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Universidade Federal de Minas Gerais
Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo
Rutyele Ribeiro Caldeira
CAacuteLCULO EM ACcedilAtildeO MODELAGEM E PARCERIAS
possibilidades para aprendizagens expansivas
em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias
Belo Horizonte
2014
Rutyele Ribeiro Caldeira
CAacuteLCULO EM ACcedilAtildeO MODELAGEM E PARCERIAS
possibilidades para aprendizagens expansivas
em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias
Tese apresentada ao Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em
Educaccedilatildeo da Faculdade de Educaccedilatildeo da
Universidade Federal de Minas Gerais como
requisito parcial para obtenccedilatildeo do tiacutetulo de Doutora
em Educaccedilatildeo
Linha de Pesquisa Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Orientadora Profa Dra Jussara de Loiola Arauacutejo
Belo Horizonte
2014
C146c T
Caldeira Rutyele Ribeiro 1982- Caacutelculo em accedilatildeo modelagem e parcerias possibilidades para aprendizagens expansivas em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias Rutyele Ribeiro Caldeira - Belo Horizonte 2014 229 f enc il Tese - (Doutorado) - Universidade Federal de Minas Gerais Faculdade de Educaccedilatildeo Orientadora Jussara de Loiola Arauacutejo Bibliografia f 220-229 1 Educaccedilatildeo -- Teses 2 Engenharia -- Estudo e ensino -- Teses 3 Engenheiros -- Ensino profissional -- Teses 4 Calculo -- Estudo e ensino -- Teses I Tiacutetulo II Arauacutejo Jussara de Loiola III Universidade Federal de Minas Gerais Faculdade de Educaccedilatildeo CDD- 620007
Catalogaccedilatildeo da Fonte Biblioteca da FaEUFMG
Universidade Federal de Minas Gerais
Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo
Tese intitulada ldquoCaacutelculo em accedilatildeo modelagem e parcerias possibilidades para aprendizagens
expansivas em um contexto de formaccedilatildeo em Engenhariasrdquo de autoria da doutoranda Rutyele
Ribeiro Caldeira aprovada pela banca examinadora constituiacuteda pelos seguintes professores
__________________________________________________
Profa Dra Jussara de Loiola Arauacutejo ndash ICExUFMG ndash orientadora
__________________________________________________
Profa Dra Maria Manuela Martins Soares David ndash FaEUFMG
__________________________________________________
Profa Dra Teresinha Fumi Kawasaki ndash FaEUFMG
__________________________________________________
Profa Dra Lourdes Maria Werle de Almeida ndash UEL
__________________________________________________
Profa Dra Sueli Liberatti Javaroni ndash UNESP
__________________________________________________
Prof Dr Francisco Acircngelo Coutinho ndash FaEUFMG ndash suplente
__________________________________________________
Prof Dr Dilhermando Ferreira Campos ndash UFOP ndash suplente
Belo Horizonte 27 de agosto de 2014
A Deus
aos meus pais Joseacute e Mirnaacute
ao meu amor Luciano e
ao priacutencipe da minha vida ndash
meu filho Matheus
Com muito amor
AGRADECIMENTOS
A Deus Pai de toda bondade compaixatildeo amor e sabedoria criador de nossas
vidas do ceacuteu e da terra parceiro de todos os momentos poderoso mestre dos mestres rei dos
reis Obrigada por ter me permitido chegar ateacute aqui por ter me dado forccedilas nos momentos
difiacuteceis
Agrave professora Jussara de Loiola Arauacutejo por toda orientaccedilatildeo pelos encontros e
desencontros pelos debates pelas possibilidades de formaccedilatildeo como pesquisadora por ter sido
tatildeo compreensiacutevel nos momentos difiacuteceis e por ter me ajudado a superaacute-los
Aos membros da banca de qualificaccedilatildeo professoras Manuela Martins Soares
David e professora Lourdes Maria Werle de Almeida pela leitura e importantes
contribuiccedilotildees sugestotildees
Ao professor Orlando Aguiar Filho por ter sido parecerista do meu projeto de
pesquisa
Aos membros do Grupo de Pesquisa e Estudos Histoacuterico-Culturais em Educaccedilatildeo
Matemaacutetica e em Ciecircncias do qual faccedilo parte desde o ano de 2010 por terem me ajudado na
construccedilatildeo de entendimentos acerca da Teoria da Atividade e por terem contribuiacutedo com
criacuteticas e sugestotildees para o desenvolvimento desta pesquisa
A todos os professores que tive em minha vida em especial aos professores
Oliacutempio Hiroshi Miyagaki e Margareth Alves por me ensinarem muitas matemaacuteticas e por
terem me motivado a seguir nos estudos de poacutes-graduaccedilatildeo
Agrave querida professora Rosilene Horta Tavares por ter me ajudado a entender
melhor a sociedade atual e as relaccedilotildees que nela estatildeo permeadas
Agrave querida amiga Nilza Helena por ter sido tatildeo companheira e por ter cuidado de
Matheus no estacionamento da FaE com tanto carinho e amor enquanto eu assistia agraves aulas
Ao meu marido Luciano Nascimento Moreira por ter sido tatildeo amoroso
carinhoso e paciente e por me trazer tantas felicidades Muito obrigada Eu te amo demais da
conta
Ao meu filho Matheus Caldeira Moreira por ter sido tatildeo compreensiacutevel nos
momentos que precisava me dedicar agrave tese e por me trazer tantas alegrias Mamatildee te ama
muito priacutencipe
Aos meus pais Joseacute Caldeira e Mirnaacute Caldeira (in memoriam) pelo apoio e amor
incondicional Sei que sempre estiveram e sempre estaratildeo me abenccediloando onde quer que
estejam ndash na terra ou no ceacuteu
Agrave minha irmatilde gecircmea Josyele Ribeiro Caldeira por ser tatildeo companheira e
presente em minha vida e pelos momentos de debates teoacutericos
Aos meus queridos filhos adotivos Anina Cristina Darinha Cristina e Sininho
Cristina pela incansaacutevel companhia ateacute altas horas da madrugada sempre alegrando os
momentos de intenso estudo
Agrave querida amiga Margarete von Muumlhlen Poll pela revisatildeo do projeto de
doutorado
Agrave professora Maria da Conceiccedilatildeo por ter me aceitado no ano de 2010 como aluna
de disciplina isolada
A todos os colegas e professores da Faculdade de Educaccedilatildeo da UFMG pelo
compartilhamento de saberes e experiecircncias
Aos servidores da secretaria da Poacutes-Graduaccedilatildeo da Faculdade de Educaccedilatildeo da
UFMG pela disponibilidade e atenccedilatildeo
Aos professores e alunos da UNIFEI-Itabira pela colaboraccedilatildeo e dedicaccedilatildeo agrave
construccedilatildeo dos dados desta pesquisa
Aos colegas do grupo de orientaccedilatildeo por terem me recebido de braccedilos abertos e
por sempre me ajudarem nas leituras e criacuteticas dos meus textos
As minhas amigas de infacircncia Graziela Fernanda Maxi Luciana e Vacircnia por
terem sido tatildeo compreensivas nos momentos de isolamento social e por sempre acreditarem
em nossa amizade
A minha cunhada Luciana Nascimento Moreira pelo apoio incondicional e por ter
nos abrigado em BH
A todos vocecircs agradeccedilo imensamente
Valeu
Adeacutelia Prado
Com licenccedila poeacutetica
Quando nasci um anjo esbelto
desses que tocam trombeta anunciou
vai carregar bandeira
Cargo muito pesado pra mulher
esta espeacutecie ainda envergonhada
Aceito os subterfuacutegios que me cabem
sem precisar mentir
Natildeo sou tatildeo feia que natildeo possa casar
acho o Rio de Janeiro uma beleza e
ora sim ora natildeo creio em parto sem dor
Mas o que sinto escrevo Cumpro a sina
Inauguro linhagens fundo reinos
mdash dor natildeo eacute amargura
Minha tristeza natildeo tem pedigree
jaacute a minha vontade de alegria
sua raiz vai ao meu mil avocirc
Vai ser coxo na vida eacute maldiccedilatildeo pra homem
Mulher eacute desdobraacutevel Eu sou
RESUMO
Esta tese apresenta a gecircnese e o desenvolvimento de uma pesquisa que buscou compreender
as possibilidades de aprendizagens expansivas que podem ser evidenciadas nas e pelas
atividades desenvolvidas por um Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica -
GEPMM em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias Ancorada nos aportes da teoria
histoacuterico-cultural da atividade e da aprendizagem expansiva a investigaccedilatildeo objetivou o
estabelecimento de um diaacutelogo com teoacutericos que discutem Modelagem na Educaccedilatildeo
Matemaacutetica focando nos contextos de formaccedilatildeo em Engenharia Os desdobramentos da
pesquisa foram norteados pela abordagem qualitativa por meio de uma intervenccedilatildeo formativa
proposta por Engestroumlm e Sannino (2010b) caracterizada pela constituiccedilatildeo do GEPMM que
se engendrou baseado na premissa de que os conteuacutedos das disciplinas de Caacutelculo ocupam
lugar de ferramentas ou instrumentos necessaacuterios para a formaccedilatildeo em Engenharia ndash um
Caacutelculo em accedilatildeo Com isso o GEPMM se configurou como um espaccedilo formativo alternativo
A construccedilatildeo dos dados para a presente investigaccedilatildeo se deu por meio de observaccedilotildees
entrevistas registro de diaacuterio de campo e mensagens eletrocircnicas O processo de anaacutelise e
interpretaccedilatildeo dos dados construiacutedos foi desenvolvido com base no proacuteprio processo de
constituiccedilatildeo do GEPMM como um ciclo de accedilotildees potencialmente expansivas
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b) que possibilitou o preenchimento da ldquomatrizrdquo para
anaacutelise da aprendizagem expansiva (ENGESTROumlM 2001) Os dados construiacutedos fizeram
emergir quatro modalidades analiacuteticas A constituiccedilatildeo do referido espaccedilo formativo
alternativo ndash GEPMM - ampliou as possibilidades de interaccedilotildees entre os sujeitos e os
respectivos objetos de suas muacuteltiplas atividades possibilitando aprendizagens expansivas que
se manifestaram como 1) transposiccedilatildeo de fronteiras e construccedilatildeo de redes ndash parcerias 2)
movimento na zona de desenvolvimento proximal da atividade docente-discente 3)
transformaccedilotildees qualitativas do objeto da atividade de modelagem matemaacutetica 4) ciclos de
accedilotildees potencialmente expansivas Ao analisar a referida intervenccedilatildeo formativa observa-se
ainda subsiacutedios necessaacuterios para considerar que o engajamento nas atividades do GEPMM
pode de fato representar significativas contribuiccedilotildees para a formaccedilatildeo continuada de
professores em suas proacuteprias praacuteticas ampliando assim os respectivos horizontes de atuaccedilatildeo
nas mais diversas dimensotildees cotidianas de trabalho
Palavras-Chave Teoria da Atividade Aprendizagem Expansiva Modelagem Matemaacutetica
Educaccedilatildeo em Engenharia Caacutelculo em Accedilatildeo Parcerias
ABSTRACT
This thesis presents the genesis and development of a research aimed to understand the
possibilities of expansive learning that can be evidenced in and by the activities developed by
a Group of Studies and Research in Mathematical Modeling - GSRMM in a context of
formation in Engineering Anchored in the contributions of the Historical-Cultural Activity
Theory and Expansive Learning this research aimed to establish a dialogue with theorists
who argue Modeling in Mathematics Education focusing on formation contexts in
Engineering The developments of the research were guided by the qualitative approach
through a formative intervention proposed by Engestroumlm and Sannino (2010) characterized
by the constitution of GSRMM in the context of formation in Engineering The GSRMM it
engender based on the premise that the disciplines of Calculus take place of tools or
instruments necessary for formation in Engineering - A calculus in action With this the
GSRMM appears as an alternative formation space in the context of formation in
Engineering The construction of the data for this research was happened by observations
interviews record field diary and email messages The process of analysis and interpretation
of data built was developed based on the process of formation of GSRMM as a potentially
expansive cycle of actions (ENGESTROM SANNINO 2010) which enabled the completion
of the matrix for the analysis of the expansive learning (ENGESTROM 2001) The data
constructed made emerge four analytical methods in an attempt to understand the possibilities
of expansive learning which can be evidenced in and by a GSRMM activities in the context
of formation in Engineering The constitution of that alternative formation space (GSRMM)
expanded the possibilities of interactions between subjects and their objects of its multiple
activities enabling expansive learning which manifested as 1) across boundaries and
building networks - partnerships 2) move the zone of proximal development of teacher-
student activity 3) qualitative transformations of the object of the activity of mathematical
modeling 4) cycles of potentially expansive actions Analyzing this formation intervention it
is observed also grants necessary to consider that engaging in activities GSRMM may
indeed represent an important role in the continuing education of teachers in their own
practices thus expanding their horizons of action in various dimensions of everyday work
Keywords Activity Theory Expansive Learning Mathematical Modeling Education in
Engineering Calculus in Action Partnerships
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 ndash A estrutura de um sistema de atividade humana 36
FIGURA 2 ndash Os interdependentes sistemas de atividade de estudantes e professor 38
FIGURA 3 ndash Sumaacuterio da generalizaccedilatildeo teoacuterica de Davydov 48
FIGURA 4 ndash Sequecircncia de accedilotildees de aprendizagem em um ciclo de aprendizagem
expansiva 57
FIGURA 5 ndash Os interdependentes sistemas de atividade de estudantes e professor(es)
engajados em atividades (escolares) de Modelagem Matemaacutetica 86
FIGURA 6 ndash Visualizaccedilatildeo da caixa-preta e suas possiacuteveis associaccedilotildees a outras caixas-
pretas 93
Tabela 1 - Matriz para anaacutelise da aprendizagem expansiva 106
FIGURA 7 ndash Paacutegina inicial site UNIFEI-Itabira 109
FIGURA 8 ndash Interconectados sistemas de atividade de professores e estudantes que tem
como objeto a apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos do livro de Caacutelculo 125
QUADRO 1 ndash ldquoEquaccedilotildees utilizadas para o caacutelculo do gasto energeacutetico (GET) segundo a
teacutecnica da aacutegua duplamente marcadardquo 146
QUADRO 2 ndash ldquoMatrizrdquo para anaacutelise da aprendizagem expansiva 169
SUMAacuteRIO
SUMAacuteRIO 12
INTRODUCcedilAtildeO A GEcircNESE E OS DESDOBRAMENTOS DA PESQUISA 13
Consideraccedilotildees iniciais necessaacuterias agrave formulaccedilatildeo da pesquisa 13
Desdobramentos da proposiccedilatildeo da pesquisa 21
Estrutura da tese 27
1 ATIVIDADES FORMATIVAS Agrave LUZ DA TEORIA HISTOacuteRICO- CULTURAL DA
ATIVIDADE E DA APRENDIZAGEM EXPANSIVA 29
11 Meacutetodo da ascensatildeo do abstrato ao concreto de Davydov 45
12 A participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima de Lave 48
13 Aprendizagem expansiva 49
2 CAacuteLCULO E MODELAGEM NA ENGENHARIA CONCEPCcedilOtildeES
PERSPECTIVAS E A ATUAL FORMACcedilAtildeO DO ENGENHEIRO 62
21 Diretrizes Curriculares para a formaccedilatildeo de engenheiros no Brasil 62
22 Caacutelculo em cursos de Engenharia 65
23 Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica concepccedilotildees e perspectivas 70
24 Revisatildeo de literatura sobre pesquisas de Modelagem em Caacutelculo na Educaccedilatildeo em
Engenharia delineando o espaccedilo da presente pesquisa 78
25 Concepccedilatildeo de uma atividade de Modelagem Matemaacutetica assumida em um contexto
de formaccedilatildeo em Engenharias 82
26 Abertura de caixas-pretas como accedilotildees estrateacutegicas com vistas agraves possibilidades de
aprendizagens expansivas relacionadas agraves transformaccedilotildees do objeto de uma atividade de
Modelagem Matemaacutetica 87
3 METODOLOGIA DE PESQUISA E PROCEDIMENTOS 97
31 Por que a abordagem eacute qualitativa 97
32 Qual eacute o contexto e quem satildeo os sujeitos 100
33 Quais foram os procedimentos de construccedilatildeo dos dados 102
331 A constituiccedilatildeo do GEPMM e observaccedilatildeo participante em suas atividades 102
332 As entrevistas iniciais e as finais com os integrantes do GEPMM 104
34 Quais instrumentos foram usados para a anaacutelise 105
35 A formaccedilatildeo do GEPMM pode ser caracterizada como uma intervenccedilatildeo formativa
106
36 O contexto institucional e as aulas de Caacutelculo 108
37 As atividades do GEPMM e os sujeitos envolvidos 111
371 Angel 112
372 Clarice 116
373 Robson 117
374 Taty 119
375 Joseacute 120
376 Pedro 121
4 OS DADOS CONSTRUIacuteDOS E ANALISADOS A CONSTITUICcedilAtildeO DO GEPMM
COMO CICLO DE ACcedilOtildeES POTENCIALMENTE EXPANSIVAS 124
41 Constituiccedilatildeo do GEPMM possibilidades para aprendizagens expansivas 126
411 Interrogatoacuterio 126
412 Anaacutelise da situaccedilatildeo 129
413 Modelagem 132
414 Examinando o novo modelo 133
415 Implementando o novo modelo ndash o GEPMM 136
4151 Os encontros 137
41511 Primeiro encontro 137
41512 Segundo encontro 140
41513 Terceiro encontro 144
41514 Quarto encontro 147
41515 Quinto encontro 149
41516 Sexto encontro 152
41517 Seacutetimo encontro 153
41518 Oitavo encontro 154
41519 Nono encontro 159
415110 Deacutecimo encontro 164
4152 Dando continuidade agraves accedilotildees potencialmente expansivas 166
416 Refletindo sobre o processo 166
417 Consolidando seus resultados em uma nova forma de praacutetica 168
5 MODALIDADES ANALIacuteTICAS 170
51 Primeira modalidade ndash Dialeacutetica da existecircncia da tela invisiacutevel GEPMM como
possibilidade para aprendizagem expansiva por meio da construccedilatildeo de parceria
docente-discente em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias 171
52 Segunda modalidade ndash Os sujeitos a multi-agency e as muacuteltiplas atividades
possibilidade para aprendizagem expansiva como movimento na zona de
desenvolvimento proximal das atividades docente-discente mediante a formaccedilatildeo de
parcerias 178
53 Terceira modalidade ndash Modelagem e a caixa-preta do ldquopeso corporal idealrdquo num
contexto de formaccedilatildeo em Engenharias do Caacutelculo em accedilatildeo agraves aprendizagens expansivas
como transformaccedilotildees qualitativas do objeto da atividade 189
54 Quarta modalidade ndash Multivocalidade e agency evidenciadas pelas interaccedilotildees
tecnomediadas em atividades de Modelagem Matemaacutetica idealizaccedilotildees desencadeadoras
de aprendizagens potencialmente expansivas em um contexto de formaccedilatildeo em
Engenharias 210
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 218
13
INTRODUCcedilAtildeO A GEcircNESE E OS DESDOBRAMENTOS DA PESQUISA
Neste capiacutetulo procuro delimitar os objetivos e a relevacircncia desta pesquisa a
partir de reflexotildees que surgiram da minha experiecircncia como professora das disciplinas de
Caacutelculo que compotildeem as grades curriculares dos cursos de Engenharia das minhas leituras a
respeito dos processos de ensino e de aprendizagem das disciplinas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia e das leituras proporcionadas pela minha inserccedilatildeo em grupos de estudos e
pesquisa1
Consideraccedilotildees iniciais necessaacuterias agrave formulaccedilatildeo da pesquisa
Atuo como docente do Centro Federal de Educaccedilatildeo Tecnoloacutegica de Minas Gerais
(CEFET-MG) Unidade Timoacuteteo (MG) desde janeiro de 2009 Nessa instituiccedilatildeo sou
responsaacutevel por lecionar disciplinas de Caacutelculo que compotildeem a grade curricular do curso de
Engenharia de Computaccedilatildeo
As disciplinas de Caacutelculo que geralmente compotildeem as grades curriculares dos
cursos de Engenharia perfazem conteuacutedos de uma aacuterea da Matemaacutetica chamada de Caacutelculo
Diferencial e Integral que abarca toacutepicos relacionados ao estudo de funccedilotildees de uma ou vaacuterias
variaacuteveis e vetoriais assim como limites derivadas integrais de funccedilotildees de uma ou vaacuterias
variaacuteveis reais e suas respectivas aplicaccedilotildees2 No CEFETndashMGTimoacuteteo por exemplo tais
conteuacutedos satildeo estudados nas disciplinas de Caacutelculo I e II Aleacutem delas a disciplina de Caacutelculo
III engloba os conteuacutedos das Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias e a disciplina de Caacutelculo IV
engloba os conteuacutedos de Sequecircncias Seacuteries e Transformada de Fourier Jaacute na Universidade
Federal de Itajubaacute em Itabira (UNIFEI-Itabira) as disciplinas que se dedicam a estudar os
conteuacutedos apontados anteriormente satildeo chamadas de Matemaacutetica ndash 0 I III IV V VI Os
1 Grupo de Pesquisa e Estudos Histoacuterico-Culturais em Educaccedilatildeo Matemaacutetica e Ciecircncias da Faculdade de
Educaccedilatildeo (FaE) da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) e Grupo de Estudos e Pesquisa em Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Modelagem e Tecnologias do Departamento de Matemaacutetica da UFMG 2 Com isso no presente texto quando me refiro agraves disciplinas de Caacutelculo em um contexto de formaccedilatildeo em
Engenharia estou fazendo referecircncia a qualquer disciplina eou conteuacutedos que satildeo englobados nas respectivas
grades curriculares eou ementas que se destinam ao estudo dos toacutepicos apontados no paraacutegrafo anterior
incluindo portanto os conteuacutedos de Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias Sequecircncias Seacuteries e Transformada de
Fourier
14
conteuacutedos de Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias por exemplo satildeo estudados no Caacutelculo III do
CEFET-MGTimoacuteteo e na Matemaacutetica IV da UNIFEI-Itabira
No primeiro semestre de 2009 lecionei a disciplina Caacutelculo I para os ingressantes
do curso de Engenharia de Computaccedilatildeo do CEFET-MG Unidade Timoacuteteo Em muitos
momentos durante o desenvolvimento dessa disciplina os alunos questionavam acerca da
relevacircncia da referida disciplina para a formaccedilatildeo do engenheiro contemporacircneo Eles
questionavam o real objetivo da disciplina e sempre se mostravam desmotivados em aprender
os conteuacutedos Reclamavam que natildeo tinham a formaccedilatildeo Matemaacutetica Baacutesica necessaacuteria para a
compreensatildeo dos conceitos do Caacutelculo que para eles eram muito difiacuteceis de serem
compreendidos Uma fala ainda era recorrente nos diaacutelogos que ocorriam durante as aulas a
possibilidade de uso dos softwares matemaacuteticos como algo que pudesse ldquosubstituirrdquo o estudo
tradicional do Caacutelculo o que para eles poderia minimizar os esforccedilos de aprendizagem
Dullius Arauacutejo e Veit (2011 p 18) enfatizam que tais questionamentos satildeo frequentemente
apontados por alunos dos cursos de Engenharia Nas palavras das autoras
Trabalhando haacute 10 anos com o ensino de Caacutelculo Diferencial e Integral nos cursos
de Engenharia (de Computaccedilatildeo de Automaccedilatildeo e Controle de Produccedilatildeo e
Ambiental) e Quiacutemica Industrial notamos a insatisfaccedilatildeo dos alunos por natildeo
perceberem importacircncia desse conteuacutedo para o seu curso A cada nova turma
repetem-se os questionamentos por que fazer a matildeo essas contas enormes se
existem maacutequinas para isso Por que ldquodecorarrdquo tantas foacutermulas se o dia que precisar
posso buscar em livros ou na internet Por que preciso saber tudo isto afinal
Naquele semestre de 2009 optei por utilizar um trabalho de aplicaccedilatildeo3 realizado
em dupla como uma das formas de avaliaccedilatildeo da disciplina No trabalho objetivei que o
Caacutelculo pudesse assumir um sentido mais uacutetil no curso de Engenharia o que a meu ver
poderia possibilitar um menor distanciamento entre os conceitos do Caacutelculo e as demais
disciplinas que compotildeem a grade curricular dos cursos de Engenharia Sendo assim os
motivos pelos quais essa disciplina estaacute presente nos cursos de Engenharia poderiam se tornar
mais ldquovisiacuteveisrdquo ou perceptiacuteveis para os alunos Aleacutem disso aquele trabalho foi tambeacutem uma
tentativa de mostrar aos alunos que os conceitos estudados na disciplina eram realmente
importantes e necessaacuterios para a formaccedilatildeo do engenheiro e mais do que isso para sua
formaccedilatildeo cidadatilde
3 Pedi que eles procurassem e encontrassem algum problema oriundo de qualquer aacuterea natildeo Matemaacutetica que
pudesse ser solucionado com o auxiacutelio do conteuacutedo abordado naquela disciplina durante o semestre letivo Tal
problema deveria ser de interesse dos alunos que formavam a dupla e se possiacutevel que tivesse alguma relaccedilatildeo ao
curso de Engenharia da Computaccedilatildeo ndash contexto de formaccedilatildeo em questatildeo
15
Poreacutem meus objetivos foram parcialmente satisfeitos A proposta do trabalho
consistia na procura de um problema de natureza natildeo Matemaacutetica que pudesse ser resolvido
por meio da Matemaacutetica e que a soluccedilatildeo fosse interpretada por meio da linguagem do mundo
real Os alunos tinham a liberdade de procurarem inclusive problemas que jaacute estivessem
resolvidos em algum livro ou site restando apenas a tarefa de entender o problema sua
respectiva soluccedilatildeo e apresentar o entendimento no dia estipulado para tal Contudo os alunos
apresentaram dificuldades para a realizaccedilatildeo do trabalho Alguns deles sugeriram que o
trabalho fosse cancelado e que a nota fosse atribuiacuteda agrave uacuteltima prova da disciplina Muitos
apresentaram dificuldades de entendimento quanto ao processo de formulaccedilatildeo do problema
em termos matemaacuteticos (construir expressotildees matemaacuteticas que representassem o problema)
Para eles depois de encontrar a ldquofoacutermulardquo a dificuldade desaparecia pois bastava aplicar
algum meacutetodo ou teacutecnica jaacute estudados na disciplina como por exemplo derivar ou integrar
uma funccedilatildeo
Naquele momento percebi que os alunos demonstravam dificuldades em
matematizar problemas de outras realidades ou seja (re)formular e resolver o problema
matematicamente interpretando sua soluccedilatildeo natildeo apenas matematicamente mas sobretudo no
contexto do qual o problema se originou Desde entatildeo comecei a pensar o que poderia ser
feito para tentar sanar tais dificuldades
Com base em minha experiecircncia como professora de Caacutelculo em cursos de
Engenharia fiquei instigada em compreender qual seria o papel do uso das aplicaccedilotildees de
Caacutelculo na formaccedilatildeo do engenheiro aleacutem de conhecer outras estrateacutegias metodoloacutegicas que
poderiam ser utilizadas para promover uma aprendizagem que possibilitasse a motivaccedilatildeo dos
estudantes por meio da busca pelo entendimento dos conceitos da disciplina focando o
aspecto do uso de tais conceitos em situaccedilotildees oriundas de realidades que natildeo fossem
puramente matemaacuteticas Busquei entatildeo por leituras que pudessem me ajudar nessa
caminhada
Ainda em 2009 visando minimizar as inquietaccedilotildees vividas por mim nas aulas de
Caacutelculo que ministrava no curso de Engenharia de Computaccedilatildeo li alguns artigos e relatos de
experiecircncia Estudei tambeacutem o livro Ensino-aprendizagem com modelagem matemaacutetica
uma nova estrateacutegia de Rodney Bassanezi (BASSANEZI 2006) No referido livro a
Modelagem Matemaacutetica pode ser compreendida como a
arte de transformar problemas da realidade em problemas matemaacuteticos e resolvecirc-los
interpretando suas soluccedilotildees na linguagem do mundo real [] A modelagem
pressupotildee multidisciplinariedade E nesse sentido vai ao encontro das novas
16
tendecircncias que apontam para a remoccedilatildeo de fronteiras entre as diversas aacutereas de
pesquisa (BASSANEZI 2006 p 16)
Aleacutem disso Bassanezi (2006 p 17) afirma que ldquoa modelagem matemaacutetica em
seus vaacuterios aspectos eacute um processo que alia teoria e praacutetica motiva seu usuaacuterio na procura do
entendimento da realidade que o cerca e na busca de meios para agir sobre ela e transformaacute-
lardquo
A Modelagem Matemaacutetica realizada em contextos de Educaccedilatildeo Matemaacutetica difere
da Modelagem Matemaacutetica praticada por profissionais da Matemaacutetica Aplicada Barbosa
(2003) por exemplo entende que a sala de aula configura um ambiente mais complexo onde
inuacutemeras variaacuteveis estatildeo em jogo tais como os objetivos pedagoacutegicos a dinacircmica de trabalho
e a natureza das discussotildees matemaacuteticas Arauacutejo (2002) por sua vez destaca que para os
matemaacuteticos aplicados o trabalho com Modelagem Matemaacutetica tem por objetivo resolver
algum problema natildeo matemaacutetico enquanto no acircmbito da Educaccedilatildeo Matemaacutetica seu objetivo
principal se concentra na formaccedilatildeo matemaacutetica dos alunos ao serem convidados a explorar
matematicamente situaccedilotildees natildeo matemaacuteticas
Um dos argumentos favoraacuteveis agrave inserccedilatildeo da Modelagem4 nas praacuteticas de ensino
mais apresentado pelos estudiosos da aacuterea de Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica consiste
na preparaccedilatildeo para a utilizaccedilatildeo da matemaacutetica em diferentes aacutereas ou seja ldquoos alunos teriam
a oportunidade de desenvolver a capacidade de aplicar matemaacutetica em diversas situaccedilotildees o
que eacute desejaacutevel para moverem-se no dia-a-dia e no mundo do trabalhordquo (BARBOSA 2003 p
3) Considerando minha atuaccedilatildeo como docente das disciplinas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia percebi que a Modelagem Matemaacutetica poderia ser utilizada na tentativa de
propiciar uma melhor formaccedilatildeo matemaacutetica em termos de aplicabilidadeusabilidade para os
alunos de Engenharia respondendo assim aos questionamentos dos alunos sobre os papeacuteis
de tais conteuacutedos na respectiva formaccedilatildeo profissional
No primeiro semestre de 2010 com a intenccedilatildeo de elaborar um projeto de
doutorado que visasse agrave compreensatildeoanaacutelise das possibilidades de ensino-aprendizagem por
meio da Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia procurei por disciplinas oferecidas
pelo programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo da UFMG especificamente da linha da
Educaccedilatildeo Matemaacutetica Cursei uma disciplina da linha Educaccedilatildeo Matemaacutetica denominada
Letramento e Numeramento teorias e praacuteticas Nessa disciplina pude refletir acerca de
questotildees relacionadas agrave Educaccedilatildeo Matemaacutetica o que me ajudou a construir o projeto
4 No texto que segue agraves vezes o termo Modelagem seraacute utilizado com referecircncia agrave Modelagem Matemaacutetica
apenas para evitar repeticcedilotildees desnecessaacuterias
17
requerido para o ingresso no Programa da mesma instituiccedilatildeo Participei do processo seletivo e
em agosto de 2010 ingressei no doutorado No projeto inicial a pergunta diretriz era5
De que forma a Modelagem Matemaacutetica aliada a recursos computacionais pode inter-
relacionar a disciplina de Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias6 agraves demais disciplinas
lsquoteacutecnicasrsquo dos cursos de Engenharia
Em todo o ano de 2010 lecionei a disciplina Caacutelculo III que no CEFET-MG
engloba os conteuacutedos das Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias (EDOs) Minha preocupaccedilatildeo
inicial estava focada na inter-relaccedilatildeo da disciplina EDO com as demais disciplinas
denominadas teacutecnicas dos cursos de Engenharia Meu entendimento estava alicerccedilado na
concepccedilatildeo de que as EDOs satildeo por definiccedilatildeo aplicaccedilotildees dos conteuacutedos do Caacutelculo I ndash
limites derivadas e integrais de funccedilotildees reais de uma variaacutevel real Conforme Habre (2002 p
2) ldquoEquaccedilotildees Diferenciais satildeo lindas aplicaccedilotildees de ideias e teacutecnicas do Caacutelculo para
solucionar vaacuterios problemas da vida realrdquo7 Tinha tambeacutem a intenccedilatildeo de considerar a
utilizaccedilatildeo de recursos tecnoloacutegicos computacionais em trabalhos com Modelagem
Matemaacutetica jaacute que ldquohaacute uma certa harmonia na parceria entre a Modelagem Matemaacutetica e
tecnologias informaacuteticas Parece haver uma solicitaccedilatildeo natural pelo uso de computadores eou
calculadoras quando se estaacute desenvolvendo algum trabalho de Modelagem Matemaacuteticardquo
(ARAUacuteJO 2002 p 43)
A maioria dos livros didaacuteticos8 atuais que trata das EDOs as concebe como entes
matemaacuteticos abstratos que podem ser aplicados em vaacuterios ramos da ciecircncia Os autores em
5 ldquoUm dos momentos cruciais no desenvolvimento de uma pesquisa eacute o estabelecimento da pergunta diretriz Eacute
ela que como o proacuteprio nome sugere iraacute dirigir o desenrolar de todo o processo [] elaborar ou melhor
construir uma pergunta diretriz eacute um ponto crucial do qual depende o sucesso da pesquisa [] O processo de
construccedilatildeo da pergunta diretriz de uma pesquisa eacute na maioria das vezes um longo caminho cheio de idas e
vindas mudanccedilas de rumos retrocessos ateacute que apoacutes um certo periacuteodo de amadurecimento surge a pergunta
Um grande problema que percebemos em diversas pesquisas eacute que muitas vezes o caminho natildeo eacute apresentado
pelo autorrdquo (ARAUacuteJO BORBA 2006 p 29 grifo do autores) 6 Na ocasiatildeo da elaboraccedilatildeo do projeto de doutorado estava focada apenas em compreender a Modelagem em
cursos de Engenharia em termos da disciplina Caacutelculo III do CEFET-MG que engloba os conteuacutedos das
Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias que podem ser compreendidas da seguinte forma ldquouma equaccedilatildeo que conteacutem
as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variaacuteveis dependentes em relaccedilatildeo a uma ou mais variaacuteveis
independentes eacute chamada de equaccedilatildeo diferencial (ED)rdquo (ZILL CULLEN 2008 p 2 grifo dos autores)
Equaccedilotildees Diferenciais podem ser classificadas em Ordinaacuterias (EDO) ndash quando envolvem funccedilotildees (e suas
derivadas) de apenas uma variaacutevel ndash ou Parciais (EDP) ndash quando envolvem funccedilotildees (e suas derivadas) de mais
de uma variaacutevel 7 Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoDifferential equations are a beautiful application of the ideas and techniques of
calculus to solve various real life problemsrdquo 8 Por exemplo (i) Boyce e Diprima (1996) (ii) Zill e Cullen (2008) (iii) Edwards e Penney (1996) e (iv) Zill
(1997)
18
geral dedicam parte dos capiacutetulos para o estudo das aplicaccedilotildees das EDOs9 separados do
tratamento teoacuterico A dicotomia teoria-aplicaccedilatildeo difundida nos livros de EDO pode fomentar
um debate sobre as metodologias utilizadas pelos professores em tais disciplinas mediante o
que eacute esperado em termos da formaccedilatildeo matemaacutetica dos alunos das Engenharias
Metodologicamente ao trabalharmos com aplicaccedilotildees podemos assumir um
caraacuteter meramente de resoluccedilatildeo de problemas muitas vezes fictiacutecios inventados pelos autores
dos livros didaacuteticos ou adaptados por eles para apenas justificar o estudo de uma teoria
matemaacutetica ou ainda para tornar os conteuacutedos mais ligados a situaccedilotildees de uma dada
ldquorealidaderdquo Poreacutem ao mesmo tempo em que a matemaacutetica pode se justificar mediante a
apresentaccedilatildeo de um problema ainda que fictiacutecio alguma(s) dificuldade(s) pode(m) emergir
em tal praacutetica quando as hipoacuteteses e simplificaccedilotildees necessaacuterias ao entendimento do problema
natildeo satildeo apresentadas ou explicitadas nos livros didaacuteticos Muito difundido nos livros de EDO
o modelo10
que representa a Lei de Newton do Resfriamento de Corpos11
eacute apresentado sem
levar em conta as hipoacuteteses e simplificaccedilotildees para o entendimento da realidade fiacutesica em
questatildeo representada por meio de um modelo matemaacutetico ndash uma EDO
Habre (2000) entende que as Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias devem existir nos
curriacuteculos pois estabeleceriam o elo entre a Matemaacutetica e as demais Ciecircncias Nesse sentido
Bassanezi (2006 p 35) afirma que ldquoA tocircnica dos cursos de graduaccedilatildeo eacute desenvolver
disciplinas matemaacuteticas lsquoaplicaacuteveisrsquo em especial aquelas baacutesicas que jaacute serviram como
auxiliares na modelagem de fenocircmenos de alguma realidade como Equaccedilotildees Diferenciais
Ordinaacuterias e Parciaisrdquo
No contexto dos cursos de Engenharia a Modelagem Matemaacutetica ao pressupor
multidisciplinaridade vai ao encontro do que Fraga Novaes e Dagnino (2010 p 154)
acreditam que ldquoa formaccedilatildeo em engenharia deve se dar a partir de um problema colocado pela
sociedade e a soluccedilatildeo desse problema natildeo apenas teoricamente mas tambeacutem na praacutetica
colocaria a necessidade de se aprender conhecimentos teoacutericosrdquo
Baldino e Cabral (2004 p 139) acreditam que o ensino de disciplinas
matemaacuteticas em cursos de Engenharia se tornou problema apoacutes a reforma universitaacuteria de
1969 que ldquoaboliu a estrutura de caacutetedras e implantou a de departamentos e institutos baacutesicos
9 A esse respeito ver Boyce e Diprima (1996) capiacutetulo 2 seccedilatildeo 25 ndash Aplicaccedilotildees das Equaccedilotildees Lineares de
Primeira Ordem 10
Segundo Bassanezi (2006 p 19) ldquoquando se procura refletir sobre uma porccedilatildeo da realidade na tentativa de
explicar de entender ou de agir sobre ela ndash o processo usual eacute selecionar no sistema argumentos ou paracircmetros
considerados essenciais e formalizaacute-los atraveacutes de um sistema artificial o modelordquo 11
A ldquoLei de Newton do Resfriamento de Corposrdquo afirma que a taxa de resfriamento de um corpo eacute proporcional
agrave diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente
19
seguindo o modelo vigente nos Estados Unidosrdquo Tal departamentalizaccedilatildeo afastou os
conhecimentos ditos baacutesicos dos profissionais promovendo uma cisatildeo dos conhecimentos
Dessa forma os professores que lecionam as disciplinas de Matemaacutetica muitas vezes natildeo
tecircm conhecimento sobre a necessidade dos conteuacutedos que lecionam para a formaccedilatildeo dos
futuros engenheiros Isso pode ser asseverado pelo fato de raramente tais disciplinas
consideradas do ciclo baacutesico serem relacionadas com as demais tanto aquelas do proacuteprio
ciclo baacutesico quanto aquelas da aacuterea teacutecnica ou profissional
Nesse sentido Baldino e Cabral (2004 p 176) refletem sobre uma situaccedilatildeo em
que foi apresentado um problema de aplicaccedilatildeo de EDO na Fiacutesica um sistema massa-mola
Afirmam que ldquonas universidades departamentalizadas essa lsquomateacuteriarsquo eacute considerada de Fiacutesica
e o professor de matemaacutetica natildeo tem o direito de lsquoensinarrsquo a aplicar a segunda lei de Newtonrdquo
Tal regra embora natildeo exista explicitamente pode permear as praacuteticas pedagoacutegicas das
universidades departamentalizadas podendo ser descumprida por exemplo mediante a
inserccedilatildeo de problemas de outras realidades que sejam solucionados com o auxiacutelio de
ferramentas matemaacuteticas
Em cursos de Engenharia as disciplinas de Caacutelculo podem ser consideradas
disciplinas em serviccedilo (BARBOSA 2004a) Essa expressatildeo eacute usada para designar as
disciplinas matemaacuteticas ministradas em graduaccedilotildees que natildeo satildeo de Matemaacutetica Ou seja
trata-se de disciplinas de conteuacutedo matemaacutetico em cursos que natildeo formam matemaacuteticos (ou
professores de matemaacutetica)
Moreno e Azcaacuterate Gimeacutenez (2003) detectam que natildeo haacute clareza nos objetivos
atuais da disciplina Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias o que dificulta o trabalho dos
professores em atribuiacuterem metas a serem alcanccediladas Como consequecircncia acabam ensinando
conteuacutedos que estatildeo nos curriacuteculos tradicionais mas que hoje perderam seu sentido e sua
razatildeo de ser devido aos avanccedilos tecnoloacutegicos Tais autores percebem ldquoa necessidade de um
debate e seacuteria reflexatildeo sobre a utilidade interesse e importacircncia dos atuais conteuacutedos para um
ensino e aprendizagem mediados pelas novas tecnologias e condicionados pelas demandas
sociaisrdquo12
(MORENO AZCAacuteRATE GIMEacuteMEZ 2003 p 278)
A necessidade de repensar os processos pedagoacutegicos utilizados atualmente por
muitos professores de EDO em cursos de Engenharia bem como a inserccedilatildeo das ferramentas
12 Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquola necesidad de un debate y reflexioacuten seria sobre la utilidad intereacutes e
importancia de los contenidos actuales para un aprendizaje y una ensentildeanza mediatizada por las nuevas
tecnologiacuteas y condicionada por las demandas socialesrdquo
20
disponiacuteveis tambeacutem foi enfatizada em uma pesquisa realizada por Dullius Arauacutejo e Veit
(2011 p 20) que nos fornecem o seguinte posicionamento
Comparando o contexto de ensino das EDs hoje em dia com o que se tinha na
metade do seacuteculo passado percebemos que os tipos de alunos satildeo outros as
necessidades e exigecircncias do mercado de trabalho natildeo satildeo as mesmas assim como
as ferramentas disponiacuteveis mas a maioria das aulas continuam em essecircncia sendo
ministradas da mesma forma Os curriacuteculos precisam ser repensados e os avanccedilos
tecnoloacutegicos considerados
O enfoque frequentemente dado agrave disciplina se baseia na apresentaccedilatildeo de uma
EDO e do seu respectivo meacutetodo de resoluccedilatildeo Habre (2002 p 2) afirma que ldquoequaccedilotildees satildeo
usualmente classificadas e para cada classe um meacutetodo de soluccedilatildeo eacute apresentadordquo13
Tal
enfoque pode ser insuficiente sob a perspectiva da utilidade dos conteuacutedos de tal disciplina
nos cursos de Engenharia Encontrar a soluccedilatildeo expliacutecita da EDO sem fazer outros tipos de
anaacutelises a respeito das equaccedilotildees em si e de possiacuteveis usos como ferramentas para a resoluccedilatildeo
de problemas correlatos aos cursos de Engenharia pode se configurar como algo
contraditoacuterio pois pode levar os alunos a uma preocupaccedilatildeo exclusiva com os meacutetodos de
resoluccedilatildeo deixando de lado o objetivo principal que consistiria no entendimento do processo
(ou fenocircmeno) que gerou determinada EDO assim como interpretar suas soluccedilotildees em
consonacircncia com o fenocircmeno que ela representa
Aleacutem disso como afirma Bassanezi (2006 p 125) ldquosomente um grupo reduzido
de equaccedilotildees diferenciais admite soluccedilatildeo na forma de uma funccedilatildeo analiticamente expliacutecitardquo
Com essa abordagem das EDOs deixam-se de lado vaacuterios enfoques relevantes como o
processo da formulaccedilatildeo de modelos bem como o estudo qualitativo com abordagem
substancialmente geomeacutetrica conforme aponta Javaroni (2007 p 20) em sua tese A autora
afirma
[] que o processo de formulaccedilatildeo dos modelos e a interpretaccedilatildeo das soluccedilotildees ou do
comportamento das soluccedilotildees satildeo tatildeo importantes quanto as teacutecnicas de resoluccedilatildeo das
equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias e que este aspecto deve ser trabalhado para que os
alunos desenvolvam capacidades de anaacutelise e interpretaccedilatildeo A questatildeo da
visualizaccedilatildeo eacute essencial no entendimento dos aspectos dinacircmicos de um curso
introdutoacuterio de equaccedilotildees diferenciais e o entendimento da derivada como variaccedilatildeo
de uma curva eacute central na interpretaccedilatildeo de graacuteficos bem como o comportamento das
soluccedilotildees ao longo do tempo e a existecircncia de um estado de equiliacutebrio
13
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoEquations are usually classified and for each class a method of solution is
presentedrdquo
21
A ecircnfase qualitativa permite uma multiplicidade de possibilidades para uma
melhor exploraccedilatildeo dos conteuacutedos abordados em Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias Contudo
deve-se pontuar que devido agrave complexidade da anaacutelise qualitativa de algumas Equaccedilotildees
Diferenciais Ordinaacuterias o uso de softwares eacute imprescindiacutevel Para uma abordagem qualitativa
dos campos de direccedilotildees pode-se utilizar os softwares como Maple eou WinPlot14
entre
outros que permitem a visatildeo e a exploraccedilatildeo do comportamento desses campos de direccedilotildees
bem como o comportamento da proacutepria soluccedilatildeo
Habre (2000) afirma que a abordagem das Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias no
cenaacuterio internacional vem passando por mudanccedilas no acircmbito estrutural tornando-se cada vez
mais visual (geomeacutetrica) e numeacuterica o que ampliaria a visatildeo do aprendiz sobre o conteuacutedo
estudado O autor chama a atenccedilatildeo para o fato de poucas pesquisas estarem sendo
desenvolvidas em relaccedilatildeo ao entendimento dos alunos quanto a essa abordagem Contudo no
acircmbito nacional ldquoem geral as anaacutelises geomeacutetrica e numeacuterica natildeo satildeo abordadas no estudo
dos modelosrdquo (JAVARONI 2007 p 20)
Vale ressaltar que apesar de inicialmente ter feito um levantamento dos estudos
e pesquisas sobre os processos de ensino-aprendizagem de EDO no decorrer do
desenvolvimento da pesquisa ainda na fase de construccedilatildeo teoacuterica decidi15
natildeo ficar restrita
apenas aos conteuacutedos dessa disciplina16
mas passei a considerar os conteuacutedos das disciplinas
de Caacutelculo que permeiam os curriacuteculos dos cursos de Engenharia Tal decisatildeo estava
vinculada ao formato da intervenccedilatildeo que tinha decidido realizar Naquele momento natildeo havia
qualquer garantia que os conteuacutedos de EDO apareceriam na atividade que seria analisada
Contudo durante a fase da construccedilatildeo dos dados para a referida pesquisa conteuacutedos de EDO
estiveram presentes na atividade de modelagem analisada Por esse motivo optei por deixar
no presente texto esse breve levantamento sobre os processos de ensino-aprendizagem de
EDO
Desdobramentos da proposiccedilatildeo da pesquisa
14
A esse respeito ver wwwmaplesoftcom ptwikipediaorgwikiMaple wwwmatufpbbrsergiowinplot 15
Tal decisatildeo foi ancorada no fato de natildeo haver a priori nenhuma garantia de que na atividade de Modelagem
Matemaacutetica constituinte dos dados que foram construiacutedos para a pesquisa relatada nesta tese as EDOs estariam
presentes jaacute que o tema seria escolhido de forma coletiva pelos sujeitos 16
No CEFET-MG a disciplina Caacutelculo III trata dos conteuacutedos de EDO e na instituiccedilatildeo que configurou como
contexto da pesquisa os conteuacutedos de EDO satildeo abordados na disciplina BAC 022 ndash Matemaacutetica IV
22
Apoacutes o ingresso no referido programa de doutorado ainda em 2010 comecei a
participar do Grupo de Pesquisa e Estudos Histoacuterico-Culturais em Educaccedilatildeo Matemaacutetica e
Ciecircncias da Faculdade de Educaccedilatildeo da UFMG do qual a orientadora desta pesquisa eacute
coordenadora na tentativa de buscar um referencial teoacuterico que possibilitasse o
desenvolvimento desta pesquisa Comecei entatildeo a realizar leituras participar das reuniotildees do
grupo e discutir com colegas e professores sobre as teorias denominadas de Histoacuterico-
Culturais originadas nos estudos de Vygotsky
Uma das leituras realizadas em 2010 ndash o texto de Engestroumlm (2002) ndash comeccedilou a
dar um novo direcionamento para a pesquisa Nele eacute abordada a questatildeo da descontinuidade
entre atividades escolares e atividades fora da escola O autor coloca os conhecimentos
escolares como algo encapsulado distante da realidade cotidiana dos indiviacuteduos que
participam de tais praacuteticas e denomina tal fenocircmeno de encapsulaccedilatildeo da aprendizagem
escolar Ao refletir sobre os motivos que levam os indiviacuteduos a participarem de atividades
escolares enfatiza que na maioria das vezes eles natildeo aprendem para a vida mas para a
escola Frequentemente em variadas esferas da sociedade atual ouvimos pessoas falando que
ldquoprecisam estudar para a provardquo e satildeo raras as vezes que ouvimos pessoas falando que
ldquoprecisam estudar para aprenderrdquo Engestroumlm (2002) exemplifica a abordagem de uma
atividade cotidiana ndash a busca pelo entendimento das fases da Lua ndash respondendo agrave pergunta
ldquoPor que a lua muda a sua formardquo Para ele todas as atividades escolares deveriam ser
iniciadas com questotildees-problema que instiguem os participantes a pensarem refletirem e
buscarem entendimento para tal questatildeo Engestroumlm (2002) se apoia em Resnick (1987) que
teceu uma reflexatildeo acerca da descontinuidade e do isolamento entre os conceitos estudados
durante o processo de escolarizaccedilatildeo e o resto daquilo que fazemos nos momentos da vida que
passamos fora da escola Nas palavras do autor
O processo de escolarizaccedilatildeo parece encorajar a ideia de que o ldquojogo da escolardquo eacute
aprender regras simboacutelicas de vaacuterios tipos de que natildeo se supotildee haver muita
continuidade entre o que algueacutem sabe fora da escola e o que se aprende na escola
[hellip] A escolarizaccedilatildeo cada vez mais parece isolada do resto daquilo que fazemos
(RESNICK 1987 p 15 apud ENGESTROumlM 2002 p 176)
Baseando em Engestroumlm (2002) por analogia apropriei-me do termo
encapsulaccedilatildeo para me referir agrave descontinuidade entre as atividades desenvolvidas nas
disciplinas de Caacutelculo e as demais atividades institucionais que compotildeem a formaccedilatildeo do
engenheiro
23
Tomando por base a Teoria da Aprendizagem Expansiva de Engestroumlm (1987)
que propotildee uma concepccedilatildeo ldquoproacutepriardquo de aprendizagem entendendo-a como algo coletivo ndash
natildeo mais centrado apenas na cogniccedilatildeo individual ndash bem como a psicologia histoacuterico-cultural
de Vygotsky entende-se que tal concepccedilatildeo de aprendizagem parece ser uma opccedilatildeo teoacuterica
propiacutecia para a anaacutelise de possiacuteveis aprendizagens que acontecem por meio de praacuteticas de
Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia por se tratar de atividades coletivas
realizadas em grupo e por ser considerada uma praacutetica natildeo padronizada onde natildeo eacute possiacutevel
delinear a priori no planejamento o que aconteceraacute na praacutetica Neste sentido pode-se
entender que praacuteticas de Modelagem muitas vezes satildeo aprendidas enquanto estatildeo sendo
criadas
Aleacutem disso Engestroumlm (2001) aponta que teorias claacutessicas de aprendizagem
focam nos processos em que o sujeito individual adquire algum conhecimento ou habilidade
identificaacutevel fazendo com que o sujeito possa mudar de comportamento atitudes accedilotildees Tais
conhecimentos ou habilidades satildeo tomados como estaacuteveis e bem definidos O professor
competente segundo essas teorias eacute aquele que sabe o conteuacutedo a ser ensinado e aprendido
pelos alunos Contudo Engestroumlm (2001 p 136-137) reflete que muitos dos tipos mais
intrigantes de aprendizagens em organizaccedilotildees de trabalho violam essa pressuposiccedilatildeo
Pessoas e organizaccedilotildees estatildeo a todo tempo aprendendo algo que natildeo eacute estaacutevel nem
mesmo definido ou entendido agrave priori
Em importantes transformaccedilotildees de nossas vidas pessoais e praacuteticas organizacionais
noacutes precisamos aprender novas formas de atividade que ainda natildeo existem Elas satildeo
aprendidas literalmente enquanto estatildeo sendo criadas Natildeo existe professor
competente Teorias padratildeo de aprendizagem tecircm pouco a oferecer se algueacutem quiser
entender tais processos17
A aprendizagem expansiva segundo Engestroumlm (2002 p 196) ldquoexplora os
conflitos e insatisfaccedilotildees existentes entre professores alunos pais e outros implicados na
escolarizaccedilatildeo ou afetados por ela convidando-os a se reunir numa transformaccedilatildeo concreta da
praacutetica correnterdquo Sugere ainda que ldquoos aprendizes precisam antes de tudo ter uma
oportunidade de analisar criticamente e sistematicamente sua atividade presente e suas
contradiccedilotildees internasrdquo (ENGESTROumlM 2002 p 192) Os termos atividade e contradiccedilotildees
17
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoPeople and organizations are all the time learning something that is not stable
not even defined or understood ahead of time In important transformations of our personal lives and
organizational practices we must learn new forms of activity which are not yet there They are literally learned
as they are being created There is no competent teacher Standard learning theories have little to offer if one
wants to understand these processesrdquo
24
internas satildeo conceitos da Teoria da Atividade e seratildeo mais bem definidos no capiacutetulo
seguinte
A anaacutelise sistemaacutetica da atividade presente e suas contradiccedilotildees internas portanto
configura-se como um ponto de partida ou forccedila motriz para transformaccedilotildees expansivas das
praacuteticas sociais devido ao fato de que ldquose o homem vivesse em plena harmonia com a
realidade ou absolutamente conciliado com seu presente natildeo sentiria a necessidade de negaacute-
los idealmente nem de configurar em sua consciecircncia uma realidade ainda inexistenterdquo
(SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 189)
As discussotildees apresentadas por Engestroumlm (1987 2001 2002 2008) me levaram
a refletir sobre as possibilidades de anaacutelise dos fenocircmenos que podem ocorrer em praacuteticas de
Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia utilizando o aporte teoacuterico da
Aprendizagem Expansiva Para Engestroumlm (2002 p 197) a Aprendizagem Expansiva propotildee
romper a encapsulaccedilatildeo da aprendizagem escolar pois o proacuteprio contexto da aprendizagem eacute
alterado Nas palavras do autor ldquoa abordagem da aprendizagem expansiva romperia a
encapsulaccedilatildeo da aprendizagem escolar por uma ampliaccedilatildeo gradual do objeto e do contexto da
aprendizagemrdquo
Entendendo que uma finalidade prefigura idealmente o que ainda natildeo se
conseguiu ou o que ainda se pretende alcanccedilar ldquoao propor objetivos o homem nega uma
realidade efetiva e afirma outra que ainda natildeo existerdquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p
189) Ao analisar sistematicamente as atividades de que participei ateacute tal momento histoacuterico
de minha formaccedilatildeo aliadas agraves leituras e informaccedilotildees que tive acesso apoacutes o ingresso no
referido programa de poacutes-graduaccedilatildeo incluindo a participaccedilatildeo em grupos de pesquisa fui
conduzida agrave produccedilatildeo de novos objetivos que passaram a orientar a pesquisa relatada nesta
tese diferentes daqueles que havia adotado inicialmente mas ainda assim relacionados entre
si
O objetivo didaacutetico-pedagoacutegico impresso no projeto inicial de doutorado
submetido agrave seleccedilatildeo para ingresso no programa de poacutes-graduaccedilatildeo consistia em melhorar a
inter-relaccedilatildeo da disciplina EDO e as demais disciplinas teacutecnicas dos cursos de Engenharia por
meio de atividades de Modelagem Matemaacutetica A questatildeo de pesquisa buscava por anaacutelises
relacionadas agraves formas que a Modelagem Matemaacutetica poderia assumir para o cumprimento de
tal objetivo ou seja usando a terminologia de Engestroumlm (2002) de que forma a Modelagem
Matemaacutetica aliada a recursos computacionais poderia romper com a encapsulaccedilatildeo da
disciplina EDO em cursos de Engenharia Um resultado esperado ainda que hipoteticamente
consistia na melhoria da formaccedilatildeo matemaacutetica dos engenheiros Vale ressaltar que atividades
25
de Modelagem podem assumir diferentes objetivos em diferentes contextos de formaccedilatildeo O
principal objetivo geralmente delimitado pelos professores acaba por definir a perspectiva de
Modelagem (KAISER SRIRAMAN 2006) assumida em determinado contexto formativo
Tal questatildeo seraacute tratada mais formalmente no capiacutetulo seguinte desta tese Por agora detenho-
me em explicitar o que foi alterado em relaccedilatildeo agrave questatildeo de pesquisa
Primeiramente o objetivo principal da pesquisa relatada nesta tese teve uma
essencial mudanccedila no foco Inicialmente a meta da pesquisa era relataranalisar o efeito que a
Modelagem Matemaacutetica poderia causar em cursos de Engenharia no sentido das
possibilidades de inter-relaccedilotildees de EDO com as demais disciplinas dos referidos cursos Apoacutes
reformular o projeto inserindo-lhe ldquolentesrdquo teoacuterico-analiacuteticas ndash as Teorias da Atividade e da
Aprendizagem Expansiva- senti a necessidade de modificar o foco da questatildeo de pesquisa
passei a focar nas possibilidades de aprendizagens expansivas que pudessem ser evidenciadas
pelas e nas atividades desenvolvidas por um grupo de estudos e pesquisa sobre Modelagem
Matemaacutetica em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias Com isso as proacuteprias
aprendizagens expansivas caso ocorressem poderiam possibilitar inclusive o rompimento
da encapsulaccedilatildeo de conteuacutedos estudados nas disciplinas de Caacutelculo pois o proacuteprio contexto
da atividade tradicional de formaccedilatildeo em Engenharia seria18
alterado mediante uma ampliaccedilatildeo
gradual do objeto e do contexto da aprendizagem19
Em segundo lugar a forma que a Modelagem Matemaacutetica assumiria nessa
pesquisa jaacute estava tambeacutem definida como foco de estudos discussotildees e reflexotildees de um
Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica20
(GEPMM) Frequentemente
praacuteticas escolares de Modelagem satildeo concebidas como coletivas ndash realizadas em grupos
Baseada em Engestroumlm (2001) acabei por decidir pela constituiccedilatildeo de um Grupo de Estudos e
Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica jaacute que os sujeitos que porventura aceitassem se engajar
em tais atividades precisariam aprender novas formas de atividade constituindo assim novas
formas de aprendizagem que ainda natildeo existiam no referido contexto formativo Na
instituiccedilatildeo destinada agrave formaccedilatildeo de engenheiros definida como contexto empiacuterico para o
desenvolvimento da presente pesquisa natildeo existiam de fato atividades de Modelagem
Matemaacutetica em formato algum Ao objetivar a anaacutelise das possibilidades de aprendizagens
18
Explicaccedilotildees mais pontuais quanto agraves transformaccedilotildees do objeto e do contexto de aprendizagem podem ser
encontradas no capiacutetulo 1 deste texto 19
Engestroumlm (2002 p 197) enfatiza que ldquoa abordagem da aprendizagem expansiva romperia a encapsulaccedilatildeo da
aprendizagem escolar por uma ampliaccedilatildeo gradual do objeto e do contexto da aprendizagemrdquo 20
Por vezes utilizarei apenas a sigla GEPMM para me referir ao Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem
Matemaacutetica
26
expansivas evidenciadas naspelas atividades de um grupo de Modelagem poderia ndash a
atividade ndash ocorrer dentro ou fora da sala de aula
Finalmente em terceiro lugar estaacute a definiccedilatildeo de que o grupo de Modelagem
realizaria suas atividades fora da sala de aula num formato que possibilitasse estudos
pesquisa e que as atividades pudessem ser documentadas em um longo periacuteodo de tempo
Caso tivesse optado em propor o formato de atividade de Modelagem dentro de sala de aula
de certo teria impliacutecito em tal proposta um prazo que delimitaria a proacutepria questatildeo de
pesquisa Aprendizagens expansivas necessitam de anaacutelises de longo prazo constituem
transformaccedilotildees qualitativas21
em praacuteticas sociais em atividades coletivas e natildeo mudanccedilas em
sujeitos em suas atitudes eou habilidades e competecircncias ainda que as atitudes dos sujeitos
possam ser analisadas em tal quadro teoacuterico-analiacutetico (ENGESTROumlM SANNINO 2010b)
Nesse sentido nesta tese busco analisar possibilidades de aprendizagens expansivas em
praacuteticas formativas sendo aprendidas literalmente enquanto estariam sendo criadas (numa
instituiccedilatildeo destinada agrave formaccedilatildeo de engenheiros) mediante a constituiccedilatildeo de um contexto
formativo mais amplo ndash o GEPMM Isso seraacute mais bem discutido nos demais capiacutetulos desta
tese
Vale ressaltar que tais objetivos e a adequaccedilatildeo das accedilotildees a eles configuraram-se
mediante os ajustes que na maioria das vezes foram tentativas de aproximaccedilatildeo entre as
idealizaccedilotildees impressas em um projeto de pesquisa e uma pesquisa em movimento ndash um
ldquodesignrdquo emergente (ARAUacuteJO BORBA 2006) Uma pesquisa em movimento pressupotildee
aquisiccedilatildeo de novas idealizaccedilotildees necessaacuterias em cada parte cada aglomerado de accedilotildees que estaacute
atrelado agrave finalidade da pesquisa em questatildeo Isso inclui transformaccedilotildees qualitativas em
termos de acesso e incorporaccedilatildeo de teorias agrave pesquisa por parte do pesquisador modificaccedilotildees
relacionadas agrave metodologia e procedimentos para a construccedilatildeo dos dados da referida pesquisa
o que acaba por implicar em modificaccedilotildees na pergunta diretriz
Sendo assim apoacutes aprofundamento teoacuterico e construccedilatildeo dos dados para a presente
pesquisa que seratildeo apresentados nos proacuteximos capiacutetulos outros direcionamentos em relaccedilatildeo
agrave pergunta diretriz se fizeram necessaacuterios Entre idas e vindas recortes e costuras a presente
tese se orientou pela seguinte pergunta diretriz
21
O termo Transformaccedilotildees Qualitativas constituinte da Teoria da Aprendizagem Expansiva de Engestroumlm
(1987) seraacute mais bem definido no capiacutetulo seguinte desta tese Por hora vale ressaltar que transformaccedilotildees
qualitativas sugerem mudanccedilas em praacuteticas sociais
27
Quais aprendizagens expansivas podem ser evidenciadas pelas e nas atividades
desenvolvidas por um Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica
(GEPMM22
) em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias
Estrutura da tese
No capiacutetulo 1 desta tese intitulado Atividades formativas agrave luz da teoria
histoacuterico-cultural da Atividade e da Aprendizagem Expansiva apresento os pressupostos
teoacutericos que foram utilizados na concepccedilatildeo assim como na anaacutelise dos dados construiacutedos
para a presente investigaccedilatildeo
No capiacutetulo 2 intitulado Caacutelculo e Modelagem na Engenharia concepccedilotildees
perspectivas e a atual formaccedilatildeo do engenheiro discorro sobre alguns toacutepicos relacionados ao
contexto da presente investigaccedilatildeo Exponho brevemente a legislaccedilatildeo que normatiza a
formaccedilatildeo de engenheiros no Brasil atualmente aponto alguns aspectos relacionados aos
processos de ensino-aprendizagem das disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia e
nesse contexto apresento a Modelagem Matemaacutetica como um espaccedilo formativo alternativo
Aleacutem disso com base na literatura sobre Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica busco por
concepccedilotildees e perspectivas relacionadas a essa atividade apresentando uma revisatildeo de
literatura com foco na Modelagem em processos de ensino-aprendizagem relacionada agraves
disciplinas de Caacutelculo dos cursos de Engenharia
No capiacutetulo 3 intitulado Metodologia de Pesquisa e Procedimentos explicito os
motivos que fizeram com que a abordagem da presente investigaccedilatildeo fosse qualitativa
apresento os procedimentos e instrumentos para a construccedilatildeo e a anaacutelise dos dados Aleacutem
disso delimito o contexto da pesquisa apresentando o contexto institucional e as aulas de
Caacutelculo assim como a constituiccedilatildeo do contexto alternativo - GEPMM - e os sujeitos nele
envolvidos
No capiacutetulo 4 intitulado Os dados construiacutedos e analisados a constituiccedilatildeo do
GEPMM como ciclo de accedilotildees potencialmente expansivas apresento uma anaacutelise da
constituiccedilatildeo do GEPMM com base no arcabouccedilo teoacuterico apresentado no capiacutetulo 2 mais
especificamente no ciclo de accedilotildees expansivas (ENGESTROumlM SANNINO 2010b) Para tal
22
Vale ressaltar que o GEPMM se configura um espaccedilo formativo alternativo realizando suas accedilotildees fora da sala
de aula tradicional tanto de Caacutelculo quanto das demais disciplinas dos cursos de Engenharia Os motivos que
podem complementar a justificativa para tal escolha metodoloacutegica podem ser encontrados no capiacutetulo 2
28
utilizo os dados construiacutedos para a presente investigaccedilatildeo elaborando inclusive uma resenha
do que aconteceu nos encontros do GEPMM utilizados como corpus de anaacutelise
No capiacutetulo 5 intitulado por Modalidades Analiacuteticas construo um tipo de
arcabouccedilo analiacutetico com o objetivo de satisfazer ao questionamento impresso na pergunta de
pesquisa quais aprendizagens expansivas podem ser evidenciadas pelas e nas atividades
desenvolvidas por um GEPMM em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias Elaboro
quatro modalidades analiacuteticas e as intitulo
1ordf Modalidade =gt Dialeacutetica da Existecircncia da ldquoTelardquo Invisiacutevel GEPMM como
possibilidade para aprendizagem expansiva por meio da construccedilatildeo de parceria
docente-discente num contexto de formaccedilatildeo em Engenharias
2ordf Modalidade =gt Os sujeitos a multi-agency e as muacuteltiplas atividades
possibilidade para aprendizagem expansiva como movimento na zona de
desenvolvimento proximal das atividades docente-discente mediante a formaccedilatildeo
de parcerias
3ordf Modalidade =gt Modelagem e a caixa preta do ldquopeso corporal idealrdquo num
contexto de formaccedilatildeo em Engenharias do Caacutelculo em accedilatildeo agraves aprendizagens
expansivas como transformaccedilotildees qualitativas do objeto da atividade
4ordf Modalidade =gt Multivocalidade e agency evidenciadas pelas interaccedilotildees
tecnomediadas em atividades de Modelagem Matemaacutetica idealizaccedilotildees
desencadeadoras de aprendizagens potencialmente expansivas num contexto de
formaccedilatildeo em Engenharias
No capiacutetulo 6 intitulado Consideraccedilotildees Finais faccedilo um tipo de fechamento de
ideias com respeito agrave investigaccedilatildeo relatada nesta tese Aleacutem disso delimito de antematildeo um
horizonte possiacutevel para nortear pesquisas futuras
29
1 ATIVIDADES23
FORMATIVAS Agrave LUZ DA TEORIA HISTOacuteRICO-
CULTURAL DA ATIVIDADE E DA APRENDIZAGEM EXPANSIVA
Neste capiacutetulo apresento os pressupostos teoacutericos que foram utilizados na
concepccedilatildeo desta pesquisa em especial na anaacutelise dos dados construiacutedos para tal fim
Podendo ser entendida como uma teoria ancorada na Teoria Histoacuterico-Cultural24
a Teoria da Atividade se fundamenta na teoria marxista que estabelece o trabalho como algo
que desempenha papel central no desenvolvimento humano humanizando e possibilitando o
desenvolvimento da cultura que por sua vez influencia e eacute influenciada pelo contexto
histoacuterico-social Sob essa oacutetica as diferenccedilas entre os homens e os outros animais natildeo podem
ser simplesmente explicadas pela evoluccedilatildeo bioloacutegica25
O homem tal como os outros animais cotidianamente se defronta com
necessidades26
que o impulsiona a planejar accedilotildees na tentativa de satisfazer tais necessidades
Contudo o homem se diferencia dos demais animais ldquoao assumir uma posiccedilatildeo de natildeo
indiferenccedila perante a naturezardquo (RIGON ASBAHR MORETTI 2010 p 16) Isto eacute o
homem se apropria da natureza buscando satisfazer necessidades que natildeo estatildeo apenas
relacionadas agrave garantia de sua existecircncia bioloacutegica mas sobretudo cria necessidades
relacionadas agrave sua existecircncia cultural Dessa forma
Ao agir intencionalmente sobre a natureza visando transformaacute-la de modo a
satisfazer suas necessidades produzindo o que deseja e quando deseja o homem ao
mesmo tempo que deixa sobre a natureza as marcas da atividade humana tambeacutem
transforma a si proacuteprio constituindo-se humano Para que toda e qualquer atividade
se configure como humana eacute essencial entatildeo que seja movida por uma
intencionalidade sendo esta por sua vez uma resposta agrave satisfaccedilatildeo das necessidades
que se impotildeem ao homem em sua relaccedilatildeo com o meio em que vive natural ou
culturalizado (RIGON ASBAHR MORETTI 2010 p 17)
Para Saacutenchez Vaacutezquez (1977) a atividade humana pode em alguns casos ter uma
ldquosemelhanccedila externardquo com certos atos dos animais como por exemplo a atividade de caccedila
23
Buscando distinguir o termo atividade do senso comum destacarei usando itaacutelico ndash atividade ndash quando estiver
me referindo agrave teoria da atividade 24
Tem como projeto central estudar a formaccedilatildeo da subjetividade dos indiviacuteduos a partir de seu mundo objetivo
concreto isto eacute a formaccedilatildeo da consciecircncia humana em sua relaccedilatildeo com a atividade (RIGON ASBAHR
MORETTI 2010 p 22) 25
ldquoSegundo Vygotsky o comportamento e a mente humanos devem ser considerados em termos de accedilotildees
intencionais e culturalmente significativas em vez de respostas bioloacutegicas adaptativasrdquo (KOZULIN 2002 p
116) 26
O termo necessidade com base na teoria marxista estaacute relacionado com carecimento ou carecircncia
30
Contudo para o autor somente a atividade humana caracteriza-se essencialmente pela
atividade da consciecircncia da qual eacute inseparaacutevel O autor afirma que a atividade da consciecircncia
[] se desenvolve como produccedilatildeo de objetivos que prefiguram idealmente o
resultado real que se pretende obter mas se manifesta tambeacutem como produccedilatildeo de
conhecimentos isto eacute em forma de conceitos hipoacuteteses teorias ou leis mediante os
quais o homem conhece a realidade (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 191)
A capacidade de planejar accedilotildees que configura de alguma forma a
intencionalidade assim como formas especiacuteficas de linguagem pode ser observada em todos
os tipos de animais Poreacutem
[] a accedilatildeo planejada de todos os animais em seu conjunto natildeo conseguiu imprimir
sobre a terra a marca de sua vontade Isso aconteceu com o aparecimento do homem
Em uma palavra o animal utiliza a natureza exterior e produz modificaccedilotildees nela
pura e simplesmente com sua presenccedila entretanto o homem por meio de
modificaccedilotildees submete-a [a Natureza] a seus fins a domina Eacute esta a suprema
diferenccedila entre o homem e os animais diferenccedila decorrida tambeacutem do trabalho
(ENGELS 2002 p 125)
A faculdade de projetar que delimita e configura a distinccedilatildeo entre homens e os
demais animais foi debatida por Pinto (2005a p 54) que enfatizou que a ldquoessecircncia do
projeto consiste no modo de ser do homem que se propotildee criar novas condiccedilotildees de existecircncia
para sirdquo O autor estaacute em sintonia com a visatildeo de Engels (2002)
O projeto eacute na verdade a caracteriacutestica peculiar porque engendrada no plano do
pensamento da soluccedilatildeo humana do problema da relaccedilatildeo do homem com o mundo
fiacutesico e social [] O poder da accedilatildeo que o homem manifesta sobre a natureza
distingue-se do possuiacutedo pelos demais seres vivos por se exercer em consequecircncia
da capacidade de projetar [] pela accedilatildeo dos homens a realidade se vai povoando de
produtos de fabricaccedilatildeo intencional realizada pelo ser que se tornou projetante
(PINTO 2005a p 55)
Aacutelvaro Pinto (2005a) entende que o homem eacute o uacutenico ser vivo capaz de
manifestarproduzir representaccedilotildees de uma dada realidade no pensamento e a partir dela
fazer emergir ainda no plano mental uma sequecircncia de accedilotildees direcionadas a uma finalidade
ligada a essa realidade Pinto (2005a p 59 grifos meus) esclarece ainda que
O projeto significa o relacionamento da accedilatildeo a uma finalidade em vista da qual satildeo
preparados e dispostos meios necessaacuterios e convenientes O conceito de projeto
revela que o sistema nervoso superior soacute eacute capaz de concebecirc-lo quando supera o
condicionamento hereditaacuterio imposto pelas estruturas invariaacuteveis recebidas
diretamente da natureza tornando-se entatildeo fonte de outras formas de
condicionamento as que procedem no reflexo das coisas efetuando em suas ceacutelulas
31
cerebrais em iacutentimas ligaccedilotildees com o exerciacutecio da atividade em condiccedilotildees sociais
Esta anaacutelise mostra desde jaacute o caraacuteter necessariamente teacutecnico de toda accedilatildeo humana
pois agir significa um modo de ser ligado a alguma finalidade que o indiviacuteduo se
propotildee cumprir
Dessa forma natildeo seria possiacutevel compreender a atividade humana desconsiderando
sua relaccedilatildeo com a consciecircncia pois essas duas categorias na verdade podem ser entendidas
como constituintes de uma unidade dialeacutetica como segue
Nas relaccedilotildees entre consciecircncia e atividade a consciecircncia eacute a forma especificamente
humana do reflexo psiacutequico da realidade ou seja eacute a expressatildeo das relaccedilotildees do
indiviacuteduo com o mundo social cultural e histoacuterico que abre ao homem um quadro
do mundo em que ele mesmo estaacute inserido A consciecircncia refere-se assim agrave
possibilidade humana de compreender o mundo social e individual como passiacuteveis
de anaacutelise (RIGON ASBAHR MORETTI 2010 p 20)
A origem do conceito atividade na psicologia sovieacutetica pode ser encontrada nos
estudos de Vigotski27
(1896-1934) sugerindo que a atividade socialmente significativa pode
ser considerada como um dos fatores que geram a consciecircncia humana (KOZULIN 2002)
Na teoria cultural-histoacuterica das funccedilotildees mentais (ou processos psicoloacutegicos) superiores de
Vigotski bem como nos estudos vigotskianos do desenvolvimento da linguagem e da
formaccedilatildeo de conceitos foi de extrema relevacircncia a incorporaccedilatildeo do conceito de atividade
Kozulin (2002) entende que para Vigotski a consciecircncia eacute construiacuteda de fora para dentro por
meio das relaccedilotildees sociais e aleacutem disso que natildeo haacute distinccedilatildeo entre o mecanismo do
comportamento social e o da consciecircncia
Vigotski buscou em Marx e Hegel pressupostos que fizeram emergir uma teoria
social da atividade humana podendo ser entendida como contrapartida ao naturalismo e agrave
tradiccedilatildeo empirista como afirma Kozulin (2002) De Hegel Vigotski adota ldquouma visatildeo
absolutamente histoacuterica dos estaacutegios de desenvolvimento e das formas de realizaccedilatildeo da
consciecircncia humanardquo (KOZULIN 2002 p 115) Tal historicidade eacute tecida do ponto de vista
da filogecircnese ndash toma como base a histoacuteria evolutiva da espeacutecie humana- da histoacuteria
sociocultural ndash toma como base a (des) e (re)contextualizaccedilatildeo dos instrumentos de mediaccedilatildeo-
e da ontogecircnese ndash considera a evoluccedilatildeo histoacuterica individual na qual a formaccedilatildeo da
personalidade se caracteriza natildeo apenas pelo desenvolvimento bioloacutegico mas sobretudo pela
mediaccedilatildeo sociocultural (WERTSCH 1985 1988)- De Marx Vigotski adota o conceito de
praacutexis humana que grosso modo toma como sendo a atividade histoacuterica concreta gerando
27
A esse respeito ver Consciousness as a problem in the psychology of behavior (VIGOTSKI 1979)
32
os fenocircmenos da consciecircncia Vigotski acreditava que a atividade funciona como uma
ferramenta psicoloacutegica e tem caraacuteter semioacutetico mediacional (KOZULIN 2002)
Leontiev em meados dos anos 1930 faz emergir uma versatildeo revisionista da
Teoria da Atividade de Vigotski na qual entende que ldquoa atividade28
ndash ora como atividade ora
como accedilatildeo ndash desempenha todos os papeacuteis desde objeto ateacute princiacutepio explanatoacuteriordquo
(KOZULIN 2002 p 136) Leontiev aponta que ldquoo desenvolvimento da consciecircncia da
crianccedila ocorre como um resultado do desenvolvimento do sistema de operaccedilotildees psicoloacutegicas
as quais por seu turno satildeo determinadas pelas relaccedilotildees concretas entre a crianccedila e a
realidaderdquo (LEONTIEV 1980 p 186 apud KOZULIN 2002 p 127)
Dessa forma Leontiev considera em suas pesquisas que a atividade praacutetica eacute
transformada em atividade praacutetica e intelectual ndash plano interpsicoloacutegico (entre pessoas e
mediaccedilotildees) transformado em plano intrapsicoloacutegico Leontiev e seus colaboradores satildeo
conhecidos como a segunda geraccedilatildeo da Teoria da Atividade Vigotski sugeriu que a atividade
socialmente significativa eacute o princiacutepio explicativo da consciecircncia ou seja a consciecircncia eacute
construiacuteda de ldquoforardquo para ldquodentrordquo por meio das relaccedilotildees sociais (KOZULIN 2002)
Na teoria de Leontiev ldquoa atividade assumiu duplo papel ndash o de princiacutepio geral e o
de mecanismo concreto de mediaccedilatildeordquo (KOZULIN 2002 p 131) ldquoLeontiev sugeriu o
seguinte desmembramento da atividade atividade corresponde a um motivo accedilatildeo
corresponde a um objetivo e operaccedilatildeo depende de condiccedilotildeesrdquo (KOZULIN 2002 p 131)
Para entendermos melhor tais conceituaccedilotildees vejamos o que o proacuteprio Leontiev
nos apresenta
Natildeo levando o objeto da accedilatildeo por si proacuteprio a agir eacute necessaacuterio que a accedilatildeo surja e
se realize que o seu objeto apareccedila ao sujeito na sua relaccedilatildeo com o motivo da
atividade em que entra esta accedilatildeo Essa accedilatildeo eacute refletida pelo sujeito sob uma forma
perfeitamente determinada sob a forma de consciecircncia do objeto da accedilatildeo enquanto
fim Assim o objeto da accedilatildeo natildeo eacute afinal senatildeo o seu fim imediato conscientizado
(LEONTIEV 2004 p 317)
Vale ressaltar que a atividade correspondente a um motivo eacute algo coletivo e
consciente Jaacute as accedilotildees correspondentes a um objetivo podem ser entendidas como processos
que satildeo subordinados agraves metas individuais ou coletivas considerando a complexa estrutura da
divisatildeo do trabalho humano ou mesmo podem ser entendidas como processos de
cumprimento de objetivos parciais da atividade As accedilotildees e os objetivos correspondem assim
28
ldquoTal conceito de atividade teraacute duas funccedilotildees princiacutepio explicativo da constituiccedilatildeo das funccedilotildees psicoloacutegicas
superiores e da personalidade e ao mesmo tempo objeto de investigaccedilatildeo soacute sendo possiacutevel compreender tais
constituiccedilotildees a partir do estudo da atividaderdquo (RIGON ASBAHR MORETTI 2010 p 22)
33
ao indiviacuteduo engajado em uma atividade e agrave consciecircncia As operaccedilotildees podem ser entendidas
como meios ou procedimentos pelos quais a accedilatildeo eacute executada para satisfazer seu objetivo As
operaccedilotildees sempre correspondem agraves condiccedilotildees que podem ser entendidas como as
ferramentas necessaacuterias para a realizaccedilatildeo da operaccedilatildeo As condiccedilotildees e as operaccedilotildees podem
ser relacionadas ao indiviacuteduo agrave inconsciecircncia e agrave incorporaccedilatildeo (KAWASAKI 2008 p 108)
ldquoOs motivos portanto pertencem agrave realidade socialmente estruturada de produccedilatildeo e
apropriaccedilatildeo ao passo que as accedilotildees pertencem agrave realidade imediata de objetivos praacuteticosrdquo
(KOZULIN 2002 p 132 itaacutelicos meus)
Para Leontiev (1978) a principal caracteriacutestica que distingue uma atividade da
outra eacute a diferenccedila de seus objetos Para o autor o objeto de uma atividade eacute o que lhe fornece
uma direccedilatildeo determinada uma finalidade constituindo-se dessa forma como seu verdadeiro
motivo Vale ressaltar que para Leontiev o objeto de qualquer atividade humana natildeo eacute algo
neutro nem individual mas sim um objeto da experiecircncia coletiva social pois para ele a
atividade dos outros nos oferece uma base uma gama de possibilidades objetivas que abarca
uma espeacutecie de estrutura especiacutefica das accedilotildees do indiviacuteduo
Eacute preciso entender a atividade levando-se em conta a dinacircmica das necessidades
assim como as diversas formas de executar accedilotildees e operaccedilotildees que podem alterar os processos
constituintes da atividade As accedilotildees podem se transformar em atividades as atividades
podem se transformar em accedilotildees as accedilotildees podem se tornar procedimentos para alcanccedilar um
objetivo configurando-se assim como operaccedilotildees
Para Engestroumlm ldquouma entidade do mundo exterior torna-se um objeto da
atividade quando atende a uma necessidade humana29
rdquo (ENGESTROumlM 2008 p 89 grifos
meus) E para Leontiev (1978) essa reuniatildeo eacute um ldquoato extraordinaacuteriordquo o sujeito constroacutei o
objeto destacando as propriedades que julga serem essenciais para o desenvolvimento da
praacutetica social em que deseja se engajar
Os artefatos mediadores da atividade para Engestroumlm (1987) satildeo considerados
as ferramentas e os signos necessaacuterios para que o sujeito da atividade realize accedilotildees orientadas
para o objetomotivo
Se considerarmos por exemplo a caccedila como uma atividade humana o alimento
(a presa) seria o objeto da atividade pois o alimento eacute o objeto pelo qual a atividade eacute
orientada Tal atividade estaria amparada pela finalidade relacionada a uma necessidade ou
desejo a necessidade de saciar a fome ou desejo de comer uma iguaria As accedilotildees entatildeo
29
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoAn entity in the outside world becomes an object of activity as it meets a
human needrdquo
34
estariam relacionadas aos processos ou objetivos parciais para alcanccedilar o objetivo Para
satisfazer a necessidade pelo alimento eacute preciso executar accedilotildees que natildeo visam diretamente agrave
obtenccedilatildeo do alimento como por exemplo preparar algum equipamento para ser utilizado na
caccedila Para isso seriam necessaacuterias condiccedilotildees para que tais equipamentos possam ser
elaborados como habilidades de construir equipamentos teacutecnicas de extraccedilatildeo de mateacuteria-
prima para a elaboraccedilatildeo dos equipamentos entre outras e ainda precisariam ser
implementadas operaccedilotildees que possibilitem essa fase da atividade de caccedila
A atividade educacional ndash formativa e institucionalizada- foi investigada
profundamente por Davydov que incorporou conceitos de Vigotski e Leontiev para formular
uma teoria sobre o ensino a teoria do ensino desenvolvimental (LIBAcircNEO FREITAS 2006)
Na sociedade informacional Davydov afirma que a tarefa da escola contemporacircnea consiste
em ensinar os aprendizes a se orientarem independentemente que inclui informaccedilotildees oriundas
das comunidades cientiacuteficas - ensinaacute-los a pensar por meio de um ensino que promova o
desenvolvimento mental e psiacutequico (DAVIacuteDOV 1988 p 3 apud LIBAcircNEO FREITAS
2006)
Davydov (1988 apud LIBAcircNEO FREITAS 2006) enfatiza que educaccedilatildeo e
ensino satildeo necessaacuterios para o desenvolvimento humano e que estatildeo amalgamadas agraves
premissas da teoria histoacuterico-cultural de Vigotski que inclui os fatores socioculturais e a
atividade interna dos indiviacuteduos Davydov propotildee um ensino escolar ancorado em atividades
de aprendizagem cujo conteuacutedo do ensino seja a base do ensino desenvolvimental Vale
ressaltar que Davydov natildeo defende a mera transmissatildeo de conteuacutedos mas sim a escola como
promotora de atividades que forneccedilam aos alunos mecanismos para o desenvolvimento de
suas habilidades e competecircncias incluindo aprender por si mesmos
Alguns autores se baseiam em Davydov e tratam dos fenocircmenos educativos como
praacutetica social - como uma atividade Para Rigon Asbahr e Moretti (2010 p 24 grifo meu)
o objeto da atividade pedagoacutegica eacute a transformaccedilatildeo dos indiviacuteduos no processo de
apropriaccedilatildeo dos conhecimentos e saberes por meio desta atividade ndash teoacuterica e
praacutetica ndash eacute que se materializa a necessidade humana de se apropriar dos bens
culturais como forma de constituiccedilatildeo humana
Engestroumlm (2008) entende que tradicionalmente o objeto da atividade do
professor ao participar de praacuteticas escolares pode ser socialmente entendido como sendo o
texto escolar (textos que englobam os livros didaacuteticos apostilas ou ateacute mesmo textos escritos
na lousa pelos professores e reproduzidos nos cadernos dos alunos) e aponta que tais ldquotextos
35
tornam-se um mundo fechado um objeto morto cortado de seu contexto de vidardquo
(ENGESTROumlM 1987 p 101) O autor posiciona tambeacutem os estudantes como parte da
componente objeto da atividade do professor Vale ressaltar que nas praacuteticas escolares
tradicionais comumente observadas em processos de escolarizaccedilatildeo na maioria das
instituiccedilotildees brasileiras de ensino o professor direciona sua atenccedilatildeo agrave transformaccedilatildeo dos
estudantes isto eacute educar significa transformar o estudante no que tange ao entendimento do
mundo e da realidade que o cerca tomando-se por base o texto escolar como referecircncia para
tal transformaccedilatildeo Engestroumlm (2008 p 89) esclarece ainda que
Nessa capacidade construiacuteda relacionada agrave necessidade o objeto ganha forccedila
motivacional que daacute forma e direccedilatildeo para a atividade O objeto determina o
horizonte de objetivos e accedilotildees possiacuteveis A atividade de trabalho dos professores nas
escolas eacute chamada de ensino A atividade dos estudantes nas escolas pode ser
chamada de school-going30
Bernardes (2009) reafirma o posicionamento de Engestroumlm (2008) a respeito do
objeto da atividade da educaccedilatildeo escolar ou seja das praacuteticas educativas escolarizadas como
um direcionamento de accedilotildees objetivando a transformaccedilatildeo do sujeito que aprende sendo este
o primeiro objeto da atividade de ensino A autora ainda afirma existir um segundo objeto
relacionado agrave atuaccedilatildeo profissional do educador sendo alicerccedilado na seguinte questatildeo o quecirc
ensinar e de que forma se organiza o ensino
A seleccedilatildeo e a identificaccedilatildeo do conhecimento teoacuterico-cientiacutefico a ser ensinado na
escola e a definiccedilatildeo das condiccedilotildees adequadas para a materializaccedilatildeo da organizaccedilatildeo
das accedilotildees de ensino na atividade pedagoacutegica requerem que o educador materialize o
segundo objeto da atividade de ensino O produto desta atuaccedilatildeo profissional eacute a
elaboraccedilatildeo de um instrumento que medeia o conhecimento que se objetiva e se
materializa na organizaccedilatildeo das accedilotildees de ensino (BERNARDES 2009 p 237)
Asbahr (2005) enfatiza que a significaccedilatildeo social da atividade pedagoacutegica do
professor seria proporcionar ambientes de aprendizagem que possibilitem aos estudantes se
engajarem em atividades de aprendizagem garantindo-lhes assim apropriaccedilatildeo do
conhecimento natildeo cotidiano A autora afirma que ensino-aprendizagem somente configura
uma atividade coletiva quando satildeo postos em uma uacutenica unidade isto eacute a atividade de ensino
ocorre se e somente se ocorrer a atividade de aprendizagem Dessa forma 30
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoIn this constructed need-related capacity the object gains motivating force
that gives shape and direction to activity The object determines the horizon of possible goals and actions The
work activity of school teachers is called teaching The activity of school students may be called school-goingrdquo
Natildeo encontrei uma traduccedilatildeo considerada por mim como satisfatoacuteria para o que Engestroumlm (1987 2008) chama
de school-going Contudo penso que o autor busca relacionar esse termo agrave ida dos estudantes diariamente agraves
escolas Talvez possa ser traduzido como ldquoida agrave escolardquo
36
O aluno natildeo eacute soacute objeto da atividade do professor mas eacute principalmente sujeito e
constitui-se como tal na atividade ensinoaprendizagem na medida em que participa
ativamente e intencionalmente do processo de apropriaccedilatildeo do saber superando o
modo espontacircneo e cotidiano de conhecer (BASSO 1994 apud ASBAHR 2005 p
114)
Na tentativa de entender os mais diversos fenocircmenos que podem ocorrer nas
praacuteticas escolares de ensino e aprendizagem podemos utilizar o aporte teoacuterico de Engestroumlm
(2001) que propotildee uma estrutura triangular para representar as accedilotildees individuais ou em
grupos constituindo sistemas de atividade coletiva contendo os seguintes elementos sujeito
artefatos ou instrumentos mediadores (ferramentas e signos) objeto comunidade regras
divisatildeo de trabalho e resultado (ENGESTROumlM 2001) como segue
FIGURA 1 ndash A estrutura de um sistema de atividade humana
Fonte ENGESTROumlM 2001 p 135
Os elementos da estrutura da atividade representada na FIG 1 (ENGESTROumlM
2001) podem ser explicados por Engestroumlm (1993)
No modelo o sujeito refere-se ao indiviacuteduo ou subgrupo cujo poder de agir eacute
tomado como ponto de vista na anaacutelise O objeto refere-se agrave ldquomateacuteria primardquo ou ao
ldquoespaccedilo problemardquo para o qual a atividade estaacute direcionada e que eacute moldado ou
transformado em resultados com o auxiacutelio de ferramentas fiacutesicas e simboacutelicas
externas e internas (instrumentos e signos mediadores) A comunidade compreende
indiviacuteduos eou subgrupos que compartilham o mesmo objeto geral A divisatildeo de
trabalho refere-se tanto agrave divisatildeo horizontal de tarefas entre os membros da
comunidade quanto agrave divisatildeo vertical de poder e status Finalmente as regras
referem-se aos regulamentos impliacutecitos e expliacutecitos normas e convenccedilotildees que
37
restringem as accedilotildees e interaccedilotildees no interior do sistema de atividade31
(ENGESTROumlM 1993 p 67 grifos do autor)
Engestroumlm (1987 2002 2008) critica veementemente a inversatildeo de papel que
pode ocorrer com o texto escolar em atividades de ensino-aprendizagem Para ele quando o
texto escolar (os livros didaacuteticos) eacute tomado como objeto da atividade escolar ocorre uma
inversatildeo de papeacuteis o que era para ser um instrumento passa a ser objeto da atividade
Engestroumlm (2008 p 89) ainda esclarece que ldquoem school-going textos assumem o papel de
objeto Este objeto eacute moldado pelos alunos de uma maneira curiosa o resultado de sua
atividade eacute sobretudo o mesmo texto reproduzido e modificado oralmente ou escrito de outra
forma32
rdquo
Sendo assim o objeto da atividade school-going pode ser caracterizado pelos
textos escolares (livros didaacuteticos apostilas etc) e pelos estudantes em formaccedilatildeo ndash alunos E
como objetivo central de tal atividade podemos considerar a transformaccedilatildeo dos indiviacuteduos
no processo de apropriaccedilatildeo dos conhecimentos e saberes (bens histoacutericos e culturais)
impressos nos textos e reproduzidos nas interaccedilotildees Nesse sentido o objetivo consiste na
capacitaccedilatildeo dos alunos para recriar ou refazer o ensinado
Vale pontuar que para Engestroumlm (2001 p 137 grifo meu) as ldquocontradiccedilotildees satildeo
tensotildees estruturais historicamente acumuladas dentro e entre sistemas de atividade33
rdquo Para
ele contradiccedilatildeo natildeo eacute a mesma coisa que problemas ou conflitos O autor esclarece que a
contradiccedilatildeo primaacuteria de atividades no capitalismo estaacute localizada no valor de uso e de troca
das mercadorias Engestroumlm (2001 p 137 grifo meu) enfatiza ainda que
Esta contradiccedilatildeo primaacuteria permeia todos os elementos de nossos sistemas de
atividade Atividades satildeo sistemas abertos Quando um sistema de atividade adota
um novo elemento de fora (por exemplo uma nova tecnologia ou um novo objeto)
ele leva frequentemente a uma contradiccedilatildeo secundaacuteria agravada onde algum antigo
elemento (por exemplo as regras ou a divisatildeo do trabalho) colide com o novo Tais
31
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoIn the model the subject refers to the individual or subgroup whose agency is
chosen as the point of view in the analysis The object refers to the ldquoraw materialrdquo or ldquoproblem spacerdquo at which
the activity is directed and which is molded or transformed into outcomes with the help of physical and
symbolic external an internal tools (mediating instruments and signs) The community comprises multiple
individuals andor subgroups who share the same general object The division of labor refers to both the
horizontal division of tasks between the members of the community and to the vertical division of power and
status Finally the rules refer to the explicit and implicit regulations norms and conventions that constrain
actions and interactions within the activity systemrdquo 32
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoIn school-going text takes the role of the object This object is molded by the
pupils in a curious manner the outcome if their activity is above all the same text reproduced and modified
orally or in written formrdquo 33
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoContradictions are historically accumulating structural tensions within and
between activity systemsrdquo
38
contradiccedilotildees geram distuacuterbios e conflitos mas tambeacutem tentativas inovadoras para
mudar a atividade34
Quando o texto escrito que compotildee livros didaacuteticos adotados durante os processos
de escolarizaccedilatildeo torna-se o objeto da atividade escolar em vez de ser um instrumento que
auxilie o entendimento do mundo podemos perceber que esse texto passa a carregar consigo
uma contradiccedilatildeo interna Engestroumlm (1987 p 102 grifo meu) faz os seguintes apontamentos
Primeiro de tudo ele eacute um objeto morto a ser reproduzido a fim de ganhar notas ou
outros lsquomarcadores de sucessorsquo que cumulativamente determinam o valor futuro do
proacuteprio aluno no mercado de trabalho Por outro lado ele tambeacutem tendenciosamente
aparece como um instrumento vivo de dominaccedilatildeo da proacutepria relaccedilatildeo com a
sociedade fora da escola [] como o objeto da atividade eacute tambeacutem o seu verdadeiro
motivo a natureza inerentemente dupla do motivo da school-going eacute agora visiacutevel35
Vale ressaltar que Engestroumlm (2001 p 136) enfatiza que para localizar qualquer
pesquisa na terceira geraccedilatildeo da Teoria da Atividade eacute preciso analisar no miacutenimo dois
sistemas de atividade interconectados
Na tentativa de exemplificar uma possiacutevel anaacutelise de atividade de aprendizagem
escolar tradicional utilizando a terceira geraccedilatildeo da Teoria da Atividade proposta por
Engestroumlm e seus colaboradores utilizarei um modelo exposto em Engestroumlm (2008 p 89)36
em que eacute apresentada uma unidade de anaacutelise (miacutenima) quando se deseja entender fenocircmenos
da sala de aula tradicional sistemas interconectados de atividade de ensino tradicional
(school-going) No modelo os sistemas de atividade dos professores como sujeitos de sua
proacutepria atividade diferem dos sistemas de atividade dos estudantes ora enquanto sujeitos de
sua proacutepria atividade ora enquanto objeto da atividade dos professores
FIGURA 2 ndash Os interdependentes sistemas de atividade de estudantes e professor
Fonte elabora do pela autora com base em ENGESTROumlM 2001 p 136 37
34
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoThis primary contradiction pervades all elements of our activity systems
Activities are open systems When an activity system adopts a new element from the outside (for example a new
technology or a new object) it often leads to an aggravated secondary contradiction where some old element (for
example the rules or the division of labor) collides with the new one Such contradictions generate disturbances
and conflicts but also innovative attempts to change the activityrdquo 35
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoFirst of all it is a dead object to be reproduced for the purpose of gaining
grades or other lsquosuccess markersrsquo which cumulatively determine the future value of the pupil himself in the labor
market On the other hand it tendentially also appears as a living instrument of mastering onersquos own relation to
society outside the school [] as the object of the activity is also its true motive the inherently dual nature of
motive of school-going is now visiblerdquo 36
Faccedilo nesse modelo uma pequena modificaccedilatildeo com relaccedilatildeo ao objeto da atividade dos dois sistemas
apresentados tomando por base o modelo apresentado por Engestroumlm (2001 p 136) em que eacute exposto um
terceiro objeto que seria o verdadeiro objeto dos sistemas de atividade no qual esse objeto eacute construiacutedo
mediante o compartilhamento dos outros dois objetos 37
Vide nota de rodapeacute anterior
39
O objeto da atividade school-going dos estudantes conforme representado por
Engestroumlm (2008) na FIG 2 pode ser entatildeo considerado como textos escolares (contidos em
livros didaacuteticos) os estudantes se orientam pelo livro e no livro eacute que eles realizam as accedilotildees
de entendimento dos conteuacutedos do ldquomundordquo presos nos textos escolares Os textos escolares
tambeacutem orientam a atividade dos professores Mas natildeo apenas os livros Os estudantes
tambeacutem fazem parte do objeto da atividade dos professores A ldquonuvemrdquo contida no modelo
corresponde a uma idealizaccedilatildeo do objeto da atividade tradicional como um objeto
compartilhado entre estudantes e professor(es) natildeo afirmo portanto que esse objeto seja
realmente compartilhado nas atividade da escola tradicional em sua totalidade
Bernardes (2009 p 240) confirmando o pensamento de Engestroumlm (2008)
esclarece que o motivo da atividade de ensino a ser realizada pelos professores como
sujeitos pode ser entendido(a) como ldquopossibilitar a transformaccedilatildeo da constituiccedilatildeo dos
estudantes por meio do acesso agrave cultura ndash humanizando-osrdquo O objetivo dessa atividade
estaria ancorado em ldquoensinar o conhecimento soacutecio-histoacutericordquo (BERNARDES 2009 p 240)
Jaacute o motivo da atividade de aprendizagem a ser realizada pelos estudantes ora como sujeitos
de sua proacutepria atividade ora como objeto da atividade do professor pode ser entendido como
ldquotornar-se herdeiro da cultura ndash humanizar-serdquo e o objetivo dessa atividade estaria ancorado
em ldquoapropriar-se do conhecimento soacutecio-histoacutericordquo (BERNARDES 2009 p 240)
Tanto para Engestroumlm (2008) quanto para Bernardes (2009) a unidade de anaacutelise
a ser adotada em anaacutelise de atividades formativas seria composta da seguinte forma a
40
atividade pedagoacutegica como sistemas interconectados de atividade ndash a atividade de ensino e a
atividade de aprendizagem (ou school-going para Engestroumlm) realizada por sujeitos
(professores e estudantes) ndash com objetivo relacionado ao acesso e agrave apropriaccedilatildeo da cultura por
meio do acesso e da apropriaccedilatildeo do conhecimento soacutecio-histoacuterico
Com isso cabe um questionamento os estudantes ao se moverem em busca de
satisfazer uma necessidade soacutecio-histoacuterica-cultural ndash humanizar-se ndash com o niacutetido objetivo de
participar da (e ao mesmo tempo agir na) sociedade ao se apropriar do conhecimento soacutecio-
histoacuterico acumulado pelo homem no decorrer de sua historicidade tornam-se eles mesmos
objeto de sua proacutepria atividade Podemos analisaacute-los dessa forma Tornar-se herdeiro da
cultura e se apropriar do conhecimento soacutecio-histoacuterico pode possibilitar ao estudante
transformaccedilotildees em termos de sua proacutepria participaccedilatildeo como ser-no-ldquomundordquo reflete ao
mesmo tempo devido agrave necessidade soacutecio-histoacuterica-cultural que este carrega um ldquomundordquo-
no-ser Dessa forma para analisar por meio da Teoria da Atividade fenocircmenos de ensino-
aprendizagem escolar como interconectados sistemas de atividade eacute necessaacuterio considerar
que ao engajarem em seu proacuteprio processo de escolarizaccedilatildeo (atividade de aprendizagem) os
estudantes satildeo ldquoenquadradosrdquo como objeto de sua proacutepria atividade e natildeo apenas sujeitos jaacute
que a atividade de aprendizagem eacute considerada como uma das componentes dos sistemas de
atividade que perfaz a atividade de ensino-aprendizagem
Dessa forma a atividade tradicional de ensino-aprendizagem constituiacuteda pelos
interconectados sistemas de atividade de alunos e professores cujo objeto eacute o texto escolar
(livros didaacuteticos) e tambeacutem os alunos ndash um objeto a ser compartilhado38
Assim percebemos
que na FIG 2 ocorreraacute num ponto de vista analiacutetico idealizado um compartilhamento entre
os objetos da atividade dos alunos e professor(es) ao considerarmos estes interconectados
sistemas de atividade Ao moldar esculpir construir seu proacuteprio objeto da atividade os
estudantes se tornam objeto de sua proacutepria atividade ndash atividade de aprendizagem ndash fazem
coincidir e passam a compartilhar o objeto da atividade dos professores ndash atividade de ensino
Essa condiccedilatildeo passa entatildeo a se constituir como necessaacuteria para o engajamento de
professores e alunos na atividade de ensino-aprendizagem que na presente pesquisa eacute
tomada como uma unidade de anaacutelise miacutenima utilizando a Teoria da Atividade em sua
denominada por Engestroumlm terceira geraccedilatildeo
38
Na FIG 2 este objeto seria o terceiro deles o idealizado ndash contido na ldquonuvemrdquo o compartilhamento do objeto
da atividade de ensino e do objeto da atividade de aprendizagem
41
Moura et al (2010 p 216 grifos meus) confirmam tal posicionamento com
relaccedilatildeo ao objeto da atividade de aprendizagem focando o conhecimento o conceito e
enfatizando que
Para que a aprendizagem se concretize para os estudantes e se constitua
efetivamente como atividade a atuaccedilatildeo do professor eacute fundamental ao mediar a
relaccedilatildeo dos estudantes com o objeto do conhecimento orientando e organizando o
ensino As accedilotildees do professor na organizaccedilatildeo do ensino devem criar no estudante a
necessidade do conceito fazendo coincidir os motivos da atividade com o objeto de
estudo
Contudo quando Moura et al (2010) enfatizam que os estudantes fazem parte do
objeto da atividade de ensino realizada pelos professores parecem natildeo considerar que a
atividade de ensino somente ocorre em uma diacuteade com a atividade de aprendizagem ldquoNatildeo haacute
docecircncia sem discecircnciardquo (FREIRE 1996 p 21) Soacute haacute ensino quando haacute aprendizagem
Ensina-se algo a algueacutem e esse algueacutem precisa aprender o que foi ensinado para que de fato
se possa dizer que foi ensinado Enquanto ensinar39
pode ser sinocircnimo de instruir ou ajudar
algueacutem a adquirir determinado conhecimento o verbo aprender40
pode ser sinocircnimo de se
instruir ou adquirir determinado conhecimento No entanto Freire (1996 p 23-24 grifo
meu) apesar de natildeo ser um estudiosoadepto da Teoria da Atividade aponta que
Natildeo haacute docecircncia sem discecircncia as duas se explicam e seus sujeitos apesar das
diferenccedilas que os conotam natildeo se reduzem agrave condiccedilatildeo de objeto um do outro
Quem ensina aprende ao ensinar e quem aprende ensina ao aprender Quem ensina
ensina alguma coisa a algueacutem [] Ensinar inexiste sem aprender [] Natildeo temo
dizer que inexiste validade no ensino de que natildeo resulta um aprendizado em que o
aprendiz natildeo se tornou capaz de recriar ou de refazer o ensinado em que o ensinado
que natildeo foi apreendido natildeo pode ser realmente aprendido pelo aprendiz
Natildeo eacute claro para mim o que Freire (1996) quis dizer quando enfatizou ldquonatildeo se
reduzem agrave condiccedilatildeo de objeto um do outrordquo contudo parece ter relaccedilatildeo direta com sua
rejeiccedilatildeo no que diz respeito agrave crenccedila de que ensinar eacute transferir conhecimento a algueacutem
sendo entatildeo esse algueacutem objeto daquele que transfere o conhecimento Para Freire (1996 p
22 grifos do autor) ldquoensinar natildeo eacute transferir conhecimento mas criar possibilidades para a
sua produccedilatildeo ou a sua construccedilatildeordquo
Sendo assim entendo que Engestroumlm (2008) expotildee interconectados sistemas de
atividade perfazendo a atividade do professor e a atividade dos estudantes (school-going) de 39
httpptwiktionaryorgwikiensinar
httpwwwdiciocombrensinar 40
httpptwiktionaryorgwikiaprender
httpwwwdiciocombraprender
42
forma distinta por perceber que nem sempre acontece de o aluno se reconhecer como objeto
de sua proacutepria atividade de aprendizagem mais do que isso o autor expotildee que a atividade
escolar tradicional descrita na FIG 2 eacute ldquoamplamente considerada alienante para ambos
estudantes e professores41
rdquo (ENGESTROumlM 2008 p 90) Tal alienaccedilatildeo acontece
principalmente pelo objeto da atividade de alunos e professores no processo tradicional de
escolarizaccedilatildeo estar ancorado no livro-texto em vez de o texto representar um instrumento que
auxilie a apropriaccedilatildeo dos conhecimentos como fatos socialmente e historicamente
construiacutedos
Vale ressaltar que a necessidade de apropriaccedilatildeo dos conhecimentos na qualidade
de constructos soacutecio-histoacuterico-culturais eacute (ou deveria ser) comungada por todos os indiviacuteduos
afetados pelo processo de escolarizaccedilatildeo ndash estudantes e professores mais do que eles todos os
indiviacuteduos da sociedade almejam por instruccedilatildeo Eacute na escola que se efetuam as praacuteticas de
instruccedilatildeo baseadas nos conhecimentos institucionalizados pela ciecircncia e referenciados por
todos A necessidade que pode ser atribuiacuteda pelo compartilhamento do conhecimento eacute (ou
deveria ser) comungada por estudantes e professores que ligados a essa necessidade
constroem os respectivos objetos de suas atividades como sujeitos na escola a atividade
educacional escolar cujo objeto eacute o conhecimento a ser compartilhado Aleacutem disso somente
entendo os estudantes como objeto da atividade do professor se eles se reconhecerem como
objeto da proacutepria atividade de aprendizagem ndash enquanto o primeiro instrui o segundo se
instrui inexoravelmente42
Uma observaccedilatildeo importante feita por Engestroumlm (2008) diz respeito agrave
metodologia de anaacutelise e tambeacutem agrave de construccedilatildeo dos dados de uma investigaccedilatildeo quando se
pretende usar a (denominada por ele) terceira geraccedilatildeo da Teoria da Atividade como ldquolenterdquo
teoacuterica Nas palavras dele
Orientadas pelo objetivo accedilotildees instrumentais publicamente roteirizadas satildeo a ponta
facilmente discerniacutevel do iceberg a profundidade da estrutura social da atividade
estaacute por debaixo da superfiacutecie mas oferece estabilidade e ineacutercia para o sistema
Assim o subtriacircngulo superior (sujeito-instrumentos-objeto) da Figura 7 representa
as accedilotildees instrumentais visiacuteveis de professores e alunos O curriacuteculo oculto estaacute
amplamente localizado na parte inferior do diagrama na natureza das regras a
comunidade e a divisatildeo do trabalho da atividade43
(ENGESTROumlM 2008 p 90)
41
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquowidely considered alienating for both students and teachersrdquo 42
Na minha concepccedilatildeo baseada nas ideias de Paulo Freire ensinar e aprender satildeo atividades disjuntas Ensinar
algo a algueacutem Nisso estaacute impresso uma mutualidade no objeto idealizado da atividade de ensino-
-aprendizagem escolar algo (algum conhecimento fenocircmeno conteuacutedo) e algueacutem (aquele que desempenharaacute as
accedilotildees empreendidas pelo aprender) 43
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoGoal-oriented publicly scripted instrumental actions are the easily discernible
tip of the iceberg the deep social structure of activity is underneath the surface but provides stability and inertia
43
Mesmo natildeo sendo necessariamente visiacuteveis do ponto de vista metodoloacutegico de
uma investigaccedilatildeo seratildeo consideradas na presente pesquisa as accedilotildees instrumentais localizadas
na parte inferior do diagrama de Engestroumlm (conforme FIG 1 e FIG 2) tais como as relaccedilotildees
de poder e controle que medeiam regulam e influenciam as relaccedilotildees sociais incluindo o
discurso como um produto histoacuterico-cultural
Ainda seratildeo considerados os seguintes cinco princiacutepios baacutesicos da Teoria da
Atividade44
apontados por Engestroumlm (2001 p 136-137) O primeiro diz respeito ao uso dos
sistemas de atividade como a unidade de anaacutelise Para isso ele apresenta seu sistema
triangular estendido como modelo para organizaccedilatildeo sistecircmica dos elementos que compotildeem a
atividade conforme exemplificado anteriormente na FIG 2 O segundo princiacutepio diz respeito
agrave multivocalidade do sistema de atividade Um sistema de atividades eacute composto por
comunidades com muacuteltiplos pontos de vista tradiccedilotildees e interesses A divisatildeo do trabalho cria
diferentes posiccedilotildees para os partiacutecipes que por sua vez portam suas proacuteprias e diversas
histoacuterias de vida os sistemas de atividade portam ainda muacuteltiplas camadas e vertentes da
histoacuteria gravadas em artefatos mediadores regras e convenccedilotildees O terceiro princiacutepio afirma
que a anaacutelise da atividade e dos componentes que a formam deve sempre ser tomada em sua
historicidade perceber o papel das contradiccedilotildees no movimento de uma atividade torna
possiacutevel tambeacutem a reconstituiccedilatildeo de sua evoluccedilatildeo e do desenvolvimento de suas praacuteticas ao
longo da histoacuteria O quarto princiacutepio que segundo Engestroumlm (2001) deveria ser seguido por
uma pesquisa que utiliza a Teoria da Atividade diz respeito agrave busca pelas contradiccedilotildees
internas dentro da atividade que seriam a forccedila motriz do desenvolvimento podendo ser
expressas por distuacuterbios inovaccedilotildees e mudanccedilas nos sistemas de atividade Finalmente o
quinto princiacutepio proclama a possibilidade de transformaccedilotildees expansivas nos sistemas de
atividade ldquoUma transformaccedilatildeo expansiva eacute realizada quando o objeto e o motivo da atividade
satildeo reconceitualizados adotando um horizonte radicalmente mais amplo de possibilidades do
que no estaacutegio anterior da atividade45
rdquo (ENGESTROumlM 2001 p 137) Para Engestroumlm
(1987) um ciclo completo de transformaccedilotildees expansivas pode ser entendido como uma
jornada coletiva por meio da zona de desenvolvimento proximal da atividade que ldquoeacute a
for the system Accordingly the topmost subtriangles (subject-instruments-object) da Figure 51 represent the
visible instrumental actions of teachers and students The hidden curriculum is largely located in the bottom parts
of the diagram in the nature of the rules the community and the division of labor of the activityrdquo 44
Denominada por Engestroumlm como a terceira geraccedilatildeo da teoria da atividade 45
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoAn expansive transformation is accomplished when the object and motive of
the activity are reconceptualized to embrace a radically wider horizon of possibilities than in the previous mode
of the activityrdquo
44
distacircncia entre as accedilotildees cotidianas dos indiviacuteduos e a historicamente nova forma de atividade
social que pode ser gerada coletivamente como uma soluccedilatildeo para o dilema potencialmente
incorporado nas accedilotildees cotidianasrdquo46
(ENGESTROumlM 1987 p 174)
Engestroumlm (1993) enfatiza que no que tange agrave historicidade de uma atividade a
ser analisada pela Teoria da Atividade a classificaccedilatildeo entre modos e tipos histoacutericos deve ser
realizada Para o autor o modo se refere agrave forma que certa atividade eacute organizada e realizada
pelos participantes em um dado momento O modo ldquose assemelha a um mosaico em constante
evoluccedilatildeo consistindo de vaacuterios interesses paralelos vozes e camadas47
rdquo (ENGESTROumlM
1993 p 68) Contudo um sistema de atividade como um todo tambeacutem representa algum
padratildeo qualitativo historicamente identificaacutevel ndash um tipo ideal ndash de seus componentes e suas
relaccedilotildees internas Partindo de tal diferenciaccedilatildeo Engestroumlm (1993) constroacutei um modelo
conceitual geral que permite analisar esses tipos histoacutericos com base na caracterizaccedilatildeo de
duas variaacuteveis principais o grau de complexidade e o grau de centralizaccedilatildeo O grau de
complexidade tende a ser crescente com o passar do tempo histoacuterico Jaacute o grau de
centralizaccedilatildeo dependeraacute do tipo de atividade a ser analisada Baixos graus de centralizaccedilatildeo e
altos graus de complexidade hipoteticamente corresponderiam a atividades dominadas
coletivamente e expansivamente
Engestroumlm (2002) na tentativa de criar uma maneira proacutepria de possibilitar e
analisar aprendizagens buscou inspiraccedilatildeo em dois autores O primeiro deles Davydov propocircs
uma estrateacutegia de ensino denominada formaccedilatildeo de conceitos teoacutericos pela ascensatildeo do
abstrato ao concreto que busca por meio de uma abstraccedilatildeo primaacuteria uma ldquoceacutelula
germinativardquo formas de deduzir e unificar outras formas de abstraccedilatildeo e generalizaccedilatildeo
transformando essa abstraccedilatildeo primaacuteria em um ldquoconceitordquo que imprime a ceacutelula germinativa
em sua essecircncia Para isso eacute preciso que ldquoos alunos reproduzam o processo atual pelo qual as
pessoas criaram conceitos imagens valores e normasrdquo (DAVYDOV 1988 p 21 apud
ENGESTROumlM 2002 p 185) A segunda autora eacute Jean Lave que propocircs analisar a
aprendizagem como participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima em comunidades de praacutetica Farei uma
breve explanaccedilatildeo dessas duas abordagens48
46
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoIt is the distance between the present everyday actions of the individuals and
the historically new form of the societal activity that can be collectively generated as a solution to the double
bind potentially embedded in the everyday actionsrdquo 47
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoThe mode resembles a continuously evolving mosaic consisting of various
parallel interests voices and layersrdquo 48
Engestroumlm (2002) busca inspiraccedilatildeo nas abordagens desses dois autores e agrega a elas o ldquocontexto da criacuteticardquo
(seraacute exposto posteriormente) para gerar um contexto que segundo ele seja propiacutecio para possibilitar
aprendizagens expansivas e por conseguinte o ldquorompimento da encapsulaccedilatildeordquo da aprendizagem escolar
45
11 Meacutetodo da ascensatildeo do abstrato ao concreto de Davydov
A teoria que Davydov propocircs denominada por meacutetodo da ascensatildeo do abstrato ao
concreto considera que a encapsulaccedilatildeo da aprendizagem49
escolar acontece devido ldquoa um vieacutes
empirista descritivo e classificatoacuteriordquo (ENGESTROumlM 2002 p 186) que permeia o ensino
tradicional e a elaboraccedilatildeo dos curriacuteculos Isso implica em um total desconhecimento por parte
dos alunos da gecircnese dos conhecimentos estudados dentro das escolas Engestroumlm e Sannino
(2010b) explicam que
Uma nova ideia ou conceito teoacuterico eacute inicialmente produzido sob a forma de um
abstrato relaccedilatildeo explicativa simples uma lsquoceacutelula germinativarsquo Esta abstraccedilatildeo
inicial eacute enriquecida passo-a-passo e transformada em um sistema concreto de
muacuteltiplas manifestaccedilotildees em constante desenvolvimento Na atividade de
aprendizagem a ideia inicial simples eacute transformada em um objeto complexo em
uma nova forma de praacutetica Atividade de aprendizagem leva agrave formaccedilatildeo de
conceitos teoacutericos - praacutetica teoricamente apreendida - concreto em riqueza sistecircmica
e multiplicidade de manifestaccedilotildees Neste quadro abstrato refere-se ao parcial
separado do todo concreto50
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 5)
Karel Kosik (1976) pode nos ajudar na compreensatildeo da ascensatildeo do abstrato ao
concreto Buscando em Marx Kosik explora dialeticamente as noccedilotildees de concretude e
abstraccedilatildeo Para isso ele define primeiramente o conceito de pseudoconcreticidade Segundo
ele
O complexo dos fenocircmenos que povoam o ambiente cotidiano e a atmosfera comum
da vida humana que com a sua regularidade imediatismo e evidecircncia penetram na
consciecircncia dos indiviacuteduos agentes assumindo um aspecto independente e natural
constitui o mundo da pseudoconcreticidade A ele pertecem
O mundo dos fenocircmenos externos que se desenvolvem agrave superfiacutecie dos processos
realmente essenciais
O mundo do traacutefico e da manipulaccedilatildeo isto eacute da praxis fetichizada dos homens (a
qual natildeo coincide com a praxis criacutetica revolucionaacuteria da humanidade)
49
O autor aborda a questatildeo da descontinuidade entre atividades escolares e atividades fora da escola
considerando os conhecimentos escolares como algo encapsulado distante da realidade cotidiana dos indiviacuteduos
que participam de tais praacuteticas denominando tal fenocircmeno por encapsulaccedilatildeo da aprendizagem escolar Ao
refletir sobre os motivos que levam os indiviacuteduos a participarem de atividades escolares enfatiza que na maioria
das vezes eles natildeo aprendem para a vida mas para a escola (ENGESTROumlM 2002) 50
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoA new theoretical idea or concept is initially produced in the form of an
abstract simple explanatory relationship a lsquogerm cellrsquo This initial abstraction is step-by-step enriched and
transformed into a concrete system of multiple constantly developing manifestations In learning activity the
initial simple idea is transformed into a complex object into a new form of practice Learning activity leads to
the formation of theoretical concepts ndash theoretically grasped practice ndash concrete in systemic richness and
multiplicity of manifestations In this framework abstract refers to partial separated from the concrete wholerdquo
46
O mundo das representaccedilotildees comuns que satildeo projeccedilotildees dos fenocircmenos externos
na consciecircncia dos homens produto da praxis feitichizada formas ideoloacutegicas de
seu movimento
O mundo dos objetos fixados que datildeo a impressatildeo de ser condiccedilotildees naturais e natildeo
satildeo imediatamente reconheciacuteveis como resultados da atividade social dos homens
(KOSIK 1976 p 15 grifo do autor)
Kosik nos mostra como o pensamento dialeacutetico entre a pseudoconcreticidade e os
fenocircmenos cotidianos estatildeo inteiramente relacionados por meio da consciecircncia dos
indiviacuteduos Diz ainda que para atingir a concreticidade eacute preciso destruir a
pseudoconcreticidade Nas palavras de Kosik (1976)
O pensamento que quer conhecer adequadamente a realidade que natildeo se contenta
com os esquemas abstratos da proacutepria realidade nem com suas simples e tambeacutem
abstratas representaccedilotildees tem de destruir a aparente independecircncia do mundo dos
contatos imediatos de cada dia O pensamento que destroacutei a pseudoconcreticidade
para atingir a concreticidade eacute ao mesmo tempo um processo no curso do qual sob o
mundo da aparecircncia se desvenda o mundo real por traacutes da aparecircncia externa do
fenocircmeno se desvenda a lei do fenocircmeno por traacutes do movimento visiacutevel o
movimento real interno por traacutes do fenocircmeno a essecircncia (KOSIK 1976 p 20)
Vale ressaltar que para Kosik (1976 p 36) ldquoo meacutetodo da ascensatildeo do abstrato ao
concreto eacute o meacutetodo do pensamentordquo atuando nos conceitos que satildeo considerados os
elementos da abstraccedilatildeo Sendo assim o autor explicita que tal ascensatildeo natildeo pode ser
entendida como uma lsquopassagemrsquo de um plano (sensiacutevel) para outro plano (racional) ou seja
para ele tal ascensatildeo consiste em ldquoum movimento no pensamento e do pensamentordquo (KOSIK
1976 p 36) Nesse sentido o autor aponta que
A ascensatildeo do abstrato ao concreto eacute um movimento para o qual todo iniacutecio eacute
abstrato e cuja dialeacutetica consiste na superaccedilatildeo desta abstratividade [] O processo
do pensamento natildeo se limita a transformar o todo caoacutetico das representaccedilotildees no todo
transparente dos conceitos no curso do processo o proacuteprio todo eacute concomitante
delineado determinado e compreendido (KOSIK 1976 p 36-37)
As reflexotildees apontadas por Kosik (1976) podem nos fornecer subsiacutedios
epistemoloacutegicos para o entendimento da estrateacutegia de ascender do abstrato para o concreto de
Davydov A teoria de Davydov aponta para a necessidade de a escola atuar de forma a
direcionar os alunos a descobrirem o ldquonuacutecleordquo ou ldquogermerdquo do assunto acadecircmico a ser
estudado Nas palavras de Davydov (1988)
Ao iniciar o domiacutenio de qualquer mateacuteria curricular os alunos com a ajuda dos
professores analisam o conteuacutedo do material curricular e identificam nele a relaccedilatildeo
geral principal e ao mesmo tempo descobrem que esta relaccedilatildeo se manifesta em
47
muitas outras relaccedilotildees particulares encontradas nesse determinado material Ao
registrar por meio de alguma forma referencial a relaccedilatildeo geral principal
identificada os alunos constroem com isso uma abstraccedilatildeo substantiva do assunto
estudado Continuando a anaacutelise do material curricular eles detectam a vinculaccedilatildeo
regular dessa relaccedilatildeo principal com suas diversas manifestaccedilotildees obtendo assim
uma generalizaccedilatildeo substantiva do assunto estudado Dessa forma as crianccedilas
utilizam consistentemente a abstraccedilatildeo e a generalizaccedilatildeo substantivas para deduzir
(uma vez mais com o auxiacutelio do professor) outras abstraccedilotildees mais particulares e para
uni-las no objeto integral (concreto) estudado Quando os alunos comeccedilam a usar a
abstraccedilatildeo e a generalizaccedilatildeo iniciais como meios para deduzir e unir outras
abstraccedilotildees eles convertem as estruturas mentais iniciais em um conceito que
representa o ldquonuacutecleordquo do assunto estudado Este ldquonuacutecleordquo serve posteriormente agraves
crianccedilas como um princiacutepio geral pelo qual elas podem se orientar em toda a
diversidade do material curricular factual que tecircm que assimilar em uma forma
conceitual por meio da ascensatildeo do abstrato ao concreto (DAVYDOV 1988 p 22
apud LIBAcircNEO 2004 p 17)
Engestroumlm (2002 p 186) enfatiza que a escola tradicional tende a permanecer
inerte ldquoporque seus lsquogermesrsquo nunca satildeo descobertos pelos estudantes e consequentemente
porque os estudantes natildeo tecircm a chance de usar esses lsquogermesrsquo para deduzir explicar predizer
e controlar na praacutetica fenocircmenos e problemas concretos em seu ambienterdquo Davydov
considera seis accedilotildees que devem orientar as atividades de aprendizagem orientadas pelo
meacutetodo da ascensatildeo do abstrato para o concreto Satildeo elas
1) Transformar as condiccedilotildees da tarefa a fim de revelar a relaccedilatildeo universal do objeto
em estudo
2) Modelar a relaccedilatildeo natildeo-identificada numa forma de item especiacutefico graacutefica ou
literal
3) Transformar o modelo da relaccedilatildeo a fim de estudar suas propriedades em sua
ldquoaparecircncia purardquo
4) Construir um sistema de tarefas particulares que satildeo resolvidas por um modo
geral
5) Monitorar o desempenho das accedilotildees precedentes
6) Avaliar a assimilaccedilatildeo do modo geral que resulta da resoluccedilatildeo da tarefa de
aprendizagem dada (DAVYDOV 1988 p 30 apud ENGESTROumlM 2002 p 186)
A FIG 3 mostra as fases da generalizaccedilatildeo teoacuterica proposta por Davydov como o
meacutetodo da ascensatildeo do abstrato ao concreto
48
FIGURA 3 ndash Sumaacuterio da generalizaccedilatildeo teoacuterica de Davydov
Fonte DAVYDOV 1982 p 42 apud ENGESTROumlM 2009 p 326
Engestroumlm (2002 p 188 grifo do autor) aponta que a soluccedilatildeo proposta por
Davydov para resolver a questatildeo da aprendizagem escolar pretende ldquoempurrar a escola para
dentro do mundo tornando-a dinacircmica e teoricamente poderosa no enfrentamento de
problemas praacuteticosrdquo Poreacutem para Engestroumlm (2002) essa estrateacutegia parece natildeo mudar a base
social da aprendizagem escolar mas ldquoao colocar os alunos em contato com os descobridores
do passado a estrateacutegia pode muito bem dar poder aos alunosrdquo (ENGESTROumlM 2002 p
188)
12 A participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima de Lave
Os conceitos fundamentais da abordagem de Jean Lave e Etiene Wenger se
baseiam na Participaccedilatildeo Perifeacuterica Legiacutetima (PPL) em comunidades de praacutetica que propotildeem
a noccedilatildeo de aprendizagem como o movimento gradualmente crescente na participaccedilatildeo de
sujeitos em comunidades de praacutetica Dessa forma ldquoa aprendizagem deve ser analisada como
uma parte integral da praacutetica social em que estaacute ocorrendo Para se mudar ou melhorar a
49
aprendizagem deve se reorganizar a praacutetica socialrdquo (ENGESTROumlM 2002 p 188) Ainda
Engestroumlm (2002) sinaliza que Lave e Wenger sugerem que
a aprendizagem como participaccedilatildeo em comunidades de praacutetica eacute particularmente
efetiva (a) quando os participantes tecircm amplo acesso a diferentes partes da atividade
e terminam procedendo agrave plena participaccedilatildeo nas tarefas nucleares (b) quando haacute
abundante interaccedilatildeo horizontal entre os participantes mediada especialmente por
histoacuterias de situaccedilotildees problemaacuteticas e suas soluccedilotildees e (c) quando as tecnologias e
estruturas da comunidade de praacutetica satildeo transparentes isto eacute quando seus
mecanismos internos estatildeo disponiacuteveis para a inspeccedilatildeo do aprendiz (ENGESTROumlM
2002 p 189)
Sob a oacutetica da aprendizagem como participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima em
comunidades de praacutetica Engestroumlm (2002) enfatiza que nas escolas muitas vezes haacute a
predominacircncia de curriacuteculos ocultos produzidos por meio de experiecircncias e resultados natildeo
intencionais podendo ateacute mesmo ser considerados condenaacuteveis sob o ponto de vista dos
curriacuteculos oficiais Para fundar uma comunidade de praacutetica com base nas sugestotildees apontadas
acima de forma a reorganizar o ensino seria necessaacuteria a identificaccedilatildeo de uma comunidade
de praacutetica que simularia o que os cientistas ou aqueles que aplicam os conhecimentos
cientiacuteficos fazem em suas atividades diaacuterias
Engestroumlm (2002) aponta que a soluccedilatildeo para a questatildeo da encapsulaccedilatildeo da
aprendizagem escolar proposta por Lave e Wenger cujo foco estaacute no entendimento da
aprendizagem como participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima em comunidades de praacutetica que toma
como objeto da referida atividade o contexto de aplicaccedilatildeo praacutetica parece pretender empurrar
o mundo para dentro da escola por meio da criaccedilatildeo de ldquocomunidades de praacutetica do mundo
exterior para dentro da escolardquo (ENGESTROumlM 2002 p 191 grifo do autor)
13 Aprendizagem expansiva
Engestroumlm (2002) toma como ponto de partida as ideias de Davydov e Lave cujas
abordagens se baseiam respectivamente nos contextos da descoberta e da aplicaccedilatildeo e
anexa a esses contextos o contexto da criacutetica
Para Engestroumlm (2002) as atividades escolares que objetivem o rompimento da
encapsulaccedilatildeo da aprendizagem escolar devem iniciar-se com uma criacutetica meticulosa sobre os
conteuacutedos e procedimentos a serem abordadosestudadosaprendidos agrave luz de sua histoacuteria O
50
autor questiona ldquopor que natildeo deixar que os proacuteprios alunos descubram como suas maacutes
concepccedilotildees satildeo manufaturadas na escolardquo (ENGESTROumlM 2002 p 192 grifo meu) Para
isso o autor orienta que inicialmente seria necessaacuteria uma anaacutelise criacutetica dos livros didaacuteticos e
curriacuteculos em aacutereas especiacuteficas de conteuacutedo
Aliados os contextos da descoberta da aplicaccedilatildeo e da criacutetica podem definir o
que Engestroumlm (2002) chama de contexto da aprendizagem por expansatildeo Para o autor
O contexto da criacutetica enfatiza os poderes de resistir questionar contradizer e
debater O contexto da descoberta enfatiza os poderes de experimentar modelar
simbolizar e generalizar O contexto da aplicaccedilatildeo enfatiza os poderes da relevacircncia
social e da aplicabilidade do conhecimento do envolvimento da comunidade e da
praacutetica guiada (ENGESTROumlM 2002 p 193 grifos meus)
Engestroumlm (1987 2002) enfatiza que para o contexto da criacutetica ser plenamente
estabelecido seria necessaacuterio criar um contexto alternativo de aprendizagem de forma que aos
alunos seja inaugurada a possibilidade de elaborar e implementar um novo caminho na
praacutetica um modelo novo de praacutexis um novo modo de fazer e participar do trabalho escolar
ou seja os sujeitos tecircm de aprender algo que natildeo existe a priori ldquoeles adquirem sua atividade
futura enquanto a vatildeo criandordquo (ENGESTROumlM 2002 p 193) O autor afirma que o ldquotripeacuterdquo
ancorado pelos contextos da descoberta da aplicaccedilatildeo e da criacutetica poderia ser considerado
como ldquoo novo e expandido objeto da aprendizagemrdquo (ENGESTROumlM 2002 p 193) escolar
Para Engestroumlm (2002) esse tipo de expansatildeo no objeto implicaria uma completa
transformaccedilatildeo qualitativa da atividade de aprendizagem escolar
Engestroumlm (2001 p 138) inspirado em Bateson (1972) ndash que distingue trecircs niacuteveis
de aprendizagem (tipos I II e III) ndash propotildee uma nova abordagem para a aprendizagem ndash a
expansiva Para Bateson (1972) aprendizagens de niacutevel I estatildeo baseadas no
ldquocondicionamento aquisiccedilatildeo de respostas consideradas corretas em um dado contextordquo51
(ENGESTROumlM 2001 p 138) Aprendizagens de niacutevel II estatildeo relacionadas agrave aprendizagem
de ldquonormas e padrotildees de comportamento caracteriacutesticos do proacuteprio contextordquo52
(ENGESTROumlM 2001 p 138) Dessa forma muitas vezes os proacuteprios contextos podem estar
embebidos por demandas contraditoacuterias que podem impulsionar aprendizagens de niacutevel III
ldquoquando uma pessoa ou um grupo comeccedila a questionar radicalmente o sentido e o
significado do contexto e constroem um contexto alternativo mais amplo Aprendizagem de
51
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoconditioning acquisition of the responses deemed correct in the given
contextrdquo 52
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquorules and patterns of behavior characteristic to the context itselfrdquo
51
niacutevel III eacute essencialmente um empenho coletivordquo53
(ENGESTROumlM 2001 p 138 itaacutelicos
meus) Engestroumlm (2001) utiliza tais ideias de Bateson (1972) e propotildee a Teoria da
Aprendizagem Expansiva
Aprendizagem de niacutevel III eacute vista como atividade de aprendizagem que tem seu
proacuteprio tipo de accedilotildees e instrumentos [hellip] O objeto da atividade da aprendizagem
expansiva eacute todo o sistema de atividades em que os aprendizes estatildeo engajados
Atividades de aprendizagem expansiva produzem culturalmente novos padrotildees de
atividade Aprendizagem expansiva no trabalho produz novas formas de atividade
de trabalho (ENGESTROumlM 2001 p 139 grifo meu)54
As raiacutezes teoacutericas que fundamentam o conceito de aprendizagem expansiva foram
expostas em Engestroumlm e Sannino (2010b) Os autores apontam seis teoacutericos e as ideias
centrais que foram utilizadas como ldquopano de fundordquo teoacuterico para a elaboraccedilatildeo do conceito de
aprendizagem expansiva Da Escola Histoacuterico-Cultural Russa foram usadas seis ideias dos
acadecircmicos Lev Vygotsky Aleksei Leontev Evald Ilrsquoenkov e Vasili Davydov Aleacutem desses
teoacutericos foram utilizadas mais duas ideias oriundas dos trabalhos de Bateson e Bakhtin A
seguir com base em Engestroumlm e Sannino (2010b) farei um breve resumo dessas oito raiacutezes
1) Leontev (1981) considera as atividades coletivas tomando por base a divisatildeo do
trabalho que para ele pode levar agrave separaccedilatildeo de accedilatildeo e atividade Em uma
atividade de caccedila por exemplo cada participante tem um papel diferenciado em
termos de accedilotildees a serem executadas visando a seu engajamento na atividade Uma
accedilatildeo tem um comeccedilo definido e um fim Jaacute uma atividade coletiva se reproduz
sem um ponto final predeterminado mas orientada pelo objeto podendo
acontecer continuidade e ateacute mesmo mudanccedilas dramaticamente descontiacutenuas na
atividade pois a atividade depende das accedilotildees e das condiccedilotildees para sua realizaccedilatildeo
A proacutepria ideia de aprendizagem expansiva que pode ser entendida como um
movimento das accedilotildees para a atividade foi construiacuteda tomando-se por base a
distinccedilatildeo entre accedilatildeo e atividade
2) O conceito Vigotskiano de zona de desenvolvimento proximal (ZDP) que pode
ser entendida como a distacircncia entre o real e o potencial niacutevel de resoluccedilatildeo de
53
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquowhere a person or a group begins to radically question the sense and meaning
of the context and to construct a wider alternative context Learning III is essentially a collective endeavorrdquo 54
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoLearning III is seen as learning activity which has its own typical actions and
tools [] The object of expansive learning is the entire activity system in which the learners are engaged
Expansive learning activity produces culturally new patterns of activity Expansive learning at work produces
new forms of work activityrdquo
52
problemas considerando o real niacutevel como sendo o indiviacuteduo sozinho e o
potencial como sendo o indiviacuteduo orientado por outro(s) indiviacuteduo(s)
considerado(s) mais experiente(s) (ENGESTROumlM SANNINO 2010b)
Engestroumlm (1987) conforme exposto anteriormente com o objetivo de entender a
aprendizagem e o desenvolvimento redefiniu o conceito de ZDP adaptando as
ideias de Vigotski sob o ponto de vista das atividades coletivas gerando assim o
conceito de ZDP da atividade
3) A Teoria da Aprendizagem Expansiva pode ser entendida como uma aplicaccedilatildeo
da Teoria da Atividade devido a sua orientaccedilatildeo para o objeto Na Teoria da
Aprendizagem Expansiva o objeto pode ser considerado com um duplo sentido
tanto mateacuteria prima quanto finalidade da atividade Neste sentido o objeto
carrega consigo o motivo da atividade Sendo assim a ldquoaprendizagem expansiva eacute
um processo de transformaccedilatildeo material de relaccedilotildees vitaisrdquo (ENGESTROumlM
SANNINO 2010b p 4)
4) A Teoria da Atividade pode ser considerada como uma teoria dialeacutetica e sendo
assim o conceito de contradiccedilatildeo desempenha importante papel para a elaboraccedilatildeo
da Teoria da Aprendizagem Expansiva Com base em Ilrsquoenkov (1977 1982 apud
ENGESTROumlM SANNINO 2010b) a Teoria da Aprendizagem Expansiva
concebe as contradiccedilotildees como
[] tensotildees historicamente em evoluccedilatildeo que podem se detectadas e tratadas no real
sistema de atividade No capitalismo a contradiccedilatildeo primaacuteria presente entre valor de
uso e valor de troca eacute inerente a todas as mercadorias e todas as esferas da vida
estatildeo sujeitas a comoditizaccedilatildeo55
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 4 grifo
meu)
Os autores enfatizam que as contradiccedilotildees podem ser entendidas como forccedilas
motrizes da transformaccedilatildeo Para eles o proacuteprio ldquoobjeto de uma atividade eacute sempre
contraditoacuterio internamenterdquo (ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 4 grifos
meus) Neste sentido a contradiccedilatildeo interna presente no objeto de uma atividade
funciona como uma forccedila interna capaz de produzir movimento e direccedilatildeo para a
atividade
55
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquocontradictions as historically evolving tensions that can be detected and dealt
with in real activity systems In capitalism the pervasive primary contradiction between use value and exchange
value is inherent to every commodity and all spheres of life are subject to commoditizationrdquo
53
5) Davydov conforme exposto anteriormente desenvolveu o meacutetodo da ascensatildeo
do abstrato para o concreto que pode ser entendido como um meacutetodo cujo foco
estaacute ancorado na captura da essecircncia de um objeto Engestroumlm e Sannino (2010b)
baseiam-se nas seis accedilotildees tipicamente ideias de aprendizagem prefiguradas por
Davydov e expostas anteriormente no item 11 deste capiacutetulo para elaborar o
conceito de sequecircncia tipicamente ideal de accedilotildees em um ciclo expansivo de
aprendizagem que seraacute exposto mais adiante neste mesmo capiacutetulo desta tese
6) Nos escritos de Vigotski e de seus colaboradores podemos encontrar o
conceito de mediaccedilatildeo que pode ser entendido como accedilotildees que satildeo realizadas
pelos sujeitos de uma atividade por meio das ferramentas e os signos culturais e
orientadas para o objeto da atividade como essecircncia do funcionamento
psicoloacutegico humano Engestroumlm e Sannino (2010b) apontam que a agecircncia do
sujeito - sua capacidade para transformar um contexto eou seu proacuteprio
comportamento- o torna foco central na Teoria da Aprendizagem Expansiva Os
autores esclarecem ainda que
Vygotsky construiu sua metodologia intervencionista de estimulaccedilatildeo dupla neste
insight Em vez de meramente dando ao sujeito uma tarefa para resolver Vygotsky
deu ao sujeito tanto uma tarefa exigente (primeiro estiacutemulo) e um artefato ldquoneutrordquo
ou externamente ambiacuteguo (segundo estiacutemulo) o sujeito poderia encher de
significado e se transformar em um novo signo de mediaccedilatildeo que reforccedilaria suas
accedilotildees e potencialmente levar a ressignificaccedilatildeo da tarefa Aprendizagem expansiva
normalmente exige intervenccedilotildees formativas com base no princiacutepio de estimulaccedilatildeo
dupla56
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 5 grifos meus)
7) A metodologia intervencionista proposta por Vigotski de estimulaccedilatildeo dupla
dialoga com o pensamento do antropoacutelogo Bateson A noccedilatildeo de double bind de
Bateson (1972 apud ENGESTROumlM SANNINO 2010 p 5) configura-se como
uma raiz teoacuterica para a Teoria da Aprendizagem Expansiva e pode ser entendida
como ldquoum social dilema socialmente essencial que natildeo pode ser resolvido por
meio de accedilotildees individuais separadas por si soacute ndash mas em que as accedilotildees de
56
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoVygotsky built his interventionist methodology of double stimulation on this
insight Instead of merely giving the subject a task to solve Vygotsky gave the subject both a demanding task
(first stimulus) and a lsquoneutralrsquo or ambiguous external artifact (second stimulus) the subject could fill with
meaning and turn into a new mediating sign that would enhance his or her actions and potentially lead to
reframing of the task Expansive learning typically calls for formative interventions based of the principle of
double stimulationrdquo
54
cooperaccedilatildeo conjunta podem impulsionar uma historicamente nova forma de
atividade a surgirrdquo57
(ENGESTROumlM 1987 p 165 itaacutelicos do autor)
8) Por uacuteltimo a ideia de multivocalidade de Bakhtin (1982) configura-se como
uma raiz teoacuterica da Teoria da Aprendizagem Expansiva Engestroumlm (1987) aponta
que
Aplicado na pesquisa e aprendizagem expansiva isso significa todas as vozes
contraditoacuterias e complementares dos vaacuterios grupos e estratos no sistema de
atividade em anaacutelise devem ser envolvidas e utilizadas Como Bakhtin mostra que
isso definitivamente inclui as vozes e gecircneros natildeo acadecircmicos de pessoas comuns
Assim em vez da argumentaccedilatildeo claacutessica dentro do uacutenico tipo de discurso
acadecircmico temos conflitantes fogos de artifiacutecio de diferentes tipos de discurso e
linguagens58
(p 315 apud ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 5 grifos do autor)
A proacutepria ldquoaprendizagem expansiva eacute um processo inerentemente de debate
negociaccedilatildeo e orquestraccedilatildeordquo59
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b)
Dando por encerrado o breve resumo das oito ideias que configuram como sendo
as raiacutezes da Teoria da Aprendizagem Expansiva vale ressaltar que eacute nesse processo de
debate confrontamento dessas muacuteltiplas ldquovozes que se travam as disputas de poder e se
instauram as possibilidades de transformaccedilatildeordquo (MATEUS 2005 p 168)
Bakhtin considera que o discurso natildeo eacute individual porque se constroacutei entre pelo
menos dois interlocutores que por sua vez satildeo seres sociais e porque se constroacutei como um
ldquodiaacutelogo entre discursosrdquo ou seja manteacutem relaccedilotildees com outros discursos (BARROS 2007 p
31)
Ainda em Engestroumlm e Sannino (2010b) podemos encontrar os princiacutepios centrais
da Teoria da Aprendizagem Expansiva Para os autores a aprendizagem expansiva busca
compreender processos de aprendizagem nos quais os sujeitos da aprendizagem natildeo satildeo
considerados apenas como indiviacuteduos isolados como eacute feito em teorias tradicionais de
aprendizagem mas passam a ser tratados como coletividades e redes Isso acontece quando os
sujeitos comeccedilam a questionar e criticar a ordem e a loacutegica das atividades que estaacute engajado
Por meio de interaccedilotildees com outros membros da comunidade instituem um grupo uma
57
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoa social societally essential dilemma which cannot be resolved through
separate individual actions alone ndash but in which joint co-operative actions can push a historically new form of
activity into emergencerdquo 58
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoApplied in expansive learning and research this means all the conflicting
and complementary voices of the various groups and strata in the activity system under scrutiny shall be
involved and utilized As Bakhtin shows this definitely includes the voices and non-academic genres of the
common people Thus instead of the classical argumentation within the single academic speech type we get
clashing fireworks of different speech types and languagesrdquo 59
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoExpansive learning is an inherently multi-voiced process of debate
negotiation and orchestrationrdquo
55
coletividade engajada em analisar e modelar colaborativamente um movimento na zona de
desenvolvimento proximal (ZDP) da atividade Ao questionarem os indiviacuteduos refletem e
percebem as contradiccedilotildees historicamente acumuladas nos sistemas de atividade As
contradiccedilotildees podem se manifestar como forma de conflitos dilemas distuacuterbios e inovaccedilotildees
locais Cabe ressaltar que ldquocontradiccedilotildees satildeo mecanismos necessaacuterios mas natildeo suficientes para
a aprendizagem expansiva em um sistema de atividades60
rdquo (ENGESTROumlM SANNINO
2010b p 7)
Durante o processo de aprendizagem expansiva as contradiccedilotildees podem aparecer
das seguintes maneiras
a) Como contradiccedilotildees primaacuterias latentes emergentes dentro de cada e qualquer dos
elementos do sistema de atividade
b) Como contradiccedilotildees secundaacuterias manifestas abertamente entre dois ou mais
elementos do sistema de atividade (por exemplo entre um novo objeto e uma velha
ferramenta)
c) Como contradiccedilotildees terciaacuterias entre um recentemente estabilizado modo de
atividade e remanescentes modos anteriores de atividade
d) Como contradiccedilotildees quaternaacuterias externas entre os receacutem-reorganizados sistemas
de atividade e seus sistemas de atividades ldquovizinhosrdquo61
(ENGESTROumlM SANNINO
2010b p 7 grifos meus)
Engestroumlm e Sannino (2010b) pontuam que existe diferenccedila entre experiecircncias
conflitantes e contradiccedilotildees significativas enquanto as primeiras podem ser analisadas no niacutevel
das accedilotildees de curto prazo a segunda pode ser enquadrada no niacutevel da atividade (e inter-
atividades) e tem um ciclo bem mais longo Dessa forma analisar experiecircncias conflitantes e
contradiccedilotildees significativas produzem anaacutelises em diferentes niacuteveis
As contradiccedilotildees desempenham um papel muito importante na Teoria da
Aprendizagem Expansiva pois se configuram como forccedilas motrizes que ao serem tratadas de
tal forma pelos sujeitos engajados um novo objeto eacute construiacutedo moldado e transformado em
um motivo Nesse momento ocorre entatildeo um ato extraordinaacuterio o encontro da necessidade
com o objeto (ENGESTROumlM SANNINO 2010b) Dessa forma o motivo de uma dada
atividade coletiva passa a se configurar efetivamente para um sujeito mediante o sentido
60
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoContradictions are the necessary but not sufficient engine of expansive
learning in an activity systemrdquo 61
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquo(a) as emerging latent primary contradictions within each and any of the
nodes of the activity system
(b) as openly manifest secondary contradictions between two or more nodes (eg between a new object and an
old tool)
(c) as tertiary contradictions between a newly established mode of activity and remnants of the previous mode of
activity
(d) as external quaternary contradictions between the newly reorganized activity and its neighboring activity
systemsrdquo
56
pessoal que pode ser entendido como o sentido que ldquoexpressa a relaccedilatildeo do motivo da
atividade para o imediato objetivo da accedilatildeordquo62
(LEONTIEV 1978 p 171)
Engestroumlm e Sannino (2010b) utilizam as ideias de Davydov das accedilotildees
tipicamente ideias de aprendizagem descritas anteriormente nesta tese e descrevem uma
sequecircncia tipicamente ideal de accedilotildees epistecircmicas em um ciclo expansivo da seguinte maneira
- A primeira accedilatildeo consiste no questionamento criacutetica ou rejeiccedilatildeo de alguns aspectos
da praacutetica aceita e sabedoria existente Para simplificar chamaremos esta accedilatildeo de
interrogatoacuterio
- A segunda accedilatildeo consiste em analisar a situaccedilatildeo Analisar envolve transformaccedilotildees
mentais discursivas ou praacuteticas da situaccedilatildeo a fim de descobrir mecanismos de causa
ou explicaccedilatildeo Anaacutelise evoca ldquopor quecircrdquo questotildees e princiacutepios explanatoacuterios Um
tipo de anaacutelise eacute a histoacuterico-geneacutetica que pretende explicar a situaccedilatildeo pelo traccedilado
de suas origens e evoluccedilatildeo Outro tipo de anaacutelise eacute a real-empiacuterica que pretende
explicar a situaccedilatildeo pela construccedilatildeo de um quadro de suas relaccedilotildees sistemaacuteticas
internas
- A terceira accedilatildeo consiste no modelamento da relaccedilatildeo explicativa receacutem-descoberta
em alguns meios publicamente observaacuteveis e transmissiacuteveis Isto significa
construccedilatildeo de um modelo expliacutecito simplificado da nova ideia que explica e oferece
soluccedilatildeo para a situaccedilatildeo problemaacutetica
- A quarta accedilatildeo consiste no exame do modelo executando operando e
experimentando-o a fim de compreender plenamente sua dinacircmica potecircncia e
limitaccedilotildees
- A quinta accedilatildeo consiste na implementaccedilatildeo do modelo por meio de aplicaccedilotildees
praacuteticas enriquecimento e extensotildees conceituais
- A sexta e seacutetima accedilatildeo satildeo aquelas de refletir sobre e avaliar o processo e
consolidaccedilatildeo de seus resultados numa estaacutevel nova forma de praacutetica63
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 7 itaacutelicos dos autores negritos meus)
A seguir apresento a FIG 4 que representa a sequecircncia ideal descrita por
Engestroumlm e Sannino (2010b) em que as espessuras das setas indicam a ampliaccedilatildeo da
participaccedilatildeo nas accedilotildees de aprendizagem
62
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoexpresses the relation of motive of activity to the immediate goal of actionrdquo 63
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquo- The first action is that of questioning criticizing or rejecting some aspects
of the accepted practice and existing wisdom For the sake of simplicity we will call this action questioning
- The second action is that of analyzing the situation Analysis involves mental discursive or practical
transformation of the situation in order to find out causes or explanatory mechanisms Analysis evokes ldquowhyrdquo
questions and explanatory principles One type of analysis is historical-genetic it seeks to explain the situation
by tracing its origins and evolution Another type of analysis is actual-empirical it seeks to explain the situation
by constructing a picture of its inner systemic relations
- The third action is that of modeling the newly found explanatory relationship in some publicly observable and
transmittable medium This means constructing an explicit simplified model of the new idea that explains and
offers a solution to the problematic situation
- The fourth action is that of examining the model running operating and experimenting on it in order to fully
grasp its dynamics potentials and limitations
- The fifth action is that of implementing the model by means of practical applications enrichments and
conceptual extensions
- The sixth and seventh actions are those of reflecting on and evaluating the process and consolidating its
outcomes into a new stable form of practicerdquo
57
FIGURA 4 ndash Sequecircncia de accedilotildees de aprendizagem em um ciclo de aprendizagem expansiva
Fonte ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 8
Aleacutem disso Engestroumlm e Sannino (2010b) se baseiam em estudos empiacutericos e
intervencionistas e apontam algumas formas de manifestaccedilatildeo da aprendizagem expansiva em
atividades coletivas aprendizagem expansiva como transformaccedilatildeo do objeto como
movimento na zona de desenvolvimento proximal como ciclos de accedilotildees de aprendizagem
como superaccedilatildeo de limites e construccedilatildeo de redes e como movimentos distribuiacutedos e
descontiacutenuos Farei uma breve exposiccedilatildeo do que seriam as referidas manifestaccedilotildees observadas
nos estudos empiacutericos e intervencionistas citados por Engestroumlm e Sannino (2010b)
1) Aprendizagem expansiva como transformaccedilatildeo do objeto da atividade busca
superar a concepccedilatildeo de aprendizagem como algo individual do sujeito inerente a ele em sua
cogniccedilatildeo ou em seu comportamento A aprendizagem expansiva se manifesta essencialmente
como transformaccedilatildeo do objeto da atividade coletiva O que consequentemente pode
promover transformaccedilotildees qualitativas dos elementos que compotildeem os sistemas de atividade
Vale ressaltar que a expansatildeo pode ser entendida como um processo positivo contudo os
ldquoretrocessosrdquo tambeacutem podem ocorrer nos processos de aprendizagem expansiva Isso porque
o objeto carrega consigo contradiccedilotildees internas que podem alcanccedilar diferentes niacuteveis dentro de
um processo de aprendizagem expansiva como transformaccedilatildeo do objeto o que de certo
58
ocorre como um processo coletivo de negociaccedilatildeo e orquestraccedilatildeo (ENGESTROumlM SANNINO
2010b)
2) Aprendizagem expansiva como movimento na zona de desenvolvimento
proximal da atividade busca superar o paradigma das teorias de aprendizagem que
consideram o sucesso em provas eou outros tipos de testes de desempenho como orientadora
do ensino A aprendizagem expansiva busca superar os dilemas vividos pelos sujeitos em sua
cotidianidade por meio da construccedilatildeo coletiva de uma nova forma de praacutetica tomando por
base o enfrentamento das contradiccedilotildees incorporadas nos sistemas de atividade Entatildeo todo e
qualquer movimento coletivo em busca da minimizaccedilatildeo da distacircncia entre as ldquoaccedilotildeesrdquo
cotidianas dos indiviacuteduos e a historicamente nova forma de atividade como praacutetica social
(que pode ser requeridademandada como uma soluccedilatildeo para o dilema potencialmente
incorporado nas accedilotildees cotidianas dos sujeitos) considerado como movimento na zona de
desenvolvimento proximal da atividade pode ser entendido e analisado como processo de
aprendizagem expansiva (ENGESTROumlM SANNINO 2010b)
3) Aprendizagem expansiva como ciclos de accedilotildees de aprendizagem conforme
descrito na FIG 4 busca instaurar uma nova e bem determinada dinacircmica para analisar os
processos de aprendizagem expansiva Um ciclo expansivo de accedilotildees de aprendizagem eacute um
modelo que pode ser usado para analisar processos de transformaccedilotildees em praacuteticas sociais A
praacutetica social na qual os sujeitos participam de alguma forma os afeta podendo-os levar a
perceber tensotildees distuacuterbios eou conflitos e a partir disso sentir a necessidade de questionar
a praacutetica atual buscando assim analisar o contexto visando agrave superaccedilatildeo de tais ocorrecircncias
Estes seriam os primeiros passos rumo ao percurso de todo o ciclo de accedilotildees de aprendizagem
Vale ressaltar que a anaacutelise da praacutetica atual leva o indiviacuteduo a perceber que sozinho ele natildeo
conseguiria modificar as accedilotildees dos outros sujeitos partiacutecipes da atividade tornando assim
necessaacuterio o envolvimento de mais atores no processo de transformaccedilatildeo da atividade Com
isso o dilema social perpassa a fronteira do indiviacuteduo e atinge esferas mais amplas de
coletivos em prol de um mesmo processo de transformaccedilatildeo podendo ser entendido como um
tour pelo ciclo de accedilotildees de aprendizagem
Engestroumlm e Sannino (2010b) consideram que o uso dos ciclos de accedilotildees de
aprendizagem como quadro teoacuterico de anaacutelise de processos de transformaccedilatildeo de praacuteticas
sociais somente deve ser realizado em estudos de longos periacuteodos de tempo ou seja em
longos processos de transformaccedilatildeo Contudo os longos processos de transformaccedilatildeo que
podem ser analisados por ciclos em larga escala envolvem necessariamente numerosos ciclos
menores de accedilotildees de aprendizagem Esses ciclos menores podem ocorrer em periacuteodos mais
59
curtos de tempo talvez em dias ou mesmo horas de anaacutelise intensiva e colaborativa
Engestroumlm (1999) explica que tais ciclos-miniatura podem ser considerados como
potencialmente expansivos e aponta ainda que
Um ciclo expansivo em larga escala de transformaccedilotildees organizacionais sempre
consiste em pequenos ciclos de aprendizagem inovadores No entanto o
aparecimento de pequenos ciclos de aprendizagem inovador natildeo garante por si soacute
que existe um ciclo expansivo acontecendo Pequenos ciclos podem permanecer
eventos isolados e o ciclo global do desenvolvimento organizacional pode tornar-se
estagnado regressivo ou mesmo desmoronar A ocorrecircncia de um ciclo expansivo
completo natildeo eacute comum e ele tipicamente requer esforccedilos concentrados e
intervenccedilotildees deliberadas Com essas ressalvas em mente o ciclo de aprendizagem
expansiva e suas accedilotildees incorporadas podem ser usados para analisar em pequena
escala inovadores processos de aprendizagem64
(p 385 apud ENGESTROumlM
SANNINO 2010b p 11)
Segundo Engestroumlm e Sannino (2010b) a loacutegica que estaacute por traacutes do ciclo
expansivo eacute que um novo ciclo inicia-se toda vez que um padratildeo estaacutevel de atividade comeccedila
a ser questionado Isso pode levar muito tempo talvez anos para se configurar Aleacutem disso a
aprendizagem expansiva pode conter traccedilos de ldquoretrocessordquo o que natildeo deve ser entendido
como algo puramente negativo visto que mesmo que um novo ciclo de accedilotildees expansivas se
inicie devemos levar em conta a tentativa que consequentemente tende a possibilitar um
horizonte mais amplo para novas tentativas Nas palavras dos autores ldquoexpansatildeo
necessariamente envolve tambeacutem a possibilidade de desintegraccedilatildeo e regressatildeo65
rdquo
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 11)
4) Aprendizagem expansiva como transposiccedilatildeo de fronteiras (superaccedilatildeo de
limites) e construccedilatildeo de redes pode ser entendida como uma ldquoexpertise horizontal onde os
praticantes devem mover-se para entre fronteiras para procurar e dar ajuda para encontrar
informaccedilotildees e ferramentas onde quer que elas estejamrdquo66
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b
p 12) Para os autores transpor fronteiras pode significar ldquopisar em solordquo desconhecido
Requer muitas vezes a criaccedilatildeoconstruccedilatildeoformaccedilatildeo coletiva de novos recursos conceituais
que por sua vez demandam esforccedilos criativos dos sujeitos engajados no processo de
64
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoA large-scale expansive cycle of organizational transformation always
consists of small cycles of innovative learning However the appearance of small-scale cycles of innovative
learning does not in itself guarantee that there is an expansive cycle going on Small cycles may remain isolated
events and the overall cycle of organizational development may become stagnant regressive or even fall apart
The occurrence of a full-fledged expansive cycle is not common and it typically requires concentrated effort and
deliberate interventions With these reservations in mind the expansive learning cycle and its embedded actions
may be used as a framework for analyzing small-scale innovative learning processesrdquo 65
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoExpansion necessarily involves also the possibility of disintegration and
regressionrdquo 66
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquohorizontal expertise where practitioners must move across boundaries to seek
and give help to find information and tools wherever they happen to be availablerdquo
60
aprendizagem expansiva Jaacute a construccedilatildeo de redes pode ser entendida como um modo
emergente de colaboraccedilatildeo em organizaccedilotildees O que natildeo pode ser esquecido eacute que a formaccedilatildeo
de redes pode estar relacionada agraves hierarquias niacuteveis organizacionais considerando que os
sujeitos em variadas praacuteticas sociais comumente satildeo levados a se engajar em redes por
exemplo em ambientes de trabalho ldquoAprendizagem em redes organizacionais eacute
frequentemente descrita como movimento horizontal de informaccedilatildeo entre unidades
organizacionaisrdquo67
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 13)
Em uma faacutebrica por exemplo poderiam ser observados diferentes niacuteveis
organizacionais ndash o niacutevel da rede ideoloacutegica o niacutevel do projeto o niacutevel da produccedilatildeo e o niacutevel
dos operaacuterios Soacute que em uma empresa os processos inovadores frequentemente demandam
por coletivos de sujeitos engajados coletivamente em redes cujas ldquofronteirasrdquo podem natildeo
estar assim tatildeo bem definidas levando-se em conta apenas a divisatildeo do trabalho em ldquoclassesrdquo
Sendo assim essa rede de inovaccedilatildeo poderia ser entendida como niacutevel de parceria que
somente seria possiacutevel de ser construiacuteda como um processo de aprendizagem expansiva em
termos digamos mais tradicionais de interaccedilatildeo entre os funcionaacuterios Portanto
ldquoaprendizagem eacute tambeacutem movimento vertical e transposiccedilatildeo de fronteiras entre diferentes
niacuteveis organizacionaisrdquo68
(ENGESTROumlM SANNINO 2010 p 13 grifo meu)
5) Aprendizagem expansiva como movimento distribuiacutedo e descontiacutenuo pode ser
entendida em termos de aprendizagem em redes distribuiacutedas ou aacutereas multi-organizacionais
que apresentam caraacuteter cada vez mais distribuiacutedo e descontiacutenuo considerando aprendizagens
relacionadas ao trabalho (ENGESTROumlM SANNINO 2010b) Os processos coletivos de
aprendizagem expansiva frequentemente se apresentam cheios de lacunas interrupccedilotildees
desentendimentos conflitos e descontinuidades entre comunidades que embora possam
parecer em um primeiro momento potencialmente perturbadores tambeacutem podem representar
oportunidades de aprendizagem (ENGESTROumlM SANNINO 2010b)
Para compreendermos o que Engestroumlm e Sannino (2010b) chamam de natureza
descontiacutenua da aprendizagem expansiva devemos levar em conta as seguintes consideraccedilotildees
de Sannino e Nocon (2008 p 326)
Mesmo se as tentativas de inovaccedilatildeo local aparentemente morrem eles ainda podem
se propagar porque outros podem adotaacute-las e prossegui-las Em outras palavras a
sustentabilidade das inovaccedilotildees natildeo se refere apenas agrave continuidade local mas
67
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquolearning in organizational networks is commonly depicted as horizontal
movement of information between organizational unitsrdquo 68
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquolearning is also vertical movement and boundary crossing between different
organizational levelsrdquo
61
tambeacutem a difusatildeo e adaptaccedilotildees em outros contextos Essas adaptaccedilotildees natildeo
significam necessariamente que uma inovaccedilatildeo eacute ampliada e se torna uma reforma no
sistema mais amplo69
Com isso podemos considerar que todo e qualquer movimento ainda que
descontiacutenuo em processos de aprendizagem expansiva deve ser considerado como um
direcionamento para possiacuteveis aprendizagens expansivas pois mesmo que uma direccedilatildeo
ldquoinicialrdquo seja alterada para uma direccedilatildeo ldquoalternativardquo no decorrer do processo de
aprendizagem os aprendizes engajados em transformaccedilotildees qualitativas em respectivos
sistemas de atividade compartilhados em multiorganizaccedilotildees percorreram um caminho de
mudanccedilas o que natildeo os coloca mais em um patamar de principiantes
Encerro aqui o breve relato das manifestaccedilotildees da aprendizagem expansiva em
transformaccedilotildees de sistemas de atividade conforme abordado e fundamentado por Engestroumlm
e Sannino (2010b)
69
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoeven if local innovation attempts ostensibly die they can still spread because
others may adopt and continue them In other words the sustainability of innovations does not refer only to local
continuity but also to diffusion and adaptations in other settings Such adaptations do not necessarily mean that
an innovation is scaled up and becomes a system wide reformrdquo
62
2 CAacuteLCULO E MODELAGEM NA ENGENHARIA CONCEPCcedilOtildeES
PERSPECTIVAS E A ATUAL FORMACcedilAtildeO DO ENGENHEIRO
Neste capiacutetulo pretendo discorrer sobre alguns toacutepicos relacionados ao contexto
da presente investigaccedilatildeo Primeiramente com o intuito de localizar o foco da pesquisa nas
demandas de formaccedilatildeo profissional em Engenharia faccedilo uma breve exposiccedilatildeo sobre a atual
legislaccedilatildeo que normatiza a formaccedilatildeo de engenheiros no Brasil Em segundo lugar busco
apresentar alguns aspectos relacionados aos processos de ensino-aprendizagem das disciplinas
de Caacutelculo em cursos de Engenharia e nesse contexto de formaccedilatildeo apresento a Modelagem
Matemaacutetica como um espaccedilo formativo alternativo Em terceiro lugar na literatura sobre
Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica busco por concepccedilotildees e perspectivas relacionadas a
essa atividade Em quarto lugar apresento uma revisatildeo de literatura sobre Modelagem
Matemaacutetica em processos de ensino-aprendizagem de Caacutelculo em cursos de Engenharia Em
quinto lugar apresento a concepccedilatildeo da atividade de Modelagem Matemaacutetica assumida no
contexto da pesquisa e por fim apresento a abertura de caixas-pretas como accedilotildees
estrateacutegicas com vistas agraves possibilidades de aprendizagens expansivas relacionadas agraves
transformaccedilotildees do objeto de uma atividade de Modelagem Matemaacutetica
21 Diretrizes Curriculares para a formaccedilatildeo de engenheiros no Brasil
Em 2002 o Conselho Nacional de Educaccedilatildeo (CNE) com a Cacircmara de Educaccedilatildeo
Superior (CES) elaborou as Diretrizes Curriculares para os Cursos de Graduaccedilatildeo em
Engenharia por meio do parecer CNECSE 13622001 publicado no Diaacuterio Oficial da
Uniatildeo em 25 de fevereiro de 2002 que culminou com a publicaccedilatildeo da resoluccedilatildeo CNECES
112002 no Diaacuterio Oficial da Uniatildeo em 9 de abril de 2002 que estabelecem as diretrizes que
orientam as Instituiccedilotildees de Ensino Superior na elaboraccedilatildeo das estruturas curriculares para a
formaccedilatildeo do engenheiro conforme as demandas da sociedade Nesse documento consta que
O perfil dos egressos de um curso de engenharia compreenderaacute uma soacutelida formaccedilatildeo
teacutecnico cientiacutefica e profissional geral que o capacite a absorver e desenvolver novas
tecnologias estimulando a sua atuaccedilatildeo criacutetica e criativa na identificaccedilatildeo e resoluccedilatildeo
de problemas considerando seus aspectos poliacuteticos econocircmicos sociais ambientais
63
e culturais com visatildeo eacutetica e humaniacutestica em atendimento agraves demandas da
sociedade (BRASIL 2002)
Ainda a resoluccedilatildeo aponta quatorze habilidades e competecircncias necessaacuterias para a
formaccedilatildeo do egresso dos cursos de Engenharia no Brasil Satildeo elas
a) aplicar conhecimentos matemaacuteticos cientiacuteficos tecnoloacutegicos e instrumentais agrave
engenharia
b) projetar e conduzir experimentos e interpretar resultados
c) conceber projetar e analisar sistemas produtos e processos
d) planejar supervisionar elaborar e coordenar projetos e serviccedilos de engenharia
e) identificar formular e resolver problemas de engenharia
f) desenvolver eou utilizar novas ferramentas e teacutecnicas
g) supervisionar a operaccedilatildeo e a manutenccedilatildeo de sistemas
h) avaliar criticamente a operaccedilatildeo e a manutenccedilatildeo de sistemas
i) comunicar-se eficientemente nas formas escrita oral e graacutefica
j) atuar em equipes multidisciplinares
k) compreender e aplicar a eacutetica e responsabilidade profissionais
l) avaliar o impacto das atividades da engenharia no contexto social e ambiental
m) avaliar a viabilidade econocircmica de projetos de engenharia
n) assumir a postura de permanente busca de atualizaccedilatildeo profissional (BRASIL
2002)
Aleacutem disso a resoluccedilatildeo (CNECSE 112002) tambeacutem direciona os cursos de
Engenharia com relaccedilatildeo aos conteuacutedos curriculares e delimita em 30 a carga horaacuteria
miacutenima dos cursos atendendo ao nuacutecleo de conteuacutedos baacutesicos que engloba dentre outros os
conteuacutedos da matemaacutetica Ainda segundo a resoluccedilatildeo 15 da carga horaacuteria miacutenima versaraacute
sobre toacutepicos que entre outros englobam Matemaacutetica Discreta Modelagem Anaacutelise e
Simulaccedilatildeo de Sistemas
Franchi (2002) ao realizar sua pesquisa de doutorado buscou dentre outras
coisas compreender as necessidades profissionais da Engenharia Para a autora o curriacuteculo de
Engenharia deve ser estruturado de modo a atender a tais necessidades Nesse sentido
focando nas disciplinas matemaacuteticas que compotildeem a grade curricular dos referidos cursos a
autora entende que os objetivos devam ser orientados pelo cumprimento agraves necessidades de
formaccedilatildeo considerando que as principais habilidadescompetecircncias do engenheiro atual satildeo
Capacidade de identificar formular e resolver problemas de Engenharia
considerando os aspectos multifuncionais relacionados a eles avaliando os impactos
na sociedade Isto inclui ter soacutelida formaccedilatildeo baacutesica (princiacutepios da ciecircncia que daacute
embasamento teoacuterico agrave sua profissatildeo) ter conhecimentos teacutecnicos (produtos e
processos) e ter conhecimentos natildeo teacutecnicos (sociais poliacuteticos eacuteticos e ambientais)
Inclui tambeacutem a capacidade de buscar as informaccedilotildees e usar ferramentas modernas
para a soluccedilatildeo dos problemas
Criatividade
Espiacuterito criacutetico
Capacidade de comunicaccedilatildeo oral e escrita
64
Capacidade de cooperaccedilatildeo
Capacidade de trabalho em equipe
Capacidade de aprendizagem contiacutenua (autoaprendizagem) (FRANCHI 2002 p
27)
Embora natildeo esteja focando especificamente o olhar para as disciplinas de
Caacutelculo que satildeo estudadas nos cursos de Engenharia mas para todas as disciplinas de
Matemaacutetica70
que satildeo desenvolvidas em tais cursos Franchi (2002) apresenta uma proposta
curricular para nortear os conteuacutedos de Matemaacutetica para os cursos de Engenharia utilizando-
se de recursos de Informaacutetica e de Modelagem Matemaacutetica
Soares e Sauer (2004) apontam para a necessidade de examinar questotildees
relacionadas ao tema ldquoensino-aprendizagem da Matemaacutetica para a Engenhariardquo devido agraves
aparentes dificuldades que os engenheiros apresentam em lidar com conceitos matemaacuteticos
em suas vidas profissionais As autoras afirmam que
As disciplinas baacutesicas do curso de Engenharia precisam capacitar os aprendizes a
relacionar conceitos matemaacuteticos com situaccedilotildees reais e desenvolver raciociacutenio
dedutivo habilitando-os a lerem os textos matemaacuteticos e a interpretarem fenocircmenos
frequentemente do ponto de vista da Fiacutesica Esta ligaccedilatildeo entre o universo fenomenal
da Matemaacutetica e o mundo das relaccedilotildees dos objetos fiacutesicos entre si talvez capture o
que seria competecircncia teacutecnica de mais alto niacutevel para qualquer engenheiro
(SOARES SAUER 2004 p 265 grifo meu)
As autoras neste texto natildeo se utilizam do termo ldquoModelagem Matemaacuteticardquo como
uma possibilidade para o desenvolvimento das competecircncias teacutecnicas para a formaccedilatildeo dos
engenheiros contudo segundo elas a ligaccedilatildeo entre ldquoo universo fenomenal da Matemaacutetica e o
mundo das relaccedilotildees dos objetos fiacutesicosrdquo (SOARES SAUER 2004 p 265) a meu ver pode
ser realizada por meio da Modelagem Burghes e Borrie (1981) sugerem vaacuterios temas da
Fiacutesica que podem ser desenvolvidos por meio da Modelagem com Equaccedilotildees Diferenciais
entre eles Lei de Torricelli Circuitos Eleacutetricos Redes Eleacutetricas Movimento Planetaacuterio
Oscilaccedilotildees Mecacircnicas e Sistema Massa-Mola
Vale ressaltar que com o desenvolvimento da presente pesquisa natildeo pretendo
investigar se a Modelagem Matemaacutetica se configura de fato como uma praacutetica presente ou
mesmo necessaacuteria para o trabalho dos engenheiros A presente pesquisa busca um
alinhamento agraves atuais demandas de formaccedilatildeo matemaacutetica necessaacuterias agrave formaccedilatildeo em
70
Para a autora as disciplinas de Matemaacutetica de cursos de Engenharia englobam os seguintes temas Caacutelculo
Vetorial Caacutelculo Diferencial e Integral Geometria Analiacutetica Aacutelgebra Linear Caacutelculo Numeacuterico Probabilidade
e Estatiacutestica (FRANCHI 2002)
65
Engenharia referendadas pelos pareceres e resoluccedilotildees oficiais por meio da Modelagem
Matemaacutetica
22 Caacutelculo em cursos de Engenharia
Nas Universidades departamentalizadas os docentes que lecionam as disciplinas
de Caacutelculo em cursos de Engenharia geralmente estatildeo subordinados didaacutetica e
pedagogicamente aos departamentos de Matemaacutetica o que pode reforccedilar a manutenccedilatildeo da
falta de reflexatildeo e informaccedilatildeo ldquosobre a necessidade da disciplina que leciona para a formaccedilatildeo
do futuro engenheirordquo (BALDINO CABRAL 2004 p 141) Esse fenocircmeno natildeo estaacute
limitado aos professores das disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia como afirmam
Moreno e Azcaacuterate Gimeacutenez (2003)
No caso de professores de matemaacuteticas de universidade o conhecimento que tecircm
sobre o processo de ensino e aprendizagem eacute fruto da experiecircncia docente e do
efeito da socializaccedilatildeo que lhes fazem repetir os esquemas daqueles professores que
lhes ensinaram em sua eacutepoca de estudantes Os docentes universitaacuterios natildeo
costumam ter nenhuma formaccedilatildeo didaacutetica especiacutefica aleacutem da cientiacutefica que os
capacite a ensinar71
(MORENO AZCAacuteRATE GIMEacuteNEZ 2003 p 267)
No Brasil muitos docentes que lecionam disciplinas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia tiveram pouca ou nenhuma formaccedilatildeo direcionada para serem professores A
legislaccedilatildeo brasileira permite que o portador de diploma de bacharelado ocupe cargos de
docecircncia em niacutevel superior o que inclui os cursos de Engenharia
Os professores de Caacutelculo dos cursos de Engenharia assim como toda a
comunidade envolvida nesse setor tecircm percebido mudanccedilas em relaccedilatildeo ao perfil do alunado
ingressante apoacutes a expansatildeo das Universidades Federais72
e a implantaccedilatildeo do Plano de
Reestruturaccedilatildeo e Expansatildeo das Universidades Federais (Reuni) elaborados e implementados
pelo Governo Federal em 2007 que objetivava dentre outras coisas a democratizaccedilatildeo do
71
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoEn el caso de los professores de matemaacuteticas de universidad el conocimiento
que tienen sobre el proceso de ensentildeanza y aprendizaje es fruto de la experiencia docente y del efecto de la
socializacioacuten que les hace repetir los esquemas de aquellos profesores que les ensentildearon en su eacutepoca de
estudiantes Los docentes universitarios no suelen tener ninguna formacioacuten didaacutectica especiacutefica a parte de la
cientiacutefica que les capacite para ensentildearrdquo 72
A instituiccedilatildeo escolhida para compor os dados para esta pesquisa estaacute incluiacuteda no Plano de Reestruturaccedilatildeo e
Expansatildeo das Universidades Federais
66
acesso de alunos agraves universidades federais Campos (2012 p 28) em sua pesquisa de
doutorado afirma que
No caso de um curso de Engenharia a expectativa eacute que o estudante jaacute traga uma
significativa bagagem em matemaacutetica e ciecircncias que em princiacutepio deveria ter sido
adquirida no ensino fundamental e meacutedio Essas seriam competecircncias esperadas dos
alunos por se tratarem de preacute-requisitos para o ingresso nos cursos que satildeo aferidos
num rigoroso e concorrido vestibular Nesse processo de seleccedilatildeo os estudantes satildeo
submetidos a testes em que todos os conteuacutedos que tradicionalmente passaram a
fazer parte da grade do ensino baacutesico poderatildeo ser cobrados Dessa forma
independentemente do seu histoacuterico escolar sobre aqueles que satildeo aprovados recai
a expectativa de estarem familiarizados com todos esses conteuacutedos o que nem
sempre acontece
O autor aponta que o esperado pela universidade eacute o perfil de um aluno que parece
ser idealizado e natildeo um aluno real Mesmo antes das expansotildees e do Reuni as dificuldades
em relaccedilatildeo agrave aprendizagem das disciplinas de Caacutelculo sempre fizeram parte da rotina
universitaacuteria73
Poreacutem o problema pode ter sido colocado em relevo com o excesso de alunos
em turmas de Caacutelculo aliado a uma possiacutevel sobrecarga de trabalho do professor conforme
apontado por Campos (2012 p 24)
Outra questatildeo apontada estaacute ligada agrave meta de as Universidades terem uma meacutedia de
18 alunos por professor em cursos presenciais Essa taxa foi estabelecida levando
em consideraccedilatildeo o caacutelculo que dava agrave eacutepoca da formulaccedilatildeo do REUNI uma meacutedia
de 145 alunos por professor nas IFES A criacutetica nesse quesito diz respeito agrave forma
como esse caacutelculo foi feito desconsiderando que muitos professores ocupam cargos
administrativos e que algumas disciplinas praacuteticas muito especializadas soacute podem
funcionar com um nuacutemero de alunos muito reduzido Ao natildeo levar essas questotildees
em conta o nuacutemero apresentado no REUNI esconde o fato de jaacute haver turmas
superlotadas aleacutem de natildeo dar o devido peso agrave carga de trabalho dos docentes na
poacutes-graduaccedilatildeo Assim elevar ainda mais o nuacutemero de alunos por sala pode gerar
uma sobrecarga de trabalho dos professores o que prejudicaria o ensino a pesquisa
e o atendimento agrave poacutes-graduaccedilatildeo
Os conteuacutedos geralmente presentes nas ementas das disciplinas de Caacutelculo dos
cursos de Engenharia natildeo sofreram consideraacuteveis mudanccedilas no uacuteltimo seacuteculo
(BIEMBENGUT HEIN 2007) Poreacutem as possibilidades de uso ensino e aprendizagem dos
seus conteuacutedos poderiam ser (re)pensadas em consonacircncia agraves exigecircncias de formaccedilatildeo e
consequentemente atuaccedilatildeo do engenheiro na sociedade atual Biembengut e Hein (2007 p
415) afirmam que o ensino de Caacutelculo em cursos de Engenharia no Brasil se revela
inadequado e insuficientemente ajustado Eles enfatizam que entre as causas principais dessa
situaccedilatildeo podem estar 1) as disciplinas de Caacutelculo satildeo dadas por professores como se fossem
73
Natildeo apenas para estudantes de cursos de Engenharia
67
hermeticamente fechadas 2) a maioria dos profissionais da Engenharia afirma que a
Matemaacutetica aprendida em seus cursos eacute insuficiente para a praacutetica da Engenharia 3) Caacutelculo
Diferencial faz parte dos preacute-requisitos de muitas disciplinas e natildeo eacute ensinado de acordo com
o curso em questatildeo Os autores ainda realccedilam o seguinte
Os estudantes natildeo veem qualquer utilidade para isto e aleacutem disso eles
permanecem obscuros sobre as aplicaccedilotildees futuras do que lhes satildeo ensinados
A matemaacutetica desenvolvida nos primeiros quatro semestres acaba esquecida pelos
estudantes justo quando eles precisam usa-la em suas disciplinas profissionais
Aacutelgebra e Caacutelculo registram maiores iacutendices de evasatildeo e fracasso
Conceitos como funccedilotildees limites derivadas e integrais satildeo ensinados da mesma
maneira para todos os cursos (Quiacutemica Biologia Economia Matemaacutetica) a uacutenica
diferenccedila ocorre na ecircnfase dada pelo professor74
(BIEMBENGUT HEIN 2007 p
415)
Os autores ainda apontam que a ecircnfase eacute dada quase que exclusivamente nas
teacutecnicas e natildeo nas aplicaccedilotildees sem qualquer conexatildeo com a Engenharia ou seja satildeo
negligenciados alguns conceitos fundamentais em detrimento de regras e teacutecnicas Uma
consequecircncia disso segundo Biembengut e Hein (2007 p 416) eacute que ldquoquando esses alunos
futuros profissionais se depararem com um problema ou situaccedilatildeo para avaliar analisar ou
resolver que requeira uma decisatildeo sobre melhor desempenho eles natildeo reconhecem as
ferramentas que eles jaacute adquiriram durante sua educaccedilatildeo75
rdquo
Franchi (2002) aponta para a necessidade de que os conteuacutedos de Matemaacutetica
desenvolvidos em cursos de Engenharia sejam apresentados como uma linguagem de traduccedilatildeo
e equacionamento de fenocircmenos da realidade aleacutem de ferramentas para entendimento e
soluccedilatildeo de problemas relacionados a tais fenocircmenos Pontua ainda que tal maneira de olhar
para a Matemaacutetica em cursos de Engenharia nem sempre eacute percebida pelos alunos e justifica
que isso ocorre devido agrave forma como a Matemaacutetica eacute tradicionalmente abordada nesses
cursos
Outro aspecto que julgo importante ser colocado em relevo eacute a frequente
manutenccedilatildeo das metodologias e do enfoque teoacuterico por parte dos professores de Caacutelculo em
74
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoStudents do not see any use for this and furthermore they remain nuclear
about the future applications of what they are taught
The mathematics developed in the first four semesters ends up forgotten by students just when they need use it in
their professional disciplines
Algebra e Calculus record the highest indices of withdrawal and failure
Concepts like functions limits derivatives and integrals are taught in the same way for all courses (Chemistry
Biology Economics Mathematics etc) the only difference occurring in the many emphasis given by the
teacherrdquo 75
Traduccedilatildeo realizada por min de ldquoWhen these students future professional find themselves with a problem or
situation to evaluate analyze or resolve that requires a decision about better performance they not recognize the
tools that they have already acquired during their educationrdquo
68
cursos de Engenharia que ldquoprocuram livros texto que satildeo em geral mais adequados para eles
mesmos que satildeo os mesmos que foram usados em sua proacutepria educaccedilatildeo e reescrevem-no
para usar em suas respectivas classes76
rdquo (BIEMBENGUT 1997 apud BIEMBENGUT
HEIN 2007 p 416)
Biembengut e Hein (2007) esclarecem que torna-se urgente que os professores
busquem uma reorganizaccedilatildeo de conteuacutedos e meacutetodos de ensino de maneira que permita a
articulaccedilatildeo entre teorias matemaacuteticas e a atividade do engenheiro fazendo com que o meacutetodo
de ensino permita-os enfatizar os princiacutepios fiacutesicos da Engenharia e as teorias matemaacuteticas
ajudem-nos a descrever e a compreender melhor tais fenocircmenos A necessidade de incorporar
alguns conhecimentos natildeo matemaacuteticos pelos docentes das disciplinas de Caacutelculo em cursos
de Engenharia em suas praacuteticas de ensino torna-se indispensaacutevel sob esse ponto de vista
Nesse sentido Franchi (2002) aponta que quando precisam utilizar algum
conteuacutedo de Matemaacutetica em suas disciplinas os professores de disciplinas mais avanccediladas de
cursos de Engenharia frequentemente precisam retomar ou (re)ensinar os conceitos que
necessitam posto que depois de algum tempo os alunos tendem a se esquecer dos conceitos
e teacutecnicas que foram trabalhados nas disciplinas de Matemaacutetica em cursos de Engenharia
Boyce e Diprima (1996 p 1) enfatizam que ldquoa razatildeo principal para resolver
muitas equaccedilotildees matemaacuteticas eacute procurar aprender algo a respeito do processo fiacutesico que a
equaccedilatildeo se propotildee a representarrdquo Soacute que ldquode maneira geral a ecircnfase eacute dada aos meacutetodos de
resoluccedilatildeo das equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias esquecendo-se do problema que origina tal
modelo bem como da interpretaccedilatildeo de suas soluccedilotildeesrdquo (JAVARONI 2007 p 20) Assim
parece que nas disciplinas de Caacutelculo dos cursos de Engenharia essa razatildeo de ser muitas
vezes acaba sendo deixada de lado
A forma de trabalhar as disciplinas de Caacutelculo voltadas para si mesmas e
desligadas das aplicaccedilotildees pode acabar provocando um distanciamento de tais conteuacutedos agrave
realidade dos problemas estudados durante a formaccedilatildeo do engenheiro Hubbard (1994 p 372
apud HABRE 2000 p 455) por exemplo pontua que ldquoexiste uma alarmante discrepacircncia
entre a visatildeo de equaccedilotildees diferenciais como ligaccedilatildeo entre a matemaacutetica e a ciecircncia e o curso
padratildeo de equaccedilotildees diferenciaisrdquo77
Tal discrepacircncia poderia ser minimizada ou amenizada
mediante a apresentaccedilatildeo dos conceitos de Caacutelculo com referecircncia na realidade
76
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoLook for textbooks that are in general better suited to themselves that is the
same that were used in their own education and rewrite them for use in their respective classesrdquo 77
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoThere is a dismaying discrepancy between this view of differential equations
as the link between mathematics and science and the standard course on differential equationsrdquo
69
A partir da anaacutelise de uma situaccedilatildeo real eacute possiacutevel fazer com que o aluno percorra as
etapas de aquisiccedilatildeo do conhecimento iniciando pelo aspecto afetivo (onde ele deve
sentir a Matemaacutetica presente e ter dela uma compreensatildeo preacutevia) passando pela
interpretaccedilatildeo e busca de significado chegando agrave compreensatildeo Conceitos bem
compreendidos podem ser aplicados com mais facilidade O trabalho com os
conceitos a partir de temas externos agrave Matemaacutetica eacute essencialmente interdisciplinar
Olhar para o problema sob a oacutetica de apenas uma disciplina conduz a uma visatildeo
fragmentada da situaccedilatildeo Um estudo amplo considerando os diversos aspectos que o
problema pode envolver sem duacutevida eacute interessante As caracteriacutesticas do problema
indicaratildeo qual o recurso mais adequado para ser utilizado (FRANCHI 2002 p 51)
Uma maneira de apresentar e desenvolver tais problemas ou situaccedilotildees no contexto
dos cursos de Engenharia poderia se dar por meio da Modelagem Matemaacutetica que
basicamente pode ser entendida como a apresentaccedilatildeo de um problema ndash cuja origem pode
estar ou natildeo na aacuterea de atuaccedilatildeo dos futuros engenheiros devendo ser resolvido a partir da
construccedilatildeo de um modelo que possa ser representado por meio da utilizaccedilatildeo de ferramentas
estudadas nas disciplinas de Caacutelculo que inclui as Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias
Camarena (2009 p 123) entende que um modelo matemaacutetico no contexto dos
cursos de Engenharia eacute ldquouma relaccedilatildeo matemaacutetica que descreve objetos ou problemas de
engenhariardquo78
Tal relaccedilatildeo matemaacutetica poderia ser uma equaccedilatildeo um sistema de equaccedilotildees
uma distribuiccedilatildeo de probabilidade entre outros
Barbosa (2004a p 67 grifo do autor) entende ser necessaacuteria a inserccedilatildeo da
Modelagem Matemaacutetica em disciplinas em serviccedilo jaacute que ldquopela sua proacutepria natureza
interdisciplinar a Modelagem eacute a porta de entrada privilegiada para atender a algumas
expectativas dos alunos nos cursos79
de serviccedilordquo
A Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia por se tratar de uma
atividade que pressupotildee interdisciplinaridade desenvolvimento de habilidades de resoluccedilatildeo
de problemas por meio de modelos matemaacuteticos trabalho em equipe e formaccedilatildeo criacutetica em
termos de atuaccedilatildeo social dos futuros engenheiros pode colaborar com o desenvolvimento das
habilidades e competecircncias aclamadas na resoluccedilatildeo como por exemplo ldquoaplicar
conhecimentos matemaacuteticos cientiacuteficos tecnoloacutegicos e instrumentais agrave engenhariardquo ldquoatuar
em equipes multidisciplinaresrdquo e ldquoavaliar o impacto das atividades da engenharia no contexto
social e ambientalrdquo (BRASIL 2002)
Corroborando tal consideraccedilatildeo Franchi (2002 p 74) enfatiza que ldquoo trabalho
com a Modelagem Matemaacutetica pode ajudar a desenvolver nos alunos [dos cursos de
Engenharia] as habilidades necessaacuterias para a resoluccedilatildeo de problemas preparando-o para
78
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoa mathematical relation that describes engineering objects or problemsrdquo 79
Barbosa (2004) utiliza o termo curso em referecircncia agrave disciplina
70
enfrentar situaccedilotildees novas e buscar soluccedilotildeesrdquo A autora enfatiza ainda que a Modelagem
Matemaacutetica propicia o desenvolvimento de habilidades tais como criatividade espiacuterito criacutetico
e capacidade de aprendizagem contiacutenua que satildeo essenciais para a atuaccedilatildeo profissional dos
engenheiros Aleacutem de possibilitar o desenvolvimento natural de habilidades de comunicaccedilatildeo
oral e escrita capacidade de cooperaccedilatildeo e trabalho em equipe (FRANCHI 2002)
No sentido de alinhavar e desenvolver a reflexatildeo aqui proposta a seguir busco
discorrer sobre perspectivas e concepccedilotildees de Modelagem configuradas na Educaccedilatildeo
Matemaacutetica que pressupotildeem um modo mais geral de conceber a Modelagem em diversos
niacuteveis de formaccedilatildeo matemaacutetica e posteriormente seguir no sentido de
especificarexemplificar concepccedilotildees e perspectivas que podem configurar a Modelagem na
formaccedilatildeo em Caacutelculo demandada pelos e nos cursos de Engenharia
23 Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica concepccedilotildees e perspectivas
A Modelagem eacute uma tendecircncia que vem permeando o cenaacuterio da Educaccedilatildeo
Matemaacutetica no Brasil jaacute haacute algum tempo inclusive recentemente passou a ser incorporada
aos documentos oficiais do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo (MEC) como uma possibilidade para os
processos de ensino-aprendizagem de Matemaacutetica na Educaccedilatildeo Baacutesica (BRASIL 2006)
A Modelagem Matemaacutetica na Educaccedilatildeo Matemaacutetica de acordo com Borba e
Villareal (2005) foi introduzida no Brasil preconizada pelos trabalhos de Paulo Freire e
Ubiratan DrsquoAmbrosio entre o final da deacutecada de 70 e o iniacutecio da deacutecada de 80 Naquela
eacutepoca as atividades de Modelagem eram baseadas em ldquosituaccedilotildees-problemardquo com o foco no
real no cotidiano que desafiassem alunos e professores Vale ressaltar que naquela eacutepoca o
uso de maacutequinas e programas computacionais jaacute permeava os ambientes de Modelagem
Matemaacutetica (MEYER CALDEIRA MALHEIROS 2011)
Podemos afirmar que na deacutecada de 80 a Modelagem Matemaacutetica ganhou forccedila
no paiacutes sob a influecircncia de trabalhos como os de Aristides Barreto Ubiratan DrsquoAmbrosio
Rodney Bassanezi Joatildeo Frederico Meyer entre outros que disseminaram a Modelagem
Matemaacutetica por meio de cursos para a formaccedilatildeo de professores e accedilotildees em salas de aula
(MEYER CALDEIRA MALHEIROS 2011)
Algumas concepccedilotildees de Modelagem Matemaacutetica em contextos escolares foram
apontadas por Barbosa (2001a 2003 2004a) Burak (1992) e Biembengut e Hein (2007
71
2011) Barbosa (2001a p 6) entende que a ldquomodelagem eacute um ambiente de aprendizagem no
qual os alunos satildeo convidados a indagar eou investigar por meio da matemaacutetica situaccedilotildees
oriundas de outras aacutereas da realidaderdquo Para Burak (1992 p 62) a ldquoModelagem Matemaacutetica
constitui-se em um conjunto de procedimentos cujo objetivo eacute estabelecer um paralelo para
tentar explicar matematicamente os fenocircmenos presentes no cotidiano do ser humano
ajudando-o a fazer prediccedilotildees e a tomar decisotildeesrdquo Jaacute Biembengut e Hein (2011) concebem a
Modelagem Matemaacutetica como estrateacutegia teacutecnica ou metodologia de ensino cujo foco estaacute na
obtenccedilatildeo de um modelo matemaacutetico com intuito de ensinar conhecimentos acadecircmicos que
possam ajudar as pessoas em termos das possibilidades de atuaccedilatildeo nos diversos contextos de
vida
Natildeo haacute uma uacutenica definiccedilatildeo de Modelagem Matemaacutetica mas diferentes
concepccedilotildees de Modelagem satildeo assumidas por quem usa Modelagem em contextos
educacionais sempre levando em conta que situaccedilotildees diferentes podem levar a diferentes
conceituaccedilotildees de Modelagem (MEYER CALDEIRA MALHEIROS 2011) Vale ressaltar
que assumo o termo concepccedilatildeo80
designando ldquotanto o ato de conceber quanto o objeto
concebido mas preferivelmente o ato de conceber e natildeo o objeto para o qual deve ser
reservado o termo conceitordquo (ABBAGNANO 2007 p 169 grifo do autor)
Instigada em compreender as concepccedilotildees de Modelagem Matemaacutetica assumidas
por alguns autores que fazem uso da palavra arte em tal conceitualizaccedilatildeo tais como
Bassanezi (2006) e Biembengut e Hein (2011) busquei na internet pelo significado da palavra
ldquoarterdquo e encontrei
Arte (do latim ars significando teacutecnica eou habilidade) geralmente eacute entendida como a atividade humana ligada a manifestaccedilotildees de
ordem esteacutetica ou comunicativa realizada a partir da percepccedilatildeo das emoccedilotildees e das ideias com o objetivo de estimular essas instacircncias da consciecircncia e dando
um significado uacutenico e diferente para cada obra (httpsptwikipediaorgwikiArte 10042013)
Com base no significado acima podemos refletir sobre a concepccedilatildeo de
Modelagem Matemaacutetica assumida por Bassanezi (2006 p 16) que consiste na ldquoarte de
transformar problemas da realidade em problemas matemaacuteticos e resolvecirc-los interpretando
suas soluccedilotildees na linguagem do mundo realrdquo Primeiro o significado da palavra arte pode ser
uma teacutecnica ou habilidade fazendo parte da atividade humana ligada a manifestaccedilotildees de
80
ldquoTatildeo logo um conceito eacute simbolizado para noacutes nossa imaginaccedilatildeo reveste-se de uma concepccedilatildeo privada e
pessoal que soacute podemos distinguir por um processo de abstraccedilatildeo do conceito puacuteblico e comunicaacutevelrdquo (LANGER
apud ABBGNANO 2007 p 169)
72
ordem esteacutetica e comunicativa realizada a partir da percepccedilatildeo de emoccedilotildees e das ideias Dessa
forma a arte de transformar problemas da realidade em problemas matemaacuteticos pode
perpassar por questotildees de ordem esteacutetica e comunicativa que por sua vez tem estreita
relaccedilatildeo com as necessidades dos seres humanos de cooperaccedilatildeo e eacutetica Segundo tal teacutecnica ou
habilidade de transformar problemas da realidade em problemas matemaacuteticos leva em conta
as vivecircncias as subjetividades estreitamente ligadas ao pensamento ao mundo das ideias E
por uacuteltimo a arte tem como objetivo estimular instacircncias da consciecircncia produzir
significados para as obras de arte aqui relacionadas agrave transformaccedilatildeo de problemas reais em
problemas de Matemaacutetica sendo que a uacuteltima instacircncia dessa obra se realiza por meio da
interpretaccedilatildeo das soluccedilotildees na linguagem do mundo real que por sua vez pode possibilitar
novos olhares sobre a realidade
Aleacutem disso Bassanezi (2006 p 38 grifo meu) considera que ldquomais importante do
que os modelos obtidos eacute o processo utilizado a anaacutelise criacutetica e sua inserccedilatildeo no contexto
soacutecio-culturalrdquo Tal posicionamento pode nos levar ao entendimento de que o termo arte
presente em sua concepccedilatildeo de Modelagem Matemaacutetica em termos do processo utilizado
poderia ser resumido nas accedilotildees de transformar (problemas da realidade em problemas
matemaacuteticos) resolver (os problemas matemaacuteticos) e interpretar (suas soluccedilotildees na linguagem
do mundo real) Aleacutem de objetivar a motivaccedilatildeo para o aprendizado da matemaacutetica o autor
acredita que ldquoas discussotildees sobre o tema escolhido favorecem a preparaccedilatildeo do estudante
como elemento participativo da sociedade em que viverdquo (BASSANEZI 2006 p 38)
Biembengut e Hein (2011) concebem a Modelagem Matemaacutetica como um
processo que envolve a obtenccedilatildeo de um modelo podendo ser considerado um processo
artiacutestico visto que para os autores na elaboraccedilatildeo de um modelo aleacutem do conhecimento
matemaacutetico o modelador necessita ter uma dose significativa de intuiccedilatildeo e criatividade para
interpretar o contexto saber discernir qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) se adapta(m) melhor
e senso luacutedico para jogar com as variaacuteveis escolhidas Nas palavras dos autores ldquoa
modelagem matemaacutetica eacute assim uma arte ao formular resolver e elaborar expressotildees que
valham natildeo apenas para uma soluccedilatildeo particular mas que tambeacutem sirvam posteriormente
como suporte para outras aplicaccedilotildees e teoriasrdquo (BIEMBENGUT HEIN 2011 p 13 grifo
meu)
Aleacutem disso Bassanezi (2006) e Biembengut e Hein (2011) denominam
ldquoModelaccedilatildeo Matemaacuteticardquo o meacutetodo ou estrateacutegia de ensino que utiliza a essecircncia da
modelagem em cursos regulares nos quais haacute um programa curricular a ser cumprido aleacutem
de uma estrutura espacial e organizacional bem definida Tais autores acreditam que o
73
processo de modelagem em tais contextos precisa sofrer algumas alteraccedilotildees considerando o
grau de escolarizaccedilatildeo dos aprendizes o tempo disponibilizado para o desenvolvimento da
atividade ldquoo programa a ser cumprido e o estaacutegio em que o professor se encontra seja em
relaccedilatildeo ao conhecimento da modelagem seja no apoio por parte da comunidade escolar para
implantar mudanccedilasrdquo (BIEMBENGUT HEIN 2003 p 18)
Existem ainda outras concepccedilotildees de Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica
presentes na literatura brasileira das quais podemos destacar proposta para educar
matematicamente considerando a Modelagem como uma concepccedilatildeo de ensino e
aprendizagem (CALDEIRA 2009) estrateacutegia pedagoacutegica na qual os estudantes trabalham em
grupo e satildeo responsaacuteveis pela escolha do tema a ser investigado (BORBA MENEGUETTI
HERMINI 1997) Dentre todas essas concepccedilotildees Meyer Caldeira e Malheiros (2011)
acreditam que
o que as diferencia basicamente eacute a ecircnfase na escolha do problema a ser
investigado que pode partir do professor pode ser um acordo entre professor e
alunos ou entatildeo os estudantes podem escolher o assunto que pretendem investigar
uma postura que se assemelha agrave Modelagem exercida profissionalmente (MEYER
CALDEIRA MALHEIROS 2011 p 81)
Ao passo que o que diferencia as concepccedilotildees de Modelagem pode estar
relacionado ao ldquoproblema da realidaderdquo e agrave escolha dele o que as aproxima eacute segundo
Meyer Caldeira e Malheiros (2011 p 85) um objetivo comum ldquoestudar resolver e
compreender um problema da realidade ou de outra(s) aacuterea(s) do conhecimento utilizando
para isso a Matemaacutetica e obviamente outras disciplinas e ideiasrdquo
Arauacutejo (2002 p 20 grifo da autora) poreacutem acredita que as perspectivas se
diferenciam ldquoagrave medida que se define qual eacute o objetivo de resolver tal problema qual eacute a
realidade na qual o problema estaacute inserido como a matemaacutetica eacute concebida e se relaciona
com esta realidade etcrdquo81
A autora assume o termo ldquoperspectivardquo designando os propoacutesitos
que satildeo delineados pelo professor ao propor a Modelagem Matemaacutetica como uma atividade
em sala de aula Com base nesses propoacutesitos faz-se necessaacuterio definir o papel dos alunos e
professor(es) na atividade principalmente no que diz respeito agrave escolha do ldquoproblema da
realidaderdquo a ser entendidosolucionado
A Modelagem ldquopode criar possibilidades interdisciplinares na sala de aula fato
considerado muito importante (ou ateacute essencial) entre as questotildees de ensino e aprendizagem 81
No escopo deste texto natildeo pretendo discorrer sobre as relaccedilotildees entre matemaacutetica e realidade nem tampouco
realizarei uma discussatildeo do que seriam estes termos Em Arauacutejo (2002) o leitor encontraraacute uma interessante
discussatildeo sobre realidade e matemaacutetica baseada em discussotildees filosoacuteficas
74
mostrando que no caso a Matemaacutetica natildeo eacute uma ciecircncia isolada das outrasrdquo (MEYER
CALDEIRA MALHEIROS 2011 p 85) A integraccedilatildeo da Matemaacutetica com outras aacutereas do
conhecimento pode constituir dessa forma importante contribuiccedilatildeo para a construccedilatildeo do
conhecimento matemaacutetico nos cursos de Engenharia podendo minimizar o que Camarena
(2009) chama de ponto de conflito cognitivo vivenciado pelos futuros engenheiros ldquouma vez
que ele estudou matemaacutetica e engenharia separadamente de modo que quando ele usa as duas
aacutereas do conhecimento estas aacutereas cognitivas estatildeo separadas e ele tem que integraacute-las a fim
de matematizar o problema a ser resolvidordquo82
(CAMARENA 2009 p 117)
Blum (1991) Blum e Leiss (2005) Barbosa (2003) e Bassanezi (2006) apontam
alguns argumentos a favor da inclusatildeo da Modelagem nos curriacuteculos escolares sendo estes
apresentados pelos pesquisadores da aacuterea de Modelagem em Educaccedilatildeo Matemaacutetica que
foram por mim sumarizados da seguinte forma
Argumento formativo os alunos se tornariam mais criativos habilidosos e explorativos em atividades investigativas e de resoluccedilatildeo
de problemas
Argumento de competecircncia criacutetica os alunos estariam preparados para a vida real como cidadatildeos atuantes na sociedade analisando as
formas que a matemaacutetica eacute usada nas praacuteticas sociais
Argumento de utilidade os alunos estariam preparados para utilizar
a matemaacutetica como ferramenta para resolver problemas em diferentes
situaccedilotildees e aacutereas o que eacute importante para atuarem na vida cotidiana e
no trabalho
Argumento motivacionalintriacutenseco os alunos estariam mais
estimulados para o estudo entendimento e interpretaccedilatildeo da proacutepria
matemaacutetica pois vislumbram sua aplicabilidade
Argumento de aprendizagem os alunos teriam mais facilidade em compreender conceitos matemaacuteticos devido agrave possiacutevel conexatildeo com
outros assuntos
Considerando os curriacuteculos dos cursos de Engenharia no Brasil ao assumir as
disciplinas de Caacutelculo como importante arsenal de ferramentas que possibilitaauxilia a
resoluccedilatildeo de problemas e a compreensatildeo de fenocircmenos englobadosestudados nos diversos
cursos de Engenharia o argumento de utilidade poderia ocupar lugar de destaque no debate
para a inclusatildeo da Modelagem nos curriacuteculos destes cursos Vale ressaltar que tal argumento
natildeo exclui os demais apenas poderia ocupar lugar de destaque
82
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquosince he studied mathematics and engineering separately so that when he
uses both knowledge areas these cognitive areas are separated and he has to integrate them in order to
mathematize the problem to be resolvedrdquo
75
Vaacuterios argumentos poreacutem satildeo apresentados como obstaacuteculos para o uso da
Modelagem Matemaacutetica em cursos regulares Tais obstaacuteculos segundo Bassanezi (2006 p
37 grifos do autor) podem ser de trecircs tipos
1) Obstaacuteculos instrucionais - Os cursos regulares possuem um programa que deve
ser desenvolvido completamente[] alguns professores tem duacutevida se as aplicaccedilotildees
e conexotildees com outras aacutereas fazem parte do ensino de Matemaacutetica salientando que
tais componentes tendem a distorcer a esteacutetica a beleza e a universalidade da
Matemaacutetica
2) Obstaacuteculos para os estudantes - O uso da Modelagem foge da rotina do ensino
tradicional e os estudantes natildeo acostumados com o processo podem se perder e se
tornar apaacuteticos nas aulas []
3) Obstaacuteculos para os professores - Muitos professores natildeo se sentem habilitados a
desenvolver modelagem em seus cursos por falta de conhecimento do processo ou
por medo de se encontrarem em situaccedilotildees embaraccedilosas quanto agraves aplicaccedilotildees da
matemaacutetica em aacutereas que desconhecem Acreditam que perderatildeo muito tempo para
preparar as aulas e tambeacutem natildeo teratildeo tempo para cumprir todo o programa do curso
Blum (1991) ainda afirma que do ponto de vista dos professores a inclusatildeo da
Modelagem aumentaria suas demandas de trabalho devido agraves qualificaccedilotildees adicionais e
conhecimentos natildeo matemaacuteticos que satildeo requeridos nesse tipo de atividade
Flemming (2004) ao relatar o desenvolvimento de uma pesquisa sobre o ensino
das Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias mostra um dos obstaacuteculos apontados por Bassanezi
(2006)
A nossa motivaccedilatildeo estava alicerccedilada no fato de que a maioria dos professores natildeo
discute a resoluccedilatildeo de problemas no contexto das equaccedilotildees diferenciais e as razotildees
apontadas satildeo os alunos ainda natildeo dominam os conhecimentos da Fiacutesica e outras
aacutereas requeridas para a interpretaccedilatildeo dos problemas os professores na sua
formaccedilatildeo natildeo tiveram o aprofundamento em diferentes aacutereas da Engenharia
requeridas para o domiacutenio do problema (FLEMMING 2004 p 280)
Considerando os obstaacuteculos apontados acima em cursos de Engenharia aleacutem de
entender como os alunos e professores conduzem suas experiecircncias em Modelagem
Matemaacutetica seria necessaacuterio entender tambeacutem as possibilidades que esse ambiente de
formaccedilatildeo proporciona aos aprendizes sendo eles alunos professores monitores e demais
sujeitos da comunidade acadecircmica que realizam as atividades que objetivam a formaccedilatildeo do
engenheiro contemporacircneo
Um fator muito importante que deve ser considerado quando se pretende usar a
Modelagem em cursos de Engenharia eacute o tempo Geralmente o tempo que deve ser dedicado
ao desenvolvimento de cada parte das disciplinas de Caacutelculo eacute consideradosugerido nos
respectivos planos de ensino Sendo assim o cumprimento de ementasconteuacutedos pode tornar-
76
se para o professor um ponto de tensatildeo que pode influenciar sua decisatildeo quanto agrave
incorporaccedilatildeo da Modelagem em sua praacutetica docente
No que tange a incorporaccedilatildeo da Modelagem Matemaacutetica no decorrer de
disciplinas escolares a adequaccedilatildeo da proposta de ensino elaborada pelo professor deve levar
em conta os conteuacutedos a serem abordados e assim buscar por temas de Modelagem guiados
pelos conteuacutedos Para isso Biembengut e Hein (2007 p 417) sintetizam os estaacutegios do
processo a serem seguidos pelos docentes quando eles se disponibilizam a realizar
Modelagem durante as disciplinas ofertadas em cursos de Engenharia
1) Apresentar uma siacutentese do tema relativo para Engenharia 2) Propor algumas questotildees sobre o tema encorajando os estudantes a responder
3) Selecionar as questotildees que satildeo mais apropriadas para desenvolver o conteuacutedo programaacutetico de matemaacutetica
4) Formular questotildees de tal modo a aumentar o teor de conteuacutedo matemaacutetico necessaacuterio para resolvecirc-lo 5) Apresentar o conteuacutedo programaacutetico de matemaacutetica
6) Propor exemplos anaacutelogos de modo que o conteuacutedo natildeo seja restrito ao modelo assim que o conteuacutedo necessaacuterio eacute suficientemente desenvolvido para responder ou resolver este estaacutegio do trabalho
7) Solicitar aos estudantes fazerem pesquisas sobre o assunto caso seja necessaacuterio 8) Retornar agrave questatildeo que comeccedilou o processo apresentando uma soluccedilatildeo
9) Orientar os estudantes na anaacutelise de seus resultados e sua validaccedilatildeo83
Jaacute Franchi (2002) acredita que a Modelagem deva permear as atividades
desenvolvidas nas disciplinas da aacuterea de Matemaacutetica em cursos de Engenharia Para a autora
a escolha dos conteuacutedos matemaacuteticos a serem abordados em tais disciplinas em cursos de
Engenharia deve ocorrer em funccedilatildeo do contexto histoacuterico Para cada contexto eacute necessaacuterio
antes de qualquer coisa identificar os objetivos alinhados agraves demandas de formaccedilatildeo em
Engenharia e depois escolher conteuacutedos e metodologias que ajudem a atingir tais objetivos
Nesse sentido a estrutura curricular natildeo deve ser algo estaacutetico muito pelo contraacuterio deve
permitir diferentes possibilidades de organizaccedilatildeo que possam ser adaptadas a cada contexto
curso ou momento histoacuterico
83
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquo1) Present a synthesis of the theme relative to Engineering
2) Propose some question about the theme encouraging students to respond
3) Select the question that is most appropriate for developing the programmersquos mathematical content
4) Formulate questions in such a way as to raise he mathematical content necessary for resolving them
5) Present the programmatic mathematical content
6) Propose analogous examples so that the content is not restricted to the model as soon as the necessary content
is sufficiently developed for answering or resolving this stage of the work
7) Solicit students to make research into the subject if deemed necessary
8) Return to the question that began the process presenting a solution
9) Guide the students in analysing their results and its validityrdquo
77
Vale ressaltar que Franchi (2002) apresenta como fruto de sua investigaccedilatildeo uma
proposta curricular para tratar os conteuacutedos de Matemaacutetica em cursos de Engenharia
utilizando de Modelagem e Informaacutetica em consonacircncia agraves exigecircncias de tal formaccedilatildeo
profissional A incorporaccedilatildeo da Modelagem e da Informaacutetica nas praacuteticas de ensino-
aprendizagem cuja finalidade eacute possibilitar a formaccedilatildeo Matemaacutetica dos engenheiros se deu
mediante a implementaccedilatildeo da referida proposta curricular em uma instituiccedilatildeo que se destina agrave
formaccedilatildeo de engenheiros Ou seja o curriacuteculo foi transformado e implementado
Contudo caso o curriacuteculo de uma instituiccedilatildeo natildeo seja modificado (por quaisquer
razotildees) e consequentemente natildeo seja implementada modificaccedilatildeo alguma mesmo assim
seria possiacutevel desenvolver atividades de formaccedilatildeo de Caacutelculo utilizando Modelagem
Matemaacutetica Mas qual seria a melhor forma Seria possiacutevel adequar um curriacuteculo jaacute preacute-
estabelecido e demasiadamente estaacutetico aos objetivos de formaccedilatildeo em Engenharia que atenda
agraves exigecircncias atuais para tal formaccedilatildeo utilizando-se da Modelagem Matemaacutetica Franchi
(2002) considera como necessaacuterio e importante a integraccedilatildeo da Matemaacutetica com as demais
aacutereas dos cursos de Engenharia mediante o desenvolvimento de atividades de Modelagem
poreacutem afirma que natildeo existe um entendimento claro de como isso deve ser feito
Kaiser e Sriraman (2006) se incumbiram de revisar a literatura (em termos de
pesquisas realizadas em vaacuterios paiacuteses do mundo) e sistematizar as perspectivas de Modelagem
em Educaccedilatildeo Matemaacutetica Os autores delimitaram perspectivas que em 2006 podiam ser
consideradas como tendecircncias no debate sobre a Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica
conforme seus objetivos centrais a partir da anaacutelise de artigos apresentados em conferecircncias e
perioacutedicos internacionais tais como ICTMA84
e ZDM85
Vale ressaltar que natildeo haacute qualquer
menccedilatildeo que os autores dos referidos artigos assumam tais perspectivas em todas as
investigaccedilotildees que se propotildeem a desenvolver E mais do que isso natildeo significa que a
perspectiva assumida esteja posta de forma clara e objetiva em cada artigo Sendo assim por
vezes devemos considerar a perspectiva assumida pela leitura dos autores aos textos
publicados nos congressos e perioacutedicos
No Brasil alguns mapeamentos foram realizados na tentativa de estabelecer um
panorama atual das pesquisas em Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica Um deles e talvez o
mais recentemente publicado internacionalmente foi elaborado por Arauacutejo (2010) Como
corpus foram analisados trabalhos apresentados e publicados em eventos ocorridos no paiacutes
84
International Conference on the Teaching of Mathematical Modelling and Applications (ICTMA) 85
The International Journal on Mathematics Education (ZDM)
78
durante os anos de 2006 e 2007 Satildeo eles 14 trabalhos apresentados no III SIPEM86
10
trabalhos apresentados no IX ENEM87
e 32 trabalhos apresentados na CNMEM88
totalizando
56 publicaccedilotildees No artigo a autora esclarece que
Devido agrave sua influecircncia a modelagem em educaccedilatildeo matemaacutetica no Brasil reflete
influecircncias da matemaacutetica aplicada campo principal de trabalho de Bassanezi mas
tem sido marcada principalmente pelos estudos soacutecio-culturais desenvolvidos por
DrsquoAmbrosio no campo da Etnomatemaacutetica89
(ARAUacuteJO 2010 p 338)
Com base nas leituras dos diversos textos mencionados anteriormente observei
que existem diversas concepccedilotildees em atividades de Modelagem Matemaacutetica nos mais diversos
contextos de formaccedilatildeo podendo ser realizadas durante o desenvolvimento de disciplinas
regulares como cursos de formaccedilatildeo de professores iniciaccedilatildeo cientiacutefica pesquisa entre outras
possibilidades A apresentaccedilatildeo do problema pode ser realizada tanto pelo professor quanto
pelos alunos O problema pode ser exposto juntamente com seus dados qualitativos eou
quantitativos Pode ocorrer de os alunos e professor(es) terem que procurar pelos dados
quantitativos ou qualitativos relacionados ao problema proposto Podem ser incluiacutedos tambeacutem
problemas para os quais jaacute foram estabelecidos modelos matemaacuteticos que os representem (as
denominadas aplicaccedilotildees)
A seguir apresento uma revisatildeo de literatura sobre as pesquisas que buscam
analisar os usos da Modelagem Matemaacutetica para propiciar formaccedilotildees em Caacutelculo em cursos
de Engenharia Com isso objetivo delimitar a presente investigaccedilatildeo no contexto da revisatildeo de
literatura
24 Revisatildeo de literatura sobre pesquisas de Modelagem em Caacutelculo na Educaccedilatildeo em
Engenharia delineando o espaccedilo da presente pesquisa
Ao ler por exemplo os anais do Seminaacuterio Internacional de Pesquisa em
Educaccedilatildeo Matemaacutetica (SIPEM)90
que ocorreram trienalmente entre os anos de 2000 e 2012
86
Seminaacuterio Internacional de Pesquisa em Educaccedilatildeo Matemaacutetica 87
Encontro Nacional da Educaccedilatildeo Matemaacutetica 88
Conferecircncia Nacional sobre Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica 89
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoDue to their influence modelling in mathematics education in Brazil reflects
influences from applied mathematics Bassanezirsquos main field of work but has been imprinted mainly by the
socio-cultural studies developed by DrsquoAmbrosio in the field of ethnomathematicsrdquo 90
O SIPEM eacute um seminaacuterio realizado trienalmente e organizado pela Sociedade Brasileira de Educaccedilatildeo
Matemaacutetica (SBEM)
79
foi encontrado apenas um trabalho que faz referecircncia ao uso de Modelagem em cursos de
Engenharia tendo sido apresentado no V SIPEM em 2012 Nele Ferruzzi (2012 p 1)
apresenta resultados de uma pesquisa que buscou investigar ldquoo potencial da Modelagem
Matemaacutetica para o estabelecimento de interaccedilotildees que possuem caracteriacutesticas consideradas
fonte de aprendizagemrdquo em um curso de Engenharia Ambiental A autora se baseia nos
estudos de Vygotsky e considera que a aprendizagem estaacute associada agrave interaccedilatildeo Sendo assim
entende que ldquopropiciar atividades que conduzam agrave interaccedilatildeo pode auxiliar o aluno em seu
aprendizado e deve ser um dos interesses do professorrdquo (FERRUZZI 2012 p 1)
Biembengut e Hein (2007) concebem a Modelagem Matemaacutetica como uma
metodologia de ensino em cursos de Engenharia Aleacutem disso eles esclarecem a ecircnfase dada
por eles nas atividades de Modelagem em cursos de Engenharia
O objetivo deste trabalho eacute criar condiccedilotildees para que os alunos aprendam a fazer
modelos matemaacuteticos aumentando e aperfeiccediloando seus conhecimentos Um grupo
de estudantes sob a supervisatildeo do professor deve ser responsaacutevel pela escolha e
direccedilatildeo de seu proacuteprio trabalho Cabe ao professor criar condiccedilotildees onde eles podem
desenvolver esta autonomia91
(BIEMBENGUT HEIN 2007 p 417)
O desenvolvimento de atividades de Modelagem em sala de aula implica
necessariamente delineamento de especificaccedilotildees que engloba os objetivos para a realizaccedilatildeo
da atividade bem como os papeacuteis que devem ser assumidos por alunos e professores Os
pesquisadores da Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica entendem que tais especificaccedilotildees ao
serem assumidas pelos professores definem uma perspectiva de Modelagem Matemaacutetica
(BARBOSA SANTOS 2007 p 1-2)
Alguns trabalhos sobre Modelagem em Educaccedilatildeo foram apresentados em ediccedilotildees
anuais do Congresso Brasileiro de Educaccedilatildeo em Engenharia (COBENGE) Nas uacuteltimas 10
ediccedilotildees do evento (de 2003 a 2012) dezesseis trabalhos sobre Modelagem Matemaacutetica na
Educaccedilatildeo em Engenharia foram apresentados92
Observe que a meacutedia eacute de menos de dois
trabalhos por ediccedilatildeo do evento O que poderia explicar uma participaccedilatildeo tatildeo inexpressiva
nesse congresso por parte dos pesquisadores em Educaccedilatildeo Matemaacutetica Natildeo sei a resposta
91
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoThe objective of this work is to create conditions in which students learn to
make mathematical models increasing and perfecting their knowledge A group of students under the
supervision of the teacher must be responsible for the choice and direction of their own work It falls to the
teacher to create conditions where they can develop this autonomyrdquo 92
Os anais do evento estatildeo disponiacuteveis no site wwwabengeorgbr Busquei pelo termo Modelagem e li todos os
resumos que obedecessem a essa busca Dentre eles descartei os artigos que se referiam agrave Modelagem
ldquopuramenterdquo sob a oacutetica da Matemaacutetica Aplicada agrave resoluccedilatildeo de problemas da Engenharia restando assim
apenas os artigos que se referiam essencialmente agrave Modelagem sob a oacutetica da formaccedilatildeo Matemaacutetica em
Engenharia
80
para essa pergunta e nem eacute o intuito desta pesquisa descobrir a resposta contudo penso que
esta realidade pode estar relacionada agrave hipoacutetese formulada por Cury (2002) de que ldquoos
professores de disciplinas matemaacuteticas natildeo se consideram professores dos cursos de
Engenharia e por isso natildeo se propotildeem a apresentar seus trabalhos em congressos de ensino
desta aacutereardquo
Em sua pesquisa de doutorado Arauacutejo (2002) analisou uma proposta de
Modelagem Matemaacutetica desenvolvida em uma turma de Caacutelculo do curso de Engenharia
Quiacutemica de uma universidade puacuteblica do Estado de Satildeo Paulo Tal proposta foi implementada
durante o desenvolvimento da disciplina que contempla(va) os conteuacutedos de Caacutelculo
Diferencial e Integral I A pesquisadora analisou atividades de Modelagem Matemaacutetica em
um ambiente de ensino e aprendizagem de Caacutelculo no qual as tecnologias informaacuteticas
estavam presentes com o objetivo de investigar que discussotildees ocorrem e como elas ocorrem
Vale ressaltar que a autora entende que ldquodiscussotildeesrdquo podem ser entendidas como algum tipo
de ldquocomunicaccedilatildeordquo que por sua vez pode exercer influecircncias sobre a ldquoaprendizagemrdquo Para
ela aprendizagem ldquocertamente estaacute ligada a questotildees de comunicaccedilatildeo na Educaccedilatildeo
Matemaacuteticardquo (ARAUacuteJO 2002 p 164)
Ferruzzi (2011) realizou sua pesquisa de doutorado mediante a aplicaccedilatildeo de uma
proposta de Modelagem Matemaacutetica em um curso de Engenharia Ambiental da Universidade
Tecnoloacutegica Federal do Paranaacute (UTFPR) Tal proposta foi implementada durante o
desenvolvimento da disciplina chamada de Matemaacutetica 2 na referida instituiccedilatildeo que
contempla os conteuacutedos de Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias A pesquisadora desenvolveu
atividades de Modelagem Matemaacutetica com referecircncia nos temas relacionados aos conteuacutedos
de EDO com o objetivo de investigar as interaccedilotildees que emergem durante o desenvolvimento
de atividades de Modelagem Matemaacutetica na sala de aula Como parte da anaacutelise a autora
aponta que os diaacutelogos que emergiram durante as atividades de Modelagem propostas na
investigaccedilatildeo ocorrem com mais frequecircncia do que os diaacutelogos que emergem de praacuteticas
tradicionais de ensino-aprendizagem da referida disciplina Aleacutem disso constatou que as
interaccedilotildees proporcionadas pelo desenvolvimento das atividades de Modelagem atuaram
significativamente no favorecimento da aprendizagem dos alunos
Vale ressaltar que a proposta de modelagem implementada por Ferruzzi (2011 p
24 grifos da autora) foi baseada em um contexto simulado que pode ser entendido como uma
representaccedilatildeo do contexto real Tal contexto tem origem no contexto real sendo reproduzidas
partes de suas caracteriacutesticas Para a autora ldquoo contexto simulado faz referecircncia agrave situaccedilotildees da
vida cotidiana que satildeo retomadas e transformadas em atividades de ensino e aprendizagemrdquo
81
A autora considera aprendizagem na referida pesquisa como um processo de mudanccedila nas
formas discursivas dos alunos
Aleacutem disso Ferruzzi (2011 p 33) considera o conceito vygotskyano de Zona de
Desenvolvimento Proximal (ZDP) como sendo ldquoo desenvolvimento humano em dois niacuteveis o
Niacutevel de Desenvolvimento Real (NDR) e o Niacutevel de Desenvolvimento Potencial (NDP) A
lsquodistacircnciarsquo entre estes dois niacuteveis eacute denominada por Vygotsky como sendo a Zona de
Desenvolvimento Proximal (ZDP)rdquo Nesse sentido as conclusotildees da referida pesquisa satildeo
tomadas em termos de aprendizagens que natildeo poderiam acontecer de modo espontacircneo
sendo entatildeo promovidas pela accedilatildeo intencional do professor Com isso a autora considera
que o professor pode exercer o papel de mediador dos processos de ensino e aprendizagem de
Caacutelculo em um curso de Engenharia por meio de atividades de Modelagem Matemaacutetica
Vale ressaltar que Ferruzzi (2011) investigou as interaccedilotildees que emergem de
atividades de Matemaacutetica em sala de aula da disciplina Matemaacutetica 2 que na UTFPR abarca
os conteuacutedos de EDO considerando que o conhecimento eacute construiacutedo na e pela interaccedilatildeo
enquanto a presente pesquisa buscou analisar as possibilidades de aprendizagens expansivas
evidenciadas em atividades desenvolvidas por um Grupo de Estudos e Pesquisa em
Modelagem Matemaacutetica (GEPMM) em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharia Portanto
interaccedilatildeo e aprendizagem estatildeo intimamente inter-relacionadas em Ferruzzi (2011) Vale
ressaltar que para a referida autora a aprendizagem pode ser entendida como um processo de
mudanccedila nas formas discursivas dos alunos
Tomando-se por base Arauacutejo (2002) e Ferruzzi (2011) percebo que discussotildees
(comunicaccedilotildees) e interaccedilotildees satildeo elementos cuja anaacutelise se torna essencial para investigar
processos de aprendizagem em atividades de Modelagem desenvolvidas em disciplinas de
Caacutelculo em cursos de Engenharia
Buscando esclarecer os conceitos de comunicaccedilatildeo e interaccedilatildeo entendendo-os
como constituintes de discursos que permeiam os mais diversos ambientes de aprendizagem
encontrei em Bakhtin (2010 p 36) o seguinte relacionamento entre comunicaccedilatildeo interaccedilatildeo e
consciecircncia ldquoa loacutegica da consciecircncia eacute a loacutegica da comunicaccedilatildeo ideoloacutegica da interaccedilatildeo
semioacutetica de um grupo social Se privarmos a consciecircncia de seu conteuacutedo semioacutetico e
ideoloacutegico natildeo sobra nadardquo
Tanto em Arauacutejo (2002) quanto em Ferruzzi (2011) as atividades de Modelagem
permearam as demais atividades desenvolvidas em disciplinas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia Sendo assim as atividades de Modelagem estiveram condicionadas agrave adaptaccedilatildeo
ao contexto das referidas disciplinas de Caacutelculo Para tal condicionamento faz-se necessaacuterio
82
supostamente o alinhamento das atividades de Modelagem aos objetivos que satildeo delineados
em cada disciplina
A meu ver outras questotildees podem ser colocadas em relevo quando se desenvolve
Modelagem em salas de aula de disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia o
engajamento dos alunos nas referidas atividades estaria relacionado a quais motivos As
situaccedilotildees-problema natildeo matemaacuteticas em questatildeo estariam condicionadas aos conteuacutedos de
cada disciplina Quais ideologias estariam permeando tais ambientes de aprendizagem
Na intervenccedilatildeo proposta na presente pesquisa entendo os conteuacutedos de Caacutelculo
como ferramentas para a formaccedilatildeo em Engenharia Um Caacutelculo que somente pode ser
concebido em accedilatildeo Caacutelculo como meio natildeo como finalidade Baseado nisso natildeo haacute a priori
como definir os conteuacutedos de Caacutelculo que possam ser utilizados para entendimento de uma
questatildeo-problema natildeo matemaacutetica oriunda de um contexto real ndash razatildeo de ser das atividades
de Modelagem que seja escolhida por um grupo de sujeitos Mais do que isso o foco
principal da referida atividade eacute o entendimento da questatildeo-problema Dessa forma os
conteuacutedos de Caacutelculo satildeo construiacutedos e utilizados para solucionar a questatildeo-problema ndash um
Caacutelculo que jaacute ldquonasceriardquo em accedilatildeo
Tomando-se por base a constituiccedilatildeo do GEPMM como um contexto alternativo
agraves disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia e as atividades que foram nele
desenvolvidas busco analisar as possibilidades de aprendizagens expansivas
25 Concepccedilatildeo de uma atividade de Modelagem Matemaacutetica assumida em um contexto
de formaccedilatildeo em Engenharias
Para Barbosa (2001a p 6) ldquomodelagem eacute um ambiente de aprendizagem no qual
os alunos satildeo convidados a indagar eou investigar por meio da matemaacutetica situaccedilotildees
oriundas de outras aacutereas da realidaderdquo Vale ressaltar que o autor focou seus estudos de
doutoramento na formaccedilatildeo inicial de professores de Matemaacutetica ou seja alunos de
licenciatura em Matemaacutetica Na referida pesquisa de doutorado Barbosa (2001b) orientou-se
pela busca em entender a concepccedilatildeo de Modelagem Matemaacutetica de futuros professores de
Matemaacutetica tendo em vista as experiecircncias matemaacuteticas particularmente com modelagem
vivenciadas pelos licenciandos aliadas as suas concepccedilotildees de Matemaacutetica e de seu ensino
Nesse sentido considero que a Modelagem Matemaacutetica pode perfazer algo aleacutem
do que eacute proposto explicitamente por Barbosa (2001a) devido ao simples fato de que natildeo
83
somente os estudantes podem estar sendo convidados a indagar eou investigar mas acredito
sobretudo que tais ambientes podem assumir importante papel na formaccedilatildeo continuada de
professores em suas proacuteprias praacuteticas93
ampliando assim os respectivos horizontes de
atuaccedilatildeo nas mais diversas dimensotildees cotidianas de trabalho Vale ressaltar que embora
Barbosa (2001a) natildeo exclua as possibilidades de formaccedilatildeo docente continuada em tais
ambientes de aprendizagem ele natildeo se propocircs a focar suas discussotildees nesse possiacutevel aspecto
da atividade
Bassanezi (2006 p 16) entende que a modelagem matemaacutetica consiste na ldquoarte de
transformar problemas da realidade em problemas matemaacuteticos e resolvecirc-los interpretando
suas soluccedilotildees na linguagem do mundo realrdquo A obra artiacutestica pode ser considerada criaccedilatildeo de
uma nova realidade posto que o homem se afirma criando ou humanizando o que toca ndash a
praacutexis artiacutestica que ao ampliar e enriquecer com suas criaccedilotildees a realidade jaacute humanizada
constitui uma praacutexis essencial para o homem (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 198)
Ao considerar a modelagem como arte situando-a na esfera da atividade da
transformaccedilatildeo de uma mateacuteria (problema da realidade) sob uma nova forma (problemas
matemaacuteticos) eacute preciso levar em conta a necessidade humana que o objeto criado ou
produzido seraacute capaz de satisfazer Satildeo as necessidades humanas que configuram e orientam
as atividade de modelagem realizadas por uma coletividade cujo objeto compartilhado
relaciona-se necessariamente com os objetivos centrais a serem alcanccedilados mediante a
realizaccedilatildeo de accedilotildees intencionais adequadas agraves finalidades que por sua vez podem ser
caracterizadas pela(s) perspectiva(s) de modelagem assumida(s) pelos sujeitos engajados em
tal atividade
No contexto da pesquisa relatada no presente texto considero que atividade de
Modelagem Matemaacutetica constituem espaccedilos formativos94
nos quais os sujeitos engajados
dirigem suas accedilotildees em prol do entendimento e da resoluccedilatildeo de questotildees-problema natildeo
matemaacuteticas oriundas das mais variadas esferas da sociedade utilizando necessariamente
instrumentos matemaacuteticos para auxiliaacute-los
93
Formaccedilatildeo continuada de professores em suas proacuteprias praacuteticas quer dizer que os professores aprendem
enquanto vatildeo criando e modificando suas proacuteprias praacuteticas Natildeo precisam necessariamente participar de um
curso de formaccedilatildeo continuada para estarem aprendendo Eles proacuteprios tomam a realidade contraditoacuteria como
ponto de partida e promovem accedilotildees com vistas a modificarem suas praacutexis promovendo assim saltos
qualitativos em sua proacutepria formaccedilatildeo docente 94
Aqui espaccedilo formativo pode ser entendido como algo aleacutem de um lugar fiacutesico Um ambiente que produz um
contexto propiacutecio agrave formaccedilatildeo uma estrateacutegia de formaccedilatildeo que deve conter os mais variados instrumentos
incluindo instrumentos subjetivos e simboacutelicos nos quais os sujeitos dirigem suas accedilotildees orientadas pelos
objetivos de formaccedilatildeo que incluem o compartilhamento de conhecimentos em prol da formaccedilatildeo profissional dos
futuros engenheiros constituindo assim um sistema de atividades cujo objeto compartilhado deve incluir as
questotildees-problema a serem entendidassolucionadas e os futuros engenheiros (estudantes)
84
Cabe aqui uma ressalva como as atividades de Modelagem Matemaacutetica nesta
investigaccedilatildeo satildeo concebidas como espaccedilos formativos em instituiccedilotildees de ensino95
natildeo
podemos desconsiderar que esses espaccedilos perpassam por formas cotidianas de atitudes e
accedilotildees praacuteticas dos professores em exerciacutecio de seu trabalho como natildeo podemos considerar o
trabalho do professor sem levar em conta o(s) objeto(s) de sua atividade tambeacutem devemos
levar em conta que tais atividade perpassam por horizontes historicamente e culturalmente
elaborados de formas cotidianas de atitudes e accedilotildees praacuteticas dos alunos em exerciacutecio de suas
atribuiccedilotildees como estudantes considerando-se entatildeo objeto de sua proacutepria atividade de
formaccedilatildeo escolar institucionalizada
Ainda por considerar que o trabalho do professor consiste em auxiliar
acompanhar orientar e ajudar os estudantes a engajarem e participarem do processo de
formaccedilatildeo e constituiccedilatildeo da proacutepria cidadania em termos da aquisiccedilatildeo de conhecimentos
necessaacuterios para plena participaccedilatildeo social entendo que o trabalho do professor somente se
realiza em sua plenitude mediante o engajamento dos alunos pois para um sujeito auxiliar
eou acompanhar eou orientar eou ajudar outro sujeito torna-se necessaacuterio que esse outro
direcione accedilotildees no mesmo sentido orientadas pelo mesmo fim Nisso natildeo entendo que possa
haver ensino sem aprendizagem Por esse motivo que entendo as atividades de Modelagem
Matemaacutetica como espaccedilos formativos naturalmente imersos em espaccedilos formativos
institucionalizados mais amplos ndash escolas e universidades
Dessa forma podemos atribuir agraves atividade de Modelagem Matemaacutetica em
contextos formativos a necessidade de formaccedilatildeo de estudantes para se tornarem sujeitos
plenamente conscientes autocircnomos e livres mediante a aquisiccedilatildeo da capacidade de agir em
situaccedilotildees problemaacuteticas utilizando os conhecimentos construiacutedos pelo homem em sua
historicidade dentre estes a Matemaacutetica ndash no contexto da presente pesquisa mais
especificamente o Caacutelculo
Contudo natildeo somente estudantes podem estar em processo de formaccedilatildeo ao
participarem deste tipo de atividade mas tambeacutem os professores ao se depararem com
questotildees-problema natildeo oriundas de sua aacuterea de formaccedilatildeo (a Matemaacutetica) podem ser
agraciados com transformaccedilotildees em seus proacuteprios horizontes de accedilotildees cotidianas e de praacuteticas
de trabalho Acredito ainda que os professores ao modificarem suas praacuteticas cotidianas de
trabalho incluindo atividade de modelagem Matemaacutetica acabam por possibilitar um
95
Nesta pesquisa em uma universidade que se destina agrave formaccedilatildeo de engenheiros
85
movimento de transformaccedilotildees qualitativas em sua proacutepria formaccedilatildeo docente ainda que este
natildeo seja necessariamente o objeto principal que oriente tal modificaccedilatildeo
Engestroumlm (2002) enfatiza que os contextos da descoberta da aplicaccedilatildeo praacutetica e
da criacutetica ao serem assumidos podem provocar transformaccedilotildees no objeto da atividade
escolar tornando-o novo e expandido Sendo assim as atividades de Modelagem Matemaacutetica
como um espaccedilo formativo alternativo no qual alunos e professores tem a oportunidade de
elaborar e implementar um novo modo de fazer e participar do trabalho de ensino-
aprendizagem constituem um contexto propiacutecio para ampliar as possibilidades para
aprendizagens expansivas O objeto da atividade escolar tradicional eacute transformado
delegando aos textos escolares o papel de instrumentos e elegendo as questotildees-problema natildeo
matemaacuteticas como um novo e expandido objeto da atividade aleacutem de ser remetido aos
contextos da descoberta da aplicaccedilatildeo e da criacutetica Aleacutem disso os estudantes inicialmente
remetidos ao posto de sujeitos da atividade escolar de aprendizagem passam a configurar
adicionalmente ao objeto natildeo apenas da atividade do professor (ensino) mas sobretudo de
sua proacutepria atividade (aprendizagem) estando assim engajados na atividade de ensino-
aprendizagem que objetiva sua proacutepria formaccedilatildeo mediante tal participaccedilatildeo nas atividades de
Modelagem Matemaacutetica
Dessa forma as atividades de Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia
podem se configurar teoricamente mediante representaccedilatildeo ldquotriangularrdquo elaborada por
Engestroumlm (1987) como sistemas de atividade de ensino-aprendizagem da seguinte forma
86
FIGURA 5 ndash Os interdependentes sistemas de atividade de estudantes e professor(es) engajados em atividades
(escolares) de Modelagem Matemaacutetica
Fonte Elaborado pela autora com base em Engestroumlm (2008)
No desenvolvimento das accedilotildees que necessitam ocorrer para que as questotildees-
problema sejam entendidas resolvidas e solucionadas pelos participantes da atividade pode
ocorrer de algum instrumento ter de ser construiacutedo pelos participantes como por exemplo
alguma ferramenta matemaacutetica Neste caso o professor tem o papel fundamental de orientar
os alunos nessa construccedilatildeo que muitas vezes jaacute faz parte do conhecimento do professor
Contudo em atividades de Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia
contexto desta investigaccedilatildeo pode acontecer (e muitas vezes acontece) de as ferramentas
matemaacuteticas necessaacuterias para o entendimento eou resoluccedilatildeo da questatildeo-problema natildeo
estarem ao alcance ldquodiretordquo de alunos e professores Nesse caso abre-se um horizonte de
possibilidades de aprendizagem que pode tambeacutem constituir a formaccedilatildeo continuada desses
professores engajados na formaccedilatildeo matemaacutetica dos engenheiros Aleacutem disso caso o professor
esteja engajado nesse direcionamento podemos inclusive posicionar como objeto de sua
atividade sua proacutepria formaccedilatildeo continuada em termos da construccedilatildeo coletiva de novas
ferramentas matemaacuteticas o que pode levar agrave necessidade de novas pesquisas na aacuterea de
Matemaacutetica
Ao assumir as atividades de Modelagem Matemaacutetica como sendo um espaccedilo
formativo sendo possiacutevel sua construccedilatildeo dentro ou fora da sala de aula entendo que aos
sujeitos engajados em tais atividade eacute oferecida uma possibilidade de ampliaccedilatildeo gradual do
objeto e do contexto da aprendizagem Aleacutem disso tal espaccedilo formativo alternativo pode
87
possibilitar transformaccedilotildees no sentido de os sujeitos estarem aprendendo novas formas de
atividade direcionadas agrave sua proacutepria formaccedilatildeo Como corpus de anaacutelise para a presente
pesquisa baseio-me em atividades desenvolvidas por um Grupo de Estudos e Pesquisa em
Modelagem Matemaacutetica em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias que realiza suas
accedilotildees fora da sala de aula tradicional tanto de disciplinas de Caacutelculo quanto de disciplinas
ldquoteacutecnicasrdquo composto por alunos e professores de diversos cursos de Engenharia sob a
orientaccedilatildeo da seguinte pergunta diretriz
Quais aprendizagens expansivas podem ser evidenciadas pelas e nas atividades
desenvolvidas por um Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica (GEPMM)
em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias
Como possiacuteveis desdobramentos dessa pergunta estaratildeo
a) o que motivou a participaccedilatildeo dos docentes e discentes no GEPMM
b) Quais contradiccedilotildees ou conflitos estiveram presentes nas atividades do
GEPMM De que forma tais contradiccedilotildees foram exploradas
c) Como os instrumentos que permearam os sistemas de atividade do GEPMM se
relacionam aos sujeitos e aos objetos
26 Abertura de caixas-pretas como accedilotildees estrateacutegicas com vistas agraves possibilidades de
aprendizagens expansivas relacionadas agraves transformaccedilotildees do objeto de uma atividade de
Modelagem Matemaacutetica
[] nossa entrada no mundo da ciecircncia e da tecnologia seraacute pela porta de traacutes a da
ciecircncia em construccedilatildeo e natildeo pela entrada mais grandiosa da ciecircncia acabada
(LATOUR 2000 p 17)
No capiacutetulo 1 pontuei que segundo Engestroumlm (2002) um contexto propiacutecio para
possibilitar aprendizagens expansivas estaria ancorado pelo ldquotripeacuterdquo formado pelos contextos
da descoberta caracterizado pelo meacutetodo da ascensatildeo do abstrato ao concreto proposto por
Davydov da reproduccedilatildeo praacutetica proposto por Jean Lave e da criacutetica proposto por
Engestroumlm (2002) Com base em tal contexto as atividades de Modelagem Matemaacutetica
seriam consideradas como espaccedilos formativos nos quais os sujeitos engajados direcionariam
suas accedilotildees com vistas ao entendimento de questotildees-problema natildeo matemaacuteticas utilizando
88
necessariamente instrumentos matemaacuteticos para auxiliar a resoluccedilatildeoentendimento Com isso
o objeto dos sistemas de atividade seria composto pelas questotildees-problema natildeo matemaacuteticas e
pelos estudantes em formaccedilatildeo Mas como poderiacuteamos caracterizar os instrumentos
matemaacuteticos necessaacuterios no desenvolvimento da referida atividade Sob quais ldquoformasrdquo tais
instrumentos poderiam estar configurados Quais accedilotildees seriam possibilitadas por tais
instrumentos De que forma tais instrumentos se relacionam aos demais instrumentos da
atividade
Segundo Skovsmose (2007 p 113) a noccedilatildeo de Matemaacutetica tem se movido em
muitas direccedilotildees Para ele a terminologia matemaacutetica poderia estar referida ldquoagrave matemaacutetica
pura agrave aplicada agrave matemaacutetica da engenharia agraves teacutecnicas matemaacuteticas imersas na cultura agrave
matemaacutetica das ruas aos caacutelculos de todo tipordquo Afirma ainda que a Matemaacutetica estaacute em toda
parte assim como os computadores e considera o desenvolvimento dos computadores como
um desenvolvimento tecnoloacutegico que pode ser encarado como a materializaccedilatildeo de insights e
teacutecnicas Conclui que Matemaacutetica e Computaccedilatildeo satildeo atividades inter-relacionadas
Skovsmose (2007) considera a tecnologia de maneira ampla que inclui natildeo somente sua
ldquomaquinariardquo mas tambeacutem sua organizaccedilatildeo o conhecimento dos procedimentos de produccedilatildeo
e aqueles para o projeto e para a tomada de decisatildeo
Ao discorrer sobre a (denominada por ele) teoria da representaccedilatildeo da modelagem
matemaacutetica Skovsmose (2007) pontua que o enfoque frequentemente dado a esse tipo de
empreendimento se concentra na verificaccedilatildeo e na exatidatildeo do modelo a ser usado em tal
representaccedilatildeo enquanto o enfoque nos contextos (realidade social) e nas possiacuteveis
consequecircncias do processo de modelar eacute deixado de lado As discussotildees da modelagem
matemaacutetica como teoria da representaccedilatildeo focadas apenas na qualidade da representaccedilatildeo
para o autor estabelecem uma obstruccedilatildeo organizada da proacutepria atividade de modelagem E
sugere que a questatildeo mais importante no que tange os empreendimentos de modelagem
matemaacutetica pode ser designada pela seguinte pergunta ldquoo que a matemaacutetica em accedilatildeo incluirdquo
(SKOVSMOSE 2007 p 115) Sob a oacutetica da Teoria da Atividade esse questionamento
poderia ser a meu ver melhor representado pela seguinte pergunta quais e como se
configuram as accedilotildees possibilitadas pelas ferramentas matemaacuteticas em uma determinada
atividade de modelagem Observe que aqui as accedilotildees se referem aos processos subordinados
agraves metas individuais ou objetivos parciais da atividade Sendo assim a matemaacutetica eacute encarada
como um poderoso instrumento que pode auxiliar o entendimento de questotildees concernentes agraves
realidades natildeo matemaacuteticas Skovsmose (2007) questiona ainda quem constroacutei os modelos
Que aspectos da realidade estatildeo neles incluiacutedos Quem tem acesso aos modelos Os modelos
89
satildeo ldquoconfiaacuteveisrdquo Quem estaacute apto a controlaacute-los Em que sentido eacute possiacutevel falsificar um
modelo E conclui que se tais questotildees natildeo forem adequadamente esclarecidas valores
tradicionais da democracia podem ser corroiacutedos
Ao falar de matemaacutetica em accedilatildeo Skovsmose (2007) se concentra em visualizar
como as concepccedilotildees matemaacuteticas satildeo projetadas na realidade Para ele ldquoquando usamos a
matemaacutetica como uma base para projeto tecnoloacutegico criamos uma ferramenta tecnoloacutegica que
tem de algum modo sido conceitualizada por meio da matemaacuteticardquo (p 123) Observe que
para a Teoria da Atividade os usos das ferramentas tecnoloacutegicas na situaccedilatildeo de artefatos
mediadores das relaccedilotildees possivelmente estabelecidas e implementadas pelos sujeitos
orientados ao objeto estatildeo condicionados aos motivos da atividade relacionados agraves
necessidades humanas
Com vistas ao desenvolvimento de atividades de Modelagem podem estar
incluiacutedas accedilotildees que se referem agrave identificaccedilatildeo e anaacutelise de situaccedilotildees hipoteacuteticas sendo que a
Matemaacutetica auxilia esse processo fornecendo subsiacutedios instrumentais possibilitando
representaccedilotildees de algo ainda natildeo compreendido portanto permite simular alternativas
tecnoloacutegicas para uma dada situaccedilatildeo Sendo assim
A matemaacutetica daacute uma forma de liberdade tecnoloacutegica abrindo um espaccedilo para
situaccedilotildees hipoteacuteticas Neste sentido a matemaacutetica se torna um percurso para a
imaginaccedilatildeo tecnoloacutegica e portanto para o planejamento de processos tecnoloacutegicos
que incluem projeto-accedilatildeo com base matemaacutetica [] O espaccedilo aberto pela
imaginaccedilatildeo tecnoloacutegica poderia muito bem conter situaccedilotildees hipoteacuteticas que natildeo satildeo
acessiacuteveis ao senso comum Um quadro matemaacutetico nos daacute novas alternativas
(SKOVSMOSE 2007 p 123 grifo do autor)
Skovsmose (2007) pontua trecircs aspectos considerados por ele como relevantes no
que diz respeito agrave matemaacutetica em accedilatildeo primeiro considera que por meio da Matemaacutetica eacute
possiacutevel estabelecer um espaccedilo de situaccedilotildees hipoteacuteticas na forma de alternativas
(tecnoloacutegicas) (para uma situaccedilatildeo presente) segundo considera que por meio da Matemaacutetica
eacute possiacutevel investigar detalhes particulares de uma situaccedilatildeo hipoteacutetica embora a Matemaacutetica
tambeacutem cause severas limitaccedilotildees para tal raciociacutenio hipoteacutetico e por uacuteltimo a Matemaacutetica
embasa a modulaccedilatildeo e a constituiccedilatildeo de uma ampla variedade de fenocircmenos sociais e desse
modo ela se torna parte da realidade Com o advento da ciberneacutetica observa-se que muita
tecnologia da informaccedilatildeo se materializa em ldquopacotesrdquo que podem operar conjuntamente com
outros pacotes eles contecircm a matemaacutetica como um ingrediente definidor uma base comum
Os instrumentos matemaacuteticos constituem uma variedade de recursos existentes na
sociedade atual perfazendo ferramentas e signos materializados externamente aos sujeitos
90
(linguagem escrita falada figuras teacutecnicas softwares foacutermulas modelos equaccedilotildees entre
vaacuterios outros) eou internamente aos sujeitos (ferramentas mentais abstraccedilotildees
representaccedilotildees processos psicoloacutegicos memoacuteria etc)
Para compreender a matemaacutetica em accedilatildeo Skovsmose (2007) considera a
Matemaacutetica como uma linguagem refletindo sobre o que poderia ser feito por essa linguagem
particular Aleacutem disso nos conduz agrave seguinte reflexatildeo que visotildees de mundo podem ser
discursivamente constituiacutedas por meio da Matemaacutetica
Se a Matemaacutetica estaacute em todo lugar ndash se natildeo em cena atraacutes da cena ndash espera-se
que toda vez que algueacutem usa de qualquer maneira um computador ele estaacute usando mesmo
que sem consciecircncia disso inuacutemeros dispositivos que somente foram elaborados e
construiacutedos mediante consideraacuteveis avanccedilos de loacutegicas teacutecnicas e resultados matemaacuteticos A
proacutepria aacutelgebra booleana96
que permeia todos os processos ciberneacuteticos eacute oriunda de
conceitos e resultados matemaacuteticos Dessa forma pensar processos educativos em pleno
seacuteculo XXI que se propotildeem possibilitar aos aprendizes uma visatildeo e atuaccedilatildeo criacutetica nessa
sociedade ldquocheia de tecnologiasrdquo ao seu alcance deve necessariamente levar em conta o
domiacutenio do entendimento ldquodescortinadordquo de todos os constructos instrumentais e seus
respectivos usos em diversas praacuteticas sociais que vatildeo muito aleacutem de capacidades de leitura
escrita e contagem
Ubiratan DrsquoAmbroacutesio no final dos anos 90 propocircs um curriacuteculo97
baseado no
tripeacute literacia materacia e tecnoracia buscando abarcar uma concepccedilatildeo de educaccedilatildeo que
atenda agraves exigecircncias da sociedade em cada momento histoacuterico Para ele isso difere e muito
do paradigma curricular que foca na importacircncia acadecircmica de cada disciplina escolar Nas
palavras do autor
Literacia eacute a capacidade de processar informaccedilotildees escrita e falada o que inclui
leitura escrita escritura caacutelculo diaacutelogo ecaacutelogo miacutedia internet na vida cotidiana
(instrumentos comunicativos)
Materacia eacute a capacidade de interpretar e analisar sinais e coacutedigos de propor e utilizar modelos e simulaccedilotildees na vida cotidiana de elaborar abstraccedilotildees sobre representaccedilotildees do real (instrumentos intelectuais)
Tecnoracia eacute a capacidade de usar e combinar instrumentos simples ou complexos inclusive o proacuteprio corpo avaliando suas possibilidades e limitaccedilotildees e a sua adequaccedilatildeo a necessidades e situaccedilotildees diversas (instrumentos materiais)
98
(DrsquoAMBROacuteSIO 2005 p 119)
96
Booleana se refere agrave Aacutelgebra elaborada por George Boole matemaacutetico inglecircs que concluiu seus trabalhos
sobre tal teoria em meados do seacuteculo XIX 97
O autor define curriacuteculo de uma forma muito abrangente ldquoa estrateacutegia da accedilatildeo educativardquo (DrsquoAMBROacuteSIO
2005 p 118) 98
Em inglecircs Literacy matheracy e technoracy Existem outras traduccedilotildees para Literacy como por exemplo
letramento contudo natildeo portam a mesma definiccedilatildeo O letramento estaria mais relacionado com a matheracy
91
Na sociedade atual as capacidades requeridas aos sujeitos abarcam usos e visatildeo
criacutetica de instrumentos de comunicaccedilatildeo intelectuais e materiais Com isso eacute extremamente
necessaacuterio adaptar as praacuteticas escolares para dar conta dessas prioridades A Modelagem
Matemaacutetica por se tratar de uma atividade que busca a resoluccedilatildeo de questotildees-problema de
realidades natildeo matemaacuteticas pode se configurar como um importante espaccedilo formativo
direcionado por essa concepccedilatildeo de educaccedilatildeo proposta por DrsquoAmbroacutesio conforme explicitado
anteriormente
Para Skovsmose (2001 p 89) ldquoo conhecimento reflexivo tem como seu objeto o
uso da matemaacutetica e portanto torna-se importante sair da catedral do conhecimento formal
para se ter uma visatildeo mais geral dessa construccedilatildeordquo Aleacutem disso tal autor faz distinccedilatildeo entre
trecircs tipos de conhecer que podem orientar a educaccedilatildeo matemaacutetica
1) Conhecer matemaacutetico que se refere agrave competecircncia normalmente entendida como
habilidades matemaacuteticas incluindo-se competecircncias na reproduccedilatildeo de teoremas e
provas bem como ao domiacutenio de uma variedade de algoritmos ndash essa competecircncia
estaacute focada na educaccedilatildeo matemaacutetica tradicional e sua importacircncia tem sido
especialmente enfatizada pelo movimento estruturalista ou pela ldquonova matemaacuteticardquo
2) Conhecer tecnoloacutegico que se refere agraves habilidades em aplicar a matemaacutetica e agraves
competecircncias na construccedilatildeo de modelos A importacircncia do conhecer tecnoloacutegico
tem sido enfatizada pela tendecircncia dirigida para aplicaccedilotildees na educaccedilatildeo matemaacutetica
que afirma que ateacute mesmo se os estudantes aprendem matemaacutetica nenhuma
garantia existe de que a competecircncia desenvolvida eacute suficiente quando se trata de
situaccedilotildees de aplicaccedilatildeo Mais do que a matemaacutetica pura tem de ser dominado a fim
de se poder aplicar a matemaacutetica []
3) Conhecer reflexivo que se refere agrave competecircncia de refletir sobre o uso da
matemaacutetica e avaliaacute-lo Reflexotildees tecircm a ver com avaliaccedilotildees das consequecircncias do
empreendimento tecnoloacutegico (SKOVSMOSE 2001 p 115 e 116)
Skovsmose (2001) aponta que as habilidades relacionadas ao conhecer
tecnoloacutegico podem ser consideradas como uma competecircncia extra denominando-a por
competecircncia tecnoloacutegica E esclarece que de maneira geral eacute caracterizada pelo
entendimento necessaacuterio que possibilita o uso de uma ferramenta tecnoloacutegica visando a
alcanccedilar alguns objetivos tecnoloacutegicos
Aleacutem de objetivar a promoccedilatildeo do conhecer reflexivo a educaccedilatildeo matemaacutetica
criacutetica busca por uma educaccedilatildeo em que haja igualdade entre os sujeitos a um niacutevel de
parceria fundando-se nas ideias da ldquopedagogia emancipadorardquo de Paulo Freire (1987)
delimita-se assim um primeiro ponto-chave dessa concepccedilatildeo de educaccedilatildeo ndash ldquoenvolvimento
estando focado apenas na liacutengua oficial do Brasil o portuguecircs No campo do letramento podemos encontrar
conceitos proacuteximos agrave matheracy por exemplo o numeramento Jaacute o termo technoracy estaacute relacionado ao
technological literacy o que poderia ser traduzido por letramento tecnoloacutegico
92
dos estudantes no controle do processo educacionalrdquo (SKOVSMOSE 2001 p 18) Um
segundo ponto-chave dessa concepccedilatildeo eacute a ldquoconsideraccedilatildeo criacutetica de conteuacutedos [] ambos
estudantes e professor devem estabelecer uma distacircncia criacutetica do conteuacutedo da educaccedilatildeordquo
(SKOVSMOSE 2001 p 18 grifo meu) O terceiro e uacuteltimo ponto-chave dessa concepccedilatildeo eacute o
direcionamento do processo de ensino-aprendizagem a problemas existentes fora do contexto
educacional Considerando os trecircs pontos-chave em uma concepccedilatildeo de educaccedilatildeo criacutetica o
autor coloca que o engajamento criacutetico deve fazer parte do processo Citando John Dewey
Skovsmose (2007) pontua que o meacutetodo experimental pode assegurar um novo suporte
pedagoacutegico com vistas ao desenvolvimento democraacutetico
Buscando possibilitar aprendizagens expansivas como transformaccedilotildees no objeto
da atividade de Modelagem uma possiacutevel estrateacutegia a ser considerada pode ser elencar accedilotildees
que objetivem a abertura de caixas-pretas Essa terminologia foi trazida da ldquosociologia da
ciecircnciardquo por Bruno Latour em sua obra Ciecircncia em accedilatildeo como seguir cientistas e
engenheiros sociedade afora devido ao entendimento de que vaacuterios conhecimentos
amplamente difundidos nos curriacuteculos escolares nas ementas das disciplinas partem de
resultados cientiacuteficos frequentemente considerados como inquestionaacuteveis eou verdades
absolutas Latour (2000) traz a noccedilatildeo de caixa-preta como sendo uma expressatildeo usada em
ciberneacutetica sempre que uma maacutequina ou um conjunto de comandos se revela complexo
demais ldquoem seu lugar eacute desenhada uma caixinha preta a respeito da qual natildeo eacute preciso saber
nada senatildeo o que nela entra e o que dela sairdquo (LATOUR 2000 p 14)
Dessa forma uma caixa-preta pode ser entendida como um aparatoobjeto
(conceito fato teacutecnica equaccedilatildeo lei teoria modelo equipamento aparelho maacutequina entre
outras possibilidades) oriundo de resultado de pesquisa cientiacutefica no qual eacute atribuiacutedo um
grau inquestionaacutevel de verdade sendo que sua existecircncia somente se justifica devido as suas
associaccedilotildees com outros aparatosobjetos (que tambeacutem podem ser caixas-pretas) e seus
respectivos usos sociais
O trabalho cientiacutefico estaacute condicionado agrave abertura e ao fechamento de caixas-
pretas Um cientista ao se deparar com possibilidades de investigar certo fenocircmeno X busca
todas as ldquoverdadesrdquo que outros cientistas jaacute estabeleceram sobre esse fenocircmeno Quando as
encontra pode questionaacute-las ou aceitaacute-las Suponha que o cientista resolva questionar uma
caixa-preta P encontrada por ele no processo de investigaccedilatildeo do fenocircmeno X Para isso eacute
necessaacuterio que ele utilize outros instrumentos (incluindo ateacute mesmo outras caixas-pretas) que
objetivem a abertura dessa caixa-preta Apoacutes a abertura ele comeccedila a relacionar essa caixa-
preta P com outras proposiccedilotildees a respeito do fenocircmeno X podendo alterar P ou apenas
93
reafirmar a ldquoverdaderdquo contida em P De qualquer forma o cientista abre e fecha P em certo
momento de sua atividade cientiacutefica Portanto qualquer caixa-preta pode ser aberta
reafirmada ou modificada ou ainda apenas utilizada pelos cientistas
Na vida cotidiana nos deparamos com as mais variadas caixas-pretas Um
reloacutegio por exemplo eacute uma delas sabemos que se o alimentarmos com bateria e cedermos a
ele uma regulagem com a hora oficial (entrada) ele sempre nos forneceraacute as horas (saiacuteda) no
entanto normalmente natildeo sabemos quais os processos ocorrem dentro dessa caixa-preta
Uma foacutermula matemaacutetica pode ser outro exemplo de caixa-preta se tomarmos por exemplo
a foacutermula de caacutelculo dos juros compostos 119862119899 = 1198620(1 + 119894)119899 sabe-se que se forem fornecidos o
capital inicial (1198620) a taxa de juros (119894) e o tempo (119899) (entradas) a foacutermula forneceraacute qual a
quantia (119862119899) (saiacuteda) teraacute depois desse tempo no entanto o que estaacute por traacutes dessa foacutermula e
qual eacute a veracidade dela o usuaacuterio pode natildeo ter conhecimento
Assim de forma representativa podemos visualizar as caixas-pretas da seguinte
forma
FIGURA 6 ndash Visualizaccedilatildeo da caixa-preta e suas possiacuteveis associaccedilotildees a outras caixas-pretas
Fonte Elaborada pela autora com base em Latour (2000)
Observe que as caixas-pretas natildeo se restringem apenas agraves variaacuteveis de entrada e
saiacuteda mas sobretudo ao relacionamento que cada uma delas pode estabelecer com outras
vaacuterias caixas-pretas Em um uacutenico equipamento um computador por exemplo existem
vaacuterias caixas-pretas em seu ldquointeriorrdquo ou seja uma caixa-preta contendo vaacuterias caixas-
pretas que se relacionam internamente
94
Mas porque accedilotildees orientadas pela abertura das caixas-pretas podem ser uacuteteis para
possibilitar aprendizagens expansivas em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias Uma
boa explicaccedilatildeo pode ser encontrada na seguinte reflexatildeo proposta por Latour (2000) como
segue
[] muitos jovens entraram no mundo da ciecircncia mas se tornaram cientistas e
engenheiros o que eles fizeram estaacute visiacutevel nas maacutequinas que usamos nos livros
pelos quais aprendemos nos comprimidos que tomamos nas paisagens que
olhamos nos sateacutelites que cintilam no ceacuteu noturno sobre nossas cabeccedilas Como
fizeram natildeo o sabemos [] quase ningueacutem estaacute interessado no processo de
construccedilatildeo da ciecircncia [] Os fatos e artefatos que esta produz caem sobre suas
cabeccedilas como um fado externo tatildeo estranho desumano e imprevisiacutevel quanto o
Fatum dos antigos romanos (LATOUR 2000 p 33-34)
A grande questatildeo aqui estampada consiste no entendimento de que os conteuacutedos
escolares perpassam pelos resultados cientiacuteficos muitas vezes relacionados a generalizaccedilotildees e
conceituaccedilotildees que num primeiro momento podem parecer ldquoestranhasrdquo aos aprendizes Essa
ldquoestranhezardquo pode muito bem ser anulada ou minimizada na medida em que os aprendizes
consigam adentrar para tais entes entendendo seu processo histoacuterico de construccedilatildeo e mais do
que isso percebendo que todo processo construtivo humano consiste na materializaccedilatildeo das
necessidades sociais e culturais em cada tempo histoacuterico de seu desenvolvimento
A concepccedilatildeo de educaccedilatildeo para desenvolvimento da cidadania emancipaccedilatildeo e
liberdade estaacute motivada pelas possibilidades e usos de conhecimentos em praacuteticas sociais
Nelas os sujeitos engajados carregam consigo as mais diversas experiecircncias vividas
anteriormente em diversos contextos sociais dentre estes os espaccedilos escolares Eacute na escola
que os resultados da ciecircncia satildeo recontextualizados e assumem postos de conteuacutedos a serem
desenvolvidos nas praacuteticas que ali ocorrem A abertura de caixas-pretas se torna portanto
imprescindiacutevel para se alcanccedilar uma formaccedilatildeo libertaacuteria emancipada e cidadatilde nos dias atuais
Mas quem decide quais caixas-pretas devem ser abertas jaacute que natildeo podem ser
todas Acredito que tal decisatildeo deva emergir da coletividade de aprendizes engajados em
cada frente de formaccedilatildeo pautados pelas demandas impostas pela sociedade em cada momento
de sua historicidade num contiacutenuo processo de diaacutelogo e orquestraccedilatildeo
Ao considerarmos o contexto institucional de formaccedilatildeo de engenheiros foco
dessa pesquisa podemos afirmar que os sujeitos partiacutecipes desse contexto tecircm amplo acesso
aos mais variados aparatosobjetos que podem ser entendidos como caixas-pretas Em
atividade de Modelagem Matemaacutetica sendo aqui considerada como um espaccedilo formativo que
se configura como um contexto propiacutecio para possibilitar aprendizagens expansivas por estar
95
baseado no contexto da criacutetica proposto por Engestroumlm (2002) entende-se portanto que tais
caixas-pretas devam ser abertas questionadas e se possiacutevel ou necessaacuterio alteradas ou
modificadas Isso deve fazer parte da formaccedilatildeo de engenheiros que pretendem dar conta da
complexidade e da magnitude do trabalho que os aguarda nas mais variadas esferas da
sociedade atual
Atividades de Modelagem Matemaacutetica podem assim constituir espaccedilos
formativos que possibilitem a abertura de caixas-pretas devido agrave postura investigativa que
pode ser instigada e cultivada nesse contexto Para tal os engajados nesse processo satildeo
orientados pelo questionamento e consequentemente pela modificaccedilatildeo de ldquoverdadesrdquo ou
certezas cientiacuteficas contidas em fatos aceitos e ateacute entatildeo inquestionaacuteveis que compotildeem cada
caixa-preta Dessa forma muitos fatos e enunciados sociais amplamente aceitos e difundidos
podem ser alterados nas e pelas atividades de Modelagem Matemaacutetica Mais do que isso a
abertura de caixas-pretas pode se revelar como estrateacutegia de formaccedilatildeo na qual os sujeitos satildeo
instigados apoacutes a abertura e possiacutevel confirmaccedilatildeo da ldquoverdaderdquo contida na caixa-preta natildeo
somente a aceitaccedilatildeo e a reproduccedilatildeo de tais certezas cientiacuteficas mas sobretudo agrave tomada de
tais certezas como base (entrada) para a elaboraccedilatildeo de outras certezas ou empreendimentos
cumprindo assim a formaccedilatildeo no que tange agrave produccedilatildeo criativa agrave inovaccedilatildeo e ao
empreendedorismo
As estrateacutegicas accedilotildees com vistas agrave abertura de caixas-pretas num contexto de
formaccedilatildeo em Engenharias correspondem a mudanccedilas qualitativas nos objetos da atividade de
Modelagem Matemaacutetica a questatildeo-problema que por vezes configura como objeto da
atividade de Modelagem Matemaacutetica pode ser considerada num primeiro momento como
uma caixa-preta na qual as accedilotildees devem ser direcionadas visando a sua abertura
Transformaccedilotildees qualitativas do objeto da atividade devem ser consideradas como
aprendizagens expansivas segundo Engestroumlm e Sannino (2010b)
Para concluir este capiacutetulo entendo que uma caixa-preta na verdade nunca eacute
totalmente preta e nem totalmente branca Caso existisse caixa pretas totalmente cinzas ou
totalmente brancas estariacuteamos reforccedilando a ideologia das verdades ldquoabsolutasrdquo e
inquestionaacuteveis assim como o contraacuterio A variaccedilatildeo de cores permitida entre o preto e o
branco configura como pertencente agrave categoria dos infinitos tons de cinza Suponha um
intervalo aberto entre zero e um A uma caixa-preta qualquer seria atribuiacutedo um valor mais
proacuteximo de um do que de zero isto eacute um tom de cinza mais escuro Com a realizaccedilatildeo das
accedilotildees expostas anteriormente a caixa-preta tende a ldquoclarear-serdquo (ou natildeo) sendo entatildeo
atribuiacutedo um valor menor (ou maior) do que o anteriormente atribuiacutedo resultando em um tom
96
de cinza mais claro do que o anterior Tal clarificaccedilatildeo pode ser entendida como um
movimento do escuro para o claro da atuaccedilatildeo ldquocegardquo para a ldquoniacutetidardquo em termos das questotildees
a serem ldquoesclarecidasrdquo por uma determinada atividade de Modelagem Matemaacutetica Ao
considerarmos os sujeitos como objetos da proacutepria atividade formativa o esclarecimento
parte inerente da subjetividade dos sujeitos engajados em tal espaccedilo em inter-relaccedilatildeo ao
objeto da atividade (questatildeo-problema a ser esclarecida) pode atingir um grau de magnitude
compatiacutevel com a participaccedilatildeo resultado da proacutepria experiecircncia na praacutetica social tendendo a
qualitativas modificaccedilotildees na agency e nas interaccedilotildees dos sujeitos na referida atividade
No proacuteximo capiacutetulo apresento os procedimentos utilizados e a metodologia
assumida no desenvolvimento da pesquisa relatada nesta tese
97
3 METODOLOGIA DE PESQUISA E PROCEDIMENTOS
Neste capiacutetulo apresento a abordagem teoacuterico-metodoloacutegica de construccedilatildeo99
e
anaacutelise dos dados o contexto em que esta pesquisa estaacute inserida bem como os procedimentos
metodoloacutegicos que foram adotados para a construccedilatildeo e anaacutelise desses dados
31 Por que a abordagem eacute qualitativa
Esta pesquisa estaacute inserida na aacuterea da Educaccedilatildeo Matemaacutetica localizada na aacuterea de
Ciecircncias Humanas que engloba questotildees relacionadas aos objetos de estudo da Educaccedilatildeo da
Matemaacutetica e da proacutepria Educaccedilatildeo Matemaacutetica Esses campos de pesquisa embora
compartilhem de praacuteticas sociais que na maioria das vezes estatildeo localizadas dentro das
instituiccedilotildees educacionais possuem interesses distintos em termos de pesquisa Mas como
um sujeito (neste caso eu professora de Caacutelculo em cursos de Engenharia) que passou grande
parte da vida trabalhando com Ciecircncias Exatas pode se encorajar a desenvolver uma pesquisa
na aacuterea das Ciecircncias Humanas A resposta para essa pergunta pode ser encontrada no
posicionamento de Arauacutejo e Borba (2006)
E quando um professor (de Matemaacutetica) se dispotildee a realizar uma pesquisa na aacuterea de
Educaccedilatildeo (Matemaacutetica) talvez seja porque ele vem problematizando sua praacutetica o
que poderaacute levaacute-lo a se dedicar com afinco ao desenvolvimento de uma pesquisa
originada desta problematizaccedilatildeo e para isso eacute preciso que ele sintetize suas
inquietaccedilotildees iniciais em uma (primeira) pergunta diretriz (ARAUacuteJO BORBA
2006 p 30)
Foi exatamente problematizando minha proacutepria atividade docente que busquei
pelo entendimento de questotildees relacionadas ao ensino de Caacutelculo em cursos de Engenharia
inicialmente a primeira pergunta diretriz que norteou a presente pesquisa foi de que forma a
Modelagem Matemaacutetica aliada a recursos computacionais pode melhor inter-relacionar a
99
Natildeo uso o termo coleta de dados por entender que o papel do pesquisador pode se configurar como aquele que
constroacutei dados para a pesquisa que se propotildee desenvolver Os dados natildeo podem ser coletados pelo simples
motivo de eles por vezes nem sequer existirem Soacute pode ser coletado o que existe O verbo coletar pode ser
sinocircnimo de juntar ou reunir algum objeto ou coisa Quando se utiliza esse verbo em pesquisas no sentido de
juntar ou reunir dados uma pressuposiccedilatildeo de que jaacute existam os dados a serem reunidos ou juntados eacute
considerada Contudo essa pressuposiccedilatildeo pode assumir caraacuteter falso quando o pesquisador vecirc-se em faces de
construir os dados que necessita visando buscar entendimento para a questatildeo que se propotildee investigar
98
disciplina de Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias agraves demais disciplinas ldquoteacutecnicasrdquo dos cursos
de Engenharia
Poreacutem ainda que Alves-Mazzotti (1999 p 147) considere que ldquoo foco da
pesquisa bem como as categorias teoacutericas e o proacuteprio design100
soacute deveratildeo ser definidos no
decorrer do processo de investigaccedilatildeordquo ela defende que
trabalhar de forma altamente indutiva deixando que o design e a teoria emerjam dos
dados eacute difiacutecil ateacute mesmo para pesquisadores mais experientes Quanto menos
experiente for o pesquisador mais ele precisaraacute de um planejamento cuidadoso sob
a pena de se perder num emaranhado de dados dos quais natildeo conseguiraacute extrair
qualquer significado (ALVES-MAZZOTTI 1999 p 148)
Refletindo acerca dos apontamentos de Alves-Mazzotti (1999) decidi tentar
perceber o movimento do foco e do design da pesquisa aqui relatada na tentativa de mesmo
que informalmente que o planejamento da pesquisa fosse cuidadoso e ao mesmo tempo
adotasse certo grau de flexibilidade Nesse processo de co-construccedilatildeo de foco e design da
pesquisa acabei por delinear a seguinte pergunta diretriz ldquoquais aprendizagens expansivas
podem ser evidenciadas pelas e nas atividades desenvolvidas por um Grupo de Estudos e
Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica (GEPMM) num contexto de formaccedilatildeo em
Engenhariasrdquo
Conforme exposto no capiacutetulo 1 a concepccedilatildeo de aprendizagem assumida na
pesquisa faz parte do referencial teoacuterico conhecido como Teoria Histoacuterico Cultural da
Atividade na qual um dos seus cinco princiacutepios afirma que a anaacutelise da atividade e dos
componentes que a formam deve sempre ser tomada em sua historicidade perceber o papel
das contradiccedilotildees no movimento de uma atividade torna possiacutevel tambeacutem a reconstituiccedilatildeo de
sua evoluccedilatildeo e do desenvolvimento de suas praacuteticas ao longo da histoacuteria Com isso entendo
que a abordagem metodoloacutegica histoacuterico-dialeacutetica que questiona fundamentalmente a visatildeo
estaacutetica da realidade considerando o caraacuteter dinacircmico contraditoacuterio e histoacuterico dos
fenocircmenos educativos deve ser considerada nesta investigaccedilatildeo Essa abordagem
metodoloacutegica considera que
Aquilo que hoje se apresenta diante de nossos olhos eacute apenas uma siacutentese do
processo histoacuterico em transformaccedilatildeo Por isso procura apresentar uma concepccedilatildeo
unitaacuteria coerente e orgacircnica do mundo fazendo da criacutetica seu modelo
100
ldquoO termo lsquodesignrsquo no que se refere agrave pesquisa tem sido traduzido como desenho ou planejamento O design
corresponde ao plano e agraves estrateacutegias utilizadas pelo pesquisador para responder agraves questotildees propostas pelo
estudo incluindo os procedimentos e instrumentos de coleta anaacutelise e interpretaccedilatildeo dos dados bem como a
loacutegica que liga entre si diversos aspectos da pesquisardquo (ALVES-MAZZOTTI 1999 p 147)
99
paradigmaacutetico mesmo porque natildeo haacute modelo teoacuterico ou siacutentese por melhor que
seja que decirc conta da realidade (FIORENTINI LORENZATO 2009 p 66)
Para tal abordagem eacute preciso entender os conflitos dos interesses aleacutem de
desvendar as contradiccedilotildees que emergem da realidade conforme preconizado pela Teoria da
Atividade Aleacutem disso natildeo basta compreender a realidade eacute preciso tambeacutem intervir nela
visando agrave emancipaccedilatildeo (libertaccedilatildeo) dos sujeitos (FIORENTINI LORENZATO 2009) O
entendimento dos conflitos de interesses pode ser enquadrado na anaacutelise das regras na
constituiccedilatildeo da comunidade e na divisatildeo do trabalho como referenciados no capiacutetulo 2
segundo a Teoria da Atividade proposta por Engestroumlm (1987) No sentido de natildeo bastar
compreender a realidade mas sobretudo intervir nela entende-se que o papel das
contradiccedilotildees segundo a Teoria da Atividade assumido como constituinte da forccedila motriz
capaz de promover transformaccedilotildees expansivas na atividade reafirma a necessidade de
intervenccedilotildees que podem estar relacionadas agraves possibilidades de emancipaccedilatildeo e liberdade dos
sujeitos partiacutecipes
Aleacutem disso entendo que tal orientaccedilatildeo metodoloacutegica coloca minha pesquisa em
consonacircncia com a abordagem qualitativa de investigaccedilatildeo Bogdan e Biklen (1994) utilizam a
expressatildeo investigaccedilatildeo qualitativa como sendo um termo geneacuterico no qual os dados
construiacutedos satildeo ricos em pormenores descritivos relacionados a pessoas locais e conversas e
o objetivo eacute investigar fenocircmenos em toda sua complexidade em um contexto real
Tendo em vista se tratar de uma investigaccedilatildeo de natureza qualitativa torna-se
pertinente analisar as suas caracteriacutesticas principais Bogdan e Biklen (1994) apresentam-nos
as cinco principais caracteriacutesticas da investigaccedilatildeo qualitativa que foram os princiacutepios
orientadores para esta pesquisa
1 Na investigaccedilatildeo qualitativa a fonte direta de dados101
eacute o ambiente natural
constituindo o investigador o instrumento principal
2 A investigaccedilatildeo qualitativa eacute descritiva
3 Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do que
simplesmente pelos resultados ou produtos
4 Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma indutiva
5 O significado eacute de importacircncia vital na abordagem qualitativa
Vale ressaltar que esses cinco princiacutepios orientam poreacutem natildeo necessariamente
definem e nem sequer limitam o uso da abordagem qualitativa em investigaccedilotildees como eacute o
101
Conforme apontado no iniacutecio deste capiacutetulo entendo que na investigaccedilatildeo qualitativa os dados satildeo construiacutedos
no ambiente natural que abriga o objeto da pesquisa
100
caso desta tese Assim podemos definir que a pesquisa se inclui em uma abordagem
qualitativa
Para que as atividades escolares possam ser transformadas expandidas
Engestroumlm (2002) afirma que eacute necessaacuterio antes de tudo questionar radicalmente o sentido e
o significado do contexto e com isso almejar a construccedilatildeo de um contexto alternativo mais
amplo As accedilotildees direcionadas para tal construccedilatildeo segundo Engestroumlm e Sannino (2010b)
podem ser sistematizadas em um ciclo de aprendizagem expansiva conforme explicitado no
capiacutetulo 2 Engestroumlm (2002) sugere que toda e qualquer atividade escolar deveria ser
preconizada por uma criacutetica meticulosa sobre seus conteuacutedos e procedimentos agrave luz de sua
histoacuteria Para o autor o contexto da criacutetica pressupotildee possibilidades de resistecircncia
questionamento contradiccedilatildeo e debate Nele os conteuacutedos e procedimentos satildeo considerados
sob a oacutetica da necessidade da coletividade afetada pela escolarizaccedilatildeo em termos histoacutericos
culturais e sociais
No toacutepico que segue definirei o contexto e os participantes assim como os
instrumentos de construccedilatildeo e anaacutelise de dados
32 Qual eacute o contexto e quem satildeo os sujeitos
Para alcanccedilar o objetivo da presente pesquisa inicialmente busquei uma
instituiccedilatildeo de ensino que se ocupasse da formaccedilatildeo de engenheiros Essa instituiccedilatildeo por
motivos logiacutesticos natildeo poderia estar muito distante da cidade em que resido Aleacutem disso
delimitei que ela fosse mantida pelo poder puacuteblico federal pois nelas a maioria dos
professores se dedica exclusivamente agraves atividades acadecircmicas de ensino pesquisa e
extensatildeo o que torna esses sujeitos propiacutecios ao engajamento como participantes da pesquisa
principalmente no que se refere agrave criaccedilatildeo do Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem
Matemaacutetica
Alves-Mazzotti (1999 p 162) elucida diversas questotildees a respeito da escolha do
campo onde seratildeo construiacutedos os dados bem como a respectiva escolha dos sujeitos nele
contidos
Ao contraacuterio do que ocorre com as pesquisas tradicionais a escolha do campo onde
seratildeo colhidos os dados bem como os participantes eacute proposital isto eacute o
101
pesquisador os escolhe em funccedilatildeo das questotildees de interesse do estudo e tambeacutem das
condiccedilotildees de acesso e permanecircncia no campo e disponibilidade dos sujeitos
Sendo assim a escolha da instituiccedilatildeo tambeacutem estava pautada pela facilidade de
diaacutelogo e entrosamento entre a pesquisadora e os docentes nela lotados que se constituiu
devido ao fato de a pesquisadora jaacute ter sido docente na instituiccedilatildeo escolhida sendo assim jaacute
tendo estabelecida uma relaccedilatildeo de amizade e confianccedila entre seus pares Outro fator que
tambeacutem foi levado em conta na escolha da instituiccedilatildeo foi o fato de a instituiccedilatildeo se dedicar
exclusivamente agrave formaccedilatildeo de engenheiros perfazendo um total de nove cursos oferecidos102
Esse fator foi levado em conta pelo simples motivo de todos os sujeitos supostamente
estarem focados em uma missatildeo comum ldquogerar sistematizar aplicar e difundir
conhecimento ampliando e aprofundando a formaccedilatildeo de cidadatildeos e profissionais
qualificados e contribuir para o desenvolvimento sustentaacutevel do paiacutes visando a melhoria da
qualidade de vidardquo (ESTATUTO UNIFEI 2003 p 2)
Considerando que esta pesquisa busca analisar as possibilidades para
aprendizagens expansivas evidenciadas nas e pelas atividades desenvolvidas por um Grupo de
Estudos e Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica cujo objeto idealizado pode ser entendido
como questotildees-problema natildeo matemaacuteticas e estudantes os sujeitos que estivessem dispostos a
engajarem em tal sistema de atividade poderiam se tornar participantes da pesquisa
A instituiccedilatildeo escolhida foi a Universidade Federal de Itajubaacute (UNIFEI) ndash campus
Itabira O campus expandido da Universidade Federal de Itajubaacute em Itabira foi criado em
agosto de 2008 inaugurando trecircs cursos de graduaccedilatildeo destinados agrave formaccedilatildeo de Engenheiros
Eletricistas de Materiais e de Computaccedilatildeo Na ocasiatildeo apenas dez professores compunham o
quadro de efetivos que lecionavam para cento e cinquenta alunos sendo cinquenta de cada
curso
Depois de escolhida a instituiccedilatildeo onde seria realizada a pesquisa iniciei a ida ao
campo Primeiramente em 16 de dezembro de 2011 reuni-me com o entatildeo diretor do campus
para expor o interesse em construir os dados na UNIFEI e discutir os objetivos da pesquisa
Na ocasiatildeo o diretor se mostrou entusiasmado com a pesquisa e sugeriu alguns nomes de
professores que poderiam se interessar em participar Aleacutem disso ele disse que atividades de
Modelagem Matemaacutetica segundo seu proacuteprio entendimento se aproximavam bastante dos
objetivos de uma abordagem metodoloacutegica que jaacute tinha sido colocada em praacutetica nos cursos
da UNIFEI poreacutem sem sucesso A abordagem a que ele se referia eacute o Problem-Based
102
Engenharia de Computaccedilatildeo Eleacutetrica de Materiais de Produccedilatildeo de Controle e Automaccedilatildeo da Mobilidade de
Sauacutede e Seguranccedila Ambiental Mecacircnica
102
Learning (PBL) que foi traduzida para o portuguecircs como Aprendizagem Baseada em
Problemas Filho e Ribeiro (2006) esclarecem que o PBL se originou na formaccedilatildeo em
Medicina e foi posteriormente empregado em outras formaccedilotildees profissionais sendo que
na formaccedilatildeo profissional a utilizaccedilatildeo do PBL deve necessariamente se adaptar agraves
particularidades da aacuterea de conhecimento aos atores (alunos e professores) agrave
instituiccedilatildeo agraves diretrizes que regem a educaccedilatildeo superior no paiacutes Entretanto algumas
caracteriacutesticas do PBL devem ser contempladas para que um meacutetodo possa ser
reconhecido como tal A caracteriacutestica mais importante no PBL eacute o fato de uma
situaccedilatildeo-problema sempre preceder a apresentaccedilatildeo dos conceitos necessaacuterios para
sua soluccedilatildeo Quer dizer a principal caracteriacutestica que difere o PBL de outros
meacutetodos ativos colaborativos centrados nos alunos no processo e da aprendizagem
baseada em casos (CBL) eacute o emprego de problemas para iniciar enfocar e motivar a
aprendizagem de conteuacutedos especiacuteficos e para promover o desenvolvimento de
habilidades e atitudes profissional e socialmente desejaacuteveis (FILHO RIBEIRO
2006 p 24)
A partir desse momento percebi que atividades geradas pelo PBL realmente se
aproximam metodologicamente de atividades de Modelagem Matemaacutetica em cursos de
Engenharia
Os sujeitos participantes da construccedilatildeo dos dados dessa pesquisa foram alunos e
professores da UNIFEI- campus Itabira No capiacutetulo 4 o contexto e sujeitos que participaram
desta pesquisa seratildeo apresentados com mais detalhes
Na proacutexima secccedilatildeo mostrarei os instrumentos que foram usados para a construccedilatildeo
e anaacutelise dos dados
33 Quais foram os procedimentos de construccedilatildeo dos dados
Para uma pesquisa qualitativa destaca-se a importacircncia da utilizaccedilatildeo de diferentes
procedimentos para a construccedilatildeo dos dados o que se denomina triangulaccedilatildeo que em uma
pesquisa qualitativa consiste na utilizaccedilatildeo de vaacuterios e distintos procedimentos para obtenccedilatildeo
de dados (ALVES-MAZZOTTI 1999)
Visando realizar uma triangulaccedilatildeo os procedimentos de construccedilatildeo e obtenccedilatildeo de
dados foram os seguintes
331 A constituiccedilatildeo do GEPMM e observaccedilatildeo participante em suas atividades
103
Inicialmente visando agrave criaccedilatildeo do GEPMM convidei alunos e professores dos
cursos de Engenharia da UNIFEI-Itabira O convite foi efetuado em 25 de outubro de 2012
na ocasiatildeo em que uma palestra intitulada ldquoModelagem Matemaacutetica e Aprendizagem Baseada
em Problemas convergecircncias possiacuteveisrdquo foi proferida por mim com o objetivo de suscitar o
interesse de alunos e professores em participar do grupo Aleacutem da palestra o convite para a
participaccedilatildeo no grupo foi postado na paacutegina da UNIFEI-Itabira ndash da rede social Facebook103
Foram realizadas entrevistas com os docentes e discentes que participaram do
GEPMM todas as discussotildees que aconteceram durante os encontros foram documentados por
meio de gravaccedilotildees em aacuteudio e viacutedeo aleacutem das notas de campo no diaacuterio de pesquisa (FLICK
2009) com o objetivo de tentar visualizar possiacuteveis aprendizagens expansivas que emergiriam
dos sistemas de atividade do GEPMM No referido projeto a atuaccedilatildeo da pesquisadora se
constitui como uma observaccedilatildeo participante
Segundo Flick (2009) a observaccedilatildeo consiste em uma habilidade cotidiana
metodologicamente sistematizada e aplicada em pesquisas qualitativas e a observaccedilatildeo pode se
caracterizar como participante ou natildeo participante A observaccedilatildeo participante eacute uma das
formas mais comumente utilizada em pesquisas qualitativas podendo ser definida como ldquouma
estrateacutegia de campo que combina simultaneamente a anaacutelise de documentos a entrevista de
respondentes e informantes a participaccedilatildeo e a observaccedilatildeo diretas e introspecccedilatildeordquo (DENZIN
1989 p 157-158 apud FLICK 2009 p 207)
Na observaccedilatildeo participante o pesquisador deve cada vez mais obter acesso ao
campo e agraves pessoas tornar-se um participante das praacuteticas sociais observadas e aleacutem disso a
observaccedilatildeo deve passar por um processo para se tornar cada vez mais concentrada nos
aspectos essenciais agraves questotildees da pesquisa (FLICK 2009 p 208)
A observaccedilatildeo participante pode ser descrita por Spradley (1980) por meio das
seguintes trecircs fases
1 Observaccedilatildeo descritiva ndash no iniacutecio serve para fornecer ao pesquisador uma
orientaccedilatildeo para o campo em estudo Fornece tambeacutem descriccedilotildees natildeo especiacuteficas e
eacute utilizada para apreender o maacuteximo possiacutevel a complexidade do campo e (ao
mesmo tempo) para desenvolver questotildees de pesquisa e linhas de visatildeo mais
concretas
2 Observaccedilatildeo focalizada ndash restringe a perspectiva do pesquisador agravequeles processos
e problemas que forem os mais essenciais para a questatildeo da pesquisa
3 Observaccedilatildeo seletiva ndash ocorre jaacute na fase final da coleta de dados e concentra-se em
encontrar mais indiacutecios e exemplos para os tipos de praacuteticas e processos descobertos
na segunda etapa (SPRADLEY 1980 p 34 apud FLICK 2009 p 207)
103
wwwfacebookcomunifeiitabira
104
Para Spradley (1980 apud FLICK 2009) uma das principais dificuldades da
observaccedilatildeo participante eacute fazer o problema em estudo se tornar ldquovisiacutevelrdquo pois se trata de uma
situaccedilatildeo social Assim a questatildeo principal da observaccedilatildeo participante eacute o que e como
observar para que a observaccedilatildeo se torne um instrumento uacutetil para o entendimento da questatildeo a
ser estudada Na tentativa de minimizar esse problema optei por um longo104
periacuteodo de
construccedilatildeo de dados para que esses dados pudessem me fornecer um leque de informaccedilotildees e
significados minimamente visiacuteveis a respeito da questatildeo e da problemaacutetica desta pesquisa
Delimitei como corpus para anaacutelise o processo de implementaccedilatildeo do GEPMM
sendo este composto pela filmagem em aacuteudio e viacutedeo da palestra ldquoModelagem Matemaacutetica e
Aprendizagem Baseada em Problemas convergecircncias possiacuteveisrdquo pela filmagem dos
primeiros dez encontros realizados no GEPMM e pelas entrevistas realizadas com os
componentes do grupo
Visando a facilitar a comunicaccedilatildeo entre os integrantes do GEPMM foi criado em
outubro de 2012 um grupo fechado no Facebook intitulado Modelagem Unifei Itabira Nesse
espaccedilo compartilhamos artigos documentos e quaisquer outros conteuacutedos ou informaccedilotildees
relacionados ao trabalho do GEPMM
332 As entrevistas iniciais e as finais com os integrantes do GEPMM
Com o objetivo de entender como os sujeitos percebem o papel das disciplinas de
Caacutelculo na formaccedilatildeo do profissional da Engenharia e quais accedilotildees metodoloacutegicas eles tecircm
observado na instituiccedilatildeo (dentro e fora da sala de aula) que busquem o cumprimento dos
papeacuteis apontados por eles mesmos uma entrevista inicial foi realizada Com isso busquei por
indiacutecios de inquietaccedilotildees e ou anaacutelise das atividades formativas de Caacutelculo dominantes na
instituiccedilatildeo que estivessem relacionados ao engajamento dos sujeitos no GEPMM sendo
considerada como uma nova forma de atividade natildeo dominante (SANNINO NOCON 2008)
Aleacutem disso na entrevista inicial realizada individualmente objetivei mais explicitamente a
elucidaccedilatildeo dos motivos que levaram os sujeitos agrave participaccedilatildeo no grupo
104
Longo periacuteodo se refere ao tempo gasto apenas com a construccedilatildeo dos dados que totalizaram 15 meses Esse
periacuteodo geralmente pode ser tido como longo ao considerarmos que o prazo de conclusatildeo do doutorado eacute de 48
meses e antes do 36ordm mecircs todos os dados e o esboccedilo da anaacutelise devem ser apresentados no exame de
qualificaccedilatildeo
105
Roteiro de entrevista inicial
Pergunta 1) Na sua concepccedilatildeo qual eacute o papel das disciplinas de Caacutelculo na
formaccedilatildeo do engenheiro
Pergunta 2) Quais accedilotildees metodoloacutegicas tecircm sido adotadas na instituiccedilatildeo visando
o cumprimento dos papeacuteis apontados anteriormente
Pergunta 3) Quais foram os motivos que o levaram a participar do grupo de
Modelagem Matemaacutetica
As entrevistas finais aconteceram apoacutes os sete primeiros encontros do GEPMM
Nessa fase de construccedilatildeo de dados busquei pelo entendimento dos limites e das
possibilidades que a participaccedilatildeo no grupo pocircde fornecer aos sujeitos participantes Limites e
possibilidades em termos de acesso ao grupo envolvimento com a proposta da atividade
experienciada por eles e possiacuteveis aprendizagens que pudessem ser evidenciadas nas
atividades desenvolvidas pelo GEPMM
Roteiro de entrevista final
Pergunta 1) Como vocecirc caracteriza sua participaccedilatildeo no GEPMM
Pergunta 2) Desde que vocecirc comeccedilou a participar do grupo quais os desafios
encontrados Como vocecirc buscou superar estes desafios
Pergunta 3) O que vocecirc aprendeu com sua participaccedilatildeo no GEPMM ateacute o
presente momento O que ainda espera aprender
34 Quais instrumentos foram usados para a anaacutelise
Engestroumlm (2001) pontua que qualquer teoria de aprendizagem deve buscar
respostas para as seguintes quatro questotildees 1) quem satildeo os sujeitos da aprendizagem 2) Por
que eles estatildeo aprendendo o que os faz esforccedilar 3) O que os faz aprender o que satildeo os
conteuacutedos e resultados da aprendizagem 4) Como fazecirc-los aprender o que satildeo as accedilotildees
chave ou processos de aprendizagem
Engestroumlm (2001) constroacutei um quadro de anaacutelise teoacuterica para a aprendizagem
expansiva cruzando os cinco princiacutepios da Teoria da Atividade agraves quatro questotildees
106
orientadoras para as teorias de aprendizagem Com isso para analisar uma atividade escolar
como uma praacutetica social coletiva por meio da Teoria da Aprendizagem Expansiva de
Engestroumlm eacute necessaacuterio preencher as entradas da seguinte matriz
Sistema de
Atividade como unidade
de anaacutelise
Multivocalidade Historicidade Contradiccedilotildees Ciclos
Expansivos
Quem satildeo os aprendizes
Por que eles
estatildeo aprendendo
O que os faz aprender
Como fazecirc-
los aprender
Tabela 1 - Matriz para anaacutelise da aprendizagem expansiva
Fonte Engestroumlm (2001 p 138)
Tomei como base empiacuterica para o preenchimento da matriz acima trechos das
entrevistas concedidas pelos docentes e discentes que se dispuseram a participar do GEPMM
e selecionei partes das dez reuniotildees do GEPMM documentadas em aacuteudio e viacutedeo que foram
convenientes para responder agrave questatildeo de pesquisa Primeiramente assisti ouvi e transcrevi
as entrevistas realizadas com os docentes e discentes engajados no GEPMM e gravadas em
aacuteudio e viacutedeo Fiz o mesmo com as gravaccedilotildees dos dez primeiros encontros do GEPMM
Selecionei trechos que pudessem me ajudar no preenchimento das entradas da referida matriz
Aleacutem disso extraiacute quatro temas de anaacutelise que convergiram no sentido de responder agrave questatildeo
que norteou a pesquisa Nessa pesquisa tais temas seratildeo denominados por modalidades
analiacuteticas
35 A formaccedilatildeo do GEPMM pode ser caracterizada como uma intervenccedilatildeo formativa
Engestroumlm e Sannino (2010b) afirmam que os ciclos de aprendizagem expansiva
podem ser investigados como processos que ocorrem naturalmente Contudo satildeo processos
bastante raros e difiacuteceis de documentar devido ao seu caraacuteter espacialmente e temporalmente
distribuiacutedo Aleacutem disso os autores apontam que nos processos de aprendizagem expansiva
107
mais importante ainda eacute o atendimento agraves demandas impostas para a soluccedilatildeo de contradiccedilotildees
urgentes em comunidades de trabalho visando sobretudo a atingir qualitativamente novos
modos de atividade de trabalho Tal demanda aliada ao legado intervencionista da teoria
histoacuterico-cultural da atividade ldquotem levado ao desenvolvimento e implementaccedilatildeo de
intervenccedilotildees formativas como uma metodologia para estudar aprendizagem expansivardquo 105
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 15 grifo meu)
Uma conceituaccedilatildeo para definir as intervenccedilotildees formativas decorre do legado
vigotskiano determinado pelo princiacutepio metodoloacutegico da dupla estimulaccedilatildeo As intervenccedilotildees
formativas podem ser entendidas pelo condensamento dos seguintes quatro pontos cruciais
1) Ponto de partida [] os sujeitos enfrentam um objeto problemaacutetico e
contraditoacuterio que eles analisam e expandem pela construccedilatildeo de um novo conceito
cujo conteuacutedo pode natildeo ser totalmente conhecido de antematildeo pelos pesquisadores
2) Processo [] o conteuacutedo e o curso da intervenccedilatildeo estatildeo sujeitos agrave negociaccedilatildeo e a
maneira da intervenccedilatildeo cabe eventualmente aos sujeitos Dupla estimulaccedilatildeo como o
mecanismo central implica que os sujeitos ganham agecircncia e assumem o comando
do processo
3) Resultado [] o objetivo eacute gerar um novo conceito que pode ser usado em outro
contexto como quadro para projetar uma nova soluccedilatildeo localmente apropriada Um
resultado chave da intervenccedilatildeo formativa eacute a agecircncia entre os participantes
4) Papel dos pesquisadores [] o pesquisador objetiva provocar e sustentar um
processo de transformaccedilatildeo expansiva conduzido pelos participantes e pertencente a
eles106
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 15 grifos dos autores)
Dessa forma a intervenccedilatildeo pode ser entendida como uma accedilatildeo intencional
realizada por um agente humano que objetiva uma transformaccedilatildeo qualitativa em determinada
praacutetica social o que inclui que o pesquisador natildeo tem qualquer diferenciaccedilatildeo hieraacuterquica
sobre a intervenccedilatildeo Aleacutem disso segundo Engestroumlm e Sannino (2010b p 15) ldquoos
pesquisadores natildeo devem esperar resultados satisfatoriamente alinhados com seus
esforccedilos107
rdquo
105
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquohas led to the development and implementation of formative interventions
as a methodology for studying expansive learningrdquo 106
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquo
1) Starting point [hellip] they face a problematic and contradictory object which they analyze and expand by
constructing a novel concept the contents of which are not known ahead of time to the researchers
2) Process [hellip] the contents and course of the intervention are subject to negotiation and the shape of the
intervention is eventually up to the subjects Double stimulation as the core mechanism implies that the subjects
gain agency and take charge of the process
3) Outcome [hellip] the aim is to generate new concepts that may be used in other settings as frames for the design
on locally appropriate new solutions A key outcome of formative interventions is agency among the
participants
4) Researcherrsquos role the researcher aims at provoking and sustaining an expansive transformation process led
and owned by the practitionersrdquo 107
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoResearchers should not expect nicely linear results from their effortsrdquo
108
O instrumento metodoloacutegico no qual se baseia na construccedilatildeo coletiva do GEPMM
pode ser entatildeo compreendido como uma intervenccedilatildeo formativa na qual o passado (antes
dela) e o presente (depois dela) tendem a se misturar eou se (con)fundir podendo fazer
emergir contradiccedilotildees Com isso a intervenccedilatildeo formativa pode assumir duplo caraacuteter de
tentar resolver contradiccedilotildees historicamente acumuladas e ao mesmo tempo provocar novos
niacuteveis de contradiccedilatildeo
No que segue apresento o contexto institucional em que os dados foram
construiacutedos Procurarei elucidar de um ponto de vista sociocultural quem satildeo os sujeitos da
pesquisa Assim dividirei o restante do capiacutetulo em duas partes a primeira delas focaraacute a
descriccedilatildeo da instituiccedilatildeo como um todo e das disciplinas de Caacutelculo que nela satildeo ofertados
enquanto a segunda parte focaraacute as atividades desenvolvidas pelo GEPMM Vale ressaltar que
tanto na primeira parte quanto na segunda os sujeitos seratildeo considerados como integrantes e
integradores do contexto isto eacute os sujeitos constituem e satildeo constituiacutedos pelo contexto de
forma indissociaacutevel No fim do capiacutetulo visando a iniciar o preenchimento da matriz para
anaacutelise da aprendizagem expansiva (ENGESTROumlM 2001) apresentada anteriormente busco
responder a pergunta quem satildeo e onde estatildeo os sujeitos da aprendizagem
36 O contexto institucional e as aulas de Caacutelculo
Primeiramente descreverei a instituiccedilatildeo onde os dados foram construiacutedos sua
origem proposta e cursos oferecidos A instituiccedilatildeo escolhida foi a Universidade federal de
Itajubaacute (UNIFEI) ndash campus Itabira Decidi comeccedilar este trabalho com a seguinte imagem
109
FIGURA 7 ndash Paacutegina inicial site UNIFEI-Itabira
Fonte UNIFEI 2013
A Figura 7 foi retirada do site da UNIFEI108
em 17022013 agraves 21h46 No texto
de apresentaccedilatildeo da instituiccedilatildeo pode-se observar que a gecircnese da UNIFEI-Itabira estaacute
alicerccedilada em uma parceria entre a Prefeitura Municipal de Itabira-MG a empresa mineradora
Vale (antiga Companhia Vale do Rio Doce (CVRD)) e o Ministeacuterio da Educaccedilatildeo (MEC) Na
figura tambeacutem se pode observar uma foto que foi tirada em agosto de 2008 com os primeiros
dez professores do campus e com os primeiros 150 alunos dos cursos de Engenharia da
Computaccedilatildeo de Materiais e Eleacutetrica perfazendo um total de 50 alunos por turma
O campus de Itabira foi consolidado como uma das expansotildees universitaacuterias do
Governo Federal ocorridas entre os anos 2006 e 2010 As condiccedilotildees iniciais de
funcionamento eram precaacuterias109
O campus da UNIFEI em Itabira estaacute incluiacutedo no Plano de
Reestruturaccedilatildeo e Expansatildeo das Universidades Federais Trecircs salas de aula foram emprestadas
por uma instituiccedilatildeo de ensino privada para a universidade nelas ocorriam as aulas dos trecircs
cursos de Engenharia exceto as aulas experimentais que ocorriam em um outro bairro da
cidade num preacutedio tambeacutem emprestado onde funcionava um Instituto de Tecnologia (ITEC)
108
httpwwwunifeiedubrdiversosunifei-campus-itabira 109
Lecionei no campus da Unifei ndash Itabira no segundo semestre do ano de 2008 ou seja no semestre de sua
inauguraccedilatildeo
110
Em marccedilo de 2009 as aulas foram transferidas para o ITEC e todo o
funcionamento do campus expandido de Itabira foi concentrado em algumas poucas salas de
aula denominadas pelos alunos por ldquotendasrdquo (por se pareceram com tendas de circo) Os
professores foram agrupados em gabinetes subdivididos e essa situaccedilatildeo permaneceu ateacute
novembro de 2011 quando um primeiro preacutedio do campus foi entregue Poreacutem devido agrave
escassez de espaccedilo fiacutesico para ocorrerem todas as atividades dos nove110
cursos de
Engenharia algumas turmas permanecem em funcionamento no preacutedio do ITEC Portanto a
vida acadecircmica dos alunos professores e teacutecnicos-administrativos se encontra fisicamente
particionada e literalmente separada por mais de 7 km A prefeitura disponibilizou ocircnibus
para o acesso ao campus visto que por estar localizado no distrito industrial o acesso eacute
difiacutecil e existem poucas linhas de ocircnibus em poucos horaacuterios por dia
O campus da UNIFEI dividido em duas partes na cidade de Itabira uma parte no
ITEC e a outra no distrito industrial da cidade foi palco para a construccedilatildeo de dados para a
pesquisa aqui relatada
As disciplinas da aacuterea de Matemaacutetica da UNIFEI-Itabira satildeo desenvolvidas do
primeiro ao quinto periacuteodo de todos os nove cursos de Engenharia da instituiccedilatildeo Satildeo elas
BAC 000 - Nome Matemaacutetica 0
Ementa Conjuntos Numeacutericos Nuacutemeros reais Polinocircmios Funccedilotildees Funccedilotildees
polinomiais Funccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Funccedilotildees compostas Limites e continuidade Introduccedilatildeo aos recursos numeacutericos e
computacionais (5 ha semanais = 75 ha semestrais)
BAC 019 - Nome Matemaacutetica I
Ementa Derivadas aplicaccedilotildees de derivadas integrais teoremas fundamentais do
caacutelculo aplicaccedilotildees de integrais e integraccedilatildeo numeacuterica (4ha semanais = 60 ha
semestrais)
BAC 020 - Nome Matemaacutetica II
Ementa Matrizes e sistemas lineares aplicaccedilotildees vetores no plano e no espaccedilo
espaccedilo vetorial subespaccedilo espaccedilo119877119899 autovalores e auto vetores transformaccedilotildees
lineares cocircnicas e quaacutedricas (4ha semanais = 60 ha semestrais)
BAC I21 - Nome Matemaacutetica III
Ementa Sequecircncias e seacuteries derivadas parciais coordenadas polares integrais
duplas (4ha semanais = 60 ha semestrais)
BAC 022 - Nome Matemaacutetica IV
Ementa Equaccedilotildees diferenciais de ordem um Meacutetodos Numeacutericos Equaccedilotildees
diferenciais de ordem dois Equaccedilotildees diferenciais lineares de ordem maior que dois
Soluccedilotildees em seacuterie para equaccedilotildees lineares de ordem dois (4ha semanais = 60 ha
semestrais)
BAC 023 - Nome Matemaacutetica V
Ementa Funccedilotildees vetoriais integrais triplas caacutelculo vetorial (4ha semanais = 60
ha semestrais)
BAC 024 - Nome Matemaacutetica VI
Ementa Transformada de Fourier transformada de Laplace seacuterie de Fourier
110
Engenharia Ambiental da Computaccedilatildeo Mecacircnica de Controle e Automaccedilatildeo de Produccedilatildeo de Materiais de
Sauacutede e Seguranccedila Eleacutetrica e da Mobilidade
111
equaccedilotildees diferenciais parciais e problemas de contorno e valor inicial (4ha
semanais = 60 ha semestrais)111
A disciplina BAC 000 eacute oferecida no primeiro periacuteodo as disciplinas BAC 019 e
020 satildeo oferecidas no segundo periacuteodo as disciplinas BAC 022 e BAC I21 satildeo oferecidas no
terceiro periacuteodo a disciplina BAC 023 eacute oferecida no quarto periacuteodo e a disciplina BAC 024 eacute
oferecida no quinto periacuteodo de todos os nove cursos de Engenharia da UNIFEI-Itabira Vale
ressaltar que apenas a disciplina BAC 020 (Matemaacutetica II) natildeo perfaz conteuacutedos de Caacutelculo
Todas as outras disciplinas de Matemaacutetica na instituiccedilatildeo constituem o corpo de conteuacutedos
conhecido como Caacutelculo Diferencial e Integral
Uma importante112
observaccedilatildeo a respeito das disciplinas de Caacutelculo componentes
das grades curriculares dos cursos de Engenharia da UNIFEI-Itabira eacute o fato de a disciplina
Caacutelculo Numeacuterico natildeo aparecer na grade curricular como forma de uma disciplina uacutenica
Geralmente essa disciplina compotildee as grades curriculares dos cursos de Engenharia por se
tratar de uma importante ferramenta de resoluccedilatildeo de variados problemas da aacuterea da
Engenharia Para Herbster e Brito (2005 p 1)
[] a disciplina Caacutelculo Numeacuterico conforme classificaccedilatildeo do Ministeacuterio da
Educaccedilatildeo e Cultura eacute disciplina da aacuterea baacutesica de formaccedilatildeo dos cursos de
Engenharia O objetivo geral dessa disciplina eacute introduzir os fundamentos de
Meacutetodos Numeacutericos e aplicar os conhecimentos de programaccedilatildeo jaacute adquiridos na
implementaccedilatildeo computacional dos meacutetodos
Na instituiccedilatildeo os conteuacutedos geralmente englobados na disciplina Caacutelculo
Numeacuterico aparecem ldquodiluiacutedosrdquo nas disciplinas BAC 000 (Introduccedilatildeo aos recursos numeacutericos e
computacionais) BAC 019 (Integraccedilatildeo Numeacuterica) e BAC 022 (Meacutetodos Numeacutericos)
37 As atividades do GEPMM e os sujeitos envolvidos
111
Disponiacutevel em
httpwwwportalacademicounifeiedubrindexphplink=cursosamppaineis=cab1Panel1|cab2Panel1|contPanel1|c
abPanel2|contPanel2|pePanel2ampcursocod=071amplocalcod=C02ampcursomod=NaNampsubsistema=gradampsubsistema
=grad (consulta realizada em 18022013 agraves 17h02) 112
Como foco desta pesquisa ndash as disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia ndash considero todos os
conteuacutedos que geralmente configuram as disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia no Brasil incluindo
assim todas as disciplinas BAC descritas acima exceto a disciplina BAC 020 (Matemaacutetica II) e ainda os
conteuacutedos que configuram a disciplina Caacutelculo Numeacuterico introduccedilatildeo aos meacutetodos numeacutericos e computacionais
Soluccedilatildeo numeacuterica de equaccedilotildees natildeo lineares Interpolaccedilatildeo e aproximaccedilotildees Derivaccedilatildeo e integraccedilatildeo numeacuterica
Meacutetodos numeacutericos de resoluccedilatildeo de sistemas de equaccedilotildees lineares Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias por meacutetodos numeacutericos
112
Em uma das visitas agrave instituiccedilatildeo conheci uma aluna que cursava o terceiro
periacuteodo do curso de Engenharia da Mobilidade que chamarei de Mary113
Comeccedilamos a
conversar sobre as disciplinas de Caacutelculo que ela jaacute tinha cursado na instituiccedilatildeo Ela comeccedilou
a me dizer que tinha um professor de Caacutelculo cujas aulas ela gostava muito e que ela aprendia
muito participando das atividades que ele propunha Fez vaacuterias comparaccedilotildees em relaccedilatildeo agraves
metodologias utilizadas pelos professores da aacuterea de Matemaacutetica que jaacute tinham sido
professores dela na instituiccedilatildeo Fiquei interessada em conhecer esse professor e convidaacute-lo
para participar da constituiccedilatildeo do GEPMM Anotei o nome do professor no caderno de campo
e posteriormente o encontrei pessoalmente no campus da UNIFEI-Itabira no ITEC Esse
professor seraacute chamado em todo o texto que segue por Angel
No encontro que tive com Angel expliquei quais eram os objetivos da pesquisa
que eu estava desenvolvendo na instituiccedilatildeo quais eram os passos de construccedilatildeo de dados e
como seria a participaccedilatildeo dele nessa jornada caso aceitasse participar Mesmo deixando claro
para mim que ele estava muito atarefado com a docecircncia projetos de pesquisa extensatildeo e
com demandas administrativas ele concordou em participar ativamente da pesquisa Desde
entatildeo a construccedilatildeo de dados pocircde se iniciar ndash a formaccedilatildeo do GEPMM Angel e eu
comeccedilamos entatildeo a planejar os proacuteximos passos para a criaccedilatildeo do GEPMM
371 Angel
Angel eacute licenciado em Matemaacutetica e mestre em Engenharia Eleacutetrica Atua no
serviccedilo puacuteblico federal como docente desde 2011 Anteriormente atuou como professor em
uma instituiccedilatildeo particular de ensino superior localizada na cidade de Belo Horizonte-MG
Angel acredita114
que o papel das disciplinas de Caacutelculo num contexto de
formaccedilatildeo em Engenharias configura-se como uma base formadora no que diz respeito agraves
ferramentas que os alunos vatildeo adquirindo com o objetivo de as aplicarem nas disciplinas
113
Todos os nomes de alunos e professores seratildeo fictiacutecios Com isso objetivo preservar a identidade por
questotildees eacuteticas 114
Todas as descriccedilotildees das concepccedilotildees explicitadas pelo professor Angel satildeo baseadas nas entrevistas inicial e
final concedidas a mim por ele As entrevistas foram gravadas em aacuteudio e viacutedeo No texto que segue todos os
excertos das entrevistas transcritas e citadas foram retirados das entrevistas iniciais e finais realizadas com os
sujeitos que aceitaram o convite de participaccedilatildeo no GEPMM
113
teacutecnicas dos cursos Entatildeo para ele o Caacutelculo eacute considerado como uma base teoacuterica para o
desenvolvimento das disciplinas formadoras ldquode cidadatildeos altamente qualificados para o
exerciacutecio profissionalrdquo (ESTATUTO UNIFEI 2003 p 2) Ao ser questionado a respeito das
propostas metodoloacutegicas que tecircm sido desenvolvidas na UNIFEI-Itabira objetivando o
cumprimento dos papeis das disciplinas de Caacutelculo na formaccedilatildeo em Engenharia apontados
por ele mesmo nos conta
Aqui na instituiccedilatildeo basicamente aqui na UNIFEI campus Itabira pelo menos assim
no grupo nosso da Matemaacutetica porque noacutes somos digamos relativamente isolados
dos grupos das Engenharias entatildeo em termos de nossas reuniotildees e tudo mais a
gente define assim habilidades chaves ou seja em termos de conhecimentos
matemaacuteticos que ele deve ter diante das diversas ferramentas para poder vamos
dizer assim estar delimitando essa base formadora do aluno Agora assim em
termos institucionais a gente natildeo tem reuniotildees perioacutedicas ou algum tipo de
ferramenta ou algum tipo de consultoria externa para estar atuando junto da
instituiccedilatildeo para estar delimitando aiacute essa linha formadora do aluno Entatildeo aiacute a
gente se sente muito livre para estar aplicando esta ou aquela metodologia se der
certo bem se natildeo der tambeacutem ok Entatildeo assim em termos institucionais natildeo tem
nada assim digamos constituiacutedo ou em constituiccedilatildeo pra taacute melhorando isso natildeo
Tem assim que estaacute sendo muito ventilado eacute a questatildeo do PBL Poreacutem estaacute ainda
muito incipiente e agora estaacute mudando de reitor e a gente natildeo sabe o que vai
acontecer
Sobre as metodologias utilizadas por ele e os demais colegas docentes da aacuterea de
Caacutelculo ele nos conta
Ah basicamente assim pelo que eu converso com os outros colegas eacute o meacutetodo
tradicional mesmo livros passar no quadro exerciacutecios nada assim muito diferente
do cotidiano natildeo eu eacute que no semestre passado adotei assim digamos uma
metodologia diferente pra verificar [] assim qual seria a percepccedilatildeo do aluno
diante desse novo modelo entatildeo na primeira etapa do periacuteodo eu adotei o que seria
o procedimento padratildeo aula expositiva exerciacutecios trabalhos em equipe e depois
prova e jaacute na segunda etapa as aulas expositivas foram trocadas para aulas de tirar
duacutevidas entatildeo os alunos se reuniam para desenvolverem exerciacutecios em grupos jaacute
que as aulas jaacute tinham sido disponibilizadas em slides no portal acadecircmico entatildeo o
meu papel era apenas de estar lapidando essas duacutevidas que iriam aparecendo
diante das discussotildees dos grupos Assim para alguns alunos isso foi oacutetimo
principalmente aqueles que jaacute tecircm um bom desempenho nato e outros que jaacute satildeo
preguiccedilosos natildeo querem nada com a dureza encostaram nos outros colegas do
grupo e ficou assim aquele parasitismo durante a segunda etapa do periacuteodo [] aiacute
eu fiz uma avaliaccedilatildeo em dupla e o resultado foi realmente muito bom embora eu
natildeo possa mensurar o quatildeo desse conhecimento individual foi absorvido por cada
aluno
Durante a conversa que tive com a aluna Mary ela relatou sua adaptaccedilatildeo como
aluna da disciplina BAC 020 com a proposta metodoloacutegica descrita anteriormente pelo
professor Angel Ela enfatizou que natildeo gostava de assistir agraves aulas expositivas e que preferia
estudar os slides disponibilizados no portal pelo professor o que ela poderia fazer qualquer
114
dia qualquer horaacuterio e em qualquer lugar Para ela era bem mais produtivo dessa forma
embora alguns colegas dela natildeo tenham se adaptado tatildeo bem a essa proposta de ensino
Em seguida perguntei ao professor Angel se ele costumava abordar algum tipo de
aplicaccedilatildeo em suas aulas
Eu gosto muito dessa questatildeo praacutetica assim porque eu vejo o seguinte na minha
concepccedilatildeo vocecirc tem que ensinar pros alunos aquelas habilidades matemaacuteticas
mesmo a operacionalizar trabalhar com estruturas matemaacuteticas obter o resultado
e aleacutem disso eu sempre tento assim na medida do possiacutevel linkar aquele assunto
com algum conteuacutedo praacutetico Soacute que como a turma eacute vamos dizer assim muito
heterogecircnea em termos de vaacuterias engenharias natildeo tem como eu focar por exemplo
um problema especiacutefico de Engenharia Eleacutetrica ou um problema especiacutefico de
Engenharia Mecacircnica ou um problema especiacutefico da Computaccedilatildeo entatildeo agraves vezes eu
seleciono um problema que eacute direcionado agrave parte eleacutetrica igual por exemplo
Sistemas Lineares eu comecei com uma parte motivacional a partir de um problema
de circuito eleacutetrico Entatildeo eu dei laacute vaacuterias fontes de energia de um circuito todo
montado resistor e tudo mais entatildeo vocecirc usa aquelas leis da eleacutetrica cai em um
sistema linear e depois resolve [] pelo menos eu jaacute dei um horizonte para ele jaacute
vislumbrar ndash olha isso daqui eu realmente vou precisar laacute pra frente
Depois disso questionei-o sobre algum tipo de parceria entre grupos de
professores de aacutereas correlatas na instituiccedilatildeo Perguntei se por exemplo o grupo de
professores da aacuterea de Fiacutesica desenvolvia algum tipo de trabalho juntamente com os
professores da aacuterea da Matemaacutetica Ele respondeu
Eu pelo menos em termos de reuniatildeo nunca houve Eacute soacute mesmo os grupos da
matemaacutetica grupo da fiacutesica grupo da engenharia de materiais grupo da
engenharia de produccedilatildeo sempre aqueles grupos segregados [] eu acho que seria
fantaacutestico se houvesse essa integraccedilatildeo que muitas vezes um professor laacute de por
exemplo laacute do curso de Engenharia da Mobilidade de construccedilatildeo civil ele taacute laacute
fazendo experimentos e gerando resultados seraacute que ele natildeo poderia estar
utilizando os conhecimentos de um professor da aacuterea de matemaacutetica [aponta para
ele mesmo] para estar melhorando os experimentos com algo que ele ainda natildeo
saiba usar de matemaacutetica Seria interessante tambeacutem para os alunos poderem ver
essa interligaccedilatildeo soacute que haacute aquela questatildeo assim vamos dizer assim das vaidades
intriacutensecas da carreira de docente que realmente torna essa tarefa um pouco
complicada [risos]
Logo apoacutes esse momento questionei-o se aleacutem da vaidade quais seriam outros
motivos pelos quais essa interligaccedilatildeo entre as aacutereas natildeo acontecia na instituiccedilatildeo Ele responde
que a questatildeo da ldquoautonomia universitaacuteriardquo eacute adotada de forma ampla nas universidades
federais no Brasil ou seja os docentes geralmente trabalham de forma autocircnoma sem se
preocupar com o que o colega estaacute fazendo ou deixando de fazer Ele acredita que para que
mudanccedilas ocorram as ordens tecircm que ser dadas ldquode cima para baixordquo115
Poreacutem mesmo que
115
Nas palavras de Angel durante a entrevista inicial
115
mudanccedilas sejam impostas esbarrariam na questatildeo da ldquovaidaderdquo116
dos docentes na vontade
deles de dialogar trabalhar realmente em equipe Ele conta que anteriormente ao trabalho
como servidor puacuteblico trabalhou em uma instituiccedilatildeo de ensino superior da rede particular e
que laacute os professores tinham o dever de participar de reuniotildees e seminaacuterios para discutirem as
praacuteticas pedagoacutegicas Nesses seminaacuterios eles compartilhavam experiecircncias boas e ruins
faziam leituras discutiam e refletiam acerca das posturas de cada um Para Angel era muito
bom conhecer as praacuteticas pedagoacutegicas dos colegas Isso o fazia (re)pensar sua proacutepria praacutetica
e o ajudava a tomar atitudes futuras para melhoraacute-la Apoacutes esse relato perguntei se ele sentia
que essa obrigaccedilatildeo (de participar destas atividades semestrais) exercia algum tipo de
influecircncia na atitude dos professores durante o semestre Ele respondeu
Ah um pouco sim porque querendo ou natildeo emprego privado cecirc sabe como eacute que eacute
neacute Entatildeo assim digamos se vocecirc taacute no ritmo taacute tudo dando certo vocecirc se perpetua
naquela empresa caso contraacuterio vocecirc eacute excluiacutedo Entatildeo assim havia um
direcionamento pra taacute tendo justamente esses novos meacutetodos esses novos meios de
ensino em prol da instituiccedilatildeo porque senatildeo vocecirc era cortado da instituiccedilatildeo
Em seguida questionei o professor se na opiniatildeo dele esse tipo de ambiente de
discussatildeo estava faltando na UNIFEI Ele respondeu que sim natildeo soacute na UNIFEI mas em
muitas universidades federais citando vaacuterios exemplos de colegas que trabalham nessas
instituiccedilotildees e reafirmou que a questatildeo da autonomia dos professores acaba criando essa
cultura do individualismo entre os professores das universidades tornando esse problema uma
questatildeo delicada
Em suma com base na entrevista inicial concedida a mim o professor Angel
parece se preocupar em estabelecer relaccedilotildees entre as disciplinas lecionadas por ele nos cursos
de Engenharia da UNIFEI-Itabira e outras aacutereas do conhecimento estaacute sempre aberto para
responder as duacutevidas trazidas pelos alunos sente falta de um ambiente de discussatildeo a respeito
das questotildees pedagoacutegicas dos cursos de Engenharia percebe que questotildees individuais
relacionadas agrave subjetividade dos professores podem estar impedindo mudanccedilas que poderiam
melhorar a educaccedilatildeo em Engenharia fornecida pela UNIFEI-Itabira preocupa-se em motivar
os alunos apresentando questotildees que abordam problemas oriundos de aacutereas correlatas agraves
disciplinas natildeo matemaacuteticas dos cursos de Engenharia critica o predomiacutenio de aulas
expositivas e incentiva uma participaccedilatildeo mais ativa dos alunos demonstra perceber na
contemporaneidade que os recursos tecnoloacutegicos disponiacuteveis podem ser poderosos aliados
116
Nas palavras de Angel durante a entrevista inicial
116
nos processos de ensino-aprendizagem em cursos de Engenharia e por fim parece ser um
professor aberto ao diaacutelogo
Objetivando dar prosseguimento agrave apresentaccedilatildeo dos sujeitos partiacutecipes do
GEPMM retomarei o momento apoacutes a palestra117
ter sido proferida por mim na UNIFEI-
Itabira em outubro de 2012 ocasiatildeo em que o convite para participaccedilatildeo no grupo foi feito agrave
comunidade e tambeacutem a data do primeiro encontro do grupo foi marcada Ao teacutermino da
palestra uma professora denominada por mim de Clarice veio ateacute mim (ainda estava agrave frente
do auditoacuterio) informando que gostaria de participar do grupo Agradeci a disponibilidade e a
reencontrei no primeiro encontro
372 Clarice
Clarice eacute bacharel em Matemaacutetica e mestre em Matemaacutetica Aplicada Atua como
docente no serviccedilo puacuteblico federal desde 2009
Com base na entrevista inicial percebi que a professora Clarice acredita que as
disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia desempenham importante papel para uma
soacutelida formaccedilatildeo desse perfil profissional Contudo ao ser questionada afirma que sempre
escuta de seus colegas docentes das disciplinas teacutecnicas dos cursos de Engenharia que
Caacutelculo eacute importante que natildeo eacute para ela aprovar alunos sem o devido conhecimento que o
Caacutelculo eacute essencial e com isso ela acredita na importacircncia das disciplinas de Caacutelculo
realmente tomando-as como disciplinas baacutesicas no sentido estrito da palavra ndash base Afirma
ainda que nunca viu o trabalho do engenheiro para saber como eacute realmente a importacircncia do
Caacutelculo nesse trabalho Com base nas falas dos colegas professoresengenheiros ela afirma
que alunos que natildeo aprendem bem Caacutelculo ficam prejudicados em sua formaccedilatildeo como
engenheiros pois ela supotildee que o Caacutelculo eacute preacute-requisito118
de outras vaacuterias disciplinas na
grade curricular nas quais o Caacutelculo deve ser bastante uacutetil e indispensaacutevel para o
entendimento dos conteuacutedos dessas disciplinas (teacutecnicas)
117
Palestra intitulada por ldquoModelagem Matemaacutetica e Aprendizagem Baseada em Problemas convergecircncias
possiacuteveisrdquo A palestra foi proferida por mim em 25 de outubro de 2012 com o objetivo de suscitar o interesse de
alunos e professores em participarem do grupo sendo gravada em aacuteudio e viacutedeo 118
Natildeo haacute preacute-requisito formal de disciplinas na UNIFEI-Itabira A professora Clarice de certo estava referindo
a outras instituiccedilotildees brasileiras que em sua grande maioria estabelecem disciplinas de Caacutelculo como preacute-
requisito para outras disciplinas dos cursos de Engenharia Ou ainda ela estivesse se referindo a preacute-requisitos de
conteuacutedos natildeo de disciplinas
117
Clarice afirma que na instituiccedilatildeo as disciplinas de Caacutelculo natildeo tecircm sido
trabalhadas de forma a cumprir efetivamente seu papel dentro dos cursos de Engenharia
Depois de assistir agrave palestra ela afirma ter pensado sobre o assunto e que acredita que a
Modelagem Matemaacutetica pode ser uma possibilidade para o ensino em Engenharia Nas
palavras dela
Inclusive eu tava conversando com uns colegas outro dia que uma disciplina
interessante seria tipo um curso de Modelagem Matemaacutetica como uma disciplina
eletiva para aqueles interessados e assim por diante noacutes natildeo estamos exatamente
trabalhando o Caacutelculo com aplicaccedilotildees para os alunos as aplicaccedilotildees satildeo teoacutericas
mesmo coisas baacutesicas mesmo
Ela demonstrou incocircmodo em relaccedilatildeo agraves aulas mais teoacutericas afirmando que ateacute
onde ela tinha conhecimento as disciplinas de Caacutelculo nos cursos de Engenharia da Unifei-
Itabira eram baseadas apenas nas teorias que configuram os livros didaacuteticos de Caacutelculo Nas
palavras de Clarice
Como noacutes aqui muitos de noacutes eu natildeo posso falar por todos os professores eu natildeo
conheccedilo o meacutetodo de trabalho de todos eles mas ateacute o momento que eles
comentam comigo eles falam que a aula eacute mais teoacuterica mesmo eacute passar o que taacute
no livro ali e fica muita coisa sem passar porque a aula eacute muito pouca neacute Chega a
quase ser ruim porque o curso eacute incompleto entatildeo seria um curso de Modelagem
Seria para visar as aplicaccedilotildees mesmo colocar num periacuteodo onde os alunos jaacute
tenham visto as disciplinas baacutesicas e focar em aplicaccedilotildees apenas para ele ver ali
ter um contato mesmo com aplicaccedilotildees poderiacuteamos tratar de teoria como jaacute tem em
alguns livros de aplicaccedilotildees muito bons inclusive de Equaccedilotildees Diferenciais e
buscarmos tambeacutem problemas do dia a dia para colocar laacute entatildeo eu sei que tem
professores aqui que gostam dessa aacuterea mas no momento seria bom mas natildeo eacute real
ainda porque falta professor para colocar uma disciplina assim
Clarice me pareceu ser uma profissional aberta a mudanccedilas em busca de novas
possibilidades em prol da melhoria do desempenho de seu trabalho como professora e
dedicada as suas atribuiccedilotildees no cargo que ocupa na instituiccedilatildeo
373 Robson
Ainda no dia da palestra outro professor que seraacute denominado de Robson
manifestou-se interessado em participar do GEPMM Ele natildeo eacute professor de nenhuma
disciplina de Caacutelculo na UNIFEI-Itabira Ele eacute graduado e mestre em Engenharia Metaluacutergica
118
e doutor em Ensino de Ciecircncias e Matemaacuteticas Atua como docente na UNIFEI-Itabira desde
2010 O professor Robson aleacutem de ser graduado em Engenharia tambeacutem possui graduaccedilatildeo
em Licenciatura em Computaccedilatildeo e Odontologia Ele mesmo se define como uma pessoa de
formaccedilatildeo ecleacutetica e afirma sofrer um pouco com isso
Robson demonstrou acreditar que as disciplinas de Caacutelculo satildeo de crucial
importacircncia para a formaccedilatildeo dos engenheiros pois para ele o trabalho do engenheiro
consiste da aplicaccedilatildeo de conceitos matemaacuteticos fiacutesicos e quiacutemicos na resoluccedilatildeo de
problemas por exemplo de construccedilatildeo manutenccedilatildeo projeto e operaccedilatildeo sendo estes tiacutepicos
do trabalho da aacuterea de engenharia
Robson nos contou ainda que apoacutes a reforma universitaacuteria ocorrida no Brasil
em 1968 as disciplinas que compotildeem a grade curricular dos cursos de Engenharia foram
atribuiacutedas a departamentos Pontuou que com a departamentalizaccedilatildeo das universidades
esperava-se que os docentes que lecionassem disciplinas correlatas estivessem mais ldquopertordquo
para poderem trocar informaccedilotildees compartilhar conhecimentos e trabalharem coletivamente
Contudo em sua visatildeo os professores ficaram especializados ateacute demais nas aacutereas mas
apenas nelas Conta-nos ainda que antes de 1968 os docentes que lecionavam as disciplinas
de Caacutelculo em cursos de Engenharia eram engenheiros e apoacutes 1968 os docentes para
lecionarem qualquer disciplina de Matemaacutetica em qualquer curso de graduaccedilatildeo passaram a
ser formados em departamentos de Matemaacutetica
Natildeo soacute na instituiccedilatildeo mas o que a gente observa em vaacuterias instituiccedilotildees eacute que existe
um certo distanciamento entre os matemaacuteticos e os outros professores em geral dos
cursos de Engenharia salvo alguns trabalhos que a gente acompanha na tentativa
de se juntar essas aacutereas por meio de projetos transversais projetos
interdisciplinares multidisciplinares eacute alguma coisa que junte os profissionais
diferentes mas normalmente essas aacutereas estatildeo bem desconexas porque na
contrataccedilatildeo de professores normalmente vocecirc pega matemaacuteticos puros agora o
que taacute faltando muito satildeo professores que tenham assim conceitos de Educaccedilatildeo
Matemaacutetica [] os matemaacuteticos que noacutes temos aqui na instituiccedilatildeo eles estatildeo um
pouco distanciados em relaccedilatildeo aos engenheiros
Ainda que o convite para a participaccedilatildeo no grupo tenha sido amplamente feito na
instituiccedilatildeo poucos alunos o aceitaram No primeiro encontro apenas dois alunos
participaram a Taty e o Joseacute Taty aceitou o convite feito na paacutegina da UNIFEI na rede social
Facebook e Joseacute aceitou o convite feito em sala de aula pela professora Clarice jaacute que era
aluno dela naquele semestre Ambos se mudaram para Itabira para cursarem Engenharia na
UNIFEI Taty veio de uma cidade do interior de Satildeo Paulo e Joseacute veio de uma cidade do
interior de Minas Gerais
119
374 Taty
Taty cursava o sexto periacuteodo do curso de Engenharia da Computaccedilatildeo e estava
concluindo uma pesquisa na qual era bolsista de iniciaccedilatildeo cientiacutefica Afirmou natildeo estar
gostando da aacuterea que estava atuando como pesquisadora e decidiu participar do grupo
Durante a entrevista inicial ao ser questionada sobre o papel das disciplinas de Caacutelculo em
cursos de engenharia Taty afirmou ser de ldquoextrema importacircnciardquo pois o que diferencia a
formaccedilatildeo em engenharia em sua concepccedilatildeo seria ldquojuntar todas as disciplinas do ciclo
baacutesico fiacutesica quiacutemica matemaacutetica com as disciplinas de formaccedilatildeo especiacuteficardquo Contudo
parece que tal junccedilatildeo natildeo ocorre de forma expliacutecita nos cursos da instituiccedilatildeo A proacutepria
estrutura curricular que separa os conteuacutedos em disciplinas parece contradizer ou mesmo natildeo
reforccedilar a concepccedilatildeo de formaccedilatildeo em engenharia apontada pela aluna
Em seguida questionei a aluna quais seriam especificamente os papeacuteis das
disciplinas de Caacutelculo no curso de Engenharia da Computaccedilatildeo Para ela
no curso de Computaccedilatildeo a matemaacutetica que a gente vecirc eacute uma parte bem loacutegica neacute
aleacutem da loacutegica o curso tem muitas mateacuterias da parte de eletrocircnica neacute eletrocircnica
digital analoacutegica e principalmente na digital a gente usa muito Aacutelgebra Booleana
e a aacutelgebra Booleana ela tem nos postulados eacute semelhante agrave Aacutelgebra Linear ateacute
certo ponto Na parte de computaccedilatildeo a gente vecirc mais a questatildeo da loacutegica e se vocecirc
for direcionar sua carreira vocecirc vai trabalhar com conceitos de BigData que
envolve necessariamente conhecimento mais avanccedilados de matemaacutetica ou
computaccedilatildeo graacutefica que envolve Aacutelgebra Linear
Naquele momento percebi que a aluna poderia natildeo ter entendido bem a pergunta
pois ela estava focando em conhecimentos matemaacuteticos ligados agrave Aacutelgebra e meu interesse
eram os conhecimentos do Caacutelculo Entatildeo refiz a pergunta e ela respondeu ldquoNossa Rutyele
que difiacutecil heinrdquo Apoacutes alguns instantes pensando Taty continua ldquoentatildeo Rutyele eu tocirc
achando complicado achar uma resposta pra vocecirc porque por exemplo eu sei que o pessoal
de Eleacutetrica usa em mil coisas mas natildeo eacute o meu caso entatildeo eu natildeo sei te dizer ainda saberdquo
Embora Taty tenha afirmado que os conteuacutedos de Caacutelculo sejam importantes para a formaccedilatildeo
em Engenharia ela natildeo sabe descrever qual seria o papel dessas disciplinas em seu curso Ela
continuou
120
O que eu vivencio eacute uma seacuterie de Caacutelculos dados em sequecircncia seguindo assim
uma certa [] buscando coerecircncia mesmo no desenvolvimento dos conceitos neacute
comeccedilando da parte mais simples limite derivada depois integraccedilatildeo depois
seacuteries neacute tem uma sequecircncia que a gente vai acompanhando e a partir de
determinado ponto que geralmente inicia no segundo periacuteodo com Fiacutesica I vocecirc jaacute
comeccedila a ter disciplinas que exige m esse conhecimento e vocecirc vai aplicaacute-lo caso
vocecirc tenha aprendido independentemente na disciplina isolada de Caacutelculo I
Caacutelculo II Caacutelculo III daiacute vocecirc vai comeccedilar a aplicar isso nas especiacuteficas neacute em
eletromagnetismo em mecacircnica dos soacutelidos mecacircnica dos fluidos
Com isso Taty pareceu demonstrar que em sua concepccedilatildeo as disciplinas de
Caacutelculo compotildeem uma base para o desenvolvimento de outras disciplinas que configuram as
grades curriculares dos cursos de Engenharia Ela pareceu ser uma aluna comprometida com
os estudos e estar preocupada em obter uma boa formaccedilatildeo para que possa ter um perfil como
engenheira diferenciado dos demais egressos dos cursos de Engenharia Aleacutem disso apesar
de naquele momento estar cursando o sexto periacuteodo do curso de Engenharia da Computaccedilatildeo
e ainda natildeo ter feito a disciplina BAC 022 (EDO) que faz parte do terceiro periacuteodo do
referido curso demonstrou natildeo ter tido grandes dificuldades no que diz respeito agrave aprovaccedilatildeo
nas disciplinas matemaacuteticas
375 Joseacute
O aluno Joseacute cursava o segundo semestre do curso de Engenharia Mecacircnica e era
aluno da disciplina BAC 019 sob a responsabilidade da professora Clarice O convite para a
participaccedilatildeo no grupo foi reforccedilado nas salas de aula de algumas disciplinas por alguns
professores como foi feito por Clarice nas turmas que lecionava
Joseacute demonstrou ser um aluno com atitude e postura reflexivas em relaccedilatildeo a sua
formaccedilatildeo profissional Natildeo demonstrou estar acostumado ainda com o ritmo de estudos da
Universidade e demonstrou sentir-se desconfortaacutevel ao perceber certo distanciamento entre os
alunos e os professores das disciplinas de Caacutelculo que ele jaacute havia cursado Ao ser
questionado sobre os papeacuteis das disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia apontou
para o desenvolvimento do raciociacutenio loacutegico da socializaccedilatildeo e do trabalho em equipe
O Caacutelculo desenvolve o raciociacutenio loacutegico mas tambeacutem pelo o que eu observo aqui
na faculdade ele tambeacutem eacute um meio de socializar De ajudar a pessoa tambeacutem a se
expressar melhor Pelo que eu vejo eu tenho dificuldade aiacute eu chego perto de uma
pessoa se a pessoa tambeacutem tem e tambeacutem qualquer coisa que vocecirc faz pode virar
uma coisa em conjunto neacute Entatildeo eu acho que o Caacutelculo tambeacutem desenvolve essa
121
parte para trabalhar em equipe de vocecirc entender a dificuldade do outro tambeacutem E
ele aplica em qualquer aacuterea que o engenheiro vaacute mexer desde dar aula ateacute na parte
de gerecircncia mesmo qualquer situaccedilatildeo o engenheiro vai ter que usar ou natildeo
depende da situaccedilatildeo mas ele vai precisar saber aplicar tudo que ele aprendeu no
Caacutelculo
Joseacute demonstrou ainda insatisfaccedilatildeo com relaccedilatildeo agraves metodologias utilizadas pelos
professores com os quais ele teve contato na instituiccedilatildeo
O Caacutelculo aqui que a gente vecirc eacute soacute a parte teoacuterica mesmo A gente por exemplo
quando vai fazer algumas questotildees resolver qualquer exerciacutecio a gente natildeo vecirc por
exemplo ah eu tenho um cilindro tal e eu quero o maacuteximo volume possiacutevel a gente
natildeo vecirc a gente natildeo consegue fazer a otimizaccedilatildeo tambeacutem [] a gente fez aquele
trabalho de Caacutelculo [se referindo a um trabalho de Aplicaccedilatildeo proposto pela
professora Clarice] e muita gente teve dificuldade porque natildeo sabia o que fazer
Natildeo tem como tipo eu pego o volume e aiacute o quecirc que eu faccedilo Vou fazer a derivada
o quecirc que eu vou fazer Sabe a pessoa fica sem visatildeo ela natildeo consegue ela natildeo
sabe [] eacute como se vocecirc tivesse uma viseira [gesticula com as duas matildeos proacuteximas
ao rosto] soacute vendo a parte teoacuterica a gente natildeo vecirc a aplicabilidade [] No maacuteximo
que a gente consegue ver alguma aplicabilidade eacute aplicaccedilatildeo direta em outras
disciplinas como a Fiacutesica Alguns alunos estatildeo vendo Estatiacutestica mas fora isso a
gente natildeo consegue pegar uma situaccedilatildeo ldquocruardquo e aplicar o Caacutelculo Num problema
cotidiano por exemplo ah eu vou construir um suporte pra colocar minhas caixas
o quecirc que eu posso fazer Qual que eacute o tamanho ideal Sabe a gente pode usar
Caacutelculo pra fazer isso mas agraves vezes a gente natildeo consegue fazer
Percebo assim que Joseacute teceu uma reclamaccedilatildeo sobre a falta de metodologias que
objetivem ir aleacutem da parte teoacuterica e assim alcanccedilar as aplicaccedilotildees Ele demonstrou perceber
as utilidades dos conteuacutedos do Caacutelculo para a formaccedilatildeo do engenheiro Afirma ainda ter
dificuldades em entender natildeo somente os conceitos mas tambeacutem a resoluccedilatildeo de algum
exerciacutecio que seja considerado aplicaccedilatildeo dos conceitos
376 Pedro
Pedro comeccedilou a participar do grupo a partir da terceira reuniatildeo do grupo Ele
aceitou participar do grupo mediante convite do aluno Joseacute Os dois eram alunos do segundo
periacuteodo do curso de Engenharia Mecacircnica e cursavam a disciplina BAC 019 sob a
responsabilidade da professora Clarice Ele demonstrou ser um aluno bem criacutetico e engajado
em sua formaccedilatildeo profissional embora tambeacutem demonstrasse sentir dificuldades de adequaccedilatildeo
em relaccedilatildeo agraves metodologias utilizadas pelos professores de Caacutelculo Quando questionado
durante a entrevista inicial sobre os papeacuteis das disciplinas de Caacutelculo em cursos de
122
Engenharia ele disse que basicamente desenvolve o raciociacutenio loacutegico ldquovocecirc aprende a
interpretar informaccedilotildees de uma maneira mais clarardquo aleacutem de ser um embasamento teoacuterico
para a formaccedilatildeo do engenheiro O aluno demonstrou acreditar que no trabalho desenvolvido
na aacuterea da Engenharia ldquoCaacutelculo torna-se fundamental natildeo soacute Caacutelculo mas como qualquer
outra disciplina relacionada agrave matemaacuteticardquo
Sobre as metodologias que tecircm sido utilizadas pelos professores de Caacutelculo que
possibilitam a apropriaccedilatildeo dos papeacuteis que tais disciplinas desempenham em cursos de
Engenharia Pedro demonstra insatisfaccedilatildeo quanto ao distanciamento entre os professores de
Caacutelculo e as dificuldades dos alunos Ele pensa que o grupo de professores da Matemaacutetica
precisa refletir sobre uma nova didaacutetica para possibilitar aprendizagem de alunos reais da
UNIFEI e natildeo de alunos idealizados por eles
Querendo ou natildeo alguns alunos chegam despreparados na Universidade isso eacute
fato natildeo adianta natildeo eacute agrave toa que tem o Caacutelculo Zero [refere-se agrave disciplina BAC
000] e muitas pessoas agraves vezes tem dificuldades de matemaacutetica baacutesica entatildeo eacute uma
realidade O ideal seria vocecirc ter alunos completamente capacitados e interessados
Soacute que se vocecirc tem uma Universidade que vocecirc ainda tem que edificar ela uma
Universidade nova que aleacutem de infraestrutura vocecirc precisa ainda criar matildeo de
obra por assim dizer vocecirc precisa de alunos capacitados que depois vatildeo levar o
nome da Universidade pra fora natildeo adianta vocecirc trabalhar com o ideal vocecirc tem
que ser real noacutes temos tais alunos noacutes temos que adaptar nossa didaacutetica para tais
alunos Depois se a Universidade se estruturar vatildeo vir alunos mais bem preparados
ou entatildeo a proacutepria infraestrutura o proacuteprio ambiente universitaacuterio vai forccedilar os
alunos a levarem mais a seacuterio Mas o momento que a Universidade vive precisa de
uma adaptaccedilatildeo da didaacutetica por parte dos professores para o que acontece na
realidade e natildeo para o que aconteceria se fosse a situaccedilatildeo ideal
O discurso do aluno estaacute embebido de questotildees que satildeo apontadas frequentemente
por professores de Caacutelculo em cursos de Engenharia A questatildeo da falta de preparo dos alunos
ingressantes em cursos de Engenharia com relaccedilatildeo agrave Matemaacutetica Baacutesica eacute recorrente em
congressos da aacuterea de Educaccedilatildeo em Engenharia119
Nesse momento consigo encontrar entatildeo subsiacutedios para responder agrave seguinte
pergunta ldquoQuem satildeo e onde estatildeo os sujeitos da aprendizagemrdquo Satildeo docentes e discentes
que realizam suas atividades na UNIFEI-Itabira Docentes da aacuterea de Matemaacutetica e
Engenharia Os discentes que atuaram como sujeitos dessa pesquisa satildeo pessoas jovens todos
com menos de 20 anos de idade que se engajam na atividade orientada pela aquisiccedilatildeo de
formaccedilatildeo profissional em niacutevel de graduaccedilatildeo em Engenharia
119
A esse respeito veja os anais do Congresso Brasileiro de Educaccedilatildeo em Engenharia (COBENGE) disponiacuteveis
no site wwwabengeorgbr
123
Foi nesse contexto universitaacuterio que se destina exclusivamente agrave formaccedilatildeo de
engenheiros contando com a disponibilidade dos sujeitos apontados acima que construiacute os
dados para a referida pesquisa
124
4 OS DADOS CONSTRUIacuteDOS E ANALISADOS A CONSTITUICcedilAtildeO DO GEPMM
COMO CICLO DE ACcedilOtildeES POTENCIALMENTE EXPANSIVAS
Engestroumlm (2002 p 183) aponta que quando o texto escolar (os textos dos livros
didaacuteticos) eacute representado como o objeto da atividade em vez de serem apenas instrumentos
que ajudam no entendimento do mundo haacute um empobrecimento nos recursos instrumentais
aleacutem de impactar os sujeitos da aprendizagem ndash os estudantes ndash que satildeo deixados com seus
proacuteprios dispositivos que para o autor inclui as habilidades de estudo laacutepis borracha papel
Esse tipo de abordagem tradicionalmente desenvolvida nas aulas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia (CAMPOS 2012 BIEMBENGUT HEIN 2007 FRANCHI 2002) acaba por
privilegiar um tipo de raciociacutenio que Resnick (1987) chama de ldquoraciociacutenio do siacutembolo-
destacado-do-referenterdquo (p 18 apud ENGESTROumlM 2002 p 183) Tal raciociacutenio eacute
notadamente valorizado nos meacutetodos tradicionais para a formaccedilatildeo em Caacutelculo A comeccedilar
pelas avaliaccedilotildees que satildeo realizadas majoritariamente por provas escritas individuais e sem
consulta salvo algumas poucas exceccedilotildees No ensino tradicional de Caacutelculo em cursos de
Engenharia a principal atividade eacute orientada pelo Caacutelculo como conteuacutedo conhecimento
historicamente acumulado impresso nos livros didaacuteticos em suas mais variadas abordagens
guiados como objetos da atividade
A atividade tradicional de formaccedilatildeo em Caacutelculo sendo considerada como uma
praacutetica social com base em Engestroumlm (2008) pode ser representada por meio do seguinte
esquema triangular
125
FIGURA 8 ndash Interconectados sistemas de atividade de professores e estudantes que tem como objeto a
apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos do livro de Caacutelculo
Fonte Elaborado pela autora
Nesse tipo de contexto formativo o seguinte questionamento se faz extremamente
pertinente por que e para que um aluno estuda Caacutelculo Natildeo pretendo no escopo desta tese
responder explicitamente a essa questatildeo apenas pretendo sinalizar uma reflexatildeo que se faz
necessaacuteria para analisar os motivos pelos quais os sujeitos estiveram engajados no GEPMM
Charlot (2013) pontua que na ida agrave escola os alunos aparentemente estatildeo
engajados em uma atividade formativa mas que frequentemente agem por um motivo natildeo
relacionado com o proacuteprio saber Para o autor no caso real encontram-se muitos alunos que
estudam para tirar uma boa nota passar nas disciplinas conseguir um diploma e
consequentemente receber um salaacuterio que o torne uma pessoa de sucesso Jaacute no caso ideal o
aluno idealizado pelas instituiccedilotildees e sobretudo pelos professores seria aquele que estudaria
porque se interessaria pelo conteuacutedo estudado
Na loacutegica que estaacute se tornando dominante estuda-se (quando se estuda) para ter
boas notas passar de ano ser aprovado no vestibular ter um bom emprego motivo
e objetivo discordam Portanto natildeo existe mais atividade Sendo assim qual eacute a
significaccedilatildeo do que o aluno faz na escola Leontiev responderia que se trata de
accedilotildees Podemos dizer tambeacutem que eacute um trabalho um trabalho alienado
(CHARLOT 2013 p 154)
A estrutura da atividade de formaccedilatildeo tradicional pode ser considerada segundo
Engestroumlm (2008) como alienante tanto para alunos quanto para professores Tomando por
126
base tal reflexatildeo poderiacuteamos nos questionar estariam mesmo realizando um trabalho
alienado Caso afirmativo qual seria o niacutevel de alienaccedilatildeo do trabalho que os alunos e
professores desenvolvem em disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia Acredito que a
compreensatildeo de tais questionamentos se faz necessaacuteria para analisar as aprendizagens
expansivas possibilitadas pela constituiccedilatildeo do GEPMM no referido contexto de formaccedilatildeo em
Engenharias
41 Constituiccedilatildeo do GEPMM possibilidades para aprendizagens expansivas
Como jaacute esclarecido na Introduccedilatildeo desta tese esta pesquisa se originou de
inquietaccedilotildees relacionadas ao trabalho que venho desenvolvendo ao longo de vaacuterios anos
como docente em cursos de Engenharia Durante todo esse percurso tenho me deparado com
vaacuterios aspectos que julgo contraditoacuterios com relaccedilatildeo aos processos de ensino-aprendizagem
das disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia A proposta da pesquisa aqui relatada
constitui dessa forma uma expressatildeo do eu ndash sujeito ndash em face da realidade adotando certo
posicionamento frente agrave realidade das praacuteticas sociais que tenho participado na situaccedilatildeo de
docente de disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia mostrando certa atitude diante de
uma situaccedilatildeo real presente
Nesse sentido inicio a anaacutelise usando a Teoria da Atividade como suporte teoacuterico
com a intenccedilatildeo de verificar se a criaccedilatildeo do referido grupo pode se configurar como um
miniciclo de accedilotildees de aprendizagem expansiva (ENGESTROumlM SANNINO 2010b)
Com isso posso dizer que comeccedilo o esboccedilo das ideias desta pesquisa
interrogando os processos de ensino-aprendizagem que passei a participar desde que me
inseri neste trabalho Aleacutem de mim percebi durante a construccedilatildeo dos dados desta pesquisa
que outros indiviacuteduos partiacutecipes do mesmo contexto (alunos e professores dos cursos de
Engenharia) tambeacutem comungam as mesmas ou algumas das inquietaccedilotildees A seguir apresento
algumas dessas inquietaccedilotildees que estiveram abrigadas na primeira etapa de accedilotildees em
miniciclo de aprendizagem expansiva o interrogatoacuterio
411 Interrogatoacuterio
127
Engestroumlm e Sannino (2010b) explicitam que uma sequecircncia ldquoidealrdquo de accedilotildees
epistecircmicas em um ciclo expansivo se inicia com o interrogatoacuterio que consiste no
questionamento na criacutetica ou na rejeiccedilatildeo de alguns aspectos de uma praacutetica socialmente
aceita ou uma sabedoria existente em uma comunidade Nessa primeira parte da sequecircncia de
accedilotildees que satildeo necessaacuterias para analisar esse processo com o aporte teoacuterico da aprendizagem
expansiva aponto algumas facetas da praacutetica tradicional de ensino-aprendizagem de Caacutelculo
que foram incluiacutedas sob a forma de questionamentos eou interrogaccedilotildees pelos sujeitos que
participam dela ndash alunos e professores dos cursos de Engenharia Natildeo estou dizendo que todos
os integrantes do GEPMM as questionam e interrogam ao mesmo tempo e nem que tais
questionamentos ocorreram durante o planejamento e o desenvolvimento das atividades do
grupo
Vale ressaltar que o objeto de uma atividade possui inerentemente uma natureza
dual eacute ao mesmo tempo ldquoalgo dado e algo projetado ou antecipadordquo120
(ENGESTROumlM
2008 p 88) O objeto de uma atividade eacute tambeacutem seu verdadeiro motivo (ENGESTROumlM
1987) Processos de mudanccedila objetivam necessariamente a construccedilatildeo de um novo objeto e
consequentemente correspondentes novos motivos a serem cultivados
Durante a entrevista inicial alguns motivos que levaram os sujeitos a aceitarem o
convite para participaccedilatildeo no GEPMM foram explicitados Tais motivos podem demonstrar ou
explicitar questionamentos que tecircm origem em questotildees que compotildeem as praacuteticas tradicionais
de ensino de Caacutelculo em cursos de Engenharia Com base em excertos das transcriccedilotildees das
gravaccedilotildees das entrevistas iniciais realizadas com os sujeitos podemos notar que
Para o docente Angel o grupo ldquopropicia uma questatildeo de um diaacutelogo entre os
colegas de mesma aacuterea e talvez estar criando em ambiente de discussatildeo das praacuteticas de
ensino e tentar melhorar ou evoluir essa questatildeo do ensino tradicional que eacute muito aplicado
e difundido nas Universidades Federaisrdquo Afirma ainda que acredita que ao participarem do
GEPMM os alunos sairiam com uma visatildeo mais ampliada da conexatildeo que existe entre as
disciplinas baacutesicas e as aplicadas para que possam vislumbrar problemas da realidade
A docente Clarice afirmou que o interesse em participar do grupo estaria
motivado pela possibilidade de ver a Matemaacutetica em accedilatildeo ndash sendo utilizada Nesse sentido
ldquoabrir novos caminhosrdquo de atuaccedilatildeo ter novos conhecimentos novas possibilidades ldquonatildeo
120
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquosomething given and something projected or anticipatedrdquo
128
ficar sempre no baacutesicordquo e ldquomelhorar como professorardquo seriam os principais motivos para ter
aceitado o convite de participaccedilatildeo no GEPMM segundo Clarice
O docente Robson demonstrou a meu ver que estaria insatisfeito com os modos
ldquodesconexosrdquo de ensino de Caacutelculo nos cursos de Engenharia da instituiccedilatildeo que os
professores de Caacutelculo natildeo abordam questotildees de aplicaccedilotildees reais em suas disciplinas e que
quando tentam abordar consideram questotildees e exemplos de livros didaacuteticos Tais exemplos
para ele satildeo ldquodesconexos da realidade porque o proacuteprio matemaacutetico natildeo vivenciou aquilo e
natildeo tem certeza se eacute daquele jeito natildeo conhece bem as variaacuteveis envolvidas entatildeo
normalmente as pessoas que ensinam matemaacutetica acabam caindo nos problemas
tradicionaisrdquo O docente afirmou que disseminar esse tipo de praacutetica ndash a da Modelagem
Matemaacutetica ndash seria um dos motivos para ter aceitado o convite e ter participado do GEPMM
Contudo natildeo explicitou os outros
Sendo assim os docentes demonstraram que ao aceitarem o convite para
participarem do grupo seguem orientados pela incorporaccedilatildeo de conhecimentos de
Matemaacutetica em accedilatildeo ndash em conexatildeo com as mais diversas aacutereas do conhecimento ndash que
desejam melhorar ou evoluir como docentes no sentido de abrir novas possibilidades e formas
de atuaccedilatildeo e almejam a disseminaccedilatildeo das praacuteticas de Modelagem Matemaacutetica em outros
contextos outras instituiccedilotildees e sob outras perspectivas
Tomando-se por base que os professores desejam melhorar ou evoluir o trabalho
que se dispotildeem a desenvolver como proponentes e participantes de praacuteticas de ensino-
-aprendizagem de disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia decidi tentar pontuar quais
seriam tais melhorias ou seja se haacute algo que possa ser melhorado ou evoluiacutedo significa que
haacute algo que precisa ser transformado modificado e nisso residem as possibilidades para
aprendizagens expansivas Mas o quecirc poderia ou precisaria ser transformado Com base na
revisatildeo de literatura sobre os processos de ensino-aprendizagem de Caacutelculo em cursos de
Engenharia apresentada no Capiacutetulo 2 exponho a seguir quatro questionamentos que podem
ser considerados como essecircncia no que diz respeito agraves transformaccedilotildees em tais processos
a) como adequar as metodologias utilizadas em disciplinas de Caacutelculo em cursos
de Engenharia em consonacircncia com os objetivos gerais para a formaccedilatildeo dos
engenheiros
b) Como fazer com que os estudantes participem ativamente dos proacuteprios
processos formativos de aprendizagem no que tange as disciplinas de Caacutelculo em
cursos de Engenharia
129
c) Como romper com a encapsulaccedilatildeo das disciplinas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia
d) Como melhorar a interaccedilatildeo entre os sujeitos da aprendizagem em disciplinas
de Caacutelculo em cursos de Engenharia
Essas quatro questotildees foram elaboradas por mim com o intuito de analisar as
possibilidades de aprendizagens expansivas que podem ser desenvolvidas em atividades
desenvolvidas pelo GEPMM constituiacutedo na UNIFEI com o objetivo inicial de construccedilatildeo de
dados empiacutericos para esta pesquisa Esses questionamentos e criacuteticas foram compartilhados
entre os integrantes do referido grupo no decorrer dos encontros e durante as entrevistas
Depois disso passamos para a segunda etapa das accedilotildees de aprendizagem que consiste na
anaacutelise da situaccedilatildeo atual a fim de descobrir as causas ou explicaccedilotildees sobre o que foi
questionado
412 Anaacutelise da situaccedilatildeo
Engestroumlm e Sannino (2010b) explicitam que uma segunda accedilatildeo que compotildee uma
sequecircncia tipicamente ldquoidealrdquo em um ciclo expansivo consiste na anaacutelise da situaccedilatildeo atual
Para os autores analisar envolve transformaccedilotildees mentais discursivas ou ateacute mesmo praacuteticas
da situaccedilatildeo atual com o intuito de descobrir mecanismos de causa eou explicaccedilatildeo
Considero como o iniacutecio dessa fase o momento em que comecei a procurar por
outras metodologias que poderiam ser utilizadas no desenvolvimento das disciplinas de
Caacutelculo em cursos de Engenharia bem antes de iniciar esta pesquisa Fiz diversas leituras na
aacuterea de Educaccedilatildeo Matemaacutetica na tentativa de elaborar ainda que apenas em termos de
projetos futuros outras possibilidades que pudessem tornar meu trabalho como docente de
disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia menos contraditoacuterio sob minha proacutepria
concepccedilatildeo Apoacutes iniciar a fase da construccedilatildeo dos dados desta pesquisa pude perceber in loco
mediante observaccedilotildees e entrevistas que os questionamentos e criacuteticas podem ser explicados
eou causados pela construccedilatildeo histoacuterico-cultural das praacuteticas de ensino-aprendizagem de
Caacutelculo em cursos de Engenharia
Por um lado as praacuteticas de ensino-aprendizagem de Caacutelculo realizadas na
instituiccedilatildeo satildeo basicamente amparadas pelo meacutetodo tradicional de ensino conforme exposto
130
no Capiacutetulo anterior Por outro lado haacute uma perceptiacutevel distacircncia entre as metodologias
utilizadas em tais praacuteticas na instituiccedilatildeo e os papeacuteis que as disciplinas de Caacutelculo deveriam
exercer na formaccedilatildeo em Engenharia sob a concepccedilatildeo dos professores e estudantes que
participaram da construccedilatildeo dos dados para essa investigaccedilatildeo
Conforme visto no capiacutetulo anterior durante as entrevistas iniciais os sujeitos
apontaram que as disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia deveriam exercer papel de
ferramentas que serviriam como base para o desenvolvimento da formaccedilatildeo do engenheiro ou
seja um Caacutelculo que deveria ser por definiccedilatildeo desenvolvido em praacuteticas de ensino-
-aprendizagem como conteuacutedo em accedilatildeo como instrumento da atividade formativa e natildeo
apenas como parte do objeto conforme visto no iniacutecio deste capiacutetulo
Durante a realizaccedilatildeo das entrevistas iniciais os docentes Angel Clarice e Robson
atentaram para a necessidade de diaacutelogo entre os docentes que lecionam disciplinas de
Caacutelculo e os demais docentes dos cursos de Engenharia assim como a necessidade de
conexatildeo entre os conteuacutedos de Caacutelculo e os demais conteuacutedos das disciplinas teacutecnicas dos
referidos cursos Para eles o distanciamento causado pela departamentalizaccedilatildeo pode
configurar como ponto-chave para tais questionamentos
Ainda no que diz respeito agraves entrevistas iniciais os alunos principalmente Joseacute e
Pedro apontam para a necessidade de adaptaccedilatildeo da didaacutetica dos professores para dar conta
dos alunos reais que ingressam na instituiccedilatildeo Para eles haacute um niacutetido distanciamento entre os
professores e os alunos durante o desenvolvimento das praacuteticas formativas de Caacutelculo em
cursos de Engenharia Tal distanciamento seraacute mais bem analisado mais adiante ainda neste
capiacutetulo
Por uacuteltimo uma criacutetica que se faz emergente no que diz respeito agraves praacuteticas
tradicionais de ensino-aprendizagem de Caacutelculo em cursos de Engenharia concentra-se na
formaccedilatildeo em termos de habilidades individuais As tradicionais praacuteticas que se destinam a
desenvolver a formaccedilatildeo em Caacutelculo nos cursos de Engenharia acabam por privilegiar o
desenvolvimento de habilidades e competecircncias individuais que estatildeo na maioria das vezes
ancoradas nos conteuacutedos de Caacutelculo de forma ldquopurardquo ndash o Caacutelculo pelo Caacutelculo ou seja ser
competente em Caacutelculo pode ser resumido em conseguir traccedilar graacuteficos resolver derivadas e
integrais por exemplo natildeo significando que tais competecircncias e habilidades sejam
trabalhadas sob a concepccedilatildeo de um Caacutelculo como ferramenta para o
entendimentodesenvolvimentosoluccedilatildeo de problemas reais ndash o Caacutelculo em accedilatildeo
Como visto nos Capiacutetulos 1 e 2 desta tese para o desenvolvimento de habilidades
e competecircncias de Caacutelculo em accedilatildeo por se tratar de uma formaccedilatildeo cujo objeto pode ser
131
entendido como questotildees-problema reais nas quais os conteuacutedos de Caacutelculo se configuram
como ferramentas da atividade faz-se necessaacuterio o desenvolvimento de ampliaccedilatildeo das
possibilidades de interaccedilatildeo entre os sujeitos devido a sua proacutepria natureza O trabalho
coletivo passa a predominar em relaccedilatildeo ao trabalho individual Natildeo basta apenas saber
resolver uma integral eacute preciso saber quando e onde usar uma integral para que uma questatildeo-
problema real possa ser entendidasolucionada A aluna Taty durante a entrevista inicial
aponta que em trabalhos em grupo mais praacuteticos ldquovocecirc acaba aprendendo muito maisrdquo
ldquoacho que esse eacute o trabalho do engenheirordquo
Com isso a situaccedilatildeo das praacuteticas formativas de Caacutelculo em cursos de Engenharia
comeccedila a parecer sob a forma de dilemas que na verdade abrigam contradiccedilotildees
historicamente acumuladas em tais sistemas de atividade Os dilemas nos ajudam a delimitar
possibilidades para transformaccedilotildees expansivas que podem tambeacutem ser entendidas ou
analisadas como movimento na zona de desenvolvimento proximal da atividade Nesse
sentido algumas facetas121
podem ser explicitadas da seguinte forma
a) metodologias utilizadas nas disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia
VERSUS o papel das disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia
b) disciplinas de Caacutelculo focadas em processos de formaccedilatildeo em termos de
aprendizagens individuais VERSUS demandas externas clamam pelo trabalho em
equipe ndash aprendizagens coletivas
c) docentes de Caacutelculo em redes fechadas (somente matemaacuteticos) VERSUS
parcerias com docentes de variadas aacutereas de atuaccedilatildeo em cursos de Engenharia
d) atividade docente desvinculada da atividade discente VERSUS parceria
docente-discente formando uma rede de aprendizagem
Apoacutes essas facetas terem sido explicitadas passamos para a terceira etapa das
accedilotildees de aprendizagem que consiste no modelamento de um novo horizonte de praacutetica cujas
possibilidades de implementaccedilatildeo precisam necessariamente extrapolar as fronteiras do
pensar e agir individual e passar para um patamar de construccedilatildeo coletiva rumo a
transformaccedilotildees qualitativas da praacutetica atual
121
Na teoria da aprendizagem expansiva double bind pode significar dilema ou ldquoface de dois gumesrdquo ou ainda
ldquoduas faces da moedardquo Decidi usar facetas
132
413 Modelamento122
Segundo Engestroumlm e Sannino (2010b) apoacutes a situaccedilatildeo (ou fenocircmeno ou praacutetica
social) ser questionada e analisada pelos sujeitos faz-se necessaacuterio que tal anaacutelise decirc origem a
uma nova forma de praacutetica uma nova atividade Para que isso se concretize eacute necessaacuterio que
os sujeitos consigam construir moldar e transformar um novo objeto por meio de accedilotildees que
objetivem tal modelamento
Antes mesmo de iniciar o processo de construccedilatildeo dos dados para a presente
investigaccedilatildeo a Modelagem Matemaacutetica conforme a concebo pareceu estar alinhada aos
objetivos de formaccedilatildeo de Caacutelculo em cursos de Engenharia Todas as leituras que fiz me
conduziram ao entendimento de que a Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia
poderia constituir um novo horizonte de praacutetica para os sujeitos partiacutecipes dos processos de
ensino-aprendizagem de disciplinas de Caacutelculo nesses cursos profissionalizantes123
Segundo Engestroumlm e Sannino (2010b) a aprendizagem expansiva se concentra
em processos nos quais os sujeitos satildeo transformados de indiviacuteduos isolados em coletivos e
redes Nesse sentido quando a construccedilatildeo dos dados empiacutericos para esta pesquisa se iniciou
na verdade o objetivo era que tal rede fosse tecida
A Modelagem Matemaacutetica sendo considerada como uma praacutetica formativa
inovadora em relaccedilatildeo agraves praacuteticas tradicionais de ensino-aprendizagem de Caacutelculo em cursos
de Engenharia pode ser tomada pelos participantes como um modelo que busca possibilitar
soluccedilotildees para os dilemas expostos anteriormente Acreditando nisso embarquei em uma
jornada rumo agraves possibilidades de movimento na zona de desenvolvimento proximal da
atividade formativa de Caacutelculo em cursos de Engenharia No campo cheguei soacute mas natildeo
permaneci soacute a rede comeccedilou a ser tecida E foi o grupo se constituiu
Sendo assim a constituiccedilatildeo do GEPMM podendo ser considerada como accedilatildeo de
modelamento que segundo Engestroumlm e Sannino (2010b) objetiva a construccedilatildeo de um novo
horizonte de praacutetica visando agrave minimizaccedilatildeo dos dilemas potencialmente incorporados nas
formas de atividade vigentes poderia possibilitar
122
Aqui Modelamento eacute considerado como a terceira fase das estrateacutegicas accedilotildees do ciclo de aprendizagem
expansiva elaborado por Engestroumlm (1987) conforme explicitado no Capiacutetulo 1 deste texto 123
A formaccedilatildeo em Engenharia pode tambeacutem ser entendida como profissionalizante pois objetiva a formaccedilatildeo do
profissional de Engenharia ndash o engenheiro
133
a) a construccedilatildeo de espaccedilos formativos nos quais o objeto da atividade seria
constituiacutedo por questotildees-problema natildeo matemaacuteticas e estudantes engajados em
sua proacutepria formaccedilatildeo (o que poderia se aproximar dos objetivos gerais que
perpassam a formaccedilatildeo dos engenheiros)
b) engajamento coletivo dos estudantes na resoluccedilatildeo de problemas natildeo
matemaacuteticos (o que pode estar mais proacuteximo das demandas externas que
proclamam o trabalho em equipe ndash aprendizagens coletivas)
c) possibilidades de parcerias (interdisciplinares) com docentes de variadas
aacutereas de atuaccedilatildeo em cursos de Engenharia (o que poderia promover o
rompimento da encapsulaccedilatildeo das disciplinas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia)
d) atividade de aprendizagem mediante parceria docente-discente formando uma
rede de aprendizagem (o que poderia ampliar quantitativamente e
qualitativamente as interaccedilotildees docente-discentes)
Vale ressaltar que a construccedilatildeo do GEPMM ao ser tomado como um modelo em
um ciclo de accedilotildees potencialmente expansivas acaba por se configurar como um elo entre as
disciplinas de Caacutelculo e as demais disciplinas que constituem a formaccedilatildeo do engenheiro na
instituiccedilatildeo estudada o que poderia minimizar o ponto de conflito cognitivo apontado por
Camarena (2009) Tal ponto de conflito pode ser entendido como uma tensatildeo que os
engenheiros vivenciam quando precisam integrar duas ou mais aacutereas do conhecimento tais
como o Caacutelculo e outras aacutereas teacutecnicas da Engenharia a fim de matematizar um problema a
ser resolvido Tal minimizaccedilatildeo pode ser relacionada com o rompimento da encapsulaccedilatildeo das
disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia
414 Examinando o novo modelo
Segundo Engestroumlm e Sannino (2010b) a quarta accedilatildeo constituinte de uma
sequecircncia ldquoidealrdquo em um ciclo expansivo seria caracterizada pelo exame do modelo Essa
etapa consistiria em pocircr em praacutetica o modelo executaacute-lo ou operaacute-lo a fim de compreender
sua dinacircmica potencial e limitaccedilotildees Para isso se fez necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma rede de
aprendizagem composta por alunos e professores que aceitaram o convite para participaccedilatildeo
134
no GEPMM A parceria estabelecida mediante a criaccedilatildeo de tal rede possibilita a ampliaccedilatildeo do
movimento de informaccedilotildees entre os docentes que atuam em diversas aacutereas por meio da
potencializaccedilatildeo da busca e consequentemente encontro de informaccedilotildees e ferramentas
necessaacuterias para o entendimento e a resoluccedilatildeo das questotildees-problemas que configuram o
objeto da atividade de Modelagem
Aleacutem da parceria entre os professores das mais diversas aacutereas de atuaccedilatildeo a
criaccedilatildeo dessa nova rede poderia possibilitar tambeacutem um cruzamento vertical de fronteiras
por meio das interaccedilotildees entre estudantes e professores pois em instituiccedilotildees escolares alunos
e professores constituem redes hieraacuterquicas de interaccedilotildees A parceria entre eles acaba por
cruzar os limites entre as redes o que poderia tornar a atividade de alunos e professores uma
uacutenica atividade a atividade de aprendizagem
Com isso poderiacuteamos analisar que a construccedilatildeo de tais ambientes configuraria
potencial mudanccedila no objeto da atividade de aprendizagem e ainda a construccedilatildeo de redes
possibilitada pelo cruzamento de fronteiras entre niacuteveis hieraacuterquicos e institucionais na
instituiccedilatildeo por meio de parcerias docente-docente e discentes-docente ambas ocorrendo em
um mesmo espaccedilo fiacutesico em uma mesma praacutetica institucionalizada em prol de um mesmo
objetivo Esses dois movimentos poderiam configurar mutuamente aprendizagens
expansivas como veremos mais adiante no presente texto
Por se tratar de uma intervenccedilatildeo formativa optei pela criaccedilatildeo do GEPMM em vez
de tentar introduzir a Modelagem Matemaacutetica dentro das salas de aula das disciplinas de
Caacutelculo Essa opccedilatildeo metodoloacutegica em termos da construccedilatildeo dos dados mostrou-se
necessaacuteria apoacutes ter assumido a Teoria da Atividade e da Aprendizagem Expansiva como lente
teoacuterica para a anaacutelise dos dados da presente pesquisa Aleacutem disso eu temia que as regras e a
divisatildeo do trabalho dentro das salas de aula de Caacutelculo permanecessem invioladas mesmo
com uma possiacutevel introduccedilatildeo da Modelagem nas demais accedilotildees de ensino que ocorrem durante
o desenvolvimento das disciplinas de Caacutelculo E mais do que isso o objeto da atividade de
alguns alunos durante todo o desenvolvimento das disciplinas de Caacutelculo independentemente
da metodologia adotada poderia permanecer orientado pela aprovaccedilatildeo na disciplina
satisfazendo a necessidade de prosseguir no curso visando agrave obtenccedilatildeo do diploma de
engenheiro
Sendo assim tal intervenccedilatildeo externa as proacuteprias disciplinas de Caacutelculo
configuraria como um espaccedilo formativo alternativo cujo objetivo preliminar seria o
questionamento agrave proacutepria divisatildeo do conhecimento em disciplinas como ocorre
tradicionalmente em cursos de Engenharia no Brasil Neste sentido a proposta da criaccedilatildeo do
135
GEPMM alia-se agraves ideias de formaccedilatildeo em Engenharia com base no foco em questotildees-
problema das mais diversas aacutereas onde os conhecimentos de Caacutelculo sejam instrumentos ou
ferramentas que auxiliam o respectivo entendimentoresoluccedilatildeo natildeo pretendendo assim
minimizar os dilemas vivenciados por alunos e professores durante as praacuteticas das disciplinas
tradicionais de Caacutelculo em cursos de Engenharia Vale ressaltar que seria contraditoacuterio
afirmar que tal enfoque pudesse ser plenamente estabelecido se tomaacutessemos como contexto as
disciplinas de Caacutelculo as disciplinas de Caacutelculo possuem conteuacutedos estabelecidos nos Planos
de Ensino e qualquer enfoque formativo incluindo a Modelagem Matemaacutetica estaria
orientado pelo Plano de Ensino Com isto as atividades de Modelagem constituiriam de
abordagem para dar sentido ou motivar ou mesmo propiciar aprendizagens dos conteuacutedos jaacute
estabelecidos nas ementas Com isto o objeto das atividades seriam os proacuteprios conteuacutedos do
Caacutelculo e a Modelagem Matemaacutetica seria um instrumento para tal ensinoaprendizagem
O espaccedilo formativo caracterizado no e pelo GEPMM se configura como um
contexto propiacutecio para possibilitar aprendizagens expansivas por estar baseado nos contextos
da descoberta da aplicaccedilatildeo praacutetica e da criacutetica conforme exposto no Capiacutetulo 1 Tal espaccedilo
formativo alternativo agraves praacuteticas tradicionais de formaccedilatildeo institucionalizadas nas e pelas
universidades pode ser caracterizado mediante ldquoampliaccedilatildeo gradual do objeto e do contexto da
aprendizagemrdquo (ENGESTROumlM 2002 p 197) Nele os aprendizes embarcam em uma
jornada ao longo da Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP) da Atividade124
que segundo
Engestroumlm (1987 p 174) pode ser entendida como a ldquodistacircncia entre as accedilotildees cotidianas dos
indiviacuteduos e a historicamente nova forma de atividade social que pode ser gerada
coletivamente como soluccedilatildeo para o dilema potencialmente incorporado nas accedilotildees cotidianasrdquo
Engestroumlm (2001) pontua que atividades de aprendizagem expansiva buscam
produzir culturalmente novos padrotildees de atividade que nesta pesquisa podem ser manifestos
pelas e nas atividades desenvolvidas no GEPMM devido agrave necessidade de os aprendizes
aprenderem novas formas de atividade enquanto as vatildeo criando
Eacute importante ressaltar que no GEPMM o Caacutelculo eacute considerado como um dos
instrumentos necessaacuterios agrave resoluccedilatildeoentendimento das questotildees-problema natildeo matemaacuteticas
Sendo assim em atividades de Modelagem Matemaacutetica constantemente faz-se necessaacuterio a
aquisiccedilatildeo de novas125
ferramentas de Caacutelculo para os sujeitos partiacutecipes da presente
124
Aqui podemos entender atividade no sentido de Sistemas de Atividade que os sujeitos assumem na posiccedilatildeo
de docentes e discentes de cursos de Engenharia 125
Podemos entender tais accedilotildees com vistas agrave aquisiccedilatildeo de novas ferramentas de Caacutelculo para os sujeitos
partiacutecipes de uma atividade de modelagem seguindo por analogia agraves accedilotildees que visam agrave construccedilatildeoaquisiccedilatildeo de
uma lanccedila ou um arco e flecha em uma atividade de caccedila
136
atividade o que se configura sob essa anaacutelise como accedilotildees estrategicamente necessaacuterias ao
alcance de objetivos parciais orientados pela atividade em questatildeo Mais adiante no que tange
agrave anaacutelise especiacutefica dos instrumentos de Caacutelculo em atividades de Modelagem num contexto
de formaccedilatildeo em Engenharias seguirei orientada pelo seguinte questionamento quais e como
se configuram as accedilotildees possibilitadas pelas ferramentas de caacutelculo em uma determinada
atividade de modelagem
Ao optar pela dinacircmica do modelo de atividade (Modelagem Matemaacutetica) sendo
implementada extra sala de aula (GEPMM) algumas limitaccedilotildees poderiam ocorrer configurar
trabalho extra (horas gastas a mais) ocircnus intensificaccedilatildeo do trabalho incompatibilidade de
horaacuterios entre outras Com isso sobraria menos tempo para realizar as demais atividades que
compotildeem a formaccedilatildeo em Engenharia na UNIFEI tanto para estudantes quanto para
professores Outra possiacutevel limitaccedilatildeo poderia surgir pela estrutura fiacutesica da instituiccedilatildeo jaacute
levando em conta o fato de ser um campus ldquoem construccedilatildeordquo precisariacuteamos de um espaccedilo
fiacutesico para abrigar o grupo
415 Implementando o novo modelo ndash o GEPMM
Com base em Engestroumlm e Sannino (2010b) a quinta accedilatildeo que constitui uma
sequecircncia ldquoidealrdquo em um ciclo expansivo consiste na implementaccedilatildeo do modelo por meio de
suas aplicaccedilotildees em praacuteticas Durante o iniacutecio da construccedilatildeo dos dados da pesquisa relatada
nesta tese procurei por ldquoaliadosrdquo pessoas que compartilhassem as mesmas insatisfaccedilotildees e
que aceitassem o convite de ldquoembarcarrdquo nessa jornada coletiva de transformaccedilotildees Contudo
natildeo obtive sucesso algum nessa primeira ldquoempreitadardquo
Natildeo desisti continuei realizando accedilotildees de negociaccedilatildeo e orquestraccedilatildeo por meio de
conversas com docentes e discentes buscando pelos tatildeo esperados ldquoaliadosrdquo Foi entatildeo que
Angel aceitou o convite Decidimos elaborar e proferir a palestra e apoacutes a palestra mais dois
docentes aceitaram o convite Clarice e Robson
Deliberamos126
algumas accedilotildees estruturais para que o grupo pudesse iniciar sua
jornada encontrar horaacuterios compatiacuteveis traccedilar horizontes de atuaccedilatildeo delimitaccedilatildeo de regras
entre outras
126
Todas as interaccedilotildees nessa parte foram realizadas por meio de mediaccedilotildees possibilitadas pelo grupo ldquovirtualrdquo
criado na rede social Facebook intitulado Modelagem Unifei Itabira
137
Ao serem questionados sobre os motivos que teriam orientado as respectivas
participaccedilotildees nas entrevistas iniciais os alunos Taty Joseacute e Pedro apontaram que gostariam
de ver uma Matemaacutetica mais aplicada uma Matemaacutetica na praacutetica objetivando terem uma
visatildeo diferenciada dos demais no mercado de trabalho futuramente Nas palavras de Taty
ldquoeu espero que no final deste projeto neacute eu consiga ter uma habilidade maior em abstrair
matematicamente os problemas do dia a diardquo Pedro pontuou ldquoeacute uma coisa na qual vocecirc vai
precisar vocecirc vai ter que aplicar o Caacutelculo em muitas aacutereas de atividade para um
engenheirordquo
Com base nas gravaccedilotildees em aacuteudio e viacutedeo dos encontros do GEPMM farei a
seguir um breve relato das accedilotildees que se fizeram presentes durante os dez primeiros encontros
do referido grupo
4151 Os encontros
Agora relatarei o que aconteceu durante os dez127
primeiros encontros realizados
no GEPMM que adotarei como corpus de anaacutelise Depois disso retornarei ao miniciclo de
accedilotildees de aprendizagem expansiva com o intuito de explicitar a sexta e a seacutetima accedilotildees
refletindo sobre o processo de implementaccedilatildeo do novo modelo e consolidando seus
resultados em uma nova forma de praacutetica
41511 Primeiro encontro
O primeiro encontro do GEPMM ocorreu em 01112012 (quinta-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice dos estudantes Joseacute e Taty e com a minha
participaccedilatildeo desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e pesquisadora
Nesse primeiro encontro comeccedilamos a estabelecer regras para questotildees
burocraacuteticas do grupo tais como quantos seriam os integrantes se o grupo seria formalizado
como projeto de extensatildeo ou grupo de pesquisa no CNPq entre outras questotildees Esclareci
127
Considero os dez primeiros encontros devido ao fato de ter que cumprir prazos com relaccedilatildeo agraves exigecircncias
estipuladas no regimento do Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em que estou inserida como alunapesquisadora
138
para os alunos Joseacute e Taty128
quais satildeo os objetivos do grupo e da minha pesquisa
Estabelecemos coletivamente que o grupo seria constituiacutedo por quatro docentes e seis
estudantes totalizando dez participantes
A docente Clarice teceu a seguinte criacutetica em relaccedilatildeo agrave Educaccedilatildeo Matemaacutetica no
Brasil ldquomuito se fala pouco se praticardquo E seguiu falando que os alunos de Caacutelculo satildeo
muito desmotivados e acrescentou ldquomuito aluno ali se sente tatildeo incapaz ele natildeo acredita
nele por isso ele se ferrardquo A aluna Taty interveio ldquomas eu acho que isso natildeo eacute culpa do
professor saberdquo A docente Clarice respondeu agrave aluna em tom de voz alterado ldquoMas eacute
tambeacutem um deverrdquo Bakhtin129
(1992 p 396) destaca que a entonaccedilatildeo consiste em uma
expressatildeo focircnica da avaliaccedilatildeo social e para ele ldquoo tom natildeo eacute determinado pelo material do
conteuacutedo do enunciado ou pela vivecircncia do locutor mas pela atitude do locutor para com a
pessoa do interlocutor (a atitude para com sua posiccedilatildeo social para com sua importacircncia
etc)rdquo Aqui uma anaacutelise da entonaccedilatildeo da fala da docente Clarice poderia ser tecida pela
hierarquia e lugar social que alunos e professores ocupam nas instituiccedilotildees universitaacuterias e as
respectivas regras que podem compor o ldquocurriacuteculo ocultordquo tais como professor ldquosempre tem
razatildeordquo a fala do professor natildeo ldquodeverdquo ser questionada e aluno ldquodeverdquo ficar inerte agraves posiccedilotildees
do professor afinal que dita as regras eacute o professor e ao aluno cabe cumpri-las Contudo no
GEPMM natildeo haacute pontos a serem distribuiacutedos pelo professor e isto pode acabar confundindo as
respectivas visotildees sobre as posiccedilotildees sociais nesta praacutetica Neste caso alunos e professores tem
o mesmo grau de importacircncia e hierarquia
No decorrer do encontro Clarice pontuou que nunca havia visto o trabalho do
engenheiro ldquoNunca parei pra pensar nisso Sempre pensei assim ah ele aprendeu as contas
baacutesicas laacute e pronto Mas natildeo vai porque o outro [que sabe mais] vai passar na frente dele [no
mercado de trabalho]rdquo Nesse ponto a docente pareceu estar preocupada com a qualidade da
formaccedilatildeo matemaacutetica que tem sido oferecida nas propostas tradicionais de ensino-
aprendizagem de Caacutelculo em cursos de Engenharia A docente seguiu falando
Eu falo assim no iniacutecio do curso no primeiro dia de aula ah eu ensino Caacutelculo natildeo
tenho noccedilatildeo muito de aplicaccedilotildees aiacute depois vocecircs vatildeo usar [risos] Tipo assim eu
natildeo sei quando mesmo Depois vocecircs vatildeo usar em vaacuterios conteuacutedos porque os
proacuteprios professores [de outras disciplinas ndash natildeo matemaacuteticas] falam comigo Tem
um professor da Mecacircnica que falou comigo o aluno chega laacute sem saber Caacutelculo e
ele precisa de Caacutelculo pra caramba na minha mateacuteria Caacutelculo I mesmo Sabe E
chega sem saber
128
Que natildeo puderam assistir agrave palestra mas viram o convite na rede social Facebook e o aceitaram 129
Conforme explicitado no Capiacutetulo 1 desta tese uma das raiacutezes da teoria da aprendizagem expansiva eacute a teoria
da linguagem e discurso de Bakhtin Por esse motivo sempre que possiacutevel utilizarei tal teoria para analisar falas
e discursos que ocorreram durante a construccedilatildeo dos dados para a investigaccedilatildeo relatada nesta tese
139
Nessa fala da docente percebemos que ela pareceu estar preocupada em natildeo
conseguir responder agraves expectativas dos estudantes ou mesmo dos outros professores das
demais disciplinas quanto agraves aplicaccedilotildees do Caacutelculo e aleacutem disso demonstrou sentir-se
incomodada em ouvir outro docente criticar a formaccedilatildeo matemaacutetica dos estudantes
A aluna Taty nos mostrou suas concepccedilotildees e expectativas em relaccedilatildeo a sua
participaccedilatildeo no GEPMM como aluna do curso de Engenharia de Computaccedilatildeo
Acho que a matemaacutetica eacute a mateacuteria mais poderosa que tem cecirc quer resolver um
problema de verdade Cecirc quer ser um engenheiro Cecirc quer uma resposta Tudo eacute
modelagem As melhores aacutereas da Computaccedilatildeo as que datildeo mais dinheiro cecirc tem
que ser bom de matemaacutetica Entatildeo eu acho um desperdiacutecio a gente ter 500
professores de Matemaacutetica aqui e ficar na sala de aula vendo nada Adoro gosto
muito acho muito legal mas soacute isso Entendeu Vocecirc pode sair daqui muito mais
potente Eacute aproveitar o que a faculdade estaacute te oferecendo
Podemos perceber que a estudante posicionou que suas accedilotildees de aprendizagem
estatildeo relacionadas ao objetivo de ldquoformaccedilatildeo com qualidaderdquo (uma boa formaccedilatildeo potente
aliada ao conhecimento) pois parece desejar ter um bom retorno financeiro no mercado de
trabalho depois de se formar engenheira Eacute niacutetido tambeacutem que sua proacutepria formaccedilatildeo ocupa
lugar privilegiado enquanto objeto de sua atividade ou seja ela parece ter consciecircncia que
ldquoobter conhecimentosrdquo e ldquoadquirir habilidadesrdquo constituem parte fundamental para a sua
proacutepria formaccedilatildeo
Esclareci para os parceiros que inicialmente natildeo gostaria de trabalhar em um
problema muito complexo Naquele momento minha preocupaccedilatildeo estava relacionada agraves
possiacuteveis desistecircncias de integrantes do grupo principalmente alunos caso achassem o
trabalho complexo demais
A discussatildeo sobre ensino de Caacutelculo em cursos de Engenharia continuou embora
este natildeo fosse especificamente o tema do primeiro encontro e a docente Clarice pontuou ldquoO
aluno de Caacutelculo I ele acha que tudo pode jogar no computador que tudo ele joga na
calculadora que ele natildeo vai trabalhar Ele natildeo sabe que vai ter que por a matildeo na massa Ele
acha que eacute pegar uma equaccedilatildeo e resolverrdquo A aluna Taty respondeu ldquoPorque o Caacutelculo I eacute
muito assim vocecirc chega no trecircs [Caacutelculo III] vocecirc nem pega mais na calculadora [risos]rdquo
Neste momento percebi que havia muitas questotildees inerentes agraves disciplinas de
Caacutelculo em cursos de Engenharia na quais os sujeitos demonstravam interesse em debatecirc-las
e como na instituiccedilatildeo natildeo havia um espaccedilo para tais discussotildees e debates eles acabavam
acontecendo nos encontros do GEPMM
140
Prosseguimos o encontro tentando esboccedilar algumas questotildees de interesse dos
integrantes do grupo que poderiam ser tomadas como objetos da atividade de Modelagem do
grupo
a) Angel falou sobre a infraestrutura na UNIFEI preacutedio 2 atrasado restaurante
atrasado
b) Joseacute falou sobre o fluxo de tracircnsito na cidade de Itabira
c) Eu falei sobre prazos para o mineacuterio de ferro extraiacutedo pela empresa Vale nas
minas de Itabira acabar
d) Joseacute falou sobre a poluiccedilatildeo sonora causada pelas explosotildees nas minas da Vale
e) Taty falou sobre a iniciaccedilatildeo cientiacutefica dela relaccedilotildees de gecircnero na construccedilatildeo
civil
f) Eu falei sobre as possibilidades de estudarmos as relaccedilotildees de gecircnero no trabalho
do engenheiro (Clarice fala que natildeo tem vontade de trabalhar com isso)
Apoacutes combinarmos de pensar em casa com calma em mais inquietaccedilotildees que
pudessem ser de interesse do grupo encerramos a reuniatildeo
41512 Segundo encontro
O segundo encontro do GEPMM ocorreu em 08112012 (quinta-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice dos estudantes Joseacute e Taty e com a minha
participaccedilatildeo desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e pesquisadora
Expus para os parceiros que pensei em um problema que haacute muito tempo me
incomoda o problema do peso corporal ideal Expliquei para eles que gostaria de entender
melhor matematicamente a questatildeo do ganho ou perda de peso considerando somente os
fatores alimentaccedilatildeo e exerciacutecios fiacutesicos Denominei naquele momento esse problema como
ldquoa foacutermula da sauacutederdquo e posicionei ainda que ldquoO peso da pessoa eacute fundamental pra vocecirc saber
[] uma das variaacuteveis eacute a massa da pessoa depende da massa da pessoa para vocecirc saber o
tanto que ele queima [] um gordo queima muito mais raacutepido do que quem eacute magrordquo
Clarice completou ldquoAh mais tem um equiliacutebrio depois ele para com aquela queimaccedilatildeordquo
141
Taty pontuou ldquoeacute depende da taxa de gordura da taxa de massa muscular [] achei
fantaacutesticordquo
Aqui o leitor poderia questionar ou estar refletindo sobre a escolha do tema natildeo
pertencer diretamente agrave tradicional aacuterea de Engenharia nem a disciplinas especiacuteficas dos
cursos Contudo o tema perfaz a questatildeo da interdisciplinaridade e da transposiccedilatildeo das
fronteiras disciplinares e curriculares Imagine se nenhum engenheiro ou fiacutesico ou
matemaacutetico tivesse dedicado esforccedilos para o entendimento de processos e fenocircmenos
relacionados com a aacuterea da sauacutede atualmente natildeo teriacuteamos algum aparelho de raio X ou de
ressonacircncia magneacutetica Aleacutem disso a UNIFEI-Itabira oferece entre outros os cursos de
Engenharia da Sauacutede e Seguranccedila e Engenharia Ambiental Com a escolha desse tema
poderia acontecer ainda de estarmos buscando e efetivando de alguma maneira ainda que
impliacutecita o rompimento da encapsulaccedilatildeo de conteuacutedos relacionados com a aacuterea de
Engenharia de Sauacutede e Seguranccedila com os outros cursos oferecidos pela instituiccedilatildeo mediante
a transposiccedilatildeo de fronteiras e a formaccedilatildeo de redes ndash parcerias
Logo em seguida a aluna Taty nos contou que jaacute havia sido atleta e que corria 8
km e o aluno Joseacute nos contou que fazia trilha de bicicleta Eles ficaram realmente muito
interessados pelo tema proposto por mim Aleacutem deles a docente Clarice tambeacutem disse que
achou o tema oacutetimo ldquoachei o mais interessante delesrdquo
O docente Angel permaneceu desde o iniacutecio do encontro manuseando seu
computador portaacutetil e somente depois de 30 minutos de reuniatildeo o perguntei se ele havia
achado o tema interessante Ele pediu para eu repetir os temas ateacute entatildeo levantados e parece
preferir o problema do tracircnsito dizendo ldquotranquilo assim tem que ir laacute medir com o
cronocircmetro verificar ou seja tem um trabalho aiacute neacute de coleta de dados um pouco chata
durante uma semanardquo Ao perceber que todos os parceiros olharam para ela a aluna Taty
logo disse ldquoAh natildeo gente natildeo olha pra mim natildeo gente Tocirc fazendo um monte de coleta de
dados jaacute Me recuso cara [] Eu sento e leio 60 artigos se vocecircs quiserem faccedilo resumo de
todos pra vocecircs natildeo tocirc brincando Eu tocirc fazendo uma coleta gigantescardquo
Naquele momento estava estabelecido um dilema entre as idealizaccedilotildees de objetos
das atividades que pretendiacuteamos realizar Tratava-se de pensar elaborar num plano da
consciecircncia coletiva um resultado ideal ndash uma finalidade jaacute que ldquoo que se pretende obter
existe primeiro idealmente como mero produto da consciecircncia e os diversos atos do processo
se articulam ou estruturam de acordo com o resultado que se daacute primeiro no tempo isto eacute o
resultado idealrdquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 187) Ainda que o resultado real se
142
distancie do ideal trata-se de adequar intencionalmente o ideal ao real ainda que para isso
seja necessaacuterio se assemelhar pouco ou ateacute mesmo nada com a finalidade original
Nesse momento podemos perceber que por jaacute ter participado de programas de
iniciaccedilatildeo cientiacutefica na UNIFEI a aluna Taty demonstrou conhecer uma possiacutevel divisatildeo de
trabalho que pode ser adotada por alguns docentes orientadores nas atividades de iniciaccedilatildeo
cientiacutefica os alunos potildeem a matildeo na massa coletam dados fazem resumo de artigos entre
outras e os orientadores auxiliam na escrita dos relatoacuterios e na anaacutelise dos dados coletados
O posicionamento da aluna Taty de fato ldquoimpactourdquo nas decisotildees do grupo
Alterou modificou a atividade que naquele momento estava sendo idealizada por noacutes
coletivamente Como estavam participando das reuniotildees portanto do grupo apenas dois
estudantes como os docentes procederiam para coletar os dados para tratar do problema do
tracircnsito em Itabira Isso nos levou a deixar esse problema para ser tratado em outro momento
quando tivermos mais alunos para realizar as accedilotildees de coleta de dados
Com isso apoacutes debatermos mais um pouco definimos que a primeira questatildeo-
problema a ser tratada por noacutes seria o emagrecimento em termos de alimentaccedilatildeo e exerciacutecios
fiacutesicos Naquele momento estava traccedilado idealmente um resultado que orientaria as accedilotildees
do grupo uma finalidade entender a questatildeo problemaacutetica do peso corporal ideal isso
configurou uma atividade essencialmente da consciecircncia humana tomada em sua coletividade
por meio da negociaccedilatildeo e debate em que os sujeitos expotildeem seus pontos de vista e suas
idealizaccedilotildees oriundas de suas experiecircncias anteriores suas inquietaccedilotildees mediante as quais
concebem a realidade ainda inexistente mas jaacute traccedilada pela consciecircncia por meio da
idealizaccedilatildeo de seu objeto
Sendo assim ldquonatildeo se trata apenas de antecipaccedilatildeo ideal do que estaacute por vir mas
sim de algo que aleacutem disso queremos que venhardquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 191)
expressatildeo de uma necessidade humana socialmente incorporada que se configura como
causa das accedilotildees e ao mesmo tempo determina as accedilotildees presentes Contudo tal antecipaccedilatildeo
ideal do futuro natildeo implica necessariamente que desejamos de fato sua existecircncia real ou
sequer pretendamos contribuir para que assim seja Desejar uma atividade na realidade
requer sobretudo elencar uma finalidade estampada nas accedilotildees que devem ser realizadas para
tal fim Para isso eacute necessaacuterio entender que toda finalidade pressupotildee determinado
conhecimento da realidade que os sujeitos negam idealmente e dessa forma idealizam accedilotildees
em prol de um resultado tambeacutem idealizado
Com isso podemos analisar que devido ao entendimento de que a questatildeo do
peso corporal ideal dependia de alguns paracircmetros que poderiam ou natildeo ser levados em conta
143
decidiu-se por negar idealmente as formas presentes de entender tal questatildeo (como tiacutenhamos
entendido ateacute aquele momento) e partir para a produccedilatildeo coletiva de conhecimento O objetivo
portanto configurava-se pelas estrateacutegicas accedilotildees de abertura da caixa-preta do peso corporal
ideal
Naquele momento pontuei que ldquoum gordo queima muito mais raacutepido do que
quem eacute magrordquo Taty ponderou ldquoeacute depende da taxa de gordura da taxa de massa
muscularrdquo Tiacutenhamos portanto o conhecimento digamos inicial de que o peso influenciava
na queima de gordura proporcionada pelas atividades fiacutesicas mas como quantificar essa
influecircncia Estariam outros paracircmetros relacionados com tal influecircncia como por exemplo a
taxa de gordura ou a taxa de massa muscular Ou seja algum(ns) conhecimento(s) da
realidade estava(m) sendo negado(s) idealmente naquele momento o que fez emergir uma
finalidade para orientar nossas accedilotildees
Estaacutevamos dispostos a entender essa questatildeo problemaacutetica buscando informaccedilotildees
incorporando variados instrumentos que possibilitassem o acesso a apropriaccedilatildeo e a produccedilatildeo
de conhecimentos relacionados ao peso corporal ideal perseguindo sempre o objetivo que
segue mediante alteraccedilotildees na alimentaccedilatildeo e nos exerciacutecios fiacutesicos como quantificar
mudanccedilas no peso corporal com vistas a alcanccedilar efetivamente o peso corporal ideal Por se
tratar de quantificaccedilotildees tiacutenhamos naquele momento o conhecimento de que algum
instrumento matemaacutetico seria necessaacuterio para alcanccedilarmos o objetivo estabelecido poreacutem
natildeo sabiacuteamos de antematildeo qual(is) instrumento(s) seria(m) esse(s) e como ele(s) nos
ajudaria(m) nessa atividade
Sabiacuteamos por exemplo que o iacutendice de massa corporal (IMC) representado por
uma equaccedilatildeo matemaacutetica130
eacute considerado o mesmo para homens e mulheres
independentemente da idade Mas suspeitaacutevamos que um homem de 80 anos perdesse peso
de forma diferente que uma mulher de 18 anos considerando mudanccedilas na alimentaccedilatildeo e nos
exerciacutecios fiacutesicos Mas qual seria essa diferenccedila Como ela poderia ser quantificada Tais
questionamentos abarcavam o objetivo explicitado anteriormente ao decidirmos dedicar
esforccedilos no entendimento da problemaacutetica questatildeo do peso corporal ideal
Depois disso o docente Angel que permaneceu manuseando seu computador
portaacutetil navegando na internet convidou-nos para submetermos um projeto ao CNPq pois
havia um edital aberto sobre relaccedilotildees de gecircnero e trabalho e aiacute poderiacuteamos elaborar o projeto
para pesquisar as relaccedilotildees de gecircnero e trabalho na aacuterea de Engenharia Contou-nos que
130
119868119872119862 =119901119890119904119900
1198861198971199051199061199031198862
144
poderiacuteamos dar bolsas aos alunos no valor de R$ 400 A aluna Taty exclamou ldquoNossa que
lindo Que belezardquo
Angel disse que teriacuteamos que realizar uma ldquoforccedila tarefa urgenterdquo porque o prazo
seria ateacute o dia 14 daquele mecircs (ou seja teriacuteamos apenas seis dias para construir o projeto)
Taty disse que tinha o projeto escrito sobre gecircnero e somente teriacuteamos que adaptaacute-lo para a
aacuterea da Engenharia Decidimos por lutar contra o tempo e escrever esse projeto para a
submissatildeo131
Vale ressaltar que ainda que possa parecer estranho natildeo percebi naquele
momento qualquer inadequaccedilatildeo sobre o que o grupo havia coletivamente decidido fazer Na
verdade mesmo que suspeitasse que o CNPq natildeo fosse aprovar o referido projeto visualizei
tal elaboraccedilatildeo como uma possibilidade de aprendizagem para os sujeitos engajados Uma
anaacutelise mais pontual que se refere a tal construccedilatildeo seraacute tecida mais adiante nesta tese
Finalizamos a reuniatildeo combinando as tarefas que cada um desenvolveria durante a
semana para que no proacuteximo encontro pudeacutessemos continuar trabalhando focados no
projeto a ser submetido no CNPq e tambeacutem na problemaacutetica ldquofoacutermula da sauacutederdquo Deliberamos
que cada um dos integrantes ficaria responsaacutevel por ler dois artigos sobre a questatildeo do
emagrecimento considerando alimentaccedilatildeo e exerciacutecios fiacutesicos como paracircmetros
41513 Terceiro encontro
O terceiro encontro do GEPMM ocorreu em 13112012 (terccedila-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel Clarice e Robson dos estudantes Joseacute Pedro e Taty e
com a minha participaccedilatildeo desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e
pesquisadora
Como esse encontro ocorreu na terccedila-feira natildeo tiacutenhamos sala reservada para nos
reunirmos Entatildeo comeccedilamos o encontro em uma sala e em poucos minutos descobrimos que
a sala estava reservada para uma aula Sem termos lugar para nos reunirmos a convite do
professor Robson fomos para um amplo laboratoacuterio de eleacutetrica onde estava ocorrendo em
paralelo ao nosso encontro uma aula de eletricidade praacutetica Depois de chegarmos agrave sala a
cacircmera que foi utilizada para realizar as gravaccedilotildees em aacuteudio e viacutedeo inesperadamente
131
E o submetemos na data limite ndash dia 14 de novembro de 2012 Contudo o CNPq natildeo o aprovou O parecer
questionou sobre a aacuterea de atuaccedilatildeo dos docentes que iriam executaacute-lo
145
interrompeu as filmagens Por esse motivo o relato desse encontro se baseia em alguns
minutos de gravaccedilatildeo em aacuteudio e viacutedeo e nas anotaccedilotildees em caderno de campo
Comeccedilamos o encontro discutindo o artigo132
de Scagliusi e Lancha Juacutenior
(2005) que trata do gasto energeacutetico por meio da teacutecnica da ldquoaacutegua duplamente marcadardquo
Nesse artigo no QUADRO 1 os autores apresentam alguns modelos matemaacuteticos que satildeo
utilizados para o caacutelculo do gasto energeacutetico segundo a teacutecnica da aacutegua duplamente marcada
Percebemos que nas equaccedilotildees denominadas pelos autores por ldquofoacutermulas matemaacuteticasrdquo
contidas no referido quadro alguns valores (constantes) natildeo ficam claros pra noacutes isto eacute os
valores aparecem nas foacutermulas contudo a razatildeo do aparecimento natildeo eacute explicitada no texto
Por exemplo o que significa o valor 3044 ou 1104 na equaccedilatildeo 3 Ou ainda 081 ou 067 na
equaccedilatildeo 4 Natildeo conseguimos encontrar respostas para esses questionamentos no referido
artigo e decidimos apoacutes a reuniatildeo ir agrave busca de alguns artigos referenciados nele como por
exemplo Weir (1949) e Black Prentice e Coward (1986)
Ainda durante a discussatildeo do artigo Scagliusi e Lancha Juacutenior (2005) na paacutegina
542 nos deparamos com um termo fiacutesico-quiacutemico ndash o deuteacuterio Nunca ouvi falar sobre esse
conceito nem o docente Angel nem a docente Clarice A partir dessa duacutevida os alunos Joseacute e
Pedro nos esclareceram com propriedade sobre o que se baseava esse conceito Joseacute e Pedro
utilizaram instrumentos da oralidade que ecoavam vozes oriundas de discursos da fiacutesico-
-quiacutemica escolar (discurso didaacutetico pedagoacutegico) que provavelmente eles haviam tido
acessointeragido durante formaccedilatildeo escolar em niacutevel meacutedio e que estavam guardadas em suas
memoacuterias
Naquele momento podemos perceber ainda que ocorreu uma inversatildeo de papeacuteis
entre alunos e professores noacutes professores aprendemos com os alunos e eles alunos nos
ensinaram Por meio de interaccedilotildees mediadas pela oralidade (linguagem falada) todos noacutes
sujeitos da atividade passamos a ter acesso a informaccedilotildees relacionadas ao deuteacuterio que
estariam suportadas na memoacuteria dos alunos e teriam sido acessadas naquele momento com o
intuito de suprir a necessidade de que todos compartilhassem desse saber Isso somente se
tornou possiacutevel pois aceitamos o convite de formarmos uma parceria de aprendizagem entre
alunos e professores o que nos tira da zona de conforto em que haacute predomiacutenio de controle e
previsibilidade e nos coloca na zona de risco na qual incertezas e imprevisibilidades
imperam (BORBA PENTEADO 2001)
132
Encontrado por mim a partir de buscas na internet e anteriormente ao encontro compartilhado com os demais
parceiros no grupo ldquovirtualrdquo da Modelagem Unifei Itabira na rede social Facebook
146
Naquele encontro a questatildeo do peso corporal ideal ainda estava digamos
nebulosa para noacutes nossas accedilotildees e idealizaccedilotildees eram realizadas mediante negociaccedilatildeo e
interaccedilatildeo com os (instrumentos) que tiacutenhamos em matildeos ndash o artigo estudado no qual
encontramos a QUADRO 1 ndash por meio de habilidades de leitura e interpretaccedilatildeo (linguagem
escrita que inclui a linguagem matemaacutetica escrita) e nossa corporeidade ndash possibilitou
interaccedilotildees por meio de habilidades de debater discutir e interagir uns com os outros
(linguagem falada que inclui a linguagem Matemaacutetica falada e gestos)
QUADRO 1 ndash ldquoEquaccedilotildees utilizadas para o caacutelculo do gasto energeacutetico (GET) segundo a teacutecnica da aacutegua
duplamente marcadardquo
Fonte SCAGLIUSI LANCHA JUacuteNIOR 2005 p 543
Finalizamos a reuniatildeo deliberando que em casa leriacuteamos com calma os artigos
Weir (1949) e Black Prentice e Coward (1986) citados no artigo de Scagliusi e Lancha
Juacutenior (2005)
147
41514 Quarto encontro
O quarto encontro do GEPMM ocorreu em 22112012 (quinta-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice e com a minha participaccedilatildeo
desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e pesquisadora133
Comeccedilamos o encontro discutindo o artigo de Weir (1949) Observamos que esse
artigo eacute bem antigo Angel com o artigo impresso em matildeos apontou para o artigo e disse
ldquoagora tem que ver como que interpreta essas questotildees analisa porque agraves vezes vai entrar
em aacutereas assim mais complexas que a gente poderaacute natildeo entenderrdquo Respondi a ele ldquoIsso eu
tambeacutem jaacute consegui perceber Angel Por isso eu tocirc pensando para este tema a gente tentar
arrumar um nutricionista neacute porque ele jaacute taacute na aacuterea pra ele ajudar a gente a entender O
que vocecircs acham da ideiardquo E Angel respondeu
Ah eacute bacana porque querendo ou natildeo agindo dessa forma a gente taacute [] gerando
interdisciplinaridade neacute Porque a gente taacute pegando professores da matemaacutetica
professores da matemaacutetica mais pura professores da matemaacutetica mais aplicada
pessoas da aacuterea de nutriccedilatildeo Entatildeo eacute um ambiente bem [interdisciplinar]
A professora Clarice tambeacutem se manifestou favoraacutevel agrave integraccedilatildeo de uma
nutricionista a nossa rede de aprendizagem Seguimos com as discussotildees sobre o artigo de
Weir (1949) em que pontuei
a gente vecirc um ldquosisteminhardquo linear aqui de cara Que eacute o que ele [o autor] deve ter
estudado Taacute vendo Entatildeo assim vamos ter que entender porque eacute daqui que
surgem aqueles nuacutemeros que estatildeo laacute naquelas outras equaccedilotildees [me refiro ao artigo
de Scagliusi e Lancha Juacutenior (2005)] [] igual aqui [aponto para a tela do meu
computador portaacutetil onde leio o artigo de Weir (1949) na tela] ele taacute usando
carboidratos a proteiacutena e a gordura [] talvez a gente possa fazer tentar fazer
uma modelagem mais precisa do metabolismo porque vocecircs lembram [] a
questatildeo do metabolismo basal que eacute aquela coisa do repouso seu organismo taacute
gastando a questatildeo da alimentaccedilatildeo que vocecirc taacute acrescentando e do que vocecirc gasta
com as coisas do natildeo repouso neacute entatildeo satildeo essas trecircs categorias que a gente teria
que analisar pra poder eacute achar essa foacutermula que a gente quer ndash este modelo Entatildeo
num primeiro momento estamos estudando essa questatildeo que eacute do metabolismo
basal que ele tem a ver tambeacutem com o que vocecirc taacute comendo Taacute vendo que aiacute jaacute taacute
misturando essas duas coisas neacute Que tem a ver com o oxigecircnio que tem a ver com
133
Os estudantes Joseacute Pedro e Taty natildeo puderam participar justificando excesso de trabalhos e estudos
acadecircmicos Tambeacutem justificando o mesmo motivo natildeo participaram dos demais encontros (quinto sexto
seacutetimo oitavo nono e deacutecimo) Uma anaacutelise mais pontual sobre esse acontecimento seraacute realizada mais adiante
nesta tese no Capiacutetulo 6 mais especificamente na modalidade analiacutetica descrita em 62
148
o gaacutes carbocircnico que vocecirc libera que eacute aquela questatildeo da maacutescara que o aluno
falou neacute na aula passada entatildeo essa coisas elas se misturam neacute
Questionei tambeacutem a metodologia do estudo realizado por Weir (1949)
apontando que os alimentos da eacutepoca eram outros as gorduras consumidas antes eram em
sua maioria oriundas de fontes animais hoje em dia as gorduras vecircm de fontes vegetais E
qual seria o impacto dessa mudanccedila na vida das pessoas Coincidentemente aliado a isso o
nuacutemero de casos de cacircncer tem crescido de forma assustadora
E continuei falando ldquopois eacute eu tocirc pensando [] numa questatildeo aqui relacionada
laacute a nebulosos [Teoria Fuzzy] porque [] se cada um desses paracircmetros aiacute gordura tipos de
alimentos e tudo mais cecirc tem uma certa variabilidade natildeo temrdquo Angel e Clarice
responderam que sim e Angel esclareceu
Entatildeo vocecirc poderia tratar com aquela parte laacute daqueles agrupamentos neacute onde
aqui vocecirc tem o centro e a variabilidade [aponta com uma matildeo representando o
centro e a outra se movimenta em volta] [] e vocecirc jaacute gerar os agrupamentos e
encontrar um modelo nebuloso para o metabolismo humano [] A gente jaacute tem que
pensar alto a gente tem que pensar em publicaccedilatildeo [risos]
Clarice concordou ldquoIsso aiacuterdquo seguiu nos contando que pensou em um problema
para ser colocado na lista de problemas a serem trabalhados no grupo Vale ressaltar que
Clarice ateacute entatildeo natildeo havia em nenhum momento se posicionado com algum
questionamento que pudesse vir a ser trabalhado no grupo Nas palavras dela
Eu queria fazer uma pesquisa eacute pegar os preccedilos eacute o custo de vida hoje e o salaacuterio
miacutenimo atual eacute o preccedilo de alimentaccedilatildeo eacute passagem de ocircnibus o valor do
combustiacutevel [] e ver como que vai taacute isso daqui a 2 anos [] tenho certeza que vai
dar uma diferenccedila boa com relaccedilatildeo ao salaacuterio miacutenimo neacute [] Isso explica neacute na
minha leiga opiniatildeo a violecircncia gente Natildeo tem como As pessoas natildeo tatildeo
conseguindo viver mais com um salaacuterio miacutenimo [] eu tenho muito interesse nisso
Interesse de indignaccedilatildeo mesmo
Angel e eu gostamos dessa proposta de Clarice e a colocamos na lista de
questotildees-problema do grupo Encerramos o encontro deliberando os estudos em casa ler em
profundidade de entendimento o artigo de Weir (1949)
No dia 29112012 comecei uma conversa com uma docente do Departamento de
Nutriccedilatildeo da Universidade Federal de Outro Preto (UFOP) Convidei-a para participar das
discussotildees do grupo sobre o tema ldquofoacutermula da sauacutederdquo mesmo que apenas virtualmente por
meio das redes sociais ou por outro meio de comunicaccedilatildeo a distacircncia Ela aceitou o convite e
passou assim a ser uma parceira em nossos esforccedilos coletivos
149
No dia 01ordm122012 a docente da UFOP nos indicou um livro134
que pode ser
acessado na internet No mesmo dia compartilhei com os demais parceiros o link no grupo
Modelagem Unifei Itabira na rede social Facebook
41515 Quinto encontro
O quinto encontro do GEPMM ocorreu em 06122012 (quinta-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel e Robson e com a minha participaccedilatildeo
desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e pesquisadora
No iniacutecio da reuniatildeo Angel justificou a ausecircncia de Clarice com o fato de ela ter
que se empenhar em um trabalho a ser entregue ainda naquela semana ao professor da
disciplina que eles (Angel e Clarice) cursavam como alunos natildeo regulares do programa de
Poacutes-Graduaccedilatildeo em Engenharia Eleacutetrica na UFMG
Comentei com os parceiros que o livro digital que a docente da UFOP nos indicou
poderia nos ajudar na resoluccedilatildeo do problema do peso corporal ideal No mesmo site encontrei
vaacuterios artigos e livros interessantes Com o auxiacutelio de um pen-drive compartilhei o arquivo
digital que continha o livro com os parceiros Angel e Robson pois eles ainda natildeo o tinham
A seguir descrevo uma interaccedilatildeo entre noacutes ao discutirmos o livro que a docente
do Departamento de Nutriccedilatildeo da UFOP nos indicou
Eu Cecirc lembra um dia que a gente colocou o peso da pessoa ele influencia na
atividade [fiacutesica] Olha pra vocecirc ver que interessante tem um graacutefico na paacutegina
891 que ele [o autor] coloca ndash atividade fiacutesica coloca as quilocalorias gastas por
hora e coloca o gasto da pessoa Ele coloca o impacto do peso no gasto de energia
neacute Nas velocidades 234 ou 5 Agora qual atividade eacute essa Entatildeo a gente podia
partir desses dados que estatildeo aqui por exemplo talvez fixando em um capiacutetulo ou
outro
Angel aqui eacute caminhando
Eu eacute caminhando Taacute vendo que interessante eu acho assim interessantiacutessimo
isso Agora cecirc vecirc que tudo aqui eacute linear neacute Seraacute que daria pra gente pegar esses
mesmos dados e tentar trata-los de outra maneira Taacute vendo oh cecirc caminhar na
velocidade 2 se vocecirc tiver 60 kg cecirc vai queimar 150 calorias mas se vocecirc tiver 130
kg cecirc vai queimar 300 e tantas calorias [] ele [o autor] colocou homens e
mulheres
Robson de repente natildeo tem tanta diferenccedila homens e mulheres
Eu tem pior eacute que tem
Robson [em tom surpreso] tem Tem
134
Livro intitulado Dietary reference intakes for energy carbohydrate fiber fat fatty acids cholesterol
protein and amino acids (macronutrients) Disponiacutevel em ltwwwnapeducatalogphprecord_id=10490gt
150
Eu por exemplo o consumo de proteiacutenas em homens e mulheres ele eacute assim
assustador menos A mulher precisa consumir bem menos proteiacutenas do que o
homem
Robson seacuterio Incriacutevel heim Bem interessante
Eu laacute na paacutegina 893 ele divide soacute pro homem Esse ldquomrdquo aiacute eacute minuto () aiacute depois
ele coloca o das mulheres Olha como eacute diferente Robson
Robson humhum Aiacute eu fico pensando como eacute que ele tirou esses valores Neacute
Tem duas possibilidades ou ele tira da pessoa ali fazendo o tal exerciacutecio eacute
coletando assim as perdas de calor aquela coisa de taacute numa cacircmara fechada e tal
mas eu acho que de repente pegou um enfoque teoacuterico que eacute a queimadas calorias
por meio das reaccedilotildees que gerariam o ciclo de KREBS que eacute a queima de toda
energia eu noacutes temos nas ceacutelulas [] No nosso corpo tem dois processos baacutesicos o
catabolismo e o anabolismo Os processos metaboacutelicos levam a duas coisas no
catabolismo o alimento que vocecirc come ele tende a construir outras coisas por
exemplo massa muscular eacute construir tecidos e depois tem o anabolismo que vocecirc
tem processos que tendem a gerar energia e gerar subprodutos
Eu Angel Robson esse mph seria o ritmo a velocidade [apontando para o livro
em arquivo aberto na tela do meu computador portaacutetil] Olha que chique Robson
ele coloca para vaacuterias atividades voleibol andando 2 mph taacute vendo ele tem a
velocidade esse mph ndash aeroacutebica tecircnis ciclismo moderado
Em busca de mais informaccedilotildees sobre a problemaacutetica nos dirigimos agrave paacutegina 900
do mesmo livro na qual encontramos algumas tabelas explicativas Observando as tabelas
comecei a socializar com os parceiros uma seacuterie de ideias sobre a questatildeo perseguida por noacutes
como segue
O que eu pensei de iniacutecio era a gente criar uma equaccedilatildeo que vocecirc daacute de entrada a
atividade que vocecirc estaacute fazendo tipo assim como se vocecirc pudesse fazer uma
medida de tudo o que vocecirc faz ao longo de uma semana [] pra conseguir fazer um
cronograma do que fazer em termos de atividade fiacutesica e do que comer em termos
de alimentaccedilatildeo pra te dar um resultado que vocecirc jaacute queira Soacute que isso a gente taacute
vendo depende de vocecirc ser homem depende de vocecirc ser mulher depende de seu
peso taacute vendo tem vaacuterios [] porque assim quando a gente vai num
nutricionista eles te datildeo uma foacutermula como se todo mundo fosse igual entendeu
E aiacute pelo o que eu tocirc vendo aqui principalmente com esse livro [] eacute que cada
pessoa depende do peso da idade depende do seu gecircnero e depende da sua altura
neacute essas variaacuteveis satildeo as miacutenimas pra vocecirc ter uma foacutermula []
Apoacutes o compartilhamento dessas ideias Angel se mostrou bem animado e
acrescentou ldquomas a gente pode fazer um software pra fazer isso uai [] primeira coisa que a
gente tem que fazer eacute levantar todas as equaccedilotildees que me datildeo essa resposta e depois a partir
dessas equaccedilotildees chegar em talvezrdquo
Em seguida seguimos discutindo e interagindo como segue
Eu Na verdade vai dar um sistema Vai dar um sistema de interdependecircncia aqui
[aponto para trecircs lugares distintos na mesa como se representassem trecircs lsquocaixinhasrsquo]
[] as variaacuteveis peso altura gecircnero e idade na verdade elas natildeo vatildeo ser variaacuteveis
elas vatildeo ser uma constante ou seja ela eacute variaacutevel do ponto de vista de cada um
[cada pessoa] mas para a foacutermula ela vai ser uma constante [] aiacute a gente coloca
essa variaacuteveis soacute com coeficientes da equaccedilatildeo
151
Robson nossa vocecirc eacute show de bola heim
Angel tem alguma equaccedilatildeo aiacute [no livro] jaacute pronta
Eu natildeo nenhuma pronta
Robson mas essa abordagem vai facilitar a montagem da equaccedilatildeo
Eu inclusive perguntei agrave docente da UFOP e ela falou que eacute isso aqui que a gente
tem entendeu Eacute isso e natildeo tem nada aleacutem disso entendeu
Angel hoje isso daqui [o livro] entatildeo eacute o supra sumo do que tem sobre isso
Eu exatamente eacute o resumo de tudo o que se tem entendeu Que eacute o que eles
[nutricionistas] se apoiam mesmo eacute nesse livro Vamos tentar achar a questatildeo da
taxa de [] porque todos os trecircs satildeo energias neacute Tipo assim melhorando esse
modelo baacutesico seria o tanto de atividade fiacutesica ou seja o gasto caloacuterico porque
na verdade essas trecircs coisas satildeo energias tanto do alimento que eacute energia que
entra quanto do exerciacutecio que eacute uma energia que sai desse sistema e o basal
tambeacutem eacute uma energia que vai taacute sendo gasta Vamos tentar equacionar como se
fosse assim o gasto energeacutetico a taxa de energia natildeo importando se ela eacute uma
taxa positiva ou uma taxa negativa O quecirc que vocecircs acham
Robson razoaacutevel
Eu porque se a gente coloca assim as trecircs equaccedilotildees como taxas de energia neacute eacute
claro que elas vatildeo se alterar neacute uma vai ser sei laacute P a outra Q a outra R
Angel Taacute mais aiacute se vocecirc pensar na questatildeo de classe jaacute tem que pensar no que
vocecirc taacute querendo vincular edo pra depois encontrar o resto eacute essa que eacute a sua
ideia Aiacute cecirc teria que pensar qual seria a antiderivada dessa taxa relacionada a
essa parte de dieta porque laacute na parte de fiacutesica de Caacutelculo a gente sabe o quecirc que
estaacute relacionado com o quecirc agora nessa parte daqui eu jaacute natildeo sei [risos]
Eu entatildeo a gente vai ter que buscar nos dados que a gente jaacute tem mapeados nesse
livro por exemplo Talvez a gente pudesse comeccedilar com a terceira que eacute a parte da
atividade fiacutesica entendeu [] eu natildeo sei se vai dar pra ser uma edo bonitinha ou
se na verdade isso daiacute eacute um trem nebuloso entendeu Porque cada um vai se
subdividindo entre outros e outras
Com essas informaccedilotildees em matildeos decidimos por aceitar e acatar o que nos foi
informado pela docente do Departamento de Nutriccedilatildeo da UFOP Segui criticando a
ldquopadronizaccedilatildeordquo das consultas de nutricionistas e educadores fiacutesicos ldquovocecirc vai consulta faz
tudo o que o profissional te falou e natildeo vecirc resultados Qual o problemardquo
Encerramos o quinto encontro deliberando que deveriacuteamos ler com mais
profundidade o livro indicado pela docente da nutriccedilatildeo
Depois disso na manhatilde do dia 17122012 veacutespera do sexto encontro do
GEPMM na sala dos professores da instituiccedilatildeo em que leciono ao folhear uma revista
chamada Caacutelculo (ano 2 nuacutemero 20 setembro de 2012 editora segmento) li a seguinte frase
na parte inferior da capa ldquoEXTRA EMAGRECER DEMORA TREcircS ANOSrdquo Na mateacuteria
da revista obtive a seguinte informaccedilatildeo
Carson e Kevin dois cientistas americanos descobriram que o corpo reage aos
novos haacutebitos alimentares de modo exponencial (mais ou menos do tipo 119890minus119909)
Quanto maior o peso de Ivan [uma personagem da mateacuteria] mais depressa ele perde
peso ao comeccedilar uma nova dieta a perda de peso desacelera bastante ndash quanto mais
peso Ivan perde mais devagar ele perde peso (o mesmo vale para ganhar peso uma
pessoa gorda se ingerir 10 calorias desnecessaacuterias engordaraacute mais que uma pessoa
magra) O modelo matemaacutetico dos dois cientistas usa um grande nuacutemero de
variaacuteveis para ver como o corpo deve comportar incluindo altura sexo peso grau
152
de atividade fiacutesica ingestatildeo de calorias perfil dos alimentos ingeridos tempo entre
as refeiccedilotildees O problema eacute que tal modelo serve bem para cientistas e
nutricionistas mas natildeo serve para pessoas comuns [] Os dois pesquisadores
colocaram um simulador no portal do NIH que pode ser usado tanto por
nutricionistas quanto por pacientes (httpbwsimulatorniddknihgov) [] Ele
mostra graacuteficos tambeacutem (p 29 grifo meu)
Ao chegar em casa imediatamente acessei o site
httpbwsimulatorniddknihgov para tentar entender o que os pesquisadores fizeram desde
o iniacutecio percebi que o que eles fizeram convergia bem com as nossas ideias
Imediatamente apoacutes acessar o site compartilhei essas informaccedilotildees com os demais
parceiros do grupo incluindo a docente135
do Departamento de Nutriccedilatildeo da UFOP
41516 Sexto encontro
O sexto encontro do GEPMM ocorreu em 18122012 (terccedila-feira) e contou com a
participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice e com a minha participaccedilatildeo desempenhando duplo
papel ndash participante do grupo e pesquisadora
Comecei o encontro contando para os parceiros como tive acesso a essa nova
fonte de informaccedilotildees conforme jaacute relatado acima Pegamos meu computador portaacutetil e
acessamos o site httpbwsimulatorniddknihgov em busca de reconhecer as potencialidades
deste (incriacutevel) novo instrumento Nisso comeccedilamos a seguinte interaccedilatildeo
Eu Ela [a docente da UFOP] me explicou o seguinte a pessoa quando faz o
exerciacutecio fiacutesico [] o exerciacutecio fiacutesico altera o metabolismo basal que eacute aquele de
repouso ele vai acelerar o metabolismo basal e aiacute agraves vezes vamos supor que a
pessoa comeccedila a fazer uma dieta ela comia 2500 calorias por dia passa pra 2000
ou seja o organismo dela tava acostumado com 500 calorias a mais Na teoria
assim que natildeo eacute a teoria de verdade a gente ia achar que essa pessoa vai
emagrecer
Clarice Mas eu juro que vai emagrecer Natildeo me desmente [risos]
Eu Natildeo vai emagrecer necessariamente Por quecirc Porque seu organismo ele vai
lutar pra manter a gordura porque isso eacute uma questatildeo de sobrevivecircncia do
organismo Entatildeo o organismo vai fazer o quecirc Ele vai comeccedilar a economizar o
seu gasto [] enquanto mais muacutesculos a pessoa tem mais eacute o gasto [] e tem mais
vamos supor vocecirc passou de 2500 para 2000 natildeo emagreceu e desistiu da dieta aiacute
135
A referida docente natildeo faz parte dos sujeitos que constituem os dados construiacutedos para a presente pesquisa
apesar de ter participado na resoluccedilatildeo da modelagem do peso corporal ideal Decidi natildeo consideraacute-la como
sujeito por natildeo ser uma participante do contexto formativo analisado ndash formaccedilatildeo em Engenharias Na atividade
de Modelagem analisada nesta parte da tese a docente pode ser considerada como uma fonte externa de
informaccedilotildees
153
vocecirc volta a comer 2500 aiacute vocecirc vira uma baleia Porque ele [o organismo]
acostumou a viver com 2000
Angel Efeito ldquoreboterdquo
Eu Pra engordar eacute exponencial [] Como de fato o exerciacutecio impacta no
metabolismo com o passar do tempo Ela [a docente da UFOP] natildeo soube me dar
essa resposta []
Clarice Eacute mais ou menos assim olha vocecirc fez regime emagreceu passe o resto da
vida fazendo exerciacutecio e regime
Eu Exatamente isso
Com essa afirmaccedilatildeo compreendemos melhor a problemaacutetica estudada por noacutes
Em seguida pontuo que no httpbwsimulatorniddknihgov os pesquisadores
oferecem um campo de resultados para a questatildeo da ldquodieta de manutenccedilatildeordquo jaacute levando em
conta esse entendimento de que satildeo necessaacuterias adaptaccedilotildees permanentes na dieta para manter-
-se com o peso desejado o que muitas vezes pode ser conhecido como ldquoreeducaccedilatildeo
alimentarrdquo
Encerramos o encontro deliberando que precisaacutevamos estudar as equaccedilotildees que
estavam por traacutes ou ldquodentrordquo do software que compilava os resultados no site
httpbwsimulatorniddknihgov Tais equaccedilotildees podem ser encontradas no mesmo site ou
pelo link httpbwsimulatorniddknihgovHall_Lancet_Webappendixpdf
41517 Seacutetimo encontro
O seacutetimo encontro do GEPMM ocorreu em 07022013 (quinta-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice e com a minha participaccedilatildeo
desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e pesquisadora
A docente Clarice comeccedilou a reuniatildeo tecendo o seguinte comentaacuterio ldquoO que eu
acho interessante eacute que quando vocecirc propocircs o tema eu natildeo me animei tanto nem o Angel
quanto os alunosrdquo A docente reclamou da natildeo participaccedilatildeo dos alunos que inicialmente
mostraram-se interessados e depois foram deixando de participar totalmente do grupo
Nesse seacutetimo encontro tentamos discutir136
detalhadamente conceitos e modelos
presentes no artigo que diz respeito agrave Modelagem Matemaacutetica Dinacircmica do peso corporal137
Contudo natildeo conseguimos entendecirc-lo em sua totalidade e entatildeo combinamos de sozinhos
136
Tal discussatildeo seraacute mais bem relatada e analisada mais adiante neste mesmo capiacutetulo 137
O texto pode ser encontrado em httpbwsimulatorniddknihgovHall_Lancet_Webappendixpdf
154
em casa estudarmos o artigo e depois num proacuteximo encontro socializarmos nossos
entendimentos com os demais sujeitos do grupo
41518 Oitavo encontro
O oitavo encontro do GEPMM ocorreu em 16042013138
(terccedila-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice e com a minha participaccedilatildeo
desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e pesquisadora
Anteriormente ao oitavo encontro a docente Clarice havia manifestado desejo em
desenvolver atividades de Modelagem Matemaacutetica nas turmas da disciplina Caacutelculo II que ela
lecionava naquele semestre letivo Contudo percebi que ela se sentia ainda insegura quanto
ao desenvolvimento de tal atividade devido ao fato de as turmas serem compostas por 75
alunos ela temia que os alunos pudessem ter dificuldades de realizaccedilatildeo da atividade visto
que apenas um professor natildeo daria conta de auxiliar 75 alunos de uma soacute vez Sabendo desse
desejo de Clarice comecei a reuniatildeo com o objetivo de idealizarmos as accedilotildees necessaacuterias para
tal efetivaccedilatildeo na realidade da sala de aula das turmas de Caacutelculo II sob a responsabilidade de
Clarice e Angel Segue o trecho extraiacutedo da transcriccedilatildeo das gravaccedilotildees em aacuteudio e viacutedeo do
oitavo encontro
Eu Bom antes de a gente comeccedilar a discutir o artigo em si [que havia sido
estudado no encontro anterior e seria retomado neste] eu queria falar das coisas
extras extra artigo no momento Primeiro eacute a proposta da Clarice sobre a gente
fazer a modelagem no dia 30 na sala [de aula]
Clarice Natildeo No dia 30 fazer na sala natildeo no dia 30 preparar ela pra fazer
Eu Preparar eacute a partir do dia 30 pra depois do dia 30 laacute pelo final de maio
Angel Seria a Modelagem em Caacutelculo II
Clarice Eacute Na minha sala e na sua como um trabalho e a Rutyele vai nos ajudar
Nesse momento podemos perceber um ldquogeacutermemrdquo de atividade sendo elaborado
um novo objeto sendo traccedilado e esboccedilado ainda num plano da consciecircncia coletiva dos
sujeitos partiacutecipes Podemos analisar que os docentes estavam em busca de transformaccedilotildees
efetivas de suas atividades de ensino dentro da sala de aula As discussotildees do grupo as
leituras as interaccedilotildees mediadas por finalidades podem ter suscitado a necessidade de negar
138
O mecircs de marccedilo foi de feacuterias para os docentes e discentes da UNIFEI devido agrave greve histoacuterica da categoria
docente das universidades federais brasileiras ocorrida no ano de 2012 Dessa forma somente no dia 16 de abril
conseguimos nos reunir novamente
155
de alguma forma as praacuteticas presentes dentro da sala de aula e propor uma nova forma de
atividade um contexto alternativo que idealmente modificaria o objeto das aulas tradicionais
das disciplinas de Caacutelculo naquele periacuteodo (especificamente da disciplina Caacutelculo II) A
negaccedilatildeo se deve ao fato de que ldquose o homem aceitasse sempre o mundo como ele eacute e se por
outro lado aceitasse sempre a si mesmo em seu estado atual natildeo sentiria a necessidade de
transformar o mundo nem de transformar-serdquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 192)
Um novo e expandido objeto estava por ser configurado Tiacutenhamos um contexto
real a ser considerado a realidade da disciplina de Caacutelculo II a ementa da disciplina a cultura
jaacute definida pela praacutetica tradicional de ensino de Caacutelculo II o tempo delimitado para a
realizaccedilatildeo das atividades entre outros fatores Enfim o objeto do scholl-going estaria
convivendo com esse novo objeto que naquele momento estava sendo moldado
coletivamente Mas com qual finalidade estaacutevamos moldando este novo objeto Por um lado
devemos considerar o fato de que ldquoa relaccedilatildeo entre pensamento e accedilatildeo requer a mediaccedilatildeo das
finalidades que o homem se propotildeerdquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 192) Por outro lado
para que as finalidades natildeo fiquem limitadas a meros desejos ou fantasias se torna necessaacuteria
antes de qualquer coisa a realizaccedilatildeo de idealizaccedilotildees de forma a conhecer a priori o objeto
que orientaria as ldquoaccedilotildeesrdquo da atividade antes mesmo de ele se tornar real ou seja isso requer
ldquoum conhecimento de seu objeto dos meios e instrumentos para transformaacute-lo e das
condiccedilotildees que abrem ou fecham as possibilidades dessa realizaccedilatildeordquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ
1977 p 192) Nesse sentido continuamos com as idealizaccedilotildees do novo objeto
Angel Sim Taacute mais aiacute essa modelagem eacute com base no conteuacutedo de Caacutelculo II e
Seacuteries
Clarice Natildeo O tempo todo
Angel Modelagem geneacuterica qualquer coisa
Eu Eacute Qualquer coisa
Clarice Eacute porque agraves vezes a gente acha mais interessante algum que envolva
campos ou equaccedilotildees diferenciais
Angel Taacute mais aiacute essa proposta vai ser pra eles fazerem durante o resto do
semestre
Clarice Natildeo a gente vai fazer em uma das aulas
Eu Em duas aulas no maacuteximo Fazer algo simples Levar um probleminha bem
simples do mundo real e que eles faccedilam Aiacute se vocecircs quiserem depois que isso ah
natildeo a gente quer gastar uma semana ou um mecircs aiacute a gente pode pensar em algo
com esta duraccedilatildeo entendeu
Clarice Natildeo daacute pra gastar um mecircs natildeo Toma muita aula Eu acho [risos]
Eu Eacute Tem esse problema
Observemos que naquele momento um dilema potencialmente incorporado veio
agrave tona como propor atividades de Modelagem Matemaacutetica em salas de aula da disciplina de
Caacutelculo II em cursos de Engenharia e ao mesmo tempo cumprir a ementa da disciplina
156
Adicione ainda o fato de ser a primeira vez que os professores participariam de atividades de
modelagem em sala de aula Nesse dilema os professores continuam realizando idealizaccedilotildees
em busca de um novo objeto que estaria relacionado ao objetivo de ensinar os conteuacutedos de
Caacutelculo II de forma que tais conteuacutedos sejam tomados como instrumentos de uma atividade
em vez de objeto
Dessa forma havia um desejo de transformar e modificar o ldquoolharrdquo sobre os
conteuacutedos de caacutelculo tornando-os caacutelculo em accedilatildeo como instrumentos mediadores de accedilotildees
realizadas pelos sujeitos (discentes de cursos de Engenharia) orientados pelo objeto (questatildeo-
problema natildeo matemaacutetica) em vez de sempre estarem sendo tomados como objeto de uma
atividade (school-going) historicamente e tradicionalmente constituiacuteda Na tentativa de
minimizar a tensatildeo entre cumprir a ementa e propor atividades de Modelagem em sala de
aula continuamos dialogando e tentando idealizar um objeto considerando os meios os
instrumentos e as condiccedilotildees para sua realizaccedilatildeo
Eu Ela [a Clarice] pode separar os alunos por curso Fazer os grupos por curso
Tipo assim oh vocecirc eacute aluno da Mecacircnica Vocecirc soacute pode ficar em grupo de gente da
Mecacircnica entendeu Ela pode fazer isso Porque aiacute natildeo precisa ser o mesmo tema
pra todo mundo Inclusive eles mesmos podem trazer os modelos de soluccedilatildeo e
socializar ldquopro restordquo da turma Entatildeo mesmo que o cara laacute da Mobilidade natildeo
tenha nada a ver digamos num primeiro momento com a Mecacircnica mas agraves vezes o
problema que os meninos da Mecacircnica vatildeo resolver vai tambeacutem ter neacute produzir
um significado bacana pros outros
Angel [Balanccedila a cabeccedila assertivamente]
Clarice [Balanccedila a cabeccedila assertivamente]
Angel Eacute aquela parte laacute de vaacuterias variaacuteveis que envolvem volumes e tudo mais daacute
pra pensar umas situaccedilotildees reais assim bem bacanas ligadas agrave produccedilatildeo ou alguma
coisa do gecircnero Ou problemas ateacute aiacute jaacute puxando a sardinha neacute pro meu lado de
Otimizaccedilatildeo neacute que utiliza multiplicadores de Lagrange e tudo mais que eacute uma
parte tambeacutem que eles vatildeo ter que ver
Clarice Eacute
Eu Eu acho que problemas de otimizaccedilatildeo daria pra fazer em todas as aacutereas
Clarice [Balanccedila a cabeccedila assertivamente] Humhum
Eu Igual da Produccedilatildeo da [] de todas as aacutereas ali daacute E usaria a mesma
matemaacutetica neacute assim a mesma ferramenta pra ser resolvido [o problema]
Angel Sim daacute
Eu Vamos pensar Dia 30 a gente senta e discute o quecirc que seria mais viaacutevel de
fazer
Angel Humhum Beleza
Clarice [Balanccedila a cabeccedila assertivamente]
No referido momento estaacutevamos colocando em relevo as condiccedilotildees para a
realizaccedilatildeo da atividade baseados no cumprimento de alguns conteuacutedos da ementa da
157
disciplina dentre eles os Multiplicadores de Lagrange139
que por sua vez abarcam outros
conteuacutedos a serem estudados pelos alunos na referida disciplina dentre os quais podemos
enfatizar o conceito de derivada parcial Sendo assim poderiacuteamos escolher questotildees-
-problema que abarcassem tais conteuacutedos constituindo condiccedilotildees iniciais de um processo que
elencaria outros conteuacutedos abarcados na ementa da disciplina de forma a consideraacute-los
instrumentos necessaacuterios para a resoluccedilatildeoentendimento de tal questatildeo-problema Nesse
sentido os conteuacutedos de Caacutelculo II poderiam ser desenvolvidos sob a orientaccedilatildeo de uma
finalidade um objeto definido como sendoestando mais proacuteximo do objeto a ser considerado
no que tange ao objetivo de formaccedilatildeo em Engenharia
Nisso o que pode ser colocado em relevo eacute a proacutepria finalidade da constituiccedilatildeo do
GEPMM na UNIFEI-Itabira Estando baseado no contexto da aprendizagem expansiva que
se aproxima das finalidades preconizadas pela abordagem do PBL conforme exposto no
Capiacutetulo 3 deste texto o contexto que define e ao mesmo tempo eacute definido pelo grupo como
um espaccedilo formativo enfatiza a necessidade de se elaborar novas formas de praacuteticas
formativas que aconteccedilam uma atividade objetiva real isto eacute uma nova forma de praacutexis
formativa Vale ressaltar que o objetivo da presente pesquisa sempre esteve vinculado a tal
finalidade com o intuito de estudaranalisar o que acontece em termos de aprendizagens
expansivas nesse contexto formativo
Depois de termos dedicado esforccedilos na idealizaccedilatildeo de um novo objeto a ser
levado para as praacutexis formativas que ocorrem no decorrer da disciplina Caacutelculo II
comeccedilamos a interaccedilatildeo uns com os outros por meio de linguagem falada e gestos e com o
texto140
(artigo) estudado na reuniatildeo anterior mediado pela linguagem escrita que inclui a
linguagem escrita matemaacutetica impressa no texto no que tange aos modelos matemaacuteticos
suportados por tal miacutedia O seguinte trecho extraiacutedo das transcriccedilotildees da filmagem em aacuteudio e
viacutedeo do oitavo encontro nos mostra outras accedilotildees que se fizeram necessaacuterias para darmos
continuidade agrave atividade presente cujo objeto consistia no que denominados por peso corporal
ideal A saber
Eu [Com o texto do webappendix em matildeos] Entatildeo olha soacute eu dei uma procurada
eacute pra tentar entender essas equaccedilotildees entatildeo eu cheguei na seguinte conclusatildeo esse
glicogecircnio ele eacute um hormocircnio que ele eacute ativado pela insulina do sangue Entatildeo ele
tem relaccedilatildeo direta com a insulina Aiacute eu fui olhar na () dei uma procurada na
internet e achei umas coisas por exemplo eacute a insulina tem um hormocircnio ligado a
139
Teoria desenvolvida pelo matemaacutetico Lagrange cuja utilidade se encontra na resoluccedilatildeo de problemas de
otimizaccedilatildeo que sob certas condiccedilotildees admitem maacuteximos e miacutenimos locais de funccedilotildees de n variaacuteveis
condicionados a uma restriccedilatildeo Para mais detalhes confira Gonccedilalves e Flemming (2007) 140
O texto pode ser encontrado em httpbwsimulatorniddknihgovHall_Lancet_Webappendixpdf
158
ela que satildeo responsaacuteveis por armazenar gordura no organismo e tem esse
glucagon ou glucacon e um outro hormocircnio que chama hsl que ele eacute responsaacutevel
por fazer o papel contraacuterio que eacute queimar a gordura E aiacute eacute () entatildeo esse
glicogen [continuo apontando a lapiseira para o texto impresso] que tem aqui esse
glicogecircnio ele eacute algo que eacute ativado pela insulina do sangue Quando vocecirc ingere
carboidrato que eacute a massa neacute essas coisas que eacute accediluacutecares a insulina ela tem que
ser ativada pra poder combater isso digerir isso no seu organismo E aiacute
dependendo do tanto de carboidrato que vocecirc come sempre esse G ele eacute ativado
pelo carboidrato ingerido entendeu Entatildeo na verdade essa parte aqui oh esse
[indico com a lapiseira no texto] na verdade ela eacute sempre uma coisa () esse
1198701198921198662 na verdade ele fica sempre maior do que o carboidrato que vocecirc ingere
porque esse G ele eacute ativado pelo CI no organismo Entendeu
Clarice [Olha pra mim com ar de interrogaccedilatildeo Em seguida balanccedila a cabeccedila
assertivamente] Humhum
Angel Humhum
Eu Entatildeo essa parcela 1198701198661198662 taacute vendo que o 119870119866 eacute o 119862119868119887 sobre 119866119894119899119894119905
2 Eacute como se
vocecirc tivesse pegando aqui um zero neacute [no sentido de condiccedilatildeo inicial] Esse 119870119866
Angel Humhum [balanccedila a cabeccedila assertivamente]
Eu Esse 119870119866 eacute pra exatamente manter essa parcela aqui sempre uma parcela o
1198701198661198662maior do que o 119862119868
Angel Taacute mais aiacute vai dar negativo uai Se 1198701198661198662 eacute maior que 119862119868 entatildeo essa
diferenccedila vai dar um sinal negativo
Eu Eacute [balanccedilo a cabeccedila assertivamente] pra dar um resultado negativo Porque aiacute
quando vocecirc joga isso daqui oh [aponto pras equaccedilotildees da paacutegina 2] menos o que era
negativo fica mais [no sentido de ser positivo] Entendeu
Angel Hum Hum Humhum
Eu Entatildeo menos o que seria um decrescimento digamos assim aiacute vai ficar mais
aqui oh Vocecirc lembra que eacute o que a gente tava discutindo na uacuteltima reuniatildeo que era
essa questatildeo aqui de tentar entender [direciono a pergunta para Angel]
Angel Eacute porque os dois termos satildeo iguais o que diferencia eacute o 1 minus 119901 e 119901 Eu Isso Humhum
Angel Aiacute um tava relacionado ao corpo gordo neacute e o outro ao corpo ldquoleanrdquo que eacute
o corpo fino neacute vamos dizer assim neacute magro
Eu Humhum Massa magra e massa gorda
Angel Isso exatamente Que a gente natildeo tinha entendido porque que daria um
resultado () ambos dariam pelo jeito positivo
Observemos que neste momento uma accedilatildeo adicional pocircde ser percebida a busca
de informaccedilotildees na internet As possibilidades de buscas de informaccedilotildees foram potencialmente
ampliadas nos uacuteltimos anos com o crescente acesso e uso de instrumentos de busca na
internet Podemos considerar inclusive que a maioria de nossas atuais atividades cotidianas
pode ser mediada pela internet O uso da internet configurou-se como um importante
instrumento podendo ser considerado como facilitador no que tange ao acesso agraves informaccedilotildees
relacionadas ao objeto de nossa atividade Anaacutelises mais pontuais sobre tais possibilidades
interativas seratildeo mais bem evidenciadas mais adiante ainda neste capiacutetulo
Seguimos ateacute o fim do oitavo encontro interagindo com o artigo em questatildeo
dedicando esforccedilos para o pleno entendimento dos modelos ali impressos Contudo
terminamos a reuniatildeo ainda com uma interrogaccedilatildeo relacionada agrave deacutecima equaccedilatildeo impressa no
referido artigo ldquode onde ele [o autor] tirou esse modelordquo pergunto eu Clarice pontua que o
159
autor citou a referecircncia [20] para chegar ao modelo (10)141
Seguimos debatendo sobre nossa
duacutevida e chegamos agrave conclusatildeo de que o autor isolou a variaacutevel peso (119861119882) na equaccedilatildeo (9) e
derivou em relaccedilatildeo ao tempo chegando assim na equaccedilatildeo (10)142
Combinamos de tentar
fazer isso com calma em casa e vermos se essa seria a resposta para o questionamento exposto
anteriormente Encerramos a reuniatildeo com a seguinte reflexatildeo
Clarice Eacute mais ainda fica aquela coisa neacute achamos que eacute isso [gesticula com os
dedos no sentido de entre aspas]
Eu Eacute mais quem que confirma que eacute neacute A gente tinha que ter algueacutem assim mais
da nutriccedilatildeo pra poder ()
Clarice Pra poder confirmar essas coisas neacute
Eu Porque assim o que os nuacutemeros dizem Os nuacutemeros dizem isso Mas eacute isso
mesmo Como obter algueacutem pra falar natildeo eacute isso mesmo
Clarice Isso Fica um pouco de interrogaccedilatildeo neacute
Eu Humhum Entatildeo aiacute agora Clarice eu acho que o proacuteximo passo eacute a gente eacute
entender esse restinho neacute e eu acho que agora taacute bem mais simples
Clarice Eacute eu acho que aqui a gente termina dia 30
Como estaacutevamos enganadas quanto agrave simplicidade do que estaria por vir A
certeza que tiacutenhamos naquele momento eacute de que ainda havia uma interrogaccedilatildeo quanto ao
entendimento daquela equaccedilatildeo de onde o autor tirou a equaccedilatildeo (10)
41519 Nono encontro
O nono encontro do GEPMM ocorreu em 30042013 (terccedila-feira) e contou com a
participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice e com a minha participaccedilatildeo desempenhando duplo
papel ndash participante do grupo e pesquisadora
Comeccedilamos a reuniatildeo discutindo sobre a necessidade de encontrarmos alunos
para nos ajudar na finalizaccedilatildeo da atividade de entendimentosoluccedilatildeo da problemaacutetica questatildeo
do peso corporal ideal Como poderiacuteamos recompensar o engajamento dos alunos no grupo
distribuiccedilatildeo de pontos na disciplina Caacutelculo II Oferecimento de bolsas de pesquisa As duas
alternativas pareceram problemaacuteticas num primeiro momento Primeiro quanto agrave
possibilidade de distribuiccedilatildeo de pontos podemos considerar o seguinte trecho extraiacutedo da
transcriccedilatildeo das filmagens da oitava reuniatildeo
141
httpbwsimulatorniddknihgovHall_Lancet_Webappendixpdf 142
A equaccedilatildeo (10) [120578119865+120588119865+120572120578119871+120572120588119871
(1minus120573)(1+120572)]119889119861119882
119889119905= Δ119864119868 minus
1
(1minus120573)[120574119865+120572120574119871
(1+120572)+ 120575] (119861119882 minus 1198611198820)
160
Eu [] Aiacute na hora que vocecirc oferece 10 pontos eles vecircm participar
Clarice Porque eu tenho alunos que natildeo tiram 10 em 100 [risos] Entatildeo 10 pontos
pra ele eacute um brinde [] E os alunos aqui tem uma preocupaccedilatildeo enorme com
coeficiente
Eu Mas vocecirc acha que ele [o aluno] viria e que ele faria o serviccedilo ou natildeo
Clarice Viria mas como eacute que eu tocirc te falando porque faria o serviccedilo [balanccedila a
cabeccedila negativamente] Natildeo natildeo faria Talvez nos primeiros dias ele tentaria mas eu
natildeo sei ateacute onde ele conseguiria A preocupaccedilatildeo eacute apenas ponto ponto e ponto
Naquele momento a opccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de pontos pareceu natildeo resolver o
problema da falta de interesse por parte dos alunos no que diz respeito agrave participaccedilatildeo no
grupo Parece ser consensual entre noacutes docentes que geralmente os alunos dedicam esforccedilos
sempre na direccedilatildeo da obtenccedilatildeo de pontos para serem aprovados nas disciplinas
especialmente nas disciplinas de Caacutelculo que satildeo responsaacuteveis por grande parte das
reprovaccedilotildees em cursos de Engenharia podendo ateacute mesmo ser consideradas como fator de
desistecircncia e evasatildeo desses cursos Caso os docentes decidissem pela distribuiccedilatildeo de pontos
nas respectivas disciplinas de Caacutelculo que lecionavam para que os alunos participassem do
GEPMM a Teoria da Atividade nos ajuda a perceber que os alunos poderiam estar orientados
para a pontuaccedilatildeo a ser obtida e natildeo para o objeto idealizado do GEPMM - resoluccedilatildeo das
questotildees-problema natildeo matemaacuteticas e a proacutepria formaccedilatildeo
Em segundo lugar o oferecimento de bolsas aos alunos que aceitassem o convite
de participaccedilatildeo no grupo estaria condicionado ao registro do GEPMM no diretoacuterio de grupos
de estudos e pesquisas do CNPq sendo que somente docentes que possuem o tiacutetulo de
doutorado podem registrar grupos de pesquisa em tal diretoacuterio O uacutenico docente que estaria
portanto em condiccedilotildees de registrar o GEPMM seria o Robson que possui o tiacutetulo de doutor
Contudo Robson havia ateacute entatildeo participado apenas do terceiro e do quinto encontro do
GEPMM sempre se mostrava ocupado demais ou em viagens de trabalho Mesmo assim
estando restritos a tal condiccedilatildeo insistimos com Robson para que ele registrasse o grupo no
diretoacuterio do CNPq
Dando prosseguimento ao relato do nono encontro Angel nos contou que havia
mudado a dinacircmica da disciplina de Caacutelculo II e que em certos momentos trabalharia com
problemas reais que tivessem relaccedilatildeo aos conteuacutedos da referida disciplina Isso pode
demonstrar que realmente Angel estaacute motivado a realizar mudanccedilas quanto agraves praacutexis
formativas que ele tem participado como docente da disciplina de Caacutelculo II em cursos de
Engenharia Angel pontuou tambeacutem mudanccedilas no que se refere ao trabalho em equipe dentro
de sala de aula e acabou gerando a seguinte discussatildeo
161
Angel [] eu mudei essa questatildeo de disciplina e agora tudo tem que ser feito em
equipe Entatildeo eles [os alunos] jaacute chegam jaacute forma laacute os grupinhos laacute que vai ficar
ateacute o final do semestre e tudo mais e assim eu vejo que existe essa interaccedilatildeo igual
eu passo nos grupos laacute tem um que fala mais e que sabe mais explicando pros
outros colegas discutindo o assunto entendeu Entatildeo assim nossa eu fico
satisfeitiacutessimo Entendeu vendo esse tipo de conduta
Clarice Natildeo ponho muita feacute natildeo Muito pouca feacute [risos] Noacute [balanccedila a cabeccedila
indicando negatividade]
Eu Mais eacute Clarice tem que mudar eacute isso O problema eacute que o ensino tradicional
ele taacute falido haacute muitos anos e a gente natildeo consegue perceber
Clarice Pois eacute mais eu tocirc dizendo assim eacute infelizmente igual no meu grupo [na
sala de aula de Caacutelculo II em que leciona] posso passar isso laacute alguns vatildeo me
enganar entendeu Eu tocirc chateada por isso mesmo porque tatildeo tentando me
enganar
Eu Natildeo mais eles [alguns alunos] vatildeo tentar burlar o sistema Sempre vai ter
Angel Claro
Clarice Isso Eles montam o grupo laacute agraves vezes sim o seu grupo tem sete [alunos] e
tem trecircs interessados os outros humhum humhum e sabe Natildeo sei Entatildeo assim
natildeo eacute ainda ()
Angel Taacute mais aiacute como que vocecirc mapeia e pune esses que estatildeo igual eu falei laacute
()
Clarice Natildeo pune Vocecirc natildeo consegue punir num trabalho()
Angel Na avaliaccedilatildeo uai
Observe que nessa discussatildeo dois fatores principais quanto ao trabalho em grupo
sendo realizado dentro da praacutexis formativa em salas de aula de Caacutelculo II podem ser
colocados em relevo Por um lado ao realizar atividades em grupo os alunos tecircm ampliadas
as possibilidades de interaccedilotildees o que sem duacutevida pode ampliar as possibilidades de
aprendizagens por outro lado os alunos que natildeo se engajarem na atividade de fato acabam
podendo mais facilmente tentar ldquoburlarrdquo o controle exercido pelo professor principalmente no
que tange agrave puniccedilatildeo que pode inclusive continuar a ser exercido pela avaliaccedilatildeo escrita
individual e na maioria das vezes sem consulta conforme preconizado por Angel que seguiu
nos contando
Angel Igual por exemplo igual porque eu adoto muito esse meacutetodo porque eacute da
onde que eu dei aula que eacute laacute no Pitaacutegoras que tem muito essa questatildeo de equipe e
tudo mais e depois avaliar o individual Entatildeo o quecirc que eacute Como que eu moldei
essa questatildeo aqui mais ou menos adaptado ao que tinha laacute vocecirc tem o quecirc as
atividades em equipe e tem as avaliaccedilotildees individuais Entatildeo laacute no Pitaacutegoras vocecirc
sempre trabalhava com 70 30 setenta a parte de prova e trinta das notas de
trabalho em equipe Porque todo mundo tem que aprender a lidar em equipe a
trabalhar em equipe neacute aquelas coisas todas Entatildeo no Caacutelculo II eu tocirc sempre
fazendo esse meio termo primeira etapa claacutessica e a segunda etapa essa parte de
atividade em equipe e avaliaccedilatildeo individual Entatildeo o quecirc que acontece Cada
unidade do livro vamos dizer assim eu seleciono laacute oito dez exerciacutecios pra seres
desenvolvidos em sala entatildeo eu tocirc vendo olhando os grupos como que taacute o niacutevel de
discussatildeo o quecirc que taacute acontecendo entendeu Todas as aulas jaacute foram
disponibilizadas os slides entatildeo eles jaacute tem todas as ferramentas na matildeo
Clarice Vocecirc pocircs no portal [referindo-se ao portal acadecircmico ndash uma plataforma
digital]
162
Angel No portal e tambeacutem num site laacute onde taacute os slides que a proacutepria editora [do
livro texto] fornece Eacute claro que tem que fazer umas correccedilotildees-zinhas neacute Mas a
editora jaacute facilita tremendamente Entatildeo o que acontece Cada aula entatildeo eles
natildeo sabem quais os exerciacutecios que eu vou pedir porque eu passo na aula entatildeo
eles jaacute tecircm que ir para aquele momento de atividade em equipe sabendo um pouco
do assunto Porque como que eles vatildeo discutir com os outros colegas laacute sem saber
nada
Uma anaacutelise que pode ser feita com base nesse excerto eacute de que o docente Angel
desejava que os alunos tivessem uma participaccedilatildeo mais ativa em seus proacuteprios processos
formativos Acreditava que o conhecimento preacutevio eacute importante para a construccedilatildeo do
conhecimento aleacutem de valorizar a ampliaccedilatildeo das possibilidades de interaccedilatildeo quando o
trabalho eacute realizado em grupos ndash uma coletividade de sujeitos Contudo parece que o objeto
dessa nova atividade ldquomoldadardquo por ele e compartilhada conosco por meio da linguagem
falada e dos gestos que estaria presente na praacutexis formativa das aulas de Caacutelculo II sob sua
responsabilidade pouco se diferencia qualitativamente do objeto do school-going de
Engestroumlm (2008) Nesse caso o objeto da atividade continua sendo os conteuacutedos de Caacutelculo
II conforme apresentaccedilatildeo do livro-texto soacute que agora suportados pela miacutedia slides lidos na
tela de um computador com o auxiacutelio de um software Ainda natildeo podemos deixar de enfatizar
que ao considerar uma atividade na qual os sujeitos tenham ativa participaccedilatildeo no processo
Angel atribui como objeto possivelmente compartilhado nas atividades de alunos e
professores os proacuteprios alunos ora sujeitos ora objeto possivelmente compartilhado O que
ele pretendia inclusive com as alteraccedilotildees na referida praacutexis formativa era potencializar o
compartilhamento de tal objeto ndash alunos mediante a valorizaccedilatildeo e o empreendimento da
participaccedilatildeo ativa em tal atividade
Depois de expor as transformaccedilotildees que Angel teria efetuado em sua atividade
docente Clarice comeccedilou por justificar a impossibilidade de propor trabalhos em grupo com
os alunos naquele semestre letivo pelo simples fato de que ela estava lecionando num
auditoacuterio cujas cadeiras eram ldquofixas e terriacuteveisrdquo Declarou ainda que esperava que a situaccedilatildeo
da infraestrutura da instituiccedilatildeo melhorasse para que nos semestres seguintes ela pudesse
lecionar em salas de aula normais com cadeiras moacuteveis possibilitando assim alteraccedilotildees
quanto agrave questatildeo da valorizaccedilatildeo do trabalho em grupo versus o trabalho individual em
disciplinas de Caacutelculo II Pontuou tambeacutem a questatildeo da natildeo obrigaccedilatildeo do cumprimento de
preacute-requisitos na instituiccedilatildeo ou seja natildeo era necessaacuteria a aprovaccedilatildeo em Caacutelculo I para efetuar
a matriacutecula em Caacutelculo II por exemplo Clarice nos contou
163
Clarice Eu acho Rutyele que a partir do periacuteodo que vem vai ser melhor trabalhar
com Caacutelculo I Caacutelculo II inclusive nesse sentido Qual que eacute o problema nesse
periacuteodo eacute que pelo menos 60 dos meus alunos dos 150 natildeo passou em Caacutelculo I
natildeo Natildeo passou em Caacutelculo I entatildeo taacute sem saber o baacutesico do baacutesico mesmo
Angel A Clarice taacute num horizonte bom eu tocirc com 90 eu tocirc com as turmas do
professor X [um professor famoso na instituiccedilatildeo por ter altos iacutendices de reprovaccedilatildeo]
[risos]
Clarice Entatildeo assim esses alunos [] eles praticamente natildeo tem condiccedilotildees de
trabalhar sozinhos sem exposiccedilatildeo oral natildeo Na minha visatildeo natildeo Porque igual eu
poderia citar nomes assim igual fulano fulano e fulano que praticamente cecirc tem
que pegar na matildeo ele taacute sem preacute-requisito nenhum e quando vocecirc potildee ele pra ler
igual jaacute aconteceu igual o menino vem tirar duacutevida aqui comigo aiacute eu falo ah o
que eacute que taacute escrito Isso e isso mas soacute que taacute faltando uma coisa de antes Entatildeo
quando eu tocirc expondo eu tenho que ficar voltando lembra laacute em Caacutelculo I era
assim Aiacute aqui em Caacutelculo II eacute assim Agora tem preacute-requisito a partir do periacuteodo
que vem Aiacute eu por exemplo vou explicar derivada lembra laacute em Caacutelculo I
Derivada era assim era isso lembra Ah aqui eacute assim Olha como mudou
Clarice demonstrou com isso natildeo acreditar que alunos que tenham sido
reprovados em Caacutelculo I consigam dar conta de participarem efetivamente das atividades
propostas por Angel em sua nova proposta pedagoacutegica Imediatamente Angel posicionou-se
ldquoigual como que explica dois alunos laacute que tiraram praticamente quase 100 na minha prova
laacute de Caacutelculo II e foram reprovados em Caacutelculo I Se vocecirc ver a prova do menino que linda
a prova escrito tudo certinho os caminhos uma coisa assim ma-ra-vi-lho-sardquo Com essa
fala Angel buscou contrapor o receio que Clarice havia demonstrado anteriormente
explicitando que alunos que haviam sido reprovados em Caacutelculo I com outro professor (que
adota a forma tradicional de desenvolver as disciplinas de Caacutelculo acostumando-se inclusive
com iacutendices proacuteximos de 90 de reprovaccedilatildeo) poderiam dar conta sim de trabalhar de forma
mais ativa sem exposiccedilatildeo oral dos conteuacutedos pelo professor
Seguimos a reuniatildeo discutindo sobre a idealizaccedilatildeo da atividade que iriacuteamos
aplicar em sala de aula de Caacutelculo II cujos docentes eram Clarice e Angel conforme exposto
anteriormente Nisso Clarice comeccedilou a folhear o livro-texto143
da disciplina e disse ldquoeu
tinha pegado aqui do livro era um de maacuteximo e miacutenimo mesmo Soacute que eu ia falar com vocecirc
[referindo-se a noacutes ndash eu e Angel] uma coisa assim por exemplordquo e continuou folheando o
livro querendo encontrar algo especiacutefico Em seguida entregou-me o livro aberto em uma
paacutegina especiacutefica apontando para mim com o dedo indicador qual seria sua sugestatildeo Ela
sugeria o ldquoprojeto de uma caccedilambardquo (STEWART 2006 p 961) que consistiria em
determinar as dimensotildees de uma caccedilamba de entulho com tampa com o objetivo de minimizar
143
Livro de autoria de James Stewart intitulado por Caacutelculo volume 2 5 ediccedilatildeo Confira referecircncia completa em
STEWART (2006)
164
seu custo de produccedilatildeo Decidimos acatar a sugestatildeo de Clarice e combinamos o
desenvolvimento da atividade para o mecircs de julho de 2013
415110 Deacutecimo encontro
O deacutecimo encontro do GEPMM ocorreu em 14052013 (terccedila-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice e com a minha participaccedilatildeo
desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e pesquisadora
Comeccedilamos a reuniatildeo com Clarice nos contando que na aula de Caacutelculo II que
ela havia desenvolvido depois do encontro anterior do GEPMM (nono encontro) ficou claro
para ela que os alunos realmente natildeo estavam prestando atenccedilatildeo poucos se concentravam
segundo ela Com isso ela decidiu ldquomudar o meacutetodo de ensinordquo mesmo parecendo ainda natildeo
acreditar que ele funcionasse mas tambeacutem acreditava que pior do que a aula expositiva natildeo
poderia ser Pareceu-me que ela havia se apropriado das ideias compartilhadas por Angel no
decorrer do uacuteltimo encontro e resolveu consideraacute-las como uma possibilidade para o
desenvolvimento de suas aulas
Em seguida voltamos a planejar a atividade de modelagem que seria realizada no
decorrer das aulas de Caacutelculo II nas turmas sob a responsabilidade de Clarice e Angel
Descobrimos por meio de um aluno da professora Clarice que existia um manual em PDF144
disponibilizado na internet e amplamente difundido e utilizado pelos alunos da instituiccedilatildeo
que consistia em um conjunto de soluccedilotildees de todos os exerciacutecios propostos no livro-texto
incluindo uma resoluccedilatildeo para o ldquoprojeto de uma caccedilambardquo (STEWART 2006 p 961) Com
isso desistimos de levar tal projeto como havia sugerido a docente Clarice Propusemos-nos a
pensar em outra questatildeo-problema para que em um proacuteximo encontro pudeacutessemos debater e
decidir coletivamente qual seria nossa escolha
Ateacute aquele momento continuaacutevamos a insistir com Robson no que diz respeito ao
registro do grupo de pesquisa no diretoacuterio do CNPq Somente apoacutes tal registro eacute que
poderiacuteamos concorrer agraves chamadas puacuteblicas mediante a submissatildeo de projetos que
viabilizassem o oferecimento de bolsas para os alunos que estivessem dispostos a participar
144
Para mais informaccedilotildees acesse a paacutegina httpptwikipediaorgwikiPortable_document_format
165
ativamente do GEPMM aleacutem do suprimento de outras demandas que seriam impostas no
decorrer das atividades do grupo
Depois disso voltamos agrave problemaacutetica questatildeo do peso corporal ideal no sentido
de idealizarmos o presente objeto da atividade para estabelecer possibilidades de
transformaccedilatildeo Traccedilaacutevamos naquele momento uma primaacuteria idealizaccedilatildeo do objeto a ser
criado por noacutes no futuro sob a orientaccedilatildeo do objetivo de criar um modelo teoacuterico que seria
base para o desenvolvimento de um software utilizando instrumentos de Caacutelculo e da Teoria
Fuzzy para a referida questatildeo-problema partindo dos modelos matemaacuteticos impressos no
artigo145
estudado por noacutes e das informaccedilotildees contidas no livro sugerido pela docente da
UFOP Segue o traccedilado das idealizaccedilotildees baseado em trechos extraiacutedos das transcriccedilotildees das
filmagens em aacuteudio e viacutedeo do deacutecimo encontro do GEPMM
Eu [] eu acho que laacute [no livro indicado pela docente da UFOP] seria a fonte que
a gente pegaria pros dados E aiacute o quecirc que eu pensei em fazer Fazer eacute dividido em
trecircs coisas o metabolismo basal a taxa basal ela eacute influenciada pelo que vocecirc
come e pelas atividades que vocecirc taacute fazendo neacute que satildeo aquelas trecircs caixas - que eacute
o metabolismo basal que eacute a energia ingerida e a energia desprendida pra vocecirc
fazer as atividades fiacutesicas que vocecirc faz neacute Entatildeo o quecirc que vocecirc teria O basal ele
eacute afetado pelos outros entatildeo eacute um sistema onde a gente teria trecircs tipo equaccedilotildees
fuzzy uma primeira que taacute sendo afetada pelos outros e a gente taria vendo como
que isso afeta neacute E faria uma caixa que seria uma equaccedilatildeo pra o gasto caloacuterico
ou seja cecirc vai andar 10 minutos a peacute cecirc vai pegar um ocircnibus entatildeo isso aiacute seriam
dados que a proacutepria pessoa falaria [cederia como valores de entrada para o
programa-software a ser desenvolvido] Entatildeo teria que ter o campo aberto
entendeu
Angel Humhum
Eu Tipo assim aquele () uma sequecircncia de vaacuterias atividades [gesticulo com as
matildeos imitando uma lista] pra pessoa clicar em cima da que ela faz Entendeu Por
exemplo ah eu ando de bicicleta Taacute mais quanto tempo em minutos por semana
Aiacute a pessoa colocaria ah eu ando 180 minutos de bicicleta entendeu
Clarice Humhum [balanccedila a cabeccedila assertivamente]
Eu Entatildeo teria que ter uma caixinha pra pessoa colocar a atividade fiacutesica e uma
caixinha pra colocar o tempo daquela atividade fiacutesica No que a pessoa iria digitar
isso eacute o programa vai buscar no banco de dados dele que eacute baseado no livro e jaacute
vai somar fazer a soma de tudo e jaacute vai dar o resultado final Mais ou menos o que
aquele programinha do pessoal aiacute faz [aponto o dedo indicador para o texto que
estava (impresso em papel) sobre a mesa]
Com isso reafirmamos a necessidade de encontrarmos pessoas para participarem
de tal atividade mais parceiros Aleacutem disso ainda natildeo tiacutenhamos entendido plenamente
mediante as interaccedilotildees com o texto escrito (Hall-Lancet) e entre noacutes sujeitos integrantes do
GEPMM todas as equaccedilotildees que representavam o fenocircmeno da mudanccedila do peso corporal
com relaccedilatildeo agraves alteraccedilotildees na dieta e nos exerciacutecios fiacutesicos Percebemos que um texto escrito
sob a forma de um artigo cientiacutefico poderia natildeo dar conta de representar impressotildees 145
httpbwsimulatorniddknihgovHall_Lancet_Webappendixpdf
166
suficientemente necessaacuterias para o entendimento de uma pesquisa em movimento A equaccedilatildeo
(10)146
ainda natildeo estava clara para noacutes Natildeo sabiacuteamos como o autor havia chegado naquele
modelo matemaacutetico Sabiacuteamos que era uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria Poreacutem como ela
estaria representando o fenocircmeno Quais hipoacuteteses que estavam sendo consideradas Tais
questotildees seratildeo mais bem analisadas mais adiante no presente texto
4152 Dando continuidade agraves accedilotildees potencialmente expansivas
Dando por encerrado o relato do que aconteceu durante os dez primeiros
encontros do GEPMM retornarei ao miniciclo de accedilotildees de aprendizagem potencialmente
expansivas analisando a sexta e a seacutetima accedilatildeo sob o ponto de vista colocado em relevo
anteriormente que considera um ciclo menos longo (miniciclo) como sendo potencialmente
expansivo
416 Refletindo sobre o processo
Segundo Engestroumlm e Sannino (2010b) apoacutes iniciada a fase de implementaccedilatildeo do
modelo que nesta pesquisa aconteceu por meio da constituiccedilatildeo do GEPMM eacute necessaacuterio
refletir sobre todo o processo com o intuito de avaliaacute-lo e caso seja necessaacuterio modificaacute-lo
Sendo assim torna-se necessaacuteria a reflexatildeo sobre a implementaccedilatildeo do novo modelo de
atividade sob a forma de uma praacutexis inovadora em um contexto especiacutefico visando a
modificar eou adaptar o modelo agraves exigecircncias demandas e limitaccedilotildees que se revelavam nas
formas de praacutexis frequentemente utilizadas em tal contexto de formaccedilatildeo jaacute que
a produccedilatildeo do objeto ideal eacute inseparaacutevel da produccedilatildeo do objeto real material e
ambas nada mais satildeo do que o anverso e o reverso de uma mesma moeda ou os dois
lados de um mesmo processo A forma que o sujeito quer imprimir agrave mateacuteria existe
como forma geratriz na consciecircncia mas a forma que se plasma definitivamente na
mateacuteria natildeo eacute a mesma ndash nem a duplicaccedilatildeo ndash da que preacute-existia originariamente Eacute
certo que o resultado definitivo estava preacute-figurado idealmente mas o definitivo eacute
exatamente o resultado real e natildeo o ideal (projeto ou finalidade original) O modelo
anterior soacute pode se realizar no transcurso de um processo ao fim do qual natildeo se
146
[120578119865+120588119865+120572120578119871+120572120588119871
(1minus120573)(1+120572)]119889119861119882
119889119905= Δ119864119868 minus
1
(1minus120573)[120574119865+120572120574119871
(1+120572)+ 120575] (119861119882 minus 1198611198820)
167
alcanccedila tudo que se havia projetado (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUES 1977 p 249 grifos
meus)
Nesse sentido percebemos que alguns ajustes e modificaccedilotildees eram necessaacuterios
para que pudeacutessemos dar continuidade a nossa atividade O primeiro deles foi com relaccedilatildeo a
pouca ou quase nenhuma participaccedilatildeo dos estudantes147
Poucos aceitaram o convite ndash apenas
trecircs Desses um desistiu e os outros pouco comparecem agraves reuniotildees Por esse motivo
pensamos em oferecer ldquoalgo em trocardquo para que conseguiacutessemos mais aceites por parte dos
alunos Nas turmas da disciplina Caacutelculo II nas quais os docentes Clarice e Angel lecionam
pensamos em oferecer 10 pontos para os alunos que aceitassem o convite mas desistimos da
ideia devido a questotildees eacuteticas e metodoloacutegicas Estaacutevamos na expectativa de conseguirmos
no miacutenimo mais quatro alunos para participarem do grupo O segundo ajuste diz respeito a
uma possiacutevel modificaccedilatildeo na dinacircmica do modelo (a atividade de Modelagem) os docentes
Angel e Clarice demonstraram o desejo de levar atividades de Modelagem Matemaacutetica para
comporem as disciplinas de Caacutelculo II que lecionam com outros tipos de metodologias tais
como aulas expositivas por exemplo Para darmos conta de analisar essa possiacutevel adaptaccedilatildeo
do modelo talvez seja necessaacuterio a retomada do ponto de vista analiacuteticoreflexivo agrave fase
quatro do miniciclo de accedilotildees expansivas e examinarmos novamente o mesmo modelo ndash
atividade de Modelagem Matemaacutetica agora podendo assumir outro formato contextual e
dinacircmico em um cenaacuterio no qual aconteceram e continuaratildeo acontecendo outros tipos de
praacutexis formativas ndash a sala de aula da disciplina Caacutelculo II O terceiro ajuste se relaciona agrave
necessidade de encontrarmos um parceiro que tenha formaccedilatildeo na aacuterea de Computaccedilatildeo mais
especificamente que se interesse por programaccedilatildeo e por Teoria Fuzzy Percebemos no
decorrer do processo de implementaccedilatildeo que precisamos de um parceiro com tal formaccedilatildeo
pois atualmente para um pleno entendimento da ciecircncia ldquoem construccedilatildeordquo que perpassa as
atividades de Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia torna-se necessaacuterio
compreender em sua plenitude o que haacute por traacutes dos algoritmos dos softwares dos
programas executaacuteveis entre outros para a partir daiacute iniciarmos um processo de inovaccedilatildeo
Vale a pena ressaltar que a necessidade de encontrarmos um parceiro da aacuterea da
Computaccedilatildeo ocorreu mediante a idealizaccedilatildeo de um novo modelo para dar conta da
problemaacutetica do peso corporal ideal Ao mesmo tempo em que esta necessidade possa parecer
um fator que torne o desenvolvimento de atividades de Modelagem Matemaacutetica em cursos de
147
Mais adiante neste texto especificamente no Capiacutetulo 5 ndash ao descrever a modalidade analiacutetica 2 em 52 ndash
com base nas entrevistas finais concedidas a mim pelos referidos estudantes farei uma anaacutelise sobre a
participaccedilatildeo e o respectivo abandono do GEPMM
168
Engenharia mais difiacutecil podendo ateacute mesmo ajudar a reforccedilar a crenccedila de que fazer
modelagem eacute difiacutecil que os alunos e professores natildeo estatildeo preparados para o
desenvolvimento de tais atividades por outro lado pode ser um importante contexto que
possibilite inovaccedilatildeo e produccedilatildeo de conhecimentos mediante uma atividade de caraacuteter
verdadeiramente interdisciplinar que envolva estudos e pesquisa em sua gecircnese
417 Consolidando seus resultados em uma nova forma de praacutetica
Ateacute o final do ano de 2013148
o GEPMM dedicava esforccedilos na tentativa de
estabelecer essa fase do miniciclo de accedilotildees expansivas como um horizonte de accedilotildees futuras
Portanto o miniciclo ainda natildeo havia se fechado Engestroumlm (1999) enfatiza que ldquoa
ocorrecircncia de um ciclo expansivo completo natildeo eacute comum e ele tipicamente requer esforccedilos
concentrados e intervenccedilotildees deliberadasrdquo (p 385 apud ENGESTROumlM SANNINO 2010b p
12)
Com essa ressalva podemos analisar a construccedilatildeo do GEPMM como um
miniciclo potencialmente expansivo de accedilotildees cujo objetivo (ainda que idealmente) consistiu
na modificaccedilatildeo ou complementaccedilatildeo das praacutexis formativas relacionadas agraves disciplinas de
Caacutelculo na instituiccedilatildeo universitaacuteria tomada como palco da presente investigaccedilatildeo
Como um fechamento provisoacuterio dessa primeira parte da anaacutelise procedo com o
preenchimento da matriz para a anaacutelise da aprendizagem expansiva conforme preconizado
por Engestroumlm (2001) e exposta no Capiacutetulo 3 da presente tese levando em conta os dados
construiacutedos para esta pesquisa como segue
148
Durante o ano de 2014 o GEPMM natildeo se reuniu Os docentes dedicavam esforccedilos agraves respectivas pesquisas de
Doutorado
169
QUADRO 2 ndash ldquoMatrizrdquo para anaacutelise da aprendizagem expansiva
Fonte Elaborada pela autora
A seguir darei continuidade agrave anaacutelise baseando-me principalmente em alguns
momentos da construccedilatildeo dos dados desta pesquisa Trechos extraiacutedos das transcriccedilotildees das
entrevistas iniciais dos estudantes Joseacute e Pedro da entrevista final do aluno Joseacute e das
gravaccedilotildees do nono encontro do GEPMM aleacutem de trechos extraiacutedos das transcriccedilotildees das
gravaccedilotildees do segundo encontro do GEPMM quando dedicaacutevamos esforccedilos para a submissatildeo
do projeto agrave chamada do CNPq e trechos extraiacutedos das entrevistas finais com os alunos e
professores partiacutecipes do GEPMM e finalmente momentos que perpassaram a problemaacutetica
abordada pelo GEPMM com relaccedilatildeo ao tema denominado por mim como peso corporal ideal
Os momentos escolhidos para serem analisados mais pontualmente constituem importante
arcabouccedilo argumentativo para responder agrave pergunta de pesquisa
Vale a pena ressaltar que com base nos referidos momentos decidi elaborar
anaacutelises temaacuteticas e as denominei por modalidades ou seja modalidades analiacuteticas Para tal
quatro modalidades seratildeo explicitadas no texto que segue
170
5 MODALIDADES ANALIacuteTICAS
Neste capiacutetulo tenho por objetivo apresentar um arcabouccedilo argumentativo na
tentativa de responder ao questionamento impresso na pergunta diretriz149
que norteou a
investigaccedilatildeo relatada na presente tese Para tal construo quatro modalidades analiacuteticas
Na primeira modalidade baseio-me em trechos extraiacutedos das transcriccedilotildees das
entrevistas iniciais concedidas a mim pelos estudantes Joseacute e Pedro da entrevista final do
aluno Joseacute e das gravaccedilotildees do nono encontro do GEPMM Teccedilo uma anaacutelise a respeito da
existecircncia de uma ldquotelardquo invisiacutevel podendo ser considerada um instrumento que
supostamente permeou as aulas tradicionais de Caacutelculo em que os alunos Pedro e Joseacute
haviam participado no contexto da presente pesquisa
Na segunda modalidade baseio-me em trechos extraiacutedos das transcriccedilotildees das
gravaccedilotildees do segundo encontro do GEPMM quando dedicaacutevamos esforccedilos para a submissatildeo
do projeto agrave chamada do CNPq aleacutem de trechos extraiacutedos das entrevistas finais com os alunos
e professores partiacutecipes do GEPMM Teccedilo uma anaacutelise focada nas muacuteltiplas atividades
demandadas aos sujeitos da investigaccedilatildeo pelo contexto institucional em questatildeo e nas agencys
evidenciadas no decorrer da constituiccedilatildeo do GEPMM assim como das atividades nele
desenvolvidas
Na terceira modalidade baseio-me no momento da construccedilatildeo dos dados que
objetivou o desenvolvimento da modelagem cujo tema foi denominado por ldquopeso corporal
idealrdquo Utilizo a teoria das caixas-pretas como estrateacutegia de anaacutelise das transformaccedilotildees
qualitativas do objeto da referida atividade
Finalmente a quarta modalidade se ancora nas interaccedilotildees tecnomediadas
evidenciadas nopelo desenvolvimento da atividade de modelagem denominada por ldquopeso
corporal idealrdquo Foco as idealizaccedilotildees possibilitadas pela multivocalidade e agency atuando
como desencadeadoras de aprendizagens potencialmente expansivas principalmente no que
diz respeito aos processos produtivos e inovadores na referida atividade
149
Pergunta diretriz Quais aprendizagens expansivas podem ser evidenciadas pelas e nas atividades
desenvolvidas por um Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica em um contexto de formaccedilatildeo
em Engenharias
171
51 Primeira modalidade ndash Dialeacutetica da existecircncia da tela invisiacutevel GEPMM como
possibilidade para aprendizagem expansiva por meio da construccedilatildeo de parceria
docente-discente em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias
Na sociedade em rede a virtualidade eacute a fundaccedilatildeo da realidade atraveacutes de novas
formas de comunicaccedilatildeo socializaacutevel (CASTELLS 2006 p 24)
Inicio esta parte da anaacutelise tomando por base uma fala do aluno Pedro na
entrevista inicial ele contou que durante as aulas de Caacutelculo que havia tido na graduaccedilatildeo agraves
vezes achava que estava assistindo a uma videoaula ao inveacutes de uma aula presencial Nas
palavras dele
Falta um pouco mais de [] entendimento Agraves vezes alguns professores natildeo levam
em conta algumas dificuldades que alguns alunos tecircm [] agraves vezes falta um pouco
de sensibilidade com a dificuldade do aluno agraves vezes uma didaacutetica um pouco mais
proacutexima do aluno Agraves vezes parece que vocecirc estaacute vendo uma videoaula ao inveacutes de
ter uma aula presencial [] Por parte do grupo de professores falta uma aula uma
didaacutetica um pouco mais proacutexima do aluno dos problemas do aluno e ajudar ele a
solucionar esses problemas
Na entrevista inicial concedida a mim Pedro demonstrou se sentir incomodado
devido ao distanciamento percebido por ele entre alunos e professor nas aulas de Caacutelculo
Naquele momento da construccedilatildeo dos dados para a referida pesquisa ainda natildeo tinha
percebido tal descontentamento este se tornou consciente para mim apoacutes a entrevista com
aluno Pedro que se mostrou muito inquieto quanto a essa questatildeo alunos de um lado da
ldquotelardquo e docentes do outro Uma possiacutevel anaacutelise sobre essa inquietaccedilatildeo se encontra na
dimensatildeo dos sujeitos e as possibilidades de interaccedilatildeo estabelecidas pelas regras que regem a
atividade em questatildeo a aula tradicional de Caacutelculo Percebi que a participaccedilatildeo desse aluno no
GEPMM estava ligada agraves possibilidades de ldquoestar pertordquo dos professores no sentido de que
no grupo era ldquopermitidordquo interagir com os professores150
Julgo importante pontuar nesse momento que durante a entrevista inicial com o
aluno Joseacute algumas falas convergem com as mesmas inquietaccedilotildees demonstradas por Pedro
Joseacute parece se sentir constrangido em iniciar interaccedilotildees verbais com os professores durante as
aulas de Caacutelculo com o objetivo de sanar duacutevidas ele parece acreditar que o momento uacutenico
150
Cabe ressaltar que ainda que a participaccedilatildeo dos alunos tenha ocorrido apenas nos primeiros encontros ou
seja os alunos acabaram abandonando o GEPMM natildeo acredito que esta parte da anaacutelise fique fragilizada devido
a isto pois nesta parte busco analisar os motivos que levaram os dois alunos em questatildeo a aceitarem o convite de
participaccedilatildeo no grupo e natildeo especificamente o desenvolvimento das atividades do grupo A parceria estabelecida
entre alunos e professores eacute que estaacute sendo analisada como uma forma de desenvolvimento da aprendizagem
expansiva
172
que isso seja ldquopermitidordquo seja o final das aulas Vale ressaltar que o aluno Joseacute eacute considerado
por Clarice como um aluno muito bom ndash que se preocupa com a aprendizagem com seu
proacuteprio processo formativo podendo ser considerado ateacute mesmo como um ldquotipo rarordquo de
aluno ldquoeacute raro eu ter aluno como Joseacuterdquo pontua151
Clarice Nas palavras de Joseacute
O aluno tem sempre aquela coisa noacute Ele eacute meu professor Haacute um distanciamento
Vocecirc pensa eu soacute sou um aluno e ele eacute meu professor Ele natildeo vai querer ficar me
dando atenccedilatildeo no final da aula porque eu tenho duacutevidas Muitos professores agraves
vezes natildeo datildeo atenccedilatildeo pro aluno Veem o aluno assim mas natildeo quer incocircmodo
sabe Os alunos chegam nos professores mas taacute faltando os professores chegarem
nos alunos porque eles tem que ver que isso aqui eacute um grupo de pessoas
Observe que o que eacute ldquopermitidordquo muitas vezes natildeo eacute visiacutevel nem expliacutecito nas
accedilotildees pois pode estar ldquoescondidordquo no curriacuteculo oculto como um instrumento oculto
configurado pelas regras e divisatildeo do trabalho ou seja na parte de baixo do triacircngulo de
Engestroumlm conforme explicitei no Capiacutetulo 1 desta tese
Contudo essa ldquotelardquo pode natildeo existir na percepccedilatildeo dos docentes configurando
apenas um instrumento necessaacuterio para constituir uma regra implicitamente ldquoocultardquo ao aluno
eacute permitido se dirigir aos professores das disciplinas de Caacutelculo quando ele jaacute estudou
anteriormente jaacute adquiriu certo niacutevel de aceitaccedilatildeo para participar de uma interaccedilatildeo com o
professor
Campos (2012) ao realizar sua pesquisa de doutorado investigou uma proposta
pedagoacutegica para a disciplina Caacutelculo Diferencial e Integral na UFMG e constatou que o
distanciamento caracteriza a relaccedilatildeo entre o professor e seus alunos E pontua
Como algueacutem que programa um computador o docente expotildee com rigor os
conteuacutedos que deveratildeo ser articulados na resoluccedilatildeo das questotildees das provas No
momento da correccedilatildeo ele afere a quatildeo proacuteximo da resposta correta o aluno chegou e
confere uma nota que certificaria o quanto o aluno apreendeu de suas aulas Sua
participaccedilatildeo se daria apenas nos dois momentos extremos do ato na apresentaccedilatildeo do
conteuacutedo e na correccedilatildeo das provas Caberia ao aluno preencher o que falta entre
esses dois eventos (CAMPOS 2012 p 34)
Sendo assim para dar conta das atividades de formaccedilatildeo em Caacutelculo configura-se
como um preacute-requisito indispensaacutevel a participaccedilatildeo ativa dos estudantes no que tange ao
desenvolvimento de autonomia e determinaccedilatildeo para buscar informaccedilotildees eou outros
instrumentos que os auxilie nessa jornada Desse modo sob essa perspectiva o docente
151
Trecho retirado das transcriccedilotildees das filmagens do nono encontro do GEPMM Falaacutevamos sobre o perfil dos
alunos que haviam aceitado o convite para participarem do grupo e os possiacuteveis motivos que pudessem explicar
a falta de assiduidade deles nas reuniotildees
173
imprime em sua consciecircncia uma forma idealizada de um dos objetos de sua atividade ndash os
estudantes O grande problema eacute que muitas vezes os estudantes por si soacute natildeo conseguem
atingir esse preacute-requisito Natildeo conseguem ser de fato na realidade objetiva um objeto real
para serem assim transformados pela praacutexis formativa proposta pelos docentes de Caacutelculo
Isso pode explicar os altos iacutendices de reprovaccedilatildeo e evasatildeo em instituiccedilotildees federais de ensino
superior o que resulta num real desperdiacutecio de recursos puacuteblicos
Isso pode implicar um enorme ldquovaacutecuordquo entre os sujeitos da atividade de
aprendizagem tradicional de Caacutelculo em cursos de Engenharia o que pode criar ldquofronteirasrdquo
interativas muitas vezes produzindo duas atividades distintas a atividade de ensino do
professor de um lado da ldquotelardquo e a atividade de aprendizagem dos alunos do outro lado da
ldquotelardquo Aleacutem disso muitas vezes eacute dada ldquopermissatildeordquo ao aluno que natildeo quer participar das
aulas pelos docentes que natildeo verificam a assiduidade dos alunos em suas aulas e natildeo
reprovam por mais de 25 de ausecircncia (que eacute preconizado nos curriacuteculos e nas normativas)
Mas precisamos levar em conta que os docentes das disciplinas de Caacutelculo na
UNIFEI-Itabira lecionam em turmas com em meacutedia 75 alunos Suponha que cada aluno
queira realizar uma uacutenica interaccedilatildeo com o docente durante uma aula que tem duraccedilatildeo de
1h40 Considere que o aluno gaste apenas 10 segundos para elaborar sua fala e que o docente
gaste apenas mais 20 segundos para se pronunciar em resposta a essa fala do aluno Com isso
seriam gastos 375 minutos da aula Esse excessivo nuacutemero de alunos em sala de aula pode
favorecer a manutenccedilatildeo da ldquotelardquo
Outra observaccedilatildeo eacute que essa ldquotelardquo em muito se diferencia da tela de um
computador utilizado como instrumento um artefato mediador em cursos a distacircncia A tela
do computador usada no atual ensino a distacircncia permite interaccedilotildees entre alunos professores
e tutores por meio de mediaccedilotildees por chat ou e-mails Jaacute a ldquotelardquo cuja suposta existecircncia seja
invisiacutevel aos olhos de alguns impede mesmo que de forma oculta que se estabeleccedilam
interaccedilotildees entre os sujeitos que dividem um mesmo espaccedilo fiacutesico delimitando suas accedilotildees em
dois contextos distintos ou seja em duas atividades disjuntas paralelas cuja miacutenima relaccedilatildeo
eacute estabelecida pelo objeto que se configura pela apresentaccedilatildeo contida nos livros-texto dos
conteuacutedos de Caacutelculo resultando em aprovaccedilatildeo ou reprovaccedilatildeo nas referidas disciplinas
O professor estaacute imerso em uma instituiccedilatildeo que o ldquoamarrardquo de uma forma ou
outra se ele natildeo cumprir a ementa eacute ldquopunidordquo tem que aprovar a maioria possiacutevel de alunos
senatildeo as turmas ficam mais cheias ainda ou ele tem que dar mais aulas nisso algo pode estar
sendo roubado dele que a meu ver seria extremamente importante para a plena realizaccedilatildeo de
seu trabalho ndash o tempo para o oacutecio e para a reflexatildeo
174
Mais do que isso os alunos ldquofabricadosrdquo pela cultura tradicional de ensino por
natildeo serem formados para questionar as praacuteticas vigentes acabam por se tornar meros
reprodutores dando assim a manutenccedilatildeo necessaacuteria para que essas praacuteticas sejam reforccediladas
Os docentes que hoje atuam nas disciplinas de Caacutelculo na UNIFEI tambeacutem foram afetados
pelas praacuteticas tradicionais de ensino provavelmente tambeacutem particionadas por uma ldquotelardquo
invisiacutevel aos olhos de seus professores agrave eacutepoca contudo natildeo lhes foi adicionada formaccedilatildeo
criacutetico-reflexiva suficiente para romper com os ciclos de reproduccedilatildeo de tais praacuteticas que
continuam vigentes Campos (2012 p 35) apontou que professores e alunos que se formam
em instituiccedilotildees que cobiccedilam as praacuteticas tradicionais de ensino-aprendizagem passam tambeacutem
a consideraacute-las como ldquoreferencial de excelecircncia no ensino o que torna a organizaccedilatildeo
acadecircmica mais apegada a suas praacuteticas e resistente a mudanccedilasrdquo
Vale ressaltar que o aluno Pedro durante a entrevista inicial pareceu estar
entusiasmado em participar do GEPMM pois para ele o grupo poderia se transformar em um
elo e aproximar os professores dos alunos diminuindo o distanciamento entre eles fazendo
com que os professores passem a reconhecer as dificuldades dos alunos e assim possam
melhorar sua didaacutetica
A anaacutelise que aqui proponho estaacute baseada na loacutegica dialeacutetica marxista que se
limita a uma forma de pensar a realidade considerando-a em constante mudanccedila mediante o
desenvolvimento do tripeacute tese antiacutetese e siacutentese O meacutetodo de anaacutelise dialeacutetico consiste na
siacutentese de termos contraacuterios ndash tese e antiacutetese (LEFEBVRE 1991) Assim como na dialeacutetica
marxista a burguesia corresponde agrave tese e o proletariado agrave antiacutetese fazendo emergir a
superaccedilatildeo da sociedade de classes pelo comunismo uma siacutentese decorrente das crises do
capitalismo pleiteadas pelos conflitos entre burguesia e proletariado (LEFEBVRE 1991)
esboccedilo essa parte da anaacutelise como a dialeacutetica da existecircncia da ldquotelardquo invisiacutevel
De um lado configura-se a hipoacutetese de que nas referidas aulas de Caacutelculo que o
aluno Pedro havia participado existia um instrumento ndash a ldquotelardquo invisiacutevel Nisso constituiria a
tese Na mesma realidade em questatildeo ndash as aulas tradicionais de Caacutelculo que o aluno Pedro
havia participado na instituiccedilatildeo ndash do outro lado estariam os professores que poderiam natildeo
perceberem que a suposta ldquotelardquo existe A antiacutetese eacute a inexistecircncia da ldquotelardquo invisiacutevel Dessa
forma estaria travado o esboccedilo da dialeacutetica da existecircncia da ldquotelardquo invisiacutevel A siacutentese como
sendo algo de natureza diferente mas ao mesmo tempo conservando elementos da tese e da
antiacutetese constitui-se por um processo dialoacutegico conduzido pela discussatildeo e embate de
contrapostos
175
Vale ressaltar que a siacutentese pode ser entendida como um grau mais elevado na
anaacutelise dialeacutetica em relaccedilatildeo agrave tese e agrave antiacutetese Aleacutem disso a siacutentese daacute origem a uma nova
tese que seraacute contraposta com uma nova antiacutetese e assim por diante iniciando novos ciclos
dialeacuteticos (LEFEBVRE 1991) Com isso a anaacutelise dialeacutetica da existecircncia da ldquotelardquo invisiacutevel
nos leva a possibilidades de elaboraccedilatildeo de uma siacutentese do que de melhor cada uma das faces
do contraposto nos apresenta Conforme exposto anteriormente eacute fatiacutedico que caso a tese (a
existecircncia da ldquotelardquo invisiacutevel) seja confirmada eacute preciso que ela seja destruiacuteda em prol de
melhorias e avanccedilos na natureza do processo aqui analisado
De toda forma eacute importante frisar que quando o aluno Pedro decidiu se engajar
no GEPMM de alguma forma ele desconfia que a ldquotelardquo natildeo existiria em tal contexto
alternativo mais amplo De fato a ldquotelardquo ainda que invisiacutevel natildeo permeou as ldquoatividadesrdquo de
Modelagem Matemaacutetica conforme implementado na UNIFEI por meio do GEPMM A
ausecircncia desse instrumento (oculto escondido invisiacutevel) provoca mudanccedilas quantitativas e
qualitativas nas interaccedilotildees entre os sujeitos da atividade que passam a buscar informaccedilotildees de
forma coletiva e passam a construir novos instrumentos para resolverem as peculiares
questotildees-problema que direcionam as accedilotildees em tais atividades Alunos e professores se
tornam sujeitos parceiros na referida atividade Estabelece-se mutuamente um fluxo contiacutenuo
de compartilhamento de informaccedilotildees o que acaba por transpor as fronteiras (ENGESTROumlM
SANNINO 2010b) ldquotela adentrordquo fazendo emergir uma nova rede uma ineacutedita parceria
docente-discente
Assim sendo os sujeitos engajados nessa atividade passam a pertencer a uma
mesma hierarquia horizontal de fluxo informacional natildeo podendo assim estar permanecer
distanciados apartados e segregados Tornam-se sujeitos de uma mesma atividade orientada
pelos seguintes objetos os estudantes em formaccedilatildeo e a questatildeo-
-problema natildeo matemaacutetica cujos artefatos mediadores incluem os conteuacutedos de Caacutelculo sob a
forma de modelos mais especificamente considerando os dados construiacutedos para esta
pesquisa as EDOs e outros instrumentos tecnoloacutegicos que incluem dentre outros o software
que foi criado com o objetivo de possibilitar simulaccedilotildees de mudanccedilas de peso corporal
mediante alteraccedilotildees na dieta e nos exerciacutecios fiacutesicos (Human Weight Simulator ndash HWS)
Aleacutem disso supondo a existecircncia da ldquotelardquo em aulas tradicionais de Caacutelculo ela
acaba por elevar o professor a um patamar de configuraccedilatildeo como uma voz uma vocalidade
que ecoa na atividade como um locutor do discurso do Caacutelculo acadecircmico como se ele
estivesse realmente de outro lado em outro ambiente como se o aluno fosse mesmo assistir
a uma videoaula Esse mesmo patamar pode ser ocupado pelo autor do livro-texto utilizado
176
nas aulas tradicionais de Caacutelculo em cursos de Engenharia a vocalidade do autor ecoa e
participa das atividades dentro da sala de aula e se diferencia da vocalidade que ecoa do
professor apenas pela miacutedia (meio) que as suportam ndash no caso do autor a miacutedia eacute impressa
nas paacuteginas do livro sob a forma de linguagem escrita e no caso do professor a voz ecoa
suportada pela linguagem falada e pela linguagem escrita quando utiliza o quadro branco
para principalmente reproduzir paacuteginas do livro-texto
Campos (2012 p 34 grifos do autor) destaca que a narrativa construiacuteda por ele
com o objetivo de relatar como ocorrem as aulas de Caacutelculo na UFMG poderia ser
considerada como se ele ldquoestivesse assistindo agrave cena atraveacutes de um vidro que o impedisse de
ouvir as muacuteltiplas vozes presentesrdquo o que nos leva a crer que tal regra oculta natildeo faz parte
apenas do curriacuteculo oculto presente nas salas de aula de Caacutelculo da UNIFEI mas tambeacutem de
outras instituiccedilotildees como nesse caso na UFMG
As atividades de Modelagem Matemaacutetica desenvolvidas no GEPMM se propotildeem
como potencialmente ldquodestruidorasrdquo de tal ldquotelardquo mediante a construccedilatildeo de uma rede de
aprendizagem na qual os docentes satildeo sujeitos pertencentes a uma mesma hierarquia
horizontal de fluxo informacional que os discentes o que acaba por promover transposiccedilotildees
de fronteiras (ENGESTROumlM SANNINO 2010b) e consequentemente a ampliaccedilatildeo de
possibilidades de interaccedilotildees entre os sujeitos
Portanto em atividades de Modelagem Matemaacutetica os parceiros ndash alunos e
professores ndash natildeo podem assumir outro lugar senatildeo o de sujeitos de uma mesma atividade
Dessa forma a ldquotelardquo presente (mesmo que de forma oculta e invisiacutevel em aulas tradicionais
de Caacutelculo) precisa necessariamente ser ldquoquebradardquo para que a formaccedilatildeo dessa nova
parceria se torne possiacutevel Somente por meio da transposiccedilatildeo desta fronteira eacute que se
tornariam possiacuteveis movimentos para aleacutem de alunos procurarem ajuda e professores darem a
ajuda (tirar duacutevidas) alcanccedilando assim um patamar de parceria na qual os sujeitos buscam e
encontram informaccedilotildees ou as constroem onde quer que elas estejam
Durante a construccedilatildeo dos dados da presente pesquisa alguns momentos podem
ser colocados em relevo no que diz respeito agraves possibilidades de diaacutelogos entre docentes e
discentes que num processo de negociaccedilatildeo e orquestraccedilatildeo formataram e orientaram as
atividades do GEPMM
No primeiro encontro eacute possiacutevel perceber que os alunos ali presentes falavam
livremente e participavam das decisotildees e regras estabelecidas pelos integrantes Natildeo havia
distinccedilatildeo entre alunos e professores todos falavam contavam ldquocasosrdquo e exprimiam suas
opiniotildees Joseacute por exemplo nos contou um caso sobre um funcionaacuterio de uma empresa de
177
grande porte localizada na cidade de Ipatinga-MG que ao desenvolver suas atividades de
trabalho ldquoteimourdquo com um engenheiro dizendo que o resultado do processo seria negativo o
engenheiro natildeo considerou a opiniatildeo do funcionaacuterio e no final do processo o funcionaacuterio
estava certo Logo em seguida a professora Clarice falou que os alunos de Caacutelculo satildeo
desmotivados demais e que o resultado disso muitas vezes eacute a reprovaccedilatildeo A aluna Taty
interveio ldquomas eu acho que isso natildeo eacute culpa do professorrdquo A docente Clarice rebateu em
tom de voz aparentemente alterado ldquomas eacute tambeacutem um deverrdquo Em seguida a aluna Taty
pontuou que em turmas de 75 alunos seria muito difiacutecil o professor acompanhar essa questatildeo
da motivaccedilatildeo
No segundo encontro do GEPMM um momento de tensatildeo ocorreu quando ao
perceber que o docente Angel pareceu preferir o problema do tracircnsito e afirmou olhando para
os alunos que havia um trabalho de coleta de dados in loco que deveria ser realizada pelos
alunos a aluna Taty imediatamente se posicionou dizendo ldquoah natildeo gente natildeo olha pra mim
natildeo gente Tocirc fazendo um monte de coleta de dados jaacute Me recuso cara [] Eu sento e leio
60 artigos se vocecircs quiserem faccedilo resumo de todos pra vocecircs natildeo tocirc brincando Eu tocirc
fazendo uma coleta gigantescardquo Entendo que naquele momento o posicionamento assertivo
da aluna impactou no que seria a decisatildeo do grupo no que diz respeito agrave escolha do primeiro
tema a ser abordado O grupo poderia ter tomado outro rumo se a aluna natildeo tivesse se
posicionado
No terceiro encontro durante a discussatildeo do artigo Scagliusi e Lancha Juacutenior
(2005) na paacutegina 542 deparamo-nos com um termo fiacutesico-quiacutemico ndash o deuteacuterio Noacutes
docentes natildeo sabiacuteamos o que significava esse termo e fomos agraciados pela fala dos alunos
Joseacute e Pedro esclarecendo com propriedade sobre o que se tratava esse conceito
Com base nesses trechos extraiacutedos das gravaccedilotildees em aacuteudio e viacutedeo das primeiras
trecircs reuniotildees do GEPMM os diaacutelogos entre os sujeitos seguem em um ritmo almejado
quando uma parceria eacute estabelecida entre niacuteveis hierarquicamente distintos em instituiccedilotildees
Aleacutem disso explicitarei mais adiante neste mesmo capiacutetulo outros trechos extraiacutedos das
transcriccedilotildees das filmagens de outras reuniotildees do GEPMM que reafirmam a formaccedilatildeo de
parcerias docente-discente e docente-docente sendo que essa uacuteltima se refere agrave parceria
instituiacuteda natildeo apenas por docentes que lecionam disciplinas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia Ainda que os alunos tenham abandonado o GEPMM natildeo significa que tal
parceria natildeo tenha se concretizado Cabe ressaltar que segundo Engestroumlm e Sannino (2010b)
a transposiccedilatildeo de fronteiras entre niacuteveis organizacionais ou hierarquias tais como entre
alunos e professores pode representar uma forma de aprendizagem expansiva quando ocorre
178
movimentos verticais de informaccedilotildees entre os niacuteveis Para os autores uma parceria funda-se
por meio de interaccedilotildees entre niacuteveis hieraacuterquicos distintos em prol da realizaccedilatildeo de uma
atividade comum ndash um objeto compartilhado - na qual os aprendizes buscam informaccedilotildees
onde quer que elas estejam e o fluxo informacional eacute livre
Desse modo podemos entender as atividades realizadas no e pelo GEPMM como
sendo de alto grau de complexidade e baixo grau de centralizaccedilatildeo o que segundo Engestroumlm
(1993) caracteriza um tipo histoacuterico de atividade a ser considerado de domiacutenio coletivo e
expansivo A construccedilatildeo de tal ldquorede alternativardquo mediante a constituiccedilatildeo das referidas
parcerias pode entatildeo ser entendida como um tipo de aprendizagem expansiva
Com isso encerro a anaacutelise da dialeacutetica da existecircncia da ldquotelardquo invisiacutevel
enfatizando que por meio da construccedilatildeo da parceria docente-discente possibilitada nopelo
engajamento nas atividades desenvolvidas pelo GEPMM a ldquotelardquo natildeo existe nem mesmo de
forma invisiacutevel devido ao fluxo informacional ser livre e as interaccedilotildees entre docentes e
discentes serem constituiacutedas em uma uacutenica rede de aprendizagem
52 Segunda modalidade ndash Os sujeitos a multi-agency e as muacuteltiplas atividades
possibilidade para aprendizagem expansiva como movimento na zona de
desenvolvimento proximal das atividades docente-discente mediante a formaccedilatildeo de
parcerias
Satildeo os homens por certo que com sua praacutexis formam e mantecircm essa estrutura satildeo
eles que desenvolvem as forccedilas produtivas e que contraem determinadas relaccedilotildees na
produccedilatildeo independente de sua consciecircncia e vontade (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ
1977 p 189)
A agency segundo a Teoria da Atividade de Engestroumlm (1987) pode ser
entendida como um adjetivo inerente agraves possibilidades de accedilatildeo dos sujeitos engajados em
uma atividade tais como a condiccedilatildeo de realizar uma accedilatildeo ndash agente os meios ou modos pelos
quais a accedilatildeo eacute executada ndash instrumentalidade ou operaccedilatildeo poder ou capacidade de realizar
uma accedilatildeo ndash desempenho ou performance maneira de atuar de agir Sistematicamente a meu
ver a agency pode ser considerada como a atitude dos sujeitos em implementar
procedimentos para alcanccedilar o objetivo de uma accedilatildeo Sendo assim vale ressaltar que a agency
se torna visiacutevel nas accedilotildees no relacionamento na mediaccedilatildeo nas interaccedilotildees e natildeo como algo
pertencente aos sujeitos (DANIELS et al 2010)
A formaccedilatildeo de parcerias estaria sob essa anaacutelise relacionada agrave constituiccedilatildeo de
redes de aprendizagem em um contiacutenuo e descontiacutenuo movimento de transposiccedilatildeo de
179
fronteiras institucionalmente configuradas por artefatos histoacutericos culturais que podem estar
mediando as relaccedilotildees entre os sujeitos e os demais instrumentos de uma atividade de forma
impliacutecita ou invisiacutevel como por exemplo a dialeacutetica da existecircncia da ldquotelardquo invisiacutevel em
salas de aula de Caacutelculo como um instrumento que estaria permeando tal contexto
Eacute importante ressaltar que os sujeitos engajados no GEPMM participam a priori
de atividades originais primaacuterias cujos objetos podem estar alinhados ou natildeo no
desenvolvimento de variadas formas de praacutexis acadecircmica instituiacutedas em tal contexto
formativo Nesse caso pontualmente refiro-me aos interconectados sistemas de atividade
originais dos quais participam conjuntamente docentes e discentes dos cursos de Engenharia
da instituiccedilatildeo UNIFEI-Itabira De um lado de uma mesma moeda refiro-me aos sistemas de
atividade de trabalho que os docentes ldquodesenhamrdquo e colocam em praacutetica no decorrer das
variadas formas de trabalho situadas nas instituiccedilotildees que se dedicam exclusivamente agrave
formaccedilatildeo superior em Engenharia do outro lado dessa mesma moeda situam-se os sistemas
de atividade dos quais participam os discentes no mesmo contexto Observe que os tais
sistemas de atividade satildeo interconectados indissoluvelmente ndash amalgamados
Nesse sentido os discentes que participam das atividades orientadas pela
formaccedilatildeo em Engenharia desde o iniacutecio do engajamento nas referidas praacutexis formativas
objetivam obter o tiacutetulo de engenheiro com vistas a satisfazer uma necessidade humana
contemporacircnea obter um diploma de engenheiro Natildeo pretendo na referida anaacutelise discorrer
sobre as ideologias discursos e enunciados sociais que estatildeo por traacutes de tal orientaccedilatildeo apenas
a defino como existente e norteadora Para que essa finalidade seja de fato concretizada na
realidade os discentes de cursos de Engenharia precisam elaborar antes de tudo num plano
da atividade consciente um planejamento das accedilotildees necessaacuterias para tal fazendo
necessariamente parte da agency Sendo assim no contexto de formaccedilatildeo analisada nesta tese
um objeto primaacuterio original emerge dos sistemas de atividade dos discentes ndash o diploma de
engenheiro
Quando se tornam discentes de cursos de Engenharia na UNIFEI-Itabira os
sujeitos passam a pertencer a uma comunidade de praacutetica orientada pela e na formaccedilatildeo em
Engenharia Mas poderiam ser consideradas possibilidades para o desenvolvimento de
aprendizagens como participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima (PPL)152
(LAVE WENGER 2002) as
152
ldquoVer a aprendizagem como participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima significa que a aprendizagem natildeo eacute simplesmente
uma condiccedilatildeo para tornar-se membro mas eacute em si mesma uma forma em evoluccedilatildeo do tornar-se membrordquo
(LAVE WENGER 2002 p 170)
180
formas de praacutexis frequentemente realizadas153
no referido contexto institucional Em geral a
resposta para essa pergunta infelizmente tende a ser negativa Primeiro os participantes natildeo
tem amplo acesso a diferentes partes da atividade formativa em questatildeo Quando se tornam
discentes de tais cursos os sujeitos tecircm acesso agraves grades curriculares sob a forma escrita de
plano de curso particionado em vaacuterias disciplinas a serem cumpridas mas de forma alguma
veem ou participam na realidade concreta das diversas praacuteticas que constituem tal formaccedilatildeo
Em segundo lugar os participantes natildeo percebem lsquoabundacircnciarsquo nas interaccedilotildees horizontais
entre eles que na maioria das vezes tambeacutem natildeo eacute mediada por situaccedilotildees problemaacuteticas e
suas soluccedilotildees Pelo contraacuterio na maior parte do tempo dedicado agrave formaccedilatildeo os discentes se
esforccedilam para entender situaccedilotildees hipoteacuteticas fictiacutecias e teoacutericas impressas e sugeridas por
autores de livros didaacuteticos muitos deles traduzidos de outras liacutenguas oriundos de outras
culturas resultando em produtos que por definiccedilatildeo se distanciam dos interesses e
necessidades de uma comunidade especiacutefica Finalmente em terceiro lugar as tecnologias e
estruturas da instituiccedilatildeo natildeo satildeo transparentes Os aprendizes muitas vezes natildeo tecircm acesso ao
que estaacute por traacutes dos mecanismos internos e portanto natildeo satildeo convidados a inspecionaacute-los
Logo a participaccedilatildeo dos discentes em tais praacuteticas de fato ocorre mas natildeo pode
ser considerada em geral como resultante em uma aprendizagem legiacutetima pela e na
participaccedilatildeo em praacutexis firmada em tal contexto formativo Isso se deve ao fato da proacutepria
instituiccedilatildeo ser um artefato histoacuterico cultural que implicitamente ou invisivelmente medeia as
relaccedilotildees dos participantes nas praacutexis (DANIELS et al 2010a p 123) Considerando essa
anaacutelise toda e qualquer praacutexis realizada orientada pela finalidade de formar engenheiros
estaria subordinada agraves possibilidades de mediaccedilatildeo que a proacutepria instituiccedilatildeo submete aos
participantes ainda que de forma impliacutecita ou invisiacutevel entre as quais podemos enfatizar as
relaccedilotildees de poder e controle
Uma forma de controle expliacutecita que pode ser nitidamente observada na
instituiccedilatildeo estudada eacute o curriacuteculo uma grade curricular formada por disciplinas a serem
desenvolvidas pelos docentes e discentes constituiacutedas por conteuacutedos padronizados a serem
ldquoA participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima refere-se tanto ao desenvolvimento de identidades de habilidades
competentes na praacutetica quanto agrave reproduccedilatildeo e transformaccedilatildeo das comunidades de praacuteticardquo (LAVE WENGER
2002 p 171) 153
Refiro-me nesse momento da anaacutelise agraves praacuteticas tradicionais de formaccedilatildeo em Engenharia desenvolvidas em
instituiccedilotildees que se destinam agrave formaccedilatildeo em niacutevel de graduaccedilatildeo em Engenharia contexto de nosso estudo Em
grande parte pode ser caracterizada pelo uso em demasia de aulas expositivas cujo objeto assumido pode ser
resumido pela apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos das respectivas disciplinas conforme preconizado nos livros-texto
pela valorizaccedilatildeo do desenvolvimento de habilidades e competecircncias individuais pelo uso de testes e avaliaccedilotildees
padronizadas cujo objetivo consiste na reproduccedilatildeo dos discursos desenvolvidos durante as aulas e pelo
distanciamento entre professores e alunos durante as atividades de formaccedilatildeo ndash a praacutexis formativa em
Engenharia
181
desenvolvidos e por cargas horaacuterias definidas a priori e sobretudo sob o controle das
avaliaccedilotildees que ditam quem cumpriu e quem natildeo cumpriu tais exigecircncias resultando em
aprovaccedilotildees ou reprovaccedilotildees nas disciplinas da grade curricular Esse ldquopoderiordquo acaba por
delimitar ou preacute-fabricar as accedilotildees que os estudantes iratildeo desenvolver assim como as decisotildees
sobre outras formas de participaccedilatildeo em praacuteticas extracurriculares na instituiccedilatildeo Ou seja satildeo
estabelecidas dessa forma accedilotildees prioritaacuterias orientadas pela aprovaccedilatildeo nas disciplinas
principalmente nas disciplinas que ldquonormalmenterdquo resultam em altos iacutendices de reprovaccedilatildeo
Durante a construccedilatildeo dos dados para a presente pesquisa vaacuterios foram os
momentos que o ldquopoderiordquo explicitado anteriormente se manifestou Entre eles podemos
colocar em relevo momentos extraiacutedos das transcriccedilotildees das entrevistas finais realizadas com
os alunos que haviam participado do GEPMM Para responder a primeira pergunta (ldquocomo
vocecirc caracteriza sua participaccedilatildeo no GEPMMrdquo) os estudantes usaram adjetivos do tipo
ldquoinsuficienterdquo ldquomiacutenimardquo ldquoirrelevanterdquo e ldquodeixa a desejarrdquo Mas como a participaccedilatildeo foi
considerada por eles mesmos tatildeo digamos ldquoinexpressivardquo se eles mesmos reconheceram de
antematildeo as possibilidades de aprendizagens mediante a participaccedilatildeo no GEPMM conforme
demonstraram nas entrevistas iniciais e durante os encontros do grupo Possiacuteveis respostas
para tal indagaccedilatildeo podem ser encontradas nas respostas que eles mesmos deram para a
segunda pergunta (ldquodesde que vocecirc comeccedilou a participar do grupo quais os desafios
encontrados Como vocecirc buscou superar estes desafiosrdquo) feita a eles por mim durante a
realizaccedilatildeo das entrevistas finais Taty pontua que o principal desafio consiste na proacutepria
essecircncia da atividade ldquomodelar alguma situaccedilatildeo eacute uma coisa muito complicada porque tem
muitas variaacuteveisrdquo Enfatiza que para superar esse desafio ela precisaria ter tido mais tempo
para maior dedicaccedilatildeo agrave atividade Afirma ainda que a falta de tempo estaria relacionada agrave
realizaccedilatildeo de outras atividades discentes entre as quais se destacam as vaacuterias mateacuterias
(disciplinas) que estaria cursando e a iniciaccedilatildeo cientiacutefica que estaria concluindo naquele
semestre Taty ainda sugere a existecircncia de um dilema incorporado nos sistemas de atividade
que ela participa na posiccedilatildeo de discente de um curso de Engenharia Nas palavras de Taty
Por um lado eu acho um desperdiacutecio tantas oportunidades na faculdade e a gente
natildeo poder muita gente natildeo aproveitar neacute como eu jaacute disse mesmo o fato de termos
professores tatildeo bons e agraves vezes tatildeo dispostos neacute A desenvolver um trabalho que
vocecirc taacute vendo e os outros natildeo estatildeo por outro lado o tempo eacute curto neacute as mateacuterias
satildeo difiacuteceis e se vocecirc leva a seacuterio mesmo vocecirc tem que estudar muito tempo neacute
entatildeo pra fazer um trabalho desse [] eu atribuo essa dificuldade agrave falta de tempo
182
Os alunos Pedro e Joseacute tambeacutem consideraram a falta de tempo como constituinte
do principal desafio encontrado na participaccedilatildeo no GEPMM Pedro ainda admitiu ter tido
dificuldades em participar do GEPMM devido a natildeo ter um ldquoinglecircs muito fluenterdquo o que
para ele dificultou a leitura dos textos Nas palavras de Pedro
Eu natildeo tenho um inglecircs muito fluente entatildeo muitas vezes tinha que buscar
significados de palavras de expressatildeo entatildeo isso garrou um pouco na hora de eu
ler os artigos [] Eu sei que se eu tirar tempo de estudo pra dedicar agrave modelagem
eu sei que vou tomar pau Isso eacute tranquilo [] Eu faccedilo o projeto [referindo-se agraves
atividades do GEPMM] mas chega na disciplina aiacute eu natildeo consigo fazer nada
entatildeo pra mim neste caso natildeo seria vantajoso neste semestre participar do
projeto
Sendo assim fica niacutetido que existe uma lei que rege os sistemas de atividade dos
alunos no que tange agrave sua proacutepria formaccedilatildeo em Engenharia delimitando as modalidades das
atuaccedilotildees na qual tem que sujeitar sua vontade Tal lei poderia ser expressa pelo fim sendo
constituiacuteda pela prefiguraccedilatildeo ideal do resultado material concreto que se quer alcanccedilar ndash o
diploma de engenheiro Mesmo tendo a vontade de participar do GEPMM percebendo as
possibilidades de formaccedilatildeo em tal atuaccedilatildeo os alunos veem diante de si um objeto
ldquodesalinhadordquo nos sistemas de atividades que pode ateacute mesmo impossibilitar o resultado
concreto que desejam alcanccedilar Dessa forma o fim o produto o objeto da atividade dos
sistemas primaacuterios de atividade (diploma) entra em contradiccedilatildeo com a atividade presente
(GEPMM) que passa a natildeo exercer mais o papel de orientar accedilotildees podendo ateacute mesmo se
tornar um objeto fluido nulo colocado como uma vontade em contradiccedilatildeo com a realidade
Engestroumlm (2010a) enfatiza que objetos que orientam as atividades humanas satildeo
oriundos de preocupaccedilotildees eou desconfortos sendo capazes de gerar e focalizar nossas
atenccedilotildees nos motivar fazer-nos esforccedilar e atribuir sentido agraves nossas accedilotildees Nas e pelas
ldquoatividades as pessoas constantemente mudam e criam novos objetos Os novos objetos
frequentemente natildeo satildeo produtos intencionais de uma atividade simples mas consequecircncias
inintencionais de muacuteltiplas atividadesrdquo (ENGESTROumlM 2010a p 304)
Nesse sentido os alunos que haviam aceitado o convite para participaccedilatildeo no
GEPMM (sujeitos de muacuteltiplas atividades cujo resultado esperado seria a formaccedilatildeo em
Engenharia) natildeo viram condiccedilotildees objetivas para sua realizaccedilatildeo para a materializaccedilatildeo de tal
participaccedilatildeo ainda que ela se fizesse anteriormente constituinte de um fim um objeto
idealizado que havia se fluidificado na realidade
Saacutenchez Vaacutezquez (2002 p 231) nos apresenta uma relaccedilatildeo dialeacutetica entre a
finalidade e a causalidade ldquojaacute que embora os fins conduzam agrave transformaccedilatildeo da realidade
183
esta impotildee limites que aqueles natildeo podem transporrdquo Somente as accedilotildees concretas que
disponham de meios concretos para sua realizaccedilatildeo podem resolver a contradiccedilatildeo histoacuterica
que abarca a finalidade como expressatildeo de uma contradiccedilatildeo entre ldquoo futuro e o presente entre
o ideal e o real entre a realidade a ser transformada e a realidade inexistente jaacute prefigurada
pela consciecircnciardquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 2002 p 231) Assim podemos analisar a natildeo
assiduidade e a participaccedilatildeo incipiente dos alunos que haviam aceitado o convite para
comporem o GEPMM como uma resposta agrave realidade pois ldquonatildeo se podem aceitar meios que
sendo eficazes em relaccedilatildeo a um fim particular contribuam para corromper fins mais
elevadosrdquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 2002 p 233) Tal resposta eacute decorrente da agency
configurada pela implementaccedilatildeo de procedimentos com vistas ao realinhamento ao fim mais
elevado
Durante a entrevista final a aluna Taty disse que acha mais faacutecil participar de
atividades formativas tradicionais (regidas por provas individuais) do que de atividades em
grupo mais interdisciplinares e praacuteticas apesar de afirmar que em sua concepccedilatildeo o meacutetodo
tradicional natildeo tem nada a ver com a formaccedilatildeo do engenheiro Para ela as atividades em
grupo possibilitam mais aprendizagens eacute ldquomuito mais legalrdquo ldquomuito mais interessanterdquo e
ldquoesse eacute o trabalho do engenheirordquo Contudo parece ter caracterizado um objetivo que diz
respeito agraves disciplinas de Caacutelculo que compotildeem a grade curricular do curso de Engenharia no
qual eacute aluna Nas palavras de Taty ldquoeu quero aprovar mais do que isso eu quero passar bem
na mateacuteria [] eu gosto de passar bem em Caacutelculo [] eu quero saber fazer a provardquo Com
isso podemos entender que um fim particular (relacionado agrave formaccedilatildeo em Caacutelculo) estava
traccedilado idealmente como alinhado ao fim mais elevado ndash obter o diploma de engenheira
Dessa forma percebemos um ldquodesalinhamentordquo entre o objeto do GEPMM e o
objeto original primaacuterio que constitui os sistemas de atividade da aluna Taty cujo resultado
se materializa no diploma de engenheira Tal ldquodesalinhamentordquo se tornou visiacutevel aos nossos
olhos pela participaccedilatildeo incipiente da aluna no GEPMM A proacutepria participaccedilatildeo incipiente faz
parte da agency sendo configurada como uma maneira de agir de atuar A aluna nos contou
que ao cursar uma disciplina especiacutefica do curso de Engenharia havia realizado um trabalho
em grupo e que teria se empenhado bastante e aprendido muita coisa de ldquoanaloacutegicardquo mesmo
sem ter feito a disciplina de Analoacutegica formalmente Afirmou que ldquoa interaccedilatildeo o trabalho
em grupo [] uma semana de laboratoacuterio e vocecirc aprende coisa que assim agraves vezes em uma
mateacuteria inteira ficava bem mais ou menosrdquo Observe que como o trabalho em grupo que a
aluna nos contou foi uma atividade avaliativa que resultaria em pontuaccedilatildeo estaria bem
ldquoalinhadardquo aos objetivos de ser aprovada eou ter boas notas na referida disciplina Talvez isso
184
corrobore a suspeita de que se as atividades de Modelagem resultassem em pontuaccedilatildeo em
alguma disciplina de fato os alunos participariam de forma mais efetiva do que pudemos
observar na construccedilatildeo dos dados para a presente pesquisa Sendo assim para que os alunos
participassem efetivamente das atividades do GEPMM tornaram-se necessaacuterios ajustes ao
modelo conforme explicitei anteriormente
Com base nas ideias de Leontiev ainda poderiacuteamos analisar que na verdade os
alunos apenas cumprem o que eacute demandado no contrato didaacutetico institucionalizado ndash estudar
para serem aprovados nas disciplinas eou obterem boas notas ndash e isso constitui ou influencia
fortemente a agency observaacutevel nos procedimentos implementados Contudo com isso os
sujeitos foram desapropriados e desapropriam a si mesmos do sentido do que fazem pois a
atividade formativa acaba perdendo sua especificidade restando-lhes apenas um trabalho
alienado quer se trate do aluno ou do professor ldquoe esse trabalho temos de admiti-lo eacute chato
muito aborrecidordquo (CHARLOT 2013 p 154) O aluno Pedro acabou confirmando essa
concepccedilatildeo Nas palavras dele extraiacutedas das transcriccedilotildees da entrevista inicial podemos ver
Quanto a Caacutelculo a visatildeo que a gente tem infelizmente eacute que eacute uma coisa chata eacute
blaacuteblaacuteblaacute Eu jaacute ouvi de alguns colegas que Caacutelculo natildeo eacute uma coisa que vocecirc usa
tanto muita gente natildeo tem noccedilatildeo da importacircncia do Caacutelculo [] esse mito que se
tem ldquoah o caacutelculo eacute difiacutecil mas natildeo tem importacircnciardquo acaba desestimulando o
pessoal e aiacute sim que vocecirc agraves vezes consegue ateacute ser aprovado na disciplina mas natildeo
tem um aprendizado real
O aluno Pedro ainda expocircs na entrevista inicial que em sua visatildeo faltavam
projetos que objetivassem mostrar para os alunos a ldquoverdadeira importacircncia do Caacutelculo e que
estimulassem os alunos a entenderem o assunto a estudarem maisrdquo demonstrando acreditar
que o GEPMM pode cumprir esse objetivo Contudo ao deixar de participar do GEPMM por
falta de tempo e por parecer priorizar a aprovaccedilatildeo nas disciplinas o aluno acabou por
promover uma possiacutevel desapropriaccedilatildeo de si mesmo do sentido do que faz ndash sujeito em
formaccedilatildeo agravequele que deseja se apropriar de conhecimentos ndash restando-lhe apenas um
trabalho alienado subtraiacutedo de seu desejo manifestado ter ldquoum aprendizado realrdquo
Cabe ressaltar que os dilemas vivenciados pelos alunos quanto agrave participaccedilatildeo no
GEPMM especialmente a participaccedilatildeo em muacuteltiplas atividades demandadas pela formaccedilatildeo
em Engenharia versus a falta de tempo para darem conta de participarem efetivamente das
referidas atividades pode ter resultado na decisatildeo de deixarem de participar dos encontros do
GEPMM Isso natildeo aconteceu somente com os alunos O docente Robson por exemplo
participou de apenas dois encontros do GEPMM atribuindo suas ausecircncias a outras demandas
185
de trabalho como viagens a congressos participaccedilatildeo de bancas de conclusatildeo de cursos e
atividades administrativas A docente Clarice apoacutes o deacutecimo encontro enviou um e-mail a
todos os integrantes do GEPMM informando que em virtude do iniacutecio de seu processo de
doutoramento teria que se ausentar do GEPMM por pelo menos alguns anos Todas essas
atitudes perfazem a agency inerente agraves repostas dos sujeitos agraves referidas demandas
Ainda no segundo encontro do GEPMM escolhemos o primeiro tema a ser
desenvolvido por noacutes ndash ldquopeso corporal idealrdquo Apoacutes tal escolha o professor Angel
compartilhou uma informaccedilatildeo que acabara de ter acesso por meio do manuseio de seu
notebook que permanecia ligado e conectado na internet informando-nos sobre um edital
aberto no site do CNPq Tal edital era sobre gecircnero e relaccedilotildees de trabalho O professor Angel
se mostrou muito animado em elaborarmos um projeto para submetermos agrave ampla
concorrecircncia preconizada pelo referido edital
Decidimos construir um projeto para submissatildeo ainda que tiveacutessemos apenas seis
dias corridos incluindo saacutebado e domingo para tal confecccedilatildeo Taty tentou ajudar nessa
empreitada e disse ter o projeto inteiro escrito sobre gecircnero e somente teriacuteamos que ldquoadaptaacute-
lordquo para a aacuterea da Engenharia A aluna referiu-se ao projeto que ela estava desenvolvendo
como bolsista de Iniciaccedilatildeo Cientiacutefica Decidimos lutar contra o tempo e escrever esse projeto
para a submissatildeo O projeto foi intitulado Relaccedilotildees de Gecircnero no Trabalho das Engenheiras
do Setor industrial uma anaacutelise das condiccedilotildees de trabalho e das competecircncias e habilidades
matemaacuteticas cujo objetivo principal era ldquocompreender as relaccedilotildees de gecircnero estabelecidas no
trabalho das engenheiras que atuam em empresas do setor industrial mineiro por meio do
entendimento das condiccedilotildees de trabalho e das habilidades e competecircncias matemaacuteticas
requeridas na atuaccedilatildeo laboral da aacuterea especificamente estudadardquo E os objetivos especiacuteficos
eram
- Caracterizar as condiccedilotildees de trabalho de mulheres engenheiras das principais
empresas do setor industrial mineiro da regiatildeo do Vale do Accedilo e da cidade de
Itabira
- Estabelecer as diferenccedilas proporcionais de gecircnero na ocupaccedilatildeo de cargos de
engenharia buscando analisar as peculiaridades de cada uma das classes de
trabalhadores ndash homens e mulheres
- Analisar as competecircncias e habilidades matemaacuteticas requeridas para a efetiva
atuaccedilatildeo em cargos de engenharia ocupados por mulheres e sua respectiva
comparaccedilatildeo entre os mesmos cargos ocupados por homens
- Utilizar os resultados da pesquisa como aporte teoacuterico para a tomada de decisotildees
relacionadas aos curriacuteculos dos cursos de Engenharia da UNIFEI no que se refere agrave
questatildeo de gecircnero ainda deixada de lado nos projetos pedagoacutegicos dos cursos assim
como o fornecimento dos mesmos subsiacutedios para que outras instituiccedilotildees possam
fazer uso
186
- Aplicar os resultados como agentes que podes motivar os estudantes dos cursos de
Engenharia da UNIFEI a refletirem sobre questotildees relacionadas ao gecircnero no
trabalho e na formaccedilatildeo em engenharia
Submetemos o trabalho na data limite ndash dia 14 de novembro de 2012 Contudo o
CNPq natildeo o aprovou O parecer questionou sobre a aacuterea de atuaccedilatildeo dos docentes que iriam
executaacute-lo ou seja por natildeo termos produccedilatildeo cientiacutefica na aacuterea fomos impedidos de realizar a
pesquisa a menos que quiseacutessemos fazecirc-la sem ter projeto algum submetido e
consequentemente sem ter auxiacutelios financeiros para sua execuccedilatildeo
Mas por que em um grupo que originalmente orientaria suas atividades pelos
objetos materializados por questotildees-problema matemaacuteticos e estudantes de Engenharia
tomaria uma pesquisa sobre gecircnero no trabalho de Engenharia como objeto de uma atividade
paralela Tentarei analisar a referida atividade como constituinte de sistemas de atividade
hiacutebridos ndash muacuteltiplos contextos de atividades paralelos e as respectivas multi-agencys
(DANIELS et al 2010a)
A estrutura do trabalho docente em instituiccedilotildees federais de ensino superior
brasileiras estaacute baseada no tripeacute ensino-pesquisa-extensatildeo Tais instituiccedilotildees estatildeo entre as
instituiccedilotildees puacuteblicas mais submetidas a avaliaccedilotildees de desempenho A grande questatildeo que se
faz necessaacuterio pontuar eacute que tais avaliaccedilotildees podem muito bem verificar quantitativamente o
desempenho de tais instituiccedilotildees pelas quantidades de diplomas concedidos e artigos
publicados poreacutem natildeo conseguem captar bem os conteuacutedos inerentes aos diplomados e agrave
qualidade das publicaccedilotildees Nesse sentido em artigo publicado no jornal Folha de SPaulo o
professor Joseacute Maria Alves da Silva154
do Departamento de Economia da Universidade
Federal de Viccedilosa-MG esclarece que
Tirando o que eacute gasto na elaboraccedilatildeo de projetos produccedilatildeo em massa de artigos
preenchimento de relatoacuterios atualizaccedilatildeo de curriacuteculos participaccedilotildees cada vez mais
frequentes em bancas reuniotildees etc sobra pouco tempo para pensar e outras
finalidades importantes como aperfeiccediloar metodologias de ensino ou enriquecer
conteuacutedos disciplinares Quando o ldquoprodutivismordquo impera na academia aulas
conferecircncias e palestras brilhantes ou qualquer outro tipo de comunicaccedilatildeo fora dos
meios reconhecidos natildeo contam por mais que sirvam para solucionar problemas
enriquecer espiacuteritos ou abrir novos caminhos de pensamento (SILVA 2012)
Nesse sentido a participaccedilatildeo no GEPMM poderia ateacute constituir importante meio
para a formaccedilatildeo dos sujeitos partiacutecipes em termos de abrir novos caminhos de pensamento
solucionar problemas da realidade natildeo matemaacutetica em questatildeo eou ajudar na melhoria da
154
Doutor em Economia
187
praacutetica mas de todo modo fora dos meios reconhecidos natildeo ldquocontardquo natildeo soma natildeo produz
ldquoquantidaderdquo nas avaliaccedilotildees de desempenho Sendo assim o objeto da referida atividade
paralela a transforma natildeo em uma atividade vital dos sujeitos e sim em puro meio de
ldquosubsistecircnciardquo Naquele momento reflexotildees sobre qual a importacircncia e a quem serviria aquilo
que estariacuteamos produzindo parecem natildeo ter acontecido Estava constituiacuteda uma atividade
alienada Aqui assumo o termo alienaccedilatildeo em Marx Alienaccedilatildeo no sentido de perpetuar a
dicotomia entre os que pensam e os que executam devido agrave inserccedilatildeo dos sujeitos no sistema
de formaccedilatildeo superior estabelecido nas e pelas universidades federais brasileiras que refletem
a organizaccedilatildeo do modo de produccedilatildeo capitalista ndash alienaccedilatildeo como fenocircmeno social
Saacutenchez Vaacutezquez (1977) busca em Marx a relaccedilatildeo alienante que pode ser
estabelecida entre os sujeitos e seus objetos ndash demandas sociais ndash em uma atividade humana
enfatizando uma possiacutevel ldquodesgovernanccedilardquo um verdadeiro runaway object (ENGESTROumlM
2010a)
As palavras de Marx (1845) em sua obra A ideologia alematilde esclarecem que
O poder social isto eacute a forccedila de produccedilatildeo multiplicada que nasce por obra da
cooperaccedilatildeo dos diversos indiviacuteduos sob a accedilatildeo da divisatildeo do trabalho aparece diante
desses indiviacuteduos por natildeo se tratar de uma cooperaccedilatildeo voluntaacuteria mas sim natural
natildeo como um poder proacuteprio associado e sim como um poder alheio situado agrave
margem deles que natildeo sabem de onde vem nem para onde vai e que por
conseguinte jaacute natildeo podem dominar (p 33 apud SAacuteNHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p
442)
Realmente natildeo podiacuteamos dominar o objeto configurado pelono referido projeto
submetido ao CNPq O proacuteprio contexto institucional estava permeado pelo modo de
produccedilatildeo e de exploraccedilatildeo do sistema capitalista imposto pela burguesia tendencioso agrave
perpetuaccedilatildeo da dicotomia entre os trabalhadores intelectuais e os trabalhadores teacutecnicos entre
os produtoresconstrutores e os operadores Com isso o contexto implicava em nossa natildeo
reflexatildeo permaneciacuteamos sem saber qual a importacircncia da referida atividade e a quem ela
serviria O que pensaacutevamos poderia estar desconectado do que pretendiacuteamos executar Nas
palavras de Angel retiradas das transcriccedilotildees do segundo encontro do GEPMM podemos
encontrar a seguinte ponderaccedilatildeo ldquonossa eacute dinheiro demais Satildeo oito milhotildees soacute pra
projetinhos para falar de mulherrdquo De fato Angel natildeo parece realmente estar ldquopreocupadordquo
com as questotildees de gecircnero no trabalho em Engenharia e mais do que isso parece natildeo
perceber a real importacircncia de se pesquisar a respeito desse tema Com isso percebemos que
ao menos para Angel o objeto principal da atividade natildeo parece estar alinhado ao seu motivo
188
Atualmente as avaliaccedilotildees de desempenho tendem a controlar externamente o
trabalho docente cujo objeto de sua atividade pode se tornar alheio aos sujeitos Nesse
sentido seria pertinente questionar qual valor de uso e de troca estaria permeado em tal
objeto contraditoacuterio Sendo assim o valor de uso referindo-se agrave utilidade de tal objeto
(projeto submetido ao edital do CNPq) poderia estar configurado pela materializaccedilatildeo dos
objetivos principal e especiacuteficos expostos anteriormente neste texto Adicionalmente o valor
de troca para os docentes parece estar restrito a uma quantificaccedilatildeo nos meios de
reconhecimento e controle do trabalho docente em instituiccedilotildees federais de ensino superior
brasileiras entre eles o curriacuteculo Lattes e os ldquonuacutemerosrdquo da CAPES e do CNPq Jaacute para os
discentes o valor de troca parecia estar relacionado com as possibilidades de ganhos reais
financeiros mediante o fornecimento de bolsas de pesquisa cujo valor seria de R$ 400
mensais No valor de troca poderiam ser encontrados os motivos que impulsionaram tal
atividade que articulariam uma necessidade a tal objeto Contudo os dados construiacutedos para
a presente pesquisa natildeo me fornecem subsiacutedios para tecer uma anaacutelise rigorosa sobre os
motivos que impulsionaram tal atividade apenas uma sinalizaccedilatildeo conforme descriccedilatildeo
anterior
Estaria em todo caso configurada uma parceria possibilitada pela participaccedilatildeo
dos sujeitos no referido grupo que sem duacutevida alguma permitiu uma movimentaccedilatildeo na Zona
de Desenvolvimento Proximal (ZDP) das atividades docente-discente devido a uma
diminuiccedilatildeo do distanciamento historicamente constituiacutedo entre docentes e discentes
permitindo e facilitando as interaccedilotildees e o diaacutelogo entre os docentes e portanto favorecendo o
desenvolvimento coletivo de iniciativas (agency) que ressaltem a satisfaccedilatildeo de demandas na
condiccedilatildeo de trabalhadores de universidades brasileiras na contemporaneidade Pesquisa e
inovaccedilatildeo cientiacutefica surgem nesse caso como ldquonovasrdquo praacuteticas sociais que atendem agraves
necessidades impostas pelas universidades Nesse sentido um processo mediado pelo agir
comunicativo ocorreu e se materializou no referido projeto submetido ao CNPq Da mesma
forma que juntamos forccedilas e conseguimos elaboraacute-lo poderiacuteamos fazecirc-lo em outros editais
que fossem abertos posteriormente
Sendo assim as possibilidades de interaccedilatildeo mediadas pela linguagem pelo
diaacutelogo entre os parceiros do GEPMM parece ser um fator preponderante para natildeo somente a
elaboraccedilatildeo de projetos de pesquisa a serem submetidos em editais do CNPq mas sobretudo
para a ampliaccedilatildeo das possibilidades de reflexatildeo acerca de sua proacutepria atividade docente
Desse modo estaria configurado um importante espaccedilo de formaccedilatildeo continuada
para os docentes com relaccedilatildeo agraves muacuteltiplas atividades (ensino pesquisa extensatildeo) que
189
desenvolvem na instituiccedilatildeo Docentes que lecionam disciplinas de Caacutelculo atuando
conjuntamente com docentes de outras aacutereas dos cursos de Engenharia e com alunos em
formaccedilatildeo podem ser considerados parceiros Uma rede de aprendizagem foi configurada no e
pelo GEPMM A aprendizagem expansiva a partir do movimento da ZDP da atividade
docente somente se materializou pela construccedilatildeo de redes ndash parceria uma reflexatildeo que cabe
aqui eacute que juntos coletivamente a atividade dos sujeitos docentes e discentes de cursos de
Engenharia pode assumir uma nova forma possivelmente com um objeto mais alinhado aos
atuais objetivos da formaccedilatildeo em Engenharia
53 Terceira modalidade ndash Modelagem e a caixa-preta do ldquopeso corporal idealrdquo num
contexto de formaccedilatildeo em Engenharias do Caacutelculo em accedilatildeo agraves aprendizagens expansivas
como transformaccedilotildees qualitativas do objeto da atividade
[] todos os atores estatildeo fazendo alguma coisa com a caixa preta () eles natildeo a
transmitem pura e simplesmente mas acrescentam elementos seus ao modificarem o
argumento fortalececirc-lo e incorporaacute-lo em novos contextos (LATOUR 2000 p
171)
A sociedade atual vem passando por importantes transformaccedilotildees nos uacuteltimos anos
mediante avanccedilo e difusatildeo de ferramentas de comunicaccedilatildeo e informaccedilatildeo Castells (2005 p
17) pontua que a ldquosociedade emergente tem sido caracterizada como sociedade de informaccedilatildeo
ou sociedade do conhecimentordquo apesar de demonstrar no referido texto que natildeo concorda
com tal terminologia O autor afirma ainda que ldquoa tecnologia eacute condiccedilatildeo necessaacuteria mas natildeo
suficiente para a emergecircncia de uma nova forma de organizaccedilatildeo social baseada em redesrdquo
(CASTELLS 2005 p 17) segundo ele ldquodifundir a Internet ou colocar mais computadores
nas escolas por si soacute natildeo constituem necessariamente grandes mudanccedilas sociaisrdquo
(CASTELLS 2005 p 18)
Considero assim que ldquoa sociedade em rede155
eacute a sociedade de indiviacuteduos em
rederdquo (CASTELLS 2005 p 22) global baseada em redes globais em que a comunicaccedilatildeo em
redes transcende fronteiras e pode ser entendida como segue
A comunicaccedilatildeo constitui o espaccedilo puacuteblico ou seja o espaccedilo cognitivo em que as
mentes das pessoas recebem informaccedilatildeo e formam os seus pontos de vista atraveacutes do
processamento de sinais da sociedade no seu conjunto Por outras palavras enquanto
155
ldquoA sociedade em rede em termos simples eacute uma estrutura social baseada em redes operadas por tecnologias
de comunicaccedilatildeo e informaccedilatildeo fundamentadas na microelectroacutenica e em redes digitais de computadores que
geram processam e distribuem informaccedilatildeo a partir de conhecimento acumulado nos noacutes dessas redesrdquo
(CASTELLS 2005 p 20)
190
a comunicaccedilatildeo interpessoal eacute uma relaccedilatildeo privada formada pelos actores da
interacccedilatildeo os sistemas de comunicaccedilatildeo mediaacuteticos criam os relacionamentos entre
instituiccedilotildees e organizaccedilotildees da sociedade e as pessoas no seu conjunto natildeo enquanto
indiviacuteduos mas como receptores colectivos de informaccedilatildeo mesmo quando a
informaccedilatildeo final eacute processada por cada indiviacuteduo de acordo com as suas proacuteprias
caracteriacutesticas pessoais (CASTELLS 2005 p 22)
Mas de que forma podemos entender e relacionar os termos informaccedilatildeo
conhecimento e saber em tal sociedade Como as tecnologias estariam relacionadas a esses
termos Nesse sentido considero que ldquoas pessoas integraram as tecnologias nas suas vidas
ligando a realidade virtual com a virtualidade real vivendo em vaacuterias formas tecnoloacutegicas de
comunicaccedilatildeo articulando-as conforme as suas necessidadesrdquo (CASTELLS 2005 p 22 grifo
meu)
Com o intuito de tentar responder ou ao menos propor uma breve reflexatildeo sobre
os termos informaccedilatildeo conhecimento e saber comeccedilarei com a premissa de que no sentido
amplo uma ldquoinformaccedilatildeo eacute um dado que se encontra no mundo objetivo exterior ao
indiviacuteduordquo (MICOTTI 1999 p 154) constitui um dado que pode ser ldquolidordquo acessado e
compreendido Alguns autores pontuam imprecisotildees envolvidas na noccedilatildeoconceito de
informaccedilatildeo na sociedade atual Para Mattelart (2006) por exemplo
A tendecircncia a assimilar a informaccedilatildeo a um termo proveniente da estatiacutestica
(datadados) e a ver informaccedilatildeo somente onde haacute dispositivos teacutecnicos se acentuaraacute
Assim instalar-se-aacute um conceito puramente instrumental de sociedade da
informaccedilatildeo Com a atopia social do conceito apagar-se-atildeo as implicaccedilotildees
sociopoliacuteticas de uma expressatildeo que supostamente designa o novo destino do mundo
(MATTELART 2006 p 71)
No sentido exposto por Mattelart (2006) pode ser inclusa a noccedilatildeo de informaccedilatildeo
de Micotti (1999 p 155) na qual ldquouma informaccedilatildeo conteacutem um suporte e uma semacircnticardquo
para Micotti (1999) uma mesma semacircntica (ideia conceito) poderia ser conduzida por
diferentes suportes (desenho imagem enunciado verbal) que percorreriam um mesmo canal
(por exemplo oacutetico acuacutestico etc) Micotti (1999 p 155) afirma ainda que ldquoas informaccedilotildees
penetram nos sistemas de tratamento ndash o corpo humano eacute um deles O indiviacuteduo as submete a
uma seacuterie de accedilotildees e as transforma em conhecimentordquo
No que tange agrave noccedilatildeo de conhecimento Mattelart (2006) se apoia em Machlup
(1962 p 69 grifo do autor) e esclarece que ldquoinformar eacute uma atividade mediante a qual o
conhecimento eacute transmitido conhecer eacute resultado de ter sido informadordquo Nisso Micotti
(1999) esclarece que
191
o conhecimento eacute o resultado de uma experiecircncia pessoal com as informaccedilotildees Ele eacute
subjetivo relaciona-se com as vivecircncias e as atividades de cada pessoa ao passo que
o saber tem aspectos subjetivos (individuais) e sociais Eacute individual e deste ponto de
vista eacute tambeacutem conhecimento envolve a apropriaccedilatildeo de informaccedilatildeo por um sujeito
eacute interpessoal ndash o saber individual eacute confrontado com os saberes dos outros
(MICOTTI 1999 P 155)
Com isso o saber pode ser considerado como um objeto autocircnomo registrado nos
livros ou em quaisquer outros artefatos culturais e tecnoloacutegicos podendo tambeacutem tornar-se
enunciado acionado em interaccedilotildees diversas no sentido de ser uma informaccedilatildeo disponibilizada
para outros indiviacuteduos nas interaccedilotildees e suportadas por miacutedias diversas Sendo assim o saber
pode ser considerado como uma relaccedilatildeo cognitiva produto de uma interaccedilatildeo156
traccedilado na e
pela historicidade e submetido aos processos coletivos de validaccedilatildeo e transmissatildeo
(CHARLOT 2000)
Sendo assim informaccedilatildeo conhecimento e saber assumem caracteriacutesticas distintas
poreacutem inter-relacionadas (MICOTTI 1999) Para que uma informaccedilatildeo se torne conhecimento
eacute necessaacuteria uma internalizaccedilatildeo uma interpretaccedilatildeo daquela informaccedilatildeo por parte dos sujeitos
gerando conhecimento no entanto tal conhecimento se transforma em saber mediante anaacutelise
rigorosa de uma coletividade ndash a comunidade cientiacutefica a sociedade ndash por meio de accedilotildees e
interaccedilotildees diaacutelogo e orquestraccedilatildeo (MICOTTI 1999) Desta forma ldquoo saber compreende
informaccedilatildeo e conhecimentordquo (MICOTTI 1999 p 155)
Ainda pretendo discorrer sobre o papel das interaccedilotildees com os modelos que
permearam o GEPMM durante os dez primeiros encontros no que tange agraves interaccedilotildees (e
agency) necessaacuterias para a elucidaccedilatildeo dos modelos assim como as possibilidades de
interaccedilotildees tecnomediadas157
oferecidas por tais instrumentos ou artefatos mediadores Atribuo
dois modelos tecnomatemaacuteticos como fundamentais para auxiliar o entendimento da questatildeo
escolhida por noacutes para ser solucionada coletivamente no GEPMM conforme os atributos de
nossas agency bem como o acesso aos demais instrumentos necessaacuterios para possibilitar as
accedilotildees em prol de atingir tal objetivo O primeiro deles constituiacutedo por um sistema de
156
O termo interaccedilatildeo aqui assumido eacute oriundo da teoria bakhtiniana de discurso que carrega a definiccedilatildeo de
sujeito como um sujeito social que pertence a uma classe social na qual dialogam os diferentes discursos da
sociedade Aleacutem disso os diaacutelogos entre interlocutores se cruzam aos diaacutelogos entre discursos Sendo assim ldquoo
dialogismo interacional de Bakhtin desloca o conceito de sujeito que perde o papel de centro ao ser substituiacutedo
por diferentes vozes sociais que fazem dele um sujeito histoacuterico e ideoloacutegicordquo (BARROS 2007 p 27 grifo
meu) 157
A tecnomediaccedilatildeo eacute entendida neste texto como sendo as interaccedilotildees mediadas por artefatos tecnoloacutegicos que
incluem as mais variadas ferramentas ou suportes tecnoloacutegicos tais como a proacutepria Matemaacutetica e os recursos
ciberneacuteticos aleacutem de englobar diversos suportes de mediaccedilatildeo tais como a linguagem transmitida sob a forma
oral escrita e por gestos
192
equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias (EDO)158
fornece-nos o comportamento da variaccedilatildeo das
massas magra e gorda que compotildee fundamentalmente o ldquopeso corporalrdquo com base em
mudanccedilas energeacuteticas ndash variaccedilatildeo alimentar e variaccedilatildeo de atividade fiacutesica O segundo deles
constituiacutedo por uma implementaccedilatildeo computacional baseada no primeiro modelo em uma
tecnologia de interface para a internet podendo ser acessado por meio da execuccedilatildeo de um
programa desenvolvido usando a linguagem Java159
ndash um simulador160
Na atividade de modelagem desenvolvida pelo GEPMM durante a construccedilatildeo
dos dados para a presente pesquisa cujo tema consistiu na questatildeo do ldquopeso corporal idealrdquo eacute
necessaacuterio pontuar que o objeto da referida atividade havia sido esboccedilado idealmente pelos
sujeitos partiacutecipes originado de uma sugestatildeo feita por mim No momento da sugestatildeo
algumas indagaccedilotildees jaacute faziam parte do repertoacuterio de informaccedilotildees que possuiacuteamos Jaacute
conheciacuteamos algo sobre a questatildeo Dessa forma naquele momento um objeto nos era posto
apenas e somente em relaccedilatildeo a outras informaccedilotildees Para fins de anaacutelise definirei tal objeto
como caixa-preta do ldquopeso corporal idealrdquo inicial ndash 1198621198750 Nesse sentido Ladriegravere (1978) pode
nos ajudar a entender a configuraccedilatildeo de tal objeto
Eacute verdade que moldamos a natureza a partir de nossas proacuteprias representaccedilotildees e que
deste modo nos damos a noacutes mesmos a base de novas interpretaccedilotildees A visatildeo que
temos da natureza natildeo eacute nem uniforme nem imutaacutevel Mas as coisas se passam
assim com muito mais razatildeo para a realidade social que remodelamos sem cessar
mesmo sem o saber agrave luz das interpretaccedilotildees atraveacutes das quais a aprendemos por
meio das quais nos situamos em face dela conformemente agraves quais compreendemos
nosso lugar no jogo das interaccedilotildees [] partimos sempre de uma interpretaccedilatildeo
natural mas dela passamos por uma interpretaccedilatildeo construiacuteda que eacute como que uma
esquematizaccedilatildeo preacutevia agrave escolha do modelo (LADRIEgraveRE 1978 p 147 grifos
meus)
O objetivo da atividade de Modelagem analisada nesta parte da tese poderia estar
definido como entendersolucionar a problemaacutetica questatildeo de quantificar as variaccedilotildees do
158
120588119866
119889119866
119889119905= 119862119868 minus 119896119866119866
2
120588119865119889119865
119889119905= (1 minus 119901) (119864119868 minus 119864119864 minus 120588119866
119889119866
119889119905)
120588119871119889119871
119889119905= 119901(119864119868 minus 119864119864 minus 120588119866
119889119866
119889119905)
onde 119866 corresponde ao Glicogecircnio 119862119868 corresponde aos carboidratos
de entrada 119864119868 denota a energia de entrada 119864119864 a energia gasta 119865 massa gorda 119871 massa magra os demais satildeo
coeficientes que dependem de correlaccedilatildeo de dados iniciais Tal sistema culmina na seguinte EDO linear de
primeira ordem [120578119865+120588119865+120572120578119871+120572120588119871
(1minus120573)(1+120572)]119889119861119882
119889119905= Δ119864119868 minus
1
(1minus120573)[120574119865+120572120574119871
(1+120572)+ 120575] (119861119882 minus 1198611198820) Equaccedilotildees disponiacuteveis em
httpwwwniddknihgovresearch-fundingat-niddklabs-branchesLBMintegrative-physiology-sectionbody-
weight-simulatorDocumentsHall_Lancet_Web_Appendixpdf Acesso em 19112014 159
Para maiores informaccedilotildees ver httpjavacompt_BRdownloadwhatis_javajsp 160
Simulador disponiacutevel em httpwwwniddknihgovresearch-fundingat-niddklabs-
branchesLBMintegrative-physiology-sectionbody-weight-simulatorPagesbody-weight-simulatoraspx Acesso
em 19112014
193
peso corporal mediante alteraccedilotildees na dieta e nos exerciacutecios fiacutesicos cuja meta seria atingir um
peso corporal desejadoideal Tiacutenhamos o conhecimento por exemplo que aumento de
atividades fiacutesicas tende a diminuiccedilatildeo no peso corporal enquanto diminuiccedilotildees de calorias
ingeridas tendem a diminuir o peso corporal uma pessoa com peso corporal maior queima
mais calorias do que uma pessoa com peso corporal menor em uma mesma atividade fiacutesica eacute
necessaacuterio ingerir alimentos de trecircs em trecircs horas uma pessoa deve ingerir entre 2000 e
2500 calorias por dia entre outras informaccedilotildees que se relacionavam agrave 1198621198750 naquele momento
moldando-a sob nossos olhares Configurava-se um objeto a ser transformado resultando em
um entendimento lsquomais clarorsquo sobre tal questatildeo de forma que instrumentos de Caacutelculo
fossem utilizados no processo de Modelagem
Clarear no sentido de ldquoacinzentarrdquo do cinza escuro (tendendo ao preto) para tons
mais claros de cinza Sendo assim orientados pelo objetivo acima exposto o objeto de nossa
atividade ao acessarmos informaccedilotildees que por sua vez geraram conhecimentos acerca da
problemaacutetica modificou a cor da caixa-preta tornando-a cada vez mais clara (ou natildeo)
mediante as interaccedilotildees entre os sujeitos e as referidas fontes e recursos que suportavam as
informaccedilotildees entre elas alguns artigos cientiacuteficos Vale ressaltar que ldquoverdadesrdquo cientiacuteficas
(impressas em artigos cientiacuteficos lidos pelos integrantes do grupo) transformam-se em
comunicaccedilatildeo pelas e nas interaccedilotildees que por sua vez carregam o saber nela contidos
promovendogerando o entendimento ldquoclareandordquo as questotildees da sociedade
Ainda eacute importante salientar que 1198621198750 se constitui uma ceacutelula geacutermen
Davydoviana que seria uma primaacuteria abstraccedilatildeo da realidade em questatildeo ndash a problemaacutetica
questatildeo do peso corporal ideal ndash jaacute que naquele momento nada de ldquoconcretordquo havia sido
produzido Havia apenas uma transformaccedilatildeo nos modos como pensaacutevamos a realidade ndash a
problemaacutetica-questatildeo que estaria sendo tomada como o objeto da atividade com um
conhecimento a ser construiacutedo pela e na atividade de Modelagem que partiria daquela
abstraccedilatildeo primaacuteria e seria mediante o desencadeamento do processo elevada a um concreto
pensado161
Durante a realizaccedilatildeo da entrevista final a aluna Taty ressaltou que natildeo imaginava
que o problema do peso corporal ideal fosse ter tantas variaacuteveis apesar de desconfiar que teria
Matemaacutetica ou seja que a Matemaacutetica seria instrumento para a realizaccedilatildeo da Modelagem
Contudo ressaltou que havia pensado que ldquofosse ser uma coisa mais faacutecil mais superficial
161
ldquo[] O meacutetodo que permite elevar-se do abstrato ao concreto nada mais eacute do que o modo como o pensamento
se apropria do concreto sob a forma do concreto pensado Mas natildeo eacute de modo algum o proacuteprio concretordquo
(MARX 1845 apud SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 204)
194
[] o problema se multiplicou [] eacute como se o problema fosse uma raiz e criou um monte de
galhinhos Muitos galhinhosrdquo Naquele momento da entrevista a observaccedilatildeo de Taty quanto
agraves ramificaccedilotildees inesperadas que levaram a uma expansatildeo natural do problema fazia todo o
sentido Teriacuteamos sim que trabalhar em vaacuterios ramos de uma ldquoaacutervorerdquo um objeto
desgovernado162
Engestroumlm (2010a p 304) afirma que um objeto desgovernado pode ser um
ldquoobjeto poderosamente emancipatoacuterio que abre radicalmente novas possibilidades de
desenvolvimento e bem estar163
rdquo
Sendo assim a ascensatildeo da abstraccedilatildeo primaacuteria 1198621198750 a um concreto conceitual
expandido poderia natildeo fazer parte de uma ascensatildeo linear de baixo pra cima mas parece
percorrer os vaacuterios ldquogalhinhos de uma aacutervorerdquo conforme reflexatildeo de Taty ou as trilhas e
micorrizas164
conforme apontamento de Engestroumlm (2010a) O autor se refere agraves micorrizas
para tentar analisar atividades que acontecem em uma sociedade de indiviacuteduos em rede cujos
caminhos do objeto de uma referida atividade podem ser destinados a percorrer os noacutes de uma
micorriza ou de uma verdadeira rede neural natural Nesse sentido localizamos 1198621198750 no
inicial momento da atividade de Modelagem como uma ldquocaixa-pretardquo que poderia estar
localizada em um dos noacutes de uma micorriza ou de uma rede neural natural Com isso
instalam-se 119899 possibilidades iniciais para 1198621198750 comeccedilar a se mover sob os caminhos da
micorriza
Na atividade analisada nesta parte da tese demonstraremos os caminhos e os noacutes
que constituiacuteram o movimento do objeto de nossa atividade mediante as possibilidades de
interaccedilotildees firmadas na e pela atividade que inclui claramente o acesso e o tratamento das
informaccedilotildees que por sua vez geraram conhecimentos que promoveram a movimentaccedilatildeo ndash
trajetoacuteria do objeto em questatildeo
No decorrer da atividade de modelagem do peso corporal ideal os textos ndash artigos
cientiacuteficos ndash podem ser entendidos como miacutedias que suportam modelos matemaacuteticos ndash
podem ser considerados aparatos da razatildeo165
(SKOVSMOSE 2007) e ao mesmo tempo o
162
Runaway object (ENGESTROumlM 2010a) 163
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquopowerfully emancipatory objects that open up radically new possibilities of
development and well-beingrdquo 164
Engestroumlm (2010a) entende que uma micorriza eacute uma associaccedilatildeo mutualiacutestica do tipo simbioacutetica na qual a
relaccedilatildeo mutualiacutestica estaria baseada na vantagem muacutetua de interaccedilatildeo entre duas espeacutecies que se beneficiariam
reciprocamente Tal associaccedilatildeo eacute existente em algumas espeacutecies de fungos e raiacutezes de algumas plantas Em
Engestroumlm (2008) podemos encontrar ainda a premissa de que as equipes que constituem e satildeo constituiacutedas em
coletividades que assumem atividades orientadas deveriam ser pensadas atualmente sob a oacutetica da sociedade em
rede Sendo assim as equipes coexistiriam a uma relaccedilatildeo de noacutes de uma rede da atual sociedade em rede 165
Skovsmose (2007) pontua que
1) o ldquoaparato da razatildeordquo eacute uma complexidade construiacuteda que inclui uma variedade de teacutecnicas cientiacuteficas e
tecnoloacutegicas cruciais para o desenvolvimento e manutenccedilatildeo tecnoloacutegica
195
conjunto desses aparatos da razatildeo (modelos matemaacuteticos) constitui suporteembasamento
para a elaboraccedilatildeo do software bwsimulator Com isso podemos refletir que ldquomodelos criam
modelos e uma camada de matemaacutetica sobre a outra se finca na realidaderdquo (SKOVSMOSE
2007 p 127)
Nesse sentido podemos considerar ainda que o proacuteprio objeto inicial 1198621198750 pode ser
considerado como um aparato da razatildeo (SKOVSMOSE 2007) Nisso o autor enfatiza a
complexidade em entenderexplicar a produccedilatildeo de conhecimento sob a oacutetica dos aparatos da
razatildeo Haacute uma posta dificuldade ou impossibilidade de transposiccedilatildeo das fronteiras deem tais
aparatos Para isso o autor indica a necessidade de colocarmos a tecnologia disponiacutevel em
accedilatildeo a fim de avaliar como ela trabalha O autor esclarece ainda que ldquoconstruccedilotildees
tecnoloacutegicas ainda natildeo realizadas (isto eacute situaccedilotildees hipoteacuteticas) podem ser especificadas em
detalhes pela modelagem matemaacutetica e o raciociacutenio hipoteacutetico pode se tornar um instrumento
essencial para indicar as implicaccedilotildeesrdquo (SKOVSMOSE 2007 p 140)
No que tange agrave atividade de modelagem realizada pelo GEPMM que pretendeu a
abertura da caixa-preta do peso corporal ideal o aparato da razatildeo definido pelos conteuacutedos
de Caacutelculo incluindo as Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias (EDOs) foi de crucial importacircncia
para possibilitar a avaliaccedilatildeo das consequecircncias das accedilotildees sociotecnoloacutegicas criadas nos e
pelos outros aparatos da razatildeo que permearam tal atividade Esses outros aparatos da razatildeo
emergiram nas accedilotildees e interaccedilotildees mediadas por variados artefatos entre eles artigos
cientiacuteficos livros e softwares de simulaccedilatildeo
As questotildees de acesso agrave informaccedilatildeo ou caminhos para o acesso devem ser
colocadas em relevo no que tange agraves transformaccedilotildees do objeto da referida atividade de
modelagem A seguir darei continuidade a essa parte da anaacutelise explicitando as
transformaccedilotildees qualitativas do objeto da atividade para tal explicitarei a formaccedilatildeo de outras
quatro caixas-pretas (ou cinzas) a saber 1198621198751 1198621198752 1198621198753 e 1198621198754 esboccedilando assim um
movimento de ascensatildeo do abstrato ao concreto no sentido do ldquoclareamentordquo da questatildeo do
peso corporal ideal
Quando 1198621198750 foi tomada como objeto da atividade de modelagem podiacuteamos
caracterizar traccedilos de relaccedilotildees com outras caixas-pretas na verdade 1198621198750 coexistia a tais
2) o ldquoaparato da razatildeordquo estabelece propensotildees da sociedade para uma accedilatildeo sociotecnoloacutegica que somente torna-
se possiacutevel pela matemaacutetica em accedilatildeo
3) o ldquoaparato da razatildeordquo estaacute se desenvolvendo em saltos imprevisiacuteveis seguindo uma rota fluida na qual novas
competecircncias satildeo continuamente postas nessa enorme caixa de ferramentas do projeto tecnoloacutegico
4) o ldquoaparato da razatildeordquo inclui novos padrotildees de qualidade que orienta-se pela criaccedilatildeo de um novo discurso por
meio de uma variedade de elementos da ciecircncia
5) o ldquoaparato da razatildeordquo representa a unificaccedilatildeo do conhecimento do poder sendo considerado uma constelaccedilatildeo
de conhecimento disponiacutevel
196
relaccedilotildees Tiacutenhamos o conhecimento por exemplo que 1198621198750 relacionava-se com os modelos
matemaacuteticos com taxas de consumo energeacutetico taxas de metabolismo nutriccedilatildeo educaccedilatildeo
fiacutesica bioquiacutemica entre outras caixas-pretas Mas como 1198621198750 se relacionava a elas
pretendiacuteamos entender jaacute tendo como premissa que instrumentos de Caacutelculo seriam
necessaacuterios para tal ldquoclareamentordquo Natildeo imaginaacutevamos naquele momento que instrumentos
de programaccedilatildeo de computadores e softwares emergiriam como artefatos mediadores na
referida atividade nem tampouco como essas caixas-pretas se relacionariam agraves outras
Dividirei o processo de ldquoclareamentordquo de 1198621198750 em quatro saltos (de 1198621198750 a 1198621198754)
podendo ser caracterizados pelo acesso e pela interaccedilatildeo com os artefatos mediadores que
permearam a atividade Categorizarei os artefatos mediadores (119860119872119894 119894 = 1hellip 4) da seguinte
maneira chamarei de 1198601198721 o conjunto de todos os artefatos que mediaram a atividade de
modelagem da problemaacutetica questatildeo do peso corporal ideal ateacute o momento que encontrei e
interagi com a revista Caacutelculo na sala dos professores do CEFET-MG-Timoacuteteo natildeo
incluindo as informaccedilotildees da revista em 1198601198721 Esse momento ocorreu entre o quinto e o sexto
encontro do GEPMM Aleacutem disso 1198601198722 seraacute considerado como a uniatildeo de 1198601198721 com o
conjunto unitaacuterio cujo elemento seja a revista Caacutelculo166
Seguindo com essa construccedilatildeo
definirei 1198601198723 como sendo a uniatildeo de 1198601198722 com o conjunto unitaacuterio cujo elemento seja o
software bwsimulator167
e finalmente definirei 1198601198724 como sendo a uniatildeo de 1198601198723 com o
conjunto formado pela coleccedilatildeo de modelos matemaacuteticos e suas relaccedilotildees ao fenocircmeno da
mudanccedila de peso corporal sob a forma de linguagem escrita cujo suporte eacute o artigo cientiacutefico
webappendix168
Conforme exposto no Capiacutetulo 2 desta tese entendo que uma caixa-preta na
verdade nunca eacute nem totalmente preta e nem totalmente branca ou seja nem 1198621198750 era
totalmente preta nem 1198621198754 seraacute totalmente branca depois de aberta 1198621198750 havia sido construiacuteda
pelos sujeitos do grupo num processo de interaccedilatildeo entre eles mediante inquietaccedilotildees
resultando em uma abstraccedilatildeo primaacuteria da problemaacutetica questatildeo do peso corporal ideal Caso
essa afirmativa fosse falsa estariacuteamos reforccedilando a ideologia das verdades ldquoabsolutasrdquo e
inquestionaacuteveis assim como o contraacuterio A variaccedilatildeo de cores permitida entre o preto e o
branco pertence agrave categoria dos infinitos tons de cinza Entre tais infinitos tons de cinza
destacam-se as 119862119875119894 119894 = 0hellip 4
166
Revista intitulada Caacutelculo (ano 2 nuacutemero 20 setembro de 2012 editora segmento) 167
httpbwsimulatorniddknihgov 168
httpbwsimulatorniddknihgovHall_Lancet_Webappendixpdf
197
Sendo assim a caixa-cinza resultante de um primeiro niacutevel da transformaccedilatildeo
qualitativa do objeto da atividade ndash 1198621198751 pocircde ser visualizada tomando-se por base as
seguintes caracteriacutesticas resultado do conhecimento produzido pelo acesso e pela interaccedilatildeo
com as informaccedilotildees contidas em 1198601198721 sobre 1198621198750 As accedilotildees que foram realizadas nesse sentido
aconteceram durante o segundo terceiro quarto e quinto encontros do GEPMM e nas
interaccedilotildees entre os sujeitos e instrumentos contidos em 1198601198721 fora desses momentos num
sentido espacial e fiacutesico Aleacutem das interaccedilotildees face a face entre sujeitos faz-se necessaacuterio
incluir as interaccedilotildees mediadas por instrumentos de informaccedilatildeo e comunicaccedilatildeo baseados nas e
pelas tecnologias computacionais incluindo a internet tais como e-mails e a rede social
Facebook Um instrumento foi construiacutedo pelos sujeitos do GEPMM como resultado da
apropriaccedilatildeo dos conhecimentos contidos em artefatos de 1198601198721 gerando um modelo idealizado
(tambeacutem contido em 1198601198721) para representar a problemaacutetica questatildeo do peso corporal ideal O
seguinte trecho foi extraiacutedo das transcriccedilotildees das filmagens do quinto encontro do GEPMM
Nele podemos observar um modelo matemaacutetico emergente ainda nebuloso
Eu Na verdade vai dar um sistema Vai dar um sistema de interdependecircncia aqui
[aponto para trecircs lugares distintos na mesa como se representassem trecircs
ldquocaixinhasrdquo] () as variaacuteveis peso altura gecircnero e idade na verdade elas natildeo vatildeo
ser variaacuteveis elas vatildeo ser uma constante ou seja ela eacute variaacutevel do ponto de vista
de cada um [cada pessoa] mas para a foacutermula ela vai ser uma constante () aiacute a
gente coloca essa variaacuteveis soacute com coeficientes da equaccedilatildeo () porque todos os trecircs
satildeo energias neacute Tipo assim melhorando esse modelo baacutesico seria o tanto de
atividade fiacutesica ou seja o gasto caloacuterico porque na verdade essas trecircs coisas satildeo
energias tanto do alimento que eacute energia que entra quanto do exerciacutecio que eacute uma
energia que sai desse sistema e o basal tambeacutem eacute uma energia que vai taacute sendo
gasta Vamos tentar equacionar como se fosse assim o gasto energeacutetico a taxa de
energia natildeo importando se ela eacute uma taxa positiva ou uma taxa negativa O quecirc
que vocecircs acham
Robson razoaacutevel
Eu porque se a gente coloca assim as trecircs equaccedilotildees como taxas de energia neacute eacute
claro que elas vatildeo se alterar neacute uma vai ser sei laacute P a outra Q a outra R
Angel Taacute mais aiacute se vocecirc pensar na questatildeo de classe jaacute tem que pensar no que
vocecirc taacute querendo vincular edo pra depois encontrar o resto eacute essa que eacute a sua
ideia Aiacute cecirc teria que pensar qual seria a antiderivada dessa taxa relacionada a
essa parte de dieta porque laacute na parte de fiacutesica de Caacutelculo a gente sabe o quecirc que
estaacute relacionado com o quecirc agora nessa parte daqui eu jaacute natildeo sei [risos]
Eu entatildeo a gente vai ter que buscar nos dados que a gente jaacute tem mapeados nesse
livro por exemplo Talvez a gente pudesse comeccedilar com a terceira que eacute a parte da
atividade fiacutesica entendeu () eu natildeo sei se vai dar pra ser uma edo bonitinha ou
se na verdade isso daiacute eacute um trem nebuloso entendeu Porque cada um vai se
subdividindo entre outros e outras
Naquele momento apesar de natildeo termos ainda uma escrita matemaacutetica formal
tiacutenhamos um modelo emergente um novo instrumento sendo construiacutedo pelas e nas
interaccedilotildees entre noacutes ndash sujeitos ndash e os instrumentos que permeavam a atividade Esse novo
198
instrumento idealizado acabava por promover uma transformaccedilatildeo qualitativa no objeto da
atividade gerando assim a 1198621198751 ou seja a questatildeo do peso corporal havia se modificado
qualitativamente mediante a interaccedilatildeo com tal artefato mediador ndash o modelo emergente
Ainda podemos analisar que outro resultado da atividade realizada pelo grupo ateacute aquele
momento estaria estampado em 1198621198751 relacionado agrave idealizaccedilatildeo de um novo objeto para a
atividade que somente pocircde ser realizada mediante apropriaccedilatildeo do referido novo instrumento
Refiro-me aqui a idealizaccedilatildeo que objetivou a construccedilatildeo de um software - um modelo
tecnoloacutegico- como resultado das accedilotildees orientadas pela e na atividade de modelagem em
questatildeo
Contudo depois do quinto encontro tive acesso a uma informaccedilatildeo que de fato
levou a alteraccedilotildees nas trilhas do movimento de transformaccedilatildeo do objeto da atividade de
modelagem analisada nesta parte da tese Refiro-me agrave revista Caacutelculo169
Em 17 de dezembro
de 2012 ao realizar as atividades de docecircncia no CEFET-MG-Timoacuteteo (instituiccedilatildeo na qual
sou professora) deparei-me com a referida revista sobre a mesa da sala dos professores Li o
que estava escrito na capa da revista Nela estava contida a seguinte frase ldquoExtra Emagrecer
demora trecircs anosrdquo Imediatamente abri a revista e comecei a folhear as paacuteginas em busca da
mateacuteria completa Nesse sentido tal accedilatildeo estava direcionada ao cumprimento de objetivos
parciais relacionados agrave atividade de modelagem na qual participava no GEPMM Ao realizar
interaccedilotildees mediadas pelas informaccedilotildees impressas sob a forma de linguagem escrita grafadas
nas paacuteginas da referida revista inaugurava-se uma nova fase um novo caminho uma nova
trajetoacuteria para a atividade de modelagem Estaria entatildeo constituiacutedo o conjunto 1198601198722 como
uniatildeo dos instrumentos que permeavam a atividade anteriormente a esse momento
adicionando ao conjunto 1198601198721 esse novo instrumento A importacircncia desse novo instrumento
natildeo se restringia agraves informaccedilotildees nele contidas mas sobretudo as que estariam por vir
Sendo assim a caixa-cinza resultante de um segundo niacutevel da transformaccedilatildeo
qualitativa do objeto da atividade ndash 1198621198752 ndash pocircde ser visualizada tomando-se por base as
seguintes caracteriacutesticas resultado do conhecimento produzido pelo acesso e interaccedilatildeo com as
informaccedilotildees contidas em 1198601198722 sobre 1198621198751 As accedilotildees que foram realizadas nesse sentido
aconteceram entre o quinto e o sexto encontro do GEPMM Sendo assim a caixa-cinza 2
pode ser considerada como resultado das interaccedilotildees mediadas pelas teacutecnicas de leitura e
apropriaccedilatildeo de informaccedilotildees contidas na revista Caacutelculo considerada como novo instrumento
de mediaccedilatildeo que permeou a atividade alterando seu rumo sua trajetoacuteria Tal instrumento foi
169
Revista intitulada por Caacutelculo (ano 2 nuacutemero 20 setembro de 2012 editora segmento)
199
utilizado com o objetivo de adequaccedilatildeo do objeto ainda idealizado uma abstraccedilatildeo de segundo
niacutevel rumo a um objeto real ndash concreto conceitual expandido Dessa forma a leitura da
mateacuteria da revista Caacutelculo possibilitou um movimento na ZDP da atividade entre as
ldquoidealizaccedilotildeesrdquo elaboradas no niacutevel 1 levando agrave alteraccedilatildeo de rota de rumo a um objeto
desorientado
Na verdade o acesso realizado por mim ao site httpbwsimulatorniddknihgov
ocorreu numa segunda-feira (17122012) dia anterior ao sexto encontro do GEPMM Mesmo
estando distantes (no sentido de que eu estava na cidade de Timoacuteteo-MG a 100 km de Itabira-
MG) utilizei a rede social Facebook e enviei imediatamente uma mensagem aos integrantes
do GEPMM e agrave docente do Departamento de Nutriccedilatildeo da UFOP O intuito dessa accedilatildeo seria o
compartilhamento horizontal de informaccedilotildees entre os integrantes do grupo com o intuito de
pensarmos juntos baseados nas informaccedilotildees que acessaacutessemos assim como os demais
instrumentos que pudessem mediar nossas accedilotildees mesmo distantes fisicamente uns dos outros
No iniacutecio do sexto encontro que ocorreu em 18122012 perguntei aos parceiros
se eles tinham acessado o grupo virtual de modelagem no Facebook e consequentemente
visto minha mensagem sobre o acesso agraves informaccedilotildees contidas na mateacuteria da revista Caacutelculo
mas eles responderam que natildeo que natildeo tinham acessado o grupo no Facebook e
consequentemente natildeo haviam sido informados sobre a ldquotalrdquo nova informaccedilatildeo Pois bem
decidi compartilhar naquele momento as novas informaccedilotildees
Com o auxiacutelio de um computador portaacutetil acessamos ainda durante o sexto
encontro o site httpbwsimulatorniddknihgov e comeccedilamos nossa anaacutelise sobre o modelo
que acabara de ser imerso na atividade de modelagem Estaria entatildeo constituiacutedo o conjunto
1198601198723 como uniatildeo dos instrumentos que permeavam a atividade anteriormente a esse
momento adicionando ao conjunto 1198601198722 esse novo instrumento Sendo assim a caixa-cinza 3
resultante de um terceiro niacutevel da transformaccedilatildeo qualitativa do objeto da atividade ndash 1198621198753 ndash
pocircde ser visualizada tomando-se por base as seguintes caracteriacutesticas resultado do
conhecimento produzido pelo acesso e interaccedilatildeo com as informaccedilotildees contidas em 1198601198723 sobre
1198621198752 As accedilotildees que foram realizadas nesse sentido aconteceram na maioria das vezes no sexto
encontro do GEPMM
No sexto encontro realizamos algumas simulaccedilotildees com o auxiacutelio do bwsimulator
nessas interaccedilotildees sujeito-instrumento-objeto esperaacutevamos obter respostas para nossas
inquietaccedilotildees no que tange agrave problemaacutetica questatildeo por noacutes estudada modelada e ateacute entatildeo
tomada sob a forma de 1198621198753 Nesse sentido Kaptelinin (1996) pontua que uma das mais
200
importantes funccedilotildees dos instrumentos computacionais na estrutura da atividade humana
parece ser a extensatildeo da estrutura cognitiva referida pela Teoria da Atividade como o
Plano de Accedilotildees Internas (PAI) da atividade natildeo apenas como acreditam alguns autores que a
mais importante funccedilatildeo dos instrumentos computacionais seria a extensatildeo da memoacuteria nesse
sentido a principal funccedilatildeo dos instrumentos computacionais nas atividades humanas
consistiria na funccedilatildeo de simulaccedilatildeo170
de resultados potenciais de eventos possiacuteveis antes
mesmo de realizar accedilotildees na realidade
Sendo assim as interaccedilotildees tecnomediadas pelos artefatos computacionais
corresponderiam a um salto cognitivo estrutural da proacutepria atividade humana Poreacutem como
avaliar esse salto sob o ponto de vista de anaacutelises pela Teoria da Atividade De certo eacute
necessaacuteria uma anaacutelise para aleacutem dos instrumentos para aleacutem de tentar explicitar o papel
deles em uma dada atividade humana Eacute necessaacuterio antes de qualquer coisa analisar onde
por quem para quecirc e como satildeo usadas as tecnologias computacionais em atividades humanas
Anaacutelises que focam o(s) papel(eacuteis) de softwares ou outras tecnologias computacionais em
atividades humanas parecem desconsiderar o fato de que a natureza em si natildeo constroacutei
softwares nem quaisquer outros instrumentos ciberneacuteticos todos eles satildeo produtos dos
homens da atividade humana e constituem energia cientiacutefica ou inovadora materializada
Sendo assim o software somente existe e deve ser considerado como um artefato que medeia
as interaccedilotildees ou as possibilidades delas entre os sujeitos e o objeto da atividade analisada
Com isso uma anaacutelise que aqui se faz oportuna estaria baseada nas interaccedilotildees
entre os sujeitos mediadas pelo artefato Human Weight Simulator (HWS171
) e para aleacutem de
analisar as formas de interaccedilatildeo explicitar as possibilidades geradas por tais interaccedilotildees no que
tange ao movimento da proacutepria atividade de modelagem em questatildeo
O acesso ao site httpbwsimulatorniddknihgov somente foi possibilitado
mediante acesso agrave revista Caacutelculo pertencente ao conjunto 1198601198722 Natildeo somente o acesso mas
principalmente as interaccedilotildees entre sujeito e discursos nela contidos Constituiu-se dessa
forma o conjunto 1198601198723 Os sujeitos passaram entatildeo a interagir com os instrumentos de 1198601198723
realizando accedilotildees mediadas por seus elementos com vistas a modificar 1198621198752 e gerar 1198621198753 A
seguir explicitarei algumas das interaccedilotildees-chave que podem ser ressaltadas em tal processo
170
Nesse sentido Skovsmose (2007) enfatiza que ldquoconstruccedilotildees tecnoloacutegicas ainda natildeo realizadas (isto eacute
situaccedilotildees hipoteacuteticas) podem ser especificadas em detalhes pela modelagem matemaacutetica e o raciociacutenio hipoteacutetico
pode se tornar um instrumento essencial para indicar as implicaccedilotildeesrdquo (p 160) 171
httpbwsimulatorniddknihgov
201
a) Interaccedilatildeo dos sujeitos com os instrumentos de 1198601198723 mediante teacutecnicas de
leitura e manipulaccedilatildeo do software
b) interaccedilotildees tecnomediadas pelo software geradas por simulaccedilotildees
c) interaccedilotildees entre os sujeitos gerando novas conjecturas sobre o objeto 1198621198752 o
modificando
Com base em tais interaccedilotildees foram possibilitadas as seguintes accedilotildees
subordinadas ao sentido de transformaccedilatildeo de 1198621198752 em 1198621198753
a) anaacutelise criacutetica das limitaccedilotildees do modelo tecnoloacutegico e ao mesmo tempo edo-
embasado bwsimulator e idealizaccedilotildees no sentido de melhorar tal modelo
construindo outro modelo tecnoloacutegico e ao mesmo tempo fuzzy-embasado
b) necessidade de entendimento do que estaacute dentro da caixa-preta bwsimulator
No que tange agrave anaacutelise criacutetica do modelo bwsimulator ressaltamos a
categorizaccedilatildeo de energia de entrada mediante o somatoacuterio de calorias a serem ingeridas pela
pessoa por dia e os exerciacutecios fiacutesicos que satildeo definidos sem levar em conta a modalidade e o
tempo de atividade Com base em tal anaacutelise idealizamos um modelo que categorizasse a
energia de entrada com base em alimentos a serem ingeridos e suas respectivas calorias e que
os exerciacutecios fiacutesicos fossem assinalados mediante modalidade e tempo diaacuterio Para tal
mediante interaccedilotildees entre os sujeitos da atividade trouxemos para a cena alguns discursos
entre eles o discurso do Caacutelculo o discurso da Nutriccedilatildeo o discurso da Educaccedilatildeo Fiacutesica e o
discurso da Teoria Fuzzy A inserccedilatildeo das ldquovozesrdquo da professora de Nutriccedilatildeo da UFOP via
Facebook e das vaacuterias aacutereas e conhecimentos cientiacuteficos foram demandadas para a execuccedilatildeo
das accedilotildees estrateacutegicas com vistas agrave abertura da caixa-preta do ldquopeso corporal idealrdquo
Tiacutenhamos assim uma nova configuraccedilatildeo uma nova estrutura de atividade
possibilitada pela e na multivocalidade discursiva que nela ecoava sob o aspecto de um Plano
de ldquoAccedilotildeesrdquo Internas (PAI) da proacutepria atividade Tal plano seraacute discutido com maiores
riquezas de detalhes mais adiante no presente texto
Finalmente orientados pela abertura da caixa-preta bwsimulator acessamos o
artigo disponibilizado em httpbwsimulatorniddknihgov intitulado Dynamic mathematical
model of body weight change in adults Estaria entatildeo constituiacutedo o conjunto 1198601198724 como
uniatildeo dos instrumentos que permeavam a atividade anterior a esse momento adicionando ao
202
conjunto 1198601198723 esse novo instrumento Sendo assim a caixa-cinza 4 resultante de um quarto
niacutevel da transformaccedilatildeo qualitativa do objeto da atividade ndash 1198621198754 ndash pocircde ser visualizada
tomando-se por base as seguintes caracteriacutesticas resultado do conhecimento produzido pelo
acesso e interaccedilatildeo com as informaccedilotildees contidas em 1198601198724 sobre 1198621198753 As accedilotildees que foram
realizadas nesse sentido aconteceram na maioria das vezes nos seacutetimo e oitavo encontros do
GEPMM e em outros momentos que seratildeo expostos mais adiante nesta tese
Nessa parte da anaacutelise da atividade em questatildeo podemos tomar os conteuacutedos do
Caacutelculo em accedilatildeo instrumentos indispensaacuteveis para a realizaccedilatildeo das accedilotildees de abertura da 1198621198753
e consequentemente geraccedilatildeo da 1198621198754 Com isso consideramos tais instrumentos necessaacuterios
para a realizaccedilatildeo de accedilotildees e interaccedilotildees em 1198621198753 com vistas agraves transformaccedilotildees qualitativas no
objeto da atividade traccedilando um movimento uma trajetoacuteria Uma observaccedilatildeo que se faz
necessaacuteria eacute que um instrumento em si natildeo produz alteraccedilotildees na trajetoacuteria de uma atividade
mas somente ao considerarmos o instrumento em accedilatildeo eacute que podemos perceber o movimento
possibilitado por ele Nesse sentido as atividades de Modelagem Matemaacutetica se tornam
instrumentos para possibilitar abertura de caixas-pretas devido agrave consideraccedilatildeo primaacuteria que
consiste em tomar a matemaacutetica em accedilatildeo em tais atividades ndash matemaacutetica como um
instrumento para o entendimentoresoluccedilatildeo de questotildees-problema natildeo matemaacuteticas
Dessa forma uma pergunta essencial deve ser feita e consequentemente
respondida nesta parte da anaacutelise quais os limites e as possibilidades de accedilotildees foram
estabelecidos nas e pelas interaccedilotildees mediadas por tal instrumento ndash o Caacutelculo em accedilatildeo
Sendo assim buscaremos respostas para tal questatildeo considerando o Caacutelculo em
accedilatildeo sob dois olhares como instrumento que possibilita a abertura de caixas-pretas e como
instrumento que limita ou dificulta a abertura de caixas-pretas Mas como poderia um
mesmo instrumento possibilitar e limitar aberturas de caixas-pretas Aqui estaacute a
demonstraccedilatildeo de que eacute preciso ir aleacutem de analisar o papel de um instrumento em uma
atividade e ampliar o espectro de anaacutelise para as interaccedilotildees mediadas por tais instrumentos
Cabe ressaltar que quando fazemos isso estamos assumindo um foco de anaacutelise que busca
respostas para os seguintes questionamentos quem quando por que e como usou o
instrumento na atividade
Focando a atividade de modelagem analisada nesta parte da tese seria
interessante responder os seguintes questionamentos no que se refere mais especificamente
aos instrumentos de caacutelculo em accedilatildeo utilizados pelos sujeitos da atividade nas accedilotildees que
tangem o entendimentoapropriaccedilatildeo dos tambeacutem instrumentos da atividade bwsimulator e o
203
artigo intitulado Dynamic mathematical model of body weight change in adults Valem
ressaltar que bwsimulator e o artigo podem ser considerados caixas-pretas a serem abertas
modificadas e ou fechadas na atividade de modelagem analisada nesta parte da tese que
dessa forma se configura como uma atividade de produccedilatildeo de conhecimentos e saberes
As Tecnologias da Comunicaccedilatildeo e Informaccedilatildeo (TICs) possibilitaram o acesso agrave
ciecircncia mediante acesso ao simulador e consequentemente ao artigo (texto cientiacutefico) que
expotildee um modelo matemaacutetico para representar as mudanccedilas de peso corporal em adultos
Contudo tal acesso se restringe a uma ciecircncia visualmente pronta e acabada e natildeo a uma
ciecircncia em construccedilatildeo Para entendermos esses instrumentos seria entatildeo necessaacuterio tomaacute-los
como produtos da construccedilatildeo humana orientada por finalidades e demandas especiacuteficas da
proacutepria sociedade natildeo os considerando assim como produtos prontos mas sobretudo como
produtos em contiacutenua construccedilatildeo e reconstruccedilatildeo
Se por um lado o acesso agrave ciecircncia pronta foi possibilitado mediante a caixa-preta
do simulador disponiacutevel a todos por meio do site httpbwsimulatorniddknihgov (antes
teriacuteamos apenas um artigo repleto de matemaacutetica e paracircmetros bem distante da realidade dos
usuaacuterios dos seres da sociedade pacientes educadores fiacutesicos nutricionistas apoacutes o advento
da ciberneacutetica essa ciecircncia estaacute acessiacutevel) pode ser considerado uma maravilha por outro
lado o acesso agrave ciecircncia em construccedilatildeo se tornou mais limitado
Nesse sentido configurado diante de noacutes estaria uma caixa-preta (artigo
cientiacutefico) dentro da outra (bwsimulator) ndash sobrepostas e inter-relacionadas Sendo assim
podemos perceber que enquanto mais prospera a ciecircncia e a tecnologia mais opaca e obscura
elas podem se tornar A dificuldade em se abrir as caixas-pretas pode produzir ldquohorroresrdquo no
que se refere ao entendimento da ciecircncia em construccedilatildeo pois ldquoquanto mais complexo o
processo de identificar consequecircncias de possiacuteveis accedilotildees tecnoloacutegicas ocorrerem mais temos
que confiar no aparato da razatildeo e mais circular eacute o processordquo (SKOVSMOSE 2007 p 162)
Dessa forma podemos considerar que aumentou o acesso agrave ciecircncia e ao mesmo tempo
limitou a abertura de caixas-pretas e consequentemente a tomada de consciecircncia criacutetica e
controle da proacutepria atividade por parte dos sujeitos
No que se refere agrave abertura da caixa-preta do artigo (texto cientiacutefico) intitulado
Dynamic mathematical model of body weight change in adults deparamo-nos com outras
caixas-pretas que traziam lsquoagrave cenarsquo enunciados172
oriundos do discurso da fisiologia humana
172
Para Bakhtin o enunciado eacute o produto de uma enunciaccedilatildeo ou de um contexto histoacuterico social cultural etc Eacute
preciso observar que as relaccedilotildees do discurso com a enunciaccedilatildeo com o contexto soacutecio-histoacuterico ou com o ldquooutrordquo
satildeo para Bakhtin relaccedilotildees entre discursos-enunciados Por essa razatildeo utiliza os termos intertextualidade para se
204
do discurso do Caacutelculo em accedilatildeo e do discurso cientiacutefico Sendo assim o texto eacute de fato um
tecido de muitas vozes ou de muitos discursos ldquoque se entrecruzam se completam
respondem umas agraves outras ou polemizam entre si no interior do textordquo (BARROS 2007 p
31 grifo do autor) Ainda para Bakhtin o sentido do texto e dos seus discursos internos
depende da relaccedilatildeo entre os sujeitos que se constroacutei na produccedilatildeo e na interpretaccedilatildeo dos
textos
Com isso podemos considerar o caacutelculo em accedilatildeo em duas ldquofrentesrdquo analiacuteticas no
que se refere agrave abertura da caixa-preta amparada pelono artigo cientiacutefico referido
anteriormente de autoria de Kevin Hall e seus colaboradores mais especificamente ao
apecircndice do artigo que suporta os modelos matemaacuteticos que representam o fenocircmeno das
mudanccedilas de peso corporal em adultos humanos De um lado estaria configurado um caacutelculo
em accedilatildeo como instrumento ndash linguagem usada na produccedilatildeo do texto cujos sujeitos da accedilatildeo
coincidem com os sujeitos autores do texto De outro lado estaria configurado um caacutelculo em
accedilatildeo como instrumento indispensaacutevel agrave abertura da caixa-preta do proacuteprio texto cujos
sujeitos da accedilatildeo satildeo os integrantes do GEPMM e as realizam com vistas agrave interpretaccedilatildeo do
proacuteprio texto Para interpretar o texto foi entatildeo necessaacuterio avaliar a sua produccedilatildeo
Isso posto o caacutelculo em accedilatildeo foi necessariamente ldquocolocado em cenardquo a fim de
avaliar como o Caacutelculo em accedilatildeo operava ldquopor traacutes da cenardquo Nesse sentido o aparato da
razatildeo (Caacutelculo em accedilatildeo) foi utilizado por noacutes integrantes do GEPMM como um instrumento
de avaliaccedilatildeo e criacutetica do aparato da razatildeo impresso sob a forma de linguagem escrita no
artigo referido anteriormente Skovsmose (2007 p 162 grifos meus) pontua que ldquoo aparato
da razatildeo torna-se essencial para construir os instrumentos de avaliaccedilatildeo das consequecircncias das
accedilotildees sociotecnoloacutegicas criadas pelo proacuteprio aparato da razatildeordquo
As avaliaccedilotildees e criacuteticas tecidas por noacutes integrantes do GEPMM ao conteuacutedo do
artigo (texto) assim como ao software bwsimulator caracterizavam-se na maioria das vezes
pelas sugestotildees feitas por Skovsmose (2007) quem construiu os modelos Que aspectos da
realidade estatildeo neles incluiacutedos Quem tem acesso aos modelos Os modelos satildeo
ldquoconfiaacuteveisrdquo Quem estaacute apto a controlaacute-los Levando em conta que se tais questotildees natildeo
forem adequadamente esclarecidas valores tradicionais da democracia podem ser corroiacutedos
Na tentativa de responder a tais questionamentos podemos pontuar os seguintes
esclarecimentos173
referir aos ldquodiaacutelogos entre discursosrdquo e dialogismo para se referir aos ldquodiaacutelogos entre interlocutoresrdquo (BARROS
2007) 173
Seratildeo mais bem explicitados mais adiante neste texto
205
a) os modelos matemaacuteticos (edos) suportados pelo referido artigo e o modelo
tecnoloacutegico bwsimulator foram construiacutedos pela equipe do pesquisador Kevin D
Hall
b) por um lado acreditamos que o modelo bwsimulator estaacute disponiacutevel e acessiacutevel
a todos (via internet) sob o ponto de vista de uso e possibilidades de simulaccedilotildees
por outro lado nos modelos matemaacuteticos (edos) mesmo estando disponiacuteveis a
todos haacute uma possiacutevel restriccedilatildeo em termos da acessibilidade jaacute que nem todos
tem acesso agrave linguagem matemaacutetica em uso em accedilatildeo (edo)
c) acreditamos que mais pessoas estariam aptas a controlar o bwsimulator do que
controlar as edos contudo o coacutedigo do software bwsimulator natildeo eacute disponiacutevel a
todos somente a grupos de pesquisa enquanto as edos satildeo disponiacuteveis a todos via
internet
d) quanto agrave confiabilidade nos modelos acreditamos que o Caacutelculo em accedilatildeo
utilizado no empreendimento de construccedilatildeo dos modelos (edos e bwsimulator)
limita ou dificulta avaliaccedilotildees e consequentes criacuteticas a tais modelos tornando
difiacutecil a tarefa de confiar ou natildeo neles Como o coacutedigo-fonte do software
bwsimulator ainda natildeo eacute disponiacutevel a todos (apenas a grupos de pesquisa) sob o
ponto de vista da democracia e do compartilhamento de saberes percebemos uma
iminente corrosatildeo
e) os aspectos da realidade que estatildeo inclusos nos modelos matemaacuteticos (edos) e
no modelo tecnoloacutegico (bwsimulator) natildeo satildeo os mesmos apesar de o modelo
bwsimulator estar baseado nas edos que estatildeo configuradas no artigo (texto)
Contudo nem todas edos foram usadas e mais do que isso foi necessaacuterio assumir
ldquomenosrdquo aspectos da realidade nas edos do que no bwsimulator
Sendo assim a abertura de 1198621198754 somente pocircde ocorrer mediante o imprescindiacutevel
auxiacutelio do caacutelculo em accedilatildeo que inclui as EDOs em accedilatildeo Por um lado sob o uso dos sujeitos
responsaacuteveis pela construccedilatildeo dos modelos anteriormente citados os pesquisadores liderados
por Kevin Hall o caacutelculo em accedilatildeo parece ser instrumento que pode limitar ou dificultar a
abertura da caixa-preta 1198621198754 mas por outro lado sob o uso dos sujeitos do GEPMM parece
ser um instrumento que pode ampliar as possibilidades de tal abertura
No entanto farei uma anaacutelise das interaccedilotildees que se fizeram necessaacuterias entre as
quais a finalidade estava orientada pela abertura de 1198621198754 Conforme exposto anteriormente
206
ateacute o final do oitavo encontro a certeza que tiacutenhamos eacute de que ainda havia uma interrogaccedilatildeo
quanto ao entendimento de uma equaccedilatildeo no referido artigo de onde o(s) autor(es)
ldquotirou(raram)rdquo a equaccedilatildeo (10) Pensaacutevamos que a tarefa de entendimento do processo de
construccedilatildeo da referida equaccedilatildeo era de simples entendimento mas estaacutevamos enganados
Teacutecnicas de leitura habilidades matemaacuteticas (edo) conhecimentos de Nutriccedilatildeo e
Fisiologia foram chamados ldquoagrave cenardquo para possibilitar a abertura de 1198621198754 mas ainda foi pouco
Permanecia uma dificuldade uma limitaccedilatildeo do processo um gap algo estava ldquoescondidordquo
natildeo conseguiacuteamos enxergar sozinhos Ao chegar em casa depois do oitavo encontro tentei de
todas as formas que me eram possiacuteveis decifrar o que estava ldquoescondidordquo no referido texto
entre as equaccedilotildees (9) e (10) mas meus esforccedilos foram em vatildeo Nisso tornou-se necessaacuterio o
estabelecimento de novas parcerias ampliaccedilatildeo da rede de aprendizagem mediante o chamado
para compor a ldquocenardquo aos autores do referido texto e do bwsimulator
Tomei a atitude174
de enviar um e-mail para Kevin Hall pedindo maiores
esclarecimentos quanto agrave equaccedilatildeo (10) No mesmo dia obtive uma resposta do autor tambeacutem
por e-mail enfatizando que a equaccedilatildeo teria surgido da referecircncia [20] contida no artigo e me
enviou o artigo em pdf Li o artigo todo percebi que a equaccedilatildeo (13) do artigo [20] enviado
por Kevin Hall era parecida com a equaccedilatildeo (10) mas que havia sutis diferenccedilas que me
direcionavam ao natildeo entendimento dos ldquoporquecircsrdquo do que estaria por traacutes daquele amontoado
de equaccedilotildees e afirmativas Decidi entatildeo enviar um novo e-mail para Kevin questionando-o
sobre o quecirc pra mim ainda estava ldquoescondidordquo no texto limitando o entendimento Kevin
enviou-me um manuscrito com um processo de derivaccedilatildeo e me disse que ao ler aquele
manuscrito tudo estaria explicado Imediatamente iniciei a leitura e depois de ter lido
percebi que natildeo estava tudo explicado na verdade as duacutevidas haviam se intensificado
Para obter a equaccedilatildeo (10) Kevin Hall e seus colaboradores supuseram que a
funccedilatildeo de Forbes dada por 120572 equiv119889119871
119889119865=
119862
119865 em que 119862 = 104 119896119892 eacute o paracircmetro de Forbes era
constante Vale ressaltar que 119865 eacute a massa gorda (fat mass) e 119871 eacute a massa magra (lean mass)
Se 120572 eacute constante isso implica que 119889119871 = 120572 119889119865 e consequentemente 119871 minus 1198710 = 120572 (119865 minus 1198650)
Tudo isso foi usado para obter a equaccedilatildeo (10) Soacute que ao tomar 120572 constante um valor inicial
de massa gorda 1198650 precisamente foi fixado 120572 =119862
1198650 Nisso 119871 minus 1198710 =
119862
1198650 (119865 minus 1198650) o que
implica 119871 =119862
1198650 (119865 minus 1198650) + 1198710 Contudo logo em seguida agrave equaccedilatildeo (10) no texto os autores
afirmam que ldquopara modestas mudanccedilas de peso 120572 pode ser considerado aproximadamente
174
Atitude gerada pela necessidade apontada entender a equaccedilatildeo (10)
207
constante com 119865 fixado em seu valor inicial 1198650rdquo175
Isso jaacute tinha sido levado em conta para
obter a equaccedilatildeo (10)
Temos aqui um problema como 120572(119905) =119862
119865(119905) jaacute foi tomada como constante na
equaccedilatildeo (10) a funccedilatildeo 119865(119905) precisou necessariamente ser assumida como constante Isso
acaba por extinguir a meu ver a utilidade do modelo Ora se o objetivo eacute estimar mudanccedilas
no peso corporal com o tempo tomado como sendo a soma aritmeacutetica das massas gorda e
magra que se relacionam mediante a funccedilatildeo 120572 que por sua vez depende do tempo ao tomar
a funccedilatildeo 120572 como constante implica natildeo haver qualquer mudanccedila na massa gorda ndash 119865(119905) e
consequentemente na massa magra ndash 119871(119905) que tambeacutem precisa necessariamente ser
assumida como constante Sendo assim sem variaccedilotildees de massas gorda e magra o peso
permanece o mesmo sem alteraccedilotildees
Com base nisso questionei ao Kevin Hall novamente via e-mail sobre tal
hipoacutetese ter sido considerada no artigo Ele respondeu que isso natildeo atrapalha em nada os
resultados pois o modelo implementado no bwsimulator natildeo assume 120572 constante (apesar de a
EDO (10) assumir) E aponta ainda que tal ldquolinearizaccedilatildeordquo foi feita principalmente para
escrever a EDO de primeira ordem (10) de maneira linear a intenccedilatildeo do grupo dele natildeo foi
ldquoderivarrdquo nem implementar no bwsimulator tal EDO mas que tal modelo ldquocorrespondiardquo a
uma EDO de ordem superior natildeo linear obtida pelo grupo dele no passado
Naquele momento o artigo estava mais claro as equaccedilotildees faziam mais sentido e
todos esses entendimentos precisavam ser compartilhados com os demais sujeitos do grupo
Uma importante observaccedilatildeo que se faz necessaacuteria eacute a de que sem internet sem e-mail os
autores do texto dificilmente poderiam atuar em nossa atividade da maneira que atuaram Eacute
fato que ao acessarmos o texto (artigo) e acessarmos o bwsimulator jaacute haviacuteamos feito o uso
da internet como instrumento que permeou a atividade fazendo com que seus autores
atuassem em nossa atividade por meio das diversas vozes impressas sob a forma de linguagem
escrita (que inclui a linguagem matemaacutetica) e sob a forma da linguagem tecnoloacutegica impressa
no software mas de uma forma qualitativamente diferente
O instrumento e-mail de nada teria auxiliado em nossa atividade se o autor Kevin
Hall natildeo tivesse aceitado participar na situaccedilatildeo de ator social de toda a interaccedilatildeo O modelo
de sociedade em rede permite possibilita o compartilhamento de conhecimentos e saberes
Mas isso natildeo garante necessariamente que tal compartilhamento ocorra Possuir acessar um
175
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoFor modest weight changes 120572 can be considered to be approximately
constant with 119865 fixed at its initial value 1198650rdquo (HALL et al 2011 p 4)
208
instrumento de comunicaccedilatildeo como o e-mail portanto natildeo assegura papel algum em uma
atividade Apenas abre um leque de possibilidades de accedilatildeo e interaccedilatildeo entre seres humanos
Podendo se tornar um artefato mediador de relaccedilotildees entre sujeitos e objetos de uma atividade
Outro ponto-chave considerado na presente anaacutelise toma por base uma informaccedilatildeo
fornecida por e-mail enviado a mim por Kevin Hall que consiste na seguinte afirmaccedilatildeo o
modelo implementado no bwsimulator natildeo assume 120572 constante No momento que li essa
afirmaccedilatildeo no e-mail imediatamente me perguntei ldquoseraacute mesmo que no software isso natildeo eacute
assumidordquo Ou seja ao processar uma informaccedilatildeo fazemos julgamentos quanto a sua
veracidade Em seguida pensei que de fato eles natildeo devem ter usado pois caso contraacuterio as
simulaccedilotildees natildeo se tornariam possiacuteveis De toda forma desejava confirmar isso pois caso
contraacuterio teriacuteamos que ldquoconfiarrdquo no que estava por traacutes do software e isso definitivamente
natildeo era nosso objetivo Mas como poderiacuteamos ter acesso ao que estaacute atraacutes da ldquocenardquo
promovida pelo software As simulaccedilotildees possibilitadas por tal instrumento estariam
simulando quais realidades
Novamente enviei um e-mail para Kevin Hall perguntando sobre o software em
termos de acesso aos coacutedigos internos agrave programaccedilatildeo aos recursos que estariam por traacutes da
interface homem-maacutequina estabelecidas no bwsimulator Ele me encaminhou ao setor de
transferecircncia de tecnologia para que eu pudesse obter mais detalhes sobre o acesso aos
coacutedigos O acesso aos coacutedigos somente nos foi dado mediante assinatura de termo de
compromisso assumindo-os para fins de ensino e pesquisa e sobretudo mediante assinatura
da instituiccedilatildeo a qual sou vinculada ndash CEFET-MG Sendo assim somente pesquisadores
podem ter acesso aos coacutedigos Natildeo se trata de um software livre nem de coacutedigo aberto Nesse
sentido trago uma reflexatildeo de Castells (2005) sobre o direito de propriedade e a democracia
da comunicaccedilatildeo como segue
Aderindo agrave democracia da comunicaccedilatildeo concorda-se com a democracia directa algo
que nenhum estado aceitou ao longo da histoacuteria Admitir o debate para redefinir os
direitos de propriedade acerta em cheio no coraccedilatildeo da legitimidade capitalista
Aceitar que os utilizadores satildeo produtores de tecnologia desafia o poder do
especialista Entatildeo uma poliacutetica inovadora mas pragmaacutetica teraacute de encontrar o
meio caminho entre o que eacute social e politicamente exequiacutevel em cada contexto e a
promoccedilatildeo das condiccedilotildees culturais e organizacionais para a criatividade na qual a
inovaccedilatildeo o poder a riqueza e a cultura se alicerccedilam na sociedade em rede
(CASTELLS 2005 p 29 grifo meu)
Nesse sentido parece que haacute uma iminente corrosatildeo do que poderia ser um
processo democraacutetico de comunicaccedilatildeo No que se refere aos conhecimentos impressos no
artigo natildeo parece ter problema algum o estabelecimento de uma comunicaccedilatildeo aparentemente
209
democraacutetica mas quando a propriedade intelectual dos desenvolvedores do software estava
sendo posta em risco aiacute a comunicaccedilatildeo democraacutetica se tornou fluida corroiacuteda
As intenccedilotildees do grupo liderado por Kevin Hall satildeo claras a difusatildeo do
conhecimento tecnoloacutegico somente se daacute em niacutevel de utilizaccedilatildeo (operaccedilatildeo) em vez de
produccedilatildeo (desenvolvimento) Os resultados das pesquisas realizadas por eles estatildeo
disponiacuteveis a todos por meio da internet sob a forma do bwsimulator O que serviria de base
para os coacutedigos tambeacutem estaacute disponiacutevel sob a forma do artigo (texto) Poreacutem a
disponibilizaccedilatildeo do artigo e o que o ampara natildeo parece ser considerada transferecircncia de
tecnologia ao contraacuterio do que ampara o software Nisso acordos internacionais que visam a
(re)definiccedilatildeo dos direitos de propriedade intelectual tornam-se ldquofundamentais para a
preservaccedilatildeo da inovaccedilatildeo e para a dinamizaccedilatildeo da criatividade das quais depende o progresso
humano antes e agorardquo (CASTELLS 2005 p 28)
Skovsmose (2007 p 186) denomina por construtores certo grupo de pessoas que
estaacute desenvolvendo e mantendo um aparato da razatildeo Para o autor tudo que eacute ensinado na
educaccedilatildeo superior deveria enfrentar o paradoxo da razatildeo para que os estudantes conheccedilam a
ambivalecircncia incluiacuteda no aparato da razatildeo O autor afirma que ldquoa matemaacutetica pode ser
disponiacutevel em pacotes que exigem capacidade para serem usados embora os detalhes sobre
como o pacote funciona podem natildeo ser entendidos pelas pessoas que operam com elesrdquo
(SKOVSMOSE 2007 p 187) Tais pacotes poderiam e muitas vezes trazem a Matemaacutetica
fora da superfiacutecie da situaccedilatildeo uma Matemaacutetica impliacutecita ldquoescondidardquo Em tais situaccedilotildees o
grupo de pessoas que opera tais pacotes eacute denominado por operadores que estatildeo tambeacutem
operando com matemaacutetica em accedilatildeo
Nesse sentido podemos perceber um niacutetido alinhamento entre a estrateacutegia de
abertura de caixas-pretas como um objetivo geral para a educaccedilatildeo matemaacutetica superior que
toma como objeto a formaccedilatildeo de construtores em vez de meros operadores Mais
especificamente eacute preciso promover um espaccedilo formativo em que natildeo se possa admitir a
formaccedilatildeo em Engenharia de operadores pois caso isso permaneccedila o desenvolvimento e a
manutenccedilatildeo dos aparatos da razatildeo continuaratildeo nas matildeos de poucos frequentemente cidadatildeos
de paiacuteses ricos e poderosos que na situaccedilatildeo de detentores do conhecimento e da tecnologia
tendem a colaborar com uma nova forma de colonizaccedilatildeo
Com isso pretende-se instaurar um espaccedilo criacutetico-formativo que num primeiro
momento pode ateacute parecer ilusatildeo ou utopia devido agrave dificuldade de entendimento de tantas
caixas-pretas amontoadas sobre e entre si mesmas Contudo ao se considerar as incertezas
proporcionadas pelos ldquodesgovernadosrdquo aparatos da razatildeo que proveem recursos para mais
210
desenvolvimento tecnoloacutegico torna-se necessaacuterio promover experiecircncias formativas no
sentido de fomentar a elaboraccedilatildeo de inovadores instrumentos de criacutetica descoberta e
reproduccedilatildeo praacutetica amparados pelos subsiacutedios fornecidos pelos aparatos da razatildeo
ldquoanterioresrdquo
Dessa forma o objeto da atividade aqui analisada como constituinte de um
espaccedilo formativo mais amplo - que se destina agrave formaccedilatildeo dos profissionais da Engenharia-
transforma-se gradativamente na medida em que as accedilotildees orientadas pelas e nas
transformaccedilotildees qualitativas da caixa-preta do ldquopeso corporal idealrdquo que configurou como
questatildeo-problema escolhida pelos sujeitos engajados no GEPMM a ser
entendidasolucionada ndash ldquoclareadardquo ndash ou seja qualitativamente modificada eou
transformada e portanto expandida
54 Quarta modalidade ndash Multivocalidade e agency evidenciadas pelas interaccedilotildees
tecnomediadas em atividades de Modelagem Matemaacutetica idealizaccedilotildees desencadeadoras
de aprendizagens potencialmente expansivas em um contexto de formaccedilatildeo em
Engenharias
A matemaacutetica constitui sem duacutevida tatildeo-somente um momento da processatildeo Por si
mesma ela ainda natildeo diz o que possibilita a captura da forma na concretude do
existente A essecircncia natildeo eacute o uacuteltimo fundamento Mas se a matematizaccedilatildeo natildeo eacute a
palavra final do ser nem a uacuteltima palavra sobre o ser ela nos abre em todo caso uma
regiatildeo de transparecircncia com a qual o espiacuterito humano estaacute como que naturalmente
harmonizado (LADRIEgraveRE 1978 p 165)
Configurando-se como uma das bases que constituem a Teoria da Atividade de
Engestroumlm (1987) as ideias do teoacuterico Mikhail Bakhtin tendo desenvolvido suas
investigaccedilotildees na aacuterea de filosofia da linguagem cujas origens podem ser encontradas no
marxismo fornecem a noacutes os subsiacutedios conceituais para dar conta de analisar as interaccedilotildees
que podem ser constituidoras de idealizaccedilotildees de aprendizagem em movimento de
aprendizagem expansiva
O conceito de multivocalidade tambeacutem atribuiacutedo a Bakhtin aplicado na presente
pesquisa como base analiacutetica para aprendizagens expansivas configura-se como muacuteltiplas
vozes podendo ser caracterizadas como contraditoacuterias e complementares dos vaacuterios grupos e
estratos que constituem as interaccedilotildees no sistema de atividade em anaacutelise que inclui as vozes e
gecircneros natildeo acadecircmicos de pessoas comuns constituindo argumentaccedilotildees que englobam
diferentes tipos de discurso e linguagem (BARROS 2007)
211
As interaccedilotildees podem ser caracterizadas por accedilotildees realizadas entre os sujeitos e o
objeto da atividade formativa de Modelagem Matemaacutetica aqui analisada por meio dos
artefatos mediadores que incluem as ferramentas e os signos culturais Segundo Bakhtin
(2010) o agir humano soacute se realiza mediante a interaccedilatildeo e o dizer natildeo pode ser considerado
independente do agir As interaccedilotildees verbais para Bakhtin (2010) constituem as mais variadas
formas de enunciaccedilatildeo impregnadas pelas ideologias que permeiam os fenocircmenos sociais
dando base a situaccedilotildees concretas que possibilitam os atos de fala As interaccedilotildees verbais natildeo se
restringem aos diaacutelogos que constituem claramente uma das formas mais importantes de
interaccedilatildeo verbal contudo pode-se compreender a palavra ldquodiaacutelogordquo num sentido mais amplo
isto eacute natildeo apenas como a comunicaccedilatildeo em voz alta de pessoas face a face mas toda
comunicaccedilatildeo verbal de qualquer tipo que seja como por exemplo um ato de fala impresso
em um livro ou em uma mensagem escrita em um e-mail
A tecnomediaccedilatildeo eacute entendida neste texto como sendo as interaccedilotildees mediadas por
artefatos tecnoloacutegicos que incluem as mais variadas ferramentas ou suportes tecnoloacutegicos
tais como a proacutepria Matemaacutetica e os recursos ciberneacuteticos aleacutem de englobar diversos suportes
de mediaccedilatildeo tais como a linguagem transmitida sob a forma oral escrita e por gestos A
linguagem eacute considerada por Bakhtin (2010) como um fato soacutecio ideoloacutegico e configura como
formas discursivas que veiculam por meio dos atos de fala as mais diferenciadas ideologias
estampadas nos mais diversos tipos significantes de enunciaccedilatildeo de natureza social
configurada como o produto do ato de fala
Com base nesses pressupostos pretendo agora esboccedilar uma anaacutelise das
interaccedilotildees perceptivelmente constituintes eou constituidoras das atividades do GEPMM Para
tal busco no corpus empiacuterico de dados construiacutedos durante a investigaccedilatildeo ndash elaboraccedilatildeo e
implementaccedilatildeo do GEPMM os atos de fala que explicitem a multivocalidade e a agency
evidenciadas naspelas interaccedilotildees dos sujeitos partiacutecipes
Na entrevista final quando questionada o que teria aprendido com a participaccedilatildeo
no GEPMM a professora Clarice pontuou ldquoa matemaacutetica taacute em todo lugarrdquo afirmou que ao
estar mais acostumada com uma Matemaacutetica mais teoacuterica e natildeo ter costume com uma
matemaacutetica em accedilatildeo sua participaccedilatildeo no GEPMM trouxe enriquecimento com relaccedilatildeo a isso
E confirmou ldquopensar o problema matematicamente eu natildeo tinha pensado Pensei agora
pensei no grupordquo Nesse sentido podemos aferir que as interaccedilotildees tecnomediadas ocorridas
no GEPMM possibilitaram uma ampliaccedilatildeo no repertoacuterio da docente Clarice no que diz
respeito agraves idealizaccedilotildeesvisualizaccedilotildees de uma matemaacutetica em accedilatildeo
212
O docente Angel tambeacutem demonstrou transformaccedilotildees em suas ideias mediante as
interaccedilotildees possibilitadas na e pela atividade de modelagem desenvolvida pelo GEPMM Na
entrevista final ele pontuou que natildeo esperava ter visto uma Matemaacutetica tatildeo complexa em um
problema da aacuterea de sauacutede ou seja uma matemaacutetica em accedilatildeo na aacuterea de sauacutede agindo de
forma natildeo superficial Nas palavras dele
Eu tive essa visatildeo mais ampliada da matemaacutetica [] eu imaginava uma matemaacutetica
mais baacutesica neacute mais elementar porque a gente pensa ah o pessoal da sauacutede natildeo
deve ser tatildeo assim aprofundado nas matemaacuteticas pra poder chegar em resultados
tatildeo bacanas [] tinha equaccedilotildees diferenciais tinha vaacuterias teacutecnicas matemaacuteticas
interessantiacutessimas aplicadas com um fim laacute comum
Com isso podemos perceber que o docente Angel tambeacutem parece ter tido uma
ampliaccedilatildeo no repertoacuterio no que diz respeito agraves idealizaccedilotildees que a matemaacutetica em accedilatildeo pode
possibilitar Afirmou ainda nunca ter tido a oportunidade de ver equaccedilotildees diferenciais em
outros contextos nas palavras dele ldquoa gente fica naquele lsquomundinhorsquo ali [] e transita por
ali entatildeo nunca tive curiosidade de procurar alguma matemaacutetica mais avanccedilada em outras
aacutereas entendeurdquo
Para a aluna Taty ter participado do GEPMM foi enriquecedor pelas
possibilidades de discussatildeo em grupo Extraiacutedas das transcriccedilotildees da gravaccedilatildeo da entrevista
final as palavras de Taty nos dizem ldquoA discussatildeo em grupo foi muito produtiva [] e
tambeacutem neacute essa questatildeo da articulaccedilatildeo neacute acho que a gente tem que aprender a trabalhar
porque quando vocecirc tem pessoas pra trabalhar junto com vocecirc em uma coisa as coisas saem
melhoresrdquo
A aluna pontuou ainda que ao participar do grupo pocircde reafirmar sob sua
concepccedilatildeo a importacircncia da atividade de pesquisa Ainda que a participaccedilatildeo da aluna possa
ser considerada incipiente Para ela as pessoas ldquopodem descobrir coisas que ningueacutem
descobriu antesrdquo acredita que nisso consiste ldquoo grande diferencialrdquo porque as pessoas ficam
repetindo muito reproduzindo muito e acabam natildeo percebendo que as inovaccedilotildees surgem
muitas vezes de resultados de pesquisa Durante toda a construccedilatildeo dos dados para a pesquisa
relatada nesta tese percebi que a aluna Taty realmente objetiva ter uma boa formaccedilatildeo para
conseguir ter o diferencial no mercado de trabalho Esse foi na minha visatildeo o principal
motivo do engajamento no GEPMM fazer a diferenccedila no mercado de trabalho A aluna
delimita ainda como um horizonte de ldquoaccedilotildeesrdquo para materializar tal objetivaccedilatildeo um Plano de
Accedilotildees Internas - PAI (KAPTELININ 1996) de sua proacutepria atividade formativa em
Engenharia aprendizagens de Caacutelculo e outros instrumentos matemaacuteticos que estejam aleacutem
213
dos preconizados nos planos e nas ementas das disciplinas de Caacutelculo Nas palavras de Taty
extraiacutedas das transcriccedilotildees do primeiro encontro do GEPMM
As melhores aacutereas da Computaccedilatildeo as que datildeo mais dinheiro cecirc tem que ser bom de
matemaacutetica Entatildeo eu acho um desperdiacutecio a gente ter 500 professores de
Matemaacutetica aqui e ficar na sala de aula vendo nada Adoro gosto muito acho
muito legal mas soacute isso Entendeu Vocecirc pode sair daqui muito mais potente
Com essa fala podemos analisar que apesar de o objeto das atividades
desenvolvidas pelono GEPMM estar orientado pelas questotildees-problema natildeo matemaacuteticas e
pelos estudantes em formaccedilatildeo os motivos que direcionam o engajamento nas atividades satildeo
atribuiacutedos a um sentido pessoal que norteia as accedilotildees dos sujeitos inclusive orienta as decisotildees
de engajamento ou natildeo em atividades Por que a aluna se engajou nas atividades do
GEPMM Porque deseja ter um bom salaacuterio ganhar mais dinheiro Nesse caso um bom
emprego eou muito dinheiro seriam os motivos evidenciados pela aluna em seus atos de fala
Tal objetivo estaacute relacionado a uma necessidade social ser bem-sucedido Para tal ela esboccedila
um Plano de Accedilotildees Internas (PAI) (KAPTELININ 1996) para sua proacutepria atividade
formativa Encontra a possibilidade de participar do GEPMM Percebe que as finalidades satildeo
alinhadas Engaja-se nas atividades do grupo Quando natildeo consegue realizar as atividades ou
accedilotildees relacionadas aos objetivos de ser aprovada nas disciplinas regulares e tambeacutem terminar
o projeto de iniciaccedilatildeo cientiacutefica a aluna reconceitualiza o PAI anulando ou tornando-as
minimizadas em prol de um realinhamento dos objetivos orientados nospelos sistemas de
atividade de formaccedilatildeo em engenharia ao motivo Uma voz do sistema capitalista de produccedilatildeo
estaria dessa forma ecoando na atividade a voz do mercado de trabalho Eacute possiacutevel notar
que tal voz pode ser ouvida nos mais diversos modos de atividade contemporacircneos pois
representa uma ideologia enunciada pelos sujeitos sociais Bakhtin (2010 p 125 grifo do
autor) pontua que ldquoo centro organizador de toda enunciaccedilatildeo de toda expressatildeo natildeo eacute interior
mas exterior estaacute situado no meio social que envolve o indiviacuteduordquo
Baseado nisso podemos enfatizar que uma ideologia que envolve a maioria dos
sujeitos de nossa sociedade que consiste na relaccedilatildeo de desejonecessidade em ser bem--
sucedido ter um bom emprego eou ganhar um bom salaacuterio Nesse sentido Charlot (2013 p
181) pontua ldquoao passo que se fala em sociedade do saber o saber estaacute perdendo o seu valor de
uso para virar soacute valor de trocardquo Esse fato pode encontrar suas origens na proacutepria sociedade
globalizada atual que por natureza incita a concorrecircncia permanente promulgando um
individualismo cada vez mais perceptiacutevel nas relaccedilotildees sociais Nisso residiria uma
214
contradiccedilatildeo fundamental primaacuteria constituinte dos mais variados tipos e modos histoacutericos de
atividades Ter poder ser potente ter um bom emprego e ser bem-sucedido satildeo desejos
baseados em ideologias da proacutepria sociedade capitalista Essa loacutegica da concorrecircncia
portanto pode ser parte das ideologias que ecoam nas vozes dos alunos em formaccedilatildeo em
Engenharia e pode ser considerado ldquoum sintoma de ferida antropoloacutegicardquo (CHARLOT 2013
p 182) Ferida dor e sofrimento podem ser originados por essa ideologia Quando um aluno
natildeo consegue colocar em praacutetica o PAI de sua proacutepria atividade de formaccedilatildeo ou ainda quando
o PAI natildeo eacute eficiente na realidade ele sofre Uma ferida eacute aberta podendo provocar muita
dor Reprovaccedilotildees e ou qualquer outro tipo de resultado que seja ldquodesalinhadordquo ao objetivo
delimitado pela ideologia da concorrecircncia pode acabar trazendo um desconforto para os
sujeitos que participam das atividades formativas natildeo somente para os alunos
Nisso a atividade de formaccedilatildeo em Engenharia pode ser analisada como um
trabalho alienado tanto para os alunos quanto para os professores Mas por um lado como
pensar em uma atividade de formaccedilatildeo profissionalizante sem pensar em saber e conhecimento
como objetivos principais Por outro lado como garantir uma formaccedilatildeo consistente
alinhando-se os objetivos restritamente de forma a garantir um bom salaacuterio As instituiccedilotildees
destinadas agrave formaccedilatildeo em Engenharia estatildeo configuradas socialmente apenas como um
caminho uma trajetoacuteria uma rede orientada pelo emprego (ou por um bom emprego) Como
minimizar essa contradiccedilatildeo primaacuteria emergente dos sistemas de atividade de formaccedilatildeo em
Engenharia Seria possiacutevel Natildeo pretendo e nem tenho condiccedilotildees para tentar responder a
esses questionamentos mas percebo que o quadro teoacuterico utilizado no desenvolvimento da
pesquisa aqui relatada ndash Teoria da Atividade ndash pode nos ajudar a seguir adiante em pesquisas
futuras que objetivem focar em tais questotildees Vale ressaltar que ldquoo trabalho do professor natildeo
eacute o de resolver as contradiccedilotildees mas de esclarececirc-las e evidenciar as vaacuterias formas de
legitimidade que podem existir em cada umardquo (CHARLOT 2013 p 175)
A formaccedilatildeo de uma rede coletiva de aprendizagens mediante as mais variadas
possibilidades de interaccedilotildees tecnomediadas foi estabelecida com a constituiccedilatildeo do GEPMM ndash
uma parceria Vale ressaltar que a multivocalidade esteve presente nos encontros do GEPMM
devendo ser analisada como suporte para idealizaccedilotildees de futuras realizaccedilotildees e
empreendimentos inovadores tornando a abertura reafirmaccedilatildeo eou modificaccedilatildeo das caixas-
pretas (modelos matemaacuteticos e computacionais) como accedilotildees estrategicamente necessaacuterias
para a formaccedilatildeo de agentes do desenvolvimento cientiacutefico tecnoloacutegico cultural e
socioeconocircmico demandados pelana formaccedilatildeo dos Engenheiros na atualidade
215
Castells (2005) pontua a existecircncia de uma contradiccedilatildeo crescente entre autonomia
e capacidade de inovaccedilatildeo necessaacuterias para o trabalho em empresas em rede Para o autor tal
contradiccedilatildeo somente pode ser minimizada mediante a ldquoeducaccedilatildeo baseada no modelo de
aprender a aprender ao longo da vida e preparada para estimular a criatividade e a inovaccedilatildeo
de forma a ndash e com o objectivo de ndash aplicar esta capacidade de aprendizagem a todos os
domiacutenios da vida social e profissionalrdquo (CASTELLS 2005 p 28) Sendo assim o autor
assume a criatividade e a inovaccedilatildeo como fatores-chave da criaccedilatildeo de valor e da mudanccedila
social na sociedade em rede Contudo o autor sinaliza para a necessidade de redefiniccedilatildeo dos
direitos de propriedade intelectual cujo iniacutecio se deu com a jaacute enraizada praacutetica do software
de fonte aberta como constituintes de uma comunicaccedilatildeo sem obstaacuteculos fundamentais para a
difusatildeo de um desenvolvimento tecnoloacutegico que responda agraves necessidades humanas de todo o
planeta Dessa forma a reforma do capitalismo perpassa a questatildeo do direito agrave propriedade
intelectual fator decisivo para a constituiccedilatildeo de uma democracia global
Vale ressaltar que ldquoa introduccedilatildeo da tecnologia soacute por si natildeo assegura nem a
produtividade nem a inovaccedilatildeo nem melhor desenvolvimento humanordquo (CASTELLS 2005
p 26) Por esse motivo foco esta parte da anaacutelise na multivocalidade e na agency
evidenciadas pelasnas interaccedilotildees tecnomediadas nas atividades de um GEPMM e natildeo apenas
e de forma limitada aos artefatos mediadores ndash os modelos matemaacutetico e computacional
Uma multivocalidade hiacutebrida oriunda da hibridade discursiva foi observada nas
atividades do GEPMM aqui analisadas A resoluccedilatildeo de problemas coletiva e a produccedilatildeo de
conhecimentos especificamente no que tange agrave questatildeo problemaacutetica do ldquopeso corporal
idealrdquo representaram notadamente uma substancial expansatildeo do repertoacuterio dos sujeitos
partiacutecipes da referida atividade Ao objeto da referida atividade destaca-se uma dimensatildeo
real objetiva e outra futura ou imaginaacuteria Nesse sentido ao mesmo tempo em que ele ndash o
objeto ndash era tomado na atividade praacutetica objetiva real do GEPMM configurava-se uma
dimensatildeo futura intencional projetiva idealizada do ldquomesmordquo objeto mediante accedilotildees de
idealizar ndash idealizaccedilotildees Ambas as dimensotildees somente podem ser analisadas em face da
multivocalidade a ser observada naspelas interaccedilotildees tecnomediadas
No momento que dedicaacutevamos esforccedilos para a abertura da caixa-cinza 3 (1198621198753)
estaacutevamos engajados em uma anaacutelise criacutetica do modelo constituiacutedo por vaacuterias EDOs e
implementado como o bwsimulator ndash um aparato da razatildeo Como resultado de tal anaacutelise e
reflexatildeo detiacutenhamos em nossa imaginaccedilatildeo em nossas ideias sobre tal instrumento da referida
atividade uma limitaccedilatildeo do fenocircmeno na realidade Detiacutenhamos naquele momento a
compreensatildeo de que a problemaacutetica questatildeo do ldquopeso corporal idealrdquo na realidade era muito
216
mais complexa do que a representaccedilatildeo fornecida pelo bwsimulator tanto em termos dos
alimentos ingeridos que fornecem a energia de entrada quanto aos exerciacutecios fiacutesicos que
fazem parte do consumo energeacutetico Estaacutevamos certos de que havia limitaccedilotildees conceituais da
realidade a ser modelada ndash a problemaacutetica questatildeo do ldquopeso corporal idealrdquo e o modelo
emergente da matematizaccedilatildeo e da respectiva implementaccedilatildeo computacional Precisaacutevamos
abrir a caixa-cinza 4 (1198621198754) para avaliarmos se tal limitaccedilatildeo era resultante de uma possiacutevel
limitaccedilatildeo teoacuterica conceitual da proacutepria matemaacutetica em accedilatildeo
Para tal pode-se destacar um discurso trazido agrave cena por dois partiacutecipes da
atividade aqui analisada ndash Teoria Fuzzy Tal discurso acadecircmico-cientiacutefico ecoou em vaacuterios
momentos da anaacutelise dos modelos referidos anteriormente e somente pocircde ser em virtude de
experiecircncias anteriores vivenciadas pelos dois partiacutecipes Tal vocalidade ali ecoada trouxe agrave
cena um novo instrumento uma nova ferramenta uma nova caixa-preta a ser aberta ndash os
discursos da Teoria Fuzzy Mais do que isso originou-se como uma necessidade para a
elaboraccedilatildeoproduccedilatildeo de um novo modelo um novo instrumento que levaria a uma
transformaccedilatildeo qualitativa do objeto da atividade em questatildeo referindo-se tanto agrave mudanccedila de
niacutevel da caixa-preta do ldquopeso corporal idealrdquo (rumo a uma caixa cinza 5) quanto agraves
emergentes e necessaacuterias possibilidades de interaccedilotildees tecnomediadas entre os sujeitos da
parceria no que tange ao compartilhamento de informaccedilotildees constituintes de conhecimentos e
consequentemente saberes necessaacuterios para tal empreendimento Tiacutenhamos assim uma nova
configuraccedilatildeo uma nova estrutura de atividade possibilitada pela e na multivocalidade
discursiva que nela ecoava sob o aspecto de um Plano de Accedilotildees Internas (PAI) da proacutepria
atividade
O Plano de Accedilotildees Internas (PAI) da atividade estava se reconfigurando
Idealizaccedilotildees que preconizam a realizaccedilatildeo do empreendimento foram evidenciadas nos
discursos trazidos agrave cena pela fala dos sujeitos projetar o uso da Teoria Fuzzy para a
construccedilatildeo de um novo modelo ndash tanto matemaacutetico quanto tecnoloacutegico
Poderiacuteamos inclusive pensar em um modelo tecnoloacutegico no qual a Matemaacutetica
natildeo poderia dele ser isolada nem vice-versa Um modelo tecnomatemaacutetico A Matemaacutetica
estaria aqui operando com o que poderia ser ou poderia se tornar ndash uma idealizaccedilatildeo orientada
pela Matemaacutetica contida no PAI Tal idealizaccedilatildeo poderia ser considerada como um elo entre
o que eacute e o que poderia vir a ser ndash uma nova orientaccedilatildeo uma nova finalidade Nesse sentido a
existecircncia de idealizaccedilotildees que objetivem alternativas para um fenocircmeno real se torna parte
indispensaacutevel do processo de modelagem cujo pressuposto essencial segundo Bassanezi
(2006) consiste no entendimento de que nenhum modelo deve ser considerado definitivo
217
podendo sempre ser melhorado e poderiacuteamos dizer que um bom modelo eacute aquele que propicia
a formulaccedilatildeo de novos modelos sendo essa reformulaccedilatildeo dos modelos uma das partes
fundamentais do processo de modelagem O autor pontua que isso pode ser evidenciado se
considerarmos que
Os fatos conduzem constantemente a novas situaccedilotildees
Qualquer teoria eacute passiacutevel de modificaccedilotildees
As observaccedilotildees satildeo acumuladas gradualmente de modo que novos fatos suscitam
novos questionamentos
A proacutepria evoluccedilatildeo da Matemaacutetica fornece novas ferramentas para traduzir a
realidade (teoria do Caos Teoria Fuzzy etc) (BASSANEZI 2006 p 31)
Contudo tal idealizaccedilatildeo contida no PAI da atividade somente pode ser
considerada como uma sequecircncia de accedilotildees ideais que podem fazer emergir fendas entre tal
idealizaccedilatildeo e o que viraacute a ser uma atividade real objetiva ndash concretizaccedilatildeo da idealizaccedilatildeo ndash
fazendo surgir uma objetivaccedilatildeo considerada aqui como transformaccedilatildeo de algo subjetivo em
algo objetivo ndash accedilotildees planejadas transformadas em accedilotildees executadas pelos sujeitos partiacutecipes
da atividade
Para isso uma accedilatildeo inicial a ser realizada na atividade praacutetica consistiu no
entendimento da Teoria Fuzzy mediante interaccedilotildees que possibilitaram o compartilhamento de
informaccedilotildees sobre tal arcabouccedilo teoacuterico permitindo a elaboraccedilatildeo desse novo instrumento que
passaria a permear a referida atividade Percebemos ainda a necessidade de uso e combinaccedilatildeo
de todos os instrumentos matemaacuteticos e tecnoloacutegicos que permearam a referida atividade para
o empreendimento configurado por tal nova construccedilatildeo se tornar de fato real Entre os
instrumentos que necessariamente permeavam a atividade podemos destacar conhecimentos
matemaacuteticos (Caacutelculo EDO Fuzzy) estrateacutegias de modelagem matemaacutetica modelos
matemaacuteticos modelos tecnoloacutegicos e estrateacutegias de programaccedilatildeo de computadores
Como consideraccedilatildeo final a essa parte da anaacutelise pontuo que a sequecircncia de
interaccedilotildees de aprendizagem se configura com caracteres cujo ldquoenquadramentordquo enunciativo
remete a significados resultantes de argumentaccedilotildees criacutetico-reflexivas dentro de uma praacutetica
social ndash formaccedilatildeo dos engenheiros ndash estando relacionadas agrave necessidade de transformaccedilotildees
qualitativas de tal praacutetica A constituiccedilatildeo de um contexto formativo (GEPMM) ampliou as
possibilidades de interaccedilotildees entre os sujeitos e os respectivos objetos de suas atividades O
objeto da atividade de Modelagem Matemaacutetica analisada nessa tese eacute constituiacutedo por trecircs
materializaccedilotildees ldquoo peso corporal idealrdquo a agency dos futuros engenheiros e dos docentes
evidenciadas nas interaccedilotildees sujeito-sujeitos e sujeitos-objeto
218
Tal contexto formativo somente foi constituiacutedo a partir do resultado da anaacutelise da
praacutetica social que constitui a formaccedilatildeo em Engenharia institucionalizada podendo ser
considerado como um enunciado embebido por diversas ideologias incluindo as que
compotildeem os discursos cientiacuteficos e tecnoloacutegicos configurando dessa forma uma nova forma
de atividade na instituiccedilatildeo que amplia as possibilidades de compartilhamento de informaccedilotildees
e construccedilatildeo de parcerias ndash constituindo (criando) um novo objeto para os sistemas de
atividade como resultado de uma busca consciente coletiva e intencional de oportunidades
para inovar no sentido de se fazer o novo renovar promover mudanccedilas substanciais na
praacutetica formativa Sob esse aspecto considero as accedilotildees aqui representadas como inovaccedilotildees no
que tange inclusive agrave constituiccedilatildeo de um novo e expandido espaccedilo formativo relacionado agraves
disciplinas de Caacutelculo ndash atividades de Modelagem Matemaacutetica ndash dentro do sistema de
atividades que eacute orientado pela formaccedilatildeo de engenheiros
O espaccedilo formativo constituiacutedo pelo contexto alternativo mais amplo ndash GEPMM
ndash inclui necessariamente a delimitaccedilatildeo de uma ineacutedita rede de aprendizagem ndash uma parceria
Os sujeitos satildeo cuacutemplices de uma mesma atividade de resoluccedilatildeoentendimento de questotildees-
problema do mundo real O engajamento em tais sistemas de atividade estaacute orientado por
mudanccedilas nas agencys dos docentes e discentes frente agraves suas muacuteltiplas atividades Os
instrumentos que permeiam tal atividade incluem estrateacutegias de Modelagem Matemaacutetica
conhecimentos matemaacuteticos modelos matemaacuteticos e tecnoloacutegicos conhecimentos de
programaccedilatildeo de computadores entre outros
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Neste capiacutetulo busco fazer um tipo de fechamento de ideias a respeito da
investigaccedilatildeo relatada neste texto cujo objetivo central esteve orientado pelo seguinte
questionamento quais aprendizagens expansivas podem ser evidenciadas pelas e nas
atividades desenvolvidas por um Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica
(GEPMM) em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharia
Para tal os dados foram construiacutedos em um contexto institucional que se destina
exclusivamente agrave formaccedilatildeo de engenheiros localizado em uma cidade do interior de Minas
Gerais e os desdobramentos da investigaccedilatildeo foram norteados pela abordagem qualitativa por
meio de uma intervenccedilatildeo formativa (ENGESTROumlM SANNINO 2010b) Essa intervenccedilatildeo se
219
engendrou por meio da constituiccedilatildeo de um GEPMM concebido sob a perspectiva que
considera os conteuacutedos do Caacutelculo como ferramentas ou instrumentos necessaacuterios para a
formaccedilatildeo em Engenharia
Ancorada nos aportes da teoria histoacuterico-cultural da atividade e da aprendizagem
expansiva a investigaccedilatildeo objetivou o estabelecimento de um diaacutelogo com teoacutericos que
discutem Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica focando os contextos de formaccedilatildeo em
Engenharia Sendo assim o GEPMM se configura como um espaccedilo formativo alternativo sob
a perspectiva do Caacutelculo em accedilatildeo
A construccedilatildeo dos dados para a presente investigaccedilatildeo se deu por meio de
observaccedilotildees entrevistas registro de diaacuterio de campo e mensagens eletrocircnicas O processo de
anaacutelise e interpretaccedilatildeo dos dados construiacutedos foi desenvolvido com base no proacuteprio processo
de constituiccedilatildeo do GEPMM como um ciclo de accedilotildees potencialmente expansivo
(ENGESTROM SANNINO 2010b) que possibilitou o preenchimento da ldquomatrizrdquo para
anaacutelise da aprendizagem expansiva (ENGESTROumlM 2001)
Aleacutem disso os dados construiacutedos fizeram emergir quatro modalidades analiacuteticas
na tentativa de compreender as possibilidades de aprendizagens expansivas que podem ser
evidenciadas nas e pelas atividades de um GEPMM em um contexto de formaccedilatildeo em
Engenharia Conforme abordado no Capiacutetulo 5 desta tese a constituiccedilatildeo do referido espaccedilo
formativo alternativo (GEPMM) ampliou as possibilidades de interaccedilotildees entre os sujeitos e os
respectivos objetos de suas muacuteltiplas atividades possibilitando aprendizagens expansivas
que se manifestaram como 1) transposiccedilatildeo de fronteiras e construccedilatildeo de redes ndash parcerias 2)
movimento na zona de desenvolvimento proximal da atividade docente-discente 3)
transformaccedilotildees qualitativas do objeto da atividade de Modelagem Matemaacutetica 4) ciclos de
accedilotildees potencialmente expansivas ndash idealizaccedilotildees
Ao analisar a referida intervenccedilatildeo formativa observam-se ainda subsiacutedios
necessaacuterios para considerar que o engajamento nas atividades do GEPMM pode de fato
representar importante papel na formaccedilatildeo continuada de professores suas proacuteprias praacuteticas
ampliando assim os respectivos horizontes de atuaccedilatildeo nas mais diversas dimensotildees
cotidianas de trabalho
Considerando que o momento de encerramento de uma tese natildeo se configura
apenas como um fechamento de ideias uma vez que vaacuterias discussotildees debates estudos e
pesquisas podem se originar dos dados e das questotildees apresentadas tomando por base o
espaccedilo formativo alternativo constituiacutedo pelono GEPMM em um contexto de formaccedilatildeo em
Engenharias entendo que as possibilidades para aprendizagens expansivas se tornam
220
instigantes objetos de pesquisas futuras Para tal como um horizonte possiacutevel a seguinte
pergunta diretriz poderia nortear futuras investigaccedilotildees
Quais aprendizagens expansivas podem ser evidenciadas naspelas interaccedilotildees
tecnomediadas pelo Caacutelculo em accedilatildeo em atividades de Modelagem Matemaacutetica em um
contexto de formaccedilatildeo em Engenharias
Por fim vale ressaltar que uma intervenccedilatildeo e sua interpretaccedilatildeo analiacutetica
constituintes da praacutexis cientiacutefica jamais devem ser consideradas como algo que se impotildee
absolutamente Haacute lugar para diversos esquemas e compreensotildees e por conseguinte
confrontos entre interpretaccedilotildees diversas ldquoSe a interpretaccedilatildeo eacute revelante eacute pois num duplo
sentido ela faz aparecer uma estrutura inteligiacutevel que vale de alguma maneira por si mesma
mas ao mesmo tempo daacute os meios para atingir com sua mediaccedilatildeo uma realidade que nela se
mostra mas sem aiacute se esgotarrdquo (LADRIEgraveRE 1978 p 130)
REFEREcircNCIAS
ABBAGNANO N Dicionaacuterio de Filosofia 1ordf ediccedilatildeo brasileira coordenada e revista por
Alfredo Bossi revisatildeo da traduccedilatildeo e traduccedilatildeo dos novos textos Ivone Castilho Benedetti 5
ed Satildeo Paulo Martins Fontes 2007
ALVES-MAZZOTTI A J O meacutetodo nas ciecircncias sociais In ALVES-MAZZOTTI A J
GEWANDSZNAJDER F O meacutetodo nas ciecircncias naturais e sociais pesquisa quantitativa e
qualitativa Satildeo Paulo Pioneira 1999 p 109-176
ARAUacuteJO J L Caacutelculo tecnologias e modelagem matemaacutetica as discussotildees dos alunos
2002 180 f Tese (Doutorado em Educaccedilatildeo Matemaacutetica) ndash Instituto de Geociecircncias e Ciecircncias
Exatas Universidade Estadual Paulista Juacutelio de Mesquita Filho Rio Claro 2002
ARAUacuteJO J L BORBA M C Construindo pesquisas coletivamente em educaccedilatildeo
Matemaacutetica In BORBA M de C ARAUacuteJO J de L (Orgs) Pesquisa qualitativa em
Educaccedilatildeo Matemaacutetica 2 ed Belo Horizonte Autecircntica 2006 p 27-48
ARAUacuteJO J L Brazilian research on modelling in mathematics education ZDM - The
International Journal on Mathematics Education Berlin v 42 n 3-4 p 337-348 2010
ASBAHR F da S F A pesquisa sobre a atividade pedagoacutegica contribuiccedilotildees da teoria da
atividade Revista Brasileira de Educaccedilatildeo Rio de Janeiro n 29 maioago 2005 Disponiacutevel em httpwwwscielobrpdfrbedun29n29a09pdf Acesso em 26 abr 2013
BAKHTIN M Esteacutetica da criaccedilatildeo verbal Satildeo Paulo Martins Fontes 1992
BAKHTIN M Marxismo e filosofia da linguagem problemas fundamentais do meacutetodo
socioloacutegico da linguagem Traduccedilatildeo de M Lahud e Y Frateschi Vieira 14 ed Satildeo Paulo
Hucitec 2010
221
BALDINO R R CABRAL T C B O ensino de matemaacutetica em um curso de engenharia de
Sistemas Digitais In CURY H N (Org) Disciplinas Matemaacuteticas em cursos superiores
Porto Alegre EDIPUCRS 2004 p 139-186
BARBOSA J C Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica contribuiccedilotildees para o debate teoacuterico
In REUNIAtildeO ANUAL DA ANPED 24 Caxambu Anais CD-ROM ANPED Rio de
Janeiro 2001a
BARBOSA J C Modelagem Matemaacutetica concepccedilotildees e experiecircncias de futuros
professores 2001b 253 f Tese (Doutorado em Educaccedilatildeo Matemaacutetica) ndash Instituto de
Geociecircncias e Ciecircncias Exatas Universidade Estadual Paulista Juacutelio de Mesquita Filho Rio
Claro 2001b
BARBOSA J C Modelagem Matemaacutetica na sala de aula Perspectiva Erechim v 27 n 98
p 65-74 jun 2003
BARBOSA J C Modelagem Matemaacutetica o que eacute Por quecirc Como Veritati Salvador n 4
p 73-80 2004a
BARBOSA J C Modelagem Matemaacutetica em cursos para natildeo-matemaacuteticos In CURY H N
(Org) Disciplinas Matemaacuteticas em cursos superiores Porto Alegre EDIPUCRS 2004b
p 63-84
BARBOSA J C SANTOS M A Modelagem Matemaacutetica perspectivas e discussotildees In
ENCONTRO NACIONAL DE EDUCACcedilAtildeO MATEMAacuteTICA (ENEM) 9 Belo Horizonte
Anais Recife Sociedade Brasileira de Educaccedilatildeo Matemaacutetica 2007 Disponiacutevel em
httpwwwuefsbrnupemmcc86136755572pdf Acesso em 1 ago 2013
BARROS D L P Contribuiccedilotildees de Bakhtin agraves teorias do texto e do discurso In FARACO
C A TEZZA C CASTRO G (Orgs) Diaacutelogos com Bakhtin 4 ed Curitiba Editora
UFPR 2007 p 21-38
BASSANEZI R C Ensino-Aprendizagem com modelagem matemaacutetica uma nova
estrateacutegia 3 ed Satildeo Paulo Contexto 2006
BERNARDES M E M Ensino e aprendizagem como unidade dialeacutetica na atividade
pedagoacutegica Revista Semestral da Associaccedilatildeo Brasileira de Psicologia Escolar e
Educacional (ABRAPEE) Campinas v 13 n 2 juldez 2009 Disponiacutevel em
httpwwwscielobrpdfpeev13n2v13n2a05pdf Acesso em 26 abr 2013
BIEMBENGUT M S HEIN N Modelling in engineering advantages and difficulties In
HAINES C et al (Ed) Mathematical Modelling (ICTMA 12) Education Engineering
and Economics Proceedings from the twelfth International Conference on the Teaching of
Mathematical modelling and applications Chichester United Kingdom Horwood Publishing
2007 p 415-423
BIEMBENGUT M S HEIN N Modelagem Matemaacutetica no Ensino 5 ed 2
reimpressatildeo Satildeo Paulo Contexto 2011
222
BLACK A PRENTICE A COWARD W Use of food quotients to predict respiratory
quotients for the doubly-labeled water method of measuring energy expenditure Human
Nutrition Clinic Bethesda v 40 n 5 p 381-391 1986
BLUM W Applications and Modelling in Mathematics Teaching ndash a review of arguments
and instructional aspects In NISS M BLUM W HUNTLEY Id (Orgs) Teaching of
Mathematical modelling and applications Chichester Ellis Horwood 1991 p 10-29
BLUM W LEISS D ldquoFilling uprdquo ndash the problem of independence preserving teacher
interventions in lessons with demanding modelling tasks In FOURTH CONGRESS OF THE
EUROPEAN SOCIETY FOR RESEARCH IN MATHEMATICS EDUCATION
(4ordmCERME) 2005 Saint Feliu de Guiacutexols Espanha Proceedingshellip Saint Feliu de Guiacutexols
Espanha 2005 Disponiacutevel em
httpwwwmathematikunidortmundde~ermeCERME4CERME4_WG8pdf Acesso em 26
de jul 2014
BOGDAN R C BIKLEN S K Investigaccedilatildeo qualitativa em Educaccedilatildeo Matemaacutetica uma
introduccedilatildeo agrave teoria e aos meacutetodos Traduccedilatildeo de M J Alvarez S B Santos e T M Baptista
Porto Porto Editora 1994
BORBA M C MENEGHETTI R C G HERMINI H A Modelagem calculadora
graacutefica interdisciplinaridade na sala de aula de um curso de Ciecircncias Bioloacutegicas Revista de
Educaccedilatildeo Matemaacutetica Satildeo Paulo v 5 n 3 p 63-70 1997
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica Belo Horizonte
Autecircntica Editora 2001
BORBA M C VILLARREAL M E Humans-with-media and the reorganization of
Mathematical Thinking Information and communication technologies modeling
visualization and experimentation New York Springer Science+Business Media Inc 2005
BOYCE W E DIPRIMA R C Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de
valores de contorno 6 ed Rio de Janeiro LTC 1996
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo Conselho Nacional de Educaccedilatildeo Diretrizes Curriculares
Nacionais dos Cursos de Engenharia Parecer Nordm CNECES 13622001 Homologado em
2002 Brasiacutelia Ministeacuterio da Educaccedilatildeo 2002
Disponiacutevel em httpportalmecgovbrcnearquivospdfCES112002pdf Acesso em 26 jul
2014
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo Secretaria de Educaccedilatildeo Meacutedia e Tecnoloacutegica Orientaccedilotildees
Curriculares para o Ensino Meacutedio v 2 Ciecircncias da Natureza Matemaacutetica e suas
Tecnologias Brasiacutelia Ministeacuterio da Educaccedilatildeo 2006
BURAK D Modelagem Matemaacutetica accedilotildees e interaccedilotildees no processo de ensino
aprendizagem 1992 459 p Tese (Doutorado em Educaccedilatildeo) ndash Faculdade de Educaccedilatildeo
Universidade Estadual de Campinas Campinas 1992
BURGHES D N BORRIE M S Modelling with differential equations Chichester Ellis
Horwood Limited 1981
223
CALDEIRA A D Modelagem Matemaacutetica um outro olhar Alexandria ndash Revista de
Educaccedilatildeo em Ciecircncia e Tecnologia Santa Catarina v 2 n 2 p 33-54 jul 2009
CAMARENA G P Mathematical models in the context of Sciences In INTERNATIONAL
CONGRESS ON MATHEMATICAL EDUCATION (ICME-11) 2008 Monterrey Mexico
Proceedingshellip Monterrey Mexico 2009 Disponiacutevel em
httptsgicme11orgdocumentget440 Acesso em 1 ago 2013
CAMPOS D F Anaacutelise de uma proposta para a disciplina Caacutelculo Diferencial e Integral
I surgida na UFMG apoacutes o Reuni usando o testbench de Engestroumlm como modelo de
aplicaccedilatildeo da teoria da atividade em um estudo de caso 2012 176 f Tese (Doutorado em
Educaccedilatildeo) ndash Faculdade de Educaccedilatildeo Universidade Federal de Minas Gerais Belo Horizonte
2012
CASTELLS M A sociedade em rede do conhecimento agrave poliacutetica In CASTELLS M
CARDOSO G (Orgs) A sociedade em rede do conhecimento agrave acccedilatildeo poliacutetica Lisboa
Imprensa Nacional ndash Casa da Moeda 2005 p 17-31
CHARLOT B Da relaccedilatildeo com o saber elementos para uma teoria Porto Alegre Artmed
Editora 2000
CHARLOT B Da relaccedilatildeo com o saber agraves praacuteticas educativas Satildeo Paulo Cortez 2013
CURY H N COBENGE e Ensino de Disciplinas Matemaacuteticas nas Engenharias um
retrospecto dos uacuteltimos anos In CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO EM
ENGENHARIA ndash COBENGE 30 2002 Anais Piracicaba 2002
DrsquoAMBROacuteSIO U Literacy Matheracy and Technoracy a trivium for today In
DrsquoAMBROacuteSIO U Mathematical Thinking and Learning Philadelphia Taylor amp Francis
1999 p 131-153
DrsquoAMBROacuteSIO U Sociedade cultura matemaacutetica e seu ensino Educaccedilatildeo e Pesquisa Satildeo
Paulo v 31 n 1 p 99-120 janabr 2005
DANIELS H Implicit or invisible mediation in the development of interagency work In
DANIELS H et al (Eds) Activity theory in practice promoting learning across boundaries
and agencies New York Routledge 2010a p 105-125
DANIELS H et al (Eds) Activity theory in practice promoting learning across boundaries
and agencies New York Routledge 2010b
DAVYDOV V V Problems of developmental teaching the experience of theoretical and
experimental psychological research Soviet Education v 30 n 8-10 1988
DIETARY Reference Intakes for Energy Carbohydrate Fiber Fat Fatty Acids
Cholesterol Protein and Amino Acids (Macronutrients) Disponiacutevel em
ltwwwnapeducatalogphprecord_id=10490gt Acesso em 1 ago 2013
224
DULLIUS M M ARAUacuteJO I S VEIT E A Ensino e aprendizagem de equaccedilotildees
diferenciais com abordagem graacutefica numeacuterica e analiacutetica uma experiecircncia em cursos de
Engenharia Boletim de educaccedilatildeo Matemaacutetica Rio Claro v 24 n 38 p 17-42 abr 2011
Disponiacutevel em httpwwwredalycorgpdf2912291222086003pdf Acesso em 1 ago 2013
EDWARDS C H PENNEY D E Differential equations computing and modeling 2 ed
New Jersey Prentice Hall 1996
ENGELS F A origem da famiacutelia da propriedade privada e do Estado Satildeo Paulo
Centauro 2002
ENGESTROumlM Y Learning by expanding an activity-theoretical approach to
developmental research Helsinki Orienta-Konsultit 1987
ENGESTROumlM Y Developmental studies of work as a testbench of activity theory the case
of primary care medical practice In CHAIKLIN S LAVE J (Eds) Understanding
practice perspectives on activity and context New York Cambridge University Press 1993
ENGESTROumlM Y Innovative learning in work teams analyzing cycles of knowledge
creation in practice In ENGESTROumlM Y MIETTINEN R PUNAMAumlKI R-L (Eds)
Perspectives on activity theory Cambridge Cambridge University Press 1999
ENGESTROumlM Y Expansive learning at work toward an activity theorical
reconceptualization Journal of Education and Work London v 14 n 1 p 133-156 2001
ENGESTROumlM Y Non scolae sed vitae discimus Como superar a encapsulaccedilatildeo da
aprendizagem escolar In DANIELS H (Org) Uma introduccedilatildeo agrave Vygotsky Satildeo Paulo
Ediccedilotildees Loyola 2002 p 175-198
ENGESTROumlM Y From teams to knots activity-theoretical studies of collaboration and
learning at work New York Cambridge University Press 2008
ENGESTROumlM Y The future of activity theory a rough draft In ENGESTROumlM Y
SANNINO A (Eds) Studies of expansive learning foundations findings and future
challenges Educational Research Review n 5 p 1-24 2010a
ENGESTROumlM Y SANNINO A studies of expansive learning foundations findings and
future challenges Educational Research Review n 5 p 1-24 2010b
Disponiacutevel em httpwwwhelsinkificradledocumentsEngestrom20Publ
Studies20on20expansive20learningpdf Acesso em 26 abr 2013
FERRUZZI E C Interaccedilotildees discursivas e aprendizagem em Modelagem Matemaacutetica 2011
228 f Tese (Doutorado em Ensino de Ciecircncias e Educaccedilatildeo Matemaacutetica) ndash Universidade
Estadual de Londrina Londrina 2011
FERRUZZI E C Diaacutelogos em modelagem matemaacutetica In SEMINAacuteRIO
INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCACcedilAtildeO MATEMAacuteTICA 5 2012 Anais
Petroacutepolis 2012
225
FILHO E E RIBEIRO L R C Aprendendo com PBL ndash Aprendizagem baseada em
problemas relato de uma experiecircncia em cursos de Engenharia da EESC-USP Revista
Pesquisa e Tecnologia Satildeo Paulo Minerva 2006
FIORENTINI D LORENZATO S Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos
teoacutericos e metodoloacutegicos 3 ed Campinas Autores Associados 2009
FLEMMING D M O Ensino de caacutelculo nas Engenharias relato de uma caminhada In
CURY H N (Org) Disciplinas Matemaacuteticas em cursos superiores Porto Alegre
EDIPUCRS 2004 p 271-292
FLICK U Introduccedilatildeo agrave pesquisa qualitativa Porto Alegre Artmed 2009
FRAGA L NOVAES H DAGNINO R Educaccedilatildeo em Ciecircncia Tecnologia e Sociedade
para as Engenharias perspectivas em educaccedilatildeo geral In PEREIRA E M de A (Org)
Universidade e curriacuteculo perspectivas de educaccedilatildeo geral Campinas Mercado das Letras
2010 p 135-156
FRANCHI R H L Uma proposta curricular de Matemaacutetica para cursos de Engenharia
utilizando Modelagem Matemaacutetica e Informaacutetica 2002 189 f Tese (Doutorado em
Educaccedilatildeo Matemaacutetica) ndash Instituto de Geociecircncias e Ciecircncias Exatas (IGCE) Universidade
Estadual Paulista (UNESP) Rio Claro 2002
FREIRE P Pedagogia do oprimido 17 ed Rio de Janeiro Paz e Terra 1987
FREIRE P Pedagogia da autonomia saberes necessaacuterios agrave praacutetica educativa 40
reimpressatildeo Satildeo Paulo Paz e Terra 1996
GONCcedilALVES M B FLEMMING D M Caacutelculo B funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis integrais
muacuteltiplas integrais curviliacuteneas e de superfiacutecie 2 ed Satildeo Paulo Pearson Prentice Hall 2007
HABRE S Exploring studentrsquos strategies to solve ordinary differential equations in a reform
setting Journal of Mathematical Behavior v 18 p 455-472 2000
HABRE S Writing In a Reformed Differential Equations Class In INTERNATIONAL
CONFERENCE ON THE TEACHING OF MATHEMATICS AT THE
UNDERGRADUATE LEVEL 2 2002 Proceedingshellip Crete 2002 Disponiacutevel em
wwwmathuocgr~ictm2Proceedingspap64pdf Acesso em 1 ago 2013
HALL K D et al Quantification of the effect of energy imbalance on bodyweight The
Lancet Series v 387 p 826-837 2011a
HALL K D et al Suplementary webappendix In HALL K D et al (Org) Quantification
of the effect of energy imbalance on bodyweight The Lancet Series v 387 p 826-837
2011b Disponiacutevel em httpbwsimulatorniddknihgov Acesso em 21 jan 2014
HERBSTER A F BRITO N D Labcon uma experiecircncia de modernizaccedilatildeo da disciplina
Caacutelculo Numeacuterico In CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO EM ENGENHARIA ndash
COBENGE 33 2005 Anais Campina Grande 2005
226
JAVARONI S L Abordagem geomeacutetrica possibilidades para o ensino e aprendizagem de
Introduccedilatildeo agraves Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias 2007 231 f Tese (Doutorado em Educaccedilatildeo
Matemaacutetica) ndash Instituto de Geociecircncias e Ciecircncias Exatas Universidade Estadual Paulista
Juacutelio de Mesquita Filho Rio Claro 2007
KAISER G SRIRAMAN B A global survey of international perspectives on modelling in
mathematics education ZDM ndash The International Journal on Mathematics Education
Berlin v 38 n 3 p 302-310 2006 Disponiacutevel em
httpsubsemisdejournalsZDMzdm063a9pdf Acesso em 16 abr 2013
KAPTELININ V Activity theory implications for human-computer interation In NARDI
B A (Ed) Context and consciousness activity theory and human-computer interaction
Cambridge The MIT Press 1996 p 103-116
KAWASAKI T F Tecnologias na sala de aula de Matemaacutetica resistecircncia e mudanccedilas na
formaccedilatildeo continuada de professores 2008 212 f Tese (Doutorado em Educaccedilatildeo) ndash Faculdade
de Educaccedilatildeo Universidade Federal de Minas Gerais Belo Horizonte 2008
KOSIK K Dialeacutetica do Concreto Traduccedilatildeo de Ceacutelia Neves e Alderico Toriacutebio 2 ed Rio
de Janeiro Paz e Terra 1976
KOZULIN A O conceito de atividade na psicologia sovieacutetica Vygotsky seus disciacutepulos
seus criacuteticos In DANIELS H (Org) Uma introduccedilatildeo agrave Vygotsky Traduccedilatildeo de Marcos
Bagno Satildeo Paulo Ediccedilotildees Loyola 2002 p 111-138
LADRIEgraveRE J Filosofia e praacutexis cientiacutefica Rio de Janeiro Francisco Alves Editora 1978
LATOUR B Ciecircncia em accedilatildeo como seguir cientistas e engenheiros sociedade afora
Traduccedilatildeo de Ivone C Benedetti Satildeo Paulo Editora UNESP 2000
LAVE J WENGER E Praacutetica pessoa mundo social In DANIELS H (Org) Uma
introduccedilatildeo agrave Vygotsky Satildeo Paulo Ediccedilotildees Loyola 2002 p 165-174
LEFEBVRE H Loacutegica formal loacutegica dialeacutetica Traduccedilatildeo de Carlos Nelson Coutinho 5 ed
Rio de Janeiro Civilizaccedilatildeo Brasileira 1991
LEONTEV A Activity consciousness and personality New Jersey Prentice-Hall 1978
Disponiacutevel em httplchcucsdedumcaPaperleontevindexhtml Acesso em 26 abr 2013
LEONTIEV A O desenvolvimento do psiquismo Traduccedilatildeo de Rubens Eduardo Frias 2
ed Satildeo Paulo Centauro 2004
LIBAcircNEO J C A didaacutetica e a aprendizagem do pensar e do aprender a teoria histoacuterico-
cultural da atividade e a contribuiccedilatildeo de Vasili Davydov Revista Brasileira de Educaccedilatildeo
Satildeo Paulo n 027 p 5-24 setoutnovdez 2004
LIBAcircNEO J C FREITAS R A M D M Vygotsky Leontiev Davydov trecircs aportes
teoacutericos para a teoria histoacuterico-cultural e suas contribuiccedilotildees para a didaacutetica In CONGRESSO
BRASILEIRO DE HISTOacuteRIA DA EDUCACcedilAtildeO 4 2006 Anais Goiacircnia Editora
VieiraUCG v 1 p 1-10 2006
227
MATEUS E F Atividade de aprendizagem colaborativa e inovadora de professores
ressignificando as fronteiras dos mundos universidade-escola 2005 325 f Tese (Doutorado
em Linguiacutestica Aplicada e Estudos da Linguagem) ndash Pontifiacutecia Universidade Catoacutelica de Satildeo
Paulo 2005
MATTELART A Histoacuteria da sociedade da informaccedilatildeo 2 ed Satildeo Paulo Ediccedilotildees Loyola
2006
MEYER J F C A CALDEIRA A D MALHEIROS A P S Modelagem em educaccedilatildeo
matemaacutetica Belo Horizonte Autecircntica 2011 (Coleccedilatildeo Tendecircncias em Educaccedilatildeo
Matemaacutetica)
MICCOTTI M C de O O ensino e as propostas pedagoacutegicas In BICUDO M A V (Org)
Pesquisa em Educaccedilatildeo Matemaacutetica concepccedilotildees e perspectivas Satildeo Paulo Editora UNESP
1999 p 153-168
MORENO M AZCAacuteRATE GIMEacuteNEZ C Concepciones y creencias de los profesores
universitarios de matemaacuteticas acerca de la ensentildeanza de las ecuaciones diferenciales
Ensentildeanza de Las Ciencias revista de investigacioacuten y experiecircncias didaacuteticas v 21 n 2 p
265-280 2003 Disponiacutevel em httpddduabespubedlc02124521v21n2p265pdf Acesso
em 1 ago 2013
MOURA M O et al Atividade orientadora de ensino unidade entre ensino e aprendizagem
Revista Diaacutelogo Educacional v 10 n 29 p 205-229 janabr 2010 Disponiacutevel em
httpwww2pucprbrreolindexphpdialogodd1=3432ampdd99=view Acesso em 26 abr
2013
PINTO A V O conceito de tecnologia v I 1 ed Rio de Janeiro Contraponto 2005a
PINTO A V O conceito de tecnologia v II 1 ed Rio de Janeiro Contraponto 2005b
RESNICK L B Learning in school and out Educational Researcher v 16 n 9 p 13-20
1987
RIGON Al J ASBAHR F da S F MORETTI V D Sobre o processo de humanizaccedilatildeo
In MOURA M O (Org) A atividade pedagoacutegica na teoria Histoacuterico-cultural Brasiacutelia
Liber livro 2010
SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ A Filosofia da praacutexis Traduccedilatildeo de Luiz Fernando Cardoso 2 ed
Rio de Janeiro Paz e Terra 1977
SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ A Filosofia e Circunstacircncias Traduccedilatildeo de Luiz Cavalcanti de M
Guerra Rio de Janeiro Civilizaccedilatildeo Brasileira 2002
SANNINO A NOCON H Introduction activity theory and school innovation Journal of
Educational Change v 9 n 4 p 325-328 2008
228
SCAGLIUSI F B LANCHA JUacuteNIOR A H Estudo do gasto energeacutetico por meio da aacutegua
duplamente marcada fundamentos utilizaccedilatildeo e aplicaccedilotildees Revista de Nutriccedilatildeo Campinas
n 4 p 41-551 julago 2005
SILVA J M A A quem as universidades estatildeo servindo Folha de SPaulo 6 out 2012
Disponiacutevel em httpwww1folhauolcombrfspopiniao70282-a-quem-as-universidades-
estao-servindoshtml Acesso em 24 jan 2014
SKOVSMOSE O Educaccedilatildeo matemaacutetica criacutetica a questatildeo da democracia Traduccedilatildeo de A
Lins (caps 1-4) e J de L Arauacutejo (cap 5) Prefaacutecio de M C Borba Campinas Papirus 2001
(Coleccedilatildeo Perspectivas em Educaccedilatildeo Matemaacutetica)
SKOVSMOSE O Educaccedilatildeo criacutetica incerteza Matemaacutetica responsabilidade Traduccedilatildeo de
Maria Aparecida Viggiani Bicudo Satildeo Paulo Cortez 2007
SOARES E M S SAUER L Z Um novo olhar sobre a aprendizagem de Matemaacutetica para
a Engenharia In CURY H N (Org) Disciplinas Matemaacuteticas em cursos superiores
Porto Alegre EDIPUCRS 2004 p 139-186
SOUZA L F AGUIAR C E Um experimento sobre a dilataccedilatildeo teacutermica e a lei de
resfriamento Monografia (Licenciatura em Fiacutesica) ndash Universidade Federal do Rio de
Janeiro Rio de Janeiro 2007
STEWART J Caacutelculo volume 2 5 ed Traduccedilatildeo de A C Moretti e A C G Martins Satildeo
Paulo Pioneira Thomson Learning 2006
UNIVERSIDADE Federal de Itajubaacute Portaria n 4066 29 de dezembro de 2003 Estatuto
Disponiacutevel em httpwwwunifeiedubrfilesarquivosEstatutoUNIFEIpdf Acesso em 8
ago 2013
VYGOTSKY LS Consciousness as a problem in the psychology of behavior Soviet
Psychology v 17 p 3-35 1979
VYGOTSKY L S Pensamento e linguagem Satildeo Paulo Martins Fontes 1987
WEIR J New methods for calculating metabolic rate with special reference to protein
metabolism Journal Physiology v 1-2 n 109 p 1-9 1949
WERTSCH J V Vygotsky and the social formation of mind Cambridge Harvard
University Press 1985
WERTSCH J Vygotsky y la formacioacuten social de la mente Seacuterie Cognicioacuten y desarrollo
humano Barcelona Paidoacutes 1988
ZILL D G A first course in differential equations with modeling applications 6 ed
Califoacuternia BrooksCole 1997
ZILL D G CULLEN M R Equaccedilotildees diferenciais 3 ed Satildeo Paulo Pearson 2008
Rutyele Ribeiro Caldeira
CAacuteLCULO EM ACcedilAtildeO MODELAGEM E PARCERIAS
possibilidades para aprendizagens expansivas
em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias
Tese apresentada ao Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em
Educaccedilatildeo da Faculdade de Educaccedilatildeo da
Universidade Federal de Minas Gerais como
requisito parcial para obtenccedilatildeo do tiacutetulo de Doutora
em Educaccedilatildeo
Linha de Pesquisa Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Orientadora Profa Dra Jussara de Loiola Arauacutejo
Belo Horizonte
2014
C146c T
Caldeira Rutyele Ribeiro 1982- Caacutelculo em accedilatildeo modelagem e parcerias possibilidades para aprendizagens expansivas em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias Rutyele Ribeiro Caldeira - Belo Horizonte 2014 229 f enc il Tese - (Doutorado) - Universidade Federal de Minas Gerais Faculdade de Educaccedilatildeo Orientadora Jussara de Loiola Arauacutejo Bibliografia f 220-229 1 Educaccedilatildeo -- Teses 2 Engenharia -- Estudo e ensino -- Teses 3 Engenheiros -- Ensino profissional -- Teses 4 Calculo -- Estudo e ensino -- Teses I Tiacutetulo II Arauacutejo Jussara de Loiola III Universidade Federal de Minas Gerais Faculdade de Educaccedilatildeo CDD- 620007
Catalogaccedilatildeo da Fonte Biblioteca da FaEUFMG
Universidade Federal de Minas Gerais
Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo
Tese intitulada ldquoCaacutelculo em accedilatildeo modelagem e parcerias possibilidades para aprendizagens
expansivas em um contexto de formaccedilatildeo em Engenhariasrdquo de autoria da doutoranda Rutyele
Ribeiro Caldeira aprovada pela banca examinadora constituiacuteda pelos seguintes professores
__________________________________________________
Profa Dra Jussara de Loiola Arauacutejo ndash ICExUFMG ndash orientadora
__________________________________________________
Profa Dra Maria Manuela Martins Soares David ndash FaEUFMG
__________________________________________________
Profa Dra Teresinha Fumi Kawasaki ndash FaEUFMG
__________________________________________________
Profa Dra Lourdes Maria Werle de Almeida ndash UEL
__________________________________________________
Profa Dra Sueli Liberatti Javaroni ndash UNESP
__________________________________________________
Prof Dr Francisco Acircngelo Coutinho ndash FaEUFMG ndash suplente
__________________________________________________
Prof Dr Dilhermando Ferreira Campos ndash UFOP ndash suplente
Belo Horizonte 27 de agosto de 2014
A Deus
aos meus pais Joseacute e Mirnaacute
ao meu amor Luciano e
ao priacutencipe da minha vida ndash
meu filho Matheus
Com muito amor
AGRADECIMENTOS
A Deus Pai de toda bondade compaixatildeo amor e sabedoria criador de nossas
vidas do ceacuteu e da terra parceiro de todos os momentos poderoso mestre dos mestres rei dos
reis Obrigada por ter me permitido chegar ateacute aqui por ter me dado forccedilas nos momentos
difiacuteceis
Agrave professora Jussara de Loiola Arauacutejo por toda orientaccedilatildeo pelos encontros e
desencontros pelos debates pelas possibilidades de formaccedilatildeo como pesquisadora por ter sido
tatildeo compreensiacutevel nos momentos difiacuteceis e por ter me ajudado a superaacute-los
Aos membros da banca de qualificaccedilatildeo professoras Manuela Martins Soares
David e professora Lourdes Maria Werle de Almeida pela leitura e importantes
contribuiccedilotildees sugestotildees
Ao professor Orlando Aguiar Filho por ter sido parecerista do meu projeto de
pesquisa
Aos membros do Grupo de Pesquisa e Estudos Histoacuterico-Culturais em Educaccedilatildeo
Matemaacutetica e em Ciecircncias do qual faccedilo parte desde o ano de 2010 por terem me ajudado na
construccedilatildeo de entendimentos acerca da Teoria da Atividade e por terem contribuiacutedo com
criacuteticas e sugestotildees para o desenvolvimento desta pesquisa
A todos os professores que tive em minha vida em especial aos professores
Oliacutempio Hiroshi Miyagaki e Margareth Alves por me ensinarem muitas matemaacuteticas e por
terem me motivado a seguir nos estudos de poacutes-graduaccedilatildeo
Agrave querida professora Rosilene Horta Tavares por ter me ajudado a entender
melhor a sociedade atual e as relaccedilotildees que nela estatildeo permeadas
Agrave querida amiga Nilza Helena por ter sido tatildeo companheira e por ter cuidado de
Matheus no estacionamento da FaE com tanto carinho e amor enquanto eu assistia agraves aulas
Ao meu marido Luciano Nascimento Moreira por ter sido tatildeo amoroso
carinhoso e paciente e por me trazer tantas felicidades Muito obrigada Eu te amo demais da
conta
Ao meu filho Matheus Caldeira Moreira por ter sido tatildeo compreensiacutevel nos
momentos que precisava me dedicar agrave tese e por me trazer tantas alegrias Mamatildee te ama
muito priacutencipe
Aos meus pais Joseacute Caldeira e Mirnaacute Caldeira (in memoriam) pelo apoio e amor
incondicional Sei que sempre estiveram e sempre estaratildeo me abenccediloando onde quer que
estejam ndash na terra ou no ceacuteu
Agrave minha irmatilde gecircmea Josyele Ribeiro Caldeira por ser tatildeo companheira e
presente em minha vida e pelos momentos de debates teoacutericos
Aos meus queridos filhos adotivos Anina Cristina Darinha Cristina e Sininho
Cristina pela incansaacutevel companhia ateacute altas horas da madrugada sempre alegrando os
momentos de intenso estudo
Agrave querida amiga Margarete von Muumlhlen Poll pela revisatildeo do projeto de
doutorado
Agrave professora Maria da Conceiccedilatildeo por ter me aceitado no ano de 2010 como aluna
de disciplina isolada
A todos os colegas e professores da Faculdade de Educaccedilatildeo da UFMG pelo
compartilhamento de saberes e experiecircncias
Aos servidores da secretaria da Poacutes-Graduaccedilatildeo da Faculdade de Educaccedilatildeo da
UFMG pela disponibilidade e atenccedilatildeo
Aos professores e alunos da UNIFEI-Itabira pela colaboraccedilatildeo e dedicaccedilatildeo agrave
construccedilatildeo dos dados desta pesquisa
Aos colegas do grupo de orientaccedilatildeo por terem me recebido de braccedilos abertos e
por sempre me ajudarem nas leituras e criacuteticas dos meus textos
As minhas amigas de infacircncia Graziela Fernanda Maxi Luciana e Vacircnia por
terem sido tatildeo compreensivas nos momentos de isolamento social e por sempre acreditarem
em nossa amizade
A minha cunhada Luciana Nascimento Moreira pelo apoio incondicional e por ter
nos abrigado em BH
A todos vocecircs agradeccedilo imensamente
Valeu
Adeacutelia Prado
Com licenccedila poeacutetica
Quando nasci um anjo esbelto
desses que tocam trombeta anunciou
vai carregar bandeira
Cargo muito pesado pra mulher
esta espeacutecie ainda envergonhada
Aceito os subterfuacutegios que me cabem
sem precisar mentir
Natildeo sou tatildeo feia que natildeo possa casar
acho o Rio de Janeiro uma beleza e
ora sim ora natildeo creio em parto sem dor
Mas o que sinto escrevo Cumpro a sina
Inauguro linhagens fundo reinos
mdash dor natildeo eacute amargura
Minha tristeza natildeo tem pedigree
jaacute a minha vontade de alegria
sua raiz vai ao meu mil avocirc
Vai ser coxo na vida eacute maldiccedilatildeo pra homem
Mulher eacute desdobraacutevel Eu sou
RESUMO
Esta tese apresenta a gecircnese e o desenvolvimento de uma pesquisa que buscou compreender
as possibilidades de aprendizagens expansivas que podem ser evidenciadas nas e pelas
atividades desenvolvidas por um Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica -
GEPMM em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias Ancorada nos aportes da teoria
histoacuterico-cultural da atividade e da aprendizagem expansiva a investigaccedilatildeo objetivou o
estabelecimento de um diaacutelogo com teoacutericos que discutem Modelagem na Educaccedilatildeo
Matemaacutetica focando nos contextos de formaccedilatildeo em Engenharia Os desdobramentos da
pesquisa foram norteados pela abordagem qualitativa por meio de uma intervenccedilatildeo formativa
proposta por Engestroumlm e Sannino (2010b) caracterizada pela constituiccedilatildeo do GEPMM que
se engendrou baseado na premissa de que os conteuacutedos das disciplinas de Caacutelculo ocupam
lugar de ferramentas ou instrumentos necessaacuterios para a formaccedilatildeo em Engenharia ndash um
Caacutelculo em accedilatildeo Com isso o GEPMM se configurou como um espaccedilo formativo alternativo
A construccedilatildeo dos dados para a presente investigaccedilatildeo se deu por meio de observaccedilotildees
entrevistas registro de diaacuterio de campo e mensagens eletrocircnicas O processo de anaacutelise e
interpretaccedilatildeo dos dados construiacutedos foi desenvolvido com base no proacuteprio processo de
constituiccedilatildeo do GEPMM como um ciclo de accedilotildees potencialmente expansivas
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b) que possibilitou o preenchimento da ldquomatrizrdquo para
anaacutelise da aprendizagem expansiva (ENGESTROumlM 2001) Os dados construiacutedos fizeram
emergir quatro modalidades analiacuteticas A constituiccedilatildeo do referido espaccedilo formativo
alternativo ndash GEPMM - ampliou as possibilidades de interaccedilotildees entre os sujeitos e os
respectivos objetos de suas muacuteltiplas atividades possibilitando aprendizagens expansivas que
se manifestaram como 1) transposiccedilatildeo de fronteiras e construccedilatildeo de redes ndash parcerias 2)
movimento na zona de desenvolvimento proximal da atividade docente-discente 3)
transformaccedilotildees qualitativas do objeto da atividade de modelagem matemaacutetica 4) ciclos de
accedilotildees potencialmente expansivas Ao analisar a referida intervenccedilatildeo formativa observa-se
ainda subsiacutedios necessaacuterios para considerar que o engajamento nas atividades do GEPMM
pode de fato representar significativas contribuiccedilotildees para a formaccedilatildeo continuada de
professores em suas proacuteprias praacuteticas ampliando assim os respectivos horizontes de atuaccedilatildeo
nas mais diversas dimensotildees cotidianas de trabalho
Palavras-Chave Teoria da Atividade Aprendizagem Expansiva Modelagem Matemaacutetica
Educaccedilatildeo em Engenharia Caacutelculo em Accedilatildeo Parcerias
ABSTRACT
This thesis presents the genesis and development of a research aimed to understand the
possibilities of expansive learning that can be evidenced in and by the activities developed by
a Group of Studies and Research in Mathematical Modeling - GSRMM in a context of
formation in Engineering Anchored in the contributions of the Historical-Cultural Activity
Theory and Expansive Learning this research aimed to establish a dialogue with theorists
who argue Modeling in Mathematics Education focusing on formation contexts in
Engineering The developments of the research were guided by the qualitative approach
through a formative intervention proposed by Engestroumlm and Sannino (2010) characterized
by the constitution of GSRMM in the context of formation in Engineering The GSRMM it
engender based on the premise that the disciplines of Calculus take place of tools or
instruments necessary for formation in Engineering - A calculus in action With this the
GSRMM appears as an alternative formation space in the context of formation in
Engineering The construction of the data for this research was happened by observations
interviews record field diary and email messages The process of analysis and interpretation
of data built was developed based on the process of formation of GSRMM as a potentially
expansive cycle of actions (ENGESTROM SANNINO 2010) which enabled the completion
of the matrix for the analysis of the expansive learning (ENGESTROM 2001) The data
constructed made emerge four analytical methods in an attempt to understand the possibilities
of expansive learning which can be evidenced in and by a GSRMM activities in the context
of formation in Engineering The constitution of that alternative formation space (GSRMM)
expanded the possibilities of interactions between subjects and their objects of its multiple
activities enabling expansive learning which manifested as 1) across boundaries and
building networks - partnerships 2) move the zone of proximal development of teacher-
student activity 3) qualitative transformations of the object of the activity of mathematical
modeling 4) cycles of potentially expansive actions Analyzing this formation intervention it
is observed also grants necessary to consider that engaging in activities GSRMM may
indeed represent an important role in the continuing education of teachers in their own
practices thus expanding their horizons of action in various dimensions of everyday work
Keywords Activity Theory Expansive Learning Mathematical Modeling Education in
Engineering Calculus in Action Partnerships
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 ndash A estrutura de um sistema de atividade humana 36
FIGURA 2 ndash Os interdependentes sistemas de atividade de estudantes e professor 38
FIGURA 3 ndash Sumaacuterio da generalizaccedilatildeo teoacuterica de Davydov 48
FIGURA 4 ndash Sequecircncia de accedilotildees de aprendizagem em um ciclo de aprendizagem
expansiva 57
FIGURA 5 ndash Os interdependentes sistemas de atividade de estudantes e professor(es)
engajados em atividades (escolares) de Modelagem Matemaacutetica 86
FIGURA 6 ndash Visualizaccedilatildeo da caixa-preta e suas possiacuteveis associaccedilotildees a outras caixas-
pretas 93
Tabela 1 - Matriz para anaacutelise da aprendizagem expansiva 106
FIGURA 7 ndash Paacutegina inicial site UNIFEI-Itabira 109
FIGURA 8 ndash Interconectados sistemas de atividade de professores e estudantes que tem
como objeto a apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos do livro de Caacutelculo 125
QUADRO 1 ndash ldquoEquaccedilotildees utilizadas para o caacutelculo do gasto energeacutetico (GET) segundo a
teacutecnica da aacutegua duplamente marcadardquo 146
QUADRO 2 ndash ldquoMatrizrdquo para anaacutelise da aprendizagem expansiva 169
SUMAacuteRIO
SUMAacuteRIO 12
INTRODUCcedilAtildeO A GEcircNESE E OS DESDOBRAMENTOS DA PESQUISA 13
Consideraccedilotildees iniciais necessaacuterias agrave formulaccedilatildeo da pesquisa 13
Desdobramentos da proposiccedilatildeo da pesquisa 21
Estrutura da tese 27
1 ATIVIDADES FORMATIVAS Agrave LUZ DA TEORIA HISTOacuteRICO- CULTURAL DA
ATIVIDADE E DA APRENDIZAGEM EXPANSIVA 29
11 Meacutetodo da ascensatildeo do abstrato ao concreto de Davydov 45
12 A participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima de Lave 48
13 Aprendizagem expansiva 49
2 CAacuteLCULO E MODELAGEM NA ENGENHARIA CONCEPCcedilOtildeES
PERSPECTIVAS E A ATUAL FORMACcedilAtildeO DO ENGENHEIRO 62
21 Diretrizes Curriculares para a formaccedilatildeo de engenheiros no Brasil 62
22 Caacutelculo em cursos de Engenharia 65
23 Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica concepccedilotildees e perspectivas 70
24 Revisatildeo de literatura sobre pesquisas de Modelagem em Caacutelculo na Educaccedilatildeo em
Engenharia delineando o espaccedilo da presente pesquisa 78
25 Concepccedilatildeo de uma atividade de Modelagem Matemaacutetica assumida em um contexto
de formaccedilatildeo em Engenharias 82
26 Abertura de caixas-pretas como accedilotildees estrateacutegicas com vistas agraves possibilidades de
aprendizagens expansivas relacionadas agraves transformaccedilotildees do objeto de uma atividade de
Modelagem Matemaacutetica 87
3 METODOLOGIA DE PESQUISA E PROCEDIMENTOS 97
31 Por que a abordagem eacute qualitativa 97
32 Qual eacute o contexto e quem satildeo os sujeitos 100
33 Quais foram os procedimentos de construccedilatildeo dos dados 102
331 A constituiccedilatildeo do GEPMM e observaccedilatildeo participante em suas atividades 102
332 As entrevistas iniciais e as finais com os integrantes do GEPMM 104
34 Quais instrumentos foram usados para a anaacutelise 105
35 A formaccedilatildeo do GEPMM pode ser caracterizada como uma intervenccedilatildeo formativa
106
36 O contexto institucional e as aulas de Caacutelculo 108
37 As atividades do GEPMM e os sujeitos envolvidos 111
371 Angel 112
372 Clarice 116
373 Robson 117
374 Taty 119
375 Joseacute 120
376 Pedro 121
4 OS DADOS CONSTRUIacuteDOS E ANALISADOS A CONSTITUICcedilAtildeO DO GEPMM
COMO CICLO DE ACcedilOtildeES POTENCIALMENTE EXPANSIVAS 124
41 Constituiccedilatildeo do GEPMM possibilidades para aprendizagens expansivas 126
411 Interrogatoacuterio 126
412 Anaacutelise da situaccedilatildeo 129
413 Modelagem 132
414 Examinando o novo modelo 133
415 Implementando o novo modelo ndash o GEPMM 136
4151 Os encontros 137
41511 Primeiro encontro 137
41512 Segundo encontro 140
41513 Terceiro encontro 144
41514 Quarto encontro 147
41515 Quinto encontro 149
41516 Sexto encontro 152
41517 Seacutetimo encontro 153
41518 Oitavo encontro 154
41519 Nono encontro 159
415110 Deacutecimo encontro 164
4152 Dando continuidade agraves accedilotildees potencialmente expansivas 166
416 Refletindo sobre o processo 166
417 Consolidando seus resultados em uma nova forma de praacutetica 168
5 MODALIDADES ANALIacuteTICAS 170
51 Primeira modalidade ndash Dialeacutetica da existecircncia da tela invisiacutevel GEPMM como
possibilidade para aprendizagem expansiva por meio da construccedilatildeo de parceria
docente-discente em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias 171
52 Segunda modalidade ndash Os sujeitos a multi-agency e as muacuteltiplas atividades
possibilidade para aprendizagem expansiva como movimento na zona de
desenvolvimento proximal das atividades docente-discente mediante a formaccedilatildeo de
parcerias 178
53 Terceira modalidade ndash Modelagem e a caixa-preta do ldquopeso corporal idealrdquo num
contexto de formaccedilatildeo em Engenharias do Caacutelculo em accedilatildeo agraves aprendizagens expansivas
como transformaccedilotildees qualitativas do objeto da atividade 189
54 Quarta modalidade ndash Multivocalidade e agency evidenciadas pelas interaccedilotildees
tecnomediadas em atividades de Modelagem Matemaacutetica idealizaccedilotildees desencadeadoras
de aprendizagens potencialmente expansivas em um contexto de formaccedilatildeo em
Engenharias 210
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 218
13
INTRODUCcedilAtildeO A GEcircNESE E OS DESDOBRAMENTOS DA PESQUISA
Neste capiacutetulo procuro delimitar os objetivos e a relevacircncia desta pesquisa a
partir de reflexotildees que surgiram da minha experiecircncia como professora das disciplinas de
Caacutelculo que compotildeem as grades curriculares dos cursos de Engenharia das minhas leituras a
respeito dos processos de ensino e de aprendizagem das disciplinas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia e das leituras proporcionadas pela minha inserccedilatildeo em grupos de estudos e
pesquisa1
Consideraccedilotildees iniciais necessaacuterias agrave formulaccedilatildeo da pesquisa
Atuo como docente do Centro Federal de Educaccedilatildeo Tecnoloacutegica de Minas Gerais
(CEFET-MG) Unidade Timoacuteteo (MG) desde janeiro de 2009 Nessa instituiccedilatildeo sou
responsaacutevel por lecionar disciplinas de Caacutelculo que compotildeem a grade curricular do curso de
Engenharia de Computaccedilatildeo
As disciplinas de Caacutelculo que geralmente compotildeem as grades curriculares dos
cursos de Engenharia perfazem conteuacutedos de uma aacuterea da Matemaacutetica chamada de Caacutelculo
Diferencial e Integral que abarca toacutepicos relacionados ao estudo de funccedilotildees de uma ou vaacuterias
variaacuteveis e vetoriais assim como limites derivadas integrais de funccedilotildees de uma ou vaacuterias
variaacuteveis reais e suas respectivas aplicaccedilotildees2 No CEFETndashMGTimoacuteteo por exemplo tais
conteuacutedos satildeo estudados nas disciplinas de Caacutelculo I e II Aleacutem delas a disciplina de Caacutelculo
III engloba os conteuacutedos das Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias e a disciplina de Caacutelculo IV
engloba os conteuacutedos de Sequecircncias Seacuteries e Transformada de Fourier Jaacute na Universidade
Federal de Itajubaacute em Itabira (UNIFEI-Itabira) as disciplinas que se dedicam a estudar os
conteuacutedos apontados anteriormente satildeo chamadas de Matemaacutetica ndash 0 I III IV V VI Os
1 Grupo de Pesquisa e Estudos Histoacuterico-Culturais em Educaccedilatildeo Matemaacutetica e Ciecircncias da Faculdade de
Educaccedilatildeo (FaE) da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) e Grupo de Estudos e Pesquisa em Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Modelagem e Tecnologias do Departamento de Matemaacutetica da UFMG 2 Com isso no presente texto quando me refiro agraves disciplinas de Caacutelculo em um contexto de formaccedilatildeo em
Engenharia estou fazendo referecircncia a qualquer disciplina eou conteuacutedos que satildeo englobados nas respectivas
grades curriculares eou ementas que se destinam ao estudo dos toacutepicos apontados no paraacutegrafo anterior
incluindo portanto os conteuacutedos de Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias Sequecircncias Seacuteries e Transformada de
Fourier
14
conteuacutedos de Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias por exemplo satildeo estudados no Caacutelculo III do
CEFET-MGTimoacuteteo e na Matemaacutetica IV da UNIFEI-Itabira
No primeiro semestre de 2009 lecionei a disciplina Caacutelculo I para os ingressantes
do curso de Engenharia de Computaccedilatildeo do CEFET-MG Unidade Timoacuteteo Em muitos
momentos durante o desenvolvimento dessa disciplina os alunos questionavam acerca da
relevacircncia da referida disciplina para a formaccedilatildeo do engenheiro contemporacircneo Eles
questionavam o real objetivo da disciplina e sempre se mostravam desmotivados em aprender
os conteuacutedos Reclamavam que natildeo tinham a formaccedilatildeo Matemaacutetica Baacutesica necessaacuteria para a
compreensatildeo dos conceitos do Caacutelculo que para eles eram muito difiacuteceis de serem
compreendidos Uma fala ainda era recorrente nos diaacutelogos que ocorriam durante as aulas a
possibilidade de uso dos softwares matemaacuteticos como algo que pudesse ldquosubstituirrdquo o estudo
tradicional do Caacutelculo o que para eles poderia minimizar os esforccedilos de aprendizagem
Dullius Arauacutejo e Veit (2011 p 18) enfatizam que tais questionamentos satildeo frequentemente
apontados por alunos dos cursos de Engenharia Nas palavras das autoras
Trabalhando haacute 10 anos com o ensino de Caacutelculo Diferencial e Integral nos cursos
de Engenharia (de Computaccedilatildeo de Automaccedilatildeo e Controle de Produccedilatildeo e
Ambiental) e Quiacutemica Industrial notamos a insatisfaccedilatildeo dos alunos por natildeo
perceberem importacircncia desse conteuacutedo para o seu curso A cada nova turma
repetem-se os questionamentos por que fazer a matildeo essas contas enormes se
existem maacutequinas para isso Por que ldquodecorarrdquo tantas foacutermulas se o dia que precisar
posso buscar em livros ou na internet Por que preciso saber tudo isto afinal
Naquele semestre de 2009 optei por utilizar um trabalho de aplicaccedilatildeo3 realizado
em dupla como uma das formas de avaliaccedilatildeo da disciplina No trabalho objetivei que o
Caacutelculo pudesse assumir um sentido mais uacutetil no curso de Engenharia o que a meu ver
poderia possibilitar um menor distanciamento entre os conceitos do Caacutelculo e as demais
disciplinas que compotildeem a grade curricular dos cursos de Engenharia Sendo assim os
motivos pelos quais essa disciplina estaacute presente nos cursos de Engenharia poderiam se tornar
mais ldquovisiacuteveisrdquo ou perceptiacuteveis para os alunos Aleacutem disso aquele trabalho foi tambeacutem uma
tentativa de mostrar aos alunos que os conceitos estudados na disciplina eram realmente
importantes e necessaacuterios para a formaccedilatildeo do engenheiro e mais do que isso para sua
formaccedilatildeo cidadatilde
3 Pedi que eles procurassem e encontrassem algum problema oriundo de qualquer aacuterea natildeo Matemaacutetica que
pudesse ser solucionado com o auxiacutelio do conteuacutedo abordado naquela disciplina durante o semestre letivo Tal
problema deveria ser de interesse dos alunos que formavam a dupla e se possiacutevel que tivesse alguma relaccedilatildeo ao
curso de Engenharia da Computaccedilatildeo ndash contexto de formaccedilatildeo em questatildeo
15
Poreacutem meus objetivos foram parcialmente satisfeitos A proposta do trabalho
consistia na procura de um problema de natureza natildeo Matemaacutetica que pudesse ser resolvido
por meio da Matemaacutetica e que a soluccedilatildeo fosse interpretada por meio da linguagem do mundo
real Os alunos tinham a liberdade de procurarem inclusive problemas que jaacute estivessem
resolvidos em algum livro ou site restando apenas a tarefa de entender o problema sua
respectiva soluccedilatildeo e apresentar o entendimento no dia estipulado para tal Contudo os alunos
apresentaram dificuldades para a realizaccedilatildeo do trabalho Alguns deles sugeriram que o
trabalho fosse cancelado e que a nota fosse atribuiacuteda agrave uacuteltima prova da disciplina Muitos
apresentaram dificuldades de entendimento quanto ao processo de formulaccedilatildeo do problema
em termos matemaacuteticos (construir expressotildees matemaacuteticas que representassem o problema)
Para eles depois de encontrar a ldquofoacutermulardquo a dificuldade desaparecia pois bastava aplicar
algum meacutetodo ou teacutecnica jaacute estudados na disciplina como por exemplo derivar ou integrar
uma funccedilatildeo
Naquele momento percebi que os alunos demonstravam dificuldades em
matematizar problemas de outras realidades ou seja (re)formular e resolver o problema
matematicamente interpretando sua soluccedilatildeo natildeo apenas matematicamente mas sobretudo no
contexto do qual o problema se originou Desde entatildeo comecei a pensar o que poderia ser
feito para tentar sanar tais dificuldades
Com base em minha experiecircncia como professora de Caacutelculo em cursos de
Engenharia fiquei instigada em compreender qual seria o papel do uso das aplicaccedilotildees de
Caacutelculo na formaccedilatildeo do engenheiro aleacutem de conhecer outras estrateacutegias metodoloacutegicas que
poderiam ser utilizadas para promover uma aprendizagem que possibilitasse a motivaccedilatildeo dos
estudantes por meio da busca pelo entendimento dos conceitos da disciplina focando o
aspecto do uso de tais conceitos em situaccedilotildees oriundas de realidades que natildeo fossem
puramente matemaacuteticas Busquei entatildeo por leituras que pudessem me ajudar nessa
caminhada
Ainda em 2009 visando minimizar as inquietaccedilotildees vividas por mim nas aulas de
Caacutelculo que ministrava no curso de Engenharia de Computaccedilatildeo li alguns artigos e relatos de
experiecircncia Estudei tambeacutem o livro Ensino-aprendizagem com modelagem matemaacutetica
uma nova estrateacutegia de Rodney Bassanezi (BASSANEZI 2006) No referido livro a
Modelagem Matemaacutetica pode ser compreendida como a
arte de transformar problemas da realidade em problemas matemaacuteticos e resolvecirc-los
interpretando suas soluccedilotildees na linguagem do mundo real [] A modelagem
pressupotildee multidisciplinariedade E nesse sentido vai ao encontro das novas
16
tendecircncias que apontam para a remoccedilatildeo de fronteiras entre as diversas aacutereas de
pesquisa (BASSANEZI 2006 p 16)
Aleacutem disso Bassanezi (2006 p 17) afirma que ldquoa modelagem matemaacutetica em
seus vaacuterios aspectos eacute um processo que alia teoria e praacutetica motiva seu usuaacuterio na procura do
entendimento da realidade que o cerca e na busca de meios para agir sobre ela e transformaacute-
lardquo
A Modelagem Matemaacutetica realizada em contextos de Educaccedilatildeo Matemaacutetica difere
da Modelagem Matemaacutetica praticada por profissionais da Matemaacutetica Aplicada Barbosa
(2003) por exemplo entende que a sala de aula configura um ambiente mais complexo onde
inuacutemeras variaacuteveis estatildeo em jogo tais como os objetivos pedagoacutegicos a dinacircmica de trabalho
e a natureza das discussotildees matemaacuteticas Arauacutejo (2002) por sua vez destaca que para os
matemaacuteticos aplicados o trabalho com Modelagem Matemaacutetica tem por objetivo resolver
algum problema natildeo matemaacutetico enquanto no acircmbito da Educaccedilatildeo Matemaacutetica seu objetivo
principal se concentra na formaccedilatildeo matemaacutetica dos alunos ao serem convidados a explorar
matematicamente situaccedilotildees natildeo matemaacuteticas
Um dos argumentos favoraacuteveis agrave inserccedilatildeo da Modelagem4 nas praacuteticas de ensino
mais apresentado pelos estudiosos da aacuterea de Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica consiste
na preparaccedilatildeo para a utilizaccedilatildeo da matemaacutetica em diferentes aacutereas ou seja ldquoos alunos teriam
a oportunidade de desenvolver a capacidade de aplicar matemaacutetica em diversas situaccedilotildees o
que eacute desejaacutevel para moverem-se no dia-a-dia e no mundo do trabalhordquo (BARBOSA 2003 p
3) Considerando minha atuaccedilatildeo como docente das disciplinas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia percebi que a Modelagem Matemaacutetica poderia ser utilizada na tentativa de
propiciar uma melhor formaccedilatildeo matemaacutetica em termos de aplicabilidadeusabilidade para os
alunos de Engenharia respondendo assim aos questionamentos dos alunos sobre os papeacuteis
de tais conteuacutedos na respectiva formaccedilatildeo profissional
No primeiro semestre de 2010 com a intenccedilatildeo de elaborar um projeto de
doutorado que visasse agrave compreensatildeoanaacutelise das possibilidades de ensino-aprendizagem por
meio da Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia procurei por disciplinas oferecidas
pelo programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo da UFMG especificamente da linha da
Educaccedilatildeo Matemaacutetica Cursei uma disciplina da linha Educaccedilatildeo Matemaacutetica denominada
Letramento e Numeramento teorias e praacuteticas Nessa disciplina pude refletir acerca de
questotildees relacionadas agrave Educaccedilatildeo Matemaacutetica o que me ajudou a construir o projeto
4 No texto que segue agraves vezes o termo Modelagem seraacute utilizado com referecircncia agrave Modelagem Matemaacutetica
apenas para evitar repeticcedilotildees desnecessaacuterias
17
requerido para o ingresso no Programa da mesma instituiccedilatildeo Participei do processo seletivo e
em agosto de 2010 ingressei no doutorado No projeto inicial a pergunta diretriz era5
De que forma a Modelagem Matemaacutetica aliada a recursos computacionais pode inter-
relacionar a disciplina de Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias6 agraves demais disciplinas
lsquoteacutecnicasrsquo dos cursos de Engenharia
Em todo o ano de 2010 lecionei a disciplina Caacutelculo III que no CEFET-MG
engloba os conteuacutedos das Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias (EDOs) Minha preocupaccedilatildeo
inicial estava focada na inter-relaccedilatildeo da disciplina EDO com as demais disciplinas
denominadas teacutecnicas dos cursos de Engenharia Meu entendimento estava alicerccedilado na
concepccedilatildeo de que as EDOs satildeo por definiccedilatildeo aplicaccedilotildees dos conteuacutedos do Caacutelculo I ndash
limites derivadas e integrais de funccedilotildees reais de uma variaacutevel real Conforme Habre (2002 p
2) ldquoEquaccedilotildees Diferenciais satildeo lindas aplicaccedilotildees de ideias e teacutecnicas do Caacutelculo para
solucionar vaacuterios problemas da vida realrdquo7 Tinha tambeacutem a intenccedilatildeo de considerar a
utilizaccedilatildeo de recursos tecnoloacutegicos computacionais em trabalhos com Modelagem
Matemaacutetica jaacute que ldquohaacute uma certa harmonia na parceria entre a Modelagem Matemaacutetica e
tecnologias informaacuteticas Parece haver uma solicitaccedilatildeo natural pelo uso de computadores eou
calculadoras quando se estaacute desenvolvendo algum trabalho de Modelagem Matemaacuteticardquo
(ARAUacuteJO 2002 p 43)
A maioria dos livros didaacuteticos8 atuais que trata das EDOs as concebe como entes
matemaacuteticos abstratos que podem ser aplicados em vaacuterios ramos da ciecircncia Os autores em
5 ldquoUm dos momentos cruciais no desenvolvimento de uma pesquisa eacute o estabelecimento da pergunta diretriz Eacute
ela que como o proacuteprio nome sugere iraacute dirigir o desenrolar de todo o processo [] elaborar ou melhor
construir uma pergunta diretriz eacute um ponto crucial do qual depende o sucesso da pesquisa [] O processo de
construccedilatildeo da pergunta diretriz de uma pesquisa eacute na maioria das vezes um longo caminho cheio de idas e
vindas mudanccedilas de rumos retrocessos ateacute que apoacutes um certo periacuteodo de amadurecimento surge a pergunta
Um grande problema que percebemos em diversas pesquisas eacute que muitas vezes o caminho natildeo eacute apresentado
pelo autorrdquo (ARAUacuteJO BORBA 2006 p 29 grifo do autores) 6 Na ocasiatildeo da elaboraccedilatildeo do projeto de doutorado estava focada apenas em compreender a Modelagem em
cursos de Engenharia em termos da disciplina Caacutelculo III do CEFET-MG que engloba os conteuacutedos das
Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias que podem ser compreendidas da seguinte forma ldquouma equaccedilatildeo que conteacutem
as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variaacuteveis dependentes em relaccedilatildeo a uma ou mais variaacuteveis
independentes eacute chamada de equaccedilatildeo diferencial (ED)rdquo (ZILL CULLEN 2008 p 2 grifo dos autores)
Equaccedilotildees Diferenciais podem ser classificadas em Ordinaacuterias (EDO) ndash quando envolvem funccedilotildees (e suas
derivadas) de apenas uma variaacutevel ndash ou Parciais (EDP) ndash quando envolvem funccedilotildees (e suas derivadas) de mais
de uma variaacutevel 7 Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoDifferential equations are a beautiful application of the ideas and techniques of
calculus to solve various real life problemsrdquo 8 Por exemplo (i) Boyce e Diprima (1996) (ii) Zill e Cullen (2008) (iii) Edwards e Penney (1996) e (iv) Zill
(1997)
18
geral dedicam parte dos capiacutetulos para o estudo das aplicaccedilotildees das EDOs9 separados do
tratamento teoacuterico A dicotomia teoria-aplicaccedilatildeo difundida nos livros de EDO pode fomentar
um debate sobre as metodologias utilizadas pelos professores em tais disciplinas mediante o
que eacute esperado em termos da formaccedilatildeo matemaacutetica dos alunos das Engenharias
Metodologicamente ao trabalharmos com aplicaccedilotildees podemos assumir um
caraacuteter meramente de resoluccedilatildeo de problemas muitas vezes fictiacutecios inventados pelos autores
dos livros didaacuteticos ou adaptados por eles para apenas justificar o estudo de uma teoria
matemaacutetica ou ainda para tornar os conteuacutedos mais ligados a situaccedilotildees de uma dada
ldquorealidaderdquo Poreacutem ao mesmo tempo em que a matemaacutetica pode se justificar mediante a
apresentaccedilatildeo de um problema ainda que fictiacutecio alguma(s) dificuldade(s) pode(m) emergir
em tal praacutetica quando as hipoacuteteses e simplificaccedilotildees necessaacuterias ao entendimento do problema
natildeo satildeo apresentadas ou explicitadas nos livros didaacuteticos Muito difundido nos livros de EDO
o modelo10
que representa a Lei de Newton do Resfriamento de Corpos11
eacute apresentado sem
levar em conta as hipoacuteteses e simplificaccedilotildees para o entendimento da realidade fiacutesica em
questatildeo representada por meio de um modelo matemaacutetico ndash uma EDO
Habre (2000) entende que as Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias devem existir nos
curriacuteculos pois estabeleceriam o elo entre a Matemaacutetica e as demais Ciecircncias Nesse sentido
Bassanezi (2006 p 35) afirma que ldquoA tocircnica dos cursos de graduaccedilatildeo eacute desenvolver
disciplinas matemaacuteticas lsquoaplicaacuteveisrsquo em especial aquelas baacutesicas que jaacute serviram como
auxiliares na modelagem de fenocircmenos de alguma realidade como Equaccedilotildees Diferenciais
Ordinaacuterias e Parciaisrdquo
No contexto dos cursos de Engenharia a Modelagem Matemaacutetica ao pressupor
multidisciplinaridade vai ao encontro do que Fraga Novaes e Dagnino (2010 p 154)
acreditam que ldquoa formaccedilatildeo em engenharia deve se dar a partir de um problema colocado pela
sociedade e a soluccedilatildeo desse problema natildeo apenas teoricamente mas tambeacutem na praacutetica
colocaria a necessidade de se aprender conhecimentos teoacutericosrdquo
Baldino e Cabral (2004 p 139) acreditam que o ensino de disciplinas
matemaacuteticas em cursos de Engenharia se tornou problema apoacutes a reforma universitaacuteria de
1969 que ldquoaboliu a estrutura de caacutetedras e implantou a de departamentos e institutos baacutesicos
9 A esse respeito ver Boyce e Diprima (1996) capiacutetulo 2 seccedilatildeo 25 ndash Aplicaccedilotildees das Equaccedilotildees Lineares de
Primeira Ordem 10
Segundo Bassanezi (2006 p 19) ldquoquando se procura refletir sobre uma porccedilatildeo da realidade na tentativa de
explicar de entender ou de agir sobre ela ndash o processo usual eacute selecionar no sistema argumentos ou paracircmetros
considerados essenciais e formalizaacute-los atraveacutes de um sistema artificial o modelordquo 11
A ldquoLei de Newton do Resfriamento de Corposrdquo afirma que a taxa de resfriamento de um corpo eacute proporcional
agrave diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente
19
seguindo o modelo vigente nos Estados Unidosrdquo Tal departamentalizaccedilatildeo afastou os
conhecimentos ditos baacutesicos dos profissionais promovendo uma cisatildeo dos conhecimentos
Dessa forma os professores que lecionam as disciplinas de Matemaacutetica muitas vezes natildeo
tecircm conhecimento sobre a necessidade dos conteuacutedos que lecionam para a formaccedilatildeo dos
futuros engenheiros Isso pode ser asseverado pelo fato de raramente tais disciplinas
consideradas do ciclo baacutesico serem relacionadas com as demais tanto aquelas do proacuteprio
ciclo baacutesico quanto aquelas da aacuterea teacutecnica ou profissional
Nesse sentido Baldino e Cabral (2004 p 176) refletem sobre uma situaccedilatildeo em
que foi apresentado um problema de aplicaccedilatildeo de EDO na Fiacutesica um sistema massa-mola
Afirmam que ldquonas universidades departamentalizadas essa lsquomateacuteriarsquo eacute considerada de Fiacutesica
e o professor de matemaacutetica natildeo tem o direito de lsquoensinarrsquo a aplicar a segunda lei de Newtonrdquo
Tal regra embora natildeo exista explicitamente pode permear as praacuteticas pedagoacutegicas das
universidades departamentalizadas podendo ser descumprida por exemplo mediante a
inserccedilatildeo de problemas de outras realidades que sejam solucionados com o auxiacutelio de
ferramentas matemaacuteticas
Em cursos de Engenharia as disciplinas de Caacutelculo podem ser consideradas
disciplinas em serviccedilo (BARBOSA 2004a) Essa expressatildeo eacute usada para designar as
disciplinas matemaacuteticas ministradas em graduaccedilotildees que natildeo satildeo de Matemaacutetica Ou seja
trata-se de disciplinas de conteuacutedo matemaacutetico em cursos que natildeo formam matemaacuteticos (ou
professores de matemaacutetica)
Moreno e Azcaacuterate Gimeacutenez (2003) detectam que natildeo haacute clareza nos objetivos
atuais da disciplina Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias o que dificulta o trabalho dos
professores em atribuiacuterem metas a serem alcanccediladas Como consequecircncia acabam ensinando
conteuacutedos que estatildeo nos curriacuteculos tradicionais mas que hoje perderam seu sentido e sua
razatildeo de ser devido aos avanccedilos tecnoloacutegicos Tais autores percebem ldquoa necessidade de um
debate e seacuteria reflexatildeo sobre a utilidade interesse e importacircncia dos atuais conteuacutedos para um
ensino e aprendizagem mediados pelas novas tecnologias e condicionados pelas demandas
sociaisrdquo12
(MORENO AZCAacuteRATE GIMEacuteMEZ 2003 p 278)
A necessidade de repensar os processos pedagoacutegicos utilizados atualmente por
muitos professores de EDO em cursos de Engenharia bem como a inserccedilatildeo das ferramentas
12 Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquola necesidad de un debate y reflexioacuten seria sobre la utilidad intereacutes e
importancia de los contenidos actuales para un aprendizaje y una ensentildeanza mediatizada por las nuevas
tecnologiacuteas y condicionada por las demandas socialesrdquo
20
disponiacuteveis tambeacutem foi enfatizada em uma pesquisa realizada por Dullius Arauacutejo e Veit
(2011 p 20) que nos fornecem o seguinte posicionamento
Comparando o contexto de ensino das EDs hoje em dia com o que se tinha na
metade do seacuteculo passado percebemos que os tipos de alunos satildeo outros as
necessidades e exigecircncias do mercado de trabalho natildeo satildeo as mesmas assim como
as ferramentas disponiacuteveis mas a maioria das aulas continuam em essecircncia sendo
ministradas da mesma forma Os curriacuteculos precisam ser repensados e os avanccedilos
tecnoloacutegicos considerados
O enfoque frequentemente dado agrave disciplina se baseia na apresentaccedilatildeo de uma
EDO e do seu respectivo meacutetodo de resoluccedilatildeo Habre (2002 p 2) afirma que ldquoequaccedilotildees satildeo
usualmente classificadas e para cada classe um meacutetodo de soluccedilatildeo eacute apresentadordquo13
Tal
enfoque pode ser insuficiente sob a perspectiva da utilidade dos conteuacutedos de tal disciplina
nos cursos de Engenharia Encontrar a soluccedilatildeo expliacutecita da EDO sem fazer outros tipos de
anaacutelises a respeito das equaccedilotildees em si e de possiacuteveis usos como ferramentas para a resoluccedilatildeo
de problemas correlatos aos cursos de Engenharia pode se configurar como algo
contraditoacuterio pois pode levar os alunos a uma preocupaccedilatildeo exclusiva com os meacutetodos de
resoluccedilatildeo deixando de lado o objetivo principal que consistiria no entendimento do processo
(ou fenocircmeno) que gerou determinada EDO assim como interpretar suas soluccedilotildees em
consonacircncia com o fenocircmeno que ela representa
Aleacutem disso como afirma Bassanezi (2006 p 125) ldquosomente um grupo reduzido
de equaccedilotildees diferenciais admite soluccedilatildeo na forma de uma funccedilatildeo analiticamente expliacutecitardquo
Com essa abordagem das EDOs deixam-se de lado vaacuterios enfoques relevantes como o
processo da formulaccedilatildeo de modelos bem como o estudo qualitativo com abordagem
substancialmente geomeacutetrica conforme aponta Javaroni (2007 p 20) em sua tese A autora
afirma
[] que o processo de formulaccedilatildeo dos modelos e a interpretaccedilatildeo das soluccedilotildees ou do
comportamento das soluccedilotildees satildeo tatildeo importantes quanto as teacutecnicas de resoluccedilatildeo das
equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias e que este aspecto deve ser trabalhado para que os
alunos desenvolvam capacidades de anaacutelise e interpretaccedilatildeo A questatildeo da
visualizaccedilatildeo eacute essencial no entendimento dos aspectos dinacircmicos de um curso
introdutoacuterio de equaccedilotildees diferenciais e o entendimento da derivada como variaccedilatildeo
de uma curva eacute central na interpretaccedilatildeo de graacuteficos bem como o comportamento das
soluccedilotildees ao longo do tempo e a existecircncia de um estado de equiliacutebrio
13
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoEquations are usually classified and for each class a method of solution is
presentedrdquo
21
A ecircnfase qualitativa permite uma multiplicidade de possibilidades para uma
melhor exploraccedilatildeo dos conteuacutedos abordados em Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias Contudo
deve-se pontuar que devido agrave complexidade da anaacutelise qualitativa de algumas Equaccedilotildees
Diferenciais Ordinaacuterias o uso de softwares eacute imprescindiacutevel Para uma abordagem qualitativa
dos campos de direccedilotildees pode-se utilizar os softwares como Maple eou WinPlot14
entre
outros que permitem a visatildeo e a exploraccedilatildeo do comportamento desses campos de direccedilotildees
bem como o comportamento da proacutepria soluccedilatildeo
Habre (2000) afirma que a abordagem das Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias no
cenaacuterio internacional vem passando por mudanccedilas no acircmbito estrutural tornando-se cada vez
mais visual (geomeacutetrica) e numeacuterica o que ampliaria a visatildeo do aprendiz sobre o conteuacutedo
estudado O autor chama a atenccedilatildeo para o fato de poucas pesquisas estarem sendo
desenvolvidas em relaccedilatildeo ao entendimento dos alunos quanto a essa abordagem Contudo no
acircmbito nacional ldquoem geral as anaacutelises geomeacutetrica e numeacuterica natildeo satildeo abordadas no estudo
dos modelosrdquo (JAVARONI 2007 p 20)
Vale ressaltar que apesar de inicialmente ter feito um levantamento dos estudos
e pesquisas sobre os processos de ensino-aprendizagem de EDO no decorrer do
desenvolvimento da pesquisa ainda na fase de construccedilatildeo teoacuterica decidi15
natildeo ficar restrita
apenas aos conteuacutedos dessa disciplina16
mas passei a considerar os conteuacutedos das disciplinas
de Caacutelculo que permeiam os curriacuteculos dos cursos de Engenharia Tal decisatildeo estava
vinculada ao formato da intervenccedilatildeo que tinha decidido realizar Naquele momento natildeo havia
qualquer garantia que os conteuacutedos de EDO apareceriam na atividade que seria analisada
Contudo durante a fase da construccedilatildeo dos dados para a referida pesquisa conteuacutedos de EDO
estiveram presentes na atividade de modelagem analisada Por esse motivo optei por deixar
no presente texto esse breve levantamento sobre os processos de ensino-aprendizagem de
EDO
Desdobramentos da proposiccedilatildeo da pesquisa
14
A esse respeito ver wwwmaplesoftcom ptwikipediaorgwikiMaple wwwmatufpbbrsergiowinplot 15
Tal decisatildeo foi ancorada no fato de natildeo haver a priori nenhuma garantia de que na atividade de Modelagem
Matemaacutetica constituinte dos dados que foram construiacutedos para a pesquisa relatada nesta tese as EDOs estariam
presentes jaacute que o tema seria escolhido de forma coletiva pelos sujeitos 16
No CEFET-MG a disciplina Caacutelculo III trata dos conteuacutedos de EDO e na instituiccedilatildeo que configurou como
contexto da pesquisa os conteuacutedos de EDO satildeo abordados na disciplina BAC 022 ndash Matemaacutetica IV
22
Apoacutes o ingresso no referido programa de doutorado ainda em 2010 comecei a
participar do Grupo de Pesquisa e Estudos Histoacuterico-Culturais em Educaccedilatildeo Matemaacutetica e
Ciecircncias da Faculdade de Educaccedilatildeo da UFMG do qual a orientadora desta pesquisa eacute
coordenadora na tentativa de buscar um referencial teoacuterico que possibilitasse o
desenvolvimento desta pesquisa Comecei entatildeo a realizar leituras participar das reuniotildees do
grupo e discutir com colegas e professores sobre as teorias denominadas de Histoacuterico-
Culturais originadas nos estudos de Vygotsky
Uma das leituras realizadas em 2010 ndash o texto de Engestroumlm (2002) ndash comeccedilou a
dar um novo direcionamento para a pesquisa Nele eacute abordada a questatildeo da descontinuidade
entre atividades escolares e atividades fora da escola O autor coloca os conhecimentos
escolares como algo encapsulado distante da realidade cotidiana dos indiviacuteduos que
participam de tais praacuteticas e denomina tal fenocircmeno de encapsulaccedilatildeo da aprendizagem
escolar Ao refletir sobre os motivos que levam os indiviacuteduos a participarem de atividades
escolares enfatiza que na maioria das vezes eles natildeo aprendem para a vida mas para a
escola Frequentemente em variadas esferas da sociedade atual ouvimos pessoas falando que
ldquoprecisam estudar para a provardquo e satildeo raras as vezes que ouvimos pessoas falando que
ldquoprecisam estudar para aprenderrdquo Engestroumlm (2002) exemplifica a abordagem de uma
atividade cotidiana ndash a busca pelo entendimento das fases da Lua ndash respondendo agrave pergunta
ldquoPor que a lua muda a sua formardquo Para ele todas as atividades escolares deveriam ser
iniciadas com questotildees-problema que instiguem os participantes a pensarem refletirem e
buscarem entendimento para tal questatildeo Engestroumlm (2002) se apoia em Resnick (1987) que
teceu uma reflexatildeo acerca da descontinuidade e do isolamento entre os conceitos estudados
durante o processo de escolarizaccedilatildeo e o resto daquilo que fazemos nos momentos da vida que
passamos fora da escola Nas palavras do autor
O processo de escolarizaccedilatildeo parece encorajar a ideia de que o ldquojogo da escolardquo eacute
aprender regras simboacutelicas de vaacuterios tipos de que natildeo se supotildee haver muita
continuidade entre o que algueacutem sabe fora da escola e o que se aprende na escola
[hellip] A escolarizaccedilatildeo cada vez mais parece isolada do resto daquilo que fazemos
(RESNICK 1987 p 15 apud ENGESTROumlM 2002 p 176)
Baseando em Engestroumlm (2002) por analogia apropriei-me do termo
encapsulaccedilatildeo para me referir agrave descontinuidade entre as atividades desenvolvidas nas
disciplinas de Caacutelculo e as demais atividades institucionais que compotildeem a formaccedilatildeo do
engenheiro
23
Tomando por base a Teoria da Aprendizagem Expansiva de Engestroumlm (1987)
que propotildee uma concepccedilatildeo ldquoproacutepriardquo de aprendizagem entendendo-a como algo coletivo ndash
natildeo mais centrado apenas na cogniccedilatildeo individual ndash bem como a psicologia histoacuterico-cultural
de Vygotsky entende-se que tal concepccedilatildeo de aprendizagem parece ser uma opccedilatildeo teoacuterica
propiacutecia para a anaacutelise de possiacuteveis aprendizagens que acontecem por meio de praacuteticas de
Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia por se tratar de atividades coletivas
realizadas em grupo e por ser considerada uma praacutetica natildeo padronizada onde natildeo eacute possiacutevel
delinear a priori no planejamento o que aconteceraacute na praacutetica Neste sentido pode-se
entender que praacuteticas de Modelagem muitas vezes satildeo aprendidas enquanto estatildeo sendo
criadas
Aleacutem disso Engestroumlm (2001) aponta que teorias claacutessicas de aprendizagem
focam nos processos em que o sujeito individual adquire algum conhecimento ou habilidade
identificaacutevel fazendo com que o sujeito possa mudar de comportamento atitudes accedilotildees Tais
conhecimentos ou habilidades satildeo tomados como estaacuteveis e bem definidos O professor
competente segundo essas teorias eacute aquele que sabe o conteuacutedo a ser ensinado e aprendido
pelos alunos Contudo Engestroumlm (2001 p 136-137) reflete que muitos dos tipos mais
intrigantes de aprendizagens em organizaccedilotildees de trabalho violam essa pressuposiccedilatildeo
Pessoas e organizaccedilotildees estatildeo a todo tempo aprendendo algo que natildeo eacute estaacutevel nem
mesmo definido ou entendido agrave priori
Em importantes transformaccedilotildees de nossas vidas pessoais e praacuteticas organizacionais
noacutes precisamos aprender novas formas de atividade que ainda natildeo existem Elas satildeo
aprendidas literalmente enquanto estatildeo sendo criadas Natildeo existe professor
competente Teorias padratildeo de aprendizagem tecircm pouco a oferecer se algueacutem quiser
entender tais processos17
A aprendizagem expansiva segundo Engestroumlm (2002 p 196) ldquoexplora os
conflitos e insatisfaccedilotildees existentes entre professores alunos pais e outros implicados na
escolarizaccedilatildeo ou afetados por ela convidando-os a se reunir numa transformaccedilatildeo concreta da
praacutetica correnterdquo Sugere ainda que ldquoos aprendizes precisam antes de tudo ter uma
oportunidade de analisar criticamente e sistematicamente sua atividade presente e suas
contradiccedilotildees internasrdquo (ENGESTROumlM 2002 p 192) Os termos atividade e contradiccedilotildees
17
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoPeople and organizations are all the time learning something that is not stable
not even defined or understood ahead of time In important transformations of our personal lives and
organizational practices we must learn new forms of activity which are not yet there They are literally learned
as they are being created There is no competent teacher Standard learning theories have little to offer if one
wants to understand these processesrdquo
24
internas satildeo conceitos da Teoria da Atividade e seratildeo mais bem definidos no capiacutetulo
seguinte
A anaacutelise sistemaacutetica da atividade presente e suas contradiccedilotildees internas portanto
configura-se como um ponto de partida ou forccedila motriz para transformaccedilotildees expansivas das
praacuteticas sociais devido ao fato de que ldquose o homem vivesse em plena harmonia com a
realidade ou absolutamente conciliado com seu presente natildeo sentiria a necessidade de negaacute-
los idealmente nem de configurar em sua consciecircncia uma realidade ainda inexistenterdquo
(SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 189)
As discussotildees apresentadas por Engestroumlm (1987 2001 2002 2008) me levaram
a refletir sobre as possibilidades de anaacutelise dos fenocircmenos que podem ocorrer em praacuteticas de
Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia utilizando o aporte teoacuterico da
Aprendizagem Expansiva Para Engestroumlm (2002 p 197) a Aprendizagem Expansiva propotildee
romper a encapsulaccedilatildeo da aprendizagem escolar pois o proacuteprio contexto da aprendizagem eacute
alterado Nas palavras do autor ldquoa abordagem da aprendizagem expansiva romperia a
encapsulaccedilatildeo da aprendizagem escolar por uma ampliaccedilatildeo gradual do objeto e do contexto da
aprendizagemrdquo
Entendendo que uma finalidade prefigura idealmente o que ainda natildeo se
conseguiu ou o que ainda se pretende alcanccedilar ldquoao propor objetivos o homem nega uma
realidade efetiva e afirma outra que ainda natildeo existerdquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p
189) Ao analisar sistematicamente as atividades de que participei ateacute tal momento histoacuterico
de minha formaccedilatildeo aliadas agraves leituras e informaccedilotildees que tive acesso apoacutes o ingresso no
referido programa de poacutes-graduaccedilatildeo incluindo a participaccedilatildeo em grupos de pesquisa fui
conduzida agrave produccedilatildeo de novos objetivos que passaram a orientar a pesquisa relatada nesta
tese diferentes daqueles que havia adotado inicialmente mas ainda assim relacionados entre
si
O objetivo didaacutetico-pedagoacutegico impresso no projeto inicial de doutorado
submetido agrave seleccedilatildeo para ingresso no programa de poacutes-graduaccedilatildeo consistia em melhorar a
inter-relaccedilatildeo da disciplina EDO e as demais disciplinas teacutecnicas dos cursos de Engenharia por
meio de atividades de Modelagem Matemaacutetica A questatildeo de pesquisa buscava por anaacutelises
relacionadas agraves formas que a Modelagem Matemaacutetica poderia assumir para o cumprimento de
tal objetivo ou seja usando a terminologia de Engestroumlm (2002) de que forma a Modelagem
Matemaacutetica aliada a recursos computacionais poderia romper com a encapsulaccedilatildeo da
disciplina EDO em cursos de Engenharia Um resultado esperado ainda que hipoteticamente
consistia na melhoria da formaccedilatildeo matemaacutetica dos engenheiros Vale ressaltar que atividades
25
de Modelagem podem assumir diferentes objetivos em diferentes contextos de formaccedilatildeo O
principal objetivo geralmente delimitado pelos professores acaba por definir a perspectiva de
Modelagem (KAISER SRIRAMAN 2006) assumida em determinado contexto formativo
Tal questatildeo seraacute tratada mais formalmente no capiacutetulo seguinte desta tese Por agora detenho-
me em explicitar o que foi alterado em relaccedilatildeo agrave questatildeo de pesquisa
Primeiramente o objetivo principal da pesquisa relatada nesta tese teve uma
essencial mudanccedila no foco Inicialmente a meta da pesquisa era relataranalisar o efeito que a
Modelagem Matemaacutetica poderia causar em cursos de Engenharia no sentido das
possibilidades de inter-relaccedilotildees de EDO com as demais disciplinas dos referidos cursos Apoacutes
reformular o projeto inserindo-lhe ldquolentesrdquo teoacuterico-analiacuteticas ndash as Teorias da Atividade e da
Aprendizagem Expansiva- senti a necessidade de modificar o foco da questatildeo de pesquisa
passei a focar nas possibilidades de aprendizagens expansivas que pudessem ser evidenciadas
pelas e nas atividades desenvolvidas por um grupo de estudos e pesquisa sobre Modelagem
Matemaacutetica em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias Com isso as proacuteprias
aprendizagens expansivas caso ocorressem poderiam possibilitar inclusive o rompimento
da encapsulaccedilatildeo de conteuacutedos estudados nas disciplinas de Caacutelculo pois o proacuteprio contexto
da atividade tradicional de formaccedilatildeo em Engenharia seria18
alterado mediante uma ampliaccedilatildeo
gradual do objeto e do contexto da aprendizagem19
Em segundo lugar a forma que a Modelagem Matemaacutetica assumiria nessa
pesquisa jaacute estava tambeacutem definida como foco de estudos discussotildees e reflexotildees de um
Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica20
(GEPMM) Frequentemente
praacuteticas escolares de Modelagem satildeo concebidas como coletivas ndash realizadas em grupos
Baseada em Engestroumlm (2001) acabei por decidir pela constituiccedilatildeo de um Grupo de Estudos e
Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica jaacute que os sujeitos que porventura aceitassem se engajar
em tais atividades precisariam aprender novas formas de atividade constituindo assim novas
formas de aprendizagem que ainda natildeo existiam no referido contexto formativo Na
instituiccedilatildeo destinada agrave formaccedilatildeo de engenheiros definida como contexto empiacuterico para o
desenvolvimento da presente pesquisa natildeo existiam de fato atividades de Modelagem
Matemaacutetica em formato algum Ao objetivar a anaacutelise das possibilidades de aprendizagens
18
Explicaccedilotildees mais pontuais quanto agraves transformaccedilotildees do objeto e do contexto de aprendizagem podem ser
encontradas no capiacutetulo 1 deste texto 19
Engestroumlm (2002 p 197) enfatiza que ldquoa abordagem da aprendizagem expansiva romperia a encapsulaccedilatildeo da
aprendizagem escolar por uma ampliaccedilatildeo gradual do objeto e do contexto da aprendizagemrdquo 20
Por vezes utilizarei apenas a sigla GEPMM para me referir ao Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem
Matemaacutetica
26
expansivas evidenciadas naspelas atividades de um grupo de Modelagem poderia ndash a
atividade ndash ocorrer dentro ou fora da sala de aula
Finalmente em terceiro lugar estaacute a definiccedilatildeo de que o grupo de Modelagem
realizaria suas atividades fora da sala de aula num formato que possibilitasse estudos
pesquisa e que as atividades pudessem ser documentadas em um longo periacuteodo de tempo
Caso tivesse optado em propor o formato de atividade de Modelagem dentro de sala de aula
de certo teria impliacutecito em tal proposta um prazo que delimitaria a proacutepria questatildeo de
pesquisa Aprendizagens expansivas necessitam de anaacutelises de longo prazo constituem
transformaccedilotildees qualitativas21
em praacuteticas sociais em atividades coletivas e natildeo mudanccedilas em
sujeitos em suas atitudes eou habilidades e competecircncias ainda que as atitudes dos sujeitos
possam ser analisadas em tal quadro teoacuterico-analiacutetico (ENGESTROumlM SANNINO 2010b)
Nesse sentido nesta tese busco analisar possibilidades de aprendizagens expansivas em
praacuteticas formativas sendo aprendidas literalmente enquanto estariam sendo criadas (numa
instituiccedilatildeo destinada agrave formaccedilatildeo de engenheiros) mediante a constituiccedilatildeo de um contexto
formativo mais amplo ndash o GEPMM Isso seraacute mais bem discutido nos demais capiacutetulos desta
tese
Vale ressaltar que tais objetivos e a adequaccedilatildeo das accedilotildees a eles configuraram-se
mediante os ajustes que na maioria das vezes foram tentativas de aproximaccedilatildeo entre as
idealizaccedilotildees impressas em um projeto de pesquisa e uma pesquisa em movimento ndash um
ldquodesignrdquo emergente (ARAUacuteJO BORBA 2006) Uma pesquisa em movimento pressupotildee
aquisiccedilatildeo de novas idealizaccedilotildees necessaacuterias em cada parte cada aglomerado de accedilotildees que estaacute
atrelado agrave finalidade da pesquisa em questatildeo Isso inclui transformaccedilotildees qualitativas em
termos de acesso e incorporaccedilatildeo de teorias agrave pesquisa por parte do pesquisador modificaccedilotildees
relacionadas agrave metodologia e procedimentos para a construccedilatildeo dos dados da referida pesquisa
o que acaba por implicar em modificaccedilotildees na pergunta diretriz
Sendo assim apoacutes aprofundamento teoacuterico e construccedilatildeo dos dados para a presente
pesquisa que seratildeo apresentados nos proacuteximos capiacutetulos outros direcionamentos em relaccedilatildeo
agrave pergunta diretriz se fizeram necessaacuterios Entre idas e vindas recortes e costuras a presente
tese se orientou pela seguinte pergunta diretriz
21
O termo Transformaccedilotildees Qualitativas constituinte da Teoria da Aprendizagem Expansiva de Engestroumlm
(1987) seraacute mais bem definido no capiacutetulo seguinte desta tese Por hora vale ressaltar que transformaccedilotildees
qualitativas sugerem mudanccedilas em praacuteticas sociais
27
Quais aprendizagens expansivas podem ser evidenciadas pelas e nas atividades
desenvolvidas por um Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica
(GEPMM22
) em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias
Estrutura da tese
No capiacutetulo 1 desta tese intitulado Atividades formativas agrave luz da teoria
histoacuterico-cultural da Atividade e da Aprendizagem Expansiva apresento os pressupostos
teoacutericos que foram utilizados na concepccedilatildeo assim como na anaacutelise dos dados construiacutedos
para a presente investigaccedilatildeo
No capiacutetulo 2 intitulado Caacutelculo e Modelagem na Engenharia concepccedilotildees
perspectivas e a atual formaccedilatildeo do engenheiro discorro sobre alguns toacutepicos relacionados ao
contexto da presente investigaccedilatildeo Exponho brevemente a legislaccedilatildeo que normatiza a
formaccedilatildeo de engenheiros no Brasil atualmente aponto alguns aspectos relacionados aos
processos de ensino-aprendizagem das disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia e
nesse contexto apresento a Modelagem Matemaacutetica como um espaccedilo formativo alternativo
Aleacutem disso com base na literatura sobre Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica busco por
concepccedilotildees e perspectivas relacionadas a essa atividade apresentando uma revisatildeo de
literatura com foco na Modelagem em processos de ensino-aprendizagem relacionada agraves
disciplinas de Caacutelculo dos cursos de Engenharia
No capiacutetulo 3 intitulado Metodologia de Pesquisa e Procedimentos explicito os
motivos que fizeram com que a abordagem da presente investigaccedilatildeo fosse qualitativa
apresento os procedimentos e instrumentos para a construccedilatildeo e a anaacutelise dos dados Aleacutem
disso delimito o contexto da pesquisa apresentando o contexto institucional e as aulas de
Caacutelculo assim como a constituiccedilatildeo do contexto alternativo - GEPMM - e os sujeitos nele
envolvidos
No capiacutetulo 4 intitulado Os dados construiacutedos e analisados a constituiccedilatildeo do
GEPMM como ciclo de accedilotildees potencialmente expansivas apresento uma anaacutelise da
constituiccedilatildeo do GEPMM com base no arcabouccedilo teoacuterico apresentado no capiacutetulo 2 mais
especificamente no ciclo de accedilotildees expansivas (ENGESTROumlM SANNINO 2010b) Para tal
22
Vale ressaltar que o GEPMM se configura um espaccedilo formativo alternativo realizando suas accedilotildees fora da sala
de aula tradicional tanto de Caacutelculo quanto das demais disciplinas dos cursos de Engenharia Os motivos que
podem complementar a justificativa para tal escolha metodoloacutegica podem ser encontrados no capiacutetulo 2
28
utilizo os dados construiacutedos para a presente investigaccedilatildeo elaborando inclusive uma resenha
do que aconteceu nos encontros do GEPMM utilizados como corpus de anaacutelise
No capiacutetulo 5 intitulado por Modalidades Analiacuteticas construo um tipo de
arcabouccedilo analiacutetico com o objetivo de satisfazer ao questionamento impresso na pergunta de
pesquisa quais aprendizagens expansivas podem ser evidenciadas pelas e nas atividades
desenvolvidas por um GEPMM em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias Elaboro
quatro modalidades analiacuteticas e as intitulo
1ordf Modalidade =gt Dialeacutetica da Existecircncia da ldquoTelardquo Invisiacutevel GEPMM como
possibilidade para aprendizagem expansiva por meio da construccedilatildeo de parceria
docente-discente num contexto de formaccedilatildeo em Engenharias
2ordf Modalidade =gt Os sujeitos a multi-agency e as muacuteltiplas atividades
possibilidade para aprendizagem expansiva como movimento na zona de
desenvolvimento proximal das atividades docente-discente mediante a formaccedilatildeo
de parcerias
3ordf Modalidade =gt Modelagem e a caixa preta do ldquopeso corporal idealrdquo num
contexto de formaccedilatildeo em Engenharias do Caacutelculo em accedilatildeo agraves aprendizagens
expansivas como transformaccedilotildees qualitativas do objeto da atividade
4ordf Modalidade =gt Multivocalidade e agency evidenciadas pelas interaccedilotildees
tecnomediadas em atividades de Modelagem Matemaacutetica idealizaccedilotildees
desencadeadoras de aprendizagens potencialmente expansivas num contexto de
formaccedilatildeo em Engenharias
No capiacutetulo 6 intitulado Consideraccedilotildees Finais faccedilo um tipo de fechamento de
ideias com respeito agrave investigaccedilatildeo relatada nesta tese Aleacutem disso delimito de antematildeo um
horizonte possiacutevel para nortear pesquisas futuras
29
1 ATIVIDADES23
FORMATIVAS Agrave LUZ DA TEORIA HISTOacuteRICO-
CULTURAL DA ATIVIDADE E DA APRENDIZAGEM EXPANSIVA
Neste capiacutetulo apresento os pressupostos teoacutericos que foram utilizados na
concepccedilatildeo desta pesquisa em especial na anaacutelise dos dados construiacutedos para tal fim
Podendo ser entendida como uma teoria ancorada na Teoria Histoacuterico-Cultural24
a Teoria da Atividade se fundamenta na teoria marxista que estabelece o trabalho como algo
que desempenha papel central no desenvolvimento humano humanizando e possibilitando o
desenvolvimento da cultura que por sua vez influencia e eacute influenciada pelo contexto
histoacuterico-social Sob essa oacutetica as diferenccedilas entre os homens e os outros animais natildeo podem
ser simplesmente explicadas pela evoluccedilatildeo bioloacutegica25
O homem tal como os outros animais cotidianamente se defronta com
necessidades26
que o impulsiona a planejar accedilotildees na tentativa de satisfazer tais necessidades
Contudo o homem se diferencia dos demais animais ldquoao assumir uma posiccedilatildeo de natildeo
indiferenccedila perante a naturezardquo (RIGON ASBAHR MORETTI 2010 p 16) Isto eacute o
homem se apropria da natureza buscando satisfazer necessidades que natildeo estatildeo apenas
relacionadas agrave garantia de sua existecircncia bioloacutegica mas sobretudo cria necessidades
relacionadas agrave sua existecircncia cultural Dessa forma
Ao agir intencionalmente sobre a natureza visando transformaacute-la de modo a
satisfazer suas necessidades produzindo o que deseja e quando deseja o homem ao
mesmo tempo que deixa sobre a natureza as marcas da atividade humana tambeacutem
transforma a si proacuteprio constituindo-se humano Para que toda e qualquer atividade
se configure como humana eacute essencial entatildeo que seja movida por uma
intencionalidade sendo esta por sua vez uma resposta agrave satisfaccedilatildeo das necessidades
que se impotildeem ao homem em sua relaccedilatildeo com o meio em que vive natural ou
culturalizado (RIGON ASBAHR MORETTI 2010 p 17)
Para Saacutenchez Vaacutezquez (1977) a atividade humana pode em alguns casos ter uma
ldquosemelhanccedila externardquo com certos atos dos animais como por exemplo a atividade de caccedila
23
Buscando distinguir o termo atividade do senso comum destacarei usando itaacutelico ndash atividade ndash quando estiver
me referindo agrave teoria da atividade 24
Tem como projeto central estudar a formaccedilatildeo da subjetividade dos indiviacuteduos a partir de seu mundo objetivo
concreto isto eacute a formaccedilatildeo da consciecircncia humana em sua relaccedilatildeo com a atividade (RIGON ASBAHR
MORETTI 2010 p 22) 25
ldquoSegundo Vygotsky o comportamento e a mente humanos devem ser considerados em termos de accedilotildees
intencionais e culturalmente significativas em vez de respostas bioloacutegicas adaptativasrdquo (KOZULIN 2002 p
116) 26
O termo necessidade com base na teoria marxista estaacute relacionado com carecimento ou carecircncia
30
Contudo para o autor somente a atividade humana caracteriza-se essencialmente pela
atividade da consciecircncia da qual eacute inseparaacutevel O autor afirma que a atividade da consciecircncia
[] se desenvolve como produccedilatildeo de objetivos que prefiguram idealmente o
resultado real que se pretende obter mas se manifesta tambeacutem como produccedilatildeo de
conhecimentos isto eacute em forma de conceitos hipoacuteteses teorias ou leis mediante os
quais o homem conhece a realidade (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 191)
A capacidade de planejar accedilotildees que configura de alguma forma a
intencionalidade assim como formas especiacuteficas de linguagem pode ser observada em todos
os tipos de animais Poreacutem
[] a accedilatildeo planejada de todos os animais em seu conjunto natildeo conseguiu imprimir
sobre a terra a marca de sua vontade Isso aconteceu com o aparecimento do homem
Em uma palavra o animal utiliza a natureza exterior e produz modificaccedilotildees nela
pura e simplesmente com sua presenccedila entretanto o homem por meio de
modificaccedilotildees submete-a [a Natureza] a seus fins a domina Eacute esta a suprema
diferenccedila entre o homem e os animais diferenccedila decorrida tambeacutem do trabalho
(ENGELS 2002 p 125)
A faculdade de projetar que delimita e configura a distinccedilatildeo entre homens e os
demais animais foi debatida por Pinto (2005a p 54) que enfatizou que a ldquoessecircncia do
projeto consiste no modo de ser do homem que se propotildee criar novas condiccedilotildees de existecircncia
para sirdquo O autor estaacute em sintonia com a visatildeo de Engels (2002)
O projeto eacute na verdade a caracteriacutestica peculiar porque engendrada no plano do
pensamento da soluccedilatildeo humana do problema da relaccedilatildeo do homem com o mundo
fiacutesico e social [] O poder da accedilatildeo que o homem manifesta sobre a natureza
distingue-se do possuiacutedo pelos demais seres vivos por se exercer em consequecircncia
da capacidade de projetar [] pela accedilatildeo dos homens a realidade se vai povoando de
produtos de fabricaccedilatildeo intencional realizada pelo ser que se tornou projetante
(PINTO 2005a p 55)
Aacutelvaro Pinto (2005a) entende que o homem eacute o uacutenico ser vivo capaz de
manifestarproduzir representaccedilotildees de uma dada realidade no pensamento e a partir dela
fazer emergir ainda no plano mental uma sequecircncia de accedilotildees direcionadas a uma finalidade
ligada a essa realidade Pinto (2005a p 59 grifos meus) esclarece ainda que
O projeto significa o relacionamento da accedilatildeo a uma finalidade em vista da qual satildeo
preparados e dispostos meios necessaacuterios e convenientes O conceito de projeto
revela que o sistema nervoso superior soacute eacute capaz de concebecirc-lo quando supera o
condicionamento hereditaacuterio imposto pelas estruturas invariaacuteveis recebidas
diretamente da natureza tornando-se entatildeo fonte de outras formas de
condicionamento as que procedem no reflexo das coisas efetuando em suas ceacutelulas
31
cerebrais em iacutentimas ligaccedilotildees com o exerciacutecio da atividade em condiccedilotildees sociais
Esta anaacutelise mostra desde jaacute o caraacuteter necessariamente teacutecnico de toda accedilatildeo humana
pois agir significa um modo de ser ligado a alguma finalidade que o indiviacuteduo se
propotildee cumprir
Dessa forma natildeo seria possiacutevel compreender a atividade humana desconsiderando
sua relaccedilatildeo com a consciecircncia pois essas duas categorias na verdade podem ser entendidas
como constituintes de uma unidade dialeacutetica como segue
Nas relaccedilotildees entre consciecircncia e atividade a consciecircncia eacute a forma especificamente
humana do reflexo psiacutequico da realidade ou seja eacute a expressatildeo das relaccedilotildees do
indiviacuteduo com o mundo social cultural e histoacuterico que abre ao homem um quadro
do mundo em que ele mesmo estaacute inserido A consciecircncia refere-se assim agrave
possibilidade humana de compreender o mundo social e individual como passiacuteveis
de anaacutelise (RIGON ASBAHR MORETTI 2010 p 20)
A origem do conceito atividade na psicologia sovieacutetica pode ser encontrada nos
estudos de Vigotski27
(1896-1934) sugerindo que a atividade socialmente significativa pode
ser considerada como um dos fatores que geram a consciecircncia humana (KOZULIN 2002)
Na teoria cultural-histoacuterica das funccedilotildees mentais (ou processos psicoloacutegicos) superiores de
Vigotski bem como nos estudos vigotskianos do desenvolvimento da linguagem e da
formaccedilatildeo de conceitos foi de extrema relevacircncia a incorporaccedilatildeo do conceito de atividade
Kozulin (2002) entende que para Vigotski a consciecircncia eacute construiacuteda de fora para dentro por
meio das relaccedilotildees sociais e aleacutem disso que natildeo haacute distinccedilatildeo entre o mecanismo do
comportamento social e o da consciecircncia
Vigotski buscou em Marx e Hegel pressupostos que fizeram emergir uma teoria
social da atividade humana podendo ser entendida como contrapartida ao naturalismo e agrave
tradiccedilatildeo empirista como afirma Kozulin (2002) De Hegel Vigotski adota ldquouma visatildeo
absolutamente histoacuterica dos estaacutegios de desenvolvimento e das formas de realizaccedilatildeo da
consciecircncia humanardquo (KOZULIN 2002 p 115) Tal historicidade eacute tecida do ponto de vista
da filogecircnese ndash toma como base a histoacuteria evolutiva da espeacutecie humana- da histoacuteria
sociocultural ndash toma como base a (des) e (re)contextualizaccedilatildeo dos instrumentos de mediaccedilatildeo-
e da ontogecircnese ndash considera a evoluccedilatildeo histoacuterica individual na qual a formaccedilatildeo da
personalidade se caracteriza natildeo apenas pelo desenvolvimento bioloacutegico mas sobretudo pela
mediaccedilatildeo sociocultural (WERTSCH 1985 1988)- De Marx Vigotski adota o conceito de
praacutexis humana que grosso modo toma como sendo a atividade histoacuterica concreta gerando
27
A esse respeito ver Consciousness as a problem in the psychology of behavior (VIGOTSKI 1979)
32
os fenocircmenos da consciecircncia Vigotski acreditava que a atividade funciona como uma
ferramenta psicoloacutegica e tem caraacuteter semioacutetico mediacional (KOZULIN 2002)
Leontiev em meados dos anos 1930 faz emergir uma versatildeo revisionista da
Teoria da Atividade de Vigotski na qual entende que ldquoa atividade28
ndash ora como atividade ora
como accedilatildeo ndash desempenha todos os papeacuteis desde objeto ateacute princiacutepio explanatoacuteriordquo
(KOZULIN 2002 p 136) Leontiev aponta que ldquoo desenvolvimento da consciecircncia da
crianccedila ocorre como um resultado do desenvolvimento do sistema de operaccedilotildees psicoloacutegicas
as quais por seu turno satildeo determinadas pelas relaccedilotildees concretas entre a crianccedila e a
realidaderdquo (LEONTIEV 1980 p 186 apud KOZULIN 2002 p 127)
Dessa forma Leontiev considera em suas pesquisas que a atividade praacutetica eacute
transformada em atividade praacutetica e intelectual ndash plano interpsicoloacutegico (entre pessoas e
mediaccedilotildees) transformado em plano intrapsicoloacutegico Leontiev e seus colaboradores satildeo
conhecidos como a segunda geraccedilatildeo da Teoria da Atividade Vigotski sugeriu que a atividade
socialmente significativa eacute o princiacutepio explicativo da consciecircncia ou seja a consciecircncia eacute
construiacuteda de ldquoforardquo para ldquodentrordquo por meio das relaccedilotildees sociais (KOZULIN 2002)
Na teoria de Leontiev ldquoa atividade assumiu duplo papel ndash o de princiacutepio geral e o
de mecanismo concreto de mediaccedilatildeordquo (KOZULIN 2002 p 131) ldquoLeontiev sugeriu o
seguinte desmembramento da atividade atividade corresponde a um motivo accedilatildeo
corresponde a um objetivo e operaccedilatildeo depende de condiccedilotildeesrdquo (KOZULIN 2002 p 131)
Para entendermos melhor tais conceituaccedilotildees vejamos o que o proacuteprio Leontiev
nos apresenta
Natildeo levando o objeto da accedilatildeo por si proacuteprio a agir eacute necessaacuterio que a accedilatildeo surja e
se realize que o seu objeto apareccedila ao sujeito na sua relaccedilatildeo com o motivo da
atividade em que entra esta accedilatildeo Essa accedilatildeo eacute refletida pelo sujeito sob uma forma
perfeitamente determinada sob a forma de consciecircncia do objeto da accedilatildeo enquanto
fim Assim o objeto da accedilatildeo natildeo eacute afinal senatildeo o seu fim imediato conscientizado
(LEONTIEV 2004 p 317)
Vale ressaltar que a atividade correspondente a um motivo eacute algo coletivo e
consciente Jaacute as accedilotildees correspondentes a um objetivo podem ser entendidas como processos
que satildeo subordinados agraves metas individuais ou coletivas considerando a complexa estrutura da
divisatildeo do trabalho humano ou mesmo podem ser entendidas como processos de
cumprimento de objetivos parciais da atividade As accedilotildees e os objetivos correspondem assim
28
ldquoTal conceito de atividade teraacute duas funccedilotildees princiacutepio explicativo da constituiccedilatildeo das funccedilotildees psicoloacutegicas
superiores e da personalidade e ao mesmo tempo objeto de investigaccedilatildeo soacute sendo possiacutevel compreender tais
constituiccedilotildees a partir do estudo da atividaderdquo (RIGON ASBAHR MORETTI 2010 p 22)
33
ao indiviacuteduo engajado em uma atividade e agrave consciecircncia As operaccedilotildees podem ser entendidas
como meios ou procedimentos pelos quais a accedilatildeo eacute executada para satisfazer seu objetivo As
operaccedilotildees sempre correspondem agraves condiccedilotildees que podem ser entendidas como as
ferramentas necessaacuterias para a realizaccedilatildeo da operaccedilatildeo As condiccedilotildees e as operaccedilotildees podem
ser relacionadas ao indiviacuteduo agrave inconsciecircncia e agrave incorporaccedilatildeo (KAWASAKI 2008 p 108)
ldquoOs motivos portanto pertencem agrave realidade socialmente estruturada de produccedilatildeo e
apropriaccedilatildeo ao passo que as accedilotildees pertencem agrave realidade imediata de objetivos praacuteticosrdquo
(KOZULIN 2002 p 132 itaacutelicos meus)
Para Leontiev (1978) a principal caracteriacutestica que distingue uma atividade da
outra eacute a diferenccedila de seus objetos Para o autor o objeto de uma atividade eacute o que lhe fornece
uma direccedilatildeo determinada uma finalidade constituindo-se dessa forma como seu verdadeiro
motivo Vale ressaltar que para Leontiev o objeto de qualquer atividade humana natildeo eacute algo
neutro nem individual mas sim um objeto da experiecircncia coletiva social pois para ele a
atividade dos outros nos oferece uma base uma gama de possibilidades objetivas que abarca
uma espeacutecie de estrutura especiacutefica das accedilotildees do indiviacuteduo
Eacute preciso entender a atividade levando-se em conta a dinacircmica das necessidades
assim como as diversas formas de executar accedilotildees e operaccedilotildees que podem alterar os processos
constituintes da atividade As accedilotildees podem se transformar em atividades as atividades
podem se transformar em accedilotildees as accedilotildees podem se tornar procedimentos para alcanccedilar um
objetivo configurando-se assim como operaccedilotildees
Para Engestroumlm ldquouma entidade do mundo exterior torna-se um objeto da
atividade quando atende a uma necessidade humana29
rdquo (ENGESTROumlM 2008 p 89 grifos
meus) E para Leontiev (1978) essa reuniatildeo eacute um ldquoato extraordinaacuteriordquo o sujeito constroacutei o
objeto destacando as propriedades que julga serem essenciais para o desenvolvimento da
praacutetica social em que deseja se engajar
Os artefatos mediadores da atividade para Engestroumlm (1987) satildeo considerados
as ferramentas e os signos necessaacuterios para que o sujeito da atividade realize accedilotildees orientadas
para o objetomotivo
Se considerarmos por exemplo a caccedila como uma atividade humana o alimento
(a presa) seria o objeto da atividade pois o alimento eacute o objeto pelo qual a atividade eacute
orientada Tal atividade estaria amparada pela finalidade relacionada a uma necessidade ou
desejo a necessidade de saciar a fome ou desejo de comer uma iguaria As accedilotildees entatildeo
29
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoAn entity in the outside world becomes an object of activity as it meets a
human needrdquo
34
estariam relacionadas aos processos ou objetivos parciais para alcanccedilar o objetivo Para
satisfazer a necessidade pelo alimento eacute preciso executar accedilotildees que natildeo visam diretamente agrave
obtenccedilatildeo do alimento como por exemplo preparar algum equipamento para ser utilizado na
caccedila Para isso seriam necessaacuterias condiccedilotildees para que tais equipamentos possam ser
elaborados como habilidades de construir equipamentos teacutecnicas de extraccedilatildeo de mateacuteria-
prima para a elaboraccedilatildeo dos equipamentos entre outras e ainda precisariam ser
implementadas operaccedilotildees que possibilitem essa fase da atividade de caccedila
A atividade educacional ndash formativa e institucionalizada- foi investigada
profundamente por Davydov que incorporou conceitos de Vigotski e Leontiev para formular
uma teoria sobre o ensino a teoria do ensino desenvolvimental (LIBAcircNEO FREITAS 2006)
Na sociedade informacional Davydov afirma que a tarefa da escola contemporacircnea consiste
em ensinar os aprendizes a se orientarem independentemente que inclui informaccedilotildees oriundas
das comunidades cientiacuteficas - ensinaacute-los a pensar por meio de um ensino que promova o
desenvolvimento mental e psiacutequico (DAVIacuteDOV 1988 p 3 apud LIBAcircNEO FREITAS
2006)
Davydov (1988 apud LIBAcircNEO FREITAS 2006) enfatiza que educaccedilatildeo e
ensino satildeo necessaacuterios para o desenvolvimento humano e que estatildeo amalgamadas agraves
premissas da teoria histoacuterico-cultural de Vigotski que inclui os fatores socioculturais e a
atividade interna dos indiviacuteduos Davydov propotildee um ensino escolar ancorado em atividades
de aprendizagem cujo conteuacutedo do ensino seja a base do ensino desenvolvimental Vale
ressaltar que Davydov natildeo defende a mera transmissatildeo de conteuacutedos mas sim a escola como
promotora de atividades que forneccedilam aos alunos mecanismos para o desenvolvimento de
suas habilidades e competecircncias incluindo aprender por si mesmos
Alguns autores se baseiam em Davydov e tratam dos fenocircmenos educativos como
praacutetica social - como uma atividade Para Rigon Asbahr e Moretti (2010 p 24 grifo meu)
o objeto da atividade pedagoacutegica eacute a transformaccedilatildeo dos indiviacuteduos no processo de
apropriaccedilatildeo dos conhecimentos e saberes por meio desta atividade ndash teoacuterica e
praacutetica ndash eacute que se materializa a necessidade humana de se apropriar dos bens
culturais como forma de constituiccedilatildeo humana
Engestroumlm (2008) entende que tradicionalmente o objeto da atividade do
professor ao participar de praacuteticas escolares pode ser socialmente entendido como sendo o
texto escolar (textos que englobam os livros didaacuteticos apostilas ou ateacute mesmo textos escritos
na lousa pelos professores e reproduzidos nos cadernos dos alunos) e aponta que tais ldquotextos
35
tornam-se um mundo fechado um objeto morto cortado de seu contexto de vidardquo
(ENGESTROumlM 1987 p 101) O autor posiciona tambeacutem os estudantes como parte da
componente objeto da atividade do professor Vale ressaltar que nas praacuteticas escolares
tradicionais comumente observadas em processos de escolarizaccedilatildeo na maioria das
instituiccedilotildees brasileiras de ensino o professor direciona sua atenccedilatildeo agrave transformaccedilatildeo dos
estudantes isto eacute educar significa transformar o estudante no que tange ao entendimento do
mundo e da realidade que o cerca tomando-se por base o texto escolar como referecircncia para
tal transformaccedilatildeo Engestroumlm (2008 p 89) esclarece ainda que
Nessa capacidade construiacuteda relacionada agrave necessidade o objeto ganha forccedila
motivacional que daacute forma e direccedilatildeo para a atividade O objeto determina o
horizonte de objetivos e accedilotildees possiacuteveis A atividade de trabalho dos professores nas
escolas eacute chamada de ensino A atividade dos estudantes nas escolas pode ser
chamada de school-going30
Bernardes (2009) reafirma o posicionamento de Engestroumlm (2008) a respeito do
objeto da atividade da educaccedilatildeo escolar ou seja das praacuteticas educativas escolarizadas como
um direcionamento de accedilotildees objetivando a transformaccedilatildeo do sujeito que aprende sendo este
o primeiro objeto da atividade de ensino A autora ainda afirma existir um segundo objeto
relacionado agrave atuaccedilatildeo profissional do educador sendo alicerccedilado na seguinte questatildeo o quecirc
ensinar e de que forma se organiza o ensino
A seleccedilatildeo e a identificaccedilatildeo do conhecimento teoacuterico-cientiacutefico a ser ensinado na
escola e a definiccedilatildeo das condiccedilotildees adequadas para a materializaccedilatildeo da organizaccedilatildeo
das accedilotildees de ensino na atividade pedagoacutegica requerem que o educador materialize o
segundo objeto da atividade de ensino O produto desta atuaccedilatildeo profissional eacute a
elaboraccedilatildeo de um instrumento que medeia o conhecimento que se objetiva e se
materializa na organizaccedilatildeo das accedilotildees de ensino (BERNARDES 2009 p 237)
Asbahr (2005) enfatiza que a significaccedilatildeo social da atividade pedagoacutegica do
professor seria proporcionar ambientes de aprendizagem que possibilitem aos estudantes se
engajarem em atividades de aprendizagem garantindo-lhes assim apropriaccedilatildeo do
conhecimento natildeo cotidiano A autora afirma que ensino-aprendizagem somente configura
uma atividade coletiva quando satildeo postos em uma uacutenica unidade isto eacute a atividade de ensino
ocorre se e somente se ocorrer a atividade de aprendizagem Dessa forma 30
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoIn this constructed need-related capacity the object gains motivating force
that gives shape and direction to activity The object determines the horizon of possible goals and actions The
work activity of school teachers is called teaching The activity of school students may be called school-goingrdquo
Natildeo encontrei uma traduccedilatildeo considerada por mim como satisfatoacuteria para o que Engestroumlm (1987 2008) chama
de school-going Contudo penso que o autor busca relacionar esse termo agrave ida dos estudantes diariamente agraves
escolas Talvez possa ser traduzido como ldquoida agrave escolardquo
36
O aluno natildeo eacute soacute objeto da atividade do professor mas eacute principalmente sujeito e
constitui-se como tal na atividade ensinoaprendizagem na medida em que participa
ativamente e intencionalmente do processo de apropriaccedilatildeo do saber superando o
modo espontacircneo e cotidiano de conhecer (BASSO 1994 apud ASBAHR 2005 p
114)
Na tentativa de entender os mais diversos fenocircmenos que podem ocorrer nas
praacuteticas escolares de ensino e aprendizagem podemos utilizar o aporte teoacuterico de Engestroumlm
(2001) que propotildee uma estrutura triangular para representar as accedilotildees individuais ou em
grupos constituindo sistemas de atividade coletiva contendo os seguintes elementos sujeito
artefatos ou instrumentos mediadores (ferramentas e signos) objeto comunidade regras
divisatildeo de trabalho e resultado (ENGESTROumlM 2001) como segue
FIGURA 1 ndash A estrutura de um sistema de atividade humana
Fonte ENGESTROumlM 2001 p 135
Os elementos da estrutura da atividade representada na FIG 1 (ENGESTROumlM
2001) podem ser explicados por Engestroumlm (1993)
No modelo o sujeito refere-se ao indiviacuteduo ou subgrupo cujo poder de agir eacute
tomado como ponto de vista na anaacutelise O objeto refere-se agrave ldquomateacuteria primardquo ou ao
ldquoespaccedilo problemardquo para o qual a atividade estaacute direcionada e que eacute moldado ou
transformado em resultados com o auxiacutelio de ferramentas fiacutesicas e simboacutelicas
externas e internas (instrumentos e signos mediadores) A comunidade compreende
indiviacuteduos eou subgrupos que compartilham o mesmo objeto geral A divisatildeo de
trabalho refere-se tanto agrave divisatildeo horizontal de tarefas entre os membros da
comunidade quanto agrave divisatildeo vertical de poder e status Finalmente as regras
referem-se aos regulamentos impliacutecitos e expliacutecitos normas e convenccedilotildees que
37
restringem as accedilotildees e interaccedilotildees no interior do sistema de atividade31
(ENGESTROumlM 1993 p 67 grifos do autor)
Engestroumlm (1987 2002 2008) critica veementemente a inversatildeo de papel que
pode ocorrer com o texto escolar em atividades de ensino-aprendizagem Para ele quando o
texto escolar (os livros didaacuteticos) eacute tomado como objeto da atividade escolar ocorre uma
inversatildeo de papeacuteis o que era para ser um instrumento passa a ser objeto da atividade
Engestroumlm (2008 p 89) ainda esclarece que ldquoem school-going textos assumem o papel de
objeto Este objeto eacute moldado pelos alunos de uma maneira curiosa o resultado de sua
atividade eacute sobretudo o mesmo texto reproduzido e modificado oralmente ou escrito de outra
forma32
rdquo
Sendo assim o objeto da atividade school-going pode ser caracterizado pelos
textos escolares (livros didaacuteticos apostilas etc) e pelos estudantes em formaccedilatildeo ndash alunos E
como objetivo central de tal atividade podemos considerar a transformaccedilatildeo dos indiviacuteduos
no processo de apropriaccedilatildeo dos conhecimentos e saberes (bens histoacutericos e culturais)
impressos nos textos e reproduzidos nas interaccedilotildees Nesse sentido o objetivo consiste na
capacitaccedilatildeo dos alunos para recriar ou refazer o ensinado
Vale pontuar que para Engestroumlm (2001 p 137 grifo meu) as ldquocontradiccedilotildees satildeo
tensotildees estruturais historicamente acumuladas dentro e entre sistemas de atividade33
rdquo Para
ele contradiccedilatildeo natildeo eacute a mesma coisa que problemas ou conflitos O autor esclarece que a
contradiccedilatildeo primaacuteria de atividades no capitalismo estaacute localizada no valor de uso e de troca
das mercadorias Engestroumlm (2001 p 137 grifo meu) enfatiza ainda que
Esta contradiccedilatildeo primaacuteria permeia todos os elementos de nossos sistemas de
atividade Atividades satildeo sistemas abertos Quando um sistema de atividade adota
um novo elemento de fora (por exemplo uma nova tecnologia ou um novo objeto)
ele leva frequentemente a uma contradiccedilatildeo secundaacuteria agravada onde algum antigo
elemento (por exemplo as regras ou a divisatildeo do trabalho) colide com o novo Tais
31
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoIn the model the subject refers to the individual or subgroup whose agency is
chosen as the point of view in the analysis The object refers to the ldquoraw materialrdquo or ldquoproblem spacerdquo at which
the activity is directed and which is molded or transformed into outcomes with the help of physical and
symbolic external an internal tools (mediating instruments and signs) The community comprises multiple
individuals andor subgroups who share the same general object The division of labor refers to both the
horizontal division of tasks between the members of the community and to the vertical division of power and
status Finally the rules refer to the explicit and implicit regulations norms and conventions that constrain
actions and interactions within the activity systemrdquo 32
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoIn school-going text takes the role of the object This object is molded by the
pupils in a curious manner the outcome if their activity is above all the same text reproduced and modified
orally or in written formrdquo 33
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoContradictions are historically accumulating structural tensions within and
between activity systemsrdquo
38
contradiccedilotildees geram distuacuterbios e conflitos mas tambeacutem tentativas inovadoras para
mudar a atividade34
Quando o texto escrito que compotildee livros didaacuteticos adotados durante os processos
de escolarizaccedilatildeo torna-se o objeto da atividade escolar em vez de ser um instrumento que
auxilie o entendimento do mundo podemos perceber que esse texto passa a carregar consigo
uma contradiccedilatildeo interna Engestroumlm (1987 p 102 grifo meu) faz os seguintes apontamentos
Primeiro de tudo ele eacute um objeto morto a ser reproduzido a fim de ganhar notas ou
outros lsquomarcadores de sucessorsquo que cumulativamente determinam o valor futuro do
proacuteprio aluno no mercado de trabalho Por outro lado ele tambeacutem tendenciosamente
aparece como um instrumento vivo de dominaccedilatildeo da proacutepria relaccedilatildeo com a
sociedade fora da escola [] como o objeto da atividade eacute tambeacutem o seu verdadeiro
motivo a natureza inerentemente dupla do motivo da school-going eacute agora visiacutevel35
Vale ressaltar que Engestroumlm (2001 p 136) enfatiza que para localizar qualquer
pesquisa na terceira geraccedilatildeo da Teoria da Atividade eacute preciso analisar no miacutenimo dois
sistemas de atividade interconectados
Na tentativa de exemplificar uma possiacutevel anaacutelise de atividade de aprendizagem
escolar tradicional utilizando a terceira geraccedilatildeo da Teoria da Atividade proposta por
Engestroumlm e seus colaboradores utilizarei um modelo exposto em Engestroumlm (2008 p 89)36
em que eacute apresentada uma unidade de anaacutelise (miacutenima) quando se deseja entender fenocircmenos
da sala de aula tradicional sistemas interconectados de atividade de ensino tradicional
(school-going) No modelo os sistemas de atividade dos professores como sujeitos de sua
proacutepria atividade diferem dos sistemas de atividade dos estudantes ora enquanto sujeitos de
sua proacutepria atividade ora enquanto objeto da atividade dos professores
FIGURA 2 ndash Os interdependentes sistemas de atividade de estudantes e professor
Fonte elabora do pela autora com base em ENGESTROumlM 2001 p 136 37
34
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoThis primary contradiction pervades all elements of our activity systems
Activities are open systems When an activity system adopts a new element from the outside (for example a new
technology or a new object) it often leads to an aggravated secondary contradiction where some old element (for
example the rules or the division of labor) collides with the new one Such contradictions generate disturbances
and conflicts but also innovative attempts to change the activityrdquo 35
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoFirst of all it is a dead object to be reproduced for the purpose of gaining
grades or other lsquosuccess markersrsquo which cumulatively determine the future value of the pupil himself in the labor
market On the other hand it tendentially also appears as a living instrument of mastering onersquos own relation to
society outside the school [] as the object of the activity is also its true motive the inherently dual nature of
motive of school-going is now visiblerdquo 36
Faccedilo nesse modelo uma pequena modificaccedilatildeo com relaccedilatildeo ao objeto da atividade dos dois sistemas
apresentados tomando por base o modelo apresentado por Engestroumlm (2001 p 136) em que eacute exposto um
terceiro objeto que seria o verdadeiro objeto dos sistemas de atividade no qual esse objeto eacute construiacutedo
mediante o compartilhamento dos outros dois objetos 37
Vide nota de rodapeacute anterior
39
O objeto da atividade school-going dos estudantes conforme representado por
Engestroumlm (2008) na FIG 2 pode ser entatildeo considerado como textos escolares (contidos em
livros didaacuteticos) os estudantes se orientam pelo livro e no livro eacute que eles realizam as accedilotildees
de entendimento dos conteuacutedos do ldquomundordquo presos nos textos escolares Os textos escolares
tambeacutem orientam a atividade dos professores Mas natildeo apenas os livros Os estudantes
tambeacutem fazem parte do objeto da atividade dos professores A ldquonuvemrdquo contida no modelo
corresponde a uma idealizaccedilatildeo do objeto da atividade tradicional como um objeto
compartilhado entre estudantes e professor(es) natildeo afirmo portanto que esse objeto seja
realmente compartilhado nas atividade da escola tradicional em sua totalidade
Bernardes (2009 p 240) confirmando o pensamento de Engestroumlm (2008)
esclarece que o motivo da atividade de ensino a ser realizada pelos professores como
sujeitos pode ser entendido(a) como ldquopossibilitar a transformaccedilatildeo da constituiccedilatildeo dos
estudantes por meio do acesso agrave cultura ndash humanizando-osrdquo O objetivo dessa atividade
estaria ancorado em ldquoensinar o conhecimento soacutecio-histoacutericordquo (BERNARDES 2009 p 240)
Jaacute o motivo da atividade de aprendizagem a ser realizada pelos estudantes ora como sujeitos
de sua proacutepria atividade ora como objeto da atividade do professor pode ser entendido como
ldquotornar-se herdeiro da cultura ndash humanizar-serdquo e o objetivo dessa atividade estaria ancorado
em ldquoapropriar-se do conhecimento soacutecio-histoacutericordquo (BERNARDES 2009 p 240)
Tanto para Engestroumlm (2008) quanto para Bernardes (2009) a unidade de anaacutelise
a ser adotada em anaacutelise de atividades formativas seria composta da seguinte forma a
40
atividade pedagoacutegica como sistemas interconectados de atividade ndash a atividade de ensino e a
atividade de aprendizagem (ou school-going para Engestroumlm) realizada por sujeitos
(professores e estudantes) ndash com objetivo relacionado ao acesso e agrave apropriaccedilatildeo da cultura por
meio do acesso e da apropriaccedilatildeo do conhecimento soacutecio-histoacuterico
Com isso cabe um questionamento os estudantes ao se moverem em busca de
satisfazer uma necessidade soacutecio-histoacuterica-cultural ndash humanizar-se ndash com o niacutetido objetivo de
participar da (e ao mesmo tempo agir na) sociedade ao se apropriar do conhecimento soacutecio-
histoacuterico acumulado pelo homem no decorrer de sua historicidade tornam-se eles mesmos
objeto de sua proacutepria atividade Podemos analisaacute-los dessa forma Tornar-se herdeiro da
cultura e se apropriar do conhecimento soacutecio-histoacuterico pode possibilitar ao estudante
transformaccedilotildees em termos de sua proacutepria participaccedilatildeo como ser-no-ldquomundordquo reflete ao
mesmo tempo devido agrave necessidade soacutecio-histoacuterica-cultural que este carrega um ldquomundordquo-
no-ser Dessa forma para analisar por meio da Teoria da Atividade fenocircmenos de ensino-
aprendizagem escolar como interconectados sistemas de atividade eacute necessaacuterio considerar
que ao engajarem em seu proacuteprio processo de escolarizaccedilatildeo (atividade de aprendizagem) os
estudantes satildeo ldquoenquadradosrdquo como objeto de sua proacutepria atividade e natildeo apenas sujeitos jaacute
que a atividade de aprendizagem eacute considerada como uma das componentes dos sistemas de
atividade que perfaz a atividade de ensino-aprendizagem
Dessa forma a atividade tradicional de ensino-aprendizagem constituiacuteda pelos
interconectados sistemas de atividade de alunos e professores cujo objeto eacute o texto escolar
(livros didaacuteticos) e tambeacutem os alunos ndash um objeto a ser compartilhado38
Assim percebemos
que na FIG 2 ocorreraacute num ponto de vista analiacutetico idealizado um compartilhamento entre
os objetos da atividade dos alunos e professor(es) ao considerarmos estes interconectados
sistemas de atividade Ao moldar esculpir construir seu proacuteprio objeto da atividade os
estudantes se tornam objeto de sua proacutepria atividade ndash atividade de aprendizagem ndash fazem
coincidir e passam a compartilhar o objeto da atividade dos professores ndash atividade de ensino
Essa condiccedilatildeo passa entatildeo a se constituir como necessaacuteria para o engajamento de
professores e alunos na atividade de ensino-aprendizagem que na presente pesquisa eacute
tomada como uma unidade de anaacutelise miacutenima utilizando a Teoria da Atividade em sua
denominada por Engestroumlm terceira geraccedilatildeo
38
Na FIG 2 este objeto seria o terceiro deles o idealizado ndash contido na ldquonuvemrdquo o compartilhamento do objeto
da atividade de ensino e do objeto da atividade de aprendizagem
41
Moura et al (2010 p 216 grifos meus) confirmam tal posicionamento com
relaccedilatildeo ao objeto da atividade de aprendizagem focando o conhecimento o conceito e
enfatizando que
Para que a aprendizagem se concretize para os estudantes e se constitua
efetivamente como atividade a atuaccedilatildeo do professor eacute fundamental ao mediar a
relaccedilatildeo dos estudantes com o objeto do conhecimento orientando e organizando o
ensino As accedilotildees do professor na organizaccedilatildeo do ensino devem criar no estudante a
necessidade do conceito fazendo coincidir os motivos da atividade com o objeto de
estudo
Contudo quando Moura et al (2010) enfatizam que os estudantes fazem parte do
objeto da atividade de ensino realizada pelos professores parecem natildeo considerar que a
atividade de ensino somente ocorre em uma diacuteade com a atividade de aprendizagem ldquoNatildeo haacute
docecircncia sem discecircnciardquo (FREIRE 1996 p 21) Soacute haacute ensino quando haacute aprendizagem
Ensina-se algo a algueacutem e esse algueacutem precisa aprender o que foi ensinado para que de fato
se possa dizer que foi ensinado Enquanto ensinar39
pode ser sinocircnimo de instruir ou ajudar
algueacutem a adquirir determinado conhecimento o verbo aprender40
pode ser sinocircnimo de se
instruir ou adquirir determinado conhecimento No entanto Freire (1996 p 23-24 grifo
meu) apesar de natildeo ser um estudiosoadepto da Teoria da Atividade aponta que
Natildeo haacute docecircncia sem discecircncia as duas se explicam e seus sujeitos apesar das
diferenccedilas que os conotam natildeo se reduzem agrave condiccedilatildeo de objeto um do outro
Quem ensina aprende ao ensinar e quem aprende ensina ao aprender Quem ensina
ensina alguma coisa a algueacutem [] Ensinar inexiste sem aprender [] Natildeo temo
dizer que inexiste validade no ensino de que natildeo resulta um aprendizado em que o
aprendiz natildeo se tornou capaz de recriar ou de refazer o ensinado em que o ensinado
que natildeo foi apreendido natildeo pode ser realmente aprendido pelo aprendiz
Natildeo eacute claro para mim o que Freire (1996) quis dizer quando enfatizou ldquonatildeo se
reduzem agrave condiccedilatildeo de objeto um do outrordquo contudo parece ter relaccedilatildeo direta com sua
rejeiccedilatildeo no que diz respeito agrave crenccedila de que ensinar eacute transferir conhecimento a algueacutem
sendo entatildeo esse algueacutem objeto daquele que transfere o conhecimento Para Freire (1996 p
22 grifos do autor) ldquoensinar natildeo eacute transferir conhecimento mas criar possibilidades para a
sua produccedilatildeo ou a sua construccedilatildeordquo
Sendo assim entendo que Engestroumlm (2008) expotildee interconectados sistemas de
atividade perfazendo a atividade do professor e a atividade dos estudantes (school-going) de 39
httpptwiktionaryorgwikiensinar
httpwwwdiciocombrensinar 40
httpptwiktionaryorgwikiaprender
httpwwwdiciocombraprender
42
forma distinta por perceber que nem sempre acontece de o aluno se reconhecer como objeto
de sua proacutepria atividade de aprendizagem mais do que isso o autor expotildee que a atividade
escolar tradicional descrita na FIG 2 eacute ldquoamplamente considerada alienante para ambos
estudantes e professores41
rdquo (ENGESTROumlM 2008 p 90) Tal alienaccedilatildeo acontece
principalmente pelo objeto da atividade de alunos e professores no processo tradicional de
escolarizaccedilatildeo estar ancorado no livro-texto em vez de o texto representar um instrumento que
auxilie a apropriaccedilatildeo dos conhecimentos como fatos socialmente e historicamente
construiacutedos
Vale ressaltar que a necessidade de apropriaccedilatildeo dos conhecimentos na qualidade
de constructos soacutecio-histoacuterico-culturais eacute (ou deveria ser) comungada por todos os indiviacuteduos
afetados pelo processo de escolarizaccedilatildeo ndash estudantes e professores mais do que eles todos os
indiviacuteduos da sociedade almejam por instruccedilatildeo Eacute na escola que se efetuam as praacuteticas de
instruccedilatildeo baseadas nos conhecimentos institucionalizados pela ciecircncia e referenciados por
todos A necessidade que pode ser atribuiacuteda pelo compartilhamento do conhecimento eacute (ou
deveria ser) comungada por estudantes e professores que ligados a essa necessidade
constroem os respectivos objetos de suas atividades como sujeitos na escola a atividade
educacional escolar cujo objeto eacute o conhecimento a ser compartilhado Aleacutem disso somente
entendo os estudantes como objeto da atividade do professor se eles se reconhecerem como
objeto da proacutepria atividade de aprendizagem ndash enquanto o primeiro instrui o segundo se
instrui inexoravelmente42
Uma observaccedilatildeo importante feita por Engestroumlm (2008) diz respeito agrave
metodologia de anaacutelise e tambeacutem agrave de construccedilatildeo dos dados de uma investigaccedilatildeo quando se
pretende usar a (denominada por ele) terceira geraccedilatildeo da Teoria da Atividade como ldquolenterdquo
teoacuterica Nas palavras dele
Orientadas pelo objetivo accedilotildees instrumentais publicamente roteirizadas satildeo a ponta
facilmente discerniacutevel do iceberg a profundidade da estrutura social da atividade
estaacute por debaixo da superfiacutecie mas oferece estabilidade e ineacutercia para o sistema
Assim o subtriacircngulo superior (sujeito-instrumentos-objeto) da Figura 7 representa
as accedilotildees instrumentais visiacuteveis de professores e alunos O curriacuteculo oculto estaacute
amplamente localizado na parte inferior do diagrama na natureza das regras a
comunidade e a divisatildeo do trabalho da atividade43
(ENGESTROumlM 2008 p 90)
41
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquowidely considered alienating for both students and teachersrdquo 42
Na minha concepccedilatildeo baseada nas ideias de Paulo Freire ensinar e aprender satildeo atividades disjuntas Ensinar
algo a algueacutem Nisso estaacute impresso uma mutualidade no objeto idealizado da atividade de ensino-
-aprendizagem escolar algo (algum conhecimento fenocircmeno conteuacutedo) e algueacutem (aquele que desempenharaacute as
accedilotildees empreendidas pelo aprender) 43
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoGoal-oriented publicly scripted instrumental actions are the easily discernible
tip of the iceberg the deep social structure of activity is underneath the surface but provides stability and inertia
43
Mesmo natildeo sendo necessariamente visiacuteveis do ponto de vista metodoloacutegico de
uma investigaccedilatildeo seratildeo consideradas na presente pesquisa as accedilotildees instrumentais localizadas
na parte inferior do diagrama de Engestroumlm (conforme FIG 1 e FIG 2) tais como as relaccedilotildees
de poder e controle que medeiam regulam e influenciam as relaccedilotildees sociais incluindo o
discurso como um produto histoacuterico-cultural
Ainda seratildeo considerados os seguintes cinco princiacutepios baacutesicos da Teoria da
Atividade44
apontados por Engestroumlm (2001 p 136-137) O primeiro diz respeito ao uso dos
sistemas de atividade como a unidade de anaacutelise Para isso ele apresenta seu sistema
triangular estendido como modelo para organizaccedilatildeo sistecircmica dos elementos que compotildeem a
atividade conforme exemplificado anteriormente na FIG 2 O segundo princiacutepio diz respeito
agrave multivocalidade do sistema de atividade Um sistema de atividades eacute composto por
comunidades com muacuteltiplos pontos de vista tradiccedilotildees e interesses A divisatildeo do trabalho cria
diferentes posiccedilotildees para os partiacutecipes que por sua vez portam suas proacuteprias e diversas
histoacuterias de vida os sistemas de atividade portam ainda muacuteltiplas camadas e vertentes da
histoacuteria gravadas em artefatos mediadores regras e convenccedilotildees O terceiro princiacutepio afirma
que a anaacutelise da atividade e dos componentes que a formam deve sempre ser tomada em sua
historicidade perceber o papel das contradiccedilotildees no movimento de uma atividade torna
possiacutevel tambeacutem a reconstituiccedilatildeo de sua evoluccedilatildeo e do desenvolvimento de suas praacuteticas ao
longo da histoacuteria O quarto princiacutepio que segundo Engestroumlm (2001) deveria ser seguido por
uma pesquisa que utiliza a Teoria da Atividade diz respeito agrave busca pelas contradiccedilotildees
internas dentro da atividade que seriam a forccedila motriz do desenvolvimento podendo ser
expressas por distuacuterbios inovaccedilotildees e mudanccedilas nos sistemas de atividade Finalmente o
quinto princiacutepio proclama a possibilidade de transformaccedilotildees expansivas nos sistemas de
atividade ldquoUma transformaccedilatildeo expansiva eacute realizada quando o objeto e o motivo da atividade
satildeo reconceitualizados adotando um horizonte radicalmente mais amplo de possibilidades do
que no estaacutegio anterior da atividade45
rdquo (ENGESTROumlM 2001 p 137) Para Engestroumlm
(1987) um ciclo completo de transformaccedilotildees expansivas pode ser entendido como uma
jornada coletiva por meio da zona de desenvolvimento proximal da atividade que ldquoeacute a
for the system Accordingly the topmost subtriangles (subject-instruments-object) da Figure 51 represent the
visible instrumental actions of teachers and students The hidden curriculum is largely located in the bottom parts
of the diagram in the nature of the rules the community and the division of labor of the activityrdquo 44
Denominada por Engestroumlm como a terceira geraccedilatildeo da teoria da atividade 45
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoAn expansive transformation is accomplished when the object and motive of
the activity are reconceptualized to embrace a radically wider horizon of possibilities than in the previous mode
of the activityrdquo
44
distacircncia entre as accedilotildees cotidianas dos indiviacuteduos e a historicamente nova forma de atividade
social que pode ser gerada coletivamente como uma soluccedilatildeo para o dilema potencialmente
incorporado nas accedilotildees cotidianasrdquo46
(ENGESTROumlM 1987 p 174)
Engestroumlm (1993) enfatiza que no que tange agrave historicidade de uma atividade a
ser analisada pela Teoria da Atividade a classificaccedilatildeo entre modos e tipos histoacutericos deve ser
realizada Para o autor o modo se refere agrave forma que certa atividade eacute organizada e realizada
pelos participantes em um dado momento O modo ldquose assemelha a um mosaico em constante
evoluccedilatildeo consistindo de vaacuterios interesses paralelos vozes e camadas47
rdquo (ENGESTROumlM
1993 p 68) Contudo um sistema de atividade como um todo tambeacutem representa algum
padratildeo qualitativo historicamente identificaacutevel ndash um tipo ideal ndash de seus componentes e suas
relaccedilotildees internas Partindo de tal diferenciaccedilatildeo Engestroumlm (1993) constroacutei um modelo
conceitual geral que permite analisar esses tipos histoacutericos com base na caracterizaccedilatildeo de
duas variaacuteveis principais o grau de complexidade e o grau de centralizaccedilatildeo O grau de
complexidade tende a ser crescente com o passar do tempo histoacuterico Jaacute o grau de
centralizaccedilatildeo dependeraacute do tipo de atividade a ser analisada Baixos graus de centralizaccedilatildeo e
altos graus de complexidade hipoteticamente corresponderiam a atividades dominadas
coletivamente e expansivamente
Engestroumlm (2002) na tentativa de criar uma maneira proacutepria de possibilitar e
analisar aprendizagens buscou inspiraccedilatildeo em dois autores O primeiro deles Davydov propocircs
uma estrateacutegia de ensino denominada formaccedilatildeo de conceitos teoacutericos pela ascensatildeo do
abstrato ao concreto que busca por meio de uma abstraccedilatildeo primaacuteria uma ldquoceacutelula
germinativardquo formas de deduzir e unificar outras formas de abstraccedilatildeo e generalizaccedilatildeo
transformando essa abstraccedilatildeo primaacuteria em um ldquoconceitordquo que imprime a ceacutelula germinativa
em sua essecircncia Para isso eacute preciso que ldquoos alunos reproduzam o processo atual pelo qual as
pessoas criaram conceitos imagens valores e normasrdquo (DAVYDOV 1988 p 21 apud
ENGESTROumlM 2002 p 185) A segunda autora eacute Jean Lave que propocircs analisar a
aprendizagem como participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima em comunidades de praacutetica Farei uma
breve explanaccedilatildeo dessas duas abordagens48
46
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoIt is the distance between the present everyday actions of the individuals and
the historically new form of the societal activity that can be collectively generated as a solution to the double
bind potentially embedded in the everyday actionsrdquo 47
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoThe mode resembles a continuously evolving mosaic consisting of various
parallel interests voices and layersrdquo 48
Engestroumlm (2002) busca inspiraccedilatildeo nas abordagens desses dois autores e agrega a elas o ldquocontexto da criacuteticardquo
(seraacute exposto posteriormente) para gerar um contexto que segundo ele seja propiacutecio para possibilitar
aprendizagens expansivas e por conseguinte o ldquorompimento da encapsulaccedilatildeordquo da aprendizagem escolar
45
11 Meacutetodo da ascensatildeo do abstrato ao concreto de Davydov
A teoria que Davydov propocircs denominada por meacutetodo da ascensatildeo do abstrato ao
concreto considera que a encapsulaccedilatildeo da aprendizagem49
escolar acontece devido ldquoa um vieacutes
empirista descritivo e classificatoacuteriordquo (ENGESTROumlM 2002 p 186) que permeia o ensino
tradicional e a elaboraccedilatildeo dos curriacuteculos Isso implica em um total desconhecimento por parte
dos alunos da gecircnese dos conhecimentos estudados dentro das escolas Engestroumlm e Sannino
(2010b) explicam que
Uma nova ideia ou conceito teoacuterico eacute inicialmente produzido sob a forma de um
abstrato relaccedilatildeo explicativa simples uma lsquoceacutelula germinativarsquo Esta abstraccedilatildeo
inicial eacute enriquecida passo-a-passo e transformada em um sistema concreto de
muacuteltiplas manifestaccedilotildees em constante desenvolvimento Na atividade de
aprendizagem a ideia inicial simples eacute transformada em um objeto complexo em
uma nova forma de praacutetica Atividade de aprendizagem leva agrave formaccedilatildeo de
conceitos teoacutericos - praacutetica teoricamente apreendida - concreto em riqueza sistecircmica
e multiplicidade de manifestaccedilotildees Neste quadro abstrato refere-se ao parcial
separado do todo concreto50
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 5)
Karel Kosik (1976) pode nos ajudar na compreensatildeo da ascensatildeo do abstrato ao
concreto Buscando em Marx Kosik explora dialeticamente as noccedilotildees de concretude e
abstraccedilatildeo Para isso ele define primeiramente o conceito de pseudoconcreticidade Segundo
ele
O complexo dos fenocircmenos que povoam o ambiente cotidiano e a atmosfera comum
da vida humana que com a sua regularidade imediatismo e evidecircncia penetram na
consciecircncia dos indiviacuteduos agentes assumindo um aspecto independente e natural
constitui o mundo da pseudoconcreticidade A ele pertecem
O mundo dos fenocircmenos externos que se desenvolvem agrave superfiacutecie dos processos
realmente essenciais
O mundo do traacutefico e da manipulaccedilatildeo isto eacute da praxis fetichizada dos homens (a
qual natildeo coincide com a praxis criacutetica revolucionaacuteria da humanidade)
49
O autor aborda a questatildeo da descontinuidade entre atividades escolares e atividades fora da escola
considerando os conhecimentos escolares como algo encapsulado distante da realidade cotidiana dos indiviacuteduos
que participam de tais praacuteticas denominando tal fenocircmeno por encapsulaccedilatildeo da aprendizagem escolar Ao
refletir sobre os motivos que levam os indiviacuteduos a participarem de atividades escolares enfatiza que na maioria
das vezes eles natildeo aprendem para a vida mas para a escola (ENGESTROumlM 2002) 50
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoA new theoretical idea or concept is initially produced in the form of an
abstract simple explanatory relationship a lsquogerm cellrsquo This initial abstraction is step-by-step enriched and
transformed into a concrete system of multiple constantly developing manifestations In learning activity the
initial simple idea is transformed into a complex object into a new form of practice Learning activity leads to
the formation of theoretical concepts ndash theoretically grasped practice ndash concrete in systemic richness and
multiplicity of manifestations In this framework abstract refers to partial separated from the concrete wholerdquo
46
O mundo das representaccedilotildees comuns que satildeo projeccedilotildees dos fenocircmenos externos
na consciecircncia dos homens produto da praxis feitichizada formas ideoloacutegicas de
seu movimento
O mundo dos objetos fixados que datildeo a impressatildeo de ser condiccedilotildees naturais e natildeo
satildeo imediatamente reconheciacuteveis como resultados da atividade social dos homens
(KOSIK 1976 p 15 grifo do autor)
Kosik nos mostra como o pensamento dialeacutetico entre a pseudoconcreticidade e os
fenocircmenos cotidianos estatildeo inteiramente relacionados por meio da consciecircncia dos
indiviacuteduos Diz ainda que para atingir a concreticidade eacute preciso destruir a
pseudoconcreticidade Nas palavras de Kosik (1976)
O pensamento que quer conhecer adequadamente a realidade que natildeo se contenta
com os esquemas abstratos da proacutepria realidade nem com suas simples e tambeacutem
abstratas representaccedilotildees tem de destruir a aparente independecircncia do mundo dos
contatos imediatos de cada dia O pensamento que destroacutei a pseudoconcreticidade
para atingir a concreticidade eacute ao mesmo tempo um processo no curso do qual sob o
mundo da aparecircncia se desvenda o mundo real por traacutes da aparecircncia externa do
fenocircmeno se desvenda a lei do fenocircmeno por traacutes do movimento visiacutevel o
movimento real interno por traacutes do fenocircmeno a essecircncia (KOSIK 1976 p 20)
Vale ressaltar que para Kosik (1976 p 36) ldquoo meacutetodo da ascensatildeo do abstrato ao
concreto eacute o meacutetodo do pensamentordquo atuando nos conceitos que satildeo considerados os
elementos da abstraccedilatildeo Sendo assim o autor explicita que tal ascensatildeo natildeo pode ser
entendida como uma lsquopassagemrsquo de um plano (sensiacutevel) para outro plano (racional) ou seja
para ele tal ascensatildeo consiste em ldquoum movimento no pensamento e do pensamentordquo (KOSIK
1976 p 36) Nesse sentido o autor aponta que
A ascensatildeo do abstrato ao concreto eacute um movimento para o qual todo iniacutecio eacute
abstrato e cuja dialeacutetica consiste na superaccedilatildeo desta abstratividade [] O processo
do pensamento natildeo se limita a transformar o todo caoacutetico das representaccedilotildees no todo
transparente dos conceitos no curso do processo o proacuteprio todo eacute concomitante
delineado determinado e compreendido (KOSIK 1976 p 36-37)
As reflexotildees apontadas por Kosik (1976) podem nos fornecer subsiacutedios
epistemoloacutegicos para o entendimento da estrateacutegia de ascender do abstrato para o concreto de
Davydov A teoria de Davydov aponta para a necessidade de a escola atuar de forma a
direcionar os alunos a descobrirem o ldquonuacutecleordquo ou ldquogermerdquo do assunto acadecircmico a ser
estudado Nas palavras de Davydov (1988)
Ao iniciar o domiacutenio de qualquer mateacuteria curricular os alunos com a ajuda dos
professores analisam o conteuacutedo do material curricular e identificam nele a relaccedilatildeo
geral principal e ao mesmo tempo descobrem que esta relaccedilatildeo se manifesta em
47
muitas outras relaccedilotildees particulares encontradas nesse determinado material Ao
registrar por meio de alguma forma referencial a relaccedilatildeo geral principal
identificada os alunos constroem com isso uma abstraccedilatildeo substantiva do assunto
estudado Continuando a anaacutelise do material curricular eles detectam a vinculaccedilatildeo
regular dessa relaccedilatildeo principal com suas diversas manifestaccedilotildees obtendo assim
uma generalizaccedilatildeo substantiva do assunto estudado Dessa forma as crianccedilas
utilizam consistentemente a abstraccedilatildeo e a generalizaccedilatildeo substantivas para deduzir
(uma vez mais com o auxiacutelio do professor) outras abstraccedilotildees mais particulares e para
uni-las no objeto integral (concreto) estudado Quando os alunos comeccedilam a usar a
abstraccedilatildeo e a generalizaccedilatildeo iniciais como meios para deduzir e unir outras
abstraccedilotildees eles convertem as estruturas mentais iniciais em um conceito que
representa o ldquonuacutecleordquo do assunto estudado Este ldquonuacutecleordquo serve posteriormente agraves
crianccedilas como um princiacutepio geral pelo qual elas podem se orientar em toda a
diversidade do material curricular factual que tecircm que assimilar em uma forma
conceitual por meio da ascensatildeo do abstrato ao concreto (DAVYDOV 1988 p 22
apud LIBAcircNEO 2004 p 17)
Engestroumlm (2002 p 186) enfatiza que a escola tradicional tende a permanecer
inerte ldquoporque seus lsquogermesrsquo nunca satildeo descobertos pelos estudantes e consequentemente
porque os estudantes natildeo tecircm a chance de usar esses lsquogermesrsquo para deduzir explicar predizer
e controlar na praacutetica fenocircmenos e problemas concretos em seu ambienterdquo Davydov
considera seis accedilotildees que devem orientar as atividades de aprendizagem orientadas pelo
meacutetodo da ascensatildeo do abstrato para o concreto Satildeo elas
1) Transformar as condiccedilotildees da tarefa a fim de revelar a relaccedilatildeo universal do objeto
em estudo
2) Modelar a relaccedilatildeo natildeo-identificada numa forma de item especiacutefico graacutefica ou
literal
3) Transformar o modelo da relaccedilatildeo a fim de estudar suas propriedades em sua
ldquoaparecircncia purardquo
4) Construir um sistema de tarefas particulares que satildeo resolvidas por um modo
geral
5) Monitorar o desempenho das accedilotildees precedentes
6) Avaliar a assimilaccedilatildeo do modo geral que resulta da resoluccedilatildeo da tarefa de
aprendizagem dada (DAVYDOV 1988 p 30 apud ENGESTROumlM 2002 p 186)
A FIG 3 mostra as fases da generalizaccedilatildeo teoacuterica proposta por Davydov como o
meacutetodo da ascensatildeo do abstrato ao concreto
48
FIGURA 3 ndash Sumaacuterio da generalizaccedilatildeo teoacuterica de Davydov
Fonte DAVYDOV 1982 p 42 apud ENGESTROumlM 2009 p 326
Engestroumlm (2002 p 188 grifo do autor) aponta que a soluccedilatildeo proposta por
Davydov para resolver a questatildeo da aprendizagem escolar pretende ldquoempurrar a escola para
dentro do mundo tornando-a dinacircmica e teoricamente poderosa no enfrentamento de
problemas praacuteticosrdquo Poreacutem para Engestroumlm (2002) essa estrateacutegia parece natildeo mudar a base
social da aprendizagem escolar mas ldquoao colocar os alunos em contato com os descobridores
do passado a estrateacutegia pode muito bem dar poder aos alunosrdquo (ENGESTROumlM 2002 p
188)
12 A participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima de Lave
Os conceitos fundamentais da abordagem de Jean Lave e Etiene Wenger se
baseiam na Participaccedilatildeo Perifeacuterica Legiacutetima (PPL) em comunidades de praacutetica que propotildeem
a noccedilatildeo de aprendizagem como o movimento gradualmente crescente na participaccedilatildeo de
sujeitos em comunidades de praacutetica Dessa forma ldquoa aprendizagem deve ser analisada como
uma parte integral da praacutetica social em que estaacute ocorrendo Para se mudar ou melhorar a
49
aprendizagem deve se reorganizar a praacutetica socialrdquo (ENGESTROumlM 2002 p 188) Ainda
Engestroumlm (2002) sinaliza que Lave e Wenger sugerem que
a aprendizagem como participaccedilatildeo em comunidades de praacutetica eacute particularmente
efetiva (a) quando os participantes tecircm amplo acesso a diferentes partes da atividade
e terminam procedendo agrave plena participaccedilatildeo nas tarefas nucleares (b) quando haacute
abundante interaccedilatildeo horizontal entre os participantes mediada especialmente por
histoacuterias de situaccedilotildees problemaacuteticas e suas soluccedilotildees e (c) quando as tecnologias e
estruturas da comunidade de praacutetica satildeo transparentes isto eacute quando seus
mecanismos internos estatildeo disponiacuteveis para a inspeccedilatildeo do aprendiz (ENGESTROumlM
2002 p 189)
Sob a oacutetica da aprendizagem como participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima em
comunidades de praacutetica Engestroumlm (2002) enfatiza que nas escolas muitas vezes haacute a
predominacircncia de curriacuteculos ocultos produzidos por meio de experiecircncias e resultados natildeo
intencionais podendo ateacute mesmo ser considerados condenaacuteveis sob o ponto de vista dos
curriacuteculos oficiais Para fundar uma comunidade de praacutetica com base nas sugestotildees apontadas
acima de forma a reorganizar o ensino seria necessaacuteria a identificaccedilatildeo de uma comunidade
de praacutetica que simularia o que os cientistas ou aqueles que aplicam os conhecimentos
cientiacuteficos fazem em suas atividades diaacuterias
Engestroumlm (2002) aponta que a soluccedilatildeo para a questatildeo da encapsulaccedilatildeo da
aprendizagem escolar proposta por Lave e Wenger cujo foco estaacute no entendimento da
aprendizagem como participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima em comunidades de praacutetica que toma
como objeto da referida atividade o contexto de aplicaccedilatildeo praacutetica parece pretender empurrar
o mundo para dentro da escola por meio da criaccedilatildeo de ldquocomunidades de praacutetica do mundo
exterior para dentro da escolardquo (ENGESTROumlM 2002 p 191 grifo do autor)
13 Aprendizagem expansiva
Engestroumlm (2002) toma como ponto de partida as ideias de Davydov e Lave cujas
abordagens se baseiam respectivamente nos contextos da descoberta e da aplicaccedilatildeo e
anexa a esses contextos o contexto da criacutetica
Para Engestroumlm (2002) as atividades escolares que objetivem o rompimento da
encapsulaccedilatildeo da aprendizagem escolar devem iniciar-se com uma criacutetica meticulosa sobre os
conteuacutedos e procedimentos a serem abordadosestudadosaprendidos agrave luz de sua histoacuteria O
50
autor questiona ldquopor que natildeo deixar que os proacuteprios alunos descubram como suas maacutes
concepccedilotildees satildeo manufaturadas na escolardquo (ENGESTROumlM 2002 p 192 grifo meu) Para
isso o autor orienta que inicialmente seria necessaacuteria uma anaacutelise criacutetica dos livros didaacuteticos e
curriacuteculos em aacutereas especiacuteficas de conteuacutedo
Aliados os contextos da descoberta da aplicaccedilatildeo e da criacutetica podem definir o
que Engestroumlm (2002) chama de contexto da aprendizagem por expansatildeo Para o autor
O contexto da criacutetica enfatiza os poderes de resistir questionar contradizer e
debater O contexto da descoberta enfatiza os poderes de experimentar modelar
simbolizar e generalizar O contexto da aplicaccedilatildeo enfatiza os poderes da relevacircncia
social e da aplicabilidade do conhecimento do envolvimento da comunidade e da
praacutetica guiada (ENGESTROumlM 2002 p 193 grifos meus)
Engestroumlm (1987 2002) enfatiza que para o contexto da criacutetica ser plenamente
estabelecido seria necessaacuterio criar um contexto alternativo de aprendizagem de forma que aos
alunos seja inaugurada a possibilidade de elaborar e implementar um novo caminho na
praacutetica um modelo novo de praacutexis um novo modo de fazer e participar do trabalho escolar
ou seja os sujeitos tecircm de aprender algo que natildeo existe a priori ldquoeles adquirem sua atividade
futura enquanto a vatildeo criandordquo (ENGESTROumlM 2002 p 193) O autor afirma que o ldquotripeacuterdquo
ancorado pelos contextos da descoberta da aplicaccedilatildeo e da criacutetica poderia ser considerado
como ldquoo novo e expandido objeto da aprendizagemrdquo (ENGESTROumlM 2002 p 193) escolar
Para Engestroumlm (2002) esse tipo de expansatildeo no objeto implicaria uma completa
transformaccedilatildeo qualitativa da atividade de aprendizagem escolar
Engestroumlm (2001 p 138) inspirado em Bateson (1972) ndash que distingue trecircs niacuteveis
de aprendizagem (tipos I II e III) ndash propotildee uma nova abordagem para a aprendizagem ndash a
expansiva Para Bateson (1972) aprendizagens de niacutevel I estatildeo baseadas no
ldquocondicionamento aquisiccedilatildeo de respostas consideradas corretas em um dado contextordquo51
(ENGESTROumlM 2001 p 138) Aprendizagens de niacutevel II estatildeo relacionadas agrave aprendizagem
de ldquonormas e padrotildees de comportamento caracteriacutesticos do proacuteprio contextordquo52
(ENGESTROumlM 2001 p 138) Dessa forma muitas vezes os proacuteprios contextos podem estar
embebidos por demandas contraditoacuterias que podem impulsionar aprendizagens de niacutevel III
ldquoquando uma pessoa ou um grupo comeccedila a questionar radicalmente o sentido e o
significado do contexto e constroem um contexto alternativo mais amplo Aprendizagem de
51
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoconditioning acquisition of the responses deemed correct in the given
contextrdquo 52
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquorules and patterns of behavior characteristic to the context itselfrdquo
51
niacutevel III eacute essencialmente um empenho coletivordquo53
(ENGESTROumlM 2001 p 138 itaacutelicos
meus) Engestroumlm (2001) utiliza tais ideias de Bateson (1972) e propotildee a Teoria da
Aprendizagem Expansiva
Aprendizagem de niacutevel III eacute vista como atividade de aprendizagem que tem seu
proacuteprio tipo de accedilotildees e instrumentos [hellip] O objeto da atividade da aprendizagem
expansiva eacute todo o sistema de atividades em que os aprendizes estatildeo engajados
Atividades de aprendizagem expansiva produzem culturalmente novos padrotildees de
atividade Aprendizagem expansiva no trabalho produz novas formas de atividade
de trabalho (ENGESTROumlM 2001 p 139 grifo meu)54
As raiacutezes teoacutericas que fundamentam o conceito de aprendizagem expansiva foram
expostas em Engestroumlm e Sannino (2010b) Os autores apontam seis teoacutericos e as ideias
centrais que foram utilizadas como ldquopano de fundordquo teoacuterico para a elaboraccedilatildeo do conceito de
aprendizagem expansiva Da Escola Histoacuterico-Cultural Russa foram usadas seis ideias dos
acadecircmicos Lev Vygotsky Aleksei Leontev Evald Ilrsquoenkov e Vasili Davydov Aleacutem desses
teoacutericos foram utilizadas mais duas ideias oriundas dos trabalhos de Bateson e Bakhtin A
seguir com base em Engestroumlm e Sannino (2010b) farei um breve resumo dessas oito raiacutezes
1) Leontev (1981) considera as atividades coletivas tomando por base a divisatildeo do
trabalho que para ele pode levar agrave separaccedilatildeo de accedilatildeo e atividade Em uma
atividade de caccedila por exemplo cada participante tem um papel diferenciado em
termos de accedilotildees a serem executadas visando a seu engajamento na atividade Uma
accedilatildeo tem um comeccedilo definido e um fim Jaacute uma atividade coletiva se reproduz
sem um ponto final predeterminado mas orientada pelo objeto podendo
acontecer continuidade e ateacute mesmo mudanccedilas dramaticamente descontiacutenuas na
atividade pois a atividade depende das accedilotildees e das condiccedilotildees para sua realizaccedilatildeo
A proacutepria ideia de aprendizagem expansiva que pode ser entendida como um
movimento das accedilotildees para a atividade foi construiacuteda tomando-se por base a
distinccedilatildeo entre accedilatildeo e atividade
2) O conceito Vigotskiano de zona de desenvolvimento proximal (ZDP) que pode
ser entendida como a distacircncia entre o real e o potencial niacutevel de resoluccedilatildeo de
53
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquowhere a person or a group begins to radically question the sense and meaning
of the context and to construct a wider alternative context Learning III is essentially a collective endeavorrdquo 54
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoLearning III is seen as learning activity which has its own typical actions and
tools [] The object of expansive learning is the entire activity system in which the learners are engaged
Expansive learning activity produces culturally new patterns of activity Expansive learning at work produces
new forms of work activityrdquo
52
problemas considerando o real niacutevel como sendo o indiviacuteduo sozinho e o
potencial como sendo o indiviacuteduo orientado por outro(s) indiviacuteduo(s)
considerado(s) mais experiente(s) (ENGESTROumlM SANNINO 2010b)
Engestroumlm (1987) conforme exposto anteriormente com o objetivo de entender a
aprendizagem e o desenvolvimento redefiniu o conceito de ZDP adaptando as
ideias de Vigotski sob o ponto de vista das atividades coletivas gerando assim o
conceito de ZDP da atividade
3) A Teoria da Aprendizagem Expansiva pode ser entendida como uma aplicaccedilatildeo
da Teoria da Atividade devido a sua orientaccedilatildeo para o objeto Na Teoria da
Aprendizagem Expansiva o objeto pode ser considerado com um duplo sentido
tanto mateacuteria prima quanto finalidade da atividade Neste sentido o objeto
carrega consigo o motivo da atividade Sendo assim a ldquoaprendizagem expansiva eacute
um processo de transformaccedilatildeo material de relaccedilotildees vitaisrdquo (ENGESTROumlM
SANNINO 2010b p 4)
4) A Teoria da Atividade pode ser considerada como uma teoria dialeacutetica e sendo
assim o conceito de contradiccedilatildeo desempenha importante papel para a elaboraccedilatildeo
da Teoria da Aprendizagem Expansiva Com base em Ilrsquoenkov (1977 1982 apud
ENGESTROumlM SANNINO 2010b) a Teoria da Aprendizagem Expansiva
concebe as contradiccedilotildees como
[] tensotildees historicamente em evoluccedilatildeo que podem se detectadas e tratadas no real
sistema de atividade No capitalismo a contradiccedilatildeo primaacuteria presente entre valor de
uso e valor de troca eacute inerente a todas as mercadorias e todas as esferas da vida
estatildeo sujeitas a comoditizaccedilatildeo55
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 4 grifo
meu)
Os autores enfatizam que as contradiccedilotildees podem ser entendidas como forccedilas
motrizes da transformaccedilatildeo Para eles o proacuteprio ldquoobjeto de uma atividade eacute sempre
contraditoacuterio internamenterdquo (ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 4 grifos
meus) Neste sentido a contradiccedilatildeo interna presente no objeto de uma atividade
funciona como uma forccedila interna capaz de produzir movimento e direccedilatildeo para a
atividade
55
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquocontradictions as historically evolving tensions that can be detected and dealt
with in real activity systems In capitalism the pervasive primary contradiction between use value and exchange
value is inherent to every commodity and all spheres of life are subject to commoditizationrdquo
53
5) Davydov conforme exposto anteriormente desenvolveu o meacutetodo da ascensatildeo
do abstrato para o concreto que pode ser entendido como um meacutetodo cujo foco
estaacute ancorado na captura da essecircncia de um objeto Engestroumlm e Sannino (2010b)
baseiam-se nas seis accedilotildees tipicamente ideias de aprendizagem prefiguradas por
Davydov e expostas anteriormente no item 11 deste capiacutetulo para elaborar o
conceito de sequecircncia tipicamente ideal de accedilotildees em um ciclo expansivo de
aprendizagem que seraacute exposto mais adiante neste mesmo capiacutetulo desta tese
6) Nos escritos de Vigotski e de seus colaboradores podemos encontrar o
conceito de mediaccedilatildeo que pode ser entendido como accedilotildees que satildeo realizadas
pelos sujeitos de uma atividade por meio das ferramentas e os signos culturais e
orientadas para o objeto da atividade como essecircncia do funcionamento
psicoloacutegico humano Engestroumlm e Sannino (2010b) apontam que a agecircncia do
sujeito - sua capacidade para transformar um contexto eou seu proacuteprio
comportamento- o torna foco central na Teoria da Aprendizagem Expansiva Os
autores esclarecem ainda que
Vygotsky construiu sua metodologia intervencionista de estimulaccedilatildeo dupla neste
insight Em vez de meramente dando ao sujeito uma tarefa para resolver Vygotsky
deu ao sujeito tanto uma tarefa exigente (primeiro estiacutemulo) e um artefato ldquoneutrordquo
ou externamente ambiacuteguo (segundo estiacutemulo) o sujeito poderia encher de
significado e se transformar em um novo signo de mediaccedilatildeo que reforccedilaria suas
accedilotildees e potencialmente levar a ressignificaccedilatildeo da tarefa Aprendizagem expansiva
normalmente exige intervenccedilotildees formativas com base no princiacutepio de estimulaccedilatildeo
dupla56
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 5 grifos meus)
7) A metodologia intervencionista proposta por Vigotski de estimulaccedilatildeo dupla
dialoga com o pensamento do antropoacutelogo Bateson A noccedilatildeo de double bind de
Bateson (1972 apud ENGESTROumlM SANNINO 2010 p 5) configura-se como
uma raiz teoacuterica para a Teoria da Aprendizagem Expansiva e pode ser entendida
como ldquoum social dilema socialmente essencial que natildeo pode ser resolvido por
meio de accedilotildees individuais separadas por si soacute ndash mas em que as accedilotildees de
56
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoVygotsky built his interventionist methodology of double stimulation on this
insight Instead of merely giving the subject a task to solve Vygotsky gave the subject both a demanding task
(first stimulus) and a lsquoneutralrsquo or ambiguous external artifact (second stimulus) the subject could fill with
meaning and turn into a new mediating sign that would enhance his or her actions and potentially lead to
reframing of the task Expansive learning typically calls for formative interventions based of the principle of
double stimulationrdquo
54
cooperaccedilatildeo conjunta podem impulsionar uma historicamente nova forma de
atividade a surgirrdquo57
(ENGESTROumlM 1987 p 165 itaacutelicos do autor)
8) Por uacuteltimo a ideia de multivocalidade de Bakhtin (1982) configura-se como
uma raiz teoacuterica da Teoria da Aprendizagem Expansiva Engestroumlm (1987) aponta
que
Aplicado na pesquisa e aprendizagem expansiva isso significa todas as vozes
contraditoacuterias e complementares dos vaacuterios grupos e estratos no sistema de
atividade em anaacutelise devem ser envolvidas e utilizadas Como Bakhtin mostra que
isso definitivamente inclui as vozes e gecircneros natildeo acadecircmicos de pessoas comuns
Assim em vez da argumentaccedilatildeo claacutessica dentro do uacutenico tipo de discurso
acadecircmico temos conflitantes fogos de artifiacutecio de diferentes tipos de discurso e
linguagens58
(p 315 apud ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 5 grifos do autor)
A proacutepria ldquoaprendizagem expansiva eacute um processo inerentemente de debate
negociaccedilatildeo e orquestraccedilatildeordquo59
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b)
Dando por encerrado o breve resumo das oito ideias que configuram como sendo
as raiacutezes da Teoria da Aprendizagem Expansiva vale ressaltar que eacute nesse processo de
debate confrontamento dessas muacuteltiplas ldquovozes que se travam as disputas de poder e se
instauram as possibilidades de transformaccedilatildeordquo (MATEUS 2005 p 168)
Bakhtin considera que o discurso natildeo eacute individual porque se constroacutei entre pelo
menos dois interlocutores que por sua vez satildeo seres sociais e porque se constroacutei como um
ldquodiaacutelogo entre discursosrdquo ou seja manteacutem relaccedilotildees com outros discursos (BARROS 2007 p
31)
Ainda em Engestroumlm e Sannino (2010b) podemos encontrar os princiacutepios centrais
da Teoria da Aprendizagem Expansiva Para os autores a aprendizagem expansiva busca
compreender processos de aprendizagem nos quais os sujeitos da aprendizagem natildeo satildeo
considerados apenas como indiviacuteduos isolados como eacute feito em teorias tradicionais de
aprendizagem mas passam a ser tratados como coletividades e redes Isso acontece quando os
sujeitos comeccedilam a questionar e criticar a ordem e a loacutegica das atividades que estaacute engajado
Por meio de interaccedilotildees com outros membros da comunidade instituem um grupo uma
57
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoa social societally essential dilemma which cannot be resolved through
separate individual actions alone ndash but in which joint co-operative actions can push a historically new form of
activity into emergencerdquo 58
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoApplied in expansive learning and research this means all the conflicting
and complementary voices of the various groups and strata in the activity system under scrutiny shall be
involved and utilized As Bakhtin shows this definitely includes the voices and non-academic genres of the
common people Thus instead of the classical argumentation within the single academic speech type we get
clashing fireworks of different speech types and languagesrdquo 59
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoExpansive learning is an inherently multi-voiced process of debate
negotiation and orchestrationrdquo
55
coletividade engajada em analisar e modelar colaborativamente um movimento na zona de
desenvolvimento proximal (ZDP) da atividade Ao questionarem os indiviacuteduos refletem e
percebem as contradiccedilotildees historicamente acumuladas nos sistemas de atividade As
contradiccedilotildees podem se manifestar como forma de conflitos dilemas distuacuterbios e inovaccedilotildees
locais Cabe ressaltar que ldquocontradiccedilotildees satildeo mecanismos necessaacuterios mas natildeo suficientes para
a aprendizagem expansiva em um sistema de atividades60
rdquo (ENGESTROumlM SANNINO
2010b p 7)
Durante o processo de aprendizagem expansiva as contradiccedilotildees podem aparecer
das seguintes maneiras
a) Como contradiccedilotildees primaacuterias latentes emergentes dentro de cada e qualquer dos
elementos do sistema de atividade
b) Como contradiccedilotildees secundaacuterias manifestas abertamente entre dois ou mais
elementos do sistema de atividade (por exemplo entre um novo objeto e uma velha
ferramenta)
c) Como contradiccedilotildees terciaacuterias entre um recentemente estabilizado modo de
atividade e remanescentes modos anteriores de atividade
d) Como contradiccedilotildees quaternaacuterias externas entre os receacutem-reorganizados sistemas
de atividade e seus sistemas de atividades ldquovizinhosrdquo61
(ENGESTROumlM SANNINO
2010b p 7 grifos meus)
Engestroumlm e Sannino (2010b) pontuam que existe diferenccedila entre experiecircncias
conflitantes e contradiccedilotildees significativas enquanto as primeiras podem ser analisadas no niacutevel
das accedilotildees de curto prazo a segunda pode ser enquadrada no niacutevel da atividade (e inter-
atividades) e tem um ciclo bem mais longo Dessa forma analisar experiecircncias conflitantes e
contradiccedilotildees significativas produzem anaacutelises em diferentes niacuteveis
As contradiccedilotildees desempenham um papel muito importante na Teoria da
Aprendizagem Expansiva pois se configuram como forccedilas motrizes que ao serem tratadas de
tal forma pelos sujeitos engajados um novo objeto eacute construiacutedo moldado e transformado em
um motivo Nesse momento ocorre entatildeo um ato extraordinaacuterio o encontro da necessidade
com o objeto (ENGESTROumlM SANNINO 2010b) Dessa forma o motivo de uma dada
atividade coletiva passa a se configurar efetivamente para um sujeito mediante o sentido
60
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoContradictions are the necessary but not sufficient engine of expansive
learning in an activity systemrdquo 61
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquo(a) as emerging latent primary contradictions within each and any of the
nodes of the activity system
(b) as openly manifest secondary contradictions between two or more nodes (eg between a new object and an
old tool)
(c) as tertiary contradictions between a newly established mode of activity and remnants of the previous mode of
activity
(d) as external quaternary contradictions between the newly reorganized activity and its neighboring activity
systemsrdquo
56
pessoal que pode ser entendido como o sentido que ldquoexpressa a relaccedilatildeo do motivo da
atividade para o imediato objetivo da accedilatildeordquo62
(LEONTIEV 1978 p 171)
Engestroumlm e Sannino (2010b) utilizam as ideias de Davydov das accedilotildees
tipicamente ideias de aprendizagem descritas anteriormente nesta tese e descrevem uma
sequecircncia tipicamente ideal de accedilotildees epistecircmicas em um ciclo expansivo da seguinte maneira
- A primeira accedilatildeo consiste no questionamento criacutetica ou rejeiccedilatildeo de alguns aspectos
da praacutetica aceita e sabedoria existente Para simplificar chamaremos esta accedilatildeo de
interrogatoacuterio
- A segunda accedilatildeo consiste em analisar a situaccedilatildeo Analisar envolve transformaccedilotildees
mentais discursivas ou praacuteticas da situaccedilatildeo a fim de descobrir mecanismos de causa
ou explicaccedilatildeo Anaacutelise evoca ldquopor quecircrdquo questotildees e princiacutepios explanatoacuterios Um
tipo de anaacutelise eacute a histoacuterico-geneacutetica que pretende explicar a situaccedilatildeo pelo traccedilado
de suas origens e evoluccedilatildeo Outro tipo de anaacutelise eacute a real-empiacuterica que pretende
explicar a situaccedilatildeo pela construccedilatildeo de um quadro de suas relaccedilotildees sistemaacuteticas
internas
- A terceira accedilatildeo consiste no modelamento da relaccedilatildeo explicativa receacutem-descoberta
em alguns meios publicamente observaacuteveis e transmissiacuteveis Isto significa
construccedilatildeo de um modelo expliacutecito simplificado da nova ideia que explica e oferece
soluccedilatildeo para a situaccedilatildeo problemaacutetica
- A quarta accedilatildeo consiste no exame do modelo executando operando e
experimentando-o a fim de compreender plenamente sua dinacircmica potecircncia e
limitaccedilotildees
- A quinta accedilatildeo consiste na implementaccedilatildeo do modelo por meio de aplicaccedilotildees
praacuteticas enriquecimento e extensotildees conceituais
- A sexta e seacutetima accedilatildeo satildeo aquelas de refletir sobre e avaliar o processo e
consolidaccedilatildeo de seus resultados numa estaacutevel nova forma de praacutetica63
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 7 itaacutelicos dos autores negritos meus)
A seguir apresento a FIG 4 que representa a sequecircncia ideal descrita por
Engestroumlm e Sannino (2010b) em que as espessuras das setas indicam a ampliaccedilatildeo da
participaccedilatildeo nas accedilotildees de aprendizagem
62
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoexpresses the relation of motive of activity to the immediate goal of actionrdquo 63
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquo- The first action is that of questioning criticizing or rejecting some aspects
of the accepted practice and existing wisdom For the sake of simplicity we will call this action questioning
- The second action is that of analyzing the situation Analysis involves mental discursive or practical
transformation of the situation in order to find out causes or explanatory mechanisms Analysis evokes ldquowhyrdquo
questions and explanatory principles One type of analysis is historical-genetic it seeks to explain the situation
by tracing its origins and evolution Another type of analysis is actual-empirical it seeks to explain the situation
by constructing a picture of its inner systemic relations
- The third action is that of modeling the newly found explanatory relationship in some publicly observable and
transmittable medium This means constructing an explicit simplified model of the new idea that explains and
offers a solution to the problematic situation
- The fourth action is that of examining the model running operating and experimenting on it in order to fully
grasp its dynamics potentials and limitations
- The fifth action is that of implementing the model by means of practical applications enrichments and
conceptual extensions
- The sixth and seventh actions are those of reflecting on and evaluating the process and consolidating its
outcomes into a new stable form of practicerdquo
57
FIGURA 4 ndash Sequecircncia de accedilotildees de aprendizagem em um ciclo de aprendizagem expansiva
Fonte ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 8
Aleacutem disso Engestroumlm e Sannino (2010b) se baseiam em estudos empiacutericos e
intervencionistas e apontam algumas formas de manifestaccedilatildeo da aprendizagem expansiva em
atividades coletivas aprendizagem expansiva como transformaccedilatildeo do objeto como
movimento na zona de desenvolvimento proximal como ciclos de accedilotildees de aprendizagem
como superaccedilatildeo de limites e construccedilatildeo de redes e como movimentos distribuiacutedos e
descontiacutenuos Farei uma breve exposiccedilatildeo do que seriam as referidas manifestaccedilotildees observadas
nos estudos empiacutericos e intervencionistas citados por Engestroumlm e Sannino (2010b)
1) Aprendizagem expansiva como transformaccedilatildeo do objeto da atividade busca
superar a concepccedilatildeo de aprendizagem como algo individual do sujeito inerente a ele em sua
cogniccedilatildeo ou em seu comportamento A aprendizagem expansiva se manifesta essencialmente
como transformaccedilatildeo do objeto da atividade coletiva O que consequentemente pode
promover transformaccedilotildees qualitativas dos elementos que compotildeem os sistemas de atividade
Vale ressaltar que a expansatildeo pode ser entendida como um processo positivo contudo os
ldquoretrocessosrdquo tambeacutem podem ocorrer nos processos de aprendizagem expansiva Isso porque
o objeto carrega consigo contradiccedilotildees internas que podem alcanccedilar diferentes niacuteveis dentro de
um processo de aprendizagem expansiva como transformaccedilatildeo do objeto o que de certo
58
ocorre como um processo coletivo de negociaccedilatildeo e orquestraccedilatildeo (ENGESTROumlM SANNINO
2010b)
2) Aprendizagem expansiva como movimento na zona de desenvolvimento
proximal da atividade busca superar o paradigma das teorias de aprendizagem que
consideram o sucesso em provas eou outros tipos de testes de desempenho como orientadora
do ensino A aprendizagem expansiva busca superar os dilemas vividos pelos sujeitos em sua
cotidianidade por meio da construccedilatildeo coletiva de uma nova forma de praacutetica tomando por
base o enfrentamento das contradiccedilotildees incorporadas nos sistemas de atividade Entatildeo todo e
qualquer movimento coletivo em busca da minimizaccedilatildeo da distacircncia entre as ldquoaccedilotildeesrdquo
cotidianas dos indiviacuteduos e a historicamente nova forma de atividade como praacutetica social
(que pode ser requeridademandada como uma soluccedilatildeo para o dilema potencialmente
incorporado nas accedilotildees cotidianas dos sujeitos) considerado como movimento na zona de
desenvolvimento proximal da atividade pode ser entendido e analisado como processo de
aprendizagem expansiva (ENGESTROumlM SANNINO 2010b)
3) Aprendizagem expansiva como ciclos de accedilotildees de aprendizagem conforme
descrito na FIG 4 busca instaurar uma nova e bem determinada dinacircmica para analisar os
processos de aprendizagem expansiva Um ciclo expansivo de accedilotildees de aprendizagem eacute um
modelo que pode ser usado para analisar processos de transformaccedilotildees em praacuteticas sociais A
praacutetica social na qual os sujeitos participam de alguma forma os afeta podendo-os levar a
perceber tensotildees distuacuterbios eou conflitos e a partir disso sentir a necessidade de questionar
a praacutetica atual buscando assim analisar o contexto visando agrave superaccedilatildeo de tais ocorrecircncias
Estes seriam os primeiros passos rumo ao percurso de todo o ciclo de accedilotildees de aprendizagem
Vale ressaltar que a anaacutelise da praacutetica atual leva o indiviacuteduo a perceber que sozinho ele natildeo
conseguiria modificar as accedilotildees dos outros sujeitos partiacutecipes da atividade tornando assim
necessaacuterio o envolvimento de mais atores no processo de transformaccedilatildeo da atividade Com
isso o dilema social perpassa a fronteira do indiviacuteduo e atinge esferas mais amplas de
coletivos em prol de um mesmo processo de transformaccedilatildeo podendo ser entendido como um
tour pelo ciclo de accedilotildees de aprendizagem
Engestroumlm e Sannino (2010b) consideram que o uso dos ciclos de accedilotildees de
aprendizagem como quadro teoacuterico de anaacutelise de processos de transformaccedilatildeo de praacuteticas
sociais somente deve ser realizado em estudos de longos periacuteodos de tempo ou seja em
longos processos de transformaccedilatildeo Contudo os longos processos de transformaccedilatildeo que
podem ser analisados por ciclos em larga escala envolvem necessariamente numerosos ciclos
menores de accedilotildees de aprendizagem Esses ciclos menores podem ocorrer em periacuteodos mais
59
curtos de tempo talvez em dias ou mesmo horas de anaacutelise intensiva e colaborativa
Engestroumlm (1999) explica que tais ciclos-miniatura podem ser considerados como
potencialmente expansivos e aponta ainda que
Um ciclo expansivo em larga escala de transformaccedilotildees organizacionais sempre
consiste em pequenos ciclos de aprendizagem inovadores No entanto o
aparecimento de pequenos ciclos de aprendizagem inovador natildeo garante por si soacute
que existe um ciclo expansivo acontecendo Pequenos ciclos podem permanecer
eventos isolados e o ciclo global do desenvolvimento organizacional pode tornar-se
estagnado regressivo ou mesmo desmoronar A ocorrecircncia de um ciclo expansivo
completo natildeo eacute comum e ele tipicamente requer esforccedilos concentrados e
intervenccedilotildees deliberadas Com essas ressalvas em mente o ciclo de aprendizagem
expansiva e suas accedilotildees incorporadas podem ser usados para analisar em pequena
escala inovadores processos de aprendizagem64
(p 385 apud ENGESTROumlM
SANNINO 2010b p 11)
Segundo Engestroumlm e Sannino (2010b) a loacutegica que estaacute por traacutes do ciclo
expansivo eacute que um novo ciclo inicia-se toda vez que um padratildeo estaacutevel de atividade comeccedila
a ser questionado Isso pode levar muito tempo talvez anos para se configurar Aleacutem disso a
aprendizagem expansiva pode conter traccedilos de ldquoretrocessordquo o que natildeo deve ser entendido
como algo puramente negativo visto que mesmo que um novo ciclo de accedilotildees expansivas se
inicie devemos levar em conta a tentativa que consequentemente tende a possibilitar um
horizonte mais amplo para novas tentativas Nas palavras dos autores ldquoexpansatildeo
necessariamente envolve tambeacutem a possibilidade de desintegraccedilatildeo e regressatildeo65
rdquo
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 11)
4) Aprendizagem expansiva como transposiccedilatildeo de fronteiras (superaccedilatildeo de
limites) e construccedilatildeo de redes pode ser entendida como uma ldquoexpertise horizontal onde os
praticantes devem mover-se para entre fronteiras para procurar e dar ajuda para encontrar
informaccedilotildees e ferramentas onde quer que elas estejamrdquo66
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b
p 12) Para os autores transpor fronteiras pode significar ldquopisar em solordquo desconhecido
Requer muitas vezes a criaccedilatildeoconstruccedilatildeoformaccedilatildeo coletiva de novos recursos conceituais
que por sua vez demandam esforccedilos criativos dos sujeitos engajados no processo de
64
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoA large-scale expansive cycle of organizational transformation always
consists of small cycles of innovative learning However the appearance of small-scale cycles of innovative
learning does not in itself guarantee that there is an expansive cycle going on Small cycles may remain isolated
events and the overall cycle of organizational development may become stagnant regressive or even fall apart
The occurrence of a full-fledged expansive cycle is not common and it typically requires concentrated effort and
deliberate interventions With these reservations in mind the expansive learning cycle and its embedded actions
may be used as a framework for analyzing small-scale innovative learning processesrdquo 65
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoExpansion necessarily involves also the possibility of disintegration and
regressionrdquo 66
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquohorizontal expertise where practitioners must move across boundaries to seek
and give help to find information and tools wherever they happen to be availablerdquo
60
aprendizagem expansiva Jaacute a construccedilatildeo de redes pode ser entendida como um modo
emergente de colaboraccedilatildeo em organizaccedilotildees O que natildeo pode ser esquecido eacute que a formaccedilatildeo
de redes pode estar relacionada agraves hierarquias niacuteveis organizacionais considerando que os
sujeitos em variadas praacuteticas sociais comumente satildeo levados a se engajar em redes por
exemplo em ambientes de trabalho ldquoAprendizagem em redes organizacionais eacute
frequentemente descrita como movimento horizontal de informaccedilatildeo entre unidades
organizacionaisrdquo67
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 13)
Em uma faacutebrica por exemplo poderiam ser observados diferentes niacuteveis
organizacionais ndash o niacutevel da rede ideoloacutegica o niacutevel do projeto o niacutevel da produccedilatildeo e o niacutevel
dos operaacuterios Soacute que em uma empresa os processos inovadores frequentemente demandam
por coletivos de sujeitos engajados coletivamente em redes cujas ldquofronteirasrdquo podem natildeo
estar assim tatildeo bem definidas levando-se em conta apenas a divisatildeo do trabalho em ldquoclassesrdquo
Sendo assim essa rede de inovaccedilatildeo poderia ser entendida como niacutevel de parceria que
somente seria possiacutevel de ser construiacuteda como um processo de aprendizagem expansiva em
termos digamos mais tradicionais de interaccedilatildeo entre os funcionaacuterios Portanto
ldquoaprendizagem eacute tambeacutem movimento vertical e transposiccedilatildeo de fronteiras entre diferentes
niacuteveis organizacionaisrdquo68
(ENGESTROumlM SANNINO 2010 p 13 grifo meu)
5) Aprendizagem expansiva como movimento distribuiacutedo e descontiacutenuo pode ser
entendida em termos de aprendizagem em redes distribuiacutedas ou aacutereas multi-organizacionais
que apresentam caraacuteter cada vez mais distribuiacutedo e descontiacutenuo considerando aprendizagens
relacionadas ao trabalho (ENGESTROumlM SANNINO 2010b) Os processos coletivos de
aprendizagem expansiva frequentemente se apresentam cheios de lacunas interrupccedilotildees
desentendimentos conflitos e descontinuidades entre comunidades que embora possam
parecer em um primeiro momento potencialmente perturbadores tambeacutem podem representar
oportunidades de aprendizagem (ENGESTROumlM SANNINO 2010b)
Para compreendermos o que Engestroumlm e Sannino (2010b) chamam de natureza
descontiacutenua da aprendizagem expansiva devemos levar em conta as seguintes consideraccedilotildees
de Sannino e Nocon (2008 p 326)
Mesmo se as tentativas de inovaccedilatildeo local aparentemente morrem eles ainda podem
se propagar porque outros podem adotaacute-las e prossegui-las Em outras palavras a
sustentabilidade das inovaccedilotildees natildeo se refere apenas agrave continuidade local mas
67
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquolearning in organizational networks is commonly depicted as horizontal
movement of information between organizational unitsrdquo 68
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquolearning is also vertical movement and boundary crossing between different
organizational levelsrdquo
61
tambeacutem a difusatildeo e adaptaccedilotildees em outros contextos Essas adaptaccedilotildees natildeo
significam necessariamente que uma inovaccedilatildeo eacute ampliada e se torna uma reforma no
sistema mais amplo69
Com isso podemos considerar que todo e qualquer movimento ainda que
descontiacutenuo em processos de aprendizagem expansiva deve ser considerado como um
direcionamento para possiacuteveis aprendizagens expansivas pois mesmo que uma direccedilatildeo
ldquoinicialrdquo seja alterada para uma direccedilatildeo ldquoalternativardquo no decorrer do processo de
aprendizagem os aprendizes engajados em transformaccedilotildees qualitativas em respectivos
sistemas de atividade compartilhados em multiorganizaccedilotildees percorreram um caminho de
mudanccedilas o que natildeo os coloca mais em um patamar de principiantes
Encerro aqui o breve relato das manifestaccedilotildees da aprendizagem expansiva em
transformaccedilotildees de sistemas de atividade conforme abordado e fundamentado por Engestroumlm
e Sannino (2010b)
69
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoeven if local innovation attempts ostensibly die they can still spread because
others may adopt and continue them In other words the sustainability of innovations does not refer only to local
continuity but also to diffusion and adaptations in other settings Such adaptations do not necessarily mean that
an innovation is scaled up and becomes a system wide reformrdquo
62
2 CAacuteLCULO E MODELAGEM NA ENGENHARIA CONCEPCcedilOtildeES
PERSPECTIVAS E A ATUAL FORMACcedilAtildeO DO ENGENHEIRO
Neste capiacutetulo pretendo discorrer sobre alguns toacutepicos relacionados ao contexto
da presente investigaccedilatildeo Primeiramente com o intuito de localizar o foco da pesquisa nas
demandas de formaccedilatildeo profissional em Engenharia faccedilo uma breve exposiccedilatildeo sobre a atual
legislaccedilatildeo que normatiza a formaccedilatildeo de engenheiros no Brasil Em segundo lugar busco
apresentar alguns aspectos relacionados aos processos de ensino-aprendizagem das disciplinas
de Caacutelculo em cursos de Engenharia e nesse contexto de formaccedilatildeo apresento a Modelagem
Matemaacutetica como um espaccedilo formativo alternativo Em terceiro lugar na literatura sobre
Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica busco por concepccedilotildees e perspectivas relacionadas a
essa atividade Em quarto lugar apresento uma revisatildeo de literatura sobre Modelagem
Matemaacutetica em processos de ensino-aprendizagem de Caacutelculo em cursos de Engenharia Em
quinto lugar apresento a concepccedilatildeo da atividade de Modelagem Matemaacutetica assumida no
contexto da pesquisa e por fim apresento a abertura de caixas-pretas como accedilotildees
estrateacutegicas com vistas agraves possibilidades de aprendizagens expansivas relacionadas agraves
transformaccedilotildees do objeto de uma atividade de Modelagem Matemaacutetica
21 Diretrizes Curriculares para a formaccedilatildeo de engenheiros no Brasil
Em 2002 o Conselho Nacional de Educaccedilatildeo (CNE) com a Cacircmara de Educaccedilatildeo
Superior (CES) elaborou as Diretrizes Curriculares para os Cursos de Graduaccedilatildeo em
Engenharia por meio do parecer CNECSE 13622001 publicado no Diaacuterio Oficial da
Uniatildeo em 25 de fevereiro de 2002 que culminou com a publicaccedilatildeo da resoluccedilatildeo CNECES
112002 no Diaacuterio Oficial da Uniatildeo em 9 de abril de 2002 que estabelecem as diretrizes que
orientam as Instituiccedilotildees de Ensino Superior na elaboraccedilatildeo das estruturas curriculares para a
formaccedilatildeo do engenheiro conforme as demandas da sociedade Nesse documento consta que
O perfil dos egressos de um curso de engenharia compreenderaacute uma soacutelida formaccedilatildeo
teacutecnico cientiacutefica e profissional geral que o capacite a absorver e desenvolver novas
tecnologias estimulando a sua atuaccedilatildeo criacutetica e criativa na identificaccedilatildeo e resoluccedilatildeo
de problemas considerando seus aspectos poliacuteticos econocircmicos sociais ambientais
63
e culturais com visatildeo eacutetica e humaniacutestica em atendimento agraves demandas da
sociedade (BRASIL 2002)
Ainda a resoluccedilatildeo aponta quatorze habilidades e competecircncias necessaacuterias para a
formaccedilatildeo do egresso dos cursos de Engenharia no Brasil Satildeo elas
a) aplicar conhecimentos matemaacuteticos cientiacuteficos tecnoloacutegicos e instrumentais agrave
engenharia
b) projetar e conduzir experimentos e interpretar resultados
c) conceber projetar e analisar sistemas produtos e processos
d) planejar supervisionar elaborar e coordenar projetos e serviccedilos de engenharia
e) identificar formular e resolver problemas de engenharia
f) desenvolver eou utilizar novas ferramentas e teacutecnicas
g) supervisionar a operaccedilatildeo e a manutenccedilatildeo de sistemas
h) avaliar criticamente a operaccedilatildeo e a manutenccedilatildeo de sistemas
i) comunicar-se eficientemente nas formas escrita oral e graacutefica
j) atuar em equipes multidisciplinares
k) compreender e aplicar a eacutetica e responsabilidade profissionais
l) avaliar o impacto das atividades da engenharia no contexto social e ambiental
m) avaliar a viabilidade econocircmica de projetos de engenharia
n) assumir a postura de permanente busca de atualizaccedilatildeo profissional (BRASIL
2002)
Aleacutem disso a resoluccedilatildeo (CNECSE 112002) tambeacutem direciona os cursos de
Engenharia com relaccedilatildeo aos conteuacutedos curriculares e delimita em 30 a carga horaacuteria
miacutenima dos cursos atendendo ao nuacutecleo de conteuacutedos baacutesicos que engloba dentre outros os
conteuacutedos da matemaacutetica Ainda segundo a resoluccedilatildeo 15 da carga horaacuteria miacutenima versaraacute
sobre toacutepicos que entre outros englobam Matemaacutetica Discreta Modelagem Anaacutelise e
Simulaccedilatildeo de Sistemas
Franchi (2002) ao realizar sua pesquisa de doutorado buscou dentre outras
coisas compreender as necessidades profissionais da Engenharia Para a autora o curriacuteculo de
Engenharia deve ser estruturado de modo a atender a tais necessidades Nesse sentido
focando nas disciplinas matemaacuteticas que compotildeem a grade curricular dos referidos cursos a
autora entende que os objetivos devam ser orientados pelo cumprimento agraves necessidades de
formaccedilatildeo considerando que as principais habilidadescompetecircncias do engenheiro atual satildeo
Capacidade de identificar formular e resolver problemas de Engenharia
considerando os aspectos multifuncionais relacionados a eles avaliando os impactos
na sociedade Isto inclui ter soacutelida formaccedilatildeo baacutesica (princiacutepios da ciecircncia que daacute
embasamento teoacuterico agrave sua profissatildeo) ter conhecimentos teacutecnicos (produtos e
processos) e ter conhecimentos natildeo teacutecnicos (sociais poliacuteticos eacuteticos e ambientais)
Inclui tambeacutem a capacidade de buscar as informaccedilotildees e usar ferramentas modernas
para a soluccedilatildeo dos problemas
Criatividade
Espiacuterito criacutetico
Capacidade de comunicaccedilatildeo oral e escrita
64
Capacidade de cooperaccedilatildeo
Capacidade de trabalho em equipe
Capacidade de aprendizagem contiacutenua (autoaprendizagem) (FRANCHI 2002 p
27)
Embora natildeo esteja focando especificamente o olhar para as disciplinas de
Caacutelculo que satildeo estudadas nos cursos de Engenharia mas para todas as disciplinas de
Matemaacutetica70
que satildeo desenvolvidas em tais cursos Franchi (2002) apresenta uma proposta
curricular para nortear os conteuacutedos de Matemaacutetica para os cursos de Engenharia utilizando-
se de recursos de Informaacutetica e de Modelagem Matemaacutetica
Soares e Sauer (2004) apontam para a necessidade de examinar questotildees
relacionadas ao tema ldquoensino-aprendizagem da Matemaacutetica para a Engenhariardquo devido agraves
aparentes dificuldades que os engenheiros apresentam em lidar com conceitos matemaacuteticos
em suas vidas profissionais As autoras afirmam que
As disciplinas baacutesicas do curso de Engenharia precisam capacitar os aprendizes a
relacionar conceitos matemaacuteticos com situaccedilotildees reais e desenvolver raciociacutenio
dedutivo habilitando-os a lerem os textos matemaacuteticos e a interpretarem fenocircmenos
frequentemente do ponto de vista da Fiacutesica Esta ligaccedilatildeo entre o universo fenomenal
da Matemaacutetica e o mundo das relaccedilotildees dos objetos fiacutesicos entre si talvez capture o
que seria competecircncia teacutecnica de mais alto niacutevel para qualquer engenheiro
(SOARES SAUER 2004 p 265 grifo meu)
As autoras neste texto natildeo se utilizam do termo ldquoModelagem Matemaacuteticardquo como
uma possibilidade para o desenvolvimento das competecircncias teacutecnicas para a formaccedilatildeo dos
engenheiros contudo segundo elas a ligaccedilatildeo entre ldquoo universo fenomenal da Matemaacutetica e o
mundo das relaccedilotildees dos objetos fiacutesicosrdquo (SOARES SAUER 2004 p 265) a meu ver pode
ser realizada por meio da Modelagem Burghes e Borrie (1981) sugerem vaacuterios temas da
Fiacutesica que podem ser desenvolvidos por meio da Modelagem com Equaccedilotildees Diferenciais
entre eles Lei de Torricelli Circuitos Eleacutetricos Redes Eleacutetricas Movimento Planetaacuterio
Oscilaccedilotildees Mecacircnicas e Sistema Massa-Mola
Vale ressaltar que com o desenvolvimento da presente pesquisa natildeo pretendo
investigar se a Modelagem Matemaacutetica se configura de fato como uma praacutetica presente ou
mesmo necessaacuteria para o trabalho dos engenheiros A presente pesquisa busca um
alinhamento agraves atuais demandas de formaccedilatildeo matemaacutetica necessaacuterias agrave formaccedilatildeo em
70
Para a autora as disciplinas de Matemaacutetica de cursos de Engenharia englobam os seguintes temas Caacutelculo
Vetorial Caacutelculo Diferencial e Integral Geometria Analiacutetica Aacutelgebra Linear Caacutelculo Numeacuterico Probabilidade
e Estatiacutestica (FRANCHI 2002)
65
Engenharia referendadas pelos pareceres e resoluccedilotildees oficiais por meio da Modelagem
Matemaacutetica
22 Caacutelculo em cursos de Engenharia
Nas Universidades departamentalizadas os docentes que lecionam as disciplinas
de Caacutelculo em cursos de Engenharia geralmente estatildeo subordinados didaacutetica e
pedagogicamente aos departamentos de Matemaacutetica o que pode reforccedilar a manutenccedilatildeo da
falta de reflexatildeo e informaccedilatildeo ldquosobre a necessidade da disciplina que leciona para a formaccedilatildeo
do futuro engenheirordquo (BALDINO CABRAL 2004 p 141) Esse fenocircmeno natildeo estaacute
limitado aos professores das disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia como afirmam
Moreno e Azcaacuterate Gimeacutenez (2003)
No caso de professores de matemaacuteticas de universidade o conhecimento que tecircm
sobre o processo de ensino e aprendizagem eacute fruto da experiecircncia docente e do
efeito da socializaccedilatildeo que lhes fazem repetir os esquemas daqueles professores que
lhes ensinaram em sua eacutepoca de estudantes Os docentes universitaacuterios natildeo
costumam ter nenhuma formaccedilatildeo didaacutetica especiacutefica aleacutem da cientiacutefica que os
capacite a ensinar71
(MORENO AZCAacuteRATE GIMEacuteNEZ 2003 p 267)
No Brasil muitos docentes que lecionam disciplinas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia tiveram pouca ou nenhuma formaccedilatildeo direcionada para serem professores A
legislaccedilatildeo brasileira permite que o portador de diploma de bacharelado ocupe cargos de
docecircncia em niacutevel superior o que inclui os cursos de Engenharia
Os professores de Caacutelculo dos cursos de Engenharia assim como toda a
comunidade envolvida nesse setor tecircm percebido mudanccedilas em relaccedilatildeo ao perfil do alunado
ingressante apoacutes a expansatildeo das Universidades Federais72
e a implantaccedilatildeo do Plano de
Reestruturaccedilatildeo e Expansatildeo das Universidades Federais (Reuni) elaborados e implementados
pelo Governo Federal em 2007 que objetivava dentre outras coisas a democratizaccedilatildeo do
71
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoEn el caso de los professores de matemaacuteticas de universidad el conocimiento
que tienen sobre el proceso de ensentildeanza y aprendizaje es fruto de la experiencia docente y del efecto de la
socializacioacuten que les hace repetir los esquemas de aquellos profesores que les ensentildearon en su eacutepoca de
estudiantes Los docentes universitarios no suelen tener ninguna formacioacuten didaacutectica especiacutefica a parte de la
cientiacutefica que les capacite para ensentildearrdquo 72
A instituiccedilatildeo escolhida para compor os dados para esta pesquisa estaacute incluiacuteda no Plano de Reestruturaccedilatildeo e
Expansatildeo das Universidades Federais
66
acesso de alunos agraves universidades federais Campos (2012 p 28) em sua pesquisa de
doutorado afirma que
No caso de um curso de Engenharia a expectativa eacute que o estudante jaacute traga uma
significativa bagagem em matemaacutetica e ciecircncias que em princiacutepio deveria ter sido
adquirida no ensino fundamental e meacutedio Essas seriam competecircncias esperadas dos
alunos por se tratarem de preacute-requisitos para o ingresso nos cursos que satildeo aferidos
num rigoroso e concorrido vestibular Nesse processo de seleccedilatildeo os estudantes satildeo
submetidos a testes em que todos os conteuacutedos que tradicionalmente passaram a
fazer parte da grade do ensino baacutesico poderatildeo ser cobrados Dessa forma
independentemente do seu histoacuterico escolar sobre aqueles que satildeo aprovados recai
a expectativa de estarem familiarizados com todos esses conteuacutedos o que nem
sempre acontece
O autor aponta que o esperado pela universidade eacute o perfil de um aluno que parece
ser idealizado e natildeo um aluno real Mesmo antes das expansotildees e do Reuni as dificuldades
em relaccedilatildeo agrave aprendizagem das disciplinas de Caacutelculo sempre fizeram parte da rotina
universitaacuteria73
Poreacutem o problema pode ter sido colocado em relevo com o excesso de alunos
em turmas de Caacutelculo aliado a uma possiacutevel sobrecarga de trabalho do professor conforme
apontado por Campos (2012 p 24)
Outra questatildeo apontada estaacute ligada agrave meta de as Universidades terem uma meacutedia de
18 alunos por professor em cursos presenciais Essa taxa foi estabelecida levando
em consideraccedilatildeo o caacutelculo que dava agrave eacutepoca da formulaccedilatildeo do REUNI uma meacutedia
de 145 alunos por professor nas IFES A criacutetica nesse quesito diz respeito agrave forma
como esse caacutelculo foi feito desconsiderando que muitos professores ocupam cargos
administrativos e que algumas disciplinas praacuteticas muito especializadas soacute podem
funcionar com um nuacutemero de alunos muito reduzido Ao natildeo levar essas questotildees
em conta o nuacutemero apresentado no REUNI esconde o fato de jaacute haver turmas
superlotadas aleacutem de natildeo dar o devido peso agrave carga de trabalho dos docentes na
poacutes-graduaccedilatildeo Assim elevar ainda mais o nuacutemero de alunos por sala pode gerar
uma sobrecarga de trabalho dos professores o que prejudicaria o ensino a pesquisa
e o atendimento agrave poacutes-graduaccedilatildeo
Os conteuacutedos geralmente presentes nas ementas das disciplinas de Caacutelculo dos
cursos de Engenharia natildeo sofreram consideraacuteveis mudanccedilas no uacuteltimo seacuteculo
(BIEMBENGUT HEIN 2007) Poreacutem as possibilidades de uso ensino e aprendizagem dos
seus conteuacutedos poderiam ser (re)pensadas em consonacircncia agraves exigecircncias de formaccedilatildeo e
consequentemente atuaccedilatildeo do engenheiro na sociedade atual Biembengut e Hein (2007 p
415) afirmam que o ensino de Caacutelculo em cursos de Engenharia no Brasil se revela
inadequado e insuficientemente ajustado Eles enfatizam que entre as causas principais dessa
situaccedilatildeo podem estar 1) as disciplinas de Caacutelculo satildeo dadas por professores como se fossem
73
Natildeo apenas para estudantes de cursos de Engenharia
67
hermeticamente fechadas 2) a maioria dos profissionais da Engenharia afirma que a
Matemaacutetica aprendida em seus cursos eacute insuficiente para a praacutetica da Engenharia 3) Caacutelculo
Diferencial faz parte dos preacute-requisitos de muitas disciplinas e natildeo eacute ensinado de acordo com
o curso em questatildeo Os autores ainda realccedilam o seguinte
Os estudantes natildeo veem qualquer utilidade para isto e aleacutem disso eles
permanecem obscuros sobre as aplicaccedilotildees futuras do que lhes satildeo ensinados
A matemaacutetica desenvolvida nos primeiros quatro semestres acaba esquecida pelos
estudantes justo quando eles precisam usa-la em suas disciplinas profissionais
Aacutelgebra e Caacutelculo registram maiores iacutendices de evasatildeo e fracasso
Conceitos como funccedilotildees limites derivadas e integrais satildeo ensinados da mesma
maneira para todos os cursos (Quiacutemica Biologia Economia Matemaacutetica) a uacutenica
diferenccedila ocorre na ecircnfase dada pelo professor74
(BIEMBENGUT HEIN 2007 p
415)
Os autores ainda apontam que a ecircnfase eacute dada quase que exclusivamente nas
teacutecnicas e natildeo nas aplicaccedilotildees sem qualquer conexatildeo com a Engenharia ou seja satildeo
negligenciados alguns conceitos fundamentais em detrimento de regras e teacutecnicas Uma
consequecircncia disso segundo Biembengut e Hein (2007 p 416) eacute que ldquoquando esses alunos
futuros profissionais se depararem com um problema ou situaccedilatildeo para avaliar analisar ou
resolver que requeira uma decisatildeo sobre melhor desempenho eles natildeo reconhecem as
ferramentas que eles jaacute adquiriram durante sua educaccedilatildeo75
rdquo
Franchi (2002) aponta para a necessidade de que os conteuacutedos de Matemaacutetica
desenvolvidos em cursos de Engenharia sejam apresentados como uma linguagem de traduccedilatildeo
e equacionamento de fenocircmenos da realidade aleacutem de ferramentas para entendimento e
soluccedilatildeo de problemas relacionados a tais fenocircmenos Pontua ainda que tal maneira de olhar
para a Matemaacutetica em cursos de Engenharia nem sempre eacute percebida pelos alunos e justifica
que isso ocorre devido agrave forma como a Matemaacutetica eacute tradicionalmente abordada nesses
cursos
Outro aspecto que julgo importante ser colocado em relevo eacute a frequente
manutenccedilatildeo das metodologias e do enfoque teoacuterico por parte dos professores de Caacutelculo em
74
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoStudents do not see any use for this and furthermore they remain nuclear
about the future applications of what they are taught
The mathematics developed in the first four semesters ends up forgotten by students just when they need use it in
their professional disciplines
Algebra e Calculus record the highest indices of withdrawal and failure
Concepts like functions limits derivatives and integrals are taught in the same way for all courses (Chemistry
Biology Economics Mathematics etc) the only difference occurring in the many emphasis given by the
teacherrdquo 75
Traduccedilatildeo realizada por min de ldquoWhen these students future professional find themselves with a problem or
situation to evaluate analyze or resolve that requires a decision about better performance they not recognize the
tools that they have already acquired during their educationrdquo
68
cursos de Engenharia que ldquoprocuram livros texto que satildeo em geral mais adequados para eles
mesmos que satildeo os mesmos que foram usados em sua proacutepria educaccedilatildeo e reescrevem-no
para usar em suas respectivas classes76
rdquo (BIEMBENGUT 1997 apud BIEMBENGUT
HEIN 2007 p 416)
Biembengut e Hein (2007) esclarecem que torna-se urgente que os professores
busquem uma reorganizaccedilatildeo de conteuacutedos e meacutetodos de ensino de maneira que permita a
articulaccedilatildeo entre teorias matemaacuteticas e a atividade do engenheiro fazendo com que o meacutetodo
de ensino permita-os enfatizar os princiacutepios fiacutesicos da Engenharia e as teorias matemaacuteticas
ajudem-nos a descrever e a compreender melhor tais fenocircmenos A necessidade de incorporar
alguns conhecimentos natildeo matemaacuteticos pelos docentes das disciplinas de Caacutelculo em cursos
de Engenharia em suas praacuteticas de ensino torna-se indispensaacutevel sob esse ponto de vista
Nesse sentido Franchi (2002) aponta que quando precisam utilizar algum
conteuacutedo de Matemaacutetica em suas disciplinas os professores de disciplinas mais avanccediladas de
cursos de Engenharia frequentemente precisam retomar ou (re)ensinar os conceitos que
necessitam posto que depois de algum tempo os alunos tendem a se esquecer dos conceitos
e teacutecnicas que foram trabalhados nas disciplinas de Matemaacutetica em cursos de Engenharia
Boyce e Diprima (1996 p 1) enfatizam que ldquoa razatildeo principal para resolver
muitas equaccedilotildees matemaacuteticas eacute procurar aprender algo a respeito do processo fiacutesico que a
equaccedilatildeo se propotildee a representarrdquo Soacute que ldquode maneira geral a ecircnfase eacute dada aos meacutetodos de
resoluccedilatildeo das equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias esquecendo-se do problema que origina tal
modelo bem como da interpretaccedilatildeo de suas soluccedilotildeesrdquo (JAVARONI 2007 p 20) Assim
parece que nas disciplinas de Caacutelculo dos cursos de Engenharia essa razatildeo de ser muitas
vezes acaba sendo deixada de lado
A forma de trabalhar as disciplinas de Caacutelculo voltadas para si mesmas e
desligadas das aplicaccedilotildees pode acabar provocando um distanciamento de tais conteuacutedos agrave
realidade dos problemas estudados durante a formaccedilatildeo do engenheiro Hubbard (1994 p 372
apud HABRE 2000 p 455) por exemplo pontua que ldquoexiste uma alarmante discrepacircncia
entre a visatildeo de equaccedilotildees diferenciais como ligaccedilatildeo entre a matemaacutetica e a ciecircncia e o curso
padratildeo de equaccedilotildees diferenciaisrdquo77
Tal discrepacircncia poderia ser minimizada ou amenizada
mediante a apresentaccedilatildeo dos conceitos de Caacutelculo com referecircncia na realidade
76
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoLook for textbooks that are in general better suited to themselves that is the
same that were used in their own education and rewrite them for use in their respective classesrdquo 77
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoThere is a dismaying discrepancy between this view of differential equations
as the link between mathematics and science and the standard course on differential equationsrdquo
69
A partir da anaacutelise de uma situaccedilatildeo real eacute possiacutevel fazer com que o aluno percorra as
etapas de aquisiccedilatildeo do conhecimento iniciando pelo aspecto afetivo (onde ele deve
sentir a Matemaacutetica presente e ter dela uma compreensatildeo preacutevia) passando pela
interpretaccedilatildeo e busca de significado chegando agrave compreensatildeo Conceitos bem
compreendidos podem ser aplicados com mais facilidade O trabalho com os
conceitos a partir de temas externos agrave Matemaacutetica eacute essencialmente interdisciplinar
Olhar para o problema sob a oacutetica de apenas uma disciplina conduz a uma visatildeo
fragmentada da situaccedilatildeo Um estudo amplo considerando os diversos aspectos que o
problema pode envolver sem duacutevida eacute interessante As caracteriacutesticas do problema
indicaratildeo qual o recurso mais adequado para ser utilizado (FRANCHI 2002 p 51)
Uma maneira de apresentar e desenvolver tais problemas ou situaccedilotildees no contexto
dos cursos de Engenharia poderia se dar por meio da Modelagem Matemaacutetica que
basicamente pode ser entendida como a apresentaccedilatildeo de um problema ndash cuja origem pode
estar ou natildeo na aacuterea de atuaccedilatildeo dos futuros engenheiros devendo ser resolvido a partir da
construccedilatildeo de um modelo que possa ser representado por meio da utilizaccedilatildeo de ferramentas
estudadas nas disciplinas de Caacutelculo que inclui as Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias
Camarena (2009 p 123) entende que um modelo matemaacutetico no contexto dos
cursos de Engenharia eacute ldquouma relaccedilatildeo matemaacutetica que descreve objetos ou problemas de
engenhariardquo78
Tal relaccedilatildeo matemaacutetica poderia ser uma equaccedilatildeo um sistema de equaccedilotildees
uma distribuiccedilatildeo de probabilidade entre outros
Barbosa (2004a p 67 grifo do autor) entende ser necessaacuteria a inserccedilatildeo da
Modelagem Matemaacutetica em disciplinas em serviccedilo jaacute que ldquopela sua proacutepria natureza
interdisciplinar a Modelagem eacute a porta de entrada privilegiada para atender a algumas
expectativas dos alunos nos cursos79
de serviccedilordquo
A Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia por se tratar de uma
atividade que pressupotildee interdisciplinaridade desenvolvimento de habilidades de resoluccedilatildeo
de problemas por meio de modelos matemaacuteticos trabalho em equipe e formaccedilatildeo criacutetica em
termos de atuaccedilatildeo social dos futuros engenheiros pode colaborar com o desenvolvimento das
habilidades e competecircncias aclamadas na resoluccedilatildeo como por exemplo ldquoaplicar
conhecimentos matemaacuteticos cientiacuteficos tecnoloacutegicos e instrumentais agrave engenhariardquo ldquoatuar
em equipes multidisciplinaresrdquo e ldquoavaliar o impacto das atividades da engenharia no contexto
social e ambientalrdquo (BRASIL 2002)
Corroborando tal consideraccedilatildeo Franchi (2002 p 74) enfatiza que ldquoo trabalho
com a Modelagem Matemaacutetica pode ajudar a desenvolver nos alunos [dos cursos de
Engenharia] as habilidades necessaacuterias para a resoluccedilatildeo de problemas preparando-o para
78
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoa mathematical relation that describes engineering objects or problemsrdquo 79
Barbosa (2004) utiliza o termo curso em referecircncia agrave disciplina
70
enfrentar situaccedilotildees novas e buscar soluccedilotildeesrdquo A autora enfatiza ainda que a Modelagem
Matemaacutetica propicia o desenvolvimento de habilidades tais como criatividade espiacuterito criacutetico
e capacidade de aprendizagem contiacutenua que satildeo essenciais para a atuaccedilatildeo profissional dos
engenheiros Aleacutem de possibilitar o desenvolvimento natural de habilidades de comunicaccedilatildeo
oral e escrita capacidade de cooperaccedilatildeo e trabalho em equipe (FRANCHI 2002)
No sentido de alinhavar e desenvolver a reflexatildeo aqui proposta a seguir busco
discorrer sobre perspectivas e concepccedilotildees de Modelagem configuradas na Educaccedilatildeo
Matemaacutetica que pressupotildeem um modo mais geral de conceber a Modelagem em diversos
niacuteveis de formaccedilatildeo matemaacutetica e posteriormente seguir no sentido de
especificarexemplificar concepccedilotildees e perspectivas que podem configurar a Modelagem na
formaccedilatildeo em Caacutelculo demandada pelos e nos cursos de Engenharia
23 Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica concepccedilotildees e perspectivas
A Modelagem eacute uma tendecircncia que vem permeando o cenaacuterio da Educaccedilatildeo
Matemaacutetica no Brasil jaacute haacute algum tempo inclusive recentemente passou a ser incorporada
aos documentos oficiais do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo (MEC) como uma possibilidade para os
processos de ensino-aprendizagem de Matemaacutetica na Educaccedilatildeo Baacutesica (BRASIL 2006)
A Modelagem Matemaacutetica na Educaccedilatildeo Matemaacutetica de acordo com Borba e
Villareal (2005) foi introduzida no Brasil preconizada pelos trabalhos de Paulo Freire e
Ubiratan DrsquoAmbrosio entre o final da deacutecada de 70 e o iniacutecio da deacutecada de 80 Naquela
eacutepoca as atividades de Modelagem eram baseadas em ldquosituaccedilotildees-problemardquo com o foco no
real no cotidiano que desafiassem alunos e professores Vale ressaltar que naquela eacutepoca o
uso de maacutequinas e programas computacionais jaacute permeava os ambientes de Modelagem
Matemaacutetica (MEYER CALDEIRA MALHEIROS 2011)
Podemos afirmar que na deacutecada de 80 a Modelagem Matemaacutetica ganhou forccedila
no paiacutes sob a influecircncia de trabalhos como os de Aristides Barreto Ubiratan DrsquoAmbrosio
Rodney Bassanezi Joatildeo Frederico Meyer entre outros que disseminaram a Modelagem
Matemaacutetica por meio de cursos para a formaccedilatildeo de professores e accedilotildees em salas de aula
(MEYER CALDEIRA MALHEIROS 2011)
Algumas concepccedilotildees de Modelagem Matemaacutetica em contextos escolares foram
apontadas por Barbosa (2001a 2003 2004a) Burak (1992) e Biembengut e Hein (2007
71
2011) Barbosa (2001a p 6) entende que a ldquomodelagem eacute um ambiente de aprendizagem no
qual os alunos satildeo convidados a indagar eou investigar por meio da matemaacutetica situaccedilotildees
oriundas de outras aacutereas da realidaderdquo Para Burak (1992 p 62) a ldquoModelagem Matemaacutetica
constitui-se em um conjunto de procedimentos cujo objetivo eacute estabelecer um paralelo para
tentar explicar matematicamente os fenocircmenos presentes no cotidiano do ser humano
ajudando-o a fazer prediccedilotildees e a tomar decisotildeesrdquo Jaacute Biembengut e Hein (2011) concebem a
Modelagem Matemaacutetica como estrateacutegia teacutecnica ou metodologia de ensino cujo foco estaacute na
obtenccedilatildeo de um modelo matemaacutetico com intuito de ensinar conhecimentos acadecircmicos que
possam ajudar as pessoas em termos das possibilidades de atuaccedilatildeo nos diversos contextos de
vida
Natildeo haacute uma uacutenica definiccedilatildeo de Modelagem Matemaacutetica mas diferentes
concepccedilotildees de Modelagem satildeo assumidas por quem usa Modelagem em contextos
educacionais sempre levando em conta que situaccedilotildees diferentes podem levar a diferentes
conceituaccedilotildees de Modelagem (MEYER CALDEIRA MALHEIROS 2011) Vale ressaltar
que assumo o termo concepccedilatildeo80
designando ldquotanto o ato de conceber quanto o objeto
concebido mas preferivelmente o ato de conceber e natildeo o objeto para o qual deve ser
reservado o termo conceitordquo (ABBAGNANO 2007 p 169 grifo do autor)
Instigada em compreender as concepccedilotildees de Modelagem Matemaacutetica assumidas
por alguns autores que fazem uso da palavra arte em tal conceitualizaccedilatildeo tais como
Bassanezi (2006) e Biembengut e Hein (2011) busquei na internet pelo significado da palavra
ldquoarterdquo e encontrei
Arte (do latim ars significando teacutecnica eou habilidade) geralmente eacute entendida como a atividade humana ligada a manifestaccedilotildees de
ordem esteacutetica ou comunicativa realizada a partir da percepccedilatildeo das emoccedilotildees e das ideias com o objetivo de estimular essas instacircncias da consciecircncia e dando
um significado uacutenico e diferente para cada obra (httpsptwikipediaorgwikiArte 10042013)
Com base no significado acima podemos refletir sobre a concepccedilatildeo de
Modelagem Matemaacutetica assumida por Bassanezi (2006 p 16) que consiste na ldquoarte de
transformar problemas da realidade em problemas matemaacuteticos e resolvecirc-los interpretando
suas soluccedilotildees na linguagem do mundo realrdquo Primeiro o significado da palavra arte pode ser
uma teacutecnica ou habilidade fazendo parte da atividade humana ligada a manifestaccedilotildees de
80
ldquoTatildeo logo um conceito eacute simbolizado para noacutes nossa imaginaccedilatildeo reveste-se de uma concepccedilatildeo privada e
pessoal que soacute podemos distinguir por um processo de abstraccedilatildeo do conceito puacuteblico e comunicaacutevelrdquo (LANGER
apud ABBGNANO 2007 p 169)
72
ordem esteacutetica e comunicativa realizada a partir da percepccedilatildeo de emoccedilotildees e das ideias Dessa
forma a arte de transformar problemas da realidade em problemas matemaacuteticos pode
perpassar por questotildees de ordem esteacutetica e comunicativa que por sua vez tem estreita
relaccedilatildeo com as necessidades dos seres humanos de cooperaccedilatildeo e eacutetica Segundo tal teacutecnica ou
habilidade de transformar problemas da realidade em problemas matemaacuteticos leva em conta
as vivecircncias as subjetividades estreitamente ligadas ao pensamento ao mundo das ideias E
por uacuteltimo a arte tem como objetivo estimular instacircncias da consciecircncia produzir
significados para as obras de arte aqui relacionadas agrave transformaccedilatildeo de problemas reais em
problemas de Matemaacutetica sendo que a uacuteltima instacircncia dessa obra se realiza por meio da
interpretaccedilatildeo das soluccedilotildees na linguagem do mundo real que por sua vez pode possibilitar
novos olhares sobre a realidade
Aleacutem disso Bassanezi (2006 p 38 grifo meu) considera que ldquomais importante do
que os modelos obtidos eacute o processo utilizado a anaacutelise criacutetica e sua inserccedilatildeo no contexto
soacutecio-culturalrdquo Tal posicionamento pode nos levar ao entendimento de que o termo arte
presente em sua concepccedilatildeo de Modelagem Matemaacutetica em termos do processo utilizado
poderia ser resumido nas accedilotildees de transformar (problemas da realidade em problemas
matemaacuteticos) resolver (os problemas matemaacuteticos) e interpretar (suas soluccedilotildees na linguagem
do mundo real) Aleacutem de objetivar a motivaccedilatildeo para o aprendizado da matemaacutetica o autor
acredita que ldquoas discussotildees sobre o tema escolhido favorecem a preparaccedilatildeo do estudante
como elemento participativo da sociedade em que viverdquo (BASSANEZI 2006 p 38)
Biembengut e Hein (2011) concebem a Modelagem Matemaacutetica como um
processo que envolve a obtenccedilatildeo de um modelo podendo ser considerado um processo
artiacutestico visto que para os autores na elaboraccedilatildeo de um modelo aleacutem do conhecimento
matemaacutetico o modelador necessita ter uma dose significativa de intuiccedilatildeo e criatividade para
interpretar o contexto saber discernir qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) se adapta(m) melhor
e senso luacutedico para jogar com as variaacuteveis escolhidas Nas palavras dos autores ldquoa
modelagem matemaacutetica eacute assim uma arte ao formular resolver e elaborar expressotildees que
valham natildeo apenas para uma soluccedilatildeo particular mas que tambeacutem sirvam posteriormente
como suporte para outras aplicaccedilotildees e teoriasrdquo (BIEMBENGUT HEIN 2011 p 13 grifo
meu)
Aleacutem disso Bassanezi (2006) e Biembengut e Hein (2011) denominam
ldquoModelaccedilatildeo Matemaacuteticardquo o meacutetodo ou estrateacutegia de ensino que utiliza a essecircncia da
modelagem em cursos regulares nos quais haacute um programa curricular a ser cumprido aleacutem
de uma estrutura espacial e organizacional bem definida Tais autores acreditam que o
73
processo de modelagem em tais contextos precisa sofrer algumas alteraccedilotildees considerando o
grau de escolarizaccedilatildeo dos aprendizes o tempo disponibilizado para o desenvolvimento da
atividade ldquoo programa a ser cumprido e o estaacutegio em que o professor se encontra seja em
relaccedilatildeo ao conhecimento da modelagem seja no apoio por parte da comunidade escolar para
implantar mudanccedilasrdquo (BIEMBENGUT HEIN 2003 p 18)
Existem ainda outras concepccedilotildees de Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica
presentes na literatura brasileira das quais podemos destacar proposta para educar
matematicamente considerando a Modelagem como uma concepccedilatildeo de ensino e
aprendizagem (CALDEIRA 2009) estrateacutegia pedagoacutegica na qual os estudantes trabalham em
grupo e satildeo responsaacuteveis pela escolha do tema a ser investigado (BORBA MENEGUETTI
HERMINI 1997) Dentre todas essas concepccedilotildees Meyer Caldeira e Malheiros (2011)
acreditam que
o que as diferencia basicamente eacute a ecircnfase na escolha do problema a ser
investigado que pode partir do professor pode ser um acordo entre professor e
alunos ou entatildeo os estudantes podem escolher o assunto que pretendem investigar
uma postura que se assemelha agrave Modelagem exercida profissionalmente (MEYER
CALDEIRA MALHEIROS 2011 p 81)
Ao passo que o que diferencia as concepccedilotildees de Modelagem pode estar
relacionado ao ldquoproblema da realidaderdquo e agrave escolha dele o que as aproxima eacute segundo
Meyer Caldeira e Malheiros (2011 p 85) um objetivo comum ldquoestudar resolver e
compreender um problema da realidade ou de outra(s) aacuterea(s) do conhecimento utilizando
para isso a Matemaacutetica e obviamente outras disciplinas e ideiasrdquo
Arauacutejo (2002 p 20 grifo da autora) poreacutem acredita que as perspectivas se
diferenciam ldquoagrave medida que se define qual eacute o objetivo de resolver tal problema qual eacute a
realidade na qual o problema estaacute inserido como a matemaacutetica eacute concebida e se relaciona
com esta realidade etcrdquo81
A autora assume o termo ldquoperspectivardquo designando os propoacutesitos
que satildeo delineados pelo professor ao propor a Modelagem Matemaacutetica como uma atividade
em sala de aula Com base nesses propoacutesitos faz-se necessaacuterio definir o papel dos alunos e
professor(es) na atividade principalmente no que diz respeito agrave escolha do ldquoproblema da
realidaderdquo a ser entendidosolucionado
A Modelagem ldquopode criar possibilidades interdisciplinares na sala de aula fato
considerado muito importante (ou ateacute essencial) entre as questotildees de ensino e aprendizagem 81
No escopo deste texto natildeo pretendo discorrer sobre as relaccedilotildees entre matemaacutetica e realidade nem tampouco
realizarei uma discussatildeo do que seriam estes termos Em Arauacutejo (2002) o leitor encontraraacute uma interessante
discussatildeo sobre realidade e matemaacutetica baseada em discussotildees filosoacuteficas
74
mostrando que no caso a Matemaacutetica natildeo eacute uma ciecircncia isolada das outrasrdquo (MEYER
CALDEIRA MALHEIROS 2011 p 85) A integraccedilatildeo da Matemaacutetica com outras aacutereas do
conhecimento pode constituir dessa forma importante contribuiccedilatildeo para a construccedilatildeo do
conhecimento matemaacutetico nos cursos de Engenharia podendo minimizar o que Camarena
(2009) chama de ponto de conflito cognitivo vivenciado pelos futuros engenheiros ldquouma vez
que ele estudou matemaacutetica e engenharia separadamente de modo que quando ele usa as duas
aacutereas do conhecimento estas aacutereas cognitivas estatildeo separadas e ele tem que integraacute-las a fim
de matematizar o problema a ser resolvidordquo82
(CAMARENA 2009 p 117)
Blum (1991) Blum e Leiss (2005) Barbosa (2003) e Bassanezi (2006) apontam
alguns argumentos a favor da inclusatildeo da Modelagem nos curriacuteculos escolares sendo estes
apresentados pelos pesquisadores da aacuterea de Modelagem em Educaccedilatildeo Matemaacutetica que
foram por mim sumarizados da seguinte forma
Argumento formativo os alunos se tornariam mais criativos habilidosos e explorativos em atividades investigativas e de resoluccedilatildeo
de problemas
Argumento de competecircncia criacutetica os alunos estariam preparados para a vida real como cidadatildeos atuantes na sociedade analisando as
formas que a matemaacutetica eacute usada nas praacuteticas sociais
Argumento de utilidade os alunos estariam preparados para utilizar
a matemaacutetica como ferramenta para resolver problemas em diferentes
situaccedilotildees e aacutereas o que eacute importante para atuarem na vida cotidiana e
no trabalho
Argumento motivacionalintriacutenseco os alunos estariam mais
estimulados para o estudo entendimento e interpretaccedilatildeo da proacutepria
matemaacutetica pois vislumbram sua aplicabilidade
Argumento de aprendizagem os alunos teriam mais facilidade em compreender conceitos matemaacuteticos devido agrave possiacutevel conexatildeo com
outros assuntos
Considerando os curriacuteculos dos cursos de Engenharia no Brasil ao assumir as
disciplinas de Caacutelculo como importante arsenal de ferramentas que possibilitaauxilia a
resoluccedilatildeo de problemas e a compreensatildeo de fenocircmenos englobadosestudados nos diversos
cursos de Engenharia o argumento de utilidade poderia ocupar lugar de destaque no debate
para a inclusatildeo da Modelagem nos curriacuteculos destes cursos Vale ressaltar que tal argumento
natildeo exclui os demais apenas poderia ocupar lugar de destaque
82
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquosince he studied mathematics and engineering separately so that when he
uses both knowledge areas these cognitive areas are separated and he has to integrate them in order to
mathematize the problem to be resolvedrdquo
75
Vaacuterios argumentos poreacutem satildeo apresentados como obstaacuteculos para o uso da
Modelagem Matemaacutetica em cursos regulares Tais obstaacuteculos segundo Bassanezi (2006 p
37 grifos do autor) podem ser de trecircs tipos
1) Obstaacuteculos instrucionais - Os cursos regulares possuem um programa que deve
ser desenvolvido completamente[] alguns professores tem duacutevida se as aplicaccedilotildees
e conexotildees com outras aacutereas fazem parte do ensino de Matemaacutetica salientando que
tais componentes tendem a distorcer a esteacutetica a beleza e a universalidade da
Matemaacutetica
2) Obstaacuteculos para os estudantes - O uso da Modelagem foge da rotina do ensino
tradicional e os estudantes natildeo acostumados com o processo podem se perder e se
tornar apaacuteticos nas aulas []
3) Obstaacuteculos para os professores - Muitos professores natildeo se sentem habilitados a
desenvolver modelagem em seus cursos por falta de conhecimento do processo ou
por medo de se encontrarem em situaccedilotildees embaraccedilosas quanto agraves aplicaccedilotildees da
matemaacutetica em aacutereas que desconhecem Acreditam que perderatildeo muito tempo para
preparar as aulas e tambeacutem natildeo teratildeo tempo para cumprir todo o programa do curso
Blum (1991) ainda afirma que do ponto de vista dos professores a inclusatildeo da
Modelagem aumentaria suas demandas de trabalho devido agraves qualificaccedilotildees adicionais e
conhecimentos natildeo matemaacuteticos que satildeo requeridos nesse tipo de atividade
Flemming (2004) ao relatar o desenvolvimento de uma pesquisa sobre o ensino
das Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias mostra um dos obstaacuteculos apontados por Bassanezi
(2006)
A nossa motivaccedilatildeo estava alicerccedilada no fato de que a maioria dos professores natildeo
discute a resoluccedilatildeo de problemas no contexto das equaccedilotildees diferenciais e as razotildees
apontadas satildeo os alunos ainda natildeo dominam os conhecimentos da Fiacutesica e outras
aacutereas requeridas para a interpretaccedilatildeo dos problemas os professores na sua
formaccedilatildeo natildeo tiveram o aprofundamento em diferentes aacutereas da Engenharia
requeridas para o domiacutenio do problema (FLEMMING 2004 p 280)
Considerando os obstaacuteculos apontados acima em cursos de Engenharia aleacutem de
entender como os alunos e professores conduzem suas experiecircncias em Modelagem
Matemaacutetica seria necessaacuterio entender tambeacutem as possibilidades que esse ambiente de
formaccedilatildeo proporciona aos aprendizes sendo eles alunos professores monitores e demais
sujeitos da comunidade acadecircmica que realizam as atividades que objetivam a formaccedilatildeo do
engenheiro contemporacircneo
Um fator muito importante que deve ser considerado quando se pretende usar a
Modelagem em cursos de Engenharia eacute o tempo Geralmente o tempo que deve ser dedicado
ao desenvolvimento de cada parte das disciplinas de Caacutelculo eacute consideradosugerido nos
respectivos planos de ensino Sendo assim o cumprimento de ementasconteuacutedos pode tornar-
76
se para o professor um ponto de tensatildeo que pode influenciar sua decisatildeo quanto agrave
incorporaccedilatildeo da Modelagem em sua praacutetica docente
No que tange a incorporaccedilatildeo da Modelagem Matemaacutetica no decorrer de
disciplinas escolares a adequaccedilatildeo da proposta de ensino elaborada pelo professor deve levar
em conta os conteuacutedos a serem abordados e assim buscar por temas de Modelagem guiados
pelos conteuacutedos Para isso Biembengut e Hein (2007 p 417) sintetizam os estaacutegios do
processo a serem seguidos pelos docentes quando eles se disponibilizam a realizar
Modelagem durante as disciplinas ofertadas em cursos de Engenharia
1) Apresentar uma siacutentese do tema relativo para Engenharia 2) Propor algumas questotildees sobre o tema encorajando os estudantes a responder
3) Selecionar as questotildees que satildeo mais apropriadas para desenvolver o conteuacutedo programaacutetico de matemaacutetica
4) Formular questotildees de tal modo a aumentar o teor de conteuacutedo matemaacutetico necessaacuterio para resolvecirc-lo 5) Apresentar o conteuacutedo programaacutetico de matemaacutetica
6) Propor exemplos anaacutelogos de modo que o conteuacutedo natildeo seja restrito ao modelo assim que o conteuacutedo necessaacuterio eacute suficientemente desenvolvido para responder ou resolver este estaacutegio do trabalho
7) Solicitar aos estudantes fazerem pesquisas sobre o assunto caso seja necessaacuterio 8) Retornar agrave questatildeo que comeccedilou o processo apresentando uma soluccedilatildeo
9) Orientar os estudantes na anaacutelise de seus resultados e sua validaccedilatildeo83
Jaacute Franchi (2002) acredita que a Modelagem deva permear as atividades
desenvolvidas nas disciplinas da aacuterea de Matemaacutetica em cursos de Engenharia Para a autora
a escolha dos conteuacutedos matemaacuteticos a serem abordados em tais disciplinas em cursos de
Engenharia deve ocorrer em funccedilatildeo do contexto histoacuterico Para cada contexto eacute necessaacuterio
antes de qualquer coisa identificar os objetivos alinhados agraves demandas de formaccedilatildeo em
Engenharia e depois escolher conteuacutedos e metodologias que ajudem a atingir tais objetivos
Nesse sentido a estrutura curricular natildeo deve ser algo estaacutetico muito pelo contraacuterio deve
permitir diferentes possibilidades de organizaccedilatildeo que possam ser adaptadas a cada contexto
curso ou momento histoacuterico
83
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquo1) Present a synthesis of the theme relative to Engineering
2) Propose some question about the theme encouraging students to respond
3) Select the question that is most appropriate for developing the programmersquos mathematical content
4) Formulate questions in such a way as to raise he mathematical content necessary for resolving them
5) Present the programmatic mathematical content
6) Propose analogous examples so that the content is not restricted to the model as soon as the necessary content
is sufficiently developed for answering or resolving this stage of the work
7) Solicit students to make research into the subject if deemed necessary
8) Return to the question that began the process presenting a solution
9) Guide the students in analysing their results and its validityrdquo
77
Vale ressaltar que Franchi (2002) apresenta como fruto de sua investigaccedilatildeo uma
proposta curricular para tratar os conteuacutedos de Matemaacutetica em cursos de Engenharia
utilizando de Modelagem e Informaacutetica em consonacircncia agraves exigecircncias de tal formaccedilatildeo
profissional A incorporaccedilatildeo da Modelagem e da Informaacutetica nas praacuteticas de ensino-
aprendizagem cuja finalidade eacute possibilitar a formaccedilatildeo Matemaacutetica dos engenheiros se deu
mediante a implementaccedilatildeo da referida proposta curricular em uma instituiccedilatildeo que se destina agrave
formaccedilatildeo de engenheiros Ou seja o curriacuteculo foi transformado e implementado
Contudo caso o curriacuteculo de uma instituiccedilatildeo natildeo seja modificado (por quaisquer
razotildees) e consequentemente natildeo seja implementada modificaccedilatildeo alguma mesmo assim
seria possiacutevel desenvolver atividades de formaccedilatildeo de Caacutelculo utilizando Modelagem
Matemaacutetica Mas qual seria a melhor forma Seria possiacutevel adequar um curriacuteculo jaacute preacute-
estabelecido e demasiadamente estaacutetico aos objetivos de formaccedilatildeo em Engenharia que atenda
agraves exigecircncias atuais para tal formaccedilatildeo utilizando-se da Modelagem Matemaacutetica Franchi
(2002) considera como necessaacuterio e importante a integraccedilatildeo da Matemaacutetica com as demais
aacutereas dos cursos de Engenharia mediante o desenvolvimento de atividades de Modelagem
poreacutem afirma que natildeo existe um entendimento claro de como isso deve ser feito
Kaiser e Sriraman (2006) se incumbiram de revisar a literatura (em termos de
pesquisas realizadas em vaacuterios paiacuteses do mundo) e sistematizar as perspectivas de Modelagem
em Educaccedilatildeo Matemaacutetica Os autores delimitaram perspectivas que em 2006 podiam ser
consideradas como tendecircncias no debate sobre a Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica
conforme seus objetivos centrais a partir da anaacutelise de artigos apresentados em conferecircncias e
perioacutedicos internacionais tais como ICTMA84
e ZDM85
Vale ressaltar que natildeo haacute qualquer
menccedilatildeo que os autores dos referidos artigos assumam tais perspectivas em todas as
investigaccedilotildees que se propotildeem a desenvolver E mais do que isso natildeo significa que a
perspectiva assumida esteja posta de forma clara e objetiva em cada artigo Sendo assim por
vezes devemos considerar a perspectiva assumida pela leitura dos autores aos textos
publicados nos congressos e perioacutedicos
No Brasil alguns mapeamentos foram realizados na tentativa de estabelecer um
panorama atual das pesquisas em Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica Um deles e talvez o
mais recentemente publicado internacionalmente foi elaborado por Arauacutejo (2010) Como
corpus foram analisados trabalhos apresentados e publicados em eventos ocorridos no paiacutes
84
International Conference on the Teaching of Mathematical Modelling and Applications (ICTMA) 85
The International Journal on Mathematics Education (ZDM)
78
durante os anos de 2006 e 2007 Satildeo eles 14 trabalhos apresentados no III SIPEM86
10
trabalhos apresentados no IX ENEM87
e 32 trabalhos apresentados na CNMEM88
totalizando
56 publicaccedilotildees No artigo a autora esclarece que
Devido agrave sua influecircncia a modelagem em educaccedilatildeo matemaacutetica no Brasil reflete
influecircncias da matemaacutetica aplicada campo principal de trabalho de Bassanezi mas
tem sido marcada principalmente pelos estudos soacutecio-culturais desenvolvidos por
DrsquoAmbrosio no campo da Etnomatemaacutetica89
(ARAUacuteJO 2010 p 338)
Com base nas leituras dos diversos textos mencionados anteriormente observei
que existem diversas concepccedilotildees em atividades de Modelagem Matemaacutetica nos mais diversos
contextos de formaccedilatildeo podendo ser realizadas durante o desenvolvimento de disciplinas
regulares como cursos de formaccedilatildeo de professores iniciaccedilatildeo cientiacutefica pesquisa entre outras
possibilidades A apresentaccedilatildeo do problema pode ser realizada tanto pelo professor quanto
pelos alunos O problema pode ser exposto juntamente com seus dados qualitativos eou
quantitativos Pode ocorrer de os alunos e professor(es) terem que procurar pelos dados
quantitativos ou qualitativos relacionados ao problema proposto Podem ser incluiacutedos tambeacutem
problemas para os quais jaacute foram estabelecidos modelos matemaacuteticos que os representem (as
denominadas aplicaccedilotildees)
A seguir apresento uma revisatildeo de literatura sobre as pesquisas que buscam
analisar os usos da Modelagem Matemaacutetica para propiciar formaccedilotildees em Caacutelculo em cursos
de Engenharia Com isso objetivo delimitar a presente investigaccedilatildeo no contexto da revisatildeo de
literatura
24 Revisatildeo de literatura sobre pesquisas de Modelagem em Caacutelculo na Educaccedilatildeo em
Engenharia delineando o espaccedilo da presente pesquisa
Ao ler por exemplo os anais do Seminaacuterio Internacional de Pesquisa em
Educaccedilatildeo Matemaacutetica (SIPEM)90
que ocorreram trienalmente entre os anos de 2000 e 2012
86
Seminaacuterio Internacional de Pesquisa em Educaccedilatildeo Matemaacutetica 87
Encontro Nacional da Educaccedilatildeo Matemaacutetica 88
Conferecircncia Nacional sobre Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica 89
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoDue to their influence modelling in mathematics education in Brazil reflects
influences from applied mathematics Bassanezirsquos main field of work but has been imprinted mainly by the
socio-cultural studies developed by DrsquoAmbrosio in the field of ethnomathematicsrdquo 90
O SIPEM eacute um seminaacuterio realizado trienalmente e organizado pela Sociedade Brasileira de Educaccedilatildeo
Matemaacutetica (SBEM)
79
foi encontrado apenas um trabalho que faz referecircncia ao uso de Modelagem em cursos de
Engenharia tendo sido apresentado no V SIPEM em 2012 Nele Ferruzzi (2012 p 1)
apresenta resultados de uma pesquisa que buscou investigar ldquoo potencial da Modelagem
Matemaacutetica para o estabelecimento de interaccedilotildees que possuem caracteriacutesticas consideradas
fonte de aprendizagemrdquo em um curso de Engenharia Ambiental A autora se baseia nos
estudos de Vygotsky e considera que a aprendizagem estaacute associada agrave interaccedilatildeo Sendo assim
entende que ldquopropiciar atividades que conduzam agrave interaccedilatildeo pode auxiliar o aluno em seu
aprendizado e deve ser um dos interesses do professorrdquo (FERRUZZI 2012 p 1)
Biembengut e Hein (2007) concebem a Modelagem Matemaacutetica como uma
metodologia de ensino em cursos de Engenharia Aleacutem disso eles esclarecem a ecircnfase dada
por eles nas atividades de Modelagem em cursos de Engenharia
O objetivo deste trabalho eacute criar condiccedilotildees para que os alunos aprendam a fazer
modelos matemaacuteticos aumentando e aperfeiccediloando seus conhecimentos Um grupo
de estudantes sob a supervisatildeo do professor deve ser responsaacutevel pela escolha e
direccedilatildeo de seu proacuteprio trabalho Cabe ao professor criar condiccedilotildees onde eles podem
desenvolver esta autonomia91
(BIEMBENGUT HEIN 2007 p 417)
O desenvolvimento de atividades de Modelagem em sala de aula implica
necessariamente delineamento de especificaccedilotildees que engloba os objetivos para a realizaccedilatildeo
da atividade bem como os papeacuteis que devem ser assumidos por alunos e professores Os
pesquisadores da Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica entendem que tais especificaccedilotildees ao
serem assumidas pelos professores definem uma perspectiva de Modelagem Matemaacutetica
(BARBOSA SANTOS 2007 p 1-2)
Alguns trabalhos sobre Modelagem em Educaccedilatildeo foram apresentados em ediccedilotildees
anuais do Congresso Brasileiro de Educaccedilatildeo em Engenharia (COBENGE) Nas uacuteltimas 10
ediccedilotildees do evento (de 2003 a 2012) dezesseis trabalhos sobre Modelagem Matemaacutetica na
Educaccedilatildeo em Engenharia foram apresentados92
Observe que a meacutedia eacute de menos de dois
trabalhos por ediccedilatildeo do evento O que poderia explicar uma participaccedilatildeo tatildeo inexpressiva
nesse congresso por parte dos pesquisadores em Educaccedilatildeo Matemaacutetica Natildeo sei a resposta
91
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoThe objective of this work is to create conditions in which students learn to
make mathematical models increasing and perfecting their knowledge A group of students under the
supervision of the teacher must be responsible for the choice and direction of their own work It falls to the
teacher to create conditions where they can develop this autonomyrdquo 92
Os anais do evento estatildeo disponiacuteveis no site wwwabengeorgbr Busquei pelo termo Modelagem e li todos os
resumos que obedecessem a essa busca Dentre eles descartei os artigos que se referiam agrave Modelagem
ldquopuramenterdquo sob a oacutetica da Matemaacutetica Aplicada agrave resoluccedilatildeo de problemas da Engenharia restando assim
apenas os artigos que se referiam essencialmente agrave Modelagem sob a oacutetica da formaccedilatildeo Matemaacutetica em
Engenharia
80
para essa pergunta e nem eacute o intuito desta pesquisa descobrir a resposta contudo penso que
esta realidade pode estar relacionada agrave hipoacutetese formulada por Cury (2002) de que ldquoos
professores de disciplinas matemaacuteticas natildeo se consideram professores dos cursos de
Engenharia e por isso natildeo se propotildeem a apresentar seus trabalhos em congressos de ensino
desta aacutereardquo
Em sua pesquisa de doutorado Arauacutejo (2002) analisou uma proposta de
Modelagem Matemaacutetica desenvolvida em uma turma de Caacutelculo do curso de Engenharia
Quiacutemica de uma universidade puacuteblica do Estado de Satildeo Paulo Tal proposta foi implementada
durante o desenvolvimento da disciplina que contempla(va) os conteuacutedos de Caacutelculo
Diferencial e Integral I A pesquisadora analisou atividades de Modelagem Matemaacutetica em
um ambiente de ensino e aprendizagem de Caacutelculo no qual as tecnologias informaacuteticas
estavam presentes com o objetivo de investigar que discussotildees ocorrem e como elas ocorrem
Vale ressaltar que a autora entende que ldquodiscussotildeesrdquo podem ser entendidas como algum tipo
de ldquocomunicaccedilatildeordquo que por sua vez pode exercer influecircncias sobre a ldquoaprendizagemrdquo Para
ela aprendizagem ldquocertamente estaacute ligada a questotildees de comunicaccedilatildeo na Educaccedilatildeo
Matemaacuteticardquo (ARAUacuteJO 2002 p 164)
Ferruzzi (2011) realizou sua pesquisa de doutorado mediante a aplicaccedilatildeo de uma
proposta de Modelagem Matemaacutetica em um curso de Engenharia Ambiental da Universidade
Tecnoloacutegica Federal do Paranaacute (UTFPR) Tal proposta foi implementada durante o
desenvolvimento da disciplina chamada de Matemaacutetica 2 na referida instituiccedilatildeo que
contempla os conteuacutedos de Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias A pesquisadora desenvolveu
atividades de Modelagem Matemaacutetica com referecircncia nos temas relacionados aos conteuacutedos
de EDO com o objetivo de investigar as interaccedilotildees que emergem durante o desenvolvimento
de atividades de Modelagem Matemaacutetica na sala de aula Como parte da anaacutelise a autora
aponta que os diaacutelogos que emergiram durante as atividades de Modelagem propostas na
investigaccedilatildeo ocorrem com mais frequecircncia do que os diaacutelogos que emergem de praacuteticas
tradicionais de ensino-aprendizagem da referida disciplina Aleacutem disso constatou que as
interaccedilotildees proporcionadas pelo desenvolvimento das atividades de Modelagem atuaram
significativamente no favorecimento da aprendizagem dos alunos
Vale ressaltar que a proposta de modelagem implementada por Ferruzzi (2011 p
24 grifos da autora) foi baseada em um contexto simulado que pode ser entendido como uma
representaccedilatildeo do contexto real Tal contexto tem origem no contexto real sendo reproduzidas
partes de suas caracteriacutesticas Para a autora ldquoo contexto simulado faz referecircncia agrave situaccedilotildees da
vida cotidiana que satildeo retomadas e transformadas em atividades de ensino e aprendizagemrdquo
81
A autora considera aprendizagem na referida pesquisa como um processo de mudanccedila nas
formas discursivas dos alunos
Aleacutem disso Ferruzzi (2011 p 33) considera o conceito vygotskyano de Zona de
Desenvolvimento Proximal (ZDP) como sendo ldquoo desenvolvimento humano em dois niacuteveis o
Niacutevel de Desenvolvimento Real (NDR) e o Niacutevel de Desenvolvimento Potencial (NDP) A
lsquodistacircnciarsquo entre estes dois niacuteveis eacute denominada por Vygotsky como sendo a Zona de
Desenvolvimento Proximal (ZDP)rdquo Nesse sentido as conclusotildees da referida pesquisa satildeo
tomadas em termos de aprendizagens que natildeo poderiam acontecer de modo espontacircneo
sendo entatildeo promovidas pela accedilatildeo intencional do professor Com isso a autora considera
que o professor pode exercer o papel de mediador dos processos de ensino e aprendizagem de
Caacutelculo em um curso de Engenharia por meio de atividades de Modelagem Matemaacutetica
Vale ressaltar que Ferruzzi (2011) investigou as interaccedilotildees que emergem de
atividades de Matemaacutetica em sala de aula da disciplina Matemaacutetica 2 que na UTFPR abarca
os conteuacutedos de EDO considerando que o conhecimento eacute construiacutedo na e pela interaccedilatildeo
enquanto a presente pesquisa buscou analisar as possibilidades de aprendizagens expansivas
evidenciadas em atividades desenvolvidas por um Grupo de Estudos e Pesquisa em
Modelagem Matemaacutetica (GEPMM) em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharia Portanto
interaccedilatildeo e aprendizagem estatildeo intimamente inter-relacionadas em Ferruzzi (2011) Vale
ressaltar que para a referida autora a aprendizagem pode ser entendida como um processo de
mudanccedila nas formas discursivas dos alunos
Tomando-se por base Arauacutejo (2002) e Ferruzzi (2011) percebo que discussotildees
(comunicaccedilotildees) e interaccedilotildees satildeo elementos cuja anaacutelise se torna essencial para investigar
processos de aprendizagem em atividades de Modelagem desenvolvidas em disciplinas de
Caacutelculo em cursos de Engenharia
Buscando esclarecer os conceitos de comunicaccedilatildeo e interaccedilatildeo entendendo-os
como constituintes de discursos que permeiam os mais diversos ambientes de aprendizagem
encontrei em Bakhtin (2010 p 36) o seguinte relacionamento entre comunicaccedilatildeo interaccedilatildeo e
consciecircncia ldquoa loacutegica da consciecircncia eacute a loacutegica da comunicaccedilatildeo ideoloacutegica da interaccedilatildeo
semioacutetica de um grupo social Se privarmos a consciecircncia de seu conteuacutedo semioacutetico e
ideoloacutegico natildeo sobra nadardquo
Tanto em Arauacutejo (2002) quanto em Ferruzzi (2011) as atividades de Modelagem
permearam as demais atividades desenvolvidas em disciplinas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia Sendo assim as atividades de Modelagem estiveram condicionadas agrave adaptaccedilatildeo
ao contexto das referidas disciplinas de Caacutelculo Para tal condicionamento faz-se necessaacuterio
82
supostamente o alinhamento das atividades de Modelagem aos objetivos que satildeo delineados
em cada disciplina
A meu ver outras questotildees podem ser colocadas em relevo quando se desenvolve
Modelagem em salas de aula de disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia o
engajamento dos alunos nas referidas atividades estaria relacionado a quais motivos As
situaccedilotildees-problema natildeo matemaacuteticas em questatildeo estariam condicionadas aos conteuacutedos de
cada disciplina Quais ideologias estariam permeando tais ambientes de aprendizagem
Na intervenccedilatildeo proposta na presente pesquisa entendo os conteuacutedos de Caacutelculo
como ferramentas para a formaccedilatildeo em Engenharia Um Caacutelculo que somente pode ser
concebido em accedilatildeo Caacutelculo como meio natildeo como finalidade Baseado nisso natildeo haacute a priori
como definir os conteuacutedos de Caacutelculo que possam ser utilizados para entendimento de uma
questatildeo-problema natildeo matemaacutetica oriunda de um contexto real ndash razatildeo de ser das atividades
de Modelagem que seja escolhida por um grupo de sujeitos Mais do que isso o foco
principal da referida atividade eacute o entendimento da questatildeo-problema Dessa forma os
conteuacutedos de Caacutelculo satildeo construiacutedos e utilizados para solucionar a questatildeo-problema ndash um
Caacutelculo que jaacute ldquonasceriardquo em accedilatildeo
Tomando-se por base a constituiccedilatildeo do GEPMM como um contexto alternativo
agraves disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia e as atividades que foram nele
desenvolvidas busco analisar as possibilidades de aprendizagens expansivas
25 Concepccedilatildeo de uma atividade de Modelagem Matemaacutetica assumida em um contexto
de formaccedilatildeo em Engenharias
Para Barbosa (2001a p 6) ldquomodelagem eacute um ambiente de aprendizagem no qual
os alunos satildeo convidados a indagar eou investigar por meio da matemaacutetica situaccedilotildees
oriundas de outras aacutereas da realidaderdquo Vale ressaltar que o autor focou seus estudos de
doutoramento na formaccedilatildeo inicial de professores de Matemaacutetica ou seja alunos de
licenciatura em Matemaacutetica Na referida pesquisa de doutorado Barbosa (2001b) orientou-se
pela busca em entender a concepccedilatildeo de Modelagem Matemaacutetica de futuros professores de
Matemaacutetica tendo em vista as experiecircncias matemaacuteticas particularmente com modelagem
vivenciadas pelos licenciandos aliadas as suas concepccedilotildees de Matemaacutetica e de seu ensino
Nesse sentido considero que a Modelagem Matemaacutetica pode perfazer algo aleacutem
do que eacute proposto explicitamente por Barbosa (2001a) devido ao simples fato de que natildeo
83
somente os estudantes podem estar sendo convidados a indagar eou investigar mas acredito
sobretudo que tais ambientes podem assumir importante papel na formaccedilatildeo continuada de
professores em suas proacuteprias praacuteticas93
ampliando assim os respectivos horizontes de
atuaccedilatildeo nas mais diversas dimensotildees cotidianas de trabalho Vale ressaltar que embora
Barbosa (2001a) natildeo exclua as possibilidades de formaccedilatildeo docente continuada em tais
ambientes de aprendizagem ele natildeo se propocircs a focar suas discussotildees nesse possiacutevel aspecto
da atividade
Bassanezi (2006 p 16) entende que a modelagem matemaacutetica consiste na ldquoarte de
transformar problemas da realidade em problemas matemaacuteticos e resolvecirc-los interpretando
suas soluccedilotildees na linguagem do mundo realrdquo A obra artiacutestica pode ser considerada criaccedilatildeo de
uma nova realidade posto que o homem se afirma criando ou humanizando o que toca ndash a
praacutexis artiacutestica que ao ampliar e enriquecer com suas criaccedilotildees a realidade jaacute humanizada
constitui uma praacutexis essencial para o homem (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 198)
Ao considerar a modelagem como arte situando-a na esfera da atividade da
transformaccedilatildeo de uma mateacuteria (problema da realidade) sob uma nova forma (problemas
matemaacuteticos) eacute preciso levar em conta a necessidade humana que o objeto criado ou
produzido seraacute capaz de satisfazer Satildeo as necessidades humanas que configuram e orientam
as atividade de modelagem realizadas por uma coletividade cujo objeto compartilhado
relaciona-se necessariamente com os objetivos centrais a serem alcanccedilados mediante a
realizaccedilatildeo de accedilotildees intencionais adequadas agraves finalidades que por sua vez podem ser
caracterizadas pela(s) perspectiva(s) de modelagem assumida(s) pelos sujeitos engajados em
tal atividade
No contexto da pesquisa relatada no presente texto considero que atividade de
Modelagem Matemaacutetica constituem espaccedilos formativos94
nos quais os sujeitos engajados
dirigem suas accedilotildees em prol do entendimento e da resoluccedilatildeo de questotildees-problema natildeo
matemaacuteticas oriundas das mais variadas esferas da sociedade utilizando necessariamente
instrumentos matemaacuteticos para auxiliaacute-los
93
Formaccedilatildeo continuada de professores em suas proacuteprias praacuteticas quer dizer que os professores aprendem
enquanto vatildeo criando e modificando suas proacuteprias praacuteticas Natildeo precisam necessariamente participar de um
curso de formaccedilatildeo continuada para estarem aprendendo Eles proacuteprios tomam a realidade contraditoacuteria como
ponto de partida e promovem accedilotildees com vistas a modificarem suas praacutexis promovendo assim saltos
qualitativos em sua proacutepria formaccedilatildeo docente 94
Aqui espaccedilo formativo pode ser entendido como algo aleacutem de um lugar fiacutesico Um ambiente que produz um
contexto propiacutecio agrave formaccedilatildeo uma estrateacutegia de formaccedilatildeo que deve conter os mais variados instrumentos
incluindo instrumentos subjetivos e simboacutelicos nos quais os sujeitos dirigem suas accedilotildees orientadas pelos
objetivos de formaccedilatildeo que incluem o compartilhamento de conhecimentos em prol da formaccedilatildeo profissional dos
futuros engenheiros constituindo assim um sistema de atividades cujo objeto compartilhado deve incluir as
questotildees-problema a serem entendidassolucionadas e os futuros engenheiros (estudantes)
84
Cabe aqui uma ressalva como as atividades de Modelagem Matemaacutetica nesta
investigaccedilatildeo satildeo concebidas como espaccedilos formativos em instituiccedilotildees de ensino95
natildeo
podemos desconsiderar que esses espaccedilos perpassam por formas cotidianas de atitudes e
accedilotildees praacuteticas dos professores em exerciacutecio de seu trabalho como natildeo podemos considerar o
trabalho do professor sem levar em conta o(s) objeto(s) de sua atividade tambeacutem devemos
levar em conta que tais atividade perpassam por horizontes historicamente e culturalmente
elaborados de formas cotidianas de atitudes e accedilotildees praacuteticas dos alunos em exerciacutecio de suas
atribuiccedilotildees como estudantes considerando-se entatildeo objeto de sua proacutepria atividade de
formaccedilatildeo escolar institucionalizada
Ainda por considerar que o trabalho do professor consiste em auxiliar
acompanhar orientar e ajudar os estudantes a engajarem e participarem do processo de
formaccedilatildeo e constituiccedilatildeo da proacutepria cidadania em termos da aquisiccedilatildeo de conhecimentos
necessaacuterios para plena participaccedilatildeo social entendo que o trabalho do professor somente se
realiza em sua plenitude mediante o engajamento dos alunos pois para um sujeito auxiliar
eou acompanhar eou orientar eou ajudar outro sujeito torna-se necessaacuterio que esse outro
direcione accedilotildees no mesmo sentido orientadas pelo mesmo fim Nisso natildeo entendo que possa
haver ensino sem aprendizagem Por esse motivo que entendo as atividades de Modelagem
Matemaacutetica como espaccedilos formativos naturalmente imersos em espaccedilos formativos
institucionalizados mais amplos ndash escolas e universidades
Dessa forma podemos atribuir agraves atividade de Modelagem Matemaacutetica em
contextos formativos a necessidade de formaccedilatildeo de estudantes para se tornarem sujeitos
plenamente conscientes autocircnomos e livres mediante a aquisiccedilatildeo da capacidade de agir em
situaccedilotildees problemaacuteticas utilizando os conhecimentos construiacutedos pelo homem em sua
historicidade dentre estes a Matemaacutetica ndash no contexto da presente pesquisa mais
especificamente o Caacutelculo
Contudo natildeo somente estudantes podem estar em processo de formaccedilatildeo ao
participarem deste tipo de atividade mas tambeacutem os professores ao se depararem com
questotildees-problema natildeo oriundas de sua aacuterea de formaccedilatildeo (a Matemaacutetica) podem ser
agraciados com transformaccedilotildees em seus proacuteprios horizontes de accedilotildees cotidianas e de praacuteticas
de trabalho Acredito ainda que os professores ao modificarem suas praacuteticas cotidianas de
trabalho incluindo atividade de modelagem Matemaacutetica acabam por possibilitar um
95
Nesta pesquisa em uma universidade que se destina agrave formaccedilatildeo de engenheiros
85
movimento de transformaccedilotildees qualitativas em sua proacutepria formaccedilatildeo docente ainda que este
natildeo seja necessariamente o objeto principal que oriente tal modificaccedilatildeo
Engestroumlm (2002) enfatiza que os contextos da descoberta da aplicaccedilatildeo praacutetica e
da criacutetica ao serem assumidos podem provocar transformaccedilotildees no objeto da atividade
escolar tornando-o novo e expandido Sendo assim as atividades de Modelagem Matemaacutetica
como um espaccedilo formativo alternativo no qual alunos e professores tem a oportunidade de
elaborar e implementar um novo modo de fazer e participar do trabalho de ensino-
aprendizagem constituem um contexto propiacutecio para ampliar as possibilidades para
aprendizagens expansivas O objeto da atividade escolar tradicional eacute transformado
delegando aos textos escolares o papel de instrumentos e elegendo as questotildees-problema natildeo
matemaacuteticas como um novo e expandido objeto da atividade aleacutem de ser remetido aos
contextos da descoberta da aplicaccedilatildeo e da criacutetica Aleacutem disso os estudantes inicialmente
remetidos ao posto de sujeitos da atividade escolar de aprendizagem passam a configurar
adicionalmente ao objeto natildeo apenas da atividade do professor (ensino) mas sobretudo de
sua proacutepria atividade (aprendizagem) estando assim engajados na atividade de ensino-
aprendizagem que objetiva sua proacutepria formaccedilatildeo mediante tal participaccedilatildeo nas atividades de
Modelagem Matemaacutetica
Dessa forma as atividades de Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia
podem se configurar teoricamente mediante representaccedilatildeo ldquotriangularrdquo elaborada por
Engestroumlm (1987) como sistemas de atividade de ensino-aprendizagem da seguinte forma
86
FIGURA 5 ndash Os interdependentes sistemas de atividade de estudantes e professor(es) engajados em atividades
(escolares) de Modelagem Matemaacutetica
Fonte Elaborado pela autora com base em Engestroumlm (2008)
No desenvolvimento das accedilotildees que necessitam ocorrer para que as questotildees-
problema sejam entendidas resolvidas e solucionadas pelos participantes da atividade pode
ocorrer de algum instrumento ter de ser construiacutedo pelos participantes como por exemplo
alguma ferramenta matemaacutetica Neste caso o professor tem o papel fundamental de orientar
os alunos nessa construccedilatildeo que muitas vezes jaacute faz parte do conhecimento do professor
Contudo em atividades de Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia
contexto desta investigaccedilatildeo pode acontecer (e muitas vezes acontece) de as ferramentas
matemaacuteticas necessaacuterias para o entendimento eou resoluccedilatildeo da questatildeo-problema natildeo
estarem ao alcance ldquodiretordquo de alunos e professores Nesse caso abre-se um horizonte de
possibilidades de aprendizagem que pode tambeacutem constituir a formaccedilatildeo continuada desses
professores engajados na formaccedilatildeo matemaacutetica dos engenheiros Aleacutem disso caso o professor
esteja engajado nesse direcionamento podemos inclusive posicionar como objeto de sua
atividade sua proacutepria formaccedilatildeo continuada em termos da construccedilatildeo coletiva de novas
ferramentas matemaacuteticas o que pode levar agrave necessidade de novas pesquisas na aacuterea de
Matemaacutetica
Ao assumir as atividades de Modelagem Matemaacutetica como sendo um espaccedilo
formativo sendo possiacutevel sua construccedilatildeo dentro ou fora da sala de aula entendo que aos
sujeitos engajados em tais atividade eacute oferecida uma possibilidade de ampliaccedilatildeo gradual do
objeto e do contexto da aprendizagem Aleacutem disso tal espaccedilo formativo alternativo pode
87
possibilitar transformaccedilotildees no sentido de os sujeitos estarem aprendendo novas formas de
atividade direcionadas agrave sua proacutepria formaccedilatildeo Como corpus de anaacutelise para a presente
pesquisa baseio-me em atividades desenvolvidas por um Grupo de Estudos e Pesquisa em
Modelagem Matemaacutetica em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias que realiza suas
accedilotildees fora da sala de aula tradicional tanto de disciplinas de Caacutelculo quanto de disciplinas
ldquoteacutecnicasrdquo composto por alunos e professores de diversos cursos de Engenharia sob a
orientaccedilatildeo da seguinte pergunta diretriz
Quais aprendizagens expansivas podem ser evidenciadas pelas e nas atividades
desenvolvidas por um Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica (GEPMM)
em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias
Como possiacuteveis desdobramentos dessa pergunta estaratildeo
a) o que motivou a participaccedilatildeo dos docentes e discentes no GEPMM
b) Quais contradiccedilotildees ou conflitos estiveram presentes nas atividades do
GEPMM De que forma tais contradiccedilotildees foram exploradas
c) Como os instrumentos que permearam os sistemas de atividade do GEPMM se
relacionam aos sujeitos e aos objetos
26 Abertura de caixas-pretas como accedilotildees estrateacutegicas com vistas agraves possibilidades de
aprendizagens expansivas relacionadas agraves transformaccedilotildees do objeto de uma atividade de
Modelagem Matemaacutetica
[] nossa entrada no mundo da ciecircncia e da tecnologia seraacute pela porta de traacutes a da
ciecircncia em construccedilatildeo e natildeo pela entrada mais grandiosa da ciecircncia acabada
(LATOUR 2000 p 17)
No capiacutetulo 1 pontuei que segundo Engestroumlm (2002) um contexto propiacutecio para
possibilitar aprendizagens expansivas estaria ancorado pelo ldquotripeacuterdquo formado pelos contextos
da descoberta caracterizado pelo meacutetodo da ascensatildeo do abstrato ao concreto proposto por
Davydov da reproduccedilatildeo praacutetica proposto por Jean Lave e da criacutetica proposto por
Engestroumlm (2002) Com base em tal contexto as atividades de Modelagem Matemaacutetica
seriam consideradas como espaccedilos formativos nos quais os sujeitos engajados direcionariam
suas accedilotildees com vistas ao entendimento de questotildees-problema natildeo matemaacuteticas utilizando
88
necessariamente instrumentos matemaacuteticos para auxiliar a resoluccedilatildeoentendimento Com isso
o objeto dos sistemas de atividade seria composto pelas questotildees-problema natildeo matemaacuteticas e
pelos estudantes em formaccedilatildeo Mas como poderiacuteamos caracterizar os instrumentos
matemaacuteticos necessaacuterios no desenvolvimento da referida atividade Sob quais ldquoformasrdquo tais
instrumentos poderiam estar configurados Quais accedilotildees seriam possibilitadas por tais
instrumentos De que forma tais instrumentos se relacionam aos demais instrumentos da
atividade
Segundo Skovsmose (2007 p 113) a noccedilatildeo de Matemaacutetica tem se movido em
muitas direccedilotildees Para ele a terminologia matemaacutetica poderia estar referida ldquoagrave matemaacutetica
pura agrave aplicada agrave matemaacutetica da engenharia agraves teacutecnicas matemaacuteticas imersas na cultura agrave
matemaacutetica das ruas aos caacutelculos de todo tipordquo Afirma ainda que a Matemaacutetica estaacute em toda
parte assim como os computadores e considera o desenvolvimento dos computadores como
um desenvolvimento tecnoloacutegico que pode ser encarado como a materializaccedilatildeo de insights e
teacutecnicas Conclui que Matemaacutetica e Computaccedilatildeo satildeo atividades inter-relacionadas
Skovsmose (2007) considera a tecnologia de maneira ampla que inclui natildeo somente sua
ldquomaquinariardquo mas tambeacutem sua organizaccedilatildeo o conhecimento dos procedimentos de produccedilatildeo
e aqueles para o projeto e para a tomada de decisatildeo
Ao discorrer sobre a (denominada por ele) teoria da representaccedilatildeo da modelagem
matemaacutetica Skovsmose (2007) pontua que o enfoque frequentemente dado a esse tipo de
empreendimento se concentra na verificaccedilatildeo e na exatidatildeo do modelo a ser usado em tal
representaccedilatildeo enquanto o enfoque nos contextos (realidade social) e nas possiacuteveis
consequecircncias do processo de modelar eacute deixado de lado As discussotildees da modelagem
matemaacutetica como teoria da representaccedilatildeo focadas apenas na qualidade da representaccedilatildeo
para o autor estabelecem uma obstruccedilatildeo organizada da proacutepria atividade de modelagem E
sugere que a questatildeo mais importante no que tange os empreendimentos de modelagem
matemaacutetica pode ser designada pela seguinte pergunta ldquoo que a matemaacutetica em accedilatildeo incluirdquo
(SKOVSMOSE 2007 p 115) Sob a oacutetica da Teoria da Atividade esse questionamento
poderia ser a meu ver melhor representado pela seguinte pergunta quais e como se
configuram as accedilotildees possibilitadas pelas ferramentas matemaacuteticas em uma determinada
atividade de modelagem Observe que aqui as accedilotildees se referem aos processos subordinados
agraves metas individuais ou objetivos parciais da atividade Sendo assim a matemaacutetica eacute encarada
como um poderoso instrumento que pode auxiliar o entendimento de questotildees concernentes agraves
realidades natildeo matemaacuteticas Skovsmose (2007) questiona ainda quem constroacutei os modelos
Que aspectos da realidade estatildeo neles incluiacutedos Quem tem acesso aos modelos Os modelos
89
satildeo ldquoconfiaacuteveisrdquo Quem estaacute apto a controlaacute-los Em que sentido eacute possiacutevel falsificar um
modelo E conclui que se tais questotildees natildeo forem adequadamente esclarecidas valores
tradicionais da democracia podem ser corroiacutedos
Ao falar de matemaacutetica em accedilatildeo Skovsmose (2007) se concentra em visualizar
como as concepccedilotildees matemaacuteticas satildeo projetadas na realidade Para ele ldquoquando usamos a
matemaacutetica como uma base para projeto tecnoloacutegico criamos uma ferramenta tecnoloacutegica que
tem de algum modo sido conceitualizada por meio da matemaacuteticardquo (p 123) Observe que
para a Teoria da Atividade os usos das ferramentas tecnoloacutegicas na situaccedilatildeo de artefatos
mediadores das relaccedilotildees possivelmente estabelecidas e implementadas pelos sujeitos
orientados ao objeto estatildeo condicionados aos motivos da atividade relacionados agraves
necessidades humanas
Com vistas ao desenvolvimento de atividades de Modelagem podem estar
incluiacutedas accedilotildees que se referem agrave identificaccedilatildeo e anaacutelise de situaccedilotildees hipoteacuteticas sendo que a
Matemaacutetica auxilia esse processo fornecendo subsiacutedios instrumentais possibilitando
representaccedilotildees de algo ainda natildeo compreendido portanto permite simular alternativas
tecnoloacutegicas para uma dada situaccedilatildeo Sendo assim
A matemaacutetica daacute uma forma de liberdade tecnoloacutegica abrindo um espaccedilo para
situaccedilotildees hipoteacuteticas Neste sentido a matemaacutetica se torna um percurso para a
imaginaccedilatildeo tecnoloacutegica e portanto para o planejamento de processos tecnoloacutegicos
que incluem projeto-accedilatildeo com base matemaacutetica [] O espaccedilo aberto pela
imaginaccedilatildeo tecnoloacutegica poderia muito bem conter situaccedilotildees hipoteacuteticas que natildeo satildeo
acessiacuteveis ao senso comum Um quadro matemaacutetico nos daacute novas alternativas
(SKOVSMOSE 2007 p 123 grifo do autor)
Skovsmose (2007) pontua trecircs aspectos considerados por ele como relevantes no
que diz respeito agrave matemaacutetica em accedilatildeo primeiro considera que por meio da Matemaacutetica eacute
possiacutevel estabelecer um espaccedilo de situaccedilotildees hipoteacuteticas na forma de alternativas
(tecnoloacutegicas) (para uma situaccedilatildeo presente) segundo considera que por meio da Matemaacutetica
eacute possiacutevel investigar detalhes particulares de uma situaccedilatildeo hipoteacutetica embora a Matemaacutetica
tambeacutem cause severas limitaccedilotildees para tal raciociacutenio hipoteacutetico e por uacuteltimo a Matemaacutetica
embasa a modulaccedilatildeo e a constituiccedilatildeo de uma ampla variedade de fenocircmenos sociais e desse
modo ela se torna parte da realidade Com o advento da ciberneacutetica observa-se que muita
tecnologia da informaccedilatildeo se materializa em ldquopacotesrdquo que podem operar conjuntamente com
outros pacotes eles contecircm a matemaacutetica como um ingrediente definidor uma base comum
Os instrumentos matemaacuteticos constituem uma variedade de recursos existentes na
sociedade atual perfazendo ferramentas e signos materializados externamente aos sujeitos
90
(linguagem escrita falada figuras teacutecnicas softwares foacutermulas modelos equaccedilotildees entre
vaacuterios outros) eou internamente aos sujeitos (ferramentas mentais abstraccedilotildees
representaccedilotildees processos psicoloacutegicos memoacuteria etc)
Para compreender a matemaacutetica em accedilatildeo Skovsmose (2007) considera a
Matemaacutetica como uma linguagem refletindo sobre o que poderia ser feito por essa linguagem
particular Aleacutem disso nos conduz agrave seguinte reflexatildeo que visotildees de mundo podem ser
discursivamente constituiacutedas por meio da Matemaacutetica
Se a Matemaacutetica estaacute em todo lugar ndash se natildeo em cena atraacutes da cena ndash espera-se
que toda vez que algueacutem usa de qualquer maneira um computador ele estaacute usando mesmo
que sem consciecircncia disso inuacutemeros dispositivos que somente foram elaborados e
construiacutedos mediante consideraacuteveis avanccedilos de loacutegicas teacutecnicas e resultados matemaacuteticos A
proacutepria aacutelgebra booleana96
que permeia todos os processos ciberneacuteticos eacute oriunda de
conceitos e resultados matemaacuteticos Dessa forma pensar processos educativos em pleno
seacuteculo XXI que se propotildeem possibilitar aos aprendizes uma visatildeo e atuaccedilatildeo criacutetica nessa
sociedade ldquocheia de tecnologiasrdquo ao seu alcance deve necessariamente levar em conta o
domiacutenio do entendimento ldquodescortinadordquo de todos os constructos instrumentais e seus
respectivos usos em diversas praacuteticas sociais que vatildeo muito aleacutem de capacidades de leitura
escrita e contagem
Ubiratan DrsquoAmbroacutesio no final dos anos 90 propocircs um curriacuteculo97
baseado no
tripeacute literacia materacia e tecnoracia buscando abarcar uma concepccedilatildeo de educaccedilatildeo que
atenda agraves exigecircncias da sociedade em cada momento histoacuterico Para ele isso difere e muito
do paradigma curricular que foca na importacircncia acadecircmica de cada disciplina escolar Nas
palavras do autor
Literacia eacute a capacidade de processar informaccedilotildees escrita e falada o que inclui
leitura escrita escritura caacutelculo diaacutelogo ecaacutelogo miacutedia internet na vida cotidiana
(instrumentos comunicativos)
Materacia eacute a capacidade de interpretar e analisar sinais e coacutedigos de propor e utilizar modelos e simulaccedilotildees na vida cotidiana de elaborar abstraccedilotildees sobre representaccedilotildees do real (instrumentos intelectuais)
Tecnoracia eacute a capacidade de usar e combinar instrumentos simples ou complexos inclusive o proacuteprio corpo avaliando suas possibilidades e limitaccedilotildees e a sua adequaccedilatildeo a necessidades e situaccedilotildees diversas (instrumentos materiais)
98
(DrsquoAMBROacuteSIO 2005 p 119)
96
Booleana se refere agrave Aacutelgebra elaborada por George Boole matemaacutetico inglecircs que concluiu seus trabalhos
sobre tal teoria em meados do seacuteculo XIX 97
O autor define curriacuteculo de uma forma muito abrangente ldquoa estrateacutegia da accedilatildeo educativardquo (DrsquoAMBROacuteSIO
2005 p 118) 98
Em inglecircs Literacy matheracy e technoracy Existem outras traduccedilotildees para Literacy como por exemplo
letramento contudo natildeo portam a mesma definiccedilatildeo O letramento estaria mais relacionado com a matheracy
91
Na sociedade atual as capacidades requeridas aos sujeitos abarcam usos e visatildeo
criacutetica de instrumentos de comunicaccedilatildeo intelectuais e materiais Com isso eacute extremamente
necessaacuterio adaptar as praacuteticas escolares para dar conta dessas prioridades A Modelagem
Matemaacutetica por se tratar de uma atividade que busca a resoluccedilatildeo de questotildees-problema de
realidades natildeo matemaacuteticas pode se configurar como um importante espaccedilo formativo
direcionado por essa concepccedilatildeo de educaccedilatildeo proposta por DrsquoAmbroacutesio conforme explicitado
anteriormente
Para Skovsmose (2001 p 89) ldquoo conhecimento reflexivo tem como seu objeto o
uso da matemaacutetica e portanto torna-se importante sair da catedral do conhecimento formal
para se ter uma visatildeo mais geral dessa construccedilatildeordquo Aleacutem disso tal autor faz distinccedilatildeo entre
trecircs tipos de conhecer que podem orientar a educaccedilatildeo matemaacutetica
1) Conhecer matemaacutetico que se refere agrave competecircncia normalmente entendida como
habilidades matemaacuteticas incluindo-se competecircncias na reproduccedilatildeo de teoremas e
provas bem como ao domiacutenio de uma variedade de algoritmos ndash essa competecircncia
estaacute focada na educaccedilatildeo matemaacutetica tradicional e sua importacircncia tem sido
especialmente enfatizada pelo movimento estruturalista ou pela ldquonova matemaacuteticardquo
2) Conhecer tecnoloacutegico que se refere agraves habilidades em aplicar a matemaacutetica e agraves
competecircncias na construccedilatildeo de modelos A importacircncia do conhecer tecnoloacutegico
tem sido enfatizada pela tendecircncia dirigida para aplicaccedilotildees na educaccedilatildeo matemaacutetica
que afirma que ateacute mesmo se os estudantes aprendem matemaacutetica nenhuma
garantia existe de que a competecircncia desenvolvida eacute suficiente quando se trata de
situaccedilotildees de aplicaccedilatildeo Mais do que a matemaacutetica pura tem de ser dominado a fim
de se poder aplicar a matemaacutetica []
3) Conhecer reflexivo que se refere agrave competecircncia de refletir sobre o uso da
matemaacutetica e avaliaacute-lo Reflexotildees tecircm a ver com avaliaccedilotildees das consequecircncias do
empreendimento tecnoloacutegico (SKOVSMOSE 2001 p 115 e 116)
Skovsmose (2001) aponta que as habilidades relacionadas ao conhecer
tecnoloacutegico podem ser consideradas como uma competecircncia extra denominando-a por
competecircncia tecnoloacutegica E esclarece que de maneira geral eacute caracterizada pelo
entendimento necessaacuterio que possibilita o uso de uma ferramenta tecnoloacutegica visando a
alcanccedilar alguns objetivos tecnoloacutegicos
Aleacutem de objetivar a promoccedilatildeo do conhecer reflexivo a educaccedilatildeo matemaacutetica
criacutetica busca por uma educaccedilatildeo em que haja igualdade entre os sujeitos a um niacutevel de
parceria fundando-se nas ideias da ldquopedagogia emancipadorardquo de Paulo Freire (1987)
delimita-se assim um primeiro ponto-chave dessa concepccedilatildeo de educaccedilatildeo ndash ldquoenvolvimento
estando focado apenas na liacutengua oficial do Brasil o portuguecircs No campo do letramento podemos encontrar
conceitos proacuteximos agrave matheracy por exemplo o numeramento Jaacute o termo technoracy estaacute relacionado ao
technological literacy o que poderia ser traduzido por letramento tecnoloacutegico
92
dos estudantes no controle do processo educacionalrdquo (SKOVSMOSE 2001 p 18) Um
segundo ponto-chave dessa concepccedilatildeo eacute a ldquoconsideraccedilatildeo criacutetica de conteuacutedos [] ambos
estudantes e professor devem estabelecer uma distacircncia criacutetica do conteuacutedo da educaccedilatildeordquo
(SKOVSMOSE 2001 p 18 grifo meu) O terceiro e uacuteltimo ponto-chave dessa concepccedilatildeo eacute o
direcionamento do processo de ensino-aprendizagem a problemas existentes fora do contexto
educacional Considerando os trecircs pontos-chave em uma concepccedilatildeo de educaccedilatildeo criacutetica o
autor coloca que o engajamento criacutetico deve fazer parte do processo Citando John Dewey
Skovsmose (2007) pontua que o meacutetodo experimental pode assegurar um novo suporte
pedagoacutegico com vistas ao desenvolvimento democraacutetico
Buscando possibilitar aprendizagens expansivas como transformaccedilotildees no objeto
da atividade de Modelagem uma possiacutevel estrateacutegia a ser considerada pode ser elencar accedilotildees
que objetivem a abertura de caixas-pretas Essa terminologia foi trazida da ldquosociologia da
ciecircnciardquo por Bruno Latour em sua obra Ciecircncia em accedilatildeo como seguir cientistas e
engenheiros sociedade afora devido ao entendimento de que vaacuterios conhecimentos
amplamente difundidos nos curriacuteculos escolares nas ementas das disciplinas partem de
resultados cientiacuteficos frequentemente considerados como inquestionaacuteveis eou verdades
absolutas Latour (2000) traz a noccedilatildeo de caixa-preta como sendo uma expressatildeo usada em
ciberneacutetica sempre que uma maacutequina ou um conjunto de comandos se revela complexo
demais ldquoem seu lugar eacute desenhada uma caixinha preta a respeito da qual natildeo eacute preciso saber
nada senatildeo o que nela entra e o que dela sairdquo (LATOUR 2000 p 14)
Dessa forma uma caixa-preta pode ser entendida como um aparatoobjeto
(conceito fato teacutecnica equaccedilatildeo lei teoria modelo equipamento aparelho maacutequina entre
outras possibilidades) oriundo de resultado de pesquisa cientiacutefica no qual eacute atribuiacutedo um
grau inquestionaacutevel de verdade sendo que sua existecircncia somente se justifica devido as suas
associaccedilotildees com outros aparatosobjetos (que tambeacutem podem ser caixas-pretas) e seus
respectivos usos sociais
O trabalho cientiacutefico estaacute condicionado agrave abertura e ao fechamento de caixas-
pretas Um cientista ao se deparar com possibilidades de investigar certo fenocircmeno X busca
todas as ldquoverdadesrdquo que outros cientistas jaacute estabeleceram sobre esse fenocircmeno Quando as
encontra pode questionaacute-las ou aceitaacute-las Suponha que o cientista resolva questionar uma
caixa-preta P encontrada por ele no processo de investigaccedilatildeo do fenocircmeno X Para isso eacute
necessaacuterio que ele utilize outros instrumentos (incluindo ateacute mesmo outras caixas-pretas) que
objetivem a abertura dessa caixa-preta Apoacutes a abertura ele comeccedila a relacionar essa caixa-
preta P com outras proposiccedilotildees a respeito do fenocircmeno X podendo alterar P ou apenas
93
reafirmar a ldquoverdaderdquo contida em P De qualquer forma o cientista abre e fecha P em certo
momento de sua atividade cientiacutefica Portanto qualquer caixa-preta pode ser aberta
reafirmada ou modificada ou ainda apenas utilizada pelos cientistas
Na vida cotidiana nos deparamos com as mais variadas caixas-pretas Um
reloacutegio por exemplo eacute uma delas sabemos que se o alimentarmos com bateria e cedermos a
ele uma regulagem com a hora oficial (entrada) ele sempre nos forneceraacute as horas (saiacuteda) no
entanto normalmente natildeo sabemos quais os processos ocorrem dentro dessa caixa-preta
Uma foacutermula matemaacutetica pode ser outro exemplo de caixa-preta se tomarmos por exemplo
a foacutermula de caacutelculo dos juros compostos 119862119899 = 1198620(1 + 119894)119899 sabe-se que se forem fornecidos o
capital inicial (1198620) a taxa de juros (119894) e o tempo (119899) (entradas) a foacutermula forneceraacute qual a
quantia (119862119899) (saiacuteda) teraacute depois desse tempo no entanto o que estaacute por traacutes dessa foacutermula e
qual eacute a veracidade dela o usuaacuterio pode natildeo ter conhecimento
Assim de forma representativa podemos visualizar as caixas-pretas da seguinte
forma
FIGURA 6 ndash Visualizaccedilatildeo da caixa-preta e suas possiacuteveis associaccedilotildees a outras caixas-pretas
Fonte Elaborada pela autora com base em Latour (2000)
Observe que as caixas-pretas natildeo se restringem apenas agraves variaacuteveis de entrada e
saiacuteda mas sobretudo ao relacionamento que cada uma delas pode estabelecer com outras
vaacuterias caixas-pretas Em um uacutenico equipamento um computador por exemplo existem
vaacuterias caixas-pretas em seu ldquointeriorrdquo ou seja uma caixa-preta contendo vaacuterias caixas-
pretas que se relacionam internamente
94
Mas porque accedilotildees orientadas pela abertura das caixas-pretas podem ser uacuteteis para
possibilitar aprendizagens expansivas em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias Uma
boa explicaccedilatildeo pode ser encontrada na seguinte reflexatildeo proposta por Latour (2000) como
segue
[] muitos jovens entraram no mundo da ciecircncia mas se tornaram cientistas e
engenheiros o que eles fizeram estaacute visiacutevel nas maacutequinas que usamos nos livros
pelos quais aprendemos nos comprimidos que tomamos nas paisagens que
olhamos nos sateacutelites que cintilam no ceacuteu noturno sobre nossas cabeccedilas Como
fizeram natildeo o sabemos [] quase ningueacutem estaacute interessado no processo de
construccedilatildeo da ciecircncia [] Os fatos e artefatos que esta produz caem sobre suas
cabeccedilas como um fado externo tatildeo estranho desumano e imprevisiacutevel quanto o
Fatum dos antigos romanos (LATOUR 2000 p 33-34)
A grande questatildeo aqui estampada consiste no entendimento de que os conteuacutedos
escolares perpassam pelos resultados cientiacuteficos muitas vezes relacionados a generalizaccedilotildees e
conceituaccedilotildees que num primeiro momento podem parecer ldquoestranhasrdquo aos aprendizes Essa
ldquoestranhezardquo pode muito bem ser anulada ou minimizada na medida em que os aprendizes
consigam adentrar para tais entes entendendo seu processo histoacuterico de construccedilatildeo e mais do
que isso percebendo que todo processo construtivo humano consiste na materializaccedilatildeo das
necessidades sociais e culturais em cada tempo histoacuterico de seu desenvolvimento
A concepccedilatildeo de educaccedilatildeo para desenvolvimento da cidadania emancipaccedilatildeo e
liberdade estaacute motivada pelas possibilidades e usos de conhecimentos em praacuteticas sociais
Nelas os sujeitos engajados carregam consigo as mais diversas experiecircncias vividas
anteriormente em diversos contextos sociais dentre estes os espaccedilos escolares Eacute na escola
que os resultados da ciecircncia satildeo recontextualizados e assumem postos de conteuacutedos a serem
desenvolvidos nas praacuteticas que ali ocorrem A abertura de caixas-pretas se torna portanto
imprescindiacutevel para se alcanccedilar uma formaccedilatildeo libertaacuteria emancipada e cidadatilde nos dias atuais
Mas quem decide quais caixas-pretas devem ser abertas jaacute que natildeo podem ser
todas Acredito que tal decisatildeo deva emergir da coletividade de aprendizes engajados em
cada frente de formaccedilatildeo pautados pelas demandas impostas pela sociedade em cada momento
de sua historicidade num contiacutenuo processo de diaacutelogo e orquestraccedilatildeo
Ao considerarmos o contexto institucional de formaccedilatildeo de engenheiros foco
dessa pesquisa podemos afirmar que os sujeitos partiacutecipes desse contexto tecircm amplo acesso
aos mais variados aparatosobjetos que podem ser entendidos como caixas-pretas Em
atividade de Modelagem Matemaacutetica sendo aqui considerada como um espaccedilo formativo que
se configura como um contexto propiacutecio para possibilitar aprendizagens expansivas por estar
95
baseado no contexto da criacutetica proposto por Engestroumlm (2002) entende-se portanto que tais
caixas-pretas devam ser abertas questionadas e se possiacutevel ou necessaacuterio alteradas ou
modificadas Isso deve fazer parte da formaccedilatildeo de engenheiros que pretendem dar conta da
complexidade e da magnitude do trabalho que os aguarda nas mais variadas esferas da
sociedade atual
Atividades de Modelagem Matemaacutetica podem assim constituir espaccedilos
formativos que possibilitem a abertura de caixas-pretas devido agrave postura investigativa que
pode ser instigada e cultivada nesse contexto Para tal os engajados nesse processo satildeo
orientados pelo questionamento e consequentemente pela modificaccedilatildeo de ldquoverdadesrdquo ou
certezas cientiacuteficas contidas em fatos aceitos e ateacute entatildeo inquestionaacuteveis que compotildeem cada
caixa-preta Dessa forma muitos fatos e enunciados sociais amplamente aceitos e difundidos
podem ser alterados nas e pelas atividades de Modelagem Matemaacutetica Mais do que isso a
abertura de caixas-pretas pode se revelar como estrateacutegia de formaccedilatildeo na qual os sujeitos satildeo
instigados apoacutes a abertura e possiacutevel confirmaccedilatildeo da ldquoverdaderdquo contida na caixa-preta natildeo
somente a aceitaccedilatildeo e a reproduccedilatildeo de tais certezas cientiacuteficas mas sobretudo agrave tomada de
tais certezas como base (entrada) para a elaboraccedilatildeo de outras certezas ou empreendimentos
cumprindo assim a formaccedilatildeo no que tange agrave produccedilatildeo criativa agrave inovaccedilatildeo e ao
empreendedorismo
As estrateacutegicas accedilotildees com vistas agrave abertura de caixas-pretas num contexto de
formaccedilatildeo em Engenharias correspondem a mudanccedilas qualitativas nos objetos da atividade de
Modelagem Matemaacutetica a questatildeo-problema que por vezes configura como objeto da
atividade de Modelagem Matemaacutetica pode ser considerada num primeiro momento como
uma caixa-preta na qual as accedilotildees devem ser direcionadas visando a sua abertura
Transformaccedilotildees qualitativas do objeto da atividade devem ser consideradas como
aprendizagens expansivas segundo Engestroumlm e Sannino (2010b)
Para concluir este capiacutetulo entendo que uma caixa-preta na verdade nunca eacute
totalmente preta e nem totalmente branca Caso existisse caixa pretas totalmente cinzas ou
totalmente brancas estariacuteamos reforccedilando a ideologia das verdades ldquoabsolutasrdquo e
inquestionaacuteveis assim como o contraacuterio A variaccedilatildeo de cores permitida entre o preto e o
branco configura como pertencente agrave categoria dos infinitos tons de cinza Suponha um
intervalo aberto entre zero e um A uma caixa-preta qualquer seria atribuiacutedo um valor mais
proacuteximo de um do que de zero isto eacute um tom de cinza mais escuro Com a realizaccedilatildeo das
accedilotildees expostas anteriormente a caixa-preta tende a ldquoclarear-serdquo (ou natildeo) sendo entatildeo
atribuiacutedo um valor menor (ou maior) do que o anteriormente atribuiacutedo resultando em um tom
96
de cinza mais claro do que o anterior Tal clarificaccedilatildeo pode ser entendida como um
movimento do escuro para o claro da atuaccedilatildeo ldquocegardquo para a ldquoniacutetidardquo em termos das questotildees
a serem ldquoesclarecidasrdquo por uma determinada atividade de Modelagem Matemaacutetica Ao
considerarmos os sujeitos como objetos da proacutepria atividade formativa o esclarecimento
parte inerente da subjetividade dos sujeitos engajados em tal espaccedilo em inter-relaccedilatildeo ao
objeto da atividade (questatildeo-problema a ser esclarecida) pode atingir um grau de magnitude
compatiacutevel com a participaccedilatildeo resultado da proacutepria experiecircncia na praacutetica social tendendo a
qualitativas modificaccedilotildees na agency e nas interaccedilotildees dos sujeitos na referida atividade
No proacuteximo capiacutetulo apresento os procedimentos utilizados e a metodologia
assumida no desenvolvimento da pesquisa relatada nesta tese
97
3 METODOLOGIA DE PESQUISA E PROCEDIMENTOS
Neste capiacutetulo apresento a abordagem teoacuterico-metodoloacutegica de construccedilatildeo99
e
anaacutelise dos dados o contexto em que esta pesquisa estaacute inserida bem como os procedimentos
metodoloacutegicos que foram adotados para a construccedilatildeo e anaacutelise desses dados
31 Por que a abordagem eacute qualitativa
Esta pesquisa estaacute inserida na aacuterea da Educaccedilatildeo Matemaacutetica localizada na aacuterea de
Ciecircncias Humanas que engloba questotildees relacionadas aos objetos de estudo da Educaccedilatildeo da
Matemaacutetica e da proacutepria Educaccedilatildeo Matemaacutetica Esses campos de pesquisa embora
compartilhem de praacuteticas sociais que na maioria das vezes estatildeo localizadas dentro das
instituiccedilotildees educacionais possuem interesses distintos em termos de pesquisa Mas como
um sujeito (neste caso eu professora de Caacutelculo em cursos de Engenharia) que passou grande
parte da vida trabalhando com Ciecircncias Exatas pode se encorajar a desenvolver uma pesquisa
na aacuterea das Ciecircncias Humanas A resposta para essa pergunta pode ser encontrada no
posicionamento de Arauacutejo e Borba (2006)
E quando um professor (de Matemaacutetica) se dispotildee a realizar uma pesquisa na aacuterea de
Educaccedilatildeo (Matemaacutetica) talvez seja porque ele vem problematizando sua praacutetica o
que poderaacute levaacute-lo a se dedicar com afinco ao desenvolvimento de uma pesquisa
originada desta problematizaccedilatildeo e para isso eacute preciso que ele sintetize suas
inquietaccedilotildees iniciais em uma (primeira) pergunta diretriz (ARAUacuteJO BORBA
2006 p 30)
Foi exatamente problematizando minha proacutepria atividade docente que busquei
pelo entendimento de questotildees relacionadas ao ensino de Caacutelculo em cursos de Engenharia
inicialmente a primeira pergunta diretriz que norteou a presente pesquisa foi de que forma a
Modelagem Matemaacutetica aliada a recursos computacionais pode melhor inter-relacionar a
99
Natildeo uso o termo coleta de dados por entender que o papel do pesquisador pode se configurar como aquele que
constroacutei dados para a pesquisa que se propotildee desenvolver Os dados natildeo podem ser coletados pelo simples
motivo de eles por vezes nem sequer existirem Soacute pode ser coletado o que existe O verbo coletar pode ser
sinocircnimo de juntar ou reunir algum objeto ou coisa Quando se utiliza esse verbo em pesquisas no sentido de
juntar ou reunir dados uma pressuposiccedilatildeo de que jaacute existam os dados a serem reunidos ou juntados eacute
considerada Contudo essa pressuposiccedilatildeo pode assumir caraacuteter falso quando o pesquisador vecirc-se em faces de
construir os dados que necessita visando buscar entendimento para a questatildeo que se propotildee investigar
98
disciplina de Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias agraves demais disciplinas ldquoteacutecnicasrdquo dos cursos
de Engenharia
Poreacutem ainda que Alves-Mazzotti (1999 p 147) considere que ldquoo foco da
pesquisa bem como as categorias teoacutericas e o proacuteprio design100
soacute deveratildeo ser definidos no
decorrer do processo de investigaccedilatildeordquo ela defende que
trabalhar de forma altamente indutiva deixando que o design e a teoria emerjam dos
dados eacute difiacutecil ateacute mesmo para pesquisadores mais experientes Quanto menos
experiente for o pesquisador mais ele precisaraacute de um planejamento cuidadoso sob
a pena de se perder num emaranhado de dados dos quais natildeo conseguiraacute extrair
qualquer significado (ALVES-MAZZOTTI 1999 p 148)
Refletindo acerca dos apontamentos de Alves-Mazzotti (1999) decidi tentar
perceber o movimento do foco e do design da pesquisa aqui relatada na tentativa de mesmo
que informalmente que o planejamento da pesquisa fosse cuidadoso e ao mesmo tempo
adotasse certo grau de flexibilidade Nesse processo de co-construccedilatildeo de foco e design da
pesquisa acabei por delinear a seguinte pergunta diretriz ldquoquais aprendizagens expansivas
podem ser evidenciadas pelas e nas atividades desenvolvidas por um Grupo de Estudos e
Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica (GEPMM) num contexto de formaccedilatildeo em
Engenhariasrdquo
Conforme exposto no capiacutetulo 1 a concepccedilatildeo de aprendizagem assumida na
pesquisa faz parte do referencial teoacuterico conhecido como Teoria Histoacuterico Cultural da
Atividade na qual um dos seus cinco princiacutepios afirma que a anaacutelise da atividade e dos
componentes que a formam deve sempre ser tomada em sua historicidade perceber o papel
das contradiccedilotildees no movimento de uma atividade torna possiacutevel tambeacutem a reconstituiccedilatildeo de
sua evoluccedilatildeo e do desenvolvimento de suas praacuteticas ao longo da histoacuteria Com isso entendo
que a abordagem metodoloacutegica histoacuterico-dialeacutetica que questiona fundamentalmente a visatildeo
estaacutetica da realidade considerando o caraacuteter dinacircmico contraditoacuterio e histoacuterico dos
fenocircmenos educativos deve ser considerada nesta investigaccedilatildeo Essa abordagem
metodoloacutegica considera que
Aquilo que hoje se apresenta diante de nossos olhos eacute apenas uma siacutentese do
processo histoacuterico em transformaccedilatildeo Por isso procura apresentar uma concepccedilatildeo
unitaacuteria coerente e orgacircnica do mundo fazendo da criacutetica seu modelo
100
ldquoO termo lsquodesignrsquo no que se refere agrave pesquisa tem sido traduzido como desenho ou planejamento O design
corresponde ao plano e agraves estrateacutegias utilizadas pelo pesquisador para responder agraves questotildees propostas pelo
estudo incluindo os procedimentos e instrumentos de coleta anaacutelise e interpretaccedilatildeo dos dados bem como a
loacutegica que liga entre si diversos aspectos da pesquisardquo (ALVES-MAZZOTTI 1999 p 147)
99
paradigmaacutetico mesmo porque natildeo haacute modelo teoacuterico ou siacutentese por melhor que
seja que decirc conta da realidade (FIORENTINI LORENZATO 2009 p 66)
Para tal abordagem eacute preciso entender os conflitos dos interesses aleacutem de
desvendar as contradiccedilotildees que emergem da realidade conforme preconizado pela Teoria da
Atividade Aleacutem disso natildeo basta compreender a realidade eacute preciso tambeacutem intervir nela
visando agrave emancipaccedilatildeo (libertaccedilatildeo) dos sujeitos (FIORENTINI LORENZATO 2009) O
entendimento dos conflitos de interesses pode ser enquadrado na anaacutelise das regras na
constituiccedilatildeo da comunidade e na divisatildeo do trabalho como referenciados no capiacutetulo 2
segundo a Teoria da Atividade proposta por Engestroumlm (1987) No sentido de natildeo bastar
compreender a realidade mas sobretudo intervir nela entende-se que o papel das
contradiccedilotildees segundo a Teoria da Atividade assumido como constituinte da forccedila motriz
capaz de promover transformaccedilotildees expansivas na atividade reafirma a necessidade de
intervenccedilotildees que podem estar relacionadas agraves possibilidades de emancipaccedilatildeo e liberdade dos
sujeitos partiacutecipes
Aleacutem disso entendo que tal orientaccedilatildeo metodoloacutegica coloca minha pesquisa em
consonacircncia com a abordagem qualitativa de investigaccedilatildeo Bogdan e Biklen (1994) utilizam a
expressatildeo investigaccedilatildeo qualitativa como sendo um termo geneacuterico no qual os dados
construiacutedos satildeo ricos em pormenores descritivos relacionados a pessoas locais e conversas e
o objetivo eacute investigar fenocircmenos em toda sua complexidade em um contexto real
Tendo em vista se tratar de uma investigaccedilatildeo de natureza qualitativa torna-se
pertinente analisar as suas caracteriacutesticas principais Bogdan e Biklen (1994) apresentam-nos
as cinco principais caracteriacutesticas da investigaccedilatildeo qualitativa que foram os princiacutepios
orientadores para esta pesquisa
1 Na investigaccedilatildeo qualitativa a fonte direta de dados101
eacute o ambiente natural
constituindo o investigador o instrumento principal
2 A investigaccedilatildeo qualitativa eacute descritiva
3 Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do que
simplesmente pelos resultados ou produtos
4 Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma indutiva
5 O significado eacute de importacircncia vital na abordagem qualitativa
Vale ressaltar que esses cinco princiacutepios orientam poreacutem natildeo necessariamente
definem e nem sequer limitam o uso da abordagem qualitativa em investigaccedilotildees como eacute o
101
Conforme apontado no iniacutecio deste capiacutetulo entendo que na investigaccedilatildeo qualitativa os dados satildeo construiacutedos
no ambiente natural que abriga o objeto da pesquisa
100
caso desta tese Assim podemos definir que a pesquisa se inclui em uma abordagem
qualitativa
Para que as atividades escolares possam ser transformadas expandidas
Engestroumlm (2002) afirma que eacute necessaacuterio antes de tudo questionar radicalmente o sentido e
o significado do contexto e com isso almejar a construccedilatildeo de um contexto alternativo mais
amplo As accedilotildees direcionadas para tal construccedilatildeo segundo Engestroumlm e Sannino (2010b)
podem ser sistematizadas em um ciclo de aprendizagem expansiva conforme explicitado no
capiacutetulo 2 Engestroumlm (2002) sugere que toda e qualquer atividade escolar deveria ser
preconizada por uma criacutetica meticulosa sobre seus conteuacutedos e procedimentos agrave luz de sua
histoacuteria Para o autor o contexto da criacutetica pressupotildee possibilidades de resistecircncia
questionamento contradiccedilatildeo e debate Nele os conteuacutedos e procedimentos satildeo considerados
sob a oacutetica da necessidade da coletividade afetada pela escolarizaccedilatildeo em termos histoacutericos
culturais e sociais
No toacutepico que segue definirei o contexto e os participantes assim como os
instrumentos de construccedilatildeo e anaacutelise de dados
32 Qual eacute o contexto e quem satildeo os sujeitos
Para alcanccedilar o objetivo da presente pesquisa inicialmente busquei uma
instituiccedilatildeo de ensino que se ocupasse da formaccedilatildeo de engenheiros Essa instituiccedilatildeo por
motivos logiacutesticos natildeo poderia estar muito distante da cidade em que resido Aleacutem disso
delimitei que ela fosse mantida pelo poder puacuteblico federal pois nelas a maioria dos
professores se dedica exclusivamente agraves atividades acadecircmicas de ensino pesquisa e
extensatildeo o que torna esses sujeitos propiacutecios ao engajamento como participantes da pesquisa
principalmente no que se refere agrave criaccedilatildeo do Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem
Matemaacutetica
Alves-Mazzotti (1999 p 162) elucida diversas questotildees a respeito da escolha do
campo onde seratildeo construiacutedos os dados bem como a respectiva escolha dos sujeitos nele
contidos
Ao contraacuterio do que ocorre com as pesquisas tradicionais a escolha do campo onde
seratildeo colhidos os dados bem como os participantes eacute proposital isto eacute o
101
pesquisador os escolhe em funccedilatildeo das questotildees de interesse do estudo e tambeacutem das
condiccedilotildees de acesso e permanecircncia no campo e disponibilidade dos sujeitos
Sendo assim a escolha da instituiccedilatildeo tambeacutem estava pautada pela facilidade de
diaacutelogo e entrosamento entre a pesquisadora e os docentes nela lotados que se constituiu
devido ao fato de a pesquisadora jaacute ter sido docente na instituiccedilatildeo escolhida sendo assim jaacute
tendo estabelecida uma relaccedilatildeo de amizade e confianccedila entre seus pares Outro fator que
tambeacutem foi levado em conta na escolha da instituiccedilatildeo foi o fato de a instituiccedilatildeo se dedicar
exclusivamente agrave formaccedilatildeo de engenheiros perfazendo um total de nove cursos oferecidos102
Esse fator foi levado em conta pelo simples motivo de todos os sujeitos supostamente
estarem focados em uma missatildeo comum ldquogerar sistematizar aplicar e difundir
conhecimento ampliando e aprofundando a formaccedilatildeo de cidadatildeos e profissionais
qualificados e contribuir para o desenvolvimento sustentaacutevel do paiacutes visando a melhoria da
qualidade de vidardquo (ESTATUTO UNIFEI 2003 p 2)
Considerando que esta pesquisa busca analisar as possibilidades para
aprendizagens expansivas evidenciadas nas e pelas atividades desenvolvidas por um Grupo de
Estudos e Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica cujo objeto idealizado pode ser entendido
como questotildees-problema natildeo matemaacuteticas e estudantes os sujeitos que estivessem dispostos a
engajarem em tal sistema de atividade poderiam se tornar participantes da pesquisa
A instituiccedilatildeo escolhida foi a Universidade Federal de Itajubaacute (UNIFEI) ndash campus
Itabira O campus expandido da Universidade Federal de Itajubaacute em Itabira foi criado em
agosto de 2008 inaugurando trecircs cursos de graduaccedilatildeo destinados agrave formaccedilatildeo de Engenheiros
Eletricistas de Materiais e de Computaccedilatildeo Na ocasiatildeo apenas dez professores compunham o
quadro de efetivos que lecionavam para cento e cinquenta alunos sendo cinquenta de cada
curso
Depois de escolhida a instituiccedilatildeo onde seria realizada a pesquisa iniciei a ida ao
campo Primeiramente em 16 de dezembro de 2011 reuni-me com o entatildeo diretor do campus
para expor o interesse em construir os dados na UNIFEI e discutir os objetivos da pesquisa
Na ocasiatildeo o diretor se mostrou entusiasmado com a pesquisa e sugeriu alguns nomes de
professores que poderiam se interessar em participar Aleacutem disso ele disse que atividades de
Modelagem Matemaacutetica segundo seu proacuteprio entendimento se aproximavam bastante dos
objetivos de uma abordagem metodoloacutegica que jaacute tinha sido colocada em praacutetica nos cursos
da UNIFEI poreacutem sem sucesso A abordagem a que ele se referia eacute o Problem-Based
102
Engenharia de Computaccedilatildeo Eleacutetrica de Materiais de Produccedilatildeo de Controle e Automaccedilatildeo da Mobilidade de
Sauacutede e Seguranccedila Ambiental Mecacircnica
102
Learning (PBL) que foi traduzida para o portuguecircs como Aprendizagem Baseada em
Problemas Filho e Ribeiro (2006) esclarecem que o PBL se originou na formaccedilatildeo em
Medicina e foi posteriormente empregado em outras formaccedilotildees profissionais sendo que
na formaccedilatildeo profissional a utilizaccedilatildeo do PBL deve necessariamente se adaptar agraves
particularidades da aacuterea de conhecimento aos atores (alunos e professores) agrave
instituiccedilatildeo agraves diretrizes que regem a educaccedilatildeo superior no paiacutes Entretanto algumas
caracteriacutesticas do PBL devem ser contempladas para que um meacutetodo possa ser
reconhecido como tal A caracteriacutestica mais importante no PBL eacute o fato de uma
situaccedilatildeo-problema sempre preceder a apresentaccedilatildeo dos conceitos necessaacuterios para
sua soluccedilatildeo Quer dizer a principal caracteriacutestica que difere o PBL de outros
meacutetodos ativos colaborativos centrados nos alunos no processo e da aprendizagem
baseada em casos (CBL) eacute o emprego de problemas para iniciar enfocar e motivar a
aprendizagem de conteuacutedos especiacuteficos e para promover o desenvolvimento de
habilidades e atitudes profissional e socialmente desejaacuteveis (FILHO RIBEIRO
2006 p 24)
A partir desse momento percebi que atividades geradas pelo PBL realmente se
aproximam metodologicamente de atividades de Modelagem Matemaacutetica em cursos de
Engenharia
Os sujeitos participantes da construccedilatildeo dos dados dessa pesquisa foram alunos e
professores da UNIFEI- campus Itabira No capiacutetulo 4 o contexto e sujeitos que participaram
desta pesquisa seratildeo apresentados com mais detalhes
Na proacutexima secccedilatildeo mostrarei os instrumentos que foram usados para a construccedilatildeo
e anaacutelise dos dados
33 Quais foram os procedimentos de construccedilatildeo dos dados
Para uma pesquisa qualitativa destaca-se a importacircncia da utilizaccedilatildeo de diferentes
procedimentos para a construccedilatildeo dos dados o que se denomina triangulaccedilatildeo que em uma
pesquisa qualitativa consiste na utilizaccedilatildeo de vaacuterios e distintos procedimentos para obtenccedilatildeo
de dados (ALVES-MAZZOTTI 1999)
Visando realizar uma triangulaccedilatildeo os procedimentos de construccedilatildeo e obtenccedilatildeo de
dados foram os seguintes
331 A constituiccedilatildeo do GEPMM e observaccedilatildeo participante em suas atividades
103
Inicialmente visando agrave criaccedilatildeo do GEPMM convidei alunos e professores dos
cursos de Engenharia da UNIFEI-Itabira O convite foi efetuado em 25 de outubro de 2012
na ocasiatildeo em que uma palestra intitulada ldquoModelagem Matemaacutetica e Aprendizagem Baseada
em Problemas convergecircncias possiacuteveisrdquo foi proferida por mim com o objetivo de suscitar o
interesse de alunos e professores em participar do grupo Aleacutem da palestra o convite para a
participaccedilatildeo no grupo foi postado na paacutegina da UNIFEI-Itabira ndash da rede social Facebook103
Foram realizadas entrevistas com os docentes e discentes que participaram do
GEPMM todas as discussotildees que aconteceram durante os encontros foram documentados por
meio de gravaccedilotildees em aacuteudio e viacutedeo aleacutem das notas de campo no diaacuterio de pesquisa (FLICK
2009) com o objetivo de tentar visualizar possiacuteveis aprendizagens expansivas que emergiriam
dos sistemas de atividade do GEPMM No referido projeto a atuaccedilatildeo da pesquisadora se
constitui como uma observaccedilatildeo participante
Segundo Flick (2009) a observaccedilatildeo consiste em uma habilidade cotidiana
metodologicamente sistematizada e aplicada em pesquisas qualitativas e a observaccedilatildeo pode se
caracterizar como participante ou natildeo participante A observaccedilatildeo participante eacute uma das
formas mais comumente utilizada em pesquisas qualitativas podendo ser definida como ldquouma
estrateacutegia de campo que combina simultaneamente a anaacutelise de documentos a entrevista de
respondentes e informantes a participaccedilatildeo e a observaccedilatildeo diretas e introspecccedilatildeordquo (DENZIN
1989 p 157-158 apud FLICK 2009 p 207)
Na observaccedilatildeo participante o pesquisador deve cada vez mais obter acesso ao
campo e agraves pessoas tornar-se um participante das praacuteticas sociais observadas e aleacutem disso a
observaccedilatildeo deve passar por um processo para se tornar cada vez mais concentrada nos
aspectos essenciais agraves questotildees da pesquisa (FLICK 2009 p 208)
A observaccedilatildeo participante pode ser descrita por Spradley (1980) por meio das
seguintes trecircs fases
1 Observaccedilatildeo descritiva ndash no iniacutecio serve para fornecer ao pesquisador uma
orientaccedilatildeo para o campo em estudo Fornece tambeacutem descriccedilotildees natildeo especiacuteficas e
eacute utilizada para apreender o maacuteximo possiacutevel a complexidade do campo e (ao
mesmo tempo) para desenvolver questotildees de pesquisa e linhas de visatildeo mais
concretas
2 Observaccedilatildeo focalizada ndash restringe a perspectiva do pesquisador agravequeles processos
e problemas que forem os mais essenciais para a questatildeo da pesquisa
3 Observaccedilatildeo seletiva ndash ocorre jaacute na fase final da coleta de dados e concentra-se em
encontrar mais indiacutecios e exemplos para os tipos de praacuteticas e processos descobertos
na segunda etapa (SPRADLEY 1980 p 34 apud FLICK 2009 p 207)
103
wwwfacebookcomunifeiitabira
104
Para Spradley (1980 apud FLICK 2009) uma das principais dificuldades da
observaccedilatildeo participante eacute fazer o problema em estudo se tornar ldquovisiacutevelrdquo pois se trata de uma
situaccedilatildeo social Assim a questatildeo principal da observaccedilatildeo participante eacute o que e como
observar para que a observaccedilatildeo se torne um instrumento uacutetil para o entendimento da questatildeo a
ser estudada Na tentativa de minimizar esse problema optei por um longo104
periacuteodo de
construccedilatildeo de dados para que esses dados pudessem me fornecer um leque de informaccedilotildees e
significados minimamente visiacuteveis a respeito da questatildeo e da problemaacutetica desta pesquisa
Delimitei como corpus para anaacutelise o processo de implementaccedilatildeo do GEPMM
sendo este composto pela filmagem em aacuteudio e viacutedeo da palestra ldquoModelagem Matemaacutetica e
Aprendizagem Baseada em Problemas convergecircncias possiacuteveisrdquo pela filmagem dos
primeiros dez encontros realizados no GEPMM e pelas entrevistas realizadas com os
componentes do grupo
Visando a facilitar a comunicaccedilatildeo entre os integrantes do GEPMM foi criado em
outubro de 2012 um grupo fechado no Facebook intitulado Modelagem Unifei Itabira Nesse
espaccedilo compartilhamos artigos documentos e quaisquer outros conteuacutedos ou informaccedilotildees
relacionados ao trabalho do GEPMM
332 As entrevistas iniciais e as finais com os integrantes do GEPMM
Com o objetivo de entender como os sujeitos percebem o papel das disciplinas de
Caacutelculo na formaccedilatildeo do profissional da Engenharia e quais accedilotildees metodoloacutegicas eles tecircm
observado na instituiccedilatildeo (dentro e fora da sala de aula) que busquem o cumprimento dos
papeacuteis apontados por eles mesmos uma entrevista inicial foi realizada Com isso busquei por
indiacutecios de inquietaccedilotildees e ou anaacutelise das atividades formativas de Caacutelculo dominantes na
instituiccedilatildeo que estivessem relacionados ao engajamento dos sujeitos no GEPMM sendo
considerada como uma nova forma de atividade natildeo dominante (SANNINO NOCON 2008)
Aleacutem disso na entrevista inicial realizada individualmente objetivei mais explicitamente a
elucidaccedilatildeo dos motivos que levaram os sujeitos agrave participaccedilatildeo no grupo
104
Longo periacuteodo se refere ao tempo gasto apenas com a construccedilatildeo dos dados que totalizaram 15 meses Esse
periacuteodo geralmente pode ser tido como longo ao considerarmos que o prazo de conclusatildeo do doutorado eacute de 48
meses e antes do 36ordm mecircs todos os dados e o esboccedilo da anaacutelise devem ser apresentados no exame de
qualificaccedilatildeo
105
Roteiro de entrevista inicial
Pergunta 1) Na sua concepccedilatildeo qual eacute o papel das disciplinas de Caacutelculo na
formaccedilatildeo do engenheiro
Pergunta 2) Quais accedilotildees metodoloacutegicas tecircm sido adotadas na instituiccedilatildeo visando
o cumprimento dos papeacuteis apontados anteriormente
Pergunta 3) Quais foram os motivos que o levaram a participar do grupo de
Modelagem Matemaacutetica
As entrevistas finais aconteceram apoacutes os sete primeiros encontros do GEPMM
Nessa fase de construccedilatildeo de dados busquei pelo entendimento dos limites e das
possibilidades que a participaccedilatildeo no grupo pocircde fornecer aos sujeitos participantes Limites e
possibilidades em termos de acesso ao grupo envolvimento com a proposta da atividade
experienciada por eles e possiacuteveis aprendizagens que pudessem ser evidenciadas nas
atividades desenvolvidas pelo GEPMM
Roteiro de entrevista final
Pergunta 1) Como vocecirc caracteriza sua participaccedilatildeo no GEPMM
Pergunta 2) Desde que vocecirc comeccedilou a participar do grupo quais os desafios
encontrados Como vocecirc buscou superar estes desafios
Pergunta 3) O que vocecirc aprendeu com sua participaccedilatildeo no GEPMM ateacute o
presente momento O que ainda espera aprender
34 Quais instrumentos foram usados para a anaacutelise
Engestroumlm (2001) pontua que qualquer teoria de aprendizagem deve buscar
respostas para as seguintes quatro questotildees 1) quem satildeo os sujeitos da aprendizagem 2) Por
que eles estatildeo aprendendo o que os faz esforccedilar 3) O que os faz aprender o que satildeo os
conteuacutedos e resultados da aprendizagem 4) Como fazecirc-los aprender o que satildeo as accedilotildees
chave ou processos de aprendizagem
Engestroumlm (2001) constroacutei um quadro de anaacutelise teoacuterica para a aprendizagem
expansiva cruzando os cinco princiacutepios da Teoria da Atividade agraves quatro questotildees
106
orientadoras para as teorias de aprendizagem Com isso para analisar uma atividade escolar
como uma praacutetica social coletiva por meio da Teoria da Aprendizagem Expansiva de
Engestroumlm eacute necessaacuterio preencher as entradas da seguinte matriz
Sistema de
Atividade como unidade
de anaacutelise
Multivocalidade Historicidade Contradiccedilotildees Ciclos
Expansivos
Quem satildeo os aprendizes
Por que eles
estatildeo aprendendo
O que os faz aprender
Como fazecirc-
los aprender
Tabela 1 - Matriz para anaacutelise da aprendizagem expansiva
Fonte Engestroumlm (2001 p 138)
Tomei como base empiacuterica para o preenchimento da matriz acima trechos das
entrevistas concedidas pelos docentes e discentes que se dispuseram a participar do GEPMM
e selecionei partes das dez reuniotildees do GEPMM documentadas em aacuteudio e viacutedeo que foram
convenientes para responder agrave questatildeo de pesquisa Primeiramente assisti ouvi e transcrevi
as entrevistas realizadas com os docentes e discentes engajados no GEPMM e gravadas em
aacuteudio e viacutedeo Fiz o mesmo com as gravaccedilotildees dos dez primeiros encontros do GEPMM
Selecionei trechos que pudessem me ajudar no preenchimento das entradas da referida matriz
Aleacutem disso extraiacute quatro temas de anaacutelise que convergiram no sentido de responder agrave questatildeo
que norteou a pesquisa Nessa pesquisa tais temas seratildeo denominados por modalidades
analiacuteticas
35 A formaccedilatildeo do GEPMM pode ser caracterizada como uma intervenccedilatildeo formativa
Engestroumlm e Sannino (2010b) afirmam que os ciclos de aprendizagem expansiva
podem ser investigados como processos que ocorrem naturalmente Contudo satildeo processos
bastante raros e difiacuteceis de documentar devido ao seu caraacuteter espacialmente e temporalmente
distribuiacutedo Aleacutem disso os autores apontam que nos processos de aprendizagem expansiva
107
mais importante ainda eacute o atendimento agraves demandas impostas para a soluccedilatildeo de contradiccedilotildees
urgentes em comunidades de trabalho visando sobretudo a atingir qualitativamente novos
modos de atividade de trabalho Tal demanda aliada ao legado intervencionista da teoria
histoacuterico-cultural da atividade ldquotem levado ao desenvolvimento e implementaccedilatildeo de
intervenccedilotildees formativas como uma metodologia para estudar aprendizagem expansivardquo 105
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 15 grifo meu)
Uma conceituaccedilatildeo para definir as intervenccedilotildees formativas decorre do legado
vigotskiano determinado pelo princiacutepio metodoloacutegico da dupla estimulaccedilatildeo As intervenccedilotildees
formativas podem ser entendidas pelo condensamento dos seguintes quatro pontos cruciais
1) Ponto de partida [] os sujeitos enfrentam um objeto problemaacutetico e
contraditoacuterio que eles analisam e expandem pela construccedilatildeo de um novo conceito
cujo conteuacutedo pode natildeo ser totalmente conhecido de antematildeo pelos pesquisadores
2) Processo [] o conteuacutedo e o curso da intervenccedilatildeo estatildeo sujeitos agrave negociaccedilatildeo e a
maneira da intervenccedilatildeo cabe eventualmente aos sujeitos Dupla estimulaccedilatildeo como o
mecanismo central implica que os sujeitos ganham agecircncia e assumem o comando
do processo
3) Resultado [] o objetivo eacute gerar um novo conceito que pode ser usado em outro
contexto como quadro para projetar uma nova soluccedilatildeo localmente apropriada Um
resultado chave da intervenccedilatildeo formativa eacute a agecircncia entre os participantes
4) Papel dos pesquisadores [] o pesquisador objetiva provocar e sustentar um
processo de transformaccedilatildeo expansiva conduzido pelos participantes e pertencente a
eles106
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 15 grifos dos autores)
Dessa forma a intervenccedilatildeo pode ser entendida como uma accedilatildeo intencional
realizada por um agente humano que objetiva uma transformaccedilatildeo qualitativa em determinada
praacutetica social o que inclui que o pesquisador natildeo tem qualquer diferenciaccedilatildeo hieraacuterquica
sobre a intervenccedilatildeo Aleacutem disso segundo Engestroumlm e Sannino (2010b p 15) ldquoos
pesquisadores natildeo devem esperar resultados satisfatoriamente alinhados com seus
esforccedilos107
rdquo
105
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquohas led to the development and implementation of formative interventions
as a methodology for studying expansive learningrdquo 106
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquo
1) Starting point [hellip] they face a problematic and contradictory object which they analyze and expand by
constructing a novel concept the contents of which are not known ahead of time to the researchers
2) Process [hellip] the contents and course of the intervention are subject to negotiation and the shape of the
intervention is eventually up to the subjects Double stimulation as the core mechanism implies that the subjects
gain agency and take charge of the process
3) Outcome [hellip] the aim is to generate new concepts that may be used in other settings as frames for the design
on locally appropriate new solutions A key outcome of formative interventions is agency among the
participants
4) Researcherrsquos role the researcher aims at provoking and sustaining an expansive transformation process led
and owned by the practitionersrdquo 107
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoResearchers should not expect nicely linear results from their effortsrdquo
108
O instrumento metodoloacutegico no qual se baseia na construccedilatildeo coletiva do GEPMM
pode ser entatildeo compreendido como uma intervenccedilatildeo formativa na qual o passado (antes
dela) e o presente (depois dela) tendem a se misturar eou se (con)fundir podendo fazer
emergir contradiccedilotildees Com isso a intervenccedilatildeo formativa pode assumir duplo caraacuteter de
tentar resolver contradiccedilotildees historicamente acumuladas e ao mesmo tempo provocar novos
niacuteveis de contradiccedilatildeo
No que segue apresento o contexto institucional em que os dados foram
construiacutedos Procurarei elucidar de um ponto de vista sociocultural quem satildeo os sujeitos da
pesquisa Assim dividirei o restante do capiacutetulo em duas partes a primeira delas focaraacute a
descriccedilatildeo da instituiccedilatildeo como um todo e das disciplinas de Caacutelculo que nela satildeo ofertados
enquanto a segunda parte focaraacute as atividades desenvolvidas pelo GEPMM Vale ressaltar que
tanto na primeira parte quanto na segunda os sujeitos seratildeo considerados como integrantes e
integradores do contexto isto eacute os sujeitos constituem e satildeo constituiacutedos pelo contexto de
forma indissociaacutevel No fim do capiacutetulo visando a iniciar o preenchimento da matriz para
anaacutelise da aprendizagem expansiva (ENGESTROumlM 2001) apresentada anteriormente busco
responder a pergunta quem satildeo e onde estatildeo os sujeitos da aprendizagem
36 O contexto institucional e as aulas de Caacutelculo
Primeiramente descreverei a instituiccedilatildeo onde os dados foram construiacutedos sua
origem proposta e cursos oferecidos A instituiccedilatildeo escolhida foi a Universidade federal de
Itajubaacute (UNIFEI) ndash campus Itabira Decidi comeccedilar este trabalho com a seguinte imagem
109
FIGURA 7 ndash Paacutegina inicial site UNIFEI-Itabira
Fonte UNIFEI 2013
A Figura 7 foi retirada do site da UNIFEI108
em 17022013 agraves 21h46 No texto
de apresentaccedilatildeo da instituiccedilatildeo pode-se observar que a gecircnese da UNIFEI-Itabira estaacute
alicerccedilada em uma parceria entre a Prefeitura Municipal de Itabira-MG a empresa mineradora
Vale (antiga Companhia Vale do Rio Doce (CVRD)) e o Ministeacuterio da Educaccedilatildeo (MEC) Na
figura tambeacutem se pode observar uma foto que foi tirada em agosto de 2008 com os primeiros
dez professores do campus e com os primeiros 150 alunos dos cursos de Engenharia da
Computaccedilatildeo de Materiais e Eleacutetrica perfazendo um total de 50 alunos por turma
O campus de Itabira foi consolidado como uma das expansotildees universitaacuterias do
Governo Federal ocorridas entre os anos 2006 e 2010 As condiccedilotildees iniciais de
funcionamento eram precaacuterias109
O campus da UNIFEI em Itabira estaacute incluiacutedo no Plano de
Reestruturaccedilatildeo e Expansatildeo das Universidades Federais Trecircs salas de aula foram emprestadas
por uma instituiccedilatildeo de ensino privada para a universidade nelas ocorriam as aulas dos trecircs
cursos de Engenharia exceto as aulas experimentais que ocorriam em um outro bairro da
cidade num preacutedio tambeacutem emprestado onde funcionava um Instituto de Tecnologia (ITEC)
108
httpwwwunifeiedubrdiversosunifei-campus-itabira 109
Lecionei no campus da Unifei ndash Itabira no segundo semestre do ano de 2008 ou seja no semestre de sua
inauguraccedilatildeo
110
Em marccedilo de 2009 as aulas foram transferidas para o ITEC e todo o
funcionamento do campus expandido de Itabira foi concentrado em algumas poucas salas de
aula denominadas pelos alunos por ldquotendasrdquo (por se pareceram com tendas de circo) Os
professores foram agrupados em gabinetes subdivididos e essa situaccedilatildeo permaneceu ateacute
novembro de 2011 quando um primeiro preacutedio do campus foi entregue Poreacutem devido agrave
escassez de espaccedilo fiacutesico para ocorrerem todas as atividades dos nove110
cursos de
Engenharia algumas turmas permanecem em funcionamento no preacutedio do ITEC Portanto a
vida acadecircmica dos alunos professores e teacutecnicos-administrativos se encontra fisicamente
particionada e literalmente separada por mais de 7 km A prefeitura disponibilizou ocircnibus
para o acesso ao campus visto que por estar localizado no distrito industrial o acesso eacute
difiacutecil e existem poucas linhas de ocircnibus em poucos horaacuterios por dia
O campus da UNIFEI dividido em duas partes na cidade de Itabira uma parte no
ITEC e a outra no distrito industrial da cidade foi palco para a construccedilatildeo de dados para a
pesquisa aqui relatada
As disciplinas da aacuterea de Matemaacutetica da UNIFEI-Itabira satildeo desenvolvidas do
primeiro ao quinto periacuteodo de todos os nove cursos de Engenharia da instituiccedilatildeo Satildeo elas
BAC 000 - Nome Matemaacutetica 0
Ementa Conjuntos Numeacutericos Nuacutemeros reais Polinocircmios Funccedilotildees Funccedilotildees
polinomiais Funccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Funccedilotildees compostas Limites e continuidade Introduccedilatildeo aos recursos numeacutericos e
computacionais (5 ha semanais = 75 ha semestrais)
BAC 019 - Nome Matemaacutetica I
Ementa Derivadas aplicaccedilotildees de derivadas integrais teoremas fundamentais do
caacutelculo aplicaccedilotildees de integrais e integraccedilatildeo numeacuterica (4ha semanais = 60 ha
semestrais)
BAC 020 - Nome Matemaacutetica II
Ementa Matrizes e sistemas lineares aplicaccedilotildees vetores no plano e no espaccedilo
espaccedilo vetorial subespaccedilo espaccedilo119877119899 autovalores e auto vetores transformaccedilotildees
lineares cocircnicas e quaacutedricas (4ha semanais = 60 ha semestrais)
BAC I21 - Nome Matemaacutetica III
Ementa Sequecircncias e seacuteries derivadas parciais coordenadas polares integrais
duplas (4ha semanais = 60 ha semestrais)
BAC 022 - Nome Matemaacutetica IV
Ementa Equaccedilotildees diferenciais de ordem um Meacutetodos Numeacutericos Equaccedilotildees
diferenciais de ordem dois Equaccedilotildees diferenciais lineares de ordem maior que dois
Soluccedilotildees em seacuterie para equaccedilotildees lineares de ordem dois (4ha semanais = 60 ha
semestrais)
BAC 023 - Nome Matemaacutetica V
Ementa Funccedilotildees vetoriais integrais triplas caacutelculo vetorial (4ha semanais = 60
ha semestrais)
BAC 024 - Nome Matemaacutetica VI
Ementa Transformada de Fourier transformada de Laplace seacuterie de Fourier
110
Engenharia Ambiental da Computaccedilatildeo Mecacircnica de Controle e Automaccedilatildeo de Produccedilatildeo de Materiais de
Sauacutede e Seguranccedila Eleacutetrica e da Mobilidade
111
equaccedilotildees diferenciais parciais e problemas de contorno e valor inicial (4ha
semanais = 60 ha semestrais)111
A disciplina BAC 000 eacute oferecida no primeiro periacuteodo as disciplinas BAC 019 e
020 satildeo oferecidas no segundo periacuteodo as disciplinas BAC 022 e BAC I21 satildeo oferecidas no
terceiro periacuteodo a disciplina BAC 023 eacute oferecida no quarto periacuteodo e a disciplina BAC 024 eacute
oferecida no quinto periacuteodo de todos os nove cursos de Engenharia da UNIFEI-Itabira Vale
ressaltar que apenas a disciplina BAC 020 (Matemaacutetica II) natildeo perfaz conteuacutedos de Caacutelculo
Todas as outras disciplinas de Matemaacutetica na instituiccedilatildeo constituem o corpo de conteuacutedos
conhecido como Caacutelculo Diferencial e Integral
Uma importante112
observaccedilatildeo a respeito das disciplinas de Caacutelculo componentes
das grades curriculares dos cursos de Engenharia da UNIFEI-Itabira eacute o fato de a disciplina
Caacutelculo Numeacuterico natildeo aparecer na grade curricular como forma de uma disciplina uacutenica
Geralmente essa disciplina compotildee as grades curriculares dos cursos de Engenharia por se
tratar de uma importante ferramenta de resoluccedilatildeo de variados problemas da aacuterea da
Engenharia Para Herbster e Brito (2005 p 1)
[] a disciplina Caacutelculo Numeacuterico conforme classificaccedilatildeo do Ministeacuterio da
Educaccedilatildeo e Cultura eacute disciplina da aacuterea baacutesica de formaccedilatildeo dos cursos de
Engenharia O objetivo geral dessa disciplina eacute introduzir os fundamentos de
Meacutetodos Numeacutericos e aplicar os conhecimentos de programaccedilatildeo jaacute adquiridos na
implementaccedilatildeo computacional dos meacutetodos
Na instituiccedilatildeo os conteuacutedos geralmente englobados na disciplina Caacutelculo
Numeacuterico aparecem ldquodiluiacutedosrdquo nas disciplinas BAC 000 (Introduccedilatildeo aos recursos numeacutericos e
computacionais) BAC 019 (Integraccedilatildeo Numeacuterica) e BAC 022 (Meacutetodos Numeacutericos)
37 As atividades do GEPMM e os sujeitos envolvidos
111
Disponiacutevel em
httpwwwportalacademicounifeiedubrindexphplink=cursosamppaineis=cab1Panel1|cab2Panel1|contPanel1|c
abPanel2|contPanel2|pePanel2ampcursocod=071amplocalcod=C02ampcursomod=NaNampsubsistema=gradampsubsistema
=grad (consulta realizada em 18022013 agraves 17h02) 112
Como foco desta pesquisa ndash as disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia ndash considero todos os
conteuacutedos que geralmente configuram as disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia no Brasil incluindo
assim todas as disciplinas BAC descritas acima exceto a disciplina BAC 020 (Matemaacutetica II) e ainda os
conteuacutedos que configuram a disciplina Caacutelculo Numeacuterico introduccedilatildeo aos meacutetodos numeacutericos e computacionais
Soluccedilatildeo numeacuterica de equaccedilotildees natildeo lineares Interpolaccedilatildeo e aproximaccedilotildees Derivaccedilatildeo e integraccedilatildeo numeacuterica
Meacutetodos numeacutericos de resoluccedilatildeo de sistemas de equaccedilotildees lineares Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias por meacutetodos numeacutericos
112
Em uma das visitas agrave instituiccedilatildeo conheci uma aluna que cursava o terceiro
periacuteodo do curso de Engenharia da Mobilidade que chamarei de Mary113
Comeccedilamos a
conversar sobre as disciplinas de Caacutelculo que ela jaacute tinha cursado na instituiccedilatildeo Ela comeccedilou
a me dizer que tinha um professor de Caacutelculo cujas aulas ela gostava muito e que ela aprendia
muito participando das atividades que ele propunha Fez vaacuterias comparaccedilotildees em relaccedilatildeo agraves
metodologias utilizadas pelos professores da aacuterea de Matemaacutetica que jaacute tinham sido
professores dela na instituiccedilatildeo Fiquei interessada em conhecer esse professor e convidaacute-lo
para participar da constituiccedilatildeo do GEPMM Anotei o nome do professor no caderno de campo
e posteriormente o encontrei pessoalmente no campus da UNIFEI-Itabira no ITEC Esse
professor seraacute chamado em todo o texto que segue por Angel
No encontro que tive com Angel expliquei quais eram os objetivos da pesquisa
que eu estava desenvolvendo na instituiccedilatildeo quais eram os passos de construccedilatildeo de dados e
como seria a participaccedilatildeo dele nessa jornada caso aceitasse participar Mesmo deixando claro
para mim que ele estava muito atarefado com a docecircncia projetos de pesquisa extensatildeo e
com demandas administrativas ele concordou em participar ativamente da pesquisa Desde
entatildeo a construccedilatildeo de dados pocircde se iniciar ndash a formaccedilatildeo do GEPMM Angel e eu
comeccedilamos entatildeo a planejar os proacuteximos passos para a criaccedilatildeo do GEPMM
371 Angel
Angel eacute licenciado em Matemaacutetica e mestre em Engenharia Eleacutetrica Atua no
serviccedilo puacuteblico federal como docente desde 2011 Anteriormente atuou como professor em
uma instituiccedilatildeo particular de ensino superior localizada na cidade de Belo Horizonte-MG
Angel acredita114
que o papel das disciplinas de Caacutelculo num contexto de
formaccedilatildeo em Engenharias configura-se como uma base formadora no que diz respeito agraves
ferramentas que os alunos vatildeo adquirindo com o objetivo de as aplicarem nas disciplinas
113
Todos os nomes de alunos e professores seratildeo fictiacutecios Com isso objetivo preservar a identidade por
questotildees eacuteticas 114
Todas as descriccedilotildees das concepccedilotildees explicitadas pelo professor Angel satildeo baseadas nas entrevistas inicial e
final concedidas a mim por ele As entrevistas foram gravadas em aacuteudio e viacutedeo No texto que segue todos os
excertos das entrevistas transcritas e citadas foram retirados das entrevistas iniciais e finais realizadas com os
sujeitos que aceitaram o convite de participaccedilatildeo no GEPMM
113
teacutecnicas dos cursos Entatildeo para ele o Caacutelculo eacute considerado como uma base teoacuterica para o
desenvolvimento das disciplinas formadoras ldquode cidadatildeos altamente qualificados para o
exerciacutecio profissionalrdquo (ESTATUTO UNIFEI 2003 p 2) Ao ser questionado a respeito das
propostas metodoloacutegicas que tecircm sido desenvolvidas na UNIFEI-Itabira objetivando o
cumprimento dos papeis das disciplinas de Caacutelculo na formaccedilatildeo em Engenharia apontados
por ele mesmo nos conta
Aqui na instituiccedilatildeo basicamente aqui na UNIFEI campus Itabira pelo menos assim
no grupo nosso da Matemaacutetica porque noacutes somos digamos relativamente isolados
dos grupos das Engenharias entatildeo em termos de nossas reuniotildees e tudo mais a
gente define assim habilidades chaves ou seja em termos de conhecimentos
matemaacuteticos que ele deve ter diante das diversas ferramentas para poder vamos
dizer assim estar delimitando essa base formadora do aluno Agora assim em
termos institucionais a gente natildeo tem reuniotildees perioacutedicas ou algum tipo de
ferramenta ou algum tipo de consultoria externa para estar atuando junto da
instituiccedilatildeo para estar delimitando aiacute essa linha formadora do aluno Entatildeo aiacute a
gente se sente muito livre para estar aplicando esta ou aquela metodologia se der
certo bem se natildeo der tambeacutem ok Entatildeo assim em termos institucionais natildeo tem
nada assim digamos constituiacutedo ou em constituiccedilatildeo pra taacute melhorando isso natildeo
Tem assim que estaacute sendo muito ventilado eacute a questatildeo do PBL Poreacutem estaacute ainda
muito incipiente e agora estaacute mudando de reitor e a gente natildeo sabe o que vai
acontecer
Sobre as metodologias utilizadas por ele e os demais colegas docentes da aacuterea de
Caacutelculo ele nos conta
Ah basicamente assim pelo que eu converso com os outros colegas eacute o meacutetodo
tradicional mesmo livros passar no quadro exerciacutecios nada assim muito diferente
do cotidiano natildeo eu eacute que no semestre passado adotei assim digamos uma
metodologia diferente pra verificar [] assim qual seria a percepccedilatildeo do aluno
diante desse novo modelo entatildeo na primeira etapa do periacuteodo eu adotei o que seria
o procedimento padratildeo aula expositiva exerciacutecios trabalhos em equipe e depois
prova e jaacute na segunda etapa as aulas expositivas foram trocadas para aulas de tirar
duacutevidas entatildeo os alunos se reuniam para desenvolverem exerciacutecios em grupos jaacute
que as aulas jaacute tinham sido disponibilizadas em slides no portal acadecircmico entatildeo o
meu papel era apenas de estar lapidando essas duacutevidas que iriam aparecendo
diante das discussotildees dos grupos Assim para alguns alunos isso foi oacutetimo
principalmente aqueles que jaacute tecircm um bom desempenho nato e outros que jaacute satildeo
preguiccedilosos natildeo querem nada com a dureza encostaram nos outros colegas do
grupo e ficou assim aquele parasitismo durante a segunda etapa do periacuteodo [] aiacute
eu fiz uma avaliaccedilatildeo em dupla e o resultado foi realmente muito bom embora eu
natildeo possa mensurar o quatildeo desse conhecimento individual foi absorvido por cada
aluno
Durante a conversa que tive com a aluna Mary ela relatou sua adaptaccedilatildeo como
aluna da disciplina BAC 020 com a proposta metodoloacutegica descrita anteriormente pelo
professor Angel Ela enfatizou que natildeo gostava de assistir agraves aulas expositivas e que preferia
estudar os slides disponibilizados no portal pelo professor o que ela poderia fazer qualquer
114
dia qualquer horaacuterio e em qualquer lugar Para ela era bem mais produtivo dessa forma
embora alguns colegas dela natildeo tenham se adaptado tatildeo bem a essa proposta de ensino
Em seguida perguntei ao professor Angel se ele costumava abordar algum tipo de
aplicaccedilatildeo em suas aulas
Eu gosto muito dessa questatildeo praacutetica assim porque eu vejo o seguinte na minha
concepccedilatildeo vocecirc tem que ensinar pros alunos aquelas habilidades matemaacuteticas
mesmo a operacionalizar trabalhar com estruturas matemaacuteticas obter o resultado
e aleacutem disso eu sempre tento assim na medida do possiacutevel linkar aquele assunto
com algum conteuacutedo praacutetico Soacute que como a turma eacute vamos dizer assim muito
heterogecircnea em termos de vaacuterias engenharias natildeo tem como eu focar por exemplo
um problema especiacutefico de Engenharia Eleacutetrica ou um problema especiacutefico de
Engenharia Mecacircnica ou um problema especiacutefico da Computaccedilatildeo entatildeo agraves vezes eu
seleciono um problema que eacute direcionado agrave parte eleacutetrica igual por exemplo
Sistemas Lineares eu comecei com uma parte motivacional a partir de um problema
de circuito eleacutetrico Entatildeo eu dei laacute vaacuterias fontes de energia de um circuito todo
montado resistor e tudo mais entatildeo vocecirc usa aquelas leis da eleacutetrica cai em um
sistema linear e depois resolve [] pelo menos eu jaacute dei um horizonte para ele jaacute
vislumbrar ndash olha isso daqui eu realmente vou precisar laacute pra frente
Depois disso questionei-o sobre algum tipo de parceria entre grupos de
professores de aacutereas correlatas na instituiccedilatildeo Perguntei se por exemplo o grupo de
professores da aacuterea de Fiacutesica desenvolvia algum tipo de trabalho juntamente com os
professores da aacuterea da Matemaacutetica Ele respondeu
Eu pelo menos em termos de reuniatildeo nunca houve Eacute soacute mesmo os grupos da
matemaacutetica grupo da fiacutesica grupo da engenharia de materiais grupo da
engenharia de produccedilatildeo sempre aqueles grupos segregados [] eu acho que seria
fantaacutestico se houvesse essa integraccedilatildeo que muitas vezes um professor laacute de por
exemplo laacute do curso de Engenharia da Mobilidade de construccedilatildeo civil ele taacute laacute
fazendo experimentos e gerando resultados seraacute que ele natildeo poderia estar
utilizando os conhecimentos de um professor da aacuterea de matemaacutetica [aponta para
ele mesmo] para estar melhorando os experimentos com algo que ele ainda natildeo
saiba usar de matemaacutetica Seria interessante tambeacutem para os alunos poderem ver
essa interligaccedilatildeo soacute que haacute aquela questatildeo assim vamos dizer assim das vaidades
intriacutensecas da carreira de docente que realmente torna essa tarefa um pouco
complicada [risos]
Logo apoacutes esse momento questionei-o se aleacutem da vaidade quais seriam outros
motivos pelos quais essa interligaccedilatildeo entre as aacutereas natildeo acontecia na instituiccedilatildeo Ele responde
que a questatildeo da ldquoautonomia universitaacuteriardquo eacute adotada de forma ampla nas universidades
federais no Brasil ou seja os docentes geralmente trabalham de forma autocircnoma sem se
preocupar com o que o colega estaacute fazendo ou deixando de fazer Ele acredita que para que
mudanccedilas ocorram as ordens tecircm que ser dadas ldquode cima para baixordquo115
Poreacutem mesmo que
115
Nas palavras de Angel durante a entrevista inicial
115
mudanccedilas sejam impostas esbarrariam na questatildeo da ldquovaidaderdquo116
dos docentes na vontade
deles de dialogar trabalhar realmente em equipe Ele conta que anteriormente ao trabalho
como servidor puacuteblico trabalhou em uma instituiccedilatildeo de ensino superior da rede particular e
que laacute os professores tinham o dever de participar de reuniotildees e seminaacuterios para discutirem as
praacuteticas pedagoacutegicas Nesses seminaacuterios eles compartilhavam experiecircncias boas e ruins
faziam leituras discutiam e refletiam acerca das posturas de cada um Para Angel era muito
bom conhecer as praacuteticas pedagoacutegicas dos colegas Isso o fazia (re)pensar sua proacutepria praacutetica
e o ajudava a tomar atitudes futuras para melhoraacute-la Apoacutes esse relato perguntei se ele sentia
que essa obrigaccedilatildeo (de participar destas atividades semestrais) exercia algum tipo de
influecircncia na atitude dos professores durante o semestre Ele respondeu
Ah um pouco sim porque querendo ou natildeo emprego privado cecirc sabe como eacute que eacute
neacute Entatildeo assim digamos se vocecirc taacute no ritmo taacute tudo dando certo vocecirc se perpetua
naquela empresa caso contraacuterio vocecirc eacute excluiacutedo Entatildeo assim havia um
direcionamento pra taacute tendo justamente esses novos meacutetodos esses novos meios de
ensino em prol da instituiccedilatildeo porque senatildeo vocecirc era cortado da instituiccedilatildeo
Em seguida questionei o professor se na opiniatildeo dele esse tipo de ambiente de
discussatildeo estava faltando na UNIFEI Ele respondeu que sim natildeo soacute na UNIFEI mas em
muitas universidades federais citando vaacuterios exemplos de colegas que trabalham nessas
instituiccedilotildees e reafirmou que a questatildeo da autonomia dos professores acaba criando essa
cultura do individualismo entre os professores das universidades tornando esse problema uma
questatildeo delicada
Em suma com base na entrevista inicial concedida a mim o professor Angel
parece se preocupar em estabelecer relaccedilotildees entre as disciplinas lecionadas por ele nos cursos
de Engenharia da UNIFEI-Itabira e outras aacutereas do conhecimento estaacute sempre aberto para
responder as duacutevidas trazidas pelos alunos sente falta de um ambiente de discussatildeo a respeito
das questotildees pedagoacutegicas dos cursos de Engenharia percebe que questotildees individuais
relacionadas agrave subjetividade dos professores podem estar impedindo mudanccedilas que poderiam
melhorar a educaccedilatildeo em Engenharia fornecida pela UNIFEI-Itabira preocupa-se em motivar
os alunos apresentando questotildees que abordam problemas oriundos de aacutereas correlatas agraves
disciplinas natildeo matemaacuteticas dos cursos de Engenharia critica o predomiacutenio de aulas
expositivas e incentiva uma participaccedilatildeo mais ativa dos alunos demonstra perceber na
contemporaneidade que os recursos tecnoloacutegicos disponiacuteveis podem ser poderosos aliados
116
Nas palavras de Angel durante a entrevista inicial
116
nos processos de ensino-aprendizagem em cursos de Engenharia e por fim parece ser um
professor aberto ao diaacutelogo
Objetivando dar prosseguimento agrave apresentaccedilatildeo dos sujeitos partiacutecipes do
GEPMM retomarei o momento apoacutes a palestra117
ter sido proferida por mim na UNIFEI-
Itabira em outubro de 2012 ocasiatildeo em que o convite para participaccedilatildeo no grupo foi feito agrave
comunidade e tambeacutem a data do primeiro encontro do grupo foi marcada Ao teacutermino da
palestra uma professora denominada por mim de Clarice veio ateacute mim (ainda estava agrave frente
do auditoacuterio) informando que gostaria de participar do grupo Agradeci a disponibilidade e a
reencontrei no primeiro encontro
372 Clarice
Clarice eacute bacharel em Matemaacutetica e mestre em Matemaacutetica Aplicada Atua como
docente no serviccedilo puacuteblico federal desde 2009
Com base na entrevista inicial percebi que a professora Clarice acredita que as
disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia desempenham importante papel para uma
soacutelida formaccedilatildeo desse perfil profissional Contudo ao ser questionada afirma que sempre
escuta de seus colegas docentes das disciplinas teacutecnicas dos cursos de Engenharia que
Caacutelculo eacute importante que natildeo eacute para ela aprovar alunos sem o devido conhecimento que o
Caacutelculo eacute essencial e com isso ela acredita na importacircncia das disciplinas de Caacutelculo
realmente tomando-as como disciplinas baacutesicas no sentido estrito da palavra ndash base Afirma
ainda que nunca viu o trabalho do engenheiro para saber como eacute realmente a importacircncia do
Caacutelculo nesse trabalho Com base nas falas dos colegas professoresengenheiros ela afirma
que alunos que natildeo aprendem bem Caacutelculo ficam prejudicados em sua formaccedilatildeo como
engenheiros pois ela supotildee que o Caacutelculo eacute preacute-requisito118
de outras vaacuterias disciplinas na
grade curricular nas quais o Caacutelculo deve ser bastante uacutetil e indispensaacutevel para o
entendimento dos conteuacutedos dessas disciplinas (teacutecnicas)
117
Palestra intitulada por ldquoModelagem Matemaacutetica e Aprendizagem Baseada em Problemas convergecircncias
possiacuteveisrdquo A palestra foi proferida por mim em 25 de outubro de 2012 com o objetivo de suscitar o interesse de
alunos e professores em participarem do grupo sendo gravada em aacuteudio e viacutedeo 118
Natildeo haacute preacute-requisito formal de disciplinas na UNIFEI-Itabira A professora Clarice de certo estava referindo
a outras instituiccedilotildees brasileiras que em sua grande maioria estabelecem disciplinas de Caacutelculo como preacute-
requisito para outras disciplinas dos cursos de Engenharia Ou ainda ela estivesse se referindo a preacute-requisitos de
conteuacutedos natildeo de disciplinas
117
Clarice afirma que na instituiccedilatildeo as disciplinas de Caacutelculo natildeo tecircm sido
trabalhadas de forma a cumprir efetivamente seu papel dentro dos cursos de Engenharia
Depois de assistir agrave palestra ela afirma ter pensado sobre o assunto e que acredita que a
Modelagem Matemaacutetica pode ser uma possibilidade para o ensino em Engenharia Nas
palavras dela
Inclusive eu tava conversando com uns colegas outro dia que uma disciplina
interessante seria tipo um curso de Modelagem Matemaacutetica como uma disciplina
eletiva para aqueles interessados e assim por diante noacutes natildeo estamos exatamente
trabalhando o Caacutelculo com aplicaccedilotildees para os alunos as aplicaccedilotildees satildeo teoacutericas
mesmo coisas baacutesicas mesmo
Ela demonstrou incocircmodo em relaccedilatildeo agraves aulas mais teoacutericas afirmando que ateacute
onde ela tinha conhecimento as disciplinas de Caacutelculo nos cursos de Engenharia da Unifei-
Itabira eram baseadas apenas nas teorias que configuram os livros didaacuteticos de Caacutelculo Nas
palavras de Clarice
Como noacutes aqui muitos de noacutes eu natildeo posso falar por todos os professores eu natildeo
conheccedilo o meacutetodo de trabalho de todos eles mas ateacute o momento que eles
comentam comigo eles falam que a aula eacute mais teoacuterica mesmo eacute passar o que taacute
no livro ali e fica muita coisa sem passar porque a aula eacute muito pouca neacute Chega a
quase ser ruim porque o curso eacute incompleto entatildeo seria um curso de Modelagem
Seria para visar as aplicaccedilotildees mesmo colocar num periacuteodo onde os alunos jaacute
tenham visto as disciplinas baacutesicas e focar em aplicaccedilotildees apenas para ele ver ali
ter um contato mesmo com aplicaccedilotildees poderiacuteamos tratar de teoria como jaacute tem em
alguns livros de aplicaccedilotildees muito bons inclusive de Equaccedilotildees Diferenciais e
buscarmos tambeacutem problemas do dia a dia para colocar laacute entatildeo eu sei que tem
professores aqui que gostam dessa aacuterea mas no momento seria bom mas natildeo eacute real
ainda porque falta professor para colocar uma disciplina assim
Clarice me pareceu ser uma profissional aberta a mudanccedilas em busca de novas
possibilidades em prol da melhoria do desempenho de seu trabalho como professora e
dedicada as suas atribuiccedilotildees no cargo que ocupa na instituiccedilatildeo
373 Robson
Ainda no dia da palestra outro professor que seraacute denominado de Robson
manifestou-se interessado em participar do GEPMM Ele natildeo eacute professor de nenhuma
disciplina de Caacutelculo na UNIFEI-Itabira Ele eacute graduado e mestre em Engenharia Metaluacutergica
118
e doutor em Ensino de Ciecircncias e Matemaacuteticas Atua como docente na UNIFEI-Itabira desde
2010 O professor Robson aleacutem de ser graduado em Engenharia tambeacutem possui graduaccedilatildeo
em Licenciatura em Computaccedilatildeo e Odontologia Ele mesmo se define como uma pessoa de
formaccedilatildeo ecleacutetica e afirma sofrer um pouco com isso
Robson demonstrou acreditar que as disciplinas de Caacutelculo satildeo de crucial
importacircncia para a formaccedilatildeo dos engenheiros pois para ele o trabalho do engenheiro
consiste da aplicaccedilatildeo de conceitos matemaacuteticos fiacutesicos e quiacutemicos na resoluccedilatildeo de
problemas por exemplo de construccedilatildeo manutenccedilatildeo projeto e operaccedilatildeo sendo estes tiacutepicos
do trabalho da aacuterea de engenharia
Robson nos contou ainda que apoacutes a reforma universitaacuteria ocorrida no Brasil
em 1968 as disciplinas que compotildeem a grade curricular dos cursos de Engenharia foram
atribuiacutedas a departamentos Pontuou que com a departamentalizaccedilatildeo das universidades
esperava-se que os docentes que lecionassem disciplinas correlatas estivessem mais ldquopertordquo
para poderem trocar informaccedilotildees compartilhar conhecimentos e trabalharem coletivamente
Contudo em sua visatildeo os professores ficaram especializados ateacute demais nas aacutereas mas
apenas nelas Conta-nos ainda que antes de 1968 os docentes que lecionavam as disciplinas
de Caacutelculo em cursos de Engenharia eram engenheiros e apoacutes 1968 os docentes para
lecionarem qualquer disciplina de Matemaacutetica em qualquer curso de graduaccedilatildeo passaram a
ser formados em departamentos de Matemaacutetica
Natildeo soacute na instituiccedilatildeo mas o que a gente observa em vaacuterias instituiccedilotildees eacute que existe
um certo distanciamento entre os matemaacuteticos e os outros professores em geral dos
cursos de Engenharia salvo alguns trabalhos que a gente acompanha na tentativa
de se juntar essas aacutereas por meio de projetos transversais projetos
interdisciplinares multidisciplinares eacute alguma coisa que junte os profissionais
diferentes mas normalmente essas aacutereas estatildeo bem desconexas porque na
contrataccedilatildeo de professores normalmente vocecirc pega matemaacuteticos puros agora o
que taacute faltando muito satildeo professores que tenham assim conceitos de Educaccedilatildeo
Matemaacutetica [] os matemaacuteticos que noacutes temos aqui na instituiccedilatildeo eles estatildeo um
pouco distanciados em relaccedilatildeo aos engenheiros
Ainda que o convite para a participaccedilatildeo no grupo tenha sido amplamente feito na
instituiccedilatildeo poucos alunos o aceitaram No primeiro encontro apenas dois alunos
participaram a Taty e o Joseacute Taty aceitou o convite feito na paacutegina da UNIFEI na rede social
Facebook e Joseacute aceitou o convite feito em sala de aula pela professora Clarice jaacute que era
aluno dela naquele semestre Ambos se mudaram para Itabira para cursarem Engenharia na
UNIFEI Taty veio de uma cidade do interior de Satildeo Paulo e Joseacute veio de uma cidade do
interior de Minas Gerais
119
374 Taty
Taty cursava o sexto periacuteodo do curso de Engenharia da Computaccedilatildeo e estava
concluindo uma pesquisa na qual era bolsista de iniciaccedilatildeo cientiacutefica Afirmou natildeo estar
gostando da aacuterea que estava atuando como pesquisadora e decidiu participar do grupo
Durante a entrevista inicial ao ser questionada sobre o papel das disciplinas de Caacutelculo em
cursos de engenharia Taty afirmou ser de ldquoextrema importacircnciardquo pois o que diferencia a
formaccedilatildeo em engenharia em sua concepccedilatildeo seria ldquojuntar todas as disciplinas do ciclo
baacutesico fiacutesica quiacutemica matemaacutetica com as disciplinas de formaccedilatildeo especiacuteficardquo Contudo
parece que tal junccedilatildeo natildeo ocorre de forma expliacutecita nos cursos da instituiccedilatildeo A proacutepria
estrutura curricular que separa os conteuacutedos em disciplinas parece contradizer ou mesmo natildeo
reforccedilar a concepccedilatildeo de formaccedilatildeo em engenharia apontada pela aluna
Em seguida questionei a aluna quais seriam especificamente os papeacuteis das
disciplinas de Caacutelculo no curso de Engenharia da Computaccedilatildeo Para ela
no curso de Computaccedilatildeo a matemaacutetica que a gente vecirc eacute uma parte bem loacutegica neacute
aleacutem da loacutegica o curso tem muitas mateacuterias da parte de eletrocircnica neacute eletrocircnica
digital analoacutegica e principalmente na digital a gente usa muito Aacutelgebra Booleana
e a aacutelgebra Booleana ela tem nos postulados eacute semelhante agrave Aacutelgebra Linear ateacute
certo ponto Na parte de computaccedilatildeo a gente vecirc mais a questatildeo da loacutegica e se vocecirc
for direcionar sua carreira vocecirc vai trabalhar com conceitos de BigData que
envolve necessariamente conhecimento mais avanccedilados de matemaacutetica ou
computaccedilatildeo graacutefica que envolve Aacutelgebra Linear
Naquele momento percebi que a aluna poderia natildeo ter entendido bem a pergunta
pois ela estava focando em conhecimentos matemaacuteticos ligados agrave Aacutelgebra e meu interesse
eram os conhecimentos do Caacutelculo Entatildeo refiz a pergunta e ela respondeu ldquoNossa Rutyele
que difiacutecil heinrdquo Apoacutes alguns instantes pensando Taty continua ldquoentatildeo Rutyele eu tocirc
achando complicado achar uma resposta pra vocecirc porque por exemplo eu sei que o pessoal
de Eleacutetrica usa em mil coisas mas natildeo eacute o meu caso entatildeo eu natildeo sei te dizer ainda saberdquo
Embora Taty tenha afirmado que os conteuacutedos de Caacutelculo sejam importantes para a formaccedilatildeo
em Engenharia ela natildeo sabe descrever qual seria o papel dessas disciplinas em seu curso Ela
continuou
120
O que eu vivencio eacute uma seacuterie de Caacutelculos dados em sequecircncia seguindo assim
uma certa [] buscando coerecircncia mesmo no desenvolvimento dos conceitos neacute
comeccedilando da parte mais simples limite derivada depois integraccedilatildeo depois
seacuteries neacute tem uma sequecircncia que a gente vai acompanhando e a partir de
determinado ponto que geralmente inicia no segundo periacuteodo com Fiacutesica I vocecirc jaacute
comeccedila a ter disciplinas que exige m esse conhecimento e vocecirc vai aplicaacute-lo caso
vocecirc tenha aprendido independentemente na disciplina isolada de Caacutelculo I
Caacutelculo II Caacutelculo III daiacute vocecirc vai comeccedilar a aplicar isso nas especiacuteficas neacute em
eletromagnetismo em mecacircnica dos soacutelidos mecacircnica dos fluidos
Com isso Taty pareceu demonstrar que em sua concepccedilatildeo as disciplinas de
Caacutelculo compotildeem uma base para o desenvolvimento de outras disciplinas que configuram as
grades curriculares dos cursos de Engenharia Ela pareceu ser uma aluna comprometida com
os estudos e estar preocupada em obter uma boa formaccedilatildeo para que possa ter um perfil como
engenheira diferenciado dos demais egressos dos cursos de Engenharia Aleacutem disso apesar
de naquele momento estar cursando o sexto periacuteodo do curso de Engenharia da Computaccedilatildeo
e ainda natildeo ter feito a disciplina BAC 022 (EDO) que faz parte do terceiro periacuteodo do
referido curso demonstrou natildeo ter tido grandes dificuldades no que diz respeito agrave aprovaccedilatildeo
nas disciplinas matemaacuteticas
375 Joseacute
O aluno Joseacute cursava o segundo semestre do curso de Engenharia Mecacircnica e era
aluno da disciplina BAC 019 sob a responsabilidade da professora Clarice O convite para a
participaccedilatildeo no grupo foi reforccedilado nas salas de aula de algumas disciplinas por alguns
professores como foi feito por Clarice nas turmas que lecionava
Joseacute demonstrou ser um aluno com atitude e postura reflexivas em relaccedilatildeo a sua
formaccedilatildeo profissional Natildeo demonstrou estar acostumado ainda com o ritmo de estudos da
Universidade e demonstrou sentir-se desconfortaacutevel ao perceber certo distanciamento entre os
alunos e os professores das disciplinas de Caacutelculo que ele jaacute havia cursado Ao ser
questionado sobre os papeacuteis das disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia apontou
para o desenvolvimento do raciociacutenio loacutegico da socializaccedilatildeo e do trabalho em equipe
O Caacutelculo desenvolve o raciociacutenio loacutegico mas tambeacutem pelo o que eu observo aqui
na faculdade ele tambeacutem eacute um meio de socializar De ajudar a pessoa tambeacutem a se
expressar melhor Pelo que eu vejo eu tenho dificuldade aiacute eu chego perto de uma
pessoa se a pessoa tambeacutem tem e tambeacutem qualquer coisa que vocecirc faz pode virar
uma coisa em conjunto neacute Entatildeo eu acho que o Caacutelculo tambeacutem desenvolve essa
121
parte para trabalhar em equipe de vocecirc entender a dificuldade do outro tambeacutem E
ele aplica em qualquer aacuterea que o engenheiro vaacute mexer desde dar aula ateacute na parte
de gerecircncia mesmo qualquer situaccedilatildeo o engenheiro vai ter que usar ou natildeo
depende da situaccedilatildeo mas ele vai precisar saber aplicar tudo que ele aprendeu no
Caacutelculo
Joseacute demonstrou ainda insatisfaccedilatildeo com relaccedilatildeo agraves metodologias utilizadas pelos
professores com os quais ele teve contato na instituiccedilatildeo
O Caacutelculo aqui que a gente vecirc eacute soacute a parte teoacuterica mesmo A gente por exemplo
quando vai fazer algumas questotildees resolver qualquer exerciacutecio a gente natildeo vecirc por
exemplo ah eu tenho um cilindro tal e eu quero o maacuteximo volume possiacutevel a gente
natildeo vecirc a gente natildeo consegue fazer a otimizaccedilatildeo tambeacutem [] a gente fez aquele
trabalho de Caacutelculo [se referindo a um trabalho de Aplicaccedilatildeo proposto pela
professora Clarice] e muita gente teve dificuldade porque natildeo sabia o que fazer
Natildeo tem como tipo eu pego o volume e aiacute o quecirc que eu faccedilo Vou fazer a derivada
o quecirc que eu vou fazer Sabe a pessoa fica sem visatildeo ela natildeo consegue ela natildeo
sabe [] eacute como se vocecirc tivesse uma viseira [gesticula com as duas matildeos proacuteximas
ao rosto] soacute vendo a parte teoacuterica a gente natildeo vecirc a aplicabilidade [] No maacuteximo
que a gente consegue ver alguma aplicabilidade eacute aplicaccedilatildeo direta em outras
disciplinas como a Fiacutesica Alguns alunos estatildeo vendo Estatiacutestica mas fora isso a
gente natildeo consegue pegar uma situaccedilatildeo ldquocruardquo e aplicar o Caacutelculo Num problema
cotidiano por exemplo ah eu vou construir um suporte pra colocar minhas caixas
o quecirc que eu posso fazer Qual que eacute o tamanho ideal Sabe a gente pode usar
Caacutelculo pra fazer isso mas agraves vezes a gente natildeo consegue fazer
Percebo assim que Joseacute teceu uma reclamaccedilatildeo sobre a falta de metodologias que
objetivem ir aleacutem da parte teoacuterica e assim alcanccedilar as aplicaccedilotildees Ele demonstrou perceber
as utilidades dos conteuacutedos do Caacutelculo para a formaccedilatildeo do engenheiro Afirma ainda ter
dificuldades em entender natildeo somente os conceitos mas tambeacutem a resoluccedilatildeo de algum
exerciacutecio que seja considerado aplicaccedilatildeo dos conceitos
376 Pedro
Pedro comeccedilou a participar do grupo a partir da terceira reuniatildeo do grupo Ele
aceitou participar do grupo mediante convite do aluno Joseacute Os dois eram alunos do segundo
periacuteodo do curso de Engenharia Mecacircnica e cursavam a disciplina BAC 019 sob a
responsabilidade da professora Clarice Ele demonstrou ser um aluno bem criacutetico e engajado
em sua formaccedilatildeo profissional embora tambeacutem demonstrasse sentir dificuldades de adequaccedilatildeo
em relaccedilatildeo agraves metodologias utilizadas pelos professores de Caacutelculo Quando questionado
durante a entrevista inicial sobre os papeacuteis das disciplinas de Caacutelculo em cursos de
122
Engenharia ele disse que basicamente desenvolve o raciociacutenio loacutegico ldquovocecirc aprende a
interpretar informaccedilotildees de uma maneira mais clarardquo aleacutem de ser um embasamento teoacuterico
para a formaccedilatildeo do engenheiro O aluno demonstrou acreditar que no trabalho desenvolvido
na aacuterea da Engenharia ldquoCaacutelculo torna-se fundamental natildeo soacute Caacutelculo mas como qualquer
outra disciplina relacionada agrave matemaacuteticardquo
Sobre as metodologias que tecircm sido utilizadas pelos professores de Caacutelculo que
possibilitam a apropriaccedilatildeo dos papeacuteis que tais disciplinas desempenham em cursos de
Engenharia Pedro demonstra insatisfaccedilatildeo quanto ao distanciamento entre os professores de
Caacutelculo e as dificuldades dos alunos Ele pensa que o grupo de professores da Matemaacutetica
precisa refletir sobre uma nova didaacutetica para possibilitar aprendizagem de alunos reais da
UNIFEI e natildeo de alunos idealizados por eles
Querendo ou natildeo alguns alunos chegam despreparados na Universidade isso eacute
fato natildeo adianta natildeo eacute agrave toa que tem o Caacutelculo Zero [refere-se agrave disciplina BAC
000] e muitas pessoas agraves vezes tem dificuldades de matemaacutetica baacutesica entatildeo eacute uma
realidade O ideal seria vocecirc ter alunos completamente capacitados e interessados
Soacute que se vocecirc tem uma Universidade que vocecirc ainda tem que edificar ela uma
Universidade nova que aleacutem de infraestrutura vocecirc precisa ainda criar matildeo de
obra por assim dizer vocecirc precisa de alunos capacitados que depois vatildeo levar o
nome da Universidade pra fora natildeo adianta vocecirc trabalhar com o ideal vocecirc tem
que ser real noacutes temos tais alunos noacutes temos que adaptar nossa didaacutetica para tais
alunos Depois se a Universidade se estruturar vatildeo vir alunos mais bem preparados
ou entatildeo a proacutepria infraestrutura o proacuteprio ambiente universitaacuterio vai forccedilar os
alunos a levarem mais a seacuterio Mas o momento que a Universidade vive precisa de
uma adaptaccedilatildeo da didaacutetica por parte dos professores para o que acontece na
realidade e natildeo para o que aconteceria se fosse a situaccedilatildeo ideal
O discurso do aluno estaacute embebido de questotildees que satildeo apontadas frequentemente
por professores de Caacutelculo em cursos de Engenharia A questatildeo da falta de preparo dos alunos
ingressantes em cursos de Engenharia com relaccedilatildeo agrave Matemaacutetica Baacutesica eacute recorrente em
congressos da aacuterea de Educaccedilatildeo em Engenharia119
Nesse momento consigo encontrar entatildeo subsiacutedios para responder agrave seguinte
pergunta ldquoQuem satildeo e onde estatildeo os sujeitos da aprendizagemrdquo Satildeo docentes e discentes
que realizam suas atividades na UNIFEI-Itabira Docentes da aacuterea de Matemaacutetica e
Engenharia Os discentes que atuaram como sujeitos dessa pesquisa satildeo pessoas jovens todos
com menos de 20 anos de idade que se engajam na atividade orientada pela aquisiccedilatildeo de
formaccedilatildeo profissional em niacutevel de graduaccedilatildeo em Engenharia
119
A esse respeito veja os anais do Congresso Brasileiro de Educaccedilatildeo em Engenharia (COBENGE) disponiacuteveis
no site wwwabengeorgbr
123
Foi nesse contexto universitaacuterio que se destina exclusivamente agrave formaccedilatildeo de
engenheiros contando com a disponibilidade dos sujeitos apontados acima que construiacute os
dados para a referida pesquisa
124
4 OS DADOS CONSTRUIacuteDOS E ANALISADOS A CONSTITUICcedilAtildeO DO GEPMM
COMO CICLO DE ACcedilOtildeES POTENCIALMENTE EXPANSIVAS
Engestroumlm (2002 p 183) aponta que quando o texto escolar (os textos dos livros
didaacuteticos) eacute representado como o objeto da atividade em vez de serem apenas instrumentos
que ajudam no entendimento do mundo haacute um empobrecimento nos recursos instrumentais
aleacutem de impactar os sujeitos da aprendizagem ndash os estudantes ndash que satildeo deixados com seus
proacuteprios dispositivos que para o autor inclui as habilidades de estudo laacutepis borracha papel
Esse tipo de abordagem tradicionalmente desenvolvida nas aulas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia (CAMPOS 2012 BIEMBENGUT HEIN 2007 FRANCHI 2002) acaba por
privilegiar um tipo de raciociacutenio que Resnick (1987) chama de ldquoraciociacutenio do siacutembolo-
destacado-do-referenterdquo (p 18 apud ENGESTROumlM 2002 p 183) Tal raciociacutenio eacute
notadamente valorizado nos meacutetodos tradicionais para a formaccedilatildeo em Caacutelculo A comeccedilar
pelas avaliaccedilotildees que satildeo realizadas majoritariamente por provas escritas individuais e sem
consulta salvo algumas poucas exceccedilotildees No ensino tradicional de Caacutelculo em cursos de
Engenharia a principal atividade eacute orientada pelo Caacutelculo como conteuacutedo conhecimento
historicamente acumulado impresso nos livros didaacuteticos em suas mais variadas abordagens
guiados como objetos da atividade
A atividade tradicional de formaccedilatildeo em Caacutelculo sendo considerada como uma
praacutetica social com base em Engestroumlm (2008) pode ser representada por meio do seguinte
esquema triangular
125
FIGURA 8 ndash Interconectados sistemas de atividade de professores e estudantes que tem como objeto a
apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos do livro de Caacutelculo
Fonte Elaborado pela autora
Nesse tipo de contexto formativo o seguinte questionamento se faz extremamente
pertinente por que e para que um aluno estuda Caacutelculo Natildeo pretendo no escopo desta tese
responder explicitamente a essa questatildeo apenas pretendo sinalizar uma reflexatildeo que se faz
necessaacuteria para analisar os motivos pelos quais os sujeitos estiveram engajados no GEPMM
Charlot (2013) pontua que na ida agrave escola os alunos aparentemente estatildeo
engajados em uma atividade formativa mas que frequentemente agem por um motivo natildeo
relacionado com o proacuteprio saber Para o autor no caso real encontram-se muitos alunos que
estudam para tirar uma boa nota passar nas disciplinas conseguir um diploma e
consequentemente receber um salaacuterio que o torne uma pessoa de sucesso Jaacute no caso ideal o
aluno idealizado pelas instituiccedilotildees e sobretudo pelos professores seria aquele que estudaria
porque se interessaria pelo conteuacutedo estudado
Na loacutegica que estaacute se tornando dominante estuda-se (quando se estuda) para ter
boas notas passar de ano ser aprovado no vestibular ter um bom emprego motivo
e objetivo discordam Portanto natildeo existe mais atividade Sendo assim qual eacute a
significaccedilatildeo do que o aluno faz na escola Leontiev responderia que se trata de
accedilotildees Podemos dizer tambeacutem que eacute um trabalho um trabalho alienado
(CHARLOT 2013 p 154)
A estrutura da atividade de formaccedilatildeo tradicional pode ser considerada segundo
Engestroumlm (2008) como alienante tanto para alunos quanto para professores Tomando por
126
base tal reflexatildeo poderiacuteamos nos questionar estariam mesmo realizando um trabalho
alienado Caso afirmativo qual seria o niacutevel de alienaccedilatildeo do trabalho que os alunos e
professores desenvolvem em disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia Acredito que a
compreensatildeo de tais questionamentos se faz necessaacuteria para analisar as aprendizagens
expansivas possibilitadas pela constituiccedilatildeo do GEPMM no referido contexto de formaccedilatildeo em
Engenharias
41 Constituiccedilatildeo do GEPMM possibilidades para aprendizagens expansivas
Como jaacute esclarecido na Introduccedilatildeo desta tese esta pesquisa se originou de
inquietaccedilotildees relacionadas ao trabalho que venho desenvolvendo ao longo de vaacuterios anos
como docente em cursos de Engenharia Durante todo esse percurso tenho me deparado com
vaacuterios aspectos que julgo contraditoacuterios com relaccedilatildeo aos processos de ensino-aprendizagem
das disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia A proposta da pesquisa aqui relatada
constitui dessa forma uma expressatildeo do eu ndash sujeito ndash em face da realidade adotando certo
posicionamento frente agrave realidade das praacuteticas sociais que tenho participado na situaccedilatildeo de
docente de disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia mostrando certa atitude diante de
uma situaccedilatildeo real presente
Nesse sentido inicio a anaacutelise usando a Teoria da Atividade como suporte teoacuterico
com a intenccedilatildeo de verificar se a criaccedilatildeo do referido grupo pode se configurar como um
miniciclo de accedilotildees de aprendizagem expansiva (ENGESTROumlM SANNINO 2010b)
Com isso posso dizer que comeccedilo o esboccedilo das ideias desta pesquisa
interrogando os processos de ensino-aprendizagem que passei a participar desde que me
inseri neste trabalho Aleacutem de mim percebi durante a construccedilatildeo dos dados desta pesquisa
que outros indiviacuteduos partiacutecipes do mesmo contexto (alunos e professores dos cursos de
Engenharia) tambeacutem comungam as mesmas ou algumas das inquietaccedilotildees A seguir apresento
algumas dessas inquietaccedilotildees que estiveram abrigadas na primeira etapa de accedilotildees em
miniciclo de aprendizagem expansiva o interrogatoacuterio
411 Interrogatoacuterio
127
Engestroumlm e Sannino (2010b) explicitam que uma sequecircncia ldquoidealrdquo de accedilotildees
epistecircmicas em um ciclo expansivo se inicia com o interrogatoacuterio que consiste no
questionamento na criacutetica ou na rejeiccedilatildeo de alguns aspectos de uma praacutetica socialmente
aceita ou uma sabedoria existente em uma comunidade Nessa primeira parte da sequecircncia de
accedilotildees que satildeo necessaacuterias para analisar esse processo com o aporte teoacuterico da aprendizagem
expansiva aponto algumas facetas da praacutetica tradicional de ensino-aprendizagem de Caacutelculo
que foram incluiacutedas sob a forma de questionamentos eou interrogaccedilotildees pelos sujeitos que
participam dela ndash alunos e professores dos cursos de Engenharia Natildeo estou dizendo que todos
os integrantes do GEPMM as questionam e interrogam ao mesmo tempo e nem que tais
questionamentos ocorreram durante o planejamento e o desenvolvimento das atividades do
grupo
Vale ressaltar que o objeto de uma atividade possui inerentemente uma natureza
dual eacute ao mesmo tempo ldquoalgo dado e algo projetado ou antecipadordquo120
(ENGESTROumlM
2008 p 88) O objeto de uma atividade eacute tambeacutem seu verdadeiro motivo (ENGESTROumlM
1987) Processos de mudanccedila objetivam necessariamente a construccedilatildeo de um novo objeto e
consequentemente correspondentes novos motivos a serem cultivados
Durante a entrevista inicial alguns motivos que levaram os sujeitos a aceitarem o
convite para participaccedilatildeo no GEPMM foram explicitados Tais motivos podem demonstrar ou
explicitar questionamentos que tecircm origem em questotildees que compotildeem as praacuteticas tradicionais
de ensino de Caacutelculo em cursos de Engenharia Com base em excertos das transcriccedilotildees das
gravaccedilotildees das entrevistas iniciais realizadas com os sujeitos podemos notar que
Para o docente Angel o grupo ldquopropicia uma questatildeo de um diaacutelogo entre os
colegas de mesma aacuterea e talvez estar criando em ambiente de discussatildeo das praacuteticas de
ensino e tentar melhorar ou evoluir essa questatildeo do ensino tradicional que eacute muito aplicado
e difundido nas Universidades Federaisrdquo Afirma ainda que acredita que ao participarem do
GEPMM os alunos sairiam com uma visatildeo mais ampliada da conexatildeo que existe entre as
disciplinas baacutesicas e as aplicadas para que possam vislumbrar problemas da realidade
A docente Clarice afirmou que o interesse em participar do grupo estaria
motivado pela possibilidade de ver a Matemaacutetica em accedilatildeo ndash sendo utilizada Nesse sentido
ldquoabrir novos caminhosrdquo de atuaccedilatildeo ter novos conhecimentos novas possibilidades ldquonatildeo
120
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquosomething given and something projected or anticipatedrdquo
128
ficar sempre no baacutesicordquo e ldquomelhorar como professorardquo seriam os principais motivos para ter
aceitado o convite de participaccedilatildeo no GEPMM segundo Clarice
O docente Robson demonstrou a meu ver que estaria insatisfeito com os modos
ldquodesconexosrdquo de ensino de Caacutelculo nos cursos de Engenharia da instituiccedilatildeo que os
professores de Caacutelculo natildeo abordam questotildees de aplicaccedilotildees reais em suas disciplinas e que
quando tentam abordar consideram questotildees e exemplos de livros didaacuteticos Tais exemplos
para ele satildeo ldquodesconexos da realidade porque o proacuteprio matemaacutetico natildeo vivenciou aquilo e
natildeo tem certeza se eacute daquele jeito natildeo conhece bem as variaacuteveis envolvidas entatildeo
normalmente as pessoas que ensinam matemaacutetica acabam caindo nos problemas
tradicionaisrdquo O docente afirmou que disseminar esse tipo de praacutetica ndash a da Modelagem
Matemaacutetica ndash seria um dos motivos para ter aceitado o convite e ter participado do GEPMM
Contudo natildeo explicitou os outros
Sendo assim os docentes demonstraram que ao aceitarem o convite para
participarem do grupo seguem orientados pela incorporaccedilatildeo de conhecimentos de
Matemaacutetica em accedilatildeo ndash em conexatildeo com as mais diversas aacutereas do conhecimento ndash que
desejam melhorar ou evoluir como docentes no sentido de abrir novas possibilidades e formas
de atuaccedilatildeo e almejam a disseminaccedilatildeo das praacuteticas de Modelagem Matemaacutetica em outros
contextos outras instituiccedilotildees e sob outras perspectivas
Tomando-se por base que os professores desejam melhorar ou evoluir o trabalho
que se dispotildeem a desenvolver como proponentes e participantes de praacuteticas de ensino-
-aprendizagem de disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia decidi tentar pontuar quais
seriam tais melhorias ou seja se haacute algo que possa ser melhorado ou evoluiacutedo significa que
haacute algo que precisa ser transformado modificado e nisso residem as possibilidades para
aprendizagens expansivas Mas o quecirc poderia ou precisaria ser transformado Com base na
revisatildeo de literatura sobre os processos de ensino-aprendizagem de Caacutelculo em cursos de
Engenharia apresentada no Capiacutetulo 2 exponho a seguir quatro questionamentos que podem
ser considerados como essecircncia no que diz respeito agraves transformaccedilotildees em tais processos
a) como adequar as metodologias utilizadas em disciplinas de Caacutelculo em cursos
de Engenharia em consonacircncia com os objetivos gerais para a formaccedilatildeo dos
engenheiros
b) Como fazer com que os estudantes participem ativamente dos proacuteprios
processos formativos de aprendizagem no que tange as disciplinas de Caacutelculo em
cursos de Engenharia
129
c) Como romper com a encapsulaccedilatildeo das disciplinas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia
d) Como melhorar a interaccedilatildeo entre os sujeitos da aprendizagem em disciplinas
de Caacutelculo em cursos de Engenharia
Essas quatro questotildees foram elaboradas por mim com o intuito de analisar as
possibilidades de aprendizagens expansivas que podem ser desenvolvidas em atividades
desenvolvidas pelo GEPMM constituiacutedo na UNIFEI com o objetivo inicial de construccedilatildeo de
dados empiacutericos para esta pesquisa Esses questionamentos e criacuteticas foram compartilhados
entre os integrantes do referido grupo no decorrer dos encontros e durante as entrevistas
Depois disso passamos para a segunda etapa das accedilotildees de aprendizagem que consiste na
anaacutelise da situaccedilatildeo atual a fim de descobrir as causas ou explicaccedilotildees sobre o que foi
questionado
412 Anaacutelise da situaccedilatildeo
Engestroumlm e Sannino (2010b) explicitam que uma segunda accedilatildeo que compotildee uma
sequecircncia tipicamente ldquoidealrdquo em um ciclo expansivo consiste na anaacutelise da situaccedilatildeo atual
Para os autores analisar envolve transformaccedilotildees mentais discursivas ou ateacute mesmo praacuteticas
da situaccedilatildeo atual com o intuito de descobrir mecanismos de causa eou explicaccedilatildeo
Considero como o iniacutecio dessa fase o momento em que comecei a procurar por
outras metodologias que poderiam ser utilizadas no desenvolvimento das disciplinas de
Caacutelculo em cursos de Engenharia bem antes de iniciar esta pesquisa Fiz diversas leituras na
aacuterea de Educaccedilatildeo Matemaacutetica na tentativa de elaborar ainda que apenas em termos de
projetos futuros outras possibilidades que pudessem tornar meu trabalho como docente de
disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia menos contraditoacuterio sob minha proacutepria
concepccedilatildeo Apoacutes iniciar a fase da construccedilatildeo dos dados desta pesquisa pude perceber in loco
mediante observaccedilotildees e entrevistas que os questionamentos e criacuteticas podem ser explicados
eou causados pela construccedilatildeo histoacuterico-cultural das praacuteticas de ensino-aprendizagem de
Caacutelculo em cursos de Engenharia
Por um lado as praacuteticas de ensino-aprendizagem de Caacutelculo realizadas na
instituiccedilatildeo satildeo basicamente amparadas pelo meacutetodo tradicional de ensino conforme exposto
130
no Capiacutetulo anterior Por outro lado haacute uma perceptiacutevel distacircncia entre as metodologias
utilizadas em tais praacuteticas na instituiccedilatildeo e os papeacuteis que as disciplinas de Caacutelculo deveriam
exercer na formaccedilatildeo em Engenharia sob a concepccedilatildeo dos professores e estudantes que
participaram da construccedilatildeo dos dados para essa investigaccedilatildeo
Conforme visto no capiacutetulo anterior durante as entrevistas iniciais os sujeitos
apontaram que as disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia deveriam exercer papel de
ferramentas que serviriam como base para o desenvolvimento da formaccedilatildeo do engenheiro ou
seja um Caacutelculo que deveria ser por definiccedilatildeo desenvolvido em praacuteticas de ensino-
-aprendizagem como conteuacutedo em accedilatildeo como instrumento da atividade formativa e natildeo
apenas como parte do objeto conforme visto no iniacutecio deste capiacutetulo
Durante a realizaccedilatildeo das entrevistas iniciais os docentes Angel Clarice e Robson
atentaram para a necessidade de diaacutelogo entre os docentes que lecionam disciplinas de
Caacutelculo e os demais docentes dos cursos de Engenharia assim como a necessidade de
conexatildeo entre os conteuacutedos de Caacutelculo e os demais conteuacutedos das disciplinas teacutecnicas dos
referidos cursos Para eles o distanciamento causado pela departamentalizaccedilatildeo pode
configurar como ponto-chave para tais questionamentos
Ainda no que diz respeito agraves entrevistas iniciais os alunos principalmente Joseacute e
Pedro apontam para a necessidade de adaptaccedilatildeo da didaacutetica dos professores para dar conta
dos alunos reais que ingressam na instituiccedilatildeo Para eles haacute um niacutetido distanciamento entre os
professores e os alunos durante o desenvolvimento das praacuteticas formativas de Caacutelculo em
cursos de Engenharia Tal distanciamento seraacute mais bem analisado mais adiante ainda neste
capiacutetulo
Por uacuteltimo uma criacutetica que se faz emergente no que diz respeito agraves praacuteticas
tradicionais de ensino-aprendizagem de Caacutelculo em cursos de Engenharia concentra-se na
formaccedilatildeo em termos de habilidades individuais As tradicionais praacuteticas que se destinam a
desenvolver a formaccedilatildeo em Caacutelculo nos cursos de Engenharia acabam por privilegiar o
desenvolvimento de habilidades e competecircncias individuais que estatildeo na maioria das vezes
ancoradas nos conteuacutedos de Caacutelculo de forma ldquopurardquo ndash o Caacutelculo pelo Caacutelculo ou seja ser
competente em Caacutelculo pode ser resumido em conseguir traccedilar graacuteficos resolver derivadas e
integrais por exemplo natildeo significando que tais competecircncias e habilidades sejam
trabalhadas sob a concepccedilatildeo de um Caacutelculo como ferramenta para o
entendimentodesenvolvimentosoluccedilatildeo de problemas reais ndash o Caacutelculo em accedilatildeo
Como visto nos Capiacutetulos 1 e 2 desta tese para o desenvolvimento de habilidades
e competecircncias de Caacutelculo em accedilatildeo por se tratar de uma formaccedilatildeo cujo objeto pode ser
131
entendido como questotildees-problema reais nas quais os conteuacutedos de Caacutelculo se configuram
como ferramentas da atividade faz-se necessaacuterio o desenvolvimento de ampliaccedilatildeo das
possibilidades de interaccedilatildeo entre os sujeitos devido a sua proacutepria natureza O trabalho
coletivo passa a predominar em relaccedilatildeo ao trabalho individual Natildeo basta apenas saber
resolver uma integral eacute preciso saber quando e onde usar uma integral para que uma questatildeo-
problema real possa ser entendidasolucionada A aluna Taty durante a entrevista inicial
aponta que em trabalhos em grupo mais praacuteticos ldquovocecirc acaba aprendendo muito maisrdquo
ldquoacho que esse eacute o trabalho do engenheirordquo
Com isso a situaccedilatildeo das praacuteticas formativas de Caacutelculo em cursos de Engenharia
comeccedila a parecer sob a forma de dilemas que na verdade abrigam contradiccedilotildees
historicamente acumuladas em tais sistemas de atividade Os dilemas nos ajudam a delimitar
possibilidades para transformaccedilotildees expansivas que podem tambeacutem ser entendidas ou
analisadas como movimento na zona de desenvolvimento proximal da atividade Nesse
sentido algumas facetas121
podem ser explicitadas da seguinte forma
a) metodologias utilizadas nas disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia
VERSUS o papel das disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia
b) disciplinas de Caacutelculo focadas em processos de formaccedilatildeo em termos de
aprendizagens individuais VERSUS demandas externas clamam pelo trabalho em
equipe ndash aprendizagens coletivas
c) docentes de Caacutelculo em redes fechadas (somente matemaacuteticos) VERSUS
parcerias com docentes de variadas aacutereas de atuaccedilatildeo em cursos de Engenharia
d) atividade docente desvinculada da atividade discente VERSUS parceria
docente-discente formando uma rede de aprendizagem
Apoacutes essas facetas terem sido explicitadas passamos para a terceira etapa das
accedilotildees de aprendizagem que consiste no modelamento de um novo horizonte de praacutetica cujas
possibilidades de implementaccedilatildeo precisam necessariamente extrapolar as fronteiras do
pensar e agir individual e passar para um patamar de construccedilatildeo coletiva rumo a
transformaccedilotildees qualitativas da praacutetica atual
121
Na teoria da aprendizagem expansiva double bind pode significar dilema ou ldquoface de dois gumesrdquo ou ainda
ldquoduas faces da moedardquo Decidi usar facetas
132
413 Modelamento122
Segundo Engestroumlm e Sannino (2010b) apoacutes a situaccedilatildeo (ou fenocircmeno ou praacutetica
social) ser questionada e analisada pelos sujeitos faz-se necessaacuterio que tal anaacutelise decirc origem a
uma nova forma de praacutetica uma nova atividade Para que isso se concretize eacute necessaacuterio que
os sujeitos consigam construir moldar e transformar um novo objeto por meio de accedilotildees que
objetivem tal modelamento
Antes mesmo de iniciar o processo de construccedilatildeo dos dados para a presente
investigaccedilatildeo a Modelagem Matemaacutetica conforme a concebo pareceu estar alinhada aos
objetivos de formaccedilatildeo de Caacutelculo em cursos de Engenharia Todas as leituras que fiz me
conduziram ao entendimento de que a Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia
poderia constituir um novo horizonte de praacutetica para os sujeitos partiacutecipes dos processos de
ensino-aprendizagem de disciplinas de Caacutelculo nesses cursos profissionalizantes123
Segundo Engestroumlm e Sannino (2010b) a aprendizagem expansiva se concentra
em processos nos quais os sujeitos satildeo transformados de indiviacuteduos isolados em coletivos e
redes Nesse sentido quando a construccedilatildeo dos dados empiacutericos para esta pesquisa se iniciou
na verdade o objetivo era que tal rede fosse tecida
A Modelagem Matemaacutetica sendo considerada como uma praacutetica formativa
inovadora em relaccedilatildeo agraves praacuteticas tradicionais de ensino-aprendizagem de Caacutelculo em cursos
de Engenharia pode ser tomada pelos participantes como um modelo que busca possibilitar
soluccedilotildees para os dilemas expostos anteriormente Acreditando nisso embarquei em uma
jornada rumo agraves possibilidades de movimento na zona de desenvolvimento proximal da
atividade formativa de Caacutelculo em cursos de Engenharia No campo cheguei soacute mas natildeo
permaneci soacute a rede comeccedilou a ser tecida E foi o grupo se constituiu
Sendo assim a constituiccedilatildeo do GEPMM podendo ser considerada como accedilatildeo de
modelamento que segundo Engestroumlm e Sannino (2010b) objetiva a construccedilatildeo de um novo
horizonte de praacutetica visando agrave minimizaccedilatildeo dos dilemas potencialmente incorporados nas
formas de atividade vigentes poderia possibilitar
122
Aqui Modelamento eacute considerado como a terceira fase das estrateacutegicas accedilotildees do ciclo de aprendizagem
expansiva elaborado por Engestroumlm (1987) conforme explicitado no Capiacutetulo 1 deste texto 123
A formaccedilatildeo em Engenharia pode tambeacutem ser entendida como profissionalizante pois objetiva a formaccedilatildeo do
profissional de Engenharia ndash o engenheiro
133
a) a construccedilatildeo de espaccedilos formativos nos quais o objeto da atividade seria
constituiacutedo por questotildees-problema natildeo matemaacuteticas e estudantes engajados em
sua proacutepria formaccedilatildeo (o que poderia se aproximar dos objetivos gerais que
perpassam a formaccedilatildeo dos engenheiros)
b) engajamento coletivo dos estudantes na resoluccedilatildeo de problemas natildeo
matemaacuteticos (o que pode estar mais proacuteximo das demandas externas que
proclamam o trabalho em equipe ndash aprendizagens coletivas)
c) possibilidades de parcerias (interdisciplinares) com docentes de variadas
aacutereas de atuaccedilatildeo em cursos de Engenharia (o que poderia promover o
rompimento da encapsulaccedilatildeo das disciplinas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia)
d) atividade de aprendizagem mediante parceria docente-discente formando uma
rede de aprendizagem (o que poderia ampliar quantitativamente e
qualitativamente as interaccedilotildees docente-discentes)
Vale ressaltar que a construccedilatildeo do GEPMM ao ser tomado como um modelo em
um ciclo de accedilotildees potencialmente expansivas acaba por se configurar como um elo entre as
disciplinas de Caacutelculo e as demais disciplinas que constituem a formaccedilatildeo do engenheiro na
instituiccedilatildeo estudada o que poderia minimizar o ponto de conflito cognitivo apontado por
Camarena (2009) Tal ponto de conflito pode ser entendido como uma tensatildeo que os
engenheiros vivenciam quando precisam integrar duas ou mais aacutereas do conhecimento tais
como o Caacutelculo e outras aacutereas teacutecnicas da Engenharia a fim de matematizar um problema a
ser resolvido Tal minimizaccedilatildeo pode ser relacionada com o rompimento da encapsulaccedilatildeo das
disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia
414 Examinando o novo modelo
Segundo Engestroumlm e Sannino (2010b) a quarta accedilatildeo constituinte de uma
sequecircncia ldquoidealrdquo em um ciclo expansivo seria caracterizada pelo exame do modelo Essa
etapa consistiria em pocircr em praacutetica o modelo executaacute-lo ou operaacute-lo a fim de compreender
sua dinacircmica potencial e limitaccedilotildees Para isso se fez necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma rede de
aprendizagem composta por alunos e professores que aceitaram o convite para participaccedilatildeo
134
no GEPMM A parceria estabelecida mediante a criaccedilatildeo de tal rede possibilita a ampliaccedilatildeo do
movimento de informaccedilotildees entre os docentes que atuam em diversas aacutereas por meio da
potencializaccedilatildeo da busca e consequentemente encontro de informaccedilotildees e ferramentas
necessaacuterias para o entendimento e a resoluccedilatildeo das questotildees-problemas que configuram o
objeto da atividade de Modelagem
Aleacutem da parceria entre os professores das mais diversas aacutereas de atuaccedilatildeo a
criaccedilatildeo dessa nova rede poderia possibilitar tambeacutem um cruzamento vertical de fronteiras
por meio das interaccedilotildees entre estudantes e professores pois em instituiccedilotildees escolares alunos
e professores constituem redes hieraacuterquicas de interaccedilotildees A parceria entre eles acaba por
cruzar os limites entre as redes o que poderia tornar a atividade de alunos e professores uma
uacutenica atividade a atividade de aprendizagem
Com isso poderiacuteamos analisar que a construccedilatildeo de tais ambientes configuraria
potencial mudanccedila no objeto da atividade de aprendizagem e ainda a construccedilatildeo de redes
possibilitada pelo cruzamento de fronteiras entre niacuteveis hieraacuterquicos e institucionais na
instituiccedilatildeo por meio de parcerias docente-docente e discentes-docente ambas ocorrendo em
um mesmo espaccedilo fiacutesico em uma mesma praacutetica institucionalizada em prol de um mesmo
objetivo Esses dois movimentos poderiam configurar mutuamente aprendizagens
expansivas como veremos mais adiante no presente texto
Por se tratar de uma intervenccedilatildeo formativa optei pela criaccedilatildeo do GEPMM em vez
de tentar introduzir a Modelagem Matemaacutetica dentro das salas de aula das disciplinas de
Caacutelculo Essa opccedilatildeo metodoloacutegica em termos da construccedilatildeo dos dados mostrou-se
necessaacuteria apoacutes ter assumido a Teoria da Atividade e da Aprendizagem Expansiva como lente
teoacuterica para a anaacutelise dos dados da presente pesquisa Aleacutem disso eu temia que as regras e a
divisatildeo do trabalho dentro das salas de aula de Caacutelculo permanecessem invioladas mesmo
com uma possiacutevel introduccedilatildeo da Modelagem nas demais accedilotildees de ensino que ocorrem durante
o desenvolvimento das disciplinas de Caacutelculo E mais do que isso o objeto da atividade de
alguns alunos durante todo o desenvolvimento das disciplinas de Caacutelculo independentemente
da metodologia adotada poderia permanecer orientado pela aprovaccedilatildeo na disciplina
satisfazendo a necessidade de prosseguir no curso visando agrave obtenccedilatildeo do diploma de
engenheiro
Sendo assim tal intervenccedilatildeo externa as proacuteprias disciplinas de Caacutelculo
configuraria como um espaccedilo formativo alternativo cujo objetivo preliminar seria o
questionamento agrave proacutepria divisatildeo do conhecimento em disciplinas como ocorre
tradicionalmente em cursos de Engenharia no Brasil Neste sentido a proposta da criaccedilatildeo do
135
GEPMM alia-se agraves ideias de formaccedilatildeo em Engenharia com base no foco em questotildees-
problema das mais diversas aacutereas onde os conhecimentos de Caacutelculo sejam instrumentos ou
ferramentas que auxiliam o respectivo entendimentoresoluccedilatildeo natildeo pretendendo assim
minimizar os dilemas vivenciados por alunos e professores durante as praacuteticas das disciplinas
tradicionais de Caacutelculo em cursos de Engenharia Vale ressaltar que seria contraditoacuterio
afirmar que tal enfoque pudesse ser plenamente estabelecido se tomaacutessemos como contexto as
disciplinas de Caacutelculo as disciplinas de Caacutelculo possuem conteuacutedos estabelecidos nos Planos
de Ensino e qualquer enfoque formativo incluindo a Modelagem Matemaacutetica estaria
orientado pelo Plano de Ensino Com isto as atividades de Modelagem constituiriam de
abordagem para dar sentido ou motivar ou mesmo propiciar aprendizagens dos conteuacutedos jaacute
estabelecidos nas ementas Com isto o objeto das atividades seriam os proacuteprios conteuacutedos do
Caacutelculo e a Modelagem Matemaacutetica seria um instrumento para tal ensinoaprendizagem
O espaccedilo formativo caracterizado no e pelo GEPMM se configura como um
contexto propiacutecio para possibilitar aprendizagens expansivas por estar baseado nos contextos
da descoberta da aplicaccedilatildeo praacutetica e da criacutetica conforme exposto no Capiacutetulo 1 Tal espaccedilo
formativo alternativo agraves praacuteticas tradicionais de formaccedilatildeo institucionalizadas nas e pelas
universidades pode ser caracterizado mediante ldquoampliaccedilatildeo gradual do objeto e do contexto da
aprendizagemrdquo (ENGESTROumlM 2002 p 197) Nele os aprendizes embarcam em uma
jornada ao longo da Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP) da Atividade124
que segundo
Engestroumlm (1987 p 174) pode ser entendida como a ldquodistacircncia entre as accedilotildees cotidianas dos
indiviacuteduos e a historicamente nova forma de atividade social que pode ser gerada
coletivamente como soluccedilatildeo para o dilema potencialmente incorporado nas accedilotildees cotidianasrdquo
Engestroumlm (2001) pontua que atividades de aprendizagem expansiva buscam
produzir culturalmente novos padrotildees de atividade que nesta pesquisa podem ser manifestos
pelas e nas atividades desenvolvidas no GEPMM devido agrave necessidade de os aprendizes
aprenderem novas formas de atividade enquanto as vatildeo criando
Eacute importante ressaltar que no GEPMM o Caacutelculo eacute considerado como um dos
instrumentos necessaacuterios agrave resoluccedilatildeoentendimento das questotildees-problema natildeo matemaacuteticas
Sendo assim em atividades de Modelagem Matemaacutetica constantemente faz-se necessaacuterio a
aquisiccedilatildeo de novas125
ferramentas de Caacutelculo para os sujeitos partiacutecipes da presente
124
Aqui podemos entender atividade no sentido de Sistemas de Atividade que os sujeitos assumem na posiccedilatildeo
de docentes e discentes de cursos de Engenharia 125
Podemos entender tais accedilotildees com vistas agrave aquisiccedilatildeo de novas ferramentas de Caacutelculo para os sujeitos
partiacutecipes de uma atividade de modelagem seguindo por analogia agraves accedilotildees que visam agrave construccedilatildeoaquisiccedilatildeo de
uma lanccedila ou um arco e flecha em uma atividade de caccedila
136
atividade o que se configura sob essa anaacutelise como accedilotildees estrategicamente necessaacuterias ao
alcance de objetivos parciais orientados pela atividade em questatildeo Mais adiante no que tange
agrave anaacutelise especiacutefica dos instrumentos de Caacutelculo em atividades de Modelagem num contexto
de formaccedilatildeo em Engenharias seguirei orientada pelo seguinte questionamento quais e como
se configuram as accedilotildees possibilitadas pelas ferramentas de caacutelculo em uma determinada
atividade de modelagem
Ao optar pela dinacircmica do modelo de atividade (Modelagem Matemaacutetica) sendo
implementada extra sala de aula (GEPMM) algumas limitaccedilotildees poderiam ocorrer configurar
trabalho extra (horas gastas a mais) ocircnus intensificaccedilatildeo do trabalho incompatibilidade de
horaacuterios entre outras Com isso sobraria menos tempo para realizar as demais atividades que
compotildeem a formaccedilatildeo em Engenharia na UNIFEI tanto para estudantes quanto para
professores Outra possiacutevel limitaccedilatildeo poderia surgir pela estrutura fiacutesica da instituiccedilatildeo jaacute
levando em conta o fato de ser um campus ldquoem construccedilatildeordquo precisariacuteamos de um espaccedilo
fiacutesico para abrigar o grupo
415 Implementando o novo modelo ndash o GEPMM
Com base em Engestroumlm e Sannino (2010b) a quinta accedilatildeo que constitui uma
sequecircncia ldquoidealrdquo em um ciclo expansivo consiste na implementaccedilatildeo do modelo por meio de
suas aplicaccedilotildees em praacuteticas Durante o iniacutecio da construccedilatildeo dos dados da pesquisa relatada
nesta tese procurei por ldquoaliadosrdquo pessoas que compartilhassem as mesmas insatisfaccedilotildees e
que aceitassem o convite de ldquoembarcarrdquo nessa jornada coletiva de transformaccedilotildees Contudo
natildeo obtive sucesso algum nessa primeira ldquoempreitadardquo
Natildeo desisti continuei realizando accedilotildees de negociaccedilatildeo e orquestraccedilatildeo por meio de
conversas com docentes e discentes buscando pelos tatildeo esperados ldquoaliadosrdquo Foi entatildeo que
Angel aceitou o convite Decidimos elaborar e proferir a palestra e apoacutes a palestra mais dois
docentes aceitaram o convite Clarice e Robson
Deliberamos126
algumas accedilotildees estruturais para que o grupo pudesse iniciar sua
jornada encontrar horaacuterios compatiacuteveis traccedilar horizontes de atuaccedilatildeo delimitaccedilatildeo de regras
entre outras
126
Todas as interaccedilotildees nessa parte foram realizadas por meio de mediaccedilotildees possibilitadas pelo grupo ldquovirtualrdquo
criado na rede social Facebook intitulado Modelagem Unifei Itabira
137
Ao serem questionados sobre os motivos que teriam orientado as respectivas
participaccedilotildees nas entrevistas iniciais os alunos Taty Joseacute e Pedro apontaram que gostariam
de ver uma Matemaacutetica mais aplicada uma Matemaacutetica na praacutetica objetivando terem uma
visatildeo diferenciada dos demais no mercado de trabalho futuramente Nas palavras de Taty
ldquoeu espero que no final deste projeto neacute eu consiga ter uma habilidade maior em abstrair
matematicamente os problemas do dia a diardquo Pedro pontuou ldquoeacute uma coisa na qual vocecirc vai
precisar vocecirc vai ter que aplicar o Caacutelculo em muitas aacutereas de atividade para um
engenheirordquo
Com base nas gravaccedilotildees em aacuteudio e viacutedeo dos encontros do GEPMM farei a
seguir um breve relato das accedilotildees que se fizeram presentes durante os dez primeiros encontros
do referido grupo
4151 Os encontros
Agora relatarei o que aconteceu durante os dez127
primeiros encontros realizados
no GEPMM que adotarei como corpus de anaacutelise Depois disso retornarei ao miniciclo de
accedilotildees de aprendizagem expansiva com o intuito de explicitar a sexta e a seacutetima accedilotildees
refletindo sobre o processo de implementaccedilatildeo do novo modelo e consolidando seus
resultados em uma nova forma de praacutetica
41511 Primeiro encontro
O primeiro encontro do GEPMM ocorreu em 01112012 (quinta-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice dos estudantes Joseacute e Taty e com a minha
participaccedilatildeo desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e pesquisadora
Nesse primeiro encontro comeccedilamos a estabelecer regras para questotildees
burocraacuteticas do grupo tais como quantos seriam os integrantes se o grupo seria formalizado
como projeto de extensatildeo ou grupo de pesquisa no CNPq entre outras questotildees Esclareci
127
Considero os dez primeiros encontros devido ao fato de ter que cumprir prazos com relaccedilatildeo agraves exigecircncias
estipuladas no regimento do Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em que estou inserida como alunapesquisadora
138
para os alunos Joseacute e Taty128
quais satildeo os objetivos do grupo e da minha pesquisa
Estabelecemos coletivamente que o grupo seria constituiacutedo por quatro docentes e seis
estudantes totalizando dez participantes
A docente Clarice teceu a seguinte criacutetica em relaccedilatildeo agrave Educaccedilatildeo Matemaacutetica no
Brasil ldquomuito se fala pouco se praticardquo E seguiu falando que os alunos de Caacutelculo satildeo
muito desmotivados e acrescentou ldquomuito aluno ali se sente tatildeo incapaz ele natildeo acredita
nele por isso ele se ferrardquo A aluna Taty interveio ldquomas eu acho que isso natildeo eacute culpa do
professor saberdquo A docente Clarice respondeu agrave aluna em tom de voz alterado ldquoMas eacute
tambeacutem um deverrdquo Bakhtin129
(1992 p 396) destaca que a entonaccedilatildeo consiste em uma
expressatildeo focircnica da avaliaccedilatildeo social e para ele ldquoo tom natildeo eacute determinado pelo material do
conteuacutedo do enunciado ou pela vivecircncia do locutor mas pela atitude do locutor para com a
pessoa do interlocutor (a atitude para com sua posiccedilatildeo social para com sua importacircncia
etc)rdquo Aqui uma anaacutelise da entonaccedilatildeo da fala da docente Clarice poderia ser tecida pela
hierarquia e lugar social que alunos e professores ocupam nas instituiccedilotildees universitaacuterias e as
respectivas regras que podem compor o ldquocurriacuteculo ocultordquo tais como professor ldquosempre tem
razatildeordquo a fala do professor natildeo ldquodeverdquo ser questionada e aluno ldquodeverdquo ficar inerte agraves posiccedilotildees
do professor afinal que dita as regras eacute o professor e ao aluno cabe cumpri-las Contudo no
GEPMM natildeo haacute pontos a serem distribuiacutedos pelo professor e isto pode acabar confundindo as
respectivas visotildees sobre as posiccedilotildees sociais nesta praacutetica Neste caso alunos e professores tem
o mesmo grau de importacircncia e hierarquia
No decorrer do encontro Clarice pontuou que nunca havia visto o trabalho do
engenheiro ldquoNunca parei pra pensar nisso Sempre pensei assim ah ele aprendeu as contas
baacutesicas laacute e pronto Mas natildeo vai porque o outro [que sabe mais] vai passar na frente dele [no
mercado de trabalho]rdquo Nesse ponto a docente pareceu estar preocupada com a qualidade da
formaccedilatildeo matemaacutetica que tem sido oferecida nas propostas tradicionais de ensino-
aprendizagem de Caacutelculo em cursos de Engenharia A docente seguiu falando
Eu falo assim no iniacutecio do curso no primeiro dia de aula ah eu ensino Caacutelculo natildeo
tenho noccedilatildeo muito de aplicaccedilotildees aiacute depois vocecircs vatildeo usar [risos] Tipo assim eu
natildeo sei quando mesmo Depois vocecircs vatildeo usar em vaacuterios conteuacutedos porque os
proacuteprios professores [de outras disciplinas ndash natildeo matemaacuteticas] falam comigo Tem
um professor da Mecacircnica que falou comigo o aluno chega laacute sem saber Caacutelculo e
ele precisa de Caacutelculo pra caramba na minha mateacuteria Caacutelculo I mesmo Sabe E
chega sem saber
128
Que natildeo puderam assistir agrave palestra mas viram o convite na rede social Facebook e o aceitaram 129
Conforme explicitado no Capiacutetulo 1 desta tese uma das raiacutezes da teoria da aprendizagem expansiva eacute a teoria
da linguagem e discurso de Bakhtin Por esse motivo sempre que possiacutevel utilizarei tal teoria para analisar falas
e discursos que ocorreram durante a construccedilatildeo dos dados para a investigaccedilatildeo relatada nesta tese
139
Nessa fala da docente percebemos que ela pareceu estar preocupada em natildeo
conseguir responder agraves expectativas dos estudantes ou mesmo dos outros professores das
demais disciplinas quanto agraves aplicaccedilotildees do Caacutelculo e aleacutem disso demonstrou sentir-se
incomodada em ouvir outro docente criticar a formaccedilatildeo matemaacutetica dos estudantes
A aluna Taty nos mostrou suas concepccedilotildees e expectativas em relaccedilatildeo a sua
participaccedilatildeo no GEPMM como aluna do curso de Engenharia de Computaccedilatildeo
Acho que a matemaacutetica eacute a mateacuteria mais poderosa que tem cecirc quer resolver um
problema de verdade Cecirc quer ser um engenheiro Cecirc quer uma resposta Tudo eacute
modelagem As melhores aacutereas da Computaccedilatildeo as que datildeo mais dinheiro cecirc tem
que ser bom de matemaacutetica Entatildeo eu acho um desperdiacutecio a gente ter 500
professores de Matemaacutetica aqui e ficar na sala de aula vendo nada Adoro gosto
muito acho muito legal mas soacute isso Entendeu Vocecirc pode sair daqui muito mais
potente Eacute aproveitar o que a faculdade estaacute te oferecendo
Podemos perceber que a estudante posicionou que suas accedilotildees de aprendizagem
estatildeo relacionadas ao objetivo de ldquoformaccedilatildeo com qualidaderdquo (uma boa formaccedilatildeo potente
aliada ao conhecimento) pois parece desejar ter um bom retorno financeiro no mercado de
trabalho depois de se formar engenheira Eacute niacutetido tambeacutem que sua proacutepria formaccedilatildeo ocupa
lugar privilegiado enquanto objeto de sua atividade ou seja ela parece ter consciecircncia que
ldquoobter conhecimentosrdquo e ldquoadquirir habilidadesrdquo constituem parte fundamental para a sua
proacutepria formaccedilatildeo
Esclareci para os parceiros que inicialmente natildeo gostaria de trabalhar em um
problema muito complexo Naquele momento minha preocupaccedilatildeo estava relacionada agraves
possiacuteveis desistecircncias de integrantes do grupo principalmente alunos caso achassem o
trabalho complexo demais
A discussatildeo sobre ensino de Caacutelculo em cursos de Engenharia continuou embora
este natildeo fosse especificamente o tema do primeiro encontro e a docente Clarice pontuou ldquoO
aluno de Caacutelculo I ele acha que tudo pode jogar no computador que tudo ele joga na
calculadora que ele natildeo vai trabalhar Ele natildeo sabe que vai ter que por a matildeo na massa Ele
acha que eacute pegar uma equaccedilatildeo e resolverrdquo A aluna Taty respondeu ldquoPorque o Caacutelculo I eacute
muito assim vocecirc chega no trecircs [Caacutelculo III] vocecirc nem pega mais na calculadora [risos]rdquo
Neste momento percebi que havia muitas questotildees inerentes agraves disciplinas de
Caacutelculo em cursos de Engenharia na quais os sujeitos demonstravam interesse em debatecirc-las
e como na instituiccedilatildeo natildeo havia um espaccedilo para tais discussotildees e debates eles acabavam
acontecendo nos encontros do GEPMM
140
Prosseguimos o encontro tentando esboccedilar algumas questotildees de interesse dos
integrantes do grupo que poderiam ser tomadas como objetos da atividade de Modelagem do
grupo
a) Angel falou sobre a infraestrutura na UNIFEI preacutedio 2 atrasado restaurante
atrasado
b) Joseacute falou sobre o fluxo de tracircnsito na cidade de Itabira
c) Eu falei sobre prazos para o mineacuterio de ferro extraiacutedo pela empresa Vale nas
minas de Itabira acabar
d) Joseacute falou sobre a poluiccedilatildeo sonora causada pelas explosotildees nas minas da Vale
e) Taty falou sobre a iniciaccedilatildeo cientiacutefica dela relaccedilotildees de gecircnero na construccedilatildeo
civil
f) Eu falei sobre as possibilidades de estudarmos as relaccedilotildees de gecircnero no trabalho
do engenheiro (Clarice fala que natildeo tem vontade de trabalhar com isso)
Apoacutes combinarmos de pensar em casa com calma em mais inquietaccedilotildees que
pudessem ser de interesse do grupo encerramos a reuniatildeo
41512 Segundo encontro
O segundo encontro do GEPMM ocorreu em 08112012 (quinta-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice dos estudantes Joseacute e Taty e com a minha
participaccedilatildeo desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e pesquisadora
Expus para os parceiros que pensei em um problema que haacute muito tempo me
incomoda o problema do peso corporal ideal Expliquei para eles que gostaria de entender
melhor matematicamente a questatildeo do ganho ou perda de peso considerando somente os
fatores alimentaccedilatildeo e exerciacutecios fiacutesicos Denominei naquele momento esse problema como
ldquoa foacutermula da sauacutederdquo e posicionei ainda que ldquoO peso da pessoa eacute fundamental pra vocecirc saber
[] uma das variaacuteveis eacute a massa da pessoa depende da massa da pessoa para vocecirc saber o
tanto que ele queima [] um gordo queima muito mais raacutepido do que quem eacute magrordquo
Clarice completou ldquoAh mais tem um equiliacutebrio depois ele para com aquela queimaccedilatildeordquo
141
Taty pontuou ldquoeacute depende da taxa de gordura da taxa de massa muscular [] achei
fantaacutesticordquo
Aqui o leitor poderia questionar ou estar refletindo sobre a escolha do tema natildeo
pertencer diretamente agrave tradicional aacuterea de Engenharia nem a disciplinas especiacuteficas dos
cursos Contudo o tema perfaz a questatildeo da interdisciplinaridade e da transposiccedilatildeo das
fronteiras disciplinares e curriculares Imagine se nenhum engenheiro ou fiacutesico ou
matemaacutetico tivesse dedicado esforccedilos para o entendimento de processos e fenocircmenos
relacionados com a aacuterea da sauacutede atualmente natildeo teriacuteamos algum aparelho de raio X ou de
ressonacircncia magneacutetica Aleacutem disso a UNIFEI-Itabira oferece entre outros os cursos de
Engenharia da Sauacutede e Seguranccedila e Engenharia Ambiental Com a escolha desse tema
poderia acontecer ainda de estarmos buscando e efetivando de alguma maneira ainda que
impliacutecita o rompimento da encapsulaccedilatildeo de conteuacutedos relacionados com a aacuterea de
Engenharia de Sauacutede e Seguranccedila com os outros cursos oferecidos pela instituiccedilatildeo mediante
a transposiccedilatildeo de fronteiras e a formaccedilatildeo de redes ndash parcerias
Logo em seguida a aluna Taty nos contou que jaacute havia sido atleta e que corria 8
km e o aluno Joseacute nos contou que fazia trilha de bicicleta Eles ficaram realmente muito
interessados pelo tema proposto por mim Aleacutem deles a docente Clarice tambeacutem disse que
achou o tema oacutetimo ldquoachei o mais interessante delesrdquo
O docente Angel permaneceu desde o iniacutecio do encontro manuseando seu
computador portaacutetil e somente depois de 30 minutos de reuniatildeo o perguntei se ele havia
achado o tema interessante Ele pediu para eu repetir os temas ateacute entatildeo levantados e parece
preferir o problema do tracircnsito dizendo ldquotranquilo assim tem que ir laacute medir com o
cronocircmetro verificar ou seja tem um trabalho aiacute neacute de coleta de dados um pouco chata
durante uma semanardquo Ao perceber que todos os parceiros olharam para ela a aluna Taty
logo disse ldquoAh natildeo gente natildeo olha pra mim natildeo gente Tocirc fazendo um monte de coleta de
dados jaacute Me recuso cara [] Eu sento e leio 60 artigos se vocecircs quiserem faccedilo resumo de
todos pra vocecircs natildeo tocirc brincando Eu tocirc fazendo uma coleta gigantescardquo
Naquele momento estava estabelecido um dilema entre as idealizaccedilotildees de objetos
das atividades que pretendiacuteamos realizar Tratava-se de pensar elaborar num plano da
consciecircncia coletiva um resultado ideal ndash uma finalidade jaacute que ldquoo que se pretende obter
existe primeiro idealmente como mero produto da consciecircncia e os diversos atos do processo
se articulam ou estruturam de acordo com o resultado que se daacute primeiro no tempo isto eacute o
resultado idealrdquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 187) Ainda que o resultado real se
142
distancie do ideal trata-se de adequar intencionalmente o ideal ao real ainda que para isso
seja necessaacuterio se assemelhar pouco ou ateacute mesmo nada com a finalidade original
Nesse momento podemos perceber que por jaacute ter participado de programas de
iniciaccedilatildeo cientiacutefica na UNIFEI a aluna Taty demonstrou conhecer uma possiacutevel divisatildeo de
trabalho que pode ser adotada por alguns docentes orientadores nas atividades de iniciaccedilatildeo
cientiacutefica os alunos potildeem a matildeo na massa coletam dados fazem resumo de artigos entre
outras e os orientadores auxiliam na escrita dos relatoacuterios e na anaacutelise dos dados coletados
O posicionamento da aluna Taty de fato ldquoimpactourdquo nas decisotildees do grupo
Alterou modificou a atividade que naquele momento estava sendo idealizada por noacutes
coletivamente Como estavam participando das reuniotildees portanto do grupo apenas dois
estudantes como os docentes procederiam para coletar os dados para tratar do problema do
tracircnsito em Itabira Isso nos levou a deixar esse problema para ser tratado em outro momento
quando tivermos mais alunos para realizar as accedilotildees de coleta de dados
Com isso apoacutes debatermos mais um pouco definimos que a primeira questatildeo-
problema a ser tratada por noacutes seria o emagrecimento em termos de alimentaccedilatildeo e exerciacutecios
fiacutesicos Naquele momento estava traccedilado idealmente um resultado que orientaria as accedilotildees
do grupo uma finalidade entender a questatildeo problemaacutetica do peso corporal ideal isso
configurou uma atividade essencialmente da consciecircncia humana tomada em sua coletividade
por meio da negociaccedilatildeo e debate em que os sujeitos expotildeem seus pontos de vista e suas
idealizaccedilotildees oriundas de suas experiecircncias anteriores suas inquietaccedilotildees mediante as quais
concebem a realidade ainda inexistente mas jaacute traccedilada pela consciecircncia por meio da
idealizaccedilatildeo de seu objeto
Sendo assim ldquonatildeo se trata apenas de antecipaccedilatildeo ideal do que estaacute por vir mas
sim de algo que aleacutem disso queremos que venhardquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 191)
expressatildeo de uma necessidade humana socialmente incorporada que se configura como
causa das accedilotildees e ao mesmo tempo determina as accedilotildees presentes Contudo tal antecipaccedilatildeo
ideal do futuro natildeo implica necessariamente que desejamos de fato sua existecircncia real ou
sequer pretendamos contribuir para que assim seja Desejar uma atividade na realidade
requer sobretudo elencar uma finalidade estampada nas accedilotildees que devem ser realizadas para
tal fim Para isso eacute necessaacuterio entender que toda finalidade pressupotildee determinado
conhecimento da realidade que os sujeitos negam idealmente e dessa forma idealizam accedilotildees
em prol de um resultado tambeacutem idealizado
Com isso podemos analisar que devido ao entendimento de que a questatildeo do
peso corporal ideal dependia de alguns paracircmetros que poderiam ou natildeo ser levados em conta
143
decidiu-se por negar idealmente as formas presentes de entender tal questatildeo (como tiacutenhamos
entendido ateacute aquele momento) e partir para a produccedilatildeo coletiva de conhecimento O objetivo
portanto configurava-se pelas estrateacutegicas accedilotildees de abertura da caixa-preta do peso corporal
ideal
Naquele momento pontuei que ldquoum gordo queima muito mais raacutepido do que
quem eacute magrordquo Taty ponderou ldquoeacute depende da taxa de gordura da taxa de massa
muscularrdquo Tiacutenhamos portanto o conhecimento digamos inicial de que o peso influenciava
na queima de gordura proporcionada pelas atividades fiacutesicas mas como quantificar essa
influecircncia Estariam outros paracircmetros relacionados com tal influecircncia como por exemplo a
taxa de gordura ou a taxa de massa muscular Ou seja algum(ns) conhecimento(s) da
realidade estava(m) sendo negado(s) idealmente naquele momento o que fez emergir uma
finalidade para orientar nossas accedilotildees
Estaacutevamos dispostos a entender essa questatildeo problemaacutetica buscando informaccedilotildees
incorporando variados instrumentos que possibilitassem o acesso a apropriaccedilatildeo e a produccedilatildeo
de conhecimentos relacionados ao peso corporal ideal perseguindo sempre o objetivo que
segue mediante alteraccedilotildees na alimentaccedilatildeo e nos exerciacutecios fiacutesicos como quantificar
mudanccedilas no peso corporal com vistas a alcanccedilar efetivamente o peso corporal ideal Por se
tratar de quantificaccedilotildees tiacutenhamos naquele momento o conhecimento de que algum
instrumento matemaacutetico seria necessaacuterio para alcanccedilarmos o objetivo estabelecido poreacutem
natildeo sabiacuteamos de antematildeo qual(is) instrumento(s) seria(m) esse(s) e como ele(s) nos
ajudaria(m) nessa atividade
Sabiacuteamos por exemplo que o iacutendice de massa corporal (IMC) representado por
uma equaccedilatildeo matemaacutetica130
eacute considerado o mesmo para homens e mulheres
independentemente da idade Mas suspeitaacutevamos que um homem de 80 anos perdesse peso
de forma diferente que uma mulher de 18 anos considerando mudanccedilas na alimentaccedilatildeo e nos
exerciacutecios fiacutesicos Mas qual seria essa diferenccedila Como ela poderia ser quantificada Tais
questionamentos abarcavam o objetivo explicitado anteriormente ao decidirmos dedicar
esforccedilos no entendimento da problemaacutetica questatildeo do peso corporal ideal
Depois disso o docente Angel que permaneceu manuseando seu computador
portaacutetil navegando na internet convidou-nos para submetermos um projeto ao CNPq pois
havia um edital aberto sobre relaccedilotildees de gecircnero e trabalho e aiacute poderiacuteamos elaborar o projeto
para pesquisar as relaccedilotildees de gecircnero e trabalho na aacuterea de Engenharia Contou-nos que
130
119868119872119862 =119901119890119904119900
1198861198971199051199061199031198862
144
poderiacuteamos dar bolsas aos alunos no valor de R$ 400 A aluna Taty exclamou ldquoNossa que
lindo Que belezardquo
Angel disse que teriacuteamos que realizar uma ldquoforccedila tarefa urgenterdquo porque o prazo
seria ateacute o dia 14 daquele mecircs (ou seja teriacuteamos apenas seis dias para construir o projeto)
Taty disse que tinha o projeto escrito sobre gecircnero e somente teriacuteamos que adaptaacute-lo para a
aacuterea da Engenharia Decidimos por lutar contra o tempo e escrever esse projeto para a
submissatildeo131
Vale ressaltar que ainda que possa parecer estranho natildeo percebi naquele
momento qualquer inadequaccedilatildeo sobre o que o grupo havia coletivamente decidido fazer Na
verdade mesmo que suspeitasse que o CNPq natildeo fosse aprovar o referido projeto visualizei
tal elaboraccedilatildeo como uma possibilidade de aprendizagem para os sujeitos engajados Uma
anaacutelise mais pontual que se refere a tal construccedilatildeo seraacute tecida mais adiante nesta tese
Finalizamos a reuniatildeo combinando as tarefas que cada um desenvolveria durante a
semana para que no proacuteximo encontro pudeacutessemos continuar trabalhando focados no
projeto a ser submetido no CNPq e tambeacutem na problemaacutetica ldquofoacutermula da sauacutederdquo Deliberamos
que cada um dos integrantes ficaria responsaacutevel por ler dois artigos sobre a questatildeo do
emagrecimento considerando alimentaccedilatildeo e exerciacutecios fiacutesicos como paracircmetros
41513 Terceiro encontro
O terceiro encontro do GEPMM ocorreu em 13112012 (terccedila-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel Clarice e Robson dos estudantes Joseacute Pedro e Taty e
com a minha participaccedilatildeo desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e
pesquisadora
Como esse encontro ocorreu na terccedila-feira natildeo tiacutenhamos sala reservada para nos
reunirmos Entatildeo comeccedilamos o encontro em uma sala e em poucos minutos descobrimos que
a sala estava reservada para uma aula Sem termos lugar para nos reunirmos a convite do
professor Robson fomos para um amplo laboratoacuterio de eleacutetrica onde estava ocorrendo em
paralelo ao nosso encontro uma aula de eletricidade praacutetica Depois de chegarmos agrave sala a
cacircmera que foi utilizada para realizar as gravaccedilotildees em aacuteudio e viacutedeo inesperadamente
131
E o submetemos na data limite ndash dia 14 de novembro de 2012 Contudo o CNPq natildeo o aprovou O parecer
questionou sobre a aacuterea de atuaccedilatildeo dos docentes que iriam executaacute-lo
145
interrompeu as filmagens Por esse motivo o relato desse encontro se baseia em alguns
minutos de gravaccedilatildeo em aacuteudio e viacutedeo e nas anotaccedilotildees em caderno de campo
Comeccedilamos o encontro discutindo o artigo132
de Scagliusi e Lancha Juacutenior
(2005) que trata do gasto energeacutetico por meio da teacutecnica da ldquoaacutegua duplamente marcadardquo
Nesse artigo no QUADRO 1 os autores apresentam alguns modelos matemaacuteticos que satildeo
utilizados para o caacutelculo do gasto energeacutetico segundo a teacutecnica da aacutegua duplamente marcada
Percebemos que nas equaccedilotildees denominadas pelos autores por ldquofoacutermulas matemaacuteticasrdquo
contidas no referido quadro alguns valores (constantes) natildeo ficam claros pra noacutes isto eacute os
valores aparecem nas foacutermulas contudo a razatildeo do aparecimento natildeo eacute explicitada no texto
Por exemplo o que significa o valor 3044 ou 1104 na equaccedilatildeo 3 Ou ainda 081 ou 067 na
equaccedilatildeo 4 Natildeo conseguimos encontrar respostas para esses questionamentos no referido
artigo e decidimos apoacutes a reuniatildeo ir agrave busca de alguns artigos referenciados nele como por
exemplo Weir (1949) e Black Prentice e Coward (1986)
Ainda durante a discussatildeo do artigo Scagliusi e Lancha Juacutenior (2005) na paacutegina
542 nos deparamos com um termo fiacutesico-quiacutemico ndash o deuteacuterio Nunca ouvi falar sobre esse
conceito nem o docente Angel nem a docente Clarice A partir dessa duacutevida os alunos Joseacute e
Pedro nos esclareceram com propriedade sobre o que se baseava esse conceito Joseacute e Pedro
utilizaram instrumentos da oralidade que ecoavam vozes oriundas de discursos da fiacutesico-
-quiacutemica escolar (discurso didaacutetico pedagoacutegico) que provavelmente eles haviam tido
acessointeragido durante formaccedilatildeo escolar em niacutevel meacutedio e que estavam guardadas em suas
memoacuterias
Naquele momento podemos perceber ainda que ocorreu uma inversatildeo de papeacuteis
entre alunos e professores noacutes professores aprendemos com os alunos e eles alunos nos
ensinaram Por meio de interaccedilotildees mediadas pela oralidade (linguagem falada) todos noacutes
sujeitos da atividade passamos a ter acesso a informaccedilotildees relacionadas ao deuteacuterio que
estariam suportadas na memoacuteria dos alunos e teriam sido acessadas naquele momento com o
intuito de suprir a necessidade de que todos compartilhassem desse saber Isso somente se
tornou possiacutevel pois aceitamos o convite de formarmos uma parceria de aprendizagem entre
alunos e professores o que nos tira da zona de conforto em que haacute predomiacutenio de controle e
previsibilidade e nos coloca na zona de risco na qual incertezas e imprevisibilidades
imperam (BORBA PENTEADO 2001)
132
Encontrado por mim a partir de buscas na internet e anteriormente ao encontro compartilhado com os demais
parceiros no grupo ldquovirtualrdquo da Modelagem Unifei Itabira na rede social Facebook
146
Naquele encontro a questatildeo do peso corporal ideal ainda estava digamos
nebulosa para noacutes nossas accedilotildees e idealizaccedilotildees eram realizadas mediante negociaccedilatildeo e
interaccedilatildeo com os (instrumentos) que tiacutenhamos em matildeos ndash o artigo estudado no qual
encontramos a QUADRO 1 ndash por meio de habilidades de leitura e interpretaccedilatildeo (linguagem
escrita que inclui a linguagem matemaacutetica escrita) e nossa corporeidade ndash possibilitou
interaccedilotildees por meio de habilidades de debater discutir e interagir uns com os outros
(linguagem falada que inclui a linguagem Matemaacutetica falada e gestos)
QUADRO 1 ndash ldquoEquaccedilotildees utilizadas para o caacutelculo do gasto energeacutetico (GET) segundo a teacutecnica da aacutegua
duplamente marcadardquo
Fonte SCAGLIUSI LANCHA JUacuteNIOR 2005 p 543
Finalizamos a reuniatildeo deliberando que em casa leriacuteamos com calma os artigos
Weir (1949) e Black Prentice e Coward (1986) citados no artigo de Scagliusi e Lancha
Juacutenior (2005)
147
41514 Quarto encontro
O quarto encontro do GEPMM ocorreu em 22112012 (quinta-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice e com a minha participaccedilatildeo
desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e pesquisadora133
Comeccedilamos o encontro discutindo o artigo de Weir (1949) Observamos que esse
artigo eacute bem antigo Angel com o artigo impresso em matildeos apontou para o artigo e disse
ldquoagora tem que ver como que interpreta essas questotildees analisa porque agraves vezes vai entrar
em aacutereas assim mais complexas que a gente poderaacute natildeo entenderrdquo Respondi a ele ldquoIsso eu
tambeacutem jaacute consegui perceber Angel Por isso eu tocirc pensando para este tema a gente tentar
arrumar um nutricionista neacute porque ele jaacute taacute na aacuterea pra ele ajudar a gente a entender O
que vocecircs acham da ideiardquo E Angel respondeu
Ah eacute bacana porque querendo ou natildeo agindo dessa forma a gente taacute [] gerando
interdisciplinaridade neacute Porque a gente taacute pegando professores da matemaacutetica
professores da matemaacutetica mais pura professores da matemaacutetica mais aplicada
pessoas da aacuterea de nutriccedilatildeo Entatildeo eacute um ambiente bem [interdisciplinar]
A professora Clarice tambeacutem se manifestou favoraacutevel agrave integraccedilatildeo de uma
nutricionista a nossa rede de aprendizagem Seguimos com as discussotildees sobre o artigo de
Weir (1949) em que pontuei
a gente vecirc um ldquosisteminhardquo linear aqui de cara Que eacute o que ele [o autor] deve ter
estudado Taacute vendo Entatildeo assim vamos ter que entender porque eacute daqui que
surgem aqueles nuacutemeros que estatildeo laacute naquelas outras equaccedilotildees [me refiro ao artigo
de Scagliusi e Lancha Juacutenior (2005)] [] igual aqui [aponto para a tela do meu
computador portaacutetil onde leio o artigo de Weir (1949) na tela] ele taacute usando
carboidratos a proteiacutena e a gordura [] talvez a gente possa fazer tentar fazer
uma modelagem mais precisa do metabolismo porque vocecircs lembram [] a
questatildeo do metabolismo basal que eacute aquela coisa do repouso seu organismo taacute
gastando a questatildeo da alimentaccedilatildeo que vocecirc taacute acrescentando e do que vocecirc gasta
com as coisas do natildeo repouso neacute entatildeo satildeo essas trecircs categorias que a gente teria
que analisar pra poder eacute achar essa foacutermula que a gente quer ndash este modelo Entatildeo
num primeiro momento estamos estudando essa questatildeo que eacute do metabolismo
basal que ele tem a ver tambeacutem com o que vocecirc taacute comendo Taacute vendo que aiacute jaacute taacute
misturando essas duas coisas neacute Que tem a ver com o oxigecircnio que tem a ver com
133
Os estudantes Joseacute Pedro e Taty natildeo puderam participar justificando excesso de trabalhos e estudos
acadecircmicos Tambeacutem justificando o mesmo motivo natildeo participaram dos demais encontros (quinto sexto
seacutetimo oitavo nono e deacutecimo) Uma anaacutelise mais pontual sobre esse acontecimento seraacute realizada mais adiante
nesta tese no Capiacutetulo 6 mais especificamente na modalidade analiacutetica descrita em 62
148
o gaacutes carbocircnico que vocecirc libera que eacute aquela questatildeo da maacutescara que o aluno
falou neacute na aula passada entatildeo essa coisas elas se misturam neacute
Questionei tambeacutem a metodologia do estudo realizado por Weir (1949)
apontando que os alimentos da eacutepoca eram outros as gorduras consumidas antes eram em
sua maioria oriundas de fontes animais hoje em dia as gorduras vecircm de fontes vegetais E
qual seria o impacto dessa mudanccedila na vida das pessoas Coincidentemente aliado a isso o
nuacutemero de casos de cacircncer tem crescido de forma assustadora
E continuei falando ldquopois eacute eu tocirc pensando [] numa questatildeo aqui relacionada
laacute a nebulosos [Teoria Fuzzy] porque [] se cada um desses paracircmetros aiacute gordura tipos de
alimentos e tudo mais cecirc tem uma certa variabilidade natildeo temrdquo Angel e Clarice
responderam que sim e Angel esclareceu
Entatildeo vocecirc poderia tratar com aquela parte laacute daqueles agrupamentos neacute onde
aqui vocecirc tem o centro e a variabilidade [aponta com uma matildeo representando o
centro e a outra se movimenta em volta] [] e vocecirc jaacute gerar os agrupamentos e
encontrar um modelo nebuloso para o metabolismo humano [] A gente jaacute tem que
pensar alto a gente tem que pensar em publicaccedilatildeo [risos]
Clarice concordou ldquoIsso aiacuterdquo seguiu nos contando que pensou em um problema
para ser colocado na lista de problemas a serem trabalhados no grupo Vale ressaltar que
Clarice ateacute entatildeo natildeo havia em nenhum momento se posicionado com algum
questionamento que pudesse vir a ser trabalhado no grupo Nas palavras dela
Eu queria fazer uma pesquisa eacute pegar os preccedilos eacute o custo de vida hoje e o salaacuterio
miacutenimo atual eacute o preccedilo de alimentaccedilatildeo eacute passagem de ocircnibus o valor do
combustiacutevel [] e ver como que vai taacute isso daqui a 2 anos [] tenho certeza que vai
dar uma diferenccedila boa com relaccedilatildeo ao salaacuterio miacutenimo neacute [] Isso explica neacute na
minha leiga opiniatildeo a violecircncia gente Natildeo tem como As pessoas natildeo tatildeo
conseguindo viver mais com um salaacuterio miacutenimo [] eu tenho muito interesse nisso
Interesse de indignaccedilatildeo mesmo
Angel e eu gostamos dessa proposta de Clarice e a colocamos na lista de
questotildees-problema do grupo Encerramos o encontro deliberando os estudos em casa ler em
profundidade de entendimento o artigo de Weir (1949)
No dia 29112012 comecei uma conversa com uma docente do Departamento de
Nutriccedilatildeo da Universidade Federal de Outro Preto (UFOP) Convidei-a para participar das
discussotildees do grupo sobre o tema ldquofoacutermula da sauacutederdquo mesmo que apenas virtualmente por
meio das redes sociais ou por outro meio de comunicaccedilatildeo a distacircncia Ela aceitou o convite e
passou assim a ser uma parceira em nossos esforccedilos coletivos
149
No dia 01ordm122012 a docente da UFOP nos indicou um livro134
que pode ser
acessado na internet No mesmo dia compartilhei com os demais parceiros o link no grupo
Modelagem Unifei Itabira na rede social Facebook
41515 Quinto encontro
O quinto encontro do GEPMM ocorreu em 06122012 (quinta-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel e Robson e com a minha participaccedilatildeo
desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e pesquisadora
No iniacutecio da reuniatildeo Angel justificou a ausecircncia de Clarice com o fato de ela ter
que se empenhar em um trabalho a ser entregue ainda naquela semana ao professor da
disciplina que eles (Angel e Clarice) cursavam como alunos natildeo regulares do programa de
Poacutes-Graduaccedilatildeo em Engenharia Eleacutetrica na UFMG
Comentei com os parceiros que o livro digital que a docente da UFOP nos indicou
poderia nos ajudar na resoluccedilatildeo do problema do peso corporal ideal No mesmo site encontrei
vaacuterios artigos e livros interessantes Com o auxiacutelio de um pen-drive compartilhei o arquivo
digital que continha o livro com os parceiros Angel e Robson pois eles ainda natildeo o tinham
A seguir descrevo uma interaccedilatildeo entre noacutes ao discutirmos o livro que a docente
do Departamento de Nutriccedilatildeo da UFOP nos indicou
Eu Cecirc lembra um dia que a gente colocou o peso da pessoa ele influencia na
atividade [fiacutesica] Olha pra vocecirc ver que interessante tem um graacutefico na paacutegina
891 que ele [o autor] coloca ndash atividade fiacutesica coloca as quilocalorias gastas por
hora e coloca o gasto da pessoa Ele coloca o impacto do peso no gasto de energia
neacute Nas velocidades 234 ou 5 Agora qual atividade eacute essa Entatildeo a gente podia
partir desses dados que estatildeo aqui por exemplo talvez fixando em um capiacutetulo ou
outro
Angel aqui eacute caminhando
Eu eacute caminhando Taacute vendo que interessante eu acho assim interessantiacutessimo
isso Agora cecirc vecirc que tudo aqui eacute linear neacute Seraacute que daria pra gente pegar esses
mesmos dados e tentar trata-los de outra maneira Taacute vendo oh cecirc caminhar na
velocidade 2 se vocecirc tiver 60 kg cecirc vai queimar 150 calorias mas se vocecirc tiver 130
kg cecirc vai queimar 300 e tantas calorias [] ele [o autor] colocou homens e
mulheres
Robson de repente natildeo tem tanta diferenccedila homens e mulheres
Eu tem pior eacute que tem
Robson [em tom surpreso] tem Tem
134
Livro intitulado Dietary reference intakes for energy carbohydrate fiber fat fatty acids cholesterol
protein and amino acids (macronutrients) Disponiacutevel em ltwwwnapeducatalogphprecord_id=10490gt
150
Eu por exemplo o consumo de proteiacutenas em homens e mulheres ele eacute assim
assustador menos A mulher precisa consumir bem menos proteiacutenas do que o
homem
Robson seacuterio Incriacutevel heim Bem interessante
Eu laacute na paacutegina 893 ele divide soacute pro homem Esse ldquomrdquo aiacute eacute minuto () aiacute depois
ele coloca o das mulheres Olha como eacute diferente Robson
Robson humhum Aiacute eu fico pensando como eacute que ele tirou esses valores Neacute
Tem duas possibilidades ou ele tira da pessoa ali fazendo o tal exerciacutecio eacute
coletando assim as perdas de calor aquela coisa de taacute numa cacircmara fechada e tal
mas eu acho que de repente pegou um enfoque teoacuterico que eacute a queimadas calorias
por meio das reaccedilotildees que gerariam o ciclo de KREBS que eacute a queima de toda
energia eu noacutes temos nas ceacutelulas [] No nosso corpo tem dois processos baacutesicos o
catabolismo e o anabolismo Os processos metaboacutelicos levam a duas coisas no
catabolismo o alimento que vocecirc come ele tende a construir outras coisas por
exemplo massa muscular eacute construir tecidos e depois tem o anabolismo que vocecirc
tem processos que tendem a gerar energia e gerar subprodutos
Eu Angel Robson esse mph seria o ritmo a velocidade [apontando para o livro
em arquivo aberto na tela do meu computador portaacutetil] Olha que chique Robson
ele coloca para vaacuterias atividades voleibol andando 2 mph taacute vendo ele tem a
velocidade esse mph ndash aeroacutebica tecircnis ciclismo moderado
Em busca de mais informaccedilotildees sobre a problemaacutetica nos dirigimos agrave paacutegina 900
do mesmo livro na qual encontramos algumas tabelas explicativas Observando as tabelas
comecei a socializar com os parceiros uma seacuterie de ideias sobre a questatildeo perseguida por noacutes
como segue
O que eu pensei de iniacutecio era a gente criar uma equaccedilatildeo que vocecirc daacute de entrada a
atividade que vocecirc estaacute fazendo tipo assim como se vocecirc pudesse fazer uma
medida de tudo o que vocecirc faz ao longo de uma semana [] pra conseguir fazer um
cronograma do que fazer em termos de atividade fiacutesica e do que comer em termos
de alimentaccedilatildeo pra te dar um resultado que vocecirc jaacute queira Soacute que isso a gente taacute
vendo depende de vocecirc ser homem depende de vocecirc ser mulher depende de seu
peso taacute vendo tem vaacuterios [] porque assim quando a gente vai num
nutricionista eles te datildeo uma foacutermula como se todo mundo fosse igual entendeu
E aiacute pelo o que eu tocirc vendo aqui principalmente com esse livro [] eacute que cada
pessoa depende do peso da idade depende do seu gecircnero e depende da sua altura
neacute essas variaacuteveis satildeo as miacutenimas pra vocecirc ter uma foacutermula []
Apoacutes o compartilhamento dessas ideias Angel se mostrou bem animado e
acrescentou ldquomas a gente pode fazer um software pra fazer isso uai [] primeira coisa que a
gente tem que fazer eacute levantar todas as equaccedilotildees que me datildeo essa resposta e depois a partir
dessas equaccedilotildees chegar em talvezrdquo
Em seguida seguimos discutindo e interagindo como segue
Eu Na verdade vai dar um sistema Vai dar um sistema de interdependecircncia aqui
[aponto para trecircs lugares distintos na mesa como se representassem trecircs lsquocaixinhasrsquo]
[] as variaacuteveis peso altura gecircnero e idade na verdade elas natildeo vatildeo ser variaacuteveis
elas vatildeo ser uma constante ou seja ela eacute variaacutevel do ponto de vista de cada um
[cada pessoa] mas para a foacutermula ela vai ser uma constante [] aiacute a gente coloca
essa variaacuteveis soacute com coeficientes da equaccedilatildeo
151
Robson nossa vocecirc eacute show de bola heim
Angel tem alguma equaccedilatildeo aiacute [no livro] jaacute pronta
Eu natildeo nenhuma pronta
Robson mas essa abordagem vai facilitar a montagem da equaccedilatildeo
Eu inclusive perguntei agrave docente da UFOP e ela falou que eacute isso aqui que a gente
tem entendeu Eacute isso e natildeo tem nada aleacutem disso entendeu
Angel hoje isso daqui [o livro] entatildeo eacute o supra sumo do que tem sobre isso
Eu exatamente eacute o resumo de tudo o que se tem entendeu Que eacute o que eles
[nutricionistas] se apoiam mesmo eacute nesse livro Vamos tentar achar a questatildeo da
taxa de [] porque todos os trecircs satildeo energias neacute Tipo assim melhorando esse
modelo baacutesico seria o tanto de atividade fiacutesica ou seja o gasto caloacuterico porque
na verdade essas trecircs coisas satildeo energias tanto do alimento que eacute energia que
entra quanto do exerciacutecio que eacute uma energia que sai desse sistema e o basal
tambeacutem eacute uma energia que vai taacute sendo gasta Vamos tentar equacionar como se
fosse assim o gasto energeacutetico a taxa de energia natildeo importando se ela eacute uma
taxa positiva ou uma taxa negativa O quecirc que vocecircs acham
Robson razoaacutevel
Eu porque se a gente coloca assim as trecircs equaccedilotildees como taxas de energia neacute eacute
claro que elas vatildeo se alterar neacute uma vai ser sei laacute P a outra Q a outra R
Angel Taacute mais aiacute se vocecirc pensar na questatildeo de classe jaacute tem que pensar no que
vocecirc taacute querendo vincular edo pra depois encontrar o resto eacute essa que eacute a sua
ideia Aiacute cecirc teria que pensar qual seria a antiderivada dessa taxa relacionada a
essa parte de dieta porque laacute na parte de fiacutesica de Caacutelculo a gente sabe o quecirc que
estaacute relacionado com o quecirc agora nessa parte daqui eu jaacute natildeo sei [risos]
Eu entatildeo a gente vai ter que buscar nos dados que a gente jaacute tem mapeados nesse
livro por exemplo Talvez a gente pudesse comeccedilar com a terceira que eacute a parte da
atividade fiacutesica entendeu [] eu natildeo sei se vai dar pra ser uma edo bonitinha ou
se na verdade isso daiacute eacute um trem nebuloso entendeu Porque cada um vai se
subdividindo entre outros e outras
Com essas informaccedilotildees em matildeos decidimos por aceitar e acatar o que nos foi
informado pela docente do Departamento de Nutriccedilatildeo da UFOP Segui criticando a
ldquopadronizaccedilatildeordquo das consultas de nutricionistas e educadores fiacutesicos ldquovocecirc vai consulta faz
tudo o que o profissional te falou e natildeo vecirc resultados Qual o problemardquo
Encerramos o quinto encontro deliberando que deveriacuteamos ler com mais
profundidade o livro indicado pela docente da nutriccedilatildeo
Depois disso na manhatilde do dia 17122012 veacutespera do sexto encontro do
GEPMM na sala dos professores da instituiccedilatildeo em que leciono ao folhear uma revista
chamada Caacutelculo (ano 2 nuacutemero 20 setembro de 2012 editora segmento) li a seguinte frase
na parte inferior da capa ldquoEXTRA EMAGRECER DEMORA TREcircS ANOSrdquo Na mateacuteria
da revista obtive a seguinte informaccedilatildeo
Carson e Kevin dois cientistas americanos descobriram que o corpo reage aos
novos haacutebitos alimentares de modo exponencial (mais ou menos do tipo 119890minus119909)
Quanto maior o peso de Ivan [uma personagem da mateacuteria] mais depressa ele perde
peso ao comeccedilar uma nova dieta a perda de peso desacelera bastante ndash quanto mais
peso Ivan perde mais devagar ele perde peso (o mesmo vale para ganhar peso uma
pessoa gorda se ingerir 10 calorias desnecessaacuterias engordaraacute mais que uma pessoa
magra) O modelo matemaacutetico dos dois cientistas usa um grande nuacutemero de
variaacuteveis para ver como o corpo deve comportar incluindo altura sexo peso grau
152
de atividade fiacutesica ingestatildeo de calorias perfil dos alimentos ingeridos tempo entre
as refeiccedilotildees O problema eacute que tal modelo serve bem para cientistas e
nutricionistas mas natildeo serve para pessoas comuns [] Os dois pesquisadores
colocaram um simulador no portal do NIH que pode ser usado tanto por
nutricionistas quanto por pacientes (httpbwsimulatorniddknihgov) [] Ele
mostra graacuteficos tambeacutem (p 29 grifo meu)
Ao chegar em casa imediatamente acessei o site
httpbwsimulatorniddknihgov para tentar entender o que os pesquisadores fizeram desde
o iniacutecio percebi que o que eles fizeram convergia bem com as nossas ideias
Imediatamente apoacutes acessar o site compartilhei essas informaccedilotildees com os demais
parceiros do grupo incluindo a docente135
do Departamento de Nutriccedilatildeo da UFOP
41516 Sexto encontro
O sexto encontro do GEPMM ocorreu em 18122012 (terccedila-feira) e contou com a
participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice e com a minha participaccedilatildeo desempenhando duplo
papel ndash participante do grupo e pesquisadora
Comecei o encontro contando para os parceiros como tive acesso a essa nova
fonte de informaccedilotildees conforme jaacute relatado acima Pegamos meu computador portaacutetil e
acessamos o site httpbwsimulatorniddknihgov em busca de reconhecer as potencialidades
deste (incriacutevel) novo instrumento Nisso comeccedilamos a seguinte interaccedilatildeo
Eu Ela [a docente da UFOP] me explicou o seguinte a pessoa quando faz o
exerciacutecio fiacutesico [] o exerciacutecio fiacutesico altera o metabolismo basal que eacute aquele de
repouso ele vai acelerar o metabolismo basal e aiacute agraves vezes vamos supor que a
pessoa comeccedila a fazer uma dieta ela comia 2500 calorias por dia passa pra 2000
ou seja o organismo dela tava acostumado com 500 calorias a mais Na teoria
assim que natildeo eacute a teoria de verdade a gente ia achar que essa pessoa vai
emagrecer
Clarice Mas eu juro que vai emagrecer Natildeo me desmente [risos]
Eu Natildeo vai emagrecer necessariamente Por quecirc Porque seu organismo ele vai
lutar pra manter a gordura porque isso eacute uma questatildeo de sobrevivecircncia do
organismo Entatildeo o organismo vai fazer o quecirc Ele vai comeccedilar a economizar o
seu gasto [] enquanto mais muacutesculos a pessoa tem mais eacute o gasto [] e tem mais
vamos supor vocecirc passou de 2500 para 2000 natildeo emagreceu e desistiu da dieta aiacute
135
A referida docente natildeo faz parte dos sujeitos que constituem os dados construiacutedos para a presente pesquisa
apesar de ter participado na resoluccedilatildeo da modelagem do peso corporal ideal Decidi natildeo consideraacute-la como
sujeito por natildeo ser uma participante do contexto formativo analisado ndash formaccedilatildeo em Engenharias Na atividade
de Modelagem analisada nesta parte da tese a docente pode ser considerada como uma fonte externa de
informaccedilotildees
153
vocecirc volta a comer 2500 aiacute vocecirc vira uma baleia Porque ele [o organismo]
acostumou a viver com 2000
Angel Efeito ldquoreboterdquo
Eu Pra engordar eacute exponencial [] Como de fato o exerciacutecio impacta no
metabolismo com o passar do tempo Ela [a docente da UFOP] natildeo soube me dar
essa resposta []
Clarice Eacute mais ou menos assim olha vocecirc fez regime emagreceu passe o resto da
vida fazendo exerciacutecio e regime
Eu Exatamente isso
Com essa afirmaccedilatildeo compreendemos melhor a problemaacutetica estudada por noacutes
Em seguida pontuo que no httpbwsimulatorniddknihgov os pesquisadores
oferecem um campo de resultados para a questatildeo da ldquodieta de manutenccedilatildeordquo jaacute levando em
conta esse entendimento de que satildeo necessaacuterias adaptaccedilotildees permanentes na dieta para manter-
-se com o peso desejado o que muitas vezes pode ser conhecido como ldquoreeducaccedilatildeo
alimentarrdquo
Encerramos o encontro deliberando que precisaacutevamos estudar as equaccedilotildees que
estavam por traacutes ou ldquodentrordquo do software que compilava os resultados no site
httpbwsimulatorniddknihgov Tais equaccedilotildees podem ser encontradas no mesmo site ou
pelo link httpbwsimulatorniddknihgovHall_Lancet_Webappendixpdf
41517 Seacutetimo encontro
O seacutetimo encontro do GEPMM ocorreu em 07022013 (quinta-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice e com a minha participaccedilatildeo
desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e pesquisadora
A docente Clarice comeccedilou a reuniatildeo tecendo o seguinte comentaacuterio ldquoO que eu
acho interessante eacute que quando vocecirc propocircs o tema eu natildeo me animei tanto nem o Angel
quanto os alunosrdquo A docente reclamou da natildeo participaccedilatildeo dos alunos que inicialmente
mostraram-se interessados e depois foram deixando de participar totalmente do grupo
Nesse seacutetimo encontro tentamos discutir136
detalhadamente conceitos e modelos
presentes no artigo que diz respeito agrave Modelagem Matemaacutetica Dinacircmica do peso corporal137
Contudo natildeo conseguimos entendecirc-lo em sua totalidade e entatildeo combinamos de sozinhos
136
Tal discussatildeo seraacute mais bem relatada e analisada mais adiante neste mesmo capiacutetulo 137
O texto pode ser encontrado em httpbwsimulatorniddknihgovHall_Lancet_Webappendixpdf
154
em casa estudarmos o artigo e depois num proacuteximo encontro socializarmos nossos
entendimentos com os demais sujeitos do grupo
41518 Oitavo encontro
O oitavo encontro do GEPMM ocorreu em 16042013138
(terccedila-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice e com a minha participaccedilatildeo
desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e pesquisadora
Anteriormente ao oitavo encontro a docente Clarice havia manifestado desejo em
desenvolver atividades de Modelagem Matemaacutetica nas turmas da disciplina Caacutelculo II que ela
lecionava naquele semestre letivo Contudo percebi que ela se sentia ainda insegura quanto
ao desenvolvimento de tal atividade devido ao fato de as turmas serem compostas por 75
alunos ela temia que os alunos pudessem ter dificuldades de realizaccedilatildeo da atividade visto
que apenas um professor natildeo daria conta de auxiliar 75 alunos de uma soacute vez Sabendo desse
desejo de Clarice comecei a reuniatildeo com o objetivo de idealizarmos as accedilotildees necessaacuterias para
tal efetivaccedilatildeo na realidade da sala de aula das turmas de Caacutelculo II sob a responsabilidade de
Clarice e Angel Segue o trecho extraiacutedo da transcriccedilatildeo das gravaccedilotildees em aacuteudio e viacutedeo do
oitavo encontro
Eu Bom antes de a gente comeccedilar a discutir o artigo em si [que havia sido
estudado no encontro anterior e seria retomado neste] eu queria falar das coisas
extras extra artigo no momento Primeiro eacute a proposta da Clarice sobre a gente
fazer a modelagem no dia 30 na sala [de aula]
Clarice Natildeo No dia 30 fazer na sala natildeo no dia 30 preparar ela pra fazer
Eu Preparar eacute a partir do dia 30 pra depois do dia 30 laacute pelo final de maio
Angel Seria a Modelagem em Caacutelculo II
Clarice Eacute Na minha sala e na sua como um trabalho e a Rutyele vai nos ajudar
Nesse momento podemos perceber um ldquogeacutermemrdquo de atividade sendo elaborado
um novo objeto sendo traccedilado e esboccedilado ainda num plano da consciecircncia coletiva dos
sujeitos partiacutecipes Podemos analisar que os docentes estavam em busca de transformaccedilotildees
efetivas de suas atividades de ensino dentro da sala de aula As discussotildees do grupo as
leituras as interaccedilotildees mediadas por finalidades podem ter suscitado a necessidade de negar
138
O mecircs de marccedilo foi de feacuterias para os docentes e discentes da UNIFEI devido agrave greve histoacuterica da categoria
docente das universidades federais brasileiras ocorrida no ano de 2012 Dessa forma somente no dia 16 de abril
conseguimos nos reunir novamente
155
de alguma forma as praacuteticas presentes dentro da sala de aula e propor uma nova forma de
atividade um contexto alternativo que idealmente modificaria o objeto das aulas tradicionais
das disciplinas de Caacutelculo naquele periacuteodo (especificamente da disciplina Caacutelculo II) A
negaccedilatildeo se deve ao fato de que ldquose o homem aceitasse sempre o mundo como ele eacute e se por
outro lado aceitasse sempre a si mesmo em seu estado atual natildeo sentiria a necessidade de
transformar o mundo nem de transformar-serdquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 192)
Um novo e expandido objeto estava por ser configurado Tiacutenhamos um contexto
real a ser considerado a realidade da disciplina de Caacutelculo II a ementa da disciplina a cultura
jaacute definida pela praacutetica tradicional de ensino de Caacutelculo II o tempo delimitado para a
realizaccedilatildeo das atividades entre outros fatores Enfim o objeto do scholl-going estaria
convivendo com esse novo objeto que naquele momento estava sendo moldado
coletivamente Mas com qual finalidade estaacutevamos moldando este novo objeto Por um lado
devemos considerar o fato de que ldquoa relaccedilatildeo entre pensamento e accedilatildeo requer a mediaccedilatildeo das
finalidades que o homem se propotildeerdquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 192) Por outro lado
para que as finalidades natildeo fiquem limitadas a meros desejos ou fantasias se torna necessaacuteria
antes de qualquer coisa a realizaccedilatildeo de idealizaccedilotildees de forma a conhecer a priori o objeto
que orientaria as ldquoaccedilotildeesrdquo da atividade antes mesmo de ele se tornar real ou seja isso requer
ldquoum conhecimento de seu objeto dos meios e instrumentos para transformaacute-lo e das
condiccedilotildees que abrem ou fecham as possibilidades dessa realizaccedilatildeordquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ
1977 p 192) Nesse sentido continuamos com as idealizaccedilotildees do novo objeto
Angel Sim Taacute mais aiacute essa modelagem eacute com base no conteuacutedo de Caacutelculo II e
Seacuteries
Clarice Natildeo O tempo todo
Angel Modelagem geneacuterica qualquer coisa
Eu Eacute Qualquer coisa
Clarice Eacute porque agraves vezes a gente acha mais interessante algum que envolva
campos ou equaccedilotildees diferenciais
Angel Taacute mais aiacute essa proposta vai ser pra eles fazerem durante o resto do
semestre
Clarice Natildeo a gente vai fazer em uma das aulas
Eu Em duas aulas no maacuteximo Fazer algo simples Levar um probleminha bem
simples do mundo real e que eles faccedilam Aiacute se vocecircs quiserem depois que isso ah
natildeo a gente quer gastar uma semana ou um mecircs aiacute a gente pode pensar em algo
com esta duraccedilatildeo entendeu
Clarice Natildeo daacute pra gastar um mecircs natildeo Toma muita aula Eu acho [risos]
Eu Eacute Tem esse problema
Observemos que naquele momento um dilema potencialmente incorporado veio
agrave tona como propor atividades de Modelagem Matemaacutetica em salas de aula da disciplina de
Caacutelculo II em cursos de Engenharia e ao mesmo tempo cumprir a ementa da disciplina
156
Adicione ainda o fato de ser a primeira vez que os professores participariam de atividades de
modelagem em sala de aula Nesse dilema os professores continuam realizando idealizaccedilotildees
em busca de um novo objeto que estaria relacionado ao objetivo de ensinar os conteuacutedos de
Caacutelculo II de forma que tais conteuacutedos sejam tomados como instrumentos de uma atividade
em vez de objeto
Dessa forma havia um desejo de transformar e modificar o ldquoolharrdquo sobre os
conteuacutedos de caacutelculo tornando-os caacutelculo em accedilatildeo como instrumentos mediadores de accedilotildees
realizadas pelos sujeitos (discentes de cursos de Engenharia) orientados pelo objeto (questatildeo-
problema natildeo matemaacutetica) em vez de sempre estarem sendo tomados como objeto de uma
atividade (school-going) historicamente e tradicionalmente constituiacuteda Na tentativa de
minimizar a tensatildeo entre cumprir a ementa e propor atividades de Modelagem em sala de
aula continuamos dialogando e tentando idealizar um objeto considerando os meios os
instrumentos e as condiccedilotildees para sua realizaccedilatildeo
Eu Ela [a Clarice] pode separar os alunos por curso Fazer os grupos por curso
Tipo assim oh vocecirc eacute aluno da Mecacircnica Vocecirc soacute pode ficar em grupo de gente da
Mecacircnica entendeu Ela pode fazer isso Porque aiacute natildeo precisa ser o mesmo tema
pra todo mundo Inclusive eles mesmos podem trazer os modelos de soluccedilatildeo e
socializar ldquopro restordquo da turma Entatildeo mesmo que o cara laacute da Mobilidade natildeo
tenha nada a ver digamos num primeiro momento com a Mecacircnica mas agraves vezes o
problema que os meninos da Mecacircnica vatildeo resolver vai tambeacutem ter neacute produzir
um significado bacana pros outros
Angel [Balanccedila a cabeccedila assertivamente]
Clarice [Balanccedila a cabeccedila assertivamente]
Angel Eacute aquela parte laacute de vaacuterias variaacuteveis que envolvem volumes e tudo mais daacute
pra pensar umas situaccedilotildees reais assim bem bacanas ligadas agrave produccedilatildeo ou alguma
coisa do gecircnero Ou problemas ateacute aiacute jaacute puxando a sardinha neacute pro meu lado de
Otimizaccedilatildeo neacute que utiliza multiplicadores de Lagrange e tudo mais que eacute uma
parte tambeacutem que eles vatildeo ter que ver
Clarice Eacute
Eu Eu acho que problemas de otimizaccedilatildeo daria pra fazer em todas as aacutereas
Clarice [Balanccedila a cabeccedila assertivamente] Humhum
Eu Igual da Produccedilatildeo da [] de todas as aacutereas ali daacute E usaria a mesma
matemaacutetica neacute assim a mesma ferramenta pra ser resolvido [o problema]
Angel Sim daacute
Eu Vamos pensar Dia 30 a gente senta e discute o quecirc que seria mais viaacutevel de
fazer
Angel Humhum Beleza
Clarice [Balanccedila a cabeccedila assertivamente]
No referido momento estaacutevamos colocando em relevo as condiccedilotildees para a
realizaccedilatildeo da atividade baseados no cumprimento de alguns conteuacutedos da ementa da
157
disciplina dentre eles os Multiplicadores de Lagrange139
que por sua vez abarcam outros
conteuacutedos a serem estudados pelos alunos na referida disciplina dentre os quais podemos
enfatizar o conceito de derivada parcial Sendo assim poderiacuteamos escolher questotildees-
-problema que abarcassem tais conteuacutedos constituindo condiccedilotildees iniciais de um processo que
elencaria outros conteuacutedos abarcados na ementa da disciplina de forma a consideraacute-los
instrumentos necessaacuterios para a resoluccedilatildeoentendimento de tal questatildeo-problema Nesse
sentido os conteuacutedos de Caacutelculo II poderiam ser desenvolvidos sob a orientaccedilatildeo de uma
finalidade um objeto definido como sendoestando mais proacuteximo do objeto a ser considerado
no que tange ao objetivo de formaccedilatildeo em Engenharia
Nisso o que pode ser colocado em relevo eacute a proacutepria finalidade da constituiccedilatildeo do
GEPMM na UNIFEI-Itabira Estando baseado no contexto da aprendizagem expansiva que
se aproxima das finalidades preconizadas pela abordagem do PBL conforme exposto no
Capiacutetulo 3 deste texto o contexto que define e ao mesmo tempo eacute definido pelo grupo como
um espaccedilo formativo enfatiza a necessidade de se elaborar novas formas de praacuteticas
formativas que aconteccedilam uma atividade objetiva real isto eacute uma nova forma de praacutexis
formativa Vale ressaltar que o objetivo da presente pesquisa sempre esteve vinculado a tal
finalidade com o intuito de estudaranalisar o que acontece em termos de aprendizagens
expansivas nesse contexto formativo
Depois de termos dedicado esforccedilos na idealizaccedilatildeo de um novo objeto a ser
levado para as praacutexis formativas que ocorrem no decorrer da disciplina Caacutelculo II
comeccedilamos a interaccedilatildeo uns com os outros por meio de linguagem falada e gestos e com o
texto140
(artigo) estudado na reuniatildeo anterior mediado pela linguagem escrita que inclui a
linguagem escrita matemaacutetica impressa no texto no que tange aos modelos matemaacuteticos
suportados por tal miacutedia O seguinte trecho extraiacutedo das transcriccedilotildees da filmagem em aacuteudio e
viacutedeo do oitavo encontro nos mostra outras accedilotildees que se fizeram necessaacuterias para darmos
continuidade agrave atividade presente cujo objeto consistia no que denominados por peso corporal
ideal A saber
Eu [Com o texto do webappendix em matildeos] Entatildeo olha soacute eu dei uma procurada
eacute pra tentar entender essas equaccedilotildees entatildeo eu cheguei na seguinte conclusatildeo esse
glicogecircnio ele eacute um hormocircnio que ele eacute ativado pela insulina do sangue Entatildeo ele
tem relaccedilatildeo direta com a insulina Aiacute eu fui olhar na () dei uma procurada na
internet e achei umas coisas por exemplo eacute a insulina tem um hormocircnio ligado a
139
Teoria desenvolvida pelo matemaacutetico Lagrange cuja utilidade se encontra na resoluccedilatildeo de problemas de
otimizaccedilatildeo que sob certas condiccedilotildees admitem maacuteximos e miacutenimos locais de funccedilotildees de n variaacuteveis
condicionados a uma restriccedilatildeo Para mais detalhes confira Gonccedilalves e Flemming (2007) 140
O texto pode ser encontrado em httpbwsimulatorniddknihgovHall_Lancet_Webappendixpdf
158
ela que satildeo responsaacuteveis por armazenar gordura no organismo e tem esse
glucagon ou glucacon e um outro hormocircnio que chama hsl que ele eacute responsaacutevel
por fazer o papel contraacuterio que eacute queimar a gordura E aiacute eacute () entatildeo esse
glicogen [continuo apontando a lapiseira para o texto impresso] que tem aqui esse
glicogecircnio ele eacute algo que eacute ativado pela insulina do sangue Quando vocecirc ingere
carboidrato que eacute a massa neacute essas coisas que eacute accediluacutecares a insulina ela tem que
ser ativada pra poder combater isso digerir isso no seu organismo E aiacute
dependendo do tanto de carboidrato que vocecirc come sempre esse G ele eacute ativado
pelo carboidrato ingerido entendeu Entatildeo na verdade essa parte aqui oh esse
[indico com a lapiseira no texto] na verdade ela eacute sempre uma coisa () esse
1198701198921198662 na verdade ele fica sempre maior do que o carboidrato que vocecirc ingere
porque esse G ele eacute ativado pelo CI no organismo Entendeu
Clarice [Olha pra mim com ar de interrogaccedilatildeo Em seguida balanccedila a cabeccedila
assertivamente] Humhum
Angel Humhum
Eu Entatildeo essa parcela 1198701198661198662 taacute vendo que o 119870119866 eacute o 119862119868119887 sobre 119866119894119899119894119905
2 Eacute como se
vocecirc tivesse pegando aqui um zero neacute [no sentido de condiccedilatildeo inicial] Esse 119870119866
Angel Humhum [balanccedila a cabeccedila assertivamente]
Eu Esse 119870119866 eacute pra exatamente manter essa parcela aqui sempre uma parcela o
1198701198661198662maior do que o 119862119868
Angel Taacute mais aiacute vai dar negativo uai Se 1198701198661198662 eacute maior que 119862119868 entatildeo essa
diferenccedila vai dar um sinal negativo
Eu Eacute [balanccedilo a cabeccedila assertivamente] pra dar um resultado negativo Porque aiacute
quando vocecirc joga isso daqui oh [aponto pras equaccedilotildees da paacutegina 2] menos o que era
negativo fica mais [no sentido de ser positivo] Entendeu
Angel Hum Hum Humhum
Eu Entatildeo menos o que seria um decrescimento digamos assim aiacute vai ficar mais
aqui oh Vocecirc lembra que eacute o que a gente tava discutindo na uacuteltima reuniatildeo que era
essa questatildeo aqui de tentar entender [direciono a pergunta para Angel]
Angel Eacute porque os dois termos satildeo iguais o que diferencia eacute o 1 minus 119901 e 119901 Eu Isso Humhum
Angel Aiacute um tava relacionado ao corpo gordo neacute e o outro ao corpo ldquoleanrdquo que eacute
o corpo fino neacute vamos dizer assim neacute magro
Eu Humhum Massa magra e massa gorda
Angel Isso exatamente Que a gente natildeo tinha entendido porque que daria um
resultado () ambos dariam pelo jeito positivo
Observemos que neste momento uma accedilatildeo adicional pocircde ser percebida a busca
de informaccedilotildees na internet As possibilidades de buscas de informaccedilotildees foram potencialmente
ampliadas nos uacuteltimos anos com o crescente acesso e uso de instrumentos de busca na
internet Podemos considerar inclusive que a maioria de nossas atuais atividades cotidianas
pode ser mediada pela internet O uso da internet configurou-se como um importante
instrumento podendo ser considerado como facilitador no que tange ao acesso agraves informaccedilotildees
relacionadas ao objeto de nossa atividade Anaacutelises mais pontuais sobre tais possibilidades
interativas seratildeo mais bem evidenciadas mais adiante ainda neste capiacutetulo
Seguimos ateacute o fim do oitavo encontro interagindo com o artigo em questatildeo
dedicando esforccedilos para o pleno entendimento dos modelos ali impressos Contudo
terminamos a reuniatildeo ainda com uma interrogaccedilatildeo relacionada agrave deacutecima equaccedilatildeo impressa no
referido artigo ldquode onde ele [o autor] tirou esse modelordquo pergunto eu Clarice pontua que o
159
autor citou a referecircncia [20] para chegar ao modelo (10)141
Seguimos debatendo sobre nossa
duacutevida e chegamos agrave conclusatildeo de que o autor isolou a variaacutevel peso (119861119882) na equaccedilatildeo (9) e
derivou em relaccedilatildeo ao tempo chegando assim na equaccedilatildeo (10)142
Combinamos de tentar
fazer isso com calma em casa e vermos se essa seria a resposta para o questionamento exposto
anteriormente Encerramos a reuniatildeo com a seguinte reflexatildeo
Clarice Eacute mais ainda fica aquela coisa neacute achamos que eacute isso [gesticula com os
dedos no sentido de entre aspas]
Eu Eacute mais quem que confirma que eacute neacute A gente tinha que ter algueacutem assim mais
da nutriccedilatildeo pra poder ()
Clarice Pra poder confirmar essas coisas neacute
Eu Porque assim o que os nuacutemeros dizem Os nuacutemeros dizem isso Mas eacute isso
mesmo Como obter algueacutem pra falar natildeo eacute isso mesmo
Clarice Isso Fica um pouco de interrogaccedilatildeo neacute
Eu Humhum Entatildeo aiacute agora Clarice eu acho que o proacuteximo passo eacute a gente eacute
entender esse restinho neacute e eu acho que agora taacute bem mais simples
Clarice Eacute eu acho que aqui a gente termina dia 30
Como estaacutevamos enganadas quanto agrave simplicidade do que estaria por vir A
certeza que tiacutenhamos naquele momento eacute de que ainda havia uma interrogaccedilatildeo quanto ao
entendimento daquela equaccedilatildeo de onde o autor tirou a equaccedilatildeo (10)
41519 Nono encontro
O nono encontro do GEPMM ocorreu em 30042013 (terccedila-feira) e contou com a
participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice e com a minha participaccedilatildeo desempenhando duplo
papel ndash participante do grupo e pesquisadora
Comeccedilamos a reuniatildeo discutindo sobre a necessidade de encontrarmos alunos
para nos ajudar na finalizaccedilatildeo da atividade de entendimentosoluccedilatildeo da problemaacutetica questatildeo
do peso corporal ideal Como poderiacuteamos recompensar o engajamento dos alunos no grupo
distribuiccedilatildeo de pontos na disciplina Caacutelculo II Oferecimento de bolsas de pesquisa As duas
alternativas pareceram problemaacuteticas num primeiro momento Primeiro quanto agrave
possibilidade de distribuiccedilatildeo de pontos podemos considerar o seguinte trecho extraiacutedo da
transcriccedilatildeo das filmagens da oitava reuniatildeo
141
httpbwsimulatorniddknihgovHall_Lancet_Webappendixpdf 142
A equaccedilatildeo (10) [120578119865+120588119865+120572120578119871+120572120588119871
(1minus120573)(1+120572)]119889119861119882
119889119905= Δ119864119868 minus
1
(1minus120573)[120574119865+120572120574119871
(1+120572)+ 120575] (119861119882 minus 1198611198820)
160
Eu [] Aiacute na hora que vocecirc oferece 10 pontos eles vecircm participar
Clarice Porque eu tenho alunos que natildeo tiram 10 em 100 [risos] Entatildeo 10 pontos
pra ele eacute um brinde [] E os alunos aqui tem uma preocupaccedilatildeo enorme com
coeficiente
Eu Mas vocecirc acha que ele [o aluno] viria e que ele faria o serviccedilo ou natildeo
Clarice Viria mas como eacute que eu tocirc te falando porque faria o serviccedilo [balanccedila a
cabeccedila negativamente] Natildeo natildeo faria Talvez nos primeiros dias ele tentaria mas eu
natildeo sei ateacute onde ele conseguiria A preocupaccedilatildeo eacute apenas ponto ponto e ponto
Naquele momento a opccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de pontos pareceu natildeo resolver o
problema da falta de interesse por parte dos alunos no que diz respeito agrave participaccedilatildeo no
grupo Parece ser consensual entre noacutes docentes que geralmente os alunos dedicam esforccedilos
sempre na direccedilatildeo da obtenccedilatildeo de pontos para serem aprovados nas disciplinas
especialmente nas disciplinas de Caacutelculo que satildeo responsaacuteveis por grande parte das
reprovaccedilotildees em cursos de Engenharia podendo ateacute mesmo ser consideradas como fator de
desistecircncia e evasatildeo desses cursos Caso os docentes decidissem pela distribuiccedilatildeo de pontos
nas respectivas disciplinas de Caacutelculo que lecionavam para que os alunos participassem do
GEPMM a Teoria da Atividade nos ajuda a perceber que os alunos poderiam estar orientados
para a pontuaccedilatildeo a ser obtida e natildeo para o objeto idealizado do GEPMM - resoluccedilatildeo das
questotildees-problema natildeo matemaacuteticas e a proacutepria formaccedilatildeo
Em segundo lugar o oferecimento de bolsas aos alunos que aceitassem o convite
de participaccedilatildeo no grupo estaria condicionado ao registro do GEPMM no diretoacuterio de grupos
de estudos e pesquisas do CNPq sendo que somente docentes que possuem o tiacutetulo de
doutorado podem registrar grupos de pesquisa em tal diretoacuterio O uacutenico docente que estaria
portanto em condiccedilotildees de registrar o GEPMM seria o Robson que possui o tiacutetulo de doutor
Contudo Robson havia ateacute entatildeo participado apenas do terceiro e do quinto encontro do
GEPMM sempre se mostrava ocupado demais ou em viagens de trabalho Mesmo assim
estando restritos a tal condiccedilatildeo insistimos com Robson para que ele registrasse o grupo no
diretoacuterio do CNPq
Dando prosseguimento ao relato do nono encontro Angel nos contou que havia
mudado a dinacircmica da disciplina de Caacutelculo II e que em certos momentos trabalharia com
problemas reais que tivessem relaccedilatildeo aos conteuacutedos da referida disciplina Isso pode
demonstrar que realmente Angel estaacute motivado a realizar mudanccedilas quanto agraves praacutexis
formativas que ele tem participado como docente da disciplina de Caacutelculo II em cursos de
Engenharia Angel pontuou tambeacutem mudanccedilas no que se refere ao trabalho em equipe dentro
de sala de aula e acabou gerando a seguinte discussatildeo
161
Angel [] eu mudei essa questatildeo de disciplina e agora tudo tem que ser feito em
equipe Entatildeo eles [os alunos] jaacute chegam jaacute forma laacute os grupinhos laacute que vai ficar
ateacute o final do semestre e tudo mais e assim eu vejo que existe essa interaccedilatildeo igual
eu passo nos grupos laacute tem um que fala mais e que sabe mais explicando pros
outros colegas discutindo o assunto entendeu Entatildeo assim nossa eu fico
satisfeitiacutessimo Entendeu vendo esse tipo de conduta
Clarice Natildeo ponho muita feacute natildeo Muito pouca feacute [risos] Noacute [balanccedila a cabeccedila
indicando negatividade]
Eu Mais eacute Clarice tem que mudar eacute isso O problema eacute que o ensino tradicional
ele taacute falido haacute muitos anos e a gente natildeo consegue perceber
Clarice Pois eacute mais eu tocirc dizendo assim eacute infelizmente igual no meu grupo [na
sala de aula de Caacutelculo II em que leciona] posso passar isso laacute alguns vatildeo me
enganar entendeu Eu tocirc chateada por isso mesmo porque tatildeo tentando me
enganar
Eu Natildeo mais eles [alguns alunos] vatildeo tentar burlar o sistema Sempre vai ter
Angel Claro
Clarice Isso Eles montam o grupo laacute agraves vezes sim o seu grupo tem sete [alunos] e
tem trecircs interessados os outros humhum humhum e sabe Natildeo sei Entatildeo assim
natildeo eacute ainda ()
Angel Taacute mais aiacute como que vocecirc mapeia e pune esses que estatildeo igual eu falei laacute
()
Clarice Natildeo pune Vocecirc natildeo consegue punir num trabalho()
Angel Na avaliaccedilatildeo uai
Observe que nessa discussatildeo dois fatores principais quanto ao trabalho em grupo
sendo realizado dentro da praacutexis formativa em salas de aula de Caacutelculo II podem ser
colocados em relevo Por um lado ao realizar atividades em grupo os alunos tecircm ampliadas
as possibilidades de interaccedilotildees o que sem duacutevida pode ampliar as possibilidades de
aprendizagens por outro lado os alunos que natildeo se engajarem na atividade de fato acabam
podendo mais facilmente tentar ldquoburlarrdquo o controle exercido pelo professor principalmente no
que tange agrave puniccedilatildeo que pode inclusive continuar a ser exercido pela avaliaccedilatildeo escrita
individual e na maioria das vezes sem consulta conforme preconizado por Angel que seguiu
nos contando
Angel Igual por exemplo igual porque eu adoto muito esse meacutetodo porque eacute da
onde que eu dei aula que eacute laacute no Pitaacutegoras que tem muito essa questatildeo de equipe e
tudo mais e depois avaliar o individual Entatildeo o quecirc que eacute Como que eu moldei
essa questatildeo aqui mais ou menos adaptado ao que tinha laacute vocecirc tem o quecirc as
atividades em equipe e tem as avaliaccedilotildees individuais Entatildeo laacute no Pitaacutegoras vocecirc
sempre trabalhava com 70 30 setenta a parte de prova e trinta das notas de
trabalho em equipe Porque todo mundo tem que aprender a lidar em equipe a
trabalhar em equipe neacute aquelas coisas todas Entatildeo no Caacutelculo II eu tocirc sempre
fazendo esse meio termo primeira etapa claacutessica e a segunda etapa essa parte de
atividade em equipe e avaliaccedilatildeo individual Entatildeo o quecirc que acontece Cada
unidade do livro vamos dizer assim eu seleciono laacute oito dez exerciacutecios pra seres
desenvolvidos em sala entatildeo eu tocirc vendo olhando os grupos como que taacute o niacutevel de
discussatildeo o quecirc que taacute acontecendo entendeu Todas as aulas jaacute foram
disponibilizadas os slides entatildeo eles jaacute tem todas as ferramentas na matildeo
Clarice Vocecirc pocircs no portal [referindo-se ao portal acadecircmico ndash uma plataforma
digital]
162
Angel No portal e tambeacutem num site laacute onde taacute os slides que a proacutepria editora [do
livro texto] fornece Eacute claro que tem que fazer umas correccedilotildees-zinhas neacute Mas a
editora jaacute facilita tremendamente Entatildeo o que acontece Cada aula entatildeo eles
natildeo sabem quais os exerciacutecios que eu vou pedir porque eu passo na aula entatildeo
eles jaacute tecircm que ir para aquele momento de atividade em equipe sabendo um pouco
do assunto Porque como que eles vatildeo discutir com os outros colegas laacute sem saber
nada
Uma anaacutelise que pode ser feita com base nesse excerto eacute de que o docente Angel
desejava que os alunos tivessem uma participaccedilatildeo mais ativa em seus proacuteprios processos
formativos Acreditava que o conhecimento preacutevio eacute importante para a construccedilatildeo do
conhecimento aleacutem de valorizar a ampliaccedilatildeo das possibilidades de interaccedilatildeo quando o
trabalho eacute realizado em grupos ndash uma coletividade de sujeitos Contudo parece que o objeto
dessa nova atividade ldquomoldadardquo por ele e compartilhada conosco por meio da linguagem
falada e dos gestos que estaria presente na praacutexis formativa das aulas de Caacutelculo II sob sua
responsabilidade pouco se diferencia qualitativamente do objeto do school-going de
Engestroumlm (2008) Nesse caso o objeto da atividade continua sendo os conteuacutedos de Caacutelculo
II conforme apresentaccedilatildeo do livro-texto soacute que agora suportados pela miacutedia slides lidos na
tela de um computador com o auxiacutelio de um software Ainda natildeo podemos deixar de enfatizar
que ao considerar uma atividade na qual os sujeitos tenham ativa participaccedilatildeo no processo
Angel atribui como objeto possivelmente compartilhado nas atividades de alunos e
professores os proacuteprios alunos ora sujeitos ora objeto possivelmente compartilhado O que
ele pretendia inclusive com as alteraccedilotildees na referida praacutexis formativa era potencializar o
compartilhamento de tal objeto ndash alunos mediante a valorizaccedilatildeo e o empreendimento da
participaccedilatildeo ativa em tal atividade
Depois de expor as transformaccedilotildees que Angel teria efetuado em sua atividade
docente Clarice comeccedilou por justificar a impossibilidade de propor trabalhos em grupo com
os alunos naquele semestre letivo pelo simples fato de que ela estava lecionando num
auditoacuterio cujas cadeiras eram ldquofixas e terriacuteveisrdquo Declarou ainda que esperava que a situaccedilatildeo
da infraestrutura da instituiccedilatildeo melhorasse para que nos semestres seguintes ela pudesse
lecionar em salas de aula normais com cadeiras moacuteveis possibilitando assim alteraccedilotildees
quanto agrave questatildeo da valorizaccedilatildeo do trabalho em grupo versus o trabalho individual em
disciplinas de Caacutelculo II Pontuou tambeacutem a questatildeo da natildeo obrigaccedilatildeo do cumprimento de
preacute-requisitos na instituiccedilatildeo ou seja natildeo era necessaacuteria a aprovaccedilatildeo em Caacutelculo I para efetuar
a matriacutecula em Caacutelculo II por exemplo Clarice nos contou
163
Clarice Eu acho Rutyele que a partir do periacuteodo que vem vai ser melhor trabalhar
com Caacutelculo I Caacutelculo II inclusive nesse sentido Qual que eacute o problema nesse
periacuteodo eacute que pelo menos 60 dos meus alunos dos 150 natildeo passou em Caacutelculo I
natildeo Natildeo passou em Caacutelculo I entatildeo taacute sem saber o baacutesico do baacutesico mesmo
Angel A Clarice taacute num horizonte bom eu tocirc com 90 eu tocirc com as turmas do
professor X [um professor famoso na instituiccedilatildeo por ter altos iacutendices de reprovaccedilatildeo]
[risos]
Clarice Entatildeo assim esses alunos [] eles praticamente natildeo tem condiccedilotildees de
trabalhar sozinhos sem exposiccedilatildeo oral natildeo Na minha visatildeo natildeo Porque igual eu
poderia citar nomes assim igual fulano fulano e fulano que praticamente cecirc tem
que pegar na matildeo ele taacute sem preacute-requisito nenhum e quando vocecirc potildee ele pra ler
igual jaacute aconteceu igual o menino vem tirar duacutevida aqui comigo aiacute eu falo ah o
que eacute que taacute escrito Isso e isso mas soacute que taacute faltando uma coisa de antes Entatildeo
quando eu tocirc expondo eu tenho que ficar voltando lembra laacute em Caacutelculo I era
assim Aiacute aqui em Caacutelculo II eacute assim Agora tem preacute-requisito a partir do periacuteodo
que vem Aiacute eu por exemplo vou explicar derivada lembra laacute em Caacutelculo I
Derivada era assim era isso lembra Ah aqui eacute assim Olha como mudou
Clarice demonstrou com isso natildeo acreditar que alunos que tenham sido
reprovados em Caacutelculo I consigam dar conta de participarem efetivamente das atividades
propostas por Angel em sua nova proposta pedagoacutegica Imediatamente Angel posicionou-se
ldquoigual como que explica dois alunos laacute que tiraram praticamente quase 100 na minha prova
laacute de Caacutelculo II e foram reprovados em Caacutelculo I Se vocecirc ver a prova do menino que linda
a prova escrito tudo certinho os caminhos uma coisa assim ma-ra-vi-lho-sardquo Com essa
fala Angel buscou contrapor o receio que Clarice havia demonstrado anteriormente
explicitando que alunos que haviam sido reprovados em Caacutelculo I com outro professor (que
adota a forma tradicional de desenvolver as disciplinas de Caacutelculo acostumando-se inclusive
com iacutendices proacuteximos de 90 de reprovaccedilatildeo) poderiam dar conta sim de trabalhar de forma
mais ativa sem exposiccedilatildeo oral dos conteuacutedos pelo professor
Seguimos a reuniatildeo discutindo sobre a idealizaccedilatildeo da atividade que iriacuteamos
aplicar em sala de aula de Caacutelculo II cujos docentes eram Clarice e Angel conforme exposto
anteriormente Nisso Clarice comeccedilou a folhear o livro-texto143
da disciplina e disse ldquoeu
tinha pegado aqui do livro era um de maacuteximo e miacutenimo mesmo Soacute que eu ia falar com vocecirc
[referindo-se a noacutes ndash eu e Angel] uma coisa assim por exemplordquo e continuou folheando o
livro querendo encontrar algo especiacutefico Em seguida entregou-me o livro aberto em uma
paacutegina especiacutefica apontando para mim com o dedo indicador qual seria sua sugestatildeo Ela
sugeria o ldquoprojeto de uma caccedilambardquo (STEWART 2006 p 961) que consistiria em
determinar as dimensotildees de uma caccedilamba de entulho com tampa com o objetivo de minimizar
143
Livro de autoria de James Stewart intitulado por Caacutelculo volume 2 5 ediccedilatildeo Confira referecircncia completa em
STEWART (2006)
164
seu custo de produccedilatildeo Decidimos acatar a sugestatildeo de Clarice e combinamos o
desenvolvimento da atividade para o mecircs de julho de 2013
415110 Deacutecimo encontro
O deacutecimo encontro do GEPMM ocorreu em 14052013 (terccedila-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice e com a minha participaccedilatildeo
desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e pesquisadora
Comeccedilamos a reuniatildeo com Clarice nos contando que na aula de Caacutelculo II que
ela havia desenvolvido depois do encontro anterior do GEPMM (nono encontro) ficou claro
para ela que os alunos realmente natildeo estavam prestando atenccedilatildeo poucos se concentravam
segundo ela Com isso ela decidiu ldquomudar o meacutetodo de ensinordquo mesmo parecendo ainda natildeo
acreditar que ele funcionasse mas tambeacutem acreditava que pior do que a aula expositiva natildeo
poderia ser Pareceu-me que ela havia se apropriado das ideias compartilhadas por Angel no
decorrer do uacuteltimo encontro e resolveu consideraacute-las como uma possibilidade para o
desenvolvimento de suas aulas
Em seguida voltamos a planejar a atividade de modelagem que seria realizada no
decorrer das aulas de Caacutelculo II nas turmas sob a responsabilidade de Clarice e Angel
Descobrimos por meio de um aluno da professora Clarice que existia um manual em PDF144
disponibilizado na internet e amplamente difundido e utilizado pelos alunos da instituiccedilatildeo
que consistia em um conjunto de soluccedilotildees de todos os exerciacutecios propostos no livro-texto
incluindo uma resoluccedilatildeo para o ldquoprojeto de uma caccedilambardquo (STEWART 2006 p 961) Com
isso desistimos de levar tal projeto como havia sugerido a docente Clarice Propusemos-nos a
pensar em outra questatildeo-problema para que em um proacuteximo encontro pudeacutessemos debater e
decidir coletivamente qual seria nossa escolha
Ateacute aquele momento continuaacutevamos a insistir com Robson no que diz respeito ao
registro do grupo de pesquisa no diretoacuterio do CNPq Somente apoacutes tal registro eacute que
poderiacuteamos concorrer agraves chamadas puacuteblicas mediante a submissatildeo de projetos que
viabilizassem o oferecimento de bolsas para os alunos que estivessem dispostos a participar
144
Para mais informaccedilotildees acesse a paacutegina httpptwikipediaorgwikiPortable_document_format
165
ativamente do GEPMM aleacutem do suprimento de outras demandas que seriam impostas no
decorrer das atividades do grupo
Depois disso voltamos agrave problemaacutetica questatildeo do peso corporal ideal no sentido
de idealizarmos o presente objeto da atividade para estabelecer possibilidades de
transformaccedilatildeo Traccedilaacutevamos naquele momento uma primaacuteria idealizaccedilatildeo do objeto a ser
criado por noacutes no futuro sob a orientaccedilatildeo do objetivo de criar um modelo teoacuterico que seria
base para o desenvolvimento de um software utilizando instrumentos de Caacutelculo e da Teoria
Fuzzy para a referida questatildeo-problema partindo dos modelos matemaacuteticos impressos no
artigo145
estudado por noacutes e das informaccedilotildees contidas no livro sugerido pela docente da
UFOP Segue o traccedilado das idealizaccedilotildees baseado em trechos extraiacutedos das transcriccedilotildees das
filmagens em aacuteudio e viacutedeo do deacutecimo encontro do GEPMM
Eu [] eu acho que laacute [no livro indicado pela docente da UFOP] seria a fonte que
a gente pegaria pros dados E aiacute o quecirc que eu pensei em fazer Fazer eacute dividido em
trecircs coisas o metabolismo basal a taxa basal ela eacute influenciada pelo que vocecirc
come e pelas atividades que vocecirc taacute fazendo neacute que satildeo aquelas trecircs caixas - que eacute
o metabolismo basal que eacute a energia ingerida e a energia desprendida pra vocecirc
fazer as atividades fiacutesicas que vocecirc faz neacute Entatildeo o quecirc que vocecirc teria O basal ele
eacute afetado pelos outros entatildeo eacute um sistema onde a gente teria trecircs tipo equaccedilotildees
fuzzy uma primeira que taacute sendo afetada pelos outros e a gente taria vendo como
que isso afeta neacute E faria uma caixa que seria uma equaccedilatildeo pra o gasto caloacuterico
ou seja cecirc vai andar 10 minutos a peacute cecirc vai pegar um ocircnibus entatildeo isso aiacute seriam
dados que a proacutepria pessoa falaria [cederia como valores de entrada para o
programa-software a ser desenvolvido] Entatildeo teria que ter o campo aberto
entendeu
Angel Humhum
Eu Tipo assim aquele () uma sequecircncia de vaacuterias atividades [gesticulo com as
matildeos imitando uma lista] pra pessoa clicar em cima da que ela faz Entendeu Por
exemplo ah eu ando de bicicleta Taacute mais quanto tempo em minutos por semana
Aiacute a pessoa colocaria ah eu ando 180 minutos de bicicleta entendeu
Clarice Humhum [balanccedila a cabeccedila assertivamente]
Eu Entatildeo teria que ter uma caixinha pra pessoa colocar a atividade fiacutesica e uma
caixinha pra colocar o tempo daquela atividade fiacutesica No que a pessoa iria digitar
isso eacute o programa vai buscar no banco de dados dele que eacute baseado no livro e jaacute
vai somar fazer a soma de tudo e jaacute vai dar o resultado final Mais ou menos o que
aquele programinha do pessoal aiacute faz [aponto o dedo indicador para o texto que
estava (impresso em papel) sobre a mesa]
Com isso reafirmamos a necessidade de encontrarmos pessoas para participarem
de tal atividade mais parceiros Aleacutem disso ainda natildeo tiacutenhamos entendido plenamente
mediante as interaccedilotildees com o texto escrito (Hall-Lancet) e entre noacutes sujeitos integrantes do
GEPMM todas as equaccedilotildees que representavam o fenocircmeno da mudanccedila do peso corporal
com relaccedilatildeo agraves alteraccedilotildees na dieta e nos exerciacutecios fiacutesicos Percebemos que um texto escrito
sob a forma de um artigo cientiacutefico poderia natildeo dar conta de representar impressotildees 145
httpbwsimulatorniddknihgovHall_Lancet_Webappendixpdf
166
suficientemente necessaacuterias para o entendimento de uma pesquisa em movimento A equaccedilatildeo
(10)146
ainda natildeo estava clara para noacutes Natildeo sabiacuteamos como o autor havia chegado naquele
modelo matemaacutetico Sabiacuteamos que era uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria Poreacutem como ela
estaria representando o fenocircmeno Quais hipoacuteteses que estavam sendo consideradas Tais
questotildees seratildeo mais bem analisadas mais adiante no presente texto
4152 Dando continuidade agraves accedilotildees potencialmente expansivas
Dando por encerrado o relato do que aconteceu durante os dez primeiros
encontros do GEPMM retornarei ao miniciclo de accedilotildees de aprendizagem potencialmente
expansivas analisando a sexta e a seacutetima accedilatildeo sob o ponto de vista colocado em relevo
anteriormente que considera um ciclo menos longo (miniciclo) como sendo potencialmente
expansivo
416 Refletindo sobre o processo
Segundo Engestroumlm e Sannino (2010b) apoacutes iniciada a fase de implementaccedilatildeo do
modelo que nesta pesquisa aconteceu por meio da constituiccedilatildeo do GEPMM eacute necessaacuterio
refletir sobre todo o processo com o intuito de avaliaacute-lo e caso seja necessaacuterio modificaacute-lo
Sendo assim torna-se necessaacuteria a reflexatildeo sobre a implementaccedilatildeo do novo modelo de
atividade sob a forma de uma praacutexis inovadora em um contexto especiacutefico visando a
modificar eou adaptar o modelo agraves exigecircncias demandas e limitaccedilotildees que se revelavam nas
formas de praacutexis frequentemente utilizadas em tal contexto de formaccedilatildeo jaacute que
a produccedilatildeo do objeto ideal eacute inseparaacutevel da produccedilatildeo do objeto real material e
ambas nada mais satildeo do que o anverso e o reverso de uma mesma moeda ou os dois
lados de um mesmo processo A forma que o sujeito quer imprimir agrave mateacuteria existe
como forma geratriz na consciecircncia mas a forma que se plasma definitivamente na
mateacuteria natildeo eacute a mesma ndash nem a duplicaccedilatildeo ndash da que preacute-existia originariamente Eacute
certo que o resultado definitivo estava preacute-figurado idealmente mas o definitivo eacute
exatamente o resultado real e natildeo o ideal (projeto ou finalidade original) O modelo
anterior soacute pode se realizar no transcurso de um processo ao fim do qual natildeo se
146
[120578119865+120588119865+120572120578119871+120572120588119871
(1minus120573)(1+120572)]119889119861119882
119889119905= Δ119864119868 minus
1
(1minus120573)[120574119865+120572120574119871
(1+120572)+ 120575] (119861119882 minus 1198611198820)
167
alcanccedila tudo que se havia projetado (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUES 1977 p 249 grifos
meus)
Nesse sentido percebemos que alguns ajustes e modificaccedilotildees eram necessaacuterios
para que pudeacutessemos dar continuidade a nossa atividade O primeiro deles foi com relaccedilatildeo a
pouca ou quase nenhuma participaccedilatildeo dos estudantes147
Poucos aceitaram o convite ndash apenas
trecircs Desses um desistiu e os outros pouco comparecem agraves reuniotildees Por esse motivo
pensamos em oferecer ldquoalgo em trocardquo para que conseguiacutessemos mais aceites por parte dos
alunos Nas turmas da disciplina Caacutelculo II nas quais os docentes Clarice e Angel lecionam
pensamos em oferecer 10 pontos para os alunos que aceitassem o convite mas desistimos da
ideia devido a questotildees eacuteticas e metodoloacutegicas Estaacutevamos na expectativa de conseguirmos
no miacutenimo mais quatro alunos para participarem do grupo O segundo ajuste diz respeito a
uma possiacutevel modificaccedilatildeo na dinacircmica do modelo (a atividade de Modelagem) os docentes
Angel e Clarice demonstraram o desejo de levar atividades de Modelagem Matemaacutetica para
comporem as disciplinas de Caacutelculo II que lecionam com outros tipos de metodologias tais
como aulas expositivas por exemplo Para darmos conta de analisar essa possiacutevel adaptaccedilatildeo
do modelo talvez seja necessaacuterio a retomada do ponto de vista analiacuteticoreflexivo agrave fase
quatro do miniciclo de accedilotildees expansivas e examinarmos novamente o mesmo modelo ndash
atividade de Modelagem Matemaacutetica agora podendo assumir outro formato contextual e
dinacircmico em um cenaacuterio no qual aconteceram e continuaratildeo acontecendo outros tipos de
praacutexis formativas ndash a sala de aula da disciplina Caacutelculo II O terceiro ajuste se relaciona agrave
necessidade de encontrarmos um parceiro que tenha formaccedilatildeo na aacuterea de Computaccedilatildeo mais
especificamente que se interesse por programaccedilatildeo e por Teoria Fuzzy Percebemos no
decorrer do processo de implementaccedilatildeo que precisamos de um parceiro com tal formaccedilatildeo
pois atualmente para um pleno entendimento da ciecircncia ldquoem construccedilatildeordquo que perpassa as
atividades de Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia torna-se necessaacuterio
compreender em sua plenitude o que haacute por traacutes dos algoritmos dos softwares dos
programas executaacuteveis entre outros para a partir daiacute iniciarmos um processo de inovaccedilatildeo
Vale a pena ressaltar que a necessidade de encontrarmos um parceiro da aacuterea da
Computaccedilatildeo ocorreu mediante a idealizaccedilatildeo de um novo modelo para dar conta da
problemaacutetica do peso corporal ideal Ao mesmo tempo em que esta necessidade possa parecer
um fator que torne o desenvolvimento de atividades de Modelagem Matemaacutetica em cursos de
147
Mais adiante neste texto especificamente no Capiacutetulo 5 ndash ao descrever a modalidade analiacutetica 2 em 52 ndash
com base nas entrevistas finais concedidas a mim pelos referidos estudantes farei uma anaacutelise sobre a
participaccedilatildeo e o respectivo abandono do GEPMM
168
Engenharia mais difiacutecil podendo ateacute mesmo ajudar a reforccedilar a crenccedila de que fazer
modelagem eacute difiacutecil que os alunos e professores natildeo estatildeo preparados para o
desenvolvimento de tais atividades por outro lado pode ser um importante contexto que
possibilite inovaccedilatildeo e produccedilatildeo de conhecimentos mediante uma atividade de caraacuteter
verdadeiramente interdisciplinar que envolva estudos e pesquisa em sua gecircnese
417 Consolidando seus resultados em uma nova forma de praacutetica
Ateacute o final do ano de 2013148
o GEPMM dedicava esforccedilos na tentativa de
estabelecer essa fase do miniciclo de accedilotildees expansivas como um horizonte de accedilotildees futuras
Portanto o miniciclo ainda natildeo havia se fechado Engestroumlm (1999) enfatiza que ldquoa
ocorrecircncia de um ciclo expansivo completo natildeo eacute comum e ele tipicamente requer esforccedilos
concentrados e intervenccedilotildees deliberadasrdquo (p 385 apud ENGESTROumlM SANNINO 2010b p
12)
Com essa ressalva podemos analisar a construccedilatildeo do GEPMM como um
miniciclo potencialmente expansivo de accedilotildees cujo objetivo (ainda que idealmente) consistiu
na modificaccedilatildeo ou complementaccedilatildeo das praacutexis formativas relacionadas agraves disciplinas de
Caacutelculo na instituiccedilatildeo universitaacuteria tomada como palco da presente investigaccedilatildeo
Como um fechamento provisoacuterio dessa primeira parte da anaacutelise procedo com o
preenchimento da matriz para a anaacutelise da aprendizagem expansiva conforme preconizado
por Engestroumlm (2001) e exposta no Capiacutetulo 3 da presente tese levando em conta os dados
construiacutedos para esta pesquisa como segue
148
Durante o ano de 2014 o GEPMM natildeo se reuniu Os docentes dedicavam esforccedilos agraves respectivas pesquisas de
Doutorado
169
QUADRO 2 ndash ldquoMatrizrdquo para anaacutelise da aprendizagem expansiva
Fonte Elaborada pela autora
A seguir darei continuidade agrave anaacutelise baseando-me principalmente em alguns
momentos da construccedilatildeo dos dados desta pesquisa Trechos extraiacutedos das transcriccedilotildees das
entrevistas iniciais dos estudantes Joseacute e Pedro da entrevista final do aluno Joseacute e das
gravaccedilotildees do nono encontro do GEPMM aleacutem de trechos extraiacutedos das transcriccedilotildees das
gravaccedilotildees do segundo encontro do GEPMM quando dedicaacutevamos esforccedilos para a submissatildeo
do projeto agrave chamada do CNPq e trechos extraiacutedos das entrevistas finais com os alunos e
professores partiacutecipes do GEPMM e finalmente momentos que perpassaram a problemaacutetica
abordada pelo GEPMM com relaccedilatildeo ao tema denominado por mim como peso corporal ideal
Os momentos escolhidos para serem analisados mais pontualmente constituem importante
arcabouccedilo argumentativo para responder agrave pergunta de pesquisa
Vale a pena ressaltar que com base nos referidos momentos decidi elaborar
anaacutelises temaacuteticas e as denominei por modalidades ou seja modalidades analiacuteticas Para tal
quatro modalidades seratildeo explicitadas no texto que segue
170
5 MODALIDADES ANALIacuteTICAS
Neste capiacutetulo tenho por objetivo apresentar um arcabouccedilo argumentativo na
tentativa de responder ao questionamento impresso na pergunta diretriz149
que norteou a
investigaccedilatildeo relatada na presente tese Para tal construo quatro modalidades analiacuteticas
Na primeira modalidade baseio-me em trechos extraiacutedos das transcriccedilotildees das
entrevistas iniciais concedidas a mim pelos estudantes Joseacute e Pedro da entrevista final do
aluno Joseacute e das gravaccedilotildees do nono encontro do GEPMM Teccedilo uma anaacutelise a respeito da
existecircncia de uma ldquotelardquo invisiacutevel podendo ser considerada um instrumento que
supostamente permeou as aulas tradicionais de Caacutelculo em que os alunos Pedro e Joseacute
haviam participado no contexto da presente pesquisa
Na segunda modalidade baseio-me em trechos extraiacutedos das transcriccedilotildees das
gravaccedilotildees do segundo encontro do GEPMM quando dedicaacutevamos esforccedilos para a submissatildeo
do projeto agrave chamada do CNPq aleacutem de trechos extraiacutedos das entrevistas finais com os alunos
e professores partiacutecipes do GEPMM Teccedilo uma anaacutelise focada nas muacuteltiplas atividades
demandadas aos sujeitos da investigaccedilatildeo pelo contexto institucional em questatildeo e nas agencys
evidenciadas no decorrer da constituiccedilatildeo do GEPMM assim como das atividades nele
desenvolvidas
Na terceira modalidade baseio-me no momento da construccedilatildeo dos dados que
objetivou o desenvolvimento da modelagem cujo tema foi denominado por ldquopeso corporal
idealrdquo Utilizo a teoria das caixas-pretas como estrateacutegia de anaacutelise das transformaccedilotildees
qualitativas do objeto da referida atividade
Finalmente a quarta modalidade se ancora nas interaccedilotildees tecnomediadas
evidenciadas nopelo desenvolvimento da atividade de modelagem denominada por ldquopeso
corporal idealrdquo Foco as idealizaccedilotildees possibilitadas pela multivocalidade e agency atuando
como desencadeadoras de aprendizagens potencialmente expansivas principalmente no que
diz respeito aos processos produtivos e inovadores na referida atividade
149
Pergunta diretriz Quais aprendizagens expansivas podem ser evidenciadas pelas e nas atividades
desenvolvidas por um Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica em um contexto de formaccedilatildeo
em Engenharias
171
51 Primeira modalidade ndash Dialeacutetica da existecircncia da tela invisiacutevel GEPMM como
possibilidade para aprendizagem expansiva por meio da construccedilatildeo de parceria
docente-discente em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias
Na sociedade em rede a virtualidade eacute a fundaccedilatildeo da realidade atraveacutes de novas
formas de comunicaccedilatildeo socializaacutevel (CASTELLS 2006 p 24)
Inicio esta parte da anaacutelise tomando por base uma fala do aluno Pedro na
entrevista inicial ele contou que durante as aulas de Caacutelculo que havia tido na graduaccedilatildeo agraves
vezes achava que estava assistindo a uma videoaula ao inveacutes de uma aula presencial Nas
palavras dele
Falta um pouco mais de [] entendimento Agraves vezes alguns professores natildeo levam
em conta algumas dificuldades que alguns alunos tecircm [] agraves vezes falta um pouco
de sensibilidade com a dificuldade do aluno agraves vezes uma didaacutetica um pouco mais
proacutexima do aluno Agraves vezes parece que vocecirc estaacute vendo uma videoaula ao inveacutes de
ter uma aula presencial [] Por parte do grupo de professores falta uma aula uma
didaacutetica um pouco mais proacutexima do aluno dos problemas do aluno e ajudar ele a
solucionar esses problemas
Na entrevista inicial concedida a mim Pedro demonstrou se sentir incomodado
devido ao distanciamento percebido por ele entre alunos e professor nas aulas de Caacutelculo
Naquele momento da construccedilatildeo dos dados para a referida pesquisa ainda natildeo tinha
percebido tal descontentamento este se tornou consciente para mim apoacutes a entrevista com
aluno Pedro que se mostrou muito inquieto quanto a essa questatildeo alunos de um lado da
ldquotelardquo e docentes do outro Uma possiacutevel anaacutelise sobre essa inquietaccedilatildeo se encontra na
dimensatildeo dos sujeitos e as possibilidades de interaccedilatildeo estabelecidas pelas regras que regem a
atividade em questatildeo a aula tradicional de Caacutelculo Percebi que a participaccedilatildeo desse aluno no
GEPMM estava ligada agraves possibilidades de ldquoestar pertordquo dos professores no sentido de que
no grupo era ldquopermitidordquo interagir com os professores150
Julgo importante pontuar nesse momento que durante a entrevista inicial com o
aluno Joseacute algumas falas convergem com as mesmas inquietaccedilotildees demonstradas por Pedro
Joseacute parece se sentir constrangido em iniciar interaccedilotildees verbais com os professores durante as
aulas de Caacutelculo com o objetivo de sanar duacutevidas ele parece acreditar que o momento uacutenico
150
Cabe ressaltar que ainda que a participaccedilatildeo dos alunos tenha ocorrido apenas nos primeiros encontros ou
seja os alunos acabaram abandonando o GEPMM natildeo acredito que esta parte da anaacutelise fique fragilizada devido
a isto pois nesta parte busco analisar os motivos que levaram os dois alunos em questatildeo a aceitarem o convite de
participaccedilatildeo no grupo e natildeo especificamente o desenvolvimento das atividades do grupo A parceria estabelecida
entre alunos e professores eacute que estaacute sendo analisada como uma forma de desenvolvimento da aprendizagem
expansiva
172
que isso seja ldquopermitidordquo seja o final das aulas Vale ressaltar que o aluno Joseacute eacute considerado
por Clarice como um aluno muito bom ndash que se preocupa com a aprendizagem com seu
proacuteprio processo formativo podendo ser considerado ateacute mesmo como um ldquotipo rarordquo de
aluno ldquoeacute raro eu ter aluno como Joseacuterdquo pontua151
Clarice Nas palavras de Joseacute
O aluno tem sempre aquela coisa noacute Ele eacute meu professor Haacute um distanciamento
Vocecirc pensa eu soacute sou um aluno e ele eacute meu professor Ele natildeo vai querer ficar me
dando atenccedilatildeo no final da aula porque eu tenho duacutevidas Muitos professores agraves
vezes natildeo datildeo atenccedilatildeo pro aluno Veem o aluno assim mas natildeo quer incocircmodo
sabe Os alunos chegam nos professores mas taacute faltando os professores chegarem
nos alunos porque eles tem que ver que isso aqui eacute um grupo de pessoas
Observe que o que eacute ldquopermitidordquo muitas vezes natildeo eacute visiacutevel nem expliacutecito nas
accedilotildees pois pode estar ldquoescondidordquo no curriacuteculo oculto como um instrumento oculto
configurado pelas regras e divisatildeo do trabalho ou seja na parte de baixo do triacircngulo de
Engestroumlm conforme explicitei no Capiacutetulo 1 desta tese
Contudo essa ldquotelardquo pode natildeo existir na percepccedilatildeo dos docentes configurando
apenas um instrumento necessaacuterio para constituir uma regra implicitamente ldquoocultardquo ao aluno
eacute permitido se dirigir aos professores das disciplinas de Caacutelculo quando ele jaacute estudou
anteriormente jaacute adquiriu certo niacutevel de aceitaccedilatildeo para participar de uma interaccedilatildeo com o
professor
Campos (2012) ao realizar sua pesquisa de doutorado investigou uma proposta
pedagoacutegica para a disciplina Caacutelculo Diferencial e Integral na UFMG e constatou que o
distanciamento caracteriza a relaccedilatildeo entre o professor e seus alunos E pontua
Como algueacutem que programa um computador o docente expotildee com rigor os
conteuacutedos que deveratildeo ser articulados na resoluccedilatildeo das questotildees das provas No
momento da correccedilatildeo ele afere a quatildeo proacuteximo da resposta correta o aluno chegou e
confere uma nota que certificaria o quanto o aluno apreendeu de suas aulas Sua
participaccedilatildeo se daria apenas nos dois momentos extremos do ato na apresentaccedilatildeo do
conteuacutedo e na correccedilatildeo das provas Caberia ao aluno preencher o que falta entre
esses dois eventos (CAMPOS 2012 p 34)
Sendo assim para dar conta das atividades de formaccedilatildeo em Caacutelculo configura-se
como um preacute-requisito indispensaacutevel a participaccedilatildeo ativa dos estudantes no que tange ao
desenvolvimento de autonomia e determinaccedilatildeo para buscar informaccedilotildees eou outros
instrumentos que os auxilie nessa jornada Desse modo sob essa perspectiva o docente
151
Trecho retirado das transcriccedilotildees das filmagens do nono encontro do GEPMM Falaacutevamos sobre o perfil dos
alunos que haviam aceitado o convite para participarem do grupo e os possiacuteveis motivos que pudessem explicar
a falta de assiduidade deles nas reuniotildees
173
imprime em sua consciecircncia uma forma idealizada de um dos objetos de sua atividade ndash os
estudantes O grande problema eacute que muitas vezes os estudantes por si soacute natildeo conseguem
atingir esse preacute-requisito Natildeo conseguem ser de fato na realidade objetiva um objeto real
para serem assim transformados pela praacutexis formativa proposta pelos docentes de Caacutelculo
Isso pode explicar os altos iacutendices de reprovaccedilatildeo e evasatildeo em instituiccedilotildees federais de ensino
superior o que resulta num real desperdiacutecio de recursos puacuteblicos
Isso pode implicar um enorme ldquovaacutecuordquo entre os sujeitos da atividade de
aprendizagem tradicional de Caacutelculo em cursos de Engenharia o que pode criar ldquofronteirasrdquo
interativas muitas vezes produzindo duas atividades distintas a atividade de ensino do
professor de um lado da ldquotelardquo e a atividade de aprendizagem dos alunos do outro lado da
ldquotelardquo Aleacutem disso muitas vezes eacute dada ldquopermissatildeordquo ao aluno que natildeo quer participar das
aulas pelos docentes que natildeo verificam a assiduidade dos alunos em suas aulas e natildeo
reprovam por mais de 25 de ausecircncia (que eacute preconizado nos curriacuteculos e nas normativas)
Mas precisamos levar em conta que os docentes das disciplinas de Caacutelculo na
UNIFEI-Itabira lecionam em turmas com em meacutedia 75 alunos Suponha que cada aluno
queira realizar uma uacutenica interaccedilatildeo com o docente durante uma aula que tem duraccedilatildeo de
1h40 Considere que o aluno gaste apenas 10 segundos para elaborar sua fala e que o docente
gaste apenas mais 20 segundos para se pronunciar em resposta a essa fala do aluno Com isso
seriam gastos 375 minutos da aula Esse excessivo nuacutemero de alunos em sala de aula pode
favorecer a manutenccedilatildeo da ldquotelardquo
Outra observaccedilatildeo eacute que essa ldquotelardquo em muito se diferencia da tela de um
computador utilizado como instrumento um artefato mediador em cursos a distacircncia A tela
do computador usada no atual ensino a distacircncia permite interaccedilotildees entre alunos professores
e tutores por meio de mediaccedilotildees por chat ou e-mails Jaacute a ldquotelardquo cuja suposta existecircncia seja
invisiacutevel aos olhos de alguns impede mesmo que de forma oculta que se estabeleccedilam
interaccedilotildees entre os sujeitos que dividem um mesmo espaccedilo fiacutesico delimitando suas accedilotildees em
dois contextos distintos ou seja em duas atividades disjuntas paralelas cuja miacutenima relaccedilatildeo
eacute estabelecida pelo objeto que se configura pela apresentaccedilatildeo contida nos livros-texto dos
conteuacutedos de Caacutelculo resultando em aprovaccedilatildeo ou reprovaccedilatildeo nas referidas disciplinas
O professor estaacute imerso em uma instituiccedilatildeo que o ldquoamarrardquo de uma forma ou
outra se ele natildeo cumprir a ementa eacute ldquopunidordquo tem que aprovar a maioria possiacutevel de alunos
senatildeo as turmas ficam mais cheias ainda ou ele tem que dar mais aulas nisso algo pode estar
sendo roubado dele que a meu ver seria extremamente importante para a plena realizaccedilatildeo de
seu trabalho ndash o tempo para o oacutecio e para a reflexatildeo
174
Mais do que isso os alunos ldquofabricadosrdquo pela cultura tradicional de ensino por
natildeo serem formados para questionar as praacuteticas vigentes acabam por se tornar meros
reprodutores dando assim a manutenccedilatildeo necessaacuteria para que essas praacuteticas sejam reforccediladas
Os docentes que hoje atuam nas disciplinas de Caacutelculo na UNIFEI tambeacutem foram afetados
pelas praacuteticas tradicionais de ensino provavelmente tambeacutem particionadas por uma ldquotelardquo
invisiacutevel aos olhos de seus professores agrave eacutepoca contudo natildeo lhes foi adicionada formaccedilatildeo
criacutetico-reflexiva suficiente para romper com os ciclos de reproduccedilatildeo de tais praacuteticas que
continuam vigentes Campos (2012 p 35) apontou que professores e alunos que se formam
em instituiccedilotildees que cobiccedilam as praacuteticas tradicionais de ensino-aprendizagem passam tambeacutem
a consideraacute-las como ldquoreferencial de excelecircncia no ensino o que torna a organizaccedilatildeo
acadecircmica mais apegada a suas praacuteticas e resistente a mudanccedilasrdquo
Vale ressaltar que o aluno Pedro durante a entrevista inicial pareceu estar
entusiasmado em participar do GEPMM pois para ele o grupo poderia se transformar em um
elo e aproximar os professores dos alunos diminuindo o distanciamento entre eles fazendo
com que os professores passem a reconhecer as dificuldades dos alunos e assim possam
melhorar sua didaacutetica
A anaacutelise que aqui proponho estaacute baseada na loacutegica dialeacutetica marxista que se
limita a uma forma de pensar a realidade considerando-a em constante mudanccedila mediante o
desenvolvimento do tripeacute tese antiacutetese e siacutentese O meacutetodo de anaacutelise dialeacutetico consiste na
siacutentese de termos contraacuterios ndash tese e antiacutetese (LEFEBVRE 1991) Assim como na dialeacutetica
marxista a burguesia corresponde agrave tese e o proletariado agrave antiacutetese fazendo emergir a
superaccedilatildeo da sociedade de classes pelo comunismo uma siacutentese decorrente das crises do
capitalismo pleiteadas pelos conflitos entre burguesia e proletariado (LEFEBVRE 1991)
esboccedilo essa parte da anaacutelise como a dialeacutetica da existecircncia da ldquotelardquo invisiacutevel
De um lado configura-se a hipoacutetese de que nas referidas aulas de Caacutelculo que o
aluno Pedro havia participado existia um instrumento ndash a ldquotelardquo invisiacutevel Nisso constituiria a
tese Na mesma realidade em questatildeo ndash as aulas tradicionais de Caacutelculo que o aluno Pedro
havia participado na instituiccedilatildeo ndash do outro lado estariam os professores que poderiam natildeo
perceberem que a suposta ldquotelardquo existe A antiacutetese eacute a inexistecircncia da ldquotelardquo invisiacutevel Dessa
forma estaria travado o esboccedilo da dialeacutetica da existecircncia da ldquotelardquo invisiacutevel A siacutentese como
sendo algo de natureza diferente mas ao mesmo tempo conservando elementos da tese e da
antiacutetese constitui-se por um processo dialoacutegico conduzido pela discussatildeo e embate de
contrapostos
175
Vale ressaltar que a siacutentese pode ser entendida como um grau mais elevado na
anaacutelise dialeacutetica em relaccedilatildeo agrave tese e agrave antiacutetese Aleacutem disso a siacutentese daacute origem a uma nova
tese que seraacute contraposta com uma nova antiacutetese e assim por diante iniciando novos ciclos
dialeacuteticos (LEFEBVRE 1991) Com isso a anaacutelise dialeacutetica da existecircncia da ldquotelardquo invisiacutevel
nos leva a possibilidades de elaboraccedilatildeo de uma siacutentese do que de melhor cada uma das faces
do contraposto nos apresenta Conforme exposto anteriormente eacute fatiacutedico que caso a tese (a
existecircncia da ldquotelardquo invisiacutevel) seja confirmada eacute preciso que ela seja destruiacuteda em prol de
melhorias e avanccedilos na natureza do processo aqui analisado
De toda forma eacute importante frisar que quando o aluno Pedro decidiu se engajar
no GEPMM de alguma forma ele desconfia que a ldquotelardquo natildeo existiria em tal contexto
alternativo mais amplo De fato a ldquotelardquo ainda que invisiacutevel natildeo permeou as ldquoatividadesrdquo de
Modelagem Matemaacutetica conforme implementado na UNIFEI por meio do GEPMM A
ausecircncia desse instrumento (oculto escondido invisiacutevel) provoca mudanccedilas quantitativas e
qualitativas nas interaccedilotildees entre os sujeitos da atividade que passam a buscar informaccedilotildees de
forma coletiva e passam a construir novos instrumentos para resolverem as peculiares
questotildees-problema que direcionam as accedilotildees em tais atividades Alunos e professores se
tornam sujeitos parceiros na referida atividade Estabelece-se mutuamente um fluxo contiacutenuo
de compartilhamento de informaccedilotildees o que acaba por transpor as fronteiras (ENGESTROumlM
SANNINO 2010b) ldquotela adentrordquo fazendo emergir uma nova rede uma ineacutedita parceria
docente-discente
Assim sendo os sujeitos engajados nessa atividade passam a pertencer a uma
mesma hierarquia horizontal de fluxo informacional natildeo podendo assim estar permanecer
distanciados apartados e segregados Tornam-se sujeitos de uma mesma atividade orientada
pelos seguintes objetos os estudantes em formaccedilatildeo e a questatildeo-
-problema natildeo matemaacutetica cujos artefatos mediadores incluem os conteuacutedos de Caacutelculo sob a
forma de modelos mais especificamente considerando os dados construiacutedos para esta
pesquisa as EDOs e outros instrumentos tecnoloacutegicos que incluem dentre outros o software
que foi criado com o objetivo de possibilitar simulaccedilotildees de mudanccedilas de peso corporal
mediante alteraccedilotildees na dieta e nos exerciacutecios fiacutesicos (Human Weight Simulator ndash HWS)
Aleacutem disso supondo a existecircncia da ldquotelardquo em aulas tradicionais de Caacutelculo ela
acaba por elevar o professor a um patamar de configuraccedilatildeo como uma voz uma vocalidade
que ecoa na atividade como um locutor do discurso do Caacutelculo acadecircmico como se ele
estivesse realmente de outro lado em outro ambiente como se o aluno fosse mesmo assistir
a uma videoaula Esse mesmo patamar pode ser ocupado pelo autor do livro-texto utilizado
176
nas aulas tradicionais de Caacutelculo em cursos de Engenharia a vocalidade do autor ecoa e
participa das atividades dentro da sala de aula e se diferencia da vocalidade que ecoa do
professor apenas pela miacutedia (meio) que as suportam ndash no caso do autor a miacutedia eacute impressa
nas paacuteginas do livro sob a forma de linguagem escrita e no caso do professor a voz ecoa
suportada pela linguagem falada e pela linguagem escrita quando utiliza o quadro branco
para principalmente reproduzir paacuteginas do livro-texto
Campos (2012 p 34 grifos do autor) destaca que a narrativa construiacuteda por ele
com o objetivo de relatar como ocorrem as aulas de Caacutelculo na UFMG poderia ser
considerada como se ele ldquoestivesse assistindo agrave cena atraveacutes de um vidro que o impedisse de
ouvir as muacuteltiplas vozes presentesrdquo o que nos leva a crer que tal regra oculta natildeo faz parte
apenas do curriacuteculo oculto presente nas salas de aula de Caacutelculo da UNIFEI mas tambeacutem de
outras instituiccedilotildees como nesse caso na UFMG
As atividades de Modelagem Matemaacutetica desenvolvidas no GEPMM se propotildeem
como potencialmente ldquodestruidorasrdquo de tal ldquotelardquo mediante a construccedilatildeo de uma rede de
aprendizagem na qual os docentes satildeo sujeitos pertencentes a uma mesma hierarquia
horizontal de fluxo informacional que os discentes o que acaba por promover transposiccedilotildees
de fronteiras (ENGESTROumlM SANNINO 2010b) e consequentemente a ampliaccedilatildeo de
possibilidades de interaccedilotildees entre os sujeitos
Portanto em atividades de Modelagem Matemaacutetica os parceiros ndash alunos e
professores ndash natildeo podem assumir outro lugar senatildeo o de sujeitos de uma mesma atividade
Dessa forma a ldquotelardquo presente (mesmo que de forma oculta e invisiacutevel em aulas tradicionais
de Caacutelculo) precisa necessariamente ser ldquoquebradardquo para que a formaccedilatildeo dessa nova
parceria se torne possiacutevel Somente por meio da transposiccedilatildeo desta fronteira eacute que se
tornariam possiacuteveis movimentos para aleacutem de alunos procurarem ajuda e professores darem a
ajuda (tirar duacutevidas) alcanccedilando assim um patamar de parceria na qual os sujeitos buscam e
encontram informaccedilotildees ou as constroem onde quer que elas estejam
Durante a construccedilatildeo dos dados da presente pesquisa alguns momentos podem
ser colocados em relevo no que diz respeito agraves possibilidades de diaacutelogos entre docentes e
discentes que num processo de negociaccedilatildeo e orquestraccedilatildeo formataram e orientaram as
atividades do GEPMM
No primeiro encontro eacute possiacutevel perceber que os alunos ali presentes falavam
livremente e participavam das decisotildees e regras estabelecidas pelos integrantes Natildeo havia
distinccedilatildeo entre alunos e professores todos falavam contavam ldquocasosrdquo e exprimiam suas
opiniotildees Joseacute por exemplo nos contou um caso sobre um funcionaacuterio de uma empresa de
177
grande porte localizada na cidade de Ipatinga-MG que ao desenvolver suas atividades de
trabalho ldquoteimourdquo com um engenheiro dizendo que o resultado do processo seria negativo o
engenheiro natildeo considerou a opiniatildeo do funcionaacuterio e no final do processo o funcionaacuterio
estava certo Logo em seguida a professora Clarice falou que os alunos de Caacutelculo satildeo
desmotivados demais e que o resultado disso muitas vezes eacute a reprovaccedilatildeo A aluna Taty
interveio ldquomas eu acho que isso natildeo eacute culpa do professorrdquo A docente Clarice rebateu em
tom de voz aparentemente alterado ldquomas eacute tambeacutem um deverrdquo Em seguida a aluna Taty
pontuou que em turmas de 75 alunos seria muito difiacutecil o professor acompanhar essa questatildeo
da motivaccedilatildeo
No segundo encontro do GEPMM um momento de tensatildeo ocorreu quando ao
perceber que o docente Angel pareceu preferir o problema do tracircnsito e afirmou olhando para
os alunos que havia um trabalho de coleta de dados in loco que deveria ser realizada pelos
alunos a aluna Taty imediatamente se posicionou dizendo ldquoah natildeo gente natildeo olha pra mim
natildeo gente Tocirc fazendo um monte de coleta de dados jaacute Me recuso cara [] Eu sento e leio
60 artigos se vocecircs quiserem faccedilo resumo de todos pra vocecircs natildeo tocirc brincando Eu tocirc
fazendo uma coleta gigantescardquo Entendo que naquele momento o posicionamento assertivo
da aluna impactou no que seria a decisatildeo do grupo no que diz respeito agrave escolha do primeiro
tema a ser abordado O grupo poderia ter tomado outro rumo se a aluna natildeo tivesse se
posicionado
No terceiro encontro durante a discussatildeo do artigo Scagliusi e Lancha Juacutenior
(2005) na paacutegina 542 deparamo-nos com um termo fiacutesico-quiacutemico ndash o deuteacuterio Noacutes
docentes natildeo sabiacuteamos o que significava esse termo e fomos agraciados pela fala dos alunos
Joseacute e Pedro esclarecendo com propriedade sobre o que se tratava esse conceito
Com base nesses trechos extraiacutedos das gravaccedilotildees em aacuteudio e viacutedeo das primeiras
trecircs reuniotildees do GEPMM os diaacutelogos entre os sujeitos seguem em um ritmo almejado
quando uma parceria eacute estabelecida entre niacuteveis hierarquicamente distintos em instituiccedilotildees
Aleacutem disso explicitarei mais adiante neste mesmo capiacutetulo outros trechos extraiacutedos das
transcriccedilotildees das filmagens de outras reuniotildees do GEPMM que reafirmam a formaccedilatildeo de
parcerias docente-discente e docente-docente sendo que essa uacuteltima se refere agrave parceria
instituiacuteda natildeo apenas por docentes que lecionam disciplinas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia Ainda que os alunos tenham abandonado o GEPMM natildeo significa que tal
parceria natildeo tenha se concretizado Cabe ressaltar que segundo Engestroumlm e Sannino (2010b)
a transposiccedilatildeo de fronteiras entre niacuteveis organizacionais ou hierarquias tais como entre
alunos e professores pode representar uma forma de aprendizagem expansiva quando ocorre
178
movimentos verticais de informaccedilotildees entre os niacuteveis Para os autores uma parceria funda-se
por meio de interaccedilotildees entre niacuteveis hieraacuterquicos distintos em prol da realizaccedilatildeo de uma
atividade comum ndash um objeto compartilhado - na qual os aprendizes buscam informaccedilotildees
onde quer que elas estejam e o fluxo informacional eacute livre
Desse modo podemos entender as atividades realizadas no e pelo GEPMM como
sendo de alto grau de complexidade e baixo grau de centralizaccedilatildeo o que segundo Engestroumlm
(1993) caracteriza um tipo histoacuterico de atividade a ser considerado de domiacutenio coletivo e
expansivo A construccedilatildeo de tal ldquorede alternativardquo mediante a constituiccedilatildeo das referidas
parcerias pode entatildeo ser entendida como um tipo de aprendizagem expansiva
Com isso encerro a anaacutelise da dialeacutetica da existecircncia da ldquotelardquo invisiacutevel
enfatizando que por meio da construccedilatildeo da parceria docente-discente possibilitada nopelo
engajamento nas atividades desenvolvidas pelo GEPMM a ldquotelardquo natildeo existe nem mesmo de
forma invisiacutevel devido ao fluxo informacional ser livre e as interaccedilotildees entre docentes e
discentes serem constituiacutedas em uma uacutenica rede de aprendizagem
52 Segunda modalidade ndash Os sujeitos a multi-agency e as muacuteltiplas atividades
possibilidade para aprendizagem expansiva como movimento na zona de
desenvolvimento proximal das atividades docente-discente mediante a formaccedilatildeo de
parcerias
Satildeo os homens por certo que com sua praacutexis formam e mantecircm essa estrutura satildeo
eles que desenvolvem as forccedilas produtivas e que contraem determinadas relaccedilotildees na
produccedilatildeo independente de sua consciecircncia e vontade (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ
1977 p 189)
A agency segundo a Teoria da Atividade de Engestroumlm (1987) pode ser
entendida como um adjetivo inerente agraves possibilidades de accedilatildeo dos sujeitos engajados em
uma atividade tais como a condiccedilatildeo de realizar uma accedilatildeo ndash agente os meios ou modos pelos
quais a accedilatildeo eacute executada ndash instrumentalidade ou operaccedilatildeo poder ou capacidade de realizar
uma accedilatildeo ndash desempenho ou performance maneira de atuar de agir Sistematicamente a meu
ver a agency pode ser considerada como a atitude dos sujeitos em implementar
procedimentos para alcanccedilar o objetivo de uma accedilatildeo Sendo assim vale ressaltar que a agency
se torna visiacutevel nas accedilotildees no relacionamento na mediaccedilatildeo nas interaccedilotildees e natildeo como algo
pertencente aos sujeitos (DANIELS et al 2010)
A formaccedilatildeo de parcerias estaria sob essa anaacutelise relacionada agrave constituiccedilatildeo de
redes de aprendizagem em um contiacutenuo e descontiacutenuo movimento de transposiccedilatildeo de
179
fronteiras institucionalmente configuradas por artefatos histoacutericos culturais que podem estar
mediando as relaccedilotildees entre os sujeitos e os demais instrumentos de uma atividade de forma
impliacutecita ou invisiacutevel como por exemplo a dialeacutetica da existecircncia da ldquotelardquo invisiacutevel em
salas de aula de Caacutelculo como um instrumento que estaria permeando tal contexto
Eacute importante ressaltar que os sujeitos engajados no GEPMM participam a priori
de atividades originais primaacuterias cujos objetos podem estar alinhados ou natildeo no
desenvolvimento de variadas formas de praacutexis acadecircmica instituiacutedas em tal contexto
formativo Nesse caso pontualmente refiro-me aos interconectados sistemas de atividade
originais dos quais participam conjuntamente docentes e discentes dos cursos de Engenharia
da instituiccedilatildeo UNIFEI-Itabira De um lado de uma mesma moeda refiro-me aos sistemas de
atividade de trabalho que os docentes ldquodesenhamrdquo e colocam em praacutetica no decorrer das
variadas formas de trabalho situadas nas instituiccedilotildees que se dedicam exclusivamente agrave
formaccedilatildeo superior em Engenharia do outro lado dessa mesma moeda situam-se os sistemas
de atividade dos quais participam os discentes no mesmo contexto Observe que os tais
sistemas de atividade satildeo interconectados indissoluvelmente ndash amalgamados
Nesse sentido os discentes que participam das atividades orientadas pela
formaccedilatildeo em Engenharia desde o iniacutecio do engajamento nas referidas praacutexis formativas
objetivam obter o tiacutetulo de engenheiro com vistas a satisfazer uma necessidade humana
contemporacircnea obter um diploma de engenheiro Natildeo pretendo na referida anaacutelise discorrer
sobre as ideologias discursos e enunciados sociais que estatildeo por traacutes de tal orientaccedilatildeo apenas
a defino como existente e norteadora Para que essa finalidade seja de fato concretizada na
realidade os discentes de cursos de Engenharia precisam elaborar antes de tudo num plano
da atividade consciente um planejamento das accedilotildees necessaacuterias para tal fazendo
necessariamente parte da agency Sendo assim no contexto de formaccedilatildeo analisada nesta tese
um objeto primaacuterio original emerge dos sistemas de atividade dos discentes ndash o diploma de
engenheiro
Quando se tornam discentes de cursos de Engenharia na UNIFEI-Itabira os
sujeitos passam a pertencer a uma comunidade de praacutetica orientada pela e na formaccedilatildeo em
Engenharia Mas poderiam ser consideradas possibilidades para o desenvolvimento de
aprendizagens como participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima (PPL)152
(LAVE WENGER 2002) as
152
ldquoVer a aprendizagem como participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima significa que a aprendizagem natildeo eacute simplesmente
uma condiccedilatildeo para tornar-se membro mas eacute em si mesma uma forma em evoluccedilatildeo do tornar-se membrordquo
(LAVE WENGER 2002 p 170)
180
formas de praacutexis frequentemente realizadas153
no referido contexto institucional Em geral a
resposta para essa pergunta infelizmente tende a ser negativa Primeiro os participantes natildeo
tem amplo acesso a diferentes partes da atividade formativa em questatildeo Quando se tornam
discentes de tais cursos os sujeitos tecircm acesso agraves grades curriculares sob a forma escrita de
plano de curso particionado em vaacuterias disciplinas a serem cumpridas mas de forma alguma
veem ou participam na realidade concreta das diversas praacuteticas que constituem tal formaccedilatildeo
Em segundo lugar os participantes natildeo percebem lsquoabundacircnciarsquo nas interaccedilotildees horizontais
entre eles que na maioria das vezes tambeacutem natildeo eacute mediada por situaccedilotildees problemaacuteticas e
suas soluccedilotildees Pelo contraacuterio na maior parte do tempo dedicado agrave formaccedilatildeo os discentes se
esforccedilam para entender situaccedilotildees hipoteacuteticas fictiacutecias e teoacutericas impressas e sugeridas por
autores de livros didaacuteticos muitos deles traduzidos de outras liacutenguas oriundos de outras
culturas resultando em produtos que por definiccedilatildeo se distanciam dos interesses e
necessidades de uma comunidade especiacutefica Finalmente em terceiro lugar as tecnologias e
estruturas da instituiccedilatildeo natildeo satildeo transparentes Os aprendizes muitas vezes natildeo tecircm acesso ao
que estaacute por traacutes dos mecanismos internos e portanto natildeo satildeo convidados a inspecionaacute-los
Logo a participaccedilatildeo dos discentes em tais praacuteticas de fato ocorre mas natildeo pode
ser considerada em geral como resultante em uma aprendizagem legiacutetima pela e na
participaccedilatildeo em praacutexis firmada em tal contexto formativo Isso se deve ao fato da proacutepria
instituiccedilatildeo ser um artefato histoacuterico cultural que implicitamente ou invisivelmente medeia as
relaccedilotildees dos participantes nas praacutexis (DANIELS et al 2010a p 123) Considerando essa
anaacutelise toda e qualquer praacutexis realizada orientada pela finalidade de formar engenheiros
estaria subordinada agraves possibilidades de mediaccedilatildeo que a proacutepria instituiccedilatildeo submete aos
participantes ainda que de forma impliacutecita ou invisiacutevel entre as quais podemos enfatizar as
relaccedilotildees de poder e controle
Uma forma de controle expliacutecita que pode ser nitidamente observada na
instituiccedilatildeo estudada eacute o curriacuteculo uma grade curricular formada por disciplinas a serem
desenvolvidas pelos docentes e discentes constituiacutedas por conteuacutedos padronizados a serem
ldquoA participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima refere-se tanto ao desenvolvimento de identidades de habilidades
competentes na praacutetica quanto agrave reproduccedilatildeo e transformaccedilatildeo das comunidades de praacuteticardquo (LAVE WENGER
2002 p 171) 153
Refiro-me nesse momento da anaacutelise agraves praacuteticas tradicionais de formaccedilatildeo em Engenharia desenvolvidas em
instituiccedilotildees que se destinam agrave formaccedilatildeo em niacutevel de graduaccedilatildeo em Engenharia contexto de nosso estudo Em
grande parte pode ser caracterizada pelo uso em demasia de aulas expositivas cujo objeto assumido pode ser
resumido pela apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos das respectivas disciplinas conforme preconizado nos livros-texto
pela valorizaccedilatildeo do desenvolvimento de habilidades e competecircncias individuais pelo uso de testes e avaliaccedilotildees
padronizadas cujo objetivo consiste na reproduccedilatildeo dos discursos desenvolvidos durante as aulas e pelo
distanciamento entre professores e alunos durante as atividades de formaccedilatildeo ndash a praacutexis formativa em
Engenharia
181
desenvolvidos e por cargas horaacuterias definidas a priori e sobretudo sob o controle das
avaliaccedilotildees que ditam quem cumpriu e quem natildeo cumpriu tais exigecircncias resultando em
aprovaccedilotildees ou reprovaccedilotildees nas disciplinas da grade curricular Esse ldquopoderiordquo acaba por
delimitar ou preacute-fabricar as accedilotildees que os estudantes iratildeo desenvolver assim como as decisotildees
sobre outras formas de participaccedilatildeo em praacuteticas extracurriculares na instituiccedilatildeo Ou seja satildeo
estabelecidas dessa forma accedilotildees prioritaacuterias orientadas pela aprovaccedilatildeo nas disciplinas
principalmente nas disciplinas que ldquonormalmenterdquo resultam em altos iacutendices de reprovaccedilatildeo
Durante a construccedilatildeo dos dados para a presente pesquisa vaacuterios foram os
momentos que o ldquopoderiordquo explicitado anteriormente se manifestou Entre eles podemos
colocar em relevo momentos extraiacutedos das transcriccedilotildees das entrevistas finais realizadas com
os alunos que haviam participado do GEPMM Para responder a primeira pergunta (ldquocomo
vocecirc caracteriza sua participaccedilatildeo no GEPMMrdquo) os estudantes usaram adjetivos do tipo
ldquoinsuficienterdquo ldquomiacutenimardquo ldquoirrelevanterdquo e ldquodeixa a desejarrdquo Mas como a participaccedilatildeo foi
considerada por eles mesmos tatildeo digamos ldquoinexpressivardquo se eles mesmos reconheceram de
antematildeo as possibilidades de aprendizagens mediante a participaccedilatildeo no GEPMM conforme
demonstraram nas entrevistas iniciais e durante os encontros do grupo Possiacuteveis respostas
para tal indagaccedilatildeo podem ser encontradas nas respostas que eles mesmos deram para a
segunda pergunta (ldquodesde que vocecirc comeccedilou a participar do grupo quais os desafios
encontrados Como vocecirc buscou superar estes desafiosrdquo) feita a eles por mim durante a
realizaccedilatildeo das entrevistas finais Taty pontua que o principal desafio consiste na proacutepria
essecircncia da atividade ldquomodelar alguma situaccedilatildeo eacute uma coisa muito complicada porque tem
muitas variaacuteveisrdquo Enfatiza que para superar esse desafio ela precisaria ter tido mais tempo
para maior dedicaccedilatildeo agrave atividade Afirma ainda que a falta de tempo estaria relacionada agrave
realizaccedilatildeo de outras atividades discentes entre as quais se destacam as vaacuterias mateacuterias
(disciplinas) que estaria cursando e a iniciaccedilatildeo cientiacutefica que estaria concluindo naquele
semestre Taty ainda sugere a existecircncia de um dilema incorporado nos sistemas de atividade
que ela participa na posiccedilatildeo de discente de um curso de Engenharia Nas palavras de Taty
Por um lado eu acho um desperdiacutecio tantas oportunidades na faculdade e a gente
natildeo poder muita gente natildeo aproveitar neacute como eu jaacute disse mesmo o fato de termos
professores tatildeo bons e agraves vezes tatildeo dispostos neacute A desenvolver um trabalho que
vocecirc taacute vendo e os outros natildeo estatildeo por outro lado o tempo eacute curto neacute as mateacuterias
satildeo difiacuteceis e se vocecirc leva a seacuterio mesmo vocecirc tem que estudar muito tempo neacute
entatildeo pra fazer um trabalho desse [] eu atribuo essa dificuldade agrave falta de tempo
182
Os alunos Pedro e Joseacute tambeacutem consideraram a falta de tempo como constituinte
do principal desafio encontrado na participaccedilatildeo no GEPMM Pedro ainda admitiu ter tido
dificuldades em participar do GEPMM devido a natildeo ter um ldquoinglecircs muito fluenterdquo o que
para ele dificultou a leitura dos textos Nas palavras de Pedro
Eu natildeo tenho um inglecircs muito fluente entatildeo muitas vezes tinha que buscar
significados de palavras de expressatildeo entatildeo isso garrou um pouco na hora de eu
ler os artigos [] Eu sei que se eu tirar tempo de estudo pra dedicar agrave modelagem
eu sei que vou tomar pau Isso eacute tranquilo [] Eu faccedilo o projeto [referindo-se agraves
atividades do GEPMM] mas chega na disciplina aiacute eu natildeo consigo fazer nada
entatildeo pra mim neste caso natildeo seria vantajoso neste semestre participar do
projeto
Sendo assim fica niacutetido que existe uma lei que rege os sistemas de atividade dos
alunos no que tange agrave sua proacutepria formaccedilatildeo em Engenharia delimitando as modalidades das
atuaccedilotildees na qual tem que sujeitar sua vontade Tal lei poderia ser expressa pelo fim sendo
constituiacuteda pela prefiguraccedilatildeo ideal do resultado material concreto que se quer alcanccedilar ndash o
diploma de engenheiro Mesmo tendo a vontade de participar do GEPMM percebendo as
possibilidades de formaccedilatildeo em tal atuaccedilatildeo os alunos veem diante de si um objeto
ldquodesalinhadordquo nos sistemas de atividades que pode ateacute mesmo impossibilitar o resultado
concreto que desejam alcanccedilar Dessa forma o fim o produto o objeto da atividade dos
sistemas primaacuterios de atividade (diploma) entra em contradiccedilatildeo com a atividade presente
(GEPMM) que passa a natildeo exercer mais o papel de orientar accedilotildees podendo ateacute mesmo se
tornar um objeto fluido nulo colocado como uma vontade em contradiccedilatildeo com a realidade
Engestroumlm (2010a) enfatiza que objetos que orientam as atividades humanas satildeo
oriundos de preocupaccedilotildees eou desconfortos sendo capazes de gerar e focalizar nossas
atenccedilotildees nos motivar fazer-nos esforccedilar e atribuir sentido agraves nossas accedilotildees Nas e pelas
ldquoatividades as pessoas constantemente mudam e criam novos objetos Os novos objetos
frequentemente natildeo satildeo produtos intencionais de uma atividade simples mas consequecircncias
inintencionais de muacuteltiplas atividadesrdquo (ENGESTROumlM 2010a p 304)
Nesse sentido os alunos que haviam aceitado o convite para participaccedilatildeo no
GEPMM (sujeitos de muacuteltiplas atividades cujo resultado esperado seria a formaccedilatildeo em
Engenharia) natildeo viram condiccedilotildees objetivas para sua realizaccedilatildeo para a materializaccedilatildeo de tal
participaccedilatildeo ainda que ela se fizesse anteriormente constituinte de um fim um objeto
idealizado que havia se fluidificado na realidade
Saacutenchez Vaacutezquez (2002 p 231) nos apresenta uma relaccedilatildeo dialeacutetica entre a
finalidade e a causalidade ldquojaacute que embora os fins conduzam agrave transformaccedilatildeo da realidade
183
esta impotildee limites que aqueles natildeo podem transporrdquo Somente as accedilotildees concretas que
disponham de meios concretos para sua realizaccedilatildeo podem resolver a contradiccedilatildeo histoacuterica
que abarca a finalidade como expressatildeo de uma contradiccedilatildeo entre ldquoo futuro e o presente entre
o ideal e o real entre a realidade a ser transformada e a realidade inexistente jaacute prefigurada
pela consciecircnciardquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 2002 p 231) Assim podemos analisar a natildeo
assiduidade e a participaccedilatildeo incipiente dos alunos que haviam aceitado o convite para
comporem o GEPMM como uma resposta agrave realidade pois ldquonatildeo se podem aceitar meios que
sendo eficazes em relaccedilatildeo a um fim particular contribuam para corromper fins mais
elevadosrdquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 2002 p 233) Tal resposta eacute decorrente da agency
configurada pela implementaccedilatildeo de procedimentos com vistas ao realinhamento ao fim mais
elevado
Durante a entrevista final a aluna Taty disse que acha mais faacutecil participar de
atividades formativas tradicionais (regidas por provas individuais) do que de atividades em
grupo mais interdisciplinares e praacuteticas apesar de afirmar que em sua concepccedilatildeo o meacutetodo
tradicional natildeo tem nada a ver com a formaccedilatildeo do engenheiro Para ela as atividades em
grupo possibilitam mais aprendizagens eacute ldquomuito mais legalrdquo ldquomuito mais interessanterdquo e
ldquoesse eacute o trabalho do engenheirordquo Contudo parece ter caracterizado um objetivo que diz
respeito agraves disciplinas de Caacutelculo que compotildeem a grade curricular do curso de Engenharia no
qual eacute aluna Nas palavras de Taty ldquoeu quero aprovar mais do que isso eu quero passar bem
na mateacuteria [] eu gosto de passar bem em Caacutelculo [] eu quero saber fazer a provardquo Com
isso podemos entender que um fim particular (relacionado agrave formaccedilatildeo em Caacutelculo) estava
traccedilado idealmente como alinhado ao fim mais elevado ndash obter o diploma de engenheira
Dessa forma percebemos um ldquodesalinhamentordquo entre o objeto do GEPMM e o
objeto original primaacuterio que constitui os sistemas de atividade da aluna Taty cujo resultado
se materializa no diploma de engenheira Tal ldquodesalinhamentordquo se tornou visiacutevel aos nossos
olhos pela participaccedilatildeo incipiente da aluna no GEPMM A proacutepria participaccedilatildeo incipiente faz
parte da agency sendo configurada como uma maneira de agir de atuar A aluna nos contou
que ao cursar uma disciplina especiacutefica do curso de Engenharia havia realizado um trabalho
em grupo e que teria se empenhado bastante e aprendido muita coisa de ldquoanaloacutegicardquo mesmo
sem ter feito a disciplina de Analoacutegica formalmente Afirmou que ldquoa interaccedilatildeo o trabalho
em grupo [] uma semana de laboratoacuterio e vocecirc aprende coisa que assim agraves vezes em uma
mateacuteria inteira ficava bem mais ou menosrdquo Observe que como o trabalho em grupo que a
aluna nos contou foi uma atividade avaliativa que resultaria em pontuaccedilatildeo estaria bem
ldquoalinhadardquo aos objetivos de ser aprovada eou ter boas notas na referida disciplina Talvez isso
184
corrobore a suspeita de que se as atividades de Modelagem resultassem em pontuaccedilatildeo em
alguma disciplina de fato os alunos participariam de forma mais efetiva do que pudemos
observar na construccedilatildeo dos dados para a presente pesquisa Sendo assim para que os alunos
participassem efetivamente das atividades do GEPMM tornaram-se necessaacuterios ajustes ao
modelo conforme explicitei anteriormente
Com base nas ideias de Leontiev ainda poderiacuteamos analisar que na verdade os
alunos apenas cumprem o que eacute demandado no contrato didaacutetico institucionalizado ndash estudar
para serem aprovados nas disciplinas eou obterem boas notas ndash e isso constitui ou influencia
fortemente a agency observaacutevel nos procedimentos implementados Contudo com isso os
sujeitos foram desapropriados e desapropriam a si mesmos do sentido do que fazem pois a
atividade formativa acaba perdendo sua especificidade restando-lhes apenas um trabalho
alienado quer se trate do aluno ou do professor ldquoe esse trabalho temos de admiti-lo eacute chato
muito aborrecidordquo (CHARLOT 2013 p 154) O aluno Pedro acabou confirmando essa
concepccedilatildeo Nas palavras dele extraiacutedas das transcriccedilotildees da entrevista inicial podemos ver
Quanto a Caacutelculo a visatildeo que a gente tem infelizmente eacute que eacute uma coisa chata eacute
blaacuteblaacuteblaacute Eu jaacute ouvi de alguns colegas que Caacutelculo natildeo eacute uma coisa que vocecirc usa
tanto muita gente natildeo tem noccedilatildeo da importacircncia do Caacutelculo [] esse mito que se
tem ldquoah o caacutelculo eacute difiacutecil mas natildeo tem importacircnciardquo acaba desestimulando o
pessoal e aiacute sim que vocecirc agraves vezes consegue ateacute ser aprovado na disciplina mas natildeo
tem um aprendizado real
O aluno Pedro ainda expocircs na entrevista inicial que em sua visatildeo faltavam
projetos que objetivassem mostrar para os alunos a ldquoverdadeira importacircncia do Caacutelculo e que
estimulassem os alunos a entenderem o assunto a estudarem maisrdquo demonstrando acreditar
que o GEPMM pode cumprir esse objetivo Contudo ao deixar de participar do GEPMM por
falta de tempo e por parecer priorizar a aprovaccedilatildeo nas disciplinas o aluno acabou por
promover uma possiacutevel desapropriaccedilatildeo de si mesmo do sentido do que faz ndash sujeito em
formaccedilatildeo agravequele que deseja se apropriar de conhecimentos ndash restando-lhe apenas um
trabalho alienado subtraiacutedo de seu desejo manifestado ter ldquoum aprendizado realrdquo
Cabe ressaltar que os dilemas vivenciados pelos alunos quanto agrave participaccedilatildeo no
GEPMM especialmente a participaccedilatildeo em muacuteltiplas atividades demandadas pela formaccedilatildeo
em Engenharia versus a falta de tempo para darem conta de participarem efetivamente das
referidas atividades pode ter resultado na decisatildeo de deixarem de participar dos encontros do
GEPMM Isso natildeo aconteceu somente com os alunos O docente Robson por exemplo
participou de apenas dois encontros do GEPMM atribuindo suas ausecircncias a outras demandas
185
de trabalho como viagens a congressos participaccedilatildeo de bancas de conclusatildeo de cursos e
atividades administrativas A docente Clarice apoacutes o deacutecimo encontro enviou um e-mail a
todos os integrantes do GEPMM informando que em virtude do iniacutecio de seu processo de
doutoramento teria que se ausentar do GEPMM por pelo menos alguns anos Todas essas
atitudes perfazem a agency inerente agraves repostas dos sujeitos agraves referidas demandas
Ainda no segundo encontro do GEPMM escolhemos o primeiro tema a ser
desenvolvido por noacutes ndash ldquopeso corporal idealrdquo Apoacutes tal escolha o professor Angel
compartilhou uma informaccedilatildeo que acabara de ter acesso por meio do manuseio de seu
notebook que permanecia ligado e conectado na internet informando-nos sobre um edital
aberto no site do CNPq Tal edital era sobre gecircnero e relaccedilotildees de trabalho O professor Angel
se mostrou muito animado em elaborarmos um projeto para submetermos agrave ampla
concorrecircncia preconizada pelo referido edital
Decidimos construir um projeto para submissatildeo ainda que tiveacutessemos apenas seis
dias corridos incluindo saacutebado e domingo para tal confecccedilatildeo Taty tentou ajudar nessa
empreitada e disse ter o projeto inteiro escrito sobre gecircnero e somente teriacuteamos que ldquoadaptaacute-
lordquo para a aacuterea da Engenharia A aluna referiu-se ao projeto que ela estava desenvolvendo
como bolsista de Iniciaccedilatildeo Cientiacutefica Decidimos lutar contra o tempo e escrever esse projeto
para a submissatildeo O projeto foi intitulado Relaccedilotildees de Gecircnero no Trabalho das Engenheiras
do Setor industrial uma anaacutelise das condiccedilotildees de trabalho e das competecircncias e habilidades
matemaacuteticas cujo objetivo principal era ldquocompreender as relaccedilotildees de gecircnero estabelecidas no
trabalho das engenheiras que atuam em empresas do setor industrial mineiro por meio do
entendimento das condiccedilotildees de trabalho e das habilidades e competecircncias matemaacuteticas
requeridas na atuaccedilatildeo laboral da aacuterea especificamente estudadardquo E os objetivos especiacuteficos
eram
- Caracterizar as condiccedilotildees de trabalho de mulheres engenheiras das principais
empresas do setor industrial mineiro da regiatildeo do Vale do Accedilo e da cidade de
Itabira
- Estabelecer as diferenccedilas proporcionais de gecircnero na ocupaccedilatildeo de cargos de
engenharia buscando analisar as peculiaridades de cada uma das classes de
trabalhadores ndash homens e mulheres
- Analisar as competecircncias e habilidades matemaacuteticas requeridas para a efetiva
atuaccedilatildeo em cargos de engenharia ocupados por mulheres e sua respectiva
comparaccedilatildeo entre os mesmos cargos ocupados por homens
- Utilizar os resultados da pesquisa como aporte teoacuterico para a tomada de decisotildees
relacionadas aos curriacuteculos dos cursos de Engenharia da UNIFEI no que se refere agrave
questatildeo de gecircnero ainda deixada de lado nos projetos pedagoacutegicos dos cursos assim
como o fornecimento dos mesmos subsiacutedios para que outras instituiccedilotildees possam
fazer uso
186
- Aplicar os resultados como agentes que podes motivar os estudantes dos cursos de
Engenharia da UNIFEI a refletirem sobre questotildees relacionadas ao gecircnero no
trabalho e na formaccedilatildeo em engenharia
Submetemos o trabalho na data limite ndash dia 14 de novembro de 2012 Contudo o
CNPq natildeo o aprovou O parecer questionou sobre a aacuterea de atuaccedilatildeo dos docentes que iriam
executaacute-lo ou seja por natildeo termos produccedilatildeo cientiacutefica na aacuterea fomos impedidos de realizar a
pesquisa a menos que quiseacutessemos fazecirc-la sem ter projeto algum submetido e
consequentemente sem ter auxiacutelios financeiros para sua execuccedilatildeo
Mas por que em um grupo que originalmente orientaria suas atividades pelos
objetos materializados por questotildees-problema matemaacuteticos e estudantes de Engenharia
tomaria uma pesquisa sobre gecircnero no trabalho de Engenharia como objeto de uma atividade
paralela Tentarei analisar a referida atividade como constituinte de sistemas de atividade
hiacutebridos ndash muacuteltiplos contextos de atividades paralelos e as respectivas multi-agencys
(DANIELS et al 2010a)
A estrutura do trabalho docente em instituiccedilotildees federais de ensino superior
brasileiras estaacute baseada no tripeacute ensino-pesquisa-extensatildeo Tais instituiccedilotildees estatildeo entre as
instituiccedilotildees puacuteblicas mais submetidas a avaliaccedilotildees de desempenho A grande questatildeo que se
faz necessaacuterio pontuar eacute que tais avaliaccedilotildees podem muito bem verificar quantitativamente o
desempenho de tais instituiccedilotildees pelas quantidades de diplomas concedidos e artigos
publicados poreacutem natildeo conseguem captar bem os conteuacutedos inerentes aos diplomados e agrave
qualidade das publicaccedilotildees Nesse sentido em artigo publicado no jornal Folha de SPaulo o
professor Joseacute Maria Alves da Silva154
do Departamento de Economia da Universidade
Federal de Viccedilosa-MG esclarece que
Tirando o que eacute gasto na elaboraccedilatildeo de projetos produccedilatildeo em massa de artigos
preenchimento de relatoacuterios atualizaccedilatildeo de curriacuteculos participaccedilotildees cada vez mais
frequentes em bancas reuniotildees etc sobra pouco tempo para pensar e outras
finalidades importantes como aperfeiccediloar metodologias de ensino ou enriquecer
conteuacutedos disciplinares Quando o ldquoprodutivismordquo impera na academia aulas
conferecircncias e palestras brilhantes ou qualquer outro tipo de comunicaccedilatildeo fora dos
meios reconhecidos natildeo contam por mais que sirvam para solucionar problemas
enriquecer espiacuteritos ou abrir novos caminhos de pensamento (SILVA 2012)
Nesse sentido a participaccedilatildeo no GEPMM poderia ateacute constituir importante meio
para a formaccedilatildeo dos sujeitos partiacutecipes em termos de abrir novos caminhos de pensamento
solucionar problemas da realidade natildeo matemaacutetica em questatildeo eou ajudar na melhoria da
154
Doutor em Economia
187
praacutetica mas de todo modo fora dos meios reconhecidos natildeo ldquocontardquo natildeo soma natildeo produz
ldquoquantidaderdquo nas avaliaccedilotildees de desempenho Sendo assim o objeto da referida atividade
paralela a transforma natildeo em uma atividade vital dos sujeitos e sim em puro meio de
ldquosubsistecircnciardquo Naquele momento reflexotildees sobre qual a importacircncia e a quem serviria aquilo
que estariacuteamos produzindo parecem natildeo ter acontecido Estava constituiacuteda uma atividade
alienada Aqui assumo o termo alienaccedilatildeo em Marx Alienaccedilatildeo no sentido de perpetuar a
dicotomia entre os que pensam e os que executam devido agrave inserccedilatildeo dos sujeitos no sistema
de formaccedilatildeo superior estabelecido nas e pelas universidades federais brasileiras que refletem
a organizaccedilatildeo do modo de produccedilatildeo capitalista ndash alienaccedilatildeo como fenocircmeno social
Saacutenchez Vaacutezquez (1977) busca em Marx a relaccedilatildeo alienante que pode ser
estabelecida entre os sujeitos e seus objetos ndash demandas sociais ndash em uma atividade humana
enfatizando uma possiacutevel ldquodesgovernanccedilardquo um verdadeiro runaway object (ENGESTROumlM
2010a)
As palavras de Marx (1845) em sua obra A ideologia alematilde esclarecem que
O poder social isto eacute a forccedila de produccedilatildeo multiplicada que nasce por obra da
cooperaccedilatildeo dos diversos indiviacuteduos sob a accedilatildeo da divisatildeo do trabalho aparece diante
desses indiviacuteduos por natildeo se tratar de uma cooperaccedilatildeo voluntaacuteria mas sim natural
natildeo como um poder proacuteprio associado e sim como um poder alheio situado agrave
margem deles que natildeo sabem de onde vem nem para onde vai e que por
conseguinte jaacute natildeo podem dominar (p 33 apud SAacuteNHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p
442)
Realmente natildeo podiacuteamos dominar o objeto configurado pelono referido projeto
submetido ao CNPq O proacuteprio contexto institucional estava permeado pelo modo de
produccedilatildeo e de exploraccedilatildeo do sistema capitalista imposto pela burguesia tendencioso agrave
perpetuaccedilatildeo da dicotomia entre os trabalhadores intelectuais e os trabalhadores teacutecnicos entre
os produtoresconstrutores e os operadores Com isso o contexto implicava em nossa natildeo
reflexatildeo permaneciacuteamos sem saber qual a importacircncia da referida atividade e a quem ela
serviria O que pensaacutevamos poderia estar desconectado do que pretendiacuteamos executar Nas
palavras de Angel retiradas das transcriccedilotildees do segundo encontro do GEPMM podemos
encontrar a seguinte ponderaccedilatildeo ldquonossa eacute dinheiro demais Satildeo oito milhotildees soacute pra
projetinhos para falar de mulherrdquo De fato Angel natildeo parece realmente estar ldquopreocupadordquo
com as questotildees de gecircnero no trabalho em Engenharia e mais do que isso parece natildeo
perceber a real importacircncia de se pesquisar a respeito desse tema Com isso percebemos que
ao menos para Angel o objeto principal da atividade natildeo parece estar alinhado ao seu motivo
188
Atualmente as avaliaccedilotildees de desempenho tendem a controlar externamente o
trabalho docente cujo objeto de sua atividade pode se tornar alheio aos sujeitos Nesse
sentido seria pertinente questionar qual valor de uso e de troca estaria permeado em tal
objeto contraditoacuterio Sendo assim o valor de uso referindo-se agrave utilidade de tal objeto
(projeto submetido ao edital do CNPq) poderia estar configurado pela materializaccedilatildeo dos
objetivos principal e especiacuteficos expostos anteriormente neste texto Adicionalmente o valor
de troca para os docentes parece estar restrito a uma quantificaccedilatildeo nos meios de
reconhecimento e controle do trabalho docente em instituiccedilotildees federais de ensino superior
brasileiras entre eles o curriacuteculo Lattes e os ldquonuacutemerosrdquo da CAPES e do CNPq Jaacute para os
discentes o valor de troca parecia estar relacionado com as possibilidades de ganhos reais
financeiros mediante o fornecimento de bolsas de pesquisa cujo valor seria de R$ 400
mensais No valor de troca poderiam ser encontrados os motivos que impulsionaram tal
atividade que articulariam uma necessidade a tal objeto Contudo os dados construiacutedos para
a presente pesquisa natildeo me fornecem subsiacutedios para tecer uma anaacutelise rigorosa sobre os
motivos que impulsionaram tal atividade apenas uma sinalizaccedilatildeo conforme descriccedilatildeo
anterior
Estaria em todo caso configurada uma parceria possibilitada pela participaccedilatildeo
dos sujeitos no referido grupo que sem duacutevida alguma permitiu uma movimentaccedilatildeo na Zona
de Desenvolvimento Proximal (ZDP) das atividades docente-discente devido a uma
diminuiccedilatildeo do distanciamento historicamente constituiacutedo entre docentes e discentes
permitindo e facilitando as interaccedilotildees e o diaacutelogo entre os docentes e portanto favorecendo o
desenvolvimento coletivo de iniciativas (agency) que ressaltem a satisfaccedilatildeo de demandas na
condiccedilatildeo de trabalhadores de universidades brasileiras na contemporaneidade Pesquisa e
inovaccedilatildeo cientiacutefica surgem nesse caso como ldquonovasrdquo praacuteticas sociais que atendem agraves
necessidades impostas pelas universidades Nesse sentido um processo mediado pelo agir
comunicativo ocorreu e se materializou no referido projeto submetido ao CNPq Da mesma
forma que juntamos forccedilas e conseguimos elaboraacute-lo poderiacuteamos fazecirc-lo em outros editais
que fossem abertos posteriormente
Sendo assim as possibilidades de interaccedilatildeo mediadas pela linguagem pelo
diaacutelogo entre os parceiros do GEPMM parece ser um fator preponderante para natildeo somente a
elaboraccedilatildeo de projetos de pesquisa a serem submetidos em editais do CNPq mas sobretudo
para a ampliaccedilatildeo das possibilidades de reflexatildeo acerca de sua proacutepria atividade docente
Desse modo estaria configurado um importante espaccedilo de formaccedilatildeo continuada
para os docentes com relaccedilatildeo agraves muacuteltiplas atividades (ensino pesquisa extensatildeo) que
189
desenvolvem na instituiccedilatildeo Docentes que lecionam disciplinas de Caacutelculo atuando
conjuntamente com docentes de outras aacutereas dos cursos de Engenharia e com alunos em
formaccedilatildeo podem ser considerados parceiros Uma rede de aprendizagem foi configurada no e
pelo GEPMM A aprendizagem expansiva a partir do movimento da ZDP da atividade
docente somente se materializou pela construccedilatildeo de redes ndash parceria uma reflexatildeo que cabe
aqui eacute que juntos coletivamente a atividade dos sujeitos docentes e discentes de cursos de
Engenharia pode assumir uma nova forma possivelmente com um objeto mais alinhado aos
atuais objetivos da formaccedilatildeo em Engenharia
53 Terceira modalidade ndash Modelagem e a caixa-preta do ldquopeso corporal idealrdquo num
contexto de formaccedilatildeo em Engenharias do Caacutelculo em accedilatildeo agraves aprendizagens expansivas
como transformaccedilotildees qualitativas do objeto da atividade
[] todos os atores estatildeo fazendo alguma coisa com a caixa preta () eles natildeo a
transmitem pura e simplesmente mas acrescentam elementos seus ao modificarem o
argumento fortalececirc-lo e incorporaacute-lo em novos contextos (LATOUR 2000 p
171)
A sociedade atual vem passando por importantes transformaccedilotildees nos uacuteltimos anos
mediante avanccedilo e difusatildeo de ferramentas de comunicaccedilatildeo e informaccedilatildeo Castells (2005 p
17) pontua que a ldquosociedade emergente tem sido caracterizada como sociedade de informaccedilatildeo
ou sociedade do conhecimentordquo apesar de demonstrar no referido texto que natildeo concorda
com tal terminologia O autor afirma ainda que ldquoa tecnologia eacute condiccedilatildeo necessaacuteria mas natildeo
suficiente para a emergecircncia de uma nova forma de organizaccedilatildeo social baseada em redesrdquo
(CASTELLS 2005 p 17) segundo ele ldquodifundir a Internet ou colocar mais computadores
nas escolas por si soacute natildeo constituem necessariamente grandes mudanccedilas sociaisrdquo
(CASTELLS 2005 p 18)
Considero assim que ldquoa sociedade em rede155
eacute a sociedade de indiviacuteduos em
rederdquo (CASTELLS 2005 p 22) global baseada em redes globais em que a comunicaccedilatildeo em
redes transcende fronteiras e pode ser entendida como segue
A comunicaccedilatildeo constitui o espaccedilo puacuteblico ou seja o espaccedilo cognitivo em que as
mentes das pessoas recebem informaccedilatildeo e formam os seus pontos de vista atraveacutes do
processamento de sinais da sociedade no seu conjunto Por outras palavras enquanto
155
ldquoA sociedade em rede em termos simples eacute uma estrutura social baseada em redes operadas por tecnologias
de comunicaccedilatildeo e informaccedilatildeo fundamentadas na microelectroacutenica e em redes digitais de computadores que
geram processam e distribuem informaccedilatildeo a partir de conhecimento acumulado nos noacutes dessas redesrdquo
(CASTELLS 2005 p 20)
190
a comunicaccedilatildeo interpessoal eacute uma relaccedilatildeo privada formada pelos actores da
interacccedilatildeo os sistemas de comunicaccedilatildeo mediaacuteticos criam os relacionamentos entre
instituiccedilotildees e organizaccedilotildees da sociedade e as pessoas no seu conjunto natildeo enquanto
indiviacuteduos mas como receptores colectivos de informaccedilatildeo mesmo quando a
informaccedilatildeo final eacute processada por cada indiviacuteduo de acordo com as suas proacuteprias
caracteriacutesticas pessoais (CASTELLS 2005 p 22)
Mas de que forma podemos entender e relacionar os termos informaccedilatildeo
conhecimento e saber em tal sociedade Como as tecnologias estariam relacionadas a esses
termos Nesse sentido considero que ldquoas pessoas integraram as tecnologias nas suas vidas
ligando a realidade virtual com a virtualidade real vivendo em vaacuterias formas tecnoloacutegicas de
comunicaccedilatildeo articulando-as conforme as suas necessidadesrdquo (CASTELLS 2005 p 22 grifo
meu)
Com o intuito de tentar responder ou ao menos propor uma breve reflexatildeo sobre
os termos informaccedilatildeo conhecimento e saber comeccedilarei com a premissa de que no sentido
amplo uma ldquoinformaccedilatildeo eacute um dado que se encontra no mundo objetivo exterior ao
indiviacuteduordquo (MICOTTI 1999 p 154) constitui um dado que pode ser ldquolidordquo acessado e
compreendido Alguns autores pontuam imprecisotildees envolvidas na noccedilatildeoconceito de
informaccedilatildeo na sociedade atual Para Mattelart (2006) por exemplo
A tendecircncia a assimilar a informaccedilatildeo a um termo proveniente da estatiacutestica
(datadados) e a ver informaccedilatildeo somente onde haacute dispositivos teacutecnicos se acentuaraacute
Assim instalar-se-aacute um conceito puramente instrumental de sociedade da
informaccedilatildeo Com a atopia social do conceito apagar-se-atildeo as implicaccedilotildees
sociopoliacuteticas de uma expressatildeo que supostamente designa o novo destino do mundo
(MATTELART 2006 p 71)
No sentido exposto por Mattelart (2006) pode ser inclusa a noccedilatildeo de informaccedilatildeo
de Micotti (1999 p 155) na qual ldquouma informaccedilatildeo conteacutem um suporte e uma semacircnticardquo
para Micotti (1999) uma mesma semacircntica (ideia conceito) poderia ser conduzida por
diferentes suportes (desenho imagem enunciado verbal) que percorreriam um mesmo canal
(por exemplo oacutetico acuacutestico etc) Micotti (1999 p 155) afirma ainda que ldquoas informaccedilotildees
penetram nos sistemas de tratamento ndash o corpo humano eacute um deles O indiviacuteduo as submete a
uma seacuterie de accedilotildees e as transforma em conhecimentordquo
No que tange agrave noccedilatildeo de conhecimento Mattelart (2006) se apoia em Machlup
(1962 p 69 grifo do autor) e esclarece que ldquoinformar eacute uma atividade mediante a qual o
conhecimento eacute transmitido conhecer eacute resultado de ter sido informadordquo Nisso Micotti
(1999) esclarece que
191
o conhecimento eacute o resultado de uma experiecircncia pessoal com as informaccedilotildees Ele eacute
subjetivo relaciona-se com as vivecircncias e as atividades de cada pessoa ao passo que
o saber tem aspectos subjetivos (individuais) e sociais Eacute individual e deste ponto de
vista eacute tambeacutem conhecimento envolve a apropriaccedilatildeo de informaccedilatildeo por um sujeito
eacute interpessoal ndash o saber individual eacute confrontado com os saberes dos outros
(MICOTTI 1999 P 155)
Com isso o saber pode ser considerado como um objeto autocircnomo registrado nos
livros ou em quaisquer outros artefatos culturais e tecnoloacutegicos podendo tambeacutem tornar-se
enunciado acionado em interaccedilotildees diversas no sentido de ser uma informaccedilatildeo disponibilizada
para outros indiviacuteduos nas interaccedilotildees e suportadas por miacutedias diversas Sendo assim o saber
pode ser considerado como uma relaccedilatildeo cognitiva produto de uma interaccedilatildeo156
traccedilado na e
pela historicidade e submetido aos processos coletivos de validaccedilatildeo e transmissatildeo
(CHARLOT 2000)
Sendo assim informaccedilatildeo conhecimento e saber assumem caracteriacutesticas distintas
poreacutem inter-relacionadas (MICOTTI 1999) Para que uma informaccedilatildeo se torne conhecimento
eacute necessaacuteria uma internalizaccedilatildeo uma interpretaccedilatildeo daquela informaccedilatildeo por parte dos sujeitos
gerando conhecimento no entanto tal conhecimento se transforma em saber mediante anaacutelise
rigorosa de uma coletividade ndash a comunidade cientiacutefica a sociedade ndash por meio de accedilotildees e
interaccedilotildees diaacutelogo e orquestraccedilatildeo (MICOTTI 1999) Desta forma ldquoo saber compreende
informaccedilatildeo e conhecimentordquo (MICOTTI 1999 p 155)
Ainda pretendo discorrer sobre o papel das interaccedilotildees com os modelos que
permearam o GEPMM durante os dez primeiros encontros no que tange agraves interaccedilotildees (e
agency) necessaacuterias para a elucidaccedilatildeo dos modelos assim como as possibilidades de
interaccedilotildees tecnomediadas157
oferecidas por tais instrumentos ou artefatos mediadores Atribuo
dois modelos tecnomatemaacuteticos como fundamentais para auxiliar o entendimento da questatildeo
escolhida por noacutes para ser solucionada coletivamente no GEPMM conforme os atributos de
nossas agency bem como o acesso aos demais instrumentos necessaacuterios para possibilitar as
accedilotildees em prol de atingir tal objetivo O primeiro deles constituiacutedo por um sistema de
156
O termo interaccedilatildeo aqui assumido eacute oriundo da teoria bakhtiniana de discurso que carrega a definiccedilatildeo de
sujeito como um sujeito social que pertence a uma classe social na qual dialogam os diferentes discursos da
sociedade Aleacutem disso os diaacutelogos entre interlocutores se cruzam aos diaacutelogos entre discursos Sendo assim ldquoo
dialogismo interacional de Bakhtin desloca o conceito de sujeito que perde o papel de centro ao ser substituiacutedo
por diferentes vozes sociais que fazem dele um sujeito histoacuterico e ideoloacutegicordquo (BARROS 2007 p 27 grifo
meu) 157
A tecnomediaccedilatildeo eacute entendida neste texto como sendo as interaccedilotildees mediadas por artefatos tecnoloacutegicos que
incluem as mais variadas ferramentas ou suportes tecnoloacutegicos tais como a proacutepria Matemaacutetica e os recursos
ciberneacuteticos aleacutem de englobar diversos suportes de mediaccedilatildeo tais como a linguagem transmitida sob a forma
oral escrita e por gestos
192
equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias (EDO)158
fornece-nos o comportamento da variaccedilatildeo das
massas magra e gorda que compotildee fundamentalmente o ldquopeso corporalrdquo com base em
mudanccedilas energeacuteticas ndash variaccedilatildeo alimentar e variaccedilatildeo de atividade fiacutesica O segundo deles
constituiacutedo por uma implementaccedilatildeo computacional baseada no primeiro modelo em uma
tecnologia de interface para a internet podendo ser acessado por meio da execuccedilatildeo de um
programa desenvolvido usando a linguagem Java159
ndash um simulador160
Na atividade de modelagem desenvolvida pelo GEPMM durante a construccedilatildeo
dos dados para a presente pesquisa cujo tema consistiu na questatildeo do ldquopeso corporal idealrdquo eacute
necessaacuterio pontuar que o objeto da referida atividade havia sido esboccedilado idealmente pelos
sujeitos partiacutecipes originado de uma sugestatildeo feita por mim No momento da sugestatildeo
algumas indagaccedilotildees jaacute faziam parte do repertoacuterio de informaccedilotildees que possuiacuteamos Jaacute
conheciacuteamos algo sobre a questatildeo Dessa forma naquele momento um objeto nos era posto
apenas e somente em relaccedilatildeo a outras informaccedilotildees Para fins de anaacutelise definirei tal objeto
como caixa-preta do ldquopeso corporal idealrdquo inicial ndash 1198621198750 Nesse sentido Ladriegravere (1978) pode
nos ajudar a entender a configuraccedilatildeo de tal objeto
Eacute verdade que moldamos a natureza a partir de nossas proacuteprias representaccedilotildees e que
deste modo nos damos a noacutes mesmos a base de novas interpretaccedilotildees A visatildeo que
temos da natureza natildeo eacute nem uniforme nem imutaacutevel Mas as coisas se passam
assim com muito mais razatildeo para a realidade social que remodelamos sem cessar
mesmo sem o saber agrave luz das interpretaccedilotildees atraveacutes das quais a aprendemos por
meio das quais nos situamos em face dela conformemente agraves quais compreendemos
nosso lugar no jogo das interaccedilotildees [] partimos sempre de uma interpretaccedilatildeo
natural mas dela passamos por uma interpretaccedilatildeo construiacuteda que eacute como que uma
esquematizaccedilatildeo preacutevia agrave escolha do modelo (LADRIEgraveRE 1978 p 147 grifos
meus)
O objetivo da atividade de Modelagem analisada nesta parte da tese poderia estar
definido como entendersolucionar a problemaacutetica questatildeo de quantificar as variaccedilotildees do
158
120588119866
119889119866
119889119905= 119862119868 minus 119896119866119866
2
120588119865119889119865
119889119905= (1 minus 119901) (119864119868 minus 119864119864 minus 120588119866
119889119866
119889119905)
120588119871119889119871
119889119905= 119901(119864119868 minus 119864119864 minus 120588119866
119889119866
119889119905)
onde 119866 corresponde ao Glicogecircnio 119862119868 corresponde aos carboidratos
de entrada 119864119868 denota a energia de entrada 119864119864 a energia gasta 119865 massa gorda 119871 massa magra os demais satildeo
coeficientes que dependem de correlaccedilatildeo de dados iniciais Tal sistema culmina na seguinte EDO linear de
primeira ordem [120578119865+120588119865+120572120578119871+120572120588119871
(1minus120573)(1+120572)]119889119861119882
119889119905= Δ119864119868 minus
1
(1minus120573)[120574119865+120572120574119871
(1+120572)+ 120575] (119861119882 minus 1198611198820) Equaccedilotildees disponiacuteveis em
httpwwwniddknihgovresearch-fundingat-niddklabs-branchesLBMintegrative-physiology-sectionbody-
weight-simulatorDocumentsHall_Lancet_Web_Appendixpdf Acesso em 19112014 159
Para maiores informaccedilotildees ver httpjavacompt_BRdownloadwhatis_javajsp 160
Simulador disponiacutevel em httpwwwniddknihgovresearch-fundingat-niddklabs-
branchesLBMintegrative-physiology-sectionbody-weight-simulatorPagesbody-weight-simulatoraspx Acesso
em 19112014
193
peso corporal mediante alteraccedilotildees na dieta e nos exerciacutecios fiacutesicos cuja meta seria atingir um
peso corporal desejadoideal Tiacutenhamos o conhecimento por exemplo que aumento de
atividades fiacutesicas tende a diminuiccedilatildeo no peso corporal enquanto diminuiccedilotildees de calorias
ingeridas tendem a diminuir o peso corporal uma pessoa com peso corporal maior queima
mais calorias do que uma pessoa com peso corporal menor em uma mesma atividade fiacutesica eacute
necessaacuterio ingerir alimentos de trecircs em trecircs horas uma pessoa deve ingerir entre 2000 e
2500 calorias por dia entre outras informaccedilotildees que se relacionavam agrave 1198621198750 naquele momento
moldando-a sob nossos olhares Configurava-se um objeto a ser transformado resultando em
um entendimento lsquomais clarorsquo sobre tal questatildeo de forma que instrumentos de Caacutelculo
fossem utilizados no processo de Modelagem
Clarear no sentido de ldquoacinzentarrdquo do cinza escuro (tendendo ao preto) para tons
mais claros de cinza Sendo assim orientados pelo objetivo acima exposto o objeto de nossa
atividade ao acessarmos informaccedilotildees que por sua vez geraram conhecimentos acerca da
problemaacutetica modificou a cor da caixa-preta tornando-a cada vez mais clara (ou natildeo)
mediante as interaccedilotildees entre os sujeitos e as referidas fontes e recursos que suportavam as
informaccedilotildees entre elas alguns artigos cientiacuteficos Vale ressaltar que ldquoverdadesrdquo cientiacuteficas
(impressas em artigos cientiacuteficos lidos pelos integrantes do grupo) transformam-se em
comunicaccedilatildeo pelas e nas interaccedilotildees que por sua vez carregam o saber nela contidos
promovendogerando o entendimento ldquoclareandordquo as questotildees da sociedade
Ainda eacute importante salientar que 1198621198750 se constitui uma ceacutelula geacutermen
Davydoviana que seria uma primaacuteria abstraccedilatildeo da realidade em questatildeo ndash a problemaacutetica
questatildeo do peso corporal ideal ndash jaacute que naquele momento nada de ldquoconcretordquo havia sido
produzido Havia apenas uma transformaccedilatildeo nos modos como pensaacutevamos a realidade ndash a
problemaacutetica-questatildeo que estaria sendo tomada como o objeto da atividade com um
conhecimento a ser construiacutedo pela e na atividade de Modelagem que partiria daquela
abstraccedilatildeo primaacuteria e seria mediante o desencadeamento do processo elevada a um concreto
pensado161
Durante a realizaccedilatildeo da entrevista final a aluna Taty ressaltou que natildeo imaginava
que o problema do peso corporal ideal fosse ter tantas variaacuteveis apesar de desconfiar que teria
Matemaacutetica ou seja que a Matemaacutetica seria instrumento para a realizaccedilatildeo da Modelagem
Contudo ressaltou que havia pensado que ldquofosse ser uma coisa mais faacutecil mais superficial
161
ldquo[] O meacutetodo que permite elevar-se do abstrato ao concreto nada mais eacute do que o modo como o pensamento
se apropria do concreto sob a forma do concreto pensado Mas natildeo eacute de modo algum o proacuteprio concretordquo
(MARX 1845 apud SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 204)
194
[] o problema se multiplicou [] eacute como se o problema fosse uma raiz e criou um monte de
galhinhos Muitos galhinhosrdquo Naquele momento da entrevista a observaccedilatildeo de Taty quanto
agraves ramificaccedilotildees inesperadas que levaram a uma expansatildeo natural do problema fazia todo o
sentido Teriacuteamos sim que trabalhar em vaacuterios ramos de uma ldquoaacutervorerdquo um objeto
desgovernado162
Engestroumlm (2010a p 304) afirma que um objeto desgovernado pode ser um
ldquoobjeto poderosamente emancipatoacuterio que abre radicalmente novas possibilidades de
desenvolvimento e bem estar163
rdquo
Sendo assim a ascensatildeo da abstraccedilatildeo primaacuteria 1198621198750 a um concreto conceitual
expandido poderia natildeo fazer parte de uma ascensatildeo linear de baixo pra cima mas parece
percorrer os vaacuterios ldquogalhinhos de uma aacutervorerdquo conforme reflexatildeo de Taty ou as trilhas e
micorrizas164
conforme apontamento de Engestroumlm (2010a) O autor se refere agraves micorrizas
para tentar analisar atividades que acontecem em uma sociedade de indiviacuteduos em rede cujos
caminhos do objeto de uma referida atividade podem ser destinados a percorrer os noacutes de uma
micorriza ou de uma verdadeira rede neural natural Nesse sentido localizamos 1198621198750 no
inicial momento da atividade de Modelagem como uma ldquocaixa-pretardquo que poderia estar
localizada em um dos noacutes de uma micorriza ou de uma rede neural natural Com isso
instalam-se 119899 possibilidades iniciais para 1198621198750 comeccedilar a se mover sob os caminhos da
micorriza
Na atividade analisada nesta parte da tese demonstraremos os caminhos e os noacutes
que constituiacuteram o movimento do objeto de nossa atividade mediante as possibilidades de
interaccedilotildees firmadas na e pela atividade que inclui claramente o acesso e o tratamento das
informaccedilotildees que por sua vez geraram conhecimentos que promoveram a movimentaccedilatildeo ndash
trajetoacuteria do objeto em questatildeo
No decorrer da atividade de modelagem do peso corporal ideal os textos ndash artigos
cientiacuteficos ndash podem ser entendidos como miacutedias que suportam modelos matemaacuteticos ndash
podem ser considerados aparatos da razatildeo165
(SKOVSMOSE 2007) e ao mesmo tempo o
162
Runaway object (ENGESTROumlM 2010a) 163
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquopowerfully emancipatory objects that open up radically new possibilities of
development and well-beingrdquo 164
Engestroumlm (2010a) entende que uma micorriza eacute uma associaccedilatildeo mutualiacutestica do tipo simbioacutetica na qual a
relaccedilatildeo mutualiacutestica estaria baseada na vantagem muacutetua de interaccedilatildeo entre duas espeacutecies que se beneficiariam
reciprocamente Tal associaccedilatildeo eacute existente em algumas espeacutecies de fungos e raiacutezes de algumas plantas Em
Engestroumlm (2008) podemos encontrar ainda a premissa de que as equipes que constituem e satildeo constituiacutedas em
coletividades que assumem atividades orientadas deveriam ser pensadas atualmente sob a oacutetica da sociedade em
rede Sendo assim as equipes coexistiriam a uma relaccedilatildeo de noacutes de uma rede da atual sociedade em rede 165
Skovsmose (2007) pontua que
1) o ldquoaparato da razatildeordquo eacute uma complexidade construiacuteda que inclui uma variedade de teacutecnicas cientiacuteficas e
tecnoloacutegicas cruciais para o desenvolvimento e manutenccedilatildeo tecnoloacutegica
195
conjunto desses aparatos da razatildeo (modelos matemaacuteticos) constitui suporteembasamento
para a elaboraccedilatildeo do software bwsimulator Com isso podemos refletir que ldquomodelos criam
modelos e uma camada de matemaacutetica sobre a outra se finca na realidaderdquo (SKOVSMOSE
2007 p 127)
Nesse sentido podemos considerar ainda que o proacuteprio objeto inicial 1198621198750 pode ser
considerado como um aparato da razatildeo (SKOVSMOSE 2007) Nisso o autor enfatiza a
complexidade em entenderexplicar a produccedilatildeo de conhecimento sob a oacutetica dos aparatos da
razatildeo Haacute uma posta dificuldade ou impossibilidade de transposiccedilatildeo das fronteiras deem tais
aparatos Para isso o autor indica a necessidade de colocarmos a tecnologia disponiacutevel em
accedilatildeo a fim de avaliar como ela trabalha O autor esclarece ainda que ldquoconstruccedilotildees
tecnoloacutegicas ainda natildeo realizadas (isto eacute situaccedilotildees hipoteacuteticas) podem ser especificadas em
detalhes pela modelagem matemaacutetica e o raciociacutenio hipoteacutetico pode se tornar um instrumento
essencial para indicar as implicaccedilotildeesrdquo (SKOVSMOSE 2007 p 140)
No que tange agrave atividade de modelagem realizada pelo GEPMM que pretendeu a
abertura da caixa-preta do peso corporal ideal o aparato da razatildeo definido pelos conteuacutedos
de Caacutelculo incluindo as Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias (EDOs) foi de crucial importacircncia
para possibilitar a avaliaccedilatildeo das consequecircncias das accedilotildees sociotecnoloacutegicas criadas nos e
pelos outros aparatos da razatildeo que permearam tal atividade Esses outros aparatos da razatildeo
emergiram nas accedilotildees e interaccedilotildees mediadas por variados artefatos entre eles artigos
cientiacuteficos livros e softwares de simulaccedilatildeo
As questotildees de acesso agrave informaccedilatildeo ou caminhos para o acesso devem ser
colocadas em relevo no que tange agraves transformaccedilotildees do objeto da referida atividade de
modelagem A seguir darei continuidade a essa parte da anaacutelise explicitando as
transformaccedilotildees qualitativas do objeto da atividade para tal explicitarei a formaccedilatildeo de outras
quatro caixas-pretas (ou cinzas) a saber 1198621198751 1198621198752 1198621198753 e 1198621198754 esboccedilando assim um
movimento de ascensatildeo do abstrato ao concreto no sentido do ldquoclareamentordquo da questatildeo do
peso corporal ideal
Quando 1198621198750 foi tomada como objeto da atividade de modelagem podiacuteamos
caracterizar traccedilos de relaccedilotildees com outras caixas-pretas na verdade 1198621198750 coexistia a tais
2) o ldquoaparato da razatildeordquo estabelece propensotildees da sociedade para uma accedilatildeo sociotecnoloacutegica que somente torna-
se possiacutevel pela matemaacutetica em accedilatildeo
3) o ldquoaparato da razatildeordquo estaacute se desenvolvendo em saltos imprevisiacuteveis seguindo uma rota fluida na qual novas
competecircncias satildeo continuamente postas nessa enorme caixa de ferramentas do projeto tecnoloacutegico
4) o ldquoaparato da razatildeordquo inclui novos padrotildees de qualidade que orienta-se pela criaccedilatildeo de um novo discurso por
meio de uma variedade de elementos da ciecircncia
5) o ldquoaparato da razatildeordquo representa a unificaccedilatildeo do conhecimento do poder sendo considerado uma constelaccedilatildeo
de conhecimento disponiacutevel
196
relaccedilotildees Tiacutenhamos o conhecimento por exemplo que 1198621198750 relacionava-se com os modelos
matemaacuteticos com taxas de consumo energeacutetico taxas de metabolismo nutriccedilatildeo educaccedilatildeo
fiacutesica bioquiacutemica entre outras caixas-pretas Mas como 1198621198750 se relacionava a elas
pretendiacuteamos entender jaacute tendo como premissa que instrumentos de Caacutelculo seriam
necessaacuterios para tal ldquoclareamentordquo Natildeo imaginaacutevamos naquele momento que instrumentos
de programaccedilatildeo de computadores e softwares emergiriam como artefatos mediadores na
referida atividade nem tampouco como essas caixas-pretas se relacionariam agraves outras
Dividirei o processo de ldquoclareamentordquo de 1198621198750 em quatro saltos (de 1198621198750 a 1198621198754)
podendo ser caracterizados pelo acesso e pela interaccedilatildeo com os artefatos mediadores que
permearam a atividade Categorizarei os artefatos mediadores (119860119872119894 119894 = 1hellip 4) da seguinte
maneira chamarei de 1198601198721 o conjunto de todos os artefatos que mediaram a atividade de
modelagem da problemaacutetica questatildeo do peso corporal ideal ateacute o momento que encontrei e
interagi com a revista Caacutelculo na sala dos professores do CEFET-MG-Timoacuteteo natildeo
incluindo as informaccedilotildees da revista em 1198601198721 Esse momento ocorreu entre o quinto e o sexto
encontro do GEPMM Aleacutem disso 1198601198722 seraacute considerado como a uniatildeo de 1198601198721 com o
conjunto unitaacuterio cujo elemento seja a revista Caacutelculo166
Seguindo com essa construccedilatildeo
definirei 1198601198723 como sendo a uniatildeo de 1198601198722 com o conjunto unitaacuterio cujo elemento seja o
software bwsimulator167
e finalmente definirei 1198601198724 como sendo a uniatildeo de 1198601198723 com o
conjunto formado pela coleccedilatildeo de modelos matemaacuteticos e suas relaccedilotildees ao fenocircmeno da
mudanccedila de peso corporal sob a forma de linguagem escrita cujo suporte eacute o artigo cientiacutefico
webappendix168
Conforme exposto no Capiacutetulo 2 desta tese entendo que uma caixa-preta na
verdade nunca eacute nem totalmente preta e nem totalmente branca ou seja nem 1198621198750 era
totalmente preta nem 1198621198754 seraacute totalmente branca depois de aberta 1198621198750 havia sido construiacuteda
pelos sujeitos do grupo num processo de interaccedilatildeo entre eles mediante inquietaccedilotildees
resultando em uma abstraccedilatildeo primaacuteria da problemaacutetica questatildeo do peso corporal ideal Caso
essa afirmativa fosse falsa estariacuteamos reforccedilando a ideologia das verdades ldquoabsolutasrdquo e
inquestionaacuteveis assim como o contraacuterio A variaccedilatildeo de cores permitida entre o preto e o
branco pertence agrave categoria dos infinitos tons de cinza Entre tais infinitos tons de cinza
destacam-se as 119862119875119894 119894 = 0hellip 4
166
Revista intitulada Caacutelculo (ano 2 nuacutemero 20 setembro de 2012 editora segmento) 167
httpbwsimulatorniddknihgov 168
httpbwsimulatorniddknihgovHall_Lancet_Webappendixpdf
197
Sendo assim a caixa-cinza resultante de um primeiro niacutevel da transformaccedilatildeo
qualitativa do objeto da atividade ndash 1198621198751 pocircde ser visualizada tomando-se por base as
seguintes caracteriacutesticas resultado do conhecimento produzido pelo acesso e pela interaccedilatildeo
com as informaccedilotildees contidas em 1198601198721 sobre 1198621198750 As accedilotildees que foram realizadas nesse sentido
aconteceram durante o segundo terceiro quarto e quinto encontros do GEPMM e nas
interaccedilotildees entre os sujeitos e instrumentos contidos em 1198601198721 fora desses momentos num
sentido espacial e fiacutesico Aleacutem das interaccedilotildees face a face entre sujeitos faz-se necessaacuterio
incluir as interaccedilotildees mediadas por instrumentos de informaccedilatildeo e comunicaccedilatildeo baseados nas e
pelas tecnologias computacionais incluindo a internet tais como e-mails e a rede social
Facebook Um instrumento foi construiacutedo pelos sujeitos do GEPMM como resultado da
apropriaccedilatildeo dos conhecimentos contidos em artefatos de 1198601198721 gerando um modelo idealizado
(tambeacutem contido em 1198601198721) para representar a problemaacutetica questatildeo do peso corporal ideal O
seguinte trecho foi extraiacutedo das transcriccedilotildees das filmagens do quinto encontro do GEPMM
Nele podemos observar um modelo matemaacutetico emergente ainda nebuloso
Eu Na verdade vai dar um sistema Vai dar um sistema de interdependecircncia aqui
[aponto para trecircs lugares distintos na mesa como se representassem trecircs
ldquocaixinhasrdquo] () as variaacuteveis peso altura gecircnero e idade na verdade elas natildeo vatildeo
ser variaacuteveis elas vatildeo ser uma constante ou seja ela eacute variaacutevel do ponto de vista
de cada um [cada pessoa] mas para a foacutermula ela vai ser uma constante () aiacute a
gente coloca essa variaacuteveis soacute com coeficientes da equaccedilatildeo () porque todos os trecircs
satildeo energias neacute Tipo assim melhorando esse modelo baacutesico seria o tanto de
atividade fiacutesica ou seja o gasto caloacuterico porque na verdade essas trecircs coisas satildeo
energias tanto do alimento que eacute energia que entra quanto do exerciacutecio que eacute uma
energia que sai desse sistema e o basal tambeacutem eacute uma energia que vai taacute sendo
gasta Vamos tentar equacionar como se fosse assim o gasto energeacutetico a taxa de
energia natildeo importando se ela eacute uma taxa positiva ou uma taxa negativa O quecirc
que vocecircs acham
Robson razoaacutevel
Eu porque se a gente coloca assim as trecircs equaccedilotildees como taxas de energia neacute eacute
claro que elas vatildeo se alterar neacute uma vai ser sei laacute P a outra Q a outra R
Angel Taacute mais aiacute se vocecirc pensar na questatildeo de classe jaacute tem que pensar no que
vocecirc taacute querendo vincular edo pra depois encontrar o resto eacute essa que eacute a sua
ideia Aiacute cecirc teria que pensar qual seria a antiderivada dessa taxa relacionada a
essa parte de dieta porque laacute na parte de fiacutesica de Caacutelculo a gente sabe o quecirc que
estaacute relacionado com o quecirc agora nessa parte daqui eu jaacute natildeo sei [risos]
Eu entatildeo a gente vai ter que buscar nos dados que a gente jaacute tem mapeados nesse
livro por exemplo Talvez a gente pudesse comeccedilar com a terceira que eacute a parte da
atividade fiacutesica entendeu () eu natildeo sei se vai dar pra ser uma edo bonitinha ou
se na verdade isso daiacute eacute um trem nebuloso entendeu Porque cada um vai se
subdividindo entre outros e outras
Naquele momento apesar de natildeo termos ainda uma escrita matemaacutetica formal
tiacutenhamos um modelo emergente um novo instrumento sendo construiacutedo pelas e nas
interaccedilotildees entre noacutes ndash sujeitos ndash e os instrumentos que permeavam a atividade Esse novo
198
instrumento idealizado acabava por promover uma transformaccedilatildeo qualitativa no objeto da
atividade gerando assim a 1198621198751 ou seja a questatildeo do peso corporal havia se modificado
qualitativamente mediante a interaccedilatildeo com tal artefato mediador ndash o modelo emergente
Ainda podemos analisar que outro resultado da atividade realizada pelo grupo ateacute aquele
momento estaria estampado em 1198621198751 relacionado agrave idealizaccedilatildeo de um novo objeto para a
atividade que somente pocircde ser realizada mediante apropriaccedilatildeo do referido novo instrumento
Refiro-me aqui a idealizaccedilatildeo que objetivou a construccedilatildeo de um software - um modelo
tecnoloacutegico- como resultado das accedilotildees orientadas pela e na atividade de modelagem em
questatildeo
Contudo depois do quinto encontro tive acesso a uma informaccedilatildeo que de fato
levou a alteraccedilotildees nas trilhas do movimento de transformaccedilatildeo do objeto da atividade de
modelagem analisada nesta parte da tese Refiro-me agrave revista Caacutelculo169
Em 17 de dezembro
de 2012 ao realizar as atividades de docecircncia no CEFET-MG-Timoacuteteo (instituiccedilatildeo na qual
sou professora) deparei-me com a referida revista sobre a mesa da sala dos professores Li o
que estava escrito na capa da revista Nela estava contida a seguinte frase ldquoExtra Emagrecer
demora trecircs anosrdquo Imediatamente abri a revista e comecei a folhear as paacuteginas em busca da
mateacuteria completa Nesse sentido tal accedilatildeo estava direcionada ao cumprimento de objetivos
parciais relacionados agrave atividade de modelagem na qual participava no GEPMM Ao realizar
interaccedilotildees mediadas pelas informaccedilotildees impressas sob a forma de linguagem escrita grafadas
nas paacuteginas da referida revista inaugurava-se uma nova fase um novo caminho uma nova
trajetoacuteria para a atividade de modelagem Estaria entatildeo constituiacutedo o conjunto 1198601198722 como
uniatildeo dos instrumentos que permeavam a atividade anteriormente a esse momento
adicionando ao conjunto 1198601198721 esse novo instrumento A importacircncia desse novo instrumento
natildeo se restringia agraves informaccedilotildees nele contidas mas sobretudo as que estariam por vir
Sendo assim a caixa-cinza resultante de um segundo niacutevel da transformaccedilatildeo
qualitativa do objeto da atividade ndash 1198621198752 ndash pocircde ser visualizada tomando-se por base as
seguintes caracteriacutesticas resultado do conhecimento produzido pelo acesso e interaccedilatildeo com as
informaccedilotildees contidas em 1198601198722 sobre 1198621198751 As accedilotildees que foram realizadas nesse sentido
aconteceram entre o quinto e o sexto encontro do GEPMM Sendo assim a caixa-cinza 2
pode ser considerada como resultado das interaccedilotildees mediadas pelas teacutecnicas de leitura e
apropriaccedilatildeo de informaccedilotildees contidas na revista Caacutelculo considerada como novo instrumento
de mediaccedilatildeo que permeou a atividade alterando seu rumo sua trajetoacuteria Tal instrumento foi
169
Revista intitulada por Caacutelculo (ano 2 nuacutemero 20 setembro de 2012 editora segmento)
199
utilizado com o objetivo de adequaccedilatildeo do objeto ainda idealizado uma abstraccedilatildeo de segundo
niacutevel rumo a um objeto real ndash concreto conceitual expandido Dessa forma a leitura da
mateacuteria da revista Caacutelculo possibilitou um movimento na ZDP da atividade entre as
ldquoidealizaccedilotildeesrdquo elaboradas no niacutevel 1 levando agrave alteraccedilatildeo de rota de rumo a um objeto
desorientado
Na verdade o acesso realizado por mim ao site httpbwsimulatorniddknihgov
ocorreu numa segunda-feira (17122012) dia anterior ao sexto encontro do GEPMM Mesmo
estando distantes (no sentido de que eu estava na cidade de Timoacuteteo-MG a 100 km de Itabira-
MG) utilizei a rede social Facebook e enviei imediatamente uma mensagem aos integrantes
do GEPMM e agrave docente do Departamento de Nutriccedilatildeo da UFOP O intuito dessa accedilatildeo seria o
compartilhamento horizontal de informaccedilotildees entre os integrantes do grupo com o intuito de
pensarmos juntos baseados nas informaccedilotildees que acessaacutessemos assim como os demais
instrumentos que pudessem mediar nossas accedilotildees mesmo distantes fisicamente uns dos outros
No iniacutecio do sexto encontro que ocorreu em 18122012 perguntei aos parceiros
se eles tinham acessado o grupo virtual de modelagem no Facebook e consequentemente
visto minha mensagem sobre o acesso agraves informaccedilotildees contidas na mateacuteria da revista Caacutelculo
mas eles responderam que natildeo que natildeo tinham acessado o grupo no Facebook e
consequentemente natildeo haviam sido informados sobre a ldquotalrdquo nova informaccedilatildeo Pois bem
decidi compartilhar naquele momento as novas informaccedilotildees
Com o auxiacutelio de um computador portaacutetil acessamos ainda durante o sexto
encontro o site httpbwsimulatorniddknihgov e comeccedilamos nossa anaacutelise sobre o modelo
que acabara de ser imerso na atividade de modelagem Estaria entatildeo constituiacutedo o conjunto
1198601198723 como uniatildeo dos instrumentos que permeavam a atividade anteriormente a esse
momento adicionando ao conjunto 1198601198722 esse novo instrumento Sendo assim a caixa-cinza 3
resultante de um terceiro niacutevel da transformaccedilatildeo qualitativa do objeto da atividade ndash 1198621198753 ndash
pocircde ser visualizada tomando-se por base as seguintes caracteriacutesticas resultado do
conhecimento produzido pelo acesso e interaccedilatildeo com as informaccedilotildees contidas em 1198601198723 sobre
1198621198752 As accedilotildees que foram realizadas nesse sentido aconteceram na maioria das vezes no sexto
encontro do GEPMM
No sexto encontro realizamos algumas simulaccedilotildees com o auxiacutelio do bwsimulator
nessas interaccedilotildees sujeito-instrumento-objeto esperaacutevamos obter respostas para nossas
inquietaccedilotildees no que tange agrave problemaacutetica questatildeo por noacutes estudada modelada e ateacute entatildeo
tomada sob a forma de 1198621198753 Nesse sentido Kaptelinin (1996) pontua que uma das mais
200
importantes funccedilotildees dos instrumentos computacionais na estrutura da atividade humana
parece ser a extensatildeo da estrutura cognitiva referida pela Teoria da Atividade como o
Plano de Accedilotildees Internas (PAI) da atividade natildeo apenas como acreditam alguns autores que a
mais importante funccedilatildeo dos instrumentos computacionais seria a extensatildeo da memoacuteria nesse
sentido a principal funccedilatildeo dos instrumentos computacionais nas atividades humanas
consistiria na funccedilatildeo de simulaccedilatildeo170
de resultados potenciais de eventos possiacuteveis antes
mesmo de realizar accedilotildees na realidade
Sendo assim as interaccedilotildees tecnomediadas pelos artefatos computacionais
corresponderiam a um salto cognitivo estrutural da proacutepria atividade humana Poreacutem como
avaliar esse salto sob o ponto de vista de anaacutelises pela Teoria da Atividade De certo eacute
necessaacuteria uma anaacutelise para aleacutem dos instrumentos para aleacutem de tentar explicitar o papel
deles em uma dada atividade humana Eacute necessaacuterio antes de qualquer coisa analisar onde
por quem para quecirc e como satildeo usadas as tecnologias computacionais em atividades humanas
Anaacutelises que focam o(s) papel(eacuteis) de softwares ou outras tecnologias computacionais em
atividades humanas parecem desconsiderar o fato de que a natureza em si natildeo constroacutei
softwares nem quaisquer outros instrumentos ciberneacuteticos todos eles satildeo produtos dos
homens da atividade humana e constituem energia cientiacutefica ou inovadora materializada
Sendo assim o software somente existe e deve ser considerado como um artefato que medeia
as interaccedilotildees ou as possibilidades delas entre os sujeitos e o objeto da atividade analisada
Com isso uma anaacutelise que aqui se faz oportuna estaria baseada nas interaccedilotildees
entre os sujeitos mediadas pelo artefato Human Weight Simulator (HWS171
) e para aleacutem de
analisar as formas de interaccedilatildeo explicitar as possibilidades geradas por tais interaccedilotildees no que
tange ao movimento da proacutepria atividade de modelagem em questatildeo
O acesso ao site httpbwsimulatorniddknihgov somente foi possibilitado
mediante acesso agrave revista Caacutelculo pertencente ao conjunto 1198601198722 Natildeo somente o acesso mas
principalmente as interaccedilotildees entre sujeito e discursos nela contidos Constituiu-se dessa
forma o conjunto 1198601198723 Os sujeitos passaram entatildeo a interagir com os instrumentos de 1198601198723
realizando accedilotildees mediadas por seus elementos com vistas a modificar 1198621198752 e gerar 1198621198753 A
seguir explicitarei algumas das interaccedilotildees-chave que podem ser ressaltadas em tal processo
170
Nesse sentido Skovsmose (2007) enfatiza que ldquoconstruccedilotildees tecnoloacutegicas ainda natildeo realizadas (isto eacute
situaccedilotildees hipoteacuteticas) podem ser especificadas em detalhes pela modelagem matemaacutetica e o raciociacutenio hipoteacutetico
pode se tornar um instrumento essencial para indicar as implicaccedilotildeesrdquo (p 160) 171
httpbwsimulatorniddknihgov
201
a) Interaccedilatildeo dos sujeitos com os instrumentos de 1198601198723 mediante teacutecnicas de
leitura e manipulaccedilatildeo do software
b) interaccedilotildees tecnomediadas pelo software geradas por simulaccedilotildees
c) interaccedilotildees entre os sujeitos gerando novas conjecturas sobre o objeto 1198621198752 o
modificando
Com base em tais interaccedilotildees foram possibilitadas as seguintes accedilotildees
subordinadas ao sentido de transformaccedilatildeo de 1198621198752 em 1198621198753
a) anaacutelise criacutetica das limitaccedilotildees do modelo tecnoloacutegico e ao mesmo tempo edo-
embasado bwsimulator e idealizaccedilotildees no sentido de melhorar tal modelo
construindo outro modelo tecnoloacutegico e ao mesmo tempo fuzzy-embasado
b) necessidade de entendimento do que estaacute dentro da caixa-preta bwsimulator
No que tange agrave anaacutelise criacutetica do modelo bwsimulator ressaltamos a
categorizaccedilatildeo de energia de entrada mediante o somatoacuterio de calorias a serem ingeridas pela
pessoa por dia e os exerciacutecios fiacutesicos que satildeo definidos sem levar em conta a modalidade e o
tempo de atividade Com base em tal anaacutelise idealizamos um modelo que categorizasse a
energia de entrada com base em alimentos a serem ingeridos e suas respectivas calorias e que
os exerciacutecios fiacutesicos fossem assinalados mediante modalidade e tempo diaacuterio Para tal
mediante interaccedilotildees entre os sujeitos da atividade trouxemos para a cena alguns discursos
entre eles o discurso do Caacutelculo o discurso da Nutriccedilatildeo o discurso da Educaccedilatildeo Fiacutesica e o
discurso da Teoria Fuzzy A inserccedilatildeo das ldquovozesrdquo da professora de Nutriccedilatildeo da UFOP via
Facebook e das vaacuterias aacutereas e conhecimentos cientiacuteficos foram demandadas para a execuccedilatildeo
das accedilotildees estrateacutegicas com vistas agrave abertura da caixa-preta do ldquopeso corporal idealrdquo
Tiacutenhamos assim uma nova configuraccedilatildeo uma nova estrutura de atividade
possibilitada pela e na multivocalidade discursiva que nela ecoava sob o aspecto de um Plano
de ldquoAccedilotildeesrdquo Internas (PAI) da proacutepria atividade Tal plano seraacute discutido com maiores
riquezas de detalhes mais adiante no presente texto
Finalmente orientados pela abertura da caixa-preta bwsimulator acessamos o
artigo disponibilizado em httpbwsimulatorniddknihgov intitulado Dynamic mathematical
model of body weight change in adults Estaria entatildeo constituiacutedo o conjunto 1198601198724 como
uniatildeo dos instrumentos que permeavam a atividade anterior a esse momento adicionando ao
202
conjunto 1198601198723 esse novo instrumento Sendo assim a caixa-cinza 4 resultante de um quarto
niacutevel da transformaccedilatildeo qualitativa do objeto da atividade ndash 1198621198754 ndash pocircde ser visualizada
tomando-se por base as seguintes caracteriacutesticas resultado do conhecimento produzido pelo
acesso e interaccedilatildeo com as informaccedilotildees contidas em 1198601198724 sobre 1198621198753 As accedilotildees que foram
realizadas nesse sentido aconteceram na maioria das vezes nos seacutetimo e oitavo encontros do
GEPMM e em outros momentos que seratildeo expostos mais adiante nesta tese
Nessa parte da anaacutelise da atividade em questatildeo podemos tomar os conteuacutedos do
Caacutelculo em accedilatildeo instrumentos indispensaacuteveis para a realizaccedilatildeo das accedilotildees de abertura da 1198621198753
e consequentemente geraccedilatildeo da 1198621198754 Com isso consideramos tais instrumentos necessaacuterios
para a realizaccedilatildeo de accedilotildees e interaccedilotildees em 1198621198753 com vistas agraves transformaccedilotildees qualitativas no
objeto da atividade traccedilando um movimento uma trajetoacuteria Uma observaccedilatildeo que se faz
necessaacuteria eacute que um instrumento em si natildeo produz alteraccedilotildees na trajetoacuteria de uma atividade
mas somente ao considerarmos o instrumento em accedilatildeo eacute que podemos perceber o movimento
possibilitado por ele Nesse sentido as atividades de Modelagem Matemaacutetica se tornam
instrumentos para possibilitar abertura de caixas-pretas devido agrave consideraccedilatildeo primaacuteria que
consiste em tomar a matemaacutetica em accedilatildeo em tais atividades ndash matemaacutetica como um
instrumento para o entendimentoresoluccedilatildeo de questotildees-problema natildeo matemaacuteticas
Dessa forma uma pergunta essencial deve ser feita e consequentemente
respondida nesta parte da anaacutelise quais os limites e as possibilidades de accedilotildees foram
estabelecidos nas e pelas interaccedilotildees mediadas por tal instrumento ndash o Caacutelculo em accedilatildeo
Sendo assim buscaremos respostas para tal questatildeo considerando o Caacutelculo em
accedilatildeo sob dois olhares como instrumento que possibilita a abertura de caixas-pretas e como
instrumento que limita ou dificulta a abertura de caixas-pretas Mas como poderia um
mesmo instrumento possibilitar e limitar aberturas de caixas-pretas Aqui estaacute a
demonstraccedilatildeo de que eacute preciso ir aleacutem de analisar o papel de um instrumento em uma
atividade e ampliar o espectro de anaacutelise para as interaccedilotildees mediadas por tais instrumentos
Cabe ressaltar que quando fazemos isso estamos assumindo um foco de anaacutelise que busca
respostas para os seguintes questionamentos quem quando por que e como usou o
instrumento na atividade
Focando a atividade de modelagem analisada nesta parte da tese seria
interessante responder os seguintes questionamentos no que se refere mais especificamente
aos instrumentos de caacutelculo em accedilatildeo utilizados pelos sujeitos da atividade nas accedilotildees que
tangem o entendimentoapropriaccedilatildeo dos tambeacutem instrumentos da atividade bwsimulator e o
203
artigo intitulado Dynamic mathematical model of body weight change in adults Valem
ressaltar que bwsimulator e o artigo podem ser considerados caixas-pretas a serem abertas
modificadas e ou fechadas na atividade de modelagem analisada nesta parte da tese que
dessa forma se configura como uma atividade de produccedilatildeo de conhecimentos e saberes
As Tecnologias da Comunicaccedilatildeo e Informaccedilatildeo (TICs) possibilitaram o acesso agrave
ciecircncia mediante acesso ao simulador e consequentemente ao artigo (texto cientiacutefico) que
expotildee um modelo matemaacutetico para representar as mudanccedilas de peso corporal em adultos
Contudo tal acesso se restringe a uma ciecircncia visualmente pronta e acabada e natildeo a uma
ciecircncia em construccedilatildeo Para entendermos esses instrumentos seria entatildeo necessaacuterio tomaacute-los
como produtos da construccedilatildeo humana orientada por finalidades e demandas especiacuteficas da
proacutepria sociedade natildeo os considerando assim como produtos prontos mas sobretudo como
produtos em contiacutenua construccedilatildeo e reconstruccedilatildeo
Se por um lado o acesso agrave ciecircncia pronta foi possibilitado mediante a caixa-preta
do simulador disponiacutevel a todos por meio do site httpbwsimulatorniddknihgov (antes
teriacuteamos apenas um artigo repleto de matemaacutetica e paracircmetros bem distante da realidade dos
usuaacuterios dos seres da sociedade pacientes educadores fiacutesicos nutricionistas apoacutes o advento
da ciberneacutetica essa ciecircncia estaacute acessiacutevel) pode ser considerado uma maravilha por outro
lado o acesso agrave ciecircncia em construccedilatildeo se tornou mais limitado
Nesse sentido configurado diante de noacutes estaria uma caixa-preta (artigo
cientiacutefico) dentro da outra (bwsimulator) ndash sobrepostas e inter-relacionadas Sendo assim
podemos perceber que enquanto mais prospera a ciecircncia e a tecnologia mais opaca e obscura
elas podem se tornar A dificuldade em se abrir as caixas-pretas pode produzir ldquohorroresrdquo no
que se refere ao entendimento da ciecircncia em construccedilatildeo pois ldquoquanto mais complexo o
processo de identificar consequecircncias de possiacuteveis accedilotildees tecnoloacutegicas ocorrerem mais temos
que confiar no aparato da razatildeo e mais circular eacute o processordquo (SKOVSMOSE 2007 p 162)
Dessa forma podemos considerar que aumentou o acesso agrave ciecircncia e ao mesmo tempo
limitou a abertura de caixas-pretas e consequentemente a tomada de consciecircncia criacutetica e
controle da proacutepria atividade por parte dos sujeitos
No que se refere agrave abertura da caixa-preta do artigo (texto cientiacutefico) intitulado
Dynamic mathematical model of body weight change in adults deparamo-nos com outras
caixas-pretas que traziam lsquoagrave cenarsquo enunciados172
oriundos do discurso da fisiologia humana
172
Para Bakhtin o enunciado eacute o produto de uma enunciaccedilatildeo ou de um contexto histoacuterico social cultural etc Eacute
preciso observar que as relaccedilotildees do discurso com a enunciaccedilatildeo com o contexto soacutecio-histoacuterico ou com o ldquooutrordquo
satildeo para Bakhtin relaccedilotildees entre discursos-enunciados Por essa razatildeo utiliza os termos intertextualidade para se
204
do discurso do Caacutelculo em accedilatildeo e do discurso cientiacutefico Sendo assim o texto eacute de fato um
tecido de muitas vozes ou de muitos discursos ldquoque se entrecruzam se completam
respondem umas agraves outras ou polemizam entre si no interior do textordquo (BARROS 2007 p
31 grifo do autor) Ainda para Bakhtin o sentido do texto e dos seus discursos internos
depende da relaccedilatildeo entre os sujeitos que se constroacutei na produccedilatildeo e na interpretaccedilatildeo dos
textos
Com isso podemos considerar o caacutelculo em accedilatildeo em duas ldquofrentesrdquo analiacuteticas no
que se refere agrave abertura da caixa-preta amparada pelono artigo cientiacutefico referido
anteriormente de autoria de Kevin Hall e seus colaboradores mais especificamente ao
apecircndice do artigo que suporta os modelos matemaacuteticos que representam o fenocircmeno das
mudanccedilas de peso corporal em adultos humanos De um lado estaria configurado um caacutelculo
em accedilatildeo como instrumento ndash linguagem usada na produccedilatildeo do texto cujos sujeitos da accedilatildeo
coincidem com os sujeitos autores do texto De outro lado estaria configurado um caacutelculo em
accedilatildeo como instrumento indispensaacutevel agrave abertura da caixa-preta do proacuteprio texto cujos
sujeitos da accedilatildeo satildeo os integrantes do GEPMM e as realizam com vistas agrave interpretaccedilatildeo do
proacuteprio texto Para interpretar o texto foi entatildeo necessaacuterio avaliar a sua produccedilatildeo
Isso posto o caacutelculo em accedilatildeo foi necessariamente ldquocolocado em cenardquo a fim de
avaliar como o Caacutelculo em accedilatildeo operava ldquopor traacutes da cenardquo Nesse sentido o aparato da
razatildeo (Caacutelculo em accedilatildeo) foi utilizado por noacutes integrantes do GEPMM como um instrumento
de avaliaccedilatildeo e criacutetica do aparato da razatildeo impresso sob a forma de linguagem escrita no
artigo referido anteriormente Skovsmose (2007 p 162 grifos meus) pontua que ldquoo aparato
da razatildeo torna-se essencial para construir os instrumentos de avaliaccedilatildeo das consequecircncias das
accedilotildees sociotecnoloacutegicas criadas pelo proacuteprio aparato da razatildeordquo
As avaliaccedilotildees e criacuteticas tecidas por noacutes integrantes do GEPMM ao conteuacutedo do
artigo (texto) assim como ao software bwsimulator caracterizavam-se na maioria das vezes
pelas sugestotildees feitas por Skovsmose (2007) quem construiu os modelos Que aspectos da
realidade estatildeo neles incluiacutedos Quem tem acesso aos modelos Os modelos satildeo
ldquoconfiaacuteveisrdquo Quem estaacute apto a controlaacute-los Levando em conta que se tais questotildees natildeo
forem adequadamente esclarecidas valores tradicionais da democracia podem ser corroiacutedos
Na tentativa de responder a tais questionamentos podemos pontuar os seguintes
esclarecimentos173
referir aos ldquodiaacutelogos entre discursosrdquo e dialogismo para se referir aos ldquodiaacutelogos entre interlocutoresrdquo (BARROS
2007) 173
Seratildeo mais bem explicitados mais adiante neste texto
205
a) os modelos matemaacuteticos (edos) suportados pelo referido artigo e o modelo
tecnoloacutegico bwsimulator foram construiacutedos pela equipe do pesquisador Kevin D
Hall
b) por um lado acreditamos que o modelo bwsimulator estaacute disponiacutevel e acessiacutevel
a todos (via internet) sob o ponto de vista de uso e possibilidades de simulaccedilotildees
por outro lado nos modelos matemaacuteticos (edos) mesmo estando disponiacuteveis a
todos haacute uma possiacutevel restriccedilatildeo em termos da acessibilidade jaacute que nem todos
tem acesso agrave linguagem matemaacutetica em uso em accedilatildeo (edo)
c) acreditamos que mais pessoas estariam aptas a controlar o bwsimulator do que
controlar as edos contudo o coacutedigo do software bwsimulator natildeo eacute disponiacutevel a
todos somente a grupos de pesquisa enquanto as edos satildeo disponiacuteveis a todos via
internet
d) quanto agrave confiabilidade nos modelos acreditamos que o Caacutelculo em accedilatildeo
utilizado no empreendimento de construccedilatildeo dos modelos (edos e bwsimulator)
limita ou dificulta avaliaccedilotildees e consequentes criacuteticas a tais modelos tornando
difiacutecil a tarefa de confiar ou natildeo neles Como o coacutedigo-fonte do software
bwsimulator ainda natildeo eacute disponiacutevel a todos (apenas a grupos de pesquisa) sob o
ponto de vista da democracia e do compartilhamento de saberes percebemos uma
iminente corrosatildeo
e) os aspectos da realidade que estatildeo inclusos nos modelos matemaacuteticos (edos) e
no modelo tecnoloacutegico (bwsimulator) natildeo satildeo os mesmos apesar de o modelo
bwsimulator estar baseado nas edos que estatildeo configuradas no artigo (texto)
Contudo nem todas edos foram usadas e mais do que isso foi necessaacuterio assumir
ldquomenosrdquo aspectos da realidade nas edos do que no bwsimulator
Sendo assim a abertura de 1198621198754 somente pocircde ocorrer mediante o imprescindiacutevel
auxiacutelio do caacutelculo em accedilatildeo que inclui as EDOs em accedilatildeo Por um lado sob o uso dos sujeitos
responsaacuteveis pela construccedilatildeo dos modelos anteriormente citados os pesquisadores liderados
por Kevin Hall o caacutelculo em accedilatildeo parece ser instrumento que pode limitar ou dificultar a
abertura da caixa-preta 1198621198754 mas por outro lado sob o uso dos sujeitos do GEPMM parece
ser um instrumento que pode ampliar as possibilidades de tal abertura
No entanto farei uma anaacutelise das interaccedilotildees que se fizeram necessaacuterias entre as
quais a finalidade estava orientada pela abertura de 1198621198754 Conforme exposto anteriormente
206
ateacute o final do oitavo encontro a certeza que tiacutenhamos eacute de que ainda havia uma interrogaccedilatildeo
quanto ao entendimento de uma equaccedilatildeo no referido artigo de onde o(s) autor(es)
ldquotirou(raram)rdquo a equaccedilatildeo (10) Pensaacutevamos que a tarefa de entendimento do processo de
construccedilatildeo da referida equaccedilatildeo era de simples entendimento mas estaacutevamos enganados
Teacutecnicas de leitura habilidades matemaacuteticas (edo) conhecimentos de Nutriccedilatildeo e
Fisiologia foram chamados ldquoagrave cenardquo para possibilitar a abertura de 1198621198754 mas ainda foi pouco
Permanecia uma dificuldade uma limitaccedilatildeo do processo um gap algo estava ldquoescondidordquo
natildeo conseguiacuteamos enxergar sozinhos Ao chegar em casa depois do oitavo encontro tentei de
todas as formas que me eram possiacuteveis decifrar o que estava ldquoescondidordquo no referido texto
entre as equaccedilotildees (9) e (10) mas meus esforccedilos foram em vatildeo Nisso tornou-se necessaacuterio o
estabelecimento de novas parcerias ampliaccedilatildeo da rede de aprendizagem mediante o chamado
para compor a ldquocenardquo aos autores do referido texto e do bwsimulator
Tomei a atitude174
de enviar um e-mail para Kevin Hall pedindo maiores
esclarecimentos quanto agrave equaccedilatildeo (10) No mesmo dia obtive uma resposta do autor tambeacutem
por e-mail enfatizando que a equaccedilatildeo teria surgido da referecircncia [20] contida no artigo e me
enviou o artigo em pdf Li o artigo todo percebi que a equaccedilatildeo (13) do artigo [20] enviado
por Kevin Hall era parecida com a equaccedilatildeo (10) mas que havia sutis diferenccedilas que me
direcionavam ao natildeo entendimento dos ldquoporquecircsrdquo do que estaria por traacutes daquele amontoado
de equaccedilotildees e afirmativas Decidi entatildeo enviar um novo e-mail para Kevin questionando-o
sobre o quecirc pra mim ainda estava ldquoescondidordquo no texto limitando o entendimento Kevin
enviou-me um manuscrito com um processo de derivaccedilatildeo e me disse que ao ler aquele
manuscrito tudo estaria explicado Imediatamente iniciei a leitura e depois de ter lido
percebi que natildeo estava tudo explicado na verdade as duacutevidas haviam se intensificado
Para obter a equaccedilatildeo (10) Kevin Hall e seus colaboradores supuseram que a
funccedilatildeo de Forbes dada por 120572 equiv119889119871
119889119865=
119862
119865 em que 119862 = 104 119896119892 eacute o paracircmetro de Forbes era
constante Vale ressaltar que 119865 eacute a massa gorda (fat mass) e 119871 eacute a massa magra (lean mass)
Se 120572 eacute constante isso implica que 119889119871 = 120572 119889119865 e consequentemente 119871 minus 1198710 = 120572 (119865 minus 1198650)
Tudo isso foi usado para obter a equaccedilatildeo (10) Soacute que ao tomar 120572 constante um valor inicial
de massa gorda 1198650 precisamente foi fixado 120572 =119862
1198650 Nisso 119871 minus 1198710 =
119862
1198650 (119865 minus 1198650) o que
implica 119871 =119862
1198650 (119865 minus 1198650) + 1198710 Contudo logo em seguida agrave equaccedilatildeo (10) no texto os autores
afirmam que ldquopara modestas mudanccedilas de peso 120572 pode ser considerado aproximadamente
174
Atitude gerada pela necessidade apontada entender a equaccedilatildeo (10)
207
constante com 119865 fixado em seu valor inicial 1198650rdquo175
Isso jaacute tinha sido levado em conta para
obter a equaccedilatildeo (10)
Temos aqui um problema como 120572(119905) =119862
119865(119905) jaacute foi tomada como constante na
equaccedilatildeo (10) a funccedilatildeo 119865(119905) precisou necessariamente ser assumida como constante Isso
acaba por extinguir a meu ver a utilidade do modelo Ora se o objetivo eacute estimar mudanccedilas
no peso corporal com o tempo tomado como sendo a soma aritmeacutetica das massas gorda e
magra que se relacionam mediante a funccedilatildeo 120572 que por sua vez depende do tempo ao tomar
a funccedilatildeo 120572 como constante implica natildeo haver qualquer mudanccedila na massa gorda ndash 119865(119905) e
consequentemente na massa magra ndash 119871(119905) que tambeacutem precisa necessariamente ser
assumida como constante Sendo assim sem variaccedilotildees de massas gorda e magra o peso
permanece o mesmo sem alteraccedilotildees
Com base nisso questionei ao Kevin Hall novamente via e-mail sobre tal
hipoacutetese ter sido considerada no artigo Ele respondeu que isso natildeo atrapalha em nada os
resultados pois o modelo implementado no bwsimulator natildeo assume 120572 constante (apesar de a
EDO (10) assumir) E aponta ainda que tal ldquolinearizaccedilatildeordquo foi feita principalmente para
escrever a EDO de primeira ordem (10) de maneira linear a intenccedilatildeo do grupo dele natildeo foi
ldquoderivarrdquo nem implementar no bwsimulator tal EDO mas que tal modelo ldquocorrespondiardquo a
uma EDO de ordem superior natildeo linear obtida pelo grupo dele no passado
Naquele momento o artigo estava mais claro as equaccedilotildees faziam mais sentido e
todos esses entendimentos precisavam ser compartilhados com os demais sujeitos do grupo
Uma importante observaccedilatildeo que se faz necessaacuteria eacute a de que sem internet sem e-mail os
autores do texto dificilmente poderiam atuar em nossa atividade da maneira que atuaram Eacute
fato que ao acessarmos o texto (artigo) e acessarmos o bwsimulator jaacute haviacuteamos feito o uso
da internet como instrumento que permeou a atividade fazendo com que seus autores
atuassem em nossa atividade por meio das diversas vozes impressas sob a forma de linguagem
escrita (que inclui a linguagem matemaacutetica) e sob a forma da linguagem tecnoloacutegica impressa
no software mas de uma forma qualitativamente diferente
O instrumento e-mail de nada teria auxiliado em nossa atividade se o autor Kevin
Hall natildeo tivesse aceitado participar na situaccedilatildeo de ator social de toda a interaccedilatildeo O modelo
de sociedade em rede permite possibilita o compartilhamento de conhecimentos e saberes
Mas isso natildeo garante necessariamente que tal compartilhamento ocorra Possuir acessar um
175
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoFor modest weight changes 120572 can be considered to be approximately
constant with 119865 fixed at its initial value 1198650rdquo (HALL et al 2011 p 4)
208
instrumento de comunicaccedilatildeo como o e-mail portanto natildeo assegura papel algum em uma
atividade Apenas abre um leque de possibilidades de accedilatildeo e interaccedilatildeo entre seres humanos
Podendo se tornar um artefato mediador de relaccedilotildees entre sujeitos e objetos de uma atividade
Outro ponto-chave considerado na presente anaacutelise toma por base uma informaccedilatildeo
fornecida por e-mail enviado a mim por Kevin Hall que consiste na seguinte afirmaccedilatildeo o
modelo implementado no bwsimulator natildeo assume 120572 constante No momento que li essa
afirmaccedilatildeo no e-mail imediatamente me perguntei ldquoseraacute mesmo que no software isso natildeo eacute
assumidordquo Ou seja ao processar uma informaccedilatildeo fazemos julgamentos quanto a sua
veracidade Em seguida pensei que de fato eles natildeo devem ter usado pois caso contraacuterio as
simulaccedilotildees natildeo se tornariam possiacuteveis De toda forma desejava confirmar isso pois caso
contraacuterio teriacuteamos que ldquoconfiarrdquo no que estava por traacutes do software e isso definitivamente
natildeo era nosso objetivo Mas como poderiacuteamos ter acesso ao que estaacute atraacutes da ldquocenardquo
promovida pelo software As simulaccedilotildees possibilitadas por tal instrumento estariam
simulando quais realidades
Novamente enviei um e-mail para Kevin Hall perguntando sobre o software em
termos de acesso aos coacutedigos internos agrave programaccedilatildeo aos recursos que estariam por traacutes da
interface homem-maacutequina estabelecidas no bwsimulator Ele me encaminhou ao setor de
transferecircncia de tecnologia para que eu pudesse obter mais detalhes sobre o acesso aos
coacutedigos O acesso aos coacutedigos somente nos foi dado mediante assinatura de termo de
compromisso assumindo-os para fins de ensino e pesquisa e sobretudo mediante assinatura
da instituiccedilatildeo a qual sou vinculada ndash CEFET-MG Sendo assim somente pesquisadores
podem ter acesso aos coacutedigos Natildeo se trata de um software livre nem de coacutedigo aberto Nesse
sentido trago uma reflexatildeo de Castells (2005) sobre o direito de propriedade e a democracia
da comunicaccedilatildeo como segue
Aderindo agrave democracia da comunicaccedilatildeo concorda-se com a democracia directa algo
que nenhum estado aceitou ao longo da histoacuteria Admitir o debate para redefinir os
direitos de propriedade acerta em cheio no coraccedilatildeo da legitimidade capitalista
Aceitar que os utilizadores satildeo produtores de tecnologia desafia o poder do
especialista Entatildeo uma poliacutetica inovadora mas pragmaacutetica teraacute de encontrar o
meio caminho entre o que eacute social e politicamente exequiacutevel em cada contexto e a
promoccedilatildeo das condiccedilotildees culturais e organizacionais para a criatividade na qual a
inovaccedilatildeo o poder a riqueza e a cultura se alicerccedilam na sociedade em rede
(CASTELLS 2005 p 29 grifo meu)
Nesse sentido parece que haacute uma iminente corrosatildeo do que poderia ser um
processo democraacutetico de comunicaccedilatildeo No que se refere aos conhecimentos impressos no
artigo natildeo parece ter problema algum o estabelecimento de uma comunicaccedilatildeo aparentemente
209
democraacutetica mas quando a propriedade intelectual dos desenvolvedores do software estava
sendo posta em risco aiacute a comunicaccedilatildeo democraacutetica se tornou fluida corroiacuteda
As intenccedilotildees do grupo liderado por Kevin Hall satildeo claras a difusatildeo do
conhecimento tecnoloacutegico somente se daacute em niacutevel de utilizaccedilatildeo (operaccedilatildeo) em vez de
produccedilatildeo (desenvolvimento) Os resultados das pesquisas realizadas por eles estatildeo
disponiacuteveis a todos por meio da internet sob a forma do bwsimulator O que serviria de base
para os coacutedigos tambeacutem estaacute disponiacutevel sob a forma do artigo (texto) Poreacutem a
disponibilizaccedilatildeo do artigo e o que o ampara natildeo parece ser considerada transferecircncia de
tecnologia ao contraacuterio do que ampara o software Nisso acordos internacionais que visam a
(re)definiccedilatildeo dos direitos de propriedade intelectual tornam-se ldquofundamentais para a
preservaccedilatildeo da inovaccedilatildeo e para a dinamizaccedilatildeo da criatividade das quais depende o progresso
humano antes e agorardquo (CASTELLS 2005 p 28)
Skovsmose (2007 p 186) denomina por construtores certo grupo de pessoas que
estaacute desenvolvendo e mantendo um aparato da razatildeo Para o autor tudo que eacute ensinado na
educaccedilatildeo superior deveria enfrentar o paradoxo da razatildeo para que os estudantes conheccedilam a
ambivalecircncia incluiacuteda no aparato da razatildeo O autor afirma que ldquoa matemaacutetica pode ser
disponiacutevel em pacotes que exigem capacidade para serem usados embora os detalhes sobre
como o pacote funciona podem natildeo ser entendidos pelas pessoas que operam com elesrdquo
(SKOVSMOSE 2007 p 187) Tais pacotes poderiam e muitas vezes trazem a Matemaacutetica
fora da superfiacutecie da situaccedilatildeo uma Matemaacutetica impliacutecita ldquoescondidardquo Em tais situaccedilotildees o
grupo de pessoas que opera tais pacotes eacute denominado por operadores que estatildeo tambeacutem
operando com matemaacutetica em accedilatildeo
Nesse sentido podemos perceber um niacutetido alinhamento entre a estrateacutegia de
abertura de caixas-pretas como um objetivo geral para a educaccedilatildeo matemaacutetica superior que
toma como objeto a formaccedilatildeo de construtores em vez de meros operadores Mais
especificamente eacute preciso promover um espaccedilo formativo em que natildeo se possa admitir a
formaccedilatildeo em Engenharia de operadores pois caso isso permaneccedila o desenvolvimento e a
manutenccedilatildeo dos aparatos da razatildeo continuaratildeo nas matildeos de poucos frequentemente cidadatildeos
de paiacuteses ricos e poderosos que na situaccedilatildeo de detentores do conhecimento e da tecnologia
tendem a colaborar com uma nova forma de colonizaccedilatildeo
Com isso pretende-se instaurar um espaccedilo criacutetico-formativo que num primeiro
momento pode ateacute parecer ilusatildeo ou utopia devido agrave dificuldade de entendimento de tantas
caixas-pretas amontoadas sobre e entre si mesmas Contudo ao se considerar as incertezas
proporcionadas pelos ldquodesgovernadosrdquo aparatos da razatildeo que proveem recursos para mais
210
desenvolvimento tecnoloacutegico torna-se necessaacuterio promover experiecircncias formativas no
sentido de fomentar a elaboraccedilatildeo de inovadores instrumentos de criacutetica descoberta e
reproduccedilatildeo praacutetica amparados pelos subsiacutedios fornecidos pelos aparatos da razatildeo
ldquoanterioresrdquo
Dessa forma o objeto da atividade aqui analisada como constituinte de um
espaccedilo formativo mais amplo - que se destina agrave formaccedilatildeo dos profissionais da Engenharia-
transforma-se gradativamente na medida em que as accedilotildees orientadas pelas e nas
transformaccedilotildees qualitativas da caixa-preta do ldquopeso corporal idealrdquo que configurou como
questatildeo-problema escolhida pelos sujeitos engajados no GEPMM a ser
entendidasolucionada ndash ldquoclareadardquo ndash ou seja qualitativamente modificada eou
transformada e portanto expandida
54 Quarta modalidade ndash Multivocalidade e agency evidenciadas pelas interaccedilotildees
tecnomediadas em atividades de Modelagem Matemaacutetica idealizaccedilotildees desencadeadoras
de aprendizagens potencialmente expansivas em um contexto de formaccedilatildeo em
Engenharias
A matemaacutetica constitui sem duacutevida tatildeo-somente um momento da processatildeo Por si
mesma ela ainda natildeo diz o que possibilita a captura da forma na concretude do
existente A essecircncia natildeo eacute o uacuteltimo fundamento Mas se a matematizaccedilatildeo natildeo eacute a
palavra final do ser nem a uacuteltima palavra sobre o ser ela nos abre em todo caso uma
regiatildeo de transparecircncia com a qual o espiacuterito humano estaacute como que naturalmente
harmonizado (LADRIEgraveRE 1978 p 165)
Configurando-se como uma das bases que constituem a Teoria da Atividade de
Engestroumlm (1987) as ideias do teoacuterico Mikhail Bakhtin tendo desenvolvido suas
investigaccedilotildees na aacuterea de filosofia da linguagem cujas origens podem ser encontradas no
marxismo fornecem a noacutes os subsiacutedios conceituais para dar conta de analisar as interaccedilotildees
que podem ser constituidoras de idealizaccedilotildees de aprendizagem em movimento de
aprendizagem expansiva
O conceito de multivocalidade tambeacutem atribuiacutedo a Bakhtin aplicado na presente
pesquisa como base analiacutetica para aprendizagens expansivas configura-se como muacuteltiplas
vozes podendo ser caracterizadas como contraditoacuterias e complementares dos vaacuterios grupos e
estratos que constituem as interaccedilotildees no sistema de atividade em anaacutelise que inclui as vozes e
gecircneros natildeo acadecircmicos de pessoas comuns constituindo argumentaccedilotildees que englobam
diferentes tipos de discurso e linguagem (BARROS 2007)
211
As interaccedilotildees podem ser caracterizadas por accedilotildees realizadas entre os sujeitos e o
objeto da atividade formativa de Modelagem Matemaacutetica aqui analisada por meio dos
artefatos mediadores que incluem as ferramentas e os signos culturais Segundo Bakhtin
(2010) o agir humano soacute se realiza mediante a interaccedilatildeo e o dizer natildeo pode ser considerado
independente do agir As interaccedilotildees verbais para Bakhtin (2010) constituem as mais variadas
formas de enunciaccedilatildeo impregnadas pelas ideologias que permeiam os fenocircmenos sociais
dando base a situaccedilotildees concretas que possibilitam os atos de fala As interaccedilotildees verbais natildeo se
restringem aos diaacutelogos que constituem claramente uma das formas mais importantes de
interaccedilatildeo verbal contudo pode-se compreender a palavra ldquodiaacutelogordquo num sentido mais amplo
isto eacute natildeo apenas como a comunicaccedilatildeo em voz alta de pessoas face a face mas toda
comunicaccedilatildeo verbal de qualquer tipo que seja como por exemplo um ato de fala impresso
em um livro ou em uma mensagem escrita em um e-mail
A tecnomediaccedilatildeo eacute entendida neste texto como sendo as interaccedilotildees mediadas por
artefatos tecnoloacutegicos que incluem as mais variadas ferramentas ou suportes tecnoloacutegicos
tais como a proacutepria Matemaacutetica e os recursos ciberneacuteticos aleacutem de englobar diversos suportes
de mediaccedilatildeo tais como a linguagem transmitida sob a forma oral escrita e por gestos A
linguagem eacute considerada por Bakhtin (2010) como um fato soacutecio ideoloacutegico e configura como
formas discursivas que veiculam por meio dos atos de fala as mais diferenciadas ideologias
estampadas nos mais diversos tipos significantes de enunciaccedilatildeo de natureza social
configurada como o produto do ato de fala
Com base nesses pressupostos pretendo agora esboccedilar uma anaacutelise das
interaccedilotildees perceptivelmente constituintes eou constituidoras das atividades do GEPMM Para
tal busco no corpus empiacuterico de dados construiacutedos durante a investigaccedilatildeo ndash elaboraccedilatildeo e
implementaccedilatildeo do GEPMM os atos de fala que explicitem a multivocalidade e a agency
evidenciadas naspelas interaccedilotildees dos sujeitos partiacutecipes
Na entrevista final quando questionada o que teria aprendido com a participaccedilatildeo
no GEPMM a professora Clarice pontuou ldquoa matemaacutetica taacute em todo lugarrdquo afirmou que ao
estar mais acostumada com uma Matemaacutetica mais teoacuterica e natildeo ter costume com uma
matemaacutetica em accedilatildeo sua participaccedilatildeo no GEPMM trouxe enriquecimento com relaccedilatildeo a isso
E confirmou ldquopensar o problema matematicamente eu natildeo tinha pensado Pensei agora
pensei no grupordquo Nesse sentido podemos aferir que as interaccedilotildees tecnomediadas ocorridas
no GEPMM possibilitaram uma ampliaccedilatildeo no repertoacuterio da docente Clarice no que diz
respeito agraves idealizaccedilotildeesvisualizaccedilotildees de uma matemaacutetica em accedilatildeo
212
O docente Angel tambeacutem demonstrou transformaccedilotildees em suas ideias mediante as
interaccedilotildees possibilitadas na e pela atividade de modelagem desenvolvida pelo GEPMM Na
entrevista final ele pontuou que natildeo esperava ter visto uma Matemaacutetica tatildeo complexa em um
problema da aacuterea de sauacutede ou seja uma matemaacutetica em accedilatildeo na aacuterea de sauacutede agindo de
forma natildeo superficial Nas palavras dele
Eu tive essa visatildeo mais ampliada da matemaacutetica [] eu imaginava uma matemaacutetica
mais baacutesica neacute mais elementar porque a gente pensa ah o pessoal da sauacutede natildeo
deve ser tatildeo assim aprofundado nas matemaacuteticas pra poder chegar em resultados
tatildeo bacanas [] tinha equaccedilotildees diferenciais tinha vaacuterias teacutecnicas matemaacuteticas
interessantiacutessimas aplicadas com um fim laacute comum
Com isso podemos perceber que o docente Angel tambeacutem parece ter tido uma
ampliaccedilatildeo no repertoacuterio no que diz respeito agraves idealizaccedilotildees que a matemaacutetica em accedilatildeo pode
possibilitar Afirmou ainda nunca ter tido a oportunidade de ver equaccedilotildees diferenciais em
outros contextos nas palavras dele ldquoa gente fica naquele lsquomundinhorsquo ali [] e transita por
ali entatildeo nunca tive curiosidade de procurar alguma matemaacutetica mais avanccedilada em outras
aacutereas entendeurdquo
Para a aluna Taty ter participado do GEPMM foi enriquecedor pelas
possibilidades de discussatildeo em grupo Extraiacutedas das transcriccedilotildees da gravaccedilatildeo da entrevista
final as palavras de Taty nos dizem ldquoA discussatildeo em grupo foi muito produtiva [] e
tambeacutem neacute essa questatildeo da articulaccedilatildeo neacute acho que a gente tem que aprender a trabalhar
porque quando vocecirc tem pessoas pra trabalhar junto com vocecirc em uma coisa as coisas saem
melhoresrdquo
A aluna pontuou ainda que ao participar do grupo pocircde reafirmar sob sua
concepccedilatildeo a importacircncia da atividade de pesquisa Ainda que a participaccedilatildeo da aluna possa
ser considerada incipiente Para ela as pessoas ldquopodem descobrir coisas que ningueacutem
descobriu antesrdquo acredita que nisso consiste ldquoo grande diferencialrdquo porque as pessoas ficam
repetindo muito reproduzindo muito e acabam natildeo percebendo que as inovaccedilotildees surgem
muitas vezes de resultados de pesquisa Durante toda a construccedilatildeo dos dados para a pesquisa
relatada nesta tese percebi que a aluna Taty realmente objetiva ter uma boa formaccedilatildeo para
conseguir ter o diferencial no mercado de trabalho Esse foi na minha visatildeo o principal
motivo do engajamento no GEPMM fazer a diferenccedila no mercado de trabalho A aluna
delimita ainda como um horizonte de ldquoaccedilotildeesrdquo para materializar tal objetivaccedilatildeo um Plano de
Accedilotildees Internas - PAI (KAPTELININ 1996) de sua proacutepria atividade formativa em
Engenharia aprendizagens de Caacutelculo e outros instrumentos matemaacuteticos que estejam aleacutem
213
dos preconizados nos planos e nas ementas das disciplinas de Caacutelculo Nas palavras de Taty
extraiacutedas das transcriccedilotildees do primeiro encontro do GEPMM
As melhores aacutereas da Computaccedilatildeo as que datildeo mais dinheiro cecirc tem que ser bom de
matemaacutetica Entatildeo eu acho um desperdiacutecio a gente ter 500 professores de
Matemaacutetica aqui e ficar na sala de aula vendo nada Adoro gosto muito acho
muito legal mas soacute isso Entendeu Vocecirc pode sair daqui muito mais potente
Com essa fala podemos analisar que apesar de o objeto das atividades
desenvolvidas pelono GEPMM estar orientado pelas questotildees-problema natildeo matemaacuteticas e
pelos estudantes em formaccedilatildeo os motivos que direcionam o engajamento nas atividades satildeo
atribuiacutedos a um sentido pessoal que norteia as accedilotildees dos sujeitos inclusive orienta as decisotildees
de engajamento ou natildeo em atividades Por que a aluna se engajou nas atividades do
GEPMM Porque deseja ter um bom salaacuterio ganhar mais dinheiro Nesse caso um bom
emprego eou muito dinheiro seriam os motivos evidenciados pela aluna em seus atos de fala
Tal objetivo estaacute relacionado a uma necessidade social ser bem-sucedido Para tal ela esboccedila
um Plano de Accedilotildees Internas (PAI) (KAPTELININ 1996) para sua proacutepria atividade
formativa Encontra a possibilidade de participar do GEPMM Percebe que as finalidades satildeo
alinhadas Engaja-se nas atividades do grupo Quando natildeo consegue realizar as atividades ou
accedilotildees relacionadas aos objetivos de ser aprovada nas disciplinas regulares e tambeacutem terminar
o projeto de iniciaccedilatildeo cientiacutefica a aluna reconceitualiza o PAI anulando ou tornando-as
minimizadas em prol de um realinhamento dos objetivos orientados nospelos sistemas de
atividade de formaccedilatildeo em engenharia ao motivo Uma voz do sistema capitalista de produccedilatildeo
estaria dessa forma ecoando na atividade a voz do mercado de trabalho Eacute possiacutevel notar
que tal voz pode ser ouvida nos mais diversos modos de atividade contemporacircneos pois
representa uma ideologia enunciada pelos sujeitos sociais Bakhtin (2010 p 125 grifo do
autor) pontua que ldquoo centro organizador de toda enunciaccedilatildeo de toda expressatildeo natildeo eacute interior
mas exterior estaacute situado no meio social que envolve o indiviacuteduordquo
Baseado nisso podemos enfatizar que uma ideologia que envolve a maioria dos
sujeitos de nossa sociedade que consiste na relaccedilatildeo de desejonecessidade em ser bem--
sucedido ter um bom emprego eou ganhar um bom salaacuterio Nesse sentido Charlot (2013 p
181) pontua ldquoao passo que se fala em sociedade do saber o saber estaacute perdendo o seu valor de
uso para virar soacute valor de trocardquo Esse fato pode encontrar suas origens na proacutepria sociedade
globalizada atual que por natureza incita a concorrecircncia permanente promulgando um
individualismo cada vez mais perceptiacutevel nas relaccedilotildees sociais Nisso residiria uma
214
contradiccedilatildeo fundamental primaacuteria constituinte dos mais variados tipos e modos histoacutericos de
atividades Ter poder ser potente ter um bom emprego e ser bem-sucedido satildeo desejos
baseados em ideologias da proacutepria sociedade capitalista Essa loacutegica da concorrecircncia
portanto pode ser parte das ideologias que ecoam nas vozes dos alunos em formaccedilatildeo em
Engenharia e pode ser considerado ldquoum sintoma de ferida antropoloacutegicardquo (CHARLOT 2013
p 182) Ferida dor e sofrimento podem ser originados por essa ideologia Quando um aluno
natildeo consegue colocar em praacutetica o PAI de sua proacutepria atividade de formaccedilatildeo ou ainda quando
o PAI natildeo eacute eficiente na realidade ele sofre Uma ferida eacute aberta podendo provocar muita
dor Reprovaccedilotildees e ou qualquer outro tipo de resultado que seja ldquodesalinhadordquo ao objetivo
delimitado pela ideologia da concorrecircncia pode acabar trazendo um desconforto para os
sujeitos que participam das atividades formativas natildeo somente para os alunos
Nisso a atividade de formaccedilatildeo em Engenharia pode ser analisada como um
trabalho alienado tanto para os alunos quanto para os professores Mas por um lado como
pensar em uma atividade de formaccedilatildeo profissionalizante sem pensar em saber e conhecimento
como objetivos principais Por outro lado como garantir uma formaccedilatildeo consistente
alinhando-se os objetivos restritamente de forma a garantir um bom salaacuterio As instituiccedilotildees
destinadas agrave formaccedilatildeo em Engenharia estatildeo configuradas socialmente apenas como um
caminho uma trajetoacuteria uma rede orientada pelo emprego (ou por um bom emprego) Como
minimizar essa contradiccedilatildeo primaacuteria emergente dos sistemas de atividade de formaccedilatildeo em
Engenharia Seria possiacutevel Natildeo pretendo e nem tenho condiccedilotildees para tentar responder a
esses questionamentos mas percebo que o quadro teoacuterico utilizado no desenvolvimento da
pesquisa aqui relatada ndash Teoria da Atividade ndash pode nos ajudar a seguir adiante em pesquisas
futuras que objetivem focar em tais questotildees Vale ressaltar que ldquoo trabalho do professor natildeo
eacute o de resolver as contradiccedilotildees mas de esclarececirc-las e evidenciar as vaacuterias formas de
legitimidade que podem existir em cada umardquo (CHARLOT 2013 p 175)
A formaccedilatildeo de uma rede coletiva de aprendizagens mediante as mais variadas
possibilidades de interaccedilotildees tecnomediadas foi estabelecida com a constituiccedilatildeo do GEPMM ndash
uma parceria Vale ressaltar que a multivocalidade esteve presente nos encontros do GEPMM
devendo ser analisada como suporte para idealizaccedilotildees de futuras realizaccedilotildees e
empreendimentos inovadores tornando a abertura reafirmaccedilatildeo eou modificaccedilatildeo das caixas-
pretas (modelos matemaacuteticos e computacionais) como accedilotildees estrategicamente necessaacuterias
para a formaccedilatildeo de agentes do desenvolvimento cientiacutefico tecnoloacutegico cultural e
socioeconocircmico demandados pelana formaccedilatildeo dos Engenheiros na atualidade
215
Castells (2005) pontua a existecircncia de uma contradiccedilatildeo crescente entre autonomia
e capacidade de inovaccedilatildeo necessaacuterias para o trabalho em empresas em rede Para o autor tal
contradiccedilatildeo somente pode ser minimizada mediante a ldquoeducaccedilatildeo baseada no modelo de
aprender a aprender ao longo da vida e preparada para estimular a criatividade e a inovaccedilatildeo
de forma a ndash e com o objectivo de ndash aplicar esta capacidade de aprendizagem a todos os
domiacutenios da vida social e profissionalrdquo (CASTELLS 2005 p 28) Sendo assim o autor
assume a criatividade e a inovaccedilatildeo como fatores-chave da criaccedilatildeo de valor e da mudanccedila
social na sociedade em rede Contudo o autor sinaliza para a necessidade de redefiniccedilatildeo dos
direitos de propriedade intelectual cujo iniacutecio se deu com a jaacute enraizada praacutetica do software
de fonte aberta como constituintes de uma comunicaccedilatildeo sem obstaacuteculos fundamentais para a
difusatildeo de um desenvolvimento tecnoloacutegico que responda agraves necessidades humanas de todo o
planeta Dessa forma a reforma do capitalismo perpassa a questatildeo do direito agrave propriedade
intelectual fator decisivo para a constituiccedilatildeo de uma democracia global
Vale ressaltar que ldquoa introduccedilatildeo da tecnologia soacute por si natildeo assegura nem a
produtividade nem a inovaccedilatildeo nem melhor desenvolvimento humanordquo (CASTELLS 2005
p 26) Por esse motivo foco esta parte da anaacutelise na multivocalidade e na agency
evidenciadas pelasnas interaccedilotildees tecnomediadas nas atividades de um GEPMM e natildeo apenas
e de forma limitada aos artefatos mediadores ndash os modelos matemaacutetico e computacional
Uma multivocalidade hiacutebrida oriunda da hibridade discursiva foi observada nas
atividades do GEPMM aqui analisadas A resoluccedilatildeo de problemas coletiva e a produccedilatildeo de
conhecimentos especificamente no que tange agrave questatildeo problemaacutetica do ldquopeso corporal
idealrdquo representaram notadamente uma substancial expansatildeo do repertoacuterio dos sujeitos
partiacutecipes da referida atividade Ao objeto da referida atividade destaca-se uma dimensatildeo
real objetiva e outra futura ou imaginaacuteria Nesse sentido ao mesmo tempo em que ele ndash o
objeto ndash era tomado na atividade praacutetica objetiva real do GEPMM configurava-se uma
dimensatildeo futura intencional projetiva idealizada do ldquomesmordquo objeto mediante accedilotildees de
idealizar ndash idealizaccedilotildees Ambas as dimensotildees somente podem ser analisadas em face da
multivocalidade a ser observada naspelas interaccedilotildees tecnomediadas
No momento que dedicaacutevamos esforccedilos para a abertura da caixa-cinza 3 (1198621198753)
estaacutevamos engajados em uma anaacutelise criacutetica do modelo constituiacutedo por vaacuterias EDOs e
implementado como o bwsimulator ndash um aparato da razatildeo Como resultado de tal anaacutelise e
reflexatildeo detiacutenhamos em nossa imaginaccedilatildeo em nossas ideias sobre tal instrumento da referida
atividade uma limitaccedilatildeo do fenocircmeno na realidade Detiacutenhamos naquele momento a
compreensatildeo de que a problemaacutetica questatildeo do ldquopeso corporal idealrdquo na realidade era muito
216
mais complexa do que a representaccedilatildeo fornecida pelo bwsimulator tanto em termos dos
alimentos ingeridos que fornecem a energia de entrada quanto aos exerciacutecios fiacutesicos que
fazem parte do consumo energeacutetico Estaacutevamos certos de que havia limitaccedilotildees conceituais da
realidade a ser modelada ndash a problemaacutetica questatildeo do ldquopeso corporal idealrdquo e o modelo
emergente da matematizaccedilatildeo e da respectiva implementaccedilatildeo computacional Precisaacutevamos
abrir a caixa-cinza 4 (1198621198754) para avaliarmos se tal limitaccedilatildeo era resultante de uma possiacutevel
limitaccedilatildeo teoacuterica conceitual da proacutepria matemaacutetica em accedilatildeo
Para tal pode-se destacar um discurso trazido agrave cena por dois partiacutecipes da
atividade aqui analisada ndash Teoria Fuzzy Tal discurso acadecircmico-cientiacutefico ecoou em vaacuterios
momentos da anaacutelise dos modelos referidos anteriormente e somente pocircde ser em virtude de
experiecircncias anteriores vivenciadas pelos dois partiacutecipes Tal vocalidade ali ecoada trouxe agrave
cena um novo instrumento uma nova ferramenta uma nova caixa-preta a ser aberta ndash os
discursos da Teoria Fuzzy Mais do que isso originou-se como uma necessidade para a
elaboraccedilatildeoproduccedilatildeo de um novo modelo um novo instrumento que levaria a uma
transformaccedilatildeo qualitativa do objeto da atividade em questatildeo referindo-se tanto agrave mudanccedila de
niacutevel da caixa-preta do ldquopeso corporal idealrdquo (rumo a uma caixa cinza 5) quanto agraves
emergentes e necessaacuterias possibilidades de interaccedilotildees tecnomediadas entre os sujeitos da
parceria no que tange ao compartilhamento de informaccedilotildees constituintes de conhecimentos e
consequentemente saberes necessaacuterios para tal empreendimento Tiacutenhamos assim uma nova
configuraccedilatildeo uma nova estrutura de atividade possibilitada pela e na multivocalidade
discursiva que nela ecoava sob o aspecto de um Plano de Accedilotildees Internas (PAI) da proacutepria
atividade
O Plano de Accedilotildees Internas (PAI) da atividade estava se reconfigurando
Idealizaccedilotildees que preconizam a realizaccedilatildeo do empreendimento foram evidenciadas nos
discursos trazidos agrave cena pela fala dos sujeitos projetar o uso da Teoria Fuzzy para a
construccedilatildeo de um novo modelo ndash tanto matemaacutetico quanto tecnoloacutegico
Poderiacuteamos inclusive pensar em um modelo tecnoloacutegico no qual a Matemaacutetica
natildeo poderia dele ser isolada nem vice-versa Um modelo tecnomatemaacutetico A Matemaacutetica
estaria aqui operando com o que poderia ser ou poderia se tornar ndash uma idealizaccedilatildeo orientada
pela Matemaacutetica contida no PAI Tal idealizaccedilatildeo poderia ser considerada como um elo entre
o que eacute e o que poderia vir a ser ndash uma nova orientaccedilatildeo uma nova finalidade Nesse sentido a
existecircncia de idealizaccedilotildees que objetivem alternativas para um fenocircmeno real se torna parte
indispensaacutevel do processo de modelagem cujo pressuposto essencial segundo Bassanezi
(2006) consiste no entendimento de que nenhum modelo deve ser considerado definitivo
217
podendo sempre ser melhorado e poderiacuteamos dizer que um bom modelo eacute aquele que propicia
a formulaccedilatildeo de novos modelos sendo essa reformulaccedilatildeo dos modelos uma das partes
fundamentais do processo de modelagem O autor pontua que isso pode ser evidenciado se
considerarmos que
Os fatos conduzem constantemente a novas situaccedilotildees
Qualquer teoria eacute passiacutevel de modificaccedilotildees
As observaccedilotildees satildeo acumuladas gradualmente de modo que novos fatos suscitam
novos questionamentos
A proacutepria evoluccedilatildeo da Matemaacutetica fornece novas ferramentas para traduzir a
realidade (teoria do Caos Teoria Fuzzy etc) (BASSANEZI 2006 p 31)
Contudo tal idealizaccedilatildeo contida no PAI da atividade somente pode ser
considerada como uma sequecircncia de accedilotildees ideais que podem fazer emergir fendas entre tal
idealizaccedilatildeo e o que viraacute a ser uma atividade real objetiva ndash concretizaccedilatildeo da idealizaccedilatildeo ndash
fazendo surgir uma objetivaccedilatildeo considerada aqui como transformaccedilatildeo de algo subjetivo em
algo objetivo ndash accedilotildees planejadas transformadas em accedilotildees executadas pelos sujeitos partiacutecipes
da atividade
Para isso uma accedilatildeo inicial a ser realizada na atividade praacutetica consistiu no
entendimento da Teoria Fuzzy mediante interaccedilotildees que possibilitaram o compartilhamento de
informaccedilotildees sobre tal arcabouccedilo teoacuterico permitindo a elaboraccedilatildeo desse novo instrumento que
passaria a permear a referida atividade Percebemos ainda a necessidade de uso e combinaccedilatildeo
de todos os instrumentos matemaacuteticos e tecnoloacutegicos que permearam a referida atividade para
o empreendimento configurado por tal nova construccedilatildeo se tornar de fato real Entre os
instrumentos que necessariamente permeavam a atividade podemos destacar conhecimentos
matemaacuteticos (Caacutelculo EDO Fuzzy) estrateacutegias de modelagem matemaacutetica modelos
matemaacuteticos modelos tecnoloacutegicos e estrateacutegias de programaccedilatildeo de computadores
Como consideraccedilatildeo final a essa parte da anaacutelise pontuo que a sequecircncia de
interaccedilotildees de aprendizagem se configura com caracteres cujo ldquoenquadramentordquo enunciativo
remete a significados resultantes de argumentaccedilotildees criacutetico-reflexivas dentro de uma praacutetica
social ndash formaccedilatildeo dos engenheiros ndash estando relacionadas agrave necessidade de transformaccedilotildees
qualitativas de tal praacutetica A constituiccedilatildeo de um contexto formativo (GEPMM) ampliou as
possibilidades de interaccedilotildees entre os sujeitos e os respectivos objetos de suas atividades O
objeto da atividade de Modelagem Matemaacutetica analisada nessa tese eacute constituiacutedo por trecircs
materializaccedilotildees ldquoo peso corporal idealrdquo a agency dos futuros engenheiros e dos docentes
evidenciadas nas interaccedilotildees sujeito-sujeitos e sujeitos-objeto
218
Tal contexto formativo somente foi constituiacutedo a partir do resultado da anaacutelise da
praacutetica social que constitui a formaccedilatildeo em Engenharia institucionalizada podendo ser
considerado como um enunciado embebido por diversas ideologias incluindo as que
compotildeem os discursos cientiacuteficos e tecnoloacutegicos configurando dessa forma uma nova forma
de atividade na instituiccedilatildeo que amplia as possibilidades de compartilhamento de informaccedilotildees
e construccedilatildeo de parcerias ndash constituindo (criando) um novo objeto para os sistemas de
atividade como resultado de uma busca consciente coletiva e intencional de oportunidades
para inovar no sentido de se fazer o novo renovar promover mudanccedilas substanciais na
praacutetica formativa Sob esse aspecto considero as accedilotildees aqui representadas como inovaccedilotildees no
que tange inclusive agrave constituiccedilatildeo de um novo e expandido espaccedilo formativo relacionado agraves
disciplinas de Caacutelculo ndash atividades de Modelagem Matemaacutetica ndash dentro do sistema de
atividades que eacute orientado pela formaccedilatildeo de engenheiros
O espaccedilo formativo constituiacutedo pelo contexto alternativo mais amplo ndash GEPMM
ndash inclui necessariamente a delimitaccedilatildeo de uma ineacutedita rede de aprendizagem ndash uma parceria
Os sujeitos satildeo cuacutemplices de uma mesma atividade de resoluccedilatildeoentendimento de questotildees-
problema do mundo real O engajamento em tais sistemas de atividade estaacute orientado por
mudanccedilas nas agencys dos docentes e discentes frente agraves suas muacuteltiplas atividades Os
instrumentos que permeiam tal atividade incluem estrateacutegias de Modelagem Matemaacutetica
conhecimentos matemaacuteticos modelos matemaacuteticos e tecnoloacutegicos conhecimentos de
programaccedilatildeo de computadores entre outros
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Neste capiacutetulo busco fazer um tipo de fechamento de ideias a respeito da
investigaccedilatildeo relatada neste texto cujo objetivo central esteve orientado pelo seguinte
questionamento quais aprendizagens expansivas podem ser evidenciadas pelas e nas
atividades desenvolvidas por um Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica
(GEPMM) em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharia
Para tal os dados foram construiacutedos em um contexto institucional que se destina
exclusivamente agrave formaccedilatildeo de engenheiros localizado em uma cidade do interior de Minas
Gerais e os desdobramentos da investigaccedilatildeo foram norteados pela abordagem qualitativa por
meio de uma intervenccedilatildeo formativa (ENGESTROumlM SANNINO 2010b) Essa intervenccedilatildeo se
219
engendrou por meio da constituiccedilatildeo de um GEPMM concebido sob a perspectiva que
considera os conteuacutedos do Caacutelculo como ferramentas ou instrumentos necessaacuterios para a
formaccedilatildeo em Engenharia
Ancorada nos aportes da teoria histoacuterico-cultural da atividade e da aprendizagem
expansiva a investigaccedilatildeo objetivou o estabelecimento de um diaacutelogo com teoacutericos que
discutem Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica focando os contextos de formaccedilatildeo em
Engenharia Sendo assim o GEPMM se configura como um espaccedilo formativo alternativo sob
a perspectiva do Caacutelculo em accedilatildeo
A construccedilatildeo dos dados para a presente investigaccedilatildeo se deu por meio de
observaccedilotildees entrevistas registro de diaacuterio de campo e mensagens eletrocircnicas O processo de
anaacutelise e interpretaccedilatildeo dos dados construiacutedos foi desenvolvido com base no proacuteprio processo
de constituiccedilatildeo do GEPMM como um ciclo de accedilotildees potencialmente expansivo
(ENGESTROM SANNINO 2010b) que possibilitou o preenchimento da ldquomatrizrdquo para
anaacutelise da aprendizagem expansiva (ENGESTROumlM 2001)
Aleacutem disso os dados construiacutedos fizeram emergir quatro modalidades analiacuteticas
na tentativa de compreender as possibilidades de aprendizagens expansivas que podem ser
evidenciadas nas e pelas atividades de um GEPMM em um contexto de formaccedilatildeo em
Engenharia Conforme abordado no Capiacutetulo 5 desta tese a constituiccedilatildeo do referido espaccedilo
formativo alternativo (GEPMM) ampliou as possibilidades de interaccedilotildees entre os sujeitos e os
respectivos objetos de suas muacuteltiplas atividades possibilitando aprendizagens expansivas
que se manifestaram como 1) transposiccedilatildeo de fronteiras e construccedilatildeo de redes ndash parcerias 2)
movimento na zona de desenvolvimento proximal da atividade docente-discente 3)
transformaccedilotildees qualitativas do objeto da atividade de Modelagem Matemaacutetica 4) ciclos de
accedilotildees potencialmente expansivas ndash idealizaccedilotildees
Ao analisar a referida intervenccedilatildeo formativa observam-se ainda subsiacutedios
necessaacuterios para considerar que o engajamento nas atividades do GEPMM pode de fato
representar importante papel na formaccedilatildeo continuada de professores suas proacuteprias praacuteticas
ampliando assim os respectivos horizontes de atuaccedilatildeo nas mais diversas dimensotildees
cotidianas de trabalho
Considerando que o momento de encerramento de uma tese natildeo se configura
apenas como um fechamento de ideias uma vez que vaacuterias discussotildees debates estudos e
pesquisas podem se originar dos dados e das questotildees apresentadas tomando por base o
espaccedilo formativo alternativo constituiacutedo pelono GEPMM em um contexto de formaccedilatildeo em
Engenharias entendo que as possibilidades para aprendizagens expansivas se tornam
220
instigantes objetos de pesquisas futuras Para tal como um horizonte possiacutevel a seguinte
pergunta diretriz poderia nortear futuras investigaccedilotildees
Quais aprendizagens expansivas podem ser evidenciadas naspelas interaccedilotildees
tecnomediadas pelo Caacutelculo em accedilatildeo em atividades de Modelagem Matemaacutetica em um
contexto de formaccedilatildeo em Engenharias
Por fim vale ressaltar que uma intervenccedilatildeo e sua interpretaccedilatildeo analiacutetica
constituintes da praacutexis cientiacutefica jamais devem ser consideradas como algo que se impotildee
absolutamente Haacute lugar para diversos esquemas e compreensotildees e por conseguinte
confrontos entre interpretaccedilotildees diversas ldquoSe a interpretaccedilatildeo eacute revelante eacute pois num duplo
sentido ela faz aparecer uma estrutura inteligiacutevel que vale de alguma maneira por si mesma
mas ao mesmo tempo daacute os meios para atingir com sua mediaccedilatildeo uma realidade que nela se
mostra mas sem aiacute se esgotarrdquo (LADRIEgraveRE 1978 p 130)
REFEREcircNCIAS
ABBAGNANO N Dicionaacuterio de Filosofia 1ordf ediccedilatildeo brasileira coordenada e revista por
Alfredo Bossi revisatildeo da traduccedilatildeo e traduccedilatildeo dos novos textos Ivone Castilho Benedetti 5
ed Satildeo Paulo Martins Fontes 2007
ALVES-MAZZOTTI A J O meacutetodo nas ciecircncias sociais In ALVES-MAZZOTTI A J
GEWANDSZNAJDER F O meacutetodo nas ciecircncias naturais e sociais pesquisa quantitativa e
qualitativa Satildeo Paulo Pioneira 1999 p 109-176
ARAUacuteJO J L Caacutelculo tecnologias e modelagem matemaacutetica as discussotildees dos alunos
2002 180 f Tese (Doutorado em Educaccedilatildeo Matemaacutetica) ndash Instituto de Geociecircncias e Ciecircncias
Exatas Universidade Estadual Paulista Juacutelio de Mesquita Filho Rio Claro 2002
ARAUacuteJO J L BORBA M C Construindo pesquisas coletivamente em educaccedilatildeo
Matemaacutetica In BORBA M de C ARAUacuteJO J de L (Orgs) Pesquisa qualitativa em
Educaccedilatildeo Matemaacutetica 2 ed Belo Horizonte Autecircntica 2006 p 27-48
ARAUacuteJO J L Brazilian research on modelling in mathematics education ZDM - The
International Journal on Mathematics Education Berlin v 42 n 3-4 p 337-348 2010
ASBAHR F da S F A pesquisa sobre a atividade pedagoacutegica contribuiccedilotildees da teoria da
atividade Revista Brasileira de Educaccedilatildeo Rio de Janeiro n 29 maioago 2005 Disponiacutevel em httpwwwscielobrpdfrbedun29n29a09pdf Acesso em 26 abr 2013
BAKHTIN M Esteacutetica da criaccedilatildeo verbal Satildeo Paulo Martins Fontes 1992
BAKHTIN M Marxismo e filosofia da linguagem problemas fundamentais do meacutetodo
socioloacutegico da linguagem Traduccedilatildeo de M Lahud e Y Frateschi Vieira 14 ed Satildeo Paulo
Hucitec 2010
221
BALDINO R R CABRAL T C B O ensino de matemaacutetica em um curso de engenharia de
Sistemas Digitais In CURY H N (Org) Disciplinas Matemaacuteticas em cursos superiores
Porto Alegre EDIPUCRS 2004 p 139-186
BARBOSA J C Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica contribuiccedilotildees para o debate teoacuterico
In REUNIAtildeO ANUAL DA ANPED 24 Caxambu Anais CD-ROM ANPED Rio de
Janeiro 2001a
BARBOSA J C Modelagem Matemaacutetica concepccedilotildees e experiecircncias de futuros
professores 2001b 253 f Tese (Doutorado em Educaccedilatildeo Matemaacutetica) ndash Instituto de
Geociecircncias e Ciecircncias Exatas Universidade Estadual Paulista Juacutelio de Mesquita Filho Rio
Claro 2001b
BARBOSA J C Modelagem Matemaacutetica na sala de aula Perspectiva Erechim v 27 n 98
p 65-74 jun 2003
BARBOSA J C Modelagem Matemaacutetica o que eacute Por quecirc Como Veritati Salvador n 4
p 73-80 2004a
BARBOSA J C Modelagem Matemaacutetica em cursos para natildeo-matemaacuteticos In CURY H N
(Org) Disciplinas Matemaacuteticas em cursos superiores Porto Alegre EDIPUCRS 2004b
p 63-84
BARBOSA J C SANTOS M A Modelagem Matemaacutetica perspectivas e discussotildees In
ENCONTRO NACIONAL DE EDUCACcedilAtildeO MATEMAacuteTICA (ENEM) 9 Belo Horizonte
Anais Recife Sociedade Brasileira de Educaccedilatildeo Matemaacutetica 2007 Disponiacutevel em
httpwwwuefsbrnupemmcc86136755572pdf Acesso em 1 ago 2013
BARROS D L P Contribuiccedilotildees de Bakhtin agraves teorias do texto e do discurso In FARACO
C A TEZZA C CASTRO G (Orgs) Diaacutelogos com Bakhtin 4 ed Curitiba Editora
UFPR 2007 p 21-38
BASSANEZI R C Ensino-Aprendizagem com modelagem matemaacutetica uma nova
estrateacutegia 3 ed Satildeo Paulo Contexto 2006
BERNARDES M E M Ensino e aprendizagem como unidade dialeacutetica na atividade
pedagoacutegica Revista Semestral da Associaccedilatildeo Brasileira de Psicologia Escolar e
Educacional (ABRAPEE) Campinas v 13 n 2 juldez 2009 Disponiacutevel em
httpwwwscielobrpdfpeev13n2v13n2a05pdf Acesso em 26 abr 2013
BIEMBENGUT M S HEIN N Modelling in engineering advantages and difficulties In
HAINES C et al (Ed) Mathematical Modelling (ICTMA 12) Education Engineering
and Economics Proceedings from the twelfth International Conference on the Teaching of
Mathematical modelling and applications Chichester United Kingdom Horwood Publishing
2007 p 415-423
BIEMBENGUT M S HEIN N Modelagem Matemaacutetica no Ensino 5 ed 2
reimpressatildeo Satildeo Paulo Contexto 2011
222
BLACK A PRENTICE A COWARD W Use of food quotients to predict respiratory
quotients for the doubly-labeled water method of measuring energy expenditure Human
Nutrition Clinic Bethesda v 40 n 5 p 381-391 1986
BLUM W Applications and Modelling in Mathematics Teaching ndash a review of arguments
and instructional aspects In NISS M BLUM W HUNTLEY Id (Orgs) Teaching of
Mathematical modelling and applications Chichester Ellis Horwood 1991 p 10-29
BLUM W LEISS D ldquoFilling uprdquo ndash the problem of independence preserving teacher
interventions in lessons with demanding modelling tasks In FOURTH CONGRESS OF THE
EUROPEAN SOCIETY FOR RESEARCH IN MATHEMATICS EDUCATION
(4ordmCERME) 2005 Saint Feliu de Guiacutexols Espanha Proceedingshellip Saint Feliu de Guiacutexols
Espanha 2005 Disponiacutevel em
httpwwwmathematikunidortmundde~ermeCERME4CERME4_WG8pdf Acesso em 26
de jul 2014
BOGDAN R C BIKLEN S K Investigaccedilatildeo qualitativa em Educaccedilatildeo Matemaacutetica uma
introduccedilatildeo agrave teoria e aos meacutetodos Traduccedilatildeo de M J Alvarez S B Santos e T M Baptista
Porto Porto Editora 1994
BORBA M C MENEGHETTI R C G HERMINI H A Modelagem calculadora
graacutefica interdisciplinaridade na sala de aula de um curso de Ciecircncias Bioloacutegicas Revista de
Educaccedilatildeo Matemaacutetica Satildeo Paulo v 5 n 3 p 63-70 1997
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica Belo Horizonte
Autecircntica Editora 2001
BORBA M C VILLARREAL M E Humans-with-media and the reorganization of
Mathematical Thinking Information and communication technologies modeling
visualization and experimentation New York Springer Science+Business Media Inc 2005
BOYCE W E DIPRIMA R C Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de
valores de contorno 6 ed Rio de Janeiro LTC 1996
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo Conselho Nacional de Educaccedilatildeo Diretrizes Curriculares
Nacionais dos Cursos de Engenharia Parecer Nordm CNECES 13622001 Homologado em
2002 Brasiacutelia Ministeacuterio da Educaccedilatildeo 2002
Disponiacutevel em httpportalmecgovbrcnearquivospdfCES112002pdf Acesso em 26 jul
2014
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo Secretaria de Educaccedilatildeo Meacutedia e Tecnoloacutegica Orientaccedilotildees
Curriculares para o Ensino Meacutedio v 2 Ciecircncias da Natureza Matemaacutetica e suas
Tecnologias Brasiacutelia Ministeacuterio da Educaccedilatildeo 2006
BURAK D Modelagem Matemaacutetica accedilotildees e interaccedilotildees no processo de ensino
aprendizagem 1992 459 p Tese (Doutorado em Educaccedilatildeo) ndash Faculdade de Educaccedilatildeo
Universidade Estadual de Campinas Campinas 1992
BURGHES D N BORRIE M S Modelling with differential equations Chichester Ellis
Horwood Limited 1981
223
CALDEIRA A D Modelagem Matemaacutetica um outro olhar Alexandria ndash Revista de
Educaccedilatildeo em Ciecircncia e Tecnologia Santa Catarina v 2 n 2 p 33-54 jul 2009
CAMARENA G P Mathematical models in the context of Sciences In INTERNATIONAL
CONGRESS ON MATHEMATICAL EDUCATION (ICME-11) 2008 Monterrey Mexico
Proceedingshellip Monterrey Mexico 2009 Disponiacutevel em
httptsgicme11orgdocumentget440 Acesso em 1 ago 2013
CAMPOS D F Anaacutelise de uma proposta para a disciplina Caacutelculo Diferencial e Integral
I surgida na UFMG apoacutes o Reuni usando o testbench de Engestroumlm como modelo de
aplicaccedilatildeo da teoria da atividade em um estudo de caso 2012 176 f Tese (Doutorado em
Educaccedilatildeo) ndash Faculdade de Educaccedilatildeo Universidade Federal de Minas Gerais Belo Horizonte
2012
CASTELLS M A sociedade em rede do conhecimento agrave poliacutetica In CASTELLS M
CARDOSO G (Orgs) A sociedade em rede do conhecimento agrave acccedilatildeo poliacutetica Lisboa
Imprensa Nacional ndash Casa da Moeda 2005 p 17-31
CHARLOT B Da relaccedilatildeo com o saber elementos para uma teoria Porto Alegre Artmed
Editora 2000
CHARLOT B Da relaccedilatildeo com o saber agraves praacuteticas educativas Satildeo Paulo Cortez 2013
CURY H N COBENGE e Ensino de Disciplinas Matemaacuteticas nas Engenharias um
retrospecto dos uacuteltimos anos In CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO EM
ENGENHARIA ndash COBENGE 30 2002 Anais Piracicaba 2002
DrsquoAMBROacuteSIO U Literacy Matheracy and Technoracy a trivium for today In
DrsquoAMBROacuteSIO U Mathematical Thinking and Learning Philadelphia Taylor amp Francis
1999 p 131-153
DrsquoAMBROacuteSIO U Sociedade cultura matemaacutetica e seu ensino Educaccedilatildeo e Pesquisa Satildeo
Paulo v 31 n 1 p 99-120 janabr 2005
DANIELS H Implicit or invisible mediation in the development of interagency work In
DANIELS H et al (Eds) Activity theory in practice promoting learning across boundaries
and agencies New York Routledge 2010a p 105-125
DANIELS H et al (Eds) Activity theory in practice promoting learning across boundaries
and agencies New York Routledge 2010b
DAVYDOV V V Problems of developmental teaching the experience of theoretical and
experimental psychological research Soviet Education v 30 n 8-10 1988
DIETARY Reference Intakes for Energy Carbohydrate Fiber Fat Fatty Acids
Cholesterol Protein and Amino Acids (Macronutrients) Disponiacutevel em
ltwwwnapeducatalogphprecord_id=10490gt Acesso em 1 ago 2013
224
DULLIUS M M ARAUacuteJO I S VEIT E A Ensino e aprendizagem de equaccedilotildees
diferenciais com abordagem graacutefica numeacuterica e analiacutetica uma experiecircncia em cursos de
Engenharia Boletim de educaccedilatildeo Matemaacutetica Rio Claro v 24 n 38 p 17-42 abr 2011
Disponiacutevel em httpwwwredalycorgpdf2912291222086003pdf Acesso em 1 ago 2013
EDWARDS C H PENNEY D E Differential equations computing and modeling 2 ed
New Jersey Prentice Hall 1996
ENGELS F A origem da famiacutelia da propriedade privada e do Estado Satildeo Paulo
Centauro 2002
ENGESTROumlM Y Learning by expanding an activity-theoretical approach to
developmental research Helsinki Orienta-Konsultit 1987
ENGESTROumlM Y Developmental studies of work as a testbench of activity theory the case
of primary care medical practice In CHAIKLIN S LAVE J (Eds) Understanding
practice perspectives on activity and context New York Cambridge University Press 1993
ENGESTROumlM Y Innovative learning in work teams analyzing cycles of knowledge
creation in practice In ENGESTROumlM Y MIETTINEN R PUNAMAumlKI R-L (Eds)
Perspectives on activity theory Cambridge Cambridge University Press 1999
ENGESTROumlM Y Expansive learning at work toward an activity theorical
reconceptualization Journal of Education and Work London v 14 n 1 p 133-156 2001
ENGESTROumlM Y Non scolae sed vitae discimus Como superar a encapsulaccedilatildeo da
aprendizagem escolar In DANIELS H (Org) Uma introduccedilatildeo agrave Vygotsky Satildeo Paulo
Ediccedilotildees Loyola 2002 p 175-198
ENGESTROumlM Y From teams to knots activity-theoretical studies of collaboration and
learning at work New York Cambridge University Press 2008
ENGESTROumlM Y The future of activity theory a rough draft In ENGESTROumlM Y
SANNINO A (Eds) Studies of expansive learning foundations findings and future
challenges Educational Research Review n 5 p 1-24 2010a
ENGESTROumlM Y SANNINO A studies of expansive learning foundations findings and
future challenges Educational Research Review n 5 p 1-24 2010b
Disponiacutevel em httpwwwhelsinkificradledocumentsEngestrom20Publ
Studies20on20expansive20learningpdf Acesso em 26 abr 2013
FERRUZZI E C Interaccedilotildees discursivas e aprendizagem em Modelagem Matemaacutetica 2011
228 f Tese (Doutorado em Ensino de Ciecircncias e Educaccedilatildeo Matemaacutetica) ndash Universidade
Estadual de Londrina Londrina 2011
FERRUZZI E C Diaacutelogos em modelagem matemaacutetica In SEMINAacuteRIO
INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCACcedilAtildeO MATEMAacuteTICA 5 2012 Anais
Petroacutepolis 2012
225
FILHO E E RIBEIRO L R C Aprendendo com PBL ndash Aprendizagem baseada em
problemas relato de uma experiecircncia em cursos de Engenharia da EESC-USP Revista
Pesquisa e Tecnologia Satildeo Paulo Minerva 2006
FIORENTINI D LORENZATO S Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos
teoacutericos e metodoloacutegicos 3 ed Campinas Autores Associados 2009
FLEMMING D M O Ensino de caacutelculo nas Engenharias relato de uma caminhada In
CURY H N (Org) Disciplinas Matemaacuteticas em cursos superiores Porto Alegre
EDIPUCRS 2004 p 271-292
FLICK U Introduccedilatildeo agrave pesquisa qualitativa Porto Alegre Artmed 2009
FRAGA L NOVAES H DAGNINO R Educaccedilatildeo em Ciecircncia Tecnologia e Sociedade
para as Engenharias perspectivas em educaccedilatildeo geral In PEREIRA E M de A (Org)
Universidade e curriacuteculo perspectivas de educaccedilatildeo geral Campinas Mercado das Letras
2010 p 135-156
FRANCHI R H L Uma proposta curricular de Matemaacutetica para cursos de Engenharia
utilizando Modelagem Matemaacutetica e Informaacutetica 2002 189 f Tese (Doutorado em
Educaccedilatildeo Matemaacutetica) ndash Instituto de Geociecircncias e Ciecircncias Exatas (IGCE) Universidade
Estadual Paulista (UNESP) Rio Claro 2002
FREIRE P Pedagogia do oprimido 17 ed Rio de Janeiro Paz e Terra 1987
FREIRE P Pedagogia da autonomia saberes necessaacuterios agrave praacutetica educativa 40
reimpressatildeo Satildeo Paulo Paz e Terra 1996
GONCcedilALVES M B FLEMMING D M Caacutelculo B funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis integrais
muacuteltiplas integrais curviliacuteneas e de superfiacutecie 2 ed Satildeo Paulo Pearson Prentice Hall 2007
HABRE S Exploring studentrsquos strategies to solve ordinary differential equations in a reform
setting Journal of Mathematical Behavior v 18 p 455-472 2000
HABRE S Writing In a Reformed Differential Equations Class In INTERNATIONAL
CONFERENCE ON THE TEACHING OF MATHEMATICS AT THE
UNDERGRADUATE LEVEL 2 2002 Proceedingshellip Crete 2002 Disponiacutevel em
wwwmathuocgr~ictm2Proceedingspap64pdf Acesso em 1 ago 2013
HALL K D et al Quantification of the effect of energy imbalance on bodyweight The
Lancet Series v 387 p 826-837 2011a
HALL K D et al Suplementary webappendix In HALL K D et al (Org) Quantification
of the effect of energy imbalance on bodyweight The Lancet Series v 387 p 826-837
2011b Disponiacutevel em httpbwsimulatorniddknihgov Acesso em 21 jan 2014
HERBSTER A F BRITO N D Labcon uma experiecircncia de modernizaccedilatildeo da disciplina
Caacutelculo Numeacuterico In CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO EM ENGENHARIA ndash
COBENGE 33 2005 Anais Campina Grande 2005
226
JAVARONI S L Abordagem geomeacutetrica possibilidades para o ensino e aprendizagem de
Introduccedilatildeo agraves Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias 2007 231 f Tese (Doutorado em Educaccedilatildeo
Matemaacutetica) ndash Instituto de Geociecircncias e Ciecircncias Exatas Universidade Estadual Paulista
Juacutelio de Mesquita Filho Rio Claro 2007
KAISER G SRIRAMAN B A global survey of international perspectives on modelling in
mathematics education ZDM ndash The International Journal on Mathematics Education
Berlin v 38 n 3 p 302-310 2006 Disponiacutevel em
httpsubsemisdejournalsZDMzdm063a9pdf Acesso em 16 abr 2013
KAPTELININ V Activity theory implications for human-computer interation In NARDI
B A (Ed) Context and consciousness activity theory and human-computer interaction
Cambridge The MIT Press 1996 p 103-116
KAWASAKI T F Tecnologias na sala de aula de Matemaacutetica resistecircncia e mudanccedilas na
formaccedilatildeo continuada de professores 2008 212 f Tese (Doutorado em Educaccedilatildeo) ndash Faculdade
de Educaccedilatildeo Universidade Federal de Minas Gerais Belo Horizonte 2008
KOSIK K Dialeacutetica do Concreto Traduccedilatildeo de Ceacutelia Neves e Alderico Toriacutebio 2 ed Rio
de Janeiro Paz e Terra 1976
KOZULIN A O conceito de atividade na psicologia sovieacutetica Vygotsky seus disciacutepulos
seus criacuteticos In DANIELS H (Org) Uma introduccedilatildeo agrave Vygotsky Traduccedilatildeo de Marcos
Bagno Satildeo Paulo Ediccedilotildees Loyola 2002 p 111-138
LADRIEgraveRE J Filosofia e praacutexis cientiacutefica Rio de Janeiro Francisco Alves Editora 1978
LATOUR B Ciecircncia em accedilatildeo como seguir cientistas e engenheiros sociedade afora
Traduccedilatildeo de Ivone C Benedetti Satildeo Paulo Editora UNESP 2000
LAVE J WENGER E Praacutetica pessoa mundo social In DANIELS H (Org) Uma
introduccedilatildeo agrave Vygotsky Satildeo Paulo Ediccedilotildees Loyola 2002 p 165-174
LEFEBVRE H Loacutegica formal loacutegica dialeacutetica Traduccedilatildeo de Carlos Nelson Coutinho 5 ed
Rio de Janeiro Civilizaccedilatildeo Brasileira 1991
LEONTEV A Activity consciousness and personality New Jersey Prentice-Hall 1978
Disponiacutevel em httplchcucsdedumcaPaperleontevindexhtml Acesso em 26 abr 2013
LEONTIEV A O desenvolvimento do psiquismo Traduccedilatildeo de Rubens Eduardo Frias 2
ed Satildeo Paulo Centauro 2004
LIBAcircNEO J C A didaacutetica e a aprendizagem do pensar e do aprender a teoria histoacuterico-
cultural da atividade e a contribuiccedilatildeo de Vasili Davydov Revista Brasileira de Educaccedilatildeo
Satildeo Paulo n 027 p 5-24 setoutnovdez 2004
LIBAcircNEO J C FREITAS R A M D M Vygotsky Leontiev Davydov trecircs aportes
teoacutericos para a teoria histoacuterico-cultural e suas contribuiccedilotildees para a didaacutetica In CONGRESSO
BRASILEIRO DE HISTOacuteRIA DA EDUCACcedilAtildeO 4 2006 Anais Goiacircnia Editora
VieiraUCG v 1 p 1-10 2006
227
MATEUS E F Atividade de aprendizagem colaborativa e inovadora de professores
ressignificando as fronteiras dos mundos universidade-escola 2005 325 f Tese (Doutorado
em Linguiacutestica Aplicada e Estudos da Linguagem) ndash Pontifiacutecia Universidade Catoacutelica de Satildeo
Paulo 2005
MATTELART A Histoacuteria da sociedade da informaccedilatildeo 2 ed Satildeo Paulo Ediccedilotildees Loyola
2006
MEYER J F C A CALDEIRA A D MALHEIROS A P S Modelagem em educaccedilatildeo
matemaacutetica Belo Horizonte Autecircntica 2011 (Coleccedilatildeo Tendecircncias em Educaccedilatildeo
Matemaacutetica)
MICCOTTI M C de O O ensino e as propostas pedagoacutegicas In BICUDO M A V (Org)
Pesquisa em Educaccedilatildeo Matemaacutetica concepccedilotildees e perspectivas Satildeo Paulo Editora UNESP
1999 p 153-168
MORENO M AZCAacuteRATE GIMEacuteNEZ C Concepciones y creencias de los profesores
universitarios de matemaacuteticas acerca de la ensentildeanza de las ecuaciones diferenciales
Ensentildeanza de Las Ciencias revista de investigacioacuten y experiecircncias didaacuteticas v 21 n 2 p
265-280 2003 Disponiacutevel em httpddduabespubedlc02124521v21n2p265pdf Acesso
em 1 ago 2013
MOURA M O et al Atividade orientadora de ensino unidade entre ensino e aprendizagem
Revista Diaacutelogo Educacional v 10 n 29 p 205-229 janabr 2010 Disponiacutevel em
httpwww2pucprbrreolindexphpdialogodd1=3432ampdd99=view Acesso em 26 abr
2013
PINTO A V O conceito de tecnologia v I 1 ed Rio de Janeiro Contraponto 2005a
PINTO A V O conceito de tecnologia v II 1 ed Rio de Janeiro Contraponto 2005b
RESNICK L B Learning in school and out Educational Researcher v 16 n 9 p 13-20
1987
RIGON Al J ASBAHR F da S F MORETTI V D Sobre o processo de humanizaccedilatildeo
In MOURA M O (Org) A atividade pedagoacutegica na teoria Histoacuterico-cultural Brasiacutelia
Liber livro 2010
SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ A Filosofia da praacutexis Traduccedilatildeo de Luiz Fernando Cardoso 2 ed
Rio de Janeiro Paz e Terra 1977
SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ A Filosofia e Circunstacircncias Traduccedilatildeo de Luiz Cavalcanti de M
Guerra Rio de Janeiro Civilizaccedilatildeo Brasileira 2002
SANNINO A NOCON H Introduction activity theory and school innovation Journal of
Educational Change v 9 n 4 p 325-328 2008
228
SCAGLIUSI F B LANCHA JUacuteNIOR A H Estudo do gasto energeacutetico por meio da aacutegua
duplamente marcada fundamentos utilizaccedilatildeo e aplicaccedilotildees Revista de Nutriccedilatildeo Campinas
n 4 p 41-551 julago 2005
SILVA J M A A quem as universidades estatildeo servindo Folha de SPaulo 6 out 2012
Disponiacutevel em httpwww1folhauolcombrfspopiniao70282-a-quem-as-universidades-
estao-servindoshtml Acesso em 24 jan 2014
SKOVSMOSE O Educaccedilatildeo matemaacutetica criacutetica a questatildeo da democracia Traduccedilatildeo de A
Lins (caps 1-4) e J de L Arauacutejo (cap 5) Prefaacutecio de M C Borba Campinas Papirus 2001
(Coleccedilatildeo Perspectivas em Educaccedilatildeo Matemaacutetica)
SKOVSMOSE O Educaccedilatildeo criacutetica incerteza Matemaacutetica responsabilidade Traduccedilatildeo de
Maria Aparecida Viggiani Bicudo Satildeo Paulo Cortez 2007
SOARES E M S SAUER L Z Um novo olhar sobre a aprendizagem de Matemaacutetica para
a Engenharia In CURY H N (Org) Disciplinas Matemaacuteticas em cursos superiores
Porto Alegre EDIPUCRS 2004 p 139-186
SOUZA L F AGUIAR C E Um experimento sobre a dilataccedilatildeo teacutermica e a lei de
resfriamento Monografia (Licenciatura em Fiacutesica) ndash Universidade Federal do Rio de
Janeiro Rio de Janeiro 2007
STEWART J Caacutelculo volume 2 5 ed Traduccedilatildeo de A C Moretti e A C G Martins Satildeo
Paulo Pioneira Thomson Learning 2006
UNIVERSIDADE Federal de Itajubaacute Portaria n 4066 29 de dezembro de 2003 Estatuto
Disponiacutevel em httpwwwunifeiedubrfilesarquivosEstatutoUNIFEIpdf Acesso em 8
ago 2013
VYGOTSKY LS Consciousness as a problem in the psychology of behavior Soviet
Psychology v 17 p 3-35 1979
VYGOTSKY L S Pensamento e linguagem Satildeo Paulo Martins Fontes 1987
WEIR J New methods for calculating metabolic rate with special reference to protein
metabolism Journal Physiology v 1-2 n 109 p 1-9 1949
WERTSCH J V Vygotsky and the social formation of mind Cambridge Harvard
University Press 1985
WERTSCH J Vygotsky y la formacioacuten social de la mente Seacuterie Cognicioacuten y desarrollo
humano Barcelona Paidoacutes 1988
ZILL D G A first course in differential equations with modeling applications 6 ed
Califoacuternia BrooksCole 1997
ZILL D G CULLEN M R Equaccedilotildees diferenciais 3 ed Satildeo Paulo Pearson 2008
C146c T
Caldeira Rutyele Ribeiro 1982- Caacutelculo em accedilatildeo modelagem e parcerias possibilidades para aprendizagens expansivas em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias Rutyele Ribeiro Caldeira - Belo Horizonte 2014 229 f enc il Tese - (Doutorado) - Universidade Federal de Minas Gerais Faculdade de Educaccedilatildeo Orientadora Jussara de Loiola Arauacutejo Bibliografia f 220-229 1 Educaccedilatildeo -- Teses 2 Engenharia -- Estudo e ensino -- Teses 3 Engenheiros -- Ensino profissional -- Teses 4 Calculo -- Estudo e ensino -- Teses I Tiacutetulo II Arauacutejo Jussara de Loiola III Universidade Federal de Minas Gerais Faculdade de Educaccedilatildeo CDD- 620007
Catalogaccedilatildeo da Fonte Biblioteca da FaEUFMG
Universidade Federal de Minas Gerais
Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo
Tese intitulada ldquoCaacutelculo em accedilatildeo modelagem e parcerias possibilidades para aprendizagens
expansivas em um contexto de formaccedilatildeo em Engenhariasrdquo de autoria da doutoranda Rutyele
Ribeiro Caldeira aprovada pela banca examinadora constituiacuteda pelos seguintes professores
__________________________________________________
Profa Dra Jussara de Loiola Arauacutejo ndash ICExUFMG ndash orientadora
__________________________________________________
Profa Dra Maria Manuela Martins Soares David ndash FaEUFMG
__________________________________________________
Profa Dra Teresinha Fumi Kawasaki ndash FaEUFMG
__________________________________________________
Profa Dra Lourdes Maria Werle de Almeida ndash UEL
__________________________________________________
Profa Dra Sueli Liberatti Javaroni ndash UNESP
__________________________________________________
Prof Dr Francisco Acircngelo Coutinho ndash FaEUFMG ndash suplente
__________________________________________________
Prof Dr Dilhermando Ferreira Campos ndash UFOP ndash suplente
Belo Horizonte 27 de agosto de 2014
A Deus
aos meus pais Joseacute e Mirnaacute
ao meu amor Luciano e
ao priacutencipe da minha vida ndash
meu filho Matheus
Com muito amor
AGRADECIMENTOS
A Deus Pai de toda bondade compaixatildeo amor e sabedoria criador de nossas
vidas do ceacuteu e da terra parceiro de todos os momentos poderoso mestre dos mestres rei dos
reis Obrigada por ter me permitido chegar ateacute aqui por ter me dado forccedilas nos momentos
difiacuteceis
Agrave professora Jussara de Loiola Arauacutejo por toda orientaccedilatildeo pelos encontros e
desencontros pelos debates pelas possibilidades de formaccedilatildeo como pesquisadora por ter sido
tatildeo compreensiacutevel nos momentos difiacuteceis e por ter me ajudado a superaacute-los
Aos membros da banca de qualificaccedilatildeo professoras Manuela Martins Soares
David e professora Lourdes Maria Werle de Almeida pela leitura e importantes
contribuiccedilotildees sugestotildees
Ao professor Orlando Aguiar Filho por ter sido parecerista do meu projeto de
pesquisa
Aos membros do Grupo de Pesquisa e Estudos Histoacuterico-Culturais em Educaccedilatildeo
Matemaacutetica e em Ciecircncias do qual faccedilo parte desde o ano de 2010 por terem me ajudado na
construccedilatildeo de entendimentos acerca da Teoria da Atividade e por terem contribuiacutedo com
criacuteticas e sugestotildees para o desenvolvimento desta pesquisa
A todos os professores que tive em minha vida em especial aos professores
Oliacutempio Hiroshi Miyagaki e Margareth Alves por me ensinarem muitas matemaacuteticas e por
terem me motivado a seguir nos estudos de poacutes-graduaccedilatildeo
Agrave querida professora Rosilene Horta Tavares por ter me ajudado a entender
melhor a sociedade atual e as relaccedilotildees que nela estatildeo permeadas
Agrave querida amiga Nilza Helena por ter sido tatildeo companheira e por ter cuidado de
Matheus no estacionamento da FaE com tanto carinho e amor enquanto eu assistia agraves aulas
Ao meu marido Luciano Nascimento Moreira por ter sido tatildeo amoroso
carinhoso e paciente e por me trazer tantas felicidades Muito obrigada Eu te amo demais da
conta
Ao meu filho Matheus Caldeira Moreira por ter sido tatildeo compreensiacutevel nos
momentos que precisava me dedicar agrave tese e por me trazer tantas alegrias Mamatildee te ama
muito priacutencipe
Aos meus pais Joseacute Caldeira e Mirnaacute Caldeira (in memoriam) pelo apoio e amor
incondicional Sei que sempre estiveram e sempre estaratildeo me abenccediloando onde quer que
estejam ndash na terra ou no ceacuteu
Agrave minha irmatilde gecircmea Josyele Ribeiro Caldeira por ser tatildeo companheira e
presente em minha vida e pelos momentos de debates teoacutericos
Aos meus queridos filhos adotivos Anina Cristina Darinha Cristina e Sininho
Cristina pela incansaacutevel companhia ateacute altas horas da madrugada sempre alegrando os
momentos de intenso estudo
Agrave querida amiga Margarete von Muumlhlen Poll pela revisatildeo do projeto de
doutorado
Agrave professora Maria da Conceiccedilatildeo por ter me aceitado no ano de 2010 como aluna
de disciplina isolada
A todos os colegas e professores da Faculdade de Educaccedilatildeo da UFMG pelo
compartilhamento de saberes e experiecircncias
Aos servidores da secretaria da Poacutes-Graduaccedilatildeo da Faculdade de Educaccedilatildeo da
UFMG pela disponibilidade e atenccedilatildeo
Aos professores e alunos da UNIFEI-Itabira pela colaboraccedilatildeo e dedicaccedilatildeo agrave
construccedilatildeo dos dados desta pesquisa
Aos colegas do grupo de orientaccedilatildeo por terem me recebido de braccedilos abertos e
por sempre me ajudarem nas leituras e criacuteticas dos meus textos
As minhas amigas de infacircncia Graziela Fernanda Maxi Luciana e Vacircnia por
terem sido tatildeo compreensivas nos momentos de isolamento social e por sempre acreditarem
em nossa amizade
A minha cunhada Luciana Nascimento Moreira pelo apoio incondicional e por ter
nos abrigado em BH
A todos vocecircs agradeccedilo imensamente
Valeu
Adeacutelia Prado
Com licenccedila poeacutetica
Quando nasci um anjo esbelto
desses que tocam trombeta anunciou
vai carregar bandeira
Cargo muito pesado pra mulher
esta espeacutecie ainda envergonhada
Aceito os subterfuacutegios que me cabem
sem precisar mentir
Natildeo sou tatildeo feia que natildeo possa casar
acho o Rio de Janeiro uma beleza e
ora sim ora natildeo creio em parto sem dor
Mas o que sinto escrevo Cumpro a sina
Inauguro linhagens fundo reinos
mdash dor natildeo eacute amargura
Minha tristeza natildeo tem pedigree
jaacute a minha vontade de alegria
sua raiz vai ao meu mil avocirc
Vai ser coxo na vida eacute maldiccedilatildeo pra homem
Mulher eacute desdobraacutevel Eu sou
RESUMO
Esta tese apresenta a gecircnese e o desenvolvimento de uma pesquisa que buscou compreender
as possibilidades de aprendizagens expansivas que podem ser evidenciadas nas e pelas
atividades desenvolvidas por um Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica -
GEPMM em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias Ancorada nos aportes da teoria
histoacuterico-cultural da atividade e da aprendizagem expansiva a investigaccedilatildeo objetivou o
estabelecimento de um diaacutelogo com teoacutericos que discutem Modelagem na Educaccedilatildeo
Matemaacutetica focando nos contextos de formaccedilatildeo em Engenharia Os desdobramentos da
pesquisa foram norteados pela abordagem qualitativa por meio de uma intervenccedilatildeo formativa
proposta por Engestroumlm e Sannino (2010b) caracterizada pela constituiccedilatildeo do GEPMM que
se engendrou baseado na premissa de que os conteuacutedos das disciplinas de Caacutelculo ocupam
lugar de ferramentas ou instrumentos necessaacuterios para a formaccedilatildeo em Engenharia ndash um
Caacutelculo em accedilatildeo Com isso o GEPMM se configurou como um espaccedilo formativo alternativo
A construccedilatildeo dos dados para a presente investigaccedilatildeo se deu por meio de observaccedilotildees
entrevistas registro de diaacuterio de campo e mensagens eletrocircnicas O processo de anaacutelise e
interpretaccedilatildeo dos dados construiacutedos foi desenvolvido com base no proacuteprio processo de
constituiccedilatildeo do GEPMM como um ciclo de accedilotildees potencialmente expansivas
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b) que possibilitou o preenchimento da ldquomatrizrdquo para
anaacutelise da aprendizagem expansiva (ENGESTROumlM 2001) Os dados construiacutedos fizeram
emergir quatro modalidades analiacuteticas A constituiccedilatildeo do referido espaccedilo formativo
alternativo ndash GEPMM - ampliou as possibilidades de interaccedilotildees entre os sujeitos e os
respectivos objetos de suas muacuteltiplas atividades possibilitando aprendizagens expansivas que
se manifestaram como 1) transposiccedilatildeo de fronteiras e construccedilatildeo de redes ndash parcerias 2)
movimento na zona de desenvolvimento proximal da atividade docente-discente 3)
transformaccedilotildees qualitativas do objeto da atividade de modelagem matemaacutetica 4) ciclos de
accedilotildees potencialmente expansivas Ao analisar a referida intervenccedilatildeo formativa observa-se
ainda subsiacutedios necessaacuterios para considerar que o engajamento nas atividades do GEPMM
pode de fato representar significativas contribuiccedilotildees para a formaccedilatildeo continuada de
professores em suas proacuteprias praacuteticas ampliando assim os respectivos horizontes de atuaccedilatildeo
nas mais diversas dimensotildees cotidianas de trabalho
Palavras-Chave Teoria da Atividade Aprendizagem Expansiva Modelagem Matemaacutetica
Educaccedilatildeo em Engenharia Caacutelculo em Accedilatildeo Parcerias
ABSTRACT
This thesis presents the genesis and development of a research aimed to understand the
possibilities of expansive learning that can be evidenced in and by the activities developed by
a Group of Studies and Research in Mathematical Modeling - GSRMM in a context of
formation in Engineering Anchored in the contributions of the Historical-Cultural Activity
Theory and Expansive Learning this research aimed to establish a dialogue with theorists
who argue Modeling in Mathematics Education focusing on formation contexts in
Engineering The developments of the research were guided by the qualitative approach
through a formative intervention proposed by Engestroumlm and Sannino (2010) characterized
by the constitution of GSRMM in the context of formation in Engineering The GSRMM it
engender based on the premise that the disciplines of Calculus take place of tools or
instruments necessary for formation in Engineering - A calculus in action With this the
GSRMM appears as an alternative formation space in the context of formation in
Engineering The construction of the data for this research was happened by observations
interviews record field diary and email messages The process of analysis and interpretation
of data built was developed based on the process of formation of GSRMM as a potentially
expansive cycle of actions (ENGESTROM SANNINO 2010) which enabled the completion
of the matrix for the analysis of the expansive learning (ENGESTROM 2001) The data
constructed made emerge four analytical methods in an attempt to understand the possibilities
of expansive learning which can be evidenced in and by a GSRMM activities in the context
of formation in Engineering The constitution of that alternative formation space (GSRMM)
expanded the possibilities of interactions between subjects and their objects of its multiple
activities enabling expansive learning which manifested as 1) across boundaries and
building networks - partnerships 2) move the zone of proximal development of teacher-
student activity 3) qualitative transformations of the object of the activity of mathematical
modeling 4) cycles of potentially expansive actions Analyzing this formation intervention it
is observed also grants necessary to consider that engaging in activities GSRMM may
indeed represent an important role in the continuing education of teachers in their own
practices thus expanding their horizons of action in various dimensions of everyday work
Keywords Activity Theory Expansive Learning Mathematical Modeling Education in
Engineering Calculus in Action Partnerships
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 ndash A estrutura de um sistema de atividade humana 36
FIGURA 2 ndash Os interdependentes sistemas de atividade de estudantes e professor 38
FIGURA 3 ndash Sumaacuterio da generalizaccedilatildeo teoacuterica de Davydov 48
FIGURA 4 ndash Sequecircncia de accedilotildees de aprendizagem em um ciclo de aprendizagem
expansiva 57
FIGURA 5 ndash Os interdependentes sistemas de atividade de estudantes e professor(es)
engajados em atividades (escolares) de Modelagem Matemaacutetica 86
FIGURA 6 ndash Visualizaccedilatildeo da caixa-preta e suas possiacuteveis associaccedilotildees a outras caixas-
pretas 93
Tabela 1 - Matriz para anaacutelise da aprendizagem expansiva 106
FIGURA 7 ndash Paacutegina inicial site UNIFEI-Itabira 109
FIGURA 8 ndash Interconectados sistemas de atividade de professores e estudantes que tem
como objeto a apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos do livro de Caacutelculo 125
QUADRO 1 ndash ldquoEquaccedilotildees utilizadas para o caacutelculo do gasto energeacutetico (GET) segundo a
teacutecnica da aacutegua duplamente marcadardquo 146
QUADRO 2 ndash ldquoMatrizrdquo para anaacutelise da aprendizagem expansiva 169
SUMAacuteRIO
SUMAacuteRIO 12
INTRODUCcedilAtildeO A GEcircNESE E OS DESDOBRAMENTOS DA PESQUISA 13
Consideraccedilotildees iniciais necessaacuterias agrave formulaccedilatildeo da pesquisa 13
Desdobramentos da proposiccedilatildeo da pesquisa 21
Estrutura da tese 27
1 ATIVIDADES FORMATIVAS Agrave LUZ DA TEORIA HISTOacuteRICO- CULTURAL DA
ATIVIDADE E DA APRENDIZAGEM EXPANSIVA 29
11 Meacutetodo da ascensatildeo do abstrato ao concreto de Davydov 45
12 A participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima de Lave 48
13 Aprendizagem expansiva 49
2 CAacuteLCULO E MODELAGEM NA ENGENHARIA CONCEPCcedilOtildeES
PERSPECTIVAS E A ATUAL FORMACcedilAtildeO DO ENGENHEIRO 62
21 Diretrizes Curriculares para a formaccedilatildeo de engenheiros no Brasil 62
22 Caacutelculo em cursos de Engenharia 65
23 Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica concepccedilotildees e perspectivas 70
24 Revisatildeo de literatura sobre pesquisas de Modelagem em Caacutelculo na Educaccedilatildeo em
Engenharia delineando o espaccedilo da presente pesquisa 78
25 Concepccedilatildeo de uma atividade de Modelagem Matemaacutetica assumida em um contexto
de formaccedilatildeo em Engenharias 82
26 Abertura de caixas-pretas como accedilotildees estrateacutegicas com vistas agraves possibilidades de
aprendizagens expansivas relacionadas agraves transformaccedilotildees do objeto de uma atividade de
Modelagem Matemaacutetica 87
3 METODOLOGIA DE PESQUISA E PROCEDIMENTOS 97
31 Por que a abordagem eacute qualitativa 97
32 Qual eacute o contexto e quem satildeo os sujeitos 100
33 Quais foram os procedimentos de construccedilatildeo dos dados 102
331 A constituiccedilatildeo do GEPMM e observaccedilatildeo participante em suas atividades 102
332 As entrevistas iniciais e as finais com os integrantes do GEPMM 104
34 Quais instrumentos foram usados para a anaacutelise 105
35 A formaccedilatildeo do GEPMM pode ser caracterizada como uma intervenccedilatildeo formativa
106
36 O contexto institucional e as aulas de Caacutelculo 108
37 As atividades do GEPMM e os sujeitos envolvidos 111
371 Angel 112
372 Clarice 116
373 Robson 117
374 Taty 119
375 Joseacute 120
376 Pedro 121
4 OS DADOS CONSTRUIacuteDOS E ANALISADOS A CONSTITUICcedilAtildeO DO GEPMM
COMO CICLO DE ACcedilOtildeES POTENCIALMENTE EXPANSIVAS 124
41 Constituiccedilatildeo do GEPMM possibilidades para aprendizagens expansivas 126
411 Interrogatoacuterio 126
412 Anaacutelise da situaccedilatildeo 129
413 Modelagem 132
414 Examinando o novo modelo 133
415 Implementando o novo modelo ndash o GEPMM 136
4151 Os encontros 137
41511 Primeiro encontro 137
41512 Segundo encontro 140
41513 Terceiro encontro 144
41514 Quarto encontro 147
41515 Quinto encontro 149
41516 Sexto encontro 152
41517 Seacutetimo encontro 153
41518 Oitavo encontro 154
41519 Nono encontro 159
415110 Deacutecimo encontro 164
4152 Dando continuidade agraves accedilotildees potencialmente expansivas 166
416 Refletindo sobre o processo 166
417 Consolidando seus resultados em uma nova forma de praacutetica 168
5 MODALIDADES ANALIacuteTICAS 170
51 Primeira modalidade ndash Dialeacutetica da existecircncia da tela invisiacutevel GEPMM como
possibilidade para aprendizagem expansiva por meio da construccedilatildeo de parceria
docente-discente em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias 171
52 Segunda modalidade ndash Os sujeitos a multi-agency e as muacuteltiplas atividades
possibilidade para aprendizagem expansiva como movimento na zona de
desenvolvimento proximal das atividades docente-discente mediante a formaccedilatildeo de
parcerias 178
53 Terceira modalidade ndash Modelagem e a caixa-preta do ldquopeso corporal idealrdquo num
contexto de formaccedilatildeo em Engenharias do Caacutelculo em accedilatildeo agraves aprendizagens expansivas
como transformaccedilotildees qualitativas do objeto da atividade 189
54 Quarta modalidade ndash Multivocalidade e agency evidenciadas pelas interaccedilotildees
tecnomediadas em atividades de Modelagem Matemaacutetica idealizaccedilotildees desencadeadoras
de aprendizagens potencialmente expansivas em um contexto de formaccedilatildeo em
Engenharias 210
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 218
13
INTRODUCcedilAtildeO A GEcircNESE E OS DESDOBRAMENTOS DA PESQUISA
Neste capiacutetulo procuro delimitar os objetivos e a relevacircncia desta pesquisa a
partir de reflexotildees que surgiram da minha experiecircncia como professora das disciplinas de
Caacutelculo que compotildeem as grades curriculares dos cursos de Engenharia das minhas leituras a
respeito dos processos de ensino e de aprendizagem das disciplinas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia e das leituras proporcionadas pela minha inserccedilatildeo em grupos de estudos e
pesquisa1
Consideraccedilotildees iniciais necessaacuterias agrave formulaccedilatildeo da pesquisa
Atuo como docente do Centro Federal de Educaccedilatildeo Tecnoloacutegica de Minas Gerais
(CEFET-MG) Unidade Timoacuteteo (MG) desde janeiro de 2009 Nessa instituiccedilatildeo sou
responsaacutevel por lecionar disciplinas de Caacutelculo que compotildeem a grade curricular do curso de
Engenharia de Computaccedilatildeo
As disciplinas de Caacutelculo que geralmente compotildeem as grades curriculares dos
cursos de Engenharia perfazem conteuacutedos de uma aacuterea da Matemaacutetica chamada de Caacutelculo
Diferencial e Integral que abarca toacutepicos relacionados ao estudo de funccedilotildees de uma ou vaacuterias
variaacuteveis e vetoriais assim como limites derivadas integrais de funccedilotildees de uma ou vaacuterias
variaacuteveis reais e suas respectivas aplicaccedilotildees2 No CEFETndashMGTimoacuteteo por exemplo tais
conteuacutedos satildeo estudados nas disciplinas de Caacutelculo I e II Aleacutem delas a disciplina de Caacutelculo
III engloba os conteuacutedos das Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias e a disciplina de Caacutelculo IV
engloba os conteuacutedos de Sequecircncias Seacuteries e Transformada de Fourier Jaacute na Universidade
Federal de Itajubaacute em Itabira (UNIFEI-Itabira) as disciplinas que se dedicam a estudar os
conteuacutedos apontados anteriormente satildeo chamadas de Matemaacutetica ndash 0 I III IV V VI Os
1 Grupo de Pesquisa e Estudos Histoacuterico-Culturais em Educaccedilatildeo Matemaacutetica e Ciecircncias da Faculdade de
Educaccedilatildeo (FaE) da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) e Grupo de Estudos e Pesquisa em Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Modelagem e Tecnologias do Departamento de Matemaacutetica da UFMG 2 Com isso no presente texto quando me refiro agraves disciplinas de Caacutelculo em um contexto de formaccedilatildeo em
Engenharia estou fazendo referecircncia a qualquer disciplina eou conteuacutedos que satildeo englobados nas respectivas
grades curriculares eou ementas que se destinam ao estudo dos toacutepicos apontados no paraacutegrafo anterior
incluindo portanto os conteuacutedos de Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias Sequecircncias Seacuteries e Transformada de
Fourier
14
conteuacutedos de Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias por exemplo satildeo estudados no Caacutelculo III do
CEFET-MGTimoacuteteo e na Matemaacutetica IV da UNIFEI-Itabira
No primeiro semestre de 2009 lecionei a disciplina Caacutelculo I para os ingressantes
do curso de Engenharia de Computaccedilatildeo do CEFET-MG Unidade Timoacuteteo Em muitos
momentos durante o desenvolvimento dessa disciplina os alunos questionavam acerca da
relevacircncia da referida disciplina para a formaccedilatildeo do engenheiro contemporacircneo Eles
questionavam o real objetivo da disciplina e sempre se mostravam desmotivados em aprender
os conteuacutedos Reclamavam que natildeo tinham a formaccedilatildeo Matemaacutetica Baacutesica necessaacuteria para a
compreensatildeo dos conceitos do Caacutelculo que para eles eram muito difiacuteceis de serem
compreendidos Uma fala ainda era recorrente nos diaacutelogos que ocorriam durante as aulas a
possibilidade de uso dos softwares matemaacuteticos como algo que pudesse ldquosubstituirrdquo o estudo
tradicional do Caacutelculo o que para eles poderia minimizar os esforccedilos de aprendizagem
Dullius Arauacutejo e Veit (2011 p 18) enfatizam que tais questionamentos satildeo frequentemente
apontados por alunos dos cursos de Engenharia Nas palavras das autoras
Trabalhando haacute 10 anos com o ensino de Caacutelculo Diferencial e Integral nos cursos
de Engenharia (de Computaccedilatildeo de Automaccedilatildeo e Controle de Produccedilatildeo e
Ambiental) e Quiacutemica Industrial notamos a insatisfaccedilatildeo dos alunos por natildeo
perceberem importacircncia desse conteuacutedo para o seu curso A cada nova turma
repetem-se os questionamentos por que fazer a matildeo essas contas enormes se
existem maacutequinas para isso Por que ldquodecorarrdquo tantas foacutermulas se o dia que precisar
posso buscar em livros ou na internet Por que preciso saber tudo isto afinal
Naquele semestre de 2009 optei por utilizar um trabalho de aplicaccedilatildeo3 realizado
em dupla como uma das formas de avaliaccedilatildeo da disciplina No trabalho objetivei que o
Caacutelculo pudesse assumir um sentido mais uacutetil no curso de Engenharia o que a meu ver
poderia possibilitar um menor distanciamento entre os conceitos do Caacutelculo e as demais
disciplinas que compotildeem a grade curricular dos cursos de Engenharia Sendo assim os
motivos pelos quais essa disciplina estaacute presente nos cursos de Engenharia poderiam se tornar
mais ldquovisiacuteveisrdquo ou perceptiacuteveis para os alunos Aleacutem disso aquele trabalho foi tambeacutem uma
tentativa de mostrar aos alunos que os conceitos estudados na disciplina eram realmente
importantes e necessaacuterios para a formaccedilatildeo do engenheiro e mais do que isso para sua
formaccedilatildeo cidadatilde
3 Pedi que eles procurassem e encontrassem algum problema oriundo de qualquer aacuterea natildeo Matemaacutetica que
pudesse ser solucionado com o auxiacutelio do conteuacutedo abordado naquela disciplina durante o semestre letivo Tal
problema deveria ser de interesse dos alunos que formavam a dupla e se possiacutevel que tivesse alguma relaccedilatildeo ao
curso de Engenharia da Computaccedilatildeo ndash contexto de formaccedilatildeo em questatildeo
15
Poreacutem meus objetivos foram parcialmente satisfeitos A proposta do trabalho
consistia na procura de um problema de natureza natildeo Matemaacutetica que pudesse ser resolvido
por meio da Matemaacutetica e que a soluccedilatildeo fosse interpretada por meio da linguagem do mundo
real Os alunos tinham a liberdade de procurarem inclusive problemas que jaacute estivessem
resolvidos em algum livro ou site restando apenas a tarefa de entender o problema sua
respectiva soluccedilatildeo e apresentar o entendimento no dia estipulado para tal Contudo os alunos
apresentaram dificuldades para a realizaccedilatildeo do trabalho Alguns deles sugeriram que o
trabalho fosse cancelado e que a nota fosse atribuiacuteda agrave uacuteltima prova da disciplina Muitos
apresentaram dificuldades de entendimento quanto ao processo de formulaccedilatildeo do problema
em termos matemaacuteticos (construir expressotildees matemaacuteticas que representassem o problema)
Para eles depois de encontrar a ldquofoacutermulardquo a dificuldade desaparecia pois bastava aplicar
algum meacutetodo ou teacutecnica jaacute estudados na disciplina como por exemplo derivar ou integrar
uma funccedilatildeo
Naquele momento percebi que os alunos demonstravam dificuldades em
matematizar problemas de outras realidades ou seja (re)formular e resolver o problema
matematicamente interpretando sua soluccedilatildeo natildeo apenas matematicamente mas sobretudo no
contexto do qual o problema se originou Desde entatildeo comecei a pensar o que poderia ser
feito para tentar sanar tais dificuldades
Com base em minha experiecircncia como professora de Caacutelculo em cursos de
Engenharia fiquei instigada em compreender qual seria o papel do uso das aplicaccedilotildees de
Caacutelculo na formaccedilatildeo do engenheiro aleacutem de conhecer outras estrateacutegias metodoloacutegicas que
poderiam ser utilizadas para promover uma aprendizagem que possibilitasse a motivaccedilatildeo dos
estudantes por meio da busca pelo entendimento dos conceitos da disciplina focando o
aspecto do uso de tais conceitos em situaccedilotildees oriundas de realidades que natildeo fossem
puramente matemaacuteticas Busquei entatildeo por leituras que pudessem me ajudar nessa
caminhada
Ainda em 2009 visando minimizar as inquietaccedilotildees vividas por mim nas aulas de
Caacutelculo que ministrava no curso de Engenharia de Computaccedilatildeo li alguns artigos e relatos de
experiecircncia Estudei tambeacutem o livro Ensino-aprendizagem com modelagem matemaacutetica
uma nova estrateacutegia de Rodney Bassanezi (BASSANEZI 2006) No referido livro a
Modelagem Matemaacutetica pode ser compreendida como a
arte de transformar problemas da realidade em problemas matemaacuteticos e resolvecirc-los
interpretando suas soluccedilotildees na linguagem do mundo real [] A modelagem
pressupotildee multidisciplinariedade E nesse sentido vai ao encontro das novas
16
tendecircncias que apontam para a remoccedilatildeo de fronteiras entre as diversas aacutereas de
pesquisa (BASSANEZI 2006 p 16)
Aleacutem disso Bassanezi (2006 p 17) afirma que ldquoa modelagem matemaacutetica em
seus vaacuterios aspectos eacute um processo que alia teoria e praacutetica motiva seu usuaacuterio na procura do
entendimento da realidade que o cerca e na busca de meios para agir sobre ela e transformaacute-
lardquo
A Modelagem Matemaacutetica realizada em contextos de Educaccedilatildeo Matemaacutetica difere
da Modelagem Matemaacutetica praticada por profissionais da Matemaacutetica Aplicada Barbosa
(2003) por exemplo entende que a sala de aula configura um ambiente mais complexo onde
inuacutemeras variaacuteveis estatildeo em jogo tais como os objetivos pedagoacutegicos a dinacircmica de trabalho
e a natureza das discussotildees matemaacuteticas Arauacutejo (2002) por sua vez destaca que para os
matemaacuteticos aplicados o trabalho com Modelagem Matemaacutetica tem por objetivo resolver
algum problema natildeo matemaacutetico enquanto no acircmbito da Educaccedilatildeo Matemaacutetica seu objetivo
principal se concentra na formaccedilatildeo matemaacutetica dos alunos ao serem convidados a explorar
matematicamente situaccedilotildees natildeo matemaacuteticas
Um dos argumentos favoraacuteveis agrave inserccedilatildeo da Modelagem4 nas praacuteticas de ensino
mais apresentado pelos estudiosos da aacuterea de Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica consiste
na preparaccedilatildeo para a utilizaccedilatildeo da matemaacutetica em diferentes aacutereas ou seja ldquoos alunos teriam
a oportunidade de desenvolver a capacidade de aplicar matemaacutetica em diversas situaccedilotildees o
que eacute desejaacutevel para moverem-se no dia-a-dia e no mundo do trabalhordquo (BARBOSA 2003 p
3) Considerando minha atuaccedilatildeo como docente das disciplinas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia percebi que a Modelagem Matemaacutetica poderia ser utilizada na tentativa de
propiciar uma melhor formaccedilatildeo matemaacutetica em termos de aplicabilidadeusabilidade para os
alunos de Engenharia respondendo assim aos questionamentos dos alunos sobre os papeacuteis
de tais conteuacutedos na respectiva formaccedilatildeo profissional
No primeiro semestre de 2010 com a intenccedilatildeo de elaborar um projeto de
doutorado que visasse agrave compreensatildeoanaacutelise das possibilidades de ensino-aprendizagem por
meio da Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia procurei por disciplinas oferecidas
pelo programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo da UFMG especificamente da linha da
Educaccedilatildeo Matemaacutetica Cursei uma disciplina da linha Educaccedilatildeo Matemaacutetica denominada
Letramento e Numeramento teorias e praacuteticas Nessa disciplina pude refletir acerca de
questotildees relacionadas agrave Educaccedilatildeo Matemaacutetica o que me ajudou a construir o projeto
4 No texto que segue agraves vezes o termo Modelagem seraacute utilizado com referecircncia agrave Modelagem Matemaacutetica
apenas para evitar repeticcedilotildees desnecessaacuterias
17
requerido para o ingresso no Programa da mesma instituiccedilatildeo Participei do processo seletivo e
em agosto de 2010 ingressei no doutorado No projeto inicial a pergunta diretriz era5
De que forma a Modelagem Matemaacutetica aliada a recursos computacionais pode inter-
relacionar a disciplina de Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias6 agraves demais disciplinas
lsquoteacutecnicasrsquo dos cursos de Engenharia
Em todo o ano de 2010 lecionei a disciplina Caacutelculo III que no CEFET-MG
engloba os conteuacutedos das Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias (EDOs) Minha preocupaccedilatildeo
inicial estava focada na inter-relaccedilatildeo da disciplina EDO com as demais disciplinas
denominadas teacutecnicas dos cursos de Engenharia Meu entendimento estava alicerccedilado na
concepccedilatildeo de que as EDOs satildeo por definiccedilatildeo aplicaccedilotildees dos conteuacutedos do Caacutelculo I ndash
limites derivadas e integrais de funccedilotildees reais de uma variaacutevel real Conforme Habre (2002 p
2) ldquoEquaccedilotildees Diferenciais satildeo lindas aplicaccedilotildees de ideias e teacutecnicas do Caacutelculo para
solucionar vaacuterios problemas da vida realrdquo7 Tinha tambeacutem a intenccedilatildeo de considerar a
utilizaccedilatildeo de recursos tecnoloacutegicos computacionais em trabalhos com Modelagem
Matemaacutetica jaacute que ldquohaacute uma certa harmonia na parceria entre a Modelagem Matemaacutetica e
tecnologias informaacuteticas Parece haver uma solicitaccedilatildeo natural pelo uso de computadores eou
calculadoras quando se estaacute desenvolvendo algum trabalho de Modelagem Matemaacuteticardquo
(ARAUacuteJO 2002 p 43)
A maioria dos livros didaacuteticos8 atuais que trata das EDOs as concebe como entes
matemaacuteticos abstratos que podem ser aplicados em vaacuterios ramos da ciecircncia Os autores em
5 ldquoUm dos momentos cruciais no desenvolvimento de uma pesquisa eacute o estabelecimento da pergunta diretriz Eacute
ela que como o proacuteprio nome sugere iraacute dirigir o desenrolar de todo o processo [] elaborar ou melhor
construir uma pergunta diretriz eacute um ponto crucial do qual depende o sucesso da pesquisa [] O processo de
construccedilatildeo da pergunta diretriz de uma pesquisa eacute na maioria das vezes um longo caminho cheio de idas e
vindas mudanccedilas de rumos retrocessos ateacute que apoacutes um certo periacuteodo de amadurecimento surge a pergunta
Um grande problema que percebemos em diversas pesquisas eacute que muitas vezes o caminho natildeo eacute apresentado
pelo autorrdquo (ARAUacuteJO BORBA 2006 p 29 grifo do autores) 6 Na ocasiatildeo da elaboraccedilatildeo do projeto de doutorado estava focada apenas em compreender a Modelagem em
cursos de Engenharia em termos da disciplina Caacutelculo III do CEFET-MG que engloba os conteuacutedos das
Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias que podem ser compreendidas da seguinte forma ldquouma equaccedilatildeo que conteacutem
as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variaacuteveis dependentes em relaccedilatildeo a uma ou mais variaacuteveis
independentes eacute chamada de equaccedilatildeo diferencial (ED)rdquo (ZILL CULLEN 2008 p 2 grifo dos autores)
Equaccedilotildees Diferenciais podem ser classificadas em Ordinaacuterias (EDO) ndash quando envolvem funccedilotildees (e suas
derivadas) de apenas uma variaacutevel ndash ou Parciais (EDP) ndash quando envolvem funccedilotildees (e suas derivadas) de mais
de uma variaacutevel 7 Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoDifferential equations are a beautiful application of the ideas and techniques of
calculus to solve various real life problemsrdquo 8 Por exemplo (i) Boyce e Diprima (1996) (ii) Zill e Cullen (2008) (iii) Edwards e Penney (1996) e (iv) Zill
(1997)
18
geral dedicam parte dos capiacutetulos para o estudo das aplicaccedilotildees das EDOs9 separados do
tratamento teoacuterico A dicotomia teoria-aplicaccedilatildeo difundida nos livros de EDO pode fomentar
um debate sobre as metodologias utilizadas pelos professores em tais disciplinas mediante o
que eacute esperado em termos da formaccedilatildeo matemaacutetica dos alunos das Engenharias
Metodologicamente ao trabalharmos com aplicaccedilotildees podemos assumir um
caraacuteter meramente de resoluccedilatildeo de problemas muitas vezes fictiacutecios inventados pelos autores
dos livros didaacuteticos ou adaptados por eles para apenas justificar o estudo de uma teoria
matemaacutetica ou ainda para tornar os conteuacutedos mais ligados a situaccedilotildees de uma dada
ldquorealidaderdquo Poreacutem ao mesmo tempo em que a matemaacutetica pode se justificar mediante a
apresentaccedilatildeo de um problema ainda que fictiacutecio alguma(s) dificuldade(s) pode(m) emergir
em tal praacutetica quando as hipoacuteteses e simplificaccedilotildees necessaacuterias ao entendimento do problema
natildeo satildeo apresentadas ou explicitadas nos livros didaacuteticos Muito difundido nos livros de EDO
o modelo10
que representa a Lei de Newton do Resfriamento de Corpos11
eacute apresentado sem
levar em conta as hipoacuteteses e simplificaccedilotildees para o entendimento da realidade fiacutesica em
questatildeo representada por meio de um modelo matemaacutetico ndash uma EDO
Habre (2000) entende que as Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias devem existir nos
curriacuteculos pois estabeleceriam o elo entre a Matemaacutetica e as demais Ciecircncias Nesse sentido
Bassanezi (2006 p 35) afirma que ldquoA tocircnica dos cursos de graduaccedilatildeo eacute desenvolver
disciplinas matemaacuteticas lsquoaplicaacuteveisrsquo em especial aquelas baacutesicas que jaacute serviram como
auxiliares na modelagem de fenocircmenos de alguma realidade como Equaccedilotildees Diferenciais
Ordinaacuterias e Parciaisrdquo
No contexto dos cursos de Engenharia a Modelagem Matemaacutetica ao pressupor
multidisciplinaridade vai ao encontro do que Fraga Novaes e Dagnino (2010 p 154)
acreditam que ldquoa formaccedilatildeo em engenharia deve se dar a partir de um problema colocado pela
sociedade e a soluccedilatildeo desse problema natildeo apenas teoricamente mas tambeacutem na praacutetica
colocaria a necessidade de se aprender conhecimentos teoacutericosrdquo
Baldino e Cabral (2004 p 139) acreditam que o ensino de disciplinas
matemaacuteticas em cursos de Engenharia se tornou problema apoacutes a reforma universitaacuteria de
1969 que ldquoaboliu a estrutura de caacutetedras e implantou a de departamentos e institutos baacutesicos
9 A esse respeito ver Boyce e Diprima (1996) capiacutetulo 2 seccedilatildeo 25 ndash Aplicaccedilotildees das Equaccedilotildees Lineares de
Primeira Ordem 10
Segundo Bassanezi (2006 p 19) ldquoquando se procura refletir sobre uma porccedilatildeo da realidade na tentativa de
explicar de entender ou de agir sobre ela ndash o processo usual eacute selecionar no sistema argumentos ou paracircmetros
considerados essenciais e formalizaacute-los atraveacutes de um sistema artificial o modelordquo 11
A ldquoLei de Newton do Resfriamento de Corposrdquo afirma que a taxa de resfriamento de um corpo eacute proporcional
agrave diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente
19
seguindo o modelo vigente nos Estados Unidosrdquo Tal departamentalizaccedilatildeo afastou os
conhecimentos ditos baacutesicos dos profissionais promovendo uma cisatildeo dos conhecimentos
Dessa forma os professores que lecionam as disciplinas de Matemaacutetica muitas vezes natildeo
tecircm conhecimento sobre a necessidade dos conteuacutedos que lecionam para a formaccedilatildeo dos
futuros engenheiros Isso pode ser asseverado pelo fato de raramente tais disciplinas
consideradas do ciclo baacutesico serem relacionadas com as demais tanto aquelas do proacuteprio
ciclo baacutesico quanto aquelas da aacuterea teacutecnica ou profissional
Nesse sentido Baldino e Cabral (2004 p 176) refletem sobre uma situaccedilatildeo em
que foi apresentado um problema de aplicaccedilatildeo de EDO na Fiacutesica um sistema massa-mola
Afirmam que ldquonas universidades departamentalizadas essa lsquomateacuteriarsquo eacute considerada de Fiacutesica
e o professor de matemaacutetica natildeo tem o direito de lsquoensinarrsquo a aplicar a segunda lei de Newtonrdquo
Tal regra embora natildeo exista explicitamente pode permear as praacuteticas pedagoacutegicas das
universidades departamentalizadas podendo ser descumprida por exemplo mediante a
inserccedilatildeo de problemas de outras realidades que sejam solucionados com o auxiacutelio de
ferramentas matemaacuteticas
Em cursos de Engenharia as disciplinas de Caacutelculo podem ser consideradas
disciplinas em serviccedilo (BARBOSA 2004a) Essa expressatildeo eacute usada para designar as
disciplinas matemaacuteticas ministradas em graduaccedilotildees que natildeo satildeo de Matemaacutetica Ou seja
trata-se de disciplinas de conteuacutedo matemaacutetico em cursos que natildeo formam matemaacuteticos (ou
professores de matemaacutetica)
Moreno e Azcaacuterate Gimeacutenez (2003) detectam que natildeo haacute clareza nos objetivos
atuais da disciplina Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias o que dificulta o trabalho dos
professores em atribuiacuterem metas a serem alcanccediladas Como consequecircncia acabam ensinando
conteuacutedos que estatildeo nos curriacuteculos tradicionais mas que hoje perderam seu sentido e sua
razatildeo de ser devido aos avanccedilos tecnoloacutegicos Tais autores percebem ldquoa necessidade de um
debate e seacuteria reflexatildeo sobre a utilidade interesse e importacircncia dos atuais conteuacutedos para um
ensino e aprendizagem mediados pelas novas tecnologias e condicionados pelas demandas
sociaisrdquo12
(MORENO AZCAacuteRATE GIMEacuteMEZ 2003 p 278)
A necessidade de repensar os processos pedagoacutegicos utilizados atualmente por
muitos professores de EDO em cursos de Engenharia bem como a inserccedilatildeo das ferramentas
12 Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquola necesidad de un debate y reflexioacuten seria sobre la utilidad intereacutes e
importancia de los contenidos actuales para un aprendizaje y una ensentildeanza mediatizada por las nuevas
tecnologiacuteas y condicionada por las demandas socialesrdquo
20
disponiacuteveis tambeacutem foi enfatizada em uma pesquisa realizada por Dullius Arauacutejo e Veit
(2011 p 20) que nos fornecem o seguinte posicionamento
Comparando o contexto de ensino das EDs hoje em dia com o que se tinha na
metade do seacuteculo passado percebemos que os tipos de alunos satildeo outros as
necessidades e exigecircncias do mercado de trabalho natildeo satildeo as mesmas assim como
as ferramentas disponiacuteveis mas a maioria das aulas continuam em essecircncia sendo
ministradas da mesma forma Os curriacuteculos precisam ser repensados e os avanccedilos
tecnoloacutegicos considerados
O enfoque frequentemente dado agrave disciplina se baseia na apresentaccedilatildeo de uma
EDO e do seu respectivo meacutetodo de resoluccedilatildeo Habre (2002 p 2) afirma que ldquoequaccedilotildees satildeo
usualmente classificadas e para cada classe um meacutetodo de soluccedilatildeo eacute apresentadordquo13
Tal
enfoque pode ser insuficiente sob a perspectiva da utilidade dos conteuacutedos de tal disciplina
nos cursos de Engenharia Encontrar a soluccedilatildeo expliacutecita da EDO sem fazer outros tipos de
anaacutelises a respeito das equaccedilotildees em si e de possiacuteveis usos como ferramentas para a resoluccedilatildeo
de problemas correlatos aos cursos de Engenharia pode se configurar como algo
contraditoacuterio pois pode levar os alunos a uma preocupaccedilatildeo exclusiva com os meacutetodos de
resoluccedilatildeo deixando de lado o objetivo principal que consistiria no entendimento do processo
(ou fenocircmeno) que gerou determinada EDO assim como interpretar suas soluccedilotildees em
consonacircncia com o fenocircmeno que ela representa
Aleacutem disso como afirma Bassanezi (2006 p 125) ldquosomente um grupo reduzido
de equaccedilotildees diferenciais admite soluccedilatildeo na forma de uma funccedilatildeo analiticamente expliacutecitardquo
Com essa abordagem das EDOs deixam-se de lado vaacuterios enfoques relevantes como o
processo da formulaccedilatildeo de modelos bem como o estudo qualitativo com abordagem
substancialmente geomeacutetrica conforme aponta Javaroni (2007 p 20) em sua tese A autora
afirma
[] que o processo de formulaccedilatildeo dos modelos e a interpretaccedilatildeo das soluccedilotildees ou do
comportamento das soluccedilotildees satildeo tatildeo importantes quanto as teacutecnicas de resoluccedilatildeo das
equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias e que este aspecto deve ser trabalhado para que os
alunos desenvolvam capacidades de anaacutelise e interpretaccedilatildeo A questatildeo da
visualizaccedilatildeo eacute essencial no entendimento dos aspectos dinacircmicos de um curso
introdutoacuterio de equaccedilotildees diferenciais e o entendimento da derivada como variaccedilatildeo
de uma curva eacute central na interpretaccedilatildeo de graacuteficos bem como o comportamento das
soluccedilotildees ao longo do tempo e a existecircncia de um estado de equiliacutebrio
13
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoEquations are usually classified and for each class a method of solution is
presentedrdquo
21
A ecircnfase qualitativa permite uma multiplicidade de possibilidades para uma
melhor exploraccedilatildeo dos conteuacutedos abordados em Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias Contudo
deve-se pontuar que devido agrave complexidade da anaacutelise qualitativa de algumas Equaccedilotildees
Diferenciais Ordinaacuterias o uso de softwares eacute imprescindiacutevel Para uma abordagem qualitativa
dos campos de direccedilotildees pode-se utilizar os softwares como Maple eou WinPlot14
entre
outros que permitem a visatildeo e a exploraccedilatildeo do comportamento desses campos de direccedilotildees
bem como o comportamento da proacutepria soluccedilatildeo
Habre (2000) afirma que a abordagem das Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias no
cenaacuterio internacional vem passando por mudanccedilas no acircmbito estrutural tornando-se cada vez
mais visual (geomeacutetrica) e numeacuterica o que ampliaria a visatildeo do aprendiz sobre o conteuacutedo
estudado O autor chama a atenccedilatildeo para o fato de poucas pesquisas estarem sendo
desenvolvidas em relaccedilatildeo ao entendimento dos alunos quanto a essa abordagem Contudo no
acircmbito nacional ldquoem geral as anaacutelises geomeacutetrica e numeacuterica natildeo satildeo abordadas no estudo
dos modelosrdquo (JAVARONI 2007 p 20)
Vale ressaltar que apesar de inicialmente ter feito um levantamento dos estudos
e pesquisas sobre os processos de ensino-aprendizagem de EDO no decorrer do
desenvolvimento da pesquisa ainda na fase de construccedilatildeo teoacuterica decidi15
natildeo ficar restrita
apenas aos conteuacutedos dessa disciplina16
mas passei a considerar os conteuacutedos das disciplinas
de Caacutelculo que permeiam os curriacuteculos dos cursos de Engenharia Tal decisatildeo estava
vinculada ao formato da intervenccedilatildeo que tinha decidido realizar Naquele momento natildeo havia
qualquer garantia que os conteuacutedos de EDO apareceriam na atividade que seria analisada
Contudo durante a fase da construccedilatildeo dos dados para a referida pesquisa conteuacutedos de EDO
estiveram presentes na atividade de modelagem analisada Por esse motivo optei por deixar
no presente texto esse breve levantamento sobre os processos de ensino-aprendizagem de
EDO
Desdobramentos da proposiccedilatildeo da pesquisa
14
A esse respeito ver wwwmaplesoftcom ptwikipediaorgwikiMaple wwwmatufpbbrsergiowinplot 15
Tal decisatildeo foi ancorada no fato de natildeo haver a priori nenhuma garantia de que na atividade de Modelagem
Matemaacutetica constituinte dos dados que foram construiacutedos para a pesquisa relatada nesta tese as EDOs estariam
presentes jaacute que o tema seria escolhido de forma coletiva pelos sujeitos 16
No CEFET-MG a disciplina Caacutelculo III trata dos conteuacutedos de EDO e na instituiccedilatildeo que configurou como
contexto da pesquisa os conteuacutedos de EDO satildeo abordados na disciplina BAC 022 ndash Matemaacutetica IV
22
Apoacutes o ingresso no referido programa de doutorado ainda em 2010 comecei a
participar do Grupo de Pesquisa e Estudos Histoacuterico-Culturais em Educaccedilatildeo Matemaacutetica e
Ciecircncias da Faculdade de Educaccedilatildeo da UFMG do qual a orientadora desta pesquisa eacute
coordenadora na tentativa de buscar um referencial teoacuterico que possibilitasse o
desenvolvimento desta pesquisa Comecei entatildeo a realizar leituras participar das reuniotildees do
grupo e discutir com colegas e professores sobre as teorias denominadas de Histoacuterico-
Culturais originadas nos estudos de Vygotsky
Uma das leituras realizadas em 2010 ndash o texto de Engestroumlm (2002) ndash comeccedilou a
dar um novo direcionamento para a pesquisa Nele eacute abordada a questatildeo da descontinuidade
entre atividades escolares e atividades fora da escola O autor coloca os conhecimentos
escolares como algo encapsulado distante da realidade cotidiana dos indiviacuteduos que
participam de tais praacuteticas e denomina tal fenocircmeno de encapsulaccedilatildeo da aprendizagem
escolar Ao refletir sobre os motivos que levam os indiviacuteduos a participarem de atividades
escolares enfatiza que na maioria das vezes eles natildeo aprendem para a vida mas para a
escola Frequentemente em variadas esferas da sociedade atual ouvimos pessoas falando que
ldquoprecisam estudar para a provardquo e satildeo raras as vezes que ouvimos pessoas falando que
ldquoprecisam estudar para aprenderrdquo Engestroumlm (2002) exemplifica a abordagem de uma
atividade cotidiana ndash a busca pelo entendimento das fases da Lua ndash respondendo agrave pergunta
ldquoPor que a lua muda a sua formardquo Para ele todas as atividades escolares deveriam ser
iniciadas com questotildees-problema que instiguem os participantes a pensarem refletirem e
buscarem entendimento para tal questatildeo Engestroumlm (2002) se apoia em Resnick (1987) que
teceu uma reflexatildeo acerca da descontinuidade e do isolamento entre os conceitos estudados
durante o processo de escolarizaccedilatildeo e o resto daquilo que fazemos nos momentos da vida que
passamos fora da escola Nas palavras do autor
O processo de escolarizaccedilatildeo parece encorajar a ideia de que o ldquojogo da escolardquo eacute
aprender regras simboacutelicas de vaacuterios tipos de que natildeo se supotildee haver muita
continuidade entre o que algueacutem sabe fora da escola e o que se aprende na escola
[hellip] A escolarizaccedilatildeo cada vez mais parece isolada do resto daquilo que fazemos
(RESNICK 1987 p 15 apud ENGESTROumlM 2002 p 176)
Baseando em Engestroumlm (2002) por analogia apropriei-me do termo
encapsulaccedilatildeo para me referir agrave descontinuidade entre as atividades desenvolvidas nas
disciplinas de Caacutelculo e as demais atividades institucionais que compotildeem a formaccedilatildeo do
engenheiro
23
Tomando por base a Teoria da Aprendizagem Expansiva de Engestroumlm (1987)
que propotildee uma concepccedilatildeo ldquoproacutepriardquo de aprendizagem entendendo-a como algo coletivo ndash
natildeo mais centrado apenas na cogniccedilatildeo individual ndash bem como a psicologia histoacuterico-cultural
de Vygotsky entende-se que tal concepccedilatildeo de aprendizagem parece ser uma opccedilatildeo teoacuterica
propiacutecia para a anaacutelise de possiacuteveis aprendizagens que acontecem por meio de praacuteticas de
Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia por se tratar de atividades coletivas
realizadas em grupo e por ser considerada uma praacutetica natildeo padronizada onde natildeo eacute possiacutevel
delinear a priori no planejamento o que aconteceraacute na praacutetica Neste sentido pode-se
entender que praacuteticas de Modelagem muitas vezes satildeo aprendidas enquanto estatildeo sendo
criadas
Aleacutem disso Engestroumlm (2001) aponta que teorias claacutessicas de aprendizagem
focam nos processos em que o sujeito individual adquire algum conhecimento ou habilidade
identificaacutevel fazendo com que o sujeito possa mudar de comportamento atitudes accedilotildees Tais
conhecimentos ou habilidades satildeo tomados como estaacuteveis e bem definidos O professor
competente segundo essas teorias eacute aquele que sabe o conteuacutedo a ser ensinado e aprendido
pelos alunos Contudo Engestroumlm (2001 p 136-137) reflete que muitos dos tipos mais
intrigantes de aprendizagens em organizaccedilotildees de trabalho violam essa pressuposiccedilatildeo
Pessoas e organizaccedilotildees estatildeo a todo tempo aprendendo algo que natildeo eacute estaacutevel nem
mesmo definido ou entendido agrave priori
Em importantes transformaccedilotildees de nossas vidas pessoais e praacuteticas organizacionais
noacutes precisamos aprender novas formas de atividade que ainda natildeo existem Elas satildeo
aprendidas literalmente enquanto estatildeo sendo criadas Natildeo existe professor
competente Teorias padratildeo de aprendizagem tecircm pouco a oferecer se algueacutem quiser
entender tais processos17
A aprendizagem expansiva segundo Engestroumlm (2002 p 196) ldquoexplora os
conflitos e insatisfaccedilotildees existentes entre professores alunos pais e outros implicados na
escolarizaccedilatildeo ou afetados por ela convidando-os a se reunir numa transformaccedilatildeo concreta da
praacutetica correnterdquo Sugere ainda que ldquoos aprendizes precisam antes de tudo ter uma
oportunidade de analisar criticamente e sistematicamente sua atividade presente e suas
contradiccedilotildees internasrdquo (ENGESTROumlM 2002 p 192) Os termos atividade e contradiccedilotildees
17
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoPeople and organizations are all the time learning something that is not stable
not even defined or understood ahead of time In important transformations of our personal lives and
organizational practices we must learn new forms of activity which are not yet there They are literally learned
as they are being created There is no competent teacher Standard learning theories have little to offer if one
wants to understand these processesrdquo
24
internas satildeo conceitos da Teoria da Atividade e seratildeo mais bem definidos no capiacutetulo
seguinte
A anaacutelise sistemaacutetica da atividade presente e suas contradiccedilotildees internas portanto
configura-se como um ponto de partida ou forccedila motriz para transformaccedilotildees expansivas das
praacuteticas sociais devido ao fato de que ldquose o homem vivesse em plena harmonia com a
realidade ou absolutamente conciliado com seu presente natildeo sentiria a necessidade de negaacute-
los idealmente nem de configurar em sua consciecircncia uma realidade ainda inexistenterdquo
(SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 189)
As discussotildees apresentadas por Engestroumlm (1987 2001 2002 2008) me levaram
a refletir sobre as possibilidades de anaacutelise dos fenocircmenos que podem ocorrer em praacuteticas de
Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia utilizando o aporte teoacuterico da
Aprendizagem Expansiva Para Engestroumlm (2002 p 197) a Aprendizagem Expansiva propotildee
romper a encapsulaccedilatildeo da aprendizagem escolar pois o proacuteprio contexto da aprendizagem eacute
alterado Nas palavras do autor ldquoa abordagem da aprendizagem expansiva romperia a
encapsulaccedilatildeo da aprendizagem escolar por uma ampliaccedilatildeo gradual do objeto e do contexto da
aprendizagemrdquo
Entendendo que uma finalidade prefigura idealmente o que ainda natildeo se
conseguiu ou o que ainda se pretende alcanccedilar ldquoao propor objetivos o homem nega uma
realidade efetiva e afirma outra que ainda natildeo existerdquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p
189) Ao analisar sistematicamente as atividades de que participei ateacute tal momento histoacuterico
de minha formaccedilatildeo aliadas agraves leituras e informaccedilotildees que tive acesso apoacutes o ingresso no
referido programa de poacutes-graduaccedilatildeo incluindo a participaccedilatildeo em grupos de pesquisa fui
conduzida agrave produccedilatildeo de novos objetivos que passaram a orientar a pesquisa relatada nesta
tese diferentes daqueles que havia adotado inicialmente mas ainda assim relacionados entre
si
O objetivo didaacutetico-pedagoacutegico impresso no projeto inicial de doutorado
submetido agrave seleccedilatildeo para ingresso no programa de poacutes-graduaccedilatildeo consistia em melhorar a
inter-relaccedilatildeo da disciplina EDO e as demais disciplinas teacutecnicas dos cursos de Engenharia por
meio de atividades de Modelagem Matemaacutetica A questatildeo de pesquisa buscava por anaacutelises
relacionadas agraves formas que a Modelagem Matemaacutetica poderia assumir para o cumprimento de
tal objetivo ou seja usando a terminologia de Engestroumlm (2002) de que forma a Modelagem
Matemaacutetica aliada a recursos computacionais poderia romper com a encapsulaccedilatildeo da
disciplina EDO em cursos de Engenharia Um resultado esperado ainda que hipoteticamente
consistia na melhoria da formaccedilatildeo matemaacutetica dos engenheiros Vale ressaltar que atividades
25
de Modelagem podem assumir diferentes objetivos em diferentes contextos de formaccedilatildeo O
principal objetivo geralmente delimitado pelos professores acaba por definir a perspectiva de
Modelagem (KAISER SRIRAMAN 2006) assumida em determinado contexto formativo
Tal questatildeo seraacute tratada mais formalmente no capiacutetulo seguinte desta tese Por agora detenho-
me em explicitar o que foi alterado em relaccedilatildeo agrave questatildeo de pesquisa
Primeiramente o objetivo principal da pesquisa relatada nesta tese teve uma
essencial mudanccedila no foco Inicialmente a meta da pesquisa era relataranalisar o efeito que a
Modelagem Matemaacutetica poderia causar em cursos de Engenharia no sentido das
possibilidades de inter-relaccedilotildees de EDO com as demais disciplinas dos referidos cursos Apoacutes
reformular o projeto inserindo-lhe ldquolentesrdquo teoacuterico-analiacuteticas ndash as Teorias da Atividade e da
Aprendizagem Expansiva- senti a necessidade de modificar o foco da questatildeo de pesquisa
passei a focar nas possibilidades de aprendizagens expansivas que pudessem ser evidenciadas
pelas e nas atividades desenvolvidas por um grupo de estudos e pesquisa sobre Modelagem
Matemaacutetica em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias Com isso as proacuteprias
aprendizagens expansivas caso ocorressem poderiam possibilitar inclusive o rompimento
da encapsulaccedilatildeo de conteuacutedos estudados nas disciplinas de Caacutelculo pois o proacuteprio contexto
da atividade tradicional de formaccedilatildeo em Engenharia seria18
alterado mediante uma ampliaccedilatildeo
gradual do objeto e do contexto da aprendizagem19
Em segundo lugar a forma que a Modelagem Matemaacutetica assumiria nessa
pesquisa jaacute estava tambeacutem definida como foco de estudos discussotildees e reflexotildees de um
Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica20
(GEPMM) Frequentemente
praacuteticas escolares de Modelagem satildeo concebidas como coletivas ndash realizadas em grupos
Baseada em Engestroumlm (2001) acabei por decidir pela constituiccedilatildeo de um Grupo de Estudos e
Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica jaacute que os sujeitos que porventura aceitassem se engajar
em tais atividades precisariam aprender novas formas de atividade constituindo assim novas
formas de aprendizagem que ainda natildeo existiam no referido contexto formativo Na
instituiccedilatildeo destinada agrave formaccedilatildeo de engenheiros definida como contexto empiacuterico para o
desenvolvimento da presente pesquisa natildeo existiam de fato atividades de Modelagem
Matemaacutetica em formato algum Ao objetivar a anaacutelise das possibilidades de aprendizagens
18
Explicaccedilotildees mais pontuais quanto agraves transformaccedilotildees do objeto e do contexto de aprendizagem podem ser
encontradas no capiacutetulo 1 deste texto 19
Engestroumlm (2002 p 197) enfatiza que ldquoa abordagem da aprendizagem expansiva romperia a encapsulaccedilatildeo da
aprendizagem escolar por uma ampliaccedilatildeo gradual do objeto e do contexto da aprendizagemrdquo 20
Por vezes utilizarei apenas a sigla GEPMM para me referir ao Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem
Matemaacutetica
26
expansivas evidenciadas naspelas atividades de um grupo de Modelagem poderia ndash a
atividade ndash ocorrer dentro ou fora da sala de aula
Finalmente em terceiro lugar estaacute a definiccedilatildeo de que o grupo de Modelagem
realizaria suas atividades fora da sala de aula num formato que possibilitasse estudos
pesquisa e que as atividades pudessem ser documentadas em um longo periacuteodo de tempo
Caso tivesse optado em propor o formato de atividade de Modelagem dentro de sala de aula
de certo teria impliacutecito em tal proposta um prazo que delimitaria a proacutepria questatildeo de
pesquisa Aprendizagens expansivas necessitam de anaacutelises de longo prazo constituem
transformaccedilotildees qualitativas21
em praacuteticas sociais em atividades coletivas e natildeo mudanccedilas em
sujeitos em suas atitudes eou habilidades e competecircncias ainda que as atitudes dos sujeitos
possam ser analisadas em tal quadro teoacuterico-analiacutetico (ENGESTROumlM SANNINO 2010b)
Nesse sentido nesta tese busco analisar possibilidades de aprendizagens expansivas em
praacuteticas formativas sendo aprendidas literalmente enquanto estariam sendo criadas (numa
instituiccedilatildeo destinada agrave formaccedilatildeo de engenheiros) mediante a constituiccedilatildeo de um contexto
formativo mais amplo ndash o GEPMM Isso seraacute mais bem discutido nos demais capiacutetulos desta
tese
Vale ressaltar que tais objetivos e a adequaccedilatildeo das accedilotildees a eles configuraram-se
mediante os ajustes que na maioria das vezes foram tentativas de aproximaccedilatildeo entre as
idealizaccedilotildees impressas em um projeto de pesquisa e uma pesquisa em movimento ndash um
ldquodesignrdquo emergente (ARAUacuteJO BORBA 2006) Uma pesquisa em movimento pressupotildee
aquisiccedilatildeo de novas idealizaccedilotildees necessaacuterias em cada parte cada aglomerado de accedilotildees que estaacute
atrelado agrave finalidade da pesquisa em questatildeo Isso inclui transformaccedilotildees qualitativas em
termos de acesso e incorporaccedilatildeo de teorias agrave pesquisa por parte do pesquisador modificaccedilotildees
relacionadas agrave metodologia e procedimentos para a construccedilatildeo dos dados da referida pesquisa
o que acaba por implicar em modificaccedilotildees na pergunta diretriz
Sendo assim apoacutes aprofundamento teoacuterico e construccedilatildeo dos dados para a presente
pesquisa que seratildeo apresentados nos proacuteximos capiacutetulos outros direcionamentos em relaccedilatildeo
agrave pergunta diretriz se fizeram necessaacuterios Entre idas e vindas recortes e costuras a presente
tese se orientou pela seguinte pergunta diretriz
21
O termo Transformaccedilotildees Qualitativas constituinte da Teoria da Aprendizagem Expansiva de Engestroumlm
(1987) seraacute mais bem definido no capiacutetulo seguinte desta tese Por hora vale ressaltar que transformaccedilotildees
qualitativas sugerem mudanccedilas em praacuteticas sociais
27
Quais aprendizagens expansivas podem ser evidenciadas pelas e nas atividades
desenvolvidas por um Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica
(GEPMM22
) em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias
Estrutura da tese
No capiacutetulo 1 desta tese intitulado Atividades formativas agrave luz da teoria
histoacuterico-cultural da Atividade e da Aprendizagem Expansiva apresento os pressupostos
teoacutericos que foram utilizados na concepccedilatildeo assim como na anaacutelise dos dados construiacutedos
para a presente investigaccedilatildeo
No capiacutetulo 2 intitulado Caacutelculo e Modelagem na Engenharia concepccedilotildees
perspectivas e a atual formaccedilatildeo do engenheiro discorro sobre alguns toacutepicos relacionados ao
contexto da presente investigaccedilatildeo Exponho brevemente a legislaccedilatildeo que normatiza a
formaccedilatildeo de engenheiros no Brasil atualmente aponto alguns aspectos relacionados aos
processos de ensino-aprendizagem das disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia e
nesse contexto apresento a Modelagem Matemaacutetica como um espaccedilo formativo alternativo
Aleacutem disso com base na literatura sobre Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica busco por
concepccedilotildees e perspectivas relacionadas a essa atividade apresentando uma revisatildeo de
literatura com foco na Modelagem em processos de ensino-aprendizagem relacionada agraves
disciplinas de Caacutelculo dos cursos de Engenharia
No capiacutetulo 3 intitulado Metodologia de Pesquisa e Procedimentos explicito os
motivos que fizeram com que a abordagem da presente investigaccedilatildeo fosse qualitativa
apresento os procedimentos e instrumentos para a construccedilatildeo e a anaacutelise dos dados Aleacutem
disso delimito o contexto da pesquisa apresentando o contexto institucional e as aulas de
Caacutelculo assim como a constituiccedilatildeo do contexto alternativo - GEPMM - e os sujeitos nele
envolvidos
No capiacutetulo 4 intitulado Os dados construiacutedos e analisados a constituiccedilatildeo do
GEPMM como ciclo de accedilotildees potencialmente expansivas apresento uma anaacutelise da
constituiccedilatildeo do GEPMM com base no arcabouccedilo teoacuterico apresentado no capiacutetulo 2 mais
especificamente no ciclo de accedilotildees expansivas (ENGESTROumlM SANNINO 2010b) Para tal
22
Vale ressaltar que o GEPMM se configura um espaccedilo formativo alternativo realizando suas accedilotildees fora da sala
de aula tradicional tanto de Caacutelculo quanto das demais disciplinas dos cursos de Engenharia Os motivos que
podem complementar a justificativa para tal escolha metodoloacutegica podem ser encontrados no capiacutetulo 2
28
utilizo os dados construiacutedos para a presente investigaccedilatildeo elaborando inclusive uma resenha
do que aconteceu nos encontros do GEPMM utilizados como corpus de anaacutelise
No capiacutetulo 5 intitulado por Modalidades Analiacuteticas construo um tipo de
arcabouccedilo analiacutetico com o objetivo de satisfazer ao questionamento impresso na pergunta de
pesquisa quais aprendizagens expansivas podem ser evidenciadas pelas e nas atividades
desenvolvidas por um GEPMM em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias Elaboro
quatro modalidades analiacuteticas e as intitulo
1ordf Modalidade =gt Dialeacutetica da Existecircncia da ldquoTelardquo Invisiacutevel GEPMM como
possibilidade para aprendizagem expansiva por meio da construccedilatildeo de parceria
docente-discente num contexto de formaccedilatildeo em Engenharias
2ordf Modalidade =gt Os sujeitos a multi-agency e as muacuteltiplas atividades
possibilidade para aprendizagem expansiva como movimento na zona de
desenvolvimento proximal das atividades docente-discente mediante a formaccedilatildeo
de parcerias
3ordf Modalidade =gt Modelagem e a caixa preta do ldquopeso corporal idealrdquo num
contexto de formaccedilatildeo em Engenharias do Caacutelculo em accedilatildeo agraves aprendizagens
expansivas como transformaccedilotildees qualitativas do objeto da atividade
4ordf Modalidade =gt Multivocalidade e agency evidenciadas pelas interaccedilotildees
tecnomediadas em atividades de Modelagem Matemaacutetica idealizaccedilotildees
desencadeadoras de aprendizagens potencialmente expansivas num contexto de
formaccedilatildeo em Engenharias
No capiacutetulo 6 intitulado Consideraccedilotildees Finais faccedilo um tipo de fechamento de
ideias com respeito agrave investigaccedilatildeo relatada nesta tese Aleacutem disso delimito de antematildeo um
horizonte possiacutevel para nortear pesquisas futuras
29
1 ATIVIDADES23
FORMATIVAS Agrave LUZ DA TEORIA HISTOacuteRICO-
CULTURAL DA ATIVIDADE E DA APRENDIZAGEM EXPANSIVA
Neste capiacutetulo apresento os pressupostos teoacutericos que foram utilizados na
concepccedilatildeo desta pesquisa em especial na anaacutelise dos dados construiacutedos para tal fim
Podendo ser entendida como uma teoria ancorada na Teoria Histoacuterico-Cultural24
a Teoria da Atividade se fundamenta na teoria marxista que estabelece o trabalho como algo
que desempenha papel central no desenvolvimento humano humanizando e possibilitando o
desenvolvimento da cultura que por sua vez influencia e eacute influenciada pelo contexto
histoacuterico-social Sob essa oacutetica as diferenccedilas entre os homens e os outros animais natildeo podem
ser simplesmente explicadas pela evoluccedilatildeo bioloacutegica25
O homem tal como os outros animais cotidianamente se defronta com
necessidades26
que o impulsiona a planejar accedilotildees na tentativa de satisfazer tais necessidades
Contudo o homem se diferencia dos demais animais ldquoao assumir uma posiccedilatildeo de natildeo
indiferenccedila perante a naturezardquo (RIGON ASBAHR MORETTI 2010 p 16) Isto eacute o
homem se apropria da natureza buscando satisfazer necessidades que natildeo estatildeo apenas
relacionadas agrave garantia de sua existecircncia bioloacutegica mas sobretudo cria necessidades
relacionadas agrave sua existecircncia cultural Dessa forma
Ao agir intencionalmente sobre a natureza visando transformaacute-la de modo a
satisfazer suas necessidades produzindo o que deseja e quando deseja o homem ao
mesmo tempo que deixa sobre a natureza as marcas da atividade humana tambeacutem
transforma a si proacuteprio constituindo-se humano Para que toda e qualquer atividade
se configure como humana eacute essencial entatildeo que seja movida por uma
intencionalidade sendo esta por sua vez uma resposta agrave satisfaccedilatildeo das necessidades
que se impotildeem ao homem em sua relaccedilatildeo com o meio em que vive natural ou
culturalizado (RIGON ASBAHR MORETTI 2010 p 17)
Para Saacutenchez Vaacutezquez (1977) a atividade humana pode em alguns casos ter uma
ldquosemelhanccedila externardquo com certos atos dos animais como por exemplo a atividade de caccedila
23
Buscando distinguir o termo atividade do senso comum destacarei usando itaacutelico ndash atividade ndash quando estiver
me referindo agrave teoria da atividade 24
Tem como projeto central estudar a formaccedilatildeo da subjetividade dos indiviacuteduos a partir de seu mundo objetivo
concreto isto eacute a formaccedilatildeo da consciecircncia humana em sua relaccedilatildeo com a atividade (RIGON ASBAHR
MORETTI 2010 p 22) 25
ldquoSegundo Vygotsky o comportamento e a mente humanos devem ser considerados em termos de accedilotildees
intencionais e culturalmente significativas em vez de respostas bioloacutegicas adaptativasrdquo (KOZULIN 2002 p
116) 26
O termo necessidade com base na teoria marxista estaacute relacionado com carecimento ou carecircncia
30
Contudo para o autor somente a atividade humana caracteriza-se essencialmente pela
atividade da consciecircncia da qual eacute inseparaacutevel O autor afirma que a atividade da consciecircncia
[] se desenvolve como produccedilatildeo de objetivos que prefiguram idealmente o
resultado real que se pretende obter mas se manifesta tambeacutem como produccedilatildeo de
conhecimentos isto eacute em forma de conceitos hipoacuteteses teorias ou leis mediante os
quais o homem conhece a realidade (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 191)
A capacidade de planejar accedilotildees que configura de alguma forma a
intencionalidade assim como formas especiacuteficas de linguagem pode ser observada em todos
os tipos de animais Poreacutem
[] a accedilatildeo planejada de todos os animais em seu conjunto natildeo conseguiu imprimir
sobre a terra a marca de sua vontade Isso aconteceu com o aparecimento do homem
Em uma palavra o animal utiliza a natureza exterior e produz modificaccedilotildees nela
pura e simplesmente com sua presenccedila entretanto o homem por meio de
modificaccedilotildees submete-a [a Natureza] a seus fins a domina Eacute esta a suprema
diferenccedila entre o homem e os animais diferenccedila decorrida tambeacutem do trabalho
(ENGELS 2002 p 125)
A faculdade de projetar que delimita e configura a distinccedilatildeo entre homens e os
demais animais foi debatida por Pinto (2005a p 54) que enfatizou que a ldquoessecircncia do
projeto consiste no modo de ser do homem que se propotildee criar novas condiccedilotildees de existecircncia
para sirdquo O autor estaacute em sintonia com a visatildeo de Engels (2002)
O projeto eacute na verdade a caracteriacutestica peculiar porque engendrada no plano do
pensamento da soluccedilatildeo humana do problema da relaccedilatildeo do homem com o mundo
fiacutesico e social [] O poder da accedilatildeo que o homem manifesta sobre a natureza
distingue-se do possuiacutedo pelos demais seres vivos por se exercer em consequecircncia
da capacidade de projetar [] pela accedilatildeo dos homens a realidade se vai povoando de
produtos de fabricaccedilatildeo intencional realizada pelo ser que se tornou projetante
(PINTO 2005a p 55)
Aacutelvaro Pinto (2005a) entende que o homem eacute o uacutenico ser vivo capaz de
manifestarproduzir representaccedilotildees de uma dada realidade no pensamento e a partir dela
fazer emergir ainda no plano mental uma sequecircncia de accedilotildees direcionadas a uma finalidade
ligada a essa realidade Pinto (2005a p 59 grifos meus) esclarece ainda que
O projeto significa o relacionamento da accedilatildeo a uma finalidade em vista da qual satildeo
preparados e dispostos meios necessaacuterios e convenientes O conceito de projeto
revela que o sistema nervoso superior soacute eacute capaz de concebecirc-lo quando supera o
condicionamento hereditaacuterio imposto pelas estruturas invariaacuteveis recebidas
diretamente da natureza tornando-se entatildeo fonte de outras formas de
condicionamento as que procedem no reflexo das coisas efetuando em suas ceacutelulas
31
cerebrais em iacutentimas ligaccedilotildees com o exerciacutecio da atividade em condiccedilotildees sociais
Esta anaacutelise mostra desde jaacute o caraacuteter necessariamente teacutecnico de toda accedilatildeo humana
pois agir significa um modo de ser ligado a alguma finalidade que o indiviacuteduo se
propotildee cumprir
Dessa forma natildeo seria possiacutevel compreender a atividade humana desconsiderando
sua relaccedilatildeo com a consciecircncia pois essas duas categorias na verdade podem ser entendidas
como constituintes de uma unidade dialeacutetica como segue
Nas relaccedilotildees entre consciecircncia e atividade a consciecircncia eacute a forma especificamente
humana do reflexo psiacutequico da realidade ou seja eacute a expressatildeo das relaccedilotildees do
indiviacuteduo com o mundo social cultural e histoacuterico que abre ao homem um quadro
do mundo em que ele mesmo estaacute inserido A consciecircncia refere-se assim agrave
possibilidade humana de compreender o mundo social e individual como passiacuteveis
de anaacutelise (RIGON ASBAHR MORETTI 2010 p 20)
A origem do conceito atividade na psicologia sovieacutetica pode ser encontrada nos
estudos de Vigotski27
(1896-1934) sugerindo que a atividade socialmente significativa pode
ser considerada como um dos fatores que geram a consciecircncia humana (KOZULIN 2002)
Na teoria cultural-histoacuterica das funccedilotildees mentais (ou processos psicoloacutegicos) superiores de
Vigotski bem como nos estudos vigotskianos do desenvolvimento da linguagem e da
formaccedilatildeo de conceitos foi de extrema relevacircncia a incorporaccedilatildeo do conceito de atividade
Kozulin (2002) entende que para Vigotski a consciecircncia eacute construiacuteda de fora para dentro por
meio das relaccedilotildees sociais e aleacutem disso que natildeo haacute distinccedilatildeo entre o mecanismo do
comportamento social e o da consciecircncia
Vigotski buscou em Marx e Hegel pressupostos que fizeram emergir uma teoria
social da atividade humana podendo ser entendida como contrapartida ao naturalismo e agrave
tradiccedilatildeo empirista como afirma Kozulin (2002) De Hegel Vigotski adota ldquouma visatildeo
absolutamente histoacuterica dos estaacutegios de desenvolvimento e das formas de realizaccedilatildeo da
consciecircncia humanardquo (KOZULIN 2002 p 115) Tal historicidade eacute tecida do ponto de vista
da filogecircnese ndash toma como base a histoacuteria evolutiva da espeacutecie humana- da histoacuteria
sociocultural ndash toma como base a (des) e (re)contextualizaccedilatildeo dos instrumentos de mediaccedilatildeo-
e da ontogecircnese ndash considera a evoluccedilatildeo histoacuterica individual na qual a formaccedilatildeo da
personalidade se caracteriza natildeo apenas pelo desenvolvimento bioloacutegico mas sobretudo pela
mediaccedilatildeo sociocultural (WERTSCH 1985 1988)- De Marx Vigotski adota o conceito de
praacutexis humana que grosso modo toma como sendo a atividade histoacuterica concreta gerando
27
A esse respeito ver Consciousness as a problem in the psychology of behavior (VIGOTSKI 1979)
32
os fenocircmenos da consciecircncia Vigotski acreditava que a atividade funciona como uma
ferramenta psicoloacutegica e tem caraacuteter semioacutetico mediacional (KOZULIN 2002)
Leontiev em meados dos anos 1930 faz emergir uma versatildeo revisionista da
Teoria da Atividade de Vigotski na qual entende que ldquoa atividade28
ndash ora como atividade ora
como accedilatildeo ndash desempenha todos os papeacuteis desde objeto ateacute princiacutepio explanatoacuteriordquo
(KOZULIN 2002 p 136) Leontiev aponta que ldquoo desenvolvimento da consciecircncia da
crianccedila ocorre como um resultado do desenvolvimento do sistema de operaccedilotildees psicoloacutegicas
as quais por seu turno satildeo determinadas pelas relaccedilotildees concretas entre a crianccedila e a
realidaderdquo (LEONTIEV 1980 p 186 apud KOZULIN 2002 p 127)
Dessa forma Leontiev considera em suas pesquisas que a atividade praacutetica eacute
transformada em atividade praacutetica e intelectual ndash plano interpsicoloacutegico (entre pessoas e
mediaccedilotildees) transformado em plano intrapsicoloacutegico Leontiev e seus colaboradores satildeo
conhecidos como a segunda geraccedilatildeo da Teoria da Atividade Vigotski sugeriu que a atividade
socialmente significativa eacute o princiacutepio explicativo da consciecircncia ou seja a consciecircncia eacute
construiacuteda de ldquoforardquo para ldquodentrordquo por meio das relaccedilotildees sociais (KOZULIN 2002)
Na teoria de Leontiev ldquoa atividade assumiu duplo papel ndash o de princiacutepio geral e o
de mecanismo concreto de mediaccedilatildeordquo (KOZULIN 2002 p 131) ldquoLeontiev sugeriu o
seguinte desmembramento da atividade atividade corresponde a um motivo accedilatildeo
corresponde a um objetivo e operaccedilatildeo depende de condiccedilotildeesrdquo (KOZULIN 2002 p 131)
Para entendermos melhor tais conceituaccedilotildees vejamos o que o proacuteprio Leontiev
nos apresenta
Natildeo levando o objeto da accedilatildeo por si proacuteprio a agir eacute necessaacuterio que a accedilatildeo surja e
se realize que o seu objeto apareccedila ao sujeito na sua relaccedilatildeo com o motivo da
atividade em que entra esta accedilatildeo Essa accedilatildeo eacute refletida pelo sujeito sob uma forma
perfeitamente determinada sob a forma de consciecircncia do objeto da accedilatildeo enquanto
fim Assim o objeto da accedilatildeo natildeo eacute afinal senatildeo o seu fim imediato conscientizado
(LEONTIEV 2004 p 317)
Vale ressaltar que a atividade correspondente a um motivo eacute algo coletivo e
consciente Jaacute as accedilotildees correspondentes a um objetivo podem ser entendidas como processos
que satildeo subordinados agraves metas individuais ou coletivas considerando a complexa estrutura da
divisatildeo do trabalho humano ou mesmo podem ser entendidas como processos de
cumprimento de objetivos parciais da atividade As accedilotildees e os objetivos correspondem assim
28
ldquoTal conceito de atividade teraacute duas funccedilotildees princiacutepio explicativo da constituiccedilatildeo das funccedilotildees psicoloacutegicas
superiores e da personalidade e ao mesmo tempo objeto de investigaccedilatildeo soacute sendo possiacutevel compreender tais
constituiccedilotildees a partir do estudo da atividaderdquo (RIGON ASBAHR MORETTI 2010 p 22)
33
ao indiviacuteduo engajado em uma atividade e agrave consciecircncia As operaccedilotildees podem ser entendidas
como meios ou procedimentos pelos quais a accedilatildeo eacute executada para satisfazer seu objetivo As
operaccedilotildees sempre correspondem agraves condiccedilotildees que podem ser entendidas como as
ferramentas necessaacuterias para a realizaccedilatildeo da operaccedilatildeo As condiccedilotildees e as operaccedilotildees podem
ser relacionadas ao indiviacuteduo agrave inconsciecircncia e agrave incorporaccedilatildeo (KAWASAKI 2008 p 108)
ldquoOs motivos portanto pertencem agrave realidade socialmente estruturada de produccedilatildeo e
apropriaccedilatildeo ao passo que as accedilotildees pertencem agrave realidade imediata de objetivos praacuteticosrdquo
(KOZULIN 2002 p 132 itaacutelicos meus)
Para Leontiev (1978) a principal caracteriacutestica que distingue uma atividade da
outra eacute a diferenccedila de seus objetos Para o autor o objeto de uma atividade eacute o que lhe fornece
uma direccedilatildeo determinada uma finalidade constituindo-se dessa forma como seu verdadeiro
motivo Vale ressaltar que para Leontiev o objeto de qualquer atividade humana natildeo eacute algo
neutro nem individual mas sim um objeto da experiecircncia coletiva social pois para ele a
atividade dos outros nos oferece uma base uma gama de possibilidades objetivas que abarca
uma espeacutecie de estrutura especiacutefica das accedilotildees do indiviacuteduo
Eacute preciso entender a atividade levando-se em conta a dinacircmica das necessidades
assim como as diversas formas de executar accedilotildees e operaccedilotildees que podem alterar os processos
constituintes da atividade As accedilotildees podem se transformar em atividades as atividades
podem se transformar em accedilotildees as accedilotildees podem se tornar procedimentos para alcanccedilar um
objetivo configurando-se assim como operaccedilotildees
Para Engestroumlm ldquouma entidade do mundo exterior torna-se um objeto da
atividade quando atende a uma necessidade humana29
rdquo (ENGESTROumlM 2008 p 89 grifos
meus) E para Leontiev (1978) essa reuniatildeo eacute um ldquoato extraordinaacuteriordquo o sujeito constroacutei o
objeto destacando as propriedades que julga serem essenciais para o desenvolvimento da
praacutetica social em que deseja se engajar
Os artefatos mediadores da atividade para Engestroumlm (1987) satildeo considerados
as ferramentas e os signos necessaacuterios para que o sujeito da atividade realize accedilotildees orientadas
para o objetomotivo
Se considerarmos por exemplo a caccedila como uma atividade humana o alimento
(a presa) seria o objeto da atividade pois o alimento eacute o objeto pelo qual a atividade eacute
orientada Tal atividade estaria amparada pela finalidade relacionada a uma necessidade ou
desejo a necessidade de saciar a fome ou desejo de comer uma iguaria As accedilotildees entatildeo
29
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoAn entity in the outside world becomes an object of activity as it meets a
human needrdquo
34
estariam relacionadas aos processos ou objetivos parciais para alcanccedilar o objetivo Para
satisfazer a necessidade pelo alimento eacute preciso executar accedilotildees que natildeo visam diretamente agrave
obtenccedilatildeo do alimento como por exemplo preparar algum equipamento para ser utilizado na
caccedila Para isso seriam necessaacuterias condiccedilotildees para que tais equipamentos possam ser
elaborados como habilidades de construir equipamentos teacutecnicas de extraccedilatildeo de mateacuteria-
prima para a elaboraccedilatildeo dos equipamentos entre outras e ainda precisariam ser
implementadas operaccedilotildees que possibilitem essa fase da atividade de caccedila
A atividade educacional ndash formativa e institucionalizada- foi investigada
profundamente por Davydov que incorporou conceitos de Vigotski e Leontiev para formular
uma teoria sobre o ensino a teoria do ensino desenvolvimental (LIBAcircNEO FREITAS 2006)
Na sociedade informacional Davydov afirma que a tarefa da escola contemporacircnea consiste
em ensinar os aprendizes a se orientarem independentemente que inclui informaccedilotildees oriundas
das comunidades cientiacuteficas - ensinaacute-los a pensar por meio de um ensino que promova o
desenvolvimento mental e psiacutequico (DAVIacuteDOV 1988 p 3 apud LIBAcircNEO FREITAS
2006)
Davydov (1988 apud LIBAcircNEO FREITAS 2006) enfatiza que educaccedilatildeo e
ensino satildeo necessaacuterios para o desenvolvimento humano e que estatildeo amalgamadas agraves
premissas da teoria histoacuterico-cultural de Vigotski que inclui os fatores socioculturais e a
atividade interna dos indiviacuteduos Davydov propotildee um ensino escolar ancorado em atividades
de aprendizagem cujo conteuacutedo do ensino seja a base do ensino desenvolvimental Vale
ressaltar que Davydov natildeo defende a mera transmissatildeo de conteuacutedos mas sim a escola como
promotora de atividades que forneccedilam aos alunos mecanismos para o desenvolvimento de
suas habilidades e competecircncias incluindo aprender por si mesmos
Alguns autores se baseiam em Davydov e tratam dos fenocircmenos educativos como
praacutetica social - como uma atividade Para Rigon Asbahr e Moretti (2010 p 24 grifo meu)
o objeto da atividade pedagoacutegica eacute a transformaccedilatildeo dos indiviacuteduos no processo de
apropriaccedilatildeo dos conhecimentos e saberes por meio desta atividade ndash teoacuterica e
praacutetica ndash eacute que se materializa a necessidade humana de se apropriar dos bens
culturais como forma de constituiccedilatildeo humana
Engestroumlm (2008) entende que tradicionalmente o objeto da atividade do
professor ao participar de praacuteticas escolares pode ser socialmente entendido como sendo o
texto escolar (textos que englobam os livros didaacuteticos apostilas ou ateacute mesmo textos escritos
na lousa pelos professores e reproduzidos nos cadernos dos alunos) e aponta que tais ldquotextos
35
tornam-se um mundo fechado um objeto morto cortado de seu contexto de vidardquo
(ENGESTROumlM 1987 p 101) O autor posiciona tambeacutem os estudantes como parte da
componente objeto da atividade do professor Vale ressaltar que nas praacuteticas escolares
tradicionais comumente observadas em processos de escolarizaccedilatildeo na maioria das
instituiccedilotildees brasileiras de ensino o professor direciona sua atenccedilatildeo agrave transformaccedilatildeo dos
estudantes isto eacute educar significa transformar o estudante no que tange ao entendimento do
mundo e da realidade que o cerca tomando-se por base o texto escolar como referecircncia para
tal transformaccedilatildeo Engestroumlm (2008 p 89) esclarece ainda que
Nessa capacidade construiacuteda relacionada agrave necessidade o objeto ganha forccedila
motivacional que daacute forma e direccedilatildeo para a atividade O objeto determina o
horizonte de objetivos e accedilotildees possiacuteveis A atividade de trabalho dos professores nas
escolas eacute chamada de ensino A atividade dos estudantes nas escolas pode ser
chamada de school-going30
Bernardes (2009) reafirma o posicionamento de Engestroumlm (2008) a respeito do
objeto da atividade da educaccedilatildeo escolar ou seja das praacuteticas educativas escolarizadas como
um direcionamento de accedilotildees objetivando a transformaccedilatildeo do sujeito que aprende sendo este
o primeiro objeto da atividade de ensino A autora ainda afirma existir um segundo objeto
relacionado agrave atuaccedilatildeo profissional do educador sendo alicerccedilado na seguinte questatildeo o quecirc
ensinar e de que forma se organiza o ensino
A seleccedilatildeo e a identificaccedilatildeo do conhecimento teoacuterico-cientiacutefico a ser ensinado na
escola e a definiccedilatildeo das condiccedilotildees adequadas para a materializaccedilatildeo da organizaccedilatildeo
das accedilotildees de ensino na atividade pedagoacutegica requerem que o educador materialize o
segundo objeto da atividade de ensino O produto desta atuaccedilatildeo profissional eacute a
elaboraccedilatildeo de um instrumento que medeia o conhecimento que se objetiva e se
materializa na organizaccedilatildeo das accedilotildees de ensino (BERNARDES 2009 p 237)
Asbahr (2005) enfatiza que a significaccedilatildeo social da atividade pedagoacutegica do
professor seria proporcionar ambientes de aprendizagem que possibilitem aos estudantes se
engajarem em atividades de aprendizagem garantindo-lhes assim apropriaccedilatildeo do
conhecimento natildeo cotidiano A autora afirma que ensino-aprendizagem somente configura
uma atividade coletiva quando satildeo postos em uma uacutenica unidade isto eacute a atividade de ensino
ocorre se e somente se ocorrer a atividade de aprendizagem Dessa forma 30
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoIn this constructed need-related capacity the object gains motivating force
that gives shape and direction to activity The object determines the horizon of possible goals and actions The
work activity of school teachers is called teaching The activity of school students may be called school-goingrdquo
Natildeo encontrei uma traduccedilatildeo considerada por mim como satisfatoacuteria para o que Engestroumlm (1987 2008) chama
de school-going Contudo penso que o autor busca relacionar esse termo agrave ida dos estudantes diariamente agraves
escolas Talvez possa ser traduzido como ldquoida agrave escolardquo
36
O aluno natildeo eacute soacute objeto da atividade do professor mas eacute principalmente sujeito e
constitui-se como tal na atividade ensinoaprendizagem na medida em que participa
ativamente e intencionalmente do processo de apropriaccedilatildeo do saber superando o
modo espontacircneo e cotidiano de conhecer (BASSO 1994 apud ASBAHR 2005 p
114)
Na tentativa de entender os mais diversos fenocircmenos que podem ocorrer nas
praacuteticas escolares de ensino e aprendizagem podemos utilizar o aporte teoacuterico de Engestroumlm
(2001) que propotildee uma estrutura triangular para representar as accedilotildees individuais ou em
grupos constituindo sistemas de atividade coletiva contendo os seguintes elementos sujeito
artefatos ou instrumentos mediadores (ferramentas e signos) objeto comunidade regras
divisatildeo de trabalho e resultado (ENGESTROumlM 2001) como segue
FIGURA 1 ndash A estrutura de um sistema de atividade humana
Fonte ENGESTROumlM 2001 p 135
Os elementos da estrutura da atividade representada na FIG 1 (ENGESTROumlM
2001) podem ser explicados por Engestroumlm (1993)
No modelo o sujeito refere-se ao indiviacuteduo ou subgrupo cujo poder de agir eacute
tomado como ponto de vista na anaacutelise O objeto refere-se agrave ldquomateacuteria primardquo ou ao
ldquoespaccedilo problemardquo para o qual a atividade estaacute direcionada e que eacute moldado ou
transformado em resultados com o auxiacutelio de ferramentas fiacutesicas e simboacutelicas
externas e internas (instrumentos e signos mediadores) A comunidade compreende
indiviacuteduos eou subgrupos que compartilham o mesmo objeto geral A divisatildeo de
trabalho refere-se tanto agrave divisatildeo horizontal de tarefas entre os membros da
comunidade quanto agrave divisatildeo vertical de poder e status Finalmente as regras
referem-se aos regulamentos impliacutecitos e expliacutecitos normas e convenccedilotildees que
37
restringem as accedilotildees e interaccedilotildees no interior do sistema de atividade31
(ENGESTROumlM 1993 p 67 grifos do autor)
Engestroumlm (1987 2002 2008) critica veementemente a inversatildeo de papel que
pode ocorrer com o texto escolar em atividades de ensino-aprendizagem Para ele quando o
texto escolar (os livros didaacuteticos) eacute tomado como objeto da atividade escolar ocorre uma
inversatildeo de papeacuteis o que era para ser um instrumento passa a ser objeto da atividade
Engestroumlm (2008 p 89) ainda esclarece que ldquoem school-going textos assumem o papel de
objeto Este objeto eacute moldado pelos alunos de uma maneira curiosa o resultado de sua
atividade eacute sobretudo o mesmo texto reproduzido e modificado oralmente ou escrito de outra
forma32
rdquo
Sendo assim o objeto da atividade school-going pode ser caracterizado pelos
textos escolares (livros didaacuteticos apostilas etc) e pelos estudantes em formaccedilatildeo ndash alunos E
como objetivo central de tal atividade podemos considerar a transformaccedilatildeo dos indiviacuteduos
no processo de apropriaccedilatildeo dos conhecimentos e saberes (bens histoacutericos e culturais)
impressos nos textos e reproduzidos nas interaccedilotildees Nesse sentido o objetivo consiste na
capacitaccedilatildeo dos alunos para recriar ou refazer o ensinado
Vale pontuar que para Engestroumlm (2001 p 137 grifo meu) as ldquocontradiccedilotildees satildeo
tensotildees estruturais historicamente acumuladas dentro e entre sistemas de atividade33
rdquo Para
ele contradiccedilatildeo natildeo eacute a mesma coisa que problemas ou conflitos O autor esclarece que a
contradiccedilatildeo primaacuteria de atividades no capitalismo estaacute localizada no valor de uso e de troca
das mercadorias Engestroumlm (2001 p 137 grifo meu) enfatiza ainda que
Esta contradiccedilatildeo primaacuteria permeia todos os elementos de nossos sistemas de
atividade Atividades satildeo sistemas abertos Quando um sistema de atividade adota
um novo elemento de fora (por exemplo uma nova tecnologia ou um novo objeto)
ele leva frequentemente a uma contradiccedilatildeo secundaacuteria agravada onde algum antigo
elemento (por exemplo as regras ou a divisatildeo do trabalho) colide com o novo Tais
31
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoIn the model the subject refers to the individual or subgroup whose agency is
chosen as the point of view in the analysis The object refers to the ldquoraw materialrdquo or ldquoproblem spacerdquo at which
the activity is directed and which is molded or transformed into outcomes with the help of physical and
symbolic external an internal tools (mediating instruments and signs) The community comprises multiple
individuals andor subgroups who share the same general object The division of labor refers to both the
horizontal division of tasks between the members of the community and to the vertical division of power and
status Finally the rules refer to the explicit and implicit regulations norms and conventions that constrain
actions and interactions within the activity systemrdquo 32
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoIn school-going text takes the role of the object This object is molded by the
pupils in a curious manner the outcome if their activity is above all the same text reproduced and modified
orally or in written formrdquo 33
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoContradictions are historically accumulating structural tensions within and
between activity systemsrdquo
38
contradiccedilotildees geram distuacuterbios e conflitos mas tambeacutem tentativas inovadoras para
mudar a atividade34
Quando o texto escrito que compotildee livros didaacuteticos adotados durante os processos
de escolarizaccedilatildeo torna-se o objeto da atividade escolar em vez de ser um instrumento que
auxilie o entendimento do mundo podemos perceber que esse texto passa a carregar consigo
uma contradiccedilatildeo interna Engestroumlm (1987 p 102 grifo meu) faz os seguintes apontamentos
Primeiro de tudo ele eacute um objeto morto a ser reproduzido a fim de ganhar notas ou
outros lsquomarcadores de sucessorsquo que cumulativamente determinam o valor futuro do
proacuteprio aluno no mercado de trabalho Por outro lado ele tambeacutem tendenciosamente
aparece como um instrumento vivo de dominaccedilatildeo da proacutepria relaccedilatildeo com a
sociedade fora da escola [] como o objeto da atividade eacute tambeacutem o seu verdadeiro
motivo a natureza inerentemente dupla do motivo da school-going eacute agora visiacutevel35
Vale ressaltar que Engestroumlm (2001 p 136) enfatiza que para localizar qualquer
pesquisa na terceira geraccedilatildeo da Teoria da Atividade eacute preciso analisar no miacutenimo dois
sistemas de atividade interconectados
Na tentativa de exemplificar uma possiacutevel anaacutelise de atividade de aprendizagem
escolar tradicional utilizando a terceira geraccedilatildeo da Teoria da Atividade proposta por
Engestroumlm e seus colaboradores utilizarei um modelo exposto em Engestroumlm (2008 p 89)36
em que eacute apresentada uma unidade de anaacutelise (miacutenima) quando se deseja entender fenocircmenos
da sala de aula tradicional sistemas interconectados de atividade de ensino tradicional
(school-going) No modelo os sistemas de atividade dos professores como sujeitos de sua
proacutepria atividade diferem dos sistemas de atividade dos estudantes ora enquanto sujeitos de
sua proacutepria atividade ora enquanto objeto da atividade dos professores
FIGURA 2 ndash Os interdependentes sistemas de atividade de estudantes e professor
Fonte elabora do pela autora com base em ENGESTROumlM 2001 p 136 37
34
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoThis primary contradiction pervades all elements of our activity systems
Activities are open systems When an activity system adopts a new element from the outside (for example a new
technology or a new object) it often leads to an aggravated secondary contradiction where some old element (for
example the rules or the division of labor) collides with the new one Such contradictions generate disturbances
and conflicts but also innovative attempts to change the activityrdquo 35
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoFirst of all it is a dead object to be reproduced for the purpose of gaining
grades or other lsquosuccess markersrsquo which cumulatively determine the future value of the pupil himself in the labor
market On the other hand it tendentially also appears as a living instrument of mastering onersquos own relation to
society outside the school [] as the object of the activity is also its true motive the inherently dual nature of
motive of school-going is now visiblerdquo 36
Faccedilo nesse modelo uma pequena modificaccedilatildeo com relaccedilatildeo ao objeto da atividade dos dois sistemas
apresentados tomando por base o modelo apresentado por Engestroumlm (2001 p 136) em que eacute exposto um
terceiro objeto que seria o verdadeiro objeto dos sistemas de atividade no qual esse objeto eacute construiacutedo
mediante o compartilhamento dos outros dois objetos 37
Vide nota de rodapeacute anterior
39
O objeto da atividade school-going dos estudantes conforme representado por
Engestroumlm (2008) na FIG 2 pode ser entatildeo considerado como textos escolares (contidos em
livros didaacuteticos) os estudantes se orientam pelo livro e no livro eacute que eles realizam as accedilotildees
de entendimento dos conteuacutedos do ldquomundordquo presos nos textos escolares Os textos escolares
tambeacutem orientam a atividade dos professores Mas natildeo apenas os livros Os estudantes
tambeacutem fazem parte do objeto da atividade dos professores A ldquonuvemrdquo contida no modelo
corresponde a uma idealizaccedilatildeo do objeto da atividade tradicional como um objeto
compartilhado entre estudantes e professor(es) natildeo afirmo portanto que esse objeto seja
realmente compartilhado nas atividade da escola tradicional em sua totalidade
Bernardes (2009 p 240) confirmando o pensamento de Engestroumlm (2008)
esclarece que o motivo da atividade de ensino a ser realizada pelos professores como
sujeitos pode ser entendido(a) como ldquopossibilitar a transformaccedilatildeo da constituiccedilatildeo dos
estudantes por meio do acesso agrave cultura ndash humanizando-osrdquo O objetivo dessa atividade
estaria ancorado em ldquoensinar o conhecimento soacutecio-histoacutericordquo (BERNARDES 2009 p 240)
Jaacute o motivo da atividade de aprendizagem a ser realizada pelos estudantes ora como sujeitos
de sua proacutepria atividade ora como objeto da atividade do professor pode ser entendido como
ldquotornar-se herdeiro da cultura ndash humanizar-serdquo e o objetivo dessa atividade estaria ancorado
em ldquoapropriar-se do conhecimento soacutecio-histoacutericordquo (BERNARDES 2009 p 240)
Tanto para Engestroumlm (2008) quanto para Bernardes (2009) a unidade de anaacutelise
a ser adotada em anaacutelise de atividades formativas seria composta da seguinte forma a
40
atividade pedagoacutegica como sistemas interconectados de atividade ndash a atividade de ensino e a
atividade de aprendizagem (ou school-going para Engestroumlm) realizada por sujeitos
(professores e estudantes) ndash com objetivo relacionado ao acesso e agrave apropriaccedilatildeo da cultura por
meio do acesso e da apropriaccedilatildeo do conhecimento soacutecio-histoacuterico
Com isso cabe um questionamento os estudantes ao se moverem em busca de
satisfazer uma necessidade soacutecio-histoacuterica-cultural ndash humanizar-se ndash com o niacutetido objetivo de
participar da (e ao mesmo tempo agir na) sociedade ao se apropriar do conhecimento soacutecio-
histoacuterico acumulado pelo homem no decorrer de sua historicidade tornam-se eles mesmos
objeto de sua proacutepria atividade Podemos analisaacute-los dessa forma Tornar-se herdeiro da
cultura e se apropriar do conhecimento soacutecio-histoacuterico pode possibilitar ao estudante
transformaccedilotildees em termos de sua proacutepria participaccedilatildeo como ser-no-ldquomundordquo reflete ao
mesmo tempo devido agrave necessidade soacutecio-histoacuterica-cultural que este carrega um ldquomundordquo-
no-ser Dessa forma para analisar por meio da Teoria da Atividade fenocircmenos de ensino-
aprendizagem escolar como interconectados sistemas de atividade eacute necessaacuterio considerar
que ao engajarem em seu proacuteprio processo de escolarizaccedilatildeo (atividade de aprendizagem) os
estudantes satildeo ldquoenquadradosrdquo como objeto de sua proacutepria atividade e natildeo apenas sujeitos jaacute
que a atividade de aprendizagem eacute considerada como uma das componentes dos sistemas de
atividade que perfaz a atividade de ensino-aprendizagem
Dessa forma a atividade tradicional de ensino-aprendizagem constituiacuteda pelos
interconectados sistemas de atividade de alunos e professores cujo objeto eacute o texto escolar
(livros didaacuteticos) e tambeacutem os alunos ndash um objeto a ser compartilhado38
Assim percebemos
que na FIG 2 ocorreraacute num ponto de vista analiacutetico idealizado um compartilhamento entre
os objetos da atividade dos alunos e professor(es) ao considerarmos estes interconectados
sistemas de atividade Ao moldar esculpir construir seu proacuteprio objeto da atividade os
estudantes se tornam objeto de sua proacutepria atividade ndash atividade de aprendizagem ndash fazem
coincidir e passam a compartilhar o objeto da atividade dos professores ndash atividade de ensino
Essa condiccedilatildeo passa entatildeo a se constituir como necessaacuteria para o engajamento de
professores e alunos na atividade de ensino-aprendizagem que na presente pesquisa eacute
tomada como uma unidade de anaacutelise miacutenima utilizando a Teoria da Atividade em sua
denominada por Engestroumlm terceira geraccedilatildeo
38
Na FIG 2 este objeto seria o terceiro deles o idealizado ndash contido na ldquonuvemrdquo o compartilhamento do objeto
da atividade de ensino e do objeto da atividade de aprendizagem
41
Moura et al (2010 p 216 grifos meus) confirmam tal posicionamento com
relaccedilatildeo ao objeto da atividade de aprendizagem focando o conhecimento o conceito e
enfatizando que
Para que a aprendizagem se concretize para os estudantes e se constitua
efetivamente como atividade a atuaccedilatildeo do professor eacute fundamental ao mediar a
relaccedilatildeo dos estudantes com o objeto do conhecimento orientando e organizando o
ensino As accedilotildees do professor na organizaccedilatildeo do ensino devem criar no estudante a
necessidade do conceito fazendo coincidir os motivos da atividade com o objeto de
estudo
Contudo quando Moura et al (2010) enfatizam que os estudantes fazem parte do
objeto da atividade de ensino realizada pelos professores parecem natildeo considerar que a
atividade de ensino somente ocorre em uma diacuteade com a atividade de aprendizagem ldquoNatildeo haacute
docecircncia sem discecircnciardquo (FREIRE 1996 p 21) Soacute haacute ensino quando haacute aprendizagem
Ensina-se algo a algueacutem e esse algueacutem precisa aprender o que foi ensinado para que de fato
se possa dizer que foi ensinado Enquanto ensinar39
pode ser sinocircnimo de instruir ou ajudar
algueacutem a adquirir determinado conhecimento o verbo aprender40
pode ser sinocircnimo de se
instruir ou adquirir determinado conhecimento No entanto Freire (1996 p 23-24 grifo
meu) apesar de natildeo ser um estudiosoadepto da Teoria da Atividade aponta que
Natildeo haacute docecircncia sem discecircncia as duas se explicam e seus sujeitos apesar das
diferenccedilas que os conotam natildeo se reduzem agrave condiccedilatildeo de objeto um do outro
Quem ensina aprende ao ensinar e quem aprende ensina ao aprender Quem ensina
ensina alguma coisa a algueacutem [] Ensinar inexiste sem aprender [] Natildeo temo
dizer que inexiste validade no ensino de que natildeo resulta um aprendizado em que o
aprendiz natildeo se tornou capaz de recriar ou de refazer o ensinado em que o ensinado
que natildeo foi apreendido natildeo pode ser realmente aprendido pelo aprendiz
Natildeo eacute claro para mim o que Freire (1996) quis dizer quando enfatizou ldquonatildeo se
reduzem agrave condiccedilatildeo de objeto um do outrordquo contudo parece ter relaccedilatildeo direta com sua
rejeiccedilatildeo no que diz respeito agrave crenccedila de que ensinar eacute transferir conhecimento a algueacutem
sendo entatildeo esse algueacutem objeto daquele que transfere o conhecimento Para Freire (1996 p
22 grifos do autor) ldquoensinar natildeo eacute transferir conhecimento mas criar possibilidades para a
sua produccedilatildeo ou a sua construccedilatildeordquo
Sendo assim entendo que Engestroumlm (2008) expotildee interconectados sistemas de
atividade perfazendo a atividade do professor e a atividade dos estudantes (school-going) de 39
httpptwiktionaryorgwikiensinar
httpwwwdiciocombrensinar 40
httpptwiktionaryorgwikiaprender
httpwwwdiciocombraprender
42
forma distinta por perceber que nem sempre acontece de o aluno se reconhecer como objeto
de sua proacutepria atividade de aprendizagem mais do que isso o autor expotildee que a atividade
escolar tradicional descrita na FIG 2 eacute ldquoamplamente considerada alienante para ambos
estudantes e professores41
rdquo (ENGESTROumlM 2008 p 90) Tal alienaccedilatildeo acontece
principalmente pelo objeto da atividade de alunos e professores no processo tradicional de
escolarizaccedilatildeo estar ancorado no livro-texto em vez de o texto representar um instrumento que
auxilie a apropriaccedilatildeo dos conhecimentos como fatos socialmente e historicamente
construiacutedos
Vale ressaltar que a necessidade de apropriaccedilatildeo dos conhecimentos na qualidade
de constructos soacutecio-histoacuterico-culturais eacute (ou deveria ser) comungada por todos os indiviacuteduos
afetados pelo processo de escolarizaccedilatildeo ndash estudantes e professores mais do que eles todos os
indiviacuteduos da sociedade almejam por instruccedilatildeo Eacute na escola que se efetuam as praacuteticas de
instruccedilatildeo baseadas nos conhecimentos institucionalizados pela ciecircncia e referenciados por
todos A necessidade que pode ser atribuiacuteda pelo compartilhamento do conhecimento eacute (ou
deveria ser) comungada por estudantes e professores que ligados a essa necessidade
constroem os respectivos objetos de suas atividades como sujeitos na escola a atividade
educacional escolar cujo objeto eacute o conhecimento a ser compartilhado Aleacutem disso somente
entendo os estudantes como objeto da atividade do professor se eles se reconhecerem como
objeto da proacutepria atividade de aprendizagem ndash enquanto o primeiro instrui o segundo se
instrui inexoravelmente42
Uma observaccedilatildeo importante feita por Engestroumlm (2008) diz respeito agrave
metodologia de anaacutelise e tambeacutem agrave de construccedilatildeo dos dados de uma investigaccedilatildeo quando se
pretende usar a (denominada por ele) terceira geraccedilatildeo da Teoria da Atividade como ldquolenterdquo
teoacuterica Nas palavras dele
Orientadas pelo objetivo accedilotildees instrumentais publicamente roteirizadas satildeo a ponta
facilmente discerniacutevel do iceberg a profundidade da estrutura social da atividade
estaacute por debaixo da superfiacutecie mas oferece estabilidade e ineacutercia para o sistema
Assim o subtriacircngulo superior (sujeito-instrumentos-objeto) da Figura 7 representa
as accedilotildees instrumentais visiacuteveis de professores e alunos O curriacuteculo oculto estaacute
amplamente localizado na parte inferior do diagrama na natureza das regras a
comunidade e a divisatildeo do trabalho da atividade43
(ENGESTROumlM 2008 p 90)
41
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquowidely considered alienating for both students and teachersrdquo 42
Na minha concepccedilatildeo baseada nas ideias de Paulo Freire ensinar e aprender satildeo atividades disjuntas Ensinar
algo a algueacutem Nisso estaacute impresso uma mutualidade no objeto idealizado da atividade de ensino-
-aprendizagem escolar algo (algum conhecimento fenocircmeno conteuacutedo) e algueacutem (aquele que desempenharaacute as
accedilotildees empreendidas pelo aprender) 43
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoGoal-oriented publicly scripted instrumental actions are the easily discernible
tip of the iceberg the deep social structure of activity is underneath the surface but provides stability and inertia
43
Mesmo natildeo sendo necessariamente visiacuteveis do ponto de vista metodoloacutegico de
uma investigaccedilatildeo seratildeo consideradas na presente pesquisa as accedilotildees instrumentais localizadas
na parte inferior do diagrama de Engestroumlm (conforme FIG 1 e FIG 2) tais como as relaccedilotildees
de poder e controle que medeiam regulam e influenciam as relaccedilotildees sociais incluindo o
discurso como um produto histoacuterico-cultural
Ainda seratildeo considerados os seguintes cinco princiacutepios baacutesicos da Teoria da
Atividade44
apontados por Engestroumlm (2001 p 136-137) O primeiro diz respeito ao uso dos
sistemas de atividade como a unidade de anaacutelise Para isso ele apresenta seu sistema
triangular estendido como modelo para organizaccedilatildeo sistecircmica dos elementos que compotildeem a
atividade conforme exemplificado anteriormente na FIG 2 O segundo princiacutepio diz respeito
agrave multivocalidade do sistema de atividade Um sistema de atividades eacute composto por
comunidades com muacuteltiplos pontos de vista tradiccedilotildees e interesses A divisatildeo do trabalho cria
diferentes posiccedilotildees para os partiacutecipes que por sua vez portam suas proacuteprias e diversas
histoacuterias de vida os sistemas de atividade portam ainda muacuteltiplas camadas e vertentes da
histoacuteria gravadas em artefatos mediadores regras e convenccedilotildees O terceiro princiacutepio afirma
que a anaacutelise da atividade e dos componentes que a formam deve sempre ser tomada em sua
historicidade perceber o papel das contradiccedilotildees no movimento de uma atividade torna
possiacutevel tambeacutem a reconstituiccedilatildeo de sua evoluccedilatildeo e do desenvolvimento de suas praacuteticas ao
longo da histoacuteria O quarto princiacutepio que segundo Engestroumlm (2001) deveria ser seguido por
uma pesquisa que utiliza a Teoria da Atividade diz respeito agrave busca pelas contradiccedilotildees
internas dentro da atividade que seriam a forccedila motriz do desenvolvimento podendo ser
expressas por distuacuterbios inovaccedilotildees e mudanccedilas nos sistemas de atividade Finalmente o
quinto princiacutepio proclama a possibilidade de transformaccedilotildees expansivas nos sistemas de
atividade ldquoUma transformaccedilatildeo expansiva eacute realizada quando o objeto e o motivo da atividade
satildeo reconceitualizados adotando um horizonte radicalmente mais amplo de possibilidades do
que no estaacutegio anterior da atividade45
rdquo (ENGESTROumlM 2001 p 137) Para Engestroumlm
(1987) um ciclo completo de transformaccedilotildees expansivas pode ser entendido como uma
jornada coletiva por meio da zona de desenvolvimento proximal da atividade que ldquoeacute a
for the system Accordingly the topmost subtriangles (subject-instruments-object) da Figure 51 represent the
visible instrumental actions of teachers and students The hidden curriculum is largely located in the bottom parts
of the diagram in the nature of the rules the community and the division of labor of the activityrdquo 44
Denominada por Engestroumlm como a terceira geraccedilatildeo da teoria da atividade 45
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoAn expansive transformation is accomplished when the object and motive of
the activity are reconceptualized to embrace a radically wider horizon of possibilities than in the previous mode
of the activityrdquo
44
distacircncia entre as accedilotildees cotidianas dos indiviacuteduos e a historicamente nova forma de atividade
social que pode ser gerada coletivamente como uma soluccedilatildeo para o dilema potencialmente
incorporado nas accedilotildees cotidianasrdquo46
(ENGESTROumlM 1987 p 174)
Engestroumlm (1993) enfatiza que no que tange agrave historicidade de uma atividade a
ser analisada pela Teoria da Atividade a classificaccedilatildeo entre modos e tipos histoacutericos deve ser
realizada Para o autor o modo se refere agrave forma que certa atividade eacute organizada e realizada
pelos participantes em um dado momento O modo ldquose assemelha a um mosaico em constante
evoluccedilatildeo consistindo de vaacuterios interesses paralelos vozes e camadas47
rdquo (ENGESTROumlM
1993 p 68) Contudo um sistema de atividade como um todo tambeacutem representa algum
padratildeo qualitativo historicamente identificaacutevel ndash um tipo ideal ndash de seus componentes e suas
relaccedilotildees internas Partindo de tal diferenciaccedilatildeo Engestroumlm (1993) constroacutei um modelo
conceitual geral que permite analisar esses tipos histoacutericos com base na caracterizaccedilatildeo de
duas variaacuteveis principais o grau de complexidade e o grau de centralizaccedilatildeo O grau de
complexidade tende a ser crescente com o passar do tempo histoacuterico Jaacute o grau de
centralizaccedilatildeo dependeraacute do tipo de atividade a ser analisada Baixos graus de centralizaccedilatildeo e
altos graus de complexidade hipoteticamente corresponderiam a atividades dominadas
coletivamente e expansivamente
Engestroumlm (2002) na tentativa de criar uma maneira proacutepria de possibilitar e
analisar aprendizagens buscou inspiraccedilatildeo em dois autores O primeiro deles Davydov propocircs
uma estrateacutegia de ensino denominada formaccedilatildeo de conceitos teoacutericos pela ascensatildeo do
abstrato ao concreto que busca por meio de uma abstraccedilatildeo primaacuteria uma ldquoceacutelula
germinativardquo formas de deduzir e unificar outras formas de abstraccedilatildeo e generalizaccedilatildeo
transformando essa abstraccedilatildeo primaacuteria em um ldquoconceitordquo que imprime a ceacutelula germinativa
em sua essecircncia Para isso eacute preciso que ldquoos alunos reproduzam o processo atual pelo qual as
pessoas criaram conceitos imagens valores e normasrdquo (DAVYDOV 1988 p 21 apud
ENGESTROumlM 2002 p 185) A segunda autora eacute Jean Lave que propocircs analisar a
aprendizagem como participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima em comunidades de praacutetica Farei uma
breve explanaccedilatildeo dessas duas abordagens48
46
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoIt is the distance between the present everyday actions of the individuals and
the historically new form of the societal activity that can be collectively generated as a solution to the double
bind potentially embedded in the everyday actionsrdquo 47
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoThe mode resembles a continuously evolving mosaic consisting of various
parallel interests voices and layersrdquo 48
Engestroumlm (2002) busca inspiraccedilatildeo nas abordagens desses dois autores e agrega a elas o ldquocontexto da criacuteticardquo
(seraacute exposto posteriormente) para gerar um contexto que segundo ele seja propiacutecio para possibilitar
aprendizagens expansivas e por conseguinte o ldquorompimento da encapsulaccedilatildeordquo da aprendizagem escolar
45
11 Meacutetodo da ascensatildeo do abstrato ao concreto de Davydov
A teoria que Davydov propocircs denominada por meacutetodo da ascensatildeo do abstrato ao
concreto considera que a encapsulaccedilatildeo da aprendizagem49
escolar acontece devido ldquoa um vieacutes
empirista descritivo e classificatoacuteriordquo (ENGESTROumlM 2002 p 186) que permeia o ensino
tradicional e a elaboraccedilatildeo dos curriacuteculos Isso implica em um total desconhecimento por parte
dos alunos da gecircnese dos conhecimentos estudados dentro das escolas Engestroumlm e Sannino
(2010b) explicam que
Uma nova ideia ou conceito teoacuterico eacute inicialmente produzido sob a forma de um
abstrato relaccedilatildeo explicativa simples uma lsquoceacutelula germinativarsquo Esta abstraccedilatildeo
inicial eacute enriquecida passo-a-passo e transformada em um sistema concreto de
muacuteltiplas manifestaccedilotildees em constante desenvolvimento Na atividade de
aprendizagem a ideia inicial simples eacute transformada em um objeto complexo em
uma nova forma de praacutetica Atividade de aprendizagem leva agrave formaccedilatildeo de
conceitos teoacutericos - praacutetica teoricamente apreendida - concreto em riqueza sistecircmica
e multiplicidade de manifestaccedilotildees Neste quadro abstrato refere-se ao parcial
separado do todo concreto50
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 5)
Karel Kosik (1976) pode nos ajudar na compreensatildeo da ascensatildeo do abstrato ao
concreto Buscando em Marx Kosik explora dialeticamente as noccedilotildees de concretude e
abstraccedilatildeo Para isso ele define primeiramente o conceito de pseudoconcreticidade Segundo
ele
O complexo dos fenocircmenos que povoam o ambiente cotidiano e a atmosfera comum
da vida humana que com a sua regularidade imediatismo e evidecircncia penetram na
consciecircncia dos indiviacuteduos agentes assumindo um aspecto independente e natural
constitui o mundo da pseudoconcreticidade A ele pertecem
O mundo dos fenocircmenos externos que se desenvolvem agrave superfiacutecie dos processos
realmente essenciais
O mundo do traacutefico e da manipulaccedilatildeo isto eacute da praxis fetichizada dos homens (a
qual natildeo coincide com a praxis criacutetica revolucionaacuteria da humanidade)
49
O autor aborda a questatildeo da descontinuidade entre atividades escolares e atividades fora da escola
considerando os conhecimentos escolares como algo encapsulado distante da realidade cotidiana dos indiviacuteduos
que participam de tais praacuteticas denominando tal fenocircmeno por encapsulaccedilatildeo da aprendizagem escolar Ao
refletir sobre os motivos que levam os indiviacuteduos a participarem de atividades escolares enfatiza que na maioria
das vezes eles natildeo aprendem para a vida mas para a escola (ENGESTROumlM 2002) 50
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoA new theoretical idea or concept is initially produced in the form of an
abstract simple explanatory relationship a lsquogerm cellrsquo This initial abstraction is step-by-step enriched and
transformed into a concrete system of multiple constantly developing manifestations In learning activity the
initial simple idea is transformed into a complex object into a new form of practice Learning activity leads to
the formation of theoretical concepts ndash theoretically grasped practice ndash concrete in systemic richness and
multiplicity of manifestations In this framework abstract refers to partial separated from the concrete wholerdquo
46
O mundo das representaccedilotildees comuns que satildeo projeccedilotildees dos fenocircmenos externos
na consciecircncia dos homens produto da praxis feitichizada formas ideoloacutegicas de
seu movimento
O mundo dos objetos fixados que datildeo a impressatildeo de ser condiccedilotildees naturais e natildeo
satildeo imediatamente reconheciacuteveis como resultados da atividade social dos homens
(KOSIK 1976 p 15 grifo do autor)
Kosik nos mostra como o pensamento dialeacutetico entre a pseudoconcreticidade e os
fenocircmenos cotidianos estatildeo inteiramente relacionados por meio da consciecircncia dos
indiviacuteduos Diz ainda que para atingir a concreticidade eacute preciso destruir a
pseudoconcreticidade Nas palavras de Kosik (1976)
O pensamento que quer conhecer adequadamente a realidade que natildeo se contenta
com os esquemas abstratos da proacutepria realidade nem com suas simples e tambeacutem
abstratas representaccedilotildees tem de destruir a aparente independecircncia do mundo dos
contatos imediatos de cada dia O pensamento que destroacutei a pseudoconcreticidade
para atingir a concreticidade eacute ao mesmo tempo um processo no curso do qual sob o
mundo da aparecircncia se desvenda o mundo real por traacutes da aparecircncia externa do
fenocircmeno se desvenda a lei do fenocircmeno por traacutes do movimento visiacutevel o
movimento real interno por traacutes do fenocircmeno a essecircncia (KOSIK 1976 p 20)
Vale ressaltar que para Kosik (1976 p 36) ldquoo meacutetodo da ascensatildeo do abstrato ao
concreto eacute o meacutetodo do pensamentordquo atuando nos conceitos que satildeo considerados os
elementos da abstraccedilatildeo Sendo assim o autor explicita que tal ascensatildeo natildeo pode ser
entendida como uma lsquopassagemrsquo de um plano (sensiacutevel) para outro plano (racional) ou seja
para ele tal ascensatildeo consiste em ldquoum movimento no pensamento e do pensamentordquo (KOSIK
1976 p 36) Nesse sentido o autor aponta que
A ascensatildeo do abstrato ao concreto eacute um movimento para o qual todo iniacutecio eacute
abstrato e cuja dialeacutetica consiste na superaccedilatildeo desta abstratividade [] O processo
do pensamento natildeo se limita a transformar o todo caoacutetico das representaccedilotildees no todo
transparente dos conceitos no curso do processo o proacuteprio todo eacute concomitante
delineado determinado e compreendido (KOSIK 1976 p 36-37)
As reflexotildees apontadas por Kosik (1976) podem nos fornecer subsiacutedios
epistemoloacutegicos para o entendimento da estrateacutegia de ascender do abstrato para o concreto de
Davydov A teoria de Davydov aponta para a necessidade de a escola atuar de forma a
direcionar os alunos a descobrirem o ldquonuacutecleordquo ou ldquogermerdquo do assunto acadecircmico a ser
estudado Nas palavras de Davydov (1988)
Ao iniciar o domiacutenio de qualquer mateacuteria curricular os alunos com a ajuda dos
professores analisam o conteuacutedo do material curricular e identificam nele a relaccedilatildeo
geral principal e ao mesmo tempo descobrem que esta relaccedilatildeo se manifesta em
47
muitas outras relaccedilotildees particulares encontradas nesse determinado material Ao
registrar por meio de alguma forma referencial a relaccedilatildeo geral principal
identificada os alunos constroem com isso uma abstraccedilatildeo substantiva do assunto
estudado Continuando a anaacutelise do material curricular eles detectam a vinculaccedilatildeo
regular dessa relaccedilatildeo principal com suas diversas manifestaccedilotildees obtendo assim
uma generalizaccedilatildeo substantiva do assunto estudado Dessa forma as crianccedilas
utilizam consistentemente a abstraccedilatildeo e a generalizaccedilatildeo substantivas para deduzir
(uma vez mais com o auxiacutelio do professor) outras abstraccedilotildees mais particulares e para
uni-las no objeto integral (concreto) estudado Quando os alunos comeccedilam a usar a
abstraccedilatildeo e a generalizaccedilatildeo iniciais como meios para deduzir e unir outras
abstraccedilotildees eles convertem as estruturas mentais iniciais em um conceito que
representa o ldquonuacutecleordquo do assunto estudado Este ldquonuacutecleordquo serve posteriormente agraves
crianccedilas como um princiacutepio geral pelo qual elas podem se orientar em toda a
diversidade do material curricular factual que tecircm que assimilar em uma forma
conceitual por meio da ascensatildeo do abstrato ao concreto (DAVYDOV 1988 p 22
apud LIBAcircNEO 2004 p 17)
Engestroumlm (2002 p 186) enfatiza que a escola tradicional tende a permanecer
inerte ldquoporque seus lsquogermesrsquo nunca satildeo descobertos pelos estudantes e consequentemente
porque os estudantes natildeo tecircm a chance de usar esses lsquogermesrsquo para deduzir explicar predizer
e controlar na praacutetica fenocircmenos e problemas concretos em seu ambienterdquo Davydov
considera seis accedilotildees que devem orientar as atividades de aprendizagem orientadas pelo
meacutetodo da ascensatildeo do abstrato para o concreto Satildeo elas
1) Transformar as condiccedilotildees da tarefa a fim de revelar a relaccedilatildeo universal do objeto
em estudo
2) Modelar a relaccedilatildeo natildeo-identificada numa forma de item especiacutefico graacutefica ou
literal
3) Transformar o modelo da relaccedilatildeo a fim de estudar suas propriedades em sua
ldquoaparecircncia purardquo
4) Construir um sistema de tarefas particulares que satildeo resolvidas por um modo
geral
5) Monitorar o desempenho das accedilotildees precedentes
6) Avaliar a assimilaccedilatildeo do modo geral que resulta da resoluccedilatildeo da tarefa de
aprendizagem dada (DAVYDOV 1988 p 30 apud ENGESTROumlM 2002 p 186)
A FIG 3 mostra as fases da generalizaccedilatildeo teoacuterica proposta por Davydov como o
meacutetodo da ascensatildeo do abstrato ao concreto
48
FIGURA 3 ndash Sumaacuterio da generalizaccedilatildeo teoacuterica de Davydov
Fonte DAVYDOV 1982 p 42 apud ENGESTROumlM 2009 p 326
Engestroumlm (2002 p 188 grifo do autor) aponta que a soluccedilatildeo proposta por
Davydov para resolver a questatildeo da aprendizagem escolar pretende ldquoempurrar a escola para
dentro do mundo tornando-a dinacircmica e teoricamente poderosa no enfrentamento de
problemas praacuteticosrdquo Poreacutem para Engestroumlm (2002) essa estrateacutegia parece natildeo mudar a base
social da aprendizagem escolar mas ldquoao colocar os alunos em contato com os descobridores
do passado a estrateacutegia pode muito bem dar poder aos alunosrdquo (ENGESTROumlM 2002 p
188)
12 A participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima de Lave
Os conceitos fundamentais da abordagem de Jean Lave e Etiene Wenger se
baseiam na Participaccedilatildeo Perifeacuterica Legiacutetima (PPL) em comunidades de praacutetica que propotildeem
a noccedilatildeo de aprendizagem como o movimento gradualmente crescente na participaccedilatildeo de
sujeitos em comunidades de praacutetica Dessa forma ldquoa aprendizagem deve ser analisada como
uma parte integral da praacutetica social em que estaacute ocorrendo Para se mudar ou melhorar a
49
aprendizagem deve se reorganizar a praacutetica socialrdquo (ENGESTROumlM 2002 p 188) Ainda
Engestroumlm (2002) sinaliza que Lave e Wenger sugerem que
a aprendizagem como participaccedilatildeo em comunidades de praacutetica eacute particularmente
efetiva (a) quando os participantes tecircm amplo acesso a diferentes partes da atividade
e terminam procedendo agrave plena participaccedilatildeo nas tarefas nucleares (b) quando haacute
abundante interaccedilatildeo horizontal entre os participantes mediada especialmente por
histoacuterias de situaccedilotildees problemaacuteticas e suas soluccedilotildees e (c) quando as tecnologias e
estruturas da comunidade de praacutetica satildeo transparentes isto eacute quando seus
mecanismos internos estatildeo disponiacuteveis para a inspeccedilatildeo do aprendiz (ENGESTROumlM
2002 p 189)
Sob a oacutetica da aprendizagem como participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima em
comunidades de praacutetica Engestroumlm (2002) enfatiza que nas escolas muitas vezes haacute a
predominacircncia de curriacuteculos ocultos produzidos por meio de experiecircncias e resultados natildeo
intencionais podendo ateacute mesmo ser considerados condenaacuteveis sob o ponto de vista dos
curriacuteculos oficiais Para fundar uma comunidade de praacutetica com base nas sugestotildees apontadas
acima de forma a reorganizar o ensino seria necessaacuteria a identificaccedilatildeo de uma comunidade
de praacutetica que simularia o que os cientistas ou aqueles que aplicam os conhecimentos
cientiacuteficos fazem em suas atividades diaacuterias
Engestroumlm (2002) aponta que a soluccedilatildeo para a questatildeo da encapsulaccedilatildeo da
aprendizagem escolar proposta por Lave e Wenger cujo foco estaacute no entendimento da
aprendizagem como participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima em comunidades de praacutetica que toma
como objeto da referida atividade o contexto de aplicaccedilatildeo praacutetica parece pretender empurrar
o mundo para dentro da escola por meio da criaccedilatildeo de ldquocomunidades de praacutetica do mundo
exterior para dentro da escolardquo (ENGESTROumlM 2002 p 191 grifo do autor)
13 Aprendizagem expansiva
Engestroumlm (2002) toma como ponto de partida as ideias de Davydov e Lave cujas
abordagens se baseiam respectivamente nos contextos da descoberta e da aplicaccedilatildeo e
anexa a esses contextos o contexto da criacutetica
Para Engestroumlm (2002) as atividades escolares que objetivem o rompimento da
encapsulaccedilatildeo da aprendizagem escolar devem iniciar-se com uma criacutetica meticulosa sobre os
conteuacutedos e procedimentos a serem abordadosestudadosaprendidos agrave luz de sua histoacuteria O
50
autor questiona ldquopor que natildeo deixar que os proacuteprios alunos descubram como suas maacutes
concepccedilotildees satildeo manufaturadas na escolardquo (ENGESTROumlM 2002 p 192 grifo meu) Para
isso o autor orienta que inicialmente seria necessaacuteria uma anaacutelise criacutetica dos livros didaacuteticos e
curriacuteculos em aacutereas especiacuteficas de conteuacutedo
Aliados os contextos da descoberta da aplicaccedilatildeo e da criacutetica podem definir o
que Engestroumlm (2002) chama de contexto da aprendizagem por expansatildeo Para o autor
O contexto da criacutetica enfatiza os poderes de resistir questionar contradizer e
debater O contexto da descoberta enfatiza os poderes de experimentar modelar
simbolizar e generalizar O contexto da aplicaccedilatildeo enfatiza os poderes da relevacircncia
social e da aplicabilidade do conhecimento do envolvimento da comunidade e da
praacutetica guiada (ENGESTROumlM 2002 p 193 grifos meus)
Engestroumlm (1987 2002) enfatiza que para o contexto da criacutetica ser plenamente
estabelecido seria necessaacuterio criar um contexto alternativo de aprendizagem de forma que aos
alunos seja inaugurada a possibilidade de elaborar e implementar um novo caminho na
praacutetica um modelo novo de praacutexis um novo modo de fazer e participar do trabalho escolar
ou seja os sujeitos tecircm de aprender algo que natildeo existe a priori ldquoeles adquirem sua atividade
futura enquanto a vatildeo criandordquo (ENGESTROumlM 2002 p 193) O autor afirma que o ldquotripeacuterdquo
ancorado pelos contextos da descoberta da aplicaccedilatildeo e da criacutetica poderia ser considerado
como ldquoo novo e expandido objeto da aprendizagemrdquo (ENGESTROumlM 2002 p 193) escolar
Para Engestroumlm (2002) esse tipo de expansatildeo no objeto implicaria uma completa
transformaccedilatildeo qualitativa da atividade de aprendizagem escolar
Engestroumlm (2001 p 138) inspirado em Bateson (1972) ndash que distingue trecircs niacuteveis
de aprendizagem (tipos I II e III) ndash propotildee uma nova abordagem para a aprendizagem ndash a
expansiva Para Bateson (1972) aprendizagens de niacutevel I estatildeo baseadas no
ldquocondicionamento aquisiccedilatildeo de respostas consideradas corretas em um dado contextordquo51
(ENGESTROumlM 2001 p 138) Aprendizagens de niacutevel II estatildeo relacionadas agrave aprendizagem
de ldquonormas e padrotildees de comportamento caracteriacutesticos do proacuteprio contextordquo52
(ENGESTROumlM 2001 p 138) Dessa forma muitas vezes os proacuteprios contextos podem estar
embebidos por demandas contraditoacuterias que podem impulsionar aprendizagens de niacutevel III
ldquoquando uma pessoa ou um grupo comeccedila a questionar radicalmente o sentido e o
significado do contexto e constroem um contexto alternativo mais amplo Aprendizagem de
51
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoconditioning acquisition of the responses deemed correct in the given
contextrdquo 52
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquorules and patterns of behavior characteristic to the context itselfrdquo
51
niacutevel III eacute essencialmente um empenho coletivordquo53
(ENGESTROumlM 2001 p 138 itaacutelicos
meus) Engestroumlm (2001) utiliza tais ideias de Bateson (1972) e propotildee a Teoria da
Aprendizagem Expansiva
Aprendizagem de niacutevel III eacute vista como atividade de aprendizagem que tem seu
proacuteprio tipo de accedilotildees e instrumentos [hellip] O objeto da atividade da aprendizagem
expansiva eacute todo o sistema de atividades em que os aprendizes estatildeo engajados
Atividades de aprendizagem expansiva produzem culturalmente novos padrotildees de
atividade Aprendizagem expansiva no trabalho produz novas formas de atividade
de trabalho (ENGESTROumlM 2001 p 139 grifo meu)54
As raiacutezes teoacutericas que fundamentam o conceito de aprendizagem expansiva foram
expostas em Engestroumlm e Sannino (2010b) Os autores apontam seis teoacutericos e as ideias
centrais que foram utilizadas como ldquopano de fundordquo teoacuterico para a elaboraccedilatildeo do conceito de
aprendizagem expansiva Da Escola Histoacuterico-Cultural Russa foram usadas seis ideias dos
acadecircmicos Lev Vygotsky Aleksei Leontev Evald Ilrsquoenkov e Vasili Davydov Aleacutem desses
teoacutericos foram utilizadas mais duas ideias oriundas dos trabalhos de Bateson e Bakhtin A
seguir com base em Engestroumlm e Sannino (2010b) farei um breve resumo dessas oito raiacutezes
1) Leontev (1981) considera as atividades coletivas tomando por base a divisatildeo do
trabalho que para ele pode levar agrave separaccedilatildeo de accedilatildeo e atividade Em uma
atividade de caccedila por exemplo cada participante tem um papel diferenciado em
termos de accedilotildees a serem executadas visando a seu engajamento na atividade Uma
accedilatildeo tem um comeccedilo definido e um fim Jaacute uma atividade coletiva se reproduz
sem um ponto final predeterminado mas orientada pelo objeto podendo
acontecer continuidade e ateacute mesmo mudanccedilas dramaticamente descontiacutenuas na
atividade pois a atividade depende das accedilotildees e das condiccedilotildees para sua realizaccedilatildeo
A proacutepria ideia de aprendizagem expansiva que pode ser entendida como um
movimento das accedilotildees para a atividade foi construiacuteda tomando-se por base a
distinccedilatildeo entre accedilatildeo e atividade
2) O conceito Vigotskiano de zona de desenvolvimento proximal (ZDP) que pode
ser entendida como a distacircncia entre o real e o potencial niacutevel de resoluccedilatildeo de
53
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquowhere a person or a group begins to radically question the sense and meaning
of the context and to construct a wider alternative context Learning III is essentially a collective endeavorrdquo 54
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoLearning III is seen as learning activity which has its own typical actions and
tools [] The object of expansive learning is the entire activity system in which the learners are engaged
Expansive learning activity produces culturally new patterns of activity Expansive learning at work produces
new forms of work activityrdquo
52
problemas considerando o real niacutevel como sendo o indiviacuteduo sozinho e o
potencial como sendo o indiviacuteduo orientado por outro(s) indiviacuteduo(s)
considerado(s) mais experiente(s) (ENGESTROumlM SANNINO 2010b)
Engestroumlm (1987) conforme exposto anteriormente com o objetivo de entender a
aprendizagem e o desenvolvimento redefiniu o conceito de ZDP adaptando as
ideias de Vigotski sob o ponto de vista das atividades coletivas gerando assim o
conceito de ZDP da atividade
3) A Teoria da Aprendizagem Expansiva pode ser entendida como uma aplicaccedilatildeo
da Teoria da Atividade devido a sua orientaccedilatildeo para o objeto Na Teoria da
Aprendizagem Expansiva o objeto pode ser considerado com um duplo sentido
tanto mateacuteria prima quanto finalidade da atividade Neste sentido o objeto
carrega consigo o motivo da atividade Sendo assim a ldquoaprendizagem expansiva eacute
um processo de transformaccedilatildeo material de relaccedilotildees vitaisrdquo (ENGESTROumlM
SANNINO 2010b p 4)
4) A Teoria da Atividade pode ser considerada como uma teoria dialeacutetica e sendo
assim o conceito de contradiccedilatildeo desempenha importante papel para a elaboraccedilatildeo
da Teoria da Aprendizagem Expansiva Com base em Ilrsquoenkov (1977 1982 apud
ENGESTROumlM SANNINO 2010b) a Teoria da Aprendizagem Expansiva
concebe as contradiccedilotildees como
[] tensotildees historicamente em evoluccedilatildeo que podem se detectadas e tratadas no real
sistema de atividade No capitalismo a contradiccedilatildeo primaacuteria presente entre valor de
uso e valor de troca eacute inerente a todas as mercadorias e todas as esferas da vida
estatildeo sujeitas a comoditizaccedilatildeo55
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 4 grifo
meu)
Os autores enfatizam que as contradiccedilotildees podem ser entendidas como forccedilas
motrizes da transformaccedilatildeo Para eles o proacuteprio ldquoobjeto de uma atividade eacute sempre
contraditoacuterio internamenterdquo (ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 4 grifos
meus) Neste sentido a contradiccedilatildeo interna presente no objeto de uma atividade
funciona como uma forccedila interna capaz de produzir movimento e direccedilatildeo para a
atividade
55
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquocontradictions as historically evolving tensions that can be detected and dealt
with in real activity systems In capitalism the pervasive primary contradiction between use value and exchange
value is inherent to every commodity and all spheres of life are subject to commoditizationrdquo
53
5) Davydov conforme exposto anteriormente desenvolveu o meacutetodo da ascensatildeo
do abstrato para o concreto que pode ser entendido como um meacutetodo cujo foco
estaacute ancorado na captura da essecircncia de um objeto Engestroumlm e Sannino (2010b)
baseiam-se nas seis accedilotildees tipicamente ideias de aprendizagem prefiguradas por
Davydov e expostas anteriormente no item 11 deste capiacutetulo para elaborar o
conceito de sequecircncia tipicamente ideal de accedilotildees em um ciclo expansivo de
aprendizagem que seraacute exposto mais adiante neste mesmo capiacutetulo desta tese
6) Nos escritos de Vigotski e de seus colaboradores podemos encontrar o
conceito de mediaccedilatildeo que pode ser entendido como accedilotildees que satildeo realizadas
pelos sujeitos de uma atividade por meio das ferramentas e os signos culturais e
orientadas para o objeto da atividade como essecircncia do funcionamento
psicoloacutegico humano Engestroumlm e Sannino (2010b) apontam que a agecircncia do
sujeito - sua capacidade para transformar um contexto eou seu proacuteprio
comportamento- o torna foco central na Teoria da Aprendizagem Expansiva Os
autores esclarecem ainda que
Vygotsky construiu sua metodologia intervencionista de estimulaccedilatildeo dupla neste
insight Em vez de meramente dando ao sujeito uma tarefa para resolver Vygotsky
deu ao sujeito tanto uma tarefa exigente (primeiro estiacutemulo) e um artefato ldquoneutrordquo
ou externamente ambiacuteguo (segundo estiacutemulo) o sujeito poderia encher de
significado e se transformar em um novo signo de mediaccedilatildeo que reforccedilaria suas
accedilotildees e potencialmente levar a ressignificaccedilatildeo da tarefa Aprendizagem expansiva
normalmente exige intervenccedilotildees formativas com base no princiacutepio de estimulaccedilatildeo
dupla56
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 5 grifos meus)
7) A metodologia intervencionista proposta por Vigotski de estimulaccedilatildeo dupla
dialoga com o pensamento do antropoacutelogo Bateson A noccedilatildeo de double bind de
Bateson (1972 apud ENGESTROumlM SANNINO 2010 p 5) configura-se como
uma raiz teoacuterica para a Teoria da Aprendizagem Expansiva e pode ser entendida
como ldquoum social dilema socialmente essencial que natildeo pode ser resolvido por
meio de accedilotildees individuais separadas por si soacute ndash mas em que as accedilotildees de
56
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoVygotsky built his interventionist methodology of double stimulation on this
insight Instead of merely giving the subject a task to solve Vygotsky gave the subject both a demanding task
(first stimulus) and a lsquoneutralrsquo or ambiguous external artifact (second stimulus) the subject could fill with
meaning and turn into a new mediating sign that would enhance his or her actions and potentially lead to
reframing of the task Expansive learning typically calls for formative interventions based of the principle of
double stimulationrdquo
54
cooperaccedilatildeo conjunta podem impulsionar uma historicamente nova forma de
atividade a surgirrdquo57
(ENGESTROumlM 1987 p 165 itaacutelicos do autor)
8) Por uacuteltimo a ideia de multivocalidade de Bakhtin (1982) configura-se como
uma raiz teoacuterica da Teoria da Aprendizagem Expansiva Engestroumlm (1987) aponta
que
Aplicado na pesquisa e aprendizagem expansiva isso significa todas as vozes
contraditoacuterias e complementares dos vaacuterios grupos e estratos no sistema de
atividade em anaacutelise devem ser envolvidas e utilizadas Como Bakhtin mostra que
isso definitivamente inclui as vozes e gecircneros natildeo acadecircmicos de pessoas comuns
Assim em vez da argumentaccedilatildeo claacutessica dentro do uacutenico tipo de discurso
acadecircmico temos conflitantes fogos de artifiacutecio de diferentes tipos de discurso e
linguagens58
(p 315 apud ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 5 grifos do autor)
A proacutepria ldquoaprendizagem expansiva eacute um processo inerentemente de debate
negociaccedilatildeo e orquestraccedilatildeordquo59
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b)
Dando por encerrado o breve resumo das oito ideias que configuram como sendo
as raiacutezes da Teoria da Aprendizagem Expansiva vale ressaltar que eacute nesse processo de
debate confrontamento dessas muacuteltiplas ldquovozes que se travam as disputas de poder e se
instauram as possibilidades de transformaccedilatildeordquo (MATEUS 2005 p 168)
Bakhtin considera que o discurso natildeo eacute individual porque se constroacutei entre pelo
menos dois interlocutores que por sua vez satildeo seres sociais e porque se constroacutei como um
ldquodiaacutelogo entre discursosrdquo ou seja manteacutem relaccedilotildees com outros discursos (BARROS 2007 p
31)
Ainda em Engestroumlm e Sannino (2010b) podemos encontrar os princiacutepios centrais
da Teoria da Aprendizagem Expansiva Para os autores a aprendizagem expansiva busca
compreender processos de aprendizagem nos quais os sujeitos da aprendizagem natildeo satildeo
considerados apenas como indiviacuteduos isolados como eacute feito em teorias tradicionais de
aprendizagem mas passam a ser tratados como coletividades e redes Isso acontece quando os
sujeitos comeccedilam a questionar e criticar a ordem e a loacutegica das atividades que estaacute engajado
Por meio de interaccedilotildees com outros membros da comunidade instituem um grupo uma
57
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoa social societally essential dilemma which cannot be resolved through
separate individual actions alone ndash but in which joint co-operative actions can push a historically new form of
activity into emergencerdquo 58
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoApplied in expansive learning and research this means all the conflicting
and complementary voices of the various groups and strata in the activity system under scrutiny shall be
involved and utilized As Bakhtin shows this definitely includes the voices and non-academic genres of the
common people Thus instead of the classical argumentation within the single academic speech type we get
clashing fireworks of different speech types and languagesrdquo 59
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoExpansive learning is an inherently multi-voiced process of debate
negotiation and orchestrationrdquo
55
coletividade engajada em analisar e modelar colaborativamente um movimento na zona de
desenvolvimento proximal (ZDP) da atividade Ao questionarem os indiviacuteduos refletem e
percebem as contradiccedilotildees historicamente acumuladas nos sistemas de atividade As
contradiccedilotildees podem se manifestar como forma de conflitos dilemas distuacuterbios e inovaccedilotildees
locais Cabe ressaltar que ldquocontradiccedilotildees satildeo mecanismos necessaacuterios mas natildeo suficientes para
a aprendizagem expansiva em um sistema de atividades60
rdquo (ENGESTROumlM SANNINO
2010b p 7)
Durante o processo de aprendizagem expansiva as contradiccedilotildees podem aparecer
das seguintes maneiras
a) Como contradiccedilotildees primaacuterias latentes emergentes dentro de cada e qualquer dos
elementos do sistema de atividade
b) Como contradiccedilotildees secundaacuterias manifestas abertamente entre dois ou mais
elementos do sistema de atividade (por exemplo entre um novo objeto e uma velha
ferramenta)
c) Como contradiccedilotildees terciaacuterias entre um recentemente estabilizado modo de
atividade e remanescentes modos anteriores de atividade
d) Como contradiccedilotildees quaternaacuterias externas entre os receacutem-reorganizados sistemas
de atividade e seus sistemas de atividades ldquovizinhosrdquo61
(ENGESTROumlM SANNINO
2010b p 7 grifos meus)
Engestroumlm e Sannino (2010b) pontuam que existe diferenccedila entre experiecircncias
conflitantes e contradiccedilotildees significativas enquanto as primeiras podem ser analisadas no niacutevel
das accedilotildees de curto prazo a segunda pode ser enquadrada no niacutevel da atividade (e inter-
atividades) e tem um ciclo bem mais longo Dessa forma analisar experiecircncias conflitantes e
contradiccedilotildees significativas produzem anaacutelises em diferentes niacuteveis
As contradiccedilotildees desempenham um papel muito importante na Teoria da
Aprendizagem Expansiva pois se configuram como forccedilas motrizes que ao serem tratadas de
tal forma pelos sujeitos engajados um novo objeto eacute construiacutedo moldado e transformado em
um motivo Nesse momento ocorre entatildeo um ato extraordinaacuterio o encontro da necessidade
com o objeto (ENGESTROumlM SANNINO 2010b) Dessa forma o motivo de uma dada
atividade coletiva passa a se configurar efetivamente para um sujeito mediante o sentido
60
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoContradictions are the necessary but not sufficient engine of expansive
learning in an activity systemrdquo 61
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquo(a) as emerging latent primary contradictions within each and any of the
nodes of the activity system
(b) as openly manifest secondary contradictions between two or more nodes (eg between a new object and an
old tool)
(c) as tertiary contradictions between a newly established mode of activity and remnants of the previous mode of
activity
(d) as external quaternary contradictions between the newly reorganized activity and its neighboring activity
systemsrdquo
56
pessoal que pode ser entendido como o sentido que ldquoexpressa a relaccedilatildeo do motivo da
atividade para o imediato objetivo da accedilatildeordquo62
(LEONTIEV 1978 p 171)
Engestroumlm e Sannino (2010b) utilizam as ideias de Davydov das accedilotildees
tipicamente ideias de aprendizagem descritas anteriormente nesta tese e descrevem uma
sequecircncia tipicamente ideal de accedilotildees epistecircmicas em um ciclo expansivo da seguinte maneira
- A primeira accedilatildeo consiste no questionamento criacutetica ou rejeiccedilatildeo de alguns aspectos
da praacutetica aceita e sabedoria existente Para simplificar chamaremos esta accedilatildeo de
interrogatoacuterio
- A segunda accedilatildeo consiste em analisar a situaccedilatildeo Analisar envolve transformaccedilotildees
mentais discursivas ou praacuteticas da situaccedilatildeo a fim de descobrir mecanismos de causa
ou explicaccedilatildeo Anaacutelise evoca ldquopor quecircrdquo questotildees e princiacutepios explanatoacuterios Um
tipo de anaacutelise eacute a histoacuterico-geneacutetica que pretende explicar a situaccedilatildeo pelo traccedilado
de suas origens e evoluccedilatildeo Outro tipo de anaacutelise eacute a real-empiacuterica que pretende
explicar a situaccedilatildeo pela construccedilatildeo de um quadro de suas relaccedilotildees sistemaacuteticas
internas
- A terceira accedilatildeo consiste no modelamento da relaccedilatildeo explicativa receacutem-descoberta
em alguns meios publicamente observaacuteveis e transmissiacuteveis Isto significa
construccedilatildeo de um modelo expliacutecito simplificado da nova ideia que explica e oferece
soluccedilatildeo para a situaccedilatildeo problemaacutetica
- A quarta accedilatildeo consiste no exame do modelo executando operando e
experimentando-o a fim de compreender plenamente sua dinacircmica potecircncia e
limitaccedilotildees
- A quinta accedilatildeo consiste na implementaccedilatildeo do modelo por meio de aplicaccedilotildees
praacuteticas enriquecimento e extensotildees conceituais
- A sexta e seacutetima accedilatildeo satildeo aquelas de refletir sobre e avaliar o processo e
consolidaccedilatildeo de seus resultados numa estaacutevel nova forma de praacutetica63
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 7 itaacutelicos dos autores negritos meus)
A seguir apresento a FIG 4 que representa a sequecircncia ideal descrita por
Engestroumlm e Sannino (2010b) em que as espessuras das setas indicam a ampliaccedilatildeo da
participaccedilatildeo nas accedilotildees de aprendizagem
62
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoexpresses the relation of motive of activity to the immediate goal of actionrdquo 63
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquo- The first action is that of questioning criticizing or rejecting some aspects
of the accepted practice and existing wisdom For the sake of simplicity we will call this action questioning
- The second action is that of analyzing the situation Analysis involves mental discursive or practical
transformation of the situation in order to find out causes or explanatory mechanisms Analysis evokes ldquowhyrdquo
questions and explanatory principles One type of analysis is historical-genetic it seeks to explain the situation
by tracing its origins and evolution Another type of analysis is actual-empirical it seeks to explain the situation
by constructing a picture of its inner systemic relations
- The third action is that of modeling the newly found explanatory relationship in some publicly observable and
transmittable medium This means constructing an explicit simplified model of the new idea that explains and
offers a solution to the problematic situation
- The fourth action is that of examining the model running operating and experimenting on it in order to fully
grasp its dynamics potentials and limitations
- The fifth action is that of implementing the model by means of practical applications enrichments and
conceptual extensions
- The sixth and seventh actions are those of reflecting on and evaluating the process and consolidating its
outcomes into a new stable form of practicerdquo
57
FIGURA 4 ndash Sequecircncia de accedilotildees de aprendizagem em um ciclo de aprendizagem expansiva
Fonte ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 8
Aleacutem disso Engestroumlm e Sannino (2010b) se baseiam em estudos empiacutericos e
intervencionistas e apontam algumas formas de manifestaccedilatildeo da aprendizagem expansiva em
atividades coletivas aprendizagem expansiva como transformaccedilatildeo do objeto como
movimento na zona de desenvolvimento proximal como ciclos de accedilotildees de aprendizagem
como superaccedilatildeo de limites e construccedilatildeo de redes e como movimentos distribuiacutedos e
descontiacutenuos Farei uma breve exposiccedilatildeo do que seriam as referidas manifestaccedilotildees observadas
nos estudos empiacutericos e intervencionistas citados por Engestroumlm e Sannino (2010b)
1) Aprendizagem expansiva como transformaccedilatildeo do objeto da atividade busca
superar a concepccedilatildeo de aprendizagem como algo individual do sujeito inerente a ele em sua
cogniccedilatildeo ou em seu comportamento A aprendizagem expansiva se manifesta essencialmente
como transformaccedilatildeo do objeto da atividade coletiva O que consequentemente pode
promover transformaccedilotildees qualitativas dos elementos que compotildeem os sistemas de atividade
Vale ressaltar que a expansatildeo pode ser entendida como um processo positivo contudo os
ldquoretrocessosrdquo tambeacutem podem ocorrer nos processos de aprendizagem expansiva Isso porque
o objeto carrega consigo contradiccedilotildees internas que podem alcanccedilar diferentes niacuteveis dentro de
um processo de aprendizagem expansiva como transformaccedilatildeo do objeto o que de certo
58
ocorre como um processo coletivo de negociaccedilatildeo e orquestraccedilatildeo (ENGESTROumlM SANNINO
2010b)
2) Aprendizagem expansiva como movimento na zona de desenvolvimento
proximal da atividade busca superar o paradigma das teorias de aprendizagem que
consideram o sucesso em provas eou outros tipos de testes de desempenho como orientadora
do ensino A aprendizagem expansiva busca superar os dilemas vividos pelos sujeitos em sua
cotidianidade por meio da construccedilatildeo coletiva de uma nova forma de praacutetica tomando por
base o enfrentamento das contradiccedilotildees incorporadas nos sistemas de atividade Entatildeo todo e
qualquer movimento coletivo em busca da minimizaccedilatildeo da distacircncia entre as ldquoaccedilotildeesrdquo
cotidianas dos indiviacuteduos e a historicamente nova forma de atividade como praacutetica social
(que pode ser requeridademandada como uma soluccedilatildeo para o dilema potencialmente
incorporado nas accedilotildees cotidianas dos sujeitos) considerado como movimento na zona de
desenvolvimento proximal da atividade pode ser entendido e analisado como processo de
aprendizagem expansiva (ENGESTROumlM SANNINO 2010b)
3) Aprendizagem expansiva como ciclos de accedilotildees de aprendizagem conforme
descrito na FIG 4 busca instaurar uma nova e bem determinada dinacircmica para analisar os
processos de aprendizagem expansiva Um ciclo expansivo de accedilotildees de aprendizagem eacute um
modelo que pode ser usado para analisar processos de transformaccedilotildees em praacuteticas sociais A
praacutetica social na qual os sujeitos participam de alguma forma os afeta podendo-os levar a
perceber tensotildees distuacuterbios eou conflitos e a partir disso sentir a necessidade de questionar
a praacutetica atual buscando assim analisar o contexto visando agrave superaccedilatildeo de tais ocorrecircncias
Estes seriam os primeiros passos rumo ao percurso de todo o ciclo de accedilotildees de aprendizagem
Vale ressaltar que a anaacutelise da praacutetica atual leva o indiviacuteduo a perceber que sozinho ele natildeo
conseguiria modificar as accedilotildees dos outros sujeitos partiacutecipes da atividade tornando assim
necessaacuterio o envolvimento de mais atores no processo de transformaccedilatildeo da atividade Com
isso o dilema social perpassa a fronteira do indiviacuteduo e atinge esferas mais amplas de
coletivos em prol de um mesmo processo de transformaccedilatildeo podendo ser entendido como um
tour pelo ciclo de accedilotildees de aprendizagem
Engestroumlm e Sannino (2010b) consideram que o uso dos ciclos de accedilotildees de
aprendizagem como quadro teoacuterico de anaacutelise de processos de transformaccedilatildeo de praacuteticas
sociais somente deve ser realizado em estudos de longos periacuteodos de tempo ou seja em
longos processos de transformaccedilatildeo Contudo os longos processos de transformaccedilatildeo que
podem ser analisados por ciclos em larga escala envolvem necessariamente numerosos ciclos
menores de accedilotildees de aprendizagem Esses ciclos menores podem ocorrer em periacuteodos mais
59
curtos de tempo talvez em dias ou mesmo horas de anaacutelise intensiva e colaborativa
Engestroumlm (1999) explica que tais ciclos-miniatura podem ser considerados como
potencialmente expansivos e aponta ainda que
Um ciclo expansivo em larga escala de transformaccedilotildees organizacionais sempre
consiste em pequenos ciclos de aprendizagem inovadores No entanto o
aparecimento de pequenos ciclos de aprendizagem inovador natildeo garante por si soacute
que existe um ciclo expansivo acontecendo Pequenos ciclos podem permanecer
eventos isolados e o ciclo global do desenvolvimento organizacional pode tornar-se
estagnado regressivo ou mesmo desmoronar A ocorrecircncia de um ciclo expansivo
completo natildeo eacute comum e ele tipicamente requer esforccedilos concentrados e
intervenccedilotildees deliberadas Com essas ressalvas em mente o ciclo de aprendizagem
expansiva e suas accedilotildees incorporadas podem ser usados para analisar em pequena
escala inovadores processos de aprendizagem64
(p 385 apud ENGESTROumlM
SANNINO 2010b p 11)
Segundo Engestroumlm e Sannino (2010b) a loacutegica que estaacute por traacutes do ciclo
expansivo eacute que um novo ciclo inicia-se toda vez que um padratildeo estaacutevel de atividade comeccedila
a ser questionado Isso pode levar muito tempo talvez anos para se configurar Aleacutem disso a
aprendizagem expansiva pode conter traccedilos de ldquoretrocessordquo o que natildeo deve ser entendido
como algo puramente negativo visto que mesmo que um novo ciclo de accedilotildees expansivas se
inicie devemos levar em conta a tentativa que consequentemente tende a possibilitar um
horizonte mais amplo para novas tentativas Nas palavras dos autores ldquoexpansatildeo
necessariamente envolve tambeacutem a possibilidade de desintegraccedilatildeo e regressatildeo65
rdquo
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 11)
4) Aprendizagem expansiva como transposiccedilatildeo de fronteiras (superaccedilatildeo de
limites) e construccedilatildeo de redes pode ser entendida como uma ldquoexpertise horizontal onde os
praticantes devem mover-se para entre fronteiras para procurar e dar ajuda para encontrar
informaccedilotildees e ferramentas onde quer que elas estejamrdquo66
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b
p 12) Para os autores transpor fronteiras pode significar ldquopisar em solordquo desconhecido
Requer muitas vezes a criaccedilatildeoconstruccedilatildeoformaccedilatildeo coletiva de novos recursos conceituais
que por sua vez demandam esforccedilos criativos dos sujeitos engajados no processo de
64
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoA large-scale expansive cycle of organizational transformation always
consists of small cycles of innovative learning However the appearance of small-scale cycles of innovative
learning does not in itself guarantee that there is an expansive cycle going on Small cycles may remain isolated
events and the overall cycle of organizational development may become stagnant regressive or even fall apart
The occurrence of a full-fledged expansive cycle is not common and it typically requires concentrated effort and
deliberate interventions With these reservations in mind the expansive learning cycle and its embedded actions
may be used as a framework for analyzing small-scale innovative learning processesrdquo 65
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoExpansion necessarily involves also the possibility of disintegration and
regressionrdquo 66
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquohorizontal expertise where practitioners must move across boundaries to seek
and give help to find information and tools wherever they happen to be availablerdquo
60
aprendizagem expansiva Jaacute a construccedilatildeo de redes pode ser entendida como um modo
emergente de colaboraccedilatildeo em organizaccedilotildees O que natildeo pode ser esquecido eacute que a formaccedilatildeo
de redes pode estar relacionada agraves hierarquias niacuteveis organizacionais considerando que os
sujeitos em variadas praacuteticas sociais comumente satildeo levados a se engajar em redes por
exemplo em ambientes de trabalho ldquoAprendizagem em redes organizacionais eacute
frequentemente descrita como movimento horizontal de informaccedilatildeo entre unidades
organizacionaisrdquo67
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 13)
Em uma faacutebrica por exemplo poderiam ser observados diferentes niacuteveis
organizacionais ndash o niacutevel da rede ideoloacutegica o niacutevel do projeto o niacutevel da produccedilatildeo e o niacutevel
dos operaacuterios Soacute que em uma empresa os processos inovadores frequentemente demandam
por coletivos de sujeitos engajados coletivamente em redes cujas ldquofronteirasrdquo podem natildeo
estar assim tatildeo bem definidas levando-se em conta apenas a divisatildeo do trabalho em ldquoclassesrdquo
Sendo assim essa rede de inovaccedilatildeo poderia ser entendida como niacutevel de parceria que
somente seria possiacutevel de ser construiacuteda como um processo de aprendizagem expansiva em
termos digamos mais tradicionais de interaccedilatildeo entre os funcionaacuterios Portanto
ldquoaprendizagem eacute tambeacutem movimento vertical e transposiccedilatildeo de fronteiras entre diferentes
niacuteveis organizacionaisrdquo68
(ENGESTROumlM SANNINO 2010 p 13 grifo meu)
5) Aprendizagem expansiva como movimento distribuiacutedo e descontiacutenuo pode ser
entendida em termos de aprendizagem em redes distribuiacutedas ou aacutereas multi-organizacionais
que apresentam caraacuteter cada vez mais distribuiacutedo e descontiacutenuo considerando aprendizagens
relacionadas ao trabalho (ENGESTROumlM SANNINO 2010b) Os processos coletivos de
aprendizagem expansiva frequentemente se apresentam cheios de lacunas interrupccedilotildees
desentendimentos conflitos e descontinuidades entre comunidades que embora possam
parecer em um primeiro momento potencialmente perturbadores tambeacutem podem representar
oportunidades de aprendizagem (ENGESTROumlM SANNINO 2010b)
Para compreendermos o que Engestroumlm e Sannino (2010b) chamam de natureza
descontiacutenua da aprendizagem expansiva devemos levar em conta as seguintes consideraccedilotildees
de Sannino e Nocon (2008 p 326)
Mesmo se as tentativas de inovaccedilatildeo local aparentemente morrem eles ainda podem
se propagar porque outros podem adotaacute-las e prossegui-las Em outras palavras a
sustentabilidade das inovaccedilotildees natildeo se refere apenas agrave continuidade local mas
67
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquolearning in organizational networks is commonly depicted as horizontal
movement of information between organizational unitsrdquo 68
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquolearning is also vertical movement and boundary crossing between different
organizational levelsrdquo
61
tambeacutem a difusatildeo e adaptaccedilotildees em outros contextos Essas adaptaccedilotildees natildeo
significam necessariamente que uma inovaccedilatildeo eacute ampliada e se torna uma reforma no
sistema mais amplo69
Com isso podemos considerar que todo e qualquer movimento ainda que
descontiacutenuo em processos de aprendizagem expansiva deve ser considerado como um
direcionamento para possiacuteveis aprendizagens expansivas pois mesmo que uma direccedilatildeo
ldquoinicialrdquo seja alterada para uma direccedilatildeo ldquoalternativardquo no decorrer do processo de
aprendizagem os aprendizes engajados em transformaccedilotildees qualitativas em respectivos
sistemas de atividade compartilhados em multiorganizaccedilotildees percorreram um caminho de
mudanccedilas o que natildeo os coloca mais em um patamar de principiantes
Encerro aqui o breve relato das manifestaccedilotildees da aprendizagem expansiva em
transformaccedilotildees de sistemas de atividade conforme abordado e fundamentado por Engestroumlm
e Sannino (2010b)
69
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoeven if local innovation attempts ostensibly die they can still spread because
others may adopt and continue them In other words the sustainability of innovations does not refer only to local
continuity but also to diffusion and adaptations in other settings Such adaptations do not necessarily mean that
an innovation is scaled up and becomes a system wide reformrdquo
62
2 CAacuteLCULO E MODELAGEM NA ENGENHARIA CONCEPCcedilOtildeES
PERSPECTIVAS E A ATUAL FORMACcedilAtildeO DO ENGENHEIRO
Neste capiacutetulo pretendo discorrer sobre alguns toacutepicos relacionados ao contexto
da presente investigaccedilatildeo Primeiramente com o intuito de localizar o foco da pesquisa nas
demandas de formaccedilatildeo profissional em Engenharia faccedilo uma breve exposiccedilatildeo sobre a atual
legislaccedilatildeo que normatiza a formaccedilatildeo de engenheiros no Brasil Em segundo lugar busco
apresentar alguns aspectos relacionados aos processos de ensino-aprendizagem das disciplinas
de Caacutelculo em cursos de Engenharia e nesse contexto de formaccedilatildeo apresento a Modelagem
Matemaacutetica como um espaccedilo formativo alternativo Em terceiro lugar na literatura sobre
Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica busco por concepccedilotildees e perspectivas relacionadas a
essa atividade Em quarto lugar apresento uma revisatildeo de literatura sobre Modelagem
Matemaacutetica em processos de ensino-aprendizagem de Caacutelculo em cursos de Engenharia Em
quinto lugar apresento a concepccedilatildeo da atividade de Modelagem Matemaacutetica assumida no
contexto da pesquisa e por fim apresento a abertura de caixas-pretas como accedilotildees
estrateacutegicas com vistas agraves possibilidades de aprendizagens expansivas relacionadas agraves
transformaccedilotildees do objeto de uma atividade de Modelagem Matemaacutetica
21 Diretrizes Curriculares para a formaccedilatildeo de engenheiros no Brasil
Em 2002 o Conselho Nacional de Educaccedilatildeo (CNE) com a Cacircmara de Educaccedilatildeo
Superior (CES) elaborou as Diretrizes Curriculares para os Cursos de Graduaccedilatildeo em
Engenharia por meio do parecer CNECSE 13622001 publicado no Diaacuterio Oficial da
Uniatildeo em 25 de fevereiro de 2002 que culminou com a publicaccedilatildeo da resoluccedilatildeo CNECES
112002 no Diaacuterio Oficial da Uniatildeo em 9 de abril de 2002 que estabelecem as diretrizes que
orientam as Instituiccedilotildees de Ensino Superior na elaboraccedilatildeo das estruturas curriculares para a
formaccedilatildeo do engenheiro conforme as demandas da sociedade Nesse documento consta que
O perfil dos egressos de um curso de engenharia compreenderaacute uma soacutelida formaccedilatildeo
teacutecnico cientiacutefica e profissional geral que o capacite a absorver e desenvolver novas
tecnologias estimulando a sua atuaccedilatildeo criacutetica e criativa na identificaccedilatildeo e resoluccedilatildeo
de problemas considerando seus aspectos poliacuteticos econocircmicos sociais ambientais
63
e culturais com visatildeo eacutetica e humaniacutestica em atendimento agraves demandas da
sociedade (BRASIL 2002)
Ainda a resoluccedilatildeo aponta quatorze habilidades e competecircncias necessaacuterias para a
formaccedilatildeo do egresso dos cursos de Engenharia no Brasil Satildeo elas
a) aplicar conhecimentos matemaacuteticos cientiacuteficos tecnoloacutegicos e instrumentais agrave
engenharia
b) projetar e conduzir experimentos e interpretar resultados
c) conceber projetar e analisar sistemas produtos e processos
d) planejar supervisionar elaborar e coordenar projetos e serviccedilos de engenharia
e) identificar formular e resolver problemas de engenharia
f) desenvolver eou utilizar novas ferramentas e teacutecnicas
g) supervisionar a operaccedilatildeo e a manutenccedilatildeo de sistemas
h) avaliar criticamente a operaccedilatildeo e a manutenccedilatildeo de sistemas
i) comunicar-se eficientemente nas formas escrita oral e graacutefica
j) atuar em equipes multidisciplinares
k) compreender e aplicar a eacutetica e responsabilidade profissionais
l) avaliar o impacto das atividades da engenharia no contexto social e ambiental
m) avaliar a viabilidade econocircmica de projetos de engenharia
n) assumir a postura de permanente busca de atualizaccedilatildeo profissional (BRASIL
2002)
Aleacutem disso a resoluccedilatildeo (CNECSE 112002) tambeacutem direciona os cursos de
Engenharia com relaccedilatildeo aos conteuacutedos curriculares e delimita em 30 a carga horaacuteria
miacutenima dos cursos atendendo ao nuacutecleo de conteuacutedos baacutesicos que engloba dentre outros os
conteuacutedos da matemaacutetica Ainda segundo a resoluccedilatildeo 15 da carga horaacuteria miacutenima versaraacute
sobre toacutepicos que entre outros englobam Matemaacutetica Discreta Modelagem Anaacutelise e
Simulaccedilatildeo de Sistemas
Franchi (2002) ao realizar sua pesquisa de doutorado buscou dentre outras
coisas compreender as necessidades profissionais da Engenharia Para a autora o curriacuteculo de
Engenharia deve ser estruturado de modo a atender a tais necessidades Nesse sentido
focando nas disciplinas matemaacuteticas que compotildeem a grade curricular dos referidos cursos a
autora entende que os objetivos devam ser orientados pelo cumprimento agraves necessidades de
formaccedilatildeo considerando que as principais habilidadescompetecircncias do engenheiro atual satildeo
Capacidade de identificar formular e resolver problemas de Engenharia
considerando os aspectos multifuncionais relacionados a eles avaliando os impactos
na sociedade Isto inclui ter soacutelida formaccedilatildeo baacutesica (princiacutepios da ciecircncia que daacute
embasamento teoacuterico agrave sua profissatildeo) ter conhecimentos teacutecnicos (produtos e
processos) e ter conhecimentos natildeo teacutecnicos (sociais poliacuteticos eacuteticos e ambientais)
Inclui tambeacutem a capacidade de buscar as informaccedilotildees e usar ferramentas modernas
para a soluccedilatildeo dos problemas
Criatividade
Espiacuterito criacutetico
Capacidade de comunicaccedilatildeo oral e escrita
64
Capacidade de cooperaccedilatildeo
Capacidade de trabalho em equipe
Capacidade de aprendizagem contiacutenua (autoaprendizagem) (FRANCHI 2002 p
27)
Embora natildeo esteja focando especificamente o olhar para as disciplinas de
Caacutelculo que satildeo estudadas nos cursos de Engenharia mas para todas as disciplinas de
Matemaacutetica70
que satildeo desenvolvidas em tais cursos Franchi (2002) apresenta uma proposta
curricular para nortear os conteuacutedos de Matemaacutetica para os cursos de Engenharia utilizando-
se de recursos de Informaacutetica e de Modelagem Matemaacutetica
Soares e Sauer (2004) apontam para a necessidade de examinar questotildees
relacionadas ao tema ldquoensino-aprendizagem da Matemaacutetica para a Engenhariardquo devido agraves
aparentes dificuldades que os engenheiros apresentam em lidar com conceitos matemaacuteticos
em suas vidas profissionais As autoras afirmam que
As disciplinas baacutesicas do curso de Engenharia precisam capacitar os aprendizes a
relacionar conceitos matemaacuteticos com situaccedilotildees reais e desenvolver raciociacutenio
dedutivo habilitando-os a lerem os textos matemaacuteticos e a interpretarem fenocircmenos
frequentemente do ponto de vista da Fiacutesica Esta ligaccedilatildeo entre o universo fenomenal
da Matemaacutetica e o mundo das relaccedilotildees dos objetos fiacutesicos entre si talvez capture o
que seria competecircncia teacutecnica de mais alto niacutevel para qualquer engenheiro
(SOARES SAUER 2004 p 265 grifo meu)
As autoras neste texto natildeo se utilizam do termo ldquoModelagem Matemaacuteticardquo como
uma possibilidade para o desenvolvimento das competecircncias teacutecnicas para a formaccedilatildeo dos
engenheiros contudo segundo elas a ligaccedilatildeo entre ldquoo universo fenomenal da Matemaacutetica e o
mundo das relaccedilotildees dos objetos fiacutesicosrdquo (SOARES SAUER 2004 p 265) a meu ver pode
ser realizada por meio da Modelagem Burghes e Borrie (1981) sugerem vaacuterios temas da
Fiacutesica que podem ser desenvolvidos por meio da Modelagem com Equaccedilotildees Diferenciais
entre eles Lei de Torricelli Circuitos Eleacutetricos Redes Eleacutetricas Movimento Planetaacuterio
Oscilaccedilotildees Mecacircnicas e Sistema Massa-Mola
Vale ressaltar que com o desenvolvimento da presente pesquisa natildeo pretendo
investigar se a Modelagem Matemaacutetica se configura de fato como uma praacutetica presente ou
mesmo necessaacuteria para o trabalho dos engenheiros A presente pesquisa busca um
alinhamento agraves atuais demandas de formaccedilatildeo matemaacutetica necessaacuterias agrave formaccedilatildeo em
70
Para a autora as disciplinas de Matemaacutetica de cursos de Engenharia englobam os seguintes temas Caacutelculo
Vetorial Caacutelculo Diferencial e Integral Geometria Analiacutetica Aacutelgebra Linear Caacutelculo Numeacuterico Probabilidade
e Estatiacutestica (FRANCHI 2002)
65
Engenharia referendadas pelos pareceres e resoluccedilotildees oficiais por meio da Modelagem
Matemaacutetica
22 Caacutelculo em cursos de Engenharia
Nas Universidades departamentalizadas os docentes que lecionam as disciplinas
de Caacutelculo em cursos de Engenharia geralmente estatildeo subordinados didaacutetica e
pedagogicamente aos departamentos de Matemaacutetica o que pode reforccedilar a manutenccedilatildeo da
falta de reflexatildeo e informaccedilatildeo ldquosobre a necessidade da disciplina que leciona para a formaccedilatildeo
do futuro engenheirordquo (BALDINO CABRAL 2004 p 141) Esse fenocircmeno natildeo estaacute
limitado aos professores das disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia como afirmam
Moreno e Azcaacuterate Gimeacutenez (2003)
No caso de professores de matemaacuteticas de universidade o conhecimento que tecircm
sobre o processo de ensino e aprendizagem eacute fruto da experiecircncia docente e do
efeito da socializaccedilatildeo que lhes fazem repetir os esquemas daqueles professores que
lhes ensinaram em sua eacutepoca de estudantes Os docentes universitaacuterios natildeo
costumam ter nenhuma formaccedilatildeo didaacutetica especiacutefica aleacutem da cientiacutefica que os
capacite a ensinar71
(MORENO AZCAacuteRATE GIMEacuteNEZ 2003 p 267)
No Brasil muitos docentes que lecionam disciplinas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia tiveram pouca ou nenhuma formaccedilatildeo direcionada para serem professores A
legislaccedilatildeo brasileira permite que o portador de diploma de bacharelado ocupe cargos de
docecircncia em niacutevel superior o que inclui os cursos de Engenharia
Os professores de Caacutelculo dos cursos de Engenharia assim como toda a
comunidade envolvida nesse setor tecircm percebido mudanccedilas em relaccedilatildeo ao perfil do alunado
ingressante apoacutes a expansatildeo das Universidades Federais72
e a implantaccedilatildeo do Plano de
Reestruturaccedilatildeo e Expansatildeo das Universidades Federais (Reuni) elaborados e implementados
pelo Governo Federal em 2007 que objetivava dentre outras coisas a democratizaccedilatildeo do
71
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoEn el caso de los professores de matemaacuteticas de universidad el conocimiento
que tienen sobre el proceso de ensentildeanza y aprendizaje es fruto de la experiencia docente y del efecto de la
socializacioacuten que les hace repetir los esquemas de aquellos profesores que les ensentildearon en su eacutepoca de
estudiantes Los docentes universitarios no suelen tener ninguna formacioacuten didaacutectica especiacutefica a parte de la
cientiacutefica que les capacite para ensentildearrdquo 72
A instituiccedilatildeo escolhida para compor os dados para esta pesquisa estaacute incluiacuteda no Plano de Reestruturaccedilatildeo e
Expansatildeo das Universidades Federais
66
acesso de alunos agraves universidades federais Campos (2012 p 28) em sua pesquisa de
doutorado afirma que
No caso de um curso de Engenharia a expectativa eacute que o estudante jaacute traga uma
significativa bagagem em matemaacutetica e ciecircncias que em princiacutepio deveria ter sido
adquirida no ensino fundamental e meacutedio Essas seriam competecircncias esperadas dos
alunos por se tratarem de preacute-requisitos para o ingresso nos cursos que satildeo aferidos
num rigoroso e concorrido vestibular Nesse processo de seleccedilatildeo os estudantes satildeo
submetidos a testes em que todos os conteuacutedos que tradicionalmente passaram a
fazer parte da grade do ensino baacutesico poderatildeo ser cobrados Dessa forma
independentemente do seu histoacuterico escolar sobre aqueles que satildeo aprovados recai
a expectativa de estarem familiarizados com todos esses conteuacutedos o que nem
sempre acontece
O autor aponta que o esperado pela universidade eacute o perfil de um aluno que parece
ser idealizado e natildeo um aluno real Mesmo antes das expansotildees e do Reuni as dificuldades
em relaccedilatildeo agrave aprendizagem das disciplinas de Caacutelculo sempre fizeram parte da rotina
universitaacuteria73
Poreacutem o problema pode ter sido colocado em relevo com o excesso de alunos
em turmas de Caacutelculo aliado a uma possiacutevel sobrecarga de trabalho do professor conforme
apontado por Campos (2012 p 24)
Outra questatildeo apontada estaacute ligada agrave meta de as Universidades terem uma meacutedia de
18 alunos por professor em cursos presenciais Essa taxa foi estabelecida levando
em consideraccedilatildeo o caacutelculo que dava agrave eacutepoca da formulaccedilatildeo do REUNI uma meacutedia
de 145 alunos por professor nas IFES A criacutetica nesse quesito diz respeito agrave forma
como esse caacutelculo foi feito desconsiderando que muitos professores ocupam cargos
administrativos e que algumas disciplinas praacuteticas muito especializadas soacute podem
funcionar com um nuacutemero de alunos muito reduzido Ao natildeo levar essas questotildees
em conta o nuacutemero apresentado no REUNI esconde o fato de jaacute haver turmas
superlotadas aleacutem de natildeo dar o devido peso agrave carga de trabalho dos docentes na
poacutes-graduaccedilatildeo Assim elevar ainda mais o nuacutemero de alunos por sala pode gerar
uma sobrecarga de trabalho dos professores o que prejudicaria o ensino a pesquisa
e o atendimento agrave poacutes-graduaccedilatildeo
Os conteuacutedos geralmente presentes nas ementas das disciplinas de Caacutelculo dos
cursos de Engenharia natildeo sofreram consideraacuteveis mudanccedilas no uacuteltimo seacuteculo
(BIEMBENGUT HEIN 2007) Poreacutem as possibilidades de uso ensino e aprendizagem dos
seus conteuacutedos poderiam ser (re)pensadas em consonacircncia agraves exigecircncias de formaccedilatildeo e
consequentemente atuaccedilatildeo do engenheiro na sociedade atual Biembengut e Hein (2007 p
415) afirmam que o ensino de Caacutelculo em cursos de Engenharia no Brasil se revela
inadequado e insuficientemente ajustado Eles enfatizam que entre as causas principais dessa
situaccedilatildeo podem estar 1) as disciplinas de Caacutelculo satildeo dadas por professores como se fossem
73
Natildeo apenas para estudantes de cursos de Engenharia
67
hermeticamente fechadas 2) a maioria dos profissionais da Engenharia afirma que a
Matemaacutetica aprendida em seus cursos eacute insuficiente para a praacutetica da Engenharia 3) Caacutelculo
Diferencial faz parte dos preacute-requisitos de muitas disciplinas e natildeo eacute ensinado de acordo com
o curso em questatildeo Os autores ainda realccedilam o seguinte
Os estudantes natildeo veem qualquer utilidade para isto e aleacutem disso eles
permanecem obscuros sobre as aplicaccedilotildees futuras do que lhes satildeo ensinados
A matemaacutetica desenvolvida nos primeiros quatro semestres acaba esquecida pelos
estudantes justo quando eles precisam usa-la em suas disciplinas profissionais
Aacutelgebra e Caacutelculo registram maiores iacutendices de evasatildeo e fracasso
Conceitos como funccedilotildees limites derivadas e integrais satildeo ensinados da mesma
maneira para todos os cursos (Quiacutemica Biologia Economia Matemaacutetica) a uacutenica
diferenccedila ocorre na ecircnfase dada pelo professor74
(BIEMBENGUT HEIN 2007 p
415)
Os autores ainda apontam que a ecircnfase eacute dada quase que exclusivamente nas
teacutecnicas e natildeo nas aplicaccedilotildees sem qualquer conexatildeo com a Engenharia ou seja satildeo
negligenciados alguns conceitos fundamentais em detrimento de regras e teacutecnicas Uma
consequecircncia disso segundo Biembengut e Hein (2007 p 416) eacute que ldquoquando esses alunos
futuros profissionais se depararem com um problema ou situaccedilatildeo para avaliar analisar ou
resolver que requeira uma decisatildeo sobre melhor desempenho eles natildeo reconhecem as
ferramentas que eles jaacute adquiriram durante sua educaccedilatildeo75
rdquo
Franchi (2002) aponta para a necessidade de que os conteuacutedos de Matemaacutetica
desenvolvidos em cursos de Engenharia sejam apresentados como uma linguagem de traduccedilatildeo
e equacionamento de fenocircmenos da realidade aleacutem de ferramentas para entendimento e
soluccedilatildeo de problemas relacionados a tais fenocircmenos Pontua ainda que tal maneira de olhar
para a Matemaacutetica em cursos de Engenharia nem sempre eacute percebida pelos alunos e justifica
que isso ocorre devido agrave forma como a Matemaacutetica eacute tradicionalmente abordada nesses
cursos
Outro aspecto que julgo importante ser colocado em relevo eacute a frequente
manutenccedilatildeo das metodologias e do enfoque teoacuterico por parte dos professores de Caacutelculo em
74
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoStudents do not see any use for this and furthermore they remain nuclear
about the future applications of what they are taught
The mathematics developed in the first four semesters ends up forgotten by students just when they need use it in
their professional disciplines
Algebra e Calculus record the highest indices of withdrawal and failure
Concepts like functions limits derivatives and integrals are taught in the same way for all courses (Chemistry
Biology Economics Mathematics etc) the only difference occurring in the many emphasis given by the
teacherrdquo 75
Traduccedilatildeo realizada por min de ldquoWhen these students future professional find themselves with a problem or
situation to evaluate analyze or resolve that requires a decision about better performance they not recognize the
tools that they have already acquired during their educationrdquo
68
cursos de Engenharia que ldquoprocuram livros texto que satildeo em geral mais adequados para eles
mesmos que satildeo os mesmos que foram usados em sua proacutepria educaccedilatildeo e reescrevem-no
para usar em suas respectivas classes76
rdquo (BIEMBENGUT 1997 apud BIEMBENGUT
HEIN 2007 p 416)
Biembengut e Hein (2007) esclarecem que torna-se urgente que os professores
busquem uma reorganizaccedilatildeo de conteuacutedos e meacutetodos de ensino de maneira que permita a
articulaccedilatildeo entre teorias matemaacuteticas e a atividade do engenheiro fazendo com que o meacutetodo
de ensino permita-os enfatizar os princiacutepios fiacutesicos da Engenharia e as teorias matemaacuteticas
ajudem-nos a descrever e a compreender melhor tais fenocircmenos A necessidade de incorporar
alguns conhecimentos natildeo matemaacuteticos pelos docentes das disciplinas de Caacutelculo em cursos
de Engenharia em suas praacuteticas de ensino torna-se indispensaacutevel sob esse ponto de vista
Nesse sentido Franchi (2002) aponta que quando precisam utilizar algum
conteuacutedo de Matemaacutetica em suas disciplinas os professores de disciplinas mais avanccediladas de
cursos de Engenharia frequentemente precisam retomar ou (re)ensinar os conceitos que
necessitam posto que depois de algum tempo os alunos tendem a se esquecer dos conceitos
e teacutecnicas que foram trabalhados nas disciplinas de Matemaacutetica em cursos de Engenharia
Boyce e Diprima (1996 p 1) enfatizam que ldquoa razatildeo principal para resolver
muitas equaccedilotildees matemaacuteticas eacute procurar aprender algo a respeito do processo fiacutesico que a
equaccedilatildeo se propotildee a representarrdquo Soacute que ldquode maneira geral a ecircnfase eacute dada aos meacutetodos de
resoluccedilatildeo das equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias esquecendo-se do problema que origina tal
modelo bem como da interpretaccedilatildeo de suas soluccedilotildeesrdquo (JAVARONI 2007 p 20) Assim
parece que nas disciplinas de Caacutelculo dos cursos de Engenharia essa razatildeo de ser muitas
vezes acaba sendo deixada de lado
A forma de trabalhar as disciplinas de Caacutelculo voltadas para si mesmas e
desligadas das aplicaccedilotildees pode acabar provocando um distanciamento de tais conteuacutedos agrave
realidade dos problemas estudados durante a formaccedilatildeo do engenheiro Hubbard (1994 p 372
apud HABRE 2000 p 455) por exemplo pontua que ldquoexiste uma alarmante discrepacircncia
entre a visatildeo de equaccedilotildees diferenciais como ligaccedilatildeo entre a matemaacutetica e a ciecircncia e o curso
padratildeo de equaccedilotildees diferenciaisrdquo77
Tal discrepacircncia poderia ser minimizada ou amenizada
mediante a apresentaccedilatildeo dos conceitos de Caacutelculo com referecircncia na realidade
76
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoLook for textbooks that are in general better suited to themselves that is the
same that were used in their own education and rewrite them for use in their respective classesrdquo 77
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoThere is a dismaying discrepancy between this view of differential equations
as the link between mathematics and science and the standard course on differential equationsrdquo
69
A partir da anaacutelise de uma situaccedilatildeo real eacute possiacutevel fazer com que o aluno percorra as
etapas de aquisiccedilatildeo do conhecimento iniciando pelo aspecto afetivo (onde ele deve
sentir a Matemaacutetica presente e ter dela uma compreensatildeo preacutevia) passando pela
interpretaccedilatildeo e busca de significado chegando agrave compreensatildeo Conceitos bem
compreendidos podem ser aplicados com mais facilidade O trabalho com os
conceitos a partir de temas externos agrave Matemaacutetica eacute essencialmente interdisciplinar
Olhar para o problema sob a oacutetica de apenas uma disciplina conduz a uma visatildeo
fragmentada da situaccedilatildeo Um estudo amplo considerando os diversos aspectos que o
problema pode envolver sem duacutevida eacute interessante As caracteriacutesticas do problema
indicaratildeo qual o recurso mais adequado para ser utilizado (FRANCHI 2002 p 51)
Uma maneira de apresentar e desenvolver tais problemas ou situaccedilotildees no contexto
dos cursos de Engenharia poderia se dar por meio da Modelagem Matemaacutetica que
basicamente pode ser entendida como a apresentaccedilatildeo de um problema ndash cuja origem pode
estar ou natildeo na aacuterea de atuaccedilatildeo dos futuros engenheiros devendo ser resolvido a partir da
construccedilatildeo de um modelo que possa ser representado por meio da utilizaccedilatildeo de ferramentas
estudadas nas disciplinas de Caacutelculo que inclui as Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias
Camarena (2009 p 123) entende que um modelo matemaacutetico no contexto dos
cursos de Engenharia eacute ldquouma relaccedilatildeo matemaacutetica que descreve objetos ou problemas de
engenhariardquo78
Tal relaccedilatildeo matemaacutetica poderia ser uma equaccedilatildeo um sistema de equaccedilotildees
uma distribuiccedilatildeo de probabilidade entre outros
Barbosa (2004a p 67 grifo do autor) entende ser necessaacuteria a inserccedilatildeo da
Modelagem Matemaacutetica em disciplinas em serviccedilo jaacute que ldquopela sua proacutepria natureza
interdisciplinar a Modelagem eacute a porta de entrada privilegiada para atender a algumas
expectativas dos alunos nos cursos79
de serviccedilordquo
A Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia por se tratar de uma
atividade que pressupotildee interdisciplinaridade desenvolvimento de habilidades de resoluccedilatildeo
de problemas por meio de modelos matemaacuteticos trabalho em equipe e formaccedilatildeo criacutetica em
termos de atuaccedilatildeo social dos futuros engenheiros pode colaborar com o desenvolvimento das
habilidades e competecircncias aclamadas na resoluccedilatildeo como por exemplo ldquoaplicar
conhecimentos matemaacuteticos cientiacuteficos tecnoloacutegicos e instrumentais agrave engenhariardquo ldquoatuar
em equipes multidisciplinaresrdquo e ldquoavaliar o impacto das atividades da engenharia no contexto
social e ambientalrdquo (BRASIL 2002)
Corroborando tal consideraccedilatildeo Franchi (2002 p 74) enfatiza que ldquoo trabalho
com a Modelagem Matemaacutetica pode ajudar a desenvolver nos alunos [dos cursos de
Engenharia] as habilidades necessaacuterias para a resoluccedilatildeo de problemas preparando-o para
78
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoa mathematical relation that describes engineering objects or problemsrdquo 79
Barbosa (2004) utiliza o termo curso em referecircncia agrave disciplina
70
enfrentar situaccedilotildees novas e buscar soluccedilotildeesrdquo A autora enfatiza ainda que a Modelagem
Matemaacutetica propicia o desenvolvimento de habilidades tais como criatividade espiacuterito criacutetico
e capacidade de aprendizagem contiacutenua que satildeo essenciais para a atuaccedilatildeo profissional dos
engenheiros Aleacutem de possibilitar o desenvolvimento natural de habilidades de comunicaccedilatildeo
oral e escrita capacidade de cooperaccedilatildeo e trabalho em equipe (FRANCHI 2002)
No sentido de alinhavar e desenvolver a reflexatildeo aqui proposta a seguir busco
discorrer sobre perspectivas e concepccedilotildees de Modelagem configuradas na Educaccedilatildeo
Matemaacutetica que pressupotildeem um modo mais geral de conceber a Modelagem em diversos
niacuteveis de formaccedilatildeo matemaacutetica e posteriormente seguir no sentido de
especificarexemplificar concepccedilotildees e perspectivas que podem configurar a Modelagem na
formaccedilatildeo em Caacutelculo demandada pelos e nos cursos de Engenharia
23 Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica concepccedilotildees e perspectivas
A Modelagem eacute uma tendecircncia que vem permeando o cenaacuterio da Educaccedilatildeo
Matemaacutetica no Brasil jaacute haacute algum tempo inclusive recentemente passou a ser incorporada
aos documentos oficiais do Ministeacuterio da Educaccedilatildeo (MEC) como uma possibilidade para os
processos de ensino-aprendizagem de Matemaacutetica na Educaccedilatildeo Baacutesica (BRASIL 2006)
A Modelagem Matemaacutetica na Educaccedilatildeo Matemaacutetica de acordo com Borba e
Villareal (2005) foi introduzida no Brasil preconizada pelos trabalhos de Paulo Freire e
Ubiratan DrsquoAmbrosio entre o final da deacutecada de 70 e o iniacutecio da deacutecada de 80 Naquela
eacutepoca as atividades de Modelagem eram baseadas em ldquosituaccedilotildees-problemardquo com o foco no
real no cotidiano que desafiassem alunos e professores Vale ressaltar que naquela eacutepoca o
uso de maacutequinas e programas computacionais jaacute permeava os ambientes de Modelagem
Matemaacutetica (MEYER CALDEIRA MALHEIROS 2011)
Podemos afirmar que na deacutecada de 80 a Modelagem Matemaacutetica ganhou forccedila
no paiacutes sob a influecircncia de trabalhos como os de Aristides Barreto Ubiratan DrsquoAmbrosio
Rodney Bassanezi Joatildeo Frederico Meyer entre outros que disseminaram a Modelagem
Matemaacutetica por meio de cursos para a formaccedilatildeo de professores e accedilotildees em salas de aula
(MEYER CALDEIRA MALHEIROS 2011)
Algumas concepccedilotildees de Modelagem Matemaacutetica em contextos escolares foram
apontadas por Barbosa (2001a 2003 2004a) Burak (1992) e Biembengut e Hein (2007
71
2011) Barbosa (2001a p 6) entende que a ldquomodelagem eacute um ambiente de aprendizagem no
qual os alunos satildeo convidados a indagar eou investigar por meio da matemaacutetica situaccedilotildees
oriundas de outras aacutereas da realidaderdquo Para Burak (1992 p 62) a ldquoModelagem Matemaacutetica
constitui-se em um conjunto de procedimentos cujo objetivo eacute estabelecer um paralelo para
tentar explicar matematicamente os fenocircmenos presentes no cotidiano do ser humano
ajudando-o a fazer prediccedilotildees e a tomar decisotildeesrdquo Jaacute Biembengut e Hein (2011) concebem a
Modelagem Matemaacutetica como estrateacutegia teacutecnica ou metodologia de ensino cujo foco estaacute na
obtenccedilatildeo de um modelo matemaacutetico com intuito de ensinar conhecimentos acadecircmicos que
possam ajudar as pessoas em termos das possibilidades de atuaccedilatildeo nos diversos contextos de
vida
Natildeo haacute uma uacutenica definiccedilatildeo de Modelagem Matemaacutetica mas diferentes
concepccedilotildees de Modelagem satildeo assumidas por quem usa Modelagem em contextos
educacionais sempre levando em conta que situaccedilotildees diferentes podem levar a diferentes
conceituaccedilotildees de Modelagem (MEYER CALDEIRA MALHEIROS 2011) Vale ressaltar
que assumo o termo concepccedilatildeo80
designando ldquotanto o ato de conceber quanto o objeto
concebido mas preferivelmente o ato de conceber e natildeo o objeto para o qual deve ser
reservado o termo conceitordquo (ABBAGNANO 2007 p 169 grifo do autor)
Instigada em compreender as concepccedilotildees de Modelagem Matemaacutetica assumidas
por alguns autores que fazem uso da palavra arte em tal conceitualizaccedilatildeo tais como
Bassanezi (2006) e Biembengut e Hein (2011) busquei na internet pelo significado da palavra
ldquoarterdquo e encontrei
Arte (do latim ars significando teacutecnica eou habilidade) geralmente eacute entendida como a atividade humana ligada a manifestaccedilotildees de
ordem esteacutetica ou comunicativa realizada a partir da percepccedilatildeo das emoccedilotildees e das ideias com o objetivo de estimular essas instacircncias da consciecircncia e dando
um significado uacutenico e diferente para cada obra (httpsptwikipediaorgwikiArte 10042013)
Com base no significado acima podemos refletir sobre a concepccedilatildeo de
Modelagem Matemaacutetica assumida por Bassanezi (2006 p 16) que consiste na ldquoarte de
transformar problemas da realidade em problemas matemaacuteticos e resolvecirc-los interpretando
suas soluccedilotildees na linguagem do mundo realrdquo Primeiro o significado da palavra arte pode ser
uma teacutecnica ou habilidade fazendo parte da atividade humana ligada a manifestaccedilotildees de
80
ldquoTatildeo logo um conceito eacute simbolizado para noacutes nossa imaginaccedilatildeo reveste-se de uma concepccedilatildeo privada e
pessoal que soacute podemos distinguir por um processo de abstraccedilatildeo do conceito puacuteblico e comunicaacutevelrdquo (LANGER
apud ABBGNANO 2007 p 169)
72
ordem esteacutetica e comunicativa realizada a partir da percepccedilatildeo de emoccedilotildees e das ideias Dessa
forma a arte de transformar problemas da realidade em problemas matemaacuteticos pode
perpassar por questotildees de ordem esteacutetica e comunicativa que por sua vez tem estreita
relaccedilatildeo com as necessidades dos seres humanos de cooperaccedilatildeo e eacutetica Segundo tal teacutecnica ou
habilidade de transformar problemas da realidade em problemas matemaacuteticos leva em conta
as vivecircncias as subjetividades estreitamente ligadas ao pensamento ao mundo das ideias E
por uacuteltimo a arte tem como objetivo estimular instacircncias da consciecircncia produzir
significados para as obras de arte aqui relacionadas agrave transformaccedilatildeo de problemas reais em
problemas de Matemaacutetica sendo que a uacuteltima instacircncia dessa obra se realiza por meio da
interpretaccedilatildeo das soluccedilotildees na linguagem do mundo real que por sua vez pode possibilitar
novos olhares sobre a realidade
Aleacutem disso Bassanezi (2006 p 38 grifo meu) considera que ldquomais importante do
que os modelos obtidos eacute o processo utilizado a anaacutelise criacutetica e sua inserccedilatildeo no contexto
soacutecio-culturalrdquo Tal posicionamento pode nos levar ao entendimento de que o termo arte
presente em sua concepccedilatildeo de Modelagem Matemaacutetica em termos do processo utilizado
poderia ser resumido nas accedilotildees de transformar (problemas da realidade em problemas
matemaacuteticos) resolver (os problemas matemaacuteticos) e interpretar (suas soluccedilotildees na linguagem
do mundo real) Aleacutem de objetivar a motivaccedilatildeo para o aprendizado da matemaacutetica o autor
acredita que ldquoas discussotildees sobre o tema escolhido favorecem a preparaccedilatildeo do estudante
como elemento participativo da sociedade em que viverdquo (BASSANEZI 2006 p 38)
Biembengut e Hein (2011) concebem a Modelagem Matemaacutetica como um
processo que envolve a obtenccedilatildeo de um modelo podendo ser considerado um processo
artiacutestico visto que para os autores na elaboraccedilatildeo de um modelo aleacutem do conhecimento
matemaacutetico o modelador necessita ter uma dose significativa de intuiccedilatildeo e criatividade para
interpretar o contexto saber discernir qual(is) conteuacutedo(s) matemaacutetico(s) se adapta(m) melhor
e senso luacutedico para jogar com as variaacuteveis escolhidas Nas palavras dos autores ldquoa
modelagem matemaacutetica eacute assim uma arte ao formular resolver e elaborar expressotildees que
valham natildeo apenas para uma soluccedilatildeo particular mas que tambeacutem sirvam posteriormente
como suporte para outras aplicaccedilotildees e teoriasrdquo (BIEMBENGUT HEIN 2011 p 13 grifo
meu)
Aleacutem disso Bassanezi (2006) e Biembengut e Hein (2011) denominam
ldquoModelaccedilatildeo Matemaacuteticardquo o meacutetodo ou estrateacutegia de ensino que utiliza a essecircncia da
modelagem em cursos regulares nos quais haacute um programa curricular a ser cumprido aleacutem
de uma estrutura espacial e organizacional bem definida Tais autores acreditam que o
73
processo de modelagem em tais contextos precisa sofrer algumas alteraccedilotildees considerando o
grau de escolarizaccedilatildeo dos aprendizes o tempo disponibilizado para o desenvolvimento da
atividade ldquoo programa a ser cumprido e o estaacutegio em que o professor se encontra seja em
relaccedilatildeo ao conhecimento da modelagem seja no apoio por parte da comunidade escolar para
implantar mudanccedilasrdquo (BIEMBENGUT HEIN 2003 p 18)
Existem ainda outras concepccedilotildees de Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica
presentes na literatura brasileira das quais podemos destacar proposta para educar
matematicamente considerando a Modelagem como uma concepccedilatildeo de ensino e
aprendizagem (CALDEIRA 2009) estrateacutegia pedagoacutegica na qual os estudantes trabalham em
grupo e satildeo responsaacuteveis pela escolha do tema a ser investigado (BORBA MENEGUETTI
HERMINI 1997) Dentre todas essas concepccedilotildees Meyer Caldeira e Malheiros (2011)
acreditam que
o que as diferencia basicamente eacute a ecircnfase na escolha do problema a ser
investigado que pode partir do professor pode ser um acordo entre professor e
alunos ou entatildeo os estudantes podem escolher o assunto que pretendem investigar
uma postura que se assemelha agrave Modelagem exercida profissionalmente (MEYER
CALDEIRA MALHEIROS 2011 p 81)
Ao passo que o que diferencia as concepccedilotildees de Modelagem pode estar
relacionado ao ldquoproblema da realidaderdquo e agrave escolha dele o que as aproxima eacute segundo
Meyer Caldeira e Malheiros (2011 p 85) um objetivo comum ldquoestudar resolver e
compreender um problema da realidade ou de outra(s) aacuterea(s) do conhecimento utilizando
para isso a Matemaacutetica e obviamente outras disciplinas e ideiasrdquo
Arauacutejo (2002 p 20 grifo da autora) poreacutem acredita que as perspectivas se
diferenciam ldquoagrave medida que se define qual eacute o objetivo de resolver tal problema qual eacute a
realidade na qual o problema estaacute inserido como a matemaacutetica eacute concebida e se relaciona
com esta realidade etcrdquo81
A autora assume o termo ldquoperspectivardquo designando os propoacutesitos
que satildeo delineados pelo professor ao propor a Modelagem Matemaacutetica como uma atividade
em sala de aula Com base nesses propoacutesitos faz-se necessaacuterio definir o papel dos alunos e
professor(es) na atividade principalmente no que diz respeito agrave escolha do ldquoproblema da
realidaderdquo a ser entendidosolucionado
A Modelagem ldquopode criar possibilidades interdisciplinares na sala de aula fato
considerado muito importante (ou ateacute essencial) entre as questotildees de ensino e aprendizagem 81
No escopo deste texto natildeo pretendo discorrer sobre as relaccedilotildees entre matemaacutetica e realidade nem tampouco
realizarei uma discussatildeo do que seriam estes termos Em Arauacutejo (2002) o leitor encontraraacute uma interessante
discussatildeo sobre realidade e matemaacutetica baseada em discussotildees filosoacuteficas
74
mostrando que no caso a Matemaacutetica natildeo eacute uma ciecircncia isolada das outrasrdquo (MEYER
CALDEIRA MALHEIROS 2011 p 85) A integraccedilatildeo da Matemaacutetica com outras aacutereas do
conhecimento pode constituir dessa forma importante contribuiccedilatildeo para a construccedilatildeo do
conhecimento matemaacutetico nos cursos de Engenharia podendo minimizar o que Camarena
(2009) chama de ponto de conflito cognitivo vivenciado pelos futuros engenheiros ldquouma vez
que ele estudou matemaacutetica e engenharia separadamente de modo que quando ele usa as duas
aacutereas do conhecimento estas aacutereas cognitivas estatildeo separadas e ele tem que integraacute-las a fim
de matematizar o problema a ser resolvidordquo82
(CAMARENA 2009 p 117)
Blum (1991) Blum e Leiss (2005) Barbosa (2003) e Bassanezi (2006) apontam
alguns argumentos a favor da inclusatildeo da Modelagem nos curriacuteculos escolares sendo estes
apresentados pelos pesquisadores da aacuterea de Modelagem em Educaccedilatildeo Matemaacutetica que
foram por mim sumarizados da seguinte forma
Argumento formativo os alunos se tornariam mais criativos habilidosos e explorativos em atividades investigativas e de resoluccedilatildeo
de problemas
Argumento de competecircncia criacutetica os alunos estariam preparados para a vida real como cidadatildeos atuantes na sociedade analisando as
formas que a matemaacutetica eacute usada nas praacuteticas sociais
Argumento de utilidade os alunos estariam preparados para utilizar
a matemaacutetica como ferramenta para resolver problemas em diferentes
situaccedilotildees e aacutereas o que eacute importante para atuarem na vida cotidiana e
no trabalho
Argumento motivacionalintriacutenseco os alunos estariam mais
estimulados para o estudo entendimento e interpretaccedilatildeo da proacutepria
matemaacutetica pois vislumbram sua aplicabilidade
Argumento de aprendizagem os alunos teriam mais facilidade em compreender conceitos matemaacuteticos devido agrave possiacutevel conexatildeo com
outros assuntos
Considerando os curriacuteculos dos cursos de Engenharia no Brasil ao assumir as
disciplinas de Caacutelculo como importante arsenal de ferramentas que possibilitaauxilia a
resoluccedilatildeo de problemas e a compreensatildeo de fenocircmenos englobadosestudados nos diversos
cursos de Engenharia o argumento de utilidade poderia ocupar lugar de destaque no debate
para a inclusatildeo da Modelagem nos curriacuteculos destes cursos Vale ressaltar que tal argumento
natildeo exclui os demais apenas poderia ocupar lugar de destaque
82
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquosince he studied mathematics and engineering separately so that when he
uses both knowledge areas these cognitive areas are separated and he has to integrate them in order to
mathematize the problem to be resolvedrdquo
75
Vaacuterios argumentos poreacutem satildeo apresentados como obstaacuteculos para o uso da
Modelagem Matemaacutetica em cursos regulares Tais obstaacuteculos segundo Bassanezi (2006 p
37 grifos do autor) podem ser de trecircs tipos
1) Obstaacuteculos instrucionais - Os cursos regulares possuem um programa que deve
ser desenvolvido completamente[] alguns professores tem duacutevida se as aplicaccedilotildees
e conexotildees com outras aacutereas fazem parte do ensino de Matemaacutetica salientando que
tais componentes tendem a distorcer a esteacutetica a beleza e a universalidade da
Matemaacutetica
2) Obstaacuteculos para os estudantes - O uso da Modelagem foge da rotina do ensino
tradicional e os estudantes natildeo acostumados com o processo podem se perder e se
tornar apaacuteticos nas aulas []
3) Obstaacuteculos para os professores - Muitos professores natildeo se sentem habilitados a
desenvolver modelagem em seus cursos por falta de conhecimento do processo ou
por medo de se encontrarem em situaccedilotildees embaraccedilosas quanto agraves aplicaccedilotildees da
matemaacutetica em aacutereas que desconhecem Acreditam que perderatildeo muito tempo para
preparar as aulas e tambeacutem natildeo teratildeo tempo para cumprir todo o programa do curso
Blum (1991) ainda afirma que do ponto de vista dos professores a inclusatildeo da
Modelagem aumentaria suas demandas de trabalho devido agraves qualificaccedilotildees adicionais e
conhecimentos natildeo matemaacuteticos que satildeo requeridos nesse tipo de atividade
Flemming (2004) ao relatar o desenvolvimento de uma pesquisa sobre o ensino
das Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias mostra um dos obstaacuteculos apontados por Bassanezi
(2006)
A nossa motivaccedilatildeo estava alicerccedilada no fato de que a maioria dos professores natildeo
discute a resoluccedilatildeo de problemas no contexto das equaccedilotildees diferenciais e as razotildees
apontadas satildeo os alunos ainda natildeo dominam os conhecimentos da Fiacutesica e outras
aacutereas requeridas para a interpretaccedilatildeo dos problemas os professores na sua
formaccedilatildeo natildeo tiveram o aprofundamento em diferentes aacutereas da Engenharia
requeridas para o domiacutenio do problema (FLEMMING 2004 p 280)
Considerando os obstaacuteculos apontados acima em cursos de Engenharia aleacutem de
entender como os alunos e professores conduzem suas experiecircncias em Modelagem
Matemaacutetica seria necessaacuterio entender tambeacutem as possibilidades que esse ambiente de
formaccedilatildeo proporciona aos aprendizes sendo eles alunos professores monitores e demais
sujeitos da comunidade acadecircmica que realizam as atividades que objetivam a formaccedilatildeo do
engenheiro contemporacircneo
Um fator muito importante que deve ser considerado quando se pretende usar a
Modelagem em cursos de Engenharia eacute o tempo Geralmente o tempo que deve ser dedicado
ao desenvolvimento de cada parte das disciplinas de Caacutelculo eacute consideradosugerido nos
respectivos planos de ensino Sendo assim o cumprimento de ementasconteuacutedos pode tornar-
76
se para o professor um ponto de tensatildeo que pode influenciar sua decisatildeo quanto agrave
incorporaccedilatildeo da Modelagem em sua praacutetica docente
No que tange a incorporaccedilatildeo da Modelagem Matemaacutetica no decorrer de
disciplinas escolares a adequaccedilatildeo da proposta de ensino elaborada pelo professor deve levar
em conta os conteuacutedos a serem abordados e assim buscar por temas de Modelagem guiados
pelos conteuacutedos Para isso Biembengut e Hein (2007 p 417) sintetizam os estaacutegios do
processo a serem seguidos pelos docentes quando eles se disponibilizam a realizar
Modelagem durante as disciplinas ofertadas em cursos de Engenharia
1) Apresentar uma siacutentese do tema relativo para Engenharia 2) Propor algumas questotildees sobre o tema encorajando os estudantes a responder
3) Selecionar as questotildees que satildeo mais apropriadas para desenvolver o conteuacutedo programaacutetico de matemaacutetica
4) Formular questotildees de tal modo a aumentar o teor de conteuacutedo matemaacutetico necessaacuterio para resolvecirc-lo 5) Apresentar o conteuacutedo programaacutetico de matemaacutetica
6) Propor exemplos anaacutelogos de modo que o conteuacutedo natildeo seja restrito ao modelo assim que o conteuacutedo necessaacuterio eacute suficientemente desenvolvido para responder ou resolver este estaacutegio do trabalho
7) Solicitar aos estudantes fazerem pesquisas sobre o assunto caso seja necessaacuterio 8) Retornar agrave questatildeo que comeccedilou o processo apresentando uma soluccedilatildeo
9) Orientar os estudantes na anaacutelise de seus resultados e sua validaccedilatildeo83
Jaacute Franchi (2002) acredita que a Modelagem deva permear as atividades
desenvolvidas nas disciplinas da aacuterea de Matemaacutetica em cursos de Engenharia Para a autora
a escolha dos conteuacutedos matemaacuteticos a serem abordados em tais disciplinas em cursos de
Engenharia deve ocorrer em funccedilatildeo do contexto histoacuterico Para cada contexto eacute necessaacuterio
antes de qualquer coisa identificar os objetivos alinhados agraves demandas de formaccedilatildeo em
Engenharia e depois escolher conteuacutedos e metodologias que ajudem a atingir tais objetivos
Nesse sentido a estrutura curricular natildeo deve ser algo estaacutetico muito pelo contraacuterio deve
permitir diferentes possibilidades de organizaccedilatildeo que possam ser adaptadas a cada contexto
curso ou momento histoacuterico
83
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquo1) Present a synthesis of the theme relative to Engineering
2) Propose some question about the theme encouraging students to respond
3) Select the question that is most appropriate for developing the programmersquos mathematical content
4) Formulate questions in such a way as to raise he mathematical content necessary for resolving them
5) Present the programmatic mathematical content
6) Propose analogous examples so that the content is not restricted to the model as soon as the necessary content
is sufficiently developed for answering or resolving this stage of the work
7) Solicit students to make research into the subject if deemed necessary
8) Return to the question that began the process presenting a solution
9) Guide the students in analysing their results and its validityrdquo
77
Vale ressaltar que Franchi (2002) apresenta como fruto de sua investigaccedilatildeo uma
proposta curricular para tratar os conteuacutedos de Matemaacutetica em cursos de Engenharia
utilizando de Modelagem e Informaacutetica em consonacircncia agraves exigecircncias de tal formaccedilatildeo
profissional A incorporaccedilatildeo da Modelagem e da Informaacutetica nas praacuteticas de ensino-
aprendizagem cuja finalidade eacute possibilitar a formaccedilatildeo Matemaacutetica dos engenheiros se deu
mediante a implementaccedilatildeo da referida proposta curricular em uma instituiccedilatildeo que se destina agrave
formaccedilatildeo de engenheiros Ou seja o curriacuteculo foi transformado e implementado
Contudo caso o curriacuteculo de uma instituiccedilatildeo natildeo seja modificado (por quaisquer
razotildees) e consequentemente natildeo seja implementada modificaccedilatildeo alguma mesmo assim
seria possiacutevel desenvolver atividades de formaccedilatildeo de Caacutelculo utilizando Modelagem
Matemaacutetica Mas qual seria a melhor forma Seria possiacutevel adequar um curriacuteculo jaacute preacute-
estabelecido e demasiadamente estaacutetico aos objetivos de formaccedilatildeo em Engenharia que atenda
agraves exigecircncias atuais para tal formaccedilatildeo utilizando-se da Modelagem Matemaacutetica Franchi
(2002) considera como necessaacuterio e importante a integraccedilatildeo da Matemaacutetica com as demais
aacutereas dos cursos de Engenharia mediante o desenvolvimento de atividades de Modelagem
poreacutem afirma que natildeo existe um entendimento claro de como isso deve ser feito
Kaiser e Sriraman (2006) se incumbiram de revisar a literatura (em termos de
pesquisas realizadas em vaacuterios paiacuteses do mundo) e sistematizar as perspectivas de Modelagem
em Educaccedilatildeo Matemaacutetica Os autores delimitaram perspectivas que em 2006 podiam ser
consideradas como tendecircncias no debate sobre a Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica
conforme seus objetivos centrais a partir da anaacutelise de artigos apresentados em conferecircncias e
perioacutedicos internacionais tais como ICTMA84
e ZDM85
Vale ressaltar que natildeo haacute qualquer
menccedilatildeo que os autores dos referidos artigos assumam tais perspectivas em todas as
investigaccedilotildees que se propotildeem a desenvolver E mais do que isso natildeo significa que a
perspectiva assumida esteja posta de forma clara e objetiva em cada artigo Sendo assim por
vezes devemos considerar a perspectiva assumida pela leitura dos autores aos textos
publicados nos congressos e perioacutedicos
No Brasil alguns mapeamentos foram realizados na tentativa de estabelecer um
panorama atual das pesquisas em Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica Um deles e talvez o
mais recentemente publicado internacionalmente foi elaborado por Arauacutejo (2010) Como
corpus foram analisados trabalhos apresentados e publicados em eventos ocorridos no paiacutes
84
International Conference on the Teaching of Mathematical Modelling and Applications (ICTMA) 85
The International Journal on Mathematics Education (ZDM)
78
durante os anos de 2006 e 2007 Satildeo eles 14 trabalhos apresentados no III SIPEM86
10
trabalhos apresentados no IX ENEM87
e 32 trabalhos apresentados na CNMEM88
totalizando
56 publicaccedilotildees No artigo a autora esclarece que
Devido agrave sua influecircncia a modelagem em educaccedilatildeo matemaacutetica no Brasil reflete
influecircncias da matemaacutetica aplicada campo principal de trabalho de Bassanezi mas
tem sido marcada principalmente pelos estudos soacutecio-culturais desenvolvidos por
DrsquoAmbrosio no campo da Etnomatemaacutetica89
(ARAUacuteJO 2010 p 338)
Com base nas leituras dos diversos textos mencionados anteriormente observei
que existem diversas concepccedilotildees em atividades de Modelagem Matemaacutetica nos mais diversos
contextos de formaccedilatildeo podendo ser realizadas durante o desenvolvimento de disciplinas
regulares como cursos de formaccedilatildeo de professores iniciaccedilatildeo cientiacutefica pesquisa entre outras
possibilidades A apresentaccedilatildeo do problema pode ser realizada tanto pelo professor quanto
pelos alunos O problema pode ser exposto juntamente com seus dados qualitativos eou
quantitativos Pode ocorrer de os alunos e professor(es) terem que procurar pelos dados
quantitativos ou qualitativos relacionados ao problema proposto Podem ser incluiacutedos tambeacutem
problemas para os quais jaacute foram estabelecidos modelos matemaacuteticos que os representem (as
denominadas aplicaccedilotildees)
A seguir apresento uma revisatildeo de literatura sobre as pesquisas que buscam
analisar os usos da Modelagem Matemaacutetica para propiciar formaccedilotildees em Caacutelculo em cursos
de Engenharia Com isso objetivo delimitar a presente investigaccedilatildeo no contexto da revisatildeo de
literatura
24 Revisatildeo de literatura sobre pesquisas de Modelagem em Caacutelculo na Educaccedilatildeo em
Engenharia delineando o espaccedilo da presente pesquisa
Ao ler por exemplo os anais do Seminaacuterio Internacional de Pesquisa em
Educaccedilatildeo Matemaacutetica (SIPEM)90
que ocorreram trienalmente entre os anos de 2000 e 2012
86
Seminaacuterio Internacional de Pesquisa em Educaccedilatildeo Matemaacutetica 87
Encontro Nacional da Educaccedilatildeo Matemaacutetica 88
Conferecircncia Nacional sobre Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica 89
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoDue to their influence modelling in mathematics education in Brazil reflects
influences from applied mathematics Bassanezirsquos main field of work but has been imprinted mainly by the
socio-cultural studies developed by DrsquoAmbrosio in the field of ethnomathematicsrdquo 90
O SIPEM eacute um seminaacuterio realizado trienalmente e organizado pela Sociedade Brasileira de Educaccedilatildeo
Matemaacutetica (SBEM)
79
foi encontrado apenas um trabalho que faz referecircncia ao uso de Modelagem em cursos de
Engenharia tendo sido apresentado no V SIPEM em 2012 Nele Ferruzzi (2012 p 1)
apresenta resultados de uma pesquisa que buscou investigar ldquoo potencial da Modelagem
Matemaacutetica para o estabelecimento de interaccedilotildees que possuem caracteriacutesticas consideradas
fonte de aprendizagemrdquo em um curso de Engenharia Ambiental A autora se baseia nos
estudos de Vygotsky e considera que a aprendizagem estaacute associada agrave interaccedilatildeo Sendo assim
entende que ldquopropiciar atividades que conduzam agrave interaccedilatildeo pode auxiliar o aluno em seu
aprendizado e deve ser um dos interesses do professorrdquo (FERRUZZI 2012 p 1)
Biembengut e Hein (2007) concebem a Modelagem Matemaacutetica como uma
metodologia de ensino em cursos de Engenharia Aleacutem disso eles esclarecem a ecircnfase dada
por eles nas atividades de Modelagem em cursos de Engenharia
O objetivo deste trabalho eacute criar condiccedilotildees para que os alunos aprendam a fazer
modelos matemaacuteticos aumentando e aperfeiccediloando seus conhecimentos Um grupo
de estudantes sob a supervisatildeo do professor deve ser responsaacutevel pela escolha e
direccedilatildeo de seu proacuteprio trabalho Cabe ao professor criar condiccedilotildees onde eles podem
desenvolver esta autonomia91
(BIEMBENGUT HEIN 2007 p 417)
O desenvolvimento de atividades de Modelagem em sala de aula implica
necessariamente delineamento de especificaccedilotildees que engloba os objetivos para a realizaccedilatildeo
da atividade bem como os papeacuteis que devem ser assumidos por alunos e professores Os
pesquisadores da Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica entendem que tais especificaccedilotildees ao
serem assumidas pelos professores definem uma perspectiva de Modelagem Matemaacutetica
(BARBOSA SANTOS 2007 p 1-2)
Alguns trabalhos sobre Modelagem em Educaccedilatildeo foram apresentados em ediccedilotildees
anuais do Congresso Brasileiro de Educaccedilatildeo em Engenharia (COBENGE) Nas uacuteltimas 10
ediccedilotildees do evento (de 2003 a 2012) dezesseis trabalhos sobre Modelagem Matemaacutetica na
Educaccedilatildeo em Engenharia foram apresentados92
Observe que a meacutedia eacute de menos de dois
trabalhos por ediccedilatildeo do evento O que poderia explicar uma participaccedilatildeo tatildeo inexpressiva
nesse congresso por parte dos pesquisadores em Educaccedilatildeo Matemaacutetica Natildeo sei a resposta
91
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoThe objective of this work is to create conditions in which students learn to
make mathematical models increasing and perfecting their knowledge A group of students under the
supervision of the teacher must be responsible for the choice and direction of their own work It falls to the
teacher to create conditions where they can develop this autonomyrdquo 92
Os anais do evento estatildeo disponiacuteveis no site wwwabengeorgbr Busquei pelo termo Modelagem e li todos os
resumos que obedecessem a essa busca Dentre eles descartei os artigos que se referiam agrave Modelagem
ldquopuramenterdquo sob a oacutetica da Matemaacutetica Aplicada agrave resoluccedilatildeo de problemas da Engenharia restando assim
apenas os artigos que se referiam essencialmente agrave Modelagem sob a oacutetica da formaccedilatildeo Matemaacutetica em
Engenharia
80
para essa pergunta e nem eacute o intuito desta pesquisa descobrir a resposta contudo penso que
esta realidade pode estar relacionada agrave hipoacutetese formulada por Cury (2002) de que ldquoos
professores de disciplinas matemaacuteticas natildeo se consideram professores dos cursos de
Engenharia e por isso natildeo se propotildeem a apresentar seus trabalhos em congressos de ensino
desta aacutereardquo
Em sua pesquisa de doutorado Arauacutejo (2002) analisou uma proposta de
Modelagem Matemaacutetica desenvolvida em uma turma de Caacutelculo do curso de Engenharia
Quiacutemica de uma universidade puacuteblica do Estado de Satildeo Paulo Tal proposta foi implementada
durante o desenvolvimento da disciplina que contempla(va) os conteuacutedos de Caacutelculo
Diferencial e Integral I A pesquisadora analisou atividades de Modelagem Matemaacutetica em
um ambiente de ensino e aprendizagem de Caacutelculo no qual as tecnologias informaacuteticas
estavam presentes com o objetivo de investigar que discussotildees ocorrem e como elas ocorrem
Vale ressaltar que a autora entende que ldquodiscussotildeesrdquo podem ser entendidas como algum tipo
de ldquocomunicaccedilatildeordquo que por sua vez pode exercer influecircncias sobre a ldquoaprendizagemrdquo Para
ela aprendizagem ldquocertamente estaacute ligada a questotildees de comunicaccedilatildeo na Educaccedilatildeo
Matemaacuteticardquo (ARAUacuteJO 2002 p 164)
Ferruzzi (2011) realizou sua pesquisa de doutorado mediante a aplicaccedilatildeo de uma
proposta de Modelagem Matemaacutetica em um curso de Engenharia Ambiental da Universidade
Tecnoloacutegica Federal do Paranaacute (UTFPR) Tal proposta foi implementada durante o
desenvolvimento da disciplina chamada de Matemaacutetica 2 na referida instituiccedilatildeo que
contempla os conteuacutedos de Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias A pesquisadora desenvolveu
atividades de Modelagem Matemaacutetica com referecircncia nos temas relacionados aos conteuacutedos
de EDO com o objetivo de investigar as interaccedilotildees que emergem durante o desenvolvimento
de atividades de Modelagem Matemaacutetica na sala de aula Como parte da anaacutelise a autora
aponta que os diaacutelogos que emergiram durante as atividades de Modelagem propostas na
investigaccedilatildeo ocorrem com mais frequecircncia do que os diaacutelogos que emergem de praacuteticas
tradicionais de ensino-aprendizagem da referida disciplina Aleacutem disso constatou que as
interaccedilotildees proporcionadas pelo desenvolvimento das atividades de Modelagem atuaram
significativamente no favorecimento da aprendizagem dos alunos
Vale ressaltar que a proposta de modelagem implementada por Ferruzzi (2011 p
24 grifos da autora) foi baseada em um contexto simulado que pode ser entendido como uma
representaccedilatildeo do contexto real Tal contexto tem origem no contexto real sendo reproduzidas
partes de suas caracteriacutesticas Para a autora ldquoo contexto simulado faz referecircncia agrave situaccedilotildees da
vida cotidiana que satildeo retomadas e transformadas em atividades de ensino e aprendizagemrdquo
81
A autora considera aprendizagem na referida pesquisa como um processo de mudanccedila nas
formas discursivas dos alunos
Aleacutem disso Ferruzzi (2011 p 33) considera o conceito vygotskyano de Zona de
Desenvolvimento Proximal (ZDP) como sendo ldquoo desenvolvimento humano em dois niacuteveis o
Niacutevel de Desenvolvimento Real (NDR) e o Niacutevel de Desenvolvimento Potencial (NDP) A
lsquodistacircnciarsquo entre estes dois niacuteveis eacute denominada por Vygotsky como sendo a Zona de
Desenvolvimento Proximal (ZDP)rdquo Nesse sentido as conclusotildees da referida pesquisa satildeo
tomadas em termos de aprendizagens que natildeo poderiam acontecer de modo espontacircneo
sendo entatildeo promovidas pela accedilatildeo intencional do professor Com isso a autora considera
que o professor pode exercer o papel de mediador dos processos de ensino e aprendizagem de
Caacutelculo em um curso de Engenharia por meio de atividades de Modelagem Matemaacutetica
Vale ressaltar que Ferruzzi (2011) investigou as interaccedilotildees que emergem de
atividades de Matemaacutetica em sala de aula da disciplina Matemaacutetica 2 que na UTFPR abarca
os conteuacutedos de EDO considerando que o conhecimento eacute construiacutedo na e pela interaccedilatildeo
enquanto a presente pesquisa buscou analisar as possibilidades de aprendizagens expansivas
evidenciadas em atividades desenvolvidas por um Grupo de Estudos e Pesquisa em
Modelagem Matemaacutetica (GEPMM) em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharia Portanto
interaccedilatildeo e aprendizagem estatildeo intimamente inter-relacionadas em Ferruzzi (2011) Vale
ressaltar que para a referida autora a aprendizagem pode ser entendida como um processo de
mudanccedila nas formas discursivas dos alunos
Tomando-se por base Arauacutejo (2002) e Ferruzzi (2011) percebo que discussotildees
(comunicaccedilotildees) e interaccedilotildees satildeo elementos cuja anaacutelise se torna essencial para investigar
processos de aprendizagem em atividades de Modelagem desenvolvidas em disciplinas de
Caacutelculo em cursos de Engenharia
Buscando esclarecer os conceitos de comunicaccedilatildeo e interaccedilatildeo entendendo-os
como constituintes de discursos que permeiam os mais diversos ambientes de aprendizagem
encontrei em Bakhtin (2010 p 36) o seguinte relacionamento entre comunicaccedilatildeo interaccedilatildeo e
consciecircncia ldquoa loacutegica da consciecircncia eacute a loacutegica da comunicaccedilatildeo ideoloacutegica da interaccedilatildeo
semioacutetica de um grupo social Se privarmos a consciecircncia de seu conteuacutedo semioacutetico e
ideoloacutegico natildeo sobra nadardquo
Tanto em Arauacutejo (2002) quanto em Ferruzzi (2011) as atividades de Modelagem
permearam as demais atividades desenvolvidas em disciplinas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia Sendo assim as atividades de Modelagem estiveram condicionadas agrave adaptaccedilatildeo
ao contexto das referidas disciplinas de Caacutelculo Para tal condicionamento faz-se necessaacuterio
82
supostamente o alinhamento das atividades de Modelagem aos objetivos que satildeo delineados
em cada disciplina
A meu ver outras questotildees podem ser colocadas em relevo quando se desenvolve
Modelagem em salas de aula de disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia o
engajamento dos alunos nas referidas atividades estaria relacionado a quais motivos As
situaccedilotildees-problema natildeo matemaacuteticas em questatildeo estariam condicionadas aos conteuacutedos de
cada disciplina Quais ideologias estariam permeando tais ambientes de aprendizagem
Na intervenccedilatildeo proposta na presente pesquisa entendo os conteuacutedos de Caacutelculo
como ferramentas para a formaccedilatildeo em Engenharia Um Caacutelculo que somente pode ser
concebido em accedilatildeo Caacutelculo como meio natildeo como finalidade Baseado nisso natildeo haacute a priori
como definir os conteuacutedos de Caacutelculo que possam ser utilizados para entendimento de uma
questatildeo-problema natildeo matemaacutetica oriunda de um contexto real ndash razatildeo de ser das atividades
de Modelagem que seja escolhida por um grupo de sujeitos Mais do que isso o foco
principal da referida atividade eacute o entendimento da questatildeo-problema Dessa forma os
conteuacutedos de Caacutelculo satildeo construiacutedos e utilizados para solucionar a questatildeo-problema ndash um
Caacutelculo que jaacute ldquonasceriardquo em accedilatildeo
Tomando-se por base a constituiccedilatildeo do GEPMM como um contexto alternativo
agraves disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia e as atividades que foram nele
desenvolvidas busco analisar as possibilidades de aprendizagens expansivas
25 Concepccedilatildeo de uma atividade de Modelagem Matemaacutetica assumida em um contexto
de formaccedilatildeo em Engenharias
Para Barbosa (2001a p 6) ldquomodelagem eacute um ambiente de aprendizagem no qual
os alunos satildeo convidados a indagar eou investigar por meio da matemaacutetica situaccedilotildees
oriundas de outras aacutereas da realidaderdquo Vale ressaltar que o autor focou seus estudos de
doutoramento na formaccedilatildeo inicial de professores de Matemaacutetica ou seja alunos de
licenciatura em Matemaacutetica Na referida pesquisa de doutorado Barbosa (2001b) orientou-se
pela busca em entender a concepccedilatildeo de Modelagem Matemaacutetica de futuros professores de
Matemaacutetica tendo em vista as experiecircncias matemaacuteticas particularmente com modelagem
vivenciadas pelos licenciandos aliadas as suas concepccedilotildees de Matemaacutetica e de seu ensino
Nesse sentido considero que a Modelagem Matemaacutetica pode perfazer algo aleacutem
do que eacute proposto explicitamente por Barbosa (2001a) devido ao simples fato de que natildeo
83
somente os estudantes podem estar sendo convidados a indagar eou investigar mas acredito
sobretudo que tais ambientes podem assumir importante papel na formaccedilatildeo continuada de
professores em suas proacuteprias praacuteticas93
ampliando assim os respectivos horizontes de
atuaccedilatildeo nas mais diversas dimensotildees cotidianas de trabalho Vale ressaltar que embora
Barbosa (2001a) natildeo exclua as possibilidades de formaccedilatildeo docente continuada em tais
ambientes de aprendizagem ele natildeo se propocircs a focar suas discussotildees nesse possiacutevel aspecto
da atividade
Bassanezi (2006 p 16) entende que a modelagem matemaacutetica consiste na ldquoarte de
transformar problemas da realidade em problemas matemaacuteticos e resolvecirc-los interpretando
suas soluccedilotildees na linguagem do mundo realrdquo A obra artiacutestica pode ser considerada criaccedilatildeo de
uma nova realidade posto que o homem se afirma criando ou humanizando o que toca ndash a
praacutexis artiacutestica que ao ampliar e enriquecer com suas criaccedilotildees a realidade jaacute humanizada
constitui uma praacutexis essencial para o homem (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 198)
Ao considerar a modelagem como arte situando-a na esfera da atividade da
transformaccedilatildeo de uma mateacuteria (problema da realidade) sob uma nova forma (problemas
matemaacuteticos) eacute preciso levar em conta a necessidade humana que o objeto criado ou
produzido seraacute capaz de satisfazer Satildeo as necessidades humanas que configuram e orientam
as atividade de modelagem realizadas por uma coletividade cujo objeto compartilhado
relaciona-se necessariamente com os objetivos centrais a serem alcanccedilados mediante a
realizaccedilatildeo de accedilotildees intencionais adequadas agraves finalidades que por sua vez podem ser
caracterizadas pela(s) perspectiva(s) de modelagem assumida(s) pelos sujeitos engajados em
tal atividade
No contexto da pesquisa relatada no presente texto considero que atividade de
Modelagem Matemaacutetica constituem espaccedilos formativos94
nos quais os sujeitos engajados
dirigem suas accedilotildees em prol do entendimento e da resoluccedilatildeo de questotildees-problema natildeo
matemaacuteticas oriundas das mais variadas esferas da sociedade utilizando necessariamente
instrumentos matemaacuteticos para auxiliaacute-los
93
Formaccedilatildeo continuada de professores em suas proacuteprias praacuteticas quer dizer que os professores aprendem
enquanto vatildeo criando e modificando suas proacuteprias praacuteticas Natildeo precisam necessariamente participar de um
curso de formaccedilatildeo continuada para estarem aprendendo Eles proacuteprios tomam a realidade contraditoacuteria como
ponto de partida e promovem accedilotildees com vistas a modificarem suas praacutexis promovendo assim saltos
qualitativos em sua proacutepria formaccedilatildeo docente 94
Aqui espaccedilo formativo pode ser entendido como algo aleacutem de um lugar fiacutesico Um ambiente que produz um
contexto propiacutecio agrave formaccedilatildeo uma estrateacutegia de formaccedilatildeo que deve conter os mais variados instrumentos
incluindo instrumentos subjetivos e simboacutelicos nos quais os sujeitos dirigem suas accedilotildees orientadas pelos
objetivos de formaccedilatildeo que incluem o compartilhamento de conhecimentos em prol da formaccedilatildeo profissional dos
futuros engenheiros constituindo assim um sistema de atividades cujo objeto compartilhado deve incluir as
questotildees-problema a serem entendidassolucionadas e os futuros engenheiros (estudantes)
84
Cabe aqui uma ressalva como as atividades de Modelagem Matemaacutetica nesta
investigaccedilatildeo satildeo concebidas como espaccedilos formativos em instituiccedilotildees de ensino95
natildeo
podemos desconsiderar que esses espaccedilos perpassam por formas cotidianas de atitudes e
accedilotildees praacuteticas dos professores em exerciacutecio de seu trabalho como natildeo podemos considerar o
trabalho do professor sem levar em conta o(s) objeto(s) de sua atividade tambeacutem devemos
levar em conta que tais atividade perpassam por horizontes historicamente e culturalmente
elaborados de formas cotidianas de atitudes e accedilotildees praacuteticas dos alunos em exerciacutecio de suas
atribuiccedilotildees como estudantes considerando-se entatildeo objeto de sua proacutepria atividade de
formaccedilatildeo escolar institucionalizada
Ainda por considerar que o trabalho do professor consiste em auxiliar
acompanhar orientar e ajudar os estudantes a engajarem e participarem do processo de
formaccedilatildeo e constituiccedilatildeo da proacutepria cidadania em termos da aquisiccedilatildeo de conhecimentos
necessaacuterios para plena participaccedilatildeo social entendo que o trabalho do professor somente se
realiza em sua plenitude mediante o engajamento dos alunos pois para um sujeito auxiliar
eou acompanhar eou orientar eou ajudar outro sujeito torna-se necessaacuterio que esse outro
direcione accedilotildees no mesmo sentido orientadas pelo mesmo fim Nisso natildeo entendo que possa
haver ensino sem aprendizagem Por esse motivo que entendo as atividades de Modelagem
Matemaacutetica como espaccedilos formativos naturalmente imersos em espaccedilos formativos
institucionalizados mais amplos ndash escolas e universidades
Dessa forma podemos atribuir agraves atividade de Modelagem Matemaacutetica em
contextos formativos a necessidade de formaccedilatildeo de estudantes para se tornarem sujeitos
plenamente conscientes autocircnomos e livres mediante a aquisiccedilatildeo da capacidade de agir em
situaccedilotildees problemaacuteticas utilizando os conhecimentos construiacutedos pelo homem em sua
historicidade dentre estes a Matemaacutetica ndash no contexto da presente pesquisa mais
especificamente o Caacutelculo
Contudo natildeo somente estudantes podem estar em processo de formaccedilatildeo ao
participarem deste tipo de atividade mas tambeacutem os professores ao se depararem com
questotildees-problema natildeo oriundas de sua aacuterea de formaccedilatildeo (a Matemaacutetica) podem ser
agraciados com transformaccedilotildees em seus proacuteprios horizontes de accedilotildees cotidianas e de praacuteticas
de trabalho Acredito ainda que os professores ao modificarem suas praacuteticas cotidianas de
trabalho incluindo atividade de modelagem Matemaacutetica acabam por possibilitar um
95
Nesta pesquisa em uma universidade que se destina agrave formaccedilatildeo de engenheiros
85
movimento de transformaccedilotildees qualitativas em sua proacutepria formaccedilatildeo docente ainda que este
natildeo seja necessariamente o objeto principal que oriente tal modificaccedilatildeo
Engestroumlm (2002) enfatiza que os contextos da descoberta da aplicaccedilatildeo praacutetica e
da criacutetica ao serem assumidos podem provocar transformaccedilotildees no objeto da atividade
escolar tornando-o novo e expandido Sendo assim as atividades de Modelagem Matemaacutetica
como um espaccedilo formativo alternativo no qual alunos e professores tem a oportunidade de
elaborar e implementar um novo modo de fazer e participar do trabalho de ensino-
aprendizagem constituem um contexto propiacutecio para ampliar as possibilidades para
aprendizagens expansivas O objeto da atividade escolar tradicional eacute transformado
delegando aos textos escolares o papel de instrumentos e elegendo as questotildees-problema natildeo
matemaacuteticas como um novo e expandido objeto da atividade aleacutem de ser remetido aos
contextos da descoberta da aplicaccedilatildeo e da criacutetica Aleacutem disso os estudantes inicialmente
remetidos ao posto de sujeitos da atividade escolar de aprendizagem passam a configurar
adicionalmente ao objeto natildeo apenas da atividade do professor (ensino) mas sobretudo de
sua proacutepria atividade (aprendizagem) estando assim engajados na atividade de ensino-
aprendizagem que objetiva sua proacutepria formaccedilatildeo mediante tal participaccedilatildeo nas atividades de
Modelagem Matemaacutetica
Dessa forma as atividades de Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia
podem se configurar teoricamente mediante representaccedilatildeo ldquotriangularrdquo elaborada por
Engestroumlm (1987) como sistemas de atividade de ensino-aprendizagem da seguinte forma
86
FIGURA 5 ndash Os interdependentes sistemas de atividade de estudantes e professor(es) engajados em atividades
(escolares) de Modelagem Matemaacutetica
Fonte Elaborado pela autora com base em Engestroumlm (2008)
No desenvolvimento das accedilotildees que necessitam ocorrer para que as questotildees-
problema sejam entendidas resolvidas e solucionadas pelos participantes da atividade pode
ocorrer de algum instrumento ter de ser construiacutedo pelos participantes como por exemplo
alguma ferramenta matemaacutetica Neste caso o professor tem o papel fundamental de orientar
os alunos nessa construccedilatildeo que muitas vezes jaacute faz parte do conhecimento do professor
Contudo em atividades de Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia
contexto desta investigaccedilatildeo pode acontecer (e muitas vezes acontece) de as ferramentas
matemaacuteticas necessaacuterias para o entendimento eou resoluccedilatildeo da questatildeo-problema natildeo
estarem ao alcance ldquodiretordquo de alunos e professores Nesse caso abre-se um horizonte de
possibilidades de aprendizagem que pode tambeacutem constituir a formaccedilatildeo continuada desses
professores engajados na formaccedilatildeo matemaacutetica dos engenheiros Aleacutem disso caso o professor
esteja engajado nesse direcionamento podemos inclusive posicionar como objeto de sua
atividade sua proacutepria formaccedilatildeo continuada em termos da construccedilatildeo coletiva de novas
ferramentas matemaacuteticas o que pode levar agrave necessidade de novas pesquisas na aacuterea de
Matemaacutetica
Ao assumir as atividades de Modelagem Matemaacutetica como sendo um espaccedilo
formativo sendo possiacutevel sua construccedilatildeo dentro ou fora da sala de aula entendo que aos
sujeitos engajados em tais atividade eacute oferecida uma possibilidade de ampliaccedilatildeo gradual do
objeto e do contexto da aprendizagem Aleacutem disso tal espaccedilo formativo alternativo pode
87
possibilitar transformaccedilotildees no sentido de os sujeitos estarem aprendendo novas formas de
atividade direcionadas agrave sua proacutepria formaccedilatildeo Como corpus de anaacutelise para a presente
pesquisa baseio-me em atividades desenvolvidas por um Grupo de Estudos e Pesquisa em
Modelagem Matemaacutetica em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias que realiza suas
accedilotildees fora da sala de aula tradicional tanto de disciplinas de Caacutelculo quanto de disciplinas
ldquoteacutecnicasrdquo composto por alunos e professores de diversos cursos de Engenharia sob a
orientaccedilatildeo da seguinte pergunta diretriz
Quais aprendizagens expansivas podem ser evidenciadas pelas e nas atividades
desenvolvidas por um Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica (GEPMM)
em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias
Como possiacuteveis desdobramentos dessa pergunta estaratildeo
a) o que motivou a participaccedilatildeo dos docentes e discentes no GEPMM
b) Quais contradiccedilotildees ou conflitos estiveram presentes nas atividades do
GEPMM De que forma tais contradiccedilotildees foram exploradas
c) Como os instrumentos que permearam os sistemas de atividade do GEPMM se
relacionam aos sujeitos e aos objetos
26 Abertura de caixas-pretas como accedilotildees estrateacutegicas com vistas agraves possibilidades de
aprendizagens expansivas relacionadas agraves transformaccedilotildees do objeto de uma atividade de
Modelagem Matemaacutetica
[] nossa entrada no mundo da ciecircncia e da tecnologia seraacute pela porta de traacutes a da
ciecircncia em construccedilatildeo e natildeo pela entrada mais grandiosa da ciecircncia acabada
(LATOUR 2000 p 17)
No capiacutetulo 1 pontuei que segundo Engestroumlm (2002) um contexto propiacutecio para
possibilitar aprendizagens expansivas estaria ancorado pelo ldquotripeacuterdquo formado pelos contextos
da descoberta caracterizado pelo meacutetodo da ascensatildeo do abstrato ao concreto proposto por
Davydov da reproduccedilatildeo praacutetica proposto por Jean Lave e da criacutetica proposto por
Engestroumlm (2002) Com base em tal contexto as atividades de Modelagem Matemaacutetica
seriam consideradas como espaccedilos formativos nos quais os sujeitos engajados direcionariam
suas accedilotildees com vistas ao entendimento de questotildees-problema natildeo matemaacuteticas utilizando
88
necessariamente instrumentos matemaacuteticos para auxiliar a resoluccedilatildeoentendimento Com isso
o objeto dos sistemas de atividade seria composto pelas questotildees-problema natildeo matemaacuteticas e
pelos estudantes em formaccedilatildeo Mas como poderiacuteamos caracterizar os instrumentos
matemaacuteticos necessaacuterios no desenvolvimento da referida atividade Sob quais ldquoformasrdquo tais
instrumentos poderiam estar configurados Quais accedilotildees seriam possibilitadas por tais
instrumentos De que forma tais instrumentos se relacionam aos demais instrumentos da
atividade
Segundo Skovsmose (2007 p 113) a noccedilatildeo de Matemaacutetica tem se movido em
muitas direccedilotildees Para ele a terminologia matemaacutetica poderia estar referida ldquoagrave matemaacutetica
pura agrave aplicada agrave matemaacutetica da engenharia agraves teacutecnicas matemaacuteticas imersas na cultura agrave
matemaacutetica das ruas aos caacutelculos de todo tipordquo Afirma ainda que a Matemaacutetica estaacute em toda
parte assim como os computadores e considera o desenvolvimento dos computadores como
um desenvolvimento tecnoloacutegico que pode ser encarado como a materializaccedilatildeo de insights e
teacutecnicas Conclui que Matemaacutetica e Computaccedilatildeo satildeo atividades inter-relacionadas
Skovsmose (2007) considera a tecnologia de maneira ampla que inclui natildeo somente sua
ldquomaquinariardquo mas tambeacutem sua organizaccedilatildeo o conhecimento dos procedimentos de produccedilatildeo
e aqueles para o projeto e para a tomada de decisatildeo
Ao discorrer sobre a (denominada por ele) teoria da representaccedilatildeo da modelagem
matemaacutetica Skovsmose (2007) pontua que o enfoque frequentemente dado a esse tipo de
empreendimento se concentra na verificaccedilatildeo e na exatidatildeo do modelo a ser usado em tal
representaccedilatildeo enquanto o enfoque nos contextos (realidade social) e nas possiacuteveis
consequecircncias do processo de modelar eacute deixado de lado As discussotildees da modelagem
matemaacutetica como teoria da representaccedilatildeo focadas apenas na qualidade da representaccedilatildeo
para o autor estabelecem uma obstruccedilatildeo organizada da proacutepria atividade de modelagem E
sugere que a questatildeo mais importante no que tange os empreendimentos de modelagem
matemaacutetica pode ser designada pela seguinte pergunta ldquoo que a matemaacutetica em accedilatildeo incluirdquo
(SKOVSMOSE 2007 p 115) Sob a oacutetica da Teoria da Atividade esse questionamento
poderia ser a meu ver melhor representado pela seguinte pergunta quais e como se
configuram as accedilotildees possibilitadas pelas ferramentas matemaacuteticas em uma determinada
atividade de modelagem Observe que aqui as accedilotildees se referem aos processos subordinados
agraves metas individuais ou objetivos parciais da atividade Sendo assim a matemaacutetica eacute encarada
como um poderoso instrumento que pode auxiliar o entendimento de questotildees concernentes agraves
realidades natildeo matemaacuteticas Skovsmose (2007) questiona ainda quem constroacutei os modelos
Que aspectos da realidade estatildeo neles incluiacutedos Quem tem acesso aos modelos Os modelos
89
satildeo ldquoconfiaacuteveisrdquo Quem estaacute apto a controlaacute-los Em que sentido eacute possiacutevel falsificar um
modelo E conclui que se tais questotildees natildeo forem adequadamente esclarecidas valores
tradicionais da democracia podem ser corroiacutedos
Ao falar de matemaacutetica em accedilatildeo Skovsmose (2007) se concentra em visualizar
como as concepccedilotildees matemaacuteticas satildeo projetadas na realidade Para ele ldquoquando usamos a
matemaacutetica como uma base para projeto tecnoloacutegico criamos uma ferramenta tecnoloacutegica que
tem de algum modo sido conceitualizada por meio da matemaacuteticardquo (p 123) Observe que
para a Teoria da Atividade os usos das ferramentas tecnoloacutegicas na situaccedilatildeo de artefatos
mediadores das relaccedilotildees possivelmente estabelecidas e implementadas pelos sujeitos
orientados ao objeto estatildeo condicionados aos motivos da atividade relacionados agraves
necessidades humanas
Com vistas ao desenvolvimento de atividades de Modelagem podem estar
incluiacutedas accedilotildees que se referem agrave identificaccedilatildeo e anaacutelise de situaccedilotildees hipoteacuteticas sendo que a
Matemaacutetica auxilia esse processo fornecendo subsiacutedios instrumentais possibilitando
representaccedilotildees de algo ainda natildeo compreendido portanto permite simular alternativas
tecnoloacutegicas para uma dada situaccedilatildeo Sendo assim
A matemaacutetica daacute uma forma de liberdade tecnoloacutegica abrindo um espaccedilo para
situaccedilotildees hipoteacuteticas Neste sentido a matemaacutetica se torna um percurso para a
imaginaccedilatildeo tecnoloacutegica e portanto para o planejamento de processos tecnoloacutegicos
que incluem projeto-accedilatildeo com base matemaacutetica [] O espaccedilo aberto pela
imaginaccedilatildeo tecnoloacutegica poderia muito bem conter situaccedilotildees hipoteacuteticas que natildeo satildeo
acessiacuteveis ao senso comum Um quadro matemaacutetico nos daacute novas alternativas
(SKOVSMOSE 2007 p 123 grifo do autor)
Skovsmose (2007) pontua trecircs aspectos considerados por ele como relevantes no
que diz respeito agrave matemaacutetica em accedilatildeo primeiro considera que por meio da Matemaacutetica eacute
possiacutevel estabelecer um espaccedilo de situaccedilotildees hipoteacuteticas na forma de alternativas
(tecnoloacutegicas) (para uma situaccedilatildeo presente) segundo considera que por meio da Matemaacutetica
eacute possiacutevel investigar detalhes particulares de uma situaccedilatildeo hipoteacutetica embora a Matemaacutetica
tambeacutem cause severas limitaccedilotildees para tal raciociacutenio hipoteacutetico e por uacuteltimo a Matemaacutetica
embasa a modulaccedilatildeo e a constituiccedilatildeo de uma ampla variedade de fenocircmenos sociais e desse
modo ela se torna parte da realidade Com o advento da ciberneacutetica observa-se que muita
tecnologia da informaccedilatildeo se materializa em ldquopacotesrdquo que podem operar conjuntamente com
outros pacotes eles contecircm a matemaacutetica como um ingrediente definidor uma base comum
Os instrumentos matemaacuteticos constituem uma variedade de recursos existentes na
sociedade atual perfazendo ferramentas e signos materializados externamente aos sujeitos
90
(linguagem escrita falada figuras teacutecnicas softwares foacutermulas modelos equaccedilotildees entre
vaacuterios outros) eou internamente aos sujeitos (ferramentas mentais abstraccedilotildees
representaccedilotildees processos psicoloacutegicos memoacuteria etc)
Para compreender a matemaacutetica em accedilatildeo Skovsmose (2007) considera a
Matemaacutetica como uma linguagem refletindo sobre o que poderia ser feito por essa linguagem
particular Aleacutem disso nos conduz agrave seguinte reflexatildeo que visotildees de mundo podem ser
discursivamente constituiacutedas por meio da Matemaacutetica
Se a Matemaacutetica estaacute em todo lugar ndash se natildeo em cena atraacutes da cena ndash espera-se
que toda vez que algueacutem usa de qualquer maneira um computador ele estaacute usando mesmo
que sem consciecircncia disso inuacutemeros dispositivos que somente foram elaborados e
construiacutedos mediante consideraacuteveis avanccedilos de loacutegicas teacutecnicas e resultados matemaacuteticos A
proacutepria aacutelgebra booleana96
que permeia todos os processos ciberneacuteticos eacute oriunda de
conceitos e resultados matemaacuteticos Dessa forma pensar processos educativos em pleno
seacuteculo XXI que se propotildeem possibilitar aos aprendizes uma visatildeo e atuaccedilatildeo criacutetica nessa
sociedade ldquocheia de tecnologiasrdquo ao seu alcance deve necessariamente levar em conta o
domiacutenio do entendimento ldquodescortinadordquo de todos os constructos instrumentais e seus
respectivos usos em diversas praacuteticas sociais que vatildeo muito aleacutem de capacidades de leitura
escrita e contagem
Ubiratan DrsquoAmbroacutesio no final dos anos 90 propocircs um curriacuteculo97
baseado no
tripeacute literacia materacia e tecnoracia buscando abarcar uma concepccedilatildeo de educaccedilatildeo que
atenda agraves exigecircncias da sociedade em cada momento histoacuterico Para ele isso difere e muito
do paradigma curricular que foca na importacircncia acadecircmica de cada disciplina escolar Nas
palavras do autor
Literacia eacute a capacidade de processar informaccedilotildees escrita e falada o que inclui
leitura escrita escritura caacutelculo diaacutelogo ecaacutelogo miacutedia internet na vida cotidiana
(instrumentos comunicativos)
Materacia eacute a capacidade de interpretar e analisar sinais e coacutedigos de propor e utilizar modelos e simulaccedilotildees na vida cotidiana de elaborar abstraccedilotildees sobre representaccedilotildees do real (instrumentos intelectuais)
Tecnoracia eacute a capacidade de usar e combinar instrumentos simples ou complexos inclusive o proacuteprio corpo avaliando suas possibilidades e limitaccedilotildees e a sua adequaccedilatildeo a necessidades e situaccedilotildees diversas (instrumentos materiais)
98
(DrsquoAMBROacuteSIO 2005 p 119)
96
Booleana se refere agrave Aacutelgebra elaborada por George Boole matemaacutetico inglecircs que concluiu seus trabalhos
sobre tal teoria em meados do seacuteculo XIX 97
O autor define curriacuteculo de uma forma muito abrangente ldquoa estrateacutegia da accedilatildeo educativardquo (DrsquoAMBROacuteSIO
2005 p 118) 98
Em inglecircs Literacy matheracy e technoracy Existem outras traduccedilotildees para Literacy como por exemplo
letramento contudo natildeo portam a mesma definiccedilatildeo O letramento estaria mais relacionado com a matheracy
91
Na sociedade atual as capacidades requeridas aos sujeitos abarcam usos e visatildeo
criacutetica de instrumentos de comunicaccedilatildeo intelectuais e materiais Com isso eacute extremamente
necessaacuterio adaptar as praacuteticas escolares para dar conta dessas prioridades A Modelagem
Matemaacutetica por se tratar de uma atividade que busca a resoluccedilatildeo de questotildees-problema de
realidades natildeo matemaacuteticas pode se configurar como um importante espaccedilo formativo
direcionado por essa concepccedilatildeo de educaccedilatildeo proposta por DrsquoAmbroacutesio conforme explicitado
anteriormente
Para Skovsmose (2001 p 89) ldquoo conhecimento reflexivo tem como seu objeto o
uso da matemaacutetica e portanto torna-se importante sair da catedral do conhecimento formal
para se ter uma visatildeo mais geral dessa construccedilatildeordquo Aleacutem disso tal autor faz distinccedilatildeo entre
trecircs tipos de conhecer que podem orientar a educaccedilatildeo matemaacutetica
1) Conhecer matemaacutetico que se refere agrave competecircncia normalmente entendida como
habilidades matemaacuteticas incluindo-se competecircncias na reproduccedilatildeo de teoremas e
provas bem como ao domiacutenio de uma variedade de algoritmos ndash essa competecircncia
estaacute focada na educaccedilatildeo matemaacutetica tradicional e sua importacircncia tem sido
especialmente enfatizada pelo movimento estruturalista ou pela ldquonova matemaacuteticardquo
2) Conhecer tecnoloacutegico que se refere agraves habilidades em aplicar a matemaacutetica e agraves
competecircncias na construccedilatildeo de modelos A importacircncia do conhecer tecnoloacutegico
tem sido enfatizada pela tendecircncia dirigida para aplicaccedilotildees na educaccedilatildeo matemaacutetica
que afirma que ateacute mesmo se os estudantes aprendem matemaacutetica nenhuma
garantia existe de que a competecircncia desenvolvida eacute suficiente quando se trata de
situaccedilotildees de aplicaccedilatildeo Mais do que a matemaacutetica pura tem de ser dominado a fim
de se poder aplicar a matemaacutetica []
3) Conhecer reflexivo que se refere agrave competecircncia de refletir sobre o uso da
matemaacutetica e avaliaacute-lo Reflexotildees tecircm a ver com avaliaccedilotildees das consequecircncias do
empreendimento tecnoloacutegico (SKOVSMOSE 2001 p 115 e 116)
Skovsmose (2001) aponta que as habilidades relacionadas ao conhecer
tecnoloacutegico podem ser consideradas como uma competecircncia extra denominando-a por
competecircncia tecnoloacutegica E esclarece que de maneira geral eacute caracterizada pelo
entendimento necessaacuterio que possibilita o uso de uma ferramenta tecnoloacutegica visando a
alcanccedilar alguns objetivos tecnoloacutegicos
Aleacutem de objetivar a promoccedilatildeo do conhecer reflexivo a educaccedilatildeo matemaacutetica
criacutetica busca por uma educaccedilatildeo em que haja igualdade entre os sujeitos a um niacutevel de
parceria fundando-se nas ideias da ldquopedagogia emancipadorardquo de Paulo Freire (1987)
delimita-se assim um primeiro ponto-chave dessa concepccedilatildeo de educaccedilatildeo ndash ldquoenvolvimento
estando focado apenas na liacutengua oficial do Brasil o portuguecircs No campo do letramento podemos encontrar
conceitos proacuteximos agrave matheracy por exemplo o numeramento Jaacute o termo technoracy estaacute relacionado ao
technological literacy o que poderia ser traduzido por letramento tecnoloacutegico
92
dos estudantes no controle do processo educacionalrdquo (SKOVSMOSE 2001 p 18) Um
segundo ponto-chave dessa concepccedilatildeo eacute a ldquoconsideraccedilatildeo criacutetica de conteuacutedos [] ambos
estudantes e professor devem estabelecer uma distacircncia criacutetica do conteuacutedo da educaccedilatildeordquo
(SKOVSMOSE 2001 p 18 grifo meu) O terceiro e uacuteltimo ponto-chave dessa concepccedilatildeo eacute o
direcionamento do processo de ensino-aprendizagem a problemas existentes fora do contexto
educacional Considerando os trecircs pontos-chave em uma concepccedilatildeo de educaccedilatildeo criacutetica o
autor coloca que o engajamento criacutetico deve fazer parte do processo Citando John Dewey
Skovsmose (2007) pontua que o meacutetodo experimental pode assegurar um novo suporte
pedagoacutegico com vistas ao desenvolvimento democraacutetico
Buscando possibilitar aprendizagens expansivas como transformaccedilotildees no objeto
da atividade de Modelagem uma possiacutevel estrateacutegia a ser considerada pode ser elencar accedilotildees
que objetivem a abertura de caixas-pretas Essa terminologia foi trazida da ldquosociologia da
ciecircnciardquo por Bruno Latour em sua obra Ciecircncia em accedilatildeo como seguir cientistas e
engenheiros sociedade afora devido ao entendimento de que vaacuterios conhecimentos
amplamente difundidos nos curriacuteculos escolares nas ementas das disciplinas partem de
resultados cientiacuteficos frequentemente considerados como inquestionaacuteveis eou verdades
absolutas Latour (2000) traz a noccedilatildeo de caixa-preta como sendo uma expressatildeo usada em
ciberneacutetica sempre que uma maacutequina ou um conjunto de comandos se revela complexo
demais ldquoem seu lugar eacute desenhada uma caixinha preta a respeito da qual natildeo eacute preciso saber
nada senatildeo o que nela entra e o que dela sairdquo (LATOUR 2000 p 14)
Dessa forma uma caixa-preta pode ser entendida como um aparatoobjeto
(conceito fato teacutecnica equaccedilatildeo lei teoria modelo equipamento aparelho maacutequina entre
outras possibilidades) oriundo de resultado de pesquisa cientiacutefica no qual eacute atribuiacutedo um
grau inquestionaacutevel de verdade sendo que sua existecircncia somente se justifica devido as suas
associaccedilotildees com outros aparatosobjetos (que tambeacutem podem ser caixas-pretas) e seus
respectivos usos sociais
O trabalho cientiacutefico estaacute condicionado agrave abertura e ao fechamento de caixas-
pretas Um cientista ao se deparar com possibilidades de investigar certo fenocircmeno X busca
todas as ldquoverdadesrdquo que outros cientistas jaacute estabeleceram sobre esse fenocircmeno Quando as
encontra pode questionaacute-las ou aceitaacute-las Suponha que o cientista resolva questionar uma
caixa-preta P encontrada por ele no processo de investigaccedilatildeo do fenocircmeno X Para isso eacute
necessaacuterio que ele utilize outros instrumentos (incluindo ateacute mesmo outras caixas-pretas) que
objetivem a abertura dessa caixa-preta Apoacutes a abertura ele comeccedila a relacionar essa caixa-
preta P com outras proposiccedilotildees a respeito do fenocircmeno X podendo alterar P ou apenas
93
reafirmar a ldquoverdaderdquo contida em P De qualquer forma o cientista abre e fecha P em certo
momento de sua atividade cientiacutefica Portanto qualquer caixa-preta pode ser aberta
reafirmada ou modificada ou ainda apenas utilizada pelos cientistas
Na vida cotidiana nos deparamos com as mais variadas caixas-pretas Um
reloacutegio por exemplo eacute uma delas sabemos que se o alimentarmos com bateria e cedermos a
ele uma regulagem com a hora oficial (entrada) ele sempre nos forneceraacute as horas (saiacuteda) no
entanto normalmente natildeo sabemos quais os processos ocorrem dentro dessa caixa-preta
Uma foacutermula matemaacutetica pode ser outro exemplo de caixa-preta se tomarmos por exemplo
a foacutermula de caacutelculo dos juros compostos 119862119899 = 1198620(1 + 119894)119899 sabe-se que se forem fornecidos o
capital inicial (1198620) a taxa de juros (119894) e o tempo (119899) (entradas) a foacutermula forneceraacute qual a
quantia (119862119899) (saiacuteda) teraacute depois desse tempo no entanto o que estaacute por traacutes dessa foacutermula e
qual eacute a veracidade dela o usuaacuterio pode natildeo ter conhecimento
Assim de forma representativa podemos visualizar as caixas-pretas da seguinte
forma
FIGURA 6 ndash Visualizaccedilatildeo da caixa-preta e suas possiacuteveis associaccedilotildees a outras caixas-pretas
Fonte Elaborada pela autora com base em Latour (2000)
Observe que as caixas-pretas natildeo se restringem apenas agraves variaacuteveis de entrada e
saiacuteda mas sobretudo ao relacionamento que cada uma delas pode estabelecer com outras
vaacuterias caixas-pretas Em um uacutenico equipamento um computador por exemplo existem
vaacuterias caixas-pretas em seu ldquointeriorrdquo ou seja uma caixa-preta contendo vaacuterias caixas-
pretas que se relacionam internamente
94
Mas porque accedilotildees orientadas pela abertura das caixas-pretas podem ser uacuteteis para
possibilitar aprendizagens expansivas em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias Uma
boa explicaccedilatildeo pode ser encontrada na seguinte reflexatildeo proposta por Latour (2000) como
segue
[] muitos jovens entraram no mundo da ciecircncia mas se tornaram cientistas e
engenheiros o que eles fizeram estaacute visiacutevel nas maacutequinas que usamos nos livros
pelos quais aprendemos nos comprimidos que tomamos nas paisagens que
olhamos nos sateacutelites que cintilam no ceacuteu noturno sobre nossas cabeccedilas Como
fizeram natildeo o sabemos [] quase ningueacutem estaacute interessado no processo de
construccedilatildeo da ciecircncia [] Os fatos e artefatos que esta produz caem sobre suas
cabeccedilas como um fado externo tatildeo estranho desumano e imprevisiacutevel quanto o
Fatum dos antigos romanos (LATOUR 2000 p 33-34)
A grande questatildeo aqui estampada consiste no entendimento de que os conteuacutedos
escolares perpassam pelos resultados cientiacuteficos muitas vezes relacionados a generalizaccedilotildees e
conceituaccedilotildees que num primeiro momento podem parecer ldquoestranhasrdquo aos aprendizes Essa
ldquoestranhezardquo pode muito bem ser anulada ou minimizada na medida em que os aprendizes
consigam adentrar para tais entes entendendo seu processo histoacuterico de construccedilatildeo e mais do
que isso percebendo que todo processo construtivo humano consiste na materializaccedilatildeo das
necessidades sociais e culturais em cada tempo histoacuterico de seu desenvolvimento
A concepccedilatildeo de educaccedilatildeo para desenvolvimento da cidadania emancipaccedilatildeo e
liberdade estaacute motivada pelas possibilidades e usos de conhecimentos em praacuteticas sociais
Nelas os sujeitos engajados carregam consigo as mais diversas experiecircncias vividas
anteriormente em diversos contextos sociais dentre estes os espaccedilos escolares Eacute na escola
que os resultados da ciecircncia satildeo recontextualizados e assumem postos de conteuacutedos a serem
desenvolvidos nas praacuteticas que ali ocorrem A abertura de caixas-pretas se torna portanto
imprescindiacutevel para se alcanccedilar uma formaccedilatildeo libertaacuteria emancipada e cidadatilde nos dias atuais
Mas quem decide quais caixas-pretas devem ser abertas jaacute que natildeo podem ser
todas Acredito que tal decisatildeo deva emergir da coletividade de aprendizes engajados em
cada frente de formaccedilatildeo pautados pelas demandas impostas pela sociedade em cada momento
de sua historicidade num contiacutenuo processo de diaacutelogo e orquestraccedilatildeo
Ao considerarmos o contexto institucional de formaccedilatildeo de engenheiros foco
dessa pesquisa podemos afirmar que os sujeitos partiacutecipes desse contexto tecircm amplo acesso
aos mais variados aparatosobjetos que podem ser entendidos como caixas-pretas Em
atividade de Modelagem Matemaacutetica sendo aqui considerada como um espaccedilo formativo que
se configura como um contexto propiacutecio para possibilitar aprendizagens expansivas por estar
95
baseado no contexto da criacutetica proposto por Engestroumlm (2002) entende-se portanto que tais
caixas-pretas devam ser abertas questionadas e se possiacutevel ou necessaacuterio alteradas ou
modificadas Isso deve fazer parte da formaccedilatildeo de engenheiros que pretendem dar conta da
complexidade e da magnitude do trabalho que os aguarda nas mais variadas esferas da
sociedade atual
Atividades de Modelagem Matemaacutetica podem assim constituir espaccedilos
formativos que possibilitem a abertura de caixas-pretas devido agrave postura investigativa que
pode ser instigada e cultivada nesse contexto Para tal os engajados nesse processo satildeo
orientados pelo questionamento e consequentemente pela modificaccedilatildeo de ldquoverdadesrdquo ou
certezas cientiacuteficas contidas em fatos aceitos e ateacute entatildeo inquestionaacuteveis que compotildeem cada
caixa-preta Dessa forma muitos fatos e enunciados sociais amplamente aceitos e difundidos
podem ser alterados nas e pelas atividades de Modelagem Matemaacutetica Mais do que isso a
abertura de caixas-pretas pode se revelar como estrateacutegia de formaccedilatildeo na qual os sujeitos satildeo
instigados apoacutes a abertura e possiacutevel confirmaccedilatildeo da ldquoverdaderdquo contida na caixa-preta natildeo
somente a aceitaccedilatildeo e a reproduccedilatildeo de tais certezas cientiacuteficas mas sobretudo agrave tomada de
tais certezas como base (entrada) para a elaboraccedilatildeo de outras certezas ou empreendimentos
cumprindo assim a formaccedilatildeo no que tange agrave produccedilatildeo criativa agrave inovaccedilatildeo e ao
empreendedorismo
As estrateacutegicas accedilotildees com vistas agrave abertura de caixas-pretas num contexto de
formaccedilatildeo em Engenharias correspondem a mudanccedilas qualitativas nos objetos da atividade de
Modelagem Matemaacutetica a questatildeo-problema que por vezes configura como objeto da
atividade de Modelagem Matemaacutetica pode ser considerada num primeiro momento como
uma caixa-preta na qual as accedilotildees devem ser direcionadas visando a sua abertura
Transformaccedilotildees qualitativas do objeto da atividade devem ser consideradas como
aprendizagens expansivas segundo Engestroumlm e Sannino (2010b)
Para concluir este capiacutetulo entendo que uma caixa-preta na verdade nunca eacute
totalmente preta e nem totalmente branca Caso existisse caixa pretas totalmente cinzas ou
totalmente brancas estariacuteamos reforccedilando a ideologia das verdades ldquoabsolutasrdquo e
inquestionaacuteveis assim como o contraacuterio A variaccedilatildeo de cores permitida entre o preto e o
branco configura como pertencente agrave categoria dos infinitos tons de cinza Suponha um
intervalo aberto entre zero e um A uma caixa-preta qualquer seria atribuiacutedo um valor mais
proacuteximo de um do que de zero isto eacute um tom de cinza mais escuro Com a realizaccedilatildeo das
accedilotildees expostas anteriormente a caixa-preta tende a ldquoclarear-serdquo (ou natildeo) sendo entatildeo
atribuiacutedo um valor menor (ou maior) do que o anteriormente atribuiacutedo resultando em um tom
96
de cinza mais claro do que o anterior Tal clarificaccedilatildeo pode ser entendida como um
movimento do escuro para o claro da atuaccedilatildeo ldquocegardquo para a ldquoniacutetidardquo em termos das questotildees
a serem ldquoesclarecidasrdquo por uma determinada atividade de Modelagem Matemaacutetica Ao
considerarmos os sujeitos como objetos da proacutepria atividade formativa o esclarecimento
parte inerente da subjetividade dos sujeitos engajados em tal espaccedilo em inter-relaccedilatildeo ao
objeto da atividade (questatildeo-problema a ser esclarecida) pode atingir um grau de magnitude
compatiacutevel com a participaccedilatildeo resultado da proacutepria experiecircncia na praacutetica social tendendo a
qualitativas modificaccedilotildees na agency e nas interaccedilotildees dos sujeitos na referida atividade
No proacuteximo capiacutetulo apresento os procedimentos utilizados e a metodologia
assumida no desenvolvimento da pesquisa relatada nesta tese
97
3 METODOLOGIA DE PESQUISA E PROCEDIMENTOS
Neste capiacutetulo apresento a abordagem teoacuterico-metodoloacutegica de construccedilatildeo99
e
anaacutelise dos dados o contexto em que esta pesquisa estaacute inserida bem como os procedimentos
metodoloacutegicos que foram adotados para a construccedilatildeo e anaacutelise desses dados
31 Por que a abordagem eacute qualitativa
Esta pesquisa estaacute inserida na aacuterea da Educaccedilatildeo Matemaacutetica localizada na aacuterea de
Ciecircncias Humanas que engloba questotildees relacionadas aos objetos de estudo da Educaccedilatildeo da
Matemaacutetica e da proacutepria Educaccedilatildeo Matemaacutetica Esses campos de pesquisa embora
compartilhem de praacuteticas sociais que na maioria das vezes estatildeo localizadas dentro das
instituiccedilotildees educacionais possuem interesses distintos em termos de pesquisa Mas como
um sujeito (neste caso eu professora de Caacutelculo em cursos de Engenharia) que passou grande
parte da vida trabalhando com Ciecircncias Exatas pode se encorajar a desenvolver uma pesquisa
na aacuterea das Ciecircncias Humanas A resposta para essa pergunta pode ser encontrada no
posicionamento de Arauacutejo e Borba (2006)
E quando um professor (de Matemaacutetica) se dispotildee a realizar uma pesquisa na aacuterea de
Educaccedilatildeo (Matemaacutetica) talvez seja porque ele vem problematizando sua praacutetica o
que poderaacute levaacute-lo a se dedicar com afinco ao desenvolvimento de uma pesquisa
originada desta problematizaccedilatildeo e para isso eacute preciso que ele sintetize suas
inquietaccedilotildees iniciais em uma (primeira) pergunta diretriz (ARAUacuteJO BORBA
2006 p 30)
Foi exatamente problematizando minha proacutepria atividade docente que busquei
pelo entendimento de questotildees relacionadas ao ensino de Caacutelculo em cursos de Engenharia
inicialmente a primeira pergunta diretriz que norteou a presente pesquisa foi de que forma a
Modelagem Matemaacutetica aliada a recursos computacionais pode melhor inter-relacionar a
99
Natildeo uso o termo coleta de dados por entender que o papel do pesquisador pode se configurar como aquele que
constroacutei dados para a pesquisa que se propotildee desenvolver Os dados natildeo podem ser coletados pelo simples
motivo de eles por vezes nem sequer existirem Soacute pode ser coletado o que existe O verbo coletar pode ser
sinocircnimo de juntar ou reunir algum objeto ou coisa Quando se utiliza esse verbo em pesquisas no sentido de
juntar ou reunir dados uma pressuposiccedilatildeo de que jaacute existam os dados a serem reunidos ou juntados eacute
considerada Contudo essa pressuposiccedilatildeo pode assumir caraacuteter falso quando o pesquisador vecirc-se em faces de
construir os dados que necessita visando buscar entendimento para a questatildeo que se propotildee investigar
98
disciplina de Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias agraves demais disciplinas ldquoteacutecnicasrdquo dos cursos
de Engenharia
Poreacutem ainda que Alves-Mazzotti (1999 p 147) considere que ldquoo foco da
pesquisa bem como as categorias teoacutericas e o proacuteprio design100
soacute deveratildeo ser definidos no
decorrer do processo de investigaccedilatildeordquo ela defende que
trabalhar de forma altamente indutiva deixando que o design e a teoria emerjam dos
dados eacute difiacutecil ateacute mesmo para pesquisadores mais experientes Quanto menos
experiente for o pesquisador mais ele precisaraacute de um planejamento cuidadoso sob
a pena de se perder num emaranhado de dados dos quais natildeo conseguiraacute extrair
qualquer significado (ALVES-MAZZOTTI 1999 p 148)
Refletindo acerca dos apontamentos de Alves-Mazzotti (1999) decidi tentar
perceber o movimento do foco e do design da pesquisa aqui relatada na tentativa de mesmo
que informalmente que o planejamento da pesquisa fosse cuidadoso e ao mesmo tempo
adotasse certo grau de flexibilidade Nesse processo de co-construccedilatildeo de foco e design da
pesquisa acabei por delinear a seguinte pergunta diretriz ldquoquais aprendizagens expansivas
podem ser evidenciadas pelas e nas atividades desenvolvidas por um Grupo de Estudos e
Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica (GEPMM) num contexto de formaccedilatildeo em
Engenhariasrdquo
Conforme exposto no capiacutetulo 1 a concepccedilatildeo de aprendizagem assumida na
pesquisa faz parte do referencial teoacuterico conhecido como Teoria Histoacuterico Cultural da
Atividade na qual um dos seus cinco princiacutepios afirma que a anaacutelise da atividade e dos
componentes que a formam deve sempre ser tomada em sua historicidade perceber o papel
das contradiccedilotildees no movimento de uma atividade torna possiacutevel tambeacutem a reconstituiccedilatildeo de
sua evoluccedilatildeo e do desenvolvimento de suas praacuteticas ao longo da histoacuteria Com isso entendo
que a abordagem metodoloacutegica histoacuterico-dialeacutetica que questiona fundamentalmente a visatildeo
estaacutetica da realidade considerando o caraacuteter dinacircmico contraditoacuterio e histoacuterico dos
fenocircmenos educativos deve ser considerada nesta investigaccedilatildeo Essa abordagem
metodoloacutegica considera que
Aquilo que hoje se apresenta diante de nossos olhos eacute apenas uma siacutentese do
processo histoacuterico em transformaccedilatildeo Por isso procura apresentar uma concepccedilatildeo
unitaacuteria coerente e orgacircnica do mundo fazendo da criacutetica seu modelo
100
ldquoO termo lsquodesignrsquo no que se refere agrave pesquisa tem sido traduzido como desenho ou planejamento O design
corresponde ao plano e agraves estrateacutegias utilizadas pelo pesquisador para responder agraves questotildees propostas pelo
estudo incluindo os procedimentos e instrumentos de coleta anaacutelise e interpretaccedilatildeo dos dados bem como a
loacutegica que liga entre si diversos aspectos da pesquisardquo (ALVES-MAZZOTTI 1999 p 147)
99
paradigmaacutetico mesmo porque natildeo haacute modelo teoacuterico ou siacutentese por melhor que
seja que decirc conta da realidade (FIORENTINI LORENZATO 2009 p 66)
Para tal abordagem eacute preciso entender os conflitos dos interesses aleacutem de
desvendar as contradiccedilotildees que emergem da realidade conforme preconizado pela Teoria da
Atividade Aleacutem disso natildeo basta compreender a realidade eacute preciso tambeacutem intervir nela
visando agrave emancipaccedilatildeo (libertaccedilatildeo) dos sujeitos (FIORENTINI LORENZATO 2009) O
entendimento dos conflitos de interesses pode ser enquadrado na anaacutelise das regras na
constituiccedilatildeo da comunidade e na divisatildeo do trabalho como referenciados no capiacutetulo 2
segundo a Teoria da Atividade proposta por Engestroumlm (1987) No sentido de natildeo bastar
compreender a realidade mas sobretudo intervir nela entende-se que o papel das
contradiccedilotildees segundo a Teoria da Atividade assumido como constituinte da forccedila motriz
capaz de promover transformaccedilotildees expansivas na atividade reafirma a necessidade de
intervenccedilotildees que podem estar relacionadas agraves possibilidades de emancipaccedilatildeo e liberdade dos
sujeitos partiacutecipes
Aleacutem disso entendo que tal orientaccedilatildeo metodoloacutegica coloca minha pesquisa em
consonacircncia com a abordagem qualitativa de investigaccedilatildeo Bogdan e Biklen (1994) utilizam a
expressatildeo investigaccedilatildeo qualitativa como sendo um termo geneacuterico no qual os dados
construiacutedos satildeo ricos em pormenores descritivos relacionados a pessoas locais e conversas e
o objetivo eacute investigar fenocircmenos em toda sua complexidade em um contexto real
Tendo em vista se tratar de uma investigaccedilatildeo de natureza qualitativa torna-se
pertinente analisar as suas caracteriacutesticas principais Bogdan e Biklen (1994) apresentam-nos
as cinco principais caracteriacutesticas da investigaccedilatildeo qualitativa que foram os princiacutepios
orientadores para esta pesquisa
1 Na investigaccedilatildeo qualitativa a fonte direta de dados101
eacute o ambiente natural
constituindo o investigador o instrumento principal
2 A investigaccedilatildeo qualitativa eacute descritiva
3 Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do que
simplesmente pelos resultados ou produtos
4 Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma indutiva
5 O significado eacute de importacircncia vital na abordagem qualitativa
Vale ressaltar que esses cinco princiacutepios orientam poreacutem natildeo necessariamente
definem e nem sequer limitam o uso da abordagem qualitativa em investigaccedilotildees como eacute o
101
Conforme apontado no iniacutecio deste capiacutetulo entendo que na investigaccedilatildeo qualitativa os dados satildeo construiacutedos
no ambiente natural que abriga o objeto da pesquisa
100
caso desta tese Assim podemos definir que a pesquisa se inclui em uma abordagem
qualitativa
Para que as atividades escolares possam ser transformadas expandidas
Engestroumlm (2002) afirma que eacute necessaacuterio antes de tudo questionar radicalmente o sentido e
o significado do contexto e com isso almejar a construccedilatildeo de um contexto alternativo mais
amplo As accedilotildees direcionadas para tal construccedilatildeo segundo Engestroumlm e Sannino (2010b)
podem ser sistematizadas em um ciclo de aprendizagem expansiva conforme explicitado no
capiacutetulo 2 Engestroumlm (2002) sugere que toda e qualquer atividade escolar deveria ser
preconizada por uma criacutetica meticulosa sobre seus conteuacutedos e procedimentos agrave luz de sua
histoacuteria Para o autor o contexto da criacutetica pressupotildee possibilidades de resistecircncia
questionamento contradiccedilatildeo e debate Nele os conteuacutedos e procedimentos satildeo considerados
sob a oacutetica da necessidade da coletividade afetada pela escolarizaccedilatildeo em termos histoacutericos
culturais e sociais
No toacutepico que segue definirei o contexto e os participantes assim como os
instrumentos de construccedilatildeo e anaacutelise de dados
32 Qual eacute o contexto e quem satildeo os sujeitos
Para alcanccedilar o objetivo da presente pesquisa inicialmente busquei uma
instituiccedilatildeo de ensino que se ocupasse da formaccedilatildeo de engenheiros Essa instituiccedilatildeo por
motivos logiacutesticos natildeo poderia estar muito distante da cidade em que resido Aleacutem disso
delimitei que ela fosse mantida pelo poder puacuteblico federal pois nelas a maioria dos
professores se dedica exclusivamente agraves atividades acadecircmicas de ensino pesquisa e
extensatildeo o que torna esses sujeitos propiacutecios ao engajamento como participantes da pesquisa
principalmente no que se refere agrave criaccedilatildeo do Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem
Matemaacutetica
Alves-Mazzotti (1999 p 162) elucida diversas questotildees a respeito da escolha do
campo onde seratildeo construiacutedos os dados bem como a respectiva escolha dos sujeitos nele
contidos
Ao contraacuterio do que ocorre com as pesquisas tradicionais a escolha do campo onde
seratildeo colhidos os dados bem como os participantes eacute proposital isto eacute o
101
pesquisador os escolhe em funccedilatildeo das questotildees de interesse do estudo e tambeacutem das
condiccedilotildees de acesso e permanecircncia no campo e disponibilidade dos sujeitos
Sendo assim a escolha da instituiccedilatildeo tambeacutem estava pautada pela facilidade de
diaacutelogo e entrosamento entre a pesquisadora e os docentes nela lotados que se constituiu
devido ao fato de a pesquisadora jaacute ter sido docente na instituiccedilatildeo escolhida sendo assim jaacute
tendo estabelecida uma relaccedilatildeo de amizade e confianccedila entre seus pares Outro fator que
tambeacutem foi levado em conta na escolha da instituiccedilatildeo foi o fato de a instituiccedilatildeo se dedicar
exclusivamente agrave formaccedilatildeo de engenheiros perfazendo um total de nove cursos oferecidos102
Esse fator foi levado em conta pelo simples motivo de todos os sujeitos supostamente
estarem focados em uma missatildeo comum ldquogerar sistematizar aplicar e difundir
conhecimento ampliando e aprofundando a formaccedilatildeo de cidadatildeos e profissionais
qualificados e contribuir para o desenvolvimento sustentaacutevel do paiacutes visando a melhoria da
qualidade de vidardquo (ESTATUTO UNIFEI 2003 p 2)
Considerando que esta pesquisa busca analisar as possibilidades para
aprendizagens expansivas evidenciadas nas e pelas atividades desenvolvidas por um Grupo de
Estudos e Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica cujo objeto idealizado pode ser entendido
como questotildees-problema natildeo matemaacuteticas e estudantes os sujeitos que estivessem dispostos a
engajarem em tal sistema de atividade poderiam se tornar participantes da pesquisa
A instituiccedilatildeo escolhida foi a Universidade Federal de Itajubaacute (UNIFEI) ndash campus
Itabira O campus expandido da Universidade Federal de Itajubaacute em Itabira foi criado em
agosto de 2008 inaugurando trecircs cursos de graduaccedilatildeo destinados agrave formaccedilatildeo de Engenheiros
Eletricistas de Materiais e de Computaccedilatildeo Na ocasiatildeo apenas dez professores compunham o
quadro de efetivos que lecionavam para cento e cinquenta alunos sendo cinquenta de cada
curso
Depois de escolhida a instituiccedilatildeo onde seria realizada a pesquisa iniciei a ida ao
campo Primeiramente em 16 de dezembro de 2011 reuni-me com o entatildeo diretor do campus
para expor o interesse em construir os dados na UNIFEI e discutir os objetivos da pesquisa
Na ocasiatildeo o diretor se mostrou entusiasmado com a pesquisa e sugeriu alguns nomes de
professores que poderiam se interessar em participar Aleacutem disso ele disse que atividades de
Modelagem Matemaacutetica segundo seu proacuteprio entendimento se aproximavam bastante dos
objetivos de uma abordagem metodoloacutegica que jaacute tinha sido colocada em praacutetica nos cursos
da UNIFEI poreacutem sem sucesso A abordagem a que ele se referia eacute o Problem-Based
102
Engenharia de Computaccedilatildeo Eleacutetrica de Materiais de Produccedilatildeo de Controle e Automaccedilatildeo da Mobilidade de
Sauacutede e Seguranccedila Ambiental Mecacircnica
102
Learning (PBL) que foi traduzida para o portuguecircs como Aprendizagem Baseada em
Problemas Filho e Ribeiro (2006) esclarecem que o PBL se originou na formaccedilatildeo em
Medicina e foi posteriormente empregado em outras formaccedilotildees profissionais sendo que
na formaccedilatildeo profissional a utilizaccedilatildeo do PBL deve necessariamente se adaptar agraves
particularidades da aacuterea de conhecimento aos atores (alunos e professores) agrave
instituiccedilatildeo agraves diretrizes que regem a educaccedilatildeo superior no paiacutes Entretanto algumas
caracteriacutesticas do PBL devem ser contempladas para que um meacutetodo possa ser
reconhecido como tal A caracteriacutestica mais importante no PBL eacute o fato de uma
situaccedilatildeo-problema sempre preceder a apresentaccedilatildeo dos conceitos necessaacuterios para
sua soluccedilatildeo Quer dizer a principal caracteriacutestica que difere o PBL de outros
meacutetodos ativos colaborativos centrados nos alunos no processo e da aprendizagem
baseada em casos (CBL) eacute o emprego de problemas para iniciar enfocar e motivar a
aprendizagem de conteuacutedos especiacuteficos e para promover o desenvolvimento de
habilidades e atitudes profissional e socialmente desejaacuteveis (FILHO RIBEIRO
2006 p 24)
A partir desse momento percebi que atividades geradas pelo PBL realmente se
aproximam metodologicamente de atividades de Modelagem Matemaacutetica em cursos de
Engenharia
Os sujeitos participantes da construccedilatildeo dos dados dessa pesquisa foram alunos e
professores da UNIFEI- campus Itabira No capiacutetulo 4 o contexto e sujeitos que participaram
desta pesquisa seratildeo apresentados com mais detalhes
Na proacutexima secccedilatildeo mostrarei os instrumentos que foram usados para a construccedilatildeo
e anaacutelise dos dados
33 Quais foram os procedimentos de construccedilatildeo dos dados
Para uma pesquisa qualitativa destaca-se a importacircncia da utilizaccedilatildeo de diferentes
procedimentos para a construccedilatildeo dos dados o que se denomina triangulaccedilatildeo que em uma
pesquisa qualitativa consiste na utilizaccedilatildeo de vaacuterios e distintos procedimentos para obtenccedilatildeo
de dados (ALVES-MAZZOTTI 1999)
Visando realizar uma triangulaccedilatildeo os procedimentos de construccedilatildeo e obtenccedilatildeo de
dados foram os seguintes
331 A constituiccedilatildeo do GEPMM e observaccedilatildeo participante em suas atividades
103
Inicialmente visando agrave criaccedilatildeo do GEPMM convidei alunos e professores dos
cursos de Engenharia da UNIFEI-Itabira O convite foi efetuado em 25 de outubro de 2012
na ocasiatildeo em que uma palestra intitulada ldquoModelagem Matemaacutetica e Aprendizagem Baseada
em Problemas convergecircncias possiacuteveisrdquo foi proferida por mim com o objetivo de suscitar o
interesse de alunos e professores em participar do grupo Aleacutem da palestra o convite para a
participaccedilatildeo no grupo foi postado na paacutegina da UNIFEI-Itabira ndash da rede social Facebook103
Foram realizadas entrevistas com os docentes e discentes que participaram do
GEPMM todas as discussotildees que aconteceram durante os encontros foram documentados por
meio de gravaccedilotildees em aacuteudio e viacutedeo aleacutem das notas de campo no diaacuterio de pesquisa (FLICK
2009) com o objetivo de tentar visualizar possiacuteveis aprendizagens expansivas que emergiriam
dos sistemas de atividade do GEPMM No referido projeto a atuaccedilatildeo da pesquisadora se
constitui como uma observaccedilatildeo participante
Segundo Flick (2009) a observaccedilatildeo consiste em uma habilidade cotidiana
metodologicamente sistematizada e aplicada em pesquisas qualitativas e a observaccedilatildeo pode se
caracterizar como participante ou natildeo participante A observaccedilatildeo participante eacute uma das
formas mais comumente utilizada em pesquisas qualitativas podendo ser definida como ldquouma
estrateacutegia de campo que combina simultaneamente a anaacutelise de documentos a entrevista de
respondentes e informantes a participaccedilatildeo e a observaccedilatildeo diretas e introspecccedilatildeordquo (DENZIN
1989 p 157-158 apud FLICK 2009 p 207)
Na observaccedilatildeo participante o pesquisador deve cada vez mais obter acesso ao
campo e agraves pessoas tornar-se um participante das praacuteticas sociais observadas e aleacutem disso a
observaccedilatildeo deve passar por um processo para se tornar cada vez mais concentrada nos
aspectos essenciais agraves questotildees da pesquisa (FLICK 2009 p 208)
A observaccedilatildeo participante pode ser descrita por Spradley (1980) por meio das
seguintes trecircs fases
1 Observaccedilatildeo descritiva ndash no iniacutecio serve para fornecer ao pesquisador uma
orientaccedilatildeo para o campo em estudo Fornece tambeacutem descriccedilotildees natildeo especiacuteficas e
eacute utilizada para apreender o maacuteximo possiacutevel a complexidade do campo e (ao
mesmo tempo) para desenvolver questotildees de pesquisa e linhas de visatildeo mais
concretas
2 Observaccedilatildeo focalizada ndash restringe a perspectiva do pesquisador agravequeles processos
e problemas que forem os mais essenciais para a questatildeo da pesquisa
3 Observaccedilatildeo seletiva ndash ocorre jaacute na fase final da coleta de dados e concentra-se em
encontrar mais indiacutecios e exemplos para os tipos de praacuteticas e processos descobertos
na segunda etapa (SPRADLEY 1980 p 34 apud FLICK 2009 p 207)
103
wwwfacebookcomunifeiitabira
104
Para Spradley (1980 apud FLICK 2009) uma das principais dificuldades da
observaccedilatildeo participante eacute fazer o problema em estudo se tornar ldquovisiacutevelrdquo pois se trata de uma
situaccedilatildeo social Assim a questatildeo principal da observaccedilatildeo participante eacute o que e como
observar para que a observaccedilatildeo se torne um instrumento uacutetil para o entendimento da questatildeo a
ser estudada Na tentativa de minimizar esse problema optei por um longo104
periacuteodo de
construccedilatildeo de dados para que esses dados pudessem me fornecer um leque de informaccedilotildees e
significados minimamente visiacuteveis a respeito da questatildeo e da problemaacutetica desta pesquisa
Delimitei como corpus para anaacutelise o processo de implementaccedilatildeo do GEPMM
sendo este composto pela filmagem em aacuteudio e viacutedeo da palestra ldquoModelagem Matemaacutetica e
Aprendizagem Baseada em Problemas convergecircncias possiacuteveisrdquo pela filmagem dos
primeiros dez encontros realizados no GEPMM e pelas entrevistas realizadas com os
componentes do grupo
Visando a facilitar a comunicaccedilatildeo entre os integrantes do GEPMM foi criado em
outubro de 2012 um grupo fechado no Facebook intitulado Modelagem Unifei Itabira Nesse
espaccedilo compartilhamos artigos documentos e quaisquer outros conteuacutedos ou informaccedilotildees
relacionados ao trabalho do GEPMM
332 As entrevistas iniciais e as finais com os integrantes do GEPMM
Com o objetivo de entender como os sujeitos percebem o papel das disciplinas de
Caacutelculo na formaccedilatildeo do profissional da Engenharia e quais accedilotildees metodoloacutegicas eles tecircm
observado na instituiccedilatildeo (dentro e fora da sala de aula) que busquem o cumprimento dos
papeacuteis apontados por eles mesmos uma entrevista inicial foi realizada Com isso busquei por
indiacutecios de inquietaccedilotildees e ou anaacutelise das atividades formativas de Caacutelculo dominantes na
instituiccedilatildeo que estivessem relacionados ao engajamento dos sujeitos no GEPMM sendo
considerada como uma nova forma de atividade natildeo dominante (SANNINO NOCON 2008)
Aleacutem disso na entrevista inicial realizada individualmente objetivei mais explicitamente a
elucidaccedilatildeo dos motivos que levaram os sujeitos agrave participaccedilatildeo no grupo
104
Longo periacuteodo se refere ao tempo gasto apenas com a construccedilatildeo dos dados que totalizaram 15 meses Esse
periacuteodo geralmente pode ser tido como longo ao considerarmos que o prazo de conclusatildeo do doutorado eacute de 48
meses e antes do 36ordm mecircs todos os dados e o esboccedilo da anaacutelise devem ser apresentados no exame de
qualificaccedilatildeo
105
Roteiro de entrevista inicial
Pergunta 1) Na sua concepccedilatildeo qual eacute o papel das disciplinas de Caacutelculo na
formaccedilatildeo do engenheiro
Pergunta 2) Quais accedilotildees metodoloacutegicas tecircm sido adotadas na instituiccedilatildeo visando
o cumprimento dos papeacuteis apontados anteriormente
Pergunta 3) Quais foram os motivos que o levaram a participar do grupo de
Modelagem Matemaacutetica
As entrevistas finais aconteceram apoacutes os sete primeiros encontros do GEPMM
Nessa fase de construccedilatildeo de dados busquei pelo entendimento dos limites e das
possibilidades que a participaccedilatildeo no grupo pocircde fornecer aos sujeitos participantes Limites e
possibilidades em termos de acesso ao grupo envolvimento com a proposta da atividade
experienciada por eles e possiacuteveis aprendizagens que pudessem ser evidenciadas nas
atividades desenvolvidas pelo GEPMM
Roteiro de entrevista final
Pergunta 1) Como vocecirc caracteriza sua participaccedilatildeo no GEPMM
Pergunta 2) Desde que vocecirc comeccedilou a participar do grupo quais os desafios
encontrados Como vocecirc buscou superar estes desafios
Pergunta 3) O que vocecirc aprendeu com sua participaccedilatildeo no GEPMM ateacute o
presente momento O que ainda espera aprender
34 Quais instrumentos foram usados para a anaacutelise
Engestroumlm (2001) pontua que qualquer teoria de aprendizagem deve buscar
respostas para as seguintes quatro questotildees 1) quem satildeo os sujeitos da aprendizagem 2) Por
que eles estatildeo aprendendo o que os faz esforccedilar 3) O que os faz aprender o que satildeo os
conteuacutedos e resultados da aprendizagem 4) Como fazecirc-los aprender o que satildeo as accedilotildees
chave ou processos de aprendizagem
Engestroumlm (2001) constroacutei um quadro de anaacutelise teoacuterica para a aprendizagem
expansiva cruzando os cinco princiacutepios da Teoria da Atividade agraves quatro questotildees
106
orientadoras para as teorias de aprendizagem Com isso para analisar uma atividade escolar
como uma praacutetica social coletiva por meio da Teoria da Aprendizagem Expansiva de
Engestroumlm eacute necessaacuterio preencher as entradas da seguinte matriz
Sistema de
Atividade como unidade
de anaacutelise
Multivocalidade Historicidade Contradiccedilotildees Ciclos
Expansivos
Quem satildeo os aprendizes
Por que eles
estatildeo aprendendo
O que os faz aprender
Como fazecirc-
los aprender
Tabela 1 - Matriz para anaacutelise da aprendizagem expansiva
Fonte Engestroumlm (2001 p 138)
Tomei como base empiacuterica para o preenchimento da matriz acima trechos das
entrevistas concedidas pelos docentes e discentes que se dispuseram a participar do GEPMM
e selecionei partes das dez reuniotildees do GEPMM documentadas em aacuteudio e viacutedeo que foram
convenientes para responder agrave questatildeo de pesquisa Primeiramente assisti ouvi e transcrevi
as entrevistas realizadas com os docentes e discentes engajados no GEPMM e gravadas em
aacuteudio e viacutedeo Fiz o mesmo com as gravaccedilotildees dos dez primeiros encontros do GEPMM
Selecionei trechos que pudessem me ajudar no preenchimento das entradas da referida matriz
Aleacutem disso extraiacute quatro temas de anaacutelise que convergiram no sentido de responder agrave questatildeo
que norteou a pesquisa Nessa pesquisa tais temas seratildeo denominados por modalidades
analiacuteticas
35 A formaccedilatildeo do GEPMM pode ser caracterizada como uma intervenccedilatildeo formativa
Engestroumlm e Sannino (2010b) afirmam que os ciclos de aprendizagem expansiva
podem ser investigados como processos que ocorrem naturalmente Contudo satildeo processos
bastante raros e difiacuteceis de documentar devido ao seu caraacuteter espacialmente e temporalmente
distribuiacutedo Aleacutem disso os autores apontam que nos processos de aprendizagem expansiva
107
mais importante ainda eacute o atendimento agraves demandas impostas para a soluccedilatildeo de contradiccedilotildees
urgentes em comunidades de trabalho visando sobretudo a atingir qualitativamente novos
modos de atividade de trabalho Tal demanda aliada ao legado intervencionista da teoria
histoacuterico-cultural da atividade ldquotem levado ao desenvolvimento e implementaccedilatildeo de
intervenccedilotildees formativas como uma metodologia para estudar aprendizagem expansivardquo 105
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 15 grifo meu)
Uma conceituaccedilatildeo para definir as intervenccedilotildees formativas decorre do legado
vigotskiano determinado pelo princiacutepio metodoloacutegico da dupla estimulaccedilatildeo As intervenccedilotildees
formativas podem ser entendidas pelo condensamento dos seguintes quatro pontos cruciais
1) Ponto de partida [] os sujeitos enfrentam um objeto problemaacutetico e
contraditoacuterio que eles analisam e expandem pela construccedilatildeo de um novo conceito
cujo conteuacutedo pode natildeo ser totalmente conhecido de antematildeo pelos pesquisadores
2) Processo [] o conteuacutedo e o curso da intervenccedilatildeo estatildeo sujeitos agrave negociaccedilatildeo e a
maneira da intervenccedilatildeo cabe eventualmente aos sujeitos Dupla estimulaccedilatildeo como o
mecanismo central implica que os sujeitos ganham agecircncia e assumem o comando
do processo
3) Resultado [] o objetivo eacute gerar um novo conceito que pode ser usado em outro
contexto como quadro para projetar uma nova soluccedilatildeo localmente apropriada Um
resultado chave da intervenccedilatildeo formativa eacute a agecircncia entre os participantes
4) Papel dos pesquisadores [] o pesquisador objetiva provocar e sustentar um
processo de transformaccedilatildeo expansiva conduzido pelos participantes e pertencente a
eles106
(ENGESTROumlM SANNINO 2010b p 15 grifos dos autores)
Dessa forma a intervenccedilatildeo pode ser entendida como uma accedilatildeo intencional
realizada por um agente humano que objetiva uma transformaccedilatildeo qualitativa em determinada
praacutetica social o que inclui que o pesquisador natildeo tem qualquer diferenciaccedilatildeo hieraacuterquica
sobre a intervenccedilatildeo Aleacutem disso segundo Engestroumlm e Sannino (2010b p 15) ldquoos
pesquisadores natildeo devem esperar resultados satisfatoriamente alinhados com seus
esforccedilos107
rdquo
105
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquohas led to the development and implementation of formative interventions
as a methodology for studying expansive learningrdquo 106
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquo
1) Starting point [hellip] they face a problematic and contradictory object which they analyze and expand by
constructing a novel concept the contents of which are not known ahead of time to the researchers
2) Process [hellip] the contents and course of the intervention are subject to negotiation and the shape of the
intervention is eventually up to the subjects Double stimulation as the core mechanism implies that the subjects
gain agency and take charge of the process
3) Outcome [hellip] the aim is to generate new concepts that may be used in other settings as frames for the design
on locally appropriate new solutions A key outcome of formative interventions is agency among the
participants
4) Researcherrsquos role the researcher aims at provoking and sustaining an expansive transformation process led
and owned by the practitionersrdquo 107
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoResearchers should not expect nicely linear results from their effortsrdquo
108
O instrumento metodoloacutegico no qual se baseia na construccedilatildeo coletiva do GEPMM
pode ser entatildeo compreendido como uma intervenccedilatildeo formativa na qual o passado (antes
dela) e o presente (depois dela) tendem a se misturar eou se (con)fundir podendo fazer
emergir contradiccedilotildees Com isso a intervenccedilatildeo formativa pode assumir duplo caraacuteter de
tentar resolver contradiccedilotildees historicamente acumuladas e ao mesmo tempo provocar novos
niacuteveis de contradiccedilatildeo
No que segue apresento o contexto institucional em que os dados foram
construiacutedos Procurarei elucidar de um ponto de vista sociocultural quem satildeo os sujeitos da
pesquisa Assim dividirei o restante do capiacutetulo em duas partes a primeira delas focaraacute a
descriccedilatildeo da instituiccedilatildeo como um todo e das disciplinas de Caacutelculo que nela satildeo ofertados
enquanto a segunda parte focaraacute as atividades desenvolvidas pelo GEPMM Vale ressaltar que
tanto na primeira parte quanto na segunda os sujeitos seratildeo considerados como integrantes e
integradores do contexto isto eacute os sujeitos constituem e satildeo constituiacutedos pelo contexto de
forma indissociaacutevel No fim do capiacutetulo visando a iniciar o preenchimento da matriz para
anaacutelise da aprendizagem expansiva (ENGESTROumlM 2001) apresentada anteriormente busco
responder a pergunta quem satildeo e onde estatildeo os sujeitos da aprendizagem
36 O contexto institucional e as aulas de Caacutelculo
Primeiramente descreverei a instituiccedilatildeo onde os dados foram construiacutedos sua
origem proposta e cursos oferecidos A instituiccedilatildeo escolhida foi a Universidade federal de
Itajubaacute (UNIFEI) ndash campus Itabira Decidi comeccedilar este trabalho com a seguinte imagem
109
FIGURA 7 ndash Paacutegina inicial site UNIFEI-Itabira
Fonte UNIFEI 2013
A Figura 7 foi retirada do site da UNIFEI108
em 17022013 agraves 21h46 No texto
de apresentaccedilatildeo da instituiccedilatildeo pode-se observar que a gecircnese da UNIFEI-Itabira estaacute
alicerccedilada em uma parceria entre a Prefeitura Municipal de Itabira-MG a empresa mineradora
Vale (antiga Companhia Vale do Rio Doce (CVRD)) e o Ministeacuterio da Educaccedilatildeo (MEC) Na
figura tambeacutem se pode observar uma foto que foi tirada em agosto de 2008 com os primeiros
dez professores do campus e com os primeiros 150 alunos dos cursos de Engenharia da
Computaccedilatildeo de Materiais e Eleacutetrica perfazendo um total de 50 alunos por turma
O campus de Itabira foi consolidado como uma das expansotildees universitaacuterias do
Governo Federal ocorridas entre os anos 2006 e 2010 As condiccedilotildees iniciais de
funcionamento eram precaacuterias109
O campus da UNIFEI em Itabira estaacute incluiacutedo no Plano de
Reestruturaccedilatildeo e Expansatildeo das Universidades Federais Trecircs salas de aula foram emprestadas
por uma instituiccedilatildeo de ensino privada para a universidade nelas ocorriam as aulas dos trecircs
cursos de Engenharia exceto as aulas experimentais que ocorriam em um outro bairro da
cidade num preacutedio tambeacutem emprestado onde funcionava um Instituto de Tecnologia (ITEC)
108
httpwwwunifeiedubrdiversosunifei-campus-itabira 109
Lecionei no campus da Unifei ndash Itabira no segundo semestre do ano de 2008 ou seja no semestre de sua
inauguraccedilatildeo
110
Em marccedilo de 2009 as aulas foram transferidas para o ITEC e todo o
funcionamento do campus expandido de Itabira foi concentrado em algumas poucas salas de
aula denominadas pelos alunos por ldquotendasrdquo (por se pareceram com tendas de circo) Os
professores foram agrupados em gabinetes subdivididos e essa situaccedilatildeo permaneceu ateacute
novembro de 2011 quando um primeiro preacutedio do campus foi entregue Poreacutem devido agrave
escassez de espaccedilo fiacutesico para ocorrerem todas as atividades dos nove110
cursos de
Engenharia algumas turmas permanecem em funcionamento no preacutedio do ITEC Portanto a
vida acadecircmica dos alunos professores e teacutecnicos-administrativos se encontra fisicamente
particionada e literalmente separada por mais de 7 km A prefeitura disponibilizou ocircnibus
para o acesso ao campus visto que por estar localizado no distrito industrial o acesso eacute
difiacutecil e existem poucas linhas de ocircnibus em poucos horaacuterios por dia
O campus da UNIFEI dividido em duas partes na cidade de Itabira uma parte no
ITEC e a outra no distrito industrial da cidade foi palco para a construccedilatildeo de dados para a
pesquisa aqui relatada
As disciplinas da aacuterea de Matemaacutetica da UNIFEI-Itabira satildeo desenvolvidas do
primeiro ao quinto periacuteodo de todos os nove cursos de Engenharia da instituiccedilatildeo Satildeo elas
BAC 000 - Nome Matemaacutetica 0
Ementa Conjuntos Numeacutericos Nuacutemeros reais Polinocircmios Funccedilotildees Funccedilotildees
polinomiais Funccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas Funccedilotildees trigonomeacutetricas
Funccedilotildees compostas Limites e continuidade Introduccedilatildeo aos recursos numeacutericos e
computacionais (5 ha semanais = 75 ha semestrais)
BAC 019 - Nome Matemaacutetica I
Ementa Derivadas aplicaccedilotildees de derivadas integrais teoremas fundamentais do
caacutelculo aplicaccedilotildees de integrais e integraccedilatildeo numeacuterica (4ha semanais = 60 ha
semestrais)
BAC 020 - Nome Matemaacutetica II
Ementa Matrizes e sistemas lineares aplicaccedilotildees vetores no plano e no espaccedilo
espaccedilo vetorial subespaccedilo espaccedilo119877119899 autovalores e auto vetores transformaccedilotildees
lineares cocircnicas e quaacutedricas (4ha semanais = 60 ha semestrais)
BAC I21 - Nome Matemaacutetica III
Ementa Sequecircncias e seacuteries derivadas parciais coordenadas polares integrais
duplas (4ha semanais = 60 ha semestrais)
BAC 022 - Nome Matemaacutetica IV
Ementa Equaccedilotildees diferenciais de ordem um Meacutetodos Numeacutericos Equaccedilotildees
diferenciais de ordem dois Equaccedilotildees diferenciais lineares de ordem maior que dois
Soluccedilotildees em seacuterie para equaccedilotildees lineares de ordem dois (4ha semanais = 60 ha
semestrais)
BAC 023 - Nome Matemaacutetica V
Ementa Funccedilotildees vetoriais integrais triplas caacutelculo vetorial (4ha semanais = 60
ha semestrais)
BAC 024 - Nome Matemaacutetica VI
Ementa Transformada de Fourier transformada de Laplace seacuterie de Fourier
110
Engenharia Ambiental da Computaccedilatildeo Mecacircnica de Controle e Automaccedilatildeo de Produccedilatildeo de Materiais de
Sauacutede e Seguranccedila Eleacutetrica e da Mobilidade
111
equaccedilotildees diferenciais parciais e problemas de contorno e valor inicial (4ha
semanais = 60 ha semestrais)111
A disciplina BAC 000 eacute oferecida no primeiro periacuteodo as disciplinas BAC 019 e
020 satildeo oferecidas no segundo periacuteodo as disciplinas BAC 022 e BAC I21 satildeo oferecidas no
terceiro periacuteodo a disciplina BAC 023 eacute oferecida no quarto periacuteodo e a disciplina BAC 024 eacute
oferecida no quinto periacuteodo de todos os nove cursos de Engenharia da UNIFEI-Itabira Vale
ressaltar que apenas a disciplina BAC 020 (Matemaacutetica II) natildeo perfaz conteuacutedos de Caacutelculo
Todas as outras disciplinas de Matemaacutetica na instituiccedilatildeo constituem o corpo de conteuacutedos
conhecido como Caacutelculo Diferencial e Integral
Uma importante112
observaccedilatildeo a respeito das disciplinas de Caacutelculo componentes
das grades curriculares dos cursos de Engenharia da UNIFEI-Itabira eacute o fato de a disciplina
Caacutelculo Numeacuterico natildeo aparecer na grade curricular como forma de uma disciplina uacutenica
Geralmente essa disciplina compotildee as grades curriculares dos cursos de Engenharia por se
tratar de uma importante ferramenta de resoluccedilatildeo de variados problemas da aacuterea da
Engenharia Para Herbster e Brito (2005 p 1)
[] a disciplina Caacutelculo Numeacuterico conforme classificaccedilatildeo do Ministeacuterio da
Educaccedilatildeo e Cultura eacute disciplina da aacuterea baacutesica de formaccedilatildeo dos cursos de
Engenharia O objetivo geral dessa disciplina eacute introduzir os fundamentos de
Meacutetodos Numeacutericos e aplicar os conhecimentos de programaccedilatildeo jaacute adquiridos na
implementaccedilatildeo computacional dos meacutetodos
Na instituiccedilatildeo os conteuacutedos geralmente englobados na disciplina Caacutelculo
Numeacuterico aparecem ldquodiluiacutedosrdquo nas disciplinas BAC 000 (Introduccedilatildeo aos recursos numeacutericos e
computacionais) BAC 019 (Integraccedilatildeo Numeacuterica) e BAC 022 (Meacutetodos Numeacutericos)
37 As atividades do GEPMM e os sujeitos envolvidos
111
Disponiacutevel em
httpwwwportalacademicounifeiedubrindexphplink=cursosamppaineis=cab1Panel1|cab2Panel1|contPanel1|c
abPanel2|contPanel2|pePanel2ampcursocod=071amplocalcod=C02ampcursomod=NaNampsubsistema=gradampsubsistema
=grad (consulta realizada em 18022013 agraves 17h02) 112
Como foco desta pesquisa ndash as disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia ndash considero todos os
conteuacutedos que geralmente configuram as disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia no Brasil incluindo
assim todas as disciplinas BAC descritas acima exceto a disciplina BAC 020 (Matemaacutetica II) e ainda os
conteuacutedos que configuram a disciplina Caacutelculo Numeacuterico introduccedilatildeo aos meacutetodos numeacutericos e computacionais
Soluccedilatildeo numeacuterica de equaccedilotildees natildeo lineares Interpolaccedilatildeo e aproximaccedilotildees Derivaccedilatildeo e integraccedilatildeo numeacuterica
Meacutetodos numeacutericos de resoluccedilatildeo de sistemas de equaccedilotildees lineares Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais
ordinaacuterias por meacutetodos numeacutericos
112
Em uma das visitas agrave instituiccedilatildeo conheci uma aluna que cursava o terceiro
periacuteodo do curso de Engenharia da Mobilidade que chamarei de Mary113
Comeccedilamos a
conversar sobre as disciplinas de Caacutelculo que ela jaacute tinha cursado na instituiccedilatildeo Ela comeccedilou
a me dizer que tinha um professor de Caacutelculo cujas aulas ela gostava muito e que ela aprendia
muito participando das atividades que ele propunha Fez vaacuterias comparaccedilotildees em relaccedilatildeo agraves
metodologias utilizadas pelos professores da aacuterea de Matemaacutetica que jaacute tinham sido
professores dela na instituiccedilatildeo Fiquei interessada em conhecer esse professor e convidaacute-lo
para participar da constituiccedilatildeo do GEPMM Anotei o nome do professor no caderno de campo
e posteriormente o encontrei pessoalmente no campus da UNIFEI-Itabira no ITEC Esse
professor seraacute chamado em todo o texto que segue por Angel
No encontro que tive com Angel expliquei quais eram os objetivos da pesquisa
que eu estava desenvolvendo na instituiccedilatildeo quais eram os passos de construccedilatildeo de dados e
como seria a participaccedilatildeo dele nessa jornada caso aceitasse participar Mesmo deixando claro
para mim que ele estava muito atarefado com a docecircncia projetos de pesquisa extensatildeo e
com demandas administrativas ele concordou em participar ativamente da pesquisa Desde
entatildeo a construccedilatildeo de dados pocircde se iniciar ndash a formaccedilatildeo do GEPMM Angel e eu
comeccedilamos entatildeo a planejar os proacuteximos passos para a criaccedilatildeo do GEPMM
371 Angel
Angel eacute licenciado em Matemaacutetica e mestre em Engenharia Eleacutetrica Atua no
serviccedilo puacuteblico federal como docente desde 2011 Anteriormente atuou como professor em
uma instituiccedilatildeo particular de ensino superior localizada na cidade de Belo Horizonte-MG
Angel acredita114
que o papel das disciplinas de Caacutelculo num contexto de
formaccedilatildeo em Engenharias configura-se como uma base formadora no que diz respeito agraves
ferramentas que os alunos vatildeo adquirindo com o objetivo de as aplicarem nas disciplinas
113
Todos os nomes de alunos e professores seratildeo fictiacutecios Com isso objetivo preservar a identidade por
questotildees eacuteticas 114
Todas as descriccedilotildees das concepccedilotildees explicitadas pelo professor Angel satildeo baseadas nas entrevistas inicial e
final concedidas a mim por ele As entrevistas foram gravadas em aacuteudio e viacutedeo No texto que segue todos os
excertos das entrevistas transcritas e citadas foram retirados das entrevistas iniciais e finais realizadas com os
sujeitos que aceitaram o convite de participaccedilatildeo no GEPMM
113
teacutecnicas dos cursos Entatildeo para ele o Caacutelculo eacute considerado como uma base teoacuterica para o
desenvolvimento das disciplinas formadoras ldquode cidadatildeos altamente qualificados para o
exerciacutecio profissionalrdquo (ESTATUTO UNIFEI 2003 p 2) Ao ser questionado a respeito das
propostas metodoloacutegicas que tecircm sido desenvolvidas na UNIFEI-Itabira objetivando o
cumprimento dos papeis das disciplinas de Caacutelculo na formaccedilatildeo em Engenharia apontados
por ele mesmo nos conta
Aqui na instituiccedilatildeo basicamente aqui na UNIFEI campus Itabira pelo menos assim
no grupo nosso da Matemaacutetica porque noacutes somos digamos relativamente isolados
dos grupos das Engenharias entatildeo em termos de nossas reuniotildees e tudo mais a
gente define assim habilidades chaves ou seja em termos de conhecimentos
matemaacuteticos que ele deve ter diante das diversas ferramentas para poder vamos
dizer assim estar delimitando essa base formadora do aluno Agora assim em
termos institucionais a gente natildeo tem reuniotildees perioacutedicas ou algum tipo de
ferramenta ou algum tipo de consultoria externa para estar atuando junto da
instituiccedilatildeo para estar delimitando aiacute essa linha formadora do aluno Entatildeo aiacute a
gente se sente muito livre para estar aplicando esta ou aquela metodologia se der
certo bem se natildeo der tambeacutem ok Entatildeo assim em termos institucionais natildeo tem
nada assim digamos constituiacutedo ou em constituiccedilatildeo pra taacute melhorando isso natildeo
Tem assim que estaacute sendo muito ventilado eacute a questatildeo do PBL Poreacutem estaacute ainda
muito incipiente e agora estaacute mudando de reitor e a gente natildeo sabe o que vai
acontecer
Sobre as metodologias utilizadas por ele e os demais colegas docentes da aacuterea de
Caacutelculo ele nos conta
Ah basicamente assim pelo que eu converso com os outros colegas eacute o meacutetodo
tradicional mesmo livros passar no quadro exerciacutecios nada assim muito diferente
do cotidiano natildeo eu eacute que no semestre passado adotei assim digamos uma
metodologia diferente pra verificar [] assim qual seria a percepccedilatildeo do aluno
diante desse novo modelo entatildeo na primeira etapa do periacuteodo eu adotei o que seria
o procedimento padratildeo aula expositiva exerciacutecios trabalhos em equipe e depois
prova e jaacute na segunda etapa as aulas expositivas foram trocadas para aulas de tirar
duacutevidas entatildeo os alunos se reuniam para desenvolverem exerciacutecios em grupos jaacute
que as aulas jaacute tinham sido disponibilizadas em slides no portal acadecircmico entatildeo o
meu papel era apenas de estar lapidando essas duacutevidas que iriam aparecendo
diante das discussotildees dos grupos Assim para alguns alunos isso foi oacutetimo
principalmente aqueles que jaacute tecircm um bom desempenho nato e outros que jaacute satildeo
preguiccedilosos natildeo querem nada com a dureza encostaram nos outros colegas do
grupo e ficou assim aquele parasitismo durante a segunda etapa do periacuteodo [] aiacute
eu fiz uma avaliaccedilatildeo em dupla e o resultado foi realmente muito bom embora eu
natildeo possa mensurar o quatildeo desse conhecimento individual foi absorvido por cada
aluno
Durante a conversa que tive com a aluna Mary ela relatou sua adaptaccedilatildeo como
aluna da disciplina BAC 020 com a proposta metodoloacutegica descrita anteriormente pelo
professor Angel Ela enfatizou que natildeo gostava de assistir agraves aulas expositivas e que preferia
estudar os slides disponibilizados no portal pelo professor o que ela poderia fazer qualquer
114
dia qualquer horaacuterio e em qualquer lugar Para ela era bem mais produtivo dessa forma
embora alguns colegas dela natildeo tenham se adaptado tatildeo bem a essa proposta de ensino
Em seguida perguntei ao professor Angel se ele costumava abordar algum tipo de
aplicaccedilatildeo em suas aulas
Eu gosto muito dessa questatildeo praacutetica assim porque eu vejo o seguinte na minha
concepccedilatildeo vocecirc tem que ensinar pros alunos aquelas habilidades matemaacuteticas
mesmo a operacionalizar trabalhar com estruturas matemaacuteticas obter o resultado
e aleacutem disso eu sempre tento assim na medida do possiacutevel linkar aquele assunto
com algum conteuacutedo praacutetico Soacute que como a turma eacute vamos dizer assim muito
heterogecircnea em termos de vaacuterias engenharias natildeo tem como eu focar por exemplo
um problema especiacutefico de Engenharia Eleacutetrica ou um problema especiacutefico de
Engenharia Mecacircnica ou um problema especiacutefico da Computaccedilatildeo entatildeo agraves vezes eu
seleciono um problema que eacute direcionado agrave parte eleacutetrica igual por exemplo
Sistemas Lineares eu comecei com uma parte motivacional a partir de um problema
de circuito eleacutetrico Entatildeo eu dei laacute vaacuterias fontes de energia de um circuito todo
montado resistor e tudo mais entatildeo vocecirc usa aquelas leis da eleacutetrica cai em um
sistema linear e depois resolve [] pelo menos eu jaacute dei um horizonte para ele jaacute
vislumbrar ndash olha isso daqui eu realmente vou precisar laacute pra frente
Depois disso questionei-o sobre algum tipo de parceria entre grupos de
professores de aacutereas correlatas na instituiccedilatildeo Perguntei se por exemplo o grupo de
professores da aacuterea de Fiacutesica desenvolvia algum tipo de trabalho juntamente com os
professores da aacuterea da Matemaacutetica Ele respondeu
Eu pelo menos em termos de reuniatildeo nunca houve Eacute soacute mesmo os grupos da
matemaacutetica grupo da fiacutesica grupo da engenharia de materiais grupo da
engenharia de produccedilatildeo sempre aqueles grupos segregados [] eu acho que seria
fantaacutestico se houvesse essa integraccedilatildeo que muitas vezes um professor laacute de por
exemplo laacute do curso de Engenharia da Mobilidade de construccedilatildeo civil ele taacute laacute
fazendo experimentos e gerando resultados seraacute que ele natildeo poderia estar
utilizando os conhecimentos de um professor da aacuterea de matemaacutetica [aponta para
ele mesmo] para estar melhorando os experimentos com algo que ele ainda natildeo
saiba usar de matemaacutetica Seria interessante tambeacutem para os alunos poderem ver
essa interligaccedilatildeo soacute que haacute aquela questatildeo assim vamos dizer assim das vaidades
intriacutensecas da carreira de docente que realmente torna essa tarefa um pouco
complicada [risos]
Logo apoacutes esse momento questionei-o se aleacutem da vaidade quais seriam outros
motivos pelos quais essa interligaccedilatildeo entre as aacutereas natildeo acontecia na instituiccedilatildeo Ele responde
que a questatildeo da ldquoautonomia universitaacuteriardquo eacute adotada de forma ampla nas universidades
federais no Brasil ou seja os docentes geralmente trabalham de forma autocircnoma sem se
preocupar com o que o colega estaacute fazendo ou deixando de fazer Ele acredita que para que
mudanccedilas ocorram as ordens tecircm que ser dadas ldquode cima para baixordquo115
Poreacutem mesmo que
115
Nas palavras de Angel durante a entrevista inicial
115
mudanccedilas sejam impostas esbarrariam na questatildeo da ldquovaidaderdquo116
dos docentes na vontade
deles de dialogar trabalhar realmente em equipe Ele conta que anteriormente ao trabalho
como servidor puacuteblico trabalhou em uma instituiccedilatildeo de ensino superior da rede particular e
que laacute os professores tinham o dever de participar de reuniotildees e seminaacuterios para discutirem as
praacuteticas pedagoacutegicas Nesses seminaacuterios eles compartilhavam experiecircncias boas e ruins
faziam leituras discutiam e refletiam acerca das posturas de cada um Para Angel era muito
bom conhecer as praacuteticas pedagoacutegicas dos colegas Isso o fazia (re)pensar sua proacutepria praacutetica
e o ajudava a tomar atitudes futuras para melhoraacute-la Apoacutes esse relato perguntei se ele sentia
que essa obrigaccedilatildeo (de participar destas atividades semestrais) exercia algum tipo de
influecircncia na atitude dos professores durante o semestre Ele respondeu
Ah um pouco sim porque querendo ou natildeo emprego privado cecirc sabe como eacute que eacute
neacute Entatildeo assim digamos se vocecirc taacute no ritmo taacute tudo dando certo vocecirc se perpetua
naquela empresa caso contraacuterio vocecirc eacute excluiacutedo Entatildeo assim havia um
direcionamento pra taacute tendo justamente esses novos meacutetodos esses novos meios de
ensino em prol da instituiccedilatildeo porque senatildeo vocecirc era cortado da instituiccedilatildeo
Em seguida questionei o professor se na opiniatildeo dele esse tipo de ambiente de
discussatildeo estava faltando na UNIFEI Ele respondeu que sim natildeo soacute na UNIFEI mas em
muitas universidades federais citando vaacuterios exemplos de colegas que trabalham nessas
instituiccedilotildees e reafirmou que a questatildeo da autonomia dos professores acaba criando essa
cultura do individualismo entre os professores das universidades tornando esse problema uma
questatildeo delicada
Em suma com base na entrevista inicial concedida a mim o professor Angel
parece se preocupar em estabelecer relaccedilotildees entre as disciplinas lecionadas por ele nos cursos
de Engenharia da UNIFEI-Itabira e outras aacutereas do conhecimento estaacute sempre aberto para
responder as duacutevidas trazidas pelos alunos sente falta de um ambiente de discussatildeo a respeito
das questotildees pedagoacutegicas dos cursos de Engenharia percebe que questotildees individuais
relacionadas agrave subjetividade dos professores podem estar impedindo mudanccedilas que poderiam
melhorar a educaccedilatildeo em Engenharia fornecida pela UNIFEI-Itabira preocupa-se em motivar
os alunos apresentando questotildees que abordam problemas oriundos de aacutereas correlatas agraves
disciplinas natildeo matemaacuteticas dos cursos de Engenharia critica o predomiacutenio de aulas
expositivas e incentiva uma participaccedilatildeo mais ativa dos alunos demonstra perceber na
contemporaneidade que os recursos tecnoloacutegicos disponiacuteveis podem ser poderosos aliados
116
Nas palavras de Angel durante a entrevista inicial
116
nos processos de ensino-aprendizagem em cursos de Engenharia e por fim parece ser um
professor aberto ao diaacutelogo
Objetivando dar prosseguimento agrave apresentaccedilatildeo dos sujeitos partiacutecipes do
GEPMM retomarei o momento apoacutes a palestra117
ter sido proferida por mim na UNIFEI-
Itabira em outubro de 2012 ocasiatildeo em que o convite para participaccedilatildeo no grupo foi feito agrave
comunidade e tambeacutem a data do primeiro encontro do grupo foi marcada Ao teacutermino da
palestra uma professora denominada por mim de Clarice veio ateacute mim (ainda estava agrave frente
do auditoacuterio) informando que gostaria de participar do grupo Agradeci a disponibilidade e a
reencontrei no primeiro encontro
372 Clarice
Clarice eacute bacharel em Matemaacutetica e mestre em Matemaacutetica Aplicada Atua como
docente no serviccedilo puacuteblico federal desde 2009
Com base na entrevista inicial percebi que a professora Clarice acredita que as
disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia desempenham importante papel para uma
soacutelida formaccedilatildeo desse perfil profissional Contudo ao ser questionada afirma que sempre
escuta de seus colegas docentes das disciplinas teacutecnicas dos cursos de Engenharia que
Caacutelculo eacute importante que natildeo eacute para ela aprovar alunos sem o devido conhecimento que o
Caacutelculo eacute essencial e com isso ela acredita na importacircncia das disciplinas de Caacutelculo
realmente tomando-as como disciplinas baacutesicas no sentido estrito da palavra ndash base Afirma
ainda que nunca viu o trabalho do engenheiro para saber como eacute realmente a importacircncia do
Caacutelculo nesse trabalho Com base nas falas dos colegas professoresengenheiros ela afirma
que alunos que natildeo aprendem bem Caacutelculo ficam prejudicados em sua formaccedilatildeo como
engenheiros pois ela supotildee que o Caacutelculo eacute preacute-requisito118
de outras vaacuterias disciplinas na
grade curricular nas quais o Caacutelculo deve ser bastante uacutetil e indispensaacutevel para o
entendimento dos conteuacutedos dessas disciplinas (teacutecnicas)
117
Palestra intitulada por ldquoModelagem Matemaacutetica e Aprendizagem Baseada em Problemas convergecircncias
possiacuteveisrdquo A palestra foi proferida por mim em 25 de outubro de 2012 com o objetivo de suscitar o interesse de
alunos e professores em participarem do grupo sendo gravada em aacuteudio e viacutedeo 118
Natildeo haacute preacute-requisito formal de disciplinas na UNIFEI-Itabira A professora Clarice de certo estava referindo
a outras instituiccedilotildees brasileiras que em sua grande maioria estabelecem disciplinas de Caacutelculo como preacute-
requisito para outras disciplinas dos cursos de Engenharia Ou ainda ela estivesse se referindo a preacute-requisitos de
conteuacutedos natildeo de disciplinas
117
Clarice afirma que na instituiccedilatildeo as disciplinas de Caacutelculo natildeo tecircm sido
trabalhadas de forma a cumprir efetivamente seu papel dentro dos cursos de Engenharia
Depois de assistir agrave palestra ela afirma ter pensado sobre o assunto e que acredita que a
Modelagem Matemaacutetica pode ser uma possibilidade para o ensino em Engenharia Nas
palavras dela
Inclusive eu tava conversando com uns colegas outro dia que uma disciplina
interessante seria tipo um curso de Modelagem Matemaacutetica como uma disciplina
eletiva para aqueles interessados e assim por diante noacutes natildeo estamos exatamente
trabalhando o Caacutelculo com aplicaccedilotildees para os alunos as aplicaccedilotildees satildeo teoacutericas
mesmo coisas baacutesicas mesmo
Ela demonstrou incocircmodo em relaccedilatildeo agraves aulas mais teoacutericas afirmando que ateacute
onde ela tinha conhecimento as disciplinas de Caacutelculo nos cursos de Engenharia da Unifei-
Itabira eram baseadas apenas nas teorias que configuram os livros didaacuteticos de Caacutelculo Nas
palavras de Clarice
Como noacutes aqui muitos de noacutes eu natildeo posso falar por todos os professores eu natildeo
conheccedilo o meacutetodo de trabalho de todos eles mas ateacute o momento que eles
comentam comigo eles falam que a aula eacute mais teoacuterica mesmo eacute passar o que taacute
no livro ali e fica muita coisa sem passar porque a aula eacute muito pouca neacute Chega a
quase ser ruim porque o curso eacute incompleto entatildeo seria um curso de Modelagem
Seria para visar as aplicaccedilotildees mesmo colocar num periacuteodo onde os alunos jaacute
tenham visto as disciplinas baacutesicas e focar em aplicaccedilotildees apenas para ele ver ali
ter um contato mesmo com aplicaccedilotildees poderiacuteamos tratar de teoria como jaacute tem em
alguns livros de aplicaccedilotildees muito bons inclusive de Equaccedilotildees Diferenciais e
buscarmos tambeacutem problemas do dia a dia para colocar laacute entatildeo eu sei que tem
professores aqui que gostam dessa aacuterea mas no momento seria bom mas natildeo eacute real
ainda porque falta professor para colocar uma disciplina assim
Clarice me pareceu ser uma profissional aberta a mudanccedilas em busca de novas
possibilidades em prol da melhoria do desempenho de seu trabalho como professora e
dedicada as suas atribuiccedilotildees no cargo que ocupa na instituiccedilatildeo
373 Robson
Ainda no dia da palestra outro professor que seraacute denominado de Robson
manifestou-se interessado em participar do GEPMM Ele natildeo eacute professor de nenhuma
disciplina de Caacutelculo na UNIFEI-Itabira Ele eacute graduado e mestre em Engenharia Metaluacutergica
118
e doutor em Ensino de Ciecircncias e Matemaacuteticas Atua como docente na UNIFEI-Itabira desde
2010 O professor Robson aleacutem de ser graduado em Engenharia tambeacutem possui graduaccedilatildeo
em Licenciatura em Computaccedilatildeo e Odontologia Ele mesmo se define como uma pessoa de
formaccedilatildeo ecleacutetica e afirma sofrer um pouco com isso
Robson demonstrou acreditar que as disciplinas de Caacutelculo satildeo de crucial
importacircncia para a formaccedilatildeo dos engenheiros pois para ele o trabalho do engenheiro
consiste da aplicaccedilatildeo de conceitos matemaacuteticos fiacutesicos e quiacutemicos na resoluccedilatildeo de
problemas por exemplo de construccedilatildeo manutenccedilatildeo projeto e operaccedilatildeo sendo estes tiacutepicos
do trabalho da aacuterea de engenharia
Robson nos contou ainda que apoacutes a reforma universitaacuteria ocorrida no Brasil
em 1968 as disciplinas que compotildeem a grade curricular dos cursos de Engenharia foram
atribuiacutedas a departamentos Pontuou que com a departamentalizaccedilatildeo das universidades
esperava-se que os docentes que lecionassem disciplinas correlatas estivessem mais ldquopertordquo
para poderem trocar informaccedilotildees compartilhar conhecimentos e trabalharem coletivamente
Contudo em sua visatildeo os professores ficaram especializados ateacute demais nas aacutereas mas
apenas nelas Conta-nos ainda que antes de 1968 os docentes que lecionavam as disciplinas
de Caacutelculo em cursos de Engenharia eram engenheiros e apoacutes 1968 os docentes para
lecionarem qualquer disciplina de Matemaacutetica em qualquer curso de graduaccedilatildeo passaram a
ser formados em departamentos de Matemaacutetica
Natildeo soacute na instituiccedilatildeo mas o que a gente observa em vaacuterias instituiccedilotildees eacute que existe
um certo distanciamento entre os matemaacuteticos e os outros professores em geral dos
cursos de Engenharia salvo alguns trabalhos que a gente acompanha na tentativa
de se juntar essas aacutereas por meio de projetos transversais projetos
interdisciplinares multidisciplinares eacute alguma coisa que junte os profissionais
diferentes mas normalmente essas aacutereas estatildeo bem desconexas porque na
contrataccedilatildeo de professores normalmente vocecirc pega matemaacuteticos puros agora o
que taacute faltando muito satildeo professores que tenham assim conceitos de Educaccedilatildeo
Matemaacutetica [] os matemaacuteticos que noacutes temos aqui na instituiccedilatildeo eles estatildeo um
pouco distanciados em relaccedilatildeo aos engenheiros
Ainda que o convite para a participaccedilatildeo no grupo tenha sido amplamente feito na
instituiccedilatildeo poucos alunos o aceitaram No primeiro encontro apenas dois alunos
participaram a Taty e o Joseacute Taty aceitou o convite feito na paacutegina da UNIFEI na rede social
Facebook e Joseacute aceitou o convite feito em sala de aula pela professora Clarice jaacute que era
aluno dela naquele semestre Ambos se mudaram para Itabira para cursarem Engenharia na
UNIFEI Taty veio de uma cidade do interior de Satildeo Paulo e Joseacute veio de uma cidade do
interior de Minas Gerais
119
374 Taty
Taty cursava o sexto periacuteodo do curso de Engenharia da Computaccedilatildeo e estava
concluindo uma pesquisa na qual era bolsista de iniciaccedilatildeo cientiacutefica Afirmou natildeo estar
gostando da aacuterea que estava atuando como pesquisadora e decidiu participar do grupo
Durante a entrevista inicial ao ser questionada sobre o papel das disciplinas de Caacutelculo em
cursos de engenharia Taty afirmou ser de ldquoextrema importacircnciardquo pois o que diferencia a
formaccedilatildeo em engenharia em sua concepccedilatildeo seria ldquojuntar todas as disciplinas do ciclo
baacutesico fiacutesica quiacutemica matemaacutetica com as disciplinas de formaccedilatildeo especiacuteficardquo Contudo
parece que tal junccedilatildeo natildeo ocorre de forma expliacutecita nos cursos da instituiccedilatildeo A proacutepria
estrutura curricular que separa os conteuacutedos em disciplinas parece contradizer ou mesmo natildeo
reforccedilar a concepccedilatildeo de formaccedilatildeo em engenharia apontada pela aluna
Em seguida questionei a aluna quais seriam especificamente os papeacuteis das
disciplinas de Caacutelculo no curso de Engenharia da Computaccedilatildeo Para ela
no curso de Computaccedilatildeo a matemaacutetica que a gente vecirc eacute uma parte bem loacutegica neacute
aleacutem da loacutegica o curso tem muitas mateacuterias da parte de eletrocircnica neacute eletrocircnica
digital analoacutegica e principalmente na digital a gente usa muito Aacutelgebra Booleana
e a aacutelgebra Booleana ela tem nos postulados eacute semelhante agrave Aacutelgebra Linear ateacute
certo ponto Na parte de computaccedilatildeo a gente vecirc mais a questatildeo da loacutegica e se vocecirc
for direcionar sua carreira vocecirc vai trabalhar com conceitos de BigData que
envolve necessariamente conhecimento mais avanccedilados de matemaacutetica ou
computaccedilatildeo graacutefica que envolve Aacutelgebra Linear
Naquele momento percebi que a aluna poderia natildeo ter entendido bem a pergunta
pois ela estava focando em conhecimentos matemaacuteticos ligados agrave Aacutelgebra e meu interesse
eram os conhecimentos do Caacutelculo Entatildeo refiz a pergunta e ela respondeu ldquoNossa Rutyele
que difiacutecil heinrdquo Apoacutes alguns instantes pensando Taty continua ldquoentatildeo Rutyele eu tocirc
achando complicado achar uma resposta pra vocecirc porque por exemplo eu sei que o pessoal
de Eleacutetrica usa em mil coisas mas natildeo eacute o meu caso entatildeo eu natildeo sei te dizer ainda saberdquo
Embora Taty tenha afirmado que os conteuacutedos de Caacutelculo sejam importantes para a formaccedilatildeo
em Engenharia ela natildeo sabe descrever qual seria o papel dessas disciplinas em seu curso Ela
continuou
120
O que eu vivencio eacute uma seacuterie de Caacutelculos dados em sequecircncia seguindo assim
uma certa [] buscando coerecircncia mesmo no desenvolvimento dos conceitos neacute
comeccedilando da parte mais simples limite derivada depois integraccedilatildeo depois
seacuteries neacute tem uma sequecircncia que a gente vai acompanhando e a partir de
determinado ponto que geralmente inicia no segundo periacuteodo com Fiacutesica I vocecirc jaacute
comeccedila a ter disciplinas que exige m esse conhecimento e vocecirc vai aplicaacute-lo caso
vocecirc tenha aprendido independentemente na disciplina isolada de Caacutelculo I
Caacutelculo II Caacutelculo III daiacute vocecirc vai comeccedilar a aplicar isso nas especiacuteficas neacute em
eletromagnetismo em mecacircnica dos soacutelidos mecacircnica dos fluidos
Com isso Taty pareceu demonstrar que em sua concepccedilatildeo as disciplinas de
Caacutelculo compotildeem uma base para o desenvolvimento de outras disciplinas que configuram as
grades curriculares dos cursos de Engenharia Ela pareceu ser uma aluna comprometida com
os estudos e estar preocupada em obter uma boa formaccedilatildeo para que possa ter um perfil como
engenheira diferenciado dos demais egressos dos cursos de Engenharia Aleacutem disso apesar
de naquele momento estar cursando o sexto periacuteodo do curso de Engenharia da Computaccedilatildeo
e ainda natildeo ter feito a disciplina BAC 022 (EDO) que faz parte do terceiro periacuteodo do
referido curso demonstrou natildeo ter tido grandes dificuldades no que diz respeito agrave aprovaccedilatildeo
nas disciplinas matemaacuteticas
375 Joseacute
O aluno Joseacute cursava o segundo semestre do curso de Engenharia Mecacircnica e era
aluno da disciplina BAC 019 sob a responsabilidade da professora Clarice O convite para a
participaccedilatildeo no grupo foi reforccedilado nas salas de aula de algumas disciplinas por alguns
professores como foi feito por Clarice nas turmas que lecionava
Joseacute demonstrou ser um aluno com atitude e postura reflexivas em relaccedilatildeo a sua
formaccedilatildeo profissional Natildeo demonstrou estar acostumado ainda com o ritmo de estudos da
Universidade e demonstrou sentir-se desconfortaacutevel ao perceber certo distanciamento entre os
alunos e os professores das disciplinas de Caacutelculo que ele jaacute havia cursado Ao ser
questionado sobre os papeacuteis das disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia apontou
para o desenvolvimento do raciociacutenio loacutegico da socializaccedilatildeo e do trabalho em equipe
O Caacutelculo desenvolve o raciociacutenio loacutegico mas tambeacutem pelo o que eu observo aqui
na faculdade ele tambeacutem eacute um meio de socializar De ajudar a pessoa tambeacutem a se
expressar melhor Pelo que eu vejo eu tenho dificuldade aiacute eu chego perto de uma
pessoa se a pessoa tambeacutem tem e tambeacutem qualquer coisa que vocecirc faz pode virar
uma coisa em conjunto neacute Entatildeo eu acho que o Caacutelculo tambeacutem desenvolve essa
121
parte para trabalhar em equipe de vocecirc entender a dificuldade do outro tambeacutem E
ele aplica em qualquer aacuterea que o engenheiro vaacute mexer desde dar aula ateacute na parte
de gerecircncia mesmo qualquer situaccedilatildeo o engenheiro vai ter que usar ou natildeo
depende da situaccedilatildeo mas ele vai precisar saber aplicar tudo que ele aprendeu no
Caacutelculo
Joseacute demonstrou ainda insatisfaccedilatildeo com relaccedilatildeo agraves metodologias utilizadas pelos
professores com os quais ele teve contato na instituiccedilatildeo
O Caacutelculo aqui que a gente vecirc eacute soacute a parte teoacuterica mesmo A gente por exemplo
quando vai fazer algumas questotildees resolver qualquer exerciacutecio a gente natildeo vecirc por
exemplo ah eu tenho um cilindro tal e eu quero o maacuteximo volume possiacutevel a gente
natildeo vecirc a gente natildeo consegue fazer a otimizaccedilatildeo tambeacutem [] a gente fez aquele
trabalho de Caacutelculo [se referindo a um trabalho de Aplicaccedilatildeo proposto pela
professora Clarice] e muita gente teve dificuldade porque natildeo sabia o que fazer
Natildeo tem como tipo eu pego o volume e aiacute o quecirc que eu faccedilo Vou fazer a derivada
o quecirc que eu vou fazer Sabe a pessoa fica sem visatildeo ela natildeo consegue ela natildeo
sabe [] eacute como se vocecirc tivesse uma viseira [gesticula com as duas matildeos proacuteximas
ao rosto] soacute vendo a parte teoacuterica a gente natildeo vecirc a aplicabilidade [] No maacuteximo
que a gente consegue ver alguma aplicabilidade eacute aplicaccedilatildeo direta em outras
disciplinas como a Fiacutesica Alguns alunos estatildeo vendo Estatiacutestica mas fora isso a
gente natildeo consegue pegar uma situaccedilatildeo ldquocruardquo e aplicar o Caacutelculo Num problema
cotidiano por exemplo ah eu vou construir um suporte pra colocar minhas caixas
o quecirc que eu posso fazer Qual que eacute o tamanho ideal Sabe a gente pode usar
Caacutelculo pra fazer isso mas agraves vezes a gente natildeo consegue fazer
Percebo assim que Joseacute teceu uma reclamaccedilatildeo sobre a falta de metodologias que
objetivem ir aleacutem da parte teoacuterica e assim alcanccedilar as aplicaccedilotildees Ele demonstrou perceber
as utilidades dos conteuacutedos do Caacutelculo para a formaccedilatildeo do engenheiro Afirma ainda ter
dificuldades em entender natildeo somente os conceitos mas tambeacutem a resoluccedilatildeo de algum
exerciacutecio que seja considerado aplicaccedilatildeo dos conceitos
376 Pedro
Pedro comeccedilou a participar do grupo a partir da terceira reuniatildeo do grupo Ele
aceitou participar do grupo mediante convite do aluno Joseacute Os dois eram alunos do segundo
periacuteodo do curso de Engenharia Mecacircnica e cursavam a disciplina BAC 019 sob a
responsabilidade da professora Clarice Ele demonstrou ser um aluno bem criacutetico e engajado
em sua formaccedilatildeo profissional embora tambeacutem demonstrasse sentir dificuldades de adequaccedilatildeo
em relaccedilatildeo agraves metodologias utilizadas pelos professores de Caacutelculo Quando questionado
durante a entrevista inicial sobre os papeacuteis das disciplinas de Caacutelculo em cursos de
122
Engenharia ele disse que basicamente desenvolve o raciociacutenio loacutegico ldquovocecirc aprende a
interpretar informaccedilotildees de uma maneira mais clarardquo aleacutem de ser um embasamento teoacuterico
para a formaccedilatildeo do engenheiro O aluno demonstrou acreditar que no trabalho desenvolvido
na aacuterea da Engenharia ldquoCaacutelculo torna-se fundamental natildeo soacute Caacutelculo mas como qualquer
outra disciplina relacionada agrave matemaacuteticardquo
Sobre as metodologias que tecircm sido utilizadas pelos professores de Caacutelculo que
possibilitam a apropriaccedilatildeo dos papeacuteis que tais disciplinas desempenham em cursos de
Engenharia Pedro demonstra insatisfaccedilatildeo quanto ao distanciamento entre os professores de
Caacutelculo e as dificuldades dos alunos Ele pensa que o grupo de professores da Matemaacutetica
precisa refletir sobre uma nova didaacutetica para possibilitar aprendizagem de alunos reais da
UNIFEI e natildeo de alunos idealizados por eles
Querendo ou natildeo alguns alunos chegam despreparados na Universidade isso eacute
fato natildeo adianta natildeo eacute agrave toa que tem o Caacutelculo Zero [refere-se agrave disciplina BAC
000] e muitas pessoas agraves vezes tem dificuldades de matemaacutetica baacutesica entatildeo eacute uma
realidade O ideal seria vocecirc ter alunos completamente capacitados e interessados
Soacute que se vocecirc tem uma Universidade que vocecirc ainda tem que edificar ela uma
Universidade nova que aleacutem de infraestrutura vocecirc precisa ainda criar matildeo de
obra por assim dizer vocecirc precisa de alunos capacitados que depois vatildeo levar o
nome da Universidade pra fora natildeo adianta vocecirc trabalhar com o ideal vocecirc tem
que ser real noacutes temos tais alunos noacutes temos que adaptar nossa didaacutetica para tais
alunos Depois se a Universidade se estruturar vatildeo vir alunos mais bem preparados
ou entatildeo a proacutepria infraestrutura o proacuteprio ambiente universitaacuterio vai forccedilar os
alunos a levarem mais a seacuterio Mas o momento que a Universidade vive precisa de
uma adaptaccedilatildeo da didaacutetica por parte dos professores para o que acontece na
realidade e natildeo para o que aconteceria se fosse a situaccedilatildeo ideal
O discurso do aluno estaacute embebido de questotildees que satildeo apontadas frequentemente
por professores de Caacutelculo em cursos de Engenharia A questatildeo da falta de preparo dos alunos
ingressantes em cursos de Engenharia com relaccedilatildeo agrave Matemaacutetica Baacutesica eacute recorrente em
congressos da aacuterea de Educaccedilatildeo em Engenharia119
Nesse momento consigo encontrar entatildeo subsiacutedios para responder agrave seguinte
pergunta ldquoQuem satildeo e onde estatildeo os sujeitos da aprendizagemrdquo Satildeo docentes e discentes
que realizam suas atividades na UNIFEI-Itabira Docentes da aacuterea de Matemaacutetica e
Engenharia Os discentes que atuaram como sujeitos dessa pesquisa satildeo pessoas jovens todos
com menos de 20 anos de idade que se engajam na atividade orientada pela aquisiccedilatildeo de
formaccedilatildeo profissional em niacutevel de graduaccedilatildeo em Engenharia
119
A esse respeito veja os anais do Congresso Brasileiro de Educaccedilatildeo em Engenharia (COBENGE) disponiacuteveis
no site wwwabengeorgbr
123
Foi nesse contexto universitaacuterio que se destina exclusivamente agrave formaccedilatildeo de
engenheiros contando com a disponibilidade dos sujeitos apontados acima que construiacute os
dados para a referida pesquisa
124
4 OS DADOS CONSTRUIacuteDOS E ANALISADOS A CONSTITUICcedilAtildeO DO GEPMM
COMO CICLO DE ACcedilOtildeES POTENCIALMENTE EXPANSIVAS
Engestroumlm (2002 p 183) aponta que quando o texto escolar (os textos dos livros
didaacuteticos) eacute representado como o objeto da atividade em vez de serem apenas instrumentos
que ajudam no entendimento do mundo haacute um empobrecimento nos recursos instrumentais
aleacutem de impactar os sujeitos da aprendizagem ndash os estudantes ndash que satildeo deixados com seus
proacuteprios dispositivos que para o autor inclui as habilidades de estudo laacutepis borracha papel
Esse tipo de abordagem tradicionalmente desenvolvida nas aulas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia (CAMPOS 2012 BIEMBENGUT HEIN 2007 FRANCHI 2002) acaba por
privilegiar um tipo de raciociacutenio que Resnick (1987) chama de ldquoraciociacutenio do siacutembolo-
destacado-do-referenterdquo (p 18 apud ENGESTROumlM 2002 p 183) Tal raciociacutenio eacute
notadamente valorizado nos meacutetodos tradicionais para a formaccedilatildeo em Caacutelculo A comeccedilar
pelas avaliaccedilotildees que satildeo realizadas majoritariamente por provas escritas individuais e sem
consulta salvo algumas poucas exceccedilotildees No ensino tradicional de Caacutelculo em cursos de
Engenharia a principal atividade eacute orientada pelo Caacutelculo como conteuacutedo conhecimento
historicamente acumulado impresso nos livros didaacuteticos em suas mais variadas abordagens
guiados como objetos da atividade
A atividade tradicional de formaccedilatildeo em Caacutelculo sendo considerada como uma
praacutetica social com base em Engestroumlm (2008) pode ser representada por meio do seguinte
esquema triangular
125
FIGURA 8 ndash Interconectados sistemas de atividade de professores e estudantes que tem como objeto a
apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos do livro de Caacutelculo
Fonte Elaborado pela autora
Nesse tipo de contexto formativo o seguinte questionamento se faz extremamente
pertinente por que e para que um aluno estuda Caacutelculo Natildeo pretendo no escopo desta tese
responder explicitamente a essa questatildeo apenas pretendo sinalizar uma reflexatildeo que se faz
necessaacuteria para analisar os motivos pelos quais os sujeitos estiveram engajados no GEPMM
Charlot (2013) pontua que na ida agrave escola os alunos aparentemente estatildeo
engajados em uma atividade formativa mas que frequentemente agem por um motivo natildeo
relacionado com o proacuteprio saber Para o autor no caso real encontram-se muitos alunos que
estudam para tirar uma boa nota passar nas disciplinas conseguir um diploma e
consequentemente receber um salaacuterio que o torne uma pessoa de sucesso Jaacute no caso ideal o
aluno idealizado pelas instituiccedilotildees e sobretudo pelos professores seria aquele que estudaria
porque se interessaria pelo conteuacutedo estudado
Na loacutegica que estaacute se tornando dominante estuda-se (quando se estuda) para ter
boas notas passar de ano ser aprovado no vestibular ter um bom emprego motivo
e objetivo discordam Portanto natildeo existe mais atividade Sendo assim qual eacute a
significaccedilatildeo do que o aluno faz na escola Leontiev responderia que se trata de
accedilotildees Podemos dizer tambeacutem que eacute um trabalho um trabalho alienado
(CHARLOT 2013 p 154)
A estrutura da atividade de formaccedilatildeo tradicional pode ser considerada segundo
Engestroumlm (2008) como alienante tanto para alunos quanto para professores Tomando por
126
base tal reflexatildeo poderiacuteamos nos questionar estariam mesmo realizando um trabalho
alienado Caso afirmativo qual seria o niacutevel de alienaccedilatildeo do trabalho que os alunos e
professores desenvolvem em disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia Acredito que a
compreensatildeo de tais questionamentos se faz necessaacuteria para analisar as aprendizagens
expansivas possibilitadas pela constituiccedilatildeo do GEPMM no referido contexto de formaccedilatildeo em
Engenharias
41 Constituiccedilatildeo do GEPMM possibilidades para aprendizagens expansivas
Como jaacute esclarecido na Introduccedilatildeo desta tese esta pesquisa se originou de
inquietaccedilotildees relacionadas ao trabalho que venho desenvolvendo ao longo de vaacuterios anos
como docente em cursos de Engenharia Durante todo esse percurso tenho me deparado com
vaacuterios aspectos que julgo contraditoacuterios com relaccedilatildeo aos processos de ensino-aprendizagem
das disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia A proposta da pesquisa aqui relatada
constitui dessa forma uma expressatildeo do eu ndash sujeito ndash em face da realidade adotando certo
posicionamento frente agrave realidade das praacuteticas sociais que tenho participado na situaccedilatildeo de
docente de disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia mostrando certa atitude diante de
uma situaccedilatildeo real presente
Nesse sentido inicio a anaacutelise usando a Teoria da Atividade como suporte teoacuterico
com a intenccedilatildeo de verificar se a criaccedilatildeo do referido grupo pode se configurar como um
miniciclo de accedilotildees de aprendizagem expansiva (ENGESTROumlM SANNINO 2010b)
Com isso posso dizer que comeccedilo o esboccedilo das ideias desta pesquisa
interrogando os processos de ensino-aprendizagem que passei a participar desde que me
inseri neste trabalho Aleacutem de mim percebi durante a construccedilatildeo dos dados desta pesquisa
que outros indiviacuteduos partiacutecipes do mesmo contexto (alunos e professores dos cursos de
Engenharia) tambeacutem comungam as mesmas ou algumas das inquietaccedilotildees A seguir apresento
algumas dessas inquietaccedilotildees que estiveram abrigadas na primeira etapa de accedilotildees em
miniciclo de aprendizagem expansiva o interrogatoacuterio
411 Interrogatoacuterio
127
Engestroumlm e Sannino (2010b) explicitam que uma sequecircncia ldquoidealrdquo de accedilotildees
epistecircmicas em um ciclo expansivo se inicia com o interrogatoacuterio que consiste no
questionamento na criacutetica ou na rejeiccedilatildeo de alguns aspectos de uma praacutetica socialmente
aceita ou uma sabedoria existente em uma comunidade Nessa primeira parte da sequecircncia de
accedilotildees que satildeo necessaacuterias para analisar esse processo com o aporte teoacuterico da aprendizagem
expansiva aponto algumas facetas da praacutetica tradicional de ensino-aprendizagem de Caacutelculo
que foram incluiacutedas sob a forma de questionamentos eou interrogaccedilotildees pelos sujeitos que
participam dela ndash alunos e professores dos cursos de Engenharia Natildeo estou dizendo que todos
os integrantes do GEPMM as questionam e interrogam ao mesmo tempo e nem que tais
questionamentos ocorreram durante o planejamento e o desenvolvimento das atividades do
grupo
Vale ressaltar que o objeto de uma atividade possui inerentemente uma natureza
dual eacute ao mesmo tempo ldquoalgo dado e algo projetado ou antecipadordquo120
(ENGESTROumlM
2008 p 88) O objeto de uma atividade eacute tambeacutem seu verdadeiro motivo (ENGESTROumlM
1987) Processos de mudanccedila objetivam necessariamente a construccedilatildeo de um novo objeto e
consequentemente correspondentes novos motivos a serem cultivados
Durante a entrevista inicial alguns motivos que levaram os sujeitos a aceitarem o
convite para participaccedilatildeo no GEPMM foram explicitados Tais motivos podem demonstrar ou
explicitar questionamentos que tecircm origem em questotildees que compotildeem as praacuteticas tradicionais
de ensino de Caacutelculo em cursos de Engenharia Com base em excertos das transcriccedilotildees das
gravaccedilotildees das entrevistas iniciais realizadas com os sujeitos podemos notar que
Para o docente Angel o grupo ldquopropicia uma questatildeo de um diaacutelogo entre os
colegas de mesma aacuterea e talvez estar criando em ambiente de discussatildeo das praacuteticas de
ensino e tentar melhorar ou evoluir essa questatildeo do ensino tradicional que eacute muito aplicado
e difundido nas Universidades Federaisrdquo Afirma ainda que acredita que ao participarem do
GEPMM os alunos sairiam com uma visatildeo mais ampliada da conexatildeo que existe entre as
disciplinas baacutesicas e as aplicadas para que possam vislumbrar problemas da realidade
A docente Clarice afirmou que o interesse em participar do grupo estaria
motivado pela possibilidade de ver a Matemaacutetica em accedilatildeo ndash sendo utilizada Nesse sentido
ldquoabrir novos caminhosrdquo de atuaccedilatildeo ter novos conhecimentos novas possibilidades ldquonatildeo
120
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquosomething given and something projected or anticipatedrdquo
128
ficar sempre no baacutesicordquo e ldquomelhorar como professorardquo seriam os principais motivos para ter
aceitado o convite de participaccedilatildeo no GEPMM segundo Clarice
O docente Robson demonstrou a meu ver que estaria insatisfeito com os modos
ldquodesconexosrdquo de ensino de Caacutelculo nos cursos de Engenharia da instituiccedilatildeo que os
professores de Caacutelculo natildeo abordam questotildees de aplicaccedilotildees reais em suas disciplinas e que
quando tentam abordar consideram questotildees e exemplos de livros didaacuteticos Tais exemplos
para ele satildeo ldquodesconexos da realidade porque o proacuteprio matemaacutetico natildeo vivenciou aquilo e
natildeo tem certeza se eacute daquele jeito natildeo conhece bem as variaacuteveis envolvidas entatildeo
normalmente as pessoas que ensinam matemaacutetica acabam caindo nos problemas
tradicionaisrdquo O docente afirmou que disseminar esse tipo de praacutetica ndash a da Modelagem
Matemaacutetica ndash seria um dos motivos para ter aceitado o convite e ter participado do GEPMM
Contudo natildeo explicitou os outros
Sendo assim os docentes demonstraram que ao aceitarem o convite para
participarem do grupo seguem orientados pela incorporaccedilatildeo de conhecimentos de
Matemaacutetica em accedilatildeo ndash em conexatildeo com as mais diversas aacutereas do conhecimento ndash que
desejam melhorar ou evoluir como docentes no sentido de abrir novas possibilidades e formas
de atuaccedilatildeo e almejam a disseminaccedilatildeo das praacuteticas de Modelagem Matemaacutetica em outros
contextos outras instituiccedilotildees e sob outras perspectivas
Tomando-se por base que os professores desejam melhorar ou evoluir o trabalho
que se dispotildeem a desenvolver como proponentes e participantes de praacuteticas de ensino-
-aprendizagem de disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia decidi tentar pontuar quais
seriam tais melhorias ou seja se haacute algo que possa ser melhorado ou evoluiacutedo significa que
haacute algo que precisa ser transformado modificado e nisso residem as possibilidades para
aprendizagens expansivas Mas o quecirc poderia ou precisaria ser transformado Com base na
revisatildeo de literatura sobre os processos de ensino-aprendizagem de Caacutelculo em cursos de
Engenharia apresentada no Capiacutetulo 2 exponho a seguir quatro questionamentos que podem
ser considerados como essecircncia no que diz respeito agraves transformaccedilotildees em tais processos
a) como adequar as metodologias utilizadas em disciplinas de Caacutelculo em cursos
de Engenharia em consonacircncia com os objetivos gerais para a formaccedilatildeo dos
engenheiros
b) Como fazer com que os estudantes participem ativamente dos proacuteprios
processos formativos de aprendizagem no que tange as disciplinas de Caacutelculo em
cursos de Engenharia
129
c) Como romper com a encapsulaccedilatildeo das disciplinas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia
d) Como melhorar a interaccedilatildeo entre os sujeitos da aprendizagem em disciplinas
de Caacutelculo em cursos de Engenharia
Essas quatro questotildees foram elaboradas por mim com o intuito de analisar as
possibilidades de aprendizagens expansivas que podem ser desenvolvidas em atividades
desenvolvidas pelo GEPMM constituiacutedo na UNIFEI com o objetivo inicial de construccedilatildeo de
dados empiacutericos para esta pesquisa Esses questionamentos e criacuteticas foram compartilhados
entre os integrantes do referido grupo no decorrer dos encontros e durante as entrevistas
Depois disso passamos para a segunda etapa das accedilotildees de aprendizagem que consiste na
anaacutelise da situaccedilatildeo atual a fim de descobrir as causas ou explicaccedilotildees sobre o que foi
questionado
412 Anaacutelise da situaccedilatildeo
Engestroumlm e Sannino (2010b) explicitam que uma segunda accedilatildeo que compotildee uma
sequecircncia tipicamente ldquoidealrdquo em um ciclo expansivo consiste na anaacutelise da situaccedilatildeo atual
Para os autores analisar envolve transformaccedilotildees mentais discursivas ou ateacute mesmo praacuteticas
da situaccedilatildeo atual com o intuito de descobrir mecanismos de causa eou explicaccedilatildeo
Considero como o iniacutecio dessa fase o momento em que comecei a procurar por
outras metodologias que poderiam ser utilizadas no desenvolvimento das disciplinas de
Caacutelculo em cursos de Engenharia bem antes de iniciar esta pesquisa Fiz diversas leituras na
aacuterea de Educaccedilatildeo Matemaacutetica na tentativa de elaborar ainda que apenas em termos de
projetos futuros outras possibilidades que pudessem tornar meu trabalho como docente de
disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia menos contraditoacuterio sob minha proacutepria
concepccedilatildeo Apoacutes iniciar a fase da construccedilatildeo dos dados desta pesquisa pude perceber in loco
mediante observaccedilotildees e entrevistas que os questionamentos e criacuteticas podem ser explicados
eou causados pela construccedilatildeo histoacuterico-cultural das praacuteticas de ensino-aprendizagem de
Caacutelculo em cursos de Engenharia
Por um lado as praacuteticas de ensino-aprendizagem de Caacutelculo realizadas na
instituiccedilatildeo satildeo basicamente amparadas pelo meacutetodo tradicional de ensino conforme exposto
130
no Capiacutetulo anterior Por outro lado haacute uma perceptiacutevel distacircncia entre as metodologias
utilizadas em tais praacuteticas na instituiccedilatildeo e os papeacuteis que as disciplinas de Caacutelculo deveriam
exercer na formaccedilatildeo em Engenharia sob a concepccedilatildeo dos professores e estudantes que
participaram da construccedilatildeo dos dados para essa investigaccedilatildeo
Conforme visto no capiacutetulo anterior durante as entrevistas iniciais os sujeitos
apontaram que as disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia deveriam exercer papel de
ferramentas que serviriam como base para o desenvolvimento da formaccedilatildeo do engenheiro ou
seja um Caacutelculo que deveria ser por definiccedilatildeo desenvolvido em praacuteticas de ensino-
-aprendizagem como conteuacutedo em accedilatildeo como instrumento da atividade formativa e natildeo
apenas como parte do objeto conforme visto no iniacutecio deste capiacutetulo
Durante a realizaccedilatildeo das entrevistas iniciais os docentes Angel Clarice e Robson
atentaram para a necessidade de diaacutelogo entre os docentes que lecionam disciplinas de
Caacutelculo e os demais docentes dos cursos de Engenharia assim como a necessidade de
conexatildeo entre os conteuacutedos de Caacutelculo e os demais conteuacutedos das disciplinas teacutecnicas dos
referidos cursos Para eles o distanciamento causado pela departamentalizaccedilatildeo pode
configurar como ponto-chave para tais questionamentos
Ainda no que diz respeito agraves entrevistas iniciais os alunos principalmente Joseacute e
Pedro apontam para a necessidade de adaptaccedilatildeo da didaacutetica dos professores para dar conta
dos alunos reais que ingressam na instituiccedilatildeo Para eles haacute um niacutetido distanciamento entre os
professores e os alunos durante o desenvolvimento das praacuteticas formativas de Caacutelculo em
cursos de Engenharia Tal distanciamento seraacute mais bem analisado mais adiante ainda neste
capiacutetulo
Por uacuteltimo uma criacutetica que se faz emergente no que diz respeito agraves praacuteticas
tradicionais de ensino-aprendizagem de Caacutelculo em cursos de Engenharia concentra-se na
formaccedilatildeo em termos de habilidades individuais As tradicionais praacuteticas que se destinam a
desenvolver a formaccedilatildeo em Caacutelculo nos cursos de Engenharia acabam por privilegiar o
desenvolvimento de habilidades e competecircncias individuais que estatildeo na maioria das vezes
ancoradas nos conteuacutedos de Caacutelculo de forma ldquopurardquo ndash o Caacutelculo pelo Caacutelculo ou seja ser
competente em Caacutelculo pode ser resumido em conseguir traccedilar graacuteficos resolver derivadas e
integrais por exemplo natildeo significando que tais competecircncias e habilidades sejam
trabalhadas sob a concepccedilatildeo de um Caacutelculo como ferramenta para o
entendimentodesenvolvimentosoluccedilatildeo de problemas reais ndash o Caacutelculo em accedilatildeo
Como visto nos Capiacutetulos 1 e 2 desta tese para o desenvolvimento de habilidades
e competecircncias de Caacutelculo em accedilatildeo por se tratar de uma formaccedilatildeo cujo objeto pode ser
131
entendido como questotildees-problema reais nas quais os conteuacutedos de Caacutelculo se configuram
como ferramentas da atividade faz-se necessaacuterio o desenvolvimento de ampliaccedilatildeo das
possibilidades de interaccedilatildeo entre os sujeitos devido a sua proacutepria natureza O trabalho
coletivo passa a predominar em relaccedilatildeo ao trabalho individual Natildeo basta apenas saber
resolver uma integral eacute preciso saber quando e onde usar uma integral para que uma questatildeo-
problema real possa ser entendidasolucionada A aluna Taty durante a entrevista inicial
aponta que em trabalhos em grupo mais praacuteticos ldquovocecirc acaba aprendendo muito maisrdquo
ldquoacho que esse eacute o trabalho do engenheirordquo
Com isso a situaccedilatildeo das praacuteticas formativas de Caacutelculo em cursos de Engenharia
comeccedila a parecer sob a forma de dilemas que na verdade abrigam contradiccedilotildees
historicamente acumuladas em tais sistemas de atividade Os dilemas nos ajudam a delimitar
possibilidades para transformaccedilotildees expansivas que podem tambeacutem ser entendidas ou
analisadas como movimento na zona de desenvolvimento proximal da atividade Nesse
sentido algumas facetas121
podem ser explicitadas da seguinte forma
a) metodologias utilizadas nas disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia
VERSUS o papel das disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia
b) disciplinas de Caacutelculo focadas em processos de formaccedilatildeo em termos de
aprendizagens individuais VERSUS demandas externas clamam pelo trabalho em
equipe ndash aprendizagens coletivas
c) docentes de Caacutelculo em redes fechadas (somente matemaacuteticos) VERSUS
parcerias com docentes de variadas aacutereas de atuaccedilatildeo em cursos de Engenharia
d) atividade docente desvinculada da atividade discente VERSUS parceria
docente-discente formando uma rede de aprendizagem
Apoacutes essas facetas terem sido explicitadas passamos para a terceira etapa das
accedilotildees de aprendizagem que consiste no modelamento de um novo horizonte de praacutetica cujas
possibilidades de implementaccedilatildeo precisam necessariamente extrapolar as fronteiras do
pensar e agir individual e passar para um patamar de construccedilatildeo coletiva rumo a
transformaccedilotildees qualitativas da praacutetica atual
121
Na teoria da aprendizagem expansiva double bind pode significar dilema ou ldquoface de dois gumesrdquo ou ainda
ldquoduas faces da moedardquo Decidi usar facetas
132
413 Modelamento122
Segundo Engestroumlm e Sannino (2010b) apoacutes a situaccedilatildeo (ou fenocircmeno ou praacutetica
social) ser questionada e analisada pelos sujeitos faz-se necessaacuterio que tal anaacutelise decirc origem a
uma nova forma de praacutetica uma nova atividade Para que isso se concretize eacute necessaacuterio que
os sujeitos consigam construir moldar e transformar um novo objeto por meio de accedilotildees que
objetivem tal modelamento
Antes mesmo de iniciar o processo de construccedilatildeo dos dados para a presente
investigaccedilatildeo a Modelagem Matemaacutetica conforme a concebo pareceu estar alinhada aos
objetivos de formaccedilatildeo de Caacutelculo em cursos de Engenharia Todas as leituras que fiz me
conduziram ao entendimento de que a Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia
poderia constituir um novo horizonte de praacutetica para os sujeitos partiacutecipes dos processos de
ensino-aprendizagem de disciplinas de Caacutelculo nesses cursos profissionalizantes123
Segundo Engestroumlm e Sannino (2010b) a aprendizagem expansiva se concentra
em processos nos quais os sujeitos satildeo transformados de indiviacuteduos isolados em coletivos e
redes Nesse sentido quando a construccedilatildeo dos dados empiacutericos para esta pesquisa se iniciou
na verdade o objetivo era que tal rede fosse tecida
A Modelagem Matemaacutetica sendo considerada como uma praacutetica formativa
inovadora em relaccedilatildeo agraves praacuteticas tradicionais de ensino-aprendizagem de Caacutelculo em cursos
de Engenharia pode ser tomada pelos participantes como um modelo que busca possibilitar
soluccedilotildees para os dilemas expostos anteriormente Acreditando nisso embarquei em uma
jornada rumo agraves possibilidades de movimento na zona de desenvolvimento proximal da
atividade formativa de Caacutelculo em cursos de Engenharia No campo cheguei soacute mas natildeo
permaneci soacute a rede comeccedilou a ser tecida E foi o grupo se constituiu
Sendo assim a constituiccedilatildeo do GEPMM podendo ser considerada como accedilatildeo de
modelamento que segundo Engestroumlm e Sannino (2010b) objetiva a construccedilatildeo de um novo
horizonte de praacutetica visando agrave minimizaccedilatildeo dos dilemas potencialmente incorporados nas
formas de atividade vigentes poderia possibilitar
122
Aqui Modelamento eacute considerado como a terceira fase das estrateacutegicas accedilotildees do ciclo de aprendizagem
expansiva elaborado por Engestroumlm (1987) conforme explicitado no Capiacutetulo 1 deste texto 123
A formaccedilatildeo em Engenharia pode tambeacutem ser entendida como profissionalizante pois objetiva a formaccedilatildeo do
profissional de Engenharia ndash o engenheiro
133
a) a construccedilatildeo de espaccedilos formativos nos quais o objeto da atividade seria
constituiacutedo por questotildees-problema natildeo matemaacuteticas e estudantes engajados em
sua proacutepria formaccedilatildeo (o que poderia se aproximar dos objetivos gerais que
perpassam a formaccedilatildeo dos engenheiros)
b) engajamento coletivo dos estudantes na resoluccedilatildeo de problemas natildeo
matemaacuteticos (o que pode estar mais proacuteximo das demandas externas que
proclamam o trabalho em equipe ndash aprendizagens coletivas)
c) possibilidades de parcerias (interdisciplinares) com docentes de variadas
aacutereas de atuaccedilatildeo em cursos de Engenharia (o que poderia promover o
rompimento da encapsulaccedilatildeo das disciplinas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia)
d) atividade de aprendizagem mediante parceria docente-discente formando uma
rede de aprendizagem (o que poderia ampliar quantitativamente e
qualitativamente as interaccedilotildees docente-discentes)
Vale ressaltar que a construccedilatildeo do GEPMM ao ser tomado como um modelo em
um ciclo de accedilotildees potencialmente expansivas acaba por se configurar como um elo entre as
disciplinas de Caacutelculo e as demais disciplinas que constituem a formaccedilatildeo do engenheiro na
instituiccedilatildeo estudada o que poderia minimizar o ponto de conflito cognitivo apontado por
Camarena (2009) Tal ponto de conflito pode ser entendido como uma tensatildeo que os
engenheiros vivenciam quando precisam integrar duas ou mais aacutereas do conhecimento tais
como o Caacutelculo e outras aacutereas teacutecnicas da Engenharia a fim de matematizar um problema a
ser resolvido Tal minimizaccedilatildeo pode ser relacionada com o rompimento da encapsulaccedilatildeo das
disciplinas de Caacutelculo em cursos de Engenharia
414 Examinando o novo modelo
Segundo Engestroumlm e Sannino (2010b) a quarta accedilatildeo constituinte de uma
sequecircncia ldquoidealrdquo em um ciclo expansivo seria caracterizada pelo exame do modelo Essa
etapa consistiria em pocircr em praacutetica o modelo executaacute-lo ou operaacute-lo a fim de compreender
sua dinacircmica potencial e limitaccedilotildees Para isso se fez necessaacuteria a criaccedilatildeo de uma rede de
aprendizagem composta por alunos e professores que aceitaram o convite para participaccedilatildeo
134
no GEPMM A parceria estabelecida mediante a criaccedilatildeo de tal rede possibilita a ampliaccedilatildeo do
movimento de informaccedilotildees entre os docentes que atuam em diversas aacutereas por meio da
potencializaccedilatildeo da busca e consequentemente encontro de informaccedilotildees e ferramentas
necessaacuterias para o entendimento e a resoluccedilatildeo das questotildees-problemas que configuram o
objeto da atividade de Modelagem
Aleacutem da parceria entre os professores das mais diversas aacutereas de atuaccedilatildeo a
criaccedilatildeo dessa nova rede poderia possibilitar tambeacutem um cruzamento vertical de fronteiras
por meio das interaccedilotildees entre estudantes e professores pois em instituiccedilotildees escolares alunos
e professores constituem redes hieraacuterquicas de interaccedilotildees A parceria entre eles acaba por
cruzar os limites entre as redes o que poderia tornar a atividade de alunos e professores uma
uacutenica atividade a atividade de aprendizagem
Com isso poderiacuteamos analisar que a construccedilatildeo de tais ambientes configuraria
potencial mudanccedila no objeto da atividade de aprendizagem e ainda a construccedilatildeo de redes
possibilitada pelo cruzamento de fronteiras entre niacuteveis hieraacuterquicos e institucionais na
instituiccedilatildeo por meio de parcerias docente-docente e discentes-docente ambas ocorrendo em
um mesmo espaccedilo fiacutesico em uma mesma praacutetica institucionalizada em prol de um mesmo
objetivo Esses dois movimentos poderiam configurar mutuamente aprendizagens
expansivas como veremos mais adiante no presente texto
Por se tratar de uma intervenccedilatildeo formativa optei pela criaccedilatildeo do GEPMM em vez
de tentar introduzir a Modelagem Matemaacutetica dentro das salas de aula das disciplinas de
Caacutelculo Essa opccedilatildeo metodoloacutegica em termos da construccedilatildeo dos dados mostrou-se
necessaacuteria apoacutes ter assumido a Teoria da Atividade e da Aprendizagem Expansiva como lente
teoacuterica para a anaacutelise dos dados da presente pesquisa Aleacutem disso eu temia que as regras e a
divisatildeo do trabalho dentro das salas de aula de Caacutelculo permanecessem invioladas mesmo
com uma possiacutevel introduccedilatildeo da Modelagem nas demais accedilotildees de ensino que ocorrem durante
o desenvolvimento das disciplinas de Caacutelculo E mais do que isso o objeto da atividade de
alguns alunos durante todo o desenvolvimento das disciplinas de Caacutelculo independentemente
da metodologia adotada poderia permanecer orientado pela aprovaccedilatildeo na disciplina
satisfazendo a necessidade de prosseguir no curso visando agrave obtenccedilatildeo do diploma de
engenheiro
Sendo assim tal intervenccedilatildeo externa as proacuteprias disciplinas de Caacutelculo
configuraria como um espaccedilo formativo alternativo cujo objetivo preliminar seria o
questionamento agrave proacutepria divisatildeo do conhecimento em disciplinas como ocorre
tradicionalmente em cursos de Engenharia no Brasil Neste sentido a proposta da criaccedilatildeo do
135
GEPMM alia-se agraves ideias de formaccedilatildeo em Engenharia com base no foco em questotildees-
problema das mais diversas aacutereas onde os conhecimentos de Caacutelculo sejam instrumentos ou
ferramentas que auxiliam o respectivo entendimentoresoluccedilatildeo natildeo pretendendo assim
minimizar os dilemas vivenciados por alunos e professores durante as praacuteticas das disciplinas
tradicionais de Caacutelculo em cursos de Engenharia Vale ressaltar que seria contraditoacuterio
afirmar que tal enfoque pudesse ser plenamente estabelecido se tomaacutessemos como contexto as
disciplinas de Caacutelculo as disciplinas de Caacutelculo possuem conteuacutedos estabelecidos nos Planos
de Ensino e qualquer enfoque formativo incluindo a Modelagem Matemaacutetica estaria
orientado pelo Plano de Ensino Com isto as atividades de Modelagem constituiriam de
abordagem para dar sentido ou motivar ou mesmo propiciar aprendizagens dos conteuacutedos jaacute
estabelecidos nas ementas Com isto o objeto das atividades seriam os proacuteprios conteuacutedos do
Caacutelculo e a Modelagem Matemaacutetica seria um instrumento para tal ensinoaprendizagem
O espaccedilo formativo caracterizado no e pelo GEPMM se configura como um
contexto propiacutecio para possibilitar aprendizagens expansivas por estar baseado nos contextos
da descoberta da aplicaccedilatildeo praacutetica e da criacutetica conforme exposto no Capiacutetulo 1 Tal espaccedilo
formativo alternativo agraves praacuteticas tradicionais de formaccedilatildeo institucionalizadas nas e pelas
universidades pode ser caracterizado mediante ldquoampliaccedilatildeo gradual do objeto e do contexto da
aprendizagemrdquo (ENGESTROumlM 2002 p 197) Nele os aprendizes embarcam em uma
jornada ao longo da Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP) da Atividade124
que segundo
Engestroumlm (1987 p 174) pode ser entendida como a ldquodistacircncia entre as accedilotildees cotidianas dos
indiviacuteduos e a historicamente nova forma de atividade social que pode ser gerada
coletivamente como soluccedilatildeo para o dilema potencialmente incorporado nas accedilotildees cotidianasrdquo
Engestroumlm (2001) pontua que atividades de aprendizagem expansiva buscam
produzir culturalmente novos padrotildees de atividade que nesta pesquisa podem ser manifestos
pelas e nas atividades desenvolvidas no GEPMM devido agrave necessidade de os aprendizes
aprenderem novas formas de atividade enquanto as vatildeo criando
Eacute importante ressaltar que no GEPMM o Caacutelculo eacute considerado como um dos
instrumentos necessaacuterios agrave resoluccedilatildeoentendimento das questotildees-problema natildeo matemaacuteticas
Sendo assim em atividades de Modelagem Matemaacutetica constantemente faz-se necessaacuterio a
aquisiccedilatildeo de novas125
ferramentas de Caacutelculo para os sujeitos partiacutecipes da presente
124
Aqui podemos entender atividade no sentido de Sistemas de Atividade que os sujeitos assumem na posiccedilatildeo
de docentes e discentes de cursos de Engenharia 125
Podemos entender tais accedilotildees com vistas agrave aquisiccedilatildeo de novas ferramentas de Caacutelculo para os sujeitos
partiacutecipes de uma atividade de modelagem seguindo por analogia agraves accedilotildees que visam agrave construccedilatildeoaquisiccedilatildeo de
uma lanccedila ou um arco e flecha em uma atividade de caccedila
136
atividade o que se configura sob essa anaacutelise como accedilotildees estrategicamente necessaacuterias ao
alcance de objetivos parciais orientados pela atividade em questatildeo Mais adiante no que tange
agrave anaacutelise especiacutefica dos instrumentos de Caacutelculo em atividades de Modelagem num contexto
de formaccedilatildeo em Engenharias seguirei orientada pelo seguinte questionamento quais e como
se configuram as accedilotildees possibilitadas pelas ferramentas de caacutelculo em uma determinada
atividade de modelagem
Ao optar pela dinacircmica do modelo de atividade (Modelagem Matemaacutetica) sendo
implementada extra sala de aula (GEPMM) algumas limitaccedilotildees poderiam ocorrer configurar
trabalho extra (horas gastas a mais) ocircnus intensificaccedilatildeo do trabalho incompatibilidade de
horaacuterios entre outras Com isso sobraria menos tempo para realizar as demais atividades que
compotildeem a formaccedilatildeo em Engenharia na UNIFEI tanto para estudantes quanto para
professores Outra possiacutevel limitaccedilatildeo poderia surgir pela estrutura fiacutesica da instituiccedilatildeo jaacute
levando em conta o fato de ser um campus ldquoem construccedilatildeordquo precisariacuteamos de um espaccedilo
fiacutesico para abrigar o grupo
415 Implementando o novo modelo ndash o GEPMM
Com base em Engestroumlm e Sannino (2010b) a quinta accedilatildeo que constitui uma
sequecircncia ldquoidealrdquo em um ciclo expansivo consiste na implementaccedilatildeo do modelo por meio de
suas aplicaccedilotildees em praacuteticas Durante o iniacutecio da construccedilatildeo dos dados da pesquisa relatada
nesta tese procurei por ldquoaliadosrdquo pessoas que compartilhassem as mesmas insatisfaccedilotildees e
que aceitassem o convite de ldquoembarcarrdquo nessa jornada coletiva de transformaccedilotildees Contudo
natildeo obtive sucesso algum nessa primeira ldquoempreitadardquo
Natildeo desisti continuei realizando accedilotildees de negociaccedilatildeo e orquestraccedilatildeo por meio de
conversas com docentes e discentes buscando pelos tatildeo esperados ldquoaliadosrdquo Foi entatildeo que
Angel aceitou o convite Decidimos elaborar e proferir a palestra e apoacutes a palestra mais dois
docentes aceitaram o convite Clarice e Robson
Deliberamos126
algumas accedilotildees estruturais para que o grupo pudesse iniciar sua
jornada encontrar horaacuterios compatiacuteveis traccedilar horizontes de atuaccedilatildeo delimitaccedilatildeo de regras
entre outras
126
Todas as interaccedilotildees nessa parte foram realizadas por meio de mediaccedilotildees possibilitadas pelo grupo ldquovirtualrdquo
criado na rede social Facebook intitulado Modelagem Unifei Itabira
137
Ao serem questionados sobre os motivos que teriam orientado as respectivas
participaccedilotildees nas entrevistas iniciais os alunos Taty Joseacute e Pedro apontaram que gostariam
de ver uma Matemaacutetica mais aplicada uma Matemaacutetica na praacutetica objetivando terem uma
visatildeo diferenciada dos demais no mercado de trabalho futuramente Nas palavras de Taty
ldquoeu espero que no final deste projeto neacute eu consiga ter uma habilidade maior em abstrair
matematicamente os problemas do dia a diardquo Pedro pontuou ldquoeacute uma coisa na qual vocecirc vai
precisar vocecirc vai ter que aplicar o Caacutelculo em muitas aacutereas de atividade para um
engenheirordquo
Com base nas gravaccedilotildees em aacuteudio e viacutedeo dos encontros do GEPMM farei a
seguir um breve relato das accedilotildees que se fizeram presentes durante os dez primeiros encontros
do referido grupo
4151 Os encontros
Agora relatarei o que aconteceu durante os dez127
primeiros encontros realizados
no GEPMM que adotarei como corpus de anaacutelise Depois disso retornarei ao miniciclo de
accedilotildees de aprendizagem expansiva com o intuito de explicitar a sexta e a seacutetima accedilotildees
refletindo sobre o processo de implementaccedilatildeo do novo modelo e consolidando seus
resultados em uma nova forma de praacutetica
41511 Primeiro encontro
O primeiro encontro do GEPMM ocorreu em 01112012 (quinta-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice dos estudantes Joseacute e Taty e com a minha
participaccedilatildeo desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e pesquisadora
Nesse primeiro encontro comeccedilamos a estabelecer regras para questotildees
burocraacuteticas do grupo tais como quantos seriam os integrantes se o grupo seria formalizado
como projeto de extensatildeo ou grupo de pesquisa no CNPq entre outras questotildees Esclareci
127
Considero os dez primeiros encontros devido ao fato de ter que cumprir prazos com relaccedilatildeo agraves exigecircncias
estipuladas no regimento do Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em que estou inserida como alunapesquisadora
138
para os alunos Joseacute e Taty128
quais satildeo os objetivos do grupo e da minha pesquisa
Estabelecemos coletivamente que o grupo seria constituiacutedo por quatro docentes e seis
estudantes totalizando dez participantes
A docente Clarice teceu a seguinte criacutetica em relaccedilatildeo agrave Educaccedilatildeo Matemaacutetica no
Brasil ldquomuito se fala pouco se praticardquo E seguiu falando que os alunos de Caacutelculo satildeo
muito desmotivados e acrescentou ldquomuito aluno ali se sente tatildeo incapaz ele natildeo acredita
nele por isso ele se ferrardquo A aluna Taty interveio ldquomas eu acho que isso natildeo eacute culpa do
professor saberdquo A docente Clarice respondeu agrave aluna em tom de voz alterado ldquoMas eacute
tambeacutem um deverrdquo Bakhtin129
(1992 p 396) destaca que a entonaccedilatildeo consiste em uma
expressatildeo focircnica da avaliaccedilatildeo social e para ele ldquoo tom natildeo eacute determinado pelo material do
conteuacutedo do enunciado ou pela vivecircncia do locutor mas pela atitude do locutor para com a
pessoa do interlocutor (a atitude para com sua posiccedilatildeo social para com sua importacircncia
etc)rdquo Aqui uma anaacutelise da entonaccedilatildeo da fala da docente Clarice poderia ser tecida pela
hierarquia e lugar social que alunos e professores ocupam nas instituiccedilotildees universitaacuterias e as
respectivas regras que podem compor o ldquocurriacuteculo ocultordquo tais como professor ldquosempre tem
razatildeordquo a fala do professor natildeo ldquodeverdquo ser questionada e aluno ldquodeverdquo ficar inerte agraves posiccedilotildees
do professor afinal que dita as regras eacute o professor e ao aluno cabe cumpri-las Contudo no
GEPMM natildeo haacute pontos a serem distribuiacutedos pelo professor e isto pode acabar confundindo as
respectivas visotildees sobre as posiccedilotildees sociais nesta praacutetica Neste caso alunos e professores tem
o mesmo grau de importacircncia e hierarquia
No decorrer do encontro Clarice pontuou que nunca havia visto o trabalho do
engenheiro ldquoNunca parei pra pensar nisso Sempre pensei assim ah ele aprendeu as contas
baacutesicas laacute e pronto Mas natildeo vai porque o outro [que sabe mais] vai passar na frente dele [no
mercado de trabalho]rdquo Nesse ponto a docente pareceu estar preocupada com a qualidade da
formaccedilatildeo matemaacutetica que tem sido oferecida nas propostas tradicionais de ensino-
aprendizagem de Caacutelculo em cursos de Engenharia A docente seguiu falando
Eu falo assim no iniacutecio do curso no primeiro dia de aula ah eu ensino Caacutelculo natildeo
tenho noccedilatildeo muito de aplicaccedilotildees aiacute depois vocecircs vatildeo usar [risos] Tipo assim eu
natildeo sei quando mesmo Depois vocecircs vatildeo usar em vaacuterios conteuacutedos porque os
proacuteprios professores [de outras disciplinas ndash natildeo matemaacuteticas] falam comigo Tem
um professor da Mecacircnica que falou comigo o aluno chega laacute sem saber Caacutelculo e
ele precisa de Caacutelculo pra caramba na minha mateacuteria Caacutelculo I mesmo Sabe E
chega sem saber
128
Que natildeo puderam assistir agrave palestra mas viram o convite na rede social Facebook e o aceitaram 129
Conforme explicitado no Capiacutetulo 1 desta tese uma das raiacutezes da teoria da aprendizagem expansiva eacute a teoria
da linguagem e discurso de Bakhtin Por esse motivo sempre que possiacutevel utilizarei tal teoria para analisar falas
e discursos que ocorreram durante a construccedilatildeo dos dados para a investigaccedilatildeo relatada nesta tese
139
Nessa fala da docente percebemos que ela pareceu estar preocupada em natildeo
conseguir responder agraves expectativas dos estudantes ou mesmo dos outros professores das
demais disciplinas quanto agraves aplicaccedilotildees do Caacutelculo e aleacutem disso demonstrou sentir-se
incomodada em ouvir outro docente criticar a formaccedilatildeo matemaacutetica dos estudantes
A aluna Taty nos mostrou suas concepccedilotildees e expectativas em relaccedilatildeo a sua
participaccedilatildeo no GEPMM como aluna do curso de Engenharia de Computaccedilatildeo
Acho que a matemaacutetica eacute a mateacuteria mais poderosa que tem cecirc quer resolver um
problema de verdade Cecirc quer ser um engenheiro Cecirc quer uma resposta Tudo eacute
modelagem As melhores aacutereas da Computaccedilatildeo as que datildeo mais dinheiro cecirc tem
que ser bom de matemaacutetica Entatildeo eu acho um desperdiacutecio a gente ter 500
professores de Matemaacutetica aqui e ficar na sala de aula vendo nada Adoro gosto
muito acho muito legal mas soacute isso Entendeu Vocecirc pode sair daqui muito mais
potente Eacute aproveitar o que a faculdade estaacute te oferecendo
Podemos perceber que a estudante posicionou que suas accedilotildees de aprendizagem
estatildeo relacionadas ao objetivo de ldquoformaccedilatildeo com qualidaderdquo (uma boa formaccedilatildeo potente
aliada ao conhecimento) pois parece desejar ter um bom retorno financeiro no mercado de
trabalho depois de se formar engenheira Eacute niacutetido tambeacutem que sua proacutepria formaccedilatildeo ocupa
lugar privilegiado enquanto objeto de sua atividade ou seja ela parece ter consciecircncia que
ldquoobter conhecimentosrdquo e ldquoadquirir habilidadesrdquo constituem parte fundamental para a sua
proacutepria formaccedilatildeo
Esclareci para os parceiros que inicialmente natildeo gostaria de trabalhar em um
problema muito complexo Naquele momento minha preocupaccedilatildeo estava relacionada agraves
possiacuteveis desistecircncias de integrantes do grupo principalmente alunos caso achassem o
trabalho complexo demais
A discussatildeo sobre ensino de Caacutelculo em cursos de Engenharia continuou embora
este natildeo fosse especificamente o tema do primeiro encontro e a docente Clarice pontuou ldquoO
aluno de Caacutelculo I ele acha que tudo pode jogar no computador que tudo ele joga na
calculadora que ele natildeo vai trabalhar Ele natildeo sabe que vai ter que por a matildeo na massa Ele
acha que eacute pegar uma equaccedilatildeo e resolverrdquo A aluna Taty respondeu ldquoPorque o Caacutelculo I eacute
muito assim vocecirc chega no trecircs [Caacutelculo III] vocecirc nem pega mais na calculadora [risos]rdquo
Neste momento percebi que havia muitas questotildees inerentes agraves disciplinas de
Caacutelculo em cursos de Engenharia na quais os sujeitos demonstravam interesse em debatecirc-las
e como na instituiccedilatildeo natildeo havia um espaccedilo para tais discussotildees e debates eles acabavam
acontecendo nos encontros do GEPMM
140
Prosseguimos o encontro tentando esboccedilar algumas questotildees de interesse dos
integrantes do grupo que poderiam ser tomadas como objetos da atividade de Modelagem do
grupo
a) Angel falou sobre a infraestrutura na UNIFEI preacutedio 2 atrasado restaurante
atrasado
b) Joseacute falou sobre o fluxo de tracircnsito na cidade de Itabira
c) Eu falei sobre prazos para o mineacuterio de ferro extraiacutedo pela empresa Vale nas
minas de Itabira acabar
d) Joseacute falou sobre a poluiccedilatildeo sonora causada pelas explosotildees nas minas da Vale
e) Taty falou sobre a iniciaccedilatildeo cientiacutefica dela relaccedilotildees de gecircnero na construccedilatildeo
civil
f) Eu falei sobre as possibilidades de estudarmos as relaccedilotildees de gecircnero no trabalho
do engenheiro (Clarice fala que natildeo tem vontade de trabalhar com isso)
Apoacutes combinarmos de pensar em casa com calma em mais inquietaccedilotildees que
pudessem ser de interesse do grupo encerramos a reuniatildeo
41512 Segundo encontro
O segundo encontro do GEPMM ocorreu em 08112012 (quinta-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice dos estudantes Joseacute e Taty e com a minha
participaccedilatildeo desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e pesquisadora
Expus para os parceiros que pensei em um problema que haacute muito tempo me
incomoda o problema do peso corporal ideal Expliquei para eles que gostaria de entender
melhor matematicamente a questatildeo do ganho ou perda de peso considerando somente os
fatores alimentaccedilatildeo e exerciacutecios fiacutesicos Denominei naquele momento esse problema como
ldquoa foacutermula da sauacutederdquo e posicionei ainda que ldquoO peso da pessoa eacute fundamental pra vocecirc saber
[] uma das variaacuteveis eacute a massa da pessoa depende da massa da pessoa para vocecirc saber o
tanto que ele queima [] um gordo queima muito mais raacutepido do que quem eacute magrordquo
Clarice completou ldquoAh mais tem um equiliacutebrio depois ele para com aquela queimaccedilatildeordquo
141
Taty pontuou ldquoeacute depende da taxa de gordura da taxa de massa muscular [] achei
fantaacutesticordquo
Aqui o leitor poderia questionar ou estar refletindo sobre a escolha do tema natildeo
pertencer diretamente agrave tradicional aacuterea de Engenharia nem a disciplinas especiacuteficas dos
cursos Contudo o tema perfaz a questatildeo da interdisciplinaridade e da transposiccedilatildeo das
fronteiras disciplinares e curriculares Imagine se nenhum engenheiro ou fiacutesico ou
matemaacutetico tivesse dedicado esforccedilos para o entendimento de processos e fenocircmenos
relacionados com a aacuterea da sauacutede atualmente natildeo teriacuteamos algum aparelho de raio X ou de
ressonacircncia magneacutetica Aleacutem disso a UNIFEI-Itabira oferece entre outros os cursos de
Engenharia da Sauacutede e Seguranccedila e Engenharia Ambiental Com a escolha desse tema
poderia acontecer ainda de estarmos buscando e efetivando de alguma maneira ainda que
impliacutecita o rompimento da encapsulaccedilatildeo de conteuacutedos relacionados com a aacuterea de
Engenharia de Sauacutede e Seguranccedila com os outros cursos oferecidos pela instituiccedilatildeo mediante
a transposiccedilatildeo de fronteiras e a formaccedilatildeo de redes ndash parcerias
Logo em seguida a aluna Taty nos contou que jaacute havia sido atleta e que corria 8
km e o aluno Joseacute nos contou que fazia trilha de bicicleta Eles ficaram realmente muito
interessados pelo tema proposto por mim Aleacutem deles a docente Clarice tambeacutem disse que
achou o tema oacutetimo ldquoachei o mais interessante delesrdquo
O docente Angel permaneceu desde o iniacutecio do encontro manuseando seu
computador portaacutetil e somente depois de 30 minutos de reuniatildeo o perguntei se ele havia
achado o tema interessante Ele pediu para eu repetir os temas ateacute entatildeo levantados e parece
preferir o problema do tracircnsito dizendo ldquotranquilo assim tem que ir laacute medir com o
cronocircmetro verificar ou seja tem um trabalho aiacute neacute de coleta de dados um pouco chata
durante uma semanardquo Ao perceber que todos os parceiros olharam para ela a aluna Taty
logo disse ldquoAh natildeo gente natildeo olha pra mim natildeo gente Tocirc fazendo um monte de coleta de
dados jaacute Me recuso cara [] Eu sento e leio 60 artigos se vocecircs quiserem faccedilo resumo de
todos pra vocecircs natildeo tocirc brincando Eu tocirc fazendo uma coleta gigantescardquo
Naquele momento estava estabelecido um dilema entre as idealizaccedilotildees de objetos
das atividades que pretendiacuteamos realizar Tratava-se de pensar elaborar num plano da
consciecircncia coletiva um resultado ideal ndash uma finalidade jaacute que ldquoo que se pretende obter
existe primeiro idealmente como mero produto da consciecircncia e os diversos atos do processo
se articulam ou estruturam de acordo com o resultado que se daacute primeiro no tempo isto eacute o
resultado idealrdquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 187) Ainda que o resultado real se
142
distancie do ideal trata-se de adequar intencionalmente o ideal ao real ainda que para isso
seja necessaacuterio se assemelhar pouco ou ateacute mesmo nada com a finalidade original
Nesse momento podemos perceber que por jaacute ter participado de programas de
iniciaccedilatildeo cientiacutefica na UNIFEI a aluna Taty demonstrou conhecer uma possiacutevel divisatildeo de
trabalho que pode ser adotada por alguns docentes orientadores nas atividades de iniciaccedilatildeo
cientiacutefica os alunos potildeem a matildeo na massa coletam dados fazem resumo de artigos entre
outras e os orientadores auxiliam na escrita dos relatoacuterios e na anaacutelise dos dados coletados
O posicionamento da aluna Taty de fato ldquoimpactourdquo nas decisotildees do grupo
Alterou modificou a atividade que naquele momento estava sendo idealizada por noacutes
coletivamente Como estavam participando das reuniotildees portanto do grupo apenas dois
estudantes como os docentes procederiam para coletar os dados para tratar do problema do
tracircnsito em Itabira Isso nos levou a deixar esse problema para ser tratado em outro momento
quando tivermos mais alunos para realizar as accedilotildees de coleta de dados
Com isso apoacutes debatermos mais um pouco definimos que a primeira questatildeo-
problema a ser tratada por noacutes seria o emagrecimento em termos de alimentaccedilatildeo e exerciacutecios
fiacutesicos Naquele momento estava traccedilado idealmente um resultado que orientaria as accedilotildees
do grupo uma finalidade entender a questatildeo problemaacutetica do peso corporal ideal isso
configurou uma atividade essencialmente da consciecircncia humana tomada em sua coletividade
por meio da negociaccedilatildeo e debate em que os sujeitos expotildeem seus pontos de vista e suas
idealizaccedilotildees oriundas de suas experiecircncias anteriores suas inquietaccedilotildees mediante as quais
concebem a realidade ainda inexistente mas jaacute traccedilada pela consciecircncia por meio da
idealizaccedilatildeo de seu objeto
Sendo assim ldquonatildeo se trata apenas de antecipaccedilatildeo ideal do que estaacute por vir mas
sim de algo que aleacutem disso queremos que venhardquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 191)
expressatildeo de uma necessidade humana socialmente incorporada que se configura como
causa das accedilotildees e ao mesmo tempo determina as accedilotildees presentes Contudo tal antecipaccedilatildeo
ideal do futuro natildeo implica necessariamente que desejamos de fato sua existecircncia real ou
sequer pretendamos contribuir para que assim seja Desejar uma atividade na realidade
requer sobretudo elencar uma finalidade estampada nas accedilotildees que devem ser realizadas para
tal fim Para isso eacute necessaacuterio entender que toda finalidade pressupotildee determinado
conhecimento da realidade que os sujeitos negam idealmente e dessa forma idealizam accedilotildees
em prol de um resultado tambeacutem idealizado
Com isso podemos analisar que devido ao entendimento de que a questatildeo do
peso corporal ideal dependia de alguns paracircmetros que poderiam ou natildeo ser levados em conta
143
decidiu-se por negar idealmente as formas presentes de entender tal questatildeo (como tiacutenhamos
entendido ateacute aquele momento) e partir para a produccedilatildeo coletiva de conhecimento O objetivo
portanto configurava-se pelas estrateacutegicas accedilotildees de abertura da caixa-preta do peso corporal
ideal
Naquele momento pontuei que ldquoum gordo queima muito mais raacutepido do que
quem eacute magrordquo Taty ponderou ldquoeacute depende da taxa de gordura da taxa de massa
muscularrdquo Tiacutenhamos portanto o conhecimento digamos inicial de que o peso influenciava
na queima de gordura proporcionada pelas atividades fiacutesicas mas como quantificar essa
influecircncia Estariam outros paracircmetros relacionados com tal influecircncia como por exemplo a
taxa de gordura ou a taxa de massa muscular Ou seja algum(ns) conhecimento(s) da
realidade estava(m) sendo negado(s) idealmente naquele momento o que fez emergir uma
finalidade para orientar nossas accedilotildees
Estaacutevamos dispostos a entender essa questatildeo problemaacutetica buscando informaccedilotildees
incorporando variados instrumentos que possibilitassem o acesso a apropriaccedilatildeo e a produccedilatildeo
de conhecimentos relacionados ao peso corporal ideal perseguindo sempre o objetivo que
segue mediante alteraccedilotildees na alimentaccedilatildeo e nos exerciacutecios fiacutesicos como quantificar
mudanccedilas no peso corporal com vistas a alcanccedilar efetivamente o peso corporal ideal Por se
tratar de quantificaccedilotildees tiacutenhamos naquele momento o conhecimento de que algum
instrumento matemaacutetico seria necessaacuterio para alcanccedilarmos o objetivo estabelecido poreacutem
natildeo sabiacuteamos de antematildeo qual(is) instrumento(s) seria(m) esse(s) e como ele(s) nos
ajudaria(m) nessa atividade
Sabiacuteamos por exemplo que o iacutendice de massa corporal (IMC) representado por
uma equaccedilatildeo matemaacutetica130
eacute considerado o mesmo para homens e mulheres
independentemente da idade Mas suspeitaacutevamos que um homem de 80 anos perdesse peso
de forma diferente que uma mulher de 18 anos considerando mudanccedilas na alimentaccedilatildeo e nos
exerciacutecios fiacutesicos Mas qual seria essa diferenccedila Como ela poderia ser quantificada Tais
questionamentos abarcavam o objetivo explicitado anteriormente ao decidirmos dedicar
esforccedilos no entendimento da problemaacutetica questatildeo do peso corporal ideal
Depois disso o docente Angel que permaneceu manuseando seu computador
portaacutetil navegando na internet convidou-nos para submetermos um projeto ao CNPq pois
havia um edital aberto sobre relaccedilotildees de gecircnero e trabalho e aiacute poderiacuteamos elaborar o projeto
para pesquisar as relaccedilotildees de gecircnero e trabalho na aacuterea de Engenharia Contou-nos que
130
119868119872119862 =119901119890119904119900
1198861198971199051199061199031198862
144
poderiacuteamos dar bolsas aos alunos no valor de R$ 400 A aluna Taty exclamou ldquoNossa que
lindo Que belezardquo
Angel disse que teriacuteamos que realizar uma ldquoforccedila tarefa urgenterdquo porque o prazo
seria ateacute o dia 14 daquele mecircs (ou seja teriacuteamos apenas seis dias para construir o projeto)
Taty disse que tinha o projeto escrito sobre gecircnero e somente teriacuteamos que adaptaacute-lo para a
aacuterea da Engenharia Decidimos por lutar contra o tempo e escrever esse projeto para a
submissatildeo131
Vale ressaltar que ainda que possa parecer estranho natildeo percebi naquele
momento qualquer inadequaccedilatildeo sobre o que o grupo havia coletivamente decidido fazer Na
verdade mesmo que suspeitasse que o CNPq natildeo fosse aprovar o referido projeto visualizei
tal elaboraccedilatildeo como uma possibilidade de aprendizagem para os sujeitos engajados Uma
anaacutelise mais pontual que se refere a tal construccedilatildeo seraacute tecida mais adiante nesta tese
Finalizamos a reuniatildeo combinando as tarefas que cada um desenvolveria durante a
semana para que no proacuteximo encontro pudeacutessemos continuar trabalhando focados no
projeto a ser submetido no CNPq e tambeacutem na problemaacutetica ldquofoacutermula da sauacutederdquo Deliberamos
que cada um dos integrantes ficaria responsaacutevel por ler dois artigos sobre a questatildeo do
emagrecimento considerando alimentaccedilatildeo e exerciacutecios fiacutesicos como paracircmetros
41513 Terceiro encontro
O terceiro encontro do GEPMM ocorreu em 13112012 (terccedila-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel Clarice e Robson dos estudantes Joseacute Pedro e Taty e
com a minha participaccedilatildeo desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e
pesquisadora
Como esse encontro ocorreu na terccedila-feira natildeo tiacutenhamos sala reservada para nos
reunirmos Entatildeo comeccedilamos o encontro em uma sala e em poucos minutos descobrimos que
a sala estava reservada para uma aula Sem termos lugar para nos reunirmos a convite do
professor Robson fomos para um amplo laboratoacuterio de eleacutetrica onde estava ocorrendo em
paralelo ao nosso encontro uma aula de eletricidade praacutetica Depois de chegarmos agrave sala a
cacircmera que foi utilizada para realizar as gravaccedilotildees em aacuteudio e viacutedeo inesperadamente
131
E o submetemos na data limite ndash dia 14 de novembro de 2012 Contudo o CNPq natildeo o aprovou O parecer
questionou sobre a aacuterea de atuaccedilatildeo dos docentes que iriam executaacute-lo
145
interrompeu as filmagens Por esse motivo o relato desse encontro se baseia em alguns
minutos de gravaccedilatildeo em aacuteudio e viacutedeo e nas anotaccedilotildees em caderno de campo
Comeccedilamos o encontro discutindo o artigo132
de Scagliusi e Lancha Juacutenior
(2005) que trata do gasto energeacutetico por meio da teacutecnica da ldquoaacutegua duplamente marcadardquo
Nesse artigo no QUADRO 1 os autores apresentam alguns modelos matemaacuteticos que satildeo
utilizados para o caacutelculo do gasto energeacutetico segundo a teacutecnica da aacutegua duplamente marcada
Percebemos que nas equaccedilotildees denominadas pelos autores por ldquofoacutermulas matemaacuteticasrdquo
contidas no referido quadro alguns valores (constantes) natildeo ficam claros pra noacutes isto eacute os
valores aparecem nas foacutermulas contudo a razatildeo do aparecimento natildeo eacute explicitada no texto
Por exemplo o que significa o valor 3044 ou 1104 na equaccedilatildeo 3 Ou ainda 081 ou 067 na
equaccedilatildeo 4 Natildeo conseguimos encontrar respostas para esses questionamentos no referido
artigo e decidimos apoacutes a reuniatildeo ir agrave busca de alguns artigos referenciados nele como por
exemplo Weir (1949) e Black Prentice e Coward (1986)
Ainda durante a discussatildeo do artigo Scagliusi e Lancha Juacutenior (2005) na paacutegina
542 nos deparamos com um termo fiacutesico-quiacutemico ndash o deuteacuterio Nunca ouvi falar sobre esse
conceito nem o docente Angel nem a docente Clarice A partir dessa duacutevida os alunos Joseacute e
Pedro nos esclareceram com propriedade sobre o que se baseava esse conceito Joseacute e Pedro
utilizaram instrumentos da oralidade que ecoavam vozes oriundas de discursos da fiacutesico-
-quiacutemica escolar (discurso didaacutetico pedagoacutegico) que provavelmente eles haviam tido
acessointeragido durante formaccedilatildeo escolar em niacutevel meacutedio e que estavam guardadas em suas
memoacuterias
Naquele momento podemos perceber ainda que ocorreu uma inversatildeo de papeacuteis
entre alunos e professores noacutes professores aprendemos com os alunos e eles alunos nos
ensinaram Por meio de interaccedilotildees mediadas pela oralidade (linguagem falada) todos noacutes
sujeitos da atividade passamos a ter acesso a informaccedilotildees relacionadas ao deuteacuterio que
estariam suportadas na memoacuteria dos alunos e teriam sido acessadas naquele momento com o
intuito de suprir a necessidade de que todos compartilhassem desse saber Isso somente se
tornou possiacutevel pois aceitamos o convite de formarmos uma parceria de aprendizagem entre
alunos e professores o que nos tira da zona de conforto em que haacute predomiacutenio de controle e
previsibilidade e nos coloca na zona de risco na qual incertezas e imprevisibilidades
imperam (BORBA PENTEADO 2001)
132
Encontrado por mim a partir de buscas na internet e anteriormente ao encontro compartilhado com os demais
parceiros no grupo ldquovirtualrdquo da Modelagem Unifei Itabira na rede social Facebook
146
Naquele encontro a questatildeo do peso corporal ideal ainda estava digamos
nebulosa para noacutes nossas accedilotildees e idealizaccedilotildees eram realizadas mediante negociaccedilatildeo e
interaccedilatildeo com os (instrumentos) que tiacutenhamos em matildeos ndash o artigo estudado no qual
encontramos a QUADRO 1 ndash por meio de habilidades de leitura e interpretaccedilatildeo (linguagem
escrita que inclui a linguagem matemaacutetica escrita) e nossa corporeidade ndash possibilitou
interaccedilotildees por meio de habilidades de debater discutir e interagir uns com os outros
(linguagem falada que inclui a linguagem Matemaacutetica falada e gestos)
QUADRO 1 ndash ldquoEquaccedilotildees utilizadas para o caacutelculo do gasto energeacutetico (GET) segundo a teacutecnica da aacutegua
duplamente marcadardquo
Fonte SCAGLIUSI LANCHA JUacuteNIOR 2005 p 543
Finalizamos a reuniatildeo deliberando que em casa leriacuteamos com calma os artigos
Weir (1949) e Black Prentice e Coward (1986) citados no artigo de Scagliusi e Lancha
Juacutenior (2005)
147
41514 Quarto encontro
O quarto encontro do GEPMM ocorreu em 22112012 (quinta-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice e com a minha participaccedilatildeo
desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e pesquisadora133
Comeccedilamos o encontro discutindo o artigo de Weir (1949) Observamos que esse
artigo eacute bem antigo Angel com o artigo impresso em matildeos apontou para o artigo e disse
ldquoagora tem que ver como que interpreta essas questotildees analisa porque agraves vezes vai entrar
em aacutereas assim mais complexas que a gente poderaacute natildeo entenderrdquo Respondi a ele ldquoIsso eu
tambeacutem jaacute consegui perceber Angel Por isso eu tocirc pensando para este tema a gente tentar
arrumar um nutricionista neacute porque ele jaacute taacute na aacuterea pra ele ajudar a gente a entender O
que vocecircs acham da ideiardquo E Angel respondeu
Ah eacute bacana porque querendo ou natildeo agindo dessa forma a gente taacute [] gerando
interdisciplinaridade neacute Porque a gente taacute pegando professores da matemaacutetica
professores da matemaacutetica mais pura professores da matemaacutetica mais aplicada
pessoas da aacuterea de nutriccedilatildeo Entatildeo eacute um ambiente bem [interdisciplinar]
A professora Clarice tambeacutem se manifestou favoraacutevel agrave integraccedilatildeo de uma
nutricionista a nossa rede de aprendizagem Seguimos com as discussotildees sobre o artigo de
Weir (1949) em que pontuei
a gente vecirc um ldquosisteminhardquo linear aqui de cara Que eacute o que ele [o autor] deve ter
estudado Taacute vendo Entatildeo assim vamos ter que entender porque eacute daqui que
surgem aqueles nuacutemeros que estatildeo laacute naquelas outras equaccedilotildees [me refiro ao artigo
de Scagliusi e Lancha Juacutenior (2005)] [] igual aqui [aponto para a tela do meu
computador portaacutetil onde leio o artigo de Weir (1949) na tela] ele taacute usando
carboidratos a proteiacutena e a gordura [] talvez a gente possa fazer tentar fazer
uma modelagem mais precisa do metabolismo porque vocecircs lembram [] a
questatildeo do metabolismo basal que eacute aquela coisa do repouso seu organismo taacute
gastando a questatildeo da alimentaccedilatildeo que vocecirc taacute acrescentando e do que vocecirc gasta
com as coisas do natildeo repouso neacute entatildeo satildeo essas trecircs categorias que a gente teria
que analisar pra poder eacute achar essa foacutermula que a gente quer ndash este modelo Entatildeo
num primeiro momento estamos estudando essa questatildeo que eacute do metabolismo
basal que ele tem a ver tambeacutem com o que vocecirc taacute comendo Taacute vendo que aiacute jaacute taacute
misturando essas duas coisas neacute Que tem a ver com o oxigecircnio que tem a ver com
133
Os estudantes Joseacute Pedro e Taty natildeo puderam participar justificando excesso de trabalhos e estudos
acadecircmicos Tambeacutem justificando o mesmo motivo natildeo participaram dos demais encontros (quinto sexto
seacutetimo oitavo nono e deacutecimo) Uma anaacutelise mais pontual sobre esse acontecimento seraacute realizada mais adiante
nesta tese no Capiacutetulo 6 mais especificamente na modalidade analiacutetica descrita em 62
148
o gaacutes carbocircnico que vocecirc libera que eacute aquela questatildeo da maacutescara que o aluno
falou neacute na aula passada entatildeo essa coisas elas se misturam neacute
Questionei tambeacutem a metodologia do estudo realizado por Weir (1949)
apontando que os alimentos da eacutepoca eram outros as gorduras consumidas antes eram em
sua maioria oriundas de fontes animais hoje em dia as gorduras vecircm de fontes vegetais E
qual seria o impacto dessa mudanccedila na vida das pessoas Coincidentemente aliado a isso o
nuacutemero de casos de cacircncer tem crescido de forma assustadora
E continuei falando ldquopois eacute eu tocirc pensando [] numa questatildeo aqui relacionada
laacute a nebulosos [Teoria Fuzzy] porque [] se cada um desses paracircmetros aiacute gordura tipos de
alimentos e tudo mais cecirc tem uma certa variabilidade natildeo temrdquo Angel e Clarice
responderam que sim e Angel esclareceu
Entatildeo vocecirc poderia tratar com aquela parte laacute daqueles agrupamentos neacute onde
aqui vocecirc tem o centro e a variabilidade [aponta com uma matildeo representando o
centro e a outra se movimenta em volta] [] e vocecirc jaacute gerar os agrupamentos e
encontrar um modelo nebuloso para o metabolismo humano [] A gente jaacute tem que
pensar alto a gente tem que pensar em publicaccedilatildeo [risos]
Clarice concordou ldquoIsso aiacuterdquo seguiu nos contando que pensou em um problema
para ser colocado na lista de problemas a serem trabalhados no grupo Vale ressaltar que
Clarice ateacute entatildeo natildeo havia em nenhum momento se posicionado com algum
questionamento que pudesse vir a ser trabalhado no grupo Nas palavras dela
Eu queria fazer uma pesquisa eacute pegar os preccedilos eacute o custo de vida hoje e o salaacuterio
miacutenimo atual eacute o preccedilo de alimentaccedilatildeo eacute passagem de ocircnibus o valor do
combustiacutevel [] e ver como que vai taacute isso daqui a 2 anos [] tenho certeza que vai
dar uma diferenccedila boa com relaccedilatildeo ao salaacuterio miacutenimo neacute [] Isso explica neacute na
minha leiga opiniatildeo a violecircncia gente Natildeo tem como As pessoas natildeo tatildeo
conseguindo viver mais com um salaacuterio miacutenimo [] eu tenho muito interesse nisso
Interesse de indignaccedilatildeo mesmo
Angel e eu gostamos dessa proposta de Clarice e a colocamos na lista de
questotildees-problema do grupo Encerramos o encontro deliberando os estudos em casa ler em
profundidade de entendimento o artigo de Weir (1949)
No dia 29112012 comecei uma conversa com uma docente do Departamento de
Nutriccedilatildeo da Universidade Federal de Outro Preto (UFOP) Convidei-a para participar das
discussotildees do grupo sobre o tema ldquofoacutermula da sauacutederdquo mesmo que apenas virtualmente por
meio das redes sociais ou por outro meio de comunicaccedilatildeo a distacircncia Ela aceitou o convite e
passou assim a ser uma parceira em nossos esforccedilos coletivos
149
No dia 01ordm122012 a docente da UFOP nos indicou um livro134
que pode ser
acessado na internet No mesmo dia compartilhei com os demais parceiros o link no grupo
Modelagem Unifei Itabira na rede social Facebook
41515 Quinto encontro
O quinto encontro do GEPMM ocorreu em 06122012 (quinta-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel e Robson e com a minha participaccedilatildeo
desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e pesquisadora
No iniacutecio da reuniatildeo Angel justificou a ausecircncia de Clarice com o fato de ela ter
que se empenhar em um trabalho a ser entregue ainda naquela semana ao professor da
disciplina que eles (Angel e Clarice) cursavam como alunos natildeo regulares do programa de
Poacutes-Graduaccedilatildeo em Engenharia Eleacutetrica na UFMG
Comentei com os parceiros que o livro digital que a docente da UFOP nos indicou
poderia nos ajudar na resoluccedilatildeo do problema do peso corporal ideal No mesmo site encontrei
vaacuterios artigos e livros interessantes Com o auxiacutelio de um pen-drive compartilhei o arquivo
digital que continha o livro com os parceiros Angel e Robson pois eles ainda natildeo o tinham
A seguir descrevo uma interaccedilatildeo entre noacutes ao discutirmos o livro que a docente
do Departamento de Nutriccedilatildeo da UFOP nos indicou
Eu Cecirc lembra um dia que a gente colocou o peso da pessoa ele influencia na
atividade [fiacutesica] Olha pra vocecirc ver que interessante tem um graacutefico na paacutegina
891 que ele [o autor] coloca ndash atividade fiacutesica coloca as quilocalorias gastas por
hora e coloca o gasto da pessoa Ele coloca o impacto do peso no gasto de energia
neacute Nas velocidades 234 ou 5 Agora qual atividade eacute essa Entatildeo a gente podia
partir desses dados que estatildeo aqui por exemplo talvez fixando em um capiacutetulo ou
outro
Angel aqui eacute caminhando
Eu eacute caminhando Taacute vendo que interessante eu acho assim interessantiacutessimo
isso Agora cecirc vecirc que tudo aqui eacute linear neacute Seraacute que daria pra gente pegar esses
mesmos dados e tentar trata-los de outra maneira Taacute vendo oh cecirc caminhar na
velocidade 2 se vocecirc tiver 60 kg cecirc vai queimar 150 calorias mas se vocecirc tiver 130
kg cecirc vai queimar 300 e tantas calorias [] ele [o autor] colocou homens e
mulheres
Robson de repente natildeo tem tanta diferenccedila homens e mulheres
Eu tem pior eacute que tem
Robson [em tom surpreso] tem Tem
134
Livro intitulado Dietary reference intakes for energy carbohydrate fiber fat fatty acids cholesterol
protein and amino acids (macronutrients) Disponiacutevel em ltwwwnapeducatalogphprecord_id=10490gt
150
Eu por exemplo o consumo de proteiacutenas em homens e mulheres ele eacute assim
assustador menos A mulher precisa consumir bem menos proteiacutenas do que o
homem
Robson seacuterio Incriacutevel heim Bem interessante
Eu laacute na paacutegina 893 ele divide soacute pro homem Esse ldquomrdquo aiacute eacute minuto () aiacute depois
ele coloca o das mulheres Olha como eacute diferente Robson
Robson humhum Aiacute eu fico pensando como eacute que ele tirou esses valores Neacute
Tem duas possibilidades ou ele tira da pessoa ali fazendo o tal exerciacutecio eacute
coletando assim as perdas de calor aquela coisa de taacute numa cacircmara fechada e tal
mas eu acho que de repente pegou um enfoque teoacuterico que eacute a queimadas calorias
por meio das reaccedilotildees que gerariam o ciclo de KREBS que eacute a queima de toda
energia eu noacutes temos nas ceacutelulas [] No nosso corpo tem dois processos baacutesicos o
catabolismo e o anabolismo Os processos metaboacutelicos levam a duas coisas no
catabolismo o alimento que vocecirc come ele tende a construir outras coisas por
exemplo massa muscular eacute construir tecidos e depois tem o anabolismo que vocecirc
tem processos que tendem a gerar energia e gerar subprodutos
Eu Angel Robson esse mph seria o ritmo a velocidade [apontando para o livro
em arquivo aberto na tela do meu computador portaacutetil] Olha que chique Robson
ele coloca para vaacuterias atividades voleibol andando 2 mph taacute vendo ele tem a
velocidade esse mph ndash aeroacutebica tecircnis ciclismo moderado
Em busca de mais informaccedilotildees sobre a problemaacutetica nos dirigimos agrave paacutegina 900
do mesmo livro na qual encontramos algumas tabelas explicativas Observando as tabelas
comecei a socializar com os parceiros uma seacuterie de ideias sobre a questatildeo perseguida por noacutes
como segue
O que eu pensei de iniacutecio era a gente criar uma equaccedilatildeo que vocecirc daacute de entrada a
atividade que vocecirc estaacute fazendo tipo assim como se vocecirc pudesse fazer uma
medida de tudo o que vocecirc faz ao longo de uma semana [] pra conseguir fazer um
cronograma do que fazer em termos de atividade fiacutesica e do que comer em termos
de alimentaccedilatildeo pra te dar um resultado que vocecirc jaacute queira Soacute que isso a gente taacute
vendo depende de vocecirc ser homem depende de vocecirc ser mulher depende de seu
peso taacute vendo tem vaacuterios [] porque assim quando a gente vai num
nutricionista eles te datildeo uma foacutermula como se todo mundo fosse igual entendeu
E aiacute pelo o que eu tocirc vendo aqui principalmente com esse livro [] eacute que cada
pessoa depende do peso da idade depende do seu gecircnero e depende da sua altura
neacute essas variaacuteveis satildeo as miacutenimas pra vocecirc ter uma foacutermula []
Apoacutes o compartilhamento dessas ideias Angel se mostrou bem animado e
acrescentou ldquomas a gente pode fazer um software pra fazer isso uai [] primeira coisa que a
gente tem que fazer eacute levantar todas as equaccedilotildees que me datildeo essa resposta e depois a partir
dessas equaccedilotildees chegar em talvezrdquo
Em seguida seguimos discutindo e interagindo como segue
Eu Na verdade vai dar um sistema Vai dar um sistema de interdependecircncia aqui
[aponto para trecircs lugares distintos na mesa como se representassem trecircs lsquocaixinhasrsquo]
[] as variaacuteveis peso altura gecircnero e idade na verdade elas natildeo vatildeo ser variaacuteveis
elas vatildeo ser uma constante ou seja ela eacute variaacutevel do ponto de vista de cada um
[cada pessoa] mas para a foacutermula ela vai ser uma constante [] aiacute a gente coloca
essa variaacuteveis soacute com coeficientes da equaccedilatildeo
151
Robson nossa vocecirc eacute show de bola heim
Angel tem alguma equaccedilatildeo aiacute [no livro] jaacute pronta
Eu natildeo nenhuma pronta
Robson mas essa abordagem vai facilitar a montagem da equaccedilatildeo
Eu inclusive perguntei agrave docente da UFOP e ela falou que eacute isso aqui que a gente
tem entendeu Eacute isso e natildeo tem nada aleacutem disso entendeu
Angel hoje isso daqui [o livro] entatildeo eacute o supra sumo do que tem sobre isso
Eu exatamente eacute o resumo de tudo o que se tem entendeu Que eacute o que eles
[nutricionistas] se apoiam mesmo eacute nesse livro Vamos tentar achar a questatildeo da
taxa de [] porque todos os trecircs satildeo energias neacute Tipo assim melhorando esse
modelo baacutesico seria o tanto de atividade fiacutesica ou seja o gasto caloacuterico porque
na verdade essas trecircs coisas satildeo energias tanto do alimento que eacute energia que
entra quanto do exerciacutecio que eacute uma energia que sai desse sistema e o basal
tambeacutem eacute uma energia que vai taacute sendo gasta Vamos tentar equacionar como se
fosse assim o gasto energeacutetico a taxa de energia natildeo importando se ela eacute uma
taxa positiva ou uma taxa negativa O quecirc que vocecircs acham
Robson razoaacutevel
Eu porque se a gente coloca assim as trecircs equaccedilotildees como taxas de energia neacute eacute
claro que elas vatildeo se alterar neacute uma vai ser sei laacute P a outra Q a outra R
Angel Taacute mais aiacute se vocecirc pensar na questatildeo de classe jaacute tem que pensar no que
vocecirc taacute querendo vincular edo pra depois encontrar o resto eacute essa que eacute a sua
ideia Aiacute cecirc teria que pensar qual seria a antiderivada dessa taxa relacionada a
essa parte de dieta porque laacute na parte de fiacutesica de Caacutelculo a gente sabe o quecirc que
estaacute relacionado com o quecirc agora nessa parte daqui eu jaacute natildeo sei [risos]
Eu entatildeo a gente vai ter que buscar nos dados que a gente jaacute tem mapeados nesse
livro por exemplo Talvez a gente pudesse comeccedilar com a terceira que eacute a parte da
atividade fiacutesica entendeu [] eu natildeo sei se vai dar pra ser uma edo bonitinha ou
se na verdade isso daiacute eacute um trem nebuloso entendeu Porque cada um vai se
subdividindo entre outros e outras
Com essas informaccedilotildees em matildeos decidimos por aceitar e acatar o que nos foi
informado pela docente do Departamento de Nutriccedilatildeo da UFOP Segui criticando a
ldquopadronizaccedilatildeordquo das consultas de nutricionistas e educadores fiacutesicos ldquovocecirc vai consulta faz
tudo o que o profissional te falou e natildeo vecirc resultados Qual o problemardquo
Encerramos o quinto encontro deliberando que deveriacuteamos ler com mais
profundidade o livro indicado pela docente da nutriccedilatildeo
Depois disso na manhatilde do dia 17122012 veacutespera do sexto encontro do
GEPMM na sala dos professores da instituiccedilatildeo em que leciono ao folhear uma revista
chamada Caacutelculo (ano 2 nuacutemero 20 setembro de 2012 editora segmento) li a seguinte frase
na parte inferior da capa ldquoEXTRA EMAGRECER DEMORA TREcircS ANOSrdquo Na mateacuteria
da revista obtive a seguinte informaccedilatildeo
Carson e Kevin dois cientistas americanos descobriram que o corpo reage aos
novos haacutebitos alimentares de modo exponencial (mais ou menos do tipo 119890minus119909)
Quanto maior o peso de Ivan [uma personagem da mateacuteria] mais depressa ele perde
peso ao comeccedilar uma nova dieta a perda de peso desacelera bastante ndash quanto mais
peso Ivan perde mais devagar ele perde peso (o mesmo vale para ganhar peso uma
pessoa gorda se ingerir 10 calorias desnecessaacuterias engordaraacute mais que uma pessoa
magra) O modelo matemaacutetico dos dois cientistas usa um grande nuacutemero de
variaacuteveis para ver como o corpo deve comportar incluindo altura sexo peso grau
152
de atividade fiacutesica ingestatildeo de calorias perfil dos alimentos ingeridos tempo entre
as refeiccedilotildees O problema eacute que tal modelo serve bem para cientistas e
nutricionistas mas natildeo serve para pessoas comuns [] Os dois pesquisadores
colocaram um simulador no portal do NIH que pode ser usado tanto por
nutricionistas quanto por pacientes (httpbwsimulatorniddknihgov) [] Ele
mostra graacuteficos tambeacutem (p 29 grifo meu)
Ao chegar em casa imediatamente acessei o site
httpbwsimulatorniddknihgov para tentar entender o que os pesquisadores fizeram desde
o iniacutecio percebi que o que eles fizeram convergia bem com as nossas ideias
Imediatamente apoacutes acessar o site compartilhei essas informaccedilotildees com os demais
parceiros do grupo incluindo a docente135
do Departamento de Nutriccedilatildeo da UFOP
41516 Sexto encontro
O sexto encontro do GEPMM ocorreu em 18122012 (terccedila-feira) e contou com a
participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice e com a minha participaccedilatildeo desempenhando duplo
papel ndash participante do grupo e pesquisadora
Comecei o encontro contando para os parceiros como tive acesso a essa nova
fonte de informaccedilotildees conforme jaacute relatado acima Pegamos meu computador portaacutetil e
acessamos o site httpbwsimulatorniddknihgov em busca de reconhecer as potencialidades
deste (incriacutevel) novo instrumento Nisso comeccedilamos a seguinte interaccedilatildeo
Eu Ela [a docente da UFOP] me explicou o seguinte a pessoa quando faz o
exerciacutecio fiacutesico [] o exerciacutecio fiacutesico altera o metabolismo basal que eacute aquele de
repouso ele vai acelerar o metabolismo basal e aiacute agraves vezes vamos supor que a
pessoa comeccedila a fazer uma dieta ela comia 2500 calorias por dia passa pra 2000
ou seja o organismo dela tava acostumado com 500 calorias a mais Na teoria
assim que natildeo eacute a teoria de verdade a gente ia achar que essa pessoa vai
emagrecer
Clarice Mas eu juro que vai emagrecer Natildeo me desmente [risos]
Eu Natildeo vai emagrecer necessariamente Por quecirc Porque seu organismo ele vai
lutar pra manter a gordura porque isso eacute uma questatildeo de sobrevivecircncia do
organismo Entatildeo o organismo vai fazer o quecirc Ele vai comeccedilar a economizar o
seu gasto [] enquanto mais muacutesculos a pessoa tem mais eacute o gasto [] e tem mais
vamos supor vocecirc passou de 2500 para 2000 natildeo emagreceu e desistiu da dieta aiacute
135
A referida docente natildeo faz parte dos sujeitos que constituem os dados construiacutedos para a presente pesquisa
apesar de ter participado na resoluccedilatildeo da modelagem do peso corporal ideal Decidi natildeo consideraacute-la como
sujeito por natildeo ser uma participante do contexto formativo analisado ndash formaccedilatildeo em Engenharias Na atividade
de Modelagem analisada nesta parte da tese a docente pode ser considerada como uma fonte externa de
informaccedilotildees
153
vocecirc volta a comer 2500 aiacute vocecirc vira uma baleia Porque ele [o organismo]
acostumou a viver com 2000
Angel Efeito ldquoreboterdquo
Eu Pra engordar eacute exponencial [] Como de fato o exerciacutecio impacta no
metabolismo com o passar do tempo Ela [a docente da UFOP] natildeo soube me dar
essa resposta []
Clarice Eacute mais ou menos assim olha vocecirc fez regime emagreceu passe o resto da
vida fazendo exerciacutecio e regime
Eu Exatamente isso
Com essa afirmaccedilatildeo compreendemos melhor a problemaacutetica estudada por noacutes
Em seguida pontuo que no httpbwsimulatorniddknihgov os pesquisadores
oferecem um campo de resultados para a questatildeo da ldquodieta de manutenccedilatildeordquo jaacute levando em
conta esse entendimento de que satildeo necessaacuterias adaptaccedilotildees permanentes na dieta para manter-
-se com o peso desejado o que muitas vezes pode ser conhecido como ldquoreeducaccedilatildeo
alimentarrdquo
Encerramos o encontro deliberando que precisaacutevamos estudar as equaccedilotildees que
estavam por traacutes ou ldquodentrordquo do software que compilava os resultados no site
httpbwsimulatorniddknihgov Tais equaccedilotildees podem ser encontradas no mesmo site ou
pelo link httpbwsimulatorniddknihgovHall_Lancet_Webappendixpdf
41517 Seacutetimo encontro
O seacutetimo encontro do GEPMM ocorreu em 07022013 (quinta-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice e com a minha participaccedilatildeo
desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e pesquisadora
A docente Clarice comeccedilou a reuniatildeo tecendo o seguinte comentaacuterio ldquoO que eu
acho interessante eacute que quando vocecirc propocircs o tema eu natildeo me animei tanto nem o Angel
quanto os alunosrdquo A docente reclamou da natildeo participaccedilatildeo dos alunos que inicialmente
mostraram-se interessados e depois foram deixando de participar totalmente do grupo
Nesse seacutetimo encontro tentamos discutir136
detalhadamente conceitos e modelos
presentes no artigo que diz respeito agrave Modelagem Matemaacutetica Dinacircmica do peso corporal137
Contudo natildeo conseguimos entendecirc-lo em sua totalidade e entatildeo combinamos de sozinhos
136
Tal discussatildeo seraacute mais bem relatada e analisada mais adiante neste mesmo capiacutetulo 137
O texto pode ser encontrado em httpbwsimulatorniddknihgovHall_Lancet_Webappendixpdf
154
em casa estudarmos o artigo e depois num proacuteximo encontro socializarmos nossos
entendimentos com os demais sujeitos do grupo
41518 Oitavo encontro
O oitavo encontro do GEPMM ocorreu em 16042013138
(terccedila-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice e com a minha participaccedilatildeo
desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e pesquisadora
Anteriormente ao oitavo encontro a docente Clarice havia manifestado desejo em
desenvolver atividades de Modelagem Matemaacutetica nas turmas da disciplina Caacutelculo II que ela
lecionava naquele semestre letivo Contudo percebi que ela se sentia ainda insegura quanto
ao desenvolvimento de tal atividade devido ao fato de as turmas serem compostas por 75
alunos ela temia que os alunos pudessem ter dificuldades de realizaccedilatildeo da atividade visto
que apenas um professor natildeo daria conta de auxiliar 75 alunos de uma soacute vez Sabendo desse
desejo de Clarice comecei a reuniatildeo com o objetivo de idealizarmos as accedilotildees necessaacuterias para
tal efetivaccedilatildeo na realidade da sala de aula das turmas de Caacutelculo II sob a responsabilidade de
Clarice e Angel Segue o trecho extraiacutedo da transcriccedilatildeo das gravaccedilotildees em aacuteudio e viacutedeo do
oitavo encontro
Eu Bom antes de a gente comeccedilar a discutir o artigo em si [que havia sido
estudado no encontro anterior e seria retomado neste] eu queria falar das coisas
extras extra artigo no momento Primeiro eacute a proposta da Clarice sobre a gente
fazer a modelagem no dia 30 na sala [de aula]
Clarice Natildeo No dia 30 fazer na sala natildeo no dia 30 preparar ela pra fazer
Eu Preparar eacute a partir do dia 30 pra depois do dia 30 laacute pelo final de maio
Angel Seria a Modelagem em Caacutelculo II
Clarice Eacute Na minha sala e na sua como um trabalho e a Rutyele vai nos ajudar
Nesse momento podemos perceber um ldquogeacutermemrdquo de atividade sendo elaborado
um novo objeto sendo traccedilado e esboccedilado ainda num plano da consciecircncia coletiva dos
sujeitos partiacutecipes Podemos analisar que os docentes estavam em busca de transformaccedilotildees
efetivas de suas atividades de ensino dentro da sala de aula As discussotildees do grupo as
leituras as interaccedilotildees mediadas por finalidades podem ter suscitado a necessidade de negar
138
O mecircs de marccedilo foi de feacuterias para os docentes e discentes da UNIFEI devido agrave greve histoacuterica da categoria
docente das universidades federais brasileiras ocorrida no ano de 2012 Dessa forma somente no dia 16 de abril
conseguimos nos reunir novamente
155
de alguma forma as praacuteticas presentes dentro da sala de aula e propor uma nova forma de
atividade um contexto alternativo que idealmente modificaria o objeto das aulas tradicionais
das disciplinas de Caacutelculo naquele periacuteodo (especificamente da disciplina Caacutelculo II) A
negaccedilatildeo se deve ao fato de que ldquose o homem aceitasse sempre o mundo como ele eacute e se por
outro lado aceitasse sempre a si mesmo em seu estado atual natildeo sentiria a necessidade de
transformar o mundo nem de transformar-serdquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 192)
Um novo e expandido objeto estava por ser configurado Tiacutenhamos um contexto
real a ser considerado a realidade da disciplina de Caacutelculo II a ementa da disciplina a cultura
jaacute definida pela praacutetica tradicional de ensino de Caacutelculo II o tempo delimitado para a
realizaccedilatildeo das atividades entre outros fatores Enfim o objeto do scholl-going estaria
convivendo com esse novo objeto que naquele momento estava sendo moldado
coletivamente Mas com qual finalidade estaacutevamos moldando este novo objeto Por um lado
devemos considerar o fato de que ldquoa relaccedilatildeo entre pensamento e accedilatildeo requer a mediaccedilatildeo das
finalidades que o homem se propotildeerdquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 192) Por outro lado
para que as finalidades natildeo fiquem limitadas a meros desejos ou fantasias se torna necessaacuteria
antes de qualquer coisa a realizaccedilatildeo de idealizaccedilotildees de forma a conhecer a priori o objeto
que orientaria as ldquoaccedilotildeesrdquo da atividade antes mesmo de ele se tornar real ou seja isso requer
ldquoum conhecimento de seu objeto dos meios e instrumentos para transformaacute-lo e das
condiccedilotildees que abrem ou fecham as possibilidades dessa realizaccedilatildeordquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ
1977 p 192) Nesse sentido continuamos com as idealizaccedilotildees do novo objeto
Angel Sim Taacute mais aiacute essa modelagem eacute com base no conteuacutedo de Caacutelculo II e
Seacuteries
Clarice Natildeo O tempo todo
Angel Modelagem geneacuterica qualquer coisa
Eu Eacute Qualquer coisa
Clarice Eacute porque agraves vezes a gente acha mais interessante algum que envolva
campos ou equaccedilotildees diferenciais
Angel Taacute mais aiacute essa proposta vai ser pra eles fazerem durante o resto do
semestre
Clarice Natildeo a gente vai fazer em uma das aulas
Eu Em duas aulas no maacuteximo Fazer algo simples Levar um probleminha bem
simples do mundo real e que eles faccedilam Aiacute se vocecircs quiserem depois que isso ah
natildeo a gente quer gastar uma semana ou um mecircs aiacute a gente pode pensar em algo
com esta duraccedilatildeo entendeu
Clarice Natildeo daacute pra gastar um mecircs natildeo Toma muita aula Eu acho [risos]
Eu Eacute Tem esse problema
Observemos que naquele momento um dilema potencialmente incorporado veio
agrave tona como propor atividades de Modelagem Matemaacutetica em salas de aula da disciplina de
Caacutelculo II em cursos de Engenharia e ao mesmo tempo cumprir a ementa da disciplina
156
Adicione ainda o fato de ser a primeira vez que os professores participariam de atividades de
modelagem em sala de aula Nesse dilema os professores continuam realizando idealizaccedilotildees
em busca de um novo objeto que estaria relacionado ao objetivo de ensinar os conteuacutedos de
Caacutelculo II de forma que tais conteuacutedos sejam tomados como instrumentos de uma atividade
em vez de objeto
Dessa forma havia um desejo de transformar e modificar o ldquoolharrdquo sobre os
conteuacutedos de caacutelculo tornando-os caacutelculo em accedilatildeo como instrumentos mediadores de accedilotildees
realizadas pelos sujeitos (discentes de cursos de Engenharia) orientados pelo objeto (questatildeo-
problema natildeo matemaacutetica) em vez de sempre estarem sendo tomados como objeto de uma
atividade (school-going) historicamente e tradicionalmente constituiacuteda Na tentativa de
minimizar a tensatildeo entre cumprir a ementa e propor atividades de Modelagem em sala de
aula continuamos dialogando e tentando idealizar um objeto considerando os meios os
instrumentos e as condiccedilotildees para sua realizaccedilatildeo
Eu Ela [a Clarice] pode separar os alunos por curso Fazer os grupos por curso
Tipo assim oh vocecirc eacute aluno da Mecacircnica Vocecirc soacute pode ficar em grupo de gente da
Mecacircnica entendeu Ela pode fazer isso Porque aiacute natildeo precisa ser o mesmo tema
pra todo mundo Inclusive eles mesmos podem trazer os modelos de soluccedilatildeo e
socializar ldquopro restordquo da turma Entatildeo mesmo que o cara laacute da Mobilidade natildeo
tenha nada a ver digamos num primeiro momento com a Mecacircnica mas agraves vezes o
problema que os meninos da Mecacircnica vatildeo resolver vai tambeacutem ter neacute produzir
um significado bacana pros outros
Angel [Balanccedila a cabeccedila assertivamente]
Clarice [Balanccedila a cabeccedila assertivamente]
Angel Eacute aquela parte laacute de vaacuterias variaacuteveis que envolvem volumes e tudo mais daacute
pra pensar umas situaccedilotildees reais assim bem bacanas ligadas agrave produccedilatildeo ou alguma
coisa do gecircnero Ou problemas ateacute aiacute jaacute puxando a sardinha neacute pro meu lado de
Otimizaccedilatildeo neacute que utiliza multiplicadores de Lagrange e tudo mais que eacute uma
parte tambeacutem que eles vatildeo ter que ver
Clarice Eacute
Eu Eu acho que problemas de otimizaccedilatildeo daria pra fazer em todas as aacutereas
Clarice [Balanccedila a cabeccedila assertivamente] Humhum
Eu Igual da Produccedilatildeo da [] de todas as aacutereas ali daacute E usaria a mesma
matemaacutetica neacute assim a mesma ferramenta pra ser resolvido [o problema]
Angel Sim daacute
Eu Vamos pensar Dia 30 a gente senta e discute o quecirc que seria mais viaacutevel de
fazer
Angel Humhum Beleza
Clarice [Balanccedila a cabeccedila assertivamente]
No referido momento estaacutevamos colocando em relevo as condiccedilotildees para a
realizaccedilatildeo da atividade baseados no cumprimento de alguns conteuacutedos da ementa da
157
disciplina dentre eles os Multiplicadores de Lagrange139
que por sua vez abarcam outros
conteuacutedos a serem estudados pelos alunos na referida disciplina dentre os quais podemos
enfatizar o conceito de derivada parcial Sendo assim poderiacuteamos escolher questotildees-
-problema que abarcassem tais conteuacutedos constituindo condiccedilotildees iniciais de um processo que
elencaria outros conteuacutedos abarcados na ementa da disciplina de forma a consideraacute-los
instrumentos necessaacuterios para a resoluccedilatildeoentendimento de tal questatildeo-problema Nesse
sentido os conteuacutedos de Caacutelculo II poderiam ser desenvolvidos sob a orientaccedilatildeo de uma
finalidade um objeto definido como sendoestando mais proacuteximo do objeto a ser considerado
no que tange ao objetivo de formaccedilatildeo em Engenharia
Nisso o que pode ser colocado em relevo eacute a proacutepria finalidade da constituiccedilatildeo do
GEPMM na UNIFEI-Itabira Estando baseado no contexto da aprendizagem expansiva que
se aproxima das finalidades preconizadas pela abordagem do PBL conforme exposto no
Capiacutetulo 3 deste texto o contexto que define e ao mesmo tempo eacute definido pelo grupo como
um espaccedilo formativo enfatiza a necessidade de se elaborar novas formas de praacuteticas
formativas que aconteccedilam uma atividade objetiva real isto eacute uma nova forma de praacutexis
formativa Vale ressaltar que o objetivo da presente pesquisa sempre esteve vinculado a tal
finalidade com o intuito de estudaranalisar o que acontece em termos de aprendizagens
expansivas nesse contexto formativo
Depois de termos dedicado esforccedilos na idealizaccedilatildeo de um novo objeto a ser
levado para as praacutexis formativas que ocorrem no decorrer da disciplina Caacutelculo II
comeccedilamos a interaccedilatildeo uns com os outros por meio de linguagem falada e gestos e com o
texto140
(artigo) estudado na reuniatildeo anterior mediado pela linguagem escrita que inclui a
linguagem escrita matemaacutetica impressa no texto no que tange aos modelos matemaacuteticos
suportados por tal miacutedia O seguinte trecho extraiacutedo das transcriccedilotildees da filmagem em aacuteudio e
viacutedeo do oitavo encontro nos mostra outras accedilotildees que se fizeram necessaacuterias para darmos
continuidade agrave atividade presente cujo objeto consistia no que denominados por peso corporal
ideal A saber
Eu [Com o texto do webappendix em matildeos] Entatildeo olha soacute eu dei uma procurada
eacute pra tentar entender essas equaccedilotildees entatildeo eu cheguei na seguinte conclusatildeo esse
glicogecircnio ele eacute um hormocircnio que ele eacute ativado pela insulina do sangue Entatildeo ele
tem relaccedilatildeo direta com a insulina Aiacute eu fui olhar na () dei uma procurada na
internet e achei umas coisas por exemplo eacute a insulina tem um hormocircnio ligado a
139
Teoria desenvolvida pelo matemaacutetico Lagrange cuja utilidade se encontra na resoluccedilatildeo de problemas de
otimizaccedilatildeo que sob certas condiccedilotildees admitem maacuteximos e miacutenimos locais de funccedilotildees de n variaacuteveis
condicionados a uma restriccedilatildeo Para mais detalhes confira Gonccedilalves e Flemming (2007) 140
O texto pode ser encontrado em httpbwsimulatorniddknihgovHall_Lancet_Webappendixpdf
158
ela que satildeo responsaacuteveis por armazenar gordura no organismo e tem esse
glucagon ou glucacon e um outro hormocircnio que chama hsl que ele eacute responsaacutevel
por fazer o papel contraacuterio que eacute queimar a gordura E aiacute eacute () entatildeo esse
glicogen [continuo apontando a lapiseira para o texto impresso] que tem aqui esse
glicogecircnio ele eacute algo que eacute ativado pela insulina do sangue Quando vocecirc ingere
carboidrato que eacute a massa neacute essas coisas que eacute accediluacutecares a insulina ela tem que
ser ativada pra poder combater isso digerir isso no seu organismo E aiacute
dependendo do tanto de carboidrato que vocecirc come sempre esse G ele eacute ativado
pelo carboidrato ingerido entendeu Entatildeo na verdade essa parte aqui oh esse
[indico com a lapiseira no texto] na verdade ela eacute sempre uma coisa () esse
1198701198921198662 na verdade ele fica sempre maior do que o carboidrato que vocecirc ingere
porque esse G ele eacute ativado pelo CI no organismo Entendeu
Clarice [Olha pra mim com ar de interrogaccedilatildeo Em seguida balanccedila a cabeccedila
assertivamente] Humhum
Angel Humhum
Eu Entatildeo essa parcela 1198701198661198662 taacute vendo que o 119870119866 eacute o 119862119868119887 sobre 119866119894119899119894119905
2 Eacute como se
vocecirc tivesse pegando aqui um zero neacute [no sentido de condiccedilatildeo inicial] Esse 119870119866
Angel Humhum [balanccedila a cabeccedila assertivamente]
Eu Esse 119870119866 eacute pra exatamente manter essa parcela aqui sempre uma parcela o
1198701198661198662maior do que o 119862119868
Angel Taacute mais aiacute vai dar negativo uai Se 1198701198661198662 eacute maior que 119862119868 entatildeo essa
diferenccedila vai dar um sinal negativo
Eu Eacute [balanccedilo a cabeccedila assertivamente] pra dar um resultado negativo Porque aiacute
quando vocecirc joga isso daqui oh [aponto pras equaccedilotildees da paacutegina 2] menos o que era
negativo fica mais [no sentido de ser positivo] Entendeu
Angel Hum Hum Humhum
Eu Entatildeo menos o que seria um decrescimento digamos assim aiacute vai ficar mais
aqui oh Vocecirc lembra que eacute o que a gente tava discutindo na uacuteltima reuniatildeo que era
essa questatildeo aqui de tentar entender [direciono a pergunta para Angel]
Angel Eacute porque os dois termos satildeo iguais o que diferencia eacute o 1 minus 119901 e 119901 Eu Isso Humhum
Angel Aiacute um tava relacionado ao corpo gordo neacute e o outro ao corpo ldquoleanrdquo que eacute
o corpo fino neacute vamos dizer assim neacute magro
Eu Humhum Massa magra e massa gorda
Angel Isso exatamente Que a gente natildeo tinha entendido porque que daria um
resultado () ambos dariam pelo jeito positivo
Observemos que neste momento uma accedilatildeo adicional pocircde ser percebida a busca
de informaccedilotildees na internet As possibilidades de buscas de informaccedilotildees foram potencialmente
ampliadas nos uacuteltimos anos com o crescente acesso e uso de instrumentos de busca na
internet Podemos considerar inclusive que a maioria de nossas atuais atividades cotidianas
pode ser mediada pela internet O uso da internet configurou-se como um importante
instrumento podendo ser considerado como facilitador no que tange ao acesso agraves informaccedilotildees
relacionadas ao objeto de nossa atividade Anaacutelises mais pontuais sobre tais possibilidades
interativas seratildeo mais bem evidenciadas mais adiante ainda neste capiacutetulo
Seguimos ateacute o fim do oitavo encontro interagindo com o artigo em questatildeo
dedicando esforccedilos para o pleno entendimento dos modelos ali impressos Contudo
terminamos a reuniatildeo ainda com uma interrogaccedilatildeo relacionada agrave deacutecima equaccedilatildeo impressa no
referido artigo ldquode onde ele [o autor] tirou esse modelordquo pergunto eu Clarice pontua que o
159
autor citou a referecircncia [20] para chegar ao modelo (10)141
Seguimos debatendo sobre nossa
duacutevida e chegamos agrave conclusatildeo de que o autor isolou a variaacutevel peso (119861119882) na equaccedilatildeo (9) e
derivou em relaccedilatildeo ao tempo chegando assim na equaccedilatildeo (10)142
Combinamos de tentar
fazer isso com calma em casa e vermos se essa seria a resposta para o questionamento exposto
anteriormente Encerramos a reuniatildeo com a seguinte reflexatildeo
Clarice Eacute mais ainda fica aquela coisa neacute achamos que eacute isso [gesticula com os
dedos no sentido de entre aspas]
Eu Eacute mais quem que confirma que eacute neacute A gente tinha que ter algueacutem assim mais
da nutriccedilatildeo pra poder ()
Clarice Pra poder confirmar essas coisas neacute
Eu Porque assim o que os nuacutemeros dizem Os nuacutemeros dizem isso Mas eacute isso
mesmo Como obter algueacutem pra falar natildeo eacute isso mesmo
Clarice Isso Fica um pouco de interrogaccedilatildeo neacute
Eu Humhum Entatildeo aiacute agora Clarice eu acho que o proacuteximo passo eacute a gente eacute
entender esse restinho neacute e eu acho que agora taacute bem mais simples
Clarice Eacute eu acho que aqui a gente termina dia 30
Como estaacutevamos enganadas quanto agrave simplicidade do que estaria por vir A
certeza que tiacutenhamos naquele momento eacute de que ainda havia uma interrogaccedilatildeo quanto ao
entendimento daquela equaccedilatildeo de onde o autor tirou a equaccedilatildeo (10)
41519 Nono encontro
O nono encontro do GEPMM ocorreu em 30042013 (terccedila-feira) e contou com a
participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice e com a minha participaccedilatildeo desempenhando duplo
papel ndash participante do grupo e pesquisadora
Comeccedilamos a reuniatildeo discutindo sobre a necessidade de encontrarmos alunos
para nos ajudar na finalizaccedilatildeo da atividade de entendimentosoluccedilatildeo da problemaacutetica questatildeo
do peso corporal ideal Como poderiacuteamos recompensar o engajamento dos alunos no grupo
distribuiccedilatildeo de pontos na disciplina Caacutelculo II Oferecimento de bolsas de pesquisa As duas
alternativas pareceram problemaacuteticas num primeiro momento Primeiro quanto agrave
possibilidade de distribuiccedilatildeo de pontos podemos considerar o seguinte trecho extraiacutedo da
transcriccedilatildeo das filmagens da oitava reuniatildeo
141
httpbwsimulatorniddknihgovHall_Lancet_Webappendixpdf 142
A equaccedilatildeo (10) [120578119865+120588119865+120572120578119871+120572120588119871
(1minus120573)(1+120572)]119889119861119882
119889119905= Δ119864119868 minus
1
(1minus120573)[120574119865+120572120574119871
(1+120572)+ 120575] (119861119882 minus 1198611198820)
160
Eu [] Aiacute na hora que vocecirc oferece 10 pontos eles vecircm participar
Clarice Porque eu tenho alunos que natildeo tiram 10 em 100 [risos] Entatildeo 10 pontos
pra ele eacute um brinde [] E os alunos aqui tem uma preocupaccedilatildeo enorme com
coeficiente
Eu Mas vocecirc acha que ele [o aluno] viria e que ele faria o serviccedilo ou natildeo
Clarice Viria mas como eacute que eu tocirc te falando porque faria o serviccedilo [balanccedila a
cabeccedila negativamente] Natildeo natildeo faria Talvez nos primeiros dias ele tentaria mas eu
natildeo sei ateacute onde ele conseguiria A preocupaccedilatildeo eacute apenas ponto ponto e ponto
Naquele momento a opccedilatildeo de distribuiccedilatildeo de pontos pareceu natildeo resolver o
problema da falta de interesse por parte dos alunos no que diz respeito agrave participaccedilatildeo no
grupo Parece ser consensual entre noacutes docentes que geralmente os alunos dedicam esforccedilos
sempre na direccedilatildeo da obtenccedilatildeo de pontos para serem aprovados nas disciplinas
especialmente nas disciplinas de Caacutelculo que satildeo responsaacuteveis por grande parte das
reprovaccedilotildees em cursos de Engenharia podendo ateacute mesmo ser consideradas como fator de
desistecircncia e evasatildeo desses cursos Caso os docentes decidissem pela distribuiccedilatildeo de pontos
nas respectivas disciplinas de Caacutelculo que lecionavam para que os alunos participassem do
GEPMM a Teoria da Atividade nos ajuda a perceber que os alunos poderiam estar orientados
para a pontuaccedilatildeo a ser obtida e natildeo para o objeto idealizado do GEPMM - resoluccedilatildeo das
questotildees-problema natildeo matemaacuteticas e a proacutepria formaccedilatildeo
Em segundo lugar o oferecimento de bolsas aos alunos que aceitassem o convite
de participaccedilatildeo no grupo estaria condicionado ao registro do GEPMM no diretoacuterio de grupos
de estudos e pesquisas do CNPq sendo que somente docentes que possuem o tiacutetulo de
doutorado podem registrar grupos de pesquisa em tal diretoacuterio O uacutenico docente que estaria
portanto em condiccedilotildees de registrar o GEPMM seria o Robson que possui o tiacutetulo de doutor
Contudo Robson havia ateacute entatildeo participado apenas do terceiro e do quinto encontro do
GEPMM sempre se mostrava ocupado demais ou em viagens de trabalho Mesmo assim
estando restritos a tal condiccedilatildeo insistimos com Robson para que ele registrasse o grupo no
diretoacuterio do CNPq
Dando prosseguimento ao relato do nono encontro Angel nos contou que havia
mudado a dinacircmica da disciplina de Caacutelculo II e que em certos momentos trabalharia com
problemas reais que tivessem relaccedilatildeo aos conteuacutedos da referida disciplina Isso pode
demonstrar que realmente Angel estaacute motivado a realizar mudanccedilas quanto agraves praacutexis
formativas que ele tem participado como docente da disciplina de Caacutelculo II em cursos de
Engenharia Angel pontuou tambeacutem mudanccedilas no que se refere ao trabalho em equipe dentro
de sala de aula e acabou gerando a seguinte discussatildeo
161
Angel [] eu mudei essa questatildeo de disciplina e agora tudo tem que ser feito em
equipe Entatildeo eles [os alunos] jaacute chegam jaacute forma laacute os grupinhos laacute que vai ficar
ateacute o final do semestre e tudo mais e assim eu vejo que existe essa interaccedilatildeo igual
eu passo nos grupos laacute tem um que fala mais e que sabe mais explicando pros
outros colegas discutindo o assunto entendeu Entatildeo assim nossa eu fico
satisfeitiacutessimo Entendeu vendo esse tipo de conduta
Clarice Natildeo ponho muita feacute natildeo Muito pouca feacute [risos] Noacute [balanccedila a cabeccedila
indicando negatividade]
Eu Mais eacute Clarice tem que mudar eacute isso O problema eacute que o ensino tradicional
ele taacute falido haacute muitos anos e a gente natildeo consegue perceber
Clarice Pois eacute mais eu tocirc dizendo assim eacute infelizmente igual no meu grupo [na
sala de aula de Caacutelculo II em que leciona] posso passar isso laacute alguns vatildeo me
enganar entendeu Eu tocirc chateada por isso mesmo porque tatildeo tentando me
enganar
Eu Natildeo mais eles [alguns alunos] vatildeo tentar burlar o sistema Sempre vai ter
Angel Claro
Clarice Isso Eles montam o grupo laacute agraves vezes sim o seu grupo tem sete [alunos] e
tem trecircs interessados os outros humhum humhum e sabe Natildeo sei Entatildeo assim
natildeo eacute ainda ()
Angel Taacute mais aiacute como que vocecirc mapeia e pune esses que estatildeo igual eu falei laacute
()
Clarice Natildeo pune Vocecirc natildeo consegue punir num trabalho()
Angel Na avaliaccedilatildeo uai
Observe que nessa discussatildeo dois fatores principais quanto ao trabalho em grupo
sendo realizado dentro da praacutexis formativa em salas de aula de Caacutelculo II podem ser
colocados em relevo Por um lado ao realizar atividades em grupo os alunos tecircm ampliadas
as possibilidades de interaccedilotildees o que sem duacutevida pode ampliar as possibilidades de
aprendizagens por outro lado os alunos que natildeo se engajarem na atividade de fato acabam
podendo mais facilmente tentar ldquoburlarrdquo o controle exercido pelo professor principalmente no
que tange agrave puniccedilatildeo que pode inclusive continuar a ser exercido pela avaliaccedilatildeo escrita
individual e na maioria das vezes sem consulta conforme preconizado por Angel que seguiu
nos contando
Angel Igual por exemplo igual porque eu adoto muito esse meacutetodo porque eacute da
onde que eu dei aula que eacute laacute no Pitaacutegoras que tem muito essa questatildeo de equipe e
tudo mais e depois avaliar o individual Entatildeo o quecirc que eacute Como que eu moldei
essa questatildeo aqui mais ou menos adaptado ao que tinha laacute vocecirc tem o quecirc as
atividades em equipe e tem as avaliaccedilotildees individuais Entatildeo laacute no Pitaacutegoras vocecirc
sempre trabalhava com 70 30 setenta a parte de prova e trinta das notas de
trabalho em equipe Porque todo mundo tem que aprender a lidar em equipe a
trabalhar em equipe neacute aquelas coisas todas Entatildeo no Caacutelculo II eu tocirc sempre
fazendo esse meio termo primeira etapa claacutessica e a segunda etapa essa parte de
atividade em equipe e avaliaccedilatildeo individual Entatildeo o quecirc que acontece Cada
unidade do livro vamos dizer assim eu seleciono laacute oito dez exerciacutecios pra seres
desenvolvidos em sala entatildeo eu tocirc vendo olhando os grupos como que taacute o niacutevel de
discussatildeo o quecirc que taacute acontecendo entendeu Todas as aulas jaacute foram
disponibilizadas os slides entatildeo eles jaacute tem todas as ferramentas na matildeo
Clarice Vocecirc pocircs no portal [referindo-se ao portal acadecircmico ndash uma plataforma
digital]
162
Angel No portal e tambeacutem num site laacute onde taacute os slides que a proacutepria editora [do
livro texto] fornece Eacute claro que tem que fazer umas correccedilotildees-zinhas neacute Mas a
editora jaacute facilita tremendamente Entatildeo o que acontece Cada aula entatildeo eles
natildeo sabem quais os exerciacutecios que eu vou pedir porque eu passo na aula entatildeo
eles jaacute tecircm que ir para aquele momento de atividade em equipe sabendo um pouco
do assunto Porque como que eles vatildeo discutir com os outros colegas laacute sem saber
nada
Uma anaacutelise que pode ser feita com base nesse excerto eacute de que o docente Angel
desejava que os alunos tivessem uma participaccedilatildeo mais ativa em seus proacuteprios processos
formativos Acreditava que o conhecimento preacutevio eacute importante para a construccedilatildeo do
conhecimento aleacutem de valorizar a ampliaccedilatildeo das possibilidades de interaccedilatildeo quando o
trabalho eacute realizado em grupos ndash uma coletividade de sujeitos Contudo parece que o objeto
dessa nova atividade ldquomoldadardquo por ele e compartilhada conosco por meio da linguagem
falada e dos gestos que estaria presente na praacutexis formativa das aulas de Caacutelculo II sob sua
responsabilidade pouco se diferencia qualitativamente do objeto do school-going de
Engestroumlm (2008) Nesse caso o objeto da atividade continua sendo os conteuacutedos de Caacutelculo
II conforme apresentaccedilatildeo do livro-texto soacute que agora suportados pela miacutedia slides lidos na
tela de um computador com o auxiacutelio de um software Ainda natildeo podemos deixar de enfatizar
que ao considerar uma atividade na qual os sujeitos tenham ativa participaccedilatildeo no processo
Angel atribui como objeto possivelmente compartilhado nas atividades de alunos e
professores os proacuteprios alunos ora sujeitos ora objeto possivelmente compartilhado O que
ele pretendia inclusive com as alteraccedilotildees na referida praacutexis formativa era potencializar o
compartilhamento de tal objeto ndash alunos mediante a valorizaccedilatildeo e o empreendimento da
participaccedilatildeo ativa em tal atividade
Depois de expor as transformaccedilotildees que Angel teria efetuado em sua atividade
docente Clarice comeccedilou por justificar a impossibilidade de propor trabalhos em grupo com
os alunos naquele semestre letivo pelo simples fato de que ela estava lecionando num
auditoacuterio cujas cadeiras eram ldquofixas e terriacuteveisrdquo Declarou ainda que esperava que a situaccedilatildeo
da infraestrutura da instituiccedilatildeo melhorasse para que nos semestres seguintes ela pudesse
lecionar em salas de aula normais com cadeiras moacuteveis possibilitando assim alteraccedilotildees
quanto agrave questatildeo da valorizaccedilatildeo do trabalho em grupo versus o trabalho individual em
disciplinas de Caacutelculo II Pontuou tambeacutem a questatildeo da natildeo obrigaccedilatildeo do cumprimento de
preacute-requisitos na instituiccedilatildeo ou seja natildeo era necessaacuteria a aprovaccedilatildeo em Caacutelculo I para efetuar
a matriacutecula em Caacutelculo II por exemplo Clarice nos contou
163
Clarice Eu acho Rutyele que a partir do periacuteodo que vem vai ser melhor trabalhar
com Caacutelculo I Caacutelculo II inclusive nesse sentido Qual que eacute o problema nesse
periacuteodo eacute que pelo menos 60 dos meus alunos dos 150 natildeo passou em Caacutelculo I
natildeo Natildeo passou em Caacutelculo I entatildeo taacute sem saber o baacutesico do baacutesico mesmo
Angel A Clarice taacute num horizonte bom eu tocirc com 90 eu tocirc com as turmas do
professor X [um professor famoso na instituiccedilatildeo por ter altos iacutendices de reprovaccedilatildeo]
[risos]
Clarice Entatildeo assim esses alunos [] eles praticamente natildeo tem condiccedilotildees de
trabalhar sozinhos sem exposiccedilatildeo oral natildeo Na minha visatildeo natildeo Porque igual eu
poderia citar nomes assim igual fulano fulano e fulano que praticamente cecirc tem
que pegar na matildeo ele taacute sem preacute-requisito nenhum e quando vocecirc potildee ele pra ler
igual jaacute aconteceu igual o menino vem tirar duacutevida aqui comigo aiacute eu falo ah o
que eacute que taacute escrito Isso e isso mas soacute que taacute faltando uma coisa de antes Entatildeo
quando eu tocirc expondo eu tenho que ficar voltando lembra laacute em Caacutelculo I era
assim Aiacute aqui em Caacutelculo II eacute assim Agora tem preacute-requisito a partir do periacuteodo
que vem Aiacute eu por exemplo vou explicar derivada lembra laacute em Caacutelculo I
Derivada era assim era isso lembra Ah aqui eacute assim Olha como mudou
Clarice demonstrou com isso natildeo acreditar que alunos que tenham sido
reprovados em Caacutelculo I consigam dar conta de participarem efetivamente das atividades
propostas por Angel em sua nova proposta pedagoacutegica Imediatamente Angel posicionou-se
ldquoigual como que explica dois alunos laacute que tiraram praticamente quase 100 na minha prova
laacute de Caacutelculo II e foram reprovados em Caacutelculo I Se vocecirc ver a prova do menino que linda
a prova escrito tudo certinho os caminhos uma coisa assim ma-ra-vi-lho-sardquo Com essa
fala Angel buscou contrapor o receio que Clarice havia demonstrado anteriormente
explicitando que alunos que haviam sido reprovados em Caacutelculo I com outro professor (que
adota a forma tradicional de desenvolver as disciplinas de Caacutelculo acostumando-se inclusive
com iacutendices proacuteximos de 90 de reprovaccedilatildeo) poderiam dar conta sim de trabalhar de forma
mais ativa sem exposiccedilatildeo oral dos conteuacutedos pelo professor
Seguimos a reuniatildeo discutindo sobre a idealizaccedilatildeo da atividade que iriacuteamos
aplicar em sala de aula de Caacutelculo II cujos docentes eram Clarice e Angel conforme exposto
anteriormente Nisso Clarice comeccedilou a folhear o livro-texto143
da disciplina e disse ldquoeu
tinha pegado aqui do livro era um de maacuteximo e miacutenimo mesmo Soacute que eu ia falar com vocecirc
[referindo-se a noacutes ndash eu e Angel] uma coisa assim por exemplordquo e continuou folheando o
livro querendo encontrar algo especiacutefico Em seguida entregou-me o livro aberto em uma
paacutegina especiacutefica apontando para mim com o dedo indicador qual seria sua sugestatildeo Ela
sugeria o ldquoprojeto de uma caccedilambardquo (STEWART 2006 p 961) que consistiria em
determinar as dimensotildees de uma caccedilamba de entulho com tampa com o objetivo de minimizar
143
Livro de autoria de James Stewart intitulado por Caacutelculo volume 2 5 ediccedilatildeo Confira referecircncia completa em
STEWART (2006)
164
seu custo de produccedilatildeo Decidimos acatar a sugestatildeo de Clarice e combinamos o
desenvolvimento da atividade para o mecircs de julho de 2013
415110 Deacutecimo encontro
O deacutecimo encontro do GEPMM ocorreu em 14052013 (terccedila-feira) e contou
com a participaccedilatildeo dos docentes Angel e Clarice e com a minha participaccedilatildeo
desempenhando duplo papel ndash participante do grupo e pesquisadora
Comeccedilamos a reuniatildeo com Clarice nos contando que na aula de Caacutelculo II que
ela havia desenvolvido depois do encontro anterior do GEPMM (nono encontro) ficou claro
para ela que os alunos realmente natildeo estavam prestando atenccedilatildeo poucos se concentravam
segundo ela Com isso ela decidiu ldquomudar o meacutetodo de ensinordquo mesmo parecendo ainda natildeo
acreditar que ele funcionasse mas tambeacutem acreditava que pior do que a aula expositiva natildeo
poderia ser Pareceu-me que ela havia se apropriado das ideias compartilhadas por Angel no
decorrer do uacuteltimo encontro e resolveu consideraacute-las como uma possibilidade para o
desenvolvimento de suas aulas
Em seguida voltamos a planejar a atividade de modelagem que seria realizada no
decorrer das aulas de Caacutelculo II nas turmas sob a responsabilidade de Clarice e Angel
Descobrimos por meio de um aluno da professora Clarice que existia um manual em PDF144
disponibilizado na internet e amplamente difundido e utilizado pelos alunos da instituiccedilatildeo
que consistia em um conjunto de soluccedilotildees de todos os exerciacutecios propostos no livro-texto
incluindo uma resoluccedilatildeo para o ldquoprojeto de uma caccedilambardquo (STEWART 2006 p 961) Com
isso desistimos de levar tal projeto como havia sugerido a docente Clarice Propusemos-nos a
pensar em outra questatildeo-problema para que em um proacuteximo encontro pudeacutessemos debater e
decidir coletivamente qual seria nossa escolha
Ateacute aquele momento continuaacutevamos a insistir com Robson no que diz respeito ao
registro do grupo de pesquisa no diretoacuterio do CNPq Somente apoacutes tal registro eacute que
poderiacuteamos concorrer agraves chamadas puacuteblicas mediante a submissatildeo de projetos que
viabilizassem o oferecimento de bolsas para os alunos que estivessem dispostos a participar
144
Para mais informaccedilotildees acesse a paacutegina httpptwikipediaorgwikiPortable_document_format
165
ativamente do GEPMM aleacutem do suprimento de outras demandas que seriam impostas no
decorrer das atividades do grupo
Depois disso voltamos agrave problemaacutetica questatildeo do peso corporal ideal no sentido
de idealizarmos o presente objeto da atividade para estabelecer possibilidades de
transformaccedilatildeo Traccedilaacutevamos naquele momento uma primaacuteria idealizaccedilatildeo do objeto a ser
criado por noacutes no futuro sob a orientaccedilatildeo do objetivo de criar um modelo teoacuterico que seria
base para o desenvolvimento de um software utilizando instrumentos de Caacutelculo e da Teoria
Fuzzy para a referida questatildeo-problema partindo dos modelos matemaacuteticos impressos no
artigo145
estudado por noacutes e das informaccedilotildees contidas no livro sugerido pela docente da
UFOP Segue o traccedilado das idealizaccedilotildees baseado em trechos extraiacutedos das transcriccedilotildees das
filmagens em aacuteudio e viacutedeo do deacutecimo encontro do GEPMM
Eu [] eu acho que laacute [no livro indicado pela docente da UFOP] seria a fonte que
a gente pegaria pros dados E aiacute o quecirc que eu pensei em fazer Fazer eacute dividido em
trecircs coisas o metabolismo basal a taxa basal ela eacute influenciada pelo que vocecirc
come e pelas atividades que vocecirc taacute fazendo neacute que satildeo aquelas trecircs caixas - que eacute
o metabolismo basal que eacute a energia ingerida e a energia desprendida pra vocecirc
fazer as atividades fiacutesicas que vocecirc faz neacute Entatildeo o quecirc que vocecirc teria O basal ele
eacute afetado pelos outros entatildeo eacute um sistema onde a gente teria trecircs tipo equaccedilotildees
fuzzy uma primeira que taacute sendo afetada pelos outros e a gente taria vendo como
que isso afeta neacute E faria uma caixa que seria uma equaccedilatildeo pra o gasto caloacuterico
ou seja cecirc vai andar 10 minutos a peacute cecirc vai pegar um ocircnibus entatildeo isso aiacute seriam
dados que a proacutepria pessoa falaria [cederia como valores de entrada para o
programa-software a ser desenvolvido] Entatildeo teria que ter o campo aberto
entendeu
Angel Humhum
Eu Tipo assim aquele () uma sequecircncia de vaacuterias atividades [gesticulo com as
matildeos imitando uma lista] pra pessoa clicar em cima da que ela faz Entendeu Por
exemplo ah eu ando de bicicleta Taacute mais quanto tempo em minutos por semana
Aiacute a pessoa colocaria ah eu ando 180 minutos de bicicleta entendeu
Clarice Humhum [balanccedila a cabeccedila assertivamente]
Eu Entatildeo teria que ter uma caixinha pra pessoa colocar a atividade fiacutesica e uma
caixinha pra colocar o tempo daquela atividade fiacutesica No que a pessoa iria digitar
isso eacute o programa vai buscar no banco de dados dele que eacute baseado no livro e jaacute
vai somar fazer a soma de tudo e jaacute vai dar o resultado final Mais ou menos o que
aquele programinha do pessoal aiacute faz [aponto o dedo indicador para o texto que
estava (impresso em papel) sobre a mesa]
Com isso reafirmamos a necessidade de encontrarmos pessoas para participarem
de tal atividade mais parceiros Aleacutem disso ainda natildeo tiacutenhamos entendido plenamente
mediante as interaccedilotildees com o texto escrito (Hall-Lancet) e entre noacutes sujeitos integrantes do
GEPMM todas as equaccedilotildees que representavam o fenocircmeno da mudanccedila do peso corporal
com relaccedilatildeo agraves alteraccedilotildees na dieta e nos exerciacutecios fiacutesicos Percebemos que um texto escrito
sob a forma de um artigo cientiacutefico poderia natildeo dar conta de representar impressotildees 145
httpbwsimulatorniddknihgovHall_Lancet_Webappendixpdf
166
suficientemente necessaacuterias para o entendimento de uma pesquisa em movimento A equaccedilatildeo
(10)146
ainda natildeo estava clara para noacutes Natildeo sabiacuteamos como o autor havia chegado naquele
modelo matemaacutetico Sabiacuteamos que era uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria Poreacutem como ela
estaria representando o fenocircmeno Quais hipoacuteteses que estavam sendo consideradas Tais
questotildees seratildeo mais bem analisadas mais adiante no presente texto
4152 Dando continuidade agraves accedilotildees potencialmente expansivas
Dando por encerrado o relato do que aconteceu durante os dez primeiros
encontros do GEPMM retornarei ao miniciclo de accedilotildees de aprendizagem potencialmente
expansivas analisando a sexta e a seacutetima accedilatildeo sob o ponto de vista colocado em relevo
anteriormente que considera um ciclo menos longo (miniciclo) como sendo potencialmente
expansivo
416 Refletindo sobre o processo
Segundo Engestroumlm e Sannino (2010b) apoacutes iniciada a fase de implementaccedilatildeo do
modelo que nesta pesquisa aconteceu por meio da constituiccedilatildeo do GEPMM eacute necessaacuterio
refletir sobre todo o processo com o intuito de avaliaacute-lo e caso seja necessaacuterio modificaacute-lo
Sendo assim torna-se necessaacuteria a reflexatildeo sobre a implementaccedilatildeo do novo modelo de
atividade sob a forma de uma praacutexis inovadora em um contexto especiacutefico visando a
modificar eou adaptar o modelo agraves exigecircncias demandas e limitaccedilotildees que se revelavam nas
formas de praacutexis frequentemente utilizadas em tal contexto de formaccedilatildeo jaacute que
a produccedilatildeo do objeto ideal eacute inseparaacutevel da produccedilatildeo do objeto real material e
ambas nada mais satildeo do que o anverso e o reverso de uma mesma moeda ou os dois
lados de um mesmo processo A forma que o sujeito quer imprimir agrave mateacuteria existe
como forma geratriz na consciecircncia mas a forma que se plasma definitivamente na
mateacuteria natildeo eacute a mesma ndash nem a duplicaccedilatildeo ndash da que preacute-existia originariamente Eacute
certo que o resultado definitivo estava preacute-figurado idealmente mas o definitivo eacute
exatamente o resultado real e natildeo o ideal (projeto ou finalidade original) O modelo
anterior soacute pode se realizar no transcurso de um processo ao fim do qual natildeo se
146
[120578119865+120588119865+120572120578119871+120572120588119871
(1minus120573)(1+120572)]119889119861119882
119889119905= Δ119864119868 minus
1
(1minus120573)[120574119865+120572120574119871
(1+120572)+ 120575] (119861119882 minus 1198611198820)
167
alcanccedila tudo que se havia projetado (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUES 1977 p 249 grifos
meus)
Nesse sentido percebemos que alguns ajustes e modificaccedilotildees eram necessaacuterios
para que pudeacutessemos dar continuidade a nossa atividade O primeiro deles foi com relaccedilatildeo a
pouca ou quase nenhuma participaccedilatildeo dos estudantes147
Poucos aceitaram o convite ndash apenas
trecircs Desses um desistiu e os outros pouco comparecem agraves reuniotildees Por esse motivo
pensamos em oferecer ldquoalgo em trocardquo para que conseguiacutessemos mais aceites por parte dos
alunos Nas turmas da disciplina Caacutelculo II nas quais os docentes Clarice e Angel lecionam
pensamos em oferecer 10 pontos para os alunos que aceitassem o convite mas desistimos da
ideia devido a questotildees eacuteticas e metodoloacutegicas Estaacutevamos na expectativa de conseguirmos
no miacutenimo mais quatro alunos para participarem do grupo O segundo ajuste diz respeito a
uma possiacutevel modificaccedilatildeo na dinacircmica do modelo (a atividade de Modelagem) os docentes
Angel e Clarice demonstraram o desejo de levar atividades de Modelagem Matemaacutetica para
comporem as disciplinas de Caacutelculo II que lecionam com outros tipos de metodologias tais
como aulas expositivas por exemplo Para darmos conta de analisar essa possiacutevel adaptaccedilatildeo
do modelo talvez seja necessaacuterio a retomada do ponto de vista analiacuteticoreflexivo agrave fase
quatro do miniciclo de accedilotildees expansivas e examinarmos novamente o mesmo modelo ndash
atividade de Modelagem Matemaacutetica agora podendo assumir outro formato contextual e
dinacircmico em um cenaacuterio no qual aconteceram e continuaratildeo acontecendo outros tipos de
praacutexis formativas ndash a sala de aula da disciplina Caacutelculo II O terceiro ajuste se relaciona agrave
necessidade de encontrarmos um parceiro que tenha formaccedilatildeo na aacuterea de Computaccedilatildeo mais
especificamente que se interesse por programaccedilatildeo e por Teoria Fuzzy Percebemos no
decorrer do processo de implementaccedilatildeo que precisamos de um parceiro com tal formaccedilatildeo
pois atualmente para um pleno entendimento da ciecircncia ldquoem construccedilatildeordquo que perpassa as
atividades de Modelagem Matemaacutetica em cursos de Engenharia torna-se necessaacuterio
compreender em sua plenitude o que haacute por traacutes dos algoritmos dos softwares dos
programas executaacuteveis entre outros para a partir daiacute iniciarmos um processo de inovaccedilatildeo
Vale a pena ressaltar que a necessidade de encontrarmos um parceiro da aacuterea da
Computaccedilatildeo ocorreu mediante a idealizaccedilatildeo de um novo modelo para dar conta da
problemaacutetica do peso corporal ideal Ao mesmo tempo em que esta necessidade possa parecer
um fator que torne o desenvolvimento de atividades de Modelagem Matemaacutetica em cursos de
147
Mais adiante neste texto especificamente no Capiacutetulo 5 ndash ao descrever a modalidade analiacutetica 2 em 52 ndash
com base nas entrevistas finais concedidas a mim pelos referidos estudantes farei uma anaacutelise sobre a
participaccedilatildeo e o respectivo abandono do GEPMM
168
Engenharia mais difiacutecil podendo ateacute mesmo ajudar a reforccedilar a crenccedila de que fazer
modelagem eacute difiacutecil que os alunos e professores natildeo estatildeo preparados para o
desenvolvimento de tais atividades por outro lado pode ser um importante contexto que
possibilite inovaccedilatildeo e produccedilatildeo de conhecimentos mediante uma atividade de caraacuteter
verdadeiramente interdisciplinar que envolva estudos e pesquisa em sua gecircnese
417 Consolidando seus resultados em uma nova forma de praacutetica
Ateacute o final do ano de 2013148
o GEPMM dedicava esforccedilos na tentativa de
estabelecer essa fase do miniciclo de accedilotildees expansivas como um horizonte de accedilotildees futuras
Portanto o miniciclo ainda natildeo havia se fechado Engestroumlm (1999) enfatiza que ldquoa
ocorrecircncia de um ciclo expansivo completo natildeo eacute comum e ele tipicamente requer esforccedilos
concentrados e intervenccedilotildees deliberadasrdquo (p 385 apud ENGESTROumlM SANNINO 2010b p
12)
Com essa ressalva podemos analisar a construccedilatildeo do GEPMM como um
miniciclo potencialmente expansivo de accedilotildees cujo objetivo (ainda que idealmente) consistiu
na modificaccedilatildeo ou complementaccedilatildeo das praacutexis formativas relacionadas agraves disciplinas de
Caacutelculo na instituiccedilatildeo universitaacuteria tomada como palco da presente investigaccedilatildeo
Como um fechamento provisoacuterio dessa primeira parte da anaacutelise procedo com o
preenchimento da matriz para a anaacutelise da aprendizagem expansiva conforme preconizado
por Engestroumlm (2001) e exposta no Capiacutetulo 3 da presente tese levando em conta os dados
construiacutedos para esta pesquisa como segue
148
Durante o ano de 2014 o GEPMM natildeo se reuniu Os docentes dedicavam esforccedilos agraves respectivas pesquisas de
Doutorado
169
QUADRO 2 ndash ldquoMatrizrdquo para anaacutelise da aprendizagem expansiva
Fonte Elaborada pela autora
A seguir darei continuidade agrave anaacutelise baseando-me principalmente em alguns
momentos da construccedilatildeo dos dados desta pesquisa Trechos extraiacutedos das transcriccedilotildees das
entrevistas iniciais dos estudantes Joseacute e Pedro da entrevista final do aluno Joseacute e das
gravaccedilotildees do nono encontro do GEPMM aleacutem de trechos extraiacutedos das transcriccedilotildees das
gravaccedilotildees do segundo encontro do GEPMM quando dedicaacutevamos esforccedilos para a submissatildeo
do projeto agrave chamada do CNPq e trechos extraiacutedos das entrevistas finais com os alunos e
professores partiacutecipes do GEPMM e finalmente momentos que perpassaram a problemaacutetica
abordada pelo GEPMM com relaccedilatildeo ao tema denominado por mim como peso corporal ideal
Os momentos escolhidos para serem analisados mais pontualmente constituem importante
arcabouccedilo argumentativo para responder agrave pergunta de pesquisa
Vale a pena ressaltar que com base nos referidos momentos decidi elaborar
anaacutelises temaacuteticas e as denominei por modalidades ou seja modalidades analiacuteticas Para tal
quatro modalidades seratildeo explicitadas no texto que segue
170
5 MODALIDADES ANALIacuteTICAS
Neste capiacutetulo tenho por objetivo apresentar um arcabouccedilo argumentativo na
tentativa de responder ao questionamento impresso na pergunta diretriz149
que norteou a
investigaccedilatildeo relatada na presente tese Para tal construo quatro modalidades analiacuteticas
Na primeira modalidade baseio-me em trechos extraiacutedos das transcriccedilotildees das
entrevistas iniciais concedidas a mim pelos estudantes Joseacute e Pedro da entrevista final do
aluno Joseacute e das gravaccedilotildees do nono encontro do GEPMM Teccedilo uma anaacutelise a respeito da
existecircncia de uma ldquotelardquo invisiacutevel podendo ser considerada um instrumento que
supostamente permeou as aulas tradicionais de Caacutelculo em que os alunos Pedro e Joseacute
haviam participado no contexto da presente pesquisa
Na segunda modalidade baseio-me em trechos extraiacutedos das transcriccedilotildees das
gravaccedilotildees do segundo encontro do GEPMM quando dedicaacutevamos esforccedilos para a submissatildeo
do projeto agrave chamada do CNPq aleacutem de trechos extraiacutedos das entrevistas finais com os alunos
e professores partiacutecipes do GEPMM Teccedilo uma anaacutelise focada nas muacuteltiplas atividades
demandadas aos sujeitos da investigaccedilatildeo pelo contexto institucional em questatildeo e nas agencys
evidenciadas no decorrer da constituiccedilatildeo do GEPMM assim como das atividades nele
desenvolvidas
Na terceira modalidade baseio-me no momento da construccedilatildeo dos dados que
objetivou o desenvolvimento da modelagem cujo tema foi denominado por ldquopeso corporal
idealrdquo Utilizo a teoria das caixas-pretas como estrateacutegia de anaacutelise das transformaccedilotildees
qualitativas do objeto da referida atividade
Finalmente a quarta modalidade se ancora nas interaccedilotildees tecnomediadas
evidenciadas nopelo desenvolvimento da atividade de modelagem denominada por ldquopeso
corporal idealrdquo Foco as idealizaccedilotildees possibilitadas pela multivocalidade e agency atuando
como desencadeadoras de aprendizagens potencialmente expansivas principalmente no que
diz respeito aos processos produtivos e inovadores na referida atividade
149
Pergunta diretriz Quais aprendizagens expansivas podem ser evidenciadas pelas e nas atividades
desenvolvidas por um Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica em um contexto de formaccedilatildeo
em Engenharias
171
51 Primeira modalidade ndash Dialeacutetica da existecircncia da tela invisiacutevel GEPMM como
possibilidade para aprendizagem expansiva por meio da construccedilatildeo de parceria
docente-discente em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharias
Na sociedade em rede a virtualidade eacute a fundaccedilatildeo da realidade atraveacutes de novas
formas de comunicaccedilatildeo socializaacutevel (CASTELLS 2006 p 24)
Inicio esta parte da anaacutelise tomando por base uma fala do aluno Pedro na
entrevista inicial ele contou que durante as aulas de Caacutelculo que havia tido na graduaccedilatildeo agraves
vezes achava que estava assistindo a uma videoaula ao inveacutes de uma aula presencial Nas
palavras dele
Falta um pouco mais de [] entendimento Agraves vezes alguns professores natildeo levam
em conta algumas dificuldades que alguns alunos tecircm [] agraves vezes falta um pouco
de sensibilidade com a dificuldade do aluno agraves vezes uma didaacutetica um pouco mais
proacutexima do aluno Agraves vezes parece que vocecirc estaacute vendo uma videoaula ao inveacutes de
ter uma aula presencial [] Por parte do grupo de professores falta uma aula uma
didaacutetica um pouco mais proacutexima do aluno dos problemas do aluno e ajudar ele a
solucionar esses problemas
Na entrevista inicial concedida a mim Pedro demonstrou se sentir incomodado
devido ao distanciamento percebido por ele entre alunos e professor nas aulas de Caacutelculo
Naquele momento da construccedilatildeo dos dados para a referida pesquisa ainda natildeo tinha
percebido tal descontentamento este se tornou consciente para mim apoacutes a entrevista com
aluno Pedro que se mostrou muito inquieto quanto a essa questatildeo alunos de um lado da
ldquotelardquo e docentes do outro Uma possiacutevel anaacutelise sobre essa inquietaccedilatildeo se encontra na
dimensatildeo dos sujeitos e as possibilidades de interaccedilatildeo estabelecidas pelas regras que regem a
atividade em questatildeo a aula tradicional de Caacutelculo Percebi que a participaccedilatildeo desse aluno no
GEPMM estava ligada agraves possibilidades de ldquoestar pertordquo dos professores no sentido de que
no grupo era ldquopermitidordquo interagir com os professores150
Julgo importante pontuar nesse momento que durante a entrevista inicial com o
aluno Joseacute algumas falas convergem com as mesmas inquietaccedilotildees demonstradas por Pedro
Joseacute parece se sentir constrangido em iniciar interaccedilotildees verbais com os professores durante as
aulas de Caacutelculo com o objetivo de sanar duacutevidas ele parece acreditar que o momento uacutenico
150
Cabe ressaltar que ainda que a participaccedilatildeo dos alunos tenha ocorrido apenas nos primeiros encontros ou
seja os alunos acabaram abandonando o GEPMM natildeo acredito que esta parte da anaacutelise fique fragilizada devido
a isto pois nesta parte busco analisar os motivos que levaram os dois alunos em questatildeo a aceitarem o convite de
participaccedilatildeo no grupo e natildeo especificamente o desenvolvimento das atividades do grupo A parceria estabelecida
entre alunos e professores eacute que estaacute sendo analisada como uma forma de desenvolvimento da aprendizagem
expansiva
172
que isso seja ldquopermitidordquo seja o final das aulas Vale ressaltar que o aluno Joseacute eacute considerado
por Clarice como um aluno muito bom ndash que se preocupa com a aprendizagem com seu
proacuteprio processo formativo podendo ser considerado ateacute mesmo como um ldquotipo rarordquo de
aluno ldquoeacute raro eu ter aluno como Joseacuterdquo pontua151
Clarice Nas palavras de Joseacute
O aluno tem sempre aquela coisa noacute Ele eacute meu professor Haacute um distanciamento
Vocecirc pensa eu soacute sou um aluno e ele eacute meu professor Ele natildeo vai querer ficar me
dando atenccedilatildeo no final da aula porque eu tenho duacutevidas Muitos professores agraves
vezes natildeo datildeo atenccedilatildeo pro aluno Veem o aluno assim mas natildeo quer incocircmodo
sabe Os alunos chegam nos professores mas taacute faltando os professores chegarem
nos alunos porque eles tem que ver que isso aqui eacute um grupo de pessoas
Observe que o que eacute ldquopermitidordquo muitas vezes natildeo eacute visiacutevel nem expliacutecito nas
accedilotildees pois pode estar ldquoescondidordquo no curriacuteculo oculto como um instrumento oculto
configurado pelas regras e divisatildeo do trabalho ou seja na parte de baixo do triacircngulo de
Engestroumlm conforme explicitei no Capiacutetulo 1 desta tese
Contudo essa ldquotelardquo pode natildeo existir na percepccedilatildeo dos docentes configurando
apenas um instrumento necessaacuterio para constituir uma regra implicitamente ldquoocultardquo ao aluno
eacute permitido se dirigir aos professores das disciplinas de Caacutelculo quando ele jaacute estudou
anteriormente jaacute adquiriu certo niacutevel de aceitaccedilatildeo para participar de uma interaccedilatildeo com o
professor
Campos (2012) ao realizar sua pesquisa de doutorado investigou uma proposta
pedagoacutegica para a disciplina Caacutelculo Diferencial e Integral na UFMG e constatou que o
distanciamento caracteriza a relaccedilatildeo entre o professor e seus alunos E pontua
Como algueacutem que programa um computador o docente expotildee com rigor os
conteuacutedos que deveratildeo ser articulados na resoluccedilatildeo das questotildees das provas No
momento da correccedilatildeo ele afere a quatildeo proacuteximo da resposta correta o aluno chegou e
confere uma nota que certificaria o quanto o aluno apreendeu de suas aulas Sua
participaccedilatildeo se daria apenas nos dois momentos extremos do ato na apresentaccedilatildeo do
conteuacutedo e na correccedilatildeo das provas Caberia ao aluno preencher o que falta entre
esses dois eventos (CAMPOS 2012 p 34)
Sendo assim para dar conta das atividades de formaccedilatildeo em Caacutelculo configura-se
como um preacute-requisito indispensaacutevel a participaccedilatildeo ativa dos estudantes no que tange ao
desenvolvimento de autonomia e determinaccedilatildeo para buscar informaccedilotildees eou outros
instrumentos que os auxilie nessa jornada Desse modo sob essa perspectiva o docente
151
Trecho retirado das transcriccedilotildees das filmagens do nono encontro do GEPMM Falaacutevamos sobre o perfil dos
alunos que haviam aceitado o convite para participarem do grupo e os possiacuteveis motivos que pudessem explicar
a falta de assiduidade deles nas reuniotildees
173
imprime em sua consciecircncia uma forma idealizada de um dos objetos de sua atividade ndash os
estudantes O grande problema eacute que muitas vezes os estudantes por si soacute natildeo conseguem
atingir esse preacute-requisito Natildeo conseguem ser de fato na realidade objetiva um objeto real
para serem assim transformados pela praacutexis formativa proposta pelos docentes de Caacutelculo
Isso pode explicar os altos iacutendices de reprovaccedilatildeo e evasatildeo em instituiccedilotildees federais de ensino
superior o que resulta num real desperdiacutecio de recursos puacuteblicos
Isso pode implicar um enorme ldquovaacutecuordquo entre os sujeitos da atividade de
aprendizagem tradicional de Caacutelculo em cursos de Engenharia o que pode criar ldquofronteirasrdquo
interativas muitas vezes produzindo duas atividades distintas a atividade de ensino do
professor de um lado da ldquotelardquo e a atividade de aprendizagem dos alunos do outro lado da
ldquotelardquo Aleacutem disso muitas vezes eacute dada ldquopermissatildeordquo ao aluno que natildeo quer participar das
aulas pelos docentes que natildeo verificam a assiduidade dos alunos em suas aulas e natildeo
reprovam por mais de 25 de ausecircncia (que eacute preconizado nos curriacuteculos e nas normativas)
Mas precisamos levar em conta que os docentes das disciplinas de Caacutelculo na
UNIFEI-Itabira lecionam em turmas com em meacutedia 75 alunos Suponha que cada aluno
queira realizar uma uacutenica interaccedilatildeo com o docente durante uma aula que tem duraccedilatildeo de
1h40 Considere que o aluno gaste apenas 10 segundos para elaborar sua fala e que o docente
gaste apenas mais 20 segundos para se pronunciar em resposta a essa fala do aluno Com isso
seriam gastos 375 minutos da aula Esse excessivo nuacutemero de alunos em sala de aula pode
favorecer a manutenccedilatildeo da ldquotelardquo
Outra observaccedilatildeo eacute que essa ldquotelardquo em muito se diferencia da tela de um
computador utilizado como instrumento um artefato mediador em cursos a distacircncia A tela
do computador usada no atual ensino a distacircncia permite interaccedilotildees entre alunos professores
e tutores por meio de mediaccedilotildees por chat ou e-mails Jaacute a ldquotelardquo cuja suposta existecircncia seja
invisiacutevel aos olhos de alguns impede mesmo que de forma oculta que se estabeleccedilam
interaccedilotildees entre os sujeitos que dividem um mesmo espaccedilo fiacutesico delimitando suas accedilotildees em
dois contextos distintos ou seja em duas atividades disjuntas paralelas cuja miacutenima relaccedilatildeo
eacute estabelecida pelo objeto que se configura pela apresentaccedilatildeo contida nos livros-texto dos
conteuacutedos de Caacutelculo resultando em aprovaccedilatildeo ou reprovaccedilatildeo nas referidas disciplinas
O professor estaacute imerso em uma instituiccedilatildeo que o ldquoamarrardquo de uma forma ou
outra se ele natildeo cumprir a ementa eacute ldquopunidordquo tem que aprovar a maioria possiacutevel de alunos
senatildeo as turmas ficam mais cheias ainda ou ele tem que dar mais aulas nisso algo pode estar
sendo roubado dele que a meu ver seria extremamente importante para a plena realizaccedilatildeo de
seu trabalho ndash o tempo para o oacutecio e para a reflexatildeo
174
Mais do que isso os alunos ldquofabricadosrdquo pela cultura tradicional de ensino por
natildeo serem formados para questionar as praacuteticas vigentes acabam por se tornar meros
reprodutores dando assim a manutenccedilatildeo necessaacuteria para que essas praacuteticas sejam reforccediladas
Os docentes que hoje atuam nas disciplinas de Caacutelculo na UNIFEI tambeacutem foram afetados
pelas praacuteticas tradicionais de ensino provavelmente tambeacutem particionadas por uma ldquotelardquo
invisiacutevel aos olhos de seus professores agrave eacutepoca contudo natildeo lhes foi adicionada formaccedilatildeo
criacutetico-reflexiva suficiente para romper com os ciclos de reproduccedilatildeo de tais praacuteticas que
continuam vigentes Campos (2012 p 35) apontou que professores e alunos que se formam
em instituiccedilotildees que cobiccedilam as praacuteticas tradicionais de ensino-aprendizagem passam tambeacutem
a consideraacute-las como ldquoreferencial de excelecircncia no ensino o que torna a organizaccedilatildeo
acadecircmica mais apegada a suas praacuteticas e resistente a mudanccedilasrdquo
Vale ressaltar que o aluno Pedro durante a entrevista inicial pareceu estar
entusiasmado em participar do GEPMM pois para ele o grupo poderia se transformar em um
elo e aproximar os professores dos alunos diminuindo o distanciamento entre eles fazendo
com que os professores passem a reconhecer as dificuldades dos alunos e assim possam
melhorar sua didaacutetica
A anaacutelise que aqui proponho estaacute baseada na loacutegica dialeacutetica marxista que se
limita a uma forma de pensar a realidade considerando-a em constante mudanccedila mediante o
desenvolvimento do tripeacute tese antiacutetese e siacutentese O meacutetodo de anaacutelise dialeacutetico consiste na
siacutentese de termos contraacuterios ndash tese e antiacutetese (LEFEBVRE 1991) Assim como na dialeacutetica
marxista a burguesia corresponde agrave tese e o proletariado agrave antiacutetese fazendo emergir a
superaccedilatildeo da sociedade de classes pelo comunismo uma siacutentese decorrente das crises do
capitalismo pleiteadas pelos conflitos entre burguesia e proletariado (LEFEBVRE 1991)
esboccedilo essa parte da anaacutelise como a dialeacutetica da existecircncia da ldquotelardquo invisiacutevel
De um lado configura-se a hipoacutetese de que nas referidas aulas de Caacutelculo que o
aluno Pedro havia participado existia um instrumento ndash a ldquotelardquo invisiacutevel Nisso constituiria a
tese Na mesma realidade em questatildeo ndash as aulas tradicionais de Caacutelculo que o aluno Pedro
havia participado na instituiccedilatildeo ndash do outro lado estariam os professores que poderiam natildeo
perceberem que a suposta ldquotelardquo existe A antiacutetese eacute a inexistecircncia da ldquotelardquo invisiacutevel Dessa
forma estaria travado o esboccedilo da dialeacutetica da existecircncia da ldquotelardquo invisiacutevel A siacutentese como
sendo algo de natureza diferente mas ao mesmo tempo conservando elementos da tese e da
antiacutetese constitui-se por um processo dialoacutegico conduzido pela discussatildeo e embate de
contrapostos
175
Vale ressaltar que a siacutentese pode ser entendida como um grau mais elevado na
anaacutelise dialeacutetica em relaccedilatildeo agrave tese e agrave antiacutetese Aleacutem disso a siacutentese daacute origem a uma nova
tese que seraacute contraposta com uma nova antiacutetese e assim por diante iniciando novos ciclos
dialeacuteticos (LEFEBVRE 1991) Com isso a anaacutelise dialeacutetica da existecircncia da ldquotelardquo invisiacutevel
nos leva a possibilidades de elaboraccedilatildeo de uma siacutentese do que de melhor cada uma das faces
do contraposto nos apresenta Conforme exposto anteriormente eacute fatiacutedico que caso a tese (a
existecircncia da ldquotelardquo invisiacutevel) seja confirmada eacute preciso que ela seja destruiacuteda em prol de
melhorias e avanccedilos na natureza do processo aqui analisado
De toda forma eacute importante frisar que quando o aluno Pedro decidiu se engajar
no GEPMM de alguma forma ele desconfia que a ldquotelardquo natildeo existiria em tal contexto
alternativo mais amplo De fato a ldquotelardquo ainda que invisiacutevel natildeo permeou as ldquoatividadesrdquo de
Modelagem Matemaacutetica conforme implementado na UNIFEI por meio do GEPMM A
ausecircncia desse instrumento (oculto escondido invisiacutevel) provoca mudanccedilas quantitativas e
qualitativas nas interaccedilotildees entre os sujeitos da atividade que passam a buscar informaccedilotildees de
forma coletiva e passam a construir novos instrumentos para resolverem as peculiares
questotildees-problema que direcionam as accedilotildees em tais atividades Alunos e professores se
tornam sujeitos parceiros na referida atividade Estabelece-se mutuamente um fluxo contiacutenuo
de compartilhamento de informaccedilotildees o que acaba por transpor as fronteiras (ENGESTROumlM
SANNINO 2010b) ldquotela adentrordquo fazendo emergir uma nova rede uma ineacutedita parceria
docente-discente
Assim sendo os sujeitos engajados nessa atividade passam a pertencer a uma
mesma hierarquia horizontal de fluxo informacional natildeo podendo assim estar permanecer
distanciados apartados e segregados Tornam-se sujeitos de uma mesma atividade orientada
pelos seguintes objetos os estudantes em formaccedilatildeo e a questatildeo-
-problema natildeo matemaacutetica cujos artefatos mediadores incluem os conteuacutedos de Caacutelculo sob a
forma de modelos mais especificamente considerando os dados construiacutedos para esta
pesquisa as EDOs e outros instrumentos tecnoloacutegicos que incluem dentre outros o software
que foi criado com o objetivo de possibilitar simulaccedilotildees de mudanccedilas de peso corporal
mediante alteraccedilotildees na dieta e nos exerciacutecios fiacutesicos (Human Weight Simulator ndash HWS)
Aleacutem disso supondo a existecircncia da ldquotelardquo em aulas tradicionais de Caacutelculo ela
acaba por elevar o professor a um patamar de configuraccedilatildeo como uma voz uma vocalidade
que ecoa na atividade como um locutor do discurso do Caacutelculo acadecircmico como se ele
estivesse realmente de outro lado em outro ambiente como se o aluno fosse mesmo assistir
a uma videoaula Esse mesmo patamar pode ser ocupado pelo autor do livro-texto utilizado
176
nas aulas tradicionais de Caacutelculo em cursos de Engenharia a vocalidade do autor ecoa e
participa das atividades dentro da sala de aula e se diferencia da vocalidade que ecoa do
professor apenas pela miacutedia (meio) que as suportam ndash no caso do autor a miacutedia eacute impressa
nas paacuteginas do livro sob a forma de linguagem escrita e no caso do professor a voz ecoa
suportada pela linguagem falada e pela linguagem escrita quando utiliza o quadro branco
para principalmente reproduzir paacuteginas do livro-texto
Campos (2012 p 34 grifos do autor) destaca que a narrativa construiacuteda por ele
com o objetivo de relatar como ocorrem as aulas de Caacutelculo na UFMG poderia ser
considerada como se ele ldquoestivesse assistindo agrave cena atraveacutes de um vidro que o impedisse de
ouvir as muacuteltiplas vozes presentesrdquo o que nos leva a crer que tal regra oculta natildeo faz parte
apenas do curriacuteculo oculto presente nas salas de aula de Caacutelculo da UNIFEI mas tambeacutem de
outras instituiccedilotildees como nesse caso na UFMG
As atividades de Modelagem Matemaacutetica desenvolvidas no GEPMM se propotildeem
como potencialmente ldquodestruidorasrdquo de tal ldquotelardquo mediante a construccedilatildeo de uma rede de
aprendizagem na qual os docentes satildeo sujeitos pertencentes a uma mesma hierarquia
horizontal de fluxo informacional que os discentes o que acaba por promover transposiccedilotildees
de fronteiras (ENGESTROumlM SANNINO 2010b) e consequentemente a ampliaccedilatildeo de
possibilidades de interaccedilotildees entre os sujeitos
Portanto em atividades de Modelagem Matemaacutetica os parceiros ndash alunos e
professores ndash natildeo podem assumir outro lugar senatildeo o de sujeitos de uma mesma atividade
Dessa forma a ldquotelardquo presente (mesmo que de forma oculta e invisiacutevel em aulas tradicionais
de Caacutelculo) precisa necessariamente ser ldquoquebradardquo para que a formaccedilatildeo dessa nova
parceria se torne possiacutevel Somente por meio da transposiccedilatildeo desta fronteira eacute que se
tornariam possiacuteveis movimentos para aleacutem de alunos procurarem ajuda e professores darem a
ajuda (tirar duacutevidas) alcanccedilando assim um patamar de parceria na qual os sujeitos buscam e
encontram informaccedilotildees ou as constroem onde quer que elas estejam
Durante a construccedilatildeo dos dados da presente pesquisa alguns momentos podem
ser colocados em relevo no que diz respeito agraves possibilidades de diaacutelogos entre docentes e
discentes que num processo de negociaccedilatildeo e orquestraccedilatildeo formataram e orientaram as
atividades do GEPMM
No primeiro encontro eacute possiacutevel perceber que os alunos ali presentes falavam
livremente e participavam das decisotildees e regras estabelecidas pelos integrantes Natildeo havia
distinccedilatildeo entre alunos e professores todos falavam contavam ldquocasosrdquo e exprimiam suas
opiniotildees Joseacute por exemplo nos contou um caso sobre um funcionaacuterio de uma empresa de
177
grande porte localizada na cidade de Ipatinga-MG que ao desenvolver suas atividades de
trabalho ldquoteimourdquo com um engenheiro dizendo que o resultado do processo seria negativo o
engenheiro natildeo considerou a opiniatildeo do funcionaacuterio e no final do processo o funcionaacuterio
estava certo Logo em seguida a professora Clarice falou que os alunos de Caacutelculo satildeo
desmotivados demais e que o resultado disso muitas vezes eacute a reprovaccedilatildeo A aluna Taty
interveio ldquomas eu acho que isso natildeo eacute culpa do professorrdquo A docente Clarice rebateu em
tom de voz aparentemente alterado ldquomas eacute tambeacutem um deverrdquo Em seguida a aluna Taty
pontuou que em turmas de 75 alunos seria muito difiacutecil o professor acompanhar essa questatildeo
da motivaccedilatildeo
No segundo encontro do GEPMM um momento de tensatildeo ocorreu quando ao
perceber que o docente Angel pareceu preferir o problema do tracircnsito e afirmou olhando para
os alunos que havia um trabalho de coleta de dados in loco que deveria ser realizada pelos
alunos a aluna Taty imediatamente se posicionou dizendo ldquoah natildeo gente natildeo olha pra mim
natildeo gente Tocirc fazendo um monte de coleta de dados jaacute Me recuso cara [] Eu sento e leio
60 artigos se vocecircs quiserem faccedilo resumo de todos pra vocecircs natildeo tocirc brincando Eu tocirc
fazendo uma coleta gigantescardquo Entendo que naquele momento o posicionamento assertivo
da aluna impactou no que seria a decisatildeo do grupo no que diz respeito agrave escolha do primeiro
tema a ser abordado O grupo poderia ter tomado outro rumo se a aluna natildeo tivesse se
posicionado
No terceiro encontro durante a discussatildeo do artigo Scagliusi e Lancha Juacutenior
(2005) na paacutegina 542 deparamo-nos com um termo fiacutesico-quiacutemico ndash o deuteacuterio Noacutes
docentes natildeo sabiacuteamos o que significava esse termo e fomos agraciados pela fala dos alunos
Joseacute e Pedro esclarecendo com propriedade sobre o que se tratava esse conceito
Com base nesses trechos extraiacutedos das gravaccedilotildees em aacuteudio e viacutedeo das primeiras
trecircs reuniotildees do GEPMM os diaacutelogos entre os sujeitos seguem em um ritmo almejado
quando uma parceria eacute estabelecida entre niacuteveis hierarquicamente distintos em instituiccedilotildees
Aleacutem disso explicitarei mais adiante neste mesmo capiacutetulo outros trechos extraiacutedos das
transcriccedilotildees das filmagens de outras reuniotildees do GEPMM que reafirmam a formaccedilatildeo de
parcerias docente-discente e docente-docente sendo que essa uacuteltima se refere agrave parceria
instituiacuteda natildeo apenas por docentes que lecionam disciplinas de Caacutelculo em cursos de
Engenharia Ainda que os alunos tenham abandonado o GEPMM natildeo significa que tal
parceria natildeo tenha se concretizado Cabe ressaltar que segundo Engestroumlm e Sannino (2010b)
a transposiccedilatildeo de fronteiras entre niacuteveis organizacionais ou hierarquias tais como entre
alunos e professores pode representar uma forma de aprendizagem expansiva quando ocorre
178
movimentos verticais de informaccedilotildees entre os niacuteveis Para os autores uma parceria funda-se
por meio de interaccedilotildees entre niacuteveis hieraacuterquicos distintos em prol da realizaccedilatildeo de uma
atividade comum ndash um objeto compartilhado - na qual os aprendizes buscam informaccedilotildees
onde quer que elas estejam e o fluxo informacional eacute livre
Desse modo podemos entender as atividades realizadas no e pelo GEPMM como
sendo de alto grau de complexidade e baixo grau de centralizaccedilatildeo o que segundo Engestroumlm
(1993) caracteriza um tipo histoacuterico de atividade a ser considerado de domiacutenio coletivo e
expansivo A construccedilatildeo de tal ldquorede alternativardquo mediante a constituiccedilatildeo das referidas
parcerias pode entatildeo ser entendida como um tipo de aprendizagem expansiva
Com isso encerro a anaacutelise da dialeacutetica da existecircncia da ldquotelardquo invisiacutevel
enfatizando que por meio da construccedilatildeo da parceria docente-discente possibilitada nopelo
engajamento nas atividades desenvolvidas pelo GEPMM a ldquotelardquo natildeo existe nem mesmo de
forma invisiacutevel devido ao fluxo informacional ser livre e as interaccedilotildees entre docentes e
discentes serem constituiacutedas em uma uacutenica rede de aprendizagem
52 Segunda modalidade ndash Os sujeitos a multi-agency e as muacuteltiplas atividades
possibilidade para aprendizagem expansiva como movimento na zona de
desenvolvimento proximal das atividades docente-discente mediante a formaccedilatildeo de
parcerias
Satildeo os homens por certo que com sua praacutexis formam e mantecircm essa estrutura satildeo
eles que desenvolvem as forccedilas produtivas e que contraem determinadas relaccedilotildees na
produccedilatildeo independente de sua consciecircncia e vontade (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ
1977 p 189)
A agency segundo a Teoria da Atividade de Engestroumlm (1987) pode ser
entendida como um adjetivo inerente agraves possibilidades de accedilatildeo dos sujeitos engajados em
uma atividade tais como a condiccedilatildeo de realizar uma accedilatildeo ndash agente os meios ou modos pelos
quais a accedilatildeo eacute executada ndash instrumentalidade ou operaccedilatildeo poder ou capacidade de realizar
uma accedilatildeo ndash desempenho ou performance maneira de atuar de agir Sistematicamente a meu
ver a agency pode ser considerada como a atitude dos sujeitos em implementar
procedimentos para alcanccedilar o objetivo de uma accedilatildeo Sendo assim vale ressaltar que a agency
se torna visiacutevel nas accedilotildees no relacionamento na mediaccedilatildeo nas interaccedilotildees e natildeo como algo
pertencente aos sujeitos (DANIELS et al 2010)
A formaccedilatildeo de parcerias estaria sob essa anaacutelise relacionada agrave constituiccedilatildeo de
redes de aprendizagem em um contiacutenuo e descontiacutenuo movimento de transposiccedilatildeo de
179
fronteiras institucionalmente configuradas por artefatos histoacutericos culturais que podem estar
mediando as relaccedilotildees entre os sujeitos e os demais instrumentos de uma atividade de forma
impliacutecita ou invisiacutevel como por exemplo a dialeacutetica da existecircncia da ldquotelardquo invisiacutevel em
salas de aula de Caacutelculo como um instrumento que estaria permeando tal contexto
Eacute importante ressaltar que os sujeitos engajados no GEPMM participam a priori
de atividades originais primaacuterias cujos objetos podem estar alinhados ou natildeo no
desenvolvimento de variadas formas de praacutexis acadecircmica instituiacutedas em tal contexto
formativo Nesse caso pontualmente refiro-me aos interconectados sistemas de atividade
originais dos quais participam conjuntamente docentes e discentes dos cursos de Engenharia
da instituiccedilatildeo UNIFEI-Itabira De um lado de uma mesma moeda refiro-me aos sistemas de
atividade de trabalho que os docentes ldquodesenhamrdquo e colocam em praacutetica no decorrer das
variadas formas de trabalho situadas nas instituiccedilotildees que se dedicam exclusivamente agrave
formaccedilatildeo superior em Engenharia do outro lado dessa mesma moeda situam-se os sistemas
de atividade dos quais participam os discentes no mesmo contexto Observe que os tais
sistemas de atividade satildeo interconectados indissoluvelmente ndash amalgamados
Nesse sentido os discentes que participam das atividades orientadas pela
formaccedilatildeo em Engenharia desde o iniacutecio do engajamento nas referidas praacutexis formativas
objetivam obter o tiacutetulo de engenheiro com vistas a satisfazer uma necessidade humana
contemporacircnea obter um diploma de engenheiro Natildeo pretendo na referida anaacutelise discorrer
sobre as ideologias discursos e enunciados sociais que estatildeo por traacutes de tal orientaccedilatildeo apenas
a defino como existente e norteadora Para que essa finalidade seja de fato concretizada na
realidade os discentes de cursos de Engenharia precisam elaborar antes de tudo num plano
da atividade consciente um planejamento das accedilotildees necessaacuterias para tal fazendo
necessariamente parte da agency Sendo assim no contexto de formaccedilatildeo analisada nesta tese
um objeto primaacuterio original emerge dos sistemas de atividade dos discentes ndash o diploma de
engenheiro
Quando se tornam discentes de cursos de Engenharia na UNIFEI-Itabira os
sujeitos passam a pertencer a uma comunidade de praacutetica orientada pela e na formaccedilatildeo em
Engenharia Mas poderiam ser consideradas possibilidades para o desenvolvimento de
aprendizagens como participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima (PPL)152
(LAVE WENGER 2002) as
152
ldquoVer a aprendizagem como participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima significa que a aprendizagem natildeo eacute simplesmente
uma condiccedilatildeo para tornar-se membro mas eacute em si mesma uma forma em evoluccedilatildeo do tornar-se membrordquo
(LAVE WENGER 2002 p 170)
180
formas de praacutexis frequentemente realizadas153
no referido contexto institucional Em geral a
resposta para essa pergunta infelizmente tende a ser negativa Primeiro os participantes natildeo
tem amplo acesso a diferentes partes da atividade formativa em questatildeo Quando se tornam
discentes de tais cursos os sujeitos tecircm acesso agraves grades curriculares sob a forma escrita de
plano de curso particionado em vaacuterias disciplinas a serem cumpridas mas de forma alguma
veem ou participam na realidade concreta das diversas praacuteticas que constituem tal formaccedilatildeo
Em segundo lugar os participantes natildeo percebem lsquoabundacircnciarsquo nas interaccedilotildees horizontais
entre eles que na maioria das vezes tambeacutem natildeo eacute mediada por situaccedilotildees problemaacuteticas e
suas soluccedilotildees Pelo contraacuterio na maior parte do tempo dedicado agrave formaccedilatildeo os discentes se
esforccedilam para entender situaccedilotildees hipoteacuteticas fictiacutecias e teoacutericas impressas e sugeridas por
autores de livros didaacuteticos muitos deles traduzidos de outras liacutenguas oriundos de outras
culturas resultando em produtos que por definiccedilatildeo se distanciam dos interesses e
necessidades de uma comunidade especiacutefica Finalmente em terceiro lugar as tecnologias e
estruturas da instituiccedilatildeo natildeo satildeo transparentes Os aprendizes muitas vezes natildeo tecircm acesso ao
que estaacute por traacutes dos mecanismos internos e portanto natildeo satildeo convidados a inspecionaacute-los
Logo a participaccedilatildeo dos discentes em tais praacuteticas de fato ocorre mas natildeo pode
ser considerada em geral como resultante em uma aprendizagem legiacutetima pela e na
participaccedilatildeo em praacutexis firmada em tal contexto formativo Isso se deve ao fato da proacutepria
instituiccedilatildeo ser um artefato histoacuterico cultural que implicitamente ou invisivelmente medeia as
relaccedilotildees dos participantes nas praacutexis (DANIELS et al 2010a p 123) Considerando essa
anaacutelise toda e qualquer praacutexis realizada orientada pela finalidade de formar engenheiros
estaria subordinada agraves possibilidades de mediaccedilatildeo que a proacutepria instituiccedilatildeo submete aos
participantes ainda que de forma impliacutecita ou invisiacutevel entre as quais podemos enfatizar as
relaccedilotildees de poder e controle
Uma forma de controle expliacutecita que pode ser nitidamente observada na
instituiccedilatildeo estudada eacute o curriacuteculo uma grade curricular formada por disciplinas a serem
desenvolvidas pelos docentes e discentes constituiacutedas por conteuacutedos padronizados a serem
ldquoA participaccedilatildeo perifeacuterica legiacutetima refere-se tanto ao desenvolvimento de identidades de habilidades
competentes na praacutetica quanto agrave reproduccedilatildeo e transformaccedilatildeo das comunidades de praacuteticardquo (LAVE WENGER
2002 p 171) 153
Refiro-me nesse momento da anaacutelise agraves praacuteticas tradicionais de formaccedilatildeo em Engenharia desenvolvidas em
instituiccedilotildees que se destinam agrave formaccedilatildeo em niacutevel de graduaccedilatildeo em Engenharia contexto de nosso estudo Em
grande parte pode ser caracterizada pelo uso em demasia de aulas expositivas cujo objeto assumido pode ser
resumido pela apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos das respectivas disciplinas conforme preconizado nos livros-texto
pela valorizaccedilatildeo do desenvolvimento de habilidades e competecircncias individuais pelo uso de testes e avaliaccedilotildees
padronizadas cujo objetivo consiste na reproduccedilatildeo dos discursos desenvolvidos durante as aulas e pelo
distanciamento entre professores e alunos durante as atividades de formaccedilatildeo ndash a praacutexis formativa em
Engenharia
181
desenvolvidos e por cargas horaacuterias definidas a priori e sobretudo sob o controle das
avaliaccedilotildees que ditam quem cumpriu e quem natildeo cumpriu tais exigecircncias resultando em
aprovaccedilotildees ou reprovaccedilotildees nas disciplinas da grade curricular Esse ldquopoderiordquo acaba por
delimitar ou preacute-fabricar as accedilotildees que os estudantes iratildeo desenvolver assim como as decisotildees
sobre outras formas de participaccedilatildeo em praacuteticas extracurriculares na instituiccedilatildeo Ou seja satildeo
estabelecidas dessa forma accedilotildees prioritaacuterias orientadas pela aprovaccedilatildeo nas disciplinas
principalmente nas disciplinas que ldquonormalmenterdquo resultam em altos iacutendices de reprovaccedilatildeo
Durante a construccedilatildeo dos dados para a presente pesquisa vaacuterios foram os
momentos que o ldquopoderiordquo explicitado anteriormente se manifestou Entre eles podemos
colocar em relevo momentos extraiacutedos das transcriccedilotildees das entrevistas finais realizadas com
os alunos que haviam participado do GEPMM Para responder a primeira pergunta (ldquocomo
vocecirc caracteriza sua participaccedilatildeo no GEPMMrdquo) os estudantes usaram adjetivos do tipo
ldquoinsuficienterdquo ldquomiacutenimardquo ldquoirrelevanterdquo e ldquodeixa a desejarrdquo Mas como a participaccedilatildeo foi
considerada por eles mesmos tatildeo digamos ldquoinexpressivardquo se eles mesmos reconheceram de
antematildeo as possibilidades de aprendizagens mediante a participaccedilatildeo no GEPMM conforme
demonstraram nas entrevistas iniciais e durante os encontros do grupo Possiacuteveis respostas
para tal indagaccedilatildeo podem ser encontradas nas respostas que eles mesmos deram para a
segunda pergunta (ldquodesde que vocecirc comeccedilou a participar do grupo quais os desafios
encontrados Como vocecirc buscou superar estes desafiosrdquo) feita a eles por mim durante a
realizaccedilatildeo das entrevistas finais Taty pontua que o principal desafio consiste na proacutepria
essecircncia da atividade ldquomodelar alguma situaccedilatildeo eacute uma coisa muito complicada porque tem
muitas variaacuteveisrdquo Enfatiza que para superar esse desafio ela precisaria ter tido mais tempo
para maior dedicaccedilatildeo agrave atividade Afirma ainda que a falta de tempo estaria relacionada agrave
realizaccedilatildeo de outras atividades discentes entre as quais se destacam as vaacuterias mateacuterias
(disciplinas) que estaria cursando e a iniciaccedilatildeo cientiacutefica que estaria concluindo naquele
semestre Taty ainda sugere a existecircncia de um dilema incorporado nos sistemas de atividade
que ela participa na posiccedilatildeo de discente de um curso de Engenharia Nas palavras de Taty
Por um lado eu acho um desperdiacutecio tantas oportunidades na faculdade e a gente
natildeo poder muita gente natildeo aproveitar neacute como eu jaacute disse mesmo o fato de termos
professores tatildeo bons e agraves vezes tatildeo dispostos neacute A desenvolver um trabalho que
vocecirc taacute vendo e os outros natildeo estatildeo por outro lado o tempo eacute curto neacute as mateacuterias
satildeo difiacuteceis e se vocecirc leva a seacuterio mesmo vocecirc tem que estudar muito tempo neacute
entatildeo pra fazer um trabalho desse [] eu atribuo essa dificuldade agrave falta de tempo
182
Os alunos Pedro e Joseacute tambeacutem consideraram a falta de tempo como constituinte
do principal desafio encontrado na participaccedilatildeo no GEPMM Pedro ainda admitiu ter tido
dificuldades em participar do GEPMM devido a natildeo ter um ldquoinglecircs muito fluenterdquo o que
para ele dificultou a leitura dos textos Nas palavras de Pedro
Eu natildeo tenho um inglecircs muito fluente entatildeo muitas vezes tinha que buscar
significados de palavras de expressatildeo entatildeo isso garrou um pouco na hora de eu
ler os artigos [] Eu sei que se eu tirar tempo de estudo pra dedicar agrave modelagem
eu sei que vou tomar pau Isso eacute tranquilo [] Eu faccedilo o projeto [referindo-se agraves
atividades do GEPMM] mas chega na disciplina aiacute eu natildeo consigo fazer nada
entatildeo pra mim neste caso natildeo seria vantajoso neste semestre participar do
projeto
Sendo assim fica niacutetido que existe uma lei que rege os sistemas de atividade dos
alunos no que tange agrave sua proacutepria formaccedilatildeo em Engenharia delimitando as modalidades das
atuaccedilotildees na qual tem que sujeitar sua vontade Tal lei poderia ser expressa pelo fim sendo
constituiacuteda pela prefiguraccedilatildeo ideal do resultado material concreto que se quer alcanccedilar ndash o
diploma de engenheiro Mesmo tendo a vontade de participar do GEPMM percebendo as
possibilidades de formaccedilatildeo em tal atuaccedilatildeo os alunos veem diante de si um objeto
ldquodesalinhadordquo nos sistemas de atividades que pode ateacute mesmo impossibilitar o resultado
concreto que desejam alcanccedilar Dessa forma o fim o produto o objeto da atividade dos
sistemas primaacuterios de atividade (diploma) entra em contradiccedilatildeo com a atividade presente
(GEPMM) que passa a natildeo exercer mais o papel de orientar accedilotildees podendo ateacute mesmo se
tornar um objeto fluido nulo colocado como uma vontade em contradiccedilatildeo com a realidade
Engestroumlm (2010a) enfatiza que objetos que orientam as atividades humanas satildeo
oriundos de preocupaccedilotildees eou desconfortos sendo capazes de gerar e focalizar nossas
atenccedilotildees nos motivar fazer-nos esforccedilar e atribuir sentido agraves nossas accedilotildees Nas e pelas
ldquoatividades as pessoas constantemente mudam e criam novos objetos Os novos objetos
frequentemente natildeo satildeo produtos intencionais de uma atividade simples mas consequecircncias
inintencionais de muacuteltiplas atividadesrdquo (ENGESTROumlM 2010a p 304)
Nesse sentido os alunos que haviam aceitado o convite para participaccedilatildeo no
GEPMM (sujeitos de muacuteltiplas atividades cujo resultado esperado seria a formaccedilatildeo em
Engenharia) natildeo viram condiccedilotildees objetivas para sua realizaccedilatildeo para a materializaccedilatildeo de tal
participaccedilatildeo ainda que ela se fizesse anteriormente constituinte de um fim um objeto
idealizado que havia se fluidificado na realidade
Saacutenchez Vaacutezquez (2002 p 231) nos apresenta uma relaccedilatildeo dialeacutetica entre a
finalidade e a causalidade ldquojaacute que embora os fins conduzam agrave transformaccedilatildeo da realidade
183
esta impotildee limites que aqueles natildeo podem transporrdquo Somente as accedilotildees concretas que
disponham de meios concretos para sua realizaccedilatildeo podem resolver a contradiccedilatildeo histoacuterica
que abarca a finalidade como expressatildeo de uma contradiccedilatildeo entre ldquoo futuro e o presente entre
o ideal e o real entre a realidade a ser transformada e a realidade inexistente jaacute prefigurada
pela consciecircnciardquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 2002 p 231) Assim podemos analisar a natildeo
assiduidade e a participaccedilatildeo incipiente dos alunos que haviam aceitado o convite para
comporem o GEPMM como uma resposta agrave realidade pois ldquonatildeo se podem aceitar meios que
sendo eficazes em relaccedilatildeo a um fim particular contribuam para corromper fins mais
elevadosrdquo (SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 2002 p 233) Tal resposta eacute decorrente da agency
configurada pela implementaccedilatildeo de procedimentos com vistas ao realinhamento ao fim mais
elevado
Durante a entrevista final a aluna Taty disse que acha mais faacutecil participar de
atividades formativas tradicionais (regidas por provas individuais) do que de atividades em
grupo mais interdisciplinares e praacuteticas apesar de afirmar que em sua concepccedilatildeo o meacutetodo
tradicional natildeo tem nada a ver com a formaccedilatildeo do engenheiro Para ela as atividades em
grupo possibilitam mais aprendizagens eacute ldquomuito mais legalrdquo ldquomuito mais interessanterdquo e
ldquoesse eacute o trabalho do engenheirordquo Contudo parece ter caracterizado um objetivo que diz
respeito agraves disciplinas de Caacutelculo que compotildeem a grade curricular do curso de Engenharia no
qual eacute aluna Nas palavras de Taty ldquoeu quero aprovar mais do que isso eu quero passar bem
na mateacuteria [] eu gosto de passar bem em Caacutelculo [] eu quero saber fazer a provardquo Com
isso podemos entender que um fim particular (relacionado agrave formaccedilatildeo em Caacutelculo) estava
traccedilado idealmente como alinhado ao fim mais elevado ndash obter o diploma de engenheira
Dessa forma percebemos um ldquodesalinhamentordquo entre o objeto do GEPMM e o
objeto original primaacuterio que constitui os sistemas de atividade da aluna Taty cujo resultado
se materializa no diploma de engenheira Tal ldquodesalinhamentordquo se tornou visiacutevel aos nossos
olhos pela participaccedilatildeo incipiente da aluna no GEPMM A proacutepria participaccedilatildeo incipiente faz
parte da agency sendo configurada como uma maneira de agir de atuar A aluna nos contou
que ao cursar uma disciplina especiacutefica do curso de Engenharia havia realizado um trabalho
em grupo e que teria se empenhado bastante e aprendido muita coisa de ldquoanaloacutegicardquo mesmo
sem ter feito a disciplina de Analoacutegica formalmente Afirmou que ldquoa interaccedilatildeo o trabalho
em grupo [] uma semana de laboratoacuterio e vocecirc aprende coisa que assim agraves vezes em uma
mateacuteria inteira ficava bem mais ou menosrdquo Observe que como o trabalho em grupo que a
aluna nos contou foi uma atividade avaliativa que resultaria em pontuaccedilatildeo estaria bem
ldquoalinhadardquo aos objetivos de ser aprovada eou ter boas notas na referida disciplina Talvez isso
184
corrobore a suspeita de que se as atividades de Modelagem resultassem em pontuaccedilatildeo em
alguma disciplina de fato os alunos participariam de forma mais efetiva do que pudemos
observar na construccedilatildeo dos dados para a presente pesquisa Sendo assim para que os alunos
participassem efetivamente das atividades do GEPMM tornaram-se necessaacuterios ajustes ao
modelo conforme explicitei anteriormente
Com base nas ideias de Leontiev ainda poderiacuteamos analisar que na verdade os
alunos apenas cumprem o que eacute demandado no contrato didaacutetico institucionalizado ndash estudar
para serem aprovados nas disciplinas eou obterem boas notas ndash e isso constitui ou influencia
fortemente a agency observaacutevel nos procedimentos implementados Contudo com isso os
sujeitos foram desapropriados e desapropriam a si mesmos do sentido do que fazem pois a
atividade formativa acaba perdendo sua especificidade restando-lhes apenas um trabalho
alienado quer se trate do aluno ou do professor ldquoe esse trabalho temos de admiti-lo eacute chato
muito aborrecidordquo (CHARLOT 2013 p 154) O aluno Pedro acabou confirmando essa
concepccedilatildeo Nas palavras dele extraiacutedas das transcriccedilotildees da entrevista inicial podemos ver
Quanto a Caacutelculo a visatildeo que a gente tem infelizmente eacute que eacute uma coisa chata eacute
blaacuteblaacuteblaacute Eu jaacute ouvi de alguns colegas que Caacutelculo natildeo eacute uma coisa que vocecirc usa
tanto muita gente natildeo tem noccedilatildeo da importacircncia do Caacutelculo [] esse mito que se
tem ldquoah o caacutelculo eacute difiacutecil mas natildeo tem importacircnciardquo acaba desestimulando o
pessoal e aiacute sim que vocecirc agraves vezes consegue ateacute ser aprovado na disciplina mas natildeo
tem um aprendizado real
O aluno Pedro ainda expocircs na entrevista inicial que em sua visatildeo faltavam
projetos que objetivassem mostrar para os alunos a ldquoverdadeira importacircncia do Caacutelculo e que
estimulassem os alunos a entenderem o assunto a estudarem maisrdquo demonstrando acreditar
que o GEPMM pode cumprir esse objetivo Contudo ao deixar de participar do GEPMM por
falta de tempo e por parecer priorizar a aprovaccedilatildeo nas disciplinas o aluno acabou por
promover uma possiacutevel desapropriaccedilatildeo de si mesmo do sentido do que faz ndash sujeito em
formaccedilatildeo agravequele que deseja se apropriar de conhecimentos ndash restando-lhe apenas um
trabalho alienado subtraiacutedo de seu desejo manifestado ter ldquoum aprendizado realrdquo
Cabe ressaltar que os dilemas vivenciados pelos alunos quanto agrave participaccedilatildeo no
GEPMM especialmente a participaccedilatildeo em muacuteltiplas atividades demandadas pela formaccedilatildeo
em Engenharia versus a falta de tempo para darem conta de participarem efetivamente das
referidas atividades pode ter resultado na decisatildeo de deixarem de participar dos encontros do
GEPMM Isso natildeo aconteceu somente com os alunos O docente Robson por exemplo
participou de apenas dois encontros do GEPMM atribuindo suas ausecircncias a outras demandas
185
de trabalho como viagens a congressos participaccedilatildeo de bancas de conclusatildeo de cursos e
atividades administrativas A docente Clarice apoacutes o deacutecimo encontro enviou um e-mail a
todos os integrantes do GEPMM informando que em virtude do iniacutecio de seu processo de
doutoramento teria que se ausentar do GEPMM por pelo menos alguns anos Todas essas
atitudes perfazem a agency inerente agraves repostas dos sujeitos agraves referidas demandas
Ainda no segundo encontro do GEPMM escolhemos o primeiro tema a ser
desenvolvido por noacutes ndash ldquopeso corporal idealrdquo Apoacutes tal escolha o professor Angel
compartilhou uma informaccedilatildeo que acabara de ter acesso por meio do manuseio de seu
notebook que permanecia ligado e conectado na internet informando-nos sobre um edital
aberto no site do CNPq Tal edital era sobre gecircnero e relaccedilotildees de trabalho O professor Angel
se mostrou muito animado em elaborarmos um projeto para submetermos agrave ampla
concorrecircncia preconizada pelo referido edital
Decidimos construir um projeto para submissatildeo ainda que tiveacutessemos apenas seis
dias corridos incluindo saacutebado e domingo para tal confecccedilatildeo Taty tentou ajudar nessa
empreitada e disse ter o projeto inteiro escrito sobre gecircnero e somente teriacuteamos que ldquoadaptaacute-
lordquo para a aacuterea da Engenharia A aluna referiu-se ao projeto que ela estava desenvolvendo
como bolsista de Iniciaccedilatildeo Cientiacutefica Decidimos lutar contra o tempo e escrever esse projeto
para a submissatildeo O projeto foi intitulado Relaccedilotildees de Gecircnero no Trabalho das Engenheiras
do Setor industrial uma anaacutelise das condiccedilotildees de trabalho e das competecircncias e habilidades
matemaacuteticas cujo objetivo principal era ldquocompreender as relaccedilotildees de gecircnero estabelecidas no
trabalho das engenheiras que atuam em empresas do setor industrial mineiro por meio do
entendimento das condiccedilotildees de trabalho e das habilidades e competecircncias matemaacuteticas
requeridas na atuaccedilatildeo laboral da aacuterea especificamente estudadardquo E os objetivos especiacuteficos
eram
- Caracterizar as condiccedilotildees de trabalho de mulheres engenheiras das principais
empresas do setor industrial mineiro da regiatildeo do Vale do Accedilo e da cidade de
Itabira
- Estabelecer as diferenccedilas proporcionais de gecircnero na ocupaccedilatildeo de cargos de
engenharia buscando analisar as peculiaridades de cada uma das classes de
trabalhadores ndash homens e mulheres
- Analisar as competecircncias e habilidades matemaacuteticas requeridas para a efetiva
atuaccedilatildeo em cargos de engenharia ocupados por mulheres e sua respectiva
comparaccedilatildeo entre os mesmos cargos ocupados por homens
- Utilizar os resultados da pesquisa como aporte teoacuterico para a tomada de decisotildees
relacionadas aos curriacuteculos dos cursos de Engenharia da UNIFEI no que se refere agrave
questatildeo de gecircnero ainda deixada de lado nos projetos pedagoacutegicos dos cursos assim
como o fornecimento dos mesmos subsiacutedios para que outras instituiccedilotildees possam
fazer uso
186
- Aplicar os resultados como agentes que podes motivar os estudantes dos cursos de
Engenharia da UNIFEI a refletirem sobre questotildees relacionadas ao gecircnero no
trabalho e na formaccedilatildeo em engenharia
Submetemos o trabalho na data limite ndash dia 14 de novembro de 2012 Contudo o
CNPq natildeo o aprovou O parecer questionou sobre a aacuterea de atuaccedilatildeo dos docentes que iriam
executaacute-lo ou seja por natildeo termos produccedilatildeo cientiacutefica na aacuterea fomos impedidos de realizar a
pesquisa a menos que quiseacutessemos fazecirc-la sem ter projeto algum submetido e
consequentemente sem ter auxiacutelios financeiros para sua execuccedilatildeo
Mas por que em um grupo que originalmente orientaria suas atividades pelos
objetos materializados por questotildees-problema matemaacuteticos e estudantes de Engenharia
tomaria uma pesquisa sobre gecircnero no trabalho de Engenharia como objeto de uma atividade
paralela Tentarei analisar a referida atividade como constituinte de sistemas de atividade
hiacutebridos ndash muacuteltiplos contextos de atividades paralelos e as respectivas multi-agencys
(DANIELS et al 2010a)
A estrutura do trabalho docente em instituiccedilotildees federais de ensino superior
brasileiras estaacute baseada no tripeacute ensino-pesquisa-extensatildeo Tais instituiccedilotildees estatildeo entre as
instituiccedilotildees puacuteblicas mais submetidas a avaliaccedilotildees de desempenho A grande questatildeo que se
faz necessaacuterio pontuar eacute que tais avaliaccedilotildees podem muito bem verificar quantitativamente o
desempenho de tais instituiccedilotildees pelas quantidades de diplomas concedidos e artigos
publicados poreacutem natildeo conseguem captar bem os conteuacutedos inerentes aos diplomados e agrave
qualidade das publicaccedilotildees Nesse sentido em artigo publicado no jornal Folha de SPaulo o
professor Joseacute Maria Alves da Silva154
do Departamento de Economia da Universidade
Federal de Viccedilosa-MG esclarece que
Tirando o que eacute gasto na elaboraccedilatildeo de projetos produccedilatildeo em massa de artigos
preenchimento de relatoacuterios atualizaccedilatildeo de curriacuteculos participaccedilotildees cada vez mais
frequentes em bancas reuniotildees etc sobra pouco tempo para pensar e outras
finalidades importantes como aperfeiccediloar metodologias de ensino ou enriquecer
conteuacutedos disciplinares Quando o ldquoprodutivismordquo impera na academia aulas
conferecircncias e palestras brilhantes ou qualquer outro tipo de comunicaccedilatildeo fora dos
meios reconhecidos natildeo contam por mais que sirvam para solucionar problemas
enriquecer espiacuteritos ou abrir novos caminhos de pensamento (SILVA 2012)
Nesse sentido a participaccedilatildeo no GEPMM poderia ateacute constituir importante meio
para a formaccedilatildeo dos sujeitos partiacutecipes em termos de abrir novos caminhos de pensamento
solucionar problemas da realidade natildeo matemaacutetica em questatildeo eou ajudar na melhoria da
154
Doutor em Economia
187
praacutetica mas de todo modo fora dos meios reconhecidos natildeo ldquocontardquo natildeo soma natildeo produz
ldquoquantidaderdquo nas avaliaccedilotildees de desempenho Sendo assim o objeto da referida atividade
paralela a transforma natildeo em uma atividade vital dos sujeitos e sim em puro meio de
ldquosubsistecircnciardquo Naquele momento reflexotildees sobre qual a importacircncia e a quem serviria aquilo
que estariacuteamos produzindo parecem natildeo ter acontecido Estava constituiacuteda uma atividade
alienada Aqui assumo o termo alienaccedilatildeo em Marx Alienaccedilatildeo no sentido de perpetuar a
dicotomia entre os que pensam e os que executam devido agrave inserccedilatildeo dos sujeitos no sistema
de formaccedilatildeo superior estabelecido nas e pelas universidades federais brasileiras que refletem
a organizaccedilatildeo do modo de produccedilatildeo capitalista ndash alienaccedilatildeo como fenocircmeno social
Saacutenchez Vaacutezquez (1977) busca em Marx a relaccedilatildeo alienante que pode ser
estabelecida entre os sujeitos e seus objetos ndash demandas sociais ndash em uma atividade humana
enfatizando uma possiacutevel ldquodesgovernanccedilardquo um verdadeiro runaway object (ENGESTROumlM
2010a)
As palavras de Marx (1845) em sua obra A ideologia alematilde esclarecem que
O poder social isto eacute a forccedila de produccedilatildeo multiplicada que nasce por obra da
cooperaccedilatildeo dos diversos indiviacuteduos sob a accedilatildeo da divisatildeo do trabalho aparece diante
desses indiviacuteduos por natildeo se tratar de uma cooperaccedilatildeo voluntaacuteria mas sim natural
natildeo como um poder proacuteprio associado e sim como um poder alheio situado agrave
margem deles que natildeo sabem de onde vem nem para onde vai e que por
conseguinte jaacute natildeo podem dominar (p 33 apud SAacuteNHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p
442)
Realmente natildeo podiacuteamos dominar o objeto configurado pelono referido projeto
submetido ao CNPq O proacuteprio contexto institucional estava permeado pelo modo de
produccedilatildeo e de exploraccedilatildeo do sistema capitalista imposto pela burguesia tendencioso agrave
perpetuaccedilatildeo da dicotomia entre os trabalhadores intelectuais e os trabalhadores teacutecnicos entre
os produtoresconstrutores e os operadores Com isso o contexto implicava em nossa natildeo
reflexatildeo permaneciacuteamos sem saber qual a importacircncia da referida atividade e a quem ela
serviria O que pensaacutevamos poderia estar desconectado do que pretendiacuteamos executar Nas
palavras de Angel retiradas das transcriccedilotildees do segundo encontro do GEPMM podemos
encontrar a seguinte ponderaccedilatildeo ldquonossa eacute dinheiro demais Satildeo oito milhotildees soacute pra
projetinhos para falar de mulherrdquo De fato Angel natildeo parece realmente estar ldquopreocupadordquo
com as questotildees de gecircnero no trabalho em Engenharia e mais do que isso parece natildeo
perceber a real importacircncia de se pesquisar a respeito desse tema Com isso percebemos que
ao menos para Angel o objeto principal da atividade natildeo parece estar alinhado ao seu motivo
188
Atualmente as avaliaccedilotildees de desempenho tendem a controlar externamente o
trabalho docente cujo objeto de sua atividade pode se tornar alheio aos sujeitos Nesse
sentido seria pertinente questionar qual valor de uso e de troca estaria permeado em tal
objeto contraditoacuterio Sendo assim o valor de uso referindo-se agrave utilidade de tal objeto
(projeto submetido ao edital do CNPq) poderia estar configurado pela materializaccedilatildeo dos
objetivos principal e especiacuteficos expostos anteriormente neste texto Adicionalmente o valor
de troca para os docentes parece estar restrito a uma quantificaccedilatildeo nos meios de
reconhecimento e controle do trabalho docente em instituiccedilotildees federais de ensino superior
brasileiras entre eles o curriacuteculo Lattes e os ldquonuacutemerosrdquo da CAPES e do CNPq Jaacute para os
discentes o valor de troca parecia estar relacionado com as possibilidades de ganhos reais
financeiros mediante o fornecimento de bolsas de pesquisa cujo valor seria de R$ 400
mensais No valor de troca poderiam ser encontrados os motivos que impulsionaram tal
atividade que articulariam uma necessidade a tal objeto Contudo os dados construiacutedos para
a presente pesquisa natildeo me fornecem subsiacutedios para tecer uma anaacutelise rigorosa sobre os
motivos que impulsionaram tal atividade apenas uma sinalizaccedilatildeo conforme descriccedilatildeo
anterior
Estaria em todo caso configurada uma parceria possibilitada pela participaccedilatildeo
dos sujeitos no referido grupo que sem duacutevida alguma permitiu uma movimentaccedilatildeo na Zona
de Desenvolvimento Proximal (ZDP) das atividades docente-discente devido a uma
diminuiccedilatildeo do distanciamento historicamente constituiacutedo entre docentes e discentes
permitindo e facilitando as interaccedilotildees e o diaacutelogo entre os docentes e portanto favorecendo o
desenvolvimento coletivo de iniciativas (agency) que ressaltem a satisfaccedilatildeo de demandas na
condiccedilatildeo de trabalhadores de universidades brasileiras na contemporaneidade Pesquisa e
inovaccedilatildeo cientiacutefica surgem nesse caso como ldquonovasrdquo praacuteticas sociais que atendem agraves
necessidades impostas pelas universidades Nesse sentido um processo mediado pelo agir
comunicativo ocorreu e se materializou no referido projeto submetido ao CNPq Da mesma
forma que juntamos forccedilas e conseguimos elaboraacute-lo poderiacuteamos fazecirc-lo em outros editais
que fossem abertos posteriormente
Sendo assim as possibilidades de interaccedilatildeo mediadas pela linguagem pelo
diaacutelogo entre os parceiros do GEPMM parece ser um fator preponderante para natildeo somente a
elaboraccedilatildeo de projetos de pesquisa a serem submetidos em editais do CNPq mas sobretudo
para a ampliaccedilatildeo das possibilidades de reflexatildeo acerca de sua proacutepria atividade docente
Desse modo estaria configurado um importante espaccedilo de formaccedilatildeo continuada
para os docentes com relaccedilatildeo agraves muacuteltiplas atividades (ensino pesquisa extensatildeo) que
189
desenvolvem na instituiccedilatildeo Docentes que lecionam disciplinas de Caacutelculo atuando
conjuntamente com docentes de outras aacutereas dos cursos de Engenharia e com alunos em
formaccedilatildeo podem ser considerados parceiros Uma rede de aprendizagem foi configurada no e
pelo GEPMM A aprendizagem expansiva a partir do movimento da ZDP da atividade
docente somente se materializou pela construccedilatildeo de redes ndash parceria uma reflexatildeo que cabe
aqui eacute que juntos coletivamente a atividade dos sujeitos docentes e discentes de cursos de
Engenharia pode assumir uma nova forma possivelmente com um objeto mais alinhado aos
atuais objetivos da formaccedilatildeo em Engenharia
53 Terceira modalidade ndash Modelagem e a caixa-preta do ldquopeso corporal idealrdquo num
contexto de formaccedilatildeo em Engenharias do Caacutelculo em accedilatildeo agraves aprendizagens expansivas
como transformaccedilotildees qualitativas do objeto da atividade
[] todos os atores estatildeo fazendo alguma coisa com a caixa preta () eles natildeo a
transmitem pura e simplesmente mas acrescentam elementos seus ao modificarem o
argumento fortalececirc-lo e incorporaacute-lo em novos contextos (LATOUR 2000 p
171)
A sociedade atual vem passando por importantes transformaccedilotildees nos uacuteltimos anos
mediante avanccedilo e difusatildeo de ferramentas de comunicaccedilatildeo e informaccedilatildeo Castells (2005 p
17) pontua que a ldquosociedade emergente tem sido caracterizada como sociedade de informaccedilatildeo
ou sociedade do conhecimentordquo apesar de demonstrar no referido texto que natildeo concorda
com tal terminologia O autor afirma ainda que ldquoa tecnologia eacute condiccedilatildeo necessaacuteria mas natildeo
suficiente para a emergecircncia de uma nova forma de organizaccedilatildeo social baseada em redesrdquo
(CASTELLS 2005 p 17) segundo ele ldquodifundir a Internet ou colocar mais computadores
nas escolas por si soacute natildeo constituem necessariamente grandes mudanccedilas sociaisrdquo
(CASTELLS 2005 p 18)
Considero assim que ldquoa sociedade em rede155
eacute a sociedade de indiviacuteduos em
rederdquo (CASTELLS 2005 p 22) global baseada em redes globais em que a comunicaccedilatildeo em
redes transcende fronteiras e pode ser entendida como segue
A comunicaccedilatildeo constitui o espaccedilo puacuteblico ou seja o espaccedilo cognitivo em que as
mentes das pessoas recebem informaccedilatildeo e formam os seus pontos de vista atraveacutes do
processamento de sinais da sociedade no seu conjunto Por outras palavras enquanto
155
ldquoA sociedade em rede em termos simples eacute uma estrutura social baseada em redes operadas por tecnologias
de comunicaccedilatildeo e informaccedilatildeo fundamentadas na microelectroacutenica e em redes digitais de computadores que
geram processam e distribuem informaccedilatildeo a partir de conhecimento acumulado nos noacutes dessas redesrdquo
(CASTELLS 2005 p 20)
190
a comunicaccedilatildeo interpessoal eacute uma relaccedilatildeo privada formada pelos actores da
interacccedilatildeo os sistemas de comunicaccedilatildeo mediaacuteticos criam os relacionamentos entre
instituiccedilotildees e organizaccedilotildees da sociedade e as pessoas no seu conjunto natildeo enquanto
indiviacuteduos mas como receptores colectivos de informaccedilatildeo mesmo quando a
informaccedilatildeo final eacute processada por cada indiviacuteduo de acordo com as suas proacuteprias
caracteriacutesticas pessoais (CASTELLS 2005 p 22)
Mas de que forma podemos entender e relacionar os termos informaccedilatildeo
conhecimento e saber em tal sociedade Como as tecnologias estariam relacionadas a esses
termos Nesse sentido considero que ldquoas pessoas integraram as tecnologias nas suas vidas
ligando a realidade virtual com a virtualidade real vivendo em vaacuterias formas tecnoloacutegicas de
comunicaccedilatildeo articulando-as conforme as suas necessidadesrdquo (CASTELLS 2005 p 22 grifo
meu)
Com o intuito de tentar responder ou ao menos propor uma breve reflexatildeo sobre
os termos informaccedilatildeo conhecimento e saber comeccedilarei com a premissa de que no sentido
amplo uma ldquoinformaccedilatildeo eacute um dado que se encontra no mundo objetivo exterior ao
indiviacuteduordquo (MICOTTI 1999 p 154) constitui um dado que pode ser ldquolidordquo acessado e
compreendido Alguns autores pontuam imprecisotildees envolvidas na noccedilatildeoconceito de
informaccedilatildeo na sociedade atual Para Mattelart (2006) por exemplo
A tendecircncia a assimilar a informaccedilatildeo a um termo proveniente da estatiacutestica
(datadados) e a ver informaccedilatildeo somente onde haacute dispositivos teacutecnicos se acentuaraacute
Assim instalar-se-aacute um conceito puramente instrumental de sociedade da
informaccedilatildeo Com a atopia social do conceito apagar-se-atildeo as implicaccedilotildees
sociopoliacuteticas de uma expressatildeo que supostamente designa o novo destino do mundo
(MATTELART 2006 p 71)
No sentido exposto por Mattelart (2006) pode ser inclusa a noccedilatildeo de informaccedilatildeo
de Micotti (1999 p 155) na qual ldquouma informaccedilatildeo conteacutem um suporte e uma semacircnticardquo
para Micotti (1999) uma mesma semacircntica (ideia conceito) poderia ser conduzida por
diferentes suportes (desenho imagem enunciado verbal) que percorreriam um mesmo canal
(por exemplo oacutetico acuacutestico etc) Micotti (1999 p 155) afirma ainda que ldquoas informaccedilotildees
penetram nos sistemas de tratamento ndash o corpo humano eacute um deles O indiviacuteduo as submete a
uma seacuterie de accedilotildees e as transforma em conhecimentordquo
No que tange agrave noccedilatildeo de conhecimento Mattelart (2006) se apoia em Machlup
(1962 p 69 grifo do autor) e esclarece que ldquoinformar eacute uma atividade mediante a qual o
conhecimento eacute transmitido conhecer eacute resultado de ter sido informadordquo Nisso Micotti
(1999) esclarece que
191
o conhecimento eacute o resultado de uma experiecircncia pessoal com as informaccedilotildees Ele eacute
subjetivo relaciona-se com as vivecircncias e as atividades de cada pessoa ao passo que
o saber tem aspectos subjetivos (individuais) e sociais Eacute individual e deste ponto de
vista eacute tambeacutem conhecimento envolve a apropriaccedilatildeo de informaccedilatildeo por um sujeito
eacute interpessoal ndash o saber individual eacute confrontado com os saberes dos outros
(MICOTTI 1999 P 155)
Com isso o saber pode ser considerado como um objeto autocircnomo registrado nos
livros ou em quaisquer outros artefatos culturais e tecnoloacutegicos podendo tambeacutem tornar-se
enunciado acionado em interaccedilotildees diversas no sentido de ser uma informaccedilatildeo disponibilizada
para outros indiviacuteduos nas interaccedilotildees e suportadas por miacutedias diversas Sendo assim o saber
pode ser considerado como uma relaccedilatildeo cognitiva produto de uma interaccedilatildeo156
traccedilado na e
pela historicidade e submetido aos processos coletivos de validaccedilatildeo e transmissatildeo
(CHARLOT 2000)
Sendo assim informaccedilatildeo conhecimento e saber assumem caracteriacutesticas distintas
poreacutem inter-relacionadas (MICOTTI 1999) Para que uma informaccedilatildeo se torne conhecimento
eacute necessaacuteria uma internalizaccedilatildeo uma interpretaccedilatildeo daquela informaccedilatildeo por parte dos sujeitos
gerando conhecimento no entanto tal conhecimento se transforma em saber mediante anaacutelise
rigorosa de uma coletividade ndash a comunidade cientiacutefica a sociedade ndash por meio de accedilotildees e
interaccedilotildees diaacutelogo e orquestraccedilatildeo (MICOTTI 1999) Desta forma ldquoo saber compreende
informaccedilatildeo e conhecimentordquo (MICOTTI 1999 p 155)
Ainda pretendo discorrer sobre o papel das interaccedilotildees com os modelos que
permearam o GEPMM durante os dez primeiros encontros no que tange agraves interaccedilotildees (e
agency) necessaacuterias para a elucidaccedilatildeo dos modelos assim como as possibilidades de
interaccedilotildees tecnomediadas157
oferecidas por tais instrumentos ou artefatos mediadores Atribuo
dois modelos tecnomatemaacuteticos como fundamentais para auxiliar o entendimento da questatildeo
escolhida por noacutes para ser solucionada coletivamente no GEPMM conforme os atributos de
nossas agency bem como o acesso aos demais instrumentos necessaacuterios para possibilitar as
accedilotildees em prol de atingir tal objetivo O primeiro deles constituiacutedo por um sistema de
156
O termo interaccedilatildeo aqui assumido eacute oriundo da teoria bakhtiniana de discurso que carrega a definiccedilatildeo de
sujeito como um sujeito social que pertence a uma classe social na qual dialogam os diferentes discursos da
sociedade Aleacutem disso os diaacutelogos entre interlocutores se cruzam aos diaacutelogos entre discursos Sendo assim ldquoo
dialogismo interacional de Bakhtin desloca o conceito de sujeito que perde o papel de centro ao ser substituiacutedo
por diferentes vozes sociais que fazem dele um sujeito histoacuterico e ideoloacutegicordquo (BARROS 2007 p 27 grifo
meu) 157
A tecnomediaccedilatildeo eacute entendida neste texto como sendo as interaccedilotildees mediadas por artefatos tecnoloacutegicos que
incluem as mais variadas ferramentas ou suportes tecnoloacutegicos tais como a proacutepria Matemaacutetica e os recursos
ciberneacuteticos aleacutem de englobar diversos suportes de mediaccedilatildeo tais como a linguagem transmitida sob a forma
oral escrita e por gestos
192
equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias (EDO)158
fornece-nos o comportamento da variaccedilatildeo das
massas magra e gorda que compotildee fundamentalmente o ldquopeso corporalrdquo com base em
mudanccedilas energeacuteticas ndash variaccedilatildeo alimentar e variaccedilatildeo de atividade fiacutesica O segundo deles
constituiacutedo por uma implementaccedilatildeo computacional baseada no primeiro modelo em uma
tecnologia de interface para a internet podendo ser acessado por meio da execuccedilatildeo de um
programa desenvolvido usando a linguagem Java159
ndash um simulador160
Na atividade de modelagem desenvolvida pelo GEPMM durante a construccedilatildeo
dos dados para a presente pesquisa cujo tema consistiu na questatildeo do ldquopeso corporal idealrdquo eacute
necessaacuterio pontuar que o objeto da referida atividade havia sido esboccedilado idealmente pelos
sujeitos partiacutecipes originado de uma sugestatildeo feita por mim No momento da sugestatildeo
algumas indagaccedilotildees jaacute faziam parte do repertoacuterio de informaccedilotildees que possuiacuteamos Jaacute
conheciacuteamos algo sobre a questatildeo Dessa forma naquele momento um objeto nos era posto
apenas e somente em relaccedilatildeo a outras informaccedilotildees Para fins de anaacutelise definirei tal objeto
como caixa-preta do ldquopeso corporal idealrdquo inicial ndash 1198621198750 Nesse sentido Ladriegravere (1978) pode
nos ajudar a entender a configuraccedilatildeo de tal objeto
Eacute verdade que moldamos a natureza a partir de nossas proacuteprias representaccedilotildees e que
deste modo nos damos a noacutes mesmos a base de novas interpretaccedilotildees A visatildeo que
temos da natureza natildeo eacute nem uniforme nem imutaacutevel Mas as coisas se passam
assim com muito mais razatildeo para a realidade social que remodelamos sem cessar
mesmo sem o saber agrave luz das interpretaccedilotildees atraveacutes das quais a aprendemos por
meio das quais nos situamos em face dela conformemente agraves quais compreendemos
nosso lugar no jogo das interaccedilotildees [] partimos sempre de uma interpretaccedilatildeo
natural mas dela passamos por uma interpretaccedilatildeo construiacuteda que eacute como que uma
esquematizaccedilatildeo preacutevia agrave escolha do modelo (LADRIEgraveRE 1978 p 147 grifos
meus)
O objetivo da atividade de Modelagem analisada nesta parte da tese poderia estar
definido como entendersolucionar a problemaacutetica questatildeo de quantificar as variaccedilotildees do
158
120588119866
119889119866
119889119905= 119862119868 minus 119896119866119866
2
120588119865119889119865
119889119905= (1 minus 119901) (119864119868 minus 119864119864 minus 120588119866
119889119866
119889119905)
120588119871119889119871
119889119905= 119901(119864119868 minus 119864119864 minus 120588119866
119889119866
119889119905)
onde 119866 corresponde ao Glicogecircnio 119862119868 corresponde aos carboidratos
de entrada 119864119868 denota a energia de entrada 119864119864 a energia gasta 119865 massa gorda 119871 massa magra os demais satildeo
coeficientes que dependem de correlaccedilatildeo de dados iniciais Tal sistema culmina na seguinte EDO linear de
primeira ordem [120578119865+120588119865+120572120578119871+120572120588119871
(1minus120573)(1+120572)]119889119861119882
119889119905= Δ119864119868 minus
1
(1minus120573)[120574119865+120572120574119871
(1+120572)+ 120575] (119861119882 minus 1198611198820) Equaccedilotildees disponiacuteveis em
httpwwwniddknihgovresearch-fundingat-niddklabs-branchesLBMintegrative-physiology-sectionbody-
weight-simulatorDocumentsHall_Lancet_Web_Appendixpdf Acesso em 19112014 159
Para maiores informaccedilotildees ver httpjavacompt_BRdownloadwhatis_javajsp 160
Simulador disponiacutevel em httpwwwniddknihgovresearch-fundingat-niddklabs-
branchesLBMintegrative-physiology-sectionbody-weight-simulatorPagesbody-weight-simulatoraspx Acesso
em 19112014
193
peso corporal mediante alteraccedilotildees na dieta e nos exerciacutecios fiacutesicos cuja meta seria atingir um
peso corporal desejadoideal Tiacutenhamos o conhecimento por exemplo que aumento de
atividades fiacutesicas tende a diminuiccedilatildeo no peso corporal enquanto diminuiccedilotildees de calorias
ingeridas tendem a diminuir o peso corporal uma pessoa com peso corporal maior queima
mais calorias do que uma pessoa com peso corporal menor em uma mesma atividade fiacutesica eacute
necessaacuterio ingerir alimentos de trecircs em trecircs horas uma pessoa deve ingerir entre 2000 e
2500 calorias por dia entre outras informaccedilotildees que se relacionavam agrave 1198621198750 naquele momento
moldando-a sob nossos olhares Configurava-se um objeto a ser transformado resultando em
um entendimento lsquomais clarorsquo sobre tal questatildeo de forma que instrumentos de Caacutelculo
fossem utilizados no processo de Modelagem
Clarear no sentido de ldquoacinzentarrdquo do cinza escuro (tendendo ao preto) para tons
mais claros de cinza Sendo assim orientados pelo objetivo acima exposto o objeto de nossa
atividade ao acessarmos informaccedilotildees que por sua vez geraram conhecimentos acerca da
problemaacutetica modificou a cor da caixa-preta tornando-a cada vez mais clara (ou natildeo)
mediante as interaccedilotildees entre os sujeitos e as referidas fontes e recursos que suportavam as
informaccedilotildees entre elas alguns artigos cientiacuteficos Vale ressaltar que ldquoverdadesrdquo cientiacuteficas
(impressas em artigos cientiacuteficos lidos pelos integrantes do grupo) transformam-se em
comunicaccedilatildeo pelas e nas interaccedilotildees que por sua vez carregam o saber nela contidos
promovendogerando o entendimento ldquoclareandordquo as questotildees da sociedade
Ainda eacute importante salientar que 1198621198750 se constitui uma ceacutelula geacutermen
Davydoviana que seria uma primaacuteria abstraccedilatildeo da realidade em questatildeo ndash a problemaacutetica
questatildeo do peso corporal ideal ndash jaacute que naquele momento nada de ldquoconcretordquo havia sido
produzido Havia apenas uma transformaccedilatildeo nos modos como pensaacutevamos a realidade ndash a
problemaacutetica-questatildeo que estaria sendo tomada como o objeto da atividade com um
conhecimento a ser construiacutedo pela e na atividade de Modelagem que partiria daquela
abstraccedilatildeo primaacuteria e seria mediante o desencadeamento do processo elevada a um concreto
pensado161
Durante a realizaccedilatildeo da entrevista final a aluna Taty ressaltou que natildeo imaginava
que o problema do peso corporal ideal fosse ter tantas variaacuteveis apesar de desconfiar que teria
Matemaacutetica ou seja que a Matemaacutetica seria instrumento para a realizaccedilatildeo da Modelagem
Contudo ressaltou que havia pensado que ldquofosse ser uma coisa mais faacutecil mais superficial
161
ldquo[] O meacutetodo que permite elevar-se do abstrato ao concreto nada mais eacute do que o modo como o pensamento
se apropria do concreto sob a forma do concreto pensado Mas natildeo eacute de modo algum o proacuteprio concretordquo
(MARX 1845 apud SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ 1977 p 204)
194
[] o problema se multiplicou [] eacute como se o problema fosse uma raiz e criou um monte de
galhinhos Muitos galhinhosrdquo Naquele momento da entrevista a observaccedilatildeo de Taty quanto
agraves ramificaccedilotildees inesperadas que levaram a uma expansatildeo natural do problema fazia todo o
sentido Teriacuteamos sim que trabalhar em vaacuterios ramos de uma ldquoaacutervorerdquo um objeto
desgovernado162
Engestroumlm (2010a p 304) afirma que um objeto desgovernado pode ser um
ldquoobjeto poderosamente emancipatoacuterio que abre radicalmente novas possibilidades de
desenvolvimento e bem estar163
rdquo
Sendo assim a ascensatildeo da abstraccedilatildeo primaacuteria 1198621198750 a um concreto conceitual
expandido poderia natildeo fazer parte de uma ascensatildeo linear de baixo pra cima mas parece
percorrer os vaacuterios ldquogalhinhos de uma aacutervorerdquo conforme reflexatildeo de Taty ou as trilhas e
micorrizas164
conforme apontamento de Engestroumlm (2010a) O autor se refere agraves micorrizas
para tentar analisar atividades que acontecem em uma sociedade de indiviacuteduos em rede cujos
caminhos do objeto de uma referida atividade podem ser destinados a percorrer os noacutes de uma
micorriza ou de uma verdadeira rede neural natural Nesse sentido localizamos 1198621198750 no
inicial momento da atividade de Modelagem como uma ldquocaixa-pretardquo que poderia estar
localizada em um dos noacutes de uma micorriza ou de uma rede neural natural Com isso
instalam-se 119899 possibilidades iniciais para 1198621198750 comeccedilar a se mover sob os caminhos da
micorriza
Na atividade analisada nesta parte da tese demonstraremos os caminhos e os noacutes
que constituiacuteram o movimento do objeto de nossa atividade mediante as possibilidades de
interaccedilotildees firmadas na e pela atividade que inclui claramente o acesso e o tratamento das
informaccedilotildees que por sua vez geraram conhecimentos que promoveram a movimentaccedilatildeo ndash
trajetoacuteria do objeto em questatildeo
No decorrer da atividade de modelagem do peso corporal ideal os textos ndash artigos
cientiacuteficos ndash podem ser entendidos como miacutedias que suportam modelos matemaacuteticos ndash
podem ser considerados aparatos da razatildeo165
(SKOVSMOSE 2007) e ao mesmo tempo o
162
Runaway object (ENGESTROumlM 2010a) 163
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquopowerfully emancipatory objects that open up radically new possibilities of
development and well-beingrdquo 164
Engestroumlm (2010a) entende que uma micorriza eacute uma associaccedilatildeo mutualiacutestica do tipo simbioacutetica na qual a
relaccedilatildeo mutualiacutestica estaria baseada na vantagem muacutetua de interaccedilatildeo entre duas espeacutecies que se beneficiariam
reciprocamente Tal associaccedilatildeo eacute existente em algumas espeacutecies de fungos e raiacutezes de algumas plantas Em
Engestroumlm (2008) podemos encontrar ainda a premissa de que as equipes que constituem e satildeo constituiacutedas em
coletividades que assumem atividades orientadas deveriam ser pensadas atualmente sob a oacutetica da sociedade em
rede Sendo assim as equipes coexistiriam a uma relaccedilatildeo de noacutes de uma rede da atual sociedade em rede 165
Skovsmose (2007) pontua que
1) o ldquoaparato da razatildeordquo eacute uma complexidade construiacuteda que inclui uma variedade de teacutecnicas cientiacuteficas e
tecnoloacutegicas cruciais para o desenvolvimento e manutenccedilatildeo tecnoloacutegica
195
conjunto desses aparatos da razatildeo (modelos matemaacuteticos) constitui suporteembasamento
para a elaboraccedilatildeo do software bwsimulator Com isso podemos refletir que ldquomodelos criam
modelos e uma camada de matemaacutetica sobre a outra se finca na realidaderdquo (SKOVSMOSE
2007 p 127)
Nesse sentido podemos considerar ainda que o proacuteprio objeto inicial 1198621198750 pode ser
considerado como um aparato da razatildeo (SKOVSMOSE 2007) Nisso o autor enfatiza a
complexidade em entenderexplicar a produccedilatildeo de conhecimento sob a oacutetica dos aparatos da
razatildeo Haacute uma posta dificuldade ou impossibilidade de transposiccedilatildeo das fronteiras deem tais
aparatos Para isso o autor indica a necessidade de colocarmos a tecnologia disponiacutevel em
accedilatildeo a fim de avaliar como ela trabalha O autor esclarece ainda que ldquoconstruccedilotildees
tecnoloacutegicas ainda natildeo realizadas (isto eacute situaccedilotildees hipoteacuteticas) podem ser especificadas em
detalhes pela modelagem matemaacutetica e o raciociacutenio hipoteacutetico pode se tornar um instrumento
essencial para indicar as implicaccedilotildeesrdquo (SKOVSMOSE 2007 p 140)
No que tange agrave atividade de modelagem realizada pelo GEPMM que pretendeu a
abertura da caixa-preta do peso corporal ideal o aparato da razatildeo definido pelos conteuacutedos
de Caacutelculo incluindo as Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias (EDOs) foi de crucial importacircncia
para possibilitar a avaliaccedilatildeo das consequecircncias das accedilotildees sociotecnoloacutegicas criadas nos e
pelos outros aparatos da razatildeo que permearam tal atividade Esses outros aparatos da razatildeo
emergiram nas accedilotildees e interaccedilotildees mediadas por variados artefatos entre eles artigos
cientiacuteficos livros e softwares de simulaccedilatildeo
As questotildees de acesso agrave informaccedilatildeo ou caminhos para o acesso devem ser
colocadas em relevo no que tange agraves transformaccedilotildees do objeto da referida atividade de
modelagem A seguir darei continuidade a essa parte da anaacutelise explicitando as
transformaccedilotildees qualitativas do objeto da atividade para tal explicitarei a formaccedilatildeo de outras
quatro caixas-pretas (ou cinzas) a saber 1198621198751 1198621198752 1198621198753 e 1198621198754 esboccedilando assim um
movimento de ascensatildeo do abstrato ao concreto no sentido do ldquoclareamentordquo da questatildeo do
peso corporal ideal
Quando 1198621198750 foi tomada como objeto da atividade de modelagem podiacuteamos
caracterizar traccedilos de relaccedilotildees com outras caixas-pretas na verdade 1198621198750 coexistia a tais
2) o ldquoaparato da razatildeordquo estabelece propensotildees da sociedade para uma accedilatildeo sociotecnoloacutegica que somente torna-
se possiacutevel pela matemaacutetica em accedilatildeo
3) o ldquoaparato da razatildeordquo estaacute se desenvolvendo em saltos imprevisiacuteveis seguindo uma rota fluida na qual novas
competecircncias satildeo continuamente postas nessa enorme caixa de ferramentas do projeto tecnoloacutegico
4) o ldquoaparato da razatildeordquo inclui novos padrotildees de qualidade que orienta-se pela criaccedilatildeo de um novo discurso por
meio de uma variedade de elementos da ciecircncia
5) o ldquoaparato da razatildeordquo representa a unificaccedilatildeo do conhecimento do poder sendo considerado uma constelaccedilatildeo
de conhecimento disponiacutevel
196
relaccedilotildees Tiacutenhamos o conhecimento por exemplo que 1198621198750 relacionava-se com os modelos
matemaacuteticos com taxas de consumo energeacutetico taxas de metabolismo nutriccedilatildeo educaccedilatildeo
fiacutesica bioquiacutemica entre outras caixas-pretas Mas como 1198621198750 se relacionava a elas
pretendiacuteamos entender jaacute tendo como premissa que instrumentos de Caacutelculo seriam
necessaacuterios para tal ldquoclareamentordquo Natildeo imaginaacutevamos naquele momento que instrumentos
de programaccedilatildeo de computadores e softwares emergiriam como artefatos mediadores na
referida atividade nem tampouco como essas caixas-pretas se relacionariam agraves outras
Dividirei o processo de ldquoclareamentordquo de 1198621198750 em quatro saltos (de 1198621198750 a 1198621198754)
podendo ser caracterizados pelo acesso e pela interaccedilatildeo com os artefatos mediadores que
permearam a atividade Categorizarei os artefatos mediadores (119860119872119894 119894 = 1hellip 4) da seguinte
maneira chamarei de 1198601198721 o conjunto de todos os artefatos que mediaram a atividade de
modelagem da problemaacutetica questatildeo do peso corporal ideal ateacute o momento que encontrei e
interagi com a revista Caacutelculo na sala dos professores do CEFET-MG-Timoacuteteo natildeo
incluindo as informaccedilotildees da revista em 1198601198721 Esse momento ocorreu entre o quinto e o sexto
encontro do GEPMM Aleacutem disso 1198601198722 seraacute considerado como a uniatildeo de 1198601198721 com o
conjunto unitaacuterio cujo elemento seja a revista Caacutelculo166
Seguindo com essa construccedilatildeo
definirei 1198601198723 como sendo a uniatildeo de 1198601198722 com o conjunto unitaacuterio cujo elemento seja o
software bwsimulator167
e finalmente definirei 1198601198724 como sendo a uniatildeo de 1198601198723 com o
conjunto formado pela coleccedilatildeo de modelos matemaacuteticos e suas relaccedilotildees ao fenocircmeno da
mudanccedila de peso corporal sob a forma de linguagem escrita cujo suporte eacute o artigo cientiacutefico
webappendix168
Conforme exposto no Capiacutetulo 2 desta tese entendo que uma caixa-preta na
verdade nunca eacute nem totalmente preta e nem totalmente branca ou seja nem 1198621198750 era
totalmente preta nem 1198621198754 seraacute totalmente branca depois de aberta 1198621198750 havia sido construiacuteda
pelos sujeitos do grupo num processo de interaccedilatildeo entre eles mediante inquietaccedilotildees
resultando em uma abstraccedilatildeo primaacuteria da problemaacutetica questatildeo do peso corporal ideal Caso
essa afirmativa fosse falsa estariacuteamos reforccedilando a ideologia das verdades ldquoabsolutasrdquo e
inquestionaacuteveis assim como o contraacuterio A variaccedilatildeo de cores permitida entre o preto e o
branco pertence agrave categoria dos infinitos tons de cinza Entre tais infinitos tons de cinza
destacam-se as 119862119875119894 119894 = 0hellip 4
166
Revista intitulada Caacutelculo (ano 2 nuacutemero 20 setembro de 2012 editora segmento) 167
httpbwsimulatorniddknihgov 168
httpbwsimulatorniddknihgovHall_Lancet_Webappendixpdf
197
Sendo assim a caixa-cinza resultante de um primeiro niacutevel da transformaccedilatildeo
qualitativa do objeto da atividade ndash 1198621198751 pocircde ser visualizada tomando-se por base as
seguintes caracteriacutesticas resultado do conhecimento produzido pelo acesso e pela interaccedilatildeo
com as informaccedilotildees contidas em 1198601198721 sobre 1198621198750 As accedilotildees que foram realizadas nesse sentido
aconteceram durante o segundo terceiro quarto e quinto encontros do GEPMM e nas
interaccedilotildees entre os sujeitos e instrumentos contidos em 1198601198721 fora desses momentos num
sentido espacial e fiacutesico Aleacutem das interaccedilotildees face a face entre sujeitos faz-se necessaacuterio
incluir as interaccedilotildees mediadas por instrumentos de informaccedilatildeo e comunicaccedilatildeo baseados nas e
pelas tecnologias computacionais incluindo a internet tais como e-mails e a rede social
Facebook Um instrumento foi construiacutedo pelos sujeitos do GEPMM como resultado da
apropriaccedilatildeo dos conhecimentos contidos em artefatos de 1198601198721 gerando um modelo idealizado
(tambeacutem contido em 1198601198721) para representar a problemaacutetica questatildeo do peso corporal ideal O
seguinte trecho foi extraiacutedo das transcriccedilotildees das filmagens do quinto encontro do GEPMM
Nele podemos observar um modelo matemaacutetico emergente ainda nebuloso
Eu Na verdade vai dar um sistema Vai dar um sistema de interdependecircncia aqui
[aponto para trecircs lugares distintos na mesa como se representassem trecircs
ldquocaixinhasrdquo] () as variaacuteveis peso altura gecircnero e idade na verdade elas natildeo vatildeo
ser variaacuteveis elas vatildeo ser uma constante ou seja ela eacute variaacutevel do ponto de vista
de cada um [cada pessoa] mas para a foacutermula ela vai ser uma constante () aiacute a
gente coloca essa variaacuteveis soacute com coeficientes da equaccedilatildeo () porque todos os trecircs
satildeo energias neacute Tipo assim melhorando esse modelo baacutesico seria o tanto de
atividade fiacutesica ou seja o gasto caloacuterico porque na verdade essas trecircs coisas satildeo
energias tanto do alimento que eacute energia que entra quanto do exerciacutecio que eacute uma
energia que sai desse sistema e o basal tambeacutem eacute uma energia que vai taacute sendo
gasta Vamos tentar equacionar como se fosse assim o gasto energeacutetico a taxa de
energia natildeo importando se ela eacute uma taxa positiva ou uma taxa negativa O quecirc
que vocecircs acham
Robson razoaacutevel
Eu porque se a gente coloca assim as trecircs equaccedilotildees como taxas de energia neacute eacute
claro que elas vatildeo se alterar neacute uma vai ser sei laacute P a outra Q a outra R
Angel Taacute mais aiacute se vocecirc pensar na questatildeo de classe jaacute tem que pensar no que
vocecirc taacute querendo vincular edo pra depois encontrar o resto eacute essa que eacute a sua
ideia Aiacute cecirc teria que pensar qual seria a antiderivada dessa taxa relacionada a
essa parte de dieta porque laacute na parte de fiacutesica de Caacutelculo a gente sabe o quecirc que
estaacute relacionado com o quecirc agora nessa parte daqui eu jaacute natildeo sei [risos]
Eu entatildeo a gente vai ter que buscar nos dados que a gente jaacute tem mapeados nesse
livro por exemplo Talvez a gente pudesse comeccedilar com a terceira que eacute a parte da
atividade fiacutesica entendeu () eu natildeo sei se vai dar pra ser uma edo bonitinha ou
se na verdade isso daiacute eacute um trem nebuloso entendeu Porque cada um vai se
subdividindo entre outros e outras
Naquele momento apesar de natildeo termos ainda uma escrita matemaacutetica formal
tiacutenhamos um modelo emergente um novo instrumento sendo construiacutedo pelas e nas
interaccedilotildees entre noacutes ndash sujeitos ndash e os instrumentos que permeavam a atividade Esse novo
198
instrumento idealizado acabava por promover uma transformaccedilatildeo qualitativa no objeto da
atividade gerando assim a 1198621198751 ou seja a questatildeo do peso corporal havia se modificado
qualitativamente mediante a interaccedilatildeo com tal artefato mediador ndash o modelo emergente
Ainda podemos analisar que outro resultado da atividade realizada pelo grupo ateacute aquele
momento estaria estampado em 1198621198751 relacionado agrave idealizaccedilatildeo de um novo objeto para a
atividade que somente pocircde ser realizada mediante apropriaccedilatildeo do referido novo instrumento
Refiro-me aqui a idealizaccedilatildeo que objetivou a construccedilatildeo de um software - um modelo
tecnoloacutegico- como resultado das accedilotildees orientadas pela e na atividade de modelagem em
questatildeo
Contudo depois do quinto encontro tive acesso a uma informaccedilatildeo que de fato
levou a alteraccedilotildees nas trilhas do movimento de transformaccedilatildeo do objeto da atividade de
modelagem analisada nesta parte da tese Refiro-me agrave revista Caacutelculo169
Em 17 de dezembro
de 2012 ao realizar as atividades de docecircncia no CEFET-MG-Timoacuteteo (instituiccedilatildeo na qual
sou professora) deparei-me com a referida revista sobre a mesa da sala dos professores Li o
que estava escrito na capa da revista Nela estava contida a seguinte frase ldquoExtra Emagrecer
demora trecircs anosrdquo Imediatamente abri a revista e comecei a folhear as paacuteginas em busca da
mateacuteria completa Nesse sentido tal accedilatildeo estava direcionada ao cumprimento de objetivos
parciais relacionados agrave atividade de modelagem na qual participava no GEPMM Ao realizar
interaccedilotildees mediadas pelas informaccedilotildees impressas sob a forma de linguagem escrita grafadas
nas paacuteginas da referida revista inaugurava-se uma nova fase um novo caminho uma nova
trajetoacuteria para a atividade de modelagem Estaria entatildeo constituiacutedo o conjunto 1198601198722 como
uniatildeo dos instrumentos que permeavam a atividade anteriormente a esse momento
adicionando ao conjunto 1198601198721 esse novo instrumento A importacircncia desse novo instrumento
natildeo se restringia agraves informaccedilotildees nele contidas mas sobretudo as que estariam por vir
Sendo assim a caixa-cinza resultante de um segundo niacutevel da transformaccedilatildeo
qualitativa do objeto da atividade ndash 1198621198752 ndash pocircde ser visualizada tomando-se por base as
seguintes caracteriacutesticas resultado do conhecimento produzido pelo acesso e interaccedilatildeo com as
informaccedilotildees contidas em 1198601198722 sobre 1198621198751 As accedilotildees que foram realizadas nesse sentido
aconteceram entre o quinto e o sexto encontro do GEPMM Sendo assim a caixa-cinza 2
pode ser considerada como resultado das interaccedilotildees mediadas pelas teacutecnicas de leitura e
apropriaccedilatildeo de informaccedilotildees contidas na revista Caacutelculo considerada como novo instrumento
de mediaccedilatildeo que permeou a atividade alterando seu rumo sua trajetoacuteria Tal instrumento foi
169
Revista intitulada por Caacutelculo (ano 2 nuacutemero 20 setembro de 2012 editora segmento)
199
utilizado com o objetivo de adequaccedilatildeo do objeto ainda idealizado uma abstraccedilatildeo de segundo
niacutevel rumo a um objeto real ndash concreto conceitual expandido Dessa forma a leitura da
mateacuteria da revista Caacutelculo possibilitou um movimento na ZDP da atividade entre as
ldquoidealizaccedilotildeesrdquo elaboradas no niacutevel 1 levando agrave alteraccedilatildeo de rota de rumo a um objeto
desorientado
Na verdade o acesso realizado por mim ao site httpbwsimulatorniddknihgov
ocorreu numa segunda-feira (17122012) dia anterior ao sexto encontro do GEPMM Mesmo
estando distantes (no sentido de que eu estava na cidade de Timoacuteteo-MG a 100 km de Itabira-
MG) utilizei a rede social Facebook e enviei imediatamente uma mensagem aos integrantes
do GEPMM e agrave docente do Departamento de Nutriccedilatildeo da UFOP O intuito dessa accedilatildeo seria o
compartilhamento horizontal de informaccedilotildees entre os integrantes do grupo com o intuito de
pensarmos juntos baseados nas informaccedilotildees que acessaacutessemos assim como os demais
instrumentos que pudessem mediar nossas accedilotildees mesmo distantes fisicamente uns dos outros
No iniacutecio do sexto encontro que ocorreu em 18122012 perguntei aos parceiros
se eles tinham acessado o grupo virtual de modelagem no Facebook e consequentemente
visto minha mensagem sobre o acesso agraves informaccedilotildees contidas na mateacuteria da revista Caacutelculo
mas eles responderam que natildeo que natildeo tinham acessado o grupo no Facebook e
consequentemente natildeo haviam sido informados sobre a ldquotalrdquo nova informaccedilatildeo Pois bem
decidi compartilhar naquele momento as novas informaccedilotildees
Com o auxiacutelio de um computador portaacutetil acessamos ainda durante o sexto
encontro o site httpbwsimulatorniddknihgov e comeccedilamos nossa anaacutelise sobre o modelo
que acabara de ser imerso na atividade de modelagem Estaria entatildeo constituiacutedo o conjunto
1198601198723 como uniatildeo dos instrumentos que permeavam a atividade anteriormente a esse
momento adicionando ao conjunto 1198601198722 esse novo instrumento Sendo assim a caixa-cinza 3
resultante de um terceiro niacutevel da transformaccedilatildeo qualitativa do objeto da atividade ndash 1198621198753 ndash
pocircde ser visualizada tomando-se por base as seguintes caracteriacutesticas resultado do
conhecimento produzido pelo acesso e interaccedilatildeo com as informaccedilotildees contidas em 1198601198723 sobre
1198621198752 As accedilotildees que foram realizadas nesse sentido aconteceram na maioria das vezes no sexto
encontro do GEPMM
No sexto encontro realizamos algumas simulaccedilotildees com o auxiacutelio do bwsimulator
nessas interaccedilotildees sujeito-instrumento-objeto esperaacutevamos obter respostas para nossas
inquietaccedilotildees no que tange agrave problemaacutetica questatildeo por noacutes estudada modelada e ateacute entatildeo
tomada sob a forma de 1198621198753 Nesse sentido Kaptelinin (1996) pontua que uma das mais
200
importantes funccedilotildees dos instrumentos computacionais na estrutura da atividade humana
parece ser a extensatildeo da estrutura cognitiva referida pela Teoria da Atividade como o
Plano de Accedilotildees Internas (PAI) da atividade natildeo apenas como acreditam alguns autores que a
mais importante funccedilatildeo dos instrumentos computacionais seria a extensatildeo da memoacuteria nesse
sentido a principal funccedilatildeo dos instrumentos computacionais nas atividades humanas
consistiria na funccedilatildeo de simulaccedilatildeo170
de resultados potenciais de eventos possiacuteveis antes
mesmo de realizar accedilotildees na realidade
Sendo assim as interaccedilotildees tecnomediadas pelos artefatos computacionais
corresponderiam a um salto cognitivo estrutural da proacutepria atividade humana Poreacutem como
avaliar esse salto sob o ponto de vista de anaacutelises pela Teoria da Atividade De certo eacute
necessaacuteria uma anaacutelise para aleacutem dos instrumentos para aleacutem de tentar explicitar o papel
deles em uma dada atividade humana Eacute necessaacuterio antes de qualquer coisa analisar onde
por quem para quecirc e como satildeo usadas as tecnologias computacionais em atividades humanas
Anaacutelises que focam o(s) papel(eacuteis) de softwares ou outras tecnologias computacionais em
atividades humanas parecem desconsiderar o fato de que a natureza em si natildeo constroacutei
softwares nem quaisquer outros instrumentos ciberneacuteticos todos eles satildeo produtos dos
homens da atividade humana e constituem energia cientiacutefica ou inovadora materializada
Sendo assim o software somente existe e deve ser considerado como um artefato que medeia
as interaccedilotildees ou as possibilidades delas entre os sujeitos e o objeto da atividade analisada
Com isso uma anaacutelise que aqui se faz oportuna estaria baseada nas interaccedilotildees
entre os sujeitos mediadas pelo artefato Human Weight Simulator (HWS171
) e para aleacutem de
analisar as formas de interaccedilatildeo explicitar as possibilidades geradas por tais interaccedilotildees no que
tange ao movimento da proacutepria atividade de modelagem em questatildeo
O acesso ao site httpbwsimulatorniddknihgov somente foi possibilitado
mediante acesso agrave revista Caacutelculo pertencente ao conjunto 1198601198722 Natildeo somente o acesso mas
principalmente as interaccedilotildees entre sujeito e discursos nela contidos Constituiu-se dessa
forma o conjunto 1198601198723 Os sujeitos passaram entatildeo a interagir com os instrumentos de 1198601198723
realizando accedilotildees mediadas por seus elementos com vistas a modificar 1198621198752 e gerar 1198621198753 A
seguir explicitarei algumas das interaccedilotildees-chave que podem ser ressaltadas em tal processo
170
Nesse sentido Skovsmose (2007) enfatiza que ldquoconstruccedilotildees tecnoloacutegicas ainda natildeo realizadas (isto eacute
situaccedilotildees hipoteacuteticas) podem ser especificadas em detalhes pela modelagem matemaacutetica e o raciociacutenio hipoteacutetico
pode se tornar um instrumento essencial para indicar as implicaccedilotildeesrdquo (p 160) 171
httpbwsimulatorniddknihgov
201
a) Interaccedilatildeo dos sujeitos com os instrumentos de 1198601198723 mediante teacutecnicas de
leitura e manipulaccedilatildeo do software
b) interaccedilotildees tecnomediadas pelo software geradas por simulaccedilotildees
c) interaccedilotildees entre os sujeitos gerando novas conjecturas sobre o objeto 1198621198752 o
modificando
Com base em tais interaccedilotildees foram possibilitadas as seguintes accedilotildees
subordinadas ao sentido de transformaccedilatildeo de 1198621198752 em 1198621198753
a) anaacutelise criacutetica das limitaccedilotildees do modelo tecnoloacutegico e ao mesmo tempo edo-
embasado bwsimulator e idealizaccedilotildees no sentido de melhorar tal modelo
construindo outro modelo tecnoloacutegico e ao mesmo tempo fuzzy-embasado
b) necessidade de entendimento do que estaacute dentro da caixa-preta bwsimulator
No que tange agrave anaacutelise criacutetica do modelo bwsimulator ressaltamos a
categorizaccedilatildeo de energia de entrada mediante o somatoacuterio de calorias a serem ingeridas pela
pessoa por dia e os exerciacutecios fiacutesicos que satildeo definidos sem levar em conta a modalidade e o
tempo de atividade Com base em tal anaacutelise idealizamos um modelo que categorizasse a
energia de entrada com base em alimentos a serem ingeridos e suas respectivas calorias e que
os exerciacutecios fiacutesicos fossem assinalados mediante modalidade e tempo diaacuterio Para tal
mediante interaccedilotildees entre os sujeitos da atividade trouxemos para a cena alguns discursos
entre eles o discurso do Caacutelculo o discurso da Nutriccedilatildeo o discurso da Educaccedilatildeo Fiacutesica e o
discurso da Teoria Fuzzy A inserccedilatildeo das ldquovozesrdquo da professora de Nutriccedilatildeo da UFOP via
Facebook e das vaacuterias aacutereas e conhecimentos cientiacuteficos foram demandadas para a execuccedilatildeo
das accedilotildees estrateacutegicas com vistas agrave abertura da caixa-preta do ldquopeso corporal idealrdquo
Tiacutenhamos assim uma nova configuraccedilatildeo uma nova estrutura de atividade
possibilitada pela e na multivocalidade discursiva que nela ecoava sob o aspecto de um Plano
de ldquoAccedilotildeesrdquo Internas (PAI) da proacutepria atividade Tal plano seraacute discutido com maiores
riquezas de detalhes mais adiante no presente texto
Finalmente orientados pela abertura da caixa-preta bwsimulator acessamos o
artigo disponibilizado em httpbwsimulatorniddknihgov intitulado Dynamic mathematical
model of body weight change in adults Estaria entatildeo constituiacutedo o conjunto 1198601198724 como
uniatildeo dos instrumentos que permeavam a atividade anterior a esse momento adicionando ao
202
conjunto 1198601198723 esse novo instrumento Sendo assim a caixa-cinza 4 resultante de um quarto
niacutevel da transformaccedilatildeo qualitativa do objeto da atividade ndash 1198621198754 ndash pocircde ser visualizada
tomando-se por base as seguintes caracteriacutesticas resultado do conhecimento produzido pelo
acesso e interaccedilatildeo com as informaccedilotildees contidas em 1198601198724 sobre 1198621198753 As accedilotildees que foram
realizadas nesse sentido aconteceram na maioria das vezes nos seacutetimo e oitavo encontros do
GEPMM e em outros momentos que seratildeo expostos mais adiante nesta tese
Nessa parte da anaacutelise da atividade em questatildeo podemos tomar os conteuacutedos do
Caacutelculo em accedilatildeo instrumentos indispensaacuteveis para a realizaccedilatildeo das accedilotildees de abertura da 1198621198753
e consequentemente geraccedilatildeo da 1198621198754 Com isso consideramos tais instrumentos necessaacuterios
para a realizaccedilatildeo de accedilotildees e interaccedilotildees em 1198621198753 com vistas agraves transformaccedilotildees qualitativas no
objeto da atividade traccedilando um movimento uma trajetoacuteria Uma observaccedilatildeo que se faz
necessaacuteria eacute que um instrumento em si natildeo produz alteraccedilotildees na trajetoacuteria de uma atividade
mas somente ao considerarmos o instrumento em accedilatildeo eacute que podemos perceber o movimento
possibilitado por ele Nesse sentido as atividades de Modelagem Matemaacutetica se tornam
instrumentos para possibilitar abertura de caixas-pretas devido agrave consideraccedilatildeo primaacuteria que
consiste em tomar a matemaacutetica em accedilatildeo em tais atividades ndash matemaacutetica como um
instrumento para o entendimentoresoluccedilatildeo de questotildees-problema natildeo matemaacuteticas
Dessa forma uma pergunta essencial deve ser feita e consequentemente
respondida nesta parte da anaacutelise quais os limites e as possibilidades de accedilotildees foram
estabelecidos nas e pelas interaccedilotildees mediadas por tal instrumento ndash o Caacutelculo em accedilatildeo
Sendo assim buscaremos respostas para tal questatildeo considerando o Caacutelculo em
accedilatildeo sob dois olhares como instrumento que possibilita a abertura de caixas-pretas e como
instrumento que limita ou dificulta a abertura de caixas-pretas Mas como poderia um
mesmo instrumento possibilitar e limitar aberturas de caixas-pretas Aqui estaacute a
demonstraccedilatildeo de que eacute preciso ir aleacutem de analisar o papel de um instrumento em uma
atividade e ampliar o espectro de anaacutelise para as interaccedilotildees mediadas por tais instrumentos
Cabe ressaltar que quando fazemos isso estamos assumindo um foco de anaacutelise que busca
respostas para os seguintes questionamentos quem quando por que e como usou o
instrumento na atividade
Focando a atividade de modelagem analisada nesta parte da tese seria
interessante responder os seguintes questionamentos no que se refere mais especificamente
aos instrumentos de caacutelculo em accedilatildeo utilizados pelos sujeitos da atividade nas accedilotildees que
tangem o entendimentoapropriaccedilatildeo dos tambeacutem instrumentos da atividade bwsimulator e o
203
artigo intitulado Dynamic mathematical model of body weight change in adults Valem
ressaltar que bwsimulator e o artigo podem ser considerados caixas-pretas a serem abertas
modificadas e ou fechadas na atividade de modelagem analisada nesta parte da tese que
dessa forma se configura como uma atividade de produccedilatildeo de conhecimentos e saberes
As Tecnologias da Comunicaccedilatildeo e Informaccedilatildeo (TICs) possibilitaram o acesso agrave
ciecircncia mediante acesso ao simulador e consequentemente ao artigo (texto cientiacutefico) que
expotildee um modelo matemaacutetico para representar as mudanccedilas de peso corporal em adultos
Contudo tal acesso se restringe a uma ciecircncia visualmente pronta e acabada e natildeo a uma
ciecircncia em construccedilatildeo Para entendermos esses instrumentos seria entatildeo necessaacuterio tomaacute-los
como produtos da construccedilatildeo humana orientada por finalidades e demandas especiacuteficas da
proacutepria sociedade natildeo os considerando assim como produtos prontos mas sobretudo como
produtos em contiacutenua construccedilatildeo e reconstruccedilatildeo
Se por um lado o acesso agrave ciecircncia pronta foi possibilitado mediante a caixa-preta
do simulador disponiacutevel a todos por meio do site httpbwsimulatorniddknihgov (antes
teriacuteamos apenas um artigo repleto de matemaacutetica e paracircmetros bem distante da realidade dos
usuaacuterios dos seres da sociedade pacientes educadores fiacutesicos nutricionistas apoacutes o advento
da ciberneacutetica essa ciecircncia estaacute acessiacutevel) pode ser considerado uma maravilha por outro
lado o acesso agrave ciecircncia em construccedilatildeo se tornou mais limitado
Nesse sentido configurado diante de noacutes estaria uma caixa-preta (artigo
cientiacutefico) dentro da outra (bwsimulator) ndash sobrepostas e inter-relacionadas Sendo assim
podemos perceber que enquanto mais prospera a ciecircncia e a tecnologia mais opaca e obscura
elas podem se tornar A dificuldade em se abrir as caixas-pretas pode produzir ldquohorroresrdquo no
que se refere ao entendimento da ciecircncia em construccedilatildeo pois ldquoquanto mais complexo o
processo de identificar consequecircncias de possiacuteveis accedilotildees tecnoloacutegicas ocorrerem mais temos
que confiar no aparato da razatildeo e mais circular eacute o processordquo (SKOVSMOSE 2007 p 162)
Dessa forma podemos considerar que aumentou o acesso agrave ciecircncia e ao mesmo tempo
limitou a abertura de caixas-pretas e consequentemente a tomada de consciecircncia criacutetica e
controle da proacutepria atividade por parte dos sujeitos
No que se refere agrave abertura da caixa-preta do artigo (texto cientiacutefico) intitulado
Dynamic mathematical model of body weight change in adults deparamo-nos com outras
caixas-pretas que traziam lsquoagrave cenarsquo enunciados172
oriundos do discurso da fisiologia humana
172
Para Bakhtin o enunciado eacute o produto de uma enunciaccedilatildeo ou de um contexto histoacuterico social cultural etc Eacute
preciso observar que as relaccedilotildees do discurso com a enunciaccedilatildeo com o contexto soacutecio-histoacuterico ou com o ldquooutrordquo
satildeo para Bakhtin relaccedilotildees entre discursos-enunciados Por essa razatildeo utiliza os termos intertextualidade para se
204
do discurso do Caacutelculo em accedilatildeo e do discurso cientiacutefico Sendo assim o texto eacute de fato um
tecido de muitas vozes ou de muitos discursos ldquoque se entrecruzam se completam
respondem umas agraves outras ou polemizam entre si no interior do textordquo (BARROS 2007 p
31 grifo do autor) Ainda para Bakhtin o sentido do texto e dos seus discursos internos
depende da relaccedilatildeo entre os sujeitos que se constroacutei na produccedilatildeo e na interpretaccedilatildeo dos
textos
Com isso podemos considerar o caacutelculo em accedilatildeo em duas ldquofrentesrdquo analiacuteticas no
que se refere agrave abertura da caixa-preta amparada pelono artigo cientiacutefico referido
anteriormente de autoria de Kevin Hall e seus colaboradores mais especificamente ao
apecircndice do artigo que suporta os modelos matemaacuteticos que representam o fenocircmeno das
mudanccedilas de peso corporal em adultos humanos De um lado estaria configurado um caacutelculo
em accedilatildeo como instrumento ndash linguagem usada na produccedilatildeo do texto cujos sujeitos da accedilatildeo
coincidem com os sujeitos autores do texto De outro lado estaria configurado um caacutelculo em
accedilatildeo como instrumento indispensaacutevel agrave abertura da caixa-preta do proacuteprio texto cujos
sujeitos da accedilatildeo satildeo os integrantes do GEPMM e as realizam com vistas agrave interpretaccedilatildeo do
proacuteprio texto Para interpretar o texto foi entatildeo necessaacuterio avaliar a sua produccedilatildeo
Isso posto o caacutelculo em accedilatildeo foi necessariamente ldquocolocado em cenardquo a fim de
avaliar como o Caacutelculo em accedilatildeo operava ldquopor traacutes da cenardquo Nesse sentido o aparato da
razatildeo (Caacutelculo em accedilatildeo) foi utilizado por noacutes integrantes do GEPMM como um instrumento
de avaliaccedilatildeo e criacutetica do aparato da razatildeo impresso sob a forma de linguagem escrita no
artigo referido anteriormente Skovsmose (2007 p 162 grifos meus) pontua que ldquoo aparato
da razatildeo torna-se essencial para construir os instrumentos de avaliaccedilatildeo das consequecircncias das
accedilotildees sociotecnoloacutegicas criadas pelo proacuteprio aparato da razatildeordquo
As avaliaccedilotildees e criacuteticas tecidas por noacutes integrantes do GEPMM ao conteuacutedo do
artigo (texto) assim como ao software bwsimulator caracterizavam-se na maioria das vezes
pelas sugestotildees feitas por Skovsmose (2007) quem construiu os modelos Que aspectos da
realidade estatildeo neles incluiacutedos Quem tem acesso aos modelos Os modelos satildeo
ldquoconfiaacuteveisrdquo Quem estaacute apto a controlaacute-los Levando em conta que se tais questotildees natildeo
forem adequadamente esclarecidas valores tradicionais da democracia podem ser corroiacutedos
Na tentativa de responder a tais questionamentos podemos pontuar os seguintes
esclarecimentos173
referir aos ldquodiaacutelogos entre discursosrdquo e dialogismo para se referir aos ldquodiaacutelogos entre interlocutoresrdquo (BARROS
2007) 173
Seratildeo mais bem explicitados mais adiante neste texto
205
a) os modelos matemaacuteticos (edos) suportados pelo referido artigo e o modelo
tecnoloacutegico bwsimulator foram construiacutedos pela equipe do pesquisador Kevin D
Hall
b) por um lado acreditamos que o modelo bwsimulator estaacute disponiacutevel e acessiacutevel
a todos (via internet) sob o ponto de vista de uso e possibilidades de simulaccedilotildees
por outro lado nos modelos matemaacuteticos (edos) mesmo estando disponiacuteveis a
todos haacute uma possiacutevel restriccedilatildeo em termos da acessibilidade jaacute que nem todos
tem acesso agrave linguagem matemaacutetica em uso em accedilatildeo (edo)
c) acreditamos que mais pessoas estariam aptas a controlar o bwsimulator do que
controlar as edos contudo o coacutedigo do software bwsimulator natildeo eacute disponiacutevel a
todos somente a grupos de pesquisa enquanto as edos satildeo disponiacuteveis a todos via
internet
d) quanto agrave confiabilidade nos modelos acreditamos que o Caacutelculo em accedilatildeo
utilizado no empreendimento de construccedilatildeo dos modelos (edos e bwsimulator)
limita ou dificulta avaliaccedilotildees e consequentes criacuteticas a tais modelos tornando
difiacutecil a tarefa de confiar ou natildeo neles Como o coacutedigo-fonte do software
bwsimulator ainda natildeo eacute disponiacutevel a todos (apenas a grupos de pesquisa) sob o
ponto de vista da democracia e do compartilhamento de saberes percebemos uma
iminente corrosatildeo
e) os aspectos da realidade que estatildeo inclusos nos modelos matemaacuteticos (edos) e
no modelo tecnoloacutegico (bwsimulator) natildeo satildeo os mesmos apesar de o modelo
bwsimulator estar baseado nas edos que estatildeo configuradas no artigo (texto)
Contudo nem todas edos foram usadas e mais do que isso foi necessaacuterio assumir
ldquomenosrdquo aspectos da realidade nas edos do que no bwsimulator
Sendo assim a abertura de 1198621198754 somente pocircde ocorrer mediante o imprescindiacutevel
auxiacutelio do caacutelculo em accedilatildeo que inclui as EDOs em accedilatildeo Por um lado sob o uso dos sujeitos
responsaacuteveis pela construccedilatildeo dos modelos anteriormente citados os pesquisadores liderados
por Kevin Hall o caacutelculo em accedilatildeo parece ser instrumento que pode limitar ou dificultar a
abertura da caixa-preta 1198621198754 mas por outro lado sob o uso dos sujeitos do GEPMM parece
ser um instrumento que pode ampliar as possibilidades de tal abertura
No entanto farei uma anaacutelise das interaccedilotildees que se fizeram necessaacuterias entre as
quais a finalidade estava orientada pela abertura de 1198621198754 Conforme exposto anteriormente
206
ateacute o final do oitavo encontro a certeza que tiacutenhamos eacute de que ainda havia uma interrogaccedilatildeo
quanto ao entendimento de uma equaccedilatildeo no referido artigo de onde o(s) autor(es)
ldquotirou(raram)rdquo a equaccedilatildeo (10) Pensaacutevamos que a tarefa de entendimento do processo de
construccedilatildeo da referida equaccedilatildeo era de simples entendimento mas estaacutevamos enganados
Teacutecnicas de leitura habilidades matemaacuteticas (edo) conhecimentos de Nutriccedilatildeo e
Fisiologia foram chamados ldquoagrave cenardquo para possibilitar a abertura de 1198621198754 mas ainda foi pouco
Permanecia uma dificuldade uma limitaccedilatildeo do processo um gap algo estava ldquoescondidordquo
natildeo conseguiacuteamos enxergar sozinhos Ao chegar em casa depois do oitavo encontro tentei de
todas as formas que me eram possiacuteveis decifrar o que estava ldquoescondidordquo no referido texto
entre as equaccedilotildees (9) e (10) mas meus esforccedilos foram em vatildeo Nisso tornou-se necessaacuterio o
estabelecimento de novas parcerias ampliaccedilatildeo da rede de aprendizagem mediante o chamado
para compor a ldquocenardquo aos autores do referido texto e do bwsimulator
Tomei a atitude174
de enviar um e-mail para Kevin Hall pedindo maiores
esclarecimentos quanto agrave equaccedilatildeo (10) No mesmo dia obtive uma resposta do autor tambeacutem
por e-mail enfatizando que a equaccedilatildeo teria surgido da referecircncia [20] contida no artigo e me
enviou o artigo em pdf Li o artigo todo percebi que a equaccedilatildeo (13) do artigo [20] enviado
por Kevin Hall era parecida com a equaccedilatildeo (10) mas que havia sutis diferenccedilas que me
direcionavam ao natildeo entendimento dos ldquoporquecircsrdquo do que estaria por traacutes daquele amontoado
de equaccedilotildees e afirmativas Decidi entatildeo enviar um novo e-mail para Kevin questionando-o
sobre o quecirc pra mim ainda estava ldquoescondidordquo no texto limitando o entendimento Kevin
enviou-me um manuscrito com um processo de derivaccedilatildeo e me disse que ao ler aquele
manuscrito tudo estaria explicado Imediatamente iniciei a leitura e depois de ter lido
percebi que natildeo estava tudo explicado na verdade as duacutevidas haviam se intensificado
Para obter a equaccedilatildeo (10) Kevin Hall e seus colaboradores supuseram que a
funccedilatildeo de Forbes dada por 120572 equiv119889119871
119889119865=
119862
119865 em que 119862 = 104 119896119892 eacute o paracircmetro de Forbes era
constante Vale ressaltar que 119865 eacute a massa gorda (fat mass) e 119871 eacute a massa magra (lean mass)
Se 120572 eacute constante isso implica que 119889119871 = 120572 119889119865 e consequentemente 119871 minus 1198710 = 120572 (119865 minus 1198650)
Tudo isso foi usado para obter a equaccedilatildeo (10) Soacute que ao tomar 120572 constante um valor inicial
de massa gorda 1198650 precisamente foi fixado 120572 =119862
1198650 Nisso 119871 minus 1198710 =
119862
1198650 (119865 minus 1198650) o que
implica 119871 =119862
1198650 (119865 minus 1198650) + 1198710 Contudo logo em seguida agrave equaccedilatildeo (10) no texto os autores
afirmam que ldquopara modestas mudanccedilas de peso 120572 pode ser considerado aproximadamente
174
Atitude gerada pela necessidade apontada entender a equaccedilatildeo (10)
207
constante com 119865 fixado em seu valor inicial 1198650rdquo175
Isso jaacute tinha sido levado em conta para
obter a equaccedilatildeo (10)
Temos aqui um problema como 120572(119905) =119862
119865(119905) jaacute foi tomada como constante na
equaccedilatildeo (10) a funccedilatildeo 119865(119905) precisou necessariamente ser assumida como constante Isso
acaba por extinguir a meu ver a utilidade do modelo Ora se o objetivo eacute estimar mudanccedilas
no peso corporal com o tempo tomado como sendo a soma aritmeacutetica das massas gorda e
magra que se relacionam mediante a funccedilatildeo 120572 que por sua vez depende do tempo ao tomar
a funccedilatildeo 120572 como constante implica natildeo haver qualquer mudanccedila na massa gorda ndash 119865(119905) e
consequentemente na massa magra ndash 119871(119905) que tambeacutem precisa necessariamente ser
assumida como constante Sendo assim sem variaccedilotildees de massas gorda e magra o peso
permanece o mesmo sem alteraccedilotildees
Com base nisso questionei ao Kevin Hall novamente via e-mail sobre tal
hipoacutetese ter sido considerada no artigo Ele respondeu que isso natildeo atrapalha em nada os
resultados pois o modelo implementado no bwsimulator natildeo assume 120572 constante (apesar de a
EDO (10) assumir) E aponta ainda que tal ldquolinearizaccedilatildeordquo foi feita principalmente para
escrever a EDO de primeira ordem (10) de maneira linear a intenccedilatildeo do grupo dele natildeo foi
ldquoderivarrdquo nem implementar no bwsimulator tal EDO mas que tal modelo ldquocorrespondiardquo a
uma EDO de ordem superior natildeo linear obtida pelo grupo dele no passado
Naquele momento o artigo estava mais claro as equaccedilotildees faziam mais sentido e
todos esses entendimentos precisavam ser compartilhados com os demais sujeitos do grupo
Uma importante observaccedilatildeo que se faz necessaacuteria eacute a de que sem internet sem e-mail os
autores do texto dificilmente poderiam atuar em nossa atividade da maneira que atuaram Eacute
fato que ao acessarmos o texto (artigo) e acessarmos o bwsimulator jaacute haviacuteamos feito o uso
da internet como instrumento que permeou a atividade fazendo com que seus autores
atuassem em nossa atividade por meio das diversas vozes impressas sob a forma de linguagem
escrita (que inclui a linguagem matemaacutetica) e sob a forma da linguagem tecnoloacutegica impressa
no software mas de uma forma qualitativamente diferente
O instrumento e-mail de nada teria auxiliado em nossa atividade se o autor Kevin
Hall natildeo tivesse aceitado participar na situaccedilatildeo de ator social de toda a interaccedilatildeo O modelo
de sociedade em rede permite possibilita o compartilhamento de conhecimentos e saberes
Mas isso natildeo garante necessariamente que tal compartilhamento ocorra Possuir acessar um
175
Traduccedilatildeo realizada por mim de ldquoFor modest weight changes 120572 can be considered to be approximately
constant with 119865 fixed at its initial value 1198650rdquo (HALL et al 2011 p 4)
208
instrumento de comunicaccedilatildeo como o e-mail portanto natildeo assegura papel algum em uma
atividade Apenas abre um leque de possibilidades de accedilatildeo e interaccedilatildeo entre seres humanos
Podendo se tornar um artefato mediador de relaccedilotildees entre sujeitos e objetos de uma atividade
Outro ponto-chave considerado na presente anaacutelise toma por base uma informaccedilatildeo
fornecida por e-mail enviado a mim por Kevin Hall que consiste na seguinte afirmaccedilatildeo o
modelo implementado no bwsimulator natildeo assume 120572 constante No momento que li essa
afirmaccedilatildeo no e-mail imediatamente me perguntei ldquoseraacute mesmo que no software isso natildeo eacute
assumidordquo Ou seja ao processar uma informaccedilatildeo fazemos julgamentos quanto a sua
veracidade Em seguida pensei que de fato eles natildeo devem ter usado pois caso contraacuterio as
simulaccedilotildees natildeo se tornariam possiacuteveis De toda forma desejava confirmar isso pois caso
contraacuterio teriacuteamos que ldquoconfiarrdquo no que estava por traacutes do software e isso definitivamente
natildeo era nosso objetivo Mas como poderiacuteamos ter acesso ao que estaacute atraacutes da ldquocenardquo
promovida pelo software As simulaccedilotildees possibilitadas por tal instrumento estariam
simulando quais realidades
Novamente enviei um e-mail para Kevin Hall perguntando sobre o software em
termos de acesso aos coacutedigos internos agrave programaccedilatildeo aos recursos que estariam por traacutes da
interface homem-maacutequina estabelecidas no bwsimulator Ele me encaminhou ao setor de
transferecircncia de tecnologia para que eu pudesse obter mais detalhes sobre o acesso aos
coacutedigos O acesso aos coacutedigos somente nos foi dado mediante assinatura de termo de
compromisso assumindo-os para fins de ensino e pesquisa e sobretudo mediante assinatura
da instituiccedilatildeo a qual sou vinculada ndash CEFET-MG Sendo assim somente pesquisadores
podem ter acesso aos coacutedigos Natildeo se trata de um software livre nem de coacutedigo aberto Nesse
sentido trago uma reflexatildeo de Castells (2005) sobre o direito de propriedade e a democracia
da comunicaccedilatildeo como segue
Aderindo agrave democracia da comunicaccedilatildeo concorda-se com a democracia directa algo
que nenhum estado aceitou ao longo da histoacuteria Admitir o debate para redefinir os
direitos de propriedade acerta em cheio no coraccedilatildeo da legitimidade capitalista
Aceitar que os utilizadores satildeo produtores de tecnologia desafia o poder do
especialista Entatildeo uma poliacutetica inovadora mas pragmaacutetica teraacute de encontrar o
meio caminho entre o que eacute social e politicamente exequiacutevel em cada contexto e a
promoccedilatildeo das condiccedilotildees culturais e organizacionais para a criatividade na qual a
inovaccedilatildeo o poder a riqueza e a cultura se alicerccedilam na sociedade em rede
(CASTELLS 2005 p 29 grifo meu)
Nesse sentido parece que haacute uma iminente corrosatildeo do que poderia ser um
processo democraacutetico de comunicaccedilatildeo No que se refere aos conhecimentos impressos no
artigo natildeo parece ter problema algum o estabelecimento de uma comunicaccedilatildeo aparentemente
209
democraacutetica mas quando a propriedade intelectual dos desenvolvedores do software estava
sendo posta em risco aiacute a comunicaccedilatildeo democraacutetica se tornou fluida corroiacuteda
As intenccedilotildees do grupo liderado por Kevin Hall satildeo claras a difusatildeo do
conhecimento tecnoloacutegico somente se daacute em niacutevel de utilizaccedilatildeo (operaccedilatildeo) em vez de
produccedilatildeo (desenvolvimento) Os resultados das pesquisas realizadas por eles estatildeo
disponiacuteveis a todos por meio da internet sob a forma do bwsimulator O que serviria de base
para os coacutedigos tambeacutem estaacute disponiacutevel sob a forma do artigo (texto) Poreacutem a
disponibilizaccedilatildeo do artigo e o que o ampara natildeo parece ser considerada transferecircncia de
tecnologia ao contraacuterio do que ampara o software Nisso acordos internacionais que visam a
(re)definiccedilatildeo dos direitos de propriedade intelectual tornam-se ldquofundamentais para a
preservaccedilatildeo da inovaccedilatildeo e para a dinamizaccedilatildeo da criatividade das quais depende o progresso
humano antes e agorardquo (CASTELLS 2005 p 28)
Skovsmose (2007 p 186) denomina por construtores certo grupo de pessoas que
estaacute desenvolvendo e mantendo um aparato da razatildeo Para o autor tudo que eacute ensinado na
educaccedilatildeo superior deveria enfrentar o paradoxo da razatildeo para que os estudantes conheccedilam a
ambivalecircncia incluiacuteda no aparato da razatildeo O autor afirma que ldquoa matemaacutetica pode ser
disponiacutevel em pacotes que exigem capacidade para serem usados embora os detalhes sobre
como o pacote funciona podem natildeo ser entendidos pelas pessoas que operam com elesrdquo
(SKOVSMOSE 2007 p 187) Tais pacotes poderiam e muitas vezes trazem a Matemaacutetica
fora da superfiacutecie da situaccedilatildeo uma Matemaacutetica impliacutecita ldquoescondidardquo Em tais situaccedilotildees o
grupo de pessoas que opera tais pacotes eacute denominado por operadores que estatildeo tambeacutem
operando com matemaacutetica em accedilatildeo
Nesse sentido podemos perceber um niacutetido alinhamento entre a estrateacutegia de
abertura de caixas-pretas como um objetivo geral para a educaccedilatildeo matemaacutetica superior que
toma como objeto a formaccedilatildeo de construtores em vez de meros operadores Mais
especificamente eacute preciso promover um espaccedilo formativo em que natildeo se possa admitir a
formaccedilatildeo em Engenharia de operadores pois caso isso permaneccedila o desenvolvimento e a
manutenccedilatildeo dos aparatos da razatildeo continuaratildeo nas matildeos de poucos frequentemente cidadatildeos
de paiacuteses ricos e poderosos que na situaccedilatildeo de detentores do conhecimento e da tecnologia
tendem a colaborar com uma nova forma de colonizaccedilatildeo
Com isso pretende-se instaurar um espaccedilo criacutetico-formativo que num primeiro
momento pode ateacute parecer ilusatildeo ou utopia devido agrave dificuldade de entendimento de tantas
caixas-pretas amontoadas sobre e entre si mesmas Contudo ao se considerar as incertezas
proporcionadas pelos ldquodesgovernadosrdquo aparatos da razatildeo que proveem recursos para mais
210
desenvolvimento tecnoloacutegico torna-se necessaacuterio promover experiecircncias formativas no
sentido de fomentar a elaboraccedilatildeo de inovadores instrumentos de criacutetica descoberta e
reproduccedilatildeo praacutetica amparados pelos subsiacutedios fornecidos pelos aparatos da razatildeo
ldquoanterioresrdquo
Dessa forma o objeto da atividade aqui analisada como constituinte de um
espaccedilo formativo mais amplo - que se destina agrave formaccedilatildeo dos profissionais da Engenharia-
transforma-se gradativamente na medida em que as accedilotildees orientadas pelas e nas
transformaccedilotildees qualitativas da caixa-preta do ldquopeso corporal idealrdquo que configurou como
questatildeo-problema escolhida pelos sujeitos engajados no GEPMM a ser
entendidasolucionada ndash ldquoclareadardquo ndash ou seja qualitativamente modificada eou
transformada e portanto expandida
54 Quarta modalidade ndash Multivocalidade e agency evidenciadas pelas interaccedilotildees
tecnomediadas em atividades de Modelagem Matemaacutetica idealizaccedilotildees desencadeadoras
de aprendizagens potencialmente expansivas em um contexto de formaccedilatildeo em
Engenharias
A matemaacutetica constitui sem duacutevida tatildeo-somente um momento da processatildeo Por si
mesma ela ainda natildeo diz o que possibilita a captura da forma na concretude do
existente A essecircncia natildeo eacute o uacuteltimo fundamento Mas se a matematizaccedilatildeo natildeo eacute a
palavra final do ser nem a uacuteltima palavra sobre o ser ela nos abre em todo caso uma
regiatildeo de transparecircncia com a qual o espiacuterito humano estaacute como que naturalmente
harmonizado (LADRIEgraveRE 1978 p 165)
Configurando-se como uma das bases que constituem a Teoria da Atividade de
Engestroumlm (1987) as ideias do teoacuterico Mikhail Bakhtin tendo desenvolvido suas
investigaccedilotildees na aacuterea de filosofia da linguagem cujas origens podem ser encontradas no
marxismo fornecem a noacutes os subsiacutedios conceituais para dar conta de analisar as interaccedilotildees
que podem ser constituidoras de idealizaccedilotildees de aprendizagem em movimento de
aprendizagem expansiva
O conceito de multivocalidade tambeacutem atribuiacutedo a Bakhtin aplicado na presente
pesquisa como base analiacutetica para aprendizagens expansivas configura-se como muacuteltiplas
vozes podendo ser caracterizadas como contraditoacuterias e complementares dos vaacuterios grupos e
estratos que constituem as interaccedilotildees no sistema de atividade em anaacutelise que inclui as vozes e
gecircneros natildeo acadecircmicos de pessoas comuns constituindo argumentaccedilotildees que englobam
diferentes tipos de discurso e linguagem (BARROS 2007)
211
As interaccedilotildees podem ser caracterizadas por accedilotildees realizadas entre os sujeitos e o
objeto da atividade formativa de Modelagem Matemaacutetica aqui analisada por meio dos
artefatos mediadores que incluem as ferramentas e os signos culturais Segundo Bakhtin
(2010) o agir humano soacute se realiza mediante a interaccedilatildeo e o dizer natildeo pode ser considerado
independente do agir As interaccedilotildees verbais para Bakhtin (2010) constituem as mais variadas
formas de enunciaccedilatildeo impregnadas pelas ideologias que permeiam os fenocircmenos sociais
dando base a situaccedilotildees concretas que possibilitam os atos de fala As interaccedilotildees verbais natildeo se
restringem aos diaacutelogos que constituem claramente uma das formas mais importantes de
interaccedilatildeo verbal contudo pode-se compreender a palavra ldquodiaacutelogordquo num sentido mais amplo
isto eacute natildeo apenas como a comunicaccedilatildeo em voz alta de pessoas face a face mas toda
comunicaccedilatildeo verbal de qualquer tipo que seja como por exemplo um ato de fala impresso
em um livro ou em uma mensagem escrita em um e-mail
A tecnomediaccedilatildeo eacute entendida neste texto como sendo as interaccedilotildees mediadas por
artefatos tecnoloacutegicos que incluem as mais variadas ferramentas ou suportes tecnoloacutegicos
tais como a proacutepria Matemaacutetica e os recursos ciberneacuteticos aleacutem de englobar diversos suportes
de mediaccedilatildeo tais como a linguagem transmitida sob a forma oral escrita e por gestos A
linguagem eacute considerada por Bakhtin (2010) como um fato soacutecio ideoloacutegico e configura como
formas discursivas que veiculam por meio dos atos de fala as mais diferenciadas ideologias
estampadas nos mais diversos tipos significantes de enunciaccedilatildeo de natureza social
configurada como o produto do ato de fala
Com base nesses pressupostos pretendo agora esboccedilar uma anaacutelise das
interaccedilotildees perceptivelmente constituintes eou constituidoras das atividades do GEPMM Para
tal busco no corpus empiacuterico de dados construiacutedos durante a investigaccedilatildeo ndash elaboraccedilatildeo e
implementaccedilatildeo do GEPMM os atos de fala que explicitem a multivocalidade e a agency
evidenciadas naspelas interaccedilotildees dos sujeitos partiacutecipes
Na entrevista final quando questionada o que teria aprendido com a participaccedilatildeo
no GEPMM a professora Clarice pontuou ldquoa matemaacutetica taacute em todo lugarrdquo afirmou que ao
estar mais acostumada com uma Matemaacutetica mais teoacuterica e natildeo ter costume com uma
matemaacutetica em accedilatildeo sua participaccedilatildeo no GEPMM trouxe enriquecimento com relaccedilatildeo a isso
E confirmou ldquopensar o problema matematicamente eu natildeo tinha pensado Pensei agora
pensei no grupordquo Nesse sentido podemos aferir que as interaccedilotildees tecnomediadas ocorridas
no GEPMM possibilitaram uma ampliaccedilatildeo no repertoacuterio da docente Clarice no que diz
respeito agraves idealizaccedilotildeesvisualizaccedilotildees de uma matemaacutetica em accedilatildeo
212
O docente Angel tambeacutem demonstrou transformaccedilotildees em suas ideias mediante as
interaccedilotildees possibilitadas na e pela atividade de modelagem desenvolvida pelo GEPMM Na
entrevista final ele pontuou que natildeo esperava ter visto uma Matemaacutetica tatildeo complexa em um
problema da aacuterea de sauacutede ou seja uma matemaacutetica em accedilatildeo na aacuterea de sauacutede agindo de
forma natildeo superficial Nas palavras dele
Eu tive essa visatildeo mais ampliada da matemaacutetica [] eu imaginava uma matemaacutetica
mais baacutesica neacute mais elementar porque a gente pensa ah o pessoal da sauacutede natildeo
deve ser tatildeo assim aprofundado nas matemaacuteticas pra poder chegar em resultados
tatildeo bacanas [] tinha equaccedilotildees diferenciais tinha vaacuterias teacutecnicas matemaacuteticas
interessantiacutessimas aplicadas com um fim laacute comum
Com isso podemos perceber que o docente Angel tambeacutem parece ter tido uma
ampliaccedilatildeo no repertoacuterio no que diz respeito agraves idealizaccedilotildees que a matemaacutetica em accedilatildeo pode
possibilitar Afirmou ainda nunca ter tido a oportunidade de ver equaccedilotildees diferenciais em
outros contextos nas palavras dele ldquoa gente fica naquele lsquomundinhorsquo ali [] e transita por
ali entatildeo nunca tive curiosidade de procurar alguma matemaacutetica mais avanccedilada em outras
aacutereas entendeurdquo
Para a aluna Taty ter participado do GEPMM foi enriquecedor pelas
possibilidades de discussatildeo em grupo Extraiacutedas das transcriccedilotildees da gravaccedilatildeo da entrevista
final as palavras de Taty nos dizem ldquoA discussatildeo em grupo foi muito produtiva [] e
tambeacutem neacute essa questatildeo da articulaccedilatildeo neacute acho que a gente tem que aprender a trabalhar
porque quando vocecirc tem pessoas pra trabalhar junto com vocecirc em uma coisa as coisas saem
melhoresrdquo
A aluna pontuou ainda que ao participar do grupo pocircde reafirmar sob sua
concepccedilatildeo a importacircncia da atividade de pesquisa Ainda que a participaccedilatildeo da aluna possa
ser considerada incipiente Para ela as pessoas ldquopodem descobrir coisas que ningueacutem
descobriu antesrdquo acredita que nisso consiste ldquoo grande diferencialrdquo porque as pessoas ficam
repetindo muito reproduzindo muito e acabam natildeo percebendo que as inovaccedilotildees surgem
muitas vezes de resultados de pesquisa Durante toda a construccedilatildeo dos dados para a pesquisa
relatada nesta tese percebi que a aluna Taty realmente objetiva ter uma boa formaccedilatildeo para
conseguir ter o diferencial no mercado de trabalho Esse foi na minha visatildeo o principal
motivo do engajamento no GEPMM fazer a diferenccedila no mercado de trabalho A aluna
delimita ainda como um horizonte de ldquoaccedilotildeesrdquo para materializar tal objetivaccedilatildeo um Plano de
Accedilotildees Internas - PAI (KAPTELININ 1996) de sua proacutepria atividade formativa em
Engenharia aprendizagens de Caacutelculo e outros instrumentos matemaacuteticos que estejam aleacutem
213
dos preconizados nos planos e nas ementas das disciplinas de Caacutelculo Nas palavras de Taty
extraiacutedas das transcriccedilotildees do primeiro encontro do GEPMM
As melhores aacutereas da Computaccedilatildeo as que datildeo mais dinheiro cecirc tem que ser bom de
matemaacutetica Entatildeo eu acho um desperdiacutecio a gente ter 500 professores de
Matemaacutetica aqui e ficar na sala de aula vendo nada Adoro gosto muito acho
muito legal mas soacute isso Entendeu Vocecirc pode sair daqui muito mais potente
Com essa fala podemos analisar que apesar de o objeto das atividades
desenvolvidas pelono GEPMM estar orientado pelas questotildees-problema natildeo matemaacuteticas e
pelos estudantes em formaccedilatildeo os motivos que direcionam o engajamento nas atividades satildeo
atribuiacutedos a um sentido pessoal que norteia as accedilotildees dos sujeitos inclusive orienta as decisotildees
de engajamento ou natildeo em atividades Por que a aluna se engajou nas atividades do
GEPMM Porque deseja ter um bom salaacuterio ganhar mais dinheiro Nesse caso um bom
emprego eou muito dinheiro seriam os motivos evidenciados pela aluna em seus atos de fala
Tal objetivo estaacute relacionado a uma necessidade social ser bem-sucedido Para tal ela esboccedila
um Plano de Accedilotildees Internas (PAI) (KAPTELININ 1996) para sua proacutepria atividade
formativa Encontra a possibilidade de participar do GEPMM Percebe que as finalidades satildeo
alinhadas Engaja-se nas atividades do grupo Quando natildeo consegue realizar as atividades ou
accedilotildees relacionadas aos objetivos de ser aprovada nas disciplinas regulares e tambeacutem terminar
o projeto de iniciaccedilatildeo cientiacutefica a aluna reconceitualiza o PAI anulando ou tornando-as
minimizadas em prol de um realinhamento dos objetivos orientados nospelos sistemas de
atividade de formaccedilatildeo em engenharia ao motivo Uma voz do sistema capitalista de produccedilatildeo
estaria dessa forma ecoando na atividade a voz do mercado de trabalho Eacute possiacutevel notar
que tal voz pode ser ouvida nos mais diversos modos de atividade contemporacircneos pois
representa uma ideologia enunciada pelos sujeitos sociais Bakhtin (2010 p 125 grifo do
autor) pontua que ldquoo centro organizador de toda enunciaccedilatildeo de toda expressatildeo natildeo eacute interior
mas exterior estaacute situado no meio social que envolve o indiviacuteduordquo
Baseado nisso podemos enfatizar que uma ideologia que envolve a maioria dos
sujeitos de nossa sociedade que consiste na relaccedilatildeo de desejonecessidade em ser bem--
sucedido ter um bom emprego eou ganhar um bom salaacuterio Nesse sentido Charlot (2013 p
181) pontua ldquoao passo que se fala em sociedade do saber o saber estaacute perdendo o seu valor de
uso para virar soacute valor de trocardquo Esse fato pode encontrar suas origens na proacutepria sociedade
globalizada atual que por natureza incita a concorrecircncia permanente promulgando um
individualismo cada vez mais perceptiacutevel nas relaccedilotildees sociais Nisso residiria uma
214
contradiccedilatildeo fundamental primaacuteria constituinte dos mais variados tipos e modos histoacutericos de
atividades Ter poder ser potente ter um bom emprego e ser bem-sucedido satildeo desejos
baseados em ideologias da proacutepria sociedade capitalista Essa loacutegica da concorrecircncia
portanto pode ser parte das ideologias que ecoam nas vozes dos alunos em formaccedilatildeo em
Engenharia e pode ser considerado ldquoum sintoma de ferida antropoloacutegicardquo (CHARLOT 2013
p 182) Ferida dor e sofrimento podem ser originados por essa ideologia Quando um aluno
natildeo consegue colocar em praacutetica o PAI de sua proacutepria atividade de formaccedilatildeo ou ainda quando
o PAI natildeo eacute eficiente na realidade ele sofre Uma ferida eacute aberta podendo provocar muita
dor Reprovaccedilotildees e ou qualquer outro tipo de resultado que seja ldquodesalinhadordquo ao objetivo
delimitado pela ideologia da concorrecircncia pode acabar trazendo um desconforto para os
sujeitos que participam das atividades formativas natildeo somente para os alunos
Nisso a atividade de formaccedilatildeo em Engenharia pode ser analisada como um
trabalho alienado tanto para os alunos quanto para os professores Mas por um lado como
pensar em uma atividade de formaccedilatildeo profissionalizante sem pensar em saber e conhecimento
como objetivos principais Por outro lado como garantir uma formaccedilatildeo consistente
alinhando-se os objetivos restritamente de forma a garantir um bom salaacuterio As instituiccedilotildees
destinadas agrave formaccedilatildeo em Engenharia estatildeo configuradas socialmente apenas como um
caminho uma trajetoacuteria uma rede orientada pelo emprego (ou por um bom emprego) Como
minimizar essa contradiccedilatildeo primaacuteria emergente dos sistemas de atividade de formaccedilatildeo em
Engenharia Seria possiacutevel Natildeo pretendo e nem tenho condiccedilotildees para tentar responder a
esses questionamentos mas percebo que o quadro teoacuterico utilizado no desenvolvimento da
pesquisa aqui relatada ndash Teoria da Atividade ndash pode nos ajudar a seguir adiante em pesquisas
futuras que objetivem focar em tais questotildees Vale ressaltar que ldquoo trabalho do professor natildeo
eacute o de resolver as contradiccedilotildees mas de esclarececirc-las e evidenciar as vaacuterias formas de
legitimidade que podem existir em cada umardquo (CHARLOT 2013 p 175)
A formaccedilatildeo de uma rede coletiva de aprendizagens mediante as mais variadas
possibilidades de interaccedilotildees tecnomediadas foi estabelecida com a constituiccedilatildeo do GEPMM ndash
uma parceria Vale ressaltar que a multivocalidade esteve presente nos encontros do GEPMM
devendo ser analisada como suporte para idealizaccedilotildees de futuras realizaccedilotildees e
empreendimentos inovadores tornando a abertura reafirmaccedilatildeo eou modificaccedilatildeo das caixas-
pretas (modelos matemaacuteticos e computacionais) como accedilotildees estrategicamente necessaacuterias
para a formaccedilatildeo de agentes do desenvolvimento cientiacutefico tecnoloacutegico cultural e
socioeconocircmico demandados pelana formaccedilatildeo dos Engenheiros na atualidade
215
Castells (2005) pontua a existecircncia de uma contradiccedilatildeo crescente entre autonomia
e capacidade de inovaccedilatildeo necessaacuterias para o trabalho em empresas em rede Para o autor tal
contradiccedilatildeo somente pode ser minimizada mediante a ldquoeducaccedilatildeo baseada no modelo de
aprender a aprender ao longo da vida e preparada para estimular a criatividade e a inovaccedilatildeo
de forma a ndash e com o objectivo de ndash aplicar esta capacidade de aprendizagem a todos os
domiacutenios da vida social e profissionalrdquo (CASTELLS 2005 p 28) Sendo assim o autor
assume a criatividade e a inovaccedilatildeo como fatores-chave da criaccedilatildeo de valor e da mudanccedila
social na sociedade em rede Contudo o autor sinaliza para a necessidade de redefiniccedilatildeo dos
direitos de propriedade intelectual cujo iniacutecio se deu com a jaacute enraizada praacutetica do software
de fonte aberta como constituintes de uma comunicaccedilatildeo sem obstaacuteculos fundamentais para a
difusatildeo de um desenvolvimento tecnoloacutegico que responda agraves necessidades humanas de todo o
planeta Dessa forma a reforma do capitalismo perpassa a questatildeo do direito agrave propriedade
intelectual fator decisivo para a constituiccedilatildeo de uma democracia global
Vale ressaltar que ldquoa introduccedilatildeo da tecnologia soacute por si natildeo assegura nem a
produtividade nem a inovaccedilatildeo nem melhor desenvolvimento humanordquo (CASTELLS 2005
p 26) Por esse motivo foco esta parte da anaacutelise na multivocalidade e na agency
evidenciadas pelasnas interaccedilotildees tecnomediadas nas atividades de um GEPMM e natildeo apenas
e de forma limitada aos artefatos mediadores ndash os modelos matemaacutetico e computacional
Uma multivocalidade hiacutebrida oriunda da hibridade discursiva foi observada nas
atividades do GEPMM aqui analisadas A resoluccedilatildeo de problemas coletiva e a produccedilatildeo de
conhecimentos especificamente no que tange agrave questatildeo problemaacutetica do ldquopeso corporal
idealrdquo representaram notadamente uma substancial expansatildeo do repertoacuterio dos sujeitos
partiacutecipes da referida atividade Ao objeto da referida atividade destaca-se uma dimensatildeo
real objetiva e outra futura ou imaginaacuteria Nesse sentido ao mesmo tempo em que ele ndash o
objeto ndash era tomado na atividade praacutetica objetiva real do GEPMM configurava-se uma
dimensatildeo futura intencional projetiva idealizada do ldquomesmordquo objeto mediante accedilotildees de
idealizar ndash idealizaccedilotildees Ambas as dimensotildees somente podem ser analisadas em face da
multivocalidade a ser observada naspelas interaccedilotildees tecnomediadas
No momento que dedicaacutevamos esforccedilos para a abertura da caixa-cinza 3 (1198621198753)
estaacutevamos engajados em uma anaacutelise criacutetica do modelo constituiacutedo por vaacuterias EDOs e
implementado como o bwsimulator ndash um aparato da razatildeo Como resultado de tal anaacutelise e
reflexatildeo detiacutenhamos em nossa imaginaccedilatildeo em nossas ideias sobre tal instrumento da referida
atividade uma limitaccedilatildeo do fenocircmeno na realidade Detiacutenhamos naquele momento a
compreensatildeo de que a problemaacutetica questatildeo do ldquopeso corporal idealrdquo na realidade era muito
216
mais complexa do que a representaccedilatildeo fornecida pelo bwsimulator tanto em termos dos
alimentos ingeridos que fornecem a energia de entrada quanto aos exerciacutecios fiacutesicos que
fazem parte do consumo energeacutetico Estaacutevamos certos de que havia limitaccedilotildees conceituais da
realidade a ser modelada ndash a problemaacutetica questatildeo do ldquopeso corporal idealrdquo e o modelo
emergente da matematizaccedilatildeo e da respectiva implementaccedilatildeo computacional Precisaacutevamos
abrir a caixa-cinza 4 (1198621198754) para avaliarmos se tal limitaccedilatildeo era resultante de uma possiacutevel
limitaccedilatildeo teoacuterica conceitual da proacutepria matemaacutetica em accedilatildeo
Para tal pode-se destacar um discurso trazido agrave cena por dois partiacutecipes da
atividade aqui analisada ndash Teoria Fuzzy Tal discurso acadecircmico-cientiacutefico ecoou em vaacuterios
momentos da anaacutelise dos modelos referidos anteriormente e somente pocircde ser em virtude de
experiecircncias anteriores vivenciadas pelos dois partiacutecipes Tal vocalidade ali ecoada trouxe agrave
cena um novo instrumento uma nova ferramenta uma nova caixa-preta a ser aberta ndash os
discursos da Teoria Fuzzy Mais do que isso originou-se como uma necessidade para a
elaboraccedilatildeoproduccedilatildeo de um novo modelo um novo instrumento que levaria a uma
transformaccedilatildeo qualitativa do objeto da atividade em questatildeo referindo-se tanto agrave mudanccedila de
niacutevel da caixa-preta do ldquopeso corporal idealrdquo (rumo a uma caixa cinza 5) quanto agraves
emergentes e necessaacuterias possibilidades de interaccedilotildees tecnomediadas entre os sujeitos da
parceria no que tange ao compartilhamento de informaccedilotildees constituintes de conhecimentos e
consequentemente saberes necessaacuterios para tal empreendimento Tiacutenhamos assim uma nova
configuraccedilatildeo uma nova estrutura de atividade possibilitada pela e na multivocalidade
discursiva que nela ecoava sob o aspecto de um Plano de Accedilotildees Internas (PAI) da proacutepria
atividade
O Plano de Accedilotildees Internas (PAI) da atividade estava se reconfigurando
Idealizaccedilotildees que preconizam a realizaccedilatildeo do empreendimento foram evidenciadas nos
discursos trazidos agrave cena pela fala dos sujeitos projetar o uso da Teoria Fuzzy para a
construccedilatildeo de um novo modelo ndash tanto matemaacutetico quanto tecnoloacutegico
Poderiacuteamos inclusive pensar em um modelo tecnoloacutegico no qual a Matemaacutetica
natildeo poderia dele ser isolada nem vice-versa Um modelo tecnomatemaacutetico A Matemaacutetica
estaria aqui operando com o que poderia ser ou poderia se tornar ndash uma idealizaccedilatildeo orientada
pela Matemaacutetica contida no PAI Tal idealizaccedilatildeo poderia ser considerada como um elo entre
o que eacute e o que poderia vir a ser ndash uma nova orientaccedilatildeo uma nova finalidade Nesse sentido a
existecircncia de idealizaccedilotildees que objetivem alternativas para um fenocircmeno real se torna parte
indispensaacutevel do processo de modelagem cujo pressuposto essencial segundo Bassanezi
(2006) consiste no entendimento de que nenhum modelo deve ser considerado definitivo
217
podendo sempre ser melhorado e poderiacuteamos dizer que um bom modelo eacute aquele que propicia
a formulaccedilatildeo de novos modelos sendo essa reformulaccedilatildeo dos modelos uma das partes
fundamentais do processo de modelagem O autor pontua que isso pode ser evidenciado se
considerarmos que
Os fatos conduzem constantemente a novas situaccedilotildees
Qualquer teoria eacute passiacutevel de modificaccedilotildees
As observaccedilotildees satildeo acumuladas gradualmente de modo que novos fatos suscitam
novos questionamentos
A proacutepria evoluccedilatildeo da Matemaacutetica fornece novas ferramentas para traduzir a
realidade (teoria do Caos Teoria Fuzzy etc) (BASSANEZI 2006 p 31)
Contudo tal idealizaccedilatildeo contida no PAI da atividade somente pode ser
considerada como uma sequecircncia de accedilotildees ideais que podem fazer emergir fendas entre tal
idealizaccedilatildeo e o que viraacute a ser uma atividade real objetiva ndash concretizaccedilatildeo da idealizaccedilatildeo ndash
fazendo surgir uma objetivaccedilatildeo considerada aqui como transformaccedilatildeo de algo subjetivo em
algo objetivo ndash accedilotildees planejadas transformadas em accedilotildees executadas pelos sujeitos partiacutecipes
da atividade
Para isso uma accedilatildeo inicial a ser realizada na atividade praacutetica consistiu no
entendimento da Teoria Fuzzy mediante interaccedilotildees que possibilitaram o compartilhamento de
informaccedilotildees sobre tal arcabouccedilo teoacuterico permitindo a elaboraccedilatildeo desse novo instrumento que
passaria a permear a referida atividade Percebemos ainda a necessidade de uso e combinaccedilatildeo
de todos os instrumentos matemaacuteticos e tecnoloacutegicos que permearam a referida atividade para
o empreendimento configurado por tal nova construccedilatildeo se tornar de fato real Entre os
instrumentos que necessariamente permeavam a atividade podemos destacar conhecimentos
matemaacuteticos (Caacutelculo EDO Fuzzy) estrateacutegias de modelagem matemaacutetica modelos
matemaacuteticos modelos tecnoloacutegicos e estrateacutegias de programaccedilatildeo de computadores
Como consideraccedilatildeo final a essa parte da anaacutelise pontuo que a sequecircncia de
interaccedilotildees de aprendizagem se configura com caracteres cujo ldquoenquadramentordquo enunciativo
remete a significados resultantes de argumentaccedilotildees criacutetico-reflexivas dentro de uma praacutetica
social ndash formaccedilatildeo dos engenheiros ndash estando relacionadas agrave necessidade de transformaccedilotildees
qualitativas de tal praacutetica A constituiccedilatildeo de um contexto formativo (GEPMM) ampliou as
possibilidades de interaccedilotildees entre os sujeitos e os respectivos objetos de suas atividades O
objeto da atividade de Modelagem Matemaacutetica analisada nessa tese eacute constituiacutedo por trecircs
materializaccedilotildees ldquoo peso corporal idealrdquo a agency dos futuros engenheiros e dos docentes
evidenciadas nas interaccedilotildees sujeito-sujeitos e sujeitos-objeto
218
Tal contexto formativo somente foi constituiacutedo a partir do resultado da anaacutelise da
praacutetica social que constitui a formaccedilatildeo em Engenharia institucionalizada podendo ser
considerado como um enunciado embebido por diversas ideologias incluindo as que
compotildeem os discursos cientiacuteficos e tecnoloacutegicos configurando dessa forma uma nova forma
de atividade na instituiccedilatildeo que amplia as possibilidades de compartilhamento de informaccedilotildees
e construccedilatildeo de parcerias ndash constituindo (criando) um novo objeto para os sistemas de
atividade como resultado de uma busca consciente coletiva e intencional de oportunidades
para inovar no sentido de se fazer o novo renovar promover mudanccedilas substanciais na
praacutetica formativa Sob esse aspecto considero as accedilotildees aqui representadas como inovaccedilotildees no
que tange inclusive agrave constituiccedilatildeo de um novo e expandido espaccedilo formativo relacionado agraves
disciplinas de Caacutelculo ndash atividades de Modelagem Matemaacutetica ndash dentro do sistema de
atividades que eacute orientado pela formaccedilatildeo de engenheiros
O espaccedilo formativo constituiacutedo pelo contexto alternativo mais amplo ndash GEPMM
ndash inclui necessariamente a delimitaccedilatildeo de uma ineacutedita rede de aprendizagem ndash uma parceria
Os sujeitos satildeo cuacutemplices de uma mesma atividade de resoluccedilatildeoentendimento de questotildees-
problema do mundo real O engajamento em tais sistemas de atividade estaacute orientado por
mudanccedilas nas agencys dos docentes e discentes frente agraves suas muacuteltiplas atividades Os
instrumentos que permeiam tal atividade incluem estrateacutegias de Modelagem Matemaacutetica
conhecimentos matemaacuteticos modelos matemaacuteticos e tecnoloacutegicos conhecimentos de
programaccedilatildeo de computadores entre outros
CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Neste capiacutetulo busco fazer um tipo de fechamento de ideias a respeito da
investigaccedilatildeo relatada neste texto cujo objetivo central esteve orientado pelo seguinte
questionamento quais aprendizagens expansivas podem ser evidenciadas pelas e nas
atividades desenvolvidas por um Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem Matemaacutetica
(GEPMM) em um contexto de formaccedilatildeo em Engenharia
Para tal os dados foram construiacutedos em um contexto institucional que se destina
exclusivamente agrave formaccedilatildeo de engenheiros localizado em uma cidade do interior de Minas
Gerais e os desdobramentos da investigaccedilatildeo foram norteados pela abordagem qualitativa por
meio de uma intervenccedilatildeo formativa (ENGESTROumlM SANNINO 2010b) Essa intervenccedilatildeo se
219
engendrou por meio da constituiccedilatildeo de um GEPMM concebido sob a perspectiva que
considera os conteuacutedos do Caacutelculo como ferramentas ou instrumentos necessaacuterios para a
formaccedilatildeo em Engenharia
Ancorada nos aportes da teoria histoacuterico-cultural da atividade e da aprendizagem
expansiva a investigaccedilatildeo objetivou o estabelecimento de um diaacutelogo com teoacutericos que
discutem Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica focando os contextos de formaccedilatildeo em
Engenharia Sendo assim o GEPMM se configura como um espaccedilo formativo alternativo sob
a perspectiva do Caacutelculo em accedilatildeo
A construccedilatildeo dos dados para a presente investigaccedilatildeo se deu por meio de
observaccedilotildees entrevistas registro de diaacuterio de campo e mensagens eletrocircnicas O processo de
anaacutelise e interpretaccedilatildeo dos dados construiacutedos foi desenvolvido com base no proacuteprio processo
de constituiccedilatildeo do GEPMM como um ciclo de accedilotildees potencialmente expansivo
(ENGESTROM SANNINO 2010b) que possibilitou o preenchimento da ldquomatrizrdquo para
anaacutelise da aprendizagem expansiva (ENGESTROumlM 2001)
Aleacutem disso os dados construiacutedos fizeram emergir quatro modalidades analiacuteticas
na tentativa de compreender as possibilidades de aprendizagens expansivas que podem ser
evidenciadas nas e pelas atividades de um GEPMM em um contexto de formaccedilatildeo em
Engenharia Conforme abordado no Capiacutetulo 5 desta tese a constituiccedilatildeo do referido espaccedilo
formativo alternativo (GEPMM) ampliou as possibilidades de interaccedilotildees entre os sujeitos e os
respectivos objetos de suas muacuteltiplas atividades possibilitando aprendizagens expansivas
que se manifestaram como 1) transposiccedilatildeo de fronteiras e construccedilatildeo de redes ndash parcerias 2)
movimento na zona de desenvolvimento proximal da atividade docente-discente 3)
transformaccedilotildees qualitativas do objeto da atividade de Modelagem Matemaacutetica 4) ciclos de
accedilotildees potencialmente expansivas ndash idealizaccedilotildees
Ao analisar a referida intervenccedilatildeo formativa observam-se ainda subsiacutedios
necessaacuterios para considerar que o engajamento nas atividades do GEPMM pode de fato
representar importante papel na formaccedilatildeo continuada de professores suas proacuteprias praacuteticas
ampliando assim os respectivos horizontes de atuaccedilatildeo nas mais diversas dimensotildees
cotidianas de trabalho
Considerando que o momento de encerramento de uma tese natildeo se configura
apenas como um fechamento de ideias uma vez que vaacuterias discussotildees debates estudos e
pesquisas podem se originar dos dados e das questotildees apresentadas tomando por base o
espaccedilo formativo alternativo constituiacutedo pelono GEPMM em um contexto de formaccedilatildeo em
Engenharias entendo que as possibilidades para aprendizagens expansivas se tornam
220
instigantes objetos de pesquisas futuras Para tal como um horizonte possiacutevel a seguinte
pergunta diretriz poderia nortear futuras investigaccedilotildees
Quais aprendizagens expansivas podem ser evidenciadas naspelas interaccedilotildees
tecnomediadas pelo Caacutelculo em accedilatildeo em atividades de Modelagem Matemaacutetica em um
contexto de formaccedilatildeo em Engenharias
Por fim vale ressaltar que uma intervenccedilatildeo e sua interpretaccedilatildeo analiacutetica
constituintes da praacutexis cientiacutefica jamais devem ser consideradas como algo que se impotildee
absolutamente Haacute lugar para diversos esquemas e compreensotildees e por conseguinte
confrontos entre interpretaccedilotildees diversas ldquoSe a interpretaccedilatildeo eacute revelante eacute pois num duplo
sentido ela faz aparecer uma estrutura inteligiacutevel que vale de alguma maneira por si mesma
mas ao mesmo tempo daacute os meios para atingir com sua mediaccedilatildeo uma realidade que nela se
mostra mas sem aiacute se esgotarrdquo (LADRIEgraveRE 1978 p 130)
REFEREcircNCIAS
ABBAGNANO N Dicionaacuterio de Filosofia 1ordf ediccedilatildeo brasileira coordenada e revista por
Alfredo Bossi revisatildeo da traduccedilatildeo e traduccedilatildeo dos novos textos Ivone Castilho Benedetti 5
ed Satildeo Paulo Martins Fontes 2007
ALVES-MAZZOTTI A J O meacutetodo nas ciecircncias sociais In ALVES-MAZZOTTI A J
GEWANDSZNAJDER F O meacutetodo nas ciecircncias naturais e sociais pesquisa quantitativa e
qualitativa Satildeo Paulo Pioneira 1999 p 109-176
ARAUacuteJO J L Caacutelculo tecnologias e modelagem matemaacutetica as discussotildees dos alunos
2002 180 f Tese (Doutorado em Educaccedilatildeo Matemaacutetica) ndash Instituto de Geociecircncias e Ciecircncias
Exatas Universidade Estadual Paulista Juacutelio de Mesquita Filho Rio Claro 2002
ARAUacuteJO J L BORBA M C Construindo pesquisas coletivamente em educaccedilatildeo
Matemaacutetica In BORBA M de C ARAUacuteJO J de L (Orgs) Pesquisa qualitativa em
Educaccedilatildeo Matemaacutetica 2 ed Belo Horizonte Autecircntica 2006 p 27-48
ARAUacuteJO J L Brazilian research on modelling in mathematics education ZDM - The
International Journal on Mathematics Education Berlin v 42 n 3-4 p 337-348 2010
ASBAHR F da S F A pesquisa sobre a atividade pedagoacutegica contribuiccedilotildees da teoria da
atividade Revista Brasileira de Educaccedilatildeo Rio de Janeiro n 29 maioago 2005 Disponiacutevel em httpwwwscielobrpdfrbedun29n29a09pdf Acesso em 26 abr 2013
BAKHTIN M Esteacutetica da criaccedilatildeo verbal Satildeo Paulo Martins Fontes 1992
BAKHTIN M Marxismo e filosofia da linguagem problemas fundamentais do meacutetodo
socioloacutegico da linguagem Traduccedilatildeo de M Lahud e Y Frateschi Vieira 14 ed Satildeo Paulo
Hucitec 2010
221
BALDINO R R CABRAL T C B O ensino de matemaacutetica em um curso de engenharia de
Sistemas Digitais In CURY H N (Org) Disciplinas Matemaacuteticas em cursos superiores
Porto Alegre EDIPUCRS 2004 p 139-186
BARBOSA J C Modelagem na Educaccedilatildeo Matemaacutetica contribuiccedilotildees para o debate teoacuterico
In REUNIAtildeO ANUAL DA ANPED 24 Caxambu Anais CD-ROM ANPED Rio de
Janeiro 2001a
BARBOSA J C Modelagem Matemaacutetica concepccedilotildees e experiecircncias de futuros
professores 2001b 253 f Tese (Doutorado em Educaccedilatildeo Matemaacutetica) ndash Instituto de
Geociecircncias e Ciecircncias Exatas Universidade Estadual Paulista Juacutelio de Mesquita Filho Rio
Claro 2001b
BARBOSA J C Modelagem Matemaacutetica na sala de aula Perspectiva Erechim v 27 n 98
p 65-74 jun 2003
BARBOSA J C Modelagem Matemaacutetica o que eacute Por quecirc Como Veritati Salvador n 4
p 73-80 2004a
BARBOSA J C Modelagem Matemaacutetica em cursos para natildeo-matemaacuteticos In CURY H N
(Org) Disciplinas Matemaacuteticas em cursos superiores Porto Alegre EDIPUCRS 2004b
p 63-84
BARBOSA J C SANTOS M A Modelagem Matemaacutetica perspectivas e discussotildees In
ENCONTRO NACIONAL DE EDUCACcedilAtildeO MATEMAacuteTICA (ENEM) 9 Belo Horizonte
Anais Recife Sociedade Brasileira de Educaccedilatildeo Matemaacutetica 2007 Disponiacutevel em
httpwwwuefsbrnupemmcc86136755572pdf Acesso em 1 ago 2013
BARROS D L P Contribuiccedilotildees de Bakhtin agraves teorias do texto e do discurso In FARACO
C A TEZZA C CASTRO G (Orgs) Diaacutelogos com Bakhtin 4 ed Curitiba Editora
UFPR 2007 p 21-38
BASSANEZI R C Ensino-Aprendizagem com modelagem matemaacutetica uma nova
estrateacutegia 3 ed Satildeo Paulo Contexto 2006
BERNARDES M E M Ensino e aprendizagem como unidade dialeacutetica na atividade
pedagoacutegica Revista Semestral da Associaccedilatildeo Brasileira de Psicologia Escolar e
Educacional (ABRAPEE) Campinas v 13 n 2 juldez 2009 Disponiacutevel em
httpwwwscielobrpdfpeev13n2v13n2a05pdf Acesso em 26 abr 2013
BIEMBENGUT M S HEIN N Modelling in engineering advantages and difficulties In
HAINES C et al (Ed) Mathematical Modelling (ICTMA 12) Education Engineering
and Economics Proceedings from the twelfth International Conference on the Teaching of
Mathematical modelling and applications Chichester United Kingdom Horwood Publishing
2007 p 415-423
BIEMBENGUT M S HEIN N Modelagem Matemaacutetica no Ensino 5 ed 2
reimpressatildeo Satildeo Paulo Contexto 2011
222
BLACK A PRENTICE A COWARD W Use of food quotients to predict respiratory
quotients for the doubly-labeled water method of measuring energy expenditure Human
Nutrition Clinic Bethesda v 40 n 5 p 381-391 1986
BLUM W Applications and Modelling in Mathematics Teaching ndash a review of arguments
and instructional aspects In NISS M BLUM W HUNTLEY Id (Orgs) Teaching of
Mathematical modelling and applications Chichester Ellis Horwood 1991 p 10-29
BLUM W LEISS D ldquoFilling uprdquo ndash the problem of independence preserving teacher
interventions in lessons with demanding modelling tasks In FOURTH CONGRESS OF THE
EUROPEAN SOCIETY FOR RESEARCH IN MATHEMATICS EDUCATION
(4ordmCERME) 2005 Saint Feliu de Guiacutexols Espanha Proceedingshellip Saint Feliu de Guiacutexols
Espanha 2005 Disponiacutevel em
httpwwwmathematikunidortmundde~ermeCERME4CERME4_WG8pdf Acesso em 26
de jul 2014
BOGDAN R C BIKLEN S K Investigaccedilatildeo qualitativa em Educaccedilatildeo Matemaacutetica uma
introduccedilatildeo agrave teoria e aos meacutetodos Traduccedilatildeo de M J Alvarez S B Santos e T M Baptista
Porto Porto Editora 1994
BORBA M C MENEGHETTI R C G HERMINI H A Modelagem calculadora
graacutefica interdisciplinaridade na sala de aula de um curso de Ciecircncias Bioloacutegicas Revista de
Educaccedilatildeo Matemaacutetica Satildeo Paulo v 5 n 3 p 63-70 1997
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica Belo Horizonte
Autecircntica Editora 2001
BORBA M C VILLARREAL M E Humans-with-media and the reorganization of
Mathematical Thinking Information and communication technologies modeling
visualization and experimentation New York Springer Science+Business Media Inc 2005
BOYCE W E DIPRIMA R C Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de
valores de contorno 6 ed Rio de Janeiro LTC 1996
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo Conselho Nacional de Educaccedilatildeo Diretrizes Curriculares
Nacionais dos Cursos de Engenharia Parecer Nordm CNECES 13622001 Homologado em
2002 Brasiacutelia Ministeacuterio da Educaccedilatildeo 2002
Disponiacutevel em httpportalmecgovbrcnearquivospdfCES112002pdf Acesso em 26 jul
2014
BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo Secretaria de Educaccedilatildeo Meacutedia e Tecnoloacutegica Orientaccedilotildees
Curriculares para o Ensino Meacutedio v 2 Ciecircncias da Natureza Matemaacutetica e suas
Tecnologias Brasiacutelia Ministeacuterio da Educaccedilatildeo 2006
BURAK D Modelagem Matemaacutetica accedilotildees e interaccedilotildees no processo de ensino
aprendizagem 1992 459 p Tese (Doutorado em Educaccedilatildeo) ndash Faculdade de Educaccedilatildeo
Universidade Estadual de Campinas Campinas 1992
BURGHES D N BORRIE M S Modelling with differential equations Chichester Ellis
Horwood Limited 1981
223
CALDEIRA A D Modelagem Matemaacutetica um outro olhar Alexandria ndash Revista de
Educaccedilatildeo em Ciecircncia e Tecnologia Santa Catarina v 2 n 2 p 33-54 jul 2009
CAMARENA G P Mathematical models in the context of Sciences In INTERNATIONAL
CONGRESS ON MATHEMATICAL EDUCATION (ICME-11) 2008 Monterrey Mexico
Proceedingshellip Monterrey Mexico 2009 Disponiacutevel em
httptsgicme11orgdocumentget440 Acesso em 1 ago 2013
CAMPOS D F Anaacutelise de uma proposta para a disciplina Caacutelculo Diferencial e Integral
I surgida na UFMG apoacutes o Reuni usando o testbench de Engestroumlm como modelo de
aplicaccedilatildeo da teoria da atividade em um estudo de caso 2012 176 f Tese (Doutorado em
Educaccedilatildeo) ndash Faculdade de Educaccedilatildeo Universidade Federal de Minas Gerais Belo Horizonte
2012
CASTELLS M A sociedade em rede do conhecimento agrave poliacutetica In CASTELLS M
CARDOSO G (Orgs) A sociedade em rede do conhecimento agrave acccedilatildeo poliacutetica Lisboa
Imprensa Nacional ndash Casa da Moeda 2005 p 17-31
CHARLOT B Da relaccedilatildeo com o saber elementos para uma teoria Porto Alegre Artmed
Editora 2000
CHARLOT B Da relaccedilatildeo com o saber agraves praacuteticas educativas Satildeo Paulo Cortez 2013
CURY H N COBENGE e Ensino de Disciplinas Matemaacuteticas nas Engenharias um
retrospecto dos uacuteltimos anos In CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO EM
ENGENHARIA ndash COBENGE 30 2002 Anais Piracicaba 2002
DrsquoAMBROacuteSIO U Literacy Matheracy and Technoracy a trivium for today In
DrsquoAMBROacuteSIO U Mathematical Thinking and Learning Philadelphia Taylor amp Francis
1999 p 131-153
DrsquoAMBROacuteSIO U Sociedade cultura matemaacutetica e seu ensino Educaccedilatildeo e Pesquisa Satildeo
Paulo v 31 n 1 p 99-120 janabr 2005
DANIELS H Implicit or invisible mediation in the development of interagency work In
DANIELS H et al (Eds) Activity theory in practice promoting learning across boundaries
and agencies New York Routledge 2010a p 105-125
DANIELS H et al (Eds) Activity theory in practice promoting learning across boundaries
and agencies New York Routledge 2010b
DAVYDOV V V Problems of developmental teaching the experience of theoretical and
experimental psychological research Soviet Education v 30 n 8-10 1988
DIETARY Reference Intakes for Energy Carbohydrate Fiber Fat Fatty Acids
Cholesterol Protein and Amino Acids (Macronutrients) Disponiacutevel em
ltwwwnapeducatalogphprecord_id=10490gt Acesso em 1 ago 2013
224
DULLIUS M M ARAUacuteJO I S VEIT E A Ensino e aprendizagem de equaccedilotildees
diferenciais com abordagem graacutefica numeacuterica e analiacutetica uma experiecircncia em cursos de
Engenharia Boletim de educaccedilatildeo Matemaacutetica Rio Claro v 24 n 38 p 17-42 abr 2011
Disponiacutevel em httpwwwredalycorgpdf2912291222086003pdf Acesso em 1 ago 2013
EDWARDS C H PENNEY D E Differential equations computing and modeling 2 ed
New Jersey Prentice Hall 1996
ENGELS F A origem da famiacutelia da propriedade privada e do Estado Satildeo Paulo
Centauro 2002
ENGESTROumlM Y Learning by expanding an activity-theoretical approach to
developmental research Helsinki Orienta-Konsultit 1987
ENGESTROumlM Y Developmental studies of work as a testbench of activity theory the case
of primary care medical practice In CHAIKLIN S LAVE J (Eds) Understanding
practice perspectives on activity and context New York Cambridge University Press 1993
ENGESTROumlM Y Innovative learning in work teams analyzing cycles of knowledge
creation in practice In ENGESTROumlM Y MIETTINEN R PUNAMAumlKI R-L (Eds)
Perspectives on activity theory Cambridge Cambridge University Press 1999
ENGESTROumlM Y Expansive learning at work toward an activity theorical
reconceptualization Journal of Education and Work London v 14 n 1 p 133-156 2001
ENGESTROumlM Y Non scolae sed vitae discimus Como superar a encapsulaccedilatildeo da
aprendizagem escolar In DANIELS H (Org) Uma introduccedilatildeo agrave Vygotsky Satildeo Paulo
Ediccedilotildees Loyola 2002 p 175-198
ENGESTROumlM Y From teams to knots activity-theoretical studies of collaboration and
learning at work New York Cambridge University Press 2008
ENGESTROumlM Y The future of activity theory a rough draft In ENGESTROumlM Y
SANNINO A (Eds) Studies of expansive learning foundations findings and future
challenges Educational Research Review n 5 p 1-24 2010a
ENGESTROumlM Y SANNINO A studies of expansive learning foundations findings and
future challenges Educational Research Review n 5 p 1-24 2010b
Disponiacutevel em httpwwwhelsinkificradledocumentsEngestrom20Publ
Studies20on20expansive20learningpdf Acesso em 26 abr 2013
FERRUZZI E C Interaccedilotildees discursivas e aprendizagem em Modelagem Matemaacutetica 2011
228 f Tese (Doutorado em Ensino de Ciecircncias e Educaccedilatildeo Matemaacutetica) ndash Universidade
Estadual de Londrina Londrina 2011
FERRUZZI E C Diaacutelogos em modelagem matemaacutetica In SEMINAacuteRIO
INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCACcedilAtildeO MATEMAacuteTICA 5 2012 Anais
Petroacutepolis 2012
225
FILHO E E RIBEIRO L R C Aprendendo com PBL ndash Aprendizagem baseada em
problemas relato de uma experiecircncia em cursos de Engenharia da EESC-USP Revista
Pesquisa e Tecnologia Satildeo Paulo Minerva 2006
FIORENTINI D LORENZATO S Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos
teoacutericos e metodoloacutegicos 3 ed Campinas Autores Associados 2009
FLEMMING D M O Ensino de caacutelculo nas Engenharias relato de uma caminhada In
CURY H N (Org) Disciplinas Matemaacuteticas em cursos superiores Porto Alegre
EDIPUCRS 2004 p 271-292
FLICK U Introduccedilatildeo agrave pesquisa qualitativa Porto Alegre Artmed 2009
FRAGA L NOVAES H DAGNINO R Educaccedilatildeo em Ciecircncia Tecnologia e Sociedade
para as Engenharias perspectivas em educaccedilatildeo geral In PEREIRA E M de A (Org)
Universidade e curriacuteculo perspectivas de educaccedilatildeo geral Campinas Mercado das Letras
2010 p 135-156
FRANCHI R H L Uma proposta curricular de Matemaacutetica para cursos de Engenharia
utilizando Modelagem Matemaacutetica e Informaacutetica 2002 189 f Tese (Doutorado em
Educaccedilatildeo Matemaacutetica) ndash Instituto de Geociecircncias e Ciecircncias Exatas (IGCE) Universidade
Estadual Paulista (UNESP) Rio Claro 2002
FREIRE P Pedagogia do oprimido 17 ed Rio de Janeiro Paz e Terra 1987
FREIRE P Pedagogia da autonomia saberes necessaacuterios agrave praacutetica educativa 40
reimpressatildeo Satildeo Paulo Paz e Terra 1996
GONCcedilALVES M B FLEMMING D M Caacutelculo B funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis integrais
muacuteltiplas integrais curviliacuteneas e de superfiacutecie 2 ed Satildeo Paulo Pearson Prentice Hall 2007
HABRE S Exploring studentrsquos strategies to solve ordinary differential equations in a reform
setting Journal of Mathematical Behavior v 18 p 455-472 2000
HABRE S Writing In a Reformed Differential Equations Class In INTERNATIONAL
CONFERENCE ON THE TEACHING OF MATHEMATICS AT THE
UNDERGRADUATE LEVEL 2 2002 Proceedingshellip Crete 2002 Disponiacutevel em
wwwmathuocgr~ictm2Proceedingspap64pdf Acesso em 1 ago 2013
HALL K D et al Quantification of the effect of energy imbalance on bodyweight The
Lancet Series v 387 p 826-837 2011a
HALL K D et al Suplementary webappendix In HALL K D et al (Org) Quantification
of the effect of energy imbalance on bodyweight The Lancet Series v 387 p 826-837
2011b Disponiacutevel em httpbwsimulatorniddknihgov Acesso em 21 jan 2014
HERBSTER A F BRITO N D Labcon uma experiecircncia de modernizaccedilatildeo da disciplina
Caacutelculo Numeacuterico In CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO EM ENGENHARIA ndash
COBENGE 33 2005 Anais Campina Grande 2005
226
JAVARONI S L Abordagem geomeacutetrica possibilidades para o ensino e aprendizagem de
Introduccedilatildeo agraves Equaccedilotildees Diferenciais Ordinaacuterias 2007 231 f Tese (Doutorado em Educaccedilatildeo
Matemaacutetica) ndash Instituto de Geociecircncias e Ciecircncias Exatas Universidade Estadual Paulista
Juacutelio de Mesquita Filho Rio Claro 2007
KAISER G SRIRAMAN B A global survey of international perspectives on modelling in
mathematics education ZDM ndash The International Journal on Mathematics Education
Berlin v 38 n 3 p 302-310 2006 Disponiacutevel em
httpsubsemisdejournalsZDMzdm063a9pdf Acesso em 16 abr 2013
KAPTELININ V Activity theory implications for human-computer interation In NARDI
B A (Ed) Context and consciousness activity theory and human-computer interaction
Cambridge The MIT Press 1996 p 103-116
KAWASAKI T F Tecnologias na sala de aula de Matemaacutetica resistecircncia e mudanccedilas na
formaccedilatildeo continuada de professores 2008 212 f Tese (Doutorado em Educaccedilatildeo) ndash Faculdade
de Educaccedilatildeo Universidade Federal de Minas Gerais Belo Horizonte 2008
KOSIK K Dialeacutetica do Concreto Traduccedilatildeo de Ceacutelia Neves e Alderico Toriacutebio 2 ed Rio
de Janeiro Paz e Terra 1976
KOZULIN A O conceito de atividade na psicologia sovieacutetica Vygotsky seus disciacutepulos
seus criacuteticos In DANIELS H (Org) Uma introduccedilatildeo agrave Vygotsky Traduccedilatildeo de Marcos
Bagno Satildeo Paulo Ediccedilotildees Loyola 2002 p 111-138
LADRIEgraveRE J Filosofia e praacutexis cientiacutefica Rio de Janeiro Francisco Alves Editora 1978
LATOUR B Ciecircncia em accedilatildeo como seguir cientistas e engenheiros sociedade afora
Traduccedilatildeo de Ivone C Benedetti Satildeo Paulo Editora UNESP 2000
LAVE J WENGER E Praacutetica pessoa mundo social In DANIELS H (Org) Uma
introduccedilatildeo agrave Vygotsky Satildeo Paulo Ediccedilotildees Loyola 2002 p 165-174
LEFEBVRE H Loacutegica formal loacutegica dialeacutetica Traduccedilatildeo de Carlos Nelson Coutinho 5 ed
Rio de Janeiro Civilizaccedilatildeo Brasileira 1991
LEONTEV A Activity consciousness and personality New Jersey Prentice-Hall 1978
Disponiacutevel em httplchcucsdedumcaPaperleontevindexhtml Acesso em 26 abr 2013
LEONTIEV A O desenvolvimento do psiquismo Traduccedilatildeo de Rubens Eduardo Frias 2
ed Satildeo Paulo Centauro 2004
LIBAcircNEO J C A didaacutetica e a aprendizagem do pensar e do aprender a teoria histoacuterico-
cultural da atividade e a contribuiccedilatildeo de Vasili Davydov Revista Brasileira de Educaccedilatildeo
Satildeo Paulo n 027 p 5-24 setoutnovdez 2004
LIBAcircNEO J C FREITAS R A M D M Vygotsky Leontiev Davydov trecircs aportes
teoacutericos para a teoria histoacuterico-cultural e suas contribuiccedilotildees para a didaacutetica In CONGRESSO
BRASILEIRO DE HISTOacuteRIA DA EDUCACcedilAtildeO 4 2006 Anais Goiacircnia Editora
VieiraUCG v 1 p 1-10 2006
227
MATEUS E F Atividade de aprendizagem colaborativa e inovadora de professores
ressignificando as fronteiras dos mundos universidade-escola 2005 325 f Tese (Doutorado
em Linguiacutestica Aplicada e Estudos da Linguagem) ndash Pontifiacutecia Universidade Catoacutelica de Satildeo
Paulo 2005
MATTELART A Histoacuteria da sociedade da informaccedilatildeo 2 ed Satildeo Paulo Ediccedilotildees Loyola
2006
MEYER J F C A CALDEIRA A D MALHEIROS A P S Modelagem em educaccedilatildeo
matemaacutetica Belo Horizonte Autecircntica 2011 (Coleccedilatildeo Tendecircncias em Educaccedilatildeo
Matemaacutetica)
MICCOTTI M C de O O ensino e as propostas pedagoacutegicas In BICUDO M A V (Org)
Pesquisa em Educaccedilatildeo Matemaacutetica concepccedilotildees e perspectivas Satildeo Paulo Editora UNESP
1999 p 153-168
MORENO M AZCAacuteRATE GIMEacuteNEZ C Concepciones y creencias de los profesores
universitarios de matemaacuteticas acerca de la ensentildeanza de las ecuaciones diferenciales
Ensentildeanza de Las Ciencias revista de investigacioacuten y experiecircncias didaacuteticas v 21 n 2 p
265-280 2003 Disponiacutevel em httpddduabespubedlc02124521v21n2p265pdf Acesso
em 1 ago 2013
MOURA M O et al Atividade orientadora de ensino unidade entre ensino e aprendizagem
Revista Diaacutelogo Educacional v 10 n 29 p 205-229 janabr 2010 Disponiacutevel em
httpwww2pucprbrreolindexphpdialogodd1=3432ampdd99=view Acesso em 26 abr
2013
PINTO A V O conceito de tecnologia v I 1 ed Rio de Janeiro Contraponto 2005a
PINTO A V O conceito de tecnologia v II 1 ed Rio de Janeiro Contraponto 2005b
RESNICK L B Learning in school and out Educational Researcher v 16 n 9 p 13-20
1987
RIGON Al J ASBAHR F da S F MORETTI V D Sobre o processo de humanizaccedilatildeo
In MOURA M O (Org) A atividade pedagoacutegica na teoria Histoacuterico-cultural Brasiacutelia
Liber livro 2010
SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ A Filosofia da praacutexis Traduccedilatildeo de Luiz Fernando Cardoso 2 ed
Rio de Janeiro Paz e Terra 1977
SAacuteNCHEZ VAacuteZQUEZ A Filosofia e Circunstacircncias Traduccedilatildeo de Luiz Cavalcanti de M
Guerra Rio de Janeiro Civilizaccedilatildeo Brasileira 2002
SANNINO A NOCON H Introduction activity theory and school innovation Journal of
Educational Change v 9 n 4 p 325-328 2008
228
SCAGLIUSI F B LANCHA JUacuteNIOR A H Estudo do gasto energeacutetico por meio da aacutegua
duplamente marcada fundamentos utilizaccedilatildeo e aplicaccedilotildees Revista de Nutriccedilatildeo Campinas
n 4 p 41-551 julago 2005
SILVA J M A A quem as universidades estatildeo servindo Folha de SPaulo 6 out 2012
Disponiacutevel em httpwww1folhauolcombrfspopiniao70282-a-quem-as-universidades-
estao-servindoshtml Acesso em 24 jan 2014
SKOVSMOSE O Educaccedilatildeo matemaacutetica criacutetica a questatildeo da democracia Traduccedilatildeo de A
Lins (caps 1-4) e J de L Arauacutejo (cap 5) Prefaacutecio de M C Borba Campinas Papirus 2001
(Coleccedilatildeo Perspectivas em Educaccedilatildeo Matemaacutetica)
SKOVSMOSE O Educaccedilatildeo criacutetica incerteza Matemaacutetica responsabilidade Traduccedilatildeo de
Maria Aparecida Viggiani Bicudo Satildeo Paulo Cortez 2007
SOARES E M S SAUER L Z Um novo olhar sobre a aprendizagem de Matemaacutetica para
a Engenharia In CURY H N (Org) Disciplinas Matemaacuteticas em cursos superiores
Porto Alegre EDIPUCRS 2004 p 139-186
SOUZA L F AGUIAR C E Um experimento sobre a dilataccedilatildeo teacutermica e a lei de
resfriamento Monografia (Licenciatura em Fiacutesica) ndash Universidade Federal do Rio de
Janeiro Rio de Janeiro 2007
STEWART J Caacutelculo volume 2 5 ed Traduccedilatildeo de A C Moretti e A C G Martins Satildeo
Paulo Pioneira Thomson Learning 2006
UNIVERSIDADE Federal de Itajubaacute Portaria n 4066 29 de dezembro de 2003 Estatuto
Disponiacutevel em httpwwwunifeiedubrfilesarquivosEstatutoUNIFEIpdf Acesso em 8
ago 2013
VYGOTSKY LS Consciousness as a problem in the psychology of behavior Soviet
Psychology v 17 p 3-35 1979
VYGOTSKY L S Pensamento e linguagem Satildeo Paulo Martins Fontes 1987
WEIR J New methods for calculating metabolic rate with special reference to protein
metabolism Journal Physiology v 1-2 n 109 p 1-9 1949
WERTSCH J V Vygotsky and the social formation of mind Cambridge Harvard
University Press 1985
WERTSCH J Vygotsky y la formacioacuten social de la mente Seacuterie Cognicioacuten y desarrollo
humano Barcelona Paidoacutes 1988
ZILL D G A first course in differential equations with modeling applications 6 ed
Califoacuternia BrooksCole 1997
ZILL D G CULLEN M R Equaccedilotildees diferenciais 3 ed Satildeo Paulo Pearson 2008
