carlos ferreira 1 algumas definiÇÕes quando colocamos uma pedra num aquário vai ao fundo

Carlos Ferreira1

ALGUMAS DEFINIÇÕES

Quando colocamos uma pedra num aquário

vai ao fundo

Carlos Ferreira2


Quando deixo cair um ovo no chão

parte-se

Carlos Ferreira3


Estas experiências das quais conhecemos o resultado que se vai

verificar chamam-se

Experiências deterministas

Não é este tipo de experiências que vamos

estudar nas probabilidades

Nas mesmas condições verifica-se

sempre o mesmo resultado

Carlos Ferreira4


Quando lançamos dois dados

não sabemos quais são as faces que vão ficar voltadas para cima

apesar de conhecermos quais os resultados possíveis

Carlos Ferreira5


Quando viramos cartas colocadas ao acaso

com as costas viradas para cima

não sabemos quais são as cartas que vão ficando visíveis

Carlos Ferreira6


Quando um jogador vai marcar uma grande penalidade

não sabemos se marca golo

Carlos Ferreira7


Estas situações em que não é possível prever o resultado,

apesar de conhecidos os casos possíveis

denominam-se

aleatórias ou do acaso

São estas experiências que vão ser objecto do nosso estudo

Carlos Ferreira8


Considera a seguinte experiência:

- lança-se um dado, equilibrado (não viciado) numerado de um a seis e verifica-se qual é a face voltada para cima.

Há seis casos possíveis 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6S = { }

Ao conjunto, S ou formado por todos os casos possíveis da experiência

denomina-se

CONJUNTO (ou ESPAÇO)

de RESULTADOS

Também se pode designar por

ESPAÇO AMOSTRAL

Carlos Ferreira9


A cada um dos subconjuntos do conjunto de resultados chamamos

No exemplo do lançamento do dado considera os seguintes acontecimentos

S = { 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6 }

A: “A face voltada para cima é 10”

Não existe nenhuma face com o número 10

ACONTECIMENTO

O acontecimento é impossível A = { } =

Carlos Ferreira10



Outro acontecimento

S = { 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6 }

B: “A face voltada para cima é um número par e primo”

O número 2 é o único número par que é primo

ACONTECIMENTO

O acontecimento é elementar B = { 2 }

Só tem um elemento

Números primos são aqueles que só têm dois divisores, ele próprio e o 1

Carlos Ferreira11



Outro acontecimento

S = { 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6 }

C: “A face voltada para cima é um número par”

Números pares são 2, 4 e 6

ACONTECIMENTO

O acontecimento é composto C = { 2 , 4 , 6 }

Tem mais do que um elemento

Carlos Ferreira12



Outro acontecimento

S = { 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6 }

D: “A face voltada para cima é diferente de 9”

Todas as faces são diferentes de 9

ACONTECIMENTO

O acontecimento é certo D = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } = S

Todos os elementos de S verificam o acontecimento

Carlos Ferreira13

LEI DE LAPLACE – CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Se perguntarmos quais são as hipóteses que temos de ganhar se escolhermos o número 5

Poderemos obter como resposta: 1 em 6

1 : porque só há uma face (favorável) com o número 5 e

6 : porque há seis hipóteses possíveis no dado

Foi LAPLACE que enunciou pela primeira vez esta lei

1 em 6 pode ser escrito na forma de fracção

6

1

Carlos Ferreira14

LEI DE LAPLACE

Num conjunto de resultados equiprováveis a probabilidade de um

acontecimento (A) é o quociente entre o número de casos

favoráveis ao acontecimento e o número de casos possíveis


Equiprováveis – com a mesma probabilidade

Pierre-Simon de Laplace

Carlos Ferreira15

Voltemos ao exemplo para determinar a probabilidade do acontecimentos A


A: “A face voltada para cima é 10” A = { } =

Número de casos favoráveis (o que se pretende): 0

Número de casos possíveis (todas as hipóteses): 6

A probabilidade de um acontecimento impossível é 0

Carlos Ferreira16

Voltemos ao exemplo para determinar a probabilidade do acontecimentos B


B: “A face voltada para cima é um número par e primo” B = { 2 }



Carlos Ferreira17

Voltemos ao exemplo para determinar a probabilidade do acontecimentos C


C: “A face voltada para cima é um número par” C = { 2 , 4 , 6 }



Devemos apresentar o resultado na forma de uma fracção irredutível se não for pedida outra forma (decimal, percentagem)

No caso seria 0,5 ou 50%

Carlos Ferreira18

Voltemos ao exemplo para determinar a probabilidade do acontecimentos D


D: “A face voltada para cima é diferente de 9” D = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } = S



A probabilidade de um acontecimento certo é 1

Carlos Ferreira19


Podemos concluir que:

A probabilidade de um acontecimento A é representada por

um número de 0 a 1, isto é

0

P (acontecimento impossível)

P(A) 1

P (acontecimento certo)Se obtiveres como resultado num número que não esteja

nestas condições tens de rever o teu raciocínio

Carlos Ferreira20


Que fazer quando os acontecimentos não são equiprováveis

(recorda que não podemos aplicar a Lei de Laplace)?

Utilizamos a frequência relativa para fazer estimativas da

probabilidade

Recorda

Quanto maior o número de experiências melhor será a estimativa para a probabilidade

Carlos Ferreira21

MÉTODOS DE CONTAGEM

Vejamos agora alguns métodos de contagem

No lançamento de um dado sabemos que as faces são de 1 a 6

Ao retirarmos uma carta de um baralho sabemos quais são as hipóteses

- Por observação directa ou conhecimento prévio

Carlos Ferreira22


Por observação directa ou conhecimento prévio

Ao lançarmos uma moeda sabemos que temos duas faces

Quando falamos no dia de um mês sabemos quantos dias tem cada mês

Carlos Ferreira23


- TABELA DE DUPLA ENTRADA

Quando lançamos dois dados e queremos analisar a soma dos pontos, sabemos também quais são os resultados possíveis, no entanto, é melhor desenhar uma tabela onde todos esses resultados estejam representados

1+

6

5

43

2

1

65432

Começamos por colocar o valor das faces dos dois dados: - na vertical representando um dado - na horizontal representando o outro

Carlos Ferreira24


- TABELA DE DUPLA ENTRADA

Completamos o resto da tabela somando os pontos dosdois dados

1+

6

5

43

2

1

65432

Por exemplo

9

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

6 7 8 10 11

7 8 9 10 11 12

1+

6

5

43

2

1

65432

Seguimos o processo para preencher a tabela

Há (6 x 6 =) 36 casos possíveis

Carlos Ferreira25


- DIAGRAMA DE ÁRVORE

Vamos a um restaurante onde há como entradas

Presunto Queijos Camarão

como prato principal

Frango Peixeassado assado

e como sobremesa

Pudim e arroz doce com manga

Carlos Ferreira26



De quantas maneiras diferentes podemos escolher o menú sabendo que temos direito a uma entrada um prato e uma sobremesa?

Podemos tentar enumerar mentalmente todas as hipóteses possíveis, mas pode ser um esforço desnecessário se soubermos construir um diagrama de árvore

Vejamos qual o método de construção

Ao escolhermos a entrada temos 3 hipóteses

- a árvore vai começar com 3 ramos

Carlos Ferreira27



Tendo escolhido presunto podemosagora escolher entre os dois pratos

Seguindo o raciocínio completamos os 2ºs ramos

Passamos agora às sobremesas

Temos 12 ementas diferentes possíveis 3 x 2 x 2 = 12

Carlos Ferreira28



Assim o conjunto de resultados é

S = { PrFPu, PrFA, PrPaPu, PrPaA, QFPu, QFA, QPaPu, QPaA, CFPu, CFA, CPaPu, CPaA}

Pr – presunto Pa – Peixe assado Pu – Pudim Q – Queijo F – Frango e A – Arroz doce

Carlos Ferreira29

PROBABILIDADES COM DIAGRAMA DE ÁRVORE

Determina a probabilidade de escolhendo a ementa ao acaso:

a) Conter presunto.

- casos favoráveis

- casos possíveis

P (presunto) =

12

1

4

=

12

3

4

Carlos Ferreira30


b) Comer frango e pudim.

- casos favoráveis

- casos possíveis

P (frango e pudim) =

12

1

3

=

12

4

3


Carlos Ferreira31


c) Comer peixe ou arroz doce.

- casos favoráveis

- casos possíveis

P (peixe ou arroz) =

12

3

9

=

12

4

9


Carlos Ferreira32

Cálculo de probabilidades, com diagrama de árvore, quando os

acontecimentos não são equiprováveis

De uma caixa com 4 bolas verdes e 2 bolas laranjas,

retiram-se sucessivamente duas bolas da caixa,

sem repor a primeira bola retirada.


Carlos Ferreira33


Vamos desenhar o diagrama de árvore que nos permitirá calcular, por

exemplo, a probabilidade de serem as duas da mesma cor.

V

L

A probabilidade da 1ª bola ser verde é quatro em seis

A probabilidade da 1ª bola ser laranja é dois em seis

4 / 6

2 / 6

Não simplificamos a fracção para compreendermos melhor a situação

Ficam na caixa 2 bolas laranjae 3 bolas verdes

Ficam na caixa 1 bola laranjae 4 bolas verdes

4 / 6 + 2 / 6 = 1

Carlos Ferreira34


V

L

A probabilidade da 2ª bola ser verde é três em cincoA probabilidade da 2ª bola ser

laranja é dois em cinco

4 / 6

2 / 6

V

L

V

L

Vamos retirar a 2ª bola

3 / 5

2 / 5

A probabilidade da 2ª bola ser verde é quatro em cinco

4 / 5

A probabilidade da 2ª bola ser laranja é uma em cinco

1 / 5

Carlos Ferreira35


V

L

4 / 6

2 / 6

V

L

V

L

A probabilidade das 2 bolas serem de cor laranja é

3 / 5

2 / 5

4 / 5

1 / 5

P (LL) = x2 / 6 1 / 5 = 1 / 15

Carlos Ferreira36


V

L

4 / 6

2 / 6

V

L

V

L

A probabilidade das 2 bolas serem de cor diferente é

3 / 5

2 / 5

4 / 5

1 / 5

P (VL ou LV) = +4/6 x 2/5 2/6 x 4/5 = 8/15

Carlos Ferreira37

PROBABILIDADES COM DIAGRAMA DE VENN

Perguntou-se aos 20 alunos de uma turma se tinham cães ou gatos em casa

Obtiveram-se as seguintes respostas:

- 12 têm gato;- 9 têm cão;- 2 não têm cão nem gato

Um dos alunos da turma disse que as respostas não podiam ser estas pois , 12 + 9 + 2 = 23 e são apenas 20 alunos

Decidiram ir perguntar ao professor de Matemática, pois de facto parecia que o aluno em causa tinha razão.

Concordas com esse aluno?

Carlos Ferreira38


O professor disse que o aluno estava errado e apresentou a seguinte explicação.

Vamos desenhar um diagrama de Venn para explicar a situação

Primeiro desenhamos um conjunto que representa o espaço de resultados (os alunos da turma)

S

GC

Agora desenhamos os conjuntos que representam os alunos que têm gatos (G) e os que têm cães (C)

Porque é que aparece uma região comum?Sabes dar uma resposta?

Carlos Ferreira39


2

S

GC

Na região comum (intersecção) estão os alunos que têm cães e gatos em casa

Vamos completar o diagrama:- Há dois alunos que não têm nem cães nem gatos

- Há 18 alunos que têm um desses animais (20 – 2)

Mas na recolha da informação 12 responderam que tinham gato e 9 que tinham cão , ora 12 + 9 = 21, e só 18 é que têm um destes animais

A diferença (21 – 18) dá-nos o número de alunos, 3, que têm cães e gatos

3

Carlos Ferreira40


2

S

GC

Dos 12 alunos que têm gato 3 já estão no diagrama, falta representar os restantes 9

Tal como falta representar 6 dos 9 que têm cães

39 6

Confirmando: 2 + 9 + 3 + 6 = 20O aluno não tinha razão.

Não analisou o facto de haver alunos com os dois animais

Carlos Ferreira41


2

S

GC

Qual é a probabilidade de escolhido um aluno ao acaso

- ter cão?

39 6

P(cão) = 9 / 20

- só ter cão?

P(só cão) = 6 / 20 = 3 / 10

- ter pelo menos um destes animais?

P(pelo menos um dos animais) = 18 / 20 = 9 / 10

carlos ferreira 1 algumas definiÇÕes quando colocamos uma pedra num aquário vai ao fundo

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