cinematic a

DEMEGI

MECÂNICA II

CINEMÁTICA

Marcelo Francisco S. F. de Moura

Carlos A. Magalhães Oliveira

PORTO - 2002

AGRADECIMENTOS

Para a realização deste trabalho muito contribuíram várias pessoas, às

quais os autores desejam expressar o seu agradecimento.

Uma primeira palavra de apreço para o Professor Vasco Sá, autor da

sebenta anterior, na qual todos nós aprendemos cinemática. A evolução natural

do conteúdo da disciplina e das ferramentas à disposição, justifica a execução

deste novo texto.

Aos colegas que nos últimos anos têm estado ligados à disciplina pelo

empenho e dedicação que têm sido frutuosos, no que concerne a uma melhor

aprendizagem e taxa de aproveitamento por parte dos alunos. Destacaríamos,

neste contexto, os Professores José Chousal, Pedro Reina, José Magalhães e

Pedro Ribeiro.

À Ana Cristina pela excelente colaboração prestada na dactilografia do

presente texto.

ÍNDICE

1 INTRODUÇÃO ..................................................................................1

2 CINEMÁTICA DO PONTO ...............................................................4

2.1 TRAJECTÓRIA E MOVIMENTO ............................................... 4

2.2 MOVIMENTO RECTILÍNEO - Análise escalar ........................... 5

2.2.1 Lei do Movimento ........................................................... 5

2.2.2 Velocidade ..................................................................... 6

2.2.3 Aceleração ..................................................................... 7

2.3 MOVIMENTO CURVILÍNEO- Análise vectorial ......................... 9

2.3.1 Componentes cartesianas .............................................. 9

2.3.1.1 Vector posição ..................................................... 9

2.3.1.2 Vector velocidade .............................................. 11

2.3.1.3 Vector aceleração .............................................. 12

2.3.2 Componentes intrínsecas ou naturais .......................... 14

2.3.2.1 Posição .............................................................. 14

2.3.2.2 Vector velocidade .............................................. 14

2.3.2.3 Vector aceleração .............................................. 15

2.3.3 Coordenadas polares e cilíndricas ................................19

2.3.3.1 Coordenadas polares .........................................19

2.3.3.1.1 Vector posição ..................................... 19

2.3.3.1.2 Vector velocidade ................................ 20

2.3.3.1.3 Vector aceleração ................................ 21

2.3.3.2 Coordenadas cilíndricas .................................... 22

2.3.3.2.1 Vector posição ..................................... 22

2.3.3.2.2 Vector velocidade ................................ 22

2.3.3.2.3 Vector aceleração ................................ 23

2.3.3.2.4 Movimento helicoidal ........................... 23

2.4 MUDANÇAS DE REFERENCIAL .................................... 23

2.5 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO .......................................... 27

2.5.1 Velocidade angular ............................................... 27

2.5.2 Vector velocidade angular ou rotação .................. 29

2.5.3 Aceleração angular instantânea ........................... 30

2.5.4 Vector aceleração angular .................................... 31

2.6 SÍNTESE DE 2.1 A 2.5 .................................................... 32

2.7 CONCEITO DE PARÂMETRO E GRAU DE LIBERDADE. 32

2.8 MOVIMENTOS COM MAIS DE UM GRAU DE

LIBERDADE .................................................................... 34

2.8.1 Vector velocidade num referencial fixo ................ 34

2.8.2 Vector velocidade num referencial móvel ............ 36

2.8.3 Vector aceleração ................................................ 41

2.9 SÍNTESE DE 2.7 E 2.8 .................................................... 42

2.10 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ......................................... 42

3 CINEMÁTICA DO SÓLIDO ........................................................... 45

3.1 INTRODUÇÃO ................................................................. 45

3.2 MOVIMENTO DE TRANSLACÇÃO ................................. 46

3.3 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO .......................................... 48

3.3.1 Vector velocidade ................................................. 49

3.3.2 Vector aceleração ................................................. 50

3.4 MOVIMENTO GERAL DE UM SÓLIDO .......................... 51

3.4.1 Vector velocidade ................................................. 52

3.4.1.1 Propriedade projectiva ............................ 54

3.4.2 Vector aceleração ................................................. 56

3.5 MOVIMENTOS PARTICULARES DOS SÓLIDOS .......... 59

3.5.1 Movimento plano .................................................. 59

3.5.1.1 Métodos para a obtenção do CIR ........... 60

3.5.1.1.1 Método da perpendicularidade .. 60

3.5.1.1.2 Método da proporcionalidade ... 62

3.5.2 Movimento polar ................................................... 63

3.5.3 Movimento helicoidal ............................................ 63

3.6 SÍNTESE DO CAPÍTULO 3 ..................................................... 65

3.7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................................... 68

4 TEORIA DE MOVIMENTOS RELATIVOS .................................... 69

4.1 INTRODUÇÃO ................................................................. 69

4.2 VELOCIDADES ............................................................... 72

4.2.1 Campo de velocidades ......................................... 72

4.2.2 Determinação dos CIR pela propriedade

do alinhamento ................................................... 75

4.3 ACELERAÇÕES .............................................................. 78

4.4 PARALELISMO ENTRE A TMR E A TEORIA DAS

DERIVADAS RELATIVAS ............................................. 80

4.5 SÍNTESE DO CAPÍTULO 4 ............................................. 83

4.6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................... 84

5 CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS EM CONTACTO PERMANENTE 85

5.1 INTRODUÇÃO ................................................................ 85

5.2 IMPORTÂNCIA DO ROLAMENTO E

ESCORREGAMENTO .................................................. 85

5.3 SÓLIDOS EM CONTACTO PONTUAL ........................... 86

5.3.1 Movimento de permutação .................................. 86

5.3.2 Velocidade de escorregamento ........................... 88

5.3.3 Especifidades do torsor gerador do movimento

relativo 2/1 no ponto de contacto ........................ 89

5.3.4 Escorregamento puro ........................................... 91

5.3.5 Rolamento puro – sólidos em movimento plano ... 91

5.3.5.1 Definição matemática da base

e da rolante .............................................. 93

5.3.5.2 Generalização da análise a quaisquer

movimentos planos .................................. 94

5.3.5.3 Velocidade de permutação ..................... 96

5.3.5.4 Aceleração relativa do ponto de

contacto (ou CIR) ..................................... 99

5.4 SÓLIDOS EM CONTACTO LINEAR ............................. 101

5.4.1 Superfícies axoides ............................................ 102

5.4.2 Superfícies axoides nos movimentos planos .... 106

5.5 SÍNTESE DO CAPÍTULO 5 ........................................... 107

5.6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ......................................... 108

6 ANEXO – PROBLEMAS DE EXAME ........................................... 113

Mecânica II 1. Introdução

FEUP – DEMEGI 1

CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO

A Mecânica Teórica é uma ciência que aborda temas como o equilíbrio

dos corpos materiais e o movimento mecânico. No primeiro caso (estudo do

equilíbrio dos corpos materiais em repouso) estamos no domínio da Estática .

Quando se estuda o movimento dos corpos estamos no âmbito da Cinemática

e/ou Dinâmica . A Cinemática estuda o movimento dos corpos única e

exclusivamente do ponto de vista geométrico sem se preocupar, nem com as

causas que originam esse movimento (forças, momentos), nem com a inércia

dos corpos (massas, momentos de inércia). Pode-se afirmar que a Cinemática

traduz o estudo da geometria do movimento, estabelecendo relações entre

deslocamento, velocidade, aceleração e tempo sem qualquer referência às

causas que originam ou alteram o movimento. A Dinâmica também se ocupa

do movimento dos corpos, nomeadamente do estudo da relação existente entre

as solicitações que actuam num corpo (forças, momentos), a sua inércia

(massa, momento de inércia) e o movimento resultante. Rapidamente se

conclui que o estudo dinâmico de um movimento implica a sua abordagem

prévia em termos cinemáticos.

1. Introdução Mecânica II

2 FEUP – DEMEGI

Para melhor compreender a relação entre Estática , Cinemática e

Dinâmica recordemos a bem conhecida Segunda Lei de Newton do

movimento

aF m= (1.1)

em que F é a resultante das forças actuantes, m é a massa do corpo e a é a

aceleração resultante. Nesta equação, que é a base de toda a Dinâmica , a

obtenção da aceleração requer previamente, uma análise cinemática. Na

ausência de movimento, o segundo membro da equação anula-se e teremos

um problema de Estática . Pode-se então concluir que a Estática é um caso

particular da Dinâmica e que deveria ser estudada depois desta. Tal não

sucede por questões de ordem pedagógica. Na verdade, é mais fácil a

assimilação de conceitos partindo da situação particular (Estática ), para o caso

geral (Dinâmica ).

O objectivo último deste trabalho é o estudo cinemático de mecanismos

simples. Um mecanismo é um conjunto de corpos ligados entre si e

dimensionados de forma a obter-se à saída um movimento com as

características cinemáticas e dinâmicas desejadas. Por exemplo, o sistema

biela-manivela transforma o movimento rectilíneo alternativo dos êmbolos em

movimento de rotação da manivela (ver figura 1.1).

A

Manivela

B

Biela

ÊmboloC

Figura 1.1 – Sistema biela-manivela.

Teoricamente, conhecer o movimento de um mecanismo é saber definir,

em todos os instantes, a trajectória, a velocidade e a aceleração de um ponto

genérico de qualquer um dos corpos que o constituem. Na prática, o

conhecimento do movimento de alguns pontos notáveis ou a redução dos

Mecânica II 1. Introdução

FEUP – DEMEGI 3

movimentos aos seus elementos teóricos essenciais, através de modelos

matemáticos adequados, resolve o problema.

Inicialmente, a abordagem será feita recorrendo à Cinemática do Ponto

Material . Um ponto material genericamente representa um corpo com massa,

mas de dimensões desprezáveis relativamente ao seu movimento. Assim, a

Terra no seu movimento em torno do Sol pode ser assimilada a um ponto

material. Um sistema de pontos materiais pode ser contínuo ou discreto. Os

corpos rígidos que constituem os mecanismos podem ser assimilados a

sistemas contínuos de pontos materiais, em que estes permanecem a

distâncias fixas uns dos outros durante o movimento. Embora os corpos se

deformem durante o movimento, essas deformações consideram-se

desprezáveis relativamente ao próprio movimento. A abordagem cinemática

dos corpos rígidos constitui o tema da Cinemática do Sólido . Realce para a

aplicação da Teoria dos Movimentos Relativos e a sua relação com a Teoria

da Derivação (Cinemática do Ponto ) e as Equações de Mozzi (Cinemática

do Sólido ). Finalmente, dedicaremos especial atenção ao estudo do

Movimento de Sólidos em Contacto Permanente, situação que ocorre com

frequência em muitos mecanismos.

2. Cinemática do Ponto Mecânica II

4 FEUP – DEMEGI

CAPÍTULO 2 CINEMÁTICA DO PONTO 2.1 TRAJECTÓRIA E MOVIMENTO

A trajectória é o lugar geométrico das diversas posições assumidas por

um ponto quando este se desloca entre duas posições diferentes. A trajectória

é uma linha necessariamente contínua.

O conceito de movimento é essencialmente relativo. Diz-se que um

ponto está em movimento em relação a outro quando a sua posição,

relativamente a este, muda com o tempo. Saliente-se que esta mudança de

posição se pode traduzir por uma variação da distância entre eles ou por uma

variação da direcção definida por esses dois pontos. Efectivamente, se um dos

pontos descreve uma circunferência relativamente ao outro com centro neste,

não há alteração de distância, mas há alteração de posição. Num movimento

geral poderá haver variação de distância e direcção em simultâneo. Pode-se

também afirmar que dois pontos estão em repouso um em relação ao outro se

não houver alteração das posições relativas.

Esta noção de movimento está intrinsecamente associada à noção de

referencial . Na verdade, a existência de movimento ou repouso de um ponto

depende do referencial a que o observador está ligado: a trajectória, a

velocidade e a aceleração do ponto são diferentes conforme o referencial

Mecânica II 2. Cinemática do Ponto

FEUP – DEMEGI 5

ligado ao observador. Assim, dois passageiros sentados num autocarro estão

em repouso um em relação ao outro, mesmo quando o autocarro se desloca.

No entanto, ambos estão em movimento relativamente a um terceiro indivíduo

que se encontre sentado na paragem. Mas esse movimento é ainda diferente

relativamente a um quarto passageiro que se desloque no corredor do

autocarro. Também o será relativamente a um condutor de automóvel que

nesse instante ultrapasse o autocarro. Temos, assim, uma série de exemplos

que ilustram de modo claro o conceito essencialmente relativo de qualquer

movimento. Poder-se-á mesmo dizer que nenhum movimento é cem por cento

absoluto. Se considerarmos que a Terra, o Sistema Solar, as galáxias e todos

os corpos celestes estão em movimento compreendemos melhor o alcance da

afirmação anterior.

2.2 MOVIMENTO RECTILÍNEO – Análise escalar

2.2.1 LEI DO MOVIMENTO

O movimento de um ponto diz-se rectilíneo quando a sua trajectória é

uma linha recta. Consideremos o eixo OX como a direcção da trajectória (ver

figura 2.1). A posição do ponto material P e o sentido do deslocamento ficam

definidos pelo modo como varia a distância ao ponto de referência O em cada

instante (sentido crescente ou decrescente do eixo coordenado x). Por outras

palavras, é necessário conhecer a função x(t), que se designa por lei do

movimento .

O

∆ x t+ ( t)

( ) x t

∆ t+ t t x

Figura 2.1 – Referencial usado para o movimento rectilíneo.


6 FEUP – DEMEGI

2.2.2 VELOCIDADE

Observando a figura 2.1 vamos supor que nos instantes t e t+∆t a

partícula se encontra nas posições x(t) e x(t+∆t) respectivamente. O

deslocamento ∆x entre estes dois instantes pode ser dado por

)()( txttxx −∆+=∆ . (2.1)

A velocidade média durante o intervalo de tempo ∆t é definida como

tx

v m ∆∆= (2.2)

ou seja, pelo quociente entre o deslocamento ∆x e o intervalo de tempo ∆t. Em

termos físicos podemos dizer que a velocidade representa o deslocamento por

unidade de tempo, sendo a sua unidade no sistema internacional o metro por

segundo. A velocidade instantânea será dada pelo limite deste quociente

quando ∆t tende para zero ou, em termos matemáticos, será a derivada do

deslocamento em ordem de tempo

)(lim 0 txdtdx

tx

v tɺ==

∆∆= →∆ . (2.3)

Utilizaremos com frequência xɺ (omitindo o t) para denominar a velocidade

instantânea que, daqui em diante, será apenas designada por velocidade . O

ponto por cima de uma variável significa a sua derivada em ordem ao tempo. A

velocidade é representada por um número real, que pode ser positivo ou

negativo consoante o valor de x aumente ou diminua com o tempo. Por outro

lado, a própria velocidade pode variar de instante para instante, ou seja, pode

variar no tempo e temos, então, v=v(t).

A relação entre o deslocamento de um ponto e a velocidade pode ser

estabelecida a partir da equação (2.3), escrevendo


FEUP – DEMEGI 7

dtvdx = . (2.4)

Integrando temos

∫∫ =t

t

x

xdtvdx

00 (2.5)

e finalmente

∫+=t

tdtvxx

00 (2.6)

sendo x0 o deslocamento do ponto no instante inicial t0 considerado para

origem da contagem dos tempos. A obtenção do deslocamento x para um

determinado instante t implica o conhecimento da função v(t). No caso

particular da velocidade ser constante o movimento é uniforme e temos

)( 00 ttvxx −+= . (2.7)

2.2.3 ACELERAÇÃO

Recordando a figura 2.1 vamos supor que nos instantes t e t+∆t a

partícula apresenta velocidades v(t) e v(t+∆t). A variação de velocidade pode

ser positiva ou negativa e é dada por

)()( tvttvv −∆+=∆ . (2.8)

A aceleração média no intervalo de tempo ∆t é igual a


8 FEUP – DEMEGI

tv

am ∆∆= . (2.9)

A aceleração instantânea (daqui em diante será designada apenas por

aceleração ) obtém-se calculando o limite do quociente de (2.9) quando ∆t

tende para zero

vdtdv

tv

a tɺ==

∆∆= →∆ 0lim . (2.10)

A unidade da aceleração no sistema internacional é o metro por segundo ao

quadrado. Atendendo à equação (2.3) podemos ainda escrever

xdt

xddtdx

dtd

dtdv

a ɺɺ==

==2

2

. (2.11)

Os dois pontos por cima da variável significa a segunda derivada desta em

ordem de tempo, ou seja, a aceleração é também dada pela segunda derivada

do deslocamento em ordem ao tempo. Note-se que, genericamente, o

deslocamento, a velocidade e a aceleração são funções do tempo . No

entanto, por simplificação da notação, é comum omitir-se o t na designação da

variável. A relação entre a aceleração e a velocidade é obtida a partir da

equação (2.10)

dtadv = , (2.12)

e integrando

∫∫ =t

t

v

vdtadv

00 (2.13)

logo


FEUP – DEMEGI 9

∫+=t

tdtavv

00 (2.14)

em que v0 é a velocidade no instante inicial t0. A lei dos deslocamentos obtém-

se integrando a equação anterior em ordem ao tempo (ver equações (2.4) e

(2.5)), sendo no entanto, fundamental conhecer a função a(t). No caso

particular da aceleração ser constante o movimento é uniformemente variado

(positiva ou negativamente) e temos

)( 00 ttavv −+= . (2.15)

Neste caso, a obtenção da lei dos deslocamentos pode ser feita recorrendo à

equação (2.5)

( )dtttavdxt

t

x

x ∫∫ −+=0

000

)( (2.16)

e finalmente,

20000 )(

21

)( ttattvxx −+−+= . (2.17)

2.3 MOVIMENTO CURVILÍNEO – Análise vectorial

2.3.1 COMPONENTES CARTESIANAS

2.3.1.1 Vector posição

Acabámos de apresentar o cálculo do deslocamento, da velocidade e da

aceleração no movimento rectilíneo, utilizando um modelo de análise

unidimensional e um método de resolução escalar . Todavia, para localizar

um ponto P que se desloca no espaço tridimensional é mais cómodo recorrer a


10 FEUP – DEMEGI

uma análise vectorial , em que a posição do ponto em cada instante se obtém

através das suas coordenadas no referencial escolhido. Através da figura 2.2

constata-se que a posição do ponto P fica definida no referencial com origem

no ponto O arbitrariamente escolhido, através do vector posição

OPr =�

(2.18)

ou

=

P

P

P

z

y

x

r . (2.19)

sendo xP, yP e zP as coordenadas escalares do vector posição OP no

referencial da figura 2.2. Em geral, este vector é uma função do tempo ( r�

(t)) e

pode variar não só em módulo, mas também em direcção.

∆r

x Py

O

P0

xP

y

t + t( )

zP

( )r tr ∆

z

s P Q

Figura 2.2 –Vector posição em coordenadas cartesianas.


FEUP – DEMEGI 11

2.3.1.2. Vector velocidade

Observando a figura 2.2 vemos que o ponto adquire as duas posições P

e Q da trajectória nos instantes t e t+∆t, respectivamente. O deslocamento

entre estes dois instantes é dado por

)()( ttt rrr −∆+=∆ (2.20)

e a velocidade média neste intervalo de tempo será

t∆

∆= rvm (2.21)

ou

−−−

∆=

PQ

PQ

PQ

zz

yy

xx

t1

mv . (2.22)

Dado que ∆ r�

é um vector e ∆t um escalar conclui-se, da equação (2.21), que

mv é um vector com a direcção de ∆ r�

, ou seja, da recta secante à trajectória

que passa pelos pontos P e Q (ver figura 2.2), e o sentido é o do vector

deslocamento.

A velocidade instantânea obtém-se considerando intervalos de tempo

∆t cada vez menores e, consequentemente, vectores ∆ r�

cada vez mais curtos.

Por outras palavras, a velocidade instantânea pode ser obtida como sendo o

limite de mv quando ∆t tende para zero. Como se depreende da figura 2.2, a

velocidade instantânea é um vector tangente à trajectória no ponto P, pois

quando ∆t tende para zero, Q tende para P e a direcção da secante ∆ r�

tende

para a direcção da tangente. Temos então,


12 FEUP – DEMEGI

•

→∆ ==∆∆= r

rrv

dtd

tt 0lim (2.23)

sendo

=•

z

y

x

ɺ

ɺ

ɺ

r . (2.24)

O módulo da velocidade será dado por

222 zyx ɺɺɺ ++=v . (2.25)

2.3.1.3 Vector aceleração

A velocidade do ponto pode variar de instante para instante.

Consultando a figura 2.3 admitimos que nos instantes t e t+∆t, o ponto ocupa

as posições P e Q da trajectória e que as velocidades são v (t) e v (t+∆t),

respectivamente. A variação da velocidade é dada por

)()( ttt vvv −∆+=∆ (2.26)

e a aceleração média por

t∆

∆= vam (2.27)

ou

−−−

∆=

Pz

Qz

Py

Qy

Px

Qx

vv

vv

vv

t1

ma . (2.28)


FEUP – DEMEGI 13

v

∆v

v t + t( )∆

( )tv t + t( )∆

r

( )

P

x

r

z

y

t + t( )∆

tQ

( )v t

(a) (b)

Figura 2.3 – Representação geométrica da variação de velocidade.

(a) No espaço de referência.

(b) Considerando os vectores velocidade com a mesma

origem.

Mais uma vez, a aceleração instantânea obtém-se calculando o limite

de (2.26) quando ∆t tende para zero. Assim temos,

•

→∆ ==∆∆= v

vva

dtd

tt 0lim (2.29)

ou

=

=

=

z

y

x

z

y

x

a

a

a

z

y

x

v

v

v

dtd

ɺɺ

ɺɺ

ɺɺ

a . (2.30)

O módulo da aceleração será dado por

222zyx aaa ++=a . (2.31)


14 FEUP – DEMEGI

2.3.2 COMPONENTES INTRÍNSECAS OU NATURAIS

2.3.2.1 Posição

Em 2.3.1 obtivemos a posição do ponto P a partir das suas coordenadas

cartesianas. Todavia, uma vez conhecida a trajectória do ponto, podemos

definir a sua posição de uma forma alternativa e que consiste em (ver figura

2.2):

1) Definir um ponto fixo sobre a trajectória (P0) para contagem do

comprimento de arco s.

2) Arbitrar um sentido de percurso positivo a que corresponde valores de s

crescentes.

3) Definir a posição do ponto pelo comprimento de arco P0P que

designamos por s.

2.3.2.2 Vector velocidade

Vimos que a velocidade é um vector que é tangente à trajectória em

cada instante. Vamos então exprimir o vector velocidade segundo a direcção

da tangente.

A partir da definição do vector de velocidade expresso na equação

(2.23) podemos escrever

dtds

dsd

dtd rr

v == . (2.32)

Como facilmente se depreende da figura 2.2, quando ∆t tende para zero e Q

tende para P, a corda rd tende para o valor do arco ds, logo o seu quociente


FEUP – DEMEGI 15

tende para a unidade. Por outro lado, rd , que é uma secante à curva, tenderá

para a direcção da tangente no ponto P. Assim,

ττττ=dsdr

(2.33)

sendo ττττ o versor (módulo unitário) da tangente e cujo sentido é o do

movimento. Podemos então, definir o vector velocidade em componentes

intrínsecas como

ττττττττ sdtds

ɺ==v (2.34)

em que sɺ nos dá o módulo e ττττ nos define a direcção e o sentido do vector

velocidade.

2.3.2.3 Vector aceleração

Ao contrário do vector velocidade que é tangente à trajectória, o vector

aceleração pode decompor-se segundo duas direcções; uma tangencial e outra

normal à trajectória em cada ponto, e que são conhecidas pelas componentes

intrínsecas ou naturais da aceleração.

Recorrendo às equações (2.29) e (2.34) podemos escrever

dtd

dtds

dt

sddtd ττττττττ+==

2

2va . (2.35)

A variação do versor das tangentes ττττ com o tempo, pode ser tratada como

sdsd

dtds

dsd

dtd

ɺττττττττττττ == . (2.36)


16 FEUP – DEMEGI

A variação do versor ττττ consiste numa mudança de direcção, uma vez que o

seu módulo (unitário) se mantém constante. Assim, e recorrendo à figura 2.4(a)

podemos dizer que a variação ∆ ττττ dos versores entre os pontos P e Q pode ser

escrita como

PQ ττττττττττττ −=∆ . (2.37)

O

Q∆α

PττττP

x

Qττττ

ρρ

y A

ττττP

∆α

Qττττ∆ ττττ

(a) (b)

Figura 2.4 – Representação da variação do versor das tangentes

(a) No espaço de referência.

(b) Perspectiva aumentada dos dois versores considerados

com a mesma origem.

A figura 2.4(b) permite-nos definir com facilidade o módulo de ∆ ττττ . Dividindo

simetricamente o triângulo isósceles constituído por ττττ P, ττττ Q e ∆ ττττ a partir da sua

base ∆ ττττ , podemos obter dois triângulos rectângulos onde


FEUP – DEMEGI 17

α∆=∆2

sen2

Qττττττττ (2.38)

ou

α∆=∆2

sen2ττττ

(2.39)

uma vez que Qττττ é unitário. Calculando o limite da equação anterior quando

∆ ττττ tende para zero obtemos

α=dd ττττ (2.40)

uma vez que xxx =→ senlim 0 . Por outro lado quando ∆ ττττ → 0 a direcção de d ττττ

tende para a normal a ττττ (versor n ) como facilmente se depreende da figura

2.4(b), imaginando Q muito próximo de P. Assim , podemos escrever

nα=dd ττττ . (2.41)

O valor do comprimento de arco ds correspondente a dα pode ser obtido pelo

produto do raio de curvatura ρ por dα (ver figura 2.4 (a))

α= dρds . (2.42)

Assim, retornando à equação (2.35), podemos escrever

sρ

sρdd

sdsd

dtd

ɺɺɺn

n =α

α== ττττττττ. (2.43)


18 FEUP – DEMEGI

Finalmente, recorrendo às equações (2.34) e (2.43) temos

naρ

ss

2ɺɺɺ += ττττ . (2.44)

Podemos então dizer que o vector aceleração se pode decompor em duas

componentes:

- a tangencial ττττsɺɺ=ta que é devida unicamente à variação do módulo da

velocidade;

- a normal naρ

s2

nɺ

= que é devida à curvatura da trajectória.

Num movimento ao longo de uma trajectória no espaço, podem-se definir no

ponto P inúmeras normais. A definição da normal principal que conterá o versor

n , pode ser feita a partir do plano osculador em P, que se define como o plano

que contém os versores ττττ P, ττττ Q e ∆ ττττ quando Q tende para P (ver figura 2.4(b)).

Como se constata da observação de 2.4(b), este plano contém o versor n .

Um exemplo que retrata a importância desta componente normal da

aceleração, é o projecto de linhas ferroviárias. Neste caso, um segmento recto

de via nunca é seguido directamente de um troço circular; utilizam-se secções

especiais de transição, para suavizar a passagem do raio de curvatura infinito

do segmento recto para o raio de curvatura finito da secção circular. Caso

contrário, existiriam mudanças bruscas na aceleração das carruagens, o que

para além de ser prejudicial aos materiais seria também desagradável e

perigoso para os passageiros.

A conclusão mais importante a reter é que num movimento curvilíneo a

aceleração nunca é nula. Assim, se esse movimento for uniforme, sɺ será

constante e a componente tangencial de aceleração será nula, mas existirá a

componente normal ρ

2sɺ. Esta componente só será nula quando a velocidade


FEUP – DEMEGI 19

for nula (ausência de movimento) ou nos pontos de inflexão em que o

movimento terá, ainda que momentaneamente, uma trajectória rectilínea, que

se caracteriza por ρ = ∞.

2.3.3 COORDENADAS POLARES E CILÍNDRICAS

2.3.3.1 Coordenadas polares

2.3.3.1.1 Vector posição

Nalguns problemas de movimento plano, a posição do ponto material P

pode-se definir através das suas coordenadas polares r e θ de versores ru e

θu respectivamente (ver figura 2.5).

θO

r

u θ ru

Figura 2.5 – Coordenadas polares.

Torna-se então conveniente decompor a velocidade e a aceleração

segundo a direcção radial identificada pelo versor ru e a direcção transversal

(versor θu ) perpendicular à anterior. No caso do ponto P se movimentar ao

longo de uma trajectória rectilínea teremos r a aumentar ou a diminuir

mantendo-se θ constante e o movimento faz-se segundo ru . Por outro lado, se

houver variação de θ, e r se mantiver constante, o movimento faz-se segundo

θu . Num caso geral haverá alteração de r e θ simultaneamente.


20 FEUP – DEMEGI

O vector posição do ponto P pode-se escrever

rr ur = . (2.45)

2.3.3.1.2 Vector velocidade

Derivando o vector posição, obtemos o vector velocidade

rr rr••

+== uurv ɺ . (2.46)

Recordando a figura 2.4(b), que nos permitiu estudar a derivada de um versor

animado de movimento de rotação, podemos usar um procedimento análogo

para a obtenção de r

•

u . Assim considerando Pru , Qru , ru∆ e θ∆ em vez de ττττ P,

ττττ Q, ∆ ττττ e ∆α respectivamente, temos a partir da figura 2.4(b)

2∆

sen2

θr

r

uu

=∆

(2.47)

ou

θr ∆=u∆ (2.48)

quando ∆θ tende para zero. Para calcular a variação média de ru∆ em

relação ao tempo fazemos

tθ

t

r

∆∆

∆∆=

u (2.49)


FEUP – DEMEGI 21

cujo limite será θɺ quando ∆t tende para zero. Tal como sucedia com ∆ ττττ (ver

equação 2.41), também aqui a direcção de ru∆ tenderá para a perpendicular a

ru para valores muito pequenos de ∆θ. Podemos então escrever

θθr θdtdθ

uuu ɺ==•

(2.50)

e, consequentemente

θr θrr uuv ɺɺ�

+= . (2.51)

2.3.3.1.3 Vector aceleração

Derivando o vector velocidade obtemos o vector aceleração

θθθrr θrθrθrrr•••

++++== uuuuuva ɺɺɺɺɺɺɺɺ . (2.52)

Seguindo um raciocínio análogo ao que permitiu a obtenção de r

•

u , obtemos

para θ

•

u

rθ θuu ɺ−=•

(2.53)

logo, o vector aceleração fica

( ) ( ) θr θrθrθrr uua ɺɺɺɺɺɺɺ ++−= 22 (2.54)

ou seja, tal como no vector velocidade, temos uma componente radial e uma

componente transversal.


22 FEUP – DEMEGI

2.3.3.2 Coordenadas cilíndricas

2.3.3.2.1 Vector posição

Por vezes torna-se cómodo definir a posição do ponto material P no

espaço recorrendo às coordenadas cilíndricas r, θ e z de versores ru , θu e k ,

respectivamente (ver figura 2.6). Neste caso podemos decompor o vector

posição do ponto material P segundo os versores e temos

kur zr r += . (2.55)

u

z

x

rθ

ur

O

k

r

P

z

y

k

u

r

θ

Figura 2.6 – Coordenadas cilíndricas.

Note-se que o versor k para além do módulo também tem direcção constante,

o que o torna um vector constante.

2.3.3.2.2 Vector velocidade

Derivando a equação anterior obtemos o vector velocidade

kuurv zθrr θr ɺɺɺ ++==•

. (2.56)


FEUP – DEMEGI 23

2.3.3.2.3 Vector aceleração

O vector aceleração obtém-se por derivação do vector velocidade

( ) ( ) kuuva zθrθrθrr θr ɺɺɺɺɺɺɺɺɺ +++−==•

22 . (2.57)

2.3.3.2.4 Movimento helicoidal

Um caso típico da aplicação das coordenadas cilíndricas é o movimento

helicoidal descrito por um ponto P na periferia do filete de um parafuso de

secção constante. Neste caso, a coordenada z é proporcional a Rθ sendo R

uma constante. Temos então,

θRhz = (2.58)

kur θhRR r += (2.59)

ku θRhθRv θɺɺ += (2.60)

kuua θRhθRθR θrɺɺɺɺɺ ++−= 2 . (2.61)

2.4 MUDANÇAS DE REFERENCIAL

No capítulo 2.3 vimos diferentes modos de exprimir os vectores

velocidade e aceleração em diversos tipos de coordenadas: cartesianas,

intrínsecas, polares e cilíndricas. Na verdade, tratam-se de perspectivas

diferentes de visualização das mesmas entidades físicas. Por outras palavras,

um determinado vector (posição, velocidade ou aceleração) pode ser expresso,

por exemplo, em coordenadas cartesianas, intrínsecas ou cilíndricas. Embora

nestes três sistemas de coordenadas o vector tenha, matematicamente, um


24 FEUP – DEMEGI

aspecto diferente, ele representa a mesma entidade física. Um observador no

centro da cidade do Porto tem uma perspectiva diferente da Torre dos Clérigos

relativamente a outro que a sobrevoe, mas a entidade física (Torre dos

Clérigos) é a mesma. Na realidade, trata-se de recuperar o conceito de

referencial já referido no capítulo 2.1, embora num contexto diferente. Por

vezes existe a necessidade de projectar um vector num referencial diferente

daquele em que ele se encontra projectado. O método mais cómodo é recorrer

ao operador matemático conhecido por matriz transformação . Para ilustrar a

construção desta matriz passemos a um exemplo concreto retratado na figura

2.7, onde se representam dois referenciais SA (xA, yA, zA) e SB (xB, yB, zB), em

que os eixos x são coincidentes e os eixos y e z se encontram desfasados de

θ . Imaginemos um vector OP que em SA tem como componentes

=c

b

a

ASPO . (2.62)

Podemos obter OP projectado em SB fazendo

[ ]AB

AB SST POPO = (2.63)

sendo [ ]ABT a matriz transformação de A em B.

θ

x xBA

OA

θB

y

y

ABB

zz

Figura 2.7 – Referenciais SA e SB.


FEUP – DEMEGI 25

Para elucidar a construção desta matriz consideremos a projecção dos

versores do sistema SA ( Ai , Aj , Ak ) em SB.

• O versor de xA projectar-se-á de igual modo em SB. Podemos então

preencher a primeira linha e a primeira coluna desta matriz com o valor 1

na posição correspondente à transformação de xA em xB e zero nas

outras posições.

[ ]B

B

B

AB

AAA

z

y

x

zyx

=0

0

001

T (2.64)

• O versor de yA ( Aj ) projecta-se em yB multiplicando-o por θcos e em zB

multiplicando-o por θsen− (ver figura 2.8)

θ

A

sen

j

jA

Oθ θcos

jθ

A

zBB

Az

yA

yB

Figura 2.8 – Projecção do versor de yA em yB e em zB.

Podemos então acrescentar mais duas projecções na nossa matriz


26 FEUP – DEMEGI

[ ]B

B

B

AB

AAA

z

y

x

θ

θ

zyx

−=

sen0

cos0

001

T (2.65)

• O versor de zA ( Ak ) projecta-se em yB multiplicando-o por θsen e em zB

por θcos (ver figura 2.9).

θ

A

kθk cos

A

kO

θsen θ

A

BBz Az

yA

By

Figura 2.9 – Projecção do versor de zA em yB e em zB.

Temos então a matriz transformação completa

[ ]B

B

B

AB

AAA

z

y

x

θθ

θθ

zyx

−=

cossen0

sencos0

001

T (2.66)

e a projecção de BS

PO será (ver equação (2.63))


FEUP – DEMEGI 27

+−+=

−=

θcθb

θcθb

a

c

b

a

θθ

θθB

cossen

sencos

cossen0

sencos0

001

SPO (2.67)

Os vectores AS

PO e BS

PO representam exactamente a mesma entidade física

(a posição do ponto P relativamente ao ponto O), embora apresentem um

aspecto matemático diferente (comparar 2.62 com 2.67). Calculando o módulo

de AS

PO e BS

PO obtemos exactamente o mesmo valor, como é obvio,

222 cba ++=OP . (2.68)

Note-se que este exemplo, poder-se-ia aplicar à transformação de

coordenadas cilíndricas em cartesianas. Assim, se considerarmos o sistema SB

como sendo de coordenadas cilíndricas (r, θ e z), a matriz [ ]BAT permite a

transformação referida. Saliente-se ainda que, pelo facto dos sistemas SA e SB

serem ortonormados a matriz transformação [ ]BAT é igual à transposta de

[ ]ABT . Como é óbvio, [ ]BAT permite passar um vector representado em SB para

SA. Sugere-se como exercício, a aplicação da matriz [ ]BAT ao vector BS

PO (ver

equação (2.67)) e obter AS

PO (ver equação (2.62)).

2.5 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO

2.5.1 VELOCIDADE ANGULAR

No subcapítulo 2.2.2 definimos velocidade linear como sendo a derivada

do deslocamento em ordem ao tempo num movimento rectilíneo. A velocidade

angular segue uma filosofia semelhante, bastando para tal considerar

deslocamentos angulares em vez de lineares. Para melhor compreensão


28 FEUP – DEMEGI

consideremos então o caso particular do movimento circular descrito num

plano xy (ver figura 2.10).

O x

y

Pθ Q

Q

Pθ

Figura 2.10 – Movimento circular plano.

Considerando duas posições para o ponto material, P e Q

respectivamente, em dois instantes diferentes a velocidade angular média

define-se como

tθ

ωmed∆

∆= . (2.69)

O limite deste quociente quando ∆t tende para zero é a velocidade

angular instantânea .

θdtdθ

tθ

ω tɺ=== →∆

∆

∆lim 0 (2.70)

cuja unidade no sistema SI é o radiano por segundo.

O deslocamento angular obtém-se da equação anterior fazendo

dtωθd = (2.71)


FEUP – DEMEGI 29

e após integração

∫+=t

tdtωθθ

00 . (2.72)

No caso do movimento circular uniforme temos

)( 000 ttωθθ −+= . (2.73)

2.5.2 VECTOR VELOCIDADE ANGULAR OU ROTAÇÃO

Recordando a figura 2.10 vamos calcular o vector velocidade no ponto P

recorrendo a um produto vectorial do vector velocidade angular ω pelo

respectivo vector posição. Por uma questão de simplificação e sem perda de

generalidade imaginemos que o ponto P se encontra sobre o eixo x na sua

trajectória circular. Como já sabemos que a velocidade é tangente à trajectória

e admitindo um sentido de rotação anti-horário, o vector velocidade será

vertical e positivo

0

0

0

0

θrvPPɺ==v (2.74)

e vamos calculá-lo fazendo

0Pωv x=P . (2.75)

0

0x

0 r

o

θr ω=ɺ . (2.76)


30 FEUP – DEMEGI

Pela regra do produto vectorial rapidamente concluímos que o vector ω só

pode ter componente segundo z positiva, ou seja

ω

0

0

=ω . (2.77)

Daqui se depreende que o vector velocidade angular ou rotação apresenta

as seguintes características:

• o seu módulo é igual à velocidade angular instantânea θɺ ;

• a sua direcção é perpendicular ao plano do movimento circular;

• o seu eixo suporte contém o centro da trajectória circular;

• o seu sentido é definido pela regra da mão direita, ou seja,

ascendente para uma rotação com sentido anti-horário e

descendente no caso contrário.

2.5.3 ACELERAÇÃO ANGULAR INSTANTÂNEA

Recordando a figura 2.10 vamos admitir que nas posições P e Q do

ponto material existe uma variação de velocidade angular ω∆ . A aceleração

média angular mα será dada por

tω

αm∆

∆= . (2.78)

O limite desta quantidade quando ∆t tende para zero será a aceleração angular

instantânea dada por

θωdtdω

tω

α tɺɺɺ ==== →

∆

∆lim 0∆

. (2.79)

Da equação anterior podemos escrever


FEUP – DEMEGI 31

dtαdω= (2.80)

e integrando temos

∫+=t

tdtαωω

00 . (2.81)

No caso particular do movimento circular uniformemente variado temos

)( 00 ttαωω −+= . (2.82)

Integrando novamente podemos obter o ângulo rodado

20000 )(

21

)( ttαttωθθ −+−+= . (2.83)

2.5.4 VECTOR ACELERAÇÃO ANGULAR

O vector aceleração angular obtém-se a partir da derivação do vector

velocidade angular. No caso particular do movimento circular plano o vector ω

tem direcção constante segundo z. Assim o vector aceleração angular vem

kkω

α θωdt

d ɺɺɺ === . (2.84)

Podemos então dizer que no caso de um movimento plano o vector aceleração

angular tem as seguintes características:

• o seu módulo é igual à aceleração angular instantânea α ;

• a sua direcção é a mesma do vector ω , ou seja, perpendicular ao

plano do movimento;


32 FEUP – DEMEGI

• o sentido é o definido pela derivada do vector ω .

Note-se que se estivermos em presença de um movimento não plano a

direcção do vector ω varia, o que alterará o cálculo de α . Voltaremos a este

assunto mais à frente.

2.6 SÍNTESE DE 2.1 A 2.5

Antes de prosseguirmos vamos fazer uma síntese dos conceitos

fundamentais transmitidos nos cinco primeiros subcapítulos da Cinemática do

Ponto. Assim, após uma detalhada definição de trajectória e movimento em

2.1, introduzimos os conceitos de velocidade e aceleração em 2.2, recorrendo

ao movimento rectilíneo e a uma análise escalar. Estes conceitos foram

aprofundados em 2.3 com a introdução do movimento curvilíneo. Aqui recorreu-

se a uma análise vectorial e usaram-se diferentes tipos de sistemas de

coordenadas (cartesianas , intrínsecas , polares e cilíndricas ) para exprimir

os vectores velocidade e aceleração. Em 2.4 apresentamos a matriz

transformação, um operador matemático que permite, de uma forma expedita,

projectar um vector num referencial diferente daquele em que ele se encontre.

Finalmente em 2.5 recorremos ao movimento circular plano para, de uma forma

simples, introduzir os vectores velocidade e aceleração angulares . Nos

subcapítulos que se seguem vai fazer-se a extensão destes conceitos a

problemas com mais de um grau de liberdade.

2.7 CONCEITO DE PARÂMETRO E GRAU DE LIBERDADE

Para definir a posição de um ponto material P recorre-se a um certo

número de grandezas geométricas, parâmetros , que consoante o sistema

usado poderão ser coordenadas lineares ou angulares. Assim se usarmos

coordenadas cartesianas a posição do ponto ficará definida pelas três

coordenadas x, y e z no sistema escolhido. Caso utilizemos coordenadas


FEUP – DEMEGI 33

cilíndricas usaremos duas distâncias e um ângulo. A escolha dos parâmetros

depende da geometria geral do mecanismo e adopta-se o que for mais simples

para o tratamento analítico. Um parâmetro é dito independente se a sua

variação não é condicionada pela dos outros. O número de graus de liberdade

é igual ao número de parâmetros independentes utilizados para definir a

posição do ponto material. Se um parâmetro não é independente é porque

existe uma relação analítica que o liga a outros parâmetros. Para clarificar

recuperemos o exemplo do mecanismo biela-manivela (ver figura 2.11). A

posição do ponto C define-se pela equação

βLαRAC coscos += . (2.85)

sendo R e L as dimensões, conhecidas, da manivela e biela, respectivamente.

O sistema só tem um único grau de liberdade porque entre os dois parâmetros

α e β existe uma relação de dependência

βLαR sensen = . (2.86)

Assim, podemos dizer que a posição de C fica definida por um único parâmetro

α , escrevendo

αL

RLαRAC 2

2

2

sen1cos −+= . (2.87)

A

α

R

B

β

L

C

Figura 2.11 – Sistema biela-manivela.


34 FEUP – DEMEGI

2.8 MOVIMENTOS COM MAIS DE UM GRAU DE LIBERDADE

2.8.1 VECTOR VELOCIDADE NUM REFERENCIAL FIXO

Vamos começar por estudar um sistema com dois graus de liberdade

recorrendo a um exemplo simples como é o do mecanismo dos aviões de feira

(ver representação geométrica na figura 2.12). Designando por P a posição do

passageiro, vemos que este, poderá estar sujeito a dois movimentos

independentes entre si:

- uma rotação do disco de base (corpo 1) em torno do eixo vertical

(parâmetro cinemático θ);

- movimento de rotação do braço de comprimento r (corpo 2), em torno

de um eixo horizontal (parâmetro cinemático β).

O

1x0x

x2

β

θ

θ r

z0

z1

β

yβ

2y

0

θ 1y

2

11

2

zP

Figura 2.12 – Representação geométrica do mecanismo de dois graus de

liberdade.

Na análise de mecanismos com n graus de liberdade é habitual, por uma

questão de simplificação, assumir-se a existência de n+1 referenciais. No

nosso exemplo teremos:


FEUP – DEMEGI 35

• Referencial S0 (Ox0y0z0) – referencial fixo, caracterizado pelo facto de

um dos seus eixos (z0) ser o eixo de rotação do corpo 1 e os outros (x0 e

y0) estarem no seu plano de rotação horizontal (plano do disco);

• Referencial S1 (Ox1y1z1) – referencial móvel que acompanha o

movimento do corpo 1. Regra geral constrói-se em conjugação com S0.

O eixo que coincide com o eixo de rotação do corpo 1 será o eixo

homólogo ao que foi considerado em S0, ou seja z1. Os outros dois

eixos, x1 e y1, estarão no mesmo plano de x0 e y0, mas desfasados de

um ângulo θ (parâmetro cinemático que traduz o movimento do corpo 1)

e terão de ser colocados de modo a obedecer ao sentido de rotação

(indicado por θɺ );

• Referencial S2 (Ox2y2z2) – referencial móvel que acompanha o

movimento do corpo 2. O eixo que coincide com o eixo de rotação do

corpo 2 relativamente ao corpo 1, será o eixo homólogo ao que foi

considerado em S1, ou seja x2. Os outros dois eixos, z2 e y2, estarão no

mesmo plano de z1 e y1, mas desfasados de um ângulo β (parâmetro

cinemático que traduz o movimento do corpo 2 relativamente ao corpo 1)

e terão de ser colocados de modo a obedecer ao sentido de rotação

(indicado por βɺ ).

Vamos começar pela obtenção da velocidade de P a partir de um vector

posição representado em S0. Este vector terá a sua origem num ponto fixo

(ponto O) e é facilmente representável em S2,

r

0

0

2S=PO . (2.88)

Em seguida por projecção directa ou recorrendo à matriz transformação

[ ]21T podemos obtê-lo em S1


36 FEUP – DEMEGI

[ ]βr

βr

cos

sen

0

T21 S21S

== POPO (2.89)

e finalmente em S0 recorrendo a [ ]10T

[ ]βr

θβr

θβr

cos

cossen

sensen

T10 S10S

−== POPO . (2.90)

Sugere-se aos leitores, como exercício, a obtenção das matrizes

transformação. Finalmente, a velocidade de P pode-se obter por derivação de

OP relativamente a S0,

ββr

θβθrθββr

θβθrθββr

P

sen

sensencoscos

cossensencos

00

0

SS

Sɺ

ɺɺ

ɺɺ

−−−−

==•

OPv . (2.91)

2.8.2 VECTOR VELOCIDADE NUM REFERENCIAL MÓVEL

Regressando à figura 2.12 vamos imaginar um ponto genérico Q (não

representado) cujas coordenadas em S1 sejam

111111

1

1

1

1SkjiOQ zyx

z

y

x

++== . (2.92)

O cálculo da velocidade de Q implica a derivação de (2.92)


FEUP – DEMEGI 37

•••

+++++= 111111111111 kkjjiiv zzyyxxQ ɺɺɺ . (2.93)

A obtenção da derivada dos versores segue um processo similar ao descrito

em 2.3.2.3 e 2.3.3.1.2. Assim, de uma forma sintética temos para •

1i ,

2∆

sen2 1

1 θi

i=

∆ (2.94)

ou

1∆ i∆=θ . (2.95)

Para calcular a variação relativamente ao tempo fazemos

tt

θ

∆∆

=∆

1∆ i (2.96)

ou seja,

•

= 1iθɺ (2.97)

logo

11 ji θɺ=•

(2.98)

pois, como nos casos anteriormente referidos, quando θ∆ tende para zero a

direcção de i∆ tende para a normal a i .

Um aspecto importante é constatarmos que a derivada do versor 1i

pode ser obtida recorrendo a um produto vectorial


38 FEUP – DEMEGI

0

i

0

0

0

i

0

0

1

1

11 θx

θ

x ɺ

ɺ

===•

iωi . (2.99)

Do mesmo modo temos

.11

11

kωk

jωj

x

x

=

=•

•

(2.100)

Regressando à equação da velocidade (2.93) podemos agora escrever,

111111111111 kωjωiωkjiv ×+×+×+++= zyxzyxQ ɺɺɺ (2.101)

ou

)( 111111111111 kjiωkjiv zyxzyxQ ++×+++= ɺɺɺ (2.102)

ou ainda,

1

1

1

1

S1

1

1

S

S1

1

1

Sz

y

x

z

y

x

Q ×+= ωvɺ

ɺ

ɺ

(2.103)

e finalmente, de uma forma mais sintética,

11

11

1 SS10

SSS

OQωOQv ×+=•

Q (2.104)


FEUP – DEMEGI 39

sendo que

1S1S

•

OQ representa a velocidade de Q relativamente a S1 e

1S1S10 OQω × a velocidade de um ponto imaginário Q1 solidário de S1 e que

coincide com Q nesse instante. A equação (2.104) traduz o modo como se

deriva um vector relativamente (S0), estando ele projectado noutro referencial

diferente (S1), que se movimenta relativamente ao primeiro. Na sua forma mais

geral a equação (2.104) terá a seguinte forma,

yy

yy

yx

yxSS

SSSS

ABωABAB ×+=••

(2.105)

independentemente do significado do vector AB (vector posição, velocidade

linear ou angular, força, etc.) e é conhecido como Teorema das Derivadas

Relativas .

Regressando ao nosso problema (figura 2.12) podemos agora calcular a

velocidade do ponto P partindo do respectivo vector posição representado em

S1 (equação 2.89). Assim, temos

11

11

10

1 SS10

SSSS

SOPωOPOPv ×+==

••

P (2.106)

o que resulta

ββr

ββr

βθr

P

sen

cos

sen

1Sɺ

ɺ

ɺ

−

−=v . (2.107)


40 FEUP – DEMEGI

Também podemos obter a velocidade de P partindo do vector posição

representado em S2 (equação (2.88)) fazendo

22

22

20

2 SS20

SSSS

SOPωOPOPv ×+==

••

P (2.108)

sendo que,

222 S

10S

21S

20 ωωω += (2.109)

ou,

βθ

βθ

β

βθ

βθ

β

cos

sen

cos

sen

0

0

020

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

ɺ

−−

=−+−

=ω . (2.110)

o que origina

0

sen

2Srβ

βθr

Pɺ

ɺ−=v . (2.111)

Um aspecto de particular relevância é a comparação que se deve fazer

entre os vectores de (2.91), (2.107) e (2.111). Embora apresentem um aspecto

diferente, estes três vectores representam a mesma coisa – a velocidade do

ponto P. O diferente aspecto matemático dos três vectores está relacionado

com o facto de estarem escritos em referenciais distintos. Sugere-se como

exercício, a aplicação de matrizes transformação que demonstrem a

veracidade desta afirmação.


FEUP – DEMEGI 41

2.8.3 VECTOR ACELERAÇÃO

Recorrendo mais uma vez ao nosso problema da figura 2.12, e

admitindo que a velocidade angular θɺ é constante, obtemos o vector

aceleração do ponto P no referencial fixo S0 a partir da derivação relativamente

a S0 de 0S

Pv

.

0

cossensencos

sensencoscos

cossen

sencoscossencoscos

coscossensensencos

2

2

2

2

2

SS

S

00

0

θβθrθββθr

θβθrθβθβr

ββrββr

θβθβrθββrθββr

θβθβrθββrθββr

PP

ɺɺɺ

ɺɺɺ

ɺɺɺ

ɺɺɺɺɺ

ɺɺɺɺɺ

−−+−

+

+−−

−−−+−

==•

va

(2.112)

A aceleração de P a partir do vector velocidade em S1 vem

11

11

10

1 SS10

SSSS

S PPPP vωvva ×+==••

(2.113)

ou seja,

ββrββr

βθrββrβr

ββθr

P

sencos

sencossen

cos2

2

22S1

ɺɺɺ

ɺɺɺɺ

ɺɺ

−−−+β−

−=a . (2.114)

Também se pode obter o vector aceleração a partir de 2sPv

22

22

20

2 SS20

SSSS

S PPPP vωvva ×+==••

. (2.115)


42 FEUP – DEMEGI

βθrrβ

ββθrrβ

ββθr

P222

2S

sen

sencos

cos2

2ɺɺ

ɺɺɺ

ɺɺ

−−−−

=a . (2.116)

2.9 SÍNTESE DE 2.7 E 2.8

Nestes dois subcapítulos da cinemática do ponto começamos por

recordar os conceitos de parâmetro e grau de liberdade. Em seguida, em 2.8,

estudámos movimentos com mais de um grau de liberdade. Recorrendo a um

exemplo simples apresentou-se o procedimento de colocação de referenciais,

bem como o cálculo do vector velocidade a partir de um vector posição

projectado num referencial fixo. O cálculo do mesmo vector velocidade a partir

de um vector posição escrito em referenciais móveis permitiu a apresentação

do Teorema das Derivadas Relativas , que foi, posteriormente, aplicado ao

cálculo do vector aceleração.

2.10 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1)

θɺɺ

•

P

βɺ

Figura 2.13 – Ventoinha com dois graus de liberdade.

A hélice de uma ventoinha de raio r roda com velocidade angular βɺ constante

em relação ao compartimento do motor. Este por sua vez roda em torno de um

x

y

z

θɺ

•β


FEUP – DEMEGI 43

eixo vertical com velocidade angular θɺ conhecida (ver figura 2.13). Admitindo

que a dimensão segundo y entre o centro do sistema de eixos e o centro de

hélice mede L e que o ponto P se encontra na periferia da hélice, determine:

a) A velocidade do ponto P a partir de um vector posição projectado em S1;

Solução:

ββr

βθr

θLββr

P

sen

sen

cos

1Sɺ

ɺ

ɺɺ

−−

−−=v

b) A velocidade do ponto P a partir de um vector posição projectado em S2;

Solução:

βθL

βθr

βθLβr

P

sen

sen

cos

2Sɺ

ɺ

ɺɺ

−−−

=v

c) Mostre que as duas velocidades são iguais recorrendo à respectiva matriz

transformação;

d) A aceleração do ponto P a partir do vector velocidade projectado em S1;

Solução:

ββr

θLββθrβθr

βθrθLββr

P

cos

cos2sen

sensen

2

2

22

S1ɺ

ɺɺɺɺɺ

ɺɺɺɺ

−−−−

+−=a

e) A aceleração do ponto P a partir do vector velocidade projectado em S2;

Solução: 222

2

2

S

sensen

cos2sen

cossencos

2

βrβθrβθL

θLββθrβθr

ββθrβθL

Pɺɺɺɺ

ɺɺɺɺɺ

ɺɺɺ

−−−−−

+−=a

f) Mostre que as duas acelerações são iguais recorrendo à respectiva matriz

transformação.


44 FEUP – DEMEGI

2)

θɺ x

y

Figura 2.14 – Lança telescópica com três graus de liberdade.

A lança telescópica espacial da figura roda em torno de um eixo vertical com

velocidade angular θɺ e, em torno de um eixo horizontal com velocidade

angular βɺ constante. Para além disso a sua extremidade translada segundo a

direcção da própria lança com velocidade Lɺ constante. Repita as seis alíneas

do problema anterior.

Soluções: a)

βLββL

βθL

βLββL

P

cossen

sen

sencos

1Sɺɺ

ɺ

ɺɺ

+−

+=v b)

L

βθL

Lβ

Pɺ

ɺ

ɺ

sen2S

=v

d)

ββLββL

βθLββθLβθL

βθLββLββL

P

sen2cos

sen2cos2sen

sensencos2

2

22

S1ɺɺɺɺ

ɺɺɺɺɺɺ

ɺɺɺɺ

−−++−−

=a

e)

LββθL

ββθLβθLβθL

ββθLLβ

P222

2

S

sen

cos2sensen2

sencos2

2

ɺɺ

ɺɺɺɺɺɺ

ɺɺɺ

−−++

−=a

Mecânica II 3. Cinemática do Sólido

FEUP – DEMEGI 45

CAPÍTULO 3 CINEMÁTICA DO SÓLIDO 3.1 INTRODUÇÃO

No capítulo 2 estudou-se o movimento de pontos materiais. Como foi

oportunamente referido, quando as dimensões de um determinado corpo se

podem desprezar face ao seu movimento, ele pode ser assimilado a um ponto

material. Em contrapartida, neste capítulo considerar-se-á a cinemática dos

corpos rígidos, ou seja, pretender-se-á calcular em cada instante a posição, a

velocidade ou aceleração de diferentes pontos do mesmo sólido rígido. Define-

se sólido rígido, como sendo um corpo em que as eventuais deformações de

carácter elástico, que ocorrem durante o funcionamento da generalidade dos

mecanismos, são desprezáveis em relação aos deslocamentos sofridos

durante o movimento. Assim, na Cinemática do Sólido dedicar-nos-emos ao

estudo do movimento de alguns pontos notáveis de um sólido. De facto, como

a distância entre dois pontos quaisquer é considerada invariável, o

conhecimento das características cinemáticas (trajectória, velocidade e

aceleração) de alguns pontos do sólido permite a obtenção das mesmas

características em qualquer outro ponto. O recurso a referenciais solidários do

sólido no seu movimento, facilitará a extensão do movimento ao de um espaço

rígido ilimitado que lhe seja associado. Na realidade, se um automóvel se

3. Cinemática do Sólido Mecânica II

46 FEUP – DEMEGI

desloca numa estrada, tudo o que ele transporta, tal como, passageiros, carga

e a massa de ar circunscrita ao seu interior, se movimenta à mesma

velocidade.

Os movimentos dos sólidos podem ser agrupados em três tipos

diferentes:

• translação;

• rotação;

• movimento mais geral de um sólido.

3.2 MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO

Um movimento é dito de translação se qualquer linha recta no interior do

corpo se mantiver na mesma direcção durante o movimento. Todas as

partículas que formam o corpo deslocam-se segundo trajectórias paralelas, ou

seja, qualquer vector definido por dois quaisquer pontos do sólido desloca-se

por equipolência. Se estas trajectórias forem linhas rectas, o movimento é dito

de translação rectilínea ; se as trajectórias forem linhas curvas, estaremos em

presença de uma translação curvilínea (ver figura 3.1).

Translação rectilínea Translação curvilínea

Figura 3.1 – Translação rectilínea e translação curvilínea.

A

1B

A 1

2B

2

A1

1B

2B

A2


FEUP – DEMEGI 47

Consideremos o sólido da figura 3.2 em movimento de translação relativamente

ao referencial S0 representado. Podemos então escrever,

ABOAOB += . (3.1)

B

x0

O

y0

A

z0

Figura 3.2 – Sólido em translação.

Para calcular a velocidade vamos derivar a equação anterior

000 sss

•••

+= ABOAOB (3.2)

Mas, 0s

•

AB é um vector nulo, uma vez que AB é um vector constante em

módulo, direcção e sentido. Em módulo porque A e B são dois pontos de um

corpo rígido e em direcção pela própria definição de translação. Logo temos,

AB vv = . (3.3)

Por derivação da equação anterior temos


48 FEUP – DEMEGI

AB aa = . (3.4)

Pode-se então concluir que quando um corpo rígido translada todos os pontos

do corpo têm, em qualquer instante, a mesma velocidade e a mesma

aceleração. No caso da translação curvilínea, a velocidade e a aceleração

alteram-se quer em direcção, módulo e sentido. No caso da translação

rectilínea, todas as partículas se deslocam em linhas rectas paralelas e as suas

velocidades e acelerações mantêm a mesma direcção durante todo o

movimento.

3.3 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO

Um sólido tem um movimento de rotação quando pelo menos dois dos

seus pontos não têm velocidade durante todo o intervalo de tempo

considerado. A recta definida por esses dois pontos é o eixo de rotação, que

pode pertencer ao corpo ou não, e todos os seus pontos têm velocidade nula.

Todos os pontos do sólido descrevem arcos de circunferência em planos

perpendiculares a esse eixo e com centro nele.

x

r

θ

O

ϕ

z

B

y

PP

v

Figura 3.3 – Ponto genérico P de um sólido em rotação em torno de um eixo

fixo.


FEUP – DEMEGI 49

3.3.1 VECTOR VELOCIDADE

Considere-se um sólido que roda em torno de um eixo fixo (eixo Oz da

figura 3.3). Seja P um ponto do corpo e r o vector posição de P relativamente à

origem do referencial. O ponto B representa a projecção de P sobre o eixo de

rotação. O segmento BP faz um ângulo θ com plano xz. Este ângulo é

conhecido como coordenada angular do corpo. Quando o corpo roda de um

ângulo θ∆ , o comprimento s∆ do arco descrito por P é

θφrθBPs ∆sen∆∆ == . (3.5)

e, dividindo ambos os membros por ∆t obtemos no limite, quando ∆t tende para

zero

φθrdtds

P senɺ==v . (3.6)

Podemos então concluir que o vector velocidade de P é um vector

perpendicular ao plano que contém o eixo OZ e OP , e o seu módulo é dado

pela equação (3.6).

Estas mesmas conclusões e resultados podem ser obtidas recorrendo a

cálculo vectorial. O vector velocidade angular do corpo ω está dirigido

segundo o eixo de rotação e o seu sentido é obtido pela regra da mão direita.

Podemos então dizer que

0

cossen

sensen

cos

sensen

cossen

0

0

θφθr

θφθr

φr

θφr

θφr

x

θ

xPɺ

ɺ

ɺ

−=== OPωv (3.7)

ou seja,


50 FEUP – DEMEGI

φθrθφθrθφθrP sencossensensen 22222222 ɺɺɺ =+=v (3.8)

que é o mesmo resultado obtido na equação (3.6). Demonstra-se assim e

equivalência dos dois métodos e a justificação do uso do cálculo vectorial em

problemas mais complexos.


A obtenção da aceleração do ponto P também pode ser feita

vectorialmente a partir da diferenciação da equação (3.7)

( )

( ).OPωωOPα

vωOPα

OPωOPω

OPω

va

xxx

xx

xx

xdtd

dtd

P

PP

+=

+=

+=

=

=

••

(3.9)

Note-se que neste caso (movimento de rotação em torno de um eixo fixo), o

vector aceleração angular do corpo α , é um vector dirigido segundo o eixo de

rotação do corpo e de módulo igual à taxa de variação de ω com o tempo. A

aceleração de P é a soma de dois vectores. O primeiro vector ( )OPα x é

tangente à trajectória descrita por P e é conhecido como sendo a componente

tangencial da aceleração . O segundo vector é igual ao produto vectorial de ω

por ( )OPω x que representa a velocidade P e que, como sabemos, é tangente

à trajectória. Assim, o vector resultante do referido produto, aponta para o


FEUP – DEMEGI 51

centro de curvatura da trajectória (ponto B na figura 3.3) e é conhecido como

componente normal de aceleração .

3.4 MOVIMENTO GERAL DE UM SÓLIDO

Define-se movimento geral de um sólido como sendo um movimento que

não seja de translação nem de rotação. No entanto, como facilmente se

demonstra na figura 3.4, o movimento geral pode ser sempre considerado

como a soma de uma translação com uma rotação . Assim, consideremos

uma barra AB que se vai deslocar para uma posição BA ′′ . Neste seu

deslocamento, podemos assumir que a barra translada entre a posição inicial e

uma posição intermédia BA ′′′ para, finalmente adquirir a sua posição final

através de uma rotação em torno de um eixo que contém A′ (ver figura 3.4

(a)). Do mesmo modo poderíamos também assumir que a barra transladava

entre AB e BA ′′′ e que adquiria a sua posição final através de uma rotação em

torno de B′ (ver figura 3.4 (b)).

A 'A

w

θ'B

B''B B

A

'A

A''

θ

w

B '

(a) – Translação + Rotação (b) – Translação + Rotação

Figura 3.4 – Movimento geral de um sólido.


52 FEUP – DEMEGI

3.4.1 VECTOR VELOCIDADE

Vejamos agora como se pode obter de uma forma expedita o vector

velocidade num movimento geral. Observemos a figura 3.5 que representa um

sólido em movimento relativamente a um referencial S0. A posição do ponto P

do sólido fica definida pela equação vectorial.

x0

O

0z

y0

O1

x1

Pz

1

y1

Figura 3.5 – Sólido em movimento relativamente a S0.

POOOOP 11 += . (3.10)

Para calcular a velocidade de P fazemos

000 S

1S

1S

•••

+= POOOOP . (3.11)

Todavia, PO1 é um vector constante no referencial S1 solidário do sólido, uma

vez que são dois pontos do corpo considerado rígido. Podemos então escrever


FEUP – DEMEGI 53

POωPOPO 1S

1S

110

x+=••

. (3.12)

sendo que 1S

1

•

PO é nulo e ω representa a velocidade angular instantânea do

referencial S1 relativamente a S0. Rescrevendo a equação (3.11) temos

POωvv 11xOP += . (3.13)

Esta equação, conhecida como primeira equação de Mozzi diz-nos que a

velocidade de um ponto genérico P de um sólido em movimento se pode

considerar como sendo a soma de dois vectores:

• um vector constante 1Ov , que é a velocidade de um ponto 1O arbitrário

tomado para pólo. Este vector num dado instante é o mesmo para todos

os pontos de um sólido e pode ser considerado como a componente de

translação;

• a velocidade POω 1x , que o ponto P teria se estivesse animado de um

movimento de rotação de velocidade angular instantânea ω , em torno

de 1O .

Como conclusão podemos afirmar que o regime cinemático de um sólido

num dado instante fica determinado se conhecermos a velocidade de um dos

seus pontos 1Ov e o vector ω , ou seja, se conhecermos as coordenadas de

um torsor de velocidades (ω , 1Ov ), sendo ω o vector principal e 1Ov o vector

momento. O vector principal do torsor (ω ) é um invariante vectorial do sistema

num dado instante, ou seja, é um vector livre e como tal não depende do ponto

do sólido que esteja a ser considerado. Efectivamente, num dado momento, as

velocidades de dois pontos P e Q do sólido podem ser dadas por:


54 FEUP – DEMEGI

.1

1

1

1

QOωvv

POωvv

x

x

OQ

OP

+=

+= (3.14)

Subtraindo membro a membro temos

QPωvv xQP += . (3.15)

Podemos também obter a velocidade de P directamente a partir de Q,

admitindo que o vector velocidade angular em Q, ω′ é diferente de ω . Temos

então,

QPωvv xQP ′+= . (3.16)

Como o ponto P não pode ter duas velocidades distintas no mesmo instante,

conclui-se imediatamente que ωω ′= .

O vector momento do torsor ( v ) depende, obviamente, do ponto

considerado. A relação entre a velocidade de dois pontos diferentes num

mesmo instante é susceptível de ser obtida a partir da primeira equação de

Mozzi. Pode-se assim afirmar que este torsor permite a obtenção do campo de

velocidades contemporâneas .

3.4.1.1 Propriedade Projectiva

Uma importante propriedade do campo de velocidades, é o facto das

projecções das velocidades de dois pontos quaisquer sobre a recta que os une

ser constante. É conhecida como propriedade projectiva e demonstra-se de

uma forma simples. Como num corpo rígido a distância entre dois pontos P e Q

quaisquer é invariável temos,

( ) KPQ =2

(3.17)


FEUP – DEMEGI 55

sendo K uma constante. Em termos vectoriais pode-se escrever (3.17) como o

produto interno de PQ por si próprio, ou seja,

K=⋅PQPQ (3.18)

e, derivando em ordem ao tempo teremos

02 =⋅dt

dPQ

PQ . (3.19)

O vector PQ pode ser escrito como

OPOQPQ −= (3.20)

que, derivando em ordem ao tempo origina

PQdtd

vvPQ −= . (3.21)

Retomando a equação (3.19) podemos escrever

( ) 0=−⋅ PQ vvPQ (3.22)

o que origina

PQ vPQvPQ ⋅=⋅ (3.23)

que traduz o facto da projecção da velocidade de dois pontos quaisquer P e Q

sobre a recta que os une ser constante. A figura 3.6 (sistema biela-manivela)

elucida-nos como, através da propriedade projectiva, podemos obter


56 FEUP – DEMEGI

graficamente, a velocidade do êmbolo (ponto B) a partir do conhecimento da

velocidade de rotação da manivela ω . A velocidade do ponto A (articulação

entre a manivela e a biela) é obtida através da relação

OAωv xA = . (3.24)

A

O

w

Av

vB

B

Figura 3.6 – Exemplo de aplicação da propriedade projectiva.

A projecção de Av na direcção de AB será a mesma de Bv no ponto B

(articulação entre a biela e o êmbolo). Como conhecemos a direcção da

velocidade do êmbolo (translação horizontal), obtemos Bv uma vez que

sabemos que é um vector horizontal cuja projecção na direcção AB é

conhecida.


Para obtermos o vector aceleração do ponto P basta-nos derivar a

primeira equação de Mozzi (equação (3.13)). Assim temos,

0000

11sss

Os

PP xx••••

++== POωPOωvva 1 (3.25)

e, com a ajuda da equação (3.12) obtemos


FEUP – DEMEGI 57

( )POωωPOαaa 1 11 xxxOP ++= . (3.26)

que é conhecida como segunda equação de Mozzi e que nos diz que a

aceleração de um ponto P é a soma de três componentes (ver figura 3.7):

• a aceleração 1aO de um ponto 1O de referência, arbitrário, que é a

mesma para todos os pontos do sólido no mesmo instante e que pode

ser considerada como a componente de translação;

• uma aceleração tangencial POαa 1xt = , que o ponto P teria se estivesse

animado de um movimento de rotação em torno de 1O . Note-se que no

movimento geral de um sólido o vector ω pode variar em grandeza e

em direcção e que portanto α não tem necessariamente a direcção de

ω , como acontecia no movimento de rotação;

• uma aceleração normal ( )POωωa 1xxn = , que o ponto P teria se

estivesse animado de um movimento de rotação em torno de 1O .

aO

O

x0

Oa

ta

z0

0y

1

O1

a1 n

P

Figura 3.7 – Vector aceleração num movimento mais geral de um sólido.


58 FEUP – DEMEGI

Vejamos um exemplo de um mecanismo com este tipo de movimento na

figura 3.8.

z

1O

Oβ

θθ

0 1z

OO =e1

zβ

θθ r

z'1

x1

x2

11

2

y1

2

P

Figura 3.8 – Movimento geral de um sólido (corpo 2).

O corpo 1 roda em torno do eixo vertical 0z com velocidade angular θɺ . Por sua

vez, o corpo 2 roda relativamente ao corpo 1 em torno de um eixo 2x com

velocidade angular βɺ . Os dois eixos de rotação destes dois movimentos

contêm os pontos O e 1O que se encontram separados por uma distância e. O

facto destes eixos não se intersectarem implica a inexistência de pontos de

velocidade nula do corpo 2 e do espaço a ele associado. Podemos então

apresentar algumas características deste tipo de movimento:

• o invariante escalar do torsor do campo de velocidades

contemporâneas, que se obtém através do produto interno do vector

momento do torsor num ponto qualquer ( 1Ov por exemplo) pelo vector

principal ( )20ω do torsor, é diferente de zero

00

0

0201 ≠=−

⋅−

=⋅= θβe

θ

βθe

Oɺɺ

ɺ

ɺɺ

ωvΙ . (3.27)


FEUP – DEMEGI 59

• o eixo central que representa o lugar geométrico dos pontos onde o

vector momento do torsor de velocidades é mínimo, é o suporte do

vector 20ω e designa-se por Eixo Instantâneo de Rotação (EIR), e

costuma representar-se por T20. Neste caso a sua posição varia de

instante para instante e diz-se que o movimento é tangente a um

movimento helicoidal . Voltaremos a este assunto mais à frente.

3.5 MOVIMENTOS PARTICULARES DOS SÓLIDOS

3.5.1 MOVIMENTO PLANO

O movimento plano é um caso particular do movimento mais geral de um

sólido. Pode-se dizer que o movimento de um sólido é plano quando todos

os seus pontos descrevem trajectórias situadas em p lanos paralelos

entre si . Torna-se assim suficiente estudar o movimento de qualquer das

figuras descritas pela trajectória do sólido num plano qualquer paralelo ao

plano de movimento.

y1

O

Ov

1

y0

x

O1

1

w

x0

v

P

P

Figura 3.9 – Movimento plano de um sólido.


60 FEUP – DEMEGI

Consultando a figura 3.9 podemos calcular a velocidade de um ponto genérico

P do sólido recorrendo à primeira equação de Mozzi,

POωvv 11xOP += . (3.28)

e constatar que as características intrínsecas a qualquer movimento plano são:

• os vectores posição 1OO e PO1 e os vectores velocidade 1Ov e Pv

estão todos no mesmo plano que é também o plano do movimento;

• o vector velocidade angular ω é perpendicular ao plano do movimento

e, portanto, perpendicular aos vectores posição e velocidade;

• o invariante escalar do torsor de velocidades é nulo, uma vez que são

vectores perpendiculares

0=⋅= ωv PΙ . (3.29)

Neste caso o valor da velocidade no eixo central é nulo;

• a intersecção do eixo central (ou EIR) com o plano do movimento é o

Centro Instantâneo de Rotação ( )Ι , que representa o ponto solidário

do plano que tem velocidade nula nesse instante 0=Ιv .

3.5.1.1 Métodos para a obtenção do Centro Instantân eo de Rotação (CIR)

Dada a importância que o centro instantâneo de rotação adquire na

caracterização de um movimento plano vamos estudar desde já, dois métodos

gráficos expeditos para a sua obtenção.

3.5.1.1.1 Método da perpendicularidade

Se conhecermos, num dado instante, a velocidade de um ponto qualquer

P no movimento plano, podemos, através da primeira equação de Mozzi

relacioná-la com a velocidade do CIR,


FEUP – DEMEGI 61

Pωvv ΙxP += Ι (3.30)

mas, pela própria definição 0=Ιv e portanto

Pωv ΙxP = . (3.31)

Pela regra do produto vectorial, e tendo em conta que ω é perpendicular ao

plano do movimento, concluímos imediatamente que o vector PΙ será

perpendicular a Pv que se pressupôs conhecida. Caso conheçamos também a

velocidade de um outro ponto Q que não seja colinear com P e Ι , podemos

obter uma segunda perpendicular a Qv que também conterá o ponto Ι ,

bastando para tal escrever a equação (3.31) entre Q e Ι ,

Qωv ΙxQ = . (3.32)

A intersecção destas duas perpendiculares permite a fácil obtenção do CIR.

Para exemplificar recordemos uma vez mais o sistema biela-manivela (ver

figura 3.10). O CIR do corpo 1 é obviamente o ponto O. O êmbolo (corpo 3)

tem um movimento de translação rectilíneo. Nestas circunstâncias assume-se

que o respectivo CIR ( 30Ι ) se encontra no infinito numa direcção perpendicular

à da translação1. A regra da perpendicularidade aplica-se na perfeição à

determinação de 20Ι . De facto, o conhecimento da velocidade de dois pontos

do corpo 2 ( Av e Bv ) permite a obtenção de duas perpendiculares que se

intersectam em 20Ι . Note-se que ao contrário do que acontece a propósito do

10Ι que é fixo, 20Ι muda de posição de instante para instante (voltaremos a

este assunto mais à frente). Por outro lado, neste caso, nem era necessário

conhecer as velocidades dos pontos A e B. Na realidade a análise do

movimento do corpo 1 permite a obtenção da direcção de Av (perpendicular a

1 Matematicamente, uma linha recta corresponde a um arco de circunferência de raio infinito.


62 FEUP – DEMEGI

OA ). A direcção de Bv também é conhecida à partida, devido ao movimento

de translação rectilínea a que o corpo 3 está submetido. Assim sendo, as

perpendiculares a estas duas direcções determinam 20Ι .

vA

10O I

w

1 A

8

v

3

2

BB

30I

I 20

Figura 3.10 – Determinação dos CIR no sistema biela-manivela.

3.5.1.1.2 Método da proporcionalidade

Durante a apresentação do método anterior, foi referido que o ponto Q

não poderia ser colinear com P e Ι . Se tal acontecer (ver figura 3.11) o

conhecimento da velocidade nos dois pontos origina duas perpendiculares

coincidentes, o que impossibilita a obtenção do respectivo CIR. Por outro lado,

através da análise das equações (3.31) e (3.32), rapidamente concluímos que

os módulos das velocidades de dois pontos são proporcionais às suas

distâncias em relação a Ι . Assim, se dois pontos P e Q de velocidade

conhecida estão alinhados com Ι , a determinação gráfica de Ι obtém-se por

proporcionalidade.

v

I Q

QQQ

P

vP

Figura 3.11 – Método da proporcionalidade na determinação do CIR.


FEUP – DEMEGI 63

3.5.2 MOVIMENTO POLAR

O movimento polar é o movimento de um sólido que mantém um único

ponto permanentemente fixo no espaço de referência. Voltemos a analisar o

mecanismo já estudado no capítulo 2 (ver figura 3.12). A rotação do disco

(movimento do corpo 1 relativamente a S0) é feita em torno de um eixo (z0 ≡ z1)

que contém o ponto O. Por sua vez, a rotação da barra (corpo 2) relativamente

ao disco (corpo 1) faz-se em torno de um eixo (x1 ≡ x2) que também contém O.

Logo, este ponto é um ponto fixo do espaço.

O

1x0x

x2

β

θ

θ r

z0

z1

β

yβ

2y

0

θ 1y

2

11

2

zP

Figura 3.12 – Mecanismo com movimento polar.

Neste tipo de movimento, o invariante escalar é nulo. O eixo central (ou

EIR), que contém o vector ω e, permanentemente, o ponto O, muda de

direcção de instante para instante, o que obviamente também sucede ao vector

ω .

3.5.3 MOVIMENTO HELICOIDAL

O movimento helicoidal é um movimento em que todos os pontos do

sólido descrevem hélices em torno de um eixo fixo (ver figura 3.13).


64 FEUP – DEMEGI

z

x

x1

θ

O

1O

z

r

y

Pv

y1

1

Figura 3.13 – Movimento helicoidal de um sólido cujo ponto O1 pertence ao

eixo central.

Existe um eixo fixo no espaço (EIR), e o sólido translada segundo a sua

direcção e roda em torno dele, de tal modo que a rotação e a translação

mantêm uma relação constante entre si. No movimento helicoidal existe

proporcionalidade entre as duas componentes da velocidade, que se escreve

kiv1OθP zθr ɺɺ += (3.33)

sendo que

• θθr iɺ corresponde à rotação em torno de z e é-lhe perpendicular

• k1Ozɺ corresponde à translação rectilínea segundo z e cujo módulo é

proporcional ao módulo da componente de rotação, ou seja,

θrhzOɺɺ =

1 (3.34)

onde h representa o coeficiente de proporcionalidade.


FEUP – DEMEGI 65

Neste movimento, o invariante escalar é diferente de zero, pois o vector ω tem

a direcção do eixo z (eixo central). Como a velocidade também tem uma

componente segundo z temos,

01

≠⋅= ωkOzɺI . (3.35)

A conclusão imediata é que o eixo central que, recorde-se, representa o lugar

geométrico dos pontos onde o vector momento do torsor das velocidades é

mínimo, não é neste caso, um eixo de velocidades nulas. Podemos então dizer

que o EIR num movimento helicoidal é o lugar geométrico dos pontos onde a

velocidade é mínima e não nula, e onde os dois vectores do torsor de

velocidades têm a mesma direcção.

3.6 SÍNTESE DO CAPÍTULO 3

Após uma abordagem inicial aos movimentos de translação e rotação ,

que foram estudados em termos de vector velocidade e vector aceleração,

passou-se à análise do movimento mais geral de um sólido . Concluiu-se que

este tipo de movimento, pode ser sempre considerado como a soma de uma

translação com uma rotação e foram apresentadas as equações de Mozzi da

velocidade e da aceleração. De seguida, foram estudados casos particulares

de movimentos de sólidos, nomeadamente o movimento plano , o movimento

polar e o movimento helicoidal . A caracterização destes movimentos foi feita

tendo por base a teoria dos torsores e as principais conclusões sintetizam-se

em função do valor do invariante escalar. Assim temos:

I) Invariante escalar nulo ( Ι =0)

Como o invariante escalar é o produto interno do vector velocidade pelo

vector rotação, podemos ter diversas hipóteses:


66 FEUP – DEMEGI

• Ambos os vectores são nulos (ω =0 ; Pv =0).

Este caso retrata obviamente a ausência de movimento .

• Vector rotação nulo, mas vector velocidade diferente de zero (ω =0 ;

Pv ≠0).

Aplicando a primeira equação de Mozzi entre dois pontos quaisquer

temos

POωvv 11xOP += . (3.36)

Uma vez que o vector rotação é nulo, temos que 1OP vv = quaisquer que

sejam P e O1. Estamos então, em presença de um movimento de

translação onde todos os pontos do sólido têm a mesma velocidade.

• Vector rotação não nulo e vector velocidade nulo (ω ≠0 ; Pv =0)

Neste caso duas situações podem ocorrer:

- se ω é diferente de zero e tem direcção constante, e P é um ponto

fixo e permanentemente sem velocidade, então ω pertence a um eixo

de rotação que coincide com o eixo central e o sólido está animado de

movimento de rotação . Todos os pontos não pertencentes ao eixo têm

velocidades perpendiculares a este, isto é Pv é sempre perpendicular a

ω ;

- se P é o único ponto fixo do sólido, este está animado de

movimento polar . O movimento em cada instante é como se fosse uma

rotação de vector ω , que passa sempre por P, mas que não mantém a

direcção fixa no tempo.


FEUP – DEMEGI 67

• Ambos os vectores do torsor são diferentes de zero mas, qualquer que

seja o ponto considerado, são sempre perpendiculares entre si (ω ≠0 ;

Pv ≠0 ; ω⊥ Pv ∀P).

Neste caso, todos os pontos do sólido descrevem trajectórias situadas

em planos paralelos entre si, ou seja, o sólido está animado de

movimento plano . O sólido roda em cada instante em torno do vector

ω , eixo central do torsor, que se mantém paralelo a si próprio, mas que

pode mudar constantemente de posição.

Vale a pena referir que os movimentos descritos nos dois últimos pontos,

caracterizados por ω ≠0, se costumam englobar numa única designação que é

movimentos tangentes a uma rotação .

II) Invariante escalar não nulo ( Ι ≠0)

• O vector rotação e o vector velocidade são paralelos sobre o eixo central

que é fixo (ω // Ov sendo O um ponto do eixo central).

Se a direcção de ω é fixa e nos pontos do eixo central o sólido

translada paralelamente a ω , estaremos em movimento helicoidal se

existir uma relação linear entre Pv e OPω x .

• O vector rotação e o vector velocidade são paralelos sobre o eixo central

que muda de direcção de instante para instante (ω // Ov sendo O um

ponto do eixo central).

Se o eixo central não é fixo no espaço e o invariante escalar não é nulo,

o sólido está animado de um movimento instantaneamente helicoidal ,

isto é tudo se passa como se o sólido tivesse um movimento helicoidal

em torno do eixo central que muda de direcção a cada instante.


68 FEUP – DEMEGI


Para os mecanismos representados nas figuras 2.12, 2.13 e 2.14

determine:

a) Os campos de velocidades de todos os corpos.

b) A velocidade do ponto P.

c) Os campos de acelerações de todos os corpos.

d) A aceleração do ponto P.

Mecânica II 4. Teoria de Movimentos Relativos

FEUP – DEMEGI 69

CAPÍTULO 4 TEORIA DE MOVIMENTOS RELATIVOS 4.1 INTRODUÇÃO

Sabemos que o movimento de um corpo em relação a um referencial se

traduz pela alteração da sua posição relativa. Vimos também, que conhecer o

movimento do sólido, é equivalente a conhecer, em cada instante, a posição do

referencial que lhe está intrinsecamente associado. Até agora estudámos

unicamente o movimento relativamente a referenciais que considerámos fixos.

Neste capítulo vamos estudar o movimento relativamente a corpos (ou

referenciais) que também se movimentam em relação a um terceiro referencial.

Intuitivamente, sabemos que o movimento relativamente a um referencial S0 é

diferente do movimento em relação a S1, isto é, são diferentes as trajectórias,

as velocidades e as acelerações relativamente a cada um deles. Regressando

ao exemplo dos passageiros do autocarro que se movimenta, facilmente

entendemos que o movimento do passageiro (A) que se desloca no corredor do

autocarro, relativamente ao passageiro (B) sentado no mesmo autocarro, é

diferente do movimento em relação a um terceiro indivíduo (C) imóvel na

paragem. Poderá até acontecer que, em translação, (A) se encontre imóvel

4. Teoria de Movimentos Relativos Mecânica II

70 FEUP – DEMEGI

relativamente a (C) se o movimento de (A) em relação a (B) tiver a mesma

velocidade, mas sentido contrário ao movimento de (B) relativamente a (C).

Na Teoria dos Movimentos Relativos (TMR) temos de considerar três

referenciais (ver figura 4.1):

• S0 – Referencial de base – É considerado o referencial fixo;

• S1 – Referencial móvel intermédio – Este referencial move-se

relativamente ao anterior, mas não é solidário do movimento do sólido

em análise;

• S2 – Referencial móvel solidário do sólido – Move-se em relação aos

outros dois já considerados e acompanha o movimento do sólido em

análise.

z2

2x

P

B

2S

2y

0

x0

S0

O y0

z

y

x1

1

A

S1

z1

Figura 4.1 – Referenciais usados na TMR.

Podemos então definir três tipos de movimentos diferentes:

• Movimento Absoluto – É o movimento de S2 relativamente a S0;

• Movimento Relativo – É o movimento de S2 relativamente a S1;

• Movimento de Transporte – É o movimento do ponto de S1, que no

instante considerado coincide com o ponto em análise de S2,


FEUP – DEMEGI 71

relativamente a S0. Pode-se também dizer, que este movimento traduz o

efeito que o movimento do referencial S1 tem sobre o movimento final do

ponto P.

Os movimentos absoluto e relativo são facilmente entendíveis à luz do

exemplo do autocarro anteriormente referido. Assim, o movimento absoluto é o

do passageiro (A) em relação a (C) e o movimento relativo o do passageiro (A)

relativamente a (B). O movimento de transporte é o do ponto do autocarro

coincidente com a posição do passageiro (A), no instante considerado,

relativamente a (C). Vejamos um segundo exemplo que nos ajude a entender

melhor o conceito do movimento de transporte (ver figura 4.2). Imaginemos um

cursor que se move ao longo de uma guia circunferencial de raio R, com

velocidade vc, e dois pontos P e Q que se deslocam relativamente ao cursor

com velocidades vP e vQ supostas iguais. O movimento de transporte destes

dois pontos é o dos pontos do cursor que, no instante considerado, coincidem

com eles.

O

R

P

Q

v

r

r

Q

vPcv

Figura 4.2 – Movimento de transporte.


72 FEUP – DEMEGI

Como é óbvio, neste caso o movimento de transporte de P é diferente do

de Q, pois a distância rROP += é superior a rROQ −= . Assim, embora as

velocidades relativas sejam iguais, o movimento absoluto destes pontos será

diferente devido à sua componente de transporte.

4.2 VELOCIDADES

4.2.1 CAMPO DE VELOCIDADES

Para a obtenção do campo de velocidades absoluta, relativa e de

transporte podemos, recorrendo à figura 4.1, começar por escrever a seguinte

relação,

APOAOP += (4.1)

sendo P um ponto genérico do espaço S2. Derivando temos,

000 sss

•••

+= APOAOP (4.2)

ou seja,

APωAPvv xS

AP 101

1020 ++=•

(4.3)

e, ainda

)( 10102120 APωvvv xAPP ++= (4.4)


FEUP – DEMEGI 73

sendo que as parcelas entre parêntesis representam a velocidade absoluta de

um ponto de S1 (designê-mo-lo por P1) coincidente com P no instante

considerado. Podemos então escrever,

102120 PPP vvv += (4.5)

o que se traduz pelo facto da velocidade absoluta ser igual à soma da

velocidade relativa a S1 com a de transporte de S1. Obviamente, que esta

relação também se aplica aos vectores rotação, daí que possamos concluir

que:

“O campo de velocidades contemporâneas absolutas pode

ser decomposto na soma de um campo de velocidades

relativas a dado referencial, com um campo de velocidades

de transporte , que acaba por ser um campo de velocidades

absolutas deste último referencial”.

Podemos então escrever,

2

102120

S102120 ∈∀+=

+=

PPPP vvv

ωωω

(4.6)

e, no caso geral teremos,

nPPP

nnn

Pnnn S...

...

101,0

101,0

∈∀++=

++=

−

−

vvv

ωωω

(4.7)

Vejamos o exemplo da figura 4.3. O cursor (corpo 2) translada ao longo da

barra (corpo 1) com uma velocidade )(tsɺ . Por sua vez a barra roda em torno do


74 FEUP – DEMEGI

ponto O com velocidade angular )(tθɺ . Vamos calcular o campo de velocidades

absolutas do corpo 2 nos pontos A e B,

Os(t)

θ

2

1

l

A

h

B

Figura 4.3 – Mecanismo em movimento plano.

Ponto A

θɺ0

0

111 S10

S21

S20 =+= ωωω (4.8)

1

101

211

20SSS

AAA vvv += (4.9)

sendo

0

01

21S

s

A

ɺ

=v (4.10)

e

0

0

x111

10

1

10SS

10SS

sOA θɺ=+= OAωvv . (4.11)


FEUP – DEMEGI 75

Ponto B

O vector ω , sendo o vector principal do torsor das velocidades, é um

invariante vectorial, logo é o mesmo em qualquer ponto do espaço. Quanto ao

vector velocidade temos,

1

101

211

20SSS

BBB vvv += . (4.12)

De imediato se conclui que 2121 AB vv = , pois o movimento do corpo 2

relativamente ao corpo 1 é uma translação, o que significa que todos os pontos

neste movimento têm a mesma velocidade. Para a velocidade de transporte

aplicamos a primeira equação de Mozzi,

0

)(x111

101

10SS

10SS

hs

l

OB +−

=+= θθ

ɺ

ɺ

OBωvv . (4.13)

Conclui-se de imediato que a velocidade de transporte é diferente para os

pontos A e B. De facto, os pontos do espaço associado ao referencial S1 que

coincidem com A e B no instante considerado têm vectores posição diferentes

em relação ao ponto O, que é o CIR do movimento do corpo 1 em relação a S0.

4.2.2 DETERMINAÇÃO DOS CIR PELA PROPRIEDADE DO ALIN HAMENTO

A TMR permite a definição de um método alternativo para a obtenção

gráfica da posição de CIR em movimentos planos. A propriedade do

alinhamento dos CIR de movimentos que se decompõem entre si é muito útil e

facilmente demonstrável. Imaginemos três corpos i, j e k. Pela TMR podemos

escrever

=

k

j

j

i

k

i. (4.14)


76 FEUP – DEMEGI

Suponhamos conhecidos os CIR dos movimentos ik e jk e tentemos determinar

a posição do CIR ij que vamos designar por P. Numa primeira análise (ver

figura 4.4 (a)) vamos admitir uma posição qualquer para P e calcular as

velocidades dos movimentos ik e jk em P. Temos então que

.Pωv

Pωv

jkjkP

ikikP

x

x

jk

ik

I

I

=

= (4.15)

As equações anteriores permitem a obtenção gráfica de dois vectores

jkik PP vv e que têm direcções diferentes. A partir da equação (4.14) podemos

escrever

jkijik PPP vvv += (4.16)

e, uma vez que P é o CIR ij, 0=ijPv , ou seja,

jkik PP vv = . (4.17)

I ik I jk I ik I jk

Direcção de vP ik

P Direcção de vPjk

Direcção comum de

vPikevP jk

P

(a) (b)

Figura 4.4 – Propriedade do alinhamento dos CIR de movimentos que

decompõem entre si.

Imediatamente se conclui que, para que a equação (4.17) se verifique, é

necessário que o ponto P pertença à recta que une jkik II e (ver figura 4.4 (b)).


FEUP – DEMEGI 77

Podemos então dizer que os CIR de movimentos que se decompõem entre si

estão sempre alinhados segundo a mesma recta.

Retomemos o sistema biela-manivela (ver figura 4.5) para ilustrar a

aplicação desta propriedade. À partida identificamos logo alguns CIR, tais

como:

• O≡10I

• A≡21I

• B≡32I

• 30I no infinito e na perpendicular à translação do corpo 3.

Para a obtenção gráfica de 20I podemos fazer as seguintes decomposições:

1º

=

0

1

1

2

0

2 - daqui ficamos a saber que 20I estará sobre a recta

que une os pontos O e A;

2º

=

0

2

2

3

0

3 - daqui concluímos que 20I estará sobre a recta

vertical que passa por B.

A intersecção das duas rectas permite a obtenção imediata da posição do 20I .

8

B

30I

I3210O I

IA

w

121

2

3

I 20

Figura 4.5 – Determinação de 20I pela regra do alinhamento.


78 FEUP – DEMEGI

4.3 ACELERAÇÕES

Para a obtenção das acelerações pela TMR podemos partir da derivação da

equação (4.5),

0

100

210

20 SSS PPP

•••

+= vvv (4.18)

sendo que

200

20 SPP av =

•

(4.19)

e

211

210

21x10

SSPPP vωvv +=

••

(4.20)

sendo

211

21 SPP av =

•

. (4.21)

Quanto a 0

10

S

P

•

v temos (ver equação (4.4)),

)x(xx 10S

10S10SS

10010

010

APωAPωAPωvv +++=••••

AP (4.22)

ou

)x(xxx 10101010S 2110

010

APωωvωAPαav +++=•

PAP . (4.23)


FEUP – DEMEGI 79

Substituindo as equações (4.19) a (4.23) na equação (4.18) temos

21102120 x2)x(xx 10101010 PAPP vωAPωωAPαaaa ++++= (4.24)

e, finalmente,

21102120 x2 10 PPPP vωaaa ++= (4.25)

sendo que,

• 20Pa é a aceleração absoluta e representa a aceleração que o ponto P do

referencial S2 tem relativamente a um observador solidário de S0;

• 21Pa é a aceleração relativa e representa a aceleração do ponto P do

referencial S2 que um observador solidário de S1 consegue medir;

• 10Pa é a aceleração de transporte e representa a aceleração de um

ponto P1 solidário de S1 que no instante considerado coincide com P;

• 21x2 10 Pvω é a aceleração de Coriolis e representa o efeito que a

mudança de direcção da velocidade relativa ( 21Pv ) tem na aceleração

absoluta.

Note-se que, se não fosse o termo respeitante à aceleração de Coriolis,

poder-se-ia escrever uma relação semelhante a (4.5) para a aceleração.

Contudo, é claro que tal relação estaria incorrecta e, por isso, devemos

incluir o termo adicional de Coriolis. Como já foi dito, a mudança de

direcção de velocidade relativa origina esta componente de Coriolis. Assim,

se o movimento de transporte não for de translação e, portanto se

caracterizar por 0≠ω , a aceleração de Coriolis não será nula. O conceito

da aceleração de Coriolis é extremamente útil, por exemplo no estudo do

movimento de projécteis de longo alcance que são consideravelmente


80 FEUP – DEMEGI

afectados pela rotação da Terra. No caso geral de movimentos mais

complexos poderemos escrever

211,1021321,0 x2...x2... 100,1 PPnPPPPP nnnnn vωvωaaaaa +++++++= −− − . (4.26)

Note-se que, ao contrário do que acontece com os vectores rotação (ver

as segundas equações (4.6) e (4.7)) os vectores aceleração angular não são

decomponíveis entre si. Devem ser sempre obtidos por derivação dos

respectivos vectores rotação.

4.4 PARALELISMO ENTRE A TMR E O TEOREMA DAS

DERIVADAS RELATIVAS

Vamos de seguida demonstrar que em alguns casos particulares, existe

uma correspondência entre a TMR e o Teorema das Derivadas Relativas. O

paralelismo ocorre quando um determinado vector OP tem a sua origem

solidária do referencial móvel intermédio, relativamente ao qual se vai proceder

à derivação. Caso o ponto O não satisfaça esta condição o paralelismo não

existe.

No exemplo da figura 2.12, o vector OP satisfaz as referidas condições e,

como vimos, a derivada total de P é dada por duas componentes:

• a derivada do vector em relação ao referencial móvel; vamos demonstrar

que corresponde à velocidade relativa na TMR;

• a velocidade que resulta do referencial móvel rodar em relação ao fixo e

que é igual a OPω x ; representa a velocidade de transporte na TMR

como veremos.

Retomemos o exemplo da figura 2.12 para verificarmos estas relações.

Assim, podemos calcular a velocidade do ponto P do corpo 2 fazendo:


FEUP – DEMEGI 81

1S1S1S

102120 PPP vvv += (4.27)

sendo

ββr

ββr

β

β

β

OP

sen

cos

0

cosr

senr

0

x

0

00

x1S1S

211S1S

2121

ɺ

ɺ

ɺ

−=

−+=

=+= OPωvv

(4.28)

e

.

0

0

sen

cosr

senr

0

x0

0

0

x1S1S

101S1S

1010

βθr

β

β

θ

OP

ɺ

ɺ

−=+=

=+= OPωvv

(4.29)

Comparando estes resultados com a equação (2.106) obtemos as seguintes

relações:

.x1S1S1S

10

1S1S

1s

10

21

P

P

vOPω

vOP

=

=•

(4.30)

Constata-se a existência de uma correspondência directa entre as duas teorias

ao nível dos vectores velocidade.

No que diz respeito aos vectores aceleração temos


82 FEUP – DEMEGI

1S1S1S1S

cor102120 PPPP aaaa ++= (4.31)

sendo que,

++=

1S1S21

1S21

1S1S21

1S1Sxxx

2121OPωωOPαaa OP (4.32)

ou seja,

ββrββr

ββrββrP

cossen

sencos

0

2

2

1S21

ɺɺɺ

ɺɺɺ

−−−=a (4.33)

e,

++=

1S1S10

1S10

1S1S10

1S1Sxxx1010 OPωωOPαaa OP (4.34)

ou seja,

0

sen

02

1S10 βθrP

ɺ−=a (4.35)

e,

0

0

cos2

x2 21cor 101S

βrβθ

PP

ɺɺ−== vωa . (4.36)

Na teoria da derivação de vectores tínhamos visto que (ver equação (2.113)),


FEUP – DEMEGI 83

•

−

= −

− −

ɺ ɺ

��ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ

201

2

sS1 2

cos

cos sen

sen cosP

θ β r β

r β β r β β

r β β r β β

v (4.37)

e que,

−

= −

ɺ ɺ

�� ɺ

201 1

210

s s

cos

x sen

0

P

θ β r β

θ r βω v (4.38)

donde imediatamente se conclui que

•

= +��

21 cor201s

12

P PPv a a (4.39)

= +��

20 10 cor101

x2

P P Pω v a a (4.40)

o que evidencia que, ao contrário do que sucedia nos vectores velocidade, nos

vectores aceleração não há uma correspondência directa termo a termo. Na

realidade, a componente de Coriolis divide-se em partes iguais por cada uma

das parcelas do Teorema das Derivadas Relativas.


Inicialmente, começámos por definir os três referenciais (base, móvel

intermédio e móvel solidário com o sólido), que nos permitiram definir os três

tipos de movimentos diferentes que surgem numa decomposição pela TMR:

absoluto, relativo e de transporte. Em seguida, obtiveram-se os campos de

velocidades e as relações entre eles. Ainda no âmbito das velocidades, fez-se

uma referência à propriedade do alinhamento dos CIR de movimentos planos


84 FEUP – DEMEGI

que se decompõem entre si. A apresentação das acelerações evidenciou um

modo distinto na decomposição de movimentos devido ao aparecimento do

termo de Coriolis. Finalmente, e para alguns casos particulares, mostrou-se a

existência de um paralelismo entre a TMR e o Teorema das Derivadas

Relativas para as velocidades, o que não se verificou para as acelerações.


1) Para o mecanismo representado na figura 2.13 determine recorrendo

à TMR:

a) A velocidade absoluta do ponto P fazendo a decomposição

=

0

1

1

2

0

2;

b) A aceleração absoluta do ponto P fazendo a decomposição

=

0

1

1

2

0

2;

2) Para o mecanismo representado na figura 2.14 determine recorrendo

à TMR:

a) A velocidade absoluta do ponto P fazendo a decomposição

=

0

2

2

3

0

3

e

=

0

1

1

2

0

2;

b) A aceleração absoluta do ponto P fazendo a decomposição

=

0

2

2

3

0

3 e

=

0

1

1

2

0

2;

Mecânica II 5. Cinemática dos Sólidos em Contacto Permanente

FEUP – DEMEGI 85

CAPÍTULO 5 CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS EM CONTACTO PERMANENTE 5.1 INTRODUÇÃO

Existem inúmeras aplicações práticas de mecanismos em que dois ou mais

dos seus pontos se mantêm permanentemente em contacto segundo um ponto

ou uma recta, admitindo nesse ponto ou ao longo dessa recta um plano

tangente comum. Um caso típico, é o movimento de um automóvel, onde as

rodas contactam permanentemente com o piso. Os rolamentos, as

engrenagens, as transmissões por atrito são exemplos típicos de mecanismos

onde se encontram sólidos em contacto permanente.

5.2 IMPORTÂNCIA DO ROLAMENTO E ESCORREGAMENTO

Na maioria das situações o escorregamento ou deslizamento entre

sólidos é indesejável, uma vez que provoca aquecimento e desgaste prematuro

das superfícies, limitando as capacidades de trabalho do mecanismo e

reduzindo a vida útil dos corpos em contacto. A determinação da velocidade de

escorregamento é importante pois o seu valor condiciona as pressões

admissíveis pelos materiais que constituem os dois corpos. Quanto maiores

5. Cinemática dos Sólidos em Contacto Permanente Mecânica II

86 FEUP – DEMEGI

forem as velocidades de escorregamento menores serão as pressões possíveis

de transmitir entre os sólidos para se evitarem desgastes prematuros.

O rolamento é essencial para diminuir o atrito e o desgaste entre os corpos

que contactam com movimento entre si. A ausência de escorregamento só é

possível se os sólidos contactarem apenas num ponto (contacto pontual) ou em

vários pontos colineares (contacto linear). Todavia, o contacto puramente

pontual ou linear entre dois corpos reais é uma idealização, uma vez que a

própria deformabilidade dos sólidos induz um contacto de carácter superficial

mais ou menos extenso em torno dos pontos de contacto.

5.3 SÓLIDOS EM CONTACTO PONTUAL 5.3.1 MOVIMENTO DE PERMUTAÇÃO

Consideremos dois sólidos S1 e S2 em movimento relativamente a um

referencial S0 suposto fixo e em movimento entre si, de tal modo que em cada

instante contactem num só ponto (ponto P na figura 5.1).

O

x

z

0

0

y

P

π

C1

0

2C

S1

SS2

Figura 5.1 – Sólidos em contacto pontual. Trajectórias do ponto de contacto (C1

e C2) em cada um dos corpos.

Suponhamos também que os dois sólidos admitem um plano tangente

comum (π) no ponto P. Para uma melhor compreensão dos fenómenos

envolvidos vamos, artificialmente, separar o ponto P em três pontos diferentes

no contacto (P1, P2 e P3). Assim, na figura 5.2, em que os sólidos estão

artificialmente separados, vemos que:


FEUP – DEMEGI 87

• P1 e P2 são os pontos materiais dos corpos 1 e 2 que coincidem com o

ponto de contacto;

• P3 é o ponto geométrico do espaço que, em cada instante, coincide com

o ponto de contacto; este ponto não pertence a nenhum dos dois corpos.

Em geral, o ponto de contacto entre os corpos 1 e 2 não permanece o

mesmo em cada um deles. Vai sendo substituído, ou seja, vai permutando de

instante para instante, pelo que quando observado a partir dos próprios sólidos

parece mover-se, descrevendo uma determinada trajectória. Esta sucessiva

alteração do ponto, que em cada um dos corpos é, em cada instante, ponto de

contacto, origina três trajectórias (ver figura 5.2):

• a permutação do ponto de contacto no corpo 2, quando observada a

partir do próprio corpo 2 origina a curva C2;

• a permutação do ponto de contacto no corpo 1, quando observada a

partir do próprio corpo 1 origina a curva C1;

• a curva C0 é a trajectória de descrita pelo ponto geométrico P3 no

espaço fixo S0.

C

C1

P1

P3

0

2C

P2

Figura 5.2 – Identificação dos pontos materiais (P1 e P2) e geométrico de

contacto (P3) sobre as trajectórias em cada um dos corpos.

Note-se que, assim como C0, também as curvas C1 e C2 se podem imaginar

como sendo descritas pelo ponto P3 (ponto geométrico do espaço sempre


88 FEUP – DEMEGI

coincidente com o ponto de contacto), relativamente a observadores solidários

dos corpos 1 e 2 respectivamente.

5.3.2 VELOCIDADE DE ESCORREGAMENTO

Comecemos por calcular a velocidade do ponto geométrico P3

relativamente ao referencial fixo recorrendo à decomposição pela TMR por

duas vias distintas:

=

0

1

1

3

0

3

S

S

SS

PP (5.1)

e

=

0

2

2

3

0

3

S

S

SS

PP (5.2)

donde se conclui que

103130 PPP vvv += (5.3)

e

203230 PPP vvv += (5.4)

sendo que:

• 31Pv e 32Pv representam as velocidades de P3 relativamente a S1 e a S2

respectivamente, são tangentes às trajectórias C1 e C2 e estão contidas

no plano tangente comum;


FEUP – DEMEGI 89

• 10Pv e 20Pv representam as velocidades dos pontos materiais P1 e P2

solidários de S1 e de S2 respectivamente, que coincidem com P3 no

instante considerado.

Igualando as equações (5.3) e (5.4) obtemos,

2132311020 ePPPP vvvvv =−=− (5.5)

sendo que 21ev é a velocidade de escorregamento que se pode definir como:

“A velocidade de escorregamento entre dois corpos em movimento

com contacto pontual permanente entre si, é dada pela diferença das

velocidades referidas a um mesmo referencial de observação (fixo

ou móvel) dos pontos P2 e P1 solidários de um e de outro corpo que

coincidem com o ponto de contacto no instante considerado.”

Como facilmente se constata da equação (5.5), 12ev é igual e de sinal

contrário a 21ev . Da mesma equação se conclui que a velocidade de

escorregamento pertence ao plano tangente comum (π) aos dois sólidos em

contacto (ver figura 5.1), uma vez que é obtida pela diferença de dois vectores,

31Pv e 32Pv , que pertencem a esse plano. Note-se que tal não implica que os

vectores 10Pv e 20Pv também estejam contidos nesse plano; a diferença entre

eles é que pertence ao plano π.

5.3.3 ESPECIFICIDADES DO TORSOR GERADOR DO MOVIMENTO

RELATIVO 2/1 NO PONTO DE CONTACTO

O torsor gerador do movimento de S2 relativamente a S1 no ponto de

contacto é dado por,


90 FEUP – DEMEGI

( )21;2121 P

P vω≡τ (5.6)

sendo que os vectores se podem obter a partir do conhecimento de P20τ e P

10τ ,

PPP102021 τ−τ=τ (5.7)

ou seja,

102021

102021

PPP vvv

ωωω

−=

−= (5.8)

em que, como é obvio, 21Pv é a velocidade de escorregamento. A

representação esquemática dos vectores de P21τ está feita na figura 5.3, sendo

que 21ω está projectado segundo o plano tangente (componente de rolamento

tω ) e segundo a normal a esse plano (componente de giração nω ).

Ptωωωω

ωωωω21

ωωωω

S1

21vP

n

= ve21

SSS2

Figura 5.3 – Representação esquemática do torsor P21τ .

Num movimento relativo de dois corpos em contacto, poderão ocorrer os

seguintes casos:


FEUP – DEMEGI 91

• Escorregamento puro: 021 ≠ev , 0=nω e 0=tω

• Rolamento puro: 021 =ev , 0=nω e 0≠tω

• Giração pura: 021 =ev , 0≠nω e 0=tω

• Rolamento + Giração: 021 =ev , 0≠nω e 0≠tω

• Escorregamento + Rolamento: 021 ≠ev , 0=nω e 0≠tω

• Escorregamento + Giração: 021 ≠ev , 0≠nω e 0=tω

• Escorregamento + Rolamento + Giração: 021 ≠ev , 0≠nω e 0≠tω

Os casos mais importantes e aos quais vamos dar maior realce, relacionam-

se com o escorregamento e rolamento puros.

5.3.4 ESCORREGAMENTO PURO

Como se depreende da definição anterior, este caso traduz-se por

ausência completa de rotação no movimento 2/1. Logo, conclui-se

imediatamente que estamos em presença de um movimento de translação. É o

caso do exemplo da figura 4.3 em que uma corrediça (corpo 2) escorrega sobre

uma guia (corpo 1). Ambos têm, neste caso, a mesma rotação, pelo que o

vector rotação do movimento relativo é nulo.

5.3.5 ROLAMENTO PURO – SÓLIDOS EM MOVIMENTO PLANO

Como vimos, esta situação traduz-se pela inexistência de velocidade de

escorregamento e da componente normal do vector rotação. Só há unicamente

rotação em torno do eixo contido no plano tangente comum aos dois corpos

que contactam.

A figura 5.4 mostra um exemplo típico deste tipo de movimento.

Representa o movimento de um disco em contacto com uma superfície plana.


92 FEUP – DEMEGI

O movimento plano equivalente, será o rolamento de uma circunferência sobre

uma recta com a qual contacta sem escorregar.

2

P I211

Figura 5.4 – Exemplo de rolamento sem escorregamento.

Uma vez que se admite a inexistência de escorregamento, o ponto de

contacto entre os dois corpos da figura 5.4 é um ponto de velocidade relativa

nula; consequentemente esse ponto coincide com o CIR do movimento 2/1.

Vamos, uma vez mais, considerar os corpos artificialmente separados (ver

figura 5.5) e distinguir três pontos (P1, P2 e P3) que na realidade são

coincidentes. O movimento de permutação do ponto de contacto gera, no corpo

2, uma linha que é a circunferência envolvente desse mesmo corpo. É a curva

C2 que se designa por rolante , uma vez que S2 é considerado o sistema móvel

no movimento 2/1. À trajectória descrita em S1 (neste caso, curva C1) designa-

se por base , uma vez que S1 é o sistema considerado fixo no movimento 2/1.

Note-se que, caso estivéssemos a estudar o movimento 1/2 a base seria a

curva C2 e a rolante a C1. A trajectória de P3 relativamente a S0, denominada

por C0, é, neste caso, também uma recta horizontal. Se admitirmos que o corpo

1 está fixo, C1 e C0 coincidirão, como se pode ver na figura 5.5.

C

1 C1

C0

2

P

P1

3

P2

2

Figura 5.5 – Trajectórias no movimento de permutação.


FEUP – DEMEGI 93

5.3.5.1 Definição matemática da base e da rolante

Como já vimos, a base é a trajectória que o ponto de contacto P3

descreve sobre o espaço considerado fixo (espaço S1 no movimento 2/1).

Podemos assim defini-la como sendo o vector posição de P3 em relação a um

ponto fixo de S1,

=1

1

S31

1 y

xPO . (5.9)

Vimos também que a rolante é a trajectória que o ponto de contacto P3

descreve sobre o espaço considerado móvel (espaço S2 no movimento 2/1).

Podemos defini-la como sendo o vector posição de P3 em relação a um ponto

fixo de S2,

=2

2

S32

2 y

xPO . (5.10)

Retomemos o exemplo anterior para obtenção das equações da base e

da rolante (ver figura 5.6). O primeiro passo consiste na definição de dois

referenciais solidários com cada um dos corpos (S1 e S2). A obtenção da base

e da rolante torna-se imediata através da construção dos vectores posição do

ponto de contacto em cada um dos sistemas,

=+=0

Base1

1

y

Rbx θ (5.11)

e

−==

θθ

cos

senRolante

2

2

Ry

Rx. (5.12)


94 FEUP – DEMEGI

Observando as equações (5.11) e (5.12) concluímos que no primeiro caso se

trata de uma recta horizontal (y1=0) e no segundo de uma circunferência pois,

222

22 Ryx =+ (5.13)

o que confirma as observações feitas a propósito da figura 5.4.

11x

2

2

2y

R

2x

O

θ

O

b+R

b

θ

1

y1

Figura 5.6 – Localização dos referenciais S1 e S2.

5.3.5.2 Generalização da análise a quaisquer movime ntos planos

Consideremos dois corpos em movimento plano que não contactam

entre si, como mostra a figura 5.7.

1y

O1

1

2y

x1 O2

2x

I21

2

Figura 5.7 – Corpos em movimento relativo plano.

Neste caso, o CIR 21I é um ponto de velocidade relativa nula.

Considerando associado a cada corpo um espaço rígido, podemos imaginar


FEUP – DEMEGI 95

que o espaço S2 e o espaço S1 contactam sem escorregar no CIR 21I , já que aí

a velocidade de escorregamento (velocidade relativa no movimento 2/1) é nula.

Também neste caso podemos imaginar a existência de um ponto não

pertencente a nenhum dos dois corpos mas coincidente com o CIR (o

equivalente ao ponto P3 referido nos exemplos anteriores). Este ponto vai

mudar de posição de instante para instante, descrevendo uma trajectória em S1

(base) e outra em S2 (rolante). Estas duas curvas pertencem respectivamente a

S1 e S2 e contactam sem escorregar no ponto 21I (ver figura 5.8).

Podemos então concluir que qualquer movimento relativo entre dois

corpos, quer contactem fisicamente ou não, pode ser estudado como um

movimento de rolamento sem escorregamento da rolant e sobre a base .

Trata-se portanto, de uma generalização de um conceito desenvolvido para

corpos em contacto, a qualquer movimento plano.

2

2

2

x

O

y

Rolante

21I

2

x1O1

Base

1y

1

Figura 5.8 – Movimento 2/1 equivalente ao rolamento sem escorregamento da

rolante sobre a base.

Para a obtenção destas duas curvas (base e rolante) temos a

necessidade de determinação prévia da posição do CIR do movimento relativo

2/1. Assim, partindo do princípio que conhecemos o torsor do movimento 2/1

no ponto O2 podemos fazer,

0x 212212121 =+= IOωvv OI (5.14)

o que nos permite obter 212IO . Se exprimirmos este vector em coordenadas de

S2 temos a rolante


96 FEUP – DEMEGI

=2

2

S212

2 y

xIO . (5.15)

A base obtém-se através de um vector posição de 21I com origem num ponto

fixo de S1 e expresso em coordenadas de S1,

[ ]

=+=1

1

S21221

S21

S211

211

Ty

xII OOOO . (5.16)

5.3.5.3 Velocidade de permutação

Já vimos que, quando dois corpos rolam sem escorregar um sobre o

outro, o ponto de contacto permuta de posição em cada um dos corpos. A

velocidade com que esta permuta se realiza denomina-se velocidade de

permutação . Consultando as figuras 5.5 e 5.6, podemos escrever,

213231 PPP vvv += (5.17)

sendo 021 =Pv devido à ausência de escorregamento. Assim temos,

213231 PPP Vvv == (5.18)

ou seja a velocidade de permutação do CIR 2/1 ( 21PV ) é dada pela velocidade

com que o ponto genérico P3 se movimenta relativamente a qualquer um dos

corpos em contacto. As velocidades relativas ao ponto P3 na equação anterior

podem ser obtidas por derivação de vectores posição,

1

3131

•

= POvP (5.19)


FEUP – DEMEGI 97

e

2

3232

•

= POvP . (5.20)

Observando as equações (5.9), (5.10), (5.19) e (5.20) constatamos que a

velocidade de permutação se pode obter por derivação das equações da base

e da rolante relativamente aos seus próprios referenciais. Todavia, nem sempre

é necessário a obtenção prévia da base ou da rolante para o cálculo da

velocidade de permutação. Com efeito, da equação (5.18) vemos que a

velocidade de permutação se pode obter pelo cálculo, relativamente a S1 ou a

S2 da velocidade de P3. Assim, se conseguirmos associar ao movimento de P3

um espaço rígido S3, para o qual seja eventualmente simples a caracterização

do respectivo campo de velocidades, o cálculo da velocidade de permutação

far-se-á recorrendo à primeira equação de Mozzi.

Vejamos o exemplo da figura 5.9. Para além do disco que rola sem

escorregar sobre o plano fixo, existe ainda uma barra de vidro transparente que

está articulada ao disco no ponto C e se mantém permanentemente na vertical

(movimento de translação). Pelo facto da barra 3 ser transparente, o ponto de

contacto entre 2 e 1 (P) é sempre visível e é sempre acompanhado pelo corpo

3. Assim, podemos dizer que o movimento 3/1 é uma translação entre a barra e

o plano, ou seja, a velocidade do centro do disco, ao qual a barra está

articulada, relativamente ao plano, é a velocidade de permutação. O

movimento 3/2 é uma rotação em torno do ponto C e a velocidade de

permutação pode-se calcular como sendo a velocidade num movimento de

rotação em torno do centro do disco.

2

P

C

1 3

Figura 5.9 – A consideração de um terceiro corpo que seja solidário de P3 é útil

no cálculo da velocidade de permutação.


98 FEUP – DEMEGI

Vemos assim que este corpo 3 ajuda ao cálculo da velocidade de permutação.

No entanto, ele não tem necessariamente que existir. Assim, por vezes, com

alguma perspicácia conseguimos imaginar um espaço S3 que, embora não

existindo fisicamente, nos seja útil na obtenção da velocidade de permutação.

Basta para tal, que seja simples a caracterização do seu campo de velocidades

contemporâneas.

Vejamos um segundo exemplo (ver figura 5.10). O disco 2 rola sem

escorregar no interior do disco 1. O ponto de contacto P é acompanhado no

seu movimento de permutação pelo movimento da barra 3 que transporta o

disco 2. Então, a velocidade de permutação pode ser dada por

323121 PPP vvV == (5.21)

sendo

OPωv xP 3131 = (5.22)

e

APωv xP 3232 = . (5.23)

Neste caso também seria simples a derivação de vectores posição

•

=1

31 OPvP (5.24)

e

•

=2

32 APvP . (5.25)


FEUP – DEMEGI 99

Vemos assim uma vez mais, que o ponto de contacto, embora não

pertencendo fisicamente ao corpo 3, está solidário do espaço S3 pois o ponto P

está sempre sobre a recta que une O a A (dois pontos solidários do corpo 3).

3

ω

PA

O

2

1

Figura 5.10 – Mecanismo conhecido por trem epicicloidal.

5.3.5.4 Aceleração relativa do ponto de contacto (o u CIR)

O ponto do espaço S2 que, em cada instante, tem velocidade nula

relativamente a S1 está, em geral, permanentemente a ser substituído por outro

em cada um dos dois espaços (movimento de permutação). De facto, ele tem

velocidade relativa nula apenas instantaneamente, o que significa que a sua

aceleração relativa é diferente de zero. Para calcular esta aceleração

comecemos por recordar a equação (5.18) da velocidade de permutação

323121 PPP vvV == . (5.26)

Derivando (5.26) relativamente ao espaço S1 temos

1

321

31 SS PP

••

= vv (5.27)

ou seja,

322

3231 x21S

PPP vωva +=•

(5.28)


100 FEUP – DEMEGI

e ainda

323231 x21 PPP vωaa += . (5.29)

Recorrendo à teoria do movimento relativo também podemos escrever

32213231 x2 21 PPPP vωaaa ++= . (5.30)

Igualando (5.29) a (5.30) temos

21x3221 ωva PP = (5.31)

ou

21x2121 ωVa PP = . (5.32)

Constata-se assim que o ponto de contacto num movimento de

rolamento sem escorregamento tem velocidade relativa nula, mas a aceleração

relativa é diferente de zero e calculável através da velocidade de permutação e

do vector rotação do próprio movimento relativo. Este processo de cálculo é útil

sempre que a velocidade de permutação seja facilmente calculável. Caso

contrário, esta aceleração pode e deve ser calculada a partir das coordenadas

vectoriais num outro ponto do campo de acelerações contemporâneas desse

movimento relativo.

Retomemos o exemplo do disco que se desloca sobre um plano. A

trajectória do ponto P2 que, no instante considerado é ponto de contacto, é

visível na figura 5.11. Verifica-se que P2 tem uma trajectória de aproximação e

após o contacto uma trajectória de afastamento.


FEUP – DEMEGI 101

P I21

a

1

21P

2

Figura 5.11 – Aceleração relativa do ponto de contacto.

5.4 SÓLIDOS EM CONTACTO LINEAR

Um contacto diz-se linear quando ele se dá segundo uma linha, que

designaremos por T. Se há ausência de escorregamento em todos os pontos

dessa linha, ela tem de reduzir-se necessariamente a uma recta que é o

suporte do vector velocidade angular instantânea do movimento 2/1. Sejam

então T1, T2,..., Ti,..., Tn os pontos dessa linha de contacto. Para que não haja

escorregamento em T1, as velocidades dos pontos de S1 e S2 ( 12

11 e TT ) que

coincidem com T1, relativamente ao mesmo referencial S0 terão de ser iguais,

0112

12

11 =⇒= TTT vvv . (5.33)

A velocidade relativa entre dois pontos quaisquer, por exemplo ii TT 21 e , seria

dada por,

iiii TTT TTωvvv 11221 x12==− . (5.34)

Para que haja rolamento sem escorregamento

0x 112 12 == iiT TTωv . (5.35)

o que implica que iTT 1 seja paralelo a 12ω pois 012 ≠ω . Vemos assim, que

qualquer ponto i da linha de contacto é um ponto do suporte do vector rotação


102 FEUP – DEMEGI

12ω . Depreende-se imediatamente desta demonstração, que se o contacto

ocorre em vários pontos não colineares, é impossível que em todos eles não

haja deslizamento. Mesmo quando o contacto é linear o escorregamento

poderá ocorrer se o invariante escalar do torsor 21τ não for nulo (como é o

caso de um movimento tangente a um movimento helicoidal) ou, no caso de o

ser, se os pontos de contacto entre os dois sólidos não pertencerem ao eixo

T21.

5.4.1 Superfícies axoides

As superfícies axoides são as superfícies geradas pelo EIR do

movimento relativo i/j, no seu movimento de permutação relativamente a cada

um dos dois espaços i e j, desse movimento relativo. A superfície gerada no

espaço considerado fixo (j) é conhecida como Superfície Axoide Fixa (SAF); a

superfície gerada no espaço considerado móvel (i) é conhecida como

Superfície Axoide Móvel (SAM).

DC

1

O A TB21

3

T312

23T

3

O

1

2

Figura 5.12 – Tronco de cone com movimento de rolamento sem

escorregamento sobre uma superfície horizontal.

Para melhor compreender a obtenção das superfícies axoides,

comecemos por considerar o exemplo da figura 5.12 em que um tronco de


FEUP – DEMEGI 103

cone (corpo 2) contacta sem escorregar ao longo de uma geratriz, com uma

superfície horizontal de um outro sólido (corpo 1). O movimento de entrada é

uma rotação relativamente ao corpo 1 ( 31ω ) do corpo 3 (que transporta o corpo

2) em torno de um eixo vertical que passa por O. Devido à inexistência de

escorregamento entre os corpos 2 e 1, necessariamente que vai ser nula a

velocidade relativa em A e B; consequentemente, passará por esses dois

pontos o respectivo EIR 2/1 (T21). Uma vez que o corpo 2 é transportado pelo

corpo 3 que lhe serve de eixo suporte, o movimento 2/3 é uma rotação em

torno de CD e, consequentemente, T23 contém estes dois pontos. Já vimos

anteriormente que os EIR (T31, T21 e T23), correspondem ao lugar geométrico

dos pontos com velocidade mínima (neste caso velocidade nula), no respectivo

movimento relativo e contêm o vector rotação. Assim, se decompusermos o

movimento 2/1 na soma dos movimentos 2/3 e 3/1, podemos escrever

312321 ωωω += (5.36)

cuja representação gráfica se esquematiza na figura 5.13.

31 ωωωω23ωωωω

21ωωωω

Figura 5.13 – Representação gráfica dos vectores rotação.

Note-se que, qualquer que seja a posição relativa dos três corpos, T21 está

sempre no plano ABCD, ou seja move-se solidário com o corpo 3. Logo, o

movimento de permutação do EIR 2/1 é o movimento (relativo ao corpo 1 ou ao

corpo 2) de um eixo contido no espaço solidário do corpo 3 e que passa pelos

pontos de contacto. Este eixo, solidário de S3, gera duas superfícies no seu

movimento relativamente aos dois corpos em contacto (1 e 2):


104 FEUP – DEMEGI

• a superfície axoide fixa (SAF) que é a superfície gerada pelo EIR 2/1 no

espaço considerado fixo (espaço S1 no movimento 2/1);

• a superfície axoide móvel (SAM) que é a superfície gerada pelo EIR 2/1

no espaço considerado móvel (espaço S2 no movimento 2/1).

O movimento 3/2 é uma rotação em torno do eixo CD (T23≡T32). Assim, a SAF

será uma superfície cónica gerada pela recta AB (T21), quando esta roda em

torno de CD (ver figura 5.14). O movimento 3/1 é uma rotação em torno do

eixo vertical que passa por O. Então a SAF é a superfície gerada por T21

quando este roda em torno desse eixo (ver figura 5.14). Podemos então dizer

que estudar o movimento relativo do corpo 2, tronco de cone, sobre o corpo 1,

superfície horizontal, é equivalente a estudar o rolamento sem escorregamento

da SAM 2/1 sobre a SAF 2/1 que contactam segundo uma geratriz que é, em

cada instante, a posição do EIR 2/1.

SAF 2/1

O

A B

C D

SAM 2/1

T21

Figura 5.14 – Superfícies axoides no movimento 2/1.

Identificado o movimento de permutação, a determinação da velocidade de

permutação de um ponto qualquer do EIR 2/1 é imediata. Assim, se

escolhermos o ponto A podemos escrever

323121 AAA vvV == (5.37)

ou


FEUP – DEMEGI 105

CAωOAωV xx 323121 ==A . (5.38)

Vejamos um segundo exemplo de um mecanismo semelhante ao anterior, mas

onde existe agora um movimento de rolamento com giração e escorregamento

(ver figura 5.15). O corpo 2 (cilindro) está em movimento provocado pela

rotação do seu eixo de simetria material em torno de uma direcção vertical.

Admitamos por hipótese, que o corpo 2 rola sem escorregar relativamente ao

corpo 1 (plano horizontal) no ponto B, que pertence à linha de contacto entre os

dois corpos. Decompondo o movimento 2/1 na soma dos movimentos 2/3 e 3/1,

facilmente concluímos que, nesse movimento 2/1, o ponto O tem velocidade

nula. De facto, O é um ponto de velocidade simultaneamente nula nos

movimentos relativo 2/3 e de transporte 3/1, uma vez que pertence

simultaneamente a T23 e a T31 (ver figura 5.15). Assim, e como por hipótese o

ponto B também é um ponto de velocidade nula nesse movimento, a recta OB

é o suporte do eixo T21.

CO 23T3

T312

D

3

O

1

2

1

BA21T

Figura 5.15 – Movimento tridimensional com rolamento, giração e

escorregamento.


106 FEUP – DEMEGI

Saliente-se a existência de escorregamento entre os corpos 2 e 1 para

todos os pontos de contacto à excepção de B. De facto, só os pontos

colocados sobre T21 são pontos de rolamento sem escorregamento. Também

neste exemplo, o movimento de permutação do EIR 2/1 é identificável com o

movimento (relativo a S1 ou a S2) de uma recta solidária de S3 coincidente com

o referido EIR. Mais uma vez, o EIR 2/1 vai descrever duas superfícies (ver

figura 5.16):

• a SAF em S1 constituída por uma superfície cónica com geratriz OB e

eixo vertical, uma vez que o movimento 3/1 é uma rotação em torno

desse eixo;

• a SAM em S2, também constituída por uma superfície cónica de geratriz

OB mas de eixo OC , uma vez que o movimento 3/2 é uma rotação em

torno desse eixo.

SAF 2/1 O

BA

C D

T21

T23

T31SAM 2/1

Figura 5.16 – Superfícies axoides do mecanismo da figura 5.15.

Pode-se então concluir que o movimento 2/1, que apresenta escorregamento

para todos os pontos de contacto real excepto B, é equivalente ao rolamento

sem escorregamento da SAM 2/1 sobre a SAF 2/1. Daqui se compreende a

importância deste tipo de análise prévia no projecto de mecanismos. De facto,

o redesenhar deste mecanismo, no sentido de aproximar o mais possível a

linha de contacto real da direcção OB , permite minimizar o desgaste e usufruir

de uma série de óbvias consequências benéficas: menores vibrações, menor


FEUP – DEMEGI 107

aquecimento, maior duração, etc. A solução óptima seria a do mecanismo da

figura 5.12.

5.4.2 Superfícies axoides nos movimentos planos

Como já vimos, os movimentos planos caracterizam-se pelo facto dos

EIR serem paralelos entre si e perpendiculares ao plano do movimento. A

intersecção dos EIR com o plano do movimento permite a definição dos CIR.

Pelo facto dos EIR terem todos a mesma direcção as superfícies axoides

geradas nos movimentos de permutação são cilíndricas. A intersecção destas

superfícies com o plano do movimento, dá origem às curvas já anteriormente

definidas como base e rolante . Assim, como se pode ver na figura 5.17, a

rolante e a base são, respectivamente, a intersecção da SAM e da SAF com o

plano do movimento.

Rolante

SAM Base

SAF

Figura 5.17 – Correspondência entre as superfícies axoides (SAF e SAM) e a

base e a rolante, respectivamente.


Numa breve introdução começou-se por realçar a importância do

rolamento e escorregamento no projecto de mecanismos. No capítulo 5.2

fez-se a abordagem do movimento de sólidos em contacto pontual . Foi

introduzido o conceito de movimento de permutação e velocidade de

escorregamento . Após uma caracterização do torsor do movimento relativo


108 FEUP – DEMEGI

nas diversas situações possíveis, deu-se especial ênfase ao rolamento puro

em movimento plano . Os conceitos de base e rolante permitiram a extensão

da teoria do movimento de sólidos em contacto permanente a qualquer

movimento com existência ou não de contacto. A importância da velocidade

de permutação foi evidenciada no cálculo da aceleração relativa do CIR. No

capítulo 5.3 estudou-se o movimento tridimensional de sólidos em contacto

linear, tendo sido dada especial atenção à obtenção das superfícies axoides,

bem como à sua importância na concepção de mecanismos.


1) O disco (corpo 1) roda excentricamente em torno do ponto O com

velocidade angular θɺ conhecida e contacta permanentemente em P com o

impulsor (corpo 2), que translada verticalmente (ver figura 5.18). Determine:

θ

OP

Cθ

1

x

OC=e

y

2

Figura 5.18 – Disco e impulsor.

a) A velocidade de escorregamento no ponto P e a velocidade do impulsor;


FEUP – DEMEGI 109

Solução:

0

sen

0

0

0

)cos(

2012 θθe

θeRθ

PPɺ

ɺ

=−−

= vv

b) A posição do CIR 21I gráfica e analiticamente.

Solução:

0

0

sen

21

θe

≡I

2) O corpo 1 (cunha) move-se com uma velocidade v0 conhecida.

Admitindo que o corpo 2 (disco) rola sem escorregar sobre o corpo 1, calcule:

v

y

h A

BC

θ

12

x

0

Figura 5.19 – Cunha em translação.

a) A velocidade absoluta do ponto P do corpo 2;

Solução:

0

tg

0

020 θvB =v

b) A velocidade de escorregamento em C;


110 FEUP – DEMEGI

Solução:

0cos

tg

00

020θ

vθve +=v

c) A posição do CIR 20I gráfica e analiticamente.

Solução:

0

sen

20 h

θrr +≡I

3) A barra (corpo 1) move-se de modo a que os pontos A e B transladem

sobre os eixos coordenados. O ponto B move-se com velocidade sɺ conhecida.

1

O

y

B

s

xA

Figura 5.20 - Barra com extremidades em translação.

a) Determine a base e a rolante do movimento da barra relativamente ao

referencial S0;

Solução:

0

Rolante

0

Base 22

22

22

LsLs

LsL

s

sL

−

−

≡−

≡

b) Recorrendo às equações cartesianas, esboce as respectivas curvas.


FEUP – DEMEGI 111

4) No mecanismo representado na figura 5.21, o corpo 1 roda com

velocidade angular constante θɺ e o corpo 2 rola sem escorregar relativamente

ao corpo fixo. Determine:

B

y

Aθ

1

2

x

0

C

Figura 5.21 – Trem epicicloidal.

a) O vector rotação 20ω ;

Solução:

rθl ɺ−

= 0

0

20ω

b) As equações cartesianas da base e da rolante no movimento 2/0;

Solução: ( )22

020

222

22

Base

Rolante

rlyx

ryx

+=+→

=+→

c) A velocidade de permutação no movimento 2/0;

Solução:

0

cos)(

sen)(

20 θθrl

θθrl

Cɺ

ɺ

++−

=V

d) A aceleração absoluta do ponto B utilizando a segunda equação de

Mozzi e o ponto C; Solução:

0

sen

cos2

2

20θlθ

θlθ

Bɺ

ɺ

−−

=a


112 FEUP – DEMEGI

corpo 1 roda com velocidade angular θɺ constante em torno do eixo z, e

movimenta a esfera (corpo 2) através de um contacto de rolamento sem

escorregamento no ponto A . A esfera rola sem escorregar nos pontos P e

Q relativamente à caixa (corpo 0), que se mantém fixa. O corpo 2 transmite

movimento em B com rolamento sem escorregamento ao corpo 3, que roda

em torno do eixo z. Determine:

x A

Pr

C

Q

2

45º 2

B

OA=rOA=r1

O

θ 10

3

z

Figura 5.22 – Redutor de fricção.

a) A velocidade angular do corpo 3, 30ω ;

Solução:

( )( )

30

1

1 2

0

0

1 2 2

r θ

r r

=

+ +

ω

��

ɺ

b) A velocidade de permutação no movimento 2/1;

Solução: 211 2

1 2

0

22

1 2 2 2

0

Ar θ r

r r

−= + + + V

ɺ��

c) As superfícies axoides nos movimentos 2/1 e 3/2. Identifique os

respectivos movimentos de permutação.

Mecânica II 6. Anexo – Problemas de Exame

FEUP – DEMEGI 113

ANEXO – PROBLEMAS DE EXAME

1) Cinemática - Movimento 2D

O mecanismo de elevação representado é constituído por:

- um cilindro hidráulico, (Cilindro exterior - Corpo 1 e Êmbolo - Corpo 2 ),

articulado ao exterior em C. O comprimento CD é dado pelo parâmetro

conhecido s(t) . A velocidade relativa entre o êmbolo e o cilindro exterior é

constante, )const( .=sɺ ;

- uma barra, Corpo 3 , articulada ao êmbolo do cilindro hidráulico no ponto D,

obrigada a rodar em torno de um ponto fixo E;

- uma barra, Corpo 4 , que está articulada ao Corpo 3 no ponto F e ao

Corpo 5 em H;

- uma plataforma, Corpo 5 , com movimento de translação na direcção

vertical.

a) Determine a velocidade absoluta da plataforma, Corpo 5. b) Determine a aceleração do ponto F do Corpo 4 para um observador

solidário do movimento do corpo 1.

c) Defina graficamente a posição do eixo instantâneo de rotação do

movimento relativo 4/1.

d) Determine a base e a rolante no movimento 5/3.

e=EH

6. Anexo – Problemas de Exame Mecânica II

114 FEUP – DEMEGI


BCAB ⊥ O mecanismo representado na figura permite bascular a pá (corpo 2) de

uma escavadora. A barra de accionamento (corpo 1) é obrigada a deslocar-se

na horizontal através do guiamento existente no corpo 4 (lei s(t) conhecida). As

ligações B e C são articulações planas, enquanto A e D são ligações do tipo

pino/rasgo. Considerando o corpo 4 imóvel, determine:

a) A velocidade absoluta do ponto D.

b) A aceleração do ponto A do corpo 1 relativamente à pá.

c) Graficamente a posição de I31.

d) A velocidade de permutação do ponto I31.


FEUP – DEMEGI 115

3) Cinemática – Movimento 2D

A

2

a

e

Y b

D

B

θθθθ

CR

X

E

F

3

1

4

O mecanismo plano representado é constituído por:

- um excêntrico (corpo 1) que roda em torno do ponto fixo B com velocidade angular constante; .const10 =θ=ω ɺ

- uma barra (corpo 2) obrigada a rodar em torno de um ponto fixo A

- um disco (corpo 3) que roda relativamente ao corpo 4; ligação de rotação

em F

- um impulsor (corpo 4) guiado na direcção BF

Em D (ponto de contacto entre os corpos 1 e 2) existe rolamento com

escorregamento. Sabendo que os corpos 2 e 3 rolam sem escorregar entre si

(ponto de contacto E), determine:

a) Os campos de velocidades contemporâneas dos movimentos absolutos de

todos os corpos.

b) A aceleração do ponto F do corpo 4 para um observador solidário do

movimento do corpo 1.

c) A base e a rolante no movimento 2/1.

d) A aceleração do ponto de contacto da base com a rolante no movimento

relativo 2/1.


116 FEUP – DEMEGI


A figura representa um mecanismo constituído por cinco corpos. O

cilindro 1 roda em torno do ponto fixo A e o êmbolo 2 translada em relação ao

corpo 1, sendo o parâmetro s(t) conhecido. O corpo 3 roda em torno do ponto

C, que é um ponto fixo, transmitindo movimento à barra 4 através da

articulação em D. O corpo 5 sofre uma translação horizontal.

Determine:

a) O campo de velocidades contemporâneas dos movimentos 2/0 e 4/0.

b) A aceleração do ponto D do corpo 4 relativamente ao corpo 1

recorrendo à teoria do movimento relativo e fazendo intervir o corpo

2.

c) Graficamente, a posição do centro instantâneo de rotação no

movimento 5/2.

d) A base e a rolante no movimento 3/5.

x

y A

B

C

D

E θ(t)

RCDCB ==

CDCB⊥ s(t)

LDE = bAC =

1

2 3

4

5

β(t)

γ(t)


FEUP – DEMEGI 117


O mecanismo representado na figura é constituído por três corpos:

• corpo 1 : um disco que roda em torno do eixo z com velocidade

angular θɺ , conhecida.

• corpo 2 : uma manga que roda juntamente com o corpo 1, mas que

pode transladar relativamente a este na direcção z (s(t) conhecido).

• corpo 3 : um braço de comprimento l, articulado ao corpo 2 em A e

ligado ao corpo 1 pelo contacto esfera/rasgo em B.

Determine:

a) Os vectores velocidade e aceleração angulares absolutos do corpo 3 .

b) A velocidade de escorregamento no ponto B.

c) A aceleração do ponto B relativamente a um referencial fixo recorrendo

à Teoria dos Movimentos Relativos e fazendo a decomposição

=

0

2

2

3

0

3.

d) Diga, justificando convenientemente a resposta, se o movimento 3/0 é

tangente a uma rotação ou a um movimento helicoidal. Esboce o perfil

de velocidades desse movimento.


118 FEUP – DEMEGI


3 2

y

5

4

G OD

CE

F

x

1

A

B

A figura representa esquematicamente um mecanismo de engrenagens

cilíndricas constituído por cinco corpos. O corpo 1 roda em torno do eixo x (w10

conhecido e negativo) e transmite movimento à roda 2 (rolamento puro) que

está solidária da roda 3. A roda 5, que está solidária da caixa exterior, roda em

torno de x (w50 conhecido e positivo) e contacta com rolamento puro com a

roda 3. Determine:

a) A velocidade angular do veio de saída (corpo 4).

b) A velocidade do ponto C do corpo 4 relativamente ao corpo 5.

c) A aceleração absoluta do ponto A do corpo 2 recorrendo à teoria do

movimento relativo e fazendo a decomposição do movimento

=

0

1

1

2

0

2

d) Como classificaria a generalidade dos movimentos do mecanismo?

Esboce as superfícies axoides fixa e móvel no movimento

2

5.


FEUP – DEMEGI 119


γ

B

C

D

(1)

(2)

(3)

(4)

R

W1

W3

r

α

No mecanismo da figura o movimento entra pelo corpo (3) (velocidade

angular conhecida mas não constante) e sai pelo corpo (1). Não há

escorregamento nos pontos B e D. O corpo (4) está fixo. Conhecendo o ângulo

α que a direcção do eixo do corpo 2 faz com a horizontal determine:

a) A velocidade angular do veio de saída (corpo 1).

b) A aceleração absoluta do ponto C do corpo 2 recorrendo, num dos

passos da resolução, à teoria do movimento relativo e fazendo a

decomposição do movimento

=

0

1

1

2

0

2.

c) Caracterize, justificando, o movimento

0

2. Identifique analiticamente

a posição do respectivo eixo instantâneo de rotação determinando o

ângulo que este faz com a horizontal.

d) Justifique detalhadamente a seguinte afirmação:

“O movimento relativo mais geral entre dois corpos pode ser estudado

como o movimento de dois sólidos em contacto permanente”.


120 FEUP – DEMEGI


A figura representa um mecanismo de engrenagens de uma hélice de

avião. O corpo 1 roda em torno do eixo y (ωωωω10 conhecido) e transmite

movimento à roda 2 (sem escorregamento no ponto B). A roda 2 rola em

relação ao corpo 3, sem escorregamento em C e o conjunto translada ao longo

do eixo y com velocidade -sɺ .

Determine:

a) A velocidade angular da hélice (corpo 4).

b) A aceleração angular do corpo 2.

c) A aceleração absoluta do ponto C do corpo 2 recorrendo à teoria do

movimento relativo e fazendo a decomposição do movimento

=

0

1

1

2

0

2.

d) Esboce as superfícies axoides fixa e móvel no movimento

1

2.

Identifique os movimentos que dão origem à geração dessas

superfícies.

z R2

R1

C B

ω10

1

3

2

4

y

z


FEUP – DEMEGI 121

SOLUÇÕES

1) a) ( )0

tgcossen)(sen

)(0

50 θθθβθ

−+

+=b

scbH

ɺv , sendo θφ sen)(sen cbde +=+

b)

0

)()cos(2cos2(

)()sen2sen2sen(

0

))cos(sencossen()(

))cos(sencos()(

2103010

2103010

210

21010

23030

1023030

41

cbcb

acb

cba

cb

cba

cb

F

+−+

−

+−−−

+

+−+

++++

−+

−−+

=

θωθωω

θωθωωθω

θωθωθωθω

θωθωθω

ɺɺ

ɺɺ

a

d)

[ ]

−+=−+=

+−−=−+=

)tgcoscossen()(

)tgsencossen()( Base

cos)(cos

-)tgcossen()( Rolante

23

23

5

5

φθθθφθθθ

θφφθθ

cby

cbx

cbdy

ecbx

2) a)

0

0

)-(sen

30

αϕϕ ɺɺR

D =v sendo

=

=

ϕαϕ

sensen RLRs

tg

b)

0

2 2

2

12 ϕϕϕϕϕɺɺɺɺɺ

ɺɺɺɺɺ

Rss

sRs

A −+++−

=a

d)

0

senycos

cosysen

31 αααααα

ɺɺ

ɺɺ

−+

= y

y

IV sendo )1-(senαϕϕɺ

ɺRy =


122 FEUP – DEMEGI

3) a)

0

0

0

;0

0

1010 == Bvω

θɺ

0

0

0

;0

0

2020 == Avω

βɺ

0

cos

sen

;

cossen

0

0

3030 ββββ

βββ

ɺ

ɺ

ɺAE

AE

bAE

E

−=

−

= vω

( )0

sencoscos

0

;

0

0

022

4040 ββββ −==ɺAE

Fvω

DEADAE

ebRDE

ReAD

ReaAD

+=

−+=

+=

−+=

βθββθβ

βθβ

coscossen)(

cossensen

sencoscos

b)

( )

0

)sencos)(sen(

)cossen)(cos(sencoscos

2

222

4041 ββθθ

ββθθβββθβ

DEbRev

DEbReAE

FF +++−

++−−−

= ɺɺ

ɺɺɺ

a

c)

0

sen

cos

Rolante

0

sen

cos

Base

2

1

S21

S21

ββ

θβθ

θθ

θβθ

ɺɺ

ɺ

ɺɺ

ɺ

−=−

−

−

−=−

a

aa

I

I

A

B


FEUP – DEMEGI 123

d)

( )

0

sencos2

sencos 22

21 βββθβ

ββββ

θ ɺɺɺ

ɺɺ

ɺ

ɺ +−

−

= aIa

4) a)

0

cos

sen

;

sen2)(

0

0

20

2

22220 θ

θ

θ

s

s

sbRbss

A ɺ

ɺ

ɺ

=+−

= vω

0

cos

sen

;

cossen

0

0

2040 ββββ

γββ

ɺ

ɺ

ɺR

R

LR

A

−=

−= vω

sendo βγβθβθ

cossen

0sensen

coscos

Rl

Rs

bRs

==−=+

b)

0

cos

sen

0

)cossen(

)cossen(

)(

0

)cossen(

)cossen(

)( 2241 θ

θββββ

βθββββ

θβ sR

R

R

R

D ɺɺɺɺɺɺɺɺ ++−−

+−−+−

+=a

d)

0

sen)tgsensen(

cos)tgsensen(

Rolante

0

sencos

tgsensen

Base

3

5

S35

S35

βγβγβγβγ

βγγβγ

Rl

Rl

Rl

Rl

+−+

=−

−−+

=−

I

I

C

E


124 FEUP – DEMEGI

5) a)

θ

θ

ɺɺ

ɺɺ

ɺɺ

ɺ

ɺ

ββ

θ

β−−

=−

= 3030 ;0 αω sendo β =arcsen (s/l)

b) = −��

ɺ31

0

sen

0

B l β βv

c)

sβlββlβ

βlθβlββlβ

ββθlβθl

B

ɺɺɺɺɺ

ɺɺɺɺ

ɺɺɺɺ

++−−−−

+−=

sencos

coscossen

sen2cos

2

2230a

6) a)

0

0

1x

2132

21102550110

40

+

+++−

=RRRR

RRRRR

ωωω

ω

b)

353

0

0

45

ωR

C

−=v

c)

110

141211210

0

20

R

RRA

ωωωω

ɺ−+−=a

7) a)

0

sen1

0

21

23010

+=

RR αωω


FEUP – DEMEGI 125

b)

( )( )( )

( )

0

0

cos

sencos

sensen)(cos

sen)(cos

121022030

1102201020220

2013130102020220

131210202201020

20

RR

RRR

RR

RRR

x

xxx

xyxx

yxy

C

ωαωω

ωαωωωαωωωαωαωωαωω

ωαωωαωωω

−+

+−−−

−+−−−+−−−

=ɺɺ

a

c)

+−+=

αααααα

2sencos)cossen(sen

arctg21

2221

RRRR

8) a) 1040

0

2

0

ω−=ω

��

b)

210 1

2

1020

10 1

2

4

2

2

RR

RR

ω

ω

ω

−

−=α

�� ɺ

ɺ

c) ( )( ) 240242201

2101

21040

22241104024

220110

22

2

2

20

RRRR

RRs

RR

x

z

C

ωωαωωωωωωω

αω

++−−−−−−

−−= ɺɺ

ɺ

a

cinematic a

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