Circuitos CA 1

Circuitos de Corrente Alternada (CA) Introdução Neste capítulo, faremos a análise de circuitos de corrente alternada (abreviado por CA ou AC, em inglês), que são os circuitos constituídos por componentes alimentados por fontes de tensão ou corrente alternada. Em contraste com a corrente contínua CC, que tem amplitude constante, a corrente alternada CA tem amplitude dependente do tempo. Na maioria dos casos segue a forma de uma onda senoidal ou harmônica. Na sua origem, o sinal senoidal é produzido no gerador elétrico através da movimentação de uma bobina de cobre dentro de um campo magnético, causando a indução de uma tensão CA. A freqüência é de 60 ciclos/s (Hz), podendo existir também sistemas de geração em 50 Hz. A partir da tensão CA são obtidos os outros tipos de tensões/correntes elétricas que serão denotados genericamente como sinais. Tipos de Sinais Genericamente, além da tensão/corrente senoidal, mostrada no item (a) da Fig. 1, outras formas de sinais de tensão/corrente CA de aplicação em circuitos eletrônicos podem ser descritos como sinais variantes no tempo.

(a) (b)

(c) (d)

Fig. 1 Tipos de sinais variantes no tempo: (a) senoidal ou harmônico, (b) degrau, (c) impulso

e (d) rampa.

Circuitos CA 2

Circuito RC série

R

C

i

+-

Vi

Fig. 18 Circuito RC em série Na forma esquemática mais conveniente.

R

C

V Vi o

i

Fig. 19 Circuito RC esquemático Aplicando a lei de Kirchhoff ao circuito da Fig. 19:

C/qRiVi += (1) na qual:

dt/dqi = (2) e

C/qVo = (3)

Re-escrevendo (1) e (2) na forma diferencial:

R

V

RC

q

dt

dq i=+ (4)

Esta equação diferencial possui soluções dependentes da função Vi , que analisaremos para os principais casos. Resposta ao Degrau Consideremos a função Vi como a função degrau, definida matematicamente como:

>≤

=0

00

t,V

t,V

Si (5)

Circuitos CA 3

o que representa uma excitação constante V0 a partir do instante inicial t = 0. O gráfico da Fig. 20 apresenta a função degrau.

V

V

0 t = 0

i

t

S

Fig. 20 Gráfico da função degrau Em t = 0, a carga acumulada no capacitor é igual a zero e a equação diferencial pode ser integrada como:

∫∫ =−

tq

Sdt

RC)qCV(

dq

00

1 (6)

A solução da integral da equação (6) é dada por:

( )t

qS RC

tqCVn

00

=−− l (7)

que, rearranjada em termos de q(t), resulta em:

( )RC/tS eCV)t(q −−= 1 (8)

A corrente i é calculada a partir da derivada de (8), de modo que:

RC/tS eR

V

dt

dqi −== (9)

De (8) pode-se calcular a tensão Vo:

( )RC/tSo eV

C

qV −−== 1 (10)

O termo exponencial apresenta o denominador RC, cuja dimensão é de tempo. O produto RC representa a constante de tempo para o circuito resistor-capacitor e significa o tempo que um capacitor leva para atingir 0,632VS (= 1 - 1/e) da tensão em regime estacionário durante o carregamento. Se o circuito estiver descarregando, a constante de tempo RC representa o tempo que leva para a tensão atingir 36,8% do seu valor inicial.

Circuitos CA 4

As Figuras 21 e 22 apresentam as curvas de tensão e corrente em função do tempo normalizado pela constante RC, durante o carregamento do capacitor. Se considerarmos V0 como a tensão em regime estacionário (para t → ∞), na Fig. 4, para t = RC, o valor da tensão normalizada será V/V0 = 0,632; para t = 2RC, V/V0 = 0,865, isto é, a tensão será 86,5% da tensão V0; em t = 3RC, V/V0 = 0,95; em t = 4RC, V/V0 = 0,982 e em t = 5RC, V/V0 = 0,993, isto é, a tensão terá atingido 99,3% do valor estacionário.

0 1 2 3 4 5 6 70,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,632

Ten

são

norm

aliz

ada

V/V

0

tempo em constante RC (s)

Fig. 21 Curva de tensão em função do tempo para o circuito RC integrador.

0 1 2 3 4 5 6 70,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,368

Cor

rent

e no

rmal

izad

a, i/

i 0

tempo em constante RC (s)

Fig. 22 Curva da corrente em função do tempo para o circuito série RC.

Circuito RC Integrador

Circuitos CA 5

Circuito RC Diferenciador O circuito RC série também pode ser utilizado como circuito diferenciador, arranjando-se o resistor e o capacitor segundo o esquema ilustrado na Fig. 25.

R

C

V Vi o

i

Fig. 25 Circuito RC diferenciador Neste circuito, a tensão Vo é determinada pela tensão sobre o resistor:

RiVo = (23)

Se considerarmos o estímulo dado pela função degrau , a equação (23) combinada com a equação (6) resultará em:

RC/tSo eVV −= (24)

que corresponde a um decaimento exponencial da tensão com o incremento de tensão do degrau. Observe que este comportamento é o inverso do circuito integrador, calculado na equação (10). A Fig. 9 apresenta o gráfico da curva de tensão Vo em função do tempo normalizado para o circuito diferenciador.

0 1 2 3 4 5 6 70,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Ten

são

norm

aliz

ada

V/V

0

tempo em constante RC (s)

Fig. 26 Curva de tensão em função do tempo para o circuito RC diferenciador.

Circuitos CA 6

Circuitos RL série O elemento de circuito indutor é comumente empregado juntamente com o resistor como filtro para sinais de alta freqüência em analogia com os circuitos RC e também na modelagem de circuitos de potência como motores , geradores e transformadores, acoplados a cargas resistivas.

R

i

Vi L

Fig. 1 Circuito RL em série

A equação que descreve o circuito da Fig. 5 pode ser expressa como:

iVdt

diLRi =+ (1)

Para obtermos a solução da equação diferencial ordinária (24), vamos estabelecer dois tipos de estímulo em Vi: a função degrau e a função senoidal. Enquanto no primeiro tipo de estímulo vamos resolver analiticamente (24), no segundo tipo, o tratamento será o mesmo aplicado para o circuito RC senoidal, isto é, solução por fasores. Resposta do circuito RL série ao degrau. Novamente, consideremos a função Vi como a função degrau, definida matematicamente como:

>≤

=0t,V

0t,0V

Si (2)

o que representa uma excitação constante V0 a partir do instante inicial t = 0. O gráfico da Fig. 6 apresenta a função degrau.

Circuitos CA 7

V

V

0 t = 0

i

t

S

Fig. 2 Gráfico da função degrau

Em t = 0, a corrente aplicada ao circuito é armazenada no indutor na forma de campo magnético, em analogia à carga acumulada no capacitor no circuito RC. A equação diferencial (24) pode ser integrada por separação de variáveis, como:

∫∫ =

−

ti

sdt

L

R

iR

V

di

00

(3)

cuja solução é dada por:

( )τ−−= /ts e1R

Vi (4)

na qual:

R

L=τ (5)

é a constante de tempo do circuito RL. A tensão sobre o indutor é calculada a partir da equação (5):

τ−== /tSL eV

dt

diLV (6)

As Figuras 7 e 8 apresentam as curvas de corrente normalizada (i/i0, onde i0 = VS/R) e de tensão sobre o indutor normalizada (VL/VS) versus tempo normalizado (t/τ). A resposta do circuito RL é semelhante à do circuito RC para um estímulo na forma degrau. Entretanto, algumas diferenças cumpre enfatizar: primeiro, a corrente vai de zero até o valor em regime, pois quando a tensão degrau é aplicada, i = 0 e di/dt = máximo; segundo, a força eletromotriz induzida sobre o indutor (VL) é alta no início mas, à medida que VL diminui, a corrente aumenta e, concomitantemente, di/dt decresce (pois, VL = Ldi/dt). Ambas as curvas apresentam comportamento exponencial (crescimento na corrente e decaimento na tensão). No circuito RL, a constante de tempo τ = L/R determina a taxa de crescimento e de decaimento da curva exponencial, de maneira análoga à constante τ = RC no circuito RC.

Circuitos CA 8

0 1 2 3 4 5 6 70,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Cor

rent

e no

rmal

izad

a, i/

i 0

tempo em constante τ = L/R

Fig. 3 Curva de corrente normalizada em função do tempo t/τ para o circuito RL em série.

0 1 2 3 4 5 6 70,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Ten

são

norm

aliz

ada,

VL/

VS

tempo em constante τ = L/R

Fig. 4 Curva de tensão normalizada sobre o indutor para o circuito RL em série.

Circuitos CA 9

Circuitos LC Os circuitos LC são comumente empregados em filtros de alta freqüência e também em circuitos sintonizados, principalmente em transmissão de sinais de rádio-freqüência. Eles apresentam como principal característica a ressonância, isto é, a capacidade de amplificar um sinal a uma dada freqüência de sintonia, daí o fato de serem largamente utilizados em circuitos de recepção de sinais de rádio, nos quais os sinais fora da freqüência de ressonância são filtrados e o sinal na freqüência de ressonância é ampliado. Existem dois tipos de circuitos LC: série e paralelo. Ambos os circuitos são constituídos por um capacitor e um indutor. A Fig. 39 apresenta os circuitos LC série e paralelo.

L

C

LC

(a) (b)

Fig. 39 Circuitos LC (a) série e (b) paralelo.

A ressonância ocorre quando as reatâncias indutiva e capacitiva forem iguais,

CL XX = , ou seja,

LC

1

C

1L 2 =ω⇒

ω=ω (83)

Para uma dada combinação de L e C, isto ocorrerá somente em uma única freqüência, que pode ser calculada de (83), sabendo que f = ω/2π:

LC2

1f 0 π

= (84)

Chamamos de ressonância ou freqüência de ressonância, a freqüência de oscilação própria do circuito. A física do processo de ressonância pode ser explicada em termos simples através dos circuitos esquemáticos desenhados na Fig. 40. Vamos supor que, inicialmente, uma tensão seja aplicada entre os terminais do capacitor. Quando isto ocorrer, o capacitor se carregará (Fig. 40a). A energia armazenada no capacitor na forma de energia elétrica UE é expressa como:

2E CV

2

1U = (85)

Circuitos CA 10

Consideremos, agora que o capacitor está carregado, que a tensão de alimentação seja removida. Quando a tensão for retirada, o capacitor terá o potencial V, que conectado a um indutor descarregado, tenderá a anular o potencial elétrico, gerando uma corrente através do indutor (Fig. 40b). Esta corrente induzirá um campo magnético quando circular pelo indutor. Quando o potencial no capacitor for zerado, toda a energia do circuito estará armazenada no indutor na forma de energia magnética UB (Fig. 40c):

2B Li

2

1U = (86)

Quando a corrente cessar, o campo magnético começará a diminuir, criando assim por indução nas espiras do indutor, uma corrente contrária à que lhe criou. Esta corrente carregará o capacitor com polaridade contrária a anterior. Observe o sentido das setas das linhas equipotenciais elétricas no capacitor nas Fig. 40d e 40e. Quando o campo magnético se findar, a corrente deixará de circular e o capacitor estará carregado (Fig. 40e). Novamente, o processo de descarga do capacitor e de carga do indutor é retomado (Fig. 40f e 40g) e continuará assim, indefinidamente. Este tipo de circuito oscilador recebe o nome de circuito tanque, pois os elementos capacitor e indutor agem como reservatórios de energia. Na prática, circuitos LC são ideais, pois capacitores e indutores reais possuem perdas e a dissipação da energia na forma de calor levará ao consumo da energia fornecida pela fonte externa no início do processo. Se medíssemos a variação de tensão sobre o capacitor ou o indutor veríamos um sinal alternado de forma senoidal e freqüência própria de ressonância. Em freqüências inferiores e superiores à freqüência de ressonância, a impedância do circuito LC série (Fig. 40a) aumenta, enquanto que a corrente diminui. Da mesma forma, próximo ou igual à freqüência de ressonância, a impedância diminui e a corrente aumenta. Em circuitos ressonantes paralelo (Fig. 40b), próximo à freqüência de ressonância, a impedância aumenta e a corrente diminui. No caso contrário, ou seja, quando a freqüência estiver distante da freqüência de ressonância, a corrente aumentará e a resistência diminuirá.

Circuitos CA 11

Fig. 40: Ciclo de oscilação de um circuito LC não-dissipativo. Os gráficos de barra representam a energia magnética (UB) e elétrica (UE) armazenada, respectivamente, no indutor e no capacitor (Halliday, 1993).

Sinal Senoidal O sinal senoidal, também conhecido por sinal harmônico, é freqüentemente encontrado em sinais de alimentação de energia, por causa das características do sistema de geração e transmissão de energia elétrica. Uma onda senoidal com amplitude e freqüência característicos são as informações que um sinal senoidal possui. A Fig. 2 apresenta um sinal de tensão senoidal, com amplitude Vp e período T. A relação entre o período T e a freqüência f é determinado pela expressão:

Tf

1= (1)

Por questão de normalização, define-se a freqüência angular ω como:

fπω 2= (2)

Circuitos CA 12

Vp

-Vp

0

V

tω0π

2

π π

2

3 π2

T = período

Fig. 2 Sinal senoidal

Um sinal de tensão senoidal (conforme convenção da Fig. 2) pode ser descrito pela expressão:

tsenVV p ω= (3)

Uma outra quantidade que está relacionada com o tipo de sinal senoidal é o ângulo de fase, que corresponde à diferença na escala de tempo entre duas ondas senoidais de mesma freqüência, como mostra a Fig. 3. Se considerarmos o ângulo de fase φ na equação da tensão senoidal, resulta:

)tsen(VV p φ+ω= (4)

VV1 V2

0

tω

φ

Fig. 3 Ângulo de fase φ entre dois sinais de tensão de mesma freqüência.

Circuitos CA 13

Deslocamento do sinal de tensão CA Muitas vezes, o sinal de tensão alternada é acompanhado por um sinal de tensão contínuo, também chamado de tensão de offset ou tensão de deslocamento cc. Valor de tensão eficaz O valor eficaz Vef ou valor quadrático médio (rms – root mean square) de uma quantidade VS é definido pela expressão:

∫==T

srmsef dtVT

VV0

21

Para uma tensão senoidal VS = Vp sen ωt, o valor eficaz pode ser calculado como:

pp

pef V,V

tdtsenVV 707022

12

0

22 ≅== ∫π

ωπ

Valor de tensão médio Para efeito de comparação, vamos calcular o valor médio da tensão, Vm, calculado sobre meio-ciclo:

pp

p

T

Sm V,V

tsenVdtVT

V 6370212

0

2

0

≅=== ∫∫ πω

π

π

Assim, a relação entre os valores de pico Vp, o valor eficaz Vef e o valor médio Vm , para uma função senoidal, é:

mefp V,V,V 57114141 ==

O diagrama da Fig. 17 ilustra a comparação entre os valores característicos de uma onda senoidal.

Circuitos CA 14

V

0

tω

VpV

mV

ef

ppVVp

Vp

-Vp

0,707

0,637

Vp

Fig. 17 Relações entre os valores característicos para uma onda senoidal.

Forma Complexa de Representação da Onda Senoidal Por questão de conveniência, a representação matemática da equação (4) pode ser ampliada para a forma complexa:

( ) ( )[ ]φωφωφω +⋅++== + tsenjtcosVeVV p)t(j

p (5)

na qual 1−=j . Diagrama Fasorial A representação gráfica de sinais senoidais de mesma freqüência com diferença de fase é feita através do diagrama de Argand, utilizado para representar quantidades numéricas do conjunto dos números complexos ().

Circuitos CA 15

V| |

φ

φ-

V| |

Re V

Im V

0

V| |sen φφφφ

V| | sen- φφφφ

φφφφcosV| |

Fig. 4 Diagrama fasorial representando no plano complexo,as componentes real (Re) e imaginária (Im) da tensão harmônica V.

Uma outra forma de representar os fasores é a chamada forma polar:

θθ ∠== pj

p VeVV

Resposta ao sinal senoidal Filtro RC Passa Baixa Como visto anteriormente, a resposta de um circuito RC à excitação senoidal produz um sinal de tensão defasado 90o em relação à corrente. Se aplicarmos a análise na forma fasorial, teremos a impedância:

CjXRZ += (22)

na qual, para um circuito RC C/XC ω−= 1 é denominada reatância capacitiva, de modo que

C

jRZ

ω−= (23)

Em notação polar,

)RC/(arctg|Z|)R/|X(|arctg|Z|Z C ω−∠=−∠= 1 (24)

na qual 222 1 C/R|Z| ω+= é chamada amplitude da impedância. Sendo a tensão de excitação dada por:

oefi VV 0∠= (25)

na qual Vef é o valor da tensão de excitação eficaz.

Circuitos CA 16

A corrente é calculada por:

)R/|X(|arctg|Z|

V

Z

VI

C

oi

−∠∠== 01 (26)

na qual as equações (24) e (25) foram usadas. Re-escrevendo a equação (26) na forma polar:

)R/|X(|arctg|Z|

VI C

ef ∠= (27)

A impedância do capacitor é definida como:

oC C

Z 901 −∠

ω= (28)

pela qual, podemos calcular a tensão de saída Vout como:

[ ]oCC

efCo |X|)R/|X(|arctg

|Z|

VIZV 90−∠⋅

∠==

)R/|X(|arctg|Z|

V|X|C

oefC +−∠= 90 (29)

Resumindo, a amplitude da tensão de saída é:

|Z|

|X|VV Cef

o = (30)

e o ãngulo de fase φ:

ω+−=φ

RCarctgo 1

90 (31)

Para analisarmos a resposta do circuito RC à excitação senoidal é conveniente expressarmos a razão entre a amplitude da tensão de saída Vout e a amplitude da tensão de entrada Vin:

1

1

1

1

222

222 +ω

=

ω+

ω=CR

CR

CV

V

i

o (32)

Esta razão é denominada ganho de tensão do circuito e é utilizada para avaliar o desempenho de circuitos. Tomando-se os valores R = 1 kΩ e C = 1 µF, foram calculados os valores mostrados na Tabela 4. O gráfico do ângulo de fase φ versus a freqüência angular ω é mostrada na Fig. 23, enquanto que a Fig. 24 apresenta o gráfico do ganho de tensão versus ω. Este circuito, com estas características, é chamado filtro passa-baixa, porque ele deixa passar

Circuitos CA 17

sinais de baixa freqüência com pequena ou nenhuma atenuação. À medida que a freqüência, a atenuação aumenta consideravelmente.

TABELA 4 Resposta em freqüência para o filtro passa-baixa.

R = 1 kΩ, C = 1 µF

ω (rad/s) f (Hz) log ω φ (graus) Vo/V i log(Vo/V i)

1 0,16 0 -0,06 1 0,00000

10 1,6 1 -0,57 0,99995 -0,00002

100 15,9 2 -5,71 0,99504 -0,00216

200 31,8 2,3 -11,31 0,98058 -0,00852

1000 159,2 3 -45,00 0,70711 -0,15051

10000 1591,5 4 -84,29 0,0995 -1,00216

50000 7957,7 4,7 -88,85 0,0200 -1,69906

100000 15915,5 5 -89,48 0,0100 -2,00002

500000 79577,5 5,7 -89,89 0,0020 -2,69897

1000000 159154,9 6 -89,94 0,0010 -3,00000

0 1 2 3 4 5 6-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Âng

ulo

de fa

se, φ

(gr

aus)

log ω

Fig. 23 Ângulo de fase versus freqüência angular para o filtro passa-baixa.

Circuitos CA 18

0 1 2 3 4 5 6-3

-3

-2

-2

-1

-1

0log ω

C = 3

log(

Vo/V

i)

log ω

Fig. 24 Ganho de tensão versus freqüência angular para o filtro passa-baixa.

A freqüência na qual R = |XC| é chamada freqüência de corte, fC:

RC2

1f C π

= (33)

Para o circuito analisado, fC = 159,2 Hz Filtro RC Passa Alta O circuito da Fig. 25 também é utilizado como filtro passa-alta, isto é, um filtro que atenua os sinais de baixa freqüência. Para este circuito, a tensão Vout, calculada sobre o resistor em notação fasorial polar, é descrita por:

[ ]oC

efo R)R/|X(|arctg

|Z|

VIRV 0∠⋅

∠==

)R/|X(|arctg|Z|

RVC

S ∠= (36)

A amplitude do ganho é expressa como:

11 222

222 +ω

ω=

ω+

=CR

RC

CR

R

V

V

i

o (37)

e o ãngulo de fase φ:

ω=

=φRC

arctgR

|X|arctg C 1

(38)

Circuitos CA 19

A freqüência de corte é a mesma para o circuito integrador, ou seja RC/fC π= 21 =

159 Hz. A resposta do filtro passa-alta para R = 1 kΩ e C = 1 µF está apresentado na Tabela 5, enquanto que as curvas de resposta em freqüência do ganho de tensão e do ângulo de fase estão mostradas, respectivamente, nas Figuras 27 e 28. Observar que as curvas para o filtro passa-alta são imagens invertidas das curvas para o filtro passa-baixa. A interseção das curvas de ganho de tensão com o eixo x conduz ao mesmo valor da freqüência de corte fC, como tinhamos observado no cálculo analítico. Isto significa que o dimensionamento de um filtro RC passa-baixa ou passa-alta pode ser feita simplesmente conhecendo-se os valores de R e C. Considere a possibilidade de inserir um filtro passa-baixa em série com um filtro passa-alta, como ilustrado na Fig. 29. Dependendo dos valores de resistência e capacitância empregado nos dois filtros, podemos estabelecer uma faixa de freqüências na qual o sinal de saída será levemente atenuado e fora dessa faixa o sinal será fortemente atenuado. A este tipo de filtro dá-se o nome de filtro passa-faixa ou filtro passa-banda.

TABELA 5 Resposta em freqüência para o filtro passa-alta.

R = 1 kΩ, C = 1 µF

ω (rad/s) f (Hz) log ω φ (graus) Vo/V i log(Vo/V i)

1 0,16 0 89,94 0,001 -3,00000

10 1,6 1 89,43 0,010 -2,00002

100 15,9 2 84,29 0,0995 -1,00216

200 31,8 2,3 78,69 0,1961 -0,70749

1000 159,2 3 45,00 0,7071 -0,15051

10000 1591,5 4 5,71 0,9950 -0,00216

50000 7957,7 4,7 1,15 0,9998 -0,00008

100000 15915,5 5 0,57 0,99995 -0,00002

500000 79577,5 5,7 0,11 1,00000 0

1000000 159154,9 6 0,06 1,00000 0

0 1 2 3 4 5 6-3

-3

-2

-2

-1

-1

0log ω

C = 3

log(

Vo/

Vi)

log ω

Circuitos CA 20

Fig. 27 Ganho de tensão versus freqüência angular para o filtro passa-alta.

0 1 2 3 4 5 60

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Âng

ulo

de f

ase,

φ (

grau

s)

log ω

Fig. 28 Ângulo de fase versus freqüência angular para o filtro passa-alta.

Circuito RL O circuito RL comporta-se como um circuito divisor de tensão dependente da freqüência. Para uma corrente de excitação senoidal (iL = i0 sen ωt), a tensão VL sobre o indutor aumenta com a freqüência, pois:

)90tsen(LitcosLidt

diLV o

00L +ωω=ωω== (70)

Esta equação estabelece que a tensão está adiantada 90o em relação à corrente. Este comportamento é exatamente o oposto ao do circuito capacitivo, no qual a tensão está atrasada 90o em relação à corrente. A reatância indutiva XL é definida como:

LX L ω= (71)

A impedância de um indutor ideal é expressa como:

LjjXZ LL ω== (72)

que é representado em notação fasorial como:

oLL 90XZ ∠= (73)

Circuitos CA 21

Para um circuito RL em série, podemos desenvolver as expressões para o ganho de tensão e para o ângulo de fase de maneira análoga ao circuito RC. Se o fasor de tensão Vin for expresso como:

o1in 0VV ∠=

e a impedância do circuito RL como:

)R/X(arctgXRjXRZ L2L

2L ∠+=+= (74)

Aplicando a expressão: Z

VIZIV =⇒= , resulta:

)R/X(arctgXR

VI L2

L2

1 −∠+

= (75)

Como no circuito RC em série, a tensão de saída no circuito RL pode ser lida de duas formas distintas: sobre o resistor (circuito integrador) e sobre o indutor (circuito diferenciador), conforme mostrado na Fig. 38.

R

V Vin out

i

L RV Vin out

i

L

(a) (b)

Fig.38 Circuito RL (a) integrador e (b) diferenciador.

Quando a tensão é lida sobre o resistor, o ganho de tensão do circuito é dado por:

)R/L(arctgLR

R)R/X(arctg

XR

R

Z

R

V

V222L2

L2

in

R ω−∠ω+

=−∠+

== (76)

A amplitude do ganho é calculada como:

222in

R

LR

R

V

V

ω+= (77)

Circuitos CA 22

e o ângulo de fase por:

)R/L(arctg ω−=φ (78)

Quando a tensão é lida sobre o indutor, o ganho de tensão se torna:

)R/L(arctg90LR

L)R/X(arctg90

XR

X

Z

Z

V

V o

222Lo

2L

2

LL

in

L ω−∠ω+

ω=−∠+

== (79)

A amplitude do ganho é calculada como:

222in

L

LR

L

V

V

ω+ω= (80)

e o ângulo de fase por:

)R/L(arctg90o ω−=φ (81)

A potência consumida num indutor ideal é zero porque, como no caso do capacitor, o ângulo de fase entre a tensão e a corrente é de 90º. Para um indutor real, a potência consumida é calculada a partir da resistência elétrica do fio utilizado no enrolamento da bobina. Circuito RLC Em circuitos de sintonia de rádio, televisão e comunicação sem fio, toda informação transmitida ou recebida está contida numa estreita faixa de freqüências centrada na freqüência f0. Em rádio AM a freqüência central de cada emissora está situada na faixa de 0,6 a 1,6 MHz em intervalos discretos. Os intervalos são escolhidos de tal forma que a freqüência central de uma emissora não interfira nas outras. Por exemplo, uma emissora com sinal na freqüência de 0,66 MHz (660 kHz), a informação que está sendo transmitida está contida numa faixa de 5 kHz dos dois lados da freqüência central. Os circuitos transmissores e receptores projetados para este tipo de sinal requerem filtros com largura de faixa de passagem estreita em torno da freqüência central e rejeição das outras freqüências. Filtro Passa Faixa ou Passa Banda O circuito da figura é um circuito filtro passa faixa que também é conhecido como circuito de sintonia de freqüência.

Circuitos CA 23

LC

RVi Vo

Função de transferência

LC

LC

i

oV Z//ZR

Z//Z

V

VA

+== (1)

( ) ( )[ ]220

22 1−ωω+ω

ω=/RL

LAV (2)

no qual

LC

10 =ω (3)

ω0 é a freqüência de ressonância ou freqüência de oscilação natural. A função de transferência pode ser escrita na forma fasorial como:

φ∠= VV AA (4)

na qual:

( ) ( )[ ]220

22 1−+=

ωωω

ω

/RL

LAV (5)

e

−

⋅−= 1

2

0ωω

ωφ

L

Rarctg (6)

Observar que quando 0ωω = , 1=VA e 0=φ Ou seja, quando a freqüência for igual

à freqüência natural 0ω o circuito não modifica o sinal de entrada Vi.

O grau com que estas mudanças ocorrem com freqüências superiores e inferiores a de ressonância é uma medida de “habilidade” do circuito de separar (discriminar) freqüências. Essa habilidade é calculada através do fator de qualidade do circuito, e que pode ser calculado para circuitos indutivos e capacitivos:

R

XQ L= ou

R

XQ C= (87)

Circuitos CA 24

Acrescentando-se um resistor em série com o circuito série, ou em paralelo com o circuito paralelo, aumenta-se a faixa de passagem ou, em outras palavras, diminui-se o fator Q. Referências bibliográficas IRWIN, J. D. Análise de Circuitos em Engenharia. São Paulo: Makron Books, 2000. BELOVE, C. A First Circuits Course for Engineering Technology. New York: Holt, Rinehart and Winston, 1982. HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fundamentals of Physics – Extended with Modern Physics. New York: John Wiley, 1993. DIEFENDERFER, A.J. Principles of Electronic Instrumentation. Philadelphia, PA: Saunders College Publishing, 1979.