1

Fasores

Outra forma de representar um sinal senoidal é através de um fasor ou vetor girante de

amplitude igual ao valor de pico (VP) do sinal, girando no sentido anti-horário com velocidade

angular . A esse tipo de representação dá-se o nome de diagrama fasorial.

Cada ponto de uma senóide pode ser representado por um vetor de módulo constante numa

posição diferente, como indicado na representação gráfica a seguir. A medida que a senóide é

descrita o vetor assume posições diferentes. Quando a senóide completa um ciclo, o vetor

descreveu um giro completo e se encontra na mesma posição inicial novamente. Este vetor é,

portanto, um vetor girante. Se o ciclo da senóide foi descrito num dado intervalo de tempo

(período T), o vetor deu uma volta completa no mesmo período da senóide. Assim, podemos

concluir que para uma dada frequência f do sinal senoidal, o movimento harmônico (giratório)

do vetor possui a mesma frequência e, portanto o vetor gira no sentido anti-horário com a

mesma frequência ou velocidade angular ω da senóide.

Se o ciclo da senóide iniciar adiantado, o ângulo de fase inicial θ0 é positivo. Se o ciclo da

senóide iniciar atrasado, o ângulo de fase inicial θ0 é negativo, conforme representado a

seguir:

Sinal adiantado, θ positivo:

2

Sinal atrasado, θ negativo:

Representação Gráfica de um sinal senoidal puramente Resistivo (a corrente e a tensão

estão em fase)

Diagrama Fasorial de um circuito puramente resistivo:

0º

90º

180º

270º

i(A)

v(V)

3

Representação Gráfica de um sinal senoidal puramente capacitivo (a corrente está

adiantada em 90º em relação a tensão)

Diagrama Fasorial de um circuito puramente capacitivo:

0º

90º

180º

270º

0º

90º

180º

270º

vc

ic

ic

– 90º

..

Diagrama fasorial, vc como referência Diagrama fasorial, ic como referência

vc

4

Diagrama Fasorial de um circuito RC série:

0º

90º

180º

270º

vc

vRi

– 90º.

Diagrama Fasorial de um circuito RC paralelo:

0º

90º

180º

270º

vc

vRiR

ic

.

5

Diagrama de Impedâncias:

6

Circuito RC Série em Corrente Alternada

Dado o circuito:

i(t)

v(t)

VR

VCXC

R

Quando a tensão alternada é aplicada a um circuito RC série, a corrente continua adiantada

em relação a ela, só que de um ângulo menor que 90º, pois enquanto a capacitância tende a

defasá-la em 90º, a resistência tende a colocá-la em fase com a tensão.

Impedância Capacitiva (ZC)

A oposição que o capacitor oferece à passagem da corrente elétrica depende de R e Xc. Essa

combinação é denominada de impedância capacitiva Zc, dada em (Ω), e pode ser

representada por um único símbolo, conforme a representação a abaxo:

R

XC

ZC

A reatância capacitiva vale:

0°

IXC =

i 90° = = XC – 90° = – j

ω.C

1 =VC – j XC

vC

A resistência vale:

90°

IR =

i 90° = = R 0° =

VR vR R

7

A impedância capacitiva (Zc) é obtida pelas equações:

ou ouZc = R – j Xc C

1Zc = R – j Zc = R +

j.C

1

A impedância capacitiva também pode ser representada na polar pelas equações:

Módulo (Zc):

(R)2 + (XC)

2Zc = ou R

2 Zc = +

1

(C)2

Fase (φ):

φ = arctgXc

Rou φ = arctg 1

C.R

Representação Gráfica da Impedância Capacitiva:

No plano cartesiano, a impedância capacitiva fica como segue:

R

XC

ZC

(a) simbolicamente (b) graficamente

Im

RealR

Zc Xc

φ

8

Potência em Circuitos Capacitivos

Dado o circuito a seguir:

i(t) VR

VCXC

R

Vef (t)

Representando os fasores das tensões envolvidas (em Vrms) na forma de um triângulo

(triângulo de tensões), temos:

Triângulo de tensões:

φ

VC

VR

V

Multiplicando os lados do triângulo de tensões pela corrente i do circuito, obtemos o triângulo

de potências, formado por:

Triângulo de potências:

P = VR .I

PQ = VC .IP

S= V.I

φ

Potência Ativa ou Real (P)

A potência ativa P, em watt (W), é aquela correspondente ao produto da corrente com a

parcela da tensão (cateto adjacente ao ângulo φ) que está em fase com ela. Portanto:

P = VRrms .Irms P = Vrms .Irms .cos φ ou

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A potência ativa é indicada por um instrumento de ponteiro chamado wattímetro e a energia

consumida tem como unidade o Joule (J) ou Watt-segundo ou o Watt-hora e é medida pelo

instrumento chamado de medidor de energia ou Watt-hora-metro.

A potência ativa é transformada em calor por efeito joule. Na prática, essa energia térmica

pode ser utilizada para realizar trabalho. É por isso que a potência ativa é denominada também

de potência útil, potência de trabalho ou potência real.

Quanto mais próximo de zero for a fase φ, ou seja, quanto mais resistiva for a

impedância, maior é a potência ativa.

Potência Reativa (PQ ou PR)

A potência reativa PQ, em volt ampére reativo (VAr), é produto da corrente com a parcela da

tensão (cateto oposto ao ângulo φ) que está em quadratura com ela.

A potência reativa está associada aos elementos indutivos e capacitivos. Ela circula pelos condutores sendo absorvida e devolvida sem produzir trabalho elétrico.

PQ = VCrms .Irms P = Vrms .Irms .sen φ ou

A potência reativa, neste caso, recebe o nome de potência reativa capacitiva PQC.

Potência Aparente (PS ou PAP)

A potência aparente Ps, em volt ampére (VA), é a potência total fornecida pelo gerador à

impedância, isto é:

PS = Vrms .Irms

A hipotenusa do triângulo representa o produto da tensão pela corrente no circuito, o que seria

aparentemente a potência real do circuito como o é nos circuitos resistivos puro e nos circuitos

CC. Por isto, ela é chamada de potência aparente (S). Na verdade, a potência aparente contém

uma soma vetorial de potência ativa (real) e reativa sem, no entanto, precisar quanto vale cada

uma delas individualmente.

(PS)2 = (P)

2 + (PQ)

2

Fator de Potência – FP

O Fator de Potência FP é definido como a relação entre a potência ativa (consumida) e a potência Aparente (fornecida pelo gerador), que ser dada por:

ouFP = P

PSFP = cos φ

10

O fator de potência é o cosseno do ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente. Esta

grandeza pode ser obtida pelas características físicas do circuito (resistência, impedância, etc).

O fator de potência é um valor positivo entre 0 e 1 que reflete o quanto da potência aparente

fornecida pelo gerador é efetivamente consumido pelo circuito ou pela impedância.

Quando o fator de potência de um circuito for unitário (cos φ = 1 ou 100 %) toda a potência

aparente absorvida pelo circuito é consumida irreversivelmente.

Quando o fator de potência for menor do que 1 ( fp < 100 % ), há duas parcelas de energia ou

potência: uma parcela representa a potência que realmente é consumida e outra que não é

consumida e sim trocada entre o campo magnético dos indutores e o gerador.

O Problema dos Circuitos Reativos

Se considerarmos como um gerador a tensão da rede, é a potência aparente que as

residências e as indústrias recebem da concessionária de energia elétrica, embora ele não seja

totalmente utilizado por causa da potência reativa que é devolvida. O fator de potência FP é um

dado importante a ser analisado em qualquer sistema ou instalação elétrica, pois ele dá a

dimensão do aproveitamento da energia fornecida pela rede elétrica.

Correção do Fator de Potência

A energia elétrica é consumida nas mais variadas atividades tais coma residenciais, comerciais

e industriais. Nestas atividades a energia é consumida, principalmente, para a obtenção de luz,

calor e força motriz (é definido como um agente natural, como água, vapor, vento, eletricidade,

etc, usados opera transmitir movimento para maquinário, um motor).

Nas indústrias a maioria das cargas é reativa indutiva (φ > 0º) ou resistiva (φ = 0º), embora haja

também carga reativa capacitiva (φ < 0º).

Cargas Resistivas

As cargas resistivas não provocam defasagem entre a tensão e a corrente, recebendo do

gerador apenas a potência ativa, que é dissipada totalmente.

Essas cargas caracterizam-se, portanto, por terem fator de potência unitário, isto é, FP = cos0º

= 1

Exemplos de cargas puramente resistivas: lâmpadas incandescentes e aquecedores elétricos

(chuveiros elétricos, torneiras elétricas).

A base de seu funcionamento é o aquecimento de um filamento (lâmpada) ou de uma

resistência (aquecedor).

Cargas Indutivas

As cargas indutivas atrasam a corrente em relação à tensão, recebendo do gerador as

potências ativa e reativa. Enquanto a potência ativa é totalmente dissipada, a potência reativa é

devolvida ao gerador.

Essas cargas caracterizam-se, portanto, por terem fator de potência menor que a unidade, isto

é, FP = cos φ < 1.

11

Como exemplos de cargas indutivas podemos citar: as lâmpadas fluorescentes (que

necessitam para o seu funcionamento de um reator colocado em série com o tubo de gás), os

transformadores,os motores CA e qualquer máquina que opere por meio de motores e

transformadores.

Cargas Capacitivas

As cargas capacitivas são aquelas que adiantam a corrente em relação à tensão, recebendo do

gerador as potências ativa (dissipada) e reativa (devolvida). Enquanto a potência ativa é

totalmente dissipada, a potência reativa é devolvida ao gerador.

Essas cargas caracterizam-se, portanto, por terem fator de potência menor que a unidade, isto

é, FP = cos φ < 1.

As cargas capacitivas não são muito comuns, como exemplo de cargas capacitivas podemos

citar o motor síncrono que, por suas características, pode ter um comportamento indutivo,

resistivo ou capacitivo em função da corrente de campo (CC). Se o motor síncrono estiver

subexcitado pela corrente de campo, ele se comporta como uma carga indutiva. Se ele estiver

superexcitado,o seu comportamento é capacitivo. Nos dois casos, o seu fator e potência é

menor do que a unidade.

Há ainda um ponto de excitação intermediário em que ele se comporta como uma carga

resistiva pura, sendo o seu fator de potência unitário.

O Problema do Fator de Potência das Instalações Elétricas Industriais

Corrigir o fator de potência é fundamental em qualquer instalação industrial. Quedas de tensão,

perdas, sobrecargas são algumas das consequências de um fator de potência baixo numa

instalação.

Nas instalações elétricas monofásicas, as cargas Z são ligadas em paralelo om a linha de

alimentação. Portanto, a corrente fornecida pela concessionária de energia elétrica e a corrente

total (IT) defasada de um ângulo total (φT) em relação à tensão V.

Essa corrente é maior do que a necessária para fornecer potência ativa (útil) às cargas.

A maioria das instalações industriais tem a corrente total da linha atrasada, já que a maioria

das cargas é indutiva e resistiva.

A energia em (Kwh) cobrada da concessionária refere-se à potência ativa P(W), e não à

potência aparente Ps (VA).Do ponto de vista técnico e econômico, para a concessionário isso

não é bom, pois ela é obrigada a gerar mais energia do que o necessário.; Por isso ela

sobretaxa os consumidores industriais cujas instalações elétricas operam com fator de potência

FP < 0,92, para incentivá-los a aumentar esse valor.

Para as indústrias um fator de potência baixo também não é interessante técnica e

economicamente, pois além de pagar as multas, a instalação elétrica deve ser feita com

condutores de maior diâmetro para suportar a corrente maior solicitada.

A solução para esse problema é a redução da potência reativa total da instalação, de modo

que fator de potência desejado seja igual ou maior que o limite imposto pela concessionária.

Esse procedimento é denominado correção do fator de potência.

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O aumento do fator de potência pode ser obtido pela conexão de um banco de capacitores na

entrada da instalação elétrica e em paralelo com as cargas. Não se instala em série porque

provoca queda de tensão.

A potência ativa não é alterada porque os capacitores usados na correção de potência

comportam-se muito próximos de capacitores ideais. No entanto, a potência aparente fica

reduzida e, em consequência, a corrente fornecida pela rede fica proporcionalmente menor.

Circuito RC Paralelo em Corrente Alternada

Dado o circuito:

i(t)

v(t) iC XCRiR

No circuito RC em paralelo, a tensão do gerador v(t) é a mesma no resistor (vR) e no capacitor

(vC), mas corrente fornecida pelo gerador i(t) é a soma vetorial das correntes no resistor (iR) e

no capacitor (iC),

Impedância Equivalente (ZC)

ZC

i(t)

v(t) iC XCRiR

v(t)

i(t)

A impedância equivalente do circuito é calculada utilizando a mesma expressão para o cálculo

da resistência equivalente de dois resistores em paralelo, isto é:

1

Zc =

1

R+

1

– j Xcou Zc =

– j RXc

R – j Xc

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A impedância capacitiva também pode ser representada na polar pelas equações:

Módulo (Z):

1

Z =

1

(R)2

+1

(XC)2

ouZ =

RXc

(R)2 + (XC)

2

Fase (φ):

Na forma polar, φ < 0º e, portanto: Zc = Z φ–

φ = arctg R

Xc

–

Apostila elaborada por: Oswaldo da Silva Lopes Júnior Referências Bibliográficas: Albuquerque, Rômulo Oliveira. Análise de Circuitos em Corrente Alternada; São Paulo, Editora Érica. Markus, Otávio. Análise de Circuitos Elétricos: Corrente Contínua e Corrente Alternada; São Paulo, Editora Érica. Mussoi, Fernando Luiz Rosa. Apostila do CEFET – SC – Sinais Senoidais: Tensão e Corrente Alternadas.