circuitos logicos

Circuitos Lgicos

Sistemas de NumeraoProf: Carlos Alberto de Souza Filho

SistemaSistema dede NumeraoNumerao

Conjunto de smbolos utilizados para representao de quantidades e de regras que definem a forma de representao.

Sistemas de NumeraoSistemas de Numerao

representao. Cada sistema de numerao apenas um mtodo

diferente de representar quantidades. As quantidades em si no mudam; mudam apenas os smbolos usados para represent-las.

A quantidade de algarismos disponveis em um dado sistema de numerao chamada de basebase.

Representao numrica mais empregada: notao notao posicionalposicional.

Notao PosicionalNotao Posicional

Valor atribudo a um smbolo dependente da posio em que ele se encontra no conjunto de smbolos que representa uma quantidade.

O valor total do nmero a soma dos valores relativos de


O valor total do nmero a soma dos valores relativos de cada algarismo (decimal).

Sistema de numerao Sistema de numerao decimaldecimal735 573

700 30 5 500 70 3

Notao No PosicionalNotao No Posicional

Valor atribudo a um smbolo inaltervel, independente da posio em que se encontre no conjunto de smbolos que representam uma quantidade.


Sistema de Numerao Sistema de Numerao RomanoRomano

XXI XIX

10 10 1 10 1 10

Sistema de numerao cdigocdigo Operao bsica contagemcontagem Grupo com um determinado nmero de objetos base base

Sistema de NumeraoSistema de Numerao


(raiz)(raiz)

Sistemas de numerao bsicos:Sistemas de numerao bsicos: Decimal Binrio Octal Hexadecimal

Sistemas de Numerao

1 3

Contagem

Dividi-se em grupos de elementos iguais a base.Sistema decimal base =10

Exemplos de Sistemas de NumeraoExemplos de Sistemas de Numerao

Sistema Base Algarismos

Binrio 2 0,1Ternrio 3 0,1,2


Octal 8 0,1,2,3,4,5,6,7Decimal 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9Duodecimal 12 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,BHexadecimal 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Como os nmeros representados em base 2 so muito extensos e, portanto, de difcil manipulao visual, costuma-se representar externamente os valores binrios em outras bases de valor mais elevado (octal ou hexadecimal). Isso permite maior compactao de algarismos e melhor visualizao dos valores.

Padres de RepresentaoPadres de Representao

Letra Maiscula aps o nmero para indicar a base;Letra da base como ndice do nmero


Letra da base como ndice do nmero Nmero entre parnteses e a base como um ndice do

nmero.

Exemplo: Sistema Decimal 2763D ou (2763)10 ou

276310 ou 2763d

Sistema mais utilizado.

10 smbolos para representar quantidades.

Sistema Decimal (Base 10)Sistema Decimal (Base 10)


00 1 21 2 33 4 5 64 5 6 77 8 98 9

PesoPeso representar quantidades maiores que a base.

Peso trouxe: unidade, dezena, (dez unidades), centena (cem unidades), milhar (mil unidades), dezena de milhar, centena de milhar, etc.

ExemploExemplo: 2574 composto por 4 unidades, 7 dezenas, 5centenas e 2 milhares, ou 2000 + 500 + 70 + 4 = 2574

Sistema Binrio (Base 2)Sistema Binrio (Base 2)


Utiliza dois smbolos para representar quantidades.

00 ee 11

Segue as regras do sistema decimal - vlidos os conceitos de pesopeso e posioposio. Posies no tm nome especfico.

Cada algarismo chamado de bit. Exemplo: 1012 ExpressoExpresso oraloral - diferente dos nmeros decimais.

Caractere mais esquerda - Most-Significative-Bit - MSBMSB. Caractere mais direita - Least-Significative-Bit - LSBLSB.

Utiliza 8 smbolos.

00 1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 7

Sistema Sistema OctalOctal (Base 8)(Base 8)


00 1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 7

Exemplo: 5638

Possui 16 smbolos (algarismos) para representar qualquerquantidade.

00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 AA BB CC DD EE FF

Sistema Hexadecimal (Base 16)Sistema Hexadecimal (Base 16)


00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 AA BB CC DD EE FF

Uso das letras - facilidadefacilidade dede manuseiomanuseio.

Exemplo: 5A316

AoAo trabalhartrabalhar comcom sistemassistemas dede numerao,numerao, ememqualquerqualquer base,base, devedeve--sese observarobservar oo seguinteseguinte::

O nmero de dgitos usado no sistema igual base.


base. O maior dgito sempre menor que a base. O dgito mais significativo est esquerda, e o

menos significativo direita Um vai-um de uma posio para outra tem um

peso igual a uma potncia da base. Em geral se toma a base decimal como referncia.


Decimal Hexadecimal Octal Binrio1 1 1 12 2 2 1 03 3 3 1 14 4 4 1 0 05 5 5 1 0 16 6 6 1 1 06 6 6 1 1 07 7 7 1 1 18 8 1 0 1 0 0 09 9 1 1 1 0 0 1

1 0 A 1 2 1 0 1 01 1 B 1 3 1 0 1 11 2 C 1 4 1 1 0 01 3 D 1 5 1 1 0 11 4 E 1 6 1 1 1 01 5 F 1 7 1 1 1 1

Converso entre Sistemas de NumeraoConverso entre Sistemas de Numerao

Procedimentos bsicos: -- divisodiviso(nmeros inteiros) -- polinmiopolinmio


-- agrupamentoagrupamento dede bitsbits

OCTAL

DivisoDiviso (Decimal outro sistema)



Diviso inteira (do quociente) sucessiva pela base, at que o quociente seja menor do que a base.

Valor na base = composio do ltimo ltimo quocientequociente (MSB) com restosrestos (primeiro resto bit menos significativo - LSB)

DivisoDiviso (DecimalDecimal outro sistemaoutro sistema) Dividir o nmero por b (base do sistema) e os resultados

consecutivas vezes.



consecutivas vezes.

Ex.: (125)(125)10 10 = = (?(? ))22 (538)(538)10 10 = = (?(? ))1616

NotaoNotao PolinomialPolinomial ouou PosicionalPosicional(Outro(Outro SistemaSistema Decimal)Decimal)

VlidaVlida parapara qualquerqualquer basebase numricanumrica.



VlidaVlida parapara qualquerqualquer basebase numricanumrica.

LEI DE FORMAO(Notao ou Representao Polinomial):

Nmero =Nmero =

an = algarismo, b = base do nmeron = quantidade de algarismo - 1

00

22

11 ... babababa

nn

nn

nn ++++

Ex.: a) (1111101)(1111101)2 2 = (? )= (? )1010

(1111101)2 =



b) (21A)(21A)16 16 = = (?(? ))1010(21A)16 = 2x162 + 1x161 + 10x160 = 5385381010

(1111101)2 =1x26 + 1x25 + 1x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 1251251010

AgrupamentoAgrupamento dede BitsBits

SistemasSistemas comcom base=base= 22nn binriobinrio (e(e vicevice versa)versa) Divide-se em grupos de n bits. Em octal base=8=23, logo



Divide-se em grupos de n bits. Em octal base=8=23, logo divide-se em grupos de 3 bits. Em hexadecima-> 4 bits.

Ex.: (1011110010100111)(1011110010100111)22 = ( ? )= ( ? )1616 (A79E)(A79E)1616 = ( ? )= ( ? )22

ConversoConverso octaloctal hexadecimalhexadecimal

Transforma-se primeiro para binrio e depois para a baseque deseja-se



que deseja-se Converso em duas etapas:1 - nmero: base octal (hexadecimal) binria.2 - resultado intermedirio: binria hexadecimal

(octal).

Ex.: a) (175)(175)88 = ( ? )= ( ? )1616

(175)8 = (1111101)2 = (7D)(7D)1616



(175)8 = (1111101)2 = (7D)(7D)1616

b) (21A)(21A)16 16 = (?= (? ))88(21A)16 = (001000011010)2 = (1032)(1032)88

ConversoConverso dede NmerosNmeros FracionriosFracionrios

Lei de Formao ampliada (polinmio):



Exemplo: Exemplo: (101,110)(101,110)22 = ( ? )= ( ? )10101 22 + 0 21 + 1 20 +1 2-1 + 1 2-2 + 0 2-3 = (5,75)(5,75)1010

Converso de Nmeros FracionriosConverso de Nmeros Fracionrios

A Sistema de NumeraoA Sistema de Numerao

Operao inversa: multiplicar a parte fracionria pela base at que a parte fracionria do resultado seja zero.

Decimal outro sistemaDecimal outro sistema

ExemploExemplo:: ((88,,375375))1010 == (( ?? ))22

Operao de Adio A operao em qualquer sistema iniciada somando-se os

algarismos menos significativo de cada nmero A0+B0..

Os algarismos com mesma potncia so somados,considerando o transporte de entrada C0=A0+B0+Te . Aordem do menos significativo para o mais significativo.

O transporte de entrada de uma coluna o transporte desada da coluna imediatamente menos significativa.

Quando o resultado da soma da coluna, por exemplo C0 maior ou igual a base (b), no existe smbolo pararepresentar a quantidade no sistema. O valor do algarismona coluna ento C0=A0+B0+Te-b e o transporte de sadaTs=1.

Adio em um Sistema Hipottico Imagine um sistema fictcio de base 3

com os seguintes elementos:{ , , }, onde =0, =1, =2

Deseja-se realizar a seguinte operao:

+

+ = 2+1=3;Porm no existe smbolo para representar a quantidade 3, logo subtrai-se a base do resultado e acrescenta-se 1 a coluna imediatamente mais significativa

Adio

O valor do algarismo mais significativo do resultado sempre o transporte de sada anterior

Te Te Te

C0=A0+B0+Te0C1=A1+B1+Te1Te2 Te1 Te0

A2 A1 A0+ B2 B1 B0

= C3 C2 C1 C0

Ts2 Ts1 Ts0

C1=A1+B1+Te1C2=A2+B2+Te2C3=Ts2Te0=0;Te1=Ts0; Te2=Ts1;

Adio em Decimal

Base =10;

0 1 0

C0=7+8=15;Como 15>100 1 0

1 2 7

+ 2 4 8=0 3 7 5

0 0 1

Como 15>10C0=7+8-10=5; e Ts0=1C1=2+4+1=7C2=1+2+0=3C3=0Te0=0;Te1=Ts0=1; Te2=Ts1=0;

Adio em binrio

Base =2.

0+0=0 e Ts=00+0=0 e Ts=00+1=1 e Ts=01+0=1 e Ts=01+1=0 e Ts=1; pois 1+1=2 mais 2 igual a base.

Adio em Binrio

Ex= somar 5 e 3 em binrio.

1 1 0

C0=1+1=2;Como 2=base C0=1+1-2=0; e Ts0=11 1 0

1 0 1 ->5+ 0 1 1 ->3

=1 0 0 0 ->81 1 1

Como 2=base C0=1+1-2=0; e Ts0=1C1=1+1+0=2; logo C1=1+1+0-2=0 e Ts1=1C2=0+1+1=2; logo C2=0+1+1-2=0 e Ts2=1C3=1Te0=0;Te1=Ts0=1; Te2=Ts1=1;

Subtrao Em qualquer que seja a base, quando a operao de

subtrao A0-B0=C0 de uma coluna menor do que 0deve-se pedir um emprestado coluna da esquerda,subtraindo-se 1 do algarismo da primeira parcela esomando-se a base a coluna em que se est realizandoa operao A0-B0+b=C0 e Ts=1.0 0 0

Ex: Em decimal quando realizamos 24-07, na primeiracoluna C0=4-7=-3 que menor do que 0. Logo pede-se 1emprestado a coluna da esquerda subtraindo 1 doalgarismo da primeira parcela que 2, e soma-se a baseque 10 a primeira coluna que 4:

2 4

-0 7C1C0 C0=4+10-7=7

C1=2-1-0=1

Subtrao em Binrio0-0=0 e Ts=01-0=1 e Ts=01-1=0 e Ts=00-1=1 e Ts=1;

C0=A0-B0=1-1=0 e Ts0=0;C1=A1-B1-Te1=0-1-0=1 e Ts1=1

1 0 0

1 0 1 ->5- 0 1 1 ->3

=0 0 1 0 ->20 1 0

C2=A2-B1- Te2=1-0-1=0 e Ts2=0C3=0Te0=0;Te1=Ts0=0; Te2=Ts1=1;

Multiplicao em Binrio

A multiplicao em binrio feita da mesma maneira que em decimal.

0x0=00x1=01x0=01x1=1

11011=27X 101=5

1101100000

+1101110000111=135

Diviso em Binrio

10100 101-101 10000000

1011011 101-101 10010

000191/5=18 e resta 100000

10101-1010001

-0000 0001

91/5=18 e resta 1

20/5=4 e resta 0

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