CINEMÁTICA DO PONTO MATERIAL

1.0 Conceitos Cinemática é a parte da Mecânica que descreve os movimentos. Ponto material é um corpo móvel cujas dimensões não interferem no estudo em questão. Trajetória é o conjunto das posições sucessivas de um móvel no decorrer do tempo. A forma da trajetória feita por um corpo depende do referencial. Origem dos espaços é o marco zero da trajetória. Referencial ou sistema de referência é o corpo em que identifica se um móvel está em movimento ou em repouso. Um corpo está em movimento em relação a um referencial quando a sua posição muda no decurso do tempo. Um corpo está em repouso em relação a um referencial quando sua posição não varia no decurso do tempo.

2.0 Movimento em Uma Dimensão

2.1 Posição Se um ponto material se desloca ao longo de uma trajetória retilínea, diz-se que ocupa uma certa posição P na reta. Para definir esta posição, escolhe-se uma origem O fixa na reta e um sentido positivo ao longo dela; mede-se a distância x de O a P atribuindo-se um sinal positivo ou negativo, de acordo com a orientação escolhida. A coordenada de posição no ponto material é a distância OP, representada por x.

Quando a coordenada de posição x for conhecida para qualquer valor do tempo t, diz-se que o movimento do ponto será conhecido. Note que a posição não indica quando o móvel andou nem o sentido do movimento.

2.2 Velocidade 2.2.1 Velocidade Média Velocidade é uma grandeza que modifica diretamente a posição. A velocidade média da partícula no intervalo Δt é um vetor e é definida como o quociente entre o deslocamento Δx e o intervalo de tempo Δt.

Este vetor independe da trajetória e fornece o resultado do movimento. A velocidade escalar média é dada por:

Esta depende da trajetória e fornece detalhes do movimento.

2.2.2 Velocidade Instantânea A velocidade instantânea do ponto material no instante t é obtida da velocidade média, considerando-se intervalos de tempo cada vez menores, tendendo a zero, ou seja, representa a velocidade de uma partícula num único instante de tempo.

O sinal da velocidade instantânea depende da inclinação do gráfico posição em função do tempo.

2.3 Aceleração 2.3.1 Aceleração Média Aceleração é uma grandeza que modifica diretamente a velocidade. A aceleração média do ponto, no intervalo de tempo Δt, é um vetor e é definida como o quociente entre Δv e Δt:

2.3.2 Aceleração Instantânea A aceleração instantânea do ponto material no instante t é obtida da aceleração média, considerando-se intervalos de tempo cada vez menores, tendendo a zero, ou seja, representa a aceleração de uma partícula num único instante de tempo.

O sinal da aceleração instantânea depende da inclinação do gráfico velocidade em função do tempo. Quando a velocidade e a aceleração do corpo estão na mesma direção, o corpo se torna mais rápido. Se eles estiverem em direções opostas, a velocidade escalar do corpo diminui no tempo.

2.4 Determinação do Movimento de um Ponto Material Um movimento é raramente definido entre x e t; muitas vezes, as condições do movimento estarão especificadas pelo tipo de aceleração que o ponto possui.

Para qualquer caso de aceleração em função do tempo, posição ou velocidade, temos que:

Utilizando a regra da cadeia, temos:

Podemos encontrar:

Utilizando-se da integral, temos:

OBS.: Lembrando que, ao resolver a integral, deve-se adicionar a constante C, pois se trata de uma integral indefinida. Geralmente na questão contém informações cujo objetivo é identificar esta constante.

2.5 Movimento Retilíneo Uniforme Nesse movimento, a aceleração do ponto material é nula para qualquer valor de t, tornando a velocidade constante. A velocidade instantânea durante um intervalo de tempo é a mesma que a velocidade média durante o intervalo.

Equação horária da posição:

2.6 Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado Nesse movimento, a aceleração do ponto material é constante não-nula para qualquer valor de t. A aceleração instantânea durante um intervalo de tempo é a mesma que a aceleração média durante o intervalo.

Equação horária da velocidade:

Equação horária da posição:

Equação da velocidade em função da posição (Equação de Torricelli):

A velocidade média é a soma aritmética da velocidade inicial e final:

Como x – x0 = vxt, então:

2.6.1 Corpos em Queda Livre Corpos em queda livre sofrem efeito da gravidade g, que é constante. O vetor g aponta para baixo em direção ao centro da Terra com um módulo de 9,8 m/s². Corpo em queda livre é um corpo que se move livremente sob a influência apenas da gravidade, independe de seu movimento inicial. Como o movimento é vertical e a gravidade aponta para baixo, as equações do movimento com aceleração constante são adaptadas:

OBS.: A diferença entre Queda livre e Lançamento Vertical é que este último depende de seu movimento inicial, ou seja, v y 0 adquire um valor diferente de zero na equação.

3.0 Movimento em Duas e Três Dimensões Quando um ponto material desloca-se ao longo de uma curva, dizemos que está em movimento curvilíneo.

3.1 Vetor Posição O vetor r é originado quando traçamos um vetor unindo a origem O ao ponto P, no instante t.

3.2 Vetor Velocidade 3.2.1 Vetor Velocidade Média A velocidade média no ponto material é definida como o quociente entre Δr e Δt.

Independe da trajetória entre os dois pontos.

3.2.2 Vetor Velocidade Instantânea A velocidade instantânea do ponto material no instante t é obtida quando Δt tende a zero:

A direção do vetor velocidade instantânea está ao longo da linha tangente à trajetória.

3.3 Vetor Aceleração 3.3.1 Vetor Aceleração Média A aceleração média do ponto material no intervalo de tempo Δt é definida como o quociente Δv/Δt.

Em geral, a aceleração não é tangente à trajetória do material. 3.3.2 Vetor Aceleração Instantânea A aceleração instantânea do ponto material no instante t é obtida quando Δt tende a zero:

3.4 Componentes Cartesianas O movimento tridimensional com aceleração constante é equivalente a três movimentos independes nas direções x, y e z. Princípio de Independência dos Movimentos Simultâneos: Se um móvel apresenta um movimento composto, cada um dos movimentos componentes se realiza como se os demais não existissem e no mesmo intervalo de tempo. Ou seja, um movimento não depende do outro para surgir e agir. Quando a posição de um ponto P for definida por suas coordenadas cartesianas x, y e z, é conveniente decompor sua velocidade v e sua aceleração a em função de tais componentes:

OBS.: Na decomposição vetorial, o vetor g, como aponta para baixo na direção vertical, é decomposta apenas no eixo y, ou seja: g = gj. OBS.: A equação da trajetória não é r(t), e sim y(x).

Adaptações:

3.5 Movimento de Projétil – Lançamento Horizontal e Oblíquo Modelo de simplificação:

A aceleração g é constante e direcionada para baixo. O efeito da resistência do ar é desprezível. A direção y é vertical e positiva apontando para cima. No t = 0 o projétil parte da origem.

Pelo desenho, podemos identificar que:

A trajetória é completamente especificada conhecendo o ângulo e a velocidade inicial:

Aplicando (I) em (II), temos:

Um projétil lançado sobre um solo plano, com trajetória simétrica, possui as seguintes características: Tempo de subida é igual ao tempo descida:

Na altura máxima, vy = 0:

No alcance, utiliza-se t = 2t1:

No alcance máximo, utiliza-se θ = 45°:

Analisando o desenho abaixo, percebe-se que o alcance será máximo quando o ângulo entre a trajetória e o eixo x for 45°.

3.6 Movimento Circular Uniforme O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória do corpo e perpendicular ao raio da trajetória circular, cujo módulo é constante, mas a direção não. O vetor aceleração é sempre perpendicular à trajetória e sempre aponta para o centro do círculo, sendo chamada de aceleração centrípeta.

Por semelhança de triângulos, sabe-se que:

Substituindo Δv por aΔt, temos:

Aproximando t para zero, a razão |Δr|/Δt aproxima-se da velocidade escalar v e a aceleração média torna-se instantânea:

OBS.: A aceleração centrípeta não é constante, pois ela muda frequentemente de direção ao se deslocar na trajetória circular. Período é o tempo necessário para uma revolução (volta) completa. Em 1 período, a partícula descola-se 2πr (comprimento de 1 volta):

3.7 Movimento Circular Não-Uniforme Neste movimento a partícula move-se com uma velocidade cuja direção e módulo variam. O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória, e o vetor aceleração faz um ângulo θ com a trajetória, sendo descrito como a soma vetorial entre a aceleração tangencial e a aceleração radial:

A aceleração tangencial surge da mudança na velocidade escalar (módulo da velocidade) da partícula:

A aceleração radial surge da mudança na direção do vetor velocidade:

O módulo da aceleração é dado por:

4.0 Velocidade Relativa Considere 2 partículas em movimento. Quando as suas velocidades estão em sentidos contrários, o módulo da velocidade relativa entre os corpos é dado pela soma dos módulos das velocidades; quando estão em sentidos iguais, o módulo é dado pela diferença dos módulos das velocidades. A velocidade relativa será aproximação quando houver um ponto de encontro, e de afastamento quando não houver.

4.1 Composição de Movimento Considere:

Velocidade do barco: Velocidade relativa ( ). Velocidade da correnteza: Velocidade de arrastamento ( ). Velocidade resultante: ( ).

Se um barco navega rio abaixo, ele navega a favor da correnteza.

Se um barco navega rio acima, ele navega contra a correnteza.

Se um barco atinge a outra margem navegando perpendicularmente às margens:

Se um barco atinge a outra margem no ponto em frente ao ponto de partida, ele possui o menor deslocamento resultante possível, com a velocidade resultante perpendicular às margens.