cinematic a

CINEMÁTICA

1 – INTRODUÇÃO E CONCEITOS INICIAIS 1.1 – Mecânica É a parte da Física que estuda os movimentos dos corpos. 1.2 -Cinemática É a parte da mecânica que descreve os movimentos, sem se preocupar com suas causas. 1.3 - Ponto Material ou Partícula Quando estudamos o movimento de um corpo, suas dimensões podem ser relevantes ou não. Definimos ponto material ou partícula como o corpo cujas dimensões são desprezíveis em comparação com as distâncias envolvidas no movimento estudado. 1.4 - Posição e Sistema de Referência Para determinamos a posição de uma partícula precisamos de um sistema de referência. Se a partícula está sempre sobre uma reta, sua posição é definida pela coordenada x no sistema de referência constituído por uma reta graduada e orientada, contendo uma origem (ou ponto zero) e uma escala, com a respectiva unidade. Se a partícula está sempre sobre um plano, a sua posição pode ser definida pelo par de coordenadas

no sistema de referência constituído pelo plano cartesiano )y,x( xy . Se a partícula pode estar em algum lugar do espaço, sua posição pode ser definida pelo terno de coordenadas ( no sistema de referência constituído pelo sistema cartesiano ortogonal )z,y,x xyz . 1.5 - Repouso e Movimento Repouso e movimento são conceitos que dependem do referencial adotado. Uma partícula está em repouso, em relação a um referencial, quando a sua posição permanece constante no decorrer do tempo. Uma partícula está em movimento, em relação a um referencial, quando a sua posição varia no decorrer do tempo. 1.6 - Trajetória Trajetória de uma partícula é o lugar geométrico das posições ocupadas pela partícula no decorrer do tempo, isto é, é a linha sobre a qual a partícula se move. Exemplos de trajetórias: retilínea, parabólica, circular, elíptica, etc. 1.7 - Equação do Movimento O movimento de uma partícula fica completamente determinado se conhecermos a posição da partícula em cada instante de tempo. O modo como a posição varia com o tempo pode ser expresso por uma função matemática , relacionando a posição com o tempo, denominada equação do movimento ou equação horária do movimento.

)t(x

Marta Maria Cassiano 1

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1.8 -Deslocamento, Velocidade Média e Velocidade Instantânea Consideremos uma partícula em movimento ao longo de uma reta. No instante t a posição da

partícula é e no instante t a posição é . i

ix f fx O deslocamento da partícula é definido como a variação da posição

if xxx −=∆ A velocidade média da partícula entre os instantes e é definida como a razão entre o

deslocamento it ft

x∆ da partícula e o intervalo de tempo t∆

if

if

ttxx

txv

−−

==∆∆

A velocidade instantânea (ou simplesmente velocidade) em um determinado instante de tempo é o valor ao qual tende a velocidade média quando calculada em um intervalo de tempo infinitamente pequeno, t∆ tendendo a zero.

txlimvlimv

tt ∆∆

∆∆ 00 →→==

Unidade de velocidade no S.I. (Sistema Internacional de Unidades): m/s 1.9 -Aceleração Média e Aceleração Instantânea Consideremos uma partícula em movimento ao longo de uma reta. No instante a velocidade da

partícula é e no instante t a velocidade é . it

iv f fv A aceleração média a

vda partícula entre os instantes e t é definida como a razão entre a

variação da velocidade it f

∆ da partícula e o intervalo de tempo t∆

if

if

ttvv

tva

−−

==∆∆

A aceleração instantânea (ou simplesmente aceleração) em um determinado instante de tempo é o valor ao qual tende a aceleração média quando calculada em um intervalo de tempo infinitamente pequeno, t∆ tendendo a zero.

tvlimalima

tt ∆∆

∆∆ 00 →→==

Unidade de aceleração no S.I.: m/s2


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2 - MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU) Quando uma partícula está em movimento ao longo de uma reta com velocidade constante (e, portanto, aceleração nula), o movimento é chamado retilíneo uniforme. Neste caso, a equação do movimento dada por

vtxx =− 0

Gráficos do movimento retilíneo uniforme

A equação do movimento é uma função do primeirograu, portanto seu gráfico é uma reta. O coeficienteangular da reta é igual à velocidade: βtgv = . A velocidade é constante e não nula, portanto seu gráficoé uma reta paralela ao eixo dos tempos. A área sob ográfico entre dois instantes, e , é igual ao

deslocamento

)t(v it ftx∆ da partícula entre esses instante.

A aceleração é constante e nula, portanto seu gráfico éuma reta, coincidente com o eixo do tempos.

3 - MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) Quando uma partícula está em movimento ao longo de uma reta com aceleração constante não nula, o movimento é chamado retilíneo uniformemente variado. Neste caso, a equação do movimento é dada por

200 2

1 attvxx +=−

e a relação entre velocidade e tempo é

atvv += 0 Isolando da equação da velocidade e substituindo na equação do movimento, obtemos a equação de Torricelli

t

)xx(avv 0

20

2 2 −+=


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3.1 - Gráficos do movimento retilíneo uniformemente variado

A equação do movimento é uma função do segundo grau, portanto seu gráfico é uma parábola. A concavidade do gráfico é dada pelo sinal da aceleração. Se a concavidade é para cima e se

0>a0<a a concavidade é para baixo. O vértice da

parábola corresponde ao instante em que a velocidade da partícula é nula e a partícula inverte o seu sentido de movimento. A relação entre velocidade e tempo é uma função do primeiro grau, portanto seu gráfico é uma reta. O coeficiente angular da reta é igual à aceleração:

βtga = . A aceleração é constante e não nula, portanto seu gráfico é uma reta paralela ao eixo dos tempos. A área sob o gráfico a entre dois instantes, e

, é igual à variação da velocidade

)t( it

ft v∆ dapartícula entre esses instante.

3.2 -Queda Livre Se lançássemos vários objetos verticalmente, para cima ou para baixo, e, de alguma maneira, pudéssemos eliminar os efeitos da resistência do ar, verificaríamos que eles seriam acelerados para baixo (para o centro da Terra), todos com a mesma aceleração, independentemente de suas massas. Esta aceleração é chamada aceleração de queda livre ou aceleração da gravidade e é representada pelo símbolo g . O valor de g apresenta pequenas variações de acordo com a latitude e altitude, mas, em geral, nos movimentos estudados, podemos considerar g como sendo constante e igual a 9,8 m/s2. Como o movimento é retilíneo vertical, escolhemos como sistema de referência o eixo . Se escolhermos o sentido positivo do eixo orientado para cima, então

yg apontará para o sentido negativo do

sistema de referência.

Assim, as equações da posição e da velocidade da partícula em queda livre são dadas por

200 2

1 attvyy +=−

atvv += 0 ga −=


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4 - CINEMÁTICA VETORIAL Quando uma partícula está em movimento sobre um plano ou no espaço, os elementos descritivos do movimento (posição, velocidade e aceleração) devem ser estudados considerando seu caráter vetorial. Sua posição, a partir da origem, é especificada pelo vetor r , sua velocidade pelo vetor e sua aceleração pelo vetor a .

v

Se o movimento da partícula é sobre um plano, esses vetores podem ser expressos em termos de suas componentes cartesianas nas direções dos versores i e j , que correspondem às direções dos eixos x e

, respectivamente. y Vetor Posição , jyixr += 22 yxr +=

Vetor Velocidade jvivv yx += , 22yx vvv +=

Vetor Aceleração jaiaa yx += , 22yx aaa +=

Direção de e Orientação de v a O vetor velocidade de uma partícula é sempre tangente à sua trajetória e o sentido de v é o sentido do movimento. Nos movimentos retilíneos o vetor aceleração tem a direção da trajetória e nos movimentos curvilíneos a aponta sempre para o lado côncavo da trajetória. 4.1 - Movimento em um Plano com Aceleração Constante Se a partícula está em movimento sobre um plano com a constante, isto é, módulo e direção constantes, as equações de posição e velocidade da partícula em função do tempo podem ser expressas na forma vetorial

200 2

1 tatvrr +=−

tavv += 0

ou ser escritas em termos de suas componentes

Componente x Componente y 2

00 21 tatvxx xx +=− 2

00 21 tatvyy yy +=−

tavv xxx += 0 v tav yyy += 0

4.2 - Movimento de Projéteis Um exemplo de movimento no plano com aceleração constante é o movimento de um projétil, isto é, o movimento de uma partícula lançada obliquamente no ar, com uma velocidade 0v formando um ângulo

0θ com a horizontal.


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Admitindo que os efeitos da resistência do ar sobre os seus movimentos possam ser desprezados, a aceleração da partícula é g , considerada constante, dirigida para baixo. A trajetória descrita pelo projétil é parabólica e seu movimento pode ser decomposto em componentes horizontal (componente x) e vertical (componente y). Deste modo, as equações acima podem ser usadas, sendo

0=xa

gay −=

000 θcosvv x =

000 θsenvv y =

Supondo a expressão da trajetória é dada por 000 == yx

2

022

00 2

xcosvgx)tg(y

θθ −=

4.3 - Componentes da Aceleração Algumas vezes, quando estudamos movimentos curvilíneos, pode ser interessante escrevermos o vetor aceleração não em termos de suas componentes cartesianas e , mas em termos de outras duas

componentes, denominadas aceleração tangencial

a xa ya

ta e aceleração centrípeta ac

ct aaa +=

A aceleração tangencial tem a mesma direção do vetor velocidade (tangente à trajetória), podendo ter ou não o mesmo sentido. A aceleração centrípeta é perpendicular à direção do vetor velocidade e o seu sentido é sempre orientado para o centro da curvatura da trajetória. O interesse nessas duas componentes é que elas apresentam um significado físico, não apenas geométrico. A aceleração tangencial é proveniente da variação do módulo do vetor velocidade e a aceleração centrípeta é proveniente da variação da direção do vetor velocidade.

O módulo da aceleração centrípeta é dado por

Rvac

2

=

onde R é o raio de curvatura da trajetória.


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Nos movimentos retilíneos, a direção do vetor velocidade não varia com o tempo. Neste caso, 0=ca e

taa = .

Nos movimentos curvilíneos uniformes o módulo da velocidade é constante. Neste caso, 0=ta e

caa = .

Nos movimentos curvilíneos variados, varia em módulo e direção. Neste caso, v ct aaa += . 4.4 - Movimento Circular Consideremos uma partícula em movimento descrevendo uma trajetória circular de raio R e centro . Seja

CP a posição da partícula, em relação à origem O , em um instante de tempo . t

Posição Angular Se é o comprimento do arco de trajetória OP , a posiçãoda partícula pode ser dada pelo ângulo s

θ , denominadoposição angular

Rs

=θ (radianos) 4.4.1 - Velocidade Angular Média e Velocidade Angular Instantânea Se no instante a posição angular da partícula é it iθ e no instante t a posição angular é f fθ , a

velocidade angular média ω da partícula entre os instantes t e t é definida como a razão entre o

deslocamento angular i f

θ∆ da partícula e o intervalo de tempo t∆

if

if

ttt −−

==θθ

∆θ∆ω

A velocidade angular instantânea (ou simplesmente velocidade angular) em um determinado instante de tempo é o valor ao qual tende a velocidade angular média quando calculada em um intervalo de tempo infinitamente pequeno, t∆ tendendo a zero.

tlimlimtt ∆

θ∆ωω∆∆ 00 →→

==

Unidade de velocidade angular: rad/s ou s-1 4.4.2 -Aceleração Angular Média e Aceleração Angular Instantânea Se no instante a velocidade angular da partícula é it iω e no instante t a velocidade é f fω , a

aceleração angular média α da partícula entre os instantes e é definida como a razão entre a

variação da velocidade angular it ft

ω∆ da partícula e o intervalo de tempo t∆

if

if

ttt −−

==ωω

∆ω∆α


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A aceleração angular instantânea (ou simplesmente aceleração angular) em um determinado instante de tempo é o valor ao qual tende a aceleração angular média quando calculada em um intervalo de tempo infinitamente pequeno, t∆ tendendo a zero.

tlimlimtt ∆

ω∆αα∆∆ 00 →→

==

Unidade de aceleração angular: rad/s2 ou s-2 4.4.3 - Relação entre grandezas lineares e angulares

Posição θRs = Velocidade ωRv = Aceleração αRa =

4.4.4 - Movimento Circular Uniforme (MCU) O movimento circular uniforme é aquele em que a trajetória descrita pela partícula é circular e o módulo do vetor velocidade é constante. Como conseqüência, a velocidade angular também é constante. A posição angular da partícula, em função do tempo, é dada por

tωθθ =− 0 Embora v seja constante, como v é sempre tangente à trajetória, sua direção é variável. Deste modo, a componente tangencial do vetor aceleração da partícula é nula e a componente centrípeta é dada por

22

ωRRvac ==

4.4.5 - Movimento Circular Uniformemente Variado (MCUV) No movimento circular uniformemente variado o módulo do vetor velocidade é variável. A posição e velocidade angulares da partícula, em função do tempo, são dadas por

200 2

1 tt αωθθ +=−

tαωω += 0 Neste caso, como o vetor velocidade varia em módulo e direção, as componentes tangencial e centrípeta do vetor aceleração da partícula são ambas não nulas.


cinematic a

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