Instituto de Física- Física Experimental I

Prof. Luís Alberto Corticioni

Nota:________

Cinemática da Rotação: estudo do movimento circular

ENGENHARIA CIVIL - 2º PERÍODO

Nome:

Hadassa Ribeiro da Rocha

Turma B

11121ECV041

Lucas Antônio Morais Oliveira

Lucas Daniel Souza de Oliveira

Nilson Cesar da Silva Junior

Pedro Paulo Ferreira Silva

11211ECV055

11121ECV015

11121ECV037

11121ECV023

Uberlândia-MG, 24 de maio de 2012

“Cinemática Rotacional: Movimento Circular”

Instituto de Física – Universidade Federal de Uberlândia – UFUAv. João Naves de Ávila, 2.121 - Campus Santa Mônica – Bloco 1X – 38.408-100 –

Uberlândia – MG- Brasil

Resumo. No experimento reproduzido o objetivo foi discutidas as equações que regem o movimento de um corpo que se encontra em movimento circular analisando a cinemática rotacional. Um peso foi preso a uma plataforma rotatória. Após a determinação do raio de sua trajetória e a força resultante do sistema, foi então colocado em movimento. Através de uma série de medidas feitas a partir de tempos das revoluções, resultam a partir da regressão linear à equação do movimento do corpo foi encontrada. O resultado obtido satisfaz a teoria do movimento circular uniformemente variado, correlacionando-as às grandezas escalares e resolvendo-se as questões apresentadas.

Palavras chave: movimento circular, aceleração angular, velocidade angular.

1 Introdução

Há rotações em quase todas as máquinas, usamos rotações toda vez em que

abrimos uma tampa de rosca e pagamos para experimentá-la quando vamos a um parque

de diversões. O movimento circular é muito usado em atividades do dia-a-dia e muito

importante em questões mais sérias, como a fadiga das peças metálicas e outras

estruturas em obras humanas.

Dizemos que um sistema rígido está animado de um movimento de rotação,

relativamente a certo referencial, se todos os seus pontos descreverem circunferências

concêntricas com seu eixo de rotação.

Dada a natureza do movimento circular, é conveniente introduzir uma

coordenada angular para descrever a posição de um corpo na trajetória (uma reta que

passa pelo centro do círculo pode ser usada como referência para a medida do ângulo).

Assim seu deslocamento pode ser dado por uma variação angular e pode-se

correlacioná-las a todas as funções da cinemática. Correlacionando as funções angulares

com as escalares lineares e analisando os movimentos diversos.

Assim a cinemática rotacional de um corpo rígido que gira em torno de um eixo

fixo no referencial de um observador, permite os estudos das situações diversas,

analisando-se a partir de um aparelho simples, os conceitos pertinentes aos estudos das

relações de movimento angulares e lineares.

1

2 Experimental

2.1 Materiais

Usou-se um cronômetro e um aparelho constituído basicamente de um aro

suspenso por seu eixo central vertical, ligado a um sistema semelhante a um rolamento,

e acionado por um peso preso a um fio que fornece o torque necessário, conforme figura

2.

2.2 Procedimentos

O experimento iniciou-se dividindo o procedimento experimental em duas partes:

Procedimento I: Liberou-se o aro, pela retirada da haste lateral, e mediu-se o

tempo, contando imediatamente a partir do momento em que a haste é retirada, para que

o aro execute cinco voltas. Repetiu-se o procedimento cinco vezes, para se obter o valor

mais provável do tempo.

Em seguida, calculou-se a média do tempo de queda da esfera, e transferiram-se

os valores correspondentes de cada volta para uma tabela, e fez-se a regressão linear dos

valores obtidos.

Procedimento II: Liberou-se o aro, mas só iniciou-se a contagem do tempo a

partir do exato instante em que ele completou a primeiro giro. Mediu-se, então, a partir

deste momento, o tempo para que ele dê uma a uma, as cinco voltas. Repetindo o

processo cinco vezes, fazendo como no procedimento I.

3 Resultados e Discussões

Analisando-se os tempos de revolução para cada procedimento, conforme

registrado na tabela 1, para o procedimento I e, na tabela 2 para o procedimento II,

obteve-se cinco medições respectivamente para as 5 revoluções, sendo o apresentado a

média aritmética (Tm) dos mesmos:

Tabela 01 - Tempos de queda x posição (procedimento I).

Tabela 02 - Tempos de queda x posição (procedimento II).

θ(rad) t1 t2 t3 t4 t5 Tm(s)

2

θ(rad) t1 t2 t3 t4 t5 Tm (s)0 0 0 0 0 0 0

2 π 13,0 14,0 13,0 14,0 14,0 13,6

4 π 20,0 20,0 19,0 20,0 20,0 19,8

6 π 24,0 25,0 24,0 24,0 25,0 24,4

8π 28,0 28,5 28 29 29 28,5

10π 32,0 32,0 32,0 32,0 32,0 32,0

0 0 0 0 0 0 0

2 π 6,00 6,00 6,00 6,00 6,00 6,00

4 π 10,0 10,0 11,0 11,0 10,0 10,4

6 π 14,0 15,0 14,0 14,0 14,0 14,2

8π 18,0 18,0 18,0 18,0 18,0 18,0

10π 21,0 21,0 21,0 21,0 21,0 21,0

Dizemos que uma partícula está em movimento circular quando sua trajetória é

uma circunferência como, por exemplo, a trajetória descrita por uma válvula do pneu de

uma bicicleta em movimento igual a da figura 1, assim como no desenvolvimento deste

experimento que se faz como base a rotação de um aro circular. Então, neste

movimento, o vetor velocidade tem módulo variado, pois o peso suspenso quando solta

solicita aceleração ao sistema e as direções dos vetores circulares variam

continuamente.

Figura 1 – Movimento circular.

O esquema do experimento está apresentado na figura 2, onde a peso (4), é

liberado depois de solto o apoio (5) que deixa o aro (1) se mover em torno do eixo. Com

a descida do peso (4) que envia o torque ao fio, que passa na polia (2) e chega ao tambor

de enrolamento (3), que faz o aro girar. Assim com o cronometro foram marcados os

tempos, visualizando através das marcas em preto (6) na figura.

Figura 2 – Esquema do experimento.

No procedimento I, tem-se que os tempos são contados desde o inicio, tendo

velocidade angular inicial igual a zero e é um movimento circular uniformemente

3

variado (M.C.U.V), assim como no procedimento II, mas neste esperou-se uma volta a

ser completada a iniciar a contagem, assim este apresenta velocidade angular inicial

diferente de zero. Tendo como fonte de movimento a aceleração proveniente do peso.

Sendo assim possível através das equações do movimento circular relacioná-las

com as equações lineares de movimento, analisando velocidade, aceleração e

deslocamentos, conforme realizado nas questões pertinentes ao assunto. Apresentando

os dados necessários às questões: raio do aro: 0,31m; diâmetro da polia: 75 mm; raio do

tambor de enrolamento: 1,0 cm.

4 Questões

1. Suponha que a posição angular do raio varie com o tempo, para o caso do

procedimento I, de acordo com a equaçãoθ=k . tn, onde θ é o ângulo descrito

pelo aro, medido em radianos. Linearizando-se esta equação e aplicando-se a

regressão linear aos dados da tabela correspondente, encontre os valores de k e

n. Pelo valor do expoente n (lembre-se do principio heurístico) é possível

concluir que tipo de movimento o aro executa? Neste caso, qual o valor da sua

aceleração angular? Use cinco casas decimais para os logaritmos.

Aplicando Logaritmo na linearização da equação da trajetória y=k xn

na expressão fica:

log y= log (k xn)

log y=log k +log (x¿¿n)¿

log y=log k+nlogx

Atribuir valor as componentes da equação da reta y¿ax+b:

Y¿ logy

b=n

x=logx

a=logk

Tabela 1 – Dados para regressão linear ( Procedimento I)

θ(rad) t(s) Yi = log θ Xi = log t YiXi=log θ. log t Xi2 = log t2

2 π 13,6 0,79818 1,13354 0,90477 1,28491

4

4 π 19,8 1,09921 1,29667 1,42531 1,68134

6 π 24,4 1,27530 1,38739 1,76934 1,92485

8π 28,5 1,40024 1,45484 2,03713 2,11657

10π 32,0 1,49715 1,50515 2,25344 2,26548

  ∑ 6,07008 6,77759 8,38998 9,27315

Aplicando-se nas equações da linearização, tem-se:

∑ y i=n .a+b . ∑ xi (I)

∑ x i . y i=a .∑ x i+b . ∑ x i . y i (II)

Substituindo-se então os valores correspondentes:

6,07008 = 5.a + 6,77759 .b (III)

8,38998 = 6,77759.a + 9,27315.b (IV)

E multiplicando III por 6,77759 e IV por 5,0; para cancelar o termo (a):

41,1405 = 33,8880.a + 45,9357.b

41,9499 = 38,8880.a + 46,3658.b

Subtraindo-as, tem-se:

0,8094 = 0,4301. b

b = 1,88189

Substituindo o valor de b em (III):

6,07008 = 5.a + 6,77759 .b

- 5.a = 6,68458

a = -1,33692

Assim, a função é dada por: y = k . t n, logo:

a = log k e n = b

10ª = K

k = 10 -1,33692

k = 0,046034

Portanto a função experimental é dada por:

θ = 0,046034. t 1, 88189

5

Pelo princípio heurístico o valor do expoente aproxima-se do grau 2, assim

assemelha-se a um movimento circular uniformemente acelerado. E a aceleração é dada

por: 12

α=0 , 046034 , portanto a aceleração angular é de 0,092069 rad/s2.

2. Sabendo que o aro executa um movimento circular uniformemente variado,

determine, com os dados da tabela do procedimento II, sua velocidade angular

inicial e sua aceleração angular, linearizando a equação apropriada a este

movimento e aplicando a regressão linear.

Sabendo que a posição de um movimento circular é dada por:

θ=θo+ωo .t + 12

α . t 2

Onde: θ (angulação final); θo (angulação inicial); ωo (velocidade angular inicial); t

(tempo de rotação);α ( aceleração angular), ou:

θ−θo=ωo . t+ 12

α . t2

Dividindo-se a equação por t para que suprima o grau dois:

θ−θo

t=ωo+

12

α . t

Ressaltando que θ−θo = ∆θ, e que é o próprio intervalo angular.

Assim tendo uma equação desta forma pode-se correlacioná-la à função linear:

Y = a + b.x

Y¿θ−θo

t b=1

2α x=t a=ωo

Assim, obtém a análise dos dados para a regressão linear através da tabela 4.

Tabela 4 - Dados para Regressão Linear (procedimento II).

θ(rad) t(s)

Yi=∆θ/t=

ω Xi = t YiXi = yi. t Xi2 = ti

2

2 π 6,00 1,04720 6,00 6,28320 36,00

4 π 10,4 1,20830 10,4 12,56632 108,16

6 π 14,2 1,32743 14,2 18,84951 201,64

8π 18,0 1,39626 18,0 25,13268 324,00

10π 21,0 1,49600 21,0 31,4160 441,00

  ∑ 6,47519 69,6 93,89771 1110,8

Aplicando-se nas equações da linearização, tem-se:

∑ y i=n .a+b . ∑ xi (I)

6

∑ x i . y i=a .∑ x i+b . ∑ x i . y i (II)

Substituindo-se então os valores correspondentes:

6,47519 = 5.a + 69,6 .b (III)

93,89771 = 69,6.a + 1110,8.b (IV)

E multiplicando III por 69,6 e IV por 5,0; para cancelar o termo (a):

450,67322 = 348.a + 4844,16.b

469,48855 = 348.a + 5554.b

Subtraindo-as, tem-se:

18,81533 = 709,84. b

b = 0,02651

Substituindo o valor de b em (III):

6,47519= 5.a + 69,6 .b

5.a = 4,63009

a = 0,92602

α=2.b, portanto a aceleração angular é igual a α = 0,0532 rad/s2.

a=ωo, e a velocidade angular é ωo=0 , 92602 rad/s.

ω=0,92602+0,0532. t

3. No caso do procedimento II, calcule em rpm, a velocidade angular do tambor de

enrolamento após ter executado 2,5 voltas. Determine, também, aceleração

tangencial de um ponto da periferia do tambor e o tempo para o aro executar 2,5

voltas.

Sabendo-se o deslocamento angular é de 2,5 voltas, pode-se concluir que é de 5π

rad. Logo, a velocidade angular inicial é ωo=0,92602 rad/s e a aceleração angular é α =

0,0532 rad/s2. Pela equação de movimento de Torricelli, tem-se:

ω2=ωo2+2.α . Δθ

Assim,

ω2=0,926022+2 .0,05302 .5 π

ω=1,58845 rad / s

Porém tem-se que dar o resultado em rpm:

1 volta−2π rad

x (voltas)−1,58845 rad

.: 0,25281 voltas/s

7

Sabendo que 1 minuto tem 60s, a velocidade em rpm é:

ω (rpm )=0,25281rotações

s.60

smin

ω = 15,17 rpm.

Tendo, as variáveis angulares do aro:

- ω=1,58845 rad / s

- ωo=0,92602 rad/s

- α = 0,0532 rad/s2

E sabendo-se que a velocidade linear é: v = ω. r, e que o raio do aro é de 0,31

metros:

vf = 1,58845 rad / s . 0,31 m → 0,49242 m/s

vo = 0,92602 rad/s . 0,31 m → 0,28707 m/s

Deslocamento = 2πR / volta, mas são 2,5 voltas = 5π.0,31 →1,55 π m.

Por Torricelli:

v2=vo2+2.a . Δd

a =v2−vo

2

2.d→a = 0,492422−0,287072

2.1,55 π

a = 0,01713 m/s2

Para o cálculo do tempo:

θ−θo=ωo . t+ 12

α . t2

Substituindo os dados:

5 π=0,92602. t+ 12

0,05302.t 2

0,02651 t2+0,92602. t−5 π=0

Encontrando as raízes reais por Bháskara, tem-se:

t’ = 12,5 s e t” = - 47,4s.

Portanto o tempo gasto para completar é de t = 12,5 s.

8

4. Qual a distância percorrida pelo peso suspenso no intervalo de tempo entre a 2ª

e 4ª voltas do aro, no caso do procedimento I?

A distância percorrida pelo peso suspenso entre os intervalos de tempo entre a 2ª

e a 4ª voltas do aro será determinada pelo número de voltas feitas no tambor de

enrolamento, visto que o fio deve-se desenrolar para permitir a rotação. Sendo assim, e

sabendo que o número de voltas dadas pelo aro maior e igual ao menor visto que estão

acoplados. Por isso a distância requerida é vista conforme figura 3.

Figura 3 – Distância percorrida pelo peso.

E de acordo com o procedimento I, têm-se os seguintes dados:

- Raio do tambor de enrolamento: 1,0 cm, ou seja, 0,01m.

- α = 0,092069 rad/s2

- 2ª posição (em relação ao aro): θ2 = 4π rad e t2 = 19,8 s.

- 4ª posição (em relação ao aro): θ4 = 8π rad e t4 = 28,5 s.

Mas ambos as velocidades angulares seja do aro ou do tambor são as mesmas e

então descrevem um deslocamento de ∆θ = 8π rad - 4π rad = 4π rad.

Portanto o deslocamento é dado pelo número de voltas pelo comprimento de

cada volta:

d = 4π.R → d = 4π.0,01 m → d = 0,126 m.

Ou seja, a distância percorrida foi de 12,6 cm.

9

5. Qual a aceleração de um ponto da periferia do aro após ter ele executado a 3ª

volta, no caso do procedimento II? É o módulo desta aceleração constante

durante todo o movimento?

A aceleração de um ponto da periferia é a componente da aceleração centrípeta e

a tangencial, conforme figura 4, e assim de acordo com os dados:

α = 0,0532 rad/s2;ωo=0,92602 rad/s; θ3= 6π rad e t3= 14,2 s; raio = 0,31m.

A aceleração tangencial é dada por: at = α .r e a aceleração centrípeta ac=ω32 . r

Assim, a aceleração tangencial é:

at = 0,0532 rad / s2 .0,31m → at = 0,0165 m/s2.

Portanto, para o cálculo da aceleração centrípeta, tem-se que:

ω32=ωo

2+2.α . Δθ

Substituindo o valor de ω3na equação, tem-se :

ac=(ω¿¿o¿¿2+2.α . Δθ) .r ¿¿

ac=0,926022+2.0,0532.6 π ¿ rad / s2 .0,31m

ac= 0,8876 m/s2.

Figura 4 – Componentes da aceleração num ponto na periferia.

E, a aceleração resultante é dada por:

a = √( 0,0165)2+(0,8876 )2

a = 0, 8877 m/s2.

E tendo em vista que a velocidade angular não é constante devido à aceleração

angular, por isso, a aceleração centrípeta varia, evidenciando que a aceleração resultante

durante todo o movimento não é constante.

10

6. Determine a velocidade e a aceleração do peso suspenso após o aro ter

executado 4,5 voltas, no caso do procedimento II.

Sabe-se que 1,0 volta corresponde a 2π rad, portanto, θ = 9π rad. Usando

Torricelli:

ω62=ωo

2+2. α . Δθ

ω62=0,926022+2.0,0532 . 9π

ω6 = 1,9662 rad/s2

Sabendo que a velocidade angular do aro é a mesma no tambor de enrolamento, e

é a mesma do peso, pois estão conectados ao mesmo eixo. Sendo r tambor = 0,01 m,

portanto:

v6 = ω6. r → v6 = 1,9662 rad /s . 0,01 m

v6 = 0,019662 m/s

e vo = ωo .r→ 0,92602 rad/s . 0,01 m

vo = 0,0092602 m/s

a6 =v6

2−vo2

2.d

a6 =0,0196622−0,00926022

2 .9 π .0,01

a6 = 0,038433 m/s2

A velocidade do peso é de vp = 0,019662 m/s e aceleração é ap = 0,038433 m/s2.

7. Qual a velocidade linear e a aceleração centrípeta de um ponto da periferia da

polia fixa após ter executado a 5ª volta, para o caso do procedimento I?

A polia é usada para permitir a mudança de direção, fazendo a sua rotação, com o

passar do fio, assim tem-se a análise de sua velocidade e aceleração, como na figura 5.

Figura 5 – Análise da polia fixa.

11

Sabendo-se que o diâmetro da polia fixa é de 75 mm, seu raio é r = 3,75. 10-2m.

Ao executar a 5ª volta o deslocamento angular é θ5 = 10π rad.

A velocidade de enrolamento do tambor de enrolamento é numericamente igual

à velocidade da polia, ou seja, ω5=ωaro . Portanto:

varo = ωaro . raro

ω52=ωo

2+2.α . Δθ

ω52=02+2.0,092069 .10 π

ω5 = 2,40 rad/s

A velocidade linear é:

v5 = ω5. rtambor

v5 = 2,40rads

.0,01 m

v5 = 0,024 m/s

Portanto:

Vpolia = 0,024 m/s

A velocidade angular da polia fixa é, portanto,

ωaro=varo

raro

ωaro= 0,64 rad/s.

A aceleração centrípeta é então:

ac = ω polia2 . rpolia

ac = 0,642. 3,75.10-2

ac = 0,015 m/s2.

Assim a velocidade linear da polia é vpolia = 0,024 m/s e aceleração centrípeta é ac

= 0,015 m/s2.

12

4 Conclusão

Com base nos dados e cálculos realizados, obtiveram-se resultados coerentes ao

evidenciado pela teoria da cinemática rotacional. No qual na mecânica clássica, o

movimento circular consiste em um movimento de uma partícula sobre uma

circunferência com uma velocidade angular. Na realidade os corpos, como os satélites

artificiais, são bons exemplos de partículas que descrevem um movimento circular

uniformemente variado, como o deste presente experimento. Sendo muito freqüentes no

cotidiano, se encontrando nas bicicletas, nos veículos automotores, em fábricas, em

equipamentos em geral. Introduzindo conhecimentos necessários ao estudo dos

movimentos e reações, de propriedades angulares como a aceleração angular,

deslocamento angular e velocidade angular, relacionando-os às variáveis lineares de

movimento.

5 Referências

[1] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física

1 “Mecânica”. v.1.8 ed. Rio de Janeiro, LTC, 2008.

[2] HEINE; HOLZER. Physics; university laboratory experiments. Gottingen, Phywe

Series of Publications, 1980.

[3] MARTINS, R. A.. Revista Brasileira de Ensino de Física 27, 11 (2005).

[4] MICHELSON, A. A.; MORLEY, E. W. American Journal of Science 34, 332,

1887.

[5] TIPLER, P.A.. Física. 2. ed. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1984. v.1, 596p.

[6] YOUNG; FREEDMAN. Física I. 12.ed. São Paulo, Addison Wesley, 2008.

13