(x,y)→(0,0)

x∈A

f(x, y) 6= lim(x,y)→(0,0)

x∈B

f(x, y),

não existe

lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2x2 + y2

.

Logo a função não é contínua em (0, 0).

No entanto, em qualquer ponto (a, b) 6= (0, 0) esta função é contínuaporque

lim(x,y)→(a,b)

x2 − y2x2 + y2

=a2 − b2a2 + b2

= f(a, b).



Propriedades

a) Sejamf : D ⊆ Rn → Rm

uma função tal quef = (f1, . . . , fm)

e a um elemento de D. Então

f é contínua em a

se e só se todas as suas funções coordenadas

fi são contínuas em a.




b) Sejamf, g : D ⊆ Rn → Rm

duas funções contínuas em a ∈ D e

α : D → R

uma função contínua em a. Então

f + g e αf são contínuas em a

e, se α(a) 6= 0, então

1α

é contínua em a.




c) Sejamf : Df ⊆ Rn → Rm

eg : Dg ⊆ Rm → Rk

duas funções tais que f(Df ) ⊆ Dg. Se

f é contínua em a ∈ Df

eg é contínua em f(a),

entãog ◦ f é contínua em a.



Exemplo

Seja f : R2 → R a função dada por

f(x, y) =

x2y

x4 + y2se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0).

Já vimos num exemplo anterior que fazendo

A ={

(x, y) ∈ R2 : y = 0}

e B ={

(x, y) ∈ R2 : y = x2},

temoslim

(x,y)→(0,0)x∈A

f(x, y) = limx→0

f(x, 0) = limx→0

x2 0x4 + 02

= limx→0

0x4

= limx→0

0 = 0

e

lim(x,y)→(0,0)

x∈B

f(x, y) = limx→0

f(x, x2) = limx→0

x2 x2

x4 + (x2)2= lim

x→0

x4

2x4= lim

x→0

12

=12.




Como

lim(x,y)→(0,0)

x∈A

f(x, y) 6= lim(x,y)→(0,0)

x∈B

f(x, y),

não existe

lim(x,y)→(0,0)

x2y

x4 + y2

e, portanto, a função não é contínua em (0, 0).

No entanto, em qualquer ponto (a, b) 6= (0, 0) esta função é contínuaporque pode ser escrita como a composição de funções contínuas.

Outra forma de provarmos que f é contínua em qualquer pontos(a, b) 6= (0, 0) é observarmos que

lim(x,y)→(a,b)

x2y

x4 + y2=

a2b

a4 + b2= f(a, b).


Índice



LimitesContinuidade






§1.4.2 Teorema de Weierstrass

Seja f : D ⊆ Rn → R uma função escalar e A um subconjunto nãovazio de D. Dizemos que f tem um máximo (absoluto) no pontoa ∈ A ou que f(a) é um máximo (absoluto) de f em A se

f(x) 6 f(a) para todo o x ∈ A.

Quandof(x) > f(a) para todo o x ∈ A,

dizemos que f tem um mínimo (absoluto) no ponto a ∈ A ou quef(a) é um mínimo (absoluto) de f em A. Os máximos e mínimos(absolutos) de f em a dizem-se extremos absolutos de f em A.



Teorema de Weierstrass

Sejaf : D ⊆ Rn → R

uma função contínua num subconjunto não vazio, fechado e limitadoA ⊆ D. Então f tem máximo e mínimo em A.



Exemplo

SejamA =

{

(x, y) ∈ R2 : |x| 6 1, |y| 6 1}

e f a função dada por

f(x, y) = x+ y sen x.

A função f é contínua em R2 e, portanto, é contínua em A. Como A éfechado e limitado, f tem máximo e mínimo no conjunto A.


Índice



Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Derivada da função compostaDerivadas de ordem superior. Teorema de SchwarzTeorema da função implícitaExtremos locais e extremos absolutosExtremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange




Índice








§2.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

Comecemos por recordar como se define derivada de funções reais devariável real. Sejam D um subconjunto não vazio de R, f : D → R ea ∈ D um ponto de acumulação de D. Diz-se que f é derivável oudiferenciável em a se existe (e é finito) o limite:

limx→a

f(x) − f(a)x− a .

Tal limite (quando existe) diz-se a derivada de f no ponto a e

representa-se por f ′(a), Df(a) ou ainda pordf

dx(a). Fazendo a

mudança de variável x = a+ h, temos

f ′(a) = limh→0

f(a+ h) − f(a)h

.

Aqui têm apenas de se considerar os valores de h tais que a+ h ∈ D.



Diz-se que a função f : D → R é derivável ou diferenciável em D sefor derivável em todo o ponto de D e à nova função

f ′ : D → R,

que a cada ponto x ∈ D faz corresponder f ′(x), chama-se derivada def e representa-se também por Df ou

df

dx.



O quocientef(a+ h) − f(a)

hrepresenta o declive da recta que passa pelos pontos

(a, f(a)) e (a+ h, f(a+ h)) .

Fazendo h tender para zero, a recta que passa nos pontos

(a, f(a)) e (a+ h, f(a+ h)) ,

vai tender para a recta tangente ao gráfico de f e que passa no pontos(a, f(a)). Assim, geometricamente, a derivada de uma função numponto do domínio é o declive da recta tangente ao gráfico da função noponto considerado. Portanto, a recta tangente ao gráfico de umafunção f no ponto (a, f(a)) é a recta de equação

y = f(a) + f ′(a)(x − a).



b

a

f(a)

b

a+ h

f(a + h)

b

b

a

f(a)

b

b

bb

a+ h

f(a + h)

b

b

a

f(a) b

bb

b

a+ h

f(a + h)

b

b

a

f(a) b

bb

b

b

a+ h

f(a + h)

b

b

b

y = f(a) + f ′(a)(x − a)

α

f ′(a) = tgα

Interpretação geométrica do conceito de derivada



Pretendemos generalizar o conceito de derivada a funções

f : D ⊆ Rn → Rm.

Por uma questão de economia de escrita, consideraremos, inicialmente,funções

f : D ⊆ R2 → R.Como habitualmente, escreveremos (x, y) em vez de (x1, x2) pararepresentar os elementos de R2.



Sejam D um subconjunto não vazio de R2 e f : D ⊆ R2 → R uma função.A derivada parcial de f em relação a x (ou em ordem a x) é a função∂f

∂xque se obtém derivando (caso a derivada exista) f em relação a x,

tratando y como se fosse uma constante. Por exemplo, se f : R2 → R é afunção definida por

f(x, y) = 2x3y − 4x sen(πy),temos

∂f

∂x(x, y) = 6x2y − 4 sen(πy).

De igual modo, a derivada parcial de f em relação a y (ou em ordem a

y) é a função∂f

∂yque se obtém derivando (caso a derivada exista) f em

relação a y, tratando x como se fosse uma constante. Assim, no exemplo dadotemos

∂f

∂y(x, y) = 2x3 − 4πx cos(πy).



Vejamos como definir de modo mais formal as derivadas parciais.Sejam D um subconjunto de R2, f : D ⊆ R2 → R uma função e(a, b) ∈ D. Suponhamos que (a, b) é um ponto de acumulação de

{(x, y) ∈ D : y = b} .

Representa-se por

∂f

∂x(a, b), f ′x(a, b) ou Dxf(a, b),

a derivada parcial de f em relação a x (ou em ordem a x) noponto (a, b) e define-se da seguinte forma

∂f

∂x(a, b) = lim

h→0f(a+ h, b) − f(a, b)

h

quando este limite exista (e seja finito).



Analogamente, se (a, b) ∈ D é ponto de acumulação de

{(x, y) ∈ D : x = a} ,

representa-se por

∂f

∂y(a, b), f ′y(a, b) ou Dyf(a, b),

a derivada parcial de f em ordem a y no ponto (a, b) e define-seda seguinte forma

∂f

∂y(a, b) = lim

k→0f(a, b+ k) − f(a, b)

k,

quando este limite existe.



x

y

z

b

a

b

f(a, b)

bb

α

∂f

∂x(a, b) = tgα

b

β

∂f

∂y(a, b) = tg β

Interpretação geométrica das derivadas parciais



Seja f : D ⊆ R2 → R uma função. A função que a cada (x, y) associa∂f

∂x(x, y) designa-se por (função) derivada parcial de f em ordem

a x e representa-se por

∂f

∂x, f ′x ou Dxf.

Obviamente, o seu domínio é o conjunto{

(x, y) ∈ D : existe ∂f∂x

(x, y)}

.

Do mesmo modo, define-se (função) derivada parcial de f emordem a y que se representa por

∂f

∂y, f ′y ou Dyf.



Exemplos de derivadas parciais

a) Considerando a função f : R2 → R definida por

f(x, y) = x2 + y2 + sen(xy)

temos∂f

∂x(x, y) = 2x+ y cos(xy)

e∂f

∂y(x, y) = 2y + x cos(xy).



Exemplos de derivadas parciais (continuação)

b) A função f : R2 → R definida por

f(x, y) = sen(

x2 + y3)

+ ex−cos(xy)

tem as seguintes derivadas parciais

∂f

∂x(x, y) = 2x cos

(

x2 + y3)

+ (1 + y sen (xy)) ex−cos(xy)

e∂f

∂y(x, y) = 3y2 cos

(

x2 + y3)

+ x sen (xy) ex−cos(xy) .




c) Seja f : R2 → R a função definida por

f(x, y) =

(x− 1)y2(x− 1)2 + y2 se (x, y) 6= (1, 0),

0 se (x, y) = (1, 0).

Então

∂f

∂x(1, 0) = lim

h→0

f(1 + h, 0) − f(1, 0)h

= limh→0

(1+h−1)02

(1+h−1)2+02 − 0h

= limh→0

0h2

h= lim

h→0

0h

= limh→0

0 = 0

e

∂f

∂y(1, 0) = lim

k→0

f(1, 0 + k) − f(1, 0)k

= limk→0

(1−1)k2

(1−1)2+k2 − 0k

= limk→0

0k2

k= lim

k→0

0k

= limk→0

0 = 0.




d) Seja f : R2 → R a função dada por

f(x, y) =

x2

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0).

Então

∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0

f(0 + h, 0) − f(0, 0)h

= limh→0

h2

h2+02 − 0h

= limh→0

h2

h2

h= lim

h→0

1h

e este limite não existe. Logo f não tem derivada parcial em ordem a x noponto (0, 0). Por outro lado,

∂f

∂y(0, 0) = lim

k→0

f(0, 0 + k) − f(0, 0)k

= limk→0

02

02+k2 − 0k

= limk→0

0k2

k= lim

k→0

0k

= limk→0

0 = 0.



Nas definições de derivadas parciais, dadas atrás, consideramosacréscimos da função quando o ponto do domínio percorre segmentosparalelos aos eixos. Este facto sugere que generalizemos a definição dederivadas parcial segundo qualquer direcção.

Dados um subconjunto D de R2, uma função

f : D ⊆ R2 → R,

a = (a1, a2) ∈ D e u = (u1, u2) um vector de R2, chama-se derivadade f no ponto a segundo o vector u ao limite, quando existe,

limt→0

f(a+ tu) − f(a)t

= limt→0

f(a1 + tu1, a2 + tu2) − f(a1, a2)t

e representa-se porf ′u(a) ou Duf(a).



Quando‖u‖ = 1

as derivadas segundo vectores costumam designar-se por derivadasdireccionais, se bem que será mais correcto falar em derivada dirigidaou derivada radial segundo u pois a derivada, para além de dependerda direcção, também depende do sentido de u.



x

y

z

b

a

b

f(a, b)

b

uu

b

α

f ′u(a, b) = tgα

Interpretação geométrica da derivada segundo um vector



Exemplo

Consideremos a função f : R2 → R definida por

f(x, y) =

xy2

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

Fazendo u = (cosα, sen α), α ∈ [0, 2π[, temos

f ′u(0, 0) = limt→0

f(0 + t cosα, 0 + t senα) − f(0, 0)t

= limt→0

t cosα t2 sen2 αt2 cos2 α+ t2 sen2 α

t

= limt→0

t3 cosα sen2 αt3 (cos2 α+ sen2 α)

= sen2 α cosα.



Dada uma função f : D ⊆ R2 → R e considerando os vectorese1 = (1, 0) e e2 = (0, 1), temos

f ′e1(a) = limt→0f(a+ te1) − f(a)

t

= limt→0

f(a1 + t, a2) − f(a1, a2)t

=∂f

∂x(a)

e

f ′e2(a) = limt→0f(a+ te2) − f(a)

t

= limt→0

f(a1, a2 + t) − f(a1, a2)t

=∂f

∂y(a).



No caso geral em que temos uma função

f : D ⊆ Rn → Rm

definimos, para a = (a1, . . . , an), as seguintes derivadas parciais:

∂f

∂x1(a) =

∂f

∂x1(a1, . . . , an) = lim

h→0

f(a1 + h, a2, . . . , an) − f(a1, . . . , an)h

∂f

∂x2(a) =

∂f

∂x2(a1, . . . , an) = lim

h→0

f(a1, a2 + h, a3, . . . , an) − f(a1, . . . , an)h

...

∂f

∂xn(a) =

∂f

∂xn(a1, . . . , an) = lim

h→0

f(a1, . . . , an−1, an + h) − f(a1, . . . , an)h



A função que a cada x = (x1, . . . , xn) associa∂f

∂x1(x) designa-se por

(função) derivada parcial de f em ordem a x1 e representa-se por

∂f

∂x1, f ′x1 ou Dx1f.

Obviamente, o seu domínio é o conjunto{

x ∈ D : existe ∂f∂x1

(x)}

.

Do mesmo modo, define-se (função) derivada parcial de f emordem a xi, i = 2, . . . , n, que se representa por

∂f

∂xi, f ′xi ou Dxif.



Também podemos definir derivadas segundo vectores para funções

f : D ⊆ Rn → Rm.

Assim, sef : D ⊆ Rn → Rm

e a = (a1, . . . , an) ∈ D chama-se derivada de f no ponto a segundo ovector u = (u1, . . . , un) ∈ Rn ao limite, caso este exista,

limt→0

f(a+ tu) − f(a)

t= lim

t→0

f(a1 + tu1, a2 + tu2, . . . , an + tun) − f(a1, a2, . . . , an)

t

e representa-se porf ′u(a) ou Duf(a).



Quando‖u‖ = 1,

as derivadasf ′u(a)

designam-se por derivadas direccionais, se bem que o mais correctoseria falar em derivada dirigida ou derivada radial segundo u, pois estaderivada para além de depender da direcção também depende dosentido de u.



Se considerarmos em Rn os vectores e1 = (1, 0, . . . , 0),e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1) temos

f ′e1(a) =∂f

∂x1(a)

f ′e2(a) =∂f

∂x2(a)

...

f ′en(a) =∂f

∂xn(a).



Das propriedades dos limites resulta imediatamente que se

f : D ⊆ Rn → Rm e f = (f1, . . . , fm) , m > 1temos

∂f

∂x1(a) =

(∂f1∂x1

(a),∂f2∂x1

(a), . . . ,∂fm∂x1

(a))

∂f

∂x2(a) =

(∂f1∂x2

(a),∂f2∂x2

(a), . . . ,∂fm∂x2

(a))

...

∂f

∂xn(a) =

(∂f1∂xn

(a),∂f2∂xn

(a), . . . ,∂fm∂xn

(a))

e para cada vector u ∈ Rn,

f ′u(a) =(

(f1)′u (a), (f2)

′u (a), . . . , (fm)

′u (a)

)

.


Índice








§2.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Uma das primeiras propriedades do cálculo diferencial de funções reaisde variável real diz que se uma função tem derivada num ponto, entãoa função é contínua nesse ponto. Para funções com mais do que umavariável isso não acontece. É possível existirem todas as derivadasdireccionais, sem que a função seja contínua nesse ponto. Vejamos umexemplo em que isso acontece.



Exemplo

Consideremos a função f : R2 → R definida por

f(x, y) =

x2y

x4 + y2se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0).

Comecemos por calcular as derivadas parciais

∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0f(h, 0) − f(0, 0)

h= lim

h→00 − 0h

= limh→0

0h

= limh→0

0 = 0

e

∂f

∂y(0, 0) = lim

k→0f(0, k) − f(0, 0)

k= lim

k→00 − 0k

= limk→0

0k

= limk→0

0 = 0.




Por outro lado, fazendou = (cosα, senα) , α ∈ [0, 2π[,

temos

f ′u(0, 0) = limt→0

f(0 + t cosα, 0 + t senα) − f(0, 0)t

= limt→0

t2 cos2 α t senαt4 cos4 α+ t2 sen2 α

t

= limt→0

cos2 α senαt2 cos4 α+ sen2 α

=

cos2 αsenα

se α ∈ [0, 2π[\ {0, π},

0 se α ∈ {0, π}.




Vejamos que a função f não é contínua em (0, 0). Fazendo

A ={

(x, y) ∈ R2 : y = 0}

e B ={

(x, y) ∈ R2 : y = x2}

,

temos

lim(x,y)→(0,0)

x∈A

f(x, y) = limx→0

f(x, 0) = limx→0

x2 0x4 + 02

= limx→0

0x4

= limx→0

0 = 0

e

lim(x,y)→(0,0)

x∈B

f(x, y) = limx→0

f(x, x2) = limx→0

x2 x2

x4 + (x2)2= lim

x→0

x4

2x4= lim

x→0

12

=12,

o que mostra que não existe limite no ponto (0, 0) e, portanto, a funçãonão é contínua nesse ponto.



Este exemplo mostra que uma função ter derivadas parciais ouderivadas direccionais não é uma condição suficiente para que umafunção seja contínua num ponto. É, portanto, necessário um conceitomais forte.



Pode-se provar que

Uma função f : D ⊆ R → R tem derivada no ponto a ∈ D deacumulação de D se e só se existem um número real c e umafunção r : D∗ → R tais que

f(a+ h) = f(a) + ch+ r(h) para cada h ∈ D∗

e

limh→0

r(h)h

= 0,

onde

D∗ = {h ∈ R : a+ h ∈ D} .Além disso, nas condições anteriores tem-se c = f ′(a).



Assim, dados uma função

f : D ⊆ R2 → R

e um ponto (a, b) interior a D, dizemos que f é diferenciável em (a, b)se existirem as derivadas parciais de f no ponto (a, b) e existir umafunção

r : D∗ → R,onde

D∗ ={

(h, k) ∈ R2 : (a+ h, b+ k) ∈ D}

,

tal que

lim(h,k)→(0,0)

r(h, k)‖(h, k)‖ = 0

e

f(a+ h, b+ k) = f(a, b) +∂f

∂x(a, b)h+

∂f

∂y(a, b)k + r(h, k)

para quaisquer (h, k) ∈ D∗.António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 151 / 357


Fazendo (h, k) → (0, 0) em

f(a+ h, b+ k) = f(a, b) +∂f

∂x(a, b)h+

∂f

∂y(a, b)k + r(h, k)

temos

lim(h,k)→(0,0)

f(a+ h, b+ k)

= lim(h,k)→(0,0)

[

f(a, b) +∂f

∂x(a, b)h +

∂f

∂y(a, b)k + r(h, k)

]

= f(a, b)

o que mostra que uma função é contínua nos pontos onde édiferenciável!



Exemplos

a) Seja f : R2 → R a função definida por

f(x, y) =

x2y2

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0),

e estudemos a diferenciabilidade de f no ponto (0, 0). Para f serdiferenciável em (0, 0) tem de existir r : R2 → R tal que

lim(h,k)→(0,0)

r(h, k)√h2 + k2

= 0

e

f(h, k) = f(0, 0) +∂f

∂x(0, 0)h +

∂f

∂y(0, 0) k + r(h, k)

para qualquer (h, k) ∈ R2.António Bento (UBI) Cálculo II 2010/2011 153 / 357



a) (continuação) Assim, calculemos as derivadas parciais de f noponto (0, 0):

∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0

f(h, 0) − f(0, 0)h

= limh→0

h2.02

h2 + 02− 0

h= lim

h→0

0h

= limh→0

0 = 0,

∂f

∂y(0, 0) = lim

k→0

f(0, k) − f(0, 0)k

= limk→0

02.k2

02 + k2− 0

k= lim

k→0

0k

= limk→0

0 = 0.

De

f(h, k) = f(0, 0) +∂f

∂x(0, 0)h +

∂f

∂y(0, 0) k + r(h, k)

resulta queh2k2

h2 + k2= r(h, k).




a) (continuação) Como

lim(h,k)→(0,0)

r(h, k)√h2 + k2

= lim(h,k)→(0,0)

h2k2

h2+k2√h2 + k2

= lim(h,k)→(0,0)

h2k2

(h2 + k2)√h2 + k2

= lim(h,k)→(0,0)

kh2

h2 + k2k√

h2 + k2

= 0

pois as funçõesh2

h2 + k2e

k√h2 + k2

são limitadas, podemos

concluir que a função é diferenciável em (0, 0).




b) Estudemos no ponto (0, 0) a diferenciabilidade da funçãof : R2 → R dada por

f(x, y) =

x2y

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0).

Comecemos por calcular as derivadas parciais de f no ponto (0, 0):

∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0

f(h, 0) − f(0, 0)h

= limh→0

h2.0h2 + 02

− 0h

= limh→0

0h

= limh→0

0 = 0

e

∂f

∂y(0, 0) = lim

k→0

f(0, k) − f(0, 0)k

= limk→0

02.k02 + k2

− 0k

= limk→0

0k

= limk→0

0 = 0.




b) (continuação) Para f ser diferenciável no ponto (0, 0) tem de existir

r : R2 → R tal que lim(h,k)→(0,0)

r(h, k)√h2 + k2

= 0 e

f(h, k) = f(0, 0) +∂f

∂x(0, 0)h +

∂f

∂y(0, 0) k + r(h, k).

Desta última igualdade vem

r(h, k) =h2k

h2 + k2.

Vejamos que não existe

lim(h,k)→(0,0)

r(h, k)√h2 + k2

= lim(h,k)→(0,0)

h2k

(h2 + k2)√h2 + k2

.




b) (continuação) Fazendo A ={(h, k) ∈ R2 : h = k

}temos

lim(h,k)→(0,0)

(h,k)∈A

r(h, k)√h2 + k2

= limh→0

r(h, h)√h2 + h2

= limh→0

h3

2h2√

2h2= lim

h→0h

2√

2|h|

e este último limite não existe porque

limh→0+

h

2√

2|h|=

1

2√

2e lim

h→0−h

2√

2|h|= − 1

2√

2.

Logo não existe

lim(h,k)→(0,0)

r(h, k)√h2 + k2

e, portanto, f não é diferenciável em (0, 0).



Dada uma função f : D ⊆ R2 → R diferenciável num ponto (a, b)interior a D, chama-se plano tangente ao gráfico de f no ponto(a, b, f(a, b)) ao plano definido pela equação

z = f(a, b) +∂f

∂x(a, b)(x− a) + ∂f

∂y(a, b)(y − b).

Por exemplo, para a função f : R2 → R definida por

f(x, y) =

x2y2

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),

0 se (x, y) = (0, 0),

que já vimos ser diferenciável em (0, 0), o plano tangente ao gráfico def no ponto (0, 0, f(0, 0)) é dado pela equação

z = 0.



Se f : D ⊆ R2 → R diferenciável num ponto (a, b) interior a D, a

L(x, y) = f(a, b) +∂f

∂x(a, b)(x− a) + ∂f

∂y(a, b)(y − b)

chamamos aproximação linear de f no ponto (a, b) e costumaescrever-se

f(x, y) ≈ f(a, b) + ∂f∂x

(a, b)(x − a) + ∂f∂y

(a, b)(y − b).



Exemplo

Seja f : R2 → R a função dada por f(x, y) = x ey + sen y. Esta função édiferenciável no ponto (0, 0). Como

∂f

∂x(x, y) = ey e

∂f

∂y(x, y) = x ey + cos y

temos∂f

∂x(0, 0) = 1 e

∂f

∂y(0, 0) = 1.

Tendo em conta que f(0, 0) = 0, uma equação do plano tangente aográfico de f no ponto (0, 0, f(0, 0)) = (0, 0, 0) é

z = f(0, 0) +∂f

∂x(0, 0)(x − 0) + ∂f

∂y(0, 0)(y − 0)

= x+ y.




A aproximação linear de f no ponto (0, 0) é dada por

f(x, y) ≈ f(0, 0) + ∂f∂x

(0, 0)(x − 0) + ∂f∂y

(0, 0)(y − 0)≈ x+ y.

Usando a aproximação linear temos

f(0.1, 0.2) ≈ 0.1 + 0.2 = 0.3 e f(1, 1) ≈ 1 + 1 = 2.De facto,

f(0.1, 0.2) = 0.3208096066... e f(1, 1) = 3.559752813...

ou seja, a primeira aproximação é bastante melhor do que a segunda.Tal deve-se ao facto de a distância de (0.1, 0.2) a (0, 0) ser menor doque a distância de (1, 1) a (0, 0).



Uma função f : D ⊆ Rn → R diz-se diferenciável num ponto interiora = (a1, . . . , an) de D se existirem todas as derivadas parciais de f noponto a e uma função r : D∗ → R, onde

D∗ = {h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn : a+ h ∈ D} ,tal que

lim‖h‖→0

r(h)‖h‖ = 0

e

f(a+ h) = f(a) +∂f

∂x1(a)h1 + · · · +

∂f

∂xn(a)hn + r(h),

isto é,f(a1 + h1, . . . , an + hn)

= f(a1, . . . , an) +∂f

∂x1(a1, . . . , an)h1 + · · · +

∂f

∂xn(a1, . . . , an)hn + r(h1, . . . , hn),

para cada vector h = (h1, . . . , hn) ∈ D∗.



Tal como acontecia para funções de R2 para R, se f é diferenciável ema ∈ D, então f é contínua em a.



Uma função f : D ⊆ Rn → Rm, com f = (f1, . . . , fm), diz-sediferenciável num ponto a = (a1, . . . , an) interior a D se todas asfunções f1, . . . , fm são diferenciáveis em a.Assim, f é diferenciável em a se as funções f1, . . . , fm admitem, noponto a, derivadas parciais em relação a todas as variáveis e existemfunções r1, . . . , rm : D∗ → R tais que

f1(a+ h) = f1(a) +∂f1∂x1

(a)h1 + · · · +∂f1∂xn

(a)hn + r1(h)

...

fm(a+ h) = fm(a) +∂fm∂x1

(a)h1 + · · · +∂fm∂xn

(a)hn + rm(h)

para cada h = (h1, . . . , hn) ∈ D∗ = {h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn : a+ h ∈ D}e

lim‖h‖→0

r1(h)‖h‖ = · · · = lim‖h‖→0

rm(h)‖h‖ = 0.



Usando matrizes temos que f é diferenciável em a = (a1, . . . , an) se e sóse as funções f1, . . . , fm admitem, no ponto a, derivadas parciais emrelação a todas as variáveis e existem funções r1, . . . , rm : D∗ → R taisque

f1(a+ h)

...

fm(a+ h)

=

f1(a)

...

fm(a)

+

∂f1∂x1

(a) · · · ∂f1∂xn

(a)

.... . .

...∂fm∂x1

(a) · · · ∂fm∂xn

(a)

.

h1

...

hn

+

r1(h)

...

rm(h)

para cada h ∈ D∗ e

lim‖h‖→0

r1(h)‖h‖ = · · · = lim‖h‖→0

rm(h)‖h‖ = 0.



A matriz

Ja(f) =

∂f1∂x1

(a) · · · ∂f1∂xn

(a)

.... . .

...∂fm∂x1

(a) · · · ∂fm∂xn

(a)

diz-se a matriz jacobiana de f no ponto a.

Quando f é diferenciável em a a matriz jacobiana de f em a designa-sepor derivada de f no ponto a e representa-se por

f ′(a) ou Df(a).

Quando n = m, o determinante de J diz-se o jacobiano da função f erepresenta-se por

∂ (f1, . . . , fn)∂ (x1, . . . , xn)

.



Propriedades

a) Se f, g : D ⊆ Rn → Rm são diferenciáveis num ponto a interior a D,entãoi) f + g é diferenciável em a e

(f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a);

ii) para qualquer λ ∈ R, λf é diferenciável em a e

(λf)′(a) = λf ′(a).



Propriedades

b) Se f, g : D ⊆ Rn → R são diferenciáveis num ponto a interior a D,entãoi) f.g é diferenciável em a e

(f.g)′(a) = f ′(a)g(a) + f(a)g′(a);

ii) se g(a) 6= 0, fg

é diferenciável em a e

(f

g

)′(a) =

f ′(a)g(a) − f(a)g′(a)[g(a)]2

.



Propriedades

c) Se f : D ⊆ Rn → Rm é diferenciável em a e u = (u1, . . . , un) ∈ Rn,então existe f ′u(a) e

f ′u(a) =[f ′(a)

].u =

∂f1∂x1

(a) · · · ∂f1∂xn

(a)

.... . .

...∂fm∂x1

(a) · · · ∂fm∂xn

(a)

.

u1

...

un

d) Sejam D um subconjunto de Rn e f : D ⊆ Rn → R uma funçãopara a qual existem todas as derivadas parciais. Então f édiferenciável em todos os pontos em que n− 1 dessas derivadasparciais são contínuas. Em particular, se todas as derivadas parciaissão contínuas num ponto, a função é diferenciável nesse ponto.



Dada uma funçãof : D ⊆ Rn → R,

chama-se gradiente de f no ponto a ∈ D, e representa-se por

(∇f) (a) ou (grad f) (a),

ao vector

(∇f) (a) =(∂f

∂x1(a), . . . ,

∂f

∂xn(a))

,

desde que existam todas as derivadas parciais (de primeira ordem) de fno ponto a.



É de notar que se f : D ⊆ Rn → R é uma função diferenciável numponto a interior a D, a propriedade c) que vimos anteriormente fica

f ′u(a) =[∂f

∂x1(a) · · · ∂f

∂xn(a)]

·

u1

...

un

=∂f

∂x1(a)u1 + · · · +

∂f

∂xn(a)un.

Recordando que dados b = (b1, . . . , bn) e c = (c1, . . . , cn) em Rn, oproduto escalar ou interno entre b e c é dado por

〈b, c〉 = b1c1 + b2c2 + · · · + bncn,

tem-se

f ′u(a) =∂f

∂x1(a)u1 + · · · +

∂f

�

cálculo ii engenharia...

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