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CINEMÁTICA ANGULAR

Estudo do MCU e do MCUV

EXTENSIVO

MEDICINA

206

FERA, quando você utiliza uma

bicicleta “de marchas” e precisa

escolher qual a melhor combinação

de catraca-coroa.

ou quando quer mudar a velocidade de abertura e/ou fechamento de um

portão automático e deve substituir a engrenagem do rotor ...

... conceitos trabalhados em aulas de cinemática angular deverão ser

evocados.

Coisas simples, do cotidiano, podem trazer “camufladas” interessantes

discussões. A visão geral das pessoas (o senso comum) nem sempre é capaz

de elucidar pequenas situações do dia-a-dia. Grande é a importância do

saber científico, não só por levar o homem a Lua, fragmentar um átomo ou

outro feito extraordinário, mas, também, por tornar claro aos homens os

mecanismos “por trás” da natureza das coisas.


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207

MÓDULO 7 – aula 61

(definição de radiano)

FERA, dizemos que um ponto material descreve um movimento

circular quando sua trajetória é uma circunferência (ou um arco de

circunferência).

Discos, rodas-d´água, moinhos, regadores rotatórios de jardim,

hélices de avião e de helicóptero, engrenagens de máquinas, rodas de

veículos, etc, são exemplos de corpos que descrevem movimentos circulares.

O estudo de partículas que realizam movimentos circulares pode ser

feito com base na teoria da cinemática estudada nos módulos anteriores,

entretanto, esse estudo pode ser aperfeiçoado se introduzirmos novas

grandezas: as grandezas angulares.

Antes de estudar o movimento circular propriamente dito é

necessário acrescentar ao nosso conhecimento uma definição importante:

FERA, sempre bom lembrar que posição é o mesmo que localização,

ok? E que a diferença entre duas posições corresponde ao deslocamento.

Definição de ângulo em radianos

LEMBRE - SE


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208


(movimentos periódicos)

FERA, dizemos que um movimento é periódico quando repete

seu estado cinemático (posição, velocidade e aceleração) em intervalos

iguais de tempo; este intervalo de tempo chamamos: período (T)

Uma forma de determinar a rapidez de um movimento é através da razão entre o número

de voltas dada pelo móvel e o intervalo de tempo para dar essas voltas (em outras palavras, o

número de voltas dada por unidade

de tempo). Denominamos frequência

do movimento ao resultado desta razão.

Quando um movimento repete seu estado cinemático (posição, velocidade e aceleração)

em intervalos iguais de tempo é dito periódico.

O período desse movimento

é o intervalo de tempo entre duas repetições consecutivas.

FREQUÊNCIA PERÍODO

ATENÇÃO

1 Hz = 60 rpm


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(Movimento Circular e Uniforme)

FERA, Dizemos que um ponto material descreve um movimento

circular e uniforme quando sua trajetória é uma circunferência (ou um arco

de circunferência) e sua velocidade escalar angular É CONSTANTE.

M.C.U.

LEMBRE - SE

ATENÇÃO

ACP = v2 / R


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210

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

AULA 63 – Exemplo 01 ( )

Um automóvel realiza uma curva de raio 20m com velocidade constante de

72km/h. Qual é a sua aceleração durante a curva?

a) 0 m/s2 b) 5 m/s2

c) 10 m/s2 d) 20 m/s2 e) 3,6 m/s2

AULA 63 – Exemplo 02 (UERJ)

Um satélite encontra-se em uma órbita circular, cujo raio é cerca de 42.000 km, ao redor da Terra. Sabendo-se que sua velocidade é de 10.800 km/h, o

número de horas que corresponde ao período de revolução desse satélite é, aproximadamente, igual a:

a) 6 b) 8 c) 12 d) 24

AULA 63 – Exemplo 03 (Vunesp SP)

Sejam 1 e 2 as velocidades angulares dos ponteiros das horas de um

relógio da torre de uma igreja e de um relógio de pulso, respectivamente, e

v1 e v2 as velocidades escalares das extremidades desses ponteiros. Se os

dois relógios fornecem a hora certa, podemos afirmar que:

a) 1 = 2 e v1 = v2. b) 1 = 2 e v1 > v2.

c) 1 > 2 e v1 = v2. d) 1 > 2 e v1 > v2.

e) 1 < 2 e v1 < v2.


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211


(Canivete de MacGyver)

FERA, uma relação bastante útil entre as grandezas do MCU é a

seguinte:

R

vf

Tt

.2

2

Carinhosamente chamo essa expressão de

canivete de MacGyver em alusão a um personagem de

série famosa na década de 90 que muitas vezes alegrou

minha tarde de domingo.

FERA, Um aspecto interessante desta expressão é

que não há repetição entre as grandezas, daí, não há

dúvida quanto o termo a utilizar. Basta ler o que é dado (e

identificar no “canivete”) e o que é pedido (e identificar no “canivete”)

ATENÇÃO

ACP = v2 / R = 2.R


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AULA 64 – Exemplo 01 (UFPE)

O relógio da Estação Ferroviária Central do Brasil, no Rio

de Janeiro, tem ponteiros de minutos e de horas que

medem, respectivamente, 7,5m e 5,0m de comprimento.

Qual a razão vA / vB, entre as velocidades lineares dos pontos extremos dos

ponteiros de minutos e de horas?

a) 10 b) 12

c) 18 d) 24 e) 30

AULA 64 – Exemplo 02 (PUC MG)

As ambulâncias usam, em geral, um dispositivo de sinalização luminoso que

consiste em uma lanterna que gira, com velocidade constante, em torno de

um eixo. Um desses objetos possui diâmetro de 16 cm e gira com

velocidade de 0,40 m/s. O intervalo de tempo necessário para que uma

pessoa, distante alguns metros do veículo, seja iluminada duas vezes

consecutivas é, aproximadamente, igual a:

a) 0,50 s. b) 1,2 s

c) 1,8 s. d) 2,0 s. e) 2,5 s.

AULA 64 – Exemplo 03 (UFPE 2ª fase)

Um carro de Fórmula 1 dá uma volta completa num percurso de 2 km em

100 segundos. Se cada pneu desse carro tem 25 cm de raio, determine o

número médio de voltas que cada roda do automóvel dá, por segundo, neste

percurso.


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(função horária no MCU)

FUNÇÃO HORÁRIA da POSIÇÃO ANGULAR

GRÁFICO versus t

(rd)

t(s)

(rd)

t(s)


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uma partícula, em MCU, tem frequência 30 rpm. Qual o deslocamento

angular desta partícula em um intervalo de tempo de 1 min?

a) 60 rad b) 45 rad

c) 30 rad d) 15 rad e) 5 rad

AULA 65 – Exemplo 02 (FT)®

o manual de um automóvel explica que, em determinada marcha, o eixo do

motor efetua 4.800 rpm. Mantida essa frequência o número de voltas dadas

pelo eixo a cada 2s é igual a:

a) 40 b) 80

c) 120 d) 160 e) 240


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(encontro entre partículas)

Condições para que haja encontro

SENTIDOS OPOSTOS MESMOS SENTIDOS

LEMBRE - SE

ANOTAÇÕES

ANOTAÇÕES

ATENÇÃO


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216



Dois carros, A e B, percorrem uma pista oval de 10,0 km de perímetro, no mesmo

sentido, com velocidades constantes. No instante t = 0, eles cruzam o ponto de

partida. O carro A é mais rápido e após 40 min tem uma volta de vantagem em

relação a B. Se vB = 250 km/h, determine a diferença vA – vB em km/h.


A partir de um mesmo ponto, dois garotos saem correndo

em sentidos opostos ao longo de uma pista circular de

raio R = 50m, com velocidade v1 = m/s e v2 = 3/2

m/s, respectivamente. Determine o tempo, em

segundos, que levarão para se encontrar pela primeira vez, após a partida.


Duas partículas, 1 e 2, partem de um mesmo ponto A com velocidades de

sentidos contrários e frequências respectivamente iguais a 2 Hz e 5 Hz. Após

quanto tempo após a partida voltarão a se encontrar no ponto A?

a) 0,2s b) 0,5s

c) 0,7s d) 1,0s e) 1,5s


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(transmissão COAXIAL)

É possível efetuar a transmissão de movimento circular entre duas

rodas, dois discos, duas polias, etc, através de três procedimentos básicos:

De forma que tenham mesmo eixo (coaxial) (fig. a);

Ligando-os por uma correia ou corrente (fig. b);

Encostando-os (roda dentada) (fig. c)

figura a figura b figura c

Transmissão Coaxial

LEMBRE - SE


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218


AULA 67 – Exemplo 01 (PUCCamp SP)

Na última fila de poltronas de um ônibus, dois passageiros estão distando 2

m entre si. Se o ônibus faz uma curva fechada, de raio 40 m, com velocidade

de 36 km/h, a diferença das velocidades dos passageiros é,

aproximadamente, em metros por segundo,

a) 0,1. b) 0,2.

c) 0,5. d) 1,0. e) 1,5.

AULA 67 – Exemplo 02 (FEI SP) Duas polias, A e B, rigidamente unidas por um eixo, giram com freqüência f

constante, como mostra a figura. Sendo RA = 2RB a razão aA / aB entre as acelerações dos pontos das periferias das respectivas polias é:

a) 4. b) 0,25. c) 1. d) 0,5. e) 2.


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(transmissão PERIFÉRICA)

ANOTAÇÕES

ANOTAÇÕES


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220


AULA 68 – Exemplo 01 (FUVEST SP)

Uma criança, montada num velocípede, desloca-se, em trajetória retilínea,

com velocidade constante em relação ao chão. A roda dianteira descreve

uma volta completa em 1 segundo. O raio da roda dianteira vale 24 cm e

os raios das rodas traseiras valem 16 cm.

Podemos afirmar, corretamente, que as rodas traseiras do velocípede

completam uma volta em, aproximadamente:

a) ( ½ )s b) (2/3)s

c) 1s d) (3/2)s e) 2s


A figura representa um acoplamento de

três rodas dentadas A, B e C que possuem

40, 10 e 20 dentes respectivamente.

Lembrando que os dentes são todos iguais,

quantas voltas dá a roda A enquanto a roda C completa 10 voltas?

a) 10 b) 5

c) 1 d) 0,5 e) 0,1


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221


(BICICLETA de MARCHAS)

Bicicleta de marchas

LEMBRE - SE

ATENÇÃO


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222


AULA 69 – Exemplo 01 (FUVEST SP)

No sistema convencional de tração de bicicletas, o ciclista impele os pedais,

cujo eixo movimenta a roda dentada (coroa) a ele solidária. Esta, por sua

vez, aciona a corrente responsável pela transmissão do movimento a outra

roda entada (catraca), acoplada ao eixo traseiro da bicicleta. Considere agora

um sistema duplo de tração, com 2 coros, de raios R1 e R2 (R1 < R2) e 2

catracas R3 e R4, respectivamente. Obviamente, a corrente só toca uma

coroa e uma catraca de cada vez, conforme o comando da alavanca de

câmbio. A combinação que permite máxima velocidade da bicicleta, para

uma velocidade angular dos pedais fixa, é:

a) coroa R1 e catraca R3 b) coroa R1 e catraca R4

c) coroa R2 e catraca R3 d) coroa R2 e catraca R4

e) é indeterminada já que não se conhece o diâmetro


Uma bicicleta possui duas catracas, uma de raio

6,0 cm, e outra de raio 4,5 cm. Um ciclista

move-se com velocidade uniforme de 12 km/h

usando a catraca de 6,0 cm. Com o objetivo de

aumentar a sua velocidade, o ciclista muda para a catraca de 4,5 cm

mantendo a mesma velocidade angular dos pedais. Determine a velocidade

final da bicicleta, em km/h.


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223


(Movimento Circular e Uniformemente Variado)

M.C.U.V.

AULA 70 – Exemplo 01 (UFPR)

Um ventilador gira à razão de 900 rpm. Ao ser desligado, seu movimento

passa a ser uniformemente retardado até parar, após 75 voltas. O tempo

transcorrido desde o momento em que é desligado até a sua parada

completa vale:

a) 1,0 s. b) 10 s.

c) 100 s. d) 1 000 s. e) 0,1 s.

AULA 70 – Exemplo 02 (FEI SP)

Um móvel em trajetória circular, de raio r = 5 m, parte do repouso com

aceleração angular constante de 10 rad/s2. Quantas voltas ele percorre nos

dez primeiros segundos?

a) 500 b) 250/

c) 100 d) 500/ e) 500

LEMBRE - SE


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224

FUTURO(A) DOUTOR(A), vamos que vamos. Com

essa ficha, encerramos a cinemática (já vimos

escalar, vetorial e agora, angular)?

Bons estudos.

Divirta-se

#LQVP

P 184 (UFPE) Qual a ordem de grandeza da velocidade angular, em

rotações por minuto, do movimento de rotação da Terra em torno do seu

eixo?

a) 10 +1 b) 10 -1

c) 10 -3 d) 10 -5 e) 10 -7

P 185 (UFPE) O ponteiro dos segundos de um relógio tem 1 cm de

comprimento. Qual a velocidade média da ponta deste ponteiro?

a) 2 m/s b)cm/s

c) 3cm/s d)/ 2 cm / min e) 2 cm / min

P 186 (FUVEST SP) Qual a ordem de grandeza do número de voltas dadas

pela roda de um automóvel ao percorrer uma estrada de 200 km?

a) 102 b) 103

c) 105 d) 107 e) 109


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225

P 187 (UFCE) Considere um relógio de pulso em que o ponteiro dos

segundos tem um comprimento rs = 7 mm, e o ponteiro dos minutos tem um

comprimento rm = 5 mm (ambos medidos a partir do eixo central do relógio). Sejam, vs a velocidade da extremidade do ponteiro dos segundos, e vm a velocidade da extremidade do ponteiro dos minutos. A razão vs/vm é igual a:

a) 35. b) 42. c) 70. d) 84. e) 96

P 188 (UFPE 2ª fase)

Um corpo descreve uma trajetória circular com 1 m de raio e velocidade

escalar igual a 12 m/s. Qual o número de voltas realizadas pelo corpo a

cada segundo?

P 189 (PUCCamp SP) A necessidade de se explorarem jazidas mais

profundas levou logo, já no século XVII, a uma dificuldade: a de ter que se

esgotar a água das galerias profundas. O esgotamento era feito ou à força do

braço humano ou mediante uma roda, movida ou por animais ou por queda-

d'água. Sabendo-se que uma roda, de raio 5,0m, movida por um cavalo,

efetua, em média, 2 voltas por minuto, a velocidade angular dessa roda, em

radianos por segundo, vale:

a) / 10 b) / 15

c) / 30 d) / 45 e) / 60

P 190 (FEI SP) Em uma bicicleta com roda de 1 m de diâmetro, um ciclista

necessita dar uma pedalada para que a roda gire duas voltas. Quantas pedaladas por minuto deve dar o ciclista para manter a bicicleta com uma velocidade constante de 6 km/h?

a) 300. b) 200. c) 150. d) 100. e) 50.


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226

P 191 (TOF) Um trem viaja, numa curva de raio 1,0 km, com uma

velocidade de valor igual a 20 km/h. Pede-se calcular o ângulo central, em

radianos, “A” que subtenderá o arco percorrido pelo trem num intervalo de

tempo t = 15s.

a) 1 / 24 b) 1 / 18

c) 1 / 12 d) 1 / 6 e) 1

P 192 (UFPE) Um satélite de comunicações permanece em órbita equatorial

aproximadamente circular, a 35.800 Km da superfície da Terra, deslocando-

se a uma velocidade média de 11.000 Km/h. Considere o raio da Terra

igual a 6.400 Km e indique o tempo que o satélite gasta para dar uma volta

completa ao redor do centro de nosso planeta

(Adote = 3,14):

a) 2,0 dias. b) 1,5 dias.

c) 1,0 dia d) 0,5 dia. e) 2,5 dias.

P 193 (UFRN) Duas partículas percorrem uma mesma trajetória em

movimentos circulares uniformes, uma em sentido horário e a outra em

sentido anti-horário. A primeira efetua 1/3 rpm e a segunda 1/4 rpm.

Sabendo que partiram do mesmo ponto, em 1 hora encontrar-se-ão:

a) 45 vezes b) 35 vezes

c) 25 vezes d) 15 vezes e) 7 vezes

P 194 (UFRGS) Na temporada automobilística de Fórmula 1 do ano

passado, os motores dos carros de corrida atingiram uma velocidade angular

de 18.000 rpm. Em rad/s, qual o valor dessa velocidade?

a) 300 b) 600

c) 9000 d) 18000 e) 36000


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227

P 195 (PUC MG) Para um satélite artificial, estacionário em órbita em torno

da Terra, sobre o Equador, são feitas as seguintes afirmativas:

I : A velocidade linear do satélite é maior que a velocidade linear de um

ponto do Equador terrestre.

II : A velocidade angular do satélite é igual a velocidade angular de rotação da

Terra.

III : O período de translação do satélite é igual ao período de

rotação da Terra.

É correto afirmar que:

a) todas as afirmativas são corretas.

b) somente as afirmativas I e II são corretas.

c) somente a afirmativa III é correta.

d) somente as afirmativas I e III são corretas.

e) somente a afirmativa II é correta.

P 196 (UFRGS) Levando-se em conta unicamente o movimento de rotação

da Terra em torno de seu eixo imaginário, qual é aproximadamente a

velocidade tangencial de um ponto na superfície da Terra, localizado sobre o

Equador terrestre?

Considere = 3,14; raio da Terra = 6.000 km

a) 440 km/h b) 800 km/h

c) 880 km/h d) 1600 km/h e) 3200 km/h

P 197 (UFPE 2ª fase)

A parte mais externa de um disco, com 0,25m de raio, gira com uma

velocidade linear de 15 m/s. O disco começa então a desacelerar

uniformemente até parar, em um tempo de 0,5 min. Qual o módulo da

aceleração angular do disco em rad/s2?


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228

P 198 (UESPI) A figura a seguir ilustra uma

ciclista pedalando em sua bicicleta em um

movimento retilíneo uniforme, com velocidade de

módulo 2 m/s, em relação a um observador em

repouso no solo. Os pneus giram sem deslizar.

Os módulos das velocidades dos pontos mais alto (A) e mais baixo (B) do

pneu dianteiro, em relação a esse observador, são respectivamente iguais a:

a) 2 m/s e 2 m/s b) zero e 2 m/s

c) 4 m/s e 2 m/s d) 2 m/s e 4 m/s e) 4 m/s e zero

P 199 (UNIMONTES MG) Na figura, estão

representadas duas polias, A e B, com raios

RA < RB, acopladas por um eixo. É correto

afirmar:

a) As velocidades angulares dos pontos periféricos da polia A são iguais às

dos pontos periféricos da polia B.

b) As velocidades angulares dos pontos periféricos da polia A são maiores do

que as dos pontos periféricos da polia B.

c) As velocidades lineares dos pontos periféricos da polia A são iguais às dos

pontos periféricos da polia B.

d) As velocidades lineares dos pontos periféricos da polia A são maiores do

que as dos pontos periféricos da polia B.

P 200 (ITA SP) Uma partícula move-se ao longo de uma circunferência

circunscrita em um quadrado de lado L com velocidade angular constante. Na

circunferência inscrita nesse mesmo quadrado, outra partícula move-se com

a mesma velocidade angular. A razão entre os módulos das respectivas

velocidades lineares dessas partículas é:

a) 2 b) 2 2

c) 2 /2 d) 2

3 e) 3 /2


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229

EHC 53. H20 ( )

Para que um satélite artificial em órbita ao redor da Terra seja visto parado

em relação a um observador fixo na Terra é necessário que:

a) sua velocidade angular seja a mesma que a da Terra.

b) sua velocidade escalar seja a mesma que a da Terra.

c) sua órbita não esteja contida no plano do equador.

d) sua órbita esteja contida num plano que contém os pólos da Terra.

EHC 54. H20 (VUNESP SP)

Quem está na Terra vê sempre a mesma face da Lua. Isto ocorre porque:

a) a Lua não efetua rotação nem translação.

b) a Lua não efetua rotação, apenas translação.

c) os períodos de rotação e translação da Lua são iguais.

d) as oportunidades para se observar a face desconhecida coincidem com o

período diurno da Terra.

e) enquanto a Lua dá uma volta em torno da Terra, esta dá uma volta em torno

de seu eixo.


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230

EHC 55. H20 (UFRN)

Satélites de comunicação captam, amplificam e retransmitem ondas

eletromagnéticas. Eles são normalmente operados em órbitas que lhes

possibilitam permanecer imóveis em relação às antenas transmissoras e

receptoras fixas na superfície da Terra. Essas órbitas são chamadas

geoestacionárias e situam-se a uma distância fixa do centro da Terra.

A partir do que foi descrito, pode-se afirmar que, em relação ao centro da

Terra, esse tipo de satélite e essas antenas terão:

a) a mesma velocidade linear, mas períodos de rotação diferentes.

b) a mesma velocidade angular e o mesmo período de rotação.

c) a mesma velocidade angular, mas períodos de rotação diferentes.

d) a mesma velocidade linear e o mesmo período de rotação.

EHC 56. H20 (CEFET PR)

Num lugar onde não se dispõe de energia elétrica, é usado um sarilho para

tirar água de um poço. Essa máquina consta de um cilindro de raio r = 15

cm, fixo em um eixo que pode rotar apoiado em dois suportes. Uma das

extremidades de uma corda é fixada no cilindro e a outra é amarrada em um

balde. À medida que o cilindro gira, acionado por uma manivela de cabo C, a

corda enrola-se nele numa única camada e o balde sobe 9 m em 30 s, em

movimento uniforme.

De acordo com o texto é possível determinar o valor da velocidade escalar

linear do cabo, C. Seu valor, em m/s, é:

a) 2 b) 1,6

c) 1,2 d) 0,8 e) 0,4


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231

EHC 57. H06 (UERJ)

Um feixe de raios paralelos de luz é interrompido pelo movimento das três

pás de um ventilador. Essa interrupção gera uma série de pulsos luminosos.

Admita que as pás e as aberturas entre elas tenham a forma de trapézios

circulares de mesma área, como ilustrados a seguir.

Se as pás executam 3 voltas completas por segundo, o intervalo de tempo entre o

início e o fim de cada pulso de luz é igual, em segundos, ao inverso de:

a) 3 b) 6

c) 12 d) 18 e) 21

EHC 58. H20 (UERJ)

Considere os pontos A, B e C, assinalados

na bicicleta da figura adiante.

(MÁXIMO, Antônio & ALVARENGA, Beatriz.

Curso de Física. São Paulo: Harbra, 1992.)

A e B são pontos das duas engrenagens de transmissão e C é um ponto externo do aro da roda. A alternativa que corresponde à ordenação dos

módulos das velocidades lineares VA, VB e VC nos pontos A, B e C, é:

a) VB < VA < VC b) VA < VB = VC c) VA = VB < VC d) VA = VB = VC


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232

EHC 59. H20 (Mackenzie SP)

Quatro polias, solidárias duas a duas, podem ser acopladas por meio de uma

única correia, conforme as possibilidades abaixo ilustradas.

Os raios das polias A, B, C e D são, respectivamente, 4,0cm, 6,0cm, 8,0cm e

10cm. Sabendo que a freqüência do eixo do conjunto CD é 4800 rpm, a maior

freqüência obtida para o eixo do conjunto AB, dentre as combinações citadas, é:

a) 400 Hz b) 200 Hz

c) 160 Hz d) 133 Hz e) 107 Hz

EHC 60. H20 (FT)®

Uma forma de simular gravidade em naves no espaço seria utilizar

movimento circular e uniforme. Tendo a nave formato cilíndrico e sendo

posta a girar com velocidade angular, , constante, os corpos em contato

internamente com o cilindro de raio R teria uma aceleração centrípeta (que

faria o papel da aceleração da gravidade), acp, dada por:

acp = 2.R

Uma nave espacial de formato cilíndrico, inicialmente apenas em movimento

retilíneo uniforme, é posta a girar em torno de seu eixo de modo a

proporcionar gravidade artificial aos seus ocupantes. Se o raio da nave é

igual a 5,0 m e sua aceleração angular é de 0,05 rad/s2, em quanto tempo,

em segundos, a nave atinge velocidade angular suficiente para simular uma

gravidade de g / 2 nos pontos de sua superfície lateral?

a) 1s b) 10s

c) 20s d) 50s e) 100s


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233

G A B A R I T O

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

184 C 185 E 186 C 187 D 188 06 189 B

190 E 191 C 192 C 193 B 194 B 195 A

196 D 197 02 198 E 199 A 200 A

G A B A R I T O

EXERCITANDO as HABILIDADES em CASA:

53 A 54 C 55 B 56 D 57 D

58 C 59 B 60 C

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