centro universitÁrio do cerrado patrocÍnio graduação …

CENTRO UNIVERSITÁRIO DO CERRADO

PATROCÍNIO

Graduação em Engenharia Civil

SAMANTA APARECIDA RODRIGUES

ANÁLISE DE PAINEL DE LAJE MACIÇA: COMPARATIVO DE

MOMENTOS FLETORES ENTRE MODELOS DE

DIMENSIONAMENTO

PATROCÍNIO – MG

2018

SAMANTA APARECIDA RODRIGUES



DIMENSIONAMENTO

Trabalho de conclusão de curso apresentado

como exigência parcial para obtenção do grau

de Bacharelado em Engenharia Civil, pelo

Centro Universitário do Cerrado Patrocínio.

Orientador: Prof. Marco Aurélio Tomaz

PATROCÍNIO - MG

2018

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus por me dar o dom da vida e da sabedoria.

Aos meus amados pais, Marlene e Moacir, por me ajudarem sempre em todos os momentos,

por me incentivarem a sempre buscar o melhor na minha vida e por todo amor, carinho e

cuidado que tiveram comigo sempre.

Ao meu namorado Leonardo, agradeço todo o apoio, cumplicidade, carinho e compreensão.

Ao meu professor e orientador Marco Aurélio agradeço pelo auxilio, conhecimentos

transmitidos, apoio e dedicação para a realização deste trabalho.

Agradeço também a minha colega de sala Jô que por diversos momentos me ajudou ao longo

desta jornada.

RESUMO

O modelo de dimensionamento de painéis de lajes estudado por meio da literatura técnica é

baseado no uso de tabelas. Tais tabelas consideram cada laje de maneira isolada para uma

análise individual, entretanto, essa consideração não representa o comportamento real da

estrutura. Dentre os modelos que melhor representam o funcionamento das lajes, destaca-se o

processo de Analogia de Grelhas, utilizado por programas computacionais de análise estrutural,

como o Eberick. O trabalho tem como propósito a análise comparativa dos resultados de

momentos fletores característicos em lajes isoladas e associadas obtidos a partir do emprego

das tabelas de dimensionamento de lajes com o processo de Analogia de Grelha utilizado com

o auxílio do programa computacional Eberick. Sendo assim foram comparados os valores de

momentos fletores obtidos no dimensionamento de um pavimento tipo, para lajes simplesmente

apoiadas e lajes engastadas onde pode-se observar que as diferenças de resultados de momentos

fletores se deve basicamente as considerações de utilização das tabelas e os métodos

empregados no dimensionamento. Por meio de diferenças percentuais foi possível verificar que

as tabelas que apresentaram valores mais coerentes aos do programa Eberick foram as tabelas

de Tepedino no regime rígido plástico para lajes apoiadas e as tabelas de Marcus para as lajes

engastadas, concluindo-se que em lajes isoladas as principais causas das diferenças de

momentos se deve a considerações de indeslocabilidade dos apoios e em lajes engastadas o

método de dimensionamento.

Palavras-chave: Análise de estruturas. Cálculo estrutural. Dimensionamento de lajes maciças.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Elementos estruturais ........................................................................................... 18

Figura 2. Vão efetivo das lajes ............................................................................................ 19

Figura 3. Condições de apoio .............................................................................................. 21

Figura 4. Tipos de lajes conforme o engastamento nas bordas ............................................. 21

Figura 5. Lajes parcialmente contínuas................................................................................ 22

Figura 6. Momentos antes da compatibilização ................................................................... 25

Figura 7. Momentos depois da compatibilização ................................................................. 26

Figura 8. Linhas de ruptura ................................................................................................. 28

Figura 9. Grelhas ................................................................................................................ 29

Figura 10. Quinhões de carga .............................................................................................. 31

Figura 11. Painel de lajes (medidas em metros) ................................................................... 46

Figura 12. Distribuição da carga de guarda corpo ................................................................ 49

Figura 13. Deslocamento dos apoios das lajes ..................................................................... 51

Figura 14. Tabelas que apresentaram resultados mais próximos ao programa para lajes

apoiadas ............................................................................................................................... 51

Figura 15. Pico de tensão gerado por descontinuidade da grelha na laje 8 ............................ 52

Figura 16. Pico de tensão gerado na grelha da laje 14 .......................................................... 53

Figura 17. Tabelas que apresentaram resultados mais próximos ao programa para lajes

engastadas ............................................................................................................................ 55

Figura 18. Distribuição da carga de guarda corpo ................................................................ 67

LISTA DE TABELA

Tabela 1. Cargas atuantes na laje ......................................................................................... 46

Tabela 2. Classificação das lajes .......................................................................................... 47

Tabela 3. Relação das cargas totais atuantes nas lajes .......................................................... 48

Tabela 4. Médias percentuais das diferenças de momentos fletores em lajes apoiadas para

momentos devido as cargas permanentes (Mg) ..................................................................... 49

Tabela 5. Médias percentuais das diferenças de momentos fletores em lajes apoiadas para

momentos devido às cargas acidentais (Mq) ......................................................................... 50

Tabela 6. Médias percentuais das diferenças de momentos fletores em lajes engastadas para

momentos devido às cargas permanentes (Mg) ..................................................................... 53

Tabela 7. Médias percentuais das diferenças de momentos fletores em lajes engastadas para

momentos devido às cargas acidentais (Mq) ......................................................................... 54

Tabela 8. Diferença de momentos fletores característicos (Mk) devido às cargas permanentes

(Mg) para lajes isoladas ........................................................................................................ 60

Tabela 9. Diferença de momentos fletores característicos (Mk) devido às cargas acidentais

(Mq) para lajes isoladas ........................................................................................................ 61

Tabela 10.Momentos fletores característicos (Mk) devido às cargas permanentes (Mg) para

lajes engastadas .................................................................................................................... 62

Tabela 11. Diferença de momentos fletores característicos (Mk) em lajes engastadas para

momentos devido às cargas permanentes (Mg) ..................................................................... 63

Tabela 12. Momentos fletores característicos (Mk) devido às cargas acidentais (Mq) para lajes

engastadas ............................................................................................................................ 64

Tabela 13.Diferença de momentos fletores característicos (Mk) devido às cargas acidentais

(Mq) obtidos para lajes engastadas........................................................................................ 65

LISTA DE SIGLAS

ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas

ELS Estado limite de serviço

ELU Estado limite de utilização

NBR Norma Brasileira

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 11

1.1 Objetivo geral ............................................................................................................. 12 1.2 Objetivos específicos .................................................................................................. 12

1.3 Justificativa ................................................................................................................ 13 2 REVISÃO DE LITERATURA ....................................................................................... 14

2.1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 15 2.1.1 Objetivo geral ...................................................................................................... 16

2.1.2 Objetivos específicos ............................................................................................ 16 2.2 MATERIAL E MÉTODOS .................................................................................. 16

2.2.1 O engenheiro de estruturas e o computador .......................................................... 16 2.2.2 Projeto estrutural .................................................................................................. 17

2.2.3 Elementos estruturais em concreto armado ........................................................... 18 2.2.3.1 Lajes ................................................................................................................. 19

2.2.3.1.1 Vãos efetivos .................................................................................................. 19 2.2.3.1.2 Classificação da laje quanto à direção da armadura ......................................... 20

2.2.3.1.3 Espessura das lajes ......................................................................................... 20 2.2.3.1.4 Classificação da laje quanto à vinculação ....................................................... 21

2.2.3.1.5 Cargas solicitantes .......................................................................................... 22 2.2.3.1.6 Momentos fletores .......................................................................................... 24 2.2.4 Tipos de análises estruturais ................................................................................. 26

2.2.5 Métodos de dimensionamento .............................................................................. 27 2.2.5.1 Charneiras Plásticas ........................................................................................... 27

2.2.5.2 Analogia de Grelhas .......................................................................................... 29 2.2.5.3 Tabelas de Marcus ............................................................................................. 30

2.3 CONCLUSÕES ..................................................................................................... 31 2.4 REFERÊNCIAS .................................................................................................... 32

2.5 ANEXOS ............................................................................................................... 34 ANEXO A – TABELAS DE MARCUS ........................................................................ 34

ANEXO B – TABELAS DE LIBÂNIO ........................................................................ 39 ANEXO C – TABELAS DE TEPEDINO ..................................................................... 42

3 DESENVOLVIMENTO ................................................................................................. 43

3.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 44

3.1.1 Objetivo geral .......................................................................................................... 45 3.1.2 Objetivos específicos ............................................................................................... 45

3.2 MATERIAL E MÉTODOS ...................................................................................... 45 3.3 RESULTADOS E DISCUSSÃO .............................................................................. 48

3.4. CONCLUSÕES........................................................................................................ 56 3.5. REFERÊNCIAS ...................................................................................................... 58

APÊNDICES................................................................................................................... 60 APÊNDICE A – Tabela de diferença de momentos fletores característicos (Mk) devido às

cargas permanentes (Mg) para lajes isoladas ..................................................................... 60

APÊNDICE B – Tabela de diferença de momentos fletores característicos (Mk) devido às

cargas acidentais (Mq) para lajes isoladas ......................................................................... 61 APÊNDICE C – Tabela de momentos fletores característicos (Mk) devido às cargas

permanentes (Mg) para lajes engastadas ............................................................................ 62 APÊNDICE D – Tabela de diferença de momentos fletores característicos (Mk) devido às

cargas permanentes (Mg) para lajes engastadas ................................................................. 63 APÊNDICE E – Tabela de momentos fletores característicos (Mk) devido às cargas

acidentais (Mq) para lajes engastadas ................................................................................ 64 APÊNDICE F – Tabela de diferença de momentos fletores característicos (Mk) devido às

cargas acidentais (Mq) para lajes engastadas ..................................................................... 65 4 CONCLUSÕES ............................................................................................................... 66

5 REFERÊNCIAS .............................................................................................................. 68

11

1 INTRODUÇÃO

A análise estrutural consiste em uma das principais etapas na elaboração de um projeto

estrutural, pois determina os efeitos das ações em uma estrutura, fundamentando a escolha dos

modelos estruturais a serem utilizados, que devem representar adequadamente e o mais real

possível uma estrutura de concreto armado.

A escolha do modelo estrutural de laje, elemento estrutural responsável por transmitir as ações

que nela chegam para as vigas ou diretamente para os pilares, se deve principalmente aos

seguintes critérios: arquitetura, ações solicitantes, segurança, desempenho e economia.

Para a composição do trabalho, foi adotada a tipologia de laje maciça. As lajes maciças são

constituídas basicamente pela associação do concreto com o aço, que juntos resistem as

solicitações que atuam em uma edificação.

Dessa maneira, a Associação Brasileira de Normas Técnicas NBR 6118:2014 define lajes como

sendo “elementos de superfície plana, sujeita pincipalmente a ações normais a seu plano”.

O dimensionamento de lajes maciças pode ser feito por meio de métodos analíticos onde são

utilizadas tabelas de dimensionamento de lajes, que decompõem o pavimento de laje em

elementos isolados, fazendo assim uma análise individual de cada elemento. E por métodos

mais precisos, onde se destacam o Método dos Elementos Finitos e o da Analogia de Grelhas,

que avaliam o pavimento de laje de forma integrada.

Assim, para o desenvolvimento do trabalho, foi feito um estudo do dimensionamento

de lajes maciças e dos modelos utilizados em seu dimensionamento e feito o cálculo das ações

solicitantes de um pavimento de lajes maciças, de maneira isolada e associada utilizando para

a obtenção dos momentos fletores três tabelas de dimensionamento de lajes usualmente

empregadas na graduação, sendo elas as tabelas de Libânio, de Marcus e de Tepedino e feita

uma análise comparativa dos resultados de momentos fletores obtidos pelo método de Analogia

de Grelha utilizado pelo programa computacional Eberick.

12

1.1 Objetivo geral

O objetivo do trabalho é fazer um estudo do dimensionamento de laje maciça e os

modelos estruturais utilizados no dimensionamento. Sendo que para o desenvolvimento do

trabalho foi estudado o método analítico, onde são utilizadas tabelas de dimensionamento de

lajes como as de Libânio, Marcus e Tepedino no regime rígido-plástico e métodos mais precisos

como o processo de Analogia de Grelhas utilizado pelo programa Eberick.

O intuito é analisar comparativamente os momentos fletores máximos, positivos e negativos,

obtidos pelo uso de tabelas e obtido por meio de programa computacional que utiliza o método

de Analogia de Grelha.

Considerando como valor de referência os resultados obtidos pela Analogia de Grelha, o intuito

do trabalho é enxergar qual das tabelas apresenta melhores resultados.

A análise foi feita em duas etapas, primeiramente foram consideradas todas as lajes como

elementos isolados, ou seja, sem considerar a transferência de momentos fletores entre elas. A

segunda análise considerou-se o engastamento entre as lajes.

1.2 Objetivos específicos

Fazer um estudo da utilização de programas computacionais no cálculo de estruturas;

Fazer um estudo do dimensionamento de lajes;

Fazer um estudo dos modelos estruturais utilizados no dimensionamento de lajes, sendo

adotado para o desenvolvimento do trabalho o método analítico e o método do processo

de Analogia de Grelhas.

Obter as ações solicitantes nas lajes devido as cargas permanentes e acidentais;

Fazer a comparação e análise da cargas atuantes nas lajes no cálculo mediante o uso das

tabelas com o processo da Analogia de Grelhas utilizado no programa Eberick;

Fazer a comparação e análise dos momentos fletores característicos obtidos mediante o

uso das tabelas com os momentos fletores obtidos no processo da Analogia de Grelhas,

13

utilizado no programa Eberick, para o painel de lajes apoiado e posteriormente

engastado.

1.3 Justificativa

Na literatura técnica disponível, conforme Araújo (2014), o dimensionamento de lajes é

realizado por meio de utilização de tabelas, através das quais é possível encontrar os esforços

solicitantes, entretanto, não retratam de maneira sofisticada o comportamento real das lajes pois

as tabelas consideram as lajes de maneira isolada.

Já os programas de cálculo estrutural disponíveis no mercado, utilizam outros modelos de

cálculo e análise estrutural que reproduzem de maneira mais satisfatória o comportamento das

lajes, como por exemplo o método da Analogia de Grelhas ou o Método dos Elementos Finitos.

14

2 REVISÃO DE LITERATURA

ANÁLISE DE PAINEL DE LAJE MACIÇA: ESTUDO DO

DIMENSIONAMENTO E MODELOS ESTRUTURAIS

SAMANTA APARECIDA RODRIGUES1

MARCO AURELIO TOMAZ2

RESUMO




estrutura. Com o avanço da tecnologia, os programas computacionais de cálculo estrutural vêm

se tornando ferramentas fundamentais para a elaboração de projetos estruturais, pois além de

sua rapidez no dimensionamento a precisão dos resultados é outro fator que otimiza o

desenvolvimento de tais projetos. Dentre os modelos que melhor representam o funcionamento

das lajes, destaca-se o processo de Analogia de Grelha, utilizado por programas computacionais

de análise estrutural, como o Eberick. O trabalho tem como propósito o estudo do

dimensionamento de lajes maciças, bem como os modelos utilizados nesse dimensionamento.

Para o desenvolvimento do trabalho, foram estudados os métodos analíticos de

dimensionamento, em que foram adotadas três tabelas de dimensionamento, as tabelas de

Libânio, de Marcus e Tepedino no regime rígido plástico e métodos mais precisos como o da

Analogia de Grelha, utilizada pelo programa computacional Eberick. Conclui-se que os

modelos utilizados por programas computacionais como o processo de Analogia de Grelhas são

mais precisos para a obtenção dos esforços pois representam de maneira mais real o

comportamento do painel de laje, no entanto, os resultados obtidos nos programas devem passar

por uma análise e validação dos engenheiros estruturais.


1 Discente do curso de Engenharia Civil do UNICERP; 2 Professor orientador e docente do Curso de Engenharia Civil do UNICERP: [email protected]

15

2.1 INTRODUÇÃO

A escolha do modelo estrutural de laje, elemento estrutural responsável por transmitir

as ações que nela chegam para as vigas ou diretamente para os pilares, se deve principalmente

aos seguintes critérios: arquitetura, ações solicitantes, segurança, desempenho e economia.

Para a composição do trabalho, foi adotada a tipologia de laje maciça. As lajes maciças

são constituídas basicamente pela associação do concreto com o aço, que juntos resistem as


Dessa maneira, a Associação Brasileira de Normas Técnicas NBR 6118:2014 define

lajes como sendo “elementos de superfície plana, sujeita pincipalmente a ações normais a seu

plano”.

O dimensionamento de lajes maciças pode ser feito por meio de métodos analíticos onde

são utilizadas tabelas de dimensionamento de lajes, que decompõem o pavimento de laje em

elementos isolados, fazendo assim uma análise individual de cada elemento. E por métodos

mais precisos, onde se destacam o Método dos Elementos Finitos e o da Analogia de Grelhas,

que avaliam o pavimento de laje de forma integrada.

Assim, para o desenvolvimento do trabalho, foi feito um estudo do dimensionamento

de lajes maciças e dos modelos utilizados em seu dimensionamento. Apresentando as diferenças

do método analítico em que são utilizadas tabelas de dimensionamento de lajes como as tabelas

de Marcus, Libânio e Tepedino com o método de Analogia de grelhas.

16

2.1.1 Objetivo geral

O objetivo do trabalho é fazer um estudo do dimensionamento de laje maciça e os

modelos estruturais utilizados no dimensionamento. Sendo que para o desenvolvimento do

trabalho foi estudado o método analítico, onde são utilizadas tabelas de dimensionamento de

lajes e o método de Analogia de Grelhas utilizada pelo programa Eberick.

2.1.2 Objetivos específicos

Fazer um estudo da utilização de programas computacionais no cálculo de estruturas;

Fazer um estudo do dimensionamento de lajes;

Fazer um estudo dos modelos estruturais utilizados no dimensionamento de lajes

maciças, sendo adotado para o desenvolvimento do trabalho o método analítico e o

método do processo de Analogia de Grelhas.

2.2 MATERIAL E MÉTODOS

2.2.1 O engenheiro de estruturas e o computador

Com o passar dos anos os cálculos de estruturas, que antes eram feitos manualmente

com o auxílio de réguas de cálculo, passaram a ser realizados com o auxílio de computadores e

calculadoras programáveis que automatizavam alguns cálculos, simplificando e otimizando as

etapas do projeto estrutural. No entanto os cálculos ainda levavam dias para serem processados.

Devido ao grande avanço tecnológico, atualmente, todas as etapas necessárias para o

cálculo de uma estrutura, desde o lançamento de dados até a impressão dos desenhos podem

ser feitos de maneira rápida e muito precisa. “A informática alterou a forma como os conceitos

de engenharia são colocados em prática.” (KIMURA, 2007)

As principais vantagens do uso de computadores pelo engenheiro estrutural podem ser

listadas como segue:

Rapidez e precisão nos cálculos;

17

Análise da estrutura como um todo;

Uso de modelos tridimensionais;

Consideração de estruturas mais complexas;

Maior otimização e elaboração de projetos e;

Apresentação de desenhos, plantas, gráficos, diagramas e memórias de cálculo com

facilidade.

Entretanto, é de responsabilidade do engenheiro de estruturas fazer a validação dos

resultados obtidos por qualquer programa de análise estrutural.

Devido ao alto grau de complexidade e sofisticação das análises disponíveis

nos softwares atuais, muitas vezes, os conceitos de engenharia são

praticamente colocados de lado, e o verdadeiro papel do computador acaba sendo literalmente confundido (KIMURA, 2007).

Longo (2003), apresenta em seu estudo exemplos de erros computacionais gerados

durante o cálculo de uma estrutura e conclui que o computador é uma ferramenta muito valiosa

para o trabalho de um engenheiro estrutural, devido sua rapidez e precisão. Contudo ele alerta

para os erros computacionais que podem acontecer durante a elaboração de um projeto, e que

o engenheiro deve possuir uma boa formação teórica e experiência para evitar tais problemas.

Fica claro, portanto, que a utilização de programas computacionais para a elaboração de

projetos estruturais é indispensável, porém deve ser utilizado com todas as precauções

possíveis, conscientemente e garantindo as preconizações das normas vigentes.

2.2.2 Projeto estrutural

“O cálculo, ou dimensionamento, de uma estrutura deve garantir que ela suporte, de

forma segura, estável e sem deformações excessivas, todas as solicitações a que estará

submetida durante sua execução e utilização” (CARVALHO; FILHO, 2016).

A análise estrutural de uma edificação estabelece os efeitos das ações atuantes na

edificação, ou seja, os esforços atuantes e os deslocamentos produzidos pelas cargas. Essa

análise consiste então em avaliar esses esforços e ações, definindo o modelo estrutural a ser

adotado, de modo a projetar uma estrutura resistente.

18

“A elaboração de um projeto estrutural pode ser subdividida em quatro etapas:

concepção estrutural, análise estrutural, dimensionamento e detalhamento, e emissão das

plantas finais” (KIMURA, 2007).

2.2.3 Elementos estruturais em concreto armado

Em edifícios usuais de concreto armado os elementos estruturais que compõem a

estrutura são as lajes, as vigas e os pilares, que devem ser dimensionados a fim de suportar os

esforços solicitantes.

“De modo geral, as estruturas podem ser concebidas como se fossem formadas por três

famílias de elementos estruturais planos” (FUSCO, 1985 citado por NAPPI, 1993).

Pilares: elementos lineares de eixo reto, dispostos na vertical em que a principal

função desse elemento é suportar os esforços provenientes das cargas permanentes

e transmiti-las para a fundação.

Vigas: tem como principal função suportar esforços provenientes de seu peso

próprio, cargas acidentais, paredes e lajes e transmiti-las aos pilares.

Lajes: elementos de superfície plana que recebem ações verticais, cargas acidentais

e permanentes e as transmite para vigas ou diretamente para os pilares.

“As ações atuantes no edifício em estruturas convencionais têm início nas lajes, que

transmitem os esforços para as vigas. As vigas transmitem os esforços para os pilares e estes

transmitem os esforços para os solos através dos elementos de fundação” (PEREIRA, 2017).

Figura 1. Elementos estruturais

Fonte: Pereira, 2017

19

2.2.3.1 Lajes

Para o desenvolvimento deste trabalho, foi adotada a tipologia de laje maciça, que é

constituída basicamente pela associação do concreto com o aço, que juntos resistem às

solicitações que atuam na edificação.

2.2.3.1.1 Vãos efetivos

No dimensionamento de lajes a primeira etapa consiste em determinar os vãos efetivos

das lajes, conforme prescreve o item 14.7.2.2 da ABNT NBR 6118:2014, que define que o vão

efetivo é dado pela Equação (1):

ef = 0 + a1 + a2 (1)

Em que:

a1 é igual ao menor vão entre t1

2 e 0,30 ∙h;

a2 é igual ao menor vão entre t2

2 e 0,30 ∙h;

0 é o vão livre que é a distância entre as faces dos apoios. E para lajes em balanço é a distância

da extremidade livre até a face o apoio.

Figura 2. Vão efetivo das lajes

Fonte: Adaptado de ABNT NBR 6118:2014

20

O vão efetivo pode ser classificado então como sendo a distância de centro a centro dos

apoios, ou seja de eixo a eixo. No caso de lajes em balanço, o vão efetivo é o comprimento da

extremidade da laje até o centro ou eixo do apoio.

2.2.3.1.2 Classificação da laje quanto à direção da armadura

A partir das dimensões determinadas, as lajes são classificadas quanto à direção das

armaduras como armadas em uma direção ou armada em duas direções, dependendo da relação

entre seu maior e menor vão.

Se λ = ly

lx > 2, a laje é considerada armada em uma direção; (2)

Se λ = ly

lx < 2, a laje é considerada armada em duas direções; (3)

Em que:

ly é o maior vão da laje;

lx é o menor vão da laje.

2.2.3.1.3 Espessura das lajes

A ABNT NBR 6118:2014, item 13.2.4.1 estabelece os limites mínimos para espessuras

de laje, que devem ser respeitados como segue:

7 cm para cobertura não em balanço;

8 cm para lajes de piso não em balanço;

10 cm para lajes em balanço;

10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;

12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;

15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de 42⁄ para lajes de piso

biapoiadas e 50 ⁄ para lajes de piso contínuas;

21

16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo, fora do capitel.

2.2.3.1.4 Classificação da laje quanto à vinculação

Para o cálculo dos esforços solicitantes nas lajes, é preciso definir os vínculos das lajes

com os apoios. Sendo que as lajes podem ter bordas apoiadas, engastadas, ou livres.

Figura 3. Condições de apoio

Fonte: Elaborado pelo autor

Deste modo as lajes podem ser classificadas como mostra a Figura (4).

Figura 4. Tipos de lajes conforme o engastamento nas bordas


Para a determinação das bordas das lajes é necessário verificar dois parâmetros

referentes a continuidade das lajes. No caso das lajes que têm continuidade ao longo de toda a

borda comum, considera-se as lajes com as bordas engastadas. No caso das lajes que não tem

22

continuidade em toda a borda comum, o critério para adotar a vinculação é dado pelas Equações

(4) e (5).

Se X ≥ 2

3∙L, a laje 1 está engastada na laje 2; (4)

Se X < 2

3∙L, a laje 1 está apoiada na laje 2. (5)

Figura 5. Lajes parcialmente contínuas


2.2.3.1.5 Cargas solicitantes

Para determinação dos carregamentos e ações atuantes nas lajes, utiliza-se as normas

ABNT NBR 6118:2014, ABNT NBR 8681:2003 Ações e segurança nas estruturas -

Procedimento e ABNT NBR 6120: 1980 Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. As

cargas são basicamente classificadas em cargas permanentes (g) e cargas acidentais (q).

São consideradas cargas permanentes o peso próprio da estrutura, revestimento,

nivelamento, assentamento, piso e paredes. E para lajes em balanço, conforme item 2.2.1.5 da

ABNT NBR 6120:1980, considera-se uma carga horizontal de 0,80 kN/m e uma carga vertical

mínima de 2 kN/m.

As cargas permanentes provenientes do peso próprio da estrutura, revestimento,

nivelamento, assentamento e piso, são calculadas conforme mostra a Equação (6). O peso

específico de cada material é determinado pela ABNT BNR 6120:1980 e especificamente para

o peso próprio da estrutura pela ABNT NBR 6118:2014.

g = γ∙ e (6)

Em que:

23

= Peso específico dos materiais;

e = Espessura adotada dos materiais.

Para lajes armadas em duas direções a determinação das cargas de paredes é feita

conforme a Equação (7).

gpar

= Ppar

Alaje =

γalv∙ e ∙ h ∙ l

Alaje =

[(γtij ∙ etij) + (γarg ∙ earg)] ∙ h ∙ l

Alaje (7)

Em que:

γalv

= Peso específico da alvenaria;

γtij

= Peso específico do tijolo 13 kN/m³;

γarg

= Peso específico do piso da argamassa 19 kN/m³;

e = Espessura da parede 0,15 m;

etij = Espessura do tijolo 0,12 m;

earg= Espessura da argamassa 0,03 m;

h = Altura da parede;

l = Comprimento da parede;

Alaje = Área da laje.

Para as lajes armadas em uma direção é necessário recorrer a ABNT NBR 6118:1980,

para determinar a influência das cargas de paredes nas lajes, encontrando valores de bw e

24

determinando as áreas de influência e as cargas atuantes, de acordo com a disposição das

paredes na laje.

As cargas acidentais são determinadas de acordo com a ABNT NBR 6120:1980, de

acordo com o tipo de ambiente e utilização da estrutura, estabelecendo valores das cargas em

kN/m².

2.2.3.1.6 Momentos fletores

Conhecidas e determinadas as cargas permanentes e acidentais que atuam nas lajes é

possível calcular o valor do momento fletor característico atuante nas lajes. A determinação do

momento fletor atuante nas lajes é feita em função da laje ser armada em uma ou duas direções,

onde as lajes são discretizadas e calculadas isoladamente.

Para lajes armadas em uma direção, considera-se que as solicitações na direção de menor

vão da laje prevalecem sobre a outra direção, portanto, o momento fletor é calculado

considerando-se a laje como uma suposta viga com largura constante de um metro.

Para lajes armadas em duas direções, o momento fletor é determinado mediante auxilio

de tabelas que variam de acordo com a geometria e vinculação das lajes. Para o trabalho foram

adotadas as tabelas de Libânio, Marcus e Tepedino no regime rígido - plástico.

Com a utilização de tabelas, os momentos fletores característicos encontrados em lajes

contínuas de borda comum são diferentes. Com isso é necessário fazer a compatibilização de

momentos fletores.

Quando houver predominância de cargas permanentes, as lajes vizinhas podem ser consideradas isoladas, realizando-se a compatibilização dos

momentos sobre os apoios de forma aproximada. No caso de análise plástica,

a compatibilização pode ser realizada mediante alteração das razões entre

momentos de borda e vão, em procedimento iterativo, até a obtenção de valores equilibrados nas bordas. (ABNT NBR 6118:2014)

Para a compatibilização dos momentos fletores negativos, utiliza-se a Equação (8) para

determinar um momento comum para a borda de lajes contínuas.

x > {0,80∙x1

x1+x2

2

(8)

Em que:

25

X1 = Maior momento negativo entre as lajes contínuas;

X2 = Menor momento negativo entre as lajes contínuas.

Resultando em um valor comum de momento X12.

Figura 6. Momentos antes da compatibilização


Devido a correção dos momentos fletores negativos, os momentos positivos nas lajes

aumentam ou diminuem. Nas lajes onde o momento fletor negativo é menor, após a

compatibilização há um aumento desse momento negativo e uma diminuição do momento

positivo, não sendo necessário encontrar esse novo valor de momento positivo pois é

considerado como uma margem de segurança a adoção do valor antes da compatibilização.

Nas lajes onde o momento fletor negativo é maior, após a compatibilização, o momento

fletor negativo diminui fazendo com que o momento fletor positivo aumente, sendo necessário

encontrar o novo valor desse momento positivo através da Equação (9).

M+(depois da compatibilização)=M1 + 0,30 ∙ ( X1- X2 ) (9)

Em que:

M1 = Momento fletor positivo antes da compatibilização.

26

Figura 7. Momentos depois da compatibilização


2.2.4 Tipos de análises estruturais

Podem ser empregados qualquer um dos métodos de análise conforme descrito pelo item

14.5.1 da ABNT NBR 6118:2014 “que se diferenciam pelo comportamento admitido para os

materiais constituintes da estrutura, não perdendo de vista em cada caso as limitações

correspondentes”.

Análise linear: Na análise linear admite-se o comportamento linear para os materiais.

Um material com este comportamento, retorna a sua forma inicial após sofrer

deformações devido a ações externas, com posterior alívio desse carregamento.

Conforme item 14.5.2 da ABNT NBR 6118:2014 “Os resultados de uma análise linear

são usualmente empregados para a verificação de estados limites de serviço (ELS)”.

Os estados limites de serviço (ELS) conforme definido pelo item 10.4 da ABNT NBR

6118:2014 “são aqueles relacionados ao conforto do usuário e à durabilidade, aparência e boa

utilização das estruturas, seja em relação aos usuários, seja em relação às máquinas e aos

equipamentos suportados pelas estruturas”.

Análise linear com redistribuição: Neste tipo de análise, os esforços calculados, são

recalculados e redistribuídos na estrutura para combinações de carregamento de

estados limites últimos (ELU), de forma que atenda as condições de equilíbrio da

estrutura.

27

O estado limite último (ELU) “é aquele relacionado ao colapso ou qualquer outra forma

de ruína estrutural que determine a paralização, no todo, ou em parte, do uso da estrutura”.

(CARVALHO; FILHO, 2016)

Análise plástica: Na análise plástica o comportamento do material é considerado

rígido-plástico ou elastoplástico perfeito, que simplificadamente, é quando retirados

os esforços atuantes sobre o material ele não retorna a sua forma original, após sofrer

deformações devido a ações externas. Esse tipo de análise é utilizada para

verificações de estado limite último (ELU).

Análise não linear: Na análise não linear, o comportamento dos materiais são

considerados não lineares e conforme descrito no item 14.5.5 da ABNT NBR

6118:2014 “toda a geometria da estrutura, bem como todas as suas armaduras,

precisam ser conhecidas para que a análise não linear possa ser efetuada, pois a

resposta da estrutura depende de como ela foi armada”. Esse tipo de análise pode ser

utilizada tanto para verificações de estado limite último (ELU) como para estado

limite de serviço (ELS).

Análise através de modelos físicos: Nesse tipo de análise o comportamento

estrutural é determinado a partir de ensaios realizados com modelos físicos de

concreto, onde devem ser obtidos resultados para todos os estados-limites últimos e

de serviço. Esse tipo de análise é apropriado quando os modelos de cálculo são

insuficientes ou estão fora do escopo da ABNT ANBR 6118:2014.

Para o cálculo do painel de laje utilizado neste trabalho utilizou-se tabelas de

dimensionamento de lajes de Libânio e Tepedino no regime rígido-plástico que são baseadas

na análise plástica, a tabela de Marcus baseada na análise elástica e o Programa computacional

Eberick que utiliza o Processo de Analogia de Grelhas, baseado também na análise elástica.

2.2.5 Métodos de dimensionamento

2.2.5.1 Charneiras Plásticas

As tabelas de Libânio (ANEXO B) e Tepedino no regime rígido-plástico (ANEXO C),

utilizadas para o dimensionamento dos painéis de laje baseiam-se na teoria das Charneiras

Plásticas que consiste em um método de cálculo fundamentado no comportamento plástico do

material, admitindo-se que a laje esteja sob ações de carga de ruptura.

28

Em 1890 Bach foi o primeiro a desenvolver métodos de cálculo sobre o comportamento

plástico em lajes, e em 1921, Ingerslev iniciou a teoria das Charneiras Plásticas, que foi

aprimorada e mais desenvolvida por Johansen (PINHEIRO et al., 1988).

O dimensionamento de lajes de concreto armado pela teoria das Charneiras Plásticas

fornece as solicitações a que uma edificação está submetida quando, esta, alcança a fase de

ruína ou estado limite último (ELU) de maneira a garantir a segurança para sua utilização.

Quando as ações atuantes nas lajes continuam aumentando após o limite plástico do

material, são formadas as linhas de ruptura, exemplificadas na Figura (8).

Figura 8. Linhas de ruptura


As configurações das charneiras, ou seja, como as linhas de ruptura ficam dispostas

dependem “da natureza e da distribuição das cargas e, também, da disposição das armaduras,

devem satisfazer às condições de apoio da laje, de maneira a ser geometricamente possível a

formação da superfície poliédrica da laje deformada” (PINHEIRO, 1988).

45° entre dois apoios do mesmo tipo

60° para apoio engastado e apoiado

90° a partir do apoio quando a borda vizinha for livre

Libânio (1988), fez em seu trabalho uma análise entre os métodos plásticos e elásticos

no dimensionamento de lajes retangulares. Por meio dos resultados ele comparou os valores de

momentos fletores e custos obtidos em cada tipo de análise. E concluiu que para lajes comuns

de edifícios o dimensionamento no regime plástico por meio da Teoria das Charneiras Plásticas

apresentou valores mais adequados e viáveis economicamente.

29

2.2.5.2 Analogia de Grelhas

O programa computacional Eberick utilizado para o cálculo dos momentos fletores

característicos e as tabelas de Marcus (ANEXO A), tem como base as teorias elásticas como a

analogia de grelha, admitindo o comportamento elástico do material e que este esteja sobre o

ELS.

O comportamento elástico do material ou deformação elástica é quando retirados os

esforços atuantes sobre o material ele retorna a sua forma original.

“O processo de analogia de grelhas consiste na substituição das lajes por uma série de

vigas equivalentes, formando uma malha ou grelhas equivalentes, que passam a representar os

elementos estruturais”. (SILVA, FILHO, CARVALHO, 2003).

Figura 9. Grelhas


A ideia de substituição da laje por uma grelha equivalente, composta por barras ortogonais

paralelas aos lados, foi desenvolvida inicialmente por Marcus e sistematizada por Hambly

(CARVALHO et al., 1994).

Com o cálculo integrado, a contribuição de cada elemento que compõe o pavimento fica

corretamente caracterizada e, dessa forma, os esforços e os deslocamentos determinados

tendem a ser mais precisos e mais próximos dos valores reais.

O processo da Analogia de grelhas consiste em discretizar a laje em faixas, concentrando

a rigidez longitudinal nas vigas longitudinais e a rigidez transversal nas vigas transversais. A

rigidez a flexão e a torção devem ser semelhantes entre a laje e a grelha para obtenção dos

30

esforços e deslocamentos iguais para o mesmo carregamento (MEDRANO; FIGUEIREDO

FILHO; CARVALHO, et al., 2005).

As faixas dependerão das dimensões e geometria do pavimento. As cargas atuantes nas

lajes podem ser representadas entre as faixas da grelha caso sejam cargas distribuídas, ou se

concentram diretamente nos nós caso sejam cargas concentradas.

Conforme citado por Carvalho (1994), algumas recomendações devem ser tomadas para

o emprego desse método, sendo elas:

O espaçamento entre os elementos da grelha equivalente não deve ser superior a ¼ do

vão;

No caso de se desejar estudar os efeitos localizados deve-se considerar um espaçamento

menor da malha na região em questão;

As vigas ou regiões rígidas tem que ser consideradas como elementos;

Em bordas livres os elementos devem ser considerados passando a 0,30h deste, sendo h

a espessura do elemento;

Para placas pouco esconsas os elementos da grelha podem ser considerados ortogonais.

Barboza (1992), em seu trabalho fez uma análise comparativa de lajes isoladas e

associadas calculadas por meio do método da Analogia de Grelhas e o cálculo manual. Por meio

da comparação de momentos fletores e deslocamentos gerados em cada método concluiu que o

processo de Analogia de Grelhas apresentou resultados mais condizentes com o comportamento

da estrutura e que a consideração da rigidez dos elementos provocaram mudanças significativas

no resultados, sendo necessário sempre a consideração da influência dessa rigidez para o cálculo

dos esforços.

2.2.5.3 Tabelas de Marcus

As tabelas de Marcus (ANEXO A), são baseadas na teoria da elasticidade e também nos

quinhões de carga que consistem na distribuição das parcelas ou quinhões de carga que atuarão

na direção lx e ly conforme mostra a Figura (10).

31

Figura 10. Quinhões de carga


2.3 CONCLUSÕES

No estudo de lajes por meio da literatura técnica disponível o dimensionamento é

realizado por meio de tabelas que consideram as lajes de forma isolada com condições de apoio

simples, engastados ou livres. Entretanto os programas computacionais de cálculo estrutural

utilizados no mercado de trabalho utilizam métodos mais sofisticados que representam de forma

mais adequada o comportamento da estrutura como o Programa Eberick que utiliza a Analogia

de Grelhas.

A utilização de programas computacionais no cálculo das estruturas otimiza o trabalho

dos engenheiros estruturais, os modelos utilizados pelos programas como o processo de

Analogia de Grelhas, utilizada pelo programa Eberick são mais precisos pois consideram o

pavimento de laje associado. No entanto devem ser utilizados de forma consciente e levando-

se em consideração que a validação dos dados, estudos dos relatórios e resultados obtidos no

programa é indispensável.

Conclui-se que o estudo dos modelos utilizados para o dimensionamento de lajes se faz

importante para que o painel possa ser dimensionado da melhor forma possível, fundamentado

de maneira que melhor represente o comportamento da estrutura.

32

2.4 REFERÊNCIAS

ARAUJO, J. M. Projeto Estrutural de Edifícios de Concreto Armado.3 ed. Rio Grande,

Editora DUNAS, 2014.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2014 - Projetos de

Estruturas de Concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2014.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:1980 - Projeto e

execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro, 1980.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6120:1980 – Cargas para

o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro, 1980.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8681:2003 – Ações e

segurança nas estruturas - Procedimento. Rio de Janeiro, 2003.

BARBOZA, A.S.R. Contribuição a análise estrutural de sistemas lajes-vigas de concreto

armado mediante analogia de grelha. São Carlos, 1992.

CARVALHO, R. C. Análise não – linear de pavimentos de edifícios de concreto através

da analogia de grelha. São Carlos, 1994.

CARVALHO R. C.; FILHO J. R. F. Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de

Concreto Armado. 4 ed. São Carlos: Edufscar, 2016.

CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. de; SILVA, M. A.F. da. A utilização da

analogia de grelha para análise de pavimentos de edifícios em concreto armado. In: 45o

Congresso Brasileiro do Concreto, Vitória, 2003.

GONTIJO, G. B. Cálculo e análise dos momentos fletores em lajes de concreto armado.

Belo Horizonte, 2015.

KIMURA, A. Informática aplicada em estruturas de concreto armado. 1 ed São Paulo.

Pini, 2007.

LONGO, H. I. O Engenheiro de Estruturas diante do Computador. V Simpósio Epusp

sobre estruturas de concreto armado, São Paulo, 2003.

MEDRANO, M. L. O.; FIGUEIREDO FILHO, J. R.; CARVALHO, R. C. Estudo de

Pavimentos de Lajes Formados por Vigotas Pré-Moldadas: Influência de Nervuras

Transversais. 1° Encontro Nacional de pesquisa-projeto-produção em concreto pré-moldado,

São Carlos, 2005.

NAPPI, S.C.B. Análise comparativa entre lajes maciças, com vigotes pré-moldados e

nervuradas. Florianópolis, 1993.

33

PEREIRA, A. C. Análise comparativa entre resultados obtidos por meio de cálculo

estrutural manual e com auxílio do programa computacional Eberick. Patrocínio, 2017.

PINHEIRO, L. M. Análise elástica e plástica de lajes retangulares de edifícios. São Carlos,

1988.

RICHARTZ, F. S. Projeto de painel de laje em concreto armado com procedimentos

clássicos e computacionais. Florianópolis, 2014.

34

2.5 ANEXOS

ANEXO A – TABELAS DE MARCUS

Mx=q×lx²

mx My=

q×lx²

my q

x= kx×q

ly/lx kx mx my ly/lx kx mx my ly/lx kx mx my

0,50 0,06 169,18 42,29 1,00 0,500 27,43 27,43 1,50 0,835 13,87 31,21

0,51 0,06 158,42 41,20 1,01 0,510 26,89 27,43 1,51 0,839 13,75 31,36

0,52 0,07 148,64 40,19 1,02 0,520 26,37 27,43 1,52 0,842 13,64 31,52

0,53 0,07 139,70 39,24 1,03 0,529 25,87 27,44 1,53 0,846 13,53 31,68

0,54 0,08 131,55 38,36 1,04 0,539 25,38 27,45 1,54 0,849 13,43 31,85

0,55 0,08 124,10 37,53 1,05 0,549 24,91 27,47 1,55 0,852 13,32 32,01

0,56 0,09 117,25 36,77 1,06 0,558 24,46 27,48 1,56 0,855 13,22 32,18

0,57 0,10 110,96 36,05 1,07 0,567 24,02 27,50 1,57 0,859 13,13 32,36

0,58 0,10 105,19 35,38 1,08 0,576 23,60 27,52 1,58 0,862 13,03 32,53

0,59 0,11 99,86 34,76 1,09 0,585 23,19 27,55 1,59 0,865 12,94 32,71

0,60 0,12 94,94 34,18 1,10 0,594 22,79 27,57 1,60 0,868 12,85 32,80

0,61 0,122 90,40 33,64 1,11 0,603 22,41 27,61 1,61 0,870 12,76 33,08 0,62 0,129 86,20 33,13 1,12 0,611 22,03 27,64 1,62 0,873 12,68 33,27

0,63 0,136 82,30 32,66 1,13 0,620 21,67 27,67 1,63 0,876 12,59 33,46

0,64 0,144 78,68 32,23 1,14 0,628 21,32 27,71 1,64 0,878 12,51 33,65

0,65 0,151 75,32 31,82 1,15 0,636 20,99 27,76 1,65 0,881 12,43 33,85

0,66 0,159 72,19 31,44 1,16 0,644 20,66 27,80 1,66 0,884 12,35 34,04

0,67 0,168 69,27 31,09 1,17 0,652 20,34 27,85 1,67 0,886 12,28 34,24

0,68 0,176 66,54 30,99 1,18 0,660 20,04 27,90 1,68 0,888 12,21 34,45

0,69 0,185 63,99 30,46 1,19 0,667 19,74 27,95 1,69 0,891 12,13 34,65

0,70 0,194 61,60 30,18 1,20 0,675 19,45 28,01 1,70 0,893 12,06 34,87

0,71 0,203 59,37 29,93 1,21 0,682 19,17 28,07 1,71 0,895 12,00 35,08

0,72 0,212 57,27 29,69 1,22 0,689 18,90 28,13 1,72 0,897 11,93 35,29

0,73 0,221 55,29 29,47 1,23 0,696 18,64 28,20 1,73 0,899 11,86 35,51

0,74 0,231 53,44 29,26 1,24 0,703 18,39 28,27 1,74 0,902 11,80 35,73 0,75 0,240 51,69 29,07 1,25 0,709 18,14 28,34 1,75 0,904 11,74 35,95

0,76 0,250 50,04 28,90 1,26 0,716 17,90 28,42 1,76 0,906 11,68 36,17

0,77 0,260 48,48 28,74 1,27 0,722 17,67 28,50 1,77 0,907 11,62 36,40

0,78 0,270 47,01 28,60 1,28 0,729 17,44 28,58 1,78 0,909 11,56 36,63

0,79 0,280 45,61 28,46 1,29 0,735 17,23 28,67 1,79 0,911 11,51 36,86

0,80 0,290 44,29 28,34 1,30 0,741 17,01 28,76 1,80 0,913 11,45 37,10

0,81 0,301 43,03 28,23 1,31 0,746 16,81 28,85 1,81 0,915 11,40 37,33

0,82 0,311 41,84 28,13 1,32 0,752 16,61 28,94 1,82 0,916 11,34 37,58

0,83 0,322 40,70 28,04 1,33 0,758 16,42 29,04 1,83 0,918 11,29 37,82

0,84 0,332 39,62 27,96 1,34 0,763 16,23 29,14 1,84 0,920 11,24 38,06

0,85 0,343 38,59 27,88 1,35 0,769 16,05 29,25 1,85 0,921 11,19 38,31

0,86 0,354 37,61 27,81 1,36 0,774 15,87 29,36 1,86 0,923 11,15 38,56 0,87 0,364 36,67 27,75 1,37 0,779 15,70 29,47 1,87 0,924 11,10 38,81

0,88 0,375 35,77 27,70 1,38 0,784 15,53 29,58 1,88 0,926 11,05 39,07

0,89 0,385 34,91 27,65 1,39 0,789 15,37 29,70 1,89 0,927 11,01 39,32

0,90 0,396 34,09 27,61 1,40 0,793 15,21 29,82 1,90 0,929 10,96 39,58

0,91 0,407 33,30 27,57 1,41 0,798 15,06 29,95 1,91 0,930 10,92 39,84

0,92 0,417 32,54 27,54 1,42 0,803 14,91 30,07 1,92 0,931 10,88 40,10

0,93 0,428 31,81 27,51 1,43 0,807 14,77 30,20 1,93 0,933 10,84 40,37

0,94 0,438 31,11 27,49 1,44 0,811 14,63 30,34 1,94 0,934 10,80 40,63

35

0,95 0,449 30,44 27,47 1,45 0,815 14,49 30,47 1,95 0,935 10,76 40,91

0,96 0,459 29,79 27,45 1,46 0,820 14,36 30,61 1,96 0,936 10,72 41,18

0,97 0,469 29,17 27,44 1,47 0,824 14,23 30,76 1,97 0,938 10,68 41,45

0,98 0,480 28,57 27,43 1,48 0,827 14,11 30,90 1,98 0,939 10,64 41,73

0,99 0,490 27,99 27,43 1,49 0,831 13,99 31,05 1,99 0,940 10,60 42,01

1,00 0,500 27,43 27,43 1,50 0,835 13,87 31,21 2,00 0,941 10,57 42,29

36

Mx =q×lx²

mx My =

q×lx²

my Xx =

-q × lx²

nx q

x= kx×q

ly/lx kx mx nx my ly/lx kx mx nx my

0,50 0,135 140,93 59,20 45,13 1,00 0,714 29,93 11,20 36,74

0,51 0,145 132,95 55,31 44,11 1,02 0,730 29,02 10,96 37,19

0,52 0,154 125,68 51,77 43,22 1,04 0,745 28,18 10,73 37,68 0,53 0,165 119,03 48,56 42,38 1,06 0,759 27,41 10,53 38,19

0,54 0,175 112,94 45,64 41,60 1,08 0,773 26,69 10,35 38,74

0,55 0,186 107,35 42,97 40,88 1,10 0,785 26,02 10,18 39,31

0,56 0,197 102,20 40,54 40,21 1,12 0,797 25,40 10,03 39,92

0,57 0,209 97,46 38,32 39,60 1,14 0,808 24,83 9,89 40,55

0,58 0,220 93,08 36,28 39,03 1,16 0,819 24,29 9,77 41,21

0,59 0,232 89,03 34,41 38,51 1,18 0,829 23,79 9,65 41,90

0,60 0,245 85,28 32,69 38,04 1,20 0,838 23,33 9,45 42,62

0,61 0,257 81,79 31,11 37,60 1,22 0,847 22,89 9,44 43,36

0,62 0,270 78,55 29,66 37,20 1,24 0,855 22,49 9,35 44,13

0,63 0,282 75,53 28,31 36,83 1,26 0,863 22,11 9,27 44,93

0,64 0,295 72,71 27,07 36,49 1,28 0,870 21,75 9,19 45,75

0,65 0,308 70,07 25,93 36,19 1,30 0,877 21,42 9,12 46,59 0,66 0,322 67,60 24,86 35,92 1,32 0,884 21,11 9,05 47,46

0,67 0,335 65,28 23,88 35,67 1,34 0,889 20,82 8,99 48,34

0,68 0,348 63,10 22,97 35,44 1,36 0,895 20,54 8,93 49,26

0,69 0,362 61,05 22,12 35,25 1,38 0,901 20,28 8,88 50,20

0,70 0,375 59,12 21,33 35,07 1,40 0,906 20,04 8,83 51,15

0,71 0,388 57,30 20,59 34,92 1,42 0,910 19,81 8,79 52,14

0,72 0,402 55,58 19,91 34,78 1,44 0,915 19,59 8,74 53,14

0,73 0,415 53,95 19,27 34,67 1,46 0,919 19,39 8,70 54,16

0,74 0,428 52,41 18,67 34,57 1,48 0,923 19,20 8,67 55,21

0,75 0,442 50,94 18,11 34,50 1,50 0,927 19,01 8,63 56,28

0,76 0,455 49,56 17,59 34,44 1,52 0,930 18,84 8,60 57,36

0,77 0,468 48,24 17,10 34,39 1,54 0,934 18,68 8,57 58,47 0,78 0,481 46,98 16,64 34,36 1,56 0,937 18,52 8,54 59,60

0,79 0,493 45,79 16,21 34,35 1,58 0,940 18,37 8,51 60,74

0,80 0,506 44,65 15,81 34,35 1,60 0,942 18,23 8,49 61,91

0,81 0,518 43,56 15,43 34,36 1,62 0,945 18,10 8,46 63,11

0,82 0,531 42,53 15,08 34,39 1,64 0,948 17,97 8,44 64,31

0,83 0,543 41,54 14,74 34,42 1,66 0,950 17,85 8,42 65,53

0,84 0,554 40,60 14,43 34,48 1,68 0,952 17,74 8,40 66,78

0,85 0,566 39,69 14,13 34,54 1,70 0,954 17,63 8,38 68,04

0,86 0,578 38,83 13,85 34,62 1,72 0,956 17,52 8,36 69,33

0,87 0,589 38,01 13,59 34,70 1,74 0,958 17,42 8,35 70,63

0,88 0,600 97,22 13,34 34,80 1,76 0,960 17,33 8,33 71,96

0,89 0,611 96,46 13,10 34,91 1,78 0,962 17,25 8,32 73,30 0,90 0,621 95,73 12,88 35,03 1,80 0,963 17,15 8,30 74,65

0,91 0,632 35,04 12,67 35,16 1,82 0,965 17,07 8,29 76,03

0,92 0,642 34,37 12,47 35,29 1,84 0,966 16,99 8,28 77,42

0,93 0,652 33,73 12,28 35,44 1,86 0,968 16,91 8,27 78,85

0,94 0,661 33,12 12,10 35,60 1,88 0,969 16,84 8,26 80,27

0,95 0,671 32,53 11,93 35,77 1,90 0,970 16,77 8,24 81,73

0,96 0,680 31,97 11,77 35,95 1,92 0,971 16,70 8,23 83,18

0,97 0,689 31,43 11,61 36,13 1,94 0,972 16,64 8,23 84,67

0,98 0,697 30,91 11,47 36,33 1,96 0,974 16,57 8,22 86,19

0,99 0,706 30,41 11,33 36,53 1,98 0,975 16,51 8,21 87,70

1,00 0,714 29,93 11,20 36,74 2,00 0,976 16,46 8,20 89,22

37

Mx =q×lx²

mx My =

q×lx²

my Xx =

-q × lx²

nx Xy =

-q × lx²

ny q

x= kx×q

ly/lx kx mx nx my ny ly/lx kx mx nx my ny

1,00 0,500 37,14 16,00 37,14 16,00 1,50 0,835 20,61 9,58 46,38 21,55

1,01 0,510 36,42 15,69 37,15 16,00 1,51 0,839 20,49 9,54 46,71 21,75 1,02 0,520 35,72 15,39 37,16 16,01 1,52 0,842 20,36 9,50 47,05 21,94

1,03 0,529 35,05 15,11 37,19 16,03 1,53 0,846 20,24 9,46 47,38 22,14

1,04 0,539 34,42 14,84 37,22 16,05 1,54 0,849 20,12 9,42 47,73 22,34

1,05 0,549 33,81 14,58 37,27 16,08 1,55 0,852 20,01 9,39 48,07 22,55

1,06 0,558 33,21 14,34 27,32 16,11 1,56 0,855 19,90 9,35 48,43 22,76

1,07 0,567 32,65 14,10 37,38 16,15 1,57 0,859 19,79 9,32 48,78 22,96

1,08 0,576 32,11 13,88 37,45 16,19 1,58 0,862 19,69 9,28 49,14 23,17

1,09 0,585 31,59 13,67 37,53 16,24 1,59 0,865 19,58 9,25 49,51 23,09

1,10 0,594 31,09 13,46 37,61 16,29 1,60 0,868 19,48 9,22 49,88 23,60

1,11 0,603 30,61 13,27 37,71 16,35 1,61 0,870 19,39 9,19 50,25 23,82

1,12 0,611 30,14 13,08 37,81 16,41 1,62 0,873 19,29 9,16 52,63 24,04

1,13 0,620 29,70 12,91 37,92 16,48 1,63 0,876 19,20 9,13 51,01 24,26

1,14 0,628 29,27 12,74 38,04 16,55 1,64 0,878 19,11 9,11 51,40 24,49 1,15 0,636 28,85 12,57 38,16 16,63 1,65 0,881 19,02 9,08 51,79 24,72

1,16 0,644 28,46 12,42 38,29 16,71 1,66 0,884 18,94 9,05 52,19 24,95

1,17 0,652 28,08 12,27 38,43 16,79 1,67 0,886 18,86 9,03 52,58 25,18

1,18 0,660 27,71 12,13 38,58 16,88 1,68 0,888 18,77 9,00 52,99 25,41

1,19 0,667 27,35 11,99 38,73 16,98 1,69 0,891 18,70 8,98 53,39 25,65

1,20 0,674 27,00 11,85 38,89 17,07 1,70 0,893 18,62 8,96 53,81 25,89

1,21 0,682 26,68 11,73 39,06 17,18 1,71 0,895 18,54 8,93 54,22 26,13

1,22 0,690 26,36 11,61 39,23 17,28 1,72 0,897 18,47 8,91 54,64 26,37

1,23 0,696 26,05 11,49 39,41 17,39 1,73 0,899 18,40 8,89 55,07 26,61

1,24 0,703 25,75 11,38 39,59 17,50 1,74 0,902 18,33 8,87 55,49 26,86

1,25 0,709 25,46 11,28 39,78 17,62 1,75 0,904 18,26 8,85 55,92 27,11

1,26 0,716 25,18 11,17 39,98 17,74 1,76 0,906 18,18 8,83 56,36 27,36 1,27 0,722 24,92 11,07 40,19 17,86 1,77 0,907 18,13 8,81 56,80 27,61

1,28 0,729 24,66 10,98 40,40 17,99 1,78 0,909 18,07 8,80 57,24 27,87

1,29 0,735 24,40 10,89 40,61 18,12 1,79 0,911 18,00 8,78 57,68 28,13

1,30 0,741 24,16 10,80 40,83 18,25 1,80 0,913 17,94 8,76 58,14 28,39

1,31 0,746 23,93 10,72 41,06 18,39 1,81 0,915 17,88 8,74 58,59 28,65

1,32 0,752 23,70 10,63 41,29 18,53 1,82 0,916 17,83 8,73 59,05 28,91

1,33 0,758 23,48 10,56 41,53 18,67 1,83 0,918 17,77 8,71 59,51 29,18

1,34 0,763 23,26 10,48 41,77 18,82 1,84 0,920 17,72 8,70 59,97 29,44

1,35 0,769 23,06 10,41 42,02 18,97 1,85 0,921 17,66 8,68 60,44 29,72

1,36 0,774 22,86 10,34 42,28 19,12 1,86 0,923 17,61 8,67 60,92 29,99

1,37 0,779 22,66 10,27 42,54 19,28 1,87 0,924 17,56 8,65 61,39 30,26

1,38 0,784 22,48 10,21 42,80 19,43 1,88 0,926 17,51 8,64 61,88 30,54

1,39 0,789 22,29 10,14 43,07 19,60 1,89 0,927 17,46 8,63 62,36 30,81 1,40 0,793 22,12 10,08 43,35 19,76 1,90 0,929 17,41 8,61 62,85 31,09

1,41 0,798 21,95 10,02 43,63 19,93 1,91 0,930 17,36 8,60 63,34 31,38

1,42 0,803 21,78 9,97 43,92 20,10 1,92 0,931 17,32 8,59 63,83 31,66

1,43 0,807 21,62 9,91 44,21 20,27 1,93 0,933 17,27 8,58 64,33 31,94

1,44 0,811 21,46 9,86 44,50 20,45 1,94 0,934 17,23 8,56 64,83 32,23

1,45 0,815 21,31 9,81 44,80 20,62 1,95 0,935 17,18 8,55 65,34 32,52

1,46 0,820 21,16 9,76 45,11 20,80 1,96 0,936 17,14 8,54 65,84 32,81

1,47 0,824 21,02 9,71 45,42 20,99 1,97 0,938 17,10 8,53 66,36 33,10

1,48 0,827 20,88 9,67 45,74 21,17 1,98 0,939 17,06 8,52 66,88 33,40

1,49 0,831 20,75 9,62 46,06 21,36 1,99 0,940 17,02 8,51 67,39 33,70

1,50 0,835 20,61 9,38 46,38 21,55 2,00 0,941 16,93 8,50 67,92 34,00

38

Mx =q×lx²

mx My =

q×lx²

my Xx =

-q × lx²

nx Xy =

-q × lx²

ny q

x= kx×q

ly/lx kx mx nx my ny ly/lx kx mx nx my ny

0,50 0,111 246,52 108,00 71,43 36,00 1,00 0,667 44,18 18,00 50,56 24,00

0,51 0,119 230,76 100,70 69,53 34,92 1,02 0,684 42,92 17,54 51,14 24,33

0,52 0,127 216,51 95,07 67,77 33,91 1,04 0,700 41,77 17,13 51,76 24,70 0,53 0,136 203,52 88,05 66,13 32,97 1,06 0,716 40,71 16,75 52,44 25,10

0,54 0,145 191,66 82,56 64,60 32,10 1,08 0,731 39,74 16,41 53,18 25,52

0,55 0,155 180,83 77,57 63,18 31,29 1,10 0,745 38,84 16,10 53,95 25,97

0,56 0,164 170,91 73,01 61,86 30,53 1,12 0,759 38,01 15,81 54,78 26,45

0,57 0,174 161,79 68,84 60,63 29,82 1,14 0,772 37,25 15,55 55,64 26,95

0,58 0,184 153,42 65,02 59,49 29,16 1,16 0,784 36,54 15,31 56,55 27,47

0,59 0,195 145,72 61,52 58,42 28,55 1,18 0,795 35,88 15,09 57,50 28,02

0,60 0,206 138,61 58,30 57,43 27,98 1,20 0,806 35,27 14,89 58,50 28,59

0,61 0,217 132,05 55,34 56,52 27,45 1,22 0,816 34,70 14,71 59,53 29,19

0,62 0,228 125,98 52,61 55,67 26,96 1,24 0,825 34,17 14,54 60,60 29,80

0,63 0,239 120,36 50,09 54,88 26,51 1,26 0,834 33,68 14,38 61,71 30,44

0,64 0,251 115,15 47,76 54,15 26,08 1,28 0,843 33,22 14,23 62,85 31,10

0,65 0,263 110,30 45,61 53,48 25,69 1,30 0,851 32,79 14,10 64,03 31,77 0,66 0,275 105,81 43,62 52,85 25,33 1,32 0,859 32,38 13,98 65,25 32,47

0,67 0,287 101,61 41,77 52,28 25,00 1,34 0,866 32,01 13,86 66,50 33,18

0,68 0,299 97,70 40,06 51,76 24,70 1,36 0,872 31,65 13,75 66,78 33,92

0,69 0,312 94,06 38,47 51,28 24,42 1,38 0,879 31,02 13,65 69,10 34,67

0,70 0,324 90,65 36,99 50,84 24,17 1,40 0,885 31,01 13,56 70,45 35,44

0,71 0,337 87,46 35,61 50,45 23,93 1,42 0,890 30,72 13,47 71,83 36,23

0,72 0,349 84,48 34,33 50,09 23,73 1,44 0,896 30,44 13,39 73,24 37,03

0,73 0,362 81,68 33,13 49,77 23,54 1,46 0,901 30,18 13,32 74,69 37,86

0,74 0,375 82,05 32,48 49,05 23,37 1,48 0,906 29,94 13,25 76,17 38,70

0,75 0,387 76,58 30,96 49,23 23,22 1,50 0,910 29,71 13,18 77,67 39,55

0,76 0,400 74,26 29,98 49,00 23,09 1,52 0,914 29,49 13,12 79,20 40,43

0,77 0,413 72,08 29,07 48,81 22,98 1,54 0,918 29,28 13,07 80,77 41,32 0,78 0,425 70,02 28,21 48,65 22,88 1,56 0,922 29,09 13,01 82,36 12,22

0,79 0,438 68,08 27,40 48,51 22,80 1,58 0,926 28,90 12,96 83,98 43,14

0,80 0,450 66,24 26,65 48,40 22,74 1,60 0,929 28,73 12,91 85,64 44,08

0,81 0,463 64,51 25,94 48,32 22,69 1,62 0,932 28,56 12,87 87,31 45,03

0,82 0,475 62,88 25,27 48,26 22,65 1,64 0,935 28,40 12,83 89,02 46,00

0,83 0,487 61,33 24,64 48,22 22,63 1,66 0,938 28,25 12,79 90,77 46,99

0,84 0,499 59,86 24,05 48,21 22,63 1,68 0,941 28,11 12,75 92,52 47,98

0,85 0,511 58,47 23,49 48,22 22,63 1,70 0,943 27,97 12,72 94,32 49,00

0,86 0,522 57,15 22,97 48,25 22,65 1,72 0,946 27,84 12,68 96,13 50,03

0,87 0,543 55,90 22,47 48,30 22,68 1,74 0,948 27,72 12,65 97,98 51,08

0,88 0,545 54,71 22,00 48,37 22,72 1,76 0,950 27,60 12,62 99,86 52,14

0,89 0,558 53,58 21,56 48,46 22,77 1,78 0,952 27,49 12,60 101,75 53,21 0,90 0,567 52,51 21,14 48,57 22,84 1,80 0,954 27,38 12,57 103,68 54,30

0,91 0,578 51,49 20,75 48,69 22,91 1,82 0,956 27,28 12,55 105,63 55,41

0,92 0,589 50,51 20,37 48,83 22,99 1,84 0,958 27,18 12,52 107,62 56,63

0,93 0,599 49,59 20,02 48,99 23,09 1,86 0,960 27,09 12,50 109,63 57,67

0,94 0,610 48,70 19,68 49,17 23,19 1,88 0,961 27,00 12,48 111,65 58,81

0,95 0,620 47,86 19,37 49,06 13,30 1,90 0,963 26,91 12,46 110,71 59,97

0,96 0,629 47,06 19,06 49,57 23,42 1,92 0,964 26,83 12,44 115,79 61,15

0,97 0,639 46,29 18,78 49,80 23,56 1,94 0,966 26,75 12,42 117,89 62,33

0,98 0,648 45,55 18,50 50,04 23,70 1,96 0,967 26,68 12,41 120,04 63,55

0,99 0,658 44,85 18,25 50,29 23,84 1,98 0,968 26,61 12,39 122,19 64,76

1,00 0,667 44,18 18,00 50,56 24,00 2,00 0,970 26,54 12,37 124,35 65,98

39

ANEXO B – TABELAS DE LIBÂNIO

Tabela 2.3a

Momentos fletores em lajes com carga uniforme

Tipo

Tipo

λ= ly

lx

μ

x μ

y μ

x μ

y μ'

y μ

x μ'

x μ

y

λ= ly

lx

1,00 4,23 4,23 2,91 3,54 8,40 3,54 8,40 2,91 1,00

1,05 4,62 4,25 3,26 3,64 8,79 3,77 8,79 2,84 1,05

1,10 5,00 4,27 3,61 3,74 9,18 3,99 9,17 2,76 1,10

1,15 5,38 4,25 3,98 3,80 9,53 4,19 9,49 2,68 1,15

1,20 5,75 4,22 4,35 3,86 9,88 4,38 9,80 2,59 1,20

1,25 6,10 4,17 4,72 3,89 10,16 4,55 10,06 2,51 1,25

1,30 6,44 4,12 5,09 3,92 10,41 4,71 10,32 2,42 1,30

1,35 6,77 4,06 5,44 3,93 10,64 4,86 10,54 2,34 1,35

1,40 7,10 4,00 5,79 3,94 10,86 5,00 10,75 2,25 1,40

1,45 7,41 3,95 6,12 3,91 11,05 5,12 10,92 2,19 1,45

1,50 7,72 3,89 6,45 3,88 11,23 5,24 11,09 2,12 1,50

1,55 7,99 3,82 6,76 3,85 11,39 5,34 11,23 2,04 1,55

1,60 8,26 3,74 7,07 3,81 11,55 5,44 11,36 1,95 1,60

1,65 8,50 3,66 7,28 3,78 11,67 5,53 11,48 1,87 1,65

1,70 8,74 3,58 7,49 3,74 11,79 5,61 11,60 1,79 1,70

1,75 8,95 3,53 7,53 3,69 11,88 5,68 11,72 1,74 1,75

1,80 9,16 3,47 7,56 3,63 11,96 5,75 11,84 1,68 1,80

1,85 9,35 3,38 8,10 3,58 12,05 5,81 11,94 1,67 1,85

1,90 9,54 3,29 8,63 3,53 12,14 5,86 12,03 1,59 1,90

1,95 9,73 3,23 8,86 3,45 12,17 5,90 12,08 1,54 1,95

2,00 9,91 3,16 9,08 3,36 12,20 5,94 12,13 1,48 2,00

>

2,00 12,50 3,16 12,50 3,36 12,20 7,03 12,50 1,48

>

2,00

Valores extraídos de BARES (1972) e adaptados por L.M. Pinheiro.

m=μ p∙lx²

100

p = carga uniforme lx = menor vão

40

Tabela2.3b

Momentos fletores em lajes com carga uniforme

Tipo

Tipo

λ= ly

lx

μx μ

'x μ

y μ'

y μ

x μ

y μ'

y μ

x μ

'x μ

y λ=

ly

lx

1,00 2,69 6,99 2,69 6,99 2,01 3,09 6,99 3,09 6,99 2,01 1,00

1,05 2,94 7,43 2,68 7,18 2,32 3,23 7,43 3,22 7,20 1,92 1,05

1,10 3,19 7,87 2,67 7,36 2,63 3,36 7,87 3,35 7,41 1,83 1,10

1,15 3,42 8,28 2,65 7,50 2,93 3,46 8,26 3,46 7,56 1,73 1,15

1,20 3,65 8,69 2,62 7,63 3,22 3,56 8,65 3,57 7,70 1,63 1,20

1,25 3,86 9,03 2,56 7,72 3,63 3,64 9,03 3,66 7,82 1,56 1,25

1,30 4,06 9,37 2,50 7,81 3,99 3,72 9,33 3,74 7,93 1,49 1,30

1,35 4,24 9,65 2,45 7,88 4,34 3,77 9,69 3,80 8,02 1,41 1,35

1,40 4,42 9,93 2,39 7,94 4,69 3,82 10,00 3,86 8,11 1,33 1,40

1,45 4,58 10,17 2,32 8,00 5,03 3,86 10,25 3,91 8,13 1,26 1,45

1,50 4,73 10,41 2,25 8,06 5,37 3,90 10,49 3,96 8,15 1,19 1,50

1,55 4,86 10,62 2,16 8,09 5,70 3,90 10,70 4,00 8,20 1,14 1,55

1,60 4,99 10,82 2,07 8,12 6,03 3,89 10,91 4,04 8,25 1,08 1,60

1,65 5,10 10,99 1,99 8,14 6,35 3,85 11,08 4,07 8,28 1,03 1,65

1,70 5,21 11,16 1,91 8,15 6,67 3,81 11,24 4,10 8,30 0,98 1,70

1,75 5,31 11,30 1,85 8,16 6,97 3,79 11,39 4,12 8,31 0,95 1,75

1,80 5,40 11,43 1,78 8,17 7,27 3,76 11,53 4,14 8,32 0,91 1,80

1,85 5,48 11,55 1,72 8,17 7,55 3,72 11,65 4,15 8,33 0,87 1,85

1,90 5,56 11,67 1,66 8,18 7,82 3,67 11,77 4,16 8,33 0,83 1,90

1,95 5,63 11,78 1,63 8,19 8,09 3,60 11,83 4,16 8,33 0,80 1,95

2,00 5,70 11,89 1,60 8,20 8,35 3,52 11,88 4,17 8,33 0,76 2,00

> 2,00 7,03 12,50 1,60 8,20 12,50 3,52 11,88 4,17 8,33 0,76 > 2,00


m=μ p∙lx²

100


41

Tabela

2.3c

MOMENTOS FLETORES EM LAJES COM CARGA UNIFORME

Tipo

Tipo

λ= ly

lx

μx

μ'x

μy

μ'y

μx

μ'x

μy

μ'y

μx

μ'x

μy

μ'y λ=

ly

lx

1,00 2,02 5,46 2,52 6,17 2,52 6,17 2,02 5,46 2,02 5,15 2,02 5,15 1,00

1,05 2,27 5,98 2,56 6,46 2,70 6,47 1,97 5,56 2,22 5,50 2,00 5,29 1,05

1,10 2,52 6,50 2,60 6,75 2,87 6,76 1,91 5,65 2,42 5,85 1,98 5,43 1,10

1,15 2,76 7,11 2,63 6,97 3,02 6,99 1,84 5,70 2,65 6,14 1,94 5,51 1,15

1,20 3,00 7,72 2,65 7,19 3,16 7,22 1,77 5,75 2,87 6,43 1,89 5,59 1,20

1,25 3,23 8,81 2,64 7,36 3,28 7,40 1,70 5,75 2,97 6,67 1,83 5,64 1,25

1,30 3,45 8,59 2,61 7,51 3,40 7,57 1,62 5,76 3,06 6,90 1,77 5,68 1,30

1,35 3,66 8,74 2,57 7,63 3,50 7,70 1,55 5,75 3,19 7,09 1,71 5,69 1,35

1,40 3,86 8,88 2,53 7,74 3,59 7,82 1,47 5,74 3,32 7,28 1,65 5,70 1,40

1,45 4,05 9,16 2,48 7,83 3,67 7,91 1,41 5,73 3,43 7,43 1,57 5,71 1,45

1,50 4,23 9,44 2,43 7,91 3,74 8,00 1,35 5,72 3,53 7,57 1,49 5,72 1,50

1,55 4,39 9,68 2,39 7,98 3,80 8,07 1,29 5,69 3,61 7,68 1,43 5,72 1,55

1,60 4,55 9,91 2,34 8,02 3,86 8,14 1,23 5,66 3,69 7,79 1,36 5,72 1,60

1,65 4,70 10,13 2,28 8,03 3,91 8,20 1,18 5,62 3,76 7,88 1,29 5,72 1,65

1,70 4,84 10,34 2,22 8,10 3,95 8,25 1,13 5,58 3,83 7,97 1,21 5,72 1,70

1,75 4,97 10,53 2,15 8,13 3,99 8,30 1,07 5,56 3,88 8,05 1,17 5,72 1,75

1,80 5,10 10,71 2,08 8,17 4,02 8,34 1,00 5,54 3,92 8,12 1,13 5,72 1,80

1,85 5,20 10,88 2,02 8,16 4,05 8,38 0,97 5,55 3,96 8,18 1,07 5,72 1,85

1,90 5,30 11,04 1,96 8,14 4,08 8,42 0,94 5,56 3,99 8,24 1,01 5,72 1,90

1,95 5,40 11,20 1,88 8,13 4,10 8,45 0,91 5,60 4,02 8,29 0,99 5,72 1,95

2,00 5,50 11,35 1,80 8,12 4,12 8,47 0,88 5,64 4,05 8,33 0,96 5,72 2,00

> 2,00 7,03 12,50 1,80 8,12 4,17 8,33 0,88 5,64 4,17 8,33 0,96 5,72 > 2,00


m =μ p∙lx²

100


42

ANEXO C – TABELAS DE TEPEDINO

Tabela 3.9 - Momentos fletores, regime rígido-plástico (Tepedino)

Tipo de

Laje

b a⁄ ma mb ma mb ma mb ma mb ma mb ma mb

0,50 - - 122,1 50,9 - - 103,2 64,5 215,6 80,8 - -

0,55 - - 92,2 46,5 - - 81,4 61,6 161,2 73,2 - -

0,60 - - 72,6 43,6 - - 66,9 60,2 125,6 67,8 - -

0,65 - - 59,2 41,7 - - 56,9 60,1 101,4 64,2 - -

0,70 - - 49,7 40,6 - - 49,7 60,8 84,2 61,9 - -

0,75 - - 42,7 40,1 - - 44,3 62,3 71,8 60,6 - -

0,80 - - 37,6 40,1 - - 40,3 64,5 62,5 60,0 - -

0,85 - - 33,6 40,5 - - 37,2 67,2 55,5 60,1 - -

0,90 - - 30,5 41,2 - - 34,8 70,4 50,0 60,8 - -

0,95 - - 28,1 42,3 - - 32,8 74,0 45,7 61,8 - -

1,00 24,0 24,0 26,1 43,6 40,0 40,0 31,2 78,0 42,2 63,3 60,0 60,0

1,05 21,8 24,1 24,5 45,1 36,4 40,1 29,9 82,4 39,4 65,2 54,6 60,2

1,10 20,1 24,3 23,2 46,8 33,5 40,5 28,8 87,1 37,1 67,3 50,2 60,7

1,15 18,6 24,6 22,1 48,8 31,0 41,0 27,9 92,2 35,2 69,8 46,6 61,6

1,20 17,4 25,1 21,2 50,9 29,0 41,8 27,1 97,6 33,5 72,5 43,5 62,7

1,25 16,4 25,6 20,4 53,2 27,3 42,7 26,4 103,2 32,2 75,4 41,0 64,4

1,30 15,5 26,3 19,8 55,6 25,9 43,8 25,9 109,2 31,0 78,6 38,8 65,6

1,35 14,8 27,0 19,2 58,2 24,7 44,9 25,4 115,5 30,0 82,0 37,0 67,4

1,40 14,2 27,8 18,7 61,0 23,6 46,3 24,9 122,1 29,1 85,6 35,4 69,4

1,45 13,6 28,6 18,2 63,9 22,7 47,7 24,5 128,9 28,4 89,4 34,0 71,6

1,50 13,1 29,6 17,8 66,9 21,9 49,3 24,2 136,1 27,7 93,4 32,8 73,9

1,55 12,7 30,6 17,5 70,1 21,2 50,9 23,9 143,5 27,1 97,6 31,8 76,4

1,60 12,4 31,6 17,2 73,4 20,6 52,7 23,6 151,1 26,6 102,0 30,9 79,0

1,65 12,0 32,7 16,9 76,8 20,0 54,5 23,4 159,1 26,1 106,6 30,0 81,8

1,70 11,7 33,9 16,7 80,3 19,5 56,5 23,2 167,3 25,7 111,3 29,3 84,7

1,75 11,5 35,1 16,5 84,0 19,1 58,5 23,0 175,7 25,3 116,2 28,7 87,8

1,80 11,2 36,4 16,3 87,8 18,7 60,6 22,8 184,5 25,0 121,3 28,1 91,0

1,85 11,0 37,7 16,1 91,7 18,4 62,9 22,6 193,5 27,7 126,6 27,6 94,3

1,90 10,8 39,1 15,9 95,8 18,0 65,2 22,5 202,7 24,4 132,0 27,1 97,7

1,95 10,7 40,5 15,8 99,9 17,8 67,5 22,3 212,2 24,1 137,6 26,6 101,3

2,00 10,5 42,0 15,6 104,2 17,5 70,0 22,2 222,0 23,9 143,3 26,3 105,0

O valor do momento fletor positivo é dado por: M = (p ∙ a²)/m

O momento fletor negativo na direção a ou b, se tiver, será dado por: X = 1,5 ∙ M

a é o vão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direções, a é o

menor vão.

43

3 DESENVOLVIMENTO



DIMENSIONAMENTO

SAMANTA APARECIDA RODRIGUES1

MARCO AURELIO TOMAZ2

RESUMO




estrutura. Dentre os modelos que melhor representam o funcionamento das lajes, destaca-se o

processo de Analogia de Grelhas, utilizado por programas computacionais de análise estrutural,

como o Eberick. O trabalho tem como propósito a análise comparativa dos resultados de

momentos fletores característicos em lajes isoladas e associadas obtidos a partir do emprego

das tabelas de dimensionamento de lajes com o processo de Analogia de Grelha utilizado com

o auxílio do programa computacional Eberick. Sendo assim foram comparados os valores de

momentos fletores obtidos no dimensionamento de um pavimento tipo, para lajes simplesmente

apoiadas e lajes engastadas onde pode-se observar que as diferenças de resultados de momentos

fletores se deve basicamente as considerações de utilização das tabelas e os métodos

empregados no dimensionamento. Por meio de diferenças percentuais foi possível verificar que

as tabelas que apresentaram valores mais coerentes aos do programa Eberick foram as tabelas

de Tepedino no regime rígido plástico para lajes apoiadas e as tabelas de Marcus para as lajes

engastadas, concluindo-se que em lajes isoladas as principais causas das diferenças de

momentos se deve a considerações de indeslocabilidade dos apoios e em lajes engastadas o

método de dimensionamento.


1 Discente do curso de Engenharia Civil do UNICERP; 2 Professor orientador e docente do Curso de Engenharia Civil do UNICERP: [email protected]

44

3.1 INTRODUÇÃO

A análise estrutural consiste em uma das principais etapas na elaboração de um projeto

estrutural, pois determina os efeitos das ações em uma estrutura, fundamentando a escolha dos

modelos estruturais a serem utilizados, que devem representar adequadamente e o mais real

possível uma estrutura de concreto armado.

A escolha do modelo estrutural de laje, elemento estrutural responsável por transmitir

as ações que nela chegam para as vigas ou diretamente para os pilares, se deve principalmente

aos seguintes critérios: arquitetura, ações solicitantes, segurança, desempenho e economia.

Para a composição do trabalho, foi adotada a tipologia de laje maciça. As lajes maciças

são constituídas basicamente pela associação do concreto com o aço, que juntos resistem as


Dessa maneira, a Associação Brasileira de Normas Técnicas NBR 6118:2014 define

lajes como sendo “elementos de superfície plana, sujeita pincipalmente a ações normais a seu

plano”.

O dimensionamento de lajes maciças pode ser feito por meio de métodos analíticos onde

são utilizadas tabelas de dimensionamento de lajes de Libânio, Marcus e Tepedino, que

decompõem o pavimento de laje em elementos isolados, fazendo assim uma análise individual

de cada elemento. E por métodos mais precisos, onde se destaca o processo da Analogia de

Grelhas utilizado pelo programa Eberick, que avalia o pavimento de laje de forma integrada.

Assim, para o desenvolvimento do trabalho, foi feito o cálculo das ações solicitantes de

um pavimento de lajes maciças, de maneira isolada e associada utilizando para a obtenção dos

momentos fletores três tabelas de dimensionamento de lajes usualmente empregadas na

graduação, sendo elas as tabelas de Libânio, de Marcus e de Tepedino no regime rígido-plástico

e feita uma análise comparativa dos resultados de momentos fletores obtidos pelo Método de

Analogia de Grelha utilizado pelo programa computacional Eberick.

45

3.1.1 Objetivo geral

O objetivo do trabalho é analisar comparativamente os momentos fletores máximos,

positivos e negativos, obtidos pelo uso de tabelas e obtido por meio de programa computacional

que utiliza o método de Analogia de Grelha.

Considerando como valor de referência os resultados obtidos pela Analogia de Grelha,

o intuito do trabalho é enxergar qual das tabelas apresenta melhores resultados.

A análise foi feita em duas etapas, primeiramente foram consideradas todas as lajes

como elementos isolados, ou seja, sem considerar a transferência de momentos fletores entre

elas. A segunda análise considerou-se o engastamento entre as lajes.

3.1.2 Objetivos específicos

Obter as ações solicitantes nas lajes devido as cargas permanentes e acidentais;

Fazer a comparação e análise da cargas atuantes nas lajes no cálculo mediante o uso das

tabelas com o processo da Analogia de Grelhas utilizado pelo programa Eberick;

Fazer a comparação e análise dos momentos fletores característicos obtidos mediante o

uso das tabelas com os momentos fletores obtidos no processo da Analogia de Grelhas

utilizado pelo programa Eberick, para o painel de lajes apoiado e posteriormente

engastado.

3.2 MATERIAL E MÉTODOS

Para o desenvolvimento deste trabalho foi escolhido um pavimento tipo de um edifício,

para o cálculo dos momentos fletores característicos (Mk), que são os momentos gerados pelas

cargas permanentes (g) e acidentais (q).

46

Figura 11. Painel de lajes (medidas em metros)


Todas as lajes foram consideradas com uma espessura de 12 cm e cargas determinadas

conforme a ABNT NBR 6120:1980 como mostra a Tabela (1).

Tabela 1. Cargas atuantes na laje

Cargas atuantes nas lajes

Cargas Espessura (m) Peso específico (kN/m³)

Piso 0,015 18

Assentamento 0,015 21

Nivelamento 0,020 21

Peso próprio 0,12 25

Revestimento 0,015 19 Cargas acidentais*

* as cargas acidentais variam de acordo com o ambiente e utilização da estrutura, sendo os valores

determinados pela ABNT NBR 6120:1980


47

Sendo possível então determinar as cargas totais atuantes em cada laje, a relação entre

o maior e menor vão da laje e a direção das armaduras como mostra a Tabela (2).

Tabela 2. Classificação das lajes

Classificação das lajes

Laje Denominação Cargas(g+q) (kN/m²) ly/lx Direção da armadura

1 Sacada 7,30 3,06 Armada em uma direção



4 Suíte 5,79 1,03 Armada em duas direções

5 Sala de estar/ jantar 6,87 1,98 Armada em duas direções

6 Hall 7,29 1,01 Armada em duas direções

7 Hall 7,29 3,43 Armada em uma direção

8 Sala de estar/ jantar 6,87 1,99 Armada em duas direções

9 Suíte 5,79 1,03 Armada em duas direções


11 Dormitório 5,79 1,38 Armada em duas direções

12 Dormitório 7,28 2,27 Armada em uma direção

13 Cozinha/ A.S 8,14 3,61 Armada em uma direção

14 Dormitório 7,28 2,27 Armada em uma direção

15 Dormitório 5,79 1,37 Armada em duas direções


Determinadas as cargas, as lajes armadas em um direção foram calculadas como suposta

viga e as lajes armadas em duas direções calculadas conforme as tabelas de Marcus, Libânio e

Tepedino. Para o desenvolvimento do trabalho, foi adotada a tabela de Tepedino no regime

rígido – plástico, pois foi levando em consideração que a tabela se baseia no comportamento

plástico do material. No entanto para o dimensionamento de lajes dispõe-se de duas tabelas de

Tepedino, a tabela no regime rígido-plástico e no regime elástico.

Para o cálculo dos momentos no programa Eberick foram definidos todos os parâmetros

referentes as propriedades do material no caso o concreto armado, como a resistência

característica do concreto (fck), classe de agressividade, cobrimentos e as combinações de ações

atuantes nas lajes, tudo conforme estabelecido pela ABNT NBR 6118:2014. Os elementos

foram lançados conforme o modelo utilizado no cálculo manual para efeito de comparação,

respeitando as dimensões e cargas utilizadas.

As lajes foram consideradas primeiramente apoiadas, sendo que as lajes de sacada 1, 2,

3 e 10 foram engastadas nas vigas e posteriormente todas as lajes engastadas umas nas outras.

O programa considera como padrão as distâncias das grelhas de 50 cm em x e em y. Após o

48

lançamento da estrutura faz-se o dimensionamento, para obtenção dos momentos atuantes nas

lajes. Os momentos gerados pelo programa Eberick são os momentos de cálculo (Md), oriundos

da combinação última normal. Dessa maneira, para que sejam comparados os momentos

característicos (Mk), é necessário obter os momentos característicos dividindo os valores de

cálculo por 1,4.

3.3 RESULTADOS E DISCUSSÃO

Na Tabela (3) é possível comparar a diferença dos valores das cargas atuantes nas lajes

encontradas por meio do programa Eberick e do cálculo manual. As diferenças de cargas

influenciam diretamente nos valores de momentos fletores, já que os momentos são calculados

em função das cargas atuantes nas lajes.

Tabela 3. Relação das cargas totais atuantes nas lajes Eberick Cálculo manual Diferença das cargas

Laje Cargas totais (kN/m²) Cargas totais(kN/m²) (%)

1 7,36 7,30 0,82 2 7,36 7,30 0,82

3 8,83 8,63 2,32

4 5,79 5,79 0,00

5 6,80 6,87 -1,02

6 7,29 7,29 0,00

7 7,29 7,29 0,00

8 6,83 6,87 -0,58

9 5,79 5,79 0,00

10 8,87 8,66 2,42

11 5,79 5,79 0,00

12 7,35 7,28 0,96

13 8,14 8,14 0,00 14 7,30 7,28 0,27

15 5,79 5,79 0,00

Fonte: Resultados da pesquisa.

A maior diferença de cargas encontradas é referente a laje10 que é uma sacada, foi

possível verificar conforme mostra a Figura (12) que a carga de parede (guarda-corpo) foi

distribuída linearmente na laje no programa Eberick e no cálculo manual essa mesma carga

ficou de maneira concentrada na extremidade da laje, ou seja, a estática da estrutura foi alterada

influenciando diretamente no cálculo dos momentos.

49

Figura 12. Distribuição da carga de guarda corpo Fonte: Programa Eberick

Para a primeira situação analisada, lajes armadas em uma direção, pelo cálculo manual,

as lajes possuem momento fletor apenas na direção principal. E para lajes em balanço apenas

momento fletor negativo na direção principal.

Foram obtidos os valores de momentos fletores característicos conforme (APÊNDICE

A) devido às cargas permanentes (Mg) para todo o painel de laje e calculadas por meio de

percentuais as diferenças entre os resultados do programa Eberick com relação as três tabelas

de dimensionamento utilizadas. Comparando os momentos gerados pelo programa Eberick com

as três tabelas, é possível observar as diferenças em percentuais dos momentos obtidos em todo

o painel de laje como mostra a Tabela (4).

Tabela 4. Médias percentuais das diferenças de momentos fletores em lajes apoiadas para momentos devido as

cargas permanentes (Mg)

Momentos (Mg) – 1ª Situação - Lajes isoladas

Eberick- Libânio Eberick- Marcus Eberick- Tepedino

Mkx

(%) Mky

(%) Mkx

(%) Mky (%)

Mkx

(%) Mky (%)

-13,53 122,66 -8,00 176,82 -12,99 161,86

Fonte: Resultados da pesquisa.

Para Mx+ devido às cargas permanentes (Mg) é possível observar como mostra a Tabela

(4) que as tabelas de Marcus apresentaram valores mais próximos com os resultados do

programa Eberick, enquanto as tabelas de Libânio apresentaram valores mais discrepantes e a

50

tabela de Tepedino ficou na média dos valores. Sendo que, em média é possível observar que

as três tabelas apresentaram resultados superiores ao programa Eberick.

Para My+ é possível observar que as tabelas de Libânio apresentaram valores mais

aproximados aos resultados do Eberick, enquanto as tabelas de Marcus apresentaram valores

mais discrepantes e a tabela de Tepedino ficando novamente entre a média dos dois valores. As

tabelas apresentaram em média valores inferiores aos resultados obtidos pelo programa

Eberick.

Para as acidentais (Mq), também foram calculados os momentos fletores característicos

no programa Eberick e mediante o auxílio das tabelas e determinadas as diferenças dos

momentos em percentuais conforme (APÊNDICE B). Comparando os momentos gerados pelo

programa Eberick com as tabelas, é possível observar as diferenças dos momentos em todo o

painel de laje como mostra a Tabela (5).

Tabela 5. Médias percentuais das diferenças de momentos fletores em lajes apoiadas para momentos devido às

cargas acidentais (Mq)

Eberick- Libânio Eberick- Marcus Eberick- Tepedino

Mkx

(%)

Mky

(%)

Mkx

(%)

Mky

(%)

Mkx

(%)

Mky

(%)

-14,30 70,75 -9,53 107,88 -13,31 67,98

Fonte: Resultados da pesquisa

Na direção Mx+ a tabela de Marcus apresentou valores mais aproximados enquanto a

tabela de Libânio apresentou valores mais discrepantes aos resultados do Eberick. Em média

os valores encontrados nas tabelas foram maiores aos resultados encontrados no programa.

Na direção My+ é possível observar que a tabela de Tepedino apresentou momentos mais

coerentes com os do programa Eberick enquanto a tabela de Marcus apresentou valores mais

discrepantes. Em média os resultados obtidos nas tabelas foram inferiores aos do programa e

na média das duas direções a tabela de Tepedino apresentou melhores resultados.

Conforme já estudado por Pereira (2017), a principal causa da diferença dos momentos

refere-se ao fato das tabelas utilizadas desconsiderarem a deslocabilidade dos apoios para a

obtenção dos momentos atuantes. O programa Eberick considera essa deslocabilidade dos

apoios fazendo com que os momentos positivos aumentem e o momento máximo passe a ser

em algum ponto da grelha mais próxima aos apoios, sendo assim, o modelo de grelha representa

de maneira mais satisfatória o comportamento das lajes, uma vez que o efeito da deslocabilidade

dos apoios tem grande relevância como pode ser observado na diferença dos momentos fletores

nas lajes 5, 8, 14 como mostra a Figura (13) dos deslocamentos do painel de lajes estudado.

51

Figura 13. Deslocamento dos apoios das lajes

Fonte: Programa Eberick

As tabelas que apresentaram resultados mais próximos ao programa Eberick são mostradas

conforme a Figura (14).

Figura 14. Tabelas que apresentaram resultados mais próximos ao programa para lajes apoiadas


Ao considerar a segunda situação analisada, as lajes engastadas, antes da comparação

entre momentos, se faz necessário uma consideração. No cálculo de momentos fletores obtidos

nas lajes 5, 8 e 14 foram encontrados resultados elevados conforme mostra o (APÊNDICE C)

o que ocasionaram grandes diferenças com os resultados obtidos no cálculo mediante o auxílio

das tabelas conforme (APÊNDICE D).

As diferenças encontradas se devem ao fato do programa Eberick que utiliza o processo

da Analogia de Grelhas apresentar picos de tensões próximos aos pilares e onde as

continuidades das grelhas nas lajes terminam. Nas lajes 5 e 8 as divergências nos momentos se

deve a concentração de esforços na continuidade das grelhas nas lajes, é possível notar

Lajes apoiadas

Mgk

Mx - Marcus

My - Libânio

Mqk

Mx - Marcus

My - Tepedino

52

conforme mostra a Figura (15), que as grelhas da laje 8 para a laje 2 não seguiram de forma

linear, gerando um espaço entre as grelhas, que formou um pico de tensão na laje 8. É possível

notar que os momentos estavam apresentando valores coerentes entre si e no pico teve uma

elevação.

Figura 15. Pico de tensão gerado por descontinuidade da grelha na laje 8


Conforme mostrado por Richartz (2014), é possível minimizar estes picos adotando a

plastificação dos apoios das lajes por meio da inclusão de rotulas plásticas. Em seu trabalho,

verificou-se que os momentos diminuíram pela metade, ocorrendo a redistribuição dos esforços

em 50%, apresentando resultados satisfatórios para picos de tensões em continuidade de lajes.

Richartz (2014), também constatou que próximo aos pilares ocorrem picos de tensões

devido a mudança brusca das tensões, o que ocasiona as concentrações de momentos. Assim

como pode ser observado na Figura (16) da laje 14, os momentos próximos ao pilar tiveram um

considerável aumento em relação aos momentos das demais grelhas.

53

Figura 16. Pico de tensão gerado na grelha da laje 14


Devido a essas concentrações de esforços, os momentos obtidos no Eberick para as lajes

5, 8 e 14 foram os momentos gerados nos picos de tensões pois o programa adota o maior valor

de momento fletor encontrado nas grelhas, dessa forma, as lajes que tiveram esses momentos

elevados não foram consideradas na comparação de momentos fletores com as tabelas tanto

para Mg como Mq.

Foram obtidos os momentos fletores máximos negativos e positivos devido as cargas

permanentes (Mg) como mostra o (APÊNDICE C) e a diferença nos resultados desses

momentos como mostra o (APÊNCIDE D) e resumidamente para todo o painel Tabela (6).

Tabela 6. Médias percentuais das diferenças de momentos fletores em lajes engastadas para momentos devido às

cargas permanentes (Mg)

Diferença dos resultados dos momentos fletores (Mg) - 2ª Situação - Lajes engastadas

Eberick - Libânio Eberick - Marcus Eberick - Tepedino

My (%) Mx (%) My (%) Mx (%) My (%) Mx (%)

uy uy' ux ux' my ny mx nx mb+ mb- ma+ ma-

219,75 11,21 10,33 -49,70 244,75 23,97 7,09 -43,61 306,75 97,68 9,09 -36,31


É possível observar que para Mx+ as tabelas de Marcus tiveram uma diferença menor de

valores e para Mx- a tabela de Tepedino apresentou resultados mais aproximados aos do Eberick

54

enquanto as tabelas de Libânio apresentaram valores mais discrepantes. Para My+ e My

- os

resultados mais coerentes aos do Eberick foram das tabelas de Libânio.

É possível notar com essas diferenças que não houve uma tabela que apresentasse

somente resultados coerentes aos do programa Eberick, todas apresentaram em algum momento

valores discrepantes aos do programa. Mas em média as tabelas de Marcus apresentaram

valores próximos a intermediários, não apresentando em média valores mais discrepantes.

Os momentos fletores máximos negativos e positivos devido as cargas acidentais (Mq)

foram calculados conforme mostrado no (APÊNDICE E) e a diferença nos resultados desses

momentos como mostra o (APÊNDICE F) e resumidamente para todo o painel conforme a

Tabela (7).

Tabela 7. Médias percentuais das diferenças de momentos fletores em lajes engastadas para momentos devido às

cargas acidentais (Mq)

Diferença dos resultados dos momentos fletores (Mq) - 2ª Situação - Lajes engastadas


My (%) Mx (%) My (%) Mx (%) My (%) Mx (%)

uy uy' ux ux' my ny mx nx mb+ mb

- ma+ ma

-

97,90 -39,23 -6,48 -52,05 118,02 -32,39 -5,17 -51,67 160,25 6,29 -5,63 -29,40


É possível observar que para My+ as tabelas de Libânio apresentaram valores mais

coerentes ao programa e a tabela de Tepedino apresentou valores mais discrepantes, enquanto

para My- Libânio foi menos coerente ao programa e a tabela de Tepedino apresentou melhores

resultados.

Para Mx+ e Mx

- as tabelas de Libânio apresentaram valores mais discrepantes, enquanto

Marcus foi mais coerente para Mx+ e Tepedino para Mx

-.

É possível notar novamente que não houve uma tabela específica que resultasse somente

momentos fletores próximos ao do programa, todas as tabelas tiveram uma discrepância de

momentos. Contudo, a tabela de Marcus apresentou mais vezes valores coerentes e valores

intermediários aos do programa Eberick.

A Figura (17) mostra em resumo as tabelas que apresentaram resultados mais próximos

ao programa Eberick para o painel de laje engastado.

55

Figura 17. Tabelas que apresentaram resultados mais próximos ao programa para lajes engastadas


As principais diferenças encontradas nos momentos entre as tabelas e o programa

Eberick, podem ser apontadas devido a consideração no cálculo manual da vinculação de cada

laje com bordas comuns. Enquanto o cálculo manual se vale da equação λ = ly

lx > 2, para

determinar a vinculação para a borda de cada laje, e assim determinar o tipo da laje para

posterior cálculo dos momentos, o programa considera a mesma condição de vinculação para o

cálculo dos momentos fletores nas duas lajes com bordas comuns.

Outra diferença está no método de dimensionamento utilizado, as tabelas utilizam o

método analítico, enquanto o programa Eberick utiliza o método da Analogia de Grelhas que

divide a laje em barras espaçadas e em cada trecho dessa barra são calculados os momentos em

todas as direções. Como já havia estudado Gontijo (2015), o valor que o Eberick adota como

momento para toda a borda da laje engastada que é geralmente o maior valor entre as barras ou

grelhas de cada laje levando em consideração os momentos sobre os pilares, enquanto no

cálculo manual é feita a compatibilização somente dos momentos máximos entre as bordas

engastadas.

Lajes engastadas

Mgk

Mx (+) - Marcus

Mx (-) - Tepedino

My (+) - Libânio

My (-) - Libânio

Mqk

Mx (+) - Marcus

Mx (-) - Tepedino

My (+) - Libânio

My (-) - Tepedino

56

3.4. CONCLUSÕES

A escolha do modelo de estrutural a ser adotado no dimensionamento de lajes deve ser

fundamentado de maneira que melhor represente o comportamento da estrutura. No estudo de

lajes, por meio da literatura técnica disponível, o dimensionamento é realizado por meio de

tabelas que consideram as lajes de forma isolada com condições de apoio simples, engastados

ou livres. Entretanto os programas computacionais de cálculo estrutural utilizados no mercado

de trabalho utilizam métodos mais sofisticados que representam de forma mais adequada o

comportamento da estrutura como o programa Eberick que utiliza o processo da Analogia de

Grelhas.

O estudo do painel de lajes foi realizado por meio de dois procedimentos, o primeiro

com o uso de tabelas e o segundo com o uso do programa Eberick que utiliza o processo da

Analogia de Grelhas. Foi possível verificar que as tabelas que apresentaram valores de

momentos fletores característicos mais coerentes com os resultados do programa Eberick foram

as tabelas de Tepedino para lajes simplesmente apoiadas com uma média simples de (74,43%)

para Mg e (27,34%) para Mq e as tabelas de Marcus para lajes engastadas.

Isso mostra que, na primeira situação, para lajes apoiadas verificou-se que as

considerações de lajes isoladas e com apoios rígidos podem ser apontadas como a maior causa

da diferença entre os momentos fletores encontrados, pois o programa Eberick considera a

deslocabilidade dos apoios das lajes.

Para lajes engastadas, verificou-se que além da deslocabilidade dos apoios, a

consideração de vinculação entre bordas comuns nas lajes também é outro fator que justifica as

diferenças encontradas nos valores de momentos, pois enquanto no cálculo manual é utilizada

a consideração de engastamentos diferentes para as bordas, o programa considera o mesmo

engastamento nas duas lajes de bordas comuns. Outra diferença está no método de

dimensionamento utilizado, as tabelas de Marcus, que se baseiam nas teorias elásticas

apresentaram em média valores próximos e intermediários aos do programa, não apresentando

em média nenhum dos valores mais discrepantes.

Em lajes armadas em uma direção, por meio da utilização de tabelas, são

desconsiderados os momentos na direção de maior vão da laje o que também gera diferenças

com o programa Eberick que considera e gera os momentos nos dois vãos das lajes visto que,

as lajes apresentam momentos nas duas direções.

57

Para lajes em balanço, no caso as sacadas, foi possível verificar que a carga de parede

(guarda-corpo) devido a essa consideração foi distribuída linearmente na laje no programa e no

cálculo manual essa mesma carga ficou de maneira concentrada na extremidade da laje, ou seja,

a estática da estrutura foi alterada nos modelos analisados, influenciando diretamente no cálculo

dos momentos, gerando divergências entre o programa.

O programa Eberick foi utilizado como uma ferramenta para a aplicação da Analogia

de Grelhas, contudo foi possível notar que existem considerações relevantes na sua utilização

como por exemplo os picos de tensões gerados nas grelhas, que devem ser levados em

consideração para que a estrutura seja dimensionada de forma correta. Portanto se faz

necessário que o engenheiro de estruturas faça uma análise criteriosa no lançamento,

dimensionamento e resultados, fazendo a validação dos resultados obtidos no programa.

58

3.5. REFERÊNCIAS























Pini, 2007.






São Carlos, 2005.

59






1988.



60

APÊNDICES

APÊNDICE A – Tabela de diferença de momentos fletores característicos (Mk) devido às cargas permanentes (Mg) para lajes isoladas

Tabela 8. Diferença de momentos fletores característicos (Mk) devido às cargas permanentes (Mg) para lajes isoladas

Momentos (Mg) – 1ª Situação - Lajes isoladas

Programa Eberick Tabela Libânio Diferença Eberick-

Libânio Tabela de Marcus

Diferença Eberick-

Marcus Tabela de Tepedino

Diferença Eberick-

Tepedino

Laje Mkx

(kN.m/m)

Mky

(kN.m/m)

Mkx

(kN.m/m)

Mky

(kN.m/m)

Mkx

(%)

Mky

(%)

Mkx

(kN.m/m)

Mky

(kN.m/m)

Mkx

(%)

Mky

(%)

Mkx

(kN.m/m)

Mky

(kN.m/m)

Mkx

(%)

Mky

(%)

1 8,36 5,24 11,41 0,00 -26,76 - 11,41 0,00 -26,76 - 11,41 0,00 -26,76 -

2 9,24 3,72 11,41 0,00 -19,02 - 11,41 0,00 -19,02 - 11,41 0,00 -19,02 -

3 0,35 3,05 5,00 0,00 -93,00 - 5,00 0,00 -93,00 - 5,00 0,00 -93,00 -

4 2,91 3,10 2,57 2,44 13,45 26,84 2,23 2,10 30,64 47,62 2,53 2,40 14,89 29,42

5 5,95 7,68 7,51 2,43 -20,79 215,66 7,17 1,83 -17,07 319,83 7,41 1,84 -19,70 316,70

6 1,35 0,80 0,70 0,69 93,81 15,88 0,61 0,59 122,53 34,52 0,69 0,68 96,75 17,75

7 0,99 1,09 1,05 0,00 -5,81 - 1,05 0,00 -5,81 - 1,05 0,00 -5,81 -

8 5,30 8,65 7,53 2,42 -29,61 256,81 7,17 1,83 -26,10 373,01 7,48 1,83 -29,12 372,01

9 2,82 3,84 2,56 2,42 10,01 58,76 2,20 2,08 28,00 84,87 2,53 2,37 11,28 62,15

10 0,32 4,26 4,93 0,00 -93,51 - 4,93 0,00 -93,51 - 4,93 0,00 -93,51 -

11 1,38 3,02 2,11 1,22 -34,62 147,08 1,95 1,03 -29,40 194,30 2,10 1,11 -34,23 173,06

12 2,58 6,04 5,85 0,00 -55,93 - 5,85 0,00 -55,93 - 5,85 0,00 -55,93 -

13 1,45 7,17 5,47 0,00 -73,48 - 5,47 0,00 -73,48 - 5,47 0,00 -73,48 -

14 14,06 5,00 5,85 0,00 140,18 - 5,85 0,00 140,18 - 5,85 0,00 140,18 -

15 1,93 2,91 2,10 1,22 -7,90 137,55 1,95 1,03 -1,26 183,58 2,09 1,11 -7,45 161,96

Média -13,53 122,66 Média -8,00 176,82 Média -12,99 161,86


61

APÊNDICE B – Tabela de diferença de momentos fletores característicos (Mk) devido às cargas acidentais (Mq) para lajes isoladas

Tabela 9. Diferença de momentos fletores característicos (Mk) devido às cargas acidentais (Mq) para lajes isoladas

Momentos (Mq) – 1ª Situação - Lajes isoladas

Programa Eberick Tabela Libânio Diferença Eberick-

Libânio Tabela de Marcus

Diferença Eberick-

Marcus Tabela de Tepedino

Diferença

Eberick-

Tepedino

Laje Mkx

(kN.m/m) Mky

(kN.m/m) Mkx

(kN.m/m) Mky

(kN.m/m) Mkx

(%) Mky

(%) Mkx

(kN.m/m) Mky

(kN.m/m) Mkx

(%) Mky

(%) Mkx

(kN.m/m) Mky

(kN.m/m) Mkx

(%) Mky

(%)

1 5,21 1,49 2,14 - 143,36 - 2,14 - 143,36 - 2,14 - 143,36 -

2 2,09 1,24 2,14 - -2,43 - 2,14 - -2,43 - 2,14 - -2,43 -

3 0,06 0,37 0,61 - -90,12 - 0,61 - -90,12 - 0,61 - -90,12 -

4 1,05 1,05 0,90 0,85 17,07 22,87 0,78 0,73 34,82 43,00 0,89 0,84 18,57 25,37

5 0,83 1,85 2,10 0,68 -60,42 172,41 2,00 0,51 -58,55 262,31 2,07 0,51 -59,87 259,61

6 0,76 0,50 0,49 0,48 56,03 3,57 0,42 0,42 79,15 17,86 0,48 0,48 58,39 4,20

7 0,43 0,71 0,41 0,74 3,99 -3,40 0,41 0,74 3,99 -3,40 0,41 0,74 3,99 -3,40

8 0,60 1,44 2,10 0,68 -71,48 112,62 2,00 0,51 -70,06 181,86 2,09 0,51 -71,28 181,27

9 1,04 1,16 0,90 0,85 16,03 37,16 0,77 0,73 35,00 59,72 0,83 0,89 25,60 30,91

10 0,06 0,74 0,59 0,00 -89,90 0,59 0,00 -89,90 0,59 0,00 -89,90

11 0,37 1,00 0,74 0,43 -49,87 133,99 0,68 0,36 -45,86 178,70 0,73 0,73 -49,57 36,30

12 0,32 1,26 1,33 0,00 -75,94 1,33 0,00 -75,94 1,33 0,00 -75,94

13 0,08 1,83 1,77 0,00 -95,48 1,77 0,00 -95,48 1,77 0,00 -95,48

14 2,97 1,10 1,33 0,00 123,31 1,33 0,00 123,31 1,33 0,00 123,31

15 0,45 0,80 0,73 0,43 -38,59 86,78 0,68 0,36 -34,15 122,96 0,73 0,73 -38,28 9,59

Média -14,30 70,75 Média -9,53 107,88 Média -13,31 67,98


62

APÊNDICE C – Tabela de momentos fletores característicos (Mk) devido às cargas permanentes (Mg) para lajes engastadas

Tabela 10.Momentos fletores característicos (Mk) devido às cargas permanentes (Mg) para lajes engastadas Momentos (Mg) – 2ª Situação - Lajes engastadas

Programa Eberick Libânio Marcus Tepedino

Laje My (kN.m/m) Mx (kN.m/m) My (kN.m/m) Mx (kN.m/m) My (kN.m/m) Mx (kN.m/m) My (kN.m/m) Mx (kN.m/m)

uy uy' ux ux' uy uy' ux ux' my ny mx nx mb+ mb- ma+ ma-

1 0,50 13,64 2,74 2,57 0,00 0,00 0,00 9,12 0,00 0,00 0,00 9,12 0,00 0,00 0,00 9,12

2 0,36 13,71 2,63 1,43 0,00 0,00 0,00 9,12 0,00 0,00 0,00 9,12 0,00 0,00 0,00 9,12

3 3,00 1,00 0,19 5,50 0,00 0,00 0,00 4,33 0,00 0,00 0,00 4,00 0,00 0,00 0,00 4,00

4 2,29 3,00 1,46 9,50 1,15 3,21 1,51 8,30 1,12 2,90 1,68 6,65 0,90 1,93 1,55 5,70

5 8,79 16,71 3,57 14,14 0,78 3,97 6,40 15,84 0,62 2,65 5,81 15,69 1,55 1,70 6,44 15,00

6 1,57 2,00 0,77 4,64 0,44 1,14 0,44 5,58 0,44 1,02 0,45 5,58 0,41 0,61 0,41 5,58

7 1,29 1,14 0,89 0,57 0,00 0,00 0,59 5,58 0,00 0,00 0,59 5,58 0,00 0,00 0,59 5,58

8 7,64 22,14 4,96 5,29 0,78 3,97 6,40 15,84 0,62 2,64 5,81 15,69 1,54 1,70 6,45 15,00

9 2,64 1,64 2,27 7,07 1,13 3,19 1,51 8,25 1,10 2,88 1,55 6,36 0,88 1,92 1,54 5,23

10 3,36 0,79 0,24 2,50 0,00 0,00 0,00 4,28 0,00 0,00 0,00 4,12 0,00 0,00 0,00 3,53

11 2,43 1,86 1,22 1,00 0,70 0,00 1,51 3,21 0,60 0,00 1,65 2,90 0,51 0,00 1,75 1,93

12 5,21 2,57 2,09 0,64 0,00 0,00 3,13 6,05 0,00 0,00 3,13 5,91 0,00 0,00 3,13 5,21

13 8,93 1,57 1,27 1,07 0,00 0,00 3,49 6,72 0,00 0,00 3,49 6,57 0,00 0,00 3,41 5,88

14 6,36 18,50 12,78 8,00 0,00 0,00 3,13 6,05 0,00 0,00 3,13 5,90 0,00 0,00 3,26 5,21

15 2,36 1,36 1,67 0,36 0,70 0,00 1,50 3,19 0,60 0,00 1,66 2,88 0,51 0,00 1,74 1,92


63

APÊNDICE D – Tabela de diferença de momentos fletores característicos (Mk) devido às cargas permanentes (Mg) para lajes engastadas

Tabela 11. Diferença de momentos fletores característicos (Mk) em lajes engastadas para momentos devido às cargas permanentes (Mg)

Diferença dos resultados dos momentos fletores (Mg) - 2ª Situação - Lajes engastadas


My (%) Mx (%) My (%) Mx (%) My (%) Mx (%)

uy uy' ux ux' my ny mx nx mb+ mb- ma+ ma-

1 - - - -70,41 - - - -70,41 - - - -70,41

2 - - -83,56 - - -83,56 - - -83,56

3 - - - 20,21 - - - 30,06 - - - 30,06

4 109,12 -0,22 2,58 21,69 114,12 10,42 -7,59 51,88 168,13 66,23 0,22 77,19

6 287,56 83,66 82,85 -12,21 287,15 105,97 80,84 -12,21 316,96 243,38 96,78 -12,21

7 - - 57,28 -89,25 - - 57,28 -89,25 - - 57,28 -89,25

9 156,23 -49,81 33,40 -15,15 162,48 -44,50 29,54 10,06 228,70 -16,55 30,32 33,84

10 - - - -39,31 - - - -36,87 - - - -26,31

11 259,67 - -14,41 -65,70 313,45 - -21,95 -62,04 392,17 - -26,23 -42,86

12 - - -27,76 -88,44 - - -27,76 -88,15 - - -27,76 -86,57

13 - - -61,64 -83,63 - - -61,64 -83,25 - - -60,65 -81,28

15 286,16 - - -90,59 346,53 - 8,00 -89,59 427,80 - 2,78 -84,35

Média 219,75 11,21 10,33 -49,70 244,75 23,97 7,09 -43,61 306,75 97,68 9,09 -36,31


64

APÊNDICE E – Tabela de momentos fletores característicos (Mk) devido às cargas acidentais (Mq) para lajes engastadas

Tabela 12. Momentos fletores característicos (Mk) devido às cargas acidentais (Mq) para lajes engastadas

Momentos (Mq) - 2ª Situação - Lajes engastadas

Programa Eberick Libânio Marcus Tepedino

Laje My (kN.m/m) Mx (kN.m/m) My (kN.m/m) Mx (kN.m/m) My (kN.m/m) Mx(kN.m/m) My (kN.m/m) Mx (kN.m/m)

uy uy' ux ux' uy uy' ux ux' my ny mx nx mb+ mb

- ma+ ma

-

1 0,07 2,43 0,41 0,57 0,00 0,00 0,00 1,97 0,00 0,00 0,00 1,93 0,00 0,00 0,00 1,74

2 0,07 2,64 0,39 0,29 0,00 0,00 0,00 1,97 0,00 0,00 0,00 1,93 0,00 0,00 0,00 1,74

3 0,43 0,29 0,04 0,71 0,00 0,00 0,00 1,02 0,00 0,00 0,00 0,93 0,00 0,00 0,00 0,60

4 0,50 0,79 0,59 2,93 0,40 1,12 0,53 2,26 0,39 1,01 0,47 2,37 0,31 0,67 0,50 1,19

5 2,36 3,36 0,79 5,00 0,54 1,24 1,82 3,68 0,88 1,44 1,66 3,60 0,57 0,60 1,78 3,21

6 0,36 0,57 0,52 2,00 0,31 0,80 0,31 1,29 0,31 0,71 0,31 1,29 0,29 0,43 0,29 1,29

7 0,64 0,36 0,40 0,07 0,00 0,00 0,41 1,29 0,00 0,00 0,41 1,29 0,00 0,00 0,41 1,29

8 1,86 3,93 -0,56 2,07 0,54 1,24 1,83 3,68 0,89 1,44 1,66 3,60 0,57 0,59 1,78 3,21

9 0,71 0,36 0,33 1,57 0,40 1,11 0,53 2,25 0,39 1,01 0,47 2,36 0,31 0,67 0,49 1,26

10 1,07 0,21 0,06 0,43 0,00 0,00 0,00 1,02 0,00 0,00 0,00 0,92 0,00 0,00 0,00 0,67

11 0,79 0,86 0,36 0,29 0,24 0,00 0,53 1,12 0,21 0,00 0,58 1,01 0,18 0,00 0,61 0,67

12 1,29 0,57 0,36 0,21 0,00 0,00 0,75 1,57 0,00 0,00 0,75 1,52 0,00 0,00 0,75 1,33

13 2,50 0,21 1,19 0,50 0,00 0,00 1,00 1,71 0,00 0,00 1,04 1,67 0,00 0,00 1,04 1,47

14 1,86 -9,51 3,43 3,07 0,00 0,00 0,75 1,57 0,00 0,00 0,75 1,53 0,00 0,00 0,75 1,33

15 0,93 0,43 0,44 0,00 0,24 0,00 0,53 1,11 0,21 0,00 0,58 1,01 0,18 0,00 0,61 0,67


65

APÊNDICE F – Tabela de diferença de momentos fletores característicos (Mk) devido às cargas acidentais (Mq) para lajes engastadas

Tabela 13.Diferença de momentos fletores característicos (Mk) devido às cargas acidentais (Mq) obtidos para lajes engastadas

Diferença dos resultados dos momentos fletores (Mq) - 2ª Situação - Lajes engastadas

Eberick - Libânio Eberick - Marcus Eberick -Tepedino

Laje My (%) Mx (%) My (%) Mx (%) My (%) Mx (%)

uy uy' ux ux' my ny mx nx mb+ mb

- ma+ ma

-

1 - - -

-69,58 - - - -68,93 - - - -65,47

2 - - - -84,80 - - - -84,47 - - - -82,75

3 - - - -51,07 - - - -46,08 - - - -16,02

4 24,60 -37,57 13,57 23,89 27,58 -30,92 26,47 18,14 59,76 4,00 20,94 135,29

6 -2,20 -24,96 71,09 54,92 -2,30 -15,84 69,21 54,92 5,22 40,29 84,13 54,92

7 - - -0,85 -92,25 - - -0,85 -92,25 -0,85 -92,25

9 51,62 -55,15 30,98 -11,11 55,32 -50,39 45,81 -15,25 94,50 -25,42 39,46 58,73

10 - - - -60,65 - - -56,71 - - -40,13

11 229,17 - -33,59 -73,25 278,39 -39,44 -70,39 350,43 -42,75 -55,43

12 - - -68,00 -87,23 - - -68,00 -86,88 - - -68,00 -84,98

13 - - -43,00 -82,44 - - -45,29 -82,00 - - -45,30 -79,64

15 186,33 - -22,01 -91,03 231,09 - -29,25 -90,08 291,35 -32,67 -85,08

Média 97,90 -39,23 -6,48 -52,05 118,02 -32,39 -5,17 -51,67 160,25 6,29 -5,63 -29,40


66

4 CONCLUSÕES

A escolha do modelo de estrutural a ser adotado no dimensionamento de lajes deve ser

fundamentado de maneira que melhor represente o comportamento da estrutura. No estudo de

lajes, por meio da literatura técnica disponível, o dimensionamento é realizado por meio de

tabelas que consideram as lajes de forma isolada com condições de apoio simples, engastados

ou livres. Entretanto os programas computacionais de cálculo estrutural utilizados no mercado

de trabalho utilizam métodos mais sofisticados que representam de forma mais adequada o

comportamento da estrutura como o programa Eberick que utiliza o processo de Analogia de

Grelhas.

O estudo do painel de lajes foi realizado por meio de dois procedimentos, o primeiro com o uso

de tabelas e o segundo com o uso do programa Eberick que utiliza o processo da Analogia de

Grelhas. Foi possível verificar que as tabelas que apresentaram valores de momentos fletores

característicos mais coerentes com os resultados do programa Eberick foram as tabelas de

Tepedino para lajes simplesmente apoiadas com uma média simples de (74,43%) para Mg e

(27,34%) para Mq e as tabelas de Marcus para lajes engastadas.

Isso mostra que, na primeira situação, para lajes apoiadas verificou-se que as considerações de

lajes isoladas e com apoios rígidos podem ser apontadas como a maior causa da diferença entre

os momentos fletores encontrados, pois o programa Eberick considera a deslocabilidade dos

apoios das lajes.

Para lajes engastadas, verificou-se que além da deslocabilidade dos apoios, a consideração de

vinculação entre bordas comuns nas lajes também é outro fator que justifica as diferenças

encontradas nos valores de momentos, pois enquanto no cálculo manual é utilizada a

consideração de engastamentos diferentes para as bordas, o programa considera o mesmo

engastamento nas duas lajes de bordas comuns. Outra diferença está no método de

dimensionamento utilizado, as tabelas de Marcus, que se baseiam nas teorias elásticas

apresentaram em média valores próximos e intermediários aos do programa, não apresentando

em média nenhum dos valores mais discrepantes.

Em lajes armadas em uma direção, por meio da utilização de tabelas, são desconsiderados os

momentos na direção de maior vão da laje o que também gera diferenças com o programa

Eberick que considera e gera os momentos nos dois vãos das lajes visto que, as lajes apresentam

momentos nas duas direções.

67

Para lajes em balanço, no caso as sacadas, foi possível verificar que a carga de parede (guarda-

corpo) devido a essa consideração foi distribuída linearmente na laje no programa e no cálculo

manual essa mesma carga ficou de maneira concentrada na extremidade da laje, ou seja, a

estática da estrutura foi alterada nos modelos analisados, influenciando diretamente no cálculo

dos momentos, gerando divergências entre o programa.

Figura 18. Distribuição da carga de guarda corpo


O programa Eberick foi utilizado como uma ferramenta para a aplicação da Analogia de

Grelhas, contudo foi possível notar que existem considerações relevantes na sua utilização

como por exemplo os picos de tensões gerados nas grelhas, que devem ser levados em

consideração para que a estrutura seja dimensionada de forma correta. Portanto se faz

necessário que o engenheiro de estruturas faça uma análise criteriosa no lançamento,

dimensionamento e resultados, fazendo a validação dos resultados obtidos no programa.

68

5 REFERÊNCIAS























Pini, 2007.






São Carlos, 2005.



69




1988.



centro universitÁrio do cerrado patrocÍnio graduação …

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