Cavidades Ressonantes

Vitaly Esquerre

Em freqüências na faixa de microondas (> 300MHz), elementoslocalizados tais como R, L e C têm comportamento bastantedi d b i f üê idiverso de seu comportamento em baixas freqüências.

Isto porque em altas freqüências o efeito pelicular e as perdasIsto porque em altas freqüências o efeito pelicular e as perdaspor radiação tornam-se importantes.

Assim, na faixa de microondas os circuitos ressonantes RLC sãosubstituídos pelas cavidades ressonantes.

As cavidades ressonantes são estruturas completamente fechadaspor paredes metálicas.

Elas confinam a energia eletromagnética e dispõem de grandesElas confinam a energia eletromagnética e dispõem de grandesáreas para a circulação de corrente, eliminando radiação ediminuindo as perdas.p

A figura mostra a transformação gradual de um circuitoressonante LC numa cavidade ressonante

Cavidades RetangularesCavidades Retangulares

Podemos começar a análise partindo da equação de onda e usar oPodemos começar a análise partindo da equação de onda e usar ométodo de separação das variáveis para obter os camposelétricos e magnéticos que satisfazem as condições de contornog q çda cavidade.Porém, fica mais fácil começar com os campos TE e TM do

i i já i f di d dguia, os quais já satisfazem as condições de contorno nas paredesdo guia

0,x a 0,0,

x ay b

Ë necessário apenas inserir as condições de contorno Ex = Ey = 0nas paredes inicial e final em z = 0

Os campos elétricos transversais (Ex, Ey) dos modos TEmn eTMmn, do guia de ondas retangular pode ser escrito como:

, , , mn mnj z j ztE x y z e x y A e A e , , ,t y y

,e x y Variação transversal do campo ,e x y

Amplitude dos campos em +z e -z,A A

Variação transversal do campo

A constante de propagação mn dos modos m,n (TE ou TM) podeser escrita como:

2 22 m nk kmn k

a b

k

Impondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = 0

, ,0 , 0tE x y e x y A A

p q p q

Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfícieA A

Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfíciecondutoraImpondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = dImpondo a condição que o campo tem que ser nulo em z d

, , , 0mn mnj d j dtE x y d e x y A e A e

, , , 2 sin 0t mnE x y d e x y jA d

d l l mnd l mn d

O número de onda ressonante da cavidade será

2 2 2m n lk mnlka b d

Modos TEmnl ou TMmnl são os modos ressonantes onde m, n, e lindicam o numero de meios ciclos da onda estacionária nasdi õ A f ê i d â i d d TEdireções x, y, e z. A frequência de ressonância do modo TEmnl ouTMmnl é dado por

2 2 2

2 2mnl

mnlck c m n lf

a b d

2 2r r r r a b d

Os campos para o modos TEmnl são dados por:

cos sin sinmnlxA n m n lE x y z

b a b d

A l sin cos sinmnly

A m m n lE x y za a b d

0E 0zE

sin cos cosmnlx

A m l m n lH j x y za d a b d

cos sin cosmnly

A n l m n lH j x y zb d a b d

22 cos cos sinmnl

zA l m n lH j k x y z

d a b d

0,1,2,3... 0,1,2,3... 1, 2,3.... 0m n l m n 2 2l Modo dominante (d > a > b) TE101 101 2 r r

c m lfa d

Após algumas simplificações, os modos TE10l tem as seguintesp g p 10l gexpressões para os campos:

sin sinx l zE E 0 sin sinyE Ea d

0 sin cosE x l zH j sin cosxTE

H ja d

0 iE x l zH

0 cos sin'zE x l zH j

k a a d

d a b

O q e claramente demonstra q e são formadas ondasO que claramente demonstra que são formadas ondasestacionárias dentro da cavidade

Fator de Qualidade: Q

Energia média armazenadaW W

Fator de Qualidade: Q

Energia média armazenadaEnergia Perdida por segundo

m eW WQP

Energia média armazenada nos campos magnéticos eeletricos.

,m eW W

P

eletricos.

Potência dissipada no condutor e no dielétrico

Na frequência de ressonância:We =Wm

Cálculo da energia armazenada no campo elétricoCálculo da energia armazenada no campo elétrico

2*

4 4e y y y

v v

W E E dv E dv

0 sin sinyx l zE Ea d

2 2 20 sin sin

4

d b a

ex l zW E dxdydza d

0 0 04 a d

2 1 1sin cos 2x x

abd

2 2

2016e

abdW E

Cálculo da energia armazenada no campo magnéticoCálculo da energia armazenada no campo magnético*

4mW H H dv

2 2* *

4 4m x x z z x zW H H H H dv H H dv

v

4 4v v

0 sin cosxE x l zH j

a d

0 cos sin'zE x l zH j

k a a d

TE a d k a a d

2 20 0i i

d b aE Ex l z x l zW d d d 0 0

0 0 0

sin cos cos sin4 'm

TE

W dxdydza d k a a d

2 1 1sin cos 22 2

x x 2 1 1cos cos 22 2

x x

22 1abdW E

0 2 2 2 216 'mTE

W Ek a

'TE

k

2

210 k

a a

2221 1 22

2 2 2 2 2 2 2

1 1' ' 'TE

ak a k

20m

abdW E 016m

Ou seja:We =Wmj e m

Perdas nas paredes condutoras: PPerdas nas paredes condutoras: Pc

2st

RP H ds 2c tparedes

P H ds

O d é i ê i fi i l d d áli d d

R

Onde Rs é a resistência superficial das paredes metálicas dadapor:

e Ht é o campo magnético tangencial as superfícies das paredes

2sc

R

t p g g p pmetálicas.

A ib i ã d id à d i é i l á ib i ã dA contribuição devido à parede superior é igual á contribuição daparede inferior, o mesmo acontece com as contribuições daparede lateral direita e esquerda e da parede da frente e posteriorparede lateral direita e esquerda e da parede da frente e posterior.

y

b Parede do fundo e da frente

Parede esquerda e direita

0zH x

xa

0xH z Parede superior e inferior

zd

0xH z 0zH x

2 22 0 2 0

b a d bsRP H z dxdy H x dydz

0 0 0 02 0 2 0

2s

c x zy x z y

P H z dxdy H x dydz

2 22 0 0

d a

H y H y dxdz 0 0

2 0 0x zz x

H y H y dxdz

2 ' 2 'k d

2 2 2 2R E l b bd l d

2k

TE l

Usando:

2 2 2 20

2 2 28 ' 2 2s

cR E l ab bd l a dP

d a d a

Fator de Qualidade considerando apenas perdas nos condutores:

abd

Fator de Qualidade considerando apenas perdas nos condutores:Qc

20

2 2 2 20

162 2m e mc

c c s

abd EW W WQP P R E l ab bd l a d

02 2 28 ' 2 2

c c s

d a d a

3

2 22

'c

k abdQl ab bd l a d

22 24

2 2sl ab bd l a dRd a d a

3

2 2 3 3 2 3 3

'c

kad bQ

l b bd l d d

2 2 3 3 2 3 32 2 2cs

QR l a b bd l a d ad

Fator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: QFator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: Qd

0" tanr 0' " 1 tanrj j

22* 0"1 ".

2 2 8dabd EP J E dv E dv

20

'' 116

abd EW W W

2 2 8v v

20

1162 2" " tan

8

m e md

d d

W W WQabd EP P

Fator de Qualidade considerando perdas no condutor e nodielétrico: Qdielétrico: Qtotal

11 1

totalQQ Q

totalc d

QQ Q

ExemploExemploConsidere uma cavidade oca com dimensões; 3cm x 2cm x7cm feita de cobre (c=5.8 x 107)Calcular a frequência de ressonância e o fator de qualidadedo modo dominante.

2 2 2103 10 1 0 1 5.439842 3 2 7rf GHz

3 'kad b k 2 2 3 3 2 3 32 2 2cs

kad bQ

R l a b bd l a d ad

2sc

R

k

'

0,01924242s

c

R

113,984k

3 'kad b

' 376,819

2 2 3 3 2 3 3

'10086

2 2 2cs

kad bQ

R l a b bd l a d ad

Exemplo 2Exemplo 2Considere uma cavidade preenchida com polyestireno (εr =2.56, tan δ = 0,0004) com dimensões; a = 3cm b = 2cm feitade cobre (c=5.8 x 107) determine o valor de d para

t f ê i d â i d 3 4 GHapresentar uma frequência de ressonância de 3,4 GHz.Determine o fator de qualidade do modo dominante.

2 2 2103 10 1 0 1 3,43 22 2 56rf GHz

d

7d cm

3 22 2.56 d

3 'kad b k 2 2 3 3 2 3 32 2 2cs

kad bQ

R l a b bd l a d ad

2sc

R

k

'

0,01521242s

c

R

113,984k

' 235,512

3

2 2 3 3 2 3 3

'7973,66

2 2 2cs

kad bQ

R l a b bd l a d ad

s

1 2500tandQ

1 11 1 1 1 1903 27Q

tan

1903, 277973,66 2500total

c d

QQ Q

Cavidades Cilíndricas

Podemos começar a análise partindo da equação de onda e usar oPodemos começar a análise partindo da equação de onda e usar ométodo de separação das variáveis para obter os camposelétricos e magnéticos que satisfazem as condições de contornog q çda cavidade.Porém, fica mais fácil começar com os campos TE e TM do

i i l i já i f di dguia circular, os quais já satisfazem as condições de contorno nasparedes do guia

a

Ë necessário apenas inserir as condições de contorno Eρ = Eϕ = 0nas paredes inicial e final em z = 0 e d

Os campos elétricos transversais (Eρ, Eϕ) dos modos TEnm e

j z j zE A A

p ( ρ ϕ)TMnm, do guia de ondas retangular pode ser escrito como:

, , , nm nmj z j ztE z e A e A e

,e Variação transversal do campo ,

Amplitude dos campos em +z e -z,A A

Variação transversal do campo

A constante de propagação nm dos modos TEnm e TMnm,respectivamente, pode ser escrita como:p p

22 'nmk

22 nmk

2 nmnm k

a

2 nm

nm ka

k

Impondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = 0

, ,0 , 0tE e A A

p q p q

Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfícieA A

Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfíciecondutoraImpondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = dImpondo a condição que o campo tem que ser nulo em z d

, , , 0nm nmj d j dtE d e A e A e

, , , 2 sin 0t nmE d e jA d

d l l mnd l mn d

Modos TEnml ou TMnml são os modos ressonantes onde m, n, e li di d i i l d d t i á iindicam o numero de meios ciclos da onda estacionária nasdireções ρ, ϕ, e z.A frequência de ressonância do modo TE l é dada porA frequência de ressonância do modo TEnml é dada por

2 2'nmnml

c lf 2nml

r r

fa d

0 1 2 3 1 2 3 1 2 3n m l

A frequência de ressonância do modo ou TMnml é dado por

0,1, 2,3... 1, 2,3... 1, 2,3....n m l

2 2

2nm

nmlc lf

d

2nmlr r

fa d

0,1,2,3... 1, 2,3... 0,1,2,3....n m l

O modo dominante TE é o modo TE111, cuja freqüência de111 j qressonância é dada por:

2 21 8412 111

1.84122

TE

r r

cfa d

O modo dominante TM é o modo TM010 cuja freqüência deressonância é dada por:

2

0102, 4049

2TM cf

a 2 r r

As freqüências de ressonância são iguais se d/a = 2,03 (modosdegenerados)

Quando d/a < 2,03, o modo dominante é o TM010 e quando d/a >

degenerados)

2,03 o modo dominante é o modo TE111

Os campos para o modos TEnml são dados por:

20

2

' ' sin sin'

nmn

nm

jk a nH lE J n za d

0' '' cos sin'

nmn

nm

jk aH lE J n za d

0zE

0 '' cos cos'

nmn

aH lH J n zd

' nnm a d

20

2

' sin cosnmn

a nH lH J n zd

0' cos sinnm

nlH H J n z

2'

nnm

a d

0 cos sinz nH H J n za d

2 2' 0,1, 2,3... 1, 2,3... 1, 2,3....n m l

Modo dominante TE11111

111'

2 r r

cfa d

Distribuição do campo para modos ressonantes com l = 1 e l = 2p p

O q e claramente demonstra q e são formadas ondasO que claramente demonstra que são formadas ondasestacionárias dentro da cavidade

Fator de Qualidade: Q

Energia média armazenadaW W

Fator de Qualidade: Q

Energia média armazenadaEnergia Perdida por segundo

m eW WQP

Energia média armazenada nos campos magnéticos eeletricos.

,m eW W

P

eletricos.

Potência dissipada no condutor e no dielétrico

Na frequência de ressonância:We =Wm

F t d Q lid d d M d TEFator de Qualidade dos Modos TEnml

Cálculo da energia armazenada, comoW =W

2

2 22

d a

W W E E d d dz

Cálculo da energia armazenada, comoWe Wm

0 0 0

22e

z

W W E E d d dz

2a

22 2 2 22 20

2

0

' ' '''4 '

a

nm nmn n

nmnm

k a dH naJ J da a

22 2 2 2

20' 1 'k a dH n J

2 1'8 '

n nmnmnm

J

Perdas nas paredes condutoras: PPerdas nas paredes condutoras: Pc

2st

RP H ds 2c tparedes

P H ds

O d é i ê i fi i l d d áli d d

R

Onde Rs é a resistência superficial das paredes metálicas dadapor:

e Ht é o campo magnético tangencial as superfícies das paredes

2sc

R

t p g g p pmetálicas.

A ib i ã d id à d i é i l á ib i ã dA contribuição devido à parede superior é igual á contribuição daparede inferior.

zd

zH a Parede lateralParede superior e inferior

0H z 0H

a 0H z H a

2 2 2d

sRP H a H a ad dz

0 02

sc z

zP H a H a ad dz

2 2 22 0 0

a

H z H z d d

0 0

2 0 0H z H z d d

2 22 2

2 2 ' 1 1sR da an a nP H J

0 2 21 12 2 '' '

c n nmnmnm nm

P H J

Fator de Qualidade considerando apenas perdas nos condutores:

22 2 2 2

Fator de Qualidade considerando apenas perdas nos condutores:Qc

22 2 2 220

2

2

' 1 ''4 '

2 2n nm

nmnmmc

k a dH n JWQP

2 22 22 20 2 2' 1 1

2 2 '' '

cc

sn nm

nmnm nm

QP

R da an a nH J

2

2

3

2

1'' nm

c

n

ka adQ

2 2 22 2

2 2

4 '1 1

2 '' '

cnm s

nmnm nm

QR ad an a n

Fator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: Qd

0" tanr 0' " 1 tanrj j

2 2*1 ".2 2d

v v

P J E dv E E dv

22 2 2 22 20" ' ' '

ak a dH na

2 202

0

''4 '

nm nmd n n

nmnm

k a dH naP J J da a

22 2 4 2" 'k a H n

20

2 1 ''8 '

d n nmnmnm

k a H nP J

Fator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: Qd

22 2 4 2

20' ' 1 'k a H n J

2

22 2 4 2

1'8 ' ' 1

" tan" '

n nmnmnmm e

dd

JW WQP k a H n

20

2 1 ''8 '

d

n nmnmnm

k a H n J

Fator de Qualidade considerando perdas no condutor e nopdielétrico: Qtotal

11 1

totalQQ Q

c dQ Q

Fator de Qualidade dos Modos TMFator de Qualidade dos Modos TM010

Ë importante quando d / a < 2,03Ë importante quando d / a 2,03

0E E H H

201 0 01

0zEE j J

a a

a a

01 0 010'z

EH J

0z a a

2, 4049cQ a

2 1 sa Rd

Outras Geometrias