capítulo 3 ondas e som

3Capítulo

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Integrantes de uma bateria de escola de samba. Sambódromo do Anhembi, São Paulo - SP, no Carnaval de 2010.

Ondas e som

Carnaval e som...O carnaval é uma festa de origem pagã, cujas primeiras manifestações aconte-

ceram na Antiguidade. Na Idade Média e durante o Renascimento o mundo cristia-nizado participava das festividades com a tolerância da Igreja. Introduzido no Brasil no século XVII pelos portugueses, com o nome de “entrudo”, era uma brincadeira na qual as pessoas atiravam bexigas com água e farinha umas nas outras.

Pouco a pouco, o entrudo foi assimilando elementos locais, principalmente oriundos da cultura afro-brasileira, no Rio de Janeiro e na Bahia. No final do sé-culo XIX, surgiram as sociedades carnavalescas, como os cordões, os blocos, os ranchos e os corsos, que desfilavam, dançavam e cantavam músicas anônimas. A evolução continuou, e, hoje em dia, o carnaval brasileiro é considerado a maior festa popular do planeta.

Os integrantes de uma bateria de escola de samba, elemento indispensável ao desfile, provocam complexas perturbações no ar, e nós percebemos essas pertur-bações como som. O som é apenas um exemplo de uma variedade de fenômenos que classificamos como ondas mecânicas.

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126 • Unidade ii

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Figura 3.1 Na água, a perturbação da superfície gera ondas.

Figura 3.3 Quando as ondas do mar se aproximam da praia, a velocidade na base da onda diminui, em comparação com a crista, e a onda se quebra.

IntroduçãoNo mundo que nos rodeia, os fenômenos físicos são uma presença cons-

tante. Dentre eles, dois se destacam: os movimentos e as ondas.

É praticamente impossível imaginarmos uma situação na qual não este-jamos em contato com movimentos ou, então, imersos em ondas.

O som, assim como a luz, é transmitido por ondas. Entretanto, conforme veremos adiante, o som é uma onda que se propaga apenas através de meios materiais (onda mecânica), enquanto a luz é uma onda do tipo eletromag-nética e pode também se propagar através do vácuo. Os sinais de rádio e de televisão, da mesma forma que a luz, são transmitidos através do espaço por ondas. Isso tudo sem falarmos das ondas em líquidos, como as observadas no mar, em uma piscina ou em um lago. (Fig. 3.1)

Objetos em movimento podem transferir energia de um ponto para outro. Uma bola de bilhar em movimento, por exemplo, transfere parte de sua energia cinética para outra, inicialmente em repouso ou em movimento, quando ocorre um choque entre elas. (Fig. 3.2)

Figura 3.2 Durante a colisão, energia é transferida entre os corpos.

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O movimento ondulatório é outra forma de transferência de energia. O fato de as ondas transportarem energia pode ser percebido quando estamos próximos de uma grande caixa de som que esteja emitindo sons de grande volume e percebemos que algumas regiões do nosso corpo passam a vibrar no ritmo do som ou, ainda, quando uma pessoa que está praticando surfe cai e é tragada pela onda. (Fig. 3.3)

Neste capítulo, vamos estudar os principais tipos de ondas e suas caracterís-ticas e obter uma importante relação matemática para o estudo das ondas.

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2 Energia e ondasAo deixar cair uma pequena gota de água em uma superfície líquida

em repouso, você observa que a perturbação provocada na superfície se transmite a outros pontos. (Fig. 3.4) Tal perturbação se propaga em todas as direções com uma mesma velocidade, e os pontos atingidos por ela, em um certo instante, encontram-se sobre uma circunferência.

Como esses pontos adquirem movimento, podemos concluir que lhes foi transferida uma certa quantidade de energia.

Se, nessa superfície, houver um corpo flutuando — um pedaço de cortiça, por exemplo —, este, ao ser atingido pela perturbação, também passará a ter energia. (Fig. 3.5)

Observe, na foto, que a propagação da perturbação através do líquido transfere energia à cortiça, que, porém, não é arrastada ao longo da superfí-cie. Ela apenas oscila para cima e para baixo à medida que a perturbação se propaga, além de se deslocar levemente para a frente e para trás.

A energia da gota de água, que se transferiu para a cortiça, propagou-se pela superfície do líquido.

O agente físico responsável pela transmissão de energia — a perturbação — recebe o nome de onda ou, no caso de uma única perturbação, de pulso de onda. A matéria através da qual a energia se transfere — nesse caso, o líquido — é denominada meio.

Então, podemos dizer que:

Onda, ou pulso de onda, é qualquer perturbação que se propaga atra-vés de um meio e, durante a propagação, transmite energia aos pontos do meio.

Examinemos com mais detalhes como isso ocorre.

Consideremos um exemplo simples: um pulso de onda propagando-se ao longo de uma corda, que é inicialmente mantida esticada por uma pessoa e tem sua outra extremidade presa a uma parede. (Fig. 3.6)

Figura 3.4 A onda propaga-se pela superfície do líquido.

Figura 3.5 A onda transmite energia ao corpo que flutua no líquido.

Figura 3.7 O operador transfere energia aos pontos da corda.

Esse pulso de onda é criado quando a mão que mantém a corda esticada é rapidamente movimentada para cima e para baixo.

Quando a mão começa a subir, a extremidade da corda acompanha esse movimento. Os pedaços vizinhos vão sendo, assim, sucessivamente lançados para cima, acompanhando o movimento da mão, e a crista do pulso, seu ponto mais alto, desloca-se ao longo da corda. As setas verticais indicam a velocidade dos pontos da corda. (Fig. 3.7)

Figura 3.6 Todos os pontos da corda estão em repouso.d

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128 • Unidade ii

Pulso de onda

Pulso de onda: agente físicoque transporta a energia

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Enquanto isso, a extremidade da corda sustentada pela mão retorna à situação inicial, e os pedacinhos da corda que já foram atingidos pela crista são, também, puxados para baixo pelo trecho vizinho. (Fig. 3.8)

Assim, a perturbação introduzida pela mão do operador é transmitida, devido às forças de coesão entre os trechos sucessivos, às regiões vizinhas, e o pulso de onda se propaga ao longo da corda. (Fig. 3.9)

É importante destacar que cada ponto da corda repete, com um certo atraso, o movimento da mão da pessoa. Em outras palavras, cada ponto da corda realiza apenas um movimento de sobe e desce, não sendo arrastado pela perturbação.

Note que os trechos da corda em movimento possuem, num dado instante, energia cinética e energia potencial, que, a rigor, foram fornecidas pela fonte de onda, que é, nesse caso, a mão da pessoa que movimenta a extremidade da corda. O agente físico responsável pela transmissão dessa energia aos pontos da corda foi o pulso de onda. A corda serviu apenas como meio material através do qual a energia foi transmitida.

Este fenômeno é similar ao que ocorre quando golpeamos uma das ex-tremidades de uma barra de ferro e percebemos a vibração provocada pelo golpe na outra extremidade. A energia de vibração é transmitida de partícula para partícula da barra, de uma extremidade à outra, sem que haja transporte de matéria ao longo dela. (Fig. 3.10)

Figura 3.8 A energia fornecida pelo operador é transmitida aos outros pontos da corda.

Figura 3.9 A energia é transmitida pelo pulso de onda que se propaga através da corda.

Figura 3.10 A perturbação introduzida na corda ou na barra de ferro propaga-se através do material. (Representação sem escala, uso de cores-fantasia.)

Nos dias atuais, a busca por fontes de energia alternativas, mais do que suprir uma necessidade, visa garantir a preservação do meio ambiente. Algumas delas visam ao aproveitamento da energia transmitida por ondas. A energia elétrica pode ser obtida a partir das ondas eletromagnéticas luminosas irradiadas pelo Sol e hoje essa possibilidade já encontra aplica-ções práticas em diversas áreas. Outra possibilidade que vem sendo pesquisada é o aproveitamento da energia das ondas dos mares.

Reúna-se com seus colegas para pesquisar e discutir como a energia das ondas dos mares (energia ma-reomotriz) pode ser aproveitada e quais as vantagens e desvantagens disso para o meio ambiente.

Atividade em grupo

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Temos, então, a principal característica física de qualquer onda.

As ondas transportam energia e quantidade de movimento, mas não transportam matéria. Durante a passagem de uma onda, os pontos do meio apenas vibram em torno de uma posição de equilíbrio.

Outros tipos de onda, como as ondas em líquidos, as ondas sonoras e mesmo a luz, são criados e propagam-se pelo meio de maneira similar à da onda na corda.

1. Ao observarmos um surfista “pegando uma onda”, temos a nítida impressão de que ele é levado pela onda até a areia da praia. Essa impressão: a) é correta, pois as ondas transportam matéria e

transmitem energia.b) é falsa, pois o surfista chega à orla da praia devido

ao seu impulso inicial. c) é falsa, pois o surfista é levado até a areia pelo vento

que sopra no sentido do mar para a terra.d) é falsa, pois o surfista apenas usa a superfície

da água como uma rampa, movendo-se pela ação da gravidade.

e) é correta, pois o surfista tem velocidade de desloca-mento igual à velocidade de propagação da onda.

2. (Unir-RO) Todos os fenômenos físicos podem ser compreendidos como processos de transformação de energia. Qual alternativa descreve corretamente um processo dessa natureza?a) Um músico toca uma corneta. Nesse processo, a

energia de ligação das moléculas dos alimentos

ingeridos anteriormente se transforma em energia mecânica, na movimentação dos pulmões, que gera a energia sonora.

b) Um corpo que se movimenta por inércia sobre um pla-no com atrito perde energia exclusivamente em forma de som, pois pode-se ouvir o barulho do atrito.

c) Uma pessoa, ao erguer um peso de massa 1 kg a uma altura de 1 metro, gasta uma energia da ordem de 1 joule.

d) Não é possível que um sistema físico perca energia, pois a conservação de energia é um princípio geral da natureza.

3. (PUC-RS) A propagação de ondas em meios não dispersivos envolve necessariamente:a) movimento de matéria. b) produção de energia.c) consumo de energia.d) transporte de energia. e) transporte de energia e matéria.

EXERCÍCIOS Resolva em seu caderno Exercício fundamental Exercício de fixação

3 Características de uma ondaSe precisar descrever uma determinada porção de matéria, você poderá fazê-

-lo fornecendo a massa e o volume dessa porção, e provavelmente algumas outras propriedades físicas ou químicas da matéria em questão. Mas, para descrever uma onda, é necessário um conjunto de variáveis completamente diferente.

Para exemplificar esse conjunto de variáveis, vamos analisar as ondas produ-zidas em uma corda esticada, como a que vimos há pouco. Consideremos que, desta vez, as perturbações são produzidas contínua e repetitivamente pela mão da pessoa. A figura seguinte mostra o aspecto da corda após a mão ter realizado algumas oscilações completas. As ondas se propagam ao longo da corda com uma certa velocidade v. (Fig. 3.11)

Figura 3.11 O operador está movimentando a mão continuamente e as ondas geradas são ditas periódicas.

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Figura 3.13 As ondas A e B têm mesma amplitude; as ondas B e C têm mesmo comprimento de onda.

Figura 3.12 A amplitude A e o comprimento de onda l de uma onda.

Antes de iniciarmos a análise dessa onda, observe a figura e responda às duas perguntas propostas.

Ao iniciar o movimento vertical, o operador lançou a corda para cima •ou para baixo?

• Deacordocomafigura,quantoscicloscompletosooperadorrealizouaté o instante representado? Considere que cada ciclo corresponde ao movimento completo de vaivém da mão (ida e volta).

Antes de responder, lembre-se de que os pontos da corda repetem o movimento da fonte de ondas. Além disso, a movimentação da mão do ope-rador ocorre em ciclos repetitivos, cada qual correspondendo ao movimento de ida e volta da mão, até seu retorno às condições iniciais.

A observação da figura permite-nos concluir que o operador iniciou o movimento levando a mão para cima e que, até o instante representado, ele realizou quatro ciclos completos.

Essa onda possui certas propriedades e características que estarão pre-sentes em muitos outros tipos de onda.

Observe, em primeiro lugar, que cada ponto da corda oscila para cima e para baixo em torno de uma posição de equilíbrio, posição que os pontos ocupariam se a onda não estivesse presente.

A amplitude A da onda corresponde ao máximo afastamento que as partículas da corda podem apresentar em relação à posição de equilíbrio. A amplitude de uma onda está relacionada à energia que transporta: quanto maior a amplitude, maior a quantidade de energia que a onda estará trans-portando, energia essa que lhe foi transferida pela fonte de ondas.

Nesse tipo de onda, seu ponto mais alto recebe o nome de crista (ou pico), e seu ponto mais baixo corresponde ao vale (ou cavado).

O comprimento de onda, grandeza geralmente representada por l (letra grega lambda), corresponde ao comprimento de uma onda completa. Ele pode ainda ser medido pela distância entre uma crista e a vizinha, ou então, pela distância entre um vale e o vizinho.

A figura seguinte destaca esses pontos e grandezas para a onda produzida na corda. (Fig. 3.12)

Observe que as ondas A e B (Fig. 3.13) têm mesma amplitude (AA 5 AB) mas comprimentos de onda diferentes (lA . lB). As ondas B e C têm compri-mentos de onda iguais (lB 5 lC) mas amplitudes diferentes (AB . AC).

Para a produção da onda na corda, o operador precisou movimentar sua mão em ciclos. O tempo necessário para a realização de um ciclo completo (ida e volta) recebe o nome de período, representado por T. Os pontos do meio também realizam ciclos, e o período do movimento dos pontos da corda é igual ao período do movimento da mão, que, neste caso, é a fonte de ondas. Dessa maneira, o período da onda é sempre igual ao período da fonte de ondas.

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Outra grandeza fundamental no estudo das ondas, senão a mais impor-tante, é a sua frequência, grandeza representada por f, que corresponde ao número de ondas que passam por um determinado ponto do meio ou ao número de ondas que são produzidas, em um dado intervalo de tempo:

f 5 n ___ Dt

em que n é o número de ondas e Dt é o intervalo de tempo correspon-dente.

É intuitivo perceber que a frequência f de uma onda está relacionada ao período T: quanto menor o período T, maior será o número de ondas pro-duzidas num dado tempo, ou seja, maior será a frequência f. O período T e a frequência f são grandezas inversamente proporcionais.

A relação entre o período T e a frequência f pode ser obtida a partir da fórmula acima. Quando o intervalo de tempo considerado é igual ao período (Dt 5 T ), apenas uma onda foi produzida (n 5 1). Então:

f 5 1 __ T

No Sistema Internacional de Unidades, abreviadamente SI, o período T

de uma onda é medido em segundos (s) e a frequência f em 1 __ s ou s21, ou,

ainda, ciclo ________ segundo , unidade que recebe o nome de hertz, símbolo Hz.

A velocidade v de propagação da onda em um meio é outra grandeza fundamental para o estudo das ondas. Ela depende apenas de características desse meio. Assim, se nenhuma alteração é introduzida no meio, a velocidade da onda permanece constante.

No caso que estamos analisando, percebe-se que a velocidade de propa-gação da onda depende do tipo de corda: se ela for mais pesada, a velocidade será mais baixa; se ela for mais leve, mais alta será a velocidade. Depende também da força com que a corda é esticada: quanto mais fortemente esticada, maior a velocidade; quanto menos tensa, menor a velocidade de propagação da onda.

Portanto, podemos afirmar como regra geral que:

A velocidade de propagação de uma onda em um dado meio é constante e só depende de características físicas do meio.

Podemos deduzir uma importante relação entre as grandezas fundamentais características de uma onda.

A figura ao lado mostra uma série de instantâneos (A), (B) e (C), obtidos durante o processo de produção de ondas periódicas em uma corda tensa. (Fig. 3.14)

A figura (A) representa o instante t 5 0, quando o operador inicia o movimento com período T, ou seja, sua mão gastará um tempo igual a T para completar um ciclo. Assim, após um tempo igual a T, ela terá retornado à posição inicial.

As figuras (B) e (C) ilustram situações do processo nos instantes t 5 T e t 5 2 ? T. Observe que, ao final do primeiro ciclo, uma onda completa foi produzida na corda e, ao final de dois ciclos, (C), temos duas ondas completas, e assim por diante.

Figura 3.14 A geração de uma onda completa acontece durante um intervalo de tempo Dt 5 T.

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Note que no intervalo de tempo Dt 5 T, entre a figura (B) e a (C), a crista e todos os outros pontos da primeira onda sofreram um deslocamento Ds 5 l ao longo da corda.

Como a velocidade de propagação da onda ao longo da corda é cons-tante, a velocidade em qualquer instante é igual à velocidade média. Então, usando a definição de velocidade média, temos:

v 5 vm V v 5 Ds ___ Dt

V v 5 l __ T

Lembrando que 1 __ T 5 f, obtemos: v 5 l ? f

Essa importante relação mostra que, em um determinado meio, o comprimento de onda é inversamente proporcional à frequência da onda. Assim, se duplicamos a frequência de geração das ondas, seu comprimento de onda será reduzido à metade, pois a velocidade de propagação da onda permanece constante se não alteramos as condições físicas do meio. (Fig. 3.15)

Como exemplo de aplicação da relação entre a velocidade de propagação, a frequência e o comprimento de onda, acom-panhe a resolução do problema proposto a seguir.

Uma haste vibra em contato com a superfície da água contida em um tanque. As cristas circulares das ondas que surgem na água distam entre si 4 cm. A velocidade de pro-pagação dessas ondas é de 2 m/s.

a) Qual é a frequência de vibração da haste?

b) Se aumentarmos apenas a amplitude de vibração da haste, o que ocorrerá com a frequência, com o com-primento de onda e com a velocidade de propagação das ondas?

a) Pelo enunciado, são dados: l 5 4 cm 5 4 ? 1022 m e v 5 2 m/s.

A equação das ondas fornece:

v 5 l ? f  V  2 5 4 ? 10 22 ? f  V  f 5 2 _______ 4 ? 1022 V

V  f 5 50 Hz

b) A frequência das ondas não se altera, pois a haste continua a gerar 50 ondas a cada segundo (f 5 50 Hz). A velocidade das ondas também permanece a mesma, pois só depende do meio, e este não foi mudado. Como v e f permanecem constantes, podemos concluir que o comprimento de onda l das ondas também não se altera.

Ao aumentar a amplitude das vibrações, a haste produz as ondas com mais energia; portanto, com maior amplitude. A figura abaixo mostra-nos as ondas antes e depois da alteração na amplitude de vibração da haste.

Figura 3.15 Num dado meio, quanto maior a frequência da onda, menor será seu comprimento de onda.

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CAPÍTULO 3 Ondas e som • 133

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4. A figura abaixo mostra uma lâmina de aço engastada no solo, que vibra entre as posições extremas A e B. O intervalo de tempo para a lâmina se deslocar

de A para B é de 1 ____ 100 s.


6. (UCB-DF) O senhor KeK foi internado, no hospital Hertz, por sua família, pois necessitava de cuidados médicos. A enfermeira TT colocou soro no senhor KeK, pois o mesmo estava muito fraco. O soro for-necido ao paciente goteja à razão de 20 gotas por minuto. Julgue os itens abaixo, identificando os verdadeiros e os falsos.a) O período médio de gotejamento é de 2,0 s.b) A frequência média de gotejamento é igual a 5,0 Hz.c) Quando comparamos o período e a frequência, tais

grandezas estão em proporção inversa.d) Em um minuto, o período de gotejamento tem

valor igual a 3,0 s.e) Como a frequência é o inverso do período, suas

unidades no SI (Sistema Internacional) são as mesmas.

7. (PUC-PR) Um rapaz e uma garota estão em bordas opostas de uma lagoa de águas tranquilas. O rapaz, querendo comunicar-se com a garota, coloca den-tro de um frasco plástico um bilhete e, arrolhado o frasco, coloca-o na água e lhe dá uma pequena velocidade inicial. A seguir, o rapaz pratica movi-mentos perió dicos sobre a água, produzindo ondas que se propagam, pretendendo com isso aumentar

O próximo exemplo mostra como, a partir da figura de uma onda, podemos determinar seu comprimento de onda e, a partir daí, suas outras características.

A figura ao lado mostra um trecho de uma onda que se propaga em um fio esticado. A fonte que gera a onda opera com frequência de 30 Hz. Determine:

a) a amplitude da onda;

b) seu comprimento de onda;

c) a velocidade de propagação da onda no fio.

a) De acordo com a figura, temos:

2 A 40 cm V A 20 cm

b) O comprimento de onda também pode ser obtido a par-tir da figura. O trecho de comprimento 3 m, destacado na figura, corresponde ao comprimento de uma onda inteira mais meia onda. Então:

__ 2 3 m V 3 ____ 2 3 m V 2 m

c) A velocidade de propagação da onda no fio pode ser ob-tida com a equação fundamental das ondas. Conhecemos 2 m e f 30 Hz. Então:

v f V v 2 30 V v 60 m/s

a) Qual é o período do movimento vibrató rio dessa lâmina?

b) Qual é sua frequência de vibração?

5. Explique os termos: comprimento de onda, frequência e amplitude.

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a velocidade do frasco em direção à garota. Com relação a esse fato, podemos afirmar:a) Se o rapaz produzir ondas de grande amplitude, a

garrafa chega à outra margem mais rápido.b) O tempo que a garrafa gasta para atravessar o lago

dependerá de seu peso.c) Quanto maior a frequência das ondas, menor será

o tempo de percurso até a outra margem.d) A velocidade da garrafa não varia, porque o que se

transporta é a perturbação, e não o meio.e) Quanto menor o comprimento de onda, maior será

o aumento na velocidade da garrafa.

8. (Uesb-BA) O gráfico mostra a variação da elongação x de uma onda com a distância d percorrida por ela.

O comprimento de onda, em cm, e a amplitude, em cm, são, respectivamente, iguais a:

a) 2 e 2. c) 3 e 2. e) 4 e 4.b) 3 e 4. d) 4 e 2.

9. O que você quer dizer quando afirma que uma corda é percorrida por uma onda com frequência de 20 Hz?

10. (UFC-CE) O gráfico abaixo representa a amplitude de um sinal sonoro em função do tempo t, medido em milissegundos (1 ms 5 1 ? 1023 s). Ache a frequência desse sinal.

11. Reproduza em seu caderno a figura abaixo, que mos-tra um trecho de corda através da qual se propaga uma onda. Indique, para o instante representado na figura, a direção e o sentido do vetor quantidade

de movimento ( ___

 Q 5 m ?

__  v ) dos pontos A, B, C, D e

E da corda.

13. As figuras abaixo mostram duas ondas, A e B, que se propagam através de um mesmo meio material.

12. Considerando que a velocidade de uma onda em determinado meio permanece constante, como o aumento da frequência da onda altera seu compri-mento de onda?

a) Qual das duas ondas possui maior amplitude?b) Qual delas possui maior comprimento de onda?

c) Qual é o valor da relação fA __ fB

, entre as frequências

das ondas A e B?

14. Represente esquematicamente duas ondas, A e B, que se propagam em um mesmo meio material, sabendo que a relação entre seus comprimentos de onda é

igual a lA ___ lB

5 2. Considere que a amplitude da onda A

é maior que a amplitude da onda B. Qual é o valor da

relação fA __ fB

, entre as frequências das ondas A e B?

15. (Vunesp) As figuras 1 e 2, desenhadas numa mesma escala, reproduzem instantâneos fotográficos de duas ondas propagando-se em meios diferentes.

a) Denominados A1 e A2 e l1 e l2, respectivamente, as amplitudes e os comprimentos de onda associados

a essas ondas, determine as razões A1 ___ A2

e l1 __ l2

.

b) Supondo que essas ondas têm a mesma frequência e que a velocidade da primeira é igual a 600 m/s, determine a velocidade da segunda.

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16. Uma onda, com frequência igual a 50 Hz, propaga-se em uma corda com velocidade de 100 m/s. Deter-mine seu comprimento de onda.

17. Qual é a velocidade de propagação de uma onda de frequência 20 Hz e comprimento de onda 17 m?

18. Um pescador observa que cristas de ondas passam a cada 3 s pelo seu barco ancorado. Ele também observa que a distância entre duas cristas sucessivas é igual a 6 m. Qual é a velocidade de propagação dessas ondas?

19. (Mackenzie-SP) Um menino na beira de um lago ob-servou uma rolha que flutuava na superfície da água, completando uma oscilação vertical a cada 2 s, devido à ocorrência de ondas. Esse menino estimou como sendo de 3 m a distância entre duas cristas consecutivas. Com essas observações, o menino concluiu que a velocidade de propagação dessas ondas era de:a) 0,5 m/s c) 1,5 m/s e) 6,0 m/sb) 1,0 m/s d) 3,0 m/s

20. (UFV-MG) As figuras ilustradas abaixo representam ondas geradas pela queda periódica de pequenas pedras em dois recipientes idênticos contendo a mesma quantidade de água.

cristas sucessivas das ondas circulares produzidas na água do tanque era de 20 cm. Ele pode concluir corretamente que a velocidade de propagação das ondas na água é de:a) 0,10 m/s c) 0,40 m/s e) 2,0 m/sb) 0,20 m/s d) 1,0 m/s

22. (EsPCEx-SP) De uma torneira mal fechada caem gotas idênticas à razão de 4 gotas a cada segundo, exatamente no centro da superfície livre da água contida em um recipiente circular de raio r 5 40 cm. As frentes originadas pelas primeiras dessas gotas são mostradas na figura.

Considere as afirmativas abaixo: I. O comprimento da onda é maior no recipiente 2. II. A frequência da onda é maior no recipiente 2. III. A velocidade de propagação da onda é maior no

recipiente 2.Em relação às afirmativas, é correto dizer que:a) apenas III é verdadeira.b) II e III são verdadeiras.c) I e III são verdadeiras.d) I e II são verdadeiras.e) apenas I é verdadeira.

21. (Fatec-SP) No centro de um tanque com água, uma torneira pinga a intervalos regulares de tempo. Um aluno contou 10 gotas pingando durante 20 s de observação e notou que a distância entre duas

Com base no que foi descrito, pode-se afirmar que:

a) v 5 32 cm/s e f 5 1 __ 4 Hz.

b) v 5 64 cm/s e T 5 4 s.c) v 5 32 cm/s e f 5 4 Hz.d) v 5 64 cm/s e T 5 0,5 s.e) v 5 18 cm/s e f 5 2 Hz.

23. (Vunesp) A figura mostra uma onda que se propaga ao longo de uma corda com frequência de 50 Hz.

Sua velocidade de propagação e comprimento de onda são, respectivamente, iguais a:

a) 800 cm/s e 8 cm. d) 400 cm/s e 16 cm.b) 800 cm/s e 16 cm. e) 200 cm/s e 8 cm.c) 400 cm/s e 8 cm.

24. A figura abaixo representa um trecho de uma onda que se propaga, em um certo meio material, com velocidade 450 m/s.a) Qual é o seu comprimento de onda?b) Qual é a sua frequência?

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136 • Unidade ii

Vibração Propagação Onda transversal

Comprimento de onda

Vibração

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Comprimento de onda

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4 Tipos de ondaDesde o início de nosso estudo de ondas, sabemos que, apesar de uma

onda poder se propagar por longas distâncias, as partículas do meio através do qual ela se propaga vibram apenas em uma região limitada do espaço.

Quando uma onda se propaga em uma corda esticada, por exemplo da esquerda para a direita, as partículas da corda apenas vibram para cima e para baixo à medida que as ondas passam por elas. Portanto, as partículas do meio vibram em uma direção transversal (perpendicular) à direção de propagação da onda. Nesse caso, as ondas são denominadas ondas transversais.

Existe outro tipo de onda chamada onda longitudinal, na qual as par-tículas do meio vibram na mesma direção em que a onda se propaga. Nesse tipo de onda, as partículas do meio passam por compressões e expansões (ou rarefações) periódicas à medida que a onda se propaga.

Esses dois tipos de onda podem ser produzidos, por exemplo, em uma mola slinky mantida esticada. (Fig. 3.16) Esse tipo de mola, de plástico ou de metal, pode ser encontrado em lojas de brinquedos.

A figura a seguir mostra uma onda transversal produzida em uma mola slinky esticada sobre uma mesa. (Fig. 3.17) Observe que o comprimento de onda l corresponde à distância entre duas cristas ou dois vales vizinhos. Note também que a direção de vibração dos pontos da mola é perpendicular à direção de propagação da onda.

No caso da onda longitudinal, a direção de vibração dos pontos da mola coincide com a de propagação da onda. (Fig. 3.18) A onda consiste de com-pressões e expansões de trechos da mola. Neste caso, o comprimento de onda l corresponde à distância entre duas regiões de compressão ou entre duas regiões de expansão da mola.

Um exemplo importante de onda longitudinal é o da onda sonora propagando-se no ar. Mais adiante, ainda neste capítulo, faremos um estudo mais detalhado das ondas sonoras.

Figura 3.17 Representação da onda transversal.

Figura 3.18 Representação da onda longitudinal.

Figura 3.16 Nesse tipo de mola podem ser produzidas ondas transversais e ondas longitudinais.

Você sabe por quê?Quando um terremoto é origi-

nado em algum ponto do planeta, ondas longitudinais e transversais são criadas simultaneamente e se propagam pela crosta terrestre a velocidades diferentes, podendo ser detectadas por sismógrafos loca-lizados a grandes distâncias do epi-centro do tremor. Conhecidas essas velocidades, pode-se determinar a localização do ponto de origem do terremoto (epicentro).

São necessários pelo menos dois sismógrafos, afastados um do outro, para se determinar com precisão a localização do epicen tro. Você sabe por quê?

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Ondas de rádio Micro-ondas Infravermelho

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A classificação de ondas que acabamos de fazer, em transversais e lon-gitudinais, leva em conta a direção de vibração. Mas podemos também classificá-las quanto à natureza, como onda mecânica ou como onda ele-tromagnética.

Onda mecânica é aquela que exige necessariamente a presença de um meio material elástico através do qual a perturbação se propaga. Em outras palavras, nesse tipo de onda o que vibra são porções de matéria. O som propagando-se no ar constitui uma onda mecânica, pois é o ar (meio mate-rial) que sofre a perturbação; a onda em uma corda é mecânica, pois são as partículas da corda (meio material) que vibram; as ondas do mar são ondas mecânicas, pois são as partículas de água que sofrem a perturbação. Assim, podemos concluir que as ondas mecânicas não podem existir no vácuo.

As ondas eletromagnéticas são criadas por cargas elétricas que vibram intensamente. Essa vibração origina campos elétricos e campos magnéticos que se propagam pelo espaço e dispensam a presença de um meio material. Portanto, as ondas eletromagnéticas são aquelas que também podem se propagar no vácuo, ou seja, na ausência total de matéria. As ondas lu-minosas, as de rádio e TV, os raios X e os raios gama são exemplos de ondas eletromagnéticas.

Ao lado, mostramos a orientação do campo elétrico __

E e do campo mag-

nético ___

B na onda eletromagnética. (Fig. 3.19) Observe que os dois campos

são perpendiculares um ao outro e também são perpendiculares à direção de propagação da onda. Sendo assim, a onda eletromagnética é sempre do tipo transversal.

No vácuo, todas as ondas eletromagnéticas propagam-se a uma mesma velocidade. Tal velocidade, usualmente representada por c, é a máxima pos-

sível para qualquer onda, ou partícula, e vale: c 3 108 m/s .

Assim, como v f e considerando v c constante, e f são inver-samente proporcionais entre si; portanto, as ondas eletromagnéticas com frequências maiores possuem comprimentos de onda menores.

O diagrama abaixo ilustra as principais ondas do espectro eletromagnético, ordenadas por frequência, e destaca o espectro da luz visível, com frequências entre 4 1014 Hz (vermelho) e 7,5 1014 Hz (violeta). (Fig. 3.20)

Em um meio material (ar, água, vidro etc.), a velocidade de propagação de uma onda eletromagnética depende da frequência dessa radiação nesse meio, fato que não se verifica no vácuo. Em geral, quanto mais denso o material, menor é a velocidade da radiação nesse meio. Para a luz, por exemplo, a velocidade de propagação é maior no ar do que na água e nesta é maior do que no vidro.

Figura 3.19 Representação de uma onda eletromagnética. (Uso de cores-fantasia.)

Você sabe por quê?O som propaga-se no ar a apro-

ximadamente 340 m/s, enquanto a luz propaga-se a 3 108 m/s.

Durante uma tempestade, muitas vezes vemos ao longe um relâmpago e só depois de algum tempo ouvi-mos o trovão. Você sabe por quê?

Figura 3.20 O espectro das ondas eletromagnéticas é o conjunto de ondas eletromagnéticas ordenadas pela frequência (ou pelo comprimento de onda). (Representação sem escala.)

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138 • Unidade ii

O que diz a mídia!

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O diagrama ao lado mostra como varia a velocidade de propagação de ondas luminosas — do vermelho ao violeta — em meios materiais transparentes. (Fig. 3.21)

Figura 3.21 Num dado meio material, a velocidade de uma onda eletromagnética

depende da sua frequência.

Os olhos não veem, a pele detecta

Foi justamente a emissão de calor que permitiu, há dois séculos, a descoberta da radiação no infraver melho pelo alemão Friedrich Wilhelm Herschel (1738-1822), também conhecido como Sir William Herschel [...]. Quando estudava as cores do espectro solar transmitidas por filtros que permitiam a passagem de apenas uma cor, Herschel notou que cada um dos filtros deixava passar uma quantidade específica de calor. Realizou então um experimento simples para medir a “tempera-tura” das diferentes cores do espectro, verificando que ela diminuía do vermelho para o violeta. Diante disso, decidiu verificar a temperatura da região do espectro imediatamente antes do vermelho e notou, surpreso, que ela era maior que a registrada nessa cor.

O cientista deduziu que esse fenômeno devia estar associado a uma forma de radiação invisível, que trans-mitia calor, e deu a ela o nome de raios caloríficos. Para investigar a natureza dessa nova forma de radiação, fez experiências envolvendo fenômenos da luz visível, como reflexão, refração e transmissão, e verificou que os raios caloríficos tinham, como a luz, natureza ondulatória. Demonstrou assim a existência de uma nova forma de luz, não visível, chamada então “infravermelho”. Só meio século depois James Clerk Maxwell (1831-1879) constataria que a luz visível e essa radiação eram apenas uma pequena parte do espectro da radiação eletromagnética.

Radiação invisívelQuando um raio de luz solar incide em um prisma de

vidro, forma-se do outro lado uma figura semelhante a um arco-íris, o chamado espectro. Deve-se tal efeito a uma pro-priedade especial do vidro, que faz com que componentes de menor frequência da luz visível (como a cor vermelha) sejam menos desviadas pelo prisma do que as de maior frequência (como a cor violeta). De modo geral, o espectro de determinado tipo de radiação corresponde à separação dos diferentes componentes (de frequência ou de compri-mento de onda) dessa radiação. A luz visível é uma “janela” ínfima do espectro da radiação eletromagnética, composta também por ondas de rádio, micro-ondas, infravermelho, ultravioleta, raios X e raios gama [...].

As ondas longas de rádio têm baixíssimas frequências, de 3.000 Hz (um Hz equivale a um ciclo por segundo) e enormes comprimentos de onda, de 105 m. No outro extremo do espectro, os raios gama têm enormes frequên-cias, da ordem de 1021 Hz, e comprimentos de onda muito

pequenos, da ordem de 10213 m. Na estreitíssima faixa da luz visível, os comprimentos de onda situam-se entre 4 3 1027 m (violeta) a 7 3 1027 m (vermelho). No infra-vermelho, tais comprimentos variam de valores próximos ao do vermelho (infravermelho próximo) até aproxima-damente 1 mm (infravermelho distante).

Nossos olhos não veem a radiação no infraver melho, mas nossa pele a detecta. Sentimos o calor de um objeto quente sem o tocar, e essa sensação vem da radiação no infravermelho que ele emite. A emissão de infravermelho por um objeto deve-se ao fato de os átomos e moléculas que o constituem estarem em constante vibração, sendo assim capazes de emitir radiação eletromagnética, como em uma antena. A frequência típica da vibração para os objetos à temperatura ambiente corresponde à do infravermelho. Mesmo os objetos muito frios emitem in-fravermelho. Quando um material é aquecido a altas tem-peraturas, aumenta a energia média de agitação térmica de seus átomos e, em consequência, também aumenta a frequência média da onda irradiada pelo material. Com isso, o material passa então a emitir radiação na região do vermelho, tornando-se avermelhado aos nossos olhos (um pedaço de metal incandescente, por exemplo).

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Fotografia de paisagem feita com: (A) câmera comum; (B) câmera sensível ao infravermelho. San Gabriel, Califórnia, EUA.

A imagem reproduzida na tela foi obtida com uma câmera sensível ao infravermelho. Oregon, EUA.

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Impressão digitalOs átomos e móleculas de um material têm maneiras

especiais de vibrar, chamadas modos normais de vibra-ção. Cada modo normal tem uma frequência de vibração bem definida. Como já foi dito, à temperatura ambiente, a frequência dos diferentes modos normais de vibração cai na faixa do infravermelho (médio e distante), o que explica o fato de cada material apresentar um conjunto de frequências de vibração nessa região. Essas frequências formam o chamado espectro infravermelho do material, que, como uma impressão digital, lhe confere indivi-dualidade. A espectroscopia no infravermelho, técnica experimental muito usada em laboratórios de pesquisa, é uma importante ferramenta para caracterizar os diferentes tipos de materiais.

O infravermelho no dia a diaO desenvolvimento de detectores de radiação no

infravermelho foi um desafio que envolveu cientistas, militares e industriais, principalmente na segunda metade do século 20. Essa tecnologia gerou grande número de aplicações para o infravermelho. É possível, usando câmeras de vídeo sensíveis a essa radiação, fazer imagens a partir unicamente das diferenças de temperatura de determinado corpo ou objeto [...]. Esse tipo de câmera fornece imagens que nossos olhos não são capazes de ver e permite a observação de um corpo mesmo em total escuridão.

As imagens no infravermelho são empregadas na Medicina para analisar órgãos e tecidos de forma não invasiva e se tornaram importante ferramenta no diag-nóstico precoce de doenças. Imagens desse tipo obtidas por satélite permitem localizar focos de incêndio em florestas e obter informações meteorológicas essenciais, como temperaturas de nuvens e correntes marítimas. Antigas estradas e trilhas usadas por civilizações de-saparecidas podem também ser detectadas nessas imagens, o que as torna úteis em estudos arqueológicos. Além disso, telescópios astronômicos que operam no infravermelho têm levado a importantes descobertas sobre o Universo.

Usamos no dia a dia uma série de aplicações do infravermelho. Controles remotos de aparelhos eletrônicos (como a televisão) usam essa radiação.O laser de um leitor de CDs emite radiação nessa faixa.Os caixas de supermercado usam detectores de infraver-melho para ler o código de barras dos produtos, assim como os sistemas de alarme que acusam a presença de um indivíduo em determinado local. Binóculos e câme-ras de infravermelho podem localizar pessoas em total escuridão. A mesma tecnologia, porém, tem aplicações menos nobres, na indústria bélica, como os detectores que corrigem a rota de um míssil durante a perseguição de objetos que emitem calor.

PIMENTA, M. A. Ciência Hoje, SBPC, v. 28, n. 166, p. 77-79., nov. 2000.

25. Nos terremotos, dois tipos de ondas sísmicas são gerados: as ondas de deslocamento, que viajam com velocidades vD da ordem de 5 km/s e são transver-sais, e as ondas de pressão, que viajam com velo-cidades vP da ordem de 9 km/s e são longitudinais. Com essas informações, responda às questões que seguem. a) Qual a natureza das ondas geradas nos terremotos:

mecânica ou eletromagnética? b) Em um estádio de futebol, algumas vezes a torcida

que está mais alegre inicia a brincadeira chamada “Ola”, produzindo um efeito semelhante a uma das ondas geradas num terremoto. De qual delas estamos falando, da longitudinal ou da transversal?

c) Conhecidas as velocidades vD e vP, o que os pes-quisadores precisam medir para poderem calcular a distância entre o posto de monitoramento de ocorrências sísmicas e o ponto de onde partiu o abalo (epicentro)?

d) Qual o número mínimo de pontos de monitoramento necessários para se localizar o epicentro?


26. Com os valores de vD e vP do exercício anterior, de-termine a distância do epicentro de um terremoto a um posto de monitoramento, sabendo que as ondas de pressão e de deslocamento chegaram ao detector do posto com uma diferença de 5,6 segundos.

27. (OBF) Em filmes de ficção científica, costumam ocorrer as seguintes cenas: uma estrela explodindo e o espectador, bem distante do evento, vê e ouve a explosão simultaneamente. João, que assiste ao filme, argumenta que existem dois erros de Física nessa cena. Quais são eles? Justifique.

28. (UEL-PR) A velocidade de propagação v de um pulso transversal numa corda depende da força de tração T com que a corda é esticada e de sua densidade linear d (massa por unidade de comprimento:

v 5 dXX T __

d ). Um cabo de aço, com 2,0 m de compri-

mento e 200 g de massa, é esticado com força de tração de 40 N. A velocidade de propagação de um pulso nesse cabo é, em m/s:a) 1,0 b) 2,0 c) 4,0 d) 20 e) 40

QuestãoDe acordo com o texto, cite três aplicações práticas das radiações na faixa do infravermelho.

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29. (PUC-SP) Os transmissores de uma emissora de rádio emitem ondas de frequência 100 MHz (100 ? 106 Hz). Considerando a velocidade de propagação dessas ondas eletromagnéticas no ar como 300.000 km/s, podemos dizer que o comprimento de onda da onda emitida é:a) 3.000 m d) 3 mb) 300 m e) 0,3 mc) 30 m

30. (Uesb-BA) As ondas luminosas são:a) ondas transversais que se propagam nos meios sólidos

com velocidade igual à sua velocidade no vácuo.b) ondas longitudinais que se propagam no vácuo com

a velocidade de 3 ? 108 m/s.c) ondas transversais que se propagam no vácuo com

a velocidade de 3 ? 108 m/s.d) ondas longitudinais que se propagam no ar com a

velocidade de 340 m/s.e) ondas transverso-longitudinais que apresentam um

componente transversal elétrico e um componente longitudinal magnético.

31. (UCS-RS) A faixa de radiação eletromagnética sensível ao olho humano, chamada luz visível, é composta pelas radiações vermelha, alaranjada, amarela, verde, azul, anil e violeta, e localiza-se entre a radiação in-

fravermelha e a radiação ultravioleta. Com base nessas informações, é correto afirmar que:a) o comprimento de onda da radiação visível cresce

à medida que se passa da radiação vermelha para a radiação violeta.

b) o comprimento de onda da radiação infravermelha é menor do que o comprimento de onda da radiação ultravioleta.

c) a frequência da radiação azul é igual à frequência da radiação violeta.

d) a frequência da radiação ultravioleta é maior do que a frequência da radiação infravermelha.

e) a frequência da radiação amarela é maior do que a frequência da radiação verde.

32. (UFC-CE) Você está parado em um cruzamento, espe-rando que o sinal vermelho fique verde. A distância que vai de seu olho até o sinal é de 10 metros. Essa distância corresponde a vinte milhões de vezes o com-primento de onda da luz emitida pelo sinal. Usando essa informação, você pode concluir, corretamente, que a frequência da luz vermelha é, em Hz:a) 6 ? 106 c) 6 ? 1010 e) 6 ? 1014

b) 6 ? 108 d) 6 ? 1012

(Dado: c 5 3 ? 108 m/s.)

5 Fenômenos ondulatóriosExistem alguns fenômenos físicos que são comuns a todos os tipos de

onda, seja ela mecânica ou eletromagnética, transversal ou longitudinal. Den-tre eles destacaremos: a reflexão, a refração, a difração e a interferência.

Neste estudo de ondas destacaremos, para esses fenômenos, apenas os aspectos mais relevantes nesse primeiro contato. A reflexão e a refração serão estudadas detalhadamente no próximo capítulo, ocasião em que faremos o estudo da luz na Óptica Geométrica. A difração e a interferência receberão, por enquanto, apenas uma análise qualitativa.

ReflexãoVocê provavelmente já assistiu ou participou de um jogo de bilhar. Um

bom jogador de bilhar sabe como usar as tabelas (laterais da mesa) para con-seguir encaçapar as bolas. Quando atinge uma tabela, a bola em movimento retorna e forma com a perpendicular à lateral da mesa o mesmo ângulo que formava antes do choque. (Fig. 3.22)

Uma onda pode apresentar comportamento semelhante. Sempre que atinge um obstáculo ou uma fronteira de separação entre dois meios, ela pode, total ou parcialmente, retornar para o meio em que estava se propa-gando. Esse fenômeno é denominado reflexão.

A figura ao lado mostra frentes de ondas retas refletindo em uma parede plana. (Fig. 3.23) As frentes de ondas (representadas em azul) são regiões do meio atingidas pelas ondas em um determinado instante. As retas em vermelho representam os raios de ondas (linhas perpendiculares às frentes de onda). A linha tracejada em preto é perpendicular à superfície refletora no ponto de incidência da onda e recebe o nome de reta normal.

Figura 3.22 A bola de bilhar reflete-se ao incidir na lateral da mesa.

Figura 3.23 Ondas refletem-se ao incidir contra um obstáculo.

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Na reflexão das ondas, o ângulo de incidência i, entre o raio de onda incidente e a reta normal, é sempre igual ao ângulo de reflexão r, entre o raio

de onda refletido e a reta normal: i 5 r .

As ondas sonoras também podem, algumas vezes, refletir nas pa-redes de uma sala ou nas estruturas de um edifício e produzir ecos e reverberações.

No caso da ocorrência de eco, fenômeno bastante comum, a pessoa ouve distintamente o som direto e posteriormente o som refletido em um obstáculo.

Na reverberação, o som refletido chega ao ouvido da pessoa antes da extinção completa do som direto e, como resultado, ela não consegue diferenciar o som direto do som refletido, acabando por ouvir um único som, porém com uma duração maior. O fenômeno pode ser facilmente observado, por exemplo, em um ginásio coberto quando uma bola de basquete bate no piso da quadra. O som ouvido é bastante diferente daquele que se produziria em uma quadra aberta.

As ondas luminosas sofrem reflexão nos espelhos e superfícies poli-das e produzem imagens. A superfície tranquila da água de um rio pode funcionar como um espelho. (Fig. 3.24)

Ao sofrer a reflexão, a onda refletida retorna para o mesmo meio no qual se propagava. Assim, a velocidade de propagação v da onda não se altera, pois, como já sabemos, a velocidade de uma onda depende apenas de características do meio.

Como a frequência de uma onda depende apenas da fonte que a gerou, podemos concluir que sua frequência f também não se altera.

Pela relação fundamental das ondas (v 5 l ? f ), se v e f permanecem cons-tantes, então o comprimento de onda l também permanece constante.

Logo, as ondas incidente e refletida têm mesma frequência (f1 5 f2), mesma velocidade de propagação (v1 5 v2) e mesmo comprimento de onda (l1 5 l2).

Figura 3.24 A luz sofre reflexão ao incidir na superfície da água de um rio. São Paulo-SP, 2009.

Você sabe por quê?Quando um pulso, que se propa-

ga em uma corda esticada e fixa pela extremidade, reflete-se nessa extre-midade, o pulso refletido inverte-se. Ou seja, se o pulso incidente estiver se propagando na região acima da corda, então o pulso refletido retor-nará pela região abaixo da corda, conforme a figura a seguir.

Usando o princípio da ação e rea-ção, você sabe explicar por que isso acontece? O que aconteceria se a ex-tremidade da corda estivesse presa a um anel que pudesse se movimentar livremente ao longo de um arame?

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33. A figura ao lado representa a superfície da água conti-da em um recipiente e um pulso de onda reto P que se propaga em direção ao obstáculo refletor R. A seta indica o sentido de propaga-ção do pulso P. Identifique a alternativa que melhor representa a posição do pulso de onda na superfície do líquido após sua reflexão no obstáculo R.a)

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d)

PR

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P

R

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PR

c)

PR


34. Um pulso de onda circular é gerado no ponto O, centro da superfície líquida da água contida em um recipiente de secção quadrada de lado 2 m, no instante t 5 0. Considerando que a velocidade de propagação do pulso é de 1,2 m/s, represente aforma desse pulso no instante t 5 1 s.

35. Uma pessoa, parada diante de uma grande parede ver-tical, bate palmas de maneira compassada. Ela ajusta o ritmo das palmas de modo que, ao fazê-lo a 30 pal-mas por minuto, deixa de ouvir o eco, pois este che-ga aos seus ouvidos juntamente com o som produzi-do naquele instante. Considerando que a velocidade do som no ar é de 340 m/s, determine a distânciamínima entre a pessoa e a parede.

36. Para um ser humano distinguir dois sons que chegam aos seus ouvidos, é necessário um intervalo de tempo mínimo de 0,1 s. Assim, para um ser humano perceber o eco de suaprópria voz no ar, considerando que a velocidade do som é igual a 340 m/s, é necessário que a distância entre a pessoa e o anteparo refletor seja de, pelo menos, 17 m. Um mergulhador na água, meio no qual o som propaga-se a 1.600 m/s, bate com sua faca em uma pedra. Qual deverá ser a distância mí-nima entre esse mergulhador e um obstáculo refletor para que ele perceba o eco da batida?

Vamos aplicar essa teoria a um exemplo simples.

A figura abaixo ilustra, para o instante t 5 0, uma frente de onda reta AB que se propaga pela água de um tanque com velocidade de 6 m/s. As paredes do tanque atuam como superfícies refletoras. Esboce a forma do pulso AB no instante t 5 1 s.

atingido as paredes do tanque. Os pontos do pulso que já teriam passado pelas paredes, naturalmente serão refletidos, e o pulso de onda terá a forma final mostrada na figura 2.

No intervalo de tempo Dt 5 1 s, entre o instan-te t 5 0 e o instante t 5 1 s, a frente de onda terá percorrido uma distância d 5 6 m, visto que a onda se propaga a 6 m/s. Se nesse intervalo de tempo a onda não tivesse sofrido reflexão, ela deveria ocu-par a posição dada por A’B’, mostrada na figura 1 a seguir. Note que parte do pulso ainda não teria

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Refração

A figura ao lado representa um eixo com duas rodas retiradas de um carrinho de brinquedo. (Fig. 3.25) Imagine agora que essas rodas sejam lançadas sobre um chão liso e, durante o movimento, passem para cima de um tapete. Intuitivamente sabemos que, no chão liso, a velocidade das rodas e do eixo é maior do que durante o movimento sobre o tapete.

Se lançarmos as rodas obliquamente em direção ao tapete, aquela que primeiro passar para cima do tapete irá se deslocar mais lentamen-te, enquanto a outra, ainda no chão liso, manterá sua velocidade. Comoresultado, o eixo sofrerá um desvio e mudará a direção do movimento.(Fig. 3.26) O oposto ocorre quando as rodas e o eixo passam do tapete para o chão liso. Se o eixo for lançado perpendicularmente ao tapete, apesar da mudança de velocidade, a direção do movimento não vai se alterar, pois as duas rodas mudam de velocidade ao mesmo tempo.

Fenômeno semelhante pode ocorrer com as ondas. À passagem da onda de um meio para outro, no qual sua velocidade se altera, damos o nome de refração. Dependendo de como incide na fronteira de separação dos dois meios, a onda pode sofrer um desvio de sua direção de propagação.

A refração de ondas pode ser observada, por exemplo, na sua arre-bentação na praia. (Fig. 3.27) O fenômeno ocorre porque a velocidade de propagação da onda varia devido à variação de profundidade da água.O funcionamento das lentes, conforme veremos no capítulo 4, baseia-se no fenômeno da refração, pois a luz, ao passar do ar para o vidro e depois do vidro para o ar, sofre desvios em sua direção de propagação.

Ao compararmos as ondas incidente e refratada, devemos ter em mente que sua frequência não sofre qualquer alteração (f1 5 f2) — lembre-se de que a frequência de uma onda só depende da fonte geradora de ondas —, mas, como a velocidade se altera, seus comprimentos de onda também se modi-ficam. Na refração, o comprimento de onda l é diretamente proporcional à velocidade de propagação v da onda, pois v 5 l ? f . Assim, se a velocidade da onda aumentar, seu comprimento de onda também aumentará, e na mesma

proporção: v1 __ v2

5 l1 __ l2

.

A relação v1 __ v2

5 l1 __ l2

é a grandeza física adimensional denominada índice

de refração do meio 2 em relação ao meio 1, usualmente representada por n2,1. Portanto, o índice de refração de um meio 2 em relação a um meio 1 é:

n2,1 5 v1 __ v2

5 l1 __ l2

 

Figura 3.26 A mudança da velocidade da roda provoca uma alteração na direção em que o eixo se desloca.

Figura 3.27 Ao se aproximarem da praia, as ondas têm sua velocidade alterada e, por isso, elas refratam com alteração no comprimento de onda. Ubatuba-SP, 2008.

Figura 3.25 As rodas, ligadas ao eixo, podem girar independentemente uma da outra.

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Considere uma onda periódica que se propaga em um meio 1 com velocidade de 20 m/s e comprimento de onda de 5 m. Essa onda incide em uma fronteira de separação com um meio 2 e, nesse meio, passa a se propagar com velocidade de 16 m/s. Determine:

a) a frequência da onda;

b) o comprimento de onda da onda no meio 2.

A resolução do exercício faz uso praticamente apenas da equação fundamental das ondas.

a) Conhecemos v1 5 20 m/s e l1 5 5 m. Então:

v 5 l ? f V 20 5 5 ? f1 V f1 5 4 Hz

b) Sabemos que a frequência de uma onda não se altera quando a onda sofre refração. Então, no meio 2 a frequência da onda será f2 5 f1 5 4 Hz. Mais uma vez, com a equação fundamental das ondas e conhecendo-se v2 e f2, obtemos:

v 5 l ? f V  16 5 l2 ? 4 V l2 5 4 m

Poderíamos também usar a relação n2,1 5 v1 __ v2

5 l1 __ l2

para obter esse resultado.

O desvio sofrido pela onda está relacionado à velocidade da onda em cada um dos meios.

Ao se refratar, a onda obedece à relação: sen i _____ sen r 5 v1 __ v2

ou, ainda,

sen i _____ sen r 5 l1 __ l2

, em que i e r são respectivamente os ângulos de incidência e

de refração da onda. (Fig. 3.28) A linha perpendicular às frentes de onda — retas vermelhas na figura — é denominada raio de onda.

Como regra geral, podemos dizer que o ângulo r, entre a reta normal à superfície de separação dos meios e o raio de onda, aumentará se a velo-cidade de propagação da onda aumentar; se a velocidade de propagação da onda diminuir, então o referido ângulo também diminuirá. A exceção à regra ocorre quando a onda incide perpendicularmente à superfície de separação dos meios (i 5 0). Nesse caso, a onda refrata-se sem desvio (r 5 0), apesar da mudança de velocidade.

Neste ponto, é importante ressaltar que, ao sofrer a refração, parte da onda é inevitavelmente refletida. Nisso se baseia o uso de ondas mecânicas e eletromagnéticas na obtenção de imagens médicas.

Vamos aplicar essa teoria a um exemplo numérico.

Figura 3.28 Na refração, para uma incidência oblíqua, se a velocidade da onda diminui, o raio de onda aproxima-se da normal.

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IX

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37. Uma onda propagando-se em um meio A, com compri-mento de onda lA 5 2 m, sofre refração e passa a se propagar em um meio B, com comprimento de onda lB 5 3 m.a) Das grandezas físicas velocidade de propagação, frequên-

cia e período, qual(is) permanece(m) inalterada(s)?b) Se a frequência das ondas no meio A vale 30 Hz, qual é

a velocidade de propagação dessas ondas no meio B?

38. Uma onda sonora com frequência de 100 Hz propagando--se no ar, com velocidade de 340 m/s, refrata-se e passa a se propagar na água com velocidade de 1.600 m/s.a) Qual é o comprimento de onda desse som no ar?b) Determine, para essa onda, o índice de refração do

ar em relação à água.c) Qual é o comprimento de onda desse som na água?

39. (Ufla-MG) Uma onda periódica sofre refração, ao passar para um meio no qual sua velocidade é maior. O que acontece com o período, com a frequência e com o comprimento de onda?a) O período e a frequência não mudam; o comprimento

de onda é menor.b) O período diminui; a frequência aumenta; o com-

primento de onda não muda.c) O período e a frequência não mudam; o comprimento

de onda é maior.d) O período aumenta; a frequência diminui; o com-

primento de onda aumenta.e) O período aumenta; a frequência aumenta; o com-

primento de onda aumenta.

40. (Efoa-MG) Um raio de luz monocromática de fre-quência f, velocidade v e comprimento de onda l incide perpendicularmente na interface ar-água proveniente do ar. Pode-se afirmar que, ao atravessar essa interface:a) f permanece constante, v aumenta e l cresce.b) f diminui, v diminui e l cresce.c) f aumenta, v aumenta e l cresce.d) f aumenta, v diminui e l permanece constante.e) f permanece constante, v diminui e l diminui.

41. (UFSM-RS) Considere as afirmações a seguir, a res-peito da propagação de ondas em meios elásticos.

I. Em uma onda longitudinal, as partículas do meio no qual ela se propaga vibram perpendicularmente à direção de propagação.

II. A velocidade de uma onda não se altera quando ela passa de um meio para outro.

III. A frequência de uma onda não se altera quando ela passa de um meio para outro.

Está(ão) correta(s):a) apenas I. c) apenas III. e) apenas I e III.b) apenas II. d) apenas I e II.

42. (Vunesp) A figura representa uma onda periódica I que atinge a superfície de separação S, entre dois meios. Representa, também, outros dois trens de ondas, X e Y, a serem identificados e a linha pontilhada representa a normal à superfície de separação S.


Os dois trens de ondas, X e Y, correspondem, respectiva-mente, a ondas:a) refletida e refratada. d) difratada e refratada.b) refletida e difratada. e) refletida e polarizada.c) refratada e refletida.

43. (UFV-MG) Uma piscina possui uma metade mais funda que a outra. Um trem de ondas retas é produzido na parte mais rasa e se propaga em sentido à parte mais funda. A figura seguinte ilustra a situação, observada de cima da piscina.

Fazendo uma analogia com o fenômeno da refração da luz, responda:a) A velocidade de propagação da onda aumenta, di-

minui ou permanece constante, quando passa a se propagar na parte mais funda? Explique.

b) O comprimento de onda aumenta, diminui ou per-manece constante, quando passa a se propagar na parte mais funda? Explique.

c) A frequência da onda aumenta, diminui ou per-manece constante, quando passa a se propagar na parte mais funda? Explique.

44. (Unirio-RJ) Uma onda com velocidade v1 e compri-mento de onda l1, após ser refratada, passa a ter velocidade v2 e comprimento de onda l2. Considerando que v2 5 2 ? v1, podemos afirmar que:a) l2 5 1 __ 3 ? l1 c) l2 5 l1 e) l2 5 3 ? l1

b) l2 5 1 __ 2 ? l1 d) l2 5 2 ? l1

45. (UEL-PR) Ondas mecânicas, de frequência 50 Hz, propa-gam-se num meio A com velocidade 300 m/s e sofrem refração quando chegam a um outro meio B. Se o índice de refração do meio B em relação ao meio A for 1,2, o comprimento de onda no meio B vale, em metros:a) 6,0 c) 4,0 e) 2,5b) 5,0 d) 3,0

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DifraçãoDifração é o nome dado à capacidade que uma onda apresenta de con-

tornar obstáculos ou de passar por fendas.

Em 1678, o físico holandês Christian Huygens (1629-1695) estabeleceu um princípio, que hoje leva seu nome, visando explicar a difração da luz.

Princípio de HuygensCada ponto do meio atingido pela onda comporta-se, num dado

instante, como uma fonte de “pequenas” ondas secundárias que se pro-pagam na direção e sentido da onda principal e com mesma velocidade. Num instante posterior, a nova região do meio atingida pela onda é a superfície que tangencia essas “pequenas” ondas secundárias.

Apesar de todas as ondas poderem sofrer a difração, esta só é facilmente perceptível quando o comprimento de onda da onda e o tamanho do obs-táculo são da mesma ordem de grandeza. As ondas sonoras, por exemplo, apresentam grandes comprimentos de onda e podem contornar grandes obstáculos. Por esse motivo, você pode ouvir o som emitido por uma pessoa do outro lado de um muro, apesar de não poder vê-la. (Fig. 3.29)

No entanto, a difração da luz dificilmente é percebida no dia a dia, pois ocorre apenas quando a luz passa por fendas muito estreitas ou quando contorna obstáculos minúsculos, isso porque o comprimento de onda da luz é muito pequeno.

InterferênciaSuponha que você e um colega mantenham uma corda esticada, cada

um segurando uma das extremidades. (Fig. 3.30)Se cada um de vocês produzir um pulso de onda, eles irão se propagar pela

corda e acabarão inevitavelmente por se encontrar. (Fig. 3.31-A)No instante em que os pulsos se cruzarem, ocorrerá uma super posição dos

efeitos individuais de cada um deles. A essa superposição de efeitos damos o nome de interferência.

Se, durante o cruzamento, houver um reforço das ondas, estará ocorrendo a chamada interferência construtiva. (Fig. 3.31-B) Após a interferência, cada pulso prossegue sem qualquer alteração. (Fig. 3.31-C)

Figura 3.29 O som sofre facilmente difração porque seus comprimentos de onda são da mesma ordem de grandeza dos obstáculos. (Representação sem escala, uso de cores-fantasia.)

Figura 3.31 Na interferência construtiva as ondas se reforçam.

Figura 3.30 Os pulsos, gerados pelas duas pessoas, propagam-se a uma mesma velocidade.

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98.

Mas podemos ter também uma situação na qual as ondas se cancelam total ou parcialmente, e, nesse caso, a interferência é chamada de interfe-rência destrutiva. (Fig. 3.32)

Figura 3.33 A interferência pode ocorrer com ondas bidimensionais, como as ondas na água, e também com ondas tridimensionais, como as ondas de som no ar.

Observe que também nesse caso cada pulso continua se propagando após a interferência, independentemente do outro.

A figura abaixo mostra a interferência de ondas circulares que se propa-gam na superfície de um líquido. As linhas circulares representam, alterna-damente, cristas e vales. Note que, no cruzamento de duas cristas ou no de dois vales, a interferência é construtiva. No cruzamento de crista de uma onda com o vale da outra, a interferência é destrutiva. (Fig. 3.33)

Se a observarmos a uma certa distância, perceberemos que a figura apresenta linhas claras, que correspondem, alterna da men te, a interferências construtivas e destrutivas.

Figura 3.32 Na interferência destrutiva as ondas se cancelam total ou parcialmente.

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46. Duas pessoas conversam, paradas diante de um muro, sendo ouvidas por uma terceira que está do outro lado e que não as pode ver. Sobre essa situação, responda: a) Qual o fenômeno ondulatório que a explica? b) O fenômeno citado no item a, dentro de certa

condição, ocorre com qualquer tipo de onda. Qual é essa condição?

c) Qual a razão de podermos ouvir e não podermos ver as pessoas que conversam do outro lado do muro?

47. A interferência de duas ondas, em um ponto do seu meio de propagação, caracteriza-se pela sobreposição dessas ondas, que se reforçam ou se atenuam mutua-mente, nesse ponto. Supondo idênticas as ondas que se sobrepõem, comparando a onda resultante com as ondas interferentes, a grandeza que obrigatoriamente sofre alguma alteração na interferência é: a) a amplitude.b) a frequência.


Vamos aplicar essas noções sobre interferência ao exemplo a seguir.

A figura representa dois pulsos de onda, inicialmente separados por 6 cm, propagando-se em uma corda esticada com velocidades iguais a 2 cm/s, em sentidos opostos.

Determine o aspecto que a corda terá 2 s mais tarde.

Precisamos, inicialmente, determinar a posição de cada pulso ao longo da corda no instante solicitado. Como a velocidade dos pulsos é de 2 cm/s, em 2 s cada pulso terá se deslocado 4 cm.

Observe que os pulsos estarão superpostos, como mostrado a seguir:

Note que a interferência será do tipo destrutivo e que a superposição dará à corda o aspecto mostrado abaixo:

c) o período.d) a pulsação. e) o comprimento de onda.

48. (PUC-Minas) Leia as afirmativas com cuidado. A seguir identifique a opção correta.

I. O fenômeno pelo qual uma onda não forma uma sombra com limites precisos, quando contorna uma barreira que a bloqueia parcialmente, é chamado de difração.

II. Quando uma onda passa de um meio para outro, ocorre a mudança de alguns de seus parâmetros, mas sua frequência permanece constante.

III. Uma onda de frequência 50 Hz e comprimento de onda 20 cm está se movendo à velocidade de 10 m/s.

a) Se apenas as afirmativas I e II forem falsas.b) Se apenas as afirmativas II e III forem falsas.c) Se apenas as afirmativas I e III forem falsas.d) Se todas forem verdadeiras.e) Se todas forem falsas.

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49. (UFSM-RS) A figura representa uma cuba com água onde o dispositivo A produz uma onda reta que chega ao anteparo B, o qual possui uma abertura. O fenômeno representado após a abertura é conhecido como:

b)

a) difração. d) reflexão.b) refração. e) interferência.c) polarização.

50. (Cefet-PR) A difração de uma onda que atravessa um orifício é mais notável quando:a) a frequência da onda é grande.b) a dimensão do comprimento de onda é pequena, se

comparada com a velocidade.c) a amplitude da onda é muito pequena, se comparada

com a dimensão do orifício. d) a dimensão do orifício se aproxima da dimensão do

comprimento de onda.e) a velocidade da onda é muito pequena, se comparada

à dimensão do orifício.

51. (UFC-CE) A figura I mostra, no instante t 5 0, dois pulsos retangulares que se propagam em sentidos contrários, ao longo de uma corda horizontal esti-cada. A velocidade de cada pulso tem módulo igual a 2,0 cm/s. O pulso da esquerda tem 3,0 cm de largura e o da direita, 1,0 cm.

Dentre as opções seguintes, qual delas mostra o perfil da corda no instante t 5 2,0 s?

a)

52. (FCM-MG) As ondas de rádio, ao contornarem um obstá-culo, sofrem maior difração do que as ondas de TV. Isso se deve ao fato de que a onda de rádio tem maior:a) período do que a onda de TV.b) amplitude do que a onda de TV.c) frequência do que a onda de TV.d) comprimento de onda do que a onda de TV.

53. (UFC-CE) Duas fontes, S1 e S2, emitem ondas so-noras, em fase, com a mesma amplitude, Y, e o mesmo comprimento de onda l. As fontes estão separadas por uma distância d 5 3 ? l. Considere que a amplitude Y não varia.

c)

d)

e)

A amplitude da onda resultante, no ponto P, é:

a) 4 ? Y d) Y

b) 2 ? Y e) Y __ 2

c) 0

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150 • Unidade ii

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PolarizaçãoA polarização é um fenômeno que pode ocorrer apenas com ondas

transversais, aquelas em que a direção de vibração é perpendicular à de propagação, como a produzida em uma corda esticada. Ondas sonoras propagando-se no ar são ondas do tipo longitudinal e, por esse motivo, os sons não podem ser polarizados.

Observe que a extremidade da corda pode vibrar para cima e para baixo, para a esquerda e para a direita ou em qualquer outra direção perpendicular à de propagação da onda. (Fig. 3.34)

A luz também é uma onda transversal, constituída por campos elé-tricos e magnéticos, perpendiculares à direção de propagação da onda e normalmente dispostos em muitas direções. Nesse estado, a luz é dita não polarizada. (Fig. 3.35)

Figura 3.34 A onda em uma corda esticada é transversal.

Figura 3.35 Representação da luz não polarizada. (Representação sem escala, uso de cores-fantasia.)

A onda é chamada polarizada quando a vibração ocorre em uma única direção.

Mostramos a seguir uma onda não polarizada produzida em uma corda e que passa através de uma cerca. Observe que, ao passar por essa cerca, a onda se polariza e os pontos da corda passam a vibrar numa única direção. (Fig. 3.36)

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Onda de luzpolarizada noplano horizontal

Nenhuma luzpassa através dosegundo polaroide

Polarizador

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Onda de luzvibrando emtodos os planos

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Figura 3.36 Após passar pela fenda, na cerca, os pontos da corda passam a vibrar apenas na vertical e a onda estará polarizada.

Colocando-se uma segunda cerca, rotacionada de 90° em relação à primeira, a onda polarizada não conseguirá passar através dela. (Fig. 3.37)É assim que se explica a polarização de ondas transversais.

Figura 3.37 Uma segunda cerca pode ser usada para verificar se a onda estava polarizada.

No caso das ondas longitudinais, a direção de vibração das partículas do meio já coincide com a direção de propagação da onda e, assim, é impossível polarizar uma onda longitudinal.

A onda luminosa pode ser polarizada com o auxílio de alguns cristais, como a calcita (uma variedade do carbonato de cálcio) e a turmalina, ou com filtros polaroides, inventados por Edwin Land (1909-1991) em 1929.

A figura seguinte mostra a disposição de dois filtros polaroides, o pola-rizador e o analisador, usados respectivamente para polarizar a luz e para verificar sua polarização, já que nossos olhos não conseguem diferenciar a luz natural da luz polarizada. (Fig. 3.38)

Figura 3.38 Representação da onda luminosa, que, entre os filtros polaroides, é polarizada. (Representação sem escala, uso de cores-fantasia.)

(Representações sem escala, uso de cores-fantasia.)

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Quando a luz sofre refração, passando de um meio transparente para outro, sempre haverá uma parcela de luz que será refletida. Essa luz refletida, em determinadas circunstâncias, é uma luz polarizada.

Na foto ao lado, observe que os óculos de sol com lentes polaroides superpostas estão orientados perpendicularmente, um em relação ao outro (Fig. 3.40). Dessa maneira, a luz proveniente do objeto ao fundo polariza-se ao passar pela primeira lente. Quando essa luz polarizada incide na segunda lente, orientada perpendicularmente à primeira, ela será totalmente bloqueada e o fundo deixa de ser visto.

Assim, óculos com lentes polaroides podem ser utilizados para reduzir o clarão produzido por essa luz refletida polarizada quando tais lentes funcionarem como analisadores. Esses óculos podem ser úteis para mo-toristas e pescadores, por exemplo, absorvendo parte da luz refletida em vidros de outros carros ou na água.

A luz natural pode ser polarizada quando refletida sob certo ângulo em superfícies brilhantes. Observe a redução da luz refletida no para-brisa do carro na foto à direita, em que se utilizou uma câmera que dispunha de um filtro polaroide. (Fig. 3.39)

Figura 3.39 A luz polarizada, refletida no para-brisa, é bloqueada pelo filtro polaroide adaptado à câmera fotográfica usada para a foto da direita.

Figura 3.40 Óculos polaroides.

54. O que nos permite modelar as ondas eletromagné-ticas como ondas transversais é o fato de:

a) poderem ser polarizadas. b) sofrerem interferência. c) refratarem de um meio para outro. d) nunca sofrerem difração. e) não apresentarem alteração na frequência, por

efeito Doppler.

55. (Uniararas-SP) No ar, sabe-se que a onda sonora é longitudinal. Dessa forma, você poderá garantir que ela nunca poderá sofrer o fenômeno da:


a) polarização. c) reflexão. e) interferência.b) difração. d) refração.

56. (ITA-SP) Luz linearmente polarizada (ou plano--polarizada) é aquela que:a) apresenta uma só frequência.b) se refletiu num espelho plano.c) tem comprimento de onda menor que o da radiação

ultravioleta.d) tem a oscilação, associada à sua onda, paralela a

um plano.e) tem a oscilação, associada à sua onda, na direção

de propagação.

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Ondaincidente

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0

–Av

t = 0 t = ––T4

t = 2 • ––T4

t = 3 • ––T4

Ondarefletida

+A

0

–Av

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0

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6 Ondas estacionáriasSe você chacoalhar a extremidade de uma corda esticada, presa a uma pa-

rede, o pulso de onda assim produzido irá se propagar ao longo da corda e, após refletir-se na parede, retornará pelo mesmo caminho. (Fig. 3.41)

Movimentando a mão continuamente, com uma frequência qualquer, você observa, através da corda, a propagação simultânea de duas ondas idênticas: a onda incidente — produzida por você — e a onda refletida na parede. O resultado da superposição dessas duas ondas é geralmente uma onda totalmente irregular. (Fig. 3.42)

Figura 3.41 Pulso de onda refletindo-se na extremidade da corda.

Figura 3.42 Onda não periódica propagando-se na corda.

Entretanto, se o movimento da mão tem uma frequência específica, as duas ondas que se propagam na corda interferem uma com a outra e originam uma onda de grande amplitude, a chamada onda estacionária.

Para melhor entendermos como a onda estacionária se estabelece na corda, consideremos um trecho da corda e, separadamente, as duas ondas que por ele se propagam.

Mostramos a seguir a posição da onda incidente e da onda re-fletida, no trecho da corda considerado, nos instantes t 5 0, t 5 T __ 4 ,

t 5 2 ? T ____ 4 e t 5 3 ? T ____ 4 . Mostramos, também, a onda resultante da superposição

das duas ondas idênticas propagando-se uma ao encontro da outra. (Fig. 3.43)

Figura 3.43 A onda estacionária é o resultado da superposição de duas ondas idênticas propagando-se em sentidos opostos.

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Observe que a onda resultante tem mesmo comprimento de onda l das ondas componentes, porém o dobro da amplitude. Ela é classificada como onda estacionária porque não se propaga pela corda; ao contrário, a corda simplesmente oscila para cima e para baixo em um padrão fixo.

Se a frequência com que a corda vibra é suficientemente alta, nossos olhos não conseguem acompanhar o movimento de sobe e desce dos seus pontos. Assim, vemos a corda dividida numa sucessão de “gomos”, denomi-nados fusos. (Fig. 3.44)

Os pontos de interferência destrutiva, nos quais a corda não vibra, são denominados nós, e os pontos de interferência construtiva, nos quais ela vibra com amplitude máxima, são chamados de ventres ou antinós. Para uma determinada frequência, os nós e os ventres da onda estacionária as-sumem posições fixas.

O trecho de corda que estávamos analisando, no qual se verifica a pre-sença de dois fusos da onda estacionária, é mostrado ao lado. (Fig. 3.45)

De acordo com essa figura, em uma onda estacionária, a distância de nó a nó vizinho, ou de ventre a ventre vizinho, ou, ainda, o comprimento de um fuso é igual a l __ 2 . Naturalmente, a distância de um nó a um ventre vizinho é

igual a l __ 4 .

As ondas estacionárias em uma determinada corda podem se formar a diferentes frequências.

A frequência mais baixa, para a qual forma-se a onda estacionária mais simples, com um único fuso, é denominada frequência fundamental ou primeiro harmônico, representada por f1. (Fig. 3.46)

Figura 3.44 Representação de uma possível maneira de a corda vibrar.

Observe que, para o primeiro harmônico, o comprimento l1 __ 2 do fuso cor-

responde ao comprimento L da corda. Então: l1 __ 2 5 L V l1 5 2 ? L

Da equação das ondas: v 5 l ? f V v 5 2 ? L ? f1 V f1 5 v ____ 2 ? L

Note que, se admitirmos que a velocidade de propagação das ondas na corda não varia, o comprimento de onda e a frequência serão grandezas inver-samente proporcionais. Assim, se aumentarmos a frequência da onda, seu com-primento de onda e o comprimento do fuso da onda estacionária diminuirão.

Figura 3.45 Trecho de onda estacio nária com dois fusos.

Figura 3.46 Representação do aspecto que a corda assume ao vibrar no modo fundamental ou primeiro harmônico.

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f2 = 2 • f1

f3 = 3 • f1

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2––

2––

2––

L = 1,20 mf = 100 Hz

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Se a fonte vibrar com frequência f2, igual ao dobro da frequência funda-mental f1, o comprimento do fuso se reduzirá à metade do fundamental e teremos então, ao longo da corda, a presença de dois fusos. A corda será sede de uma onda estacionária denominada segundo harmônico. (Fig. 3.47)

A corda pode vibrar também com a onda estacionária apresentando quatro fusos, se a frequência de vibração for o quádruplo da fundamental, e assim por diante.

Podemos, então, concluir que uma determinada corda esticada pode ser sede de ondas estacionárias de diferentes frequências, todas elas múltiplos inteiros da frequência fundamental.

Assim, para o n-ésimo harmônico da corda: fn 5 n ? v ____ 2 ? L , com n 5 1, 2, 3, 4,...

Como exemplo de aplicação dessa teoria, acompanhe a resolução do problema proposto a seguir.

Figura 3.47 Representação do segundo harmônico.

Figura 3.48 Representação do terceiro harmônico.

Um motor produz vibrações transversais, com frequência de 100 Hz, em uma corda de 1,20 m de comprimento, que tem uma das extremidades fixa a uma parede e a outra ligada ao motor. Ao longo da corda estabelece-se uma onda estacionária que apresenta quatro regiões ventrais.

Determine:

a) o comprimento de onda das ondas progressivas que geraram a onda estacionária;

b) a velocidade de propagação das ondas na corda.

a) A figura abaixo mostra a configuração da corda para a situação proposta.

Observe que o comprimento L da corda corresponde ao comprimento total de quatro fusos,

cada um deles medindo l __ 2 das ondas progressivas que originaram a onda estacionária.

Vemos agora o aspecto da corda se a frequência da fonte for o triplo da frequência fundamental (f3 5 3 ? f1). A onda estacionária correspondente é o terceiro harmônico. (Fig. 3.48)

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7 Ondas sonorasNas situações mais comuns, as ondas sonoras propagam-se no ar e,

nesse caso, são ondas mecânicas (pois necessitam de um meio material para se propagar) do tipo longitudinal (pois as partículas do meio vibram na mesma direção de propagação da onda). Entretanto, ao se propagar através de meios sólidos, o som o faz também na forma de uma onda transversal.

Vejamos, agora, como as ondas sonoras longitudinais podem ser pro-duzidas. Vamos considerar, por exemplo, o som emitido por um tambor que recebe uma batida.

Então: L 5 4 ? l __ 2 V  1,20 5 4 ? l __ 2 V  l 5 0,60 m

b) Para as ondas progressivas que se propagam na corda, conhecemos f 5 100 Hz e l 5 0,60 m. A equação das ondas fornece: v 5 l ? f   V  v 5 0,60 ? 100 V  v 5 60 m/s

Observe que a expressão obtida para o cálculo da frequência de vibração da corda não foi usada diretamente. A resolução do problema foi obtida levando-se em conta apenas o comprimento de cada fuso e a equação das ondas. Isso pode ser usado na maioria dos exercícios que exploram as ondas estacionárias.

57. Uma onda estacionária estabelece-se em uma corda de 50 cm fixa pelas extremidades. Incluindo-se as extremidades, observa-se, ao longo da corda, a forma-ção de 6 regiões nodais. Determine o comprimento de onda das ondas progressivas que originaram a onda estacionária.

58. Uma corda vibra em regime estacionário com nós separados por 25 cm. Sabendo que a fonte de on-das que gera o fenômeno opera com frequência de50 Hz, determine:a) o comprimento de onda das ondas progressivas que

deram origem à onda estacionária;b) a velocidade de propagação das ondas na corda.

Responder às questões 59 e 60 com base no enunciado abaixo.(PUC-RS) Umas das extremidades de uma corda é presa numa parede, enquanto a outra é movimentada até formar-se uma onda estacionária.

59. Os fenômenos ondulatórios responsáveis pela for-mação da onda estacionária são:a) reflexão e refração. b) difração e refração. c) reflexão e interferência.d) difração e reflexão.e) polarização e interferência.


60. Se a distância entre dois nós consecutivos é 30 cm e a frequência é 6,0 Hz, a velocidade de propagação da onda na corda é:

a) 0,6 m/s d) 2,0 m/sb) 1,0 m/s e) 3,6 m/sc) 1,2 m/s

61. Uma fonte de ondas imprime vibrações transver-sais a uma corda de 90 cm fixa pelas extremi-dades. A velocidade de propagação das ondas na corda é de 18 m/s, e a corda vibra como mostrado na figura abaixo.

a) Qual é a frequência das ondas progressivas que se propagam na corda?

b) Com que frequência a fonte deveria operar para que na corda se estabelecessem apenas duas regiões ventrais?

c) Represente a onda estacionária que se estabelece na corda se a fonte operar com frequência de 40 Hz.

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Rarefação

Compressão

Compressão Rarefação Compressão

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Vale

Crista Crista

Lanterna

Para a parede

Fita adesiva

BarbanteBexiga

Espelho plano

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Figura 3.49 Uma onda sonora é sempre gerada por um elemento que vibra. (Representação sem escala, uso de cores-fantasia.)

Ao receber a batida, a membrana do tambor passa a vibrar perio-dicamente. Essas vibrações provocam compressões e rarefações do ar do ambiente, que passam a se propagar e constituem a onda sonora. (Fig. 3.49)

Para melhor entendimento da onda longitudinal, vamos compa-rá-la com a onda transversal. Na figura, a crista da onda transver sal corresponde à região de maior compressão, e o vale, à região de maior rarefação. (Fig. 3.50) Quanto maior a compressão na onda longitudinal, maior será sua amplitude e, consequentemente, maior a energia transportada pela onda.

Figura 3.50 Esquema para comparação de uma onda transversal com uma onda longitudinal.

Proposta experimental

Com a montagem proposta a seguir será possível “visua-lizar” as ondas sonoras.

Para isso será necessário o seguinte material:• uma lata vazia de leite em pó;• abridor de latas;• um balão de festa (bexiga);• um pequeno espelho plano (5 cm 5 cm);• uma lanterna;• barbante;• tesoura de pontas arredondadas;• cola;• fita adesiva.Para começar, use o abridor de latas para retirar o fundo

da lata de leite em pó.

Cuidado para não se cortar com as rebarbas!

ATENÇÃO

Com a tesoura, corte uma lateral da bexiga. Retire a tampa da lata, estique bem a membrana de borracha so-bre a borda superior da lata e prenda-a firmemente com o barbante. Você terá, após isso, uma espécie de “tambor”.

Agora, use a cola para fixar o espelho plano no centro da membrana elástica com a superfície refletora voltada para fora. Espere a cola secar.

Em um local pouco iluminado, fixe a lata deitada sobre uma mesa com a fita adesiva e direcione o feixe de luz da lanterna contra o espelho de modo que o feixe refletido ilumine uma parede próxima.

Posicione-se diante da extremidade aberta da lata e bata palmas ou coloque um rádio ligado diante da abertura.

• O que acontece com o feixe de luz que ilumina a parede?

• O que você pode concluir?

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(Representação sem escala, uso de cores-fantasia.)

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Velocidade das ondas sonorasAs ondas sonoras, por serem ondas mecânicas, podem se propagar

apenas através de meios materiais e, como qualquer onda, sua velocidade de propagação depende de características físicas do meio.

O fato de o som se propagar no ar já era conhecido, desde a Anti-guidade, por sábios como Héron de Alexandria. Entretanto, os primeiros experimentos visando determinar a velocidade de sua propagação no ar só foram realizados no Renascimento, e o valor encontrado foi de cerca de 450 m/s, considerado excessivamente alto. Novas tentativas foram rea-lizadas ao longo do século XVII por físicos da Academia de Ciências de Florença, mas os resultados obtidos foram contraditórios. A Academia resolveu empreender uma nova experiência em 1738. Tiros de canhão foram trocados, à noite, a partir de dois pontos distantes, e a cronome-tragem do tempo entre o aparecimento do fogo e a chegada do som permitiu fixar a velocidade do som em 333 m/s no ar a 0 °C. Resultados diferentes foram obtidos em experiências complementares realizadas na Alemanha, e atribuiu-se a divergência à velocidade do vento e à umidade da atmosfera.

Em 1822 uma nova experiência, muito mais rigorosa que as prece-dentes, foi realizada pelo Bureau das Longitudes, e chegou-se ao valor de 340,88 m/s a 15,9 °C. Com a correção de temperatura, a velocidade obtida foi de 330,9 m/s a 0 °C, que praticamente coincide com o valor atual de 331,0 m/s a 0 °C.

Ao longo do século XIX, os cientistas se preocuparam também com a velocidade de propagação do som nos líquidos e nos sólidos. Em 1828, experiências realizadas em um lago obtiveram o valor de 1.435 m/s para a velocidade de propagação do som na água.

Como regra geral, podemos estabelecer que a velocidade das ondas sonoras é maior nos sólidos do que nos líquidos, e nos líquidos é maior do que nos gases: vsólidos . vlíquidos . vgases.

Pode-se demonstrar, ainda, que a velocidade de propagação v do som

nos gases depende da temperatura absoluta T do gás: v 5 dXXXX k ? T ,

em que k é uma constante característica do gás.

A tabela abaixo mostra, para fins de comparação, a velocidade do som em alguns materiais.

Sólidos Líquidos (a 20 °C) Gases (a 0 °C)

Material v (m/s) Material v (m/s) Material v (m/s)

Aço 5.050 Acetona 1.192 Ar 331

Alumínio 5.080 Água doce 1.497 Gás carbônico 259

Ferro 5.170 Água do mar 1.510-1.550 Hélio 965

Vidro 4.550 Álcool etílico 1.180 Oxigênio 316

Fonte: KOCHKIN, N. I.; CHIRKÉVITCH, M. G. Prontuário de Física elementar. Moscou: Mir, 1986.

Sensação sonoraSó podemos ouvir um som quando as ondas sonoras são captadas pela

nossa orelha interna e convertidas em sinais elétricos, que são enviados ao nosso cérebro. Acompanhe o caminho das ondas sonoras da orelha externa até o cérebro. (Fig. 3.51)


Tuba auditiva

Estribo

Bigorna

Martelo

Membrana timpânica(ou tímpano)

Canais daorelha interna

Orelhainterna

Nervoauditivo

Cóclea

Canal auditivo

Ondassonoras

Orelha externaOrelhamédia

InfrassonsSons audíveis

Ultrassons

20 20.000 f (Hz)

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Figura 3.51 Esquema das estruturas internas da orelha humana. (Representação sem escala, uso de cores-fantasia.)

As ondas sonoras penetram em nossas orelhas pelo canal auditivo e atingem o tímpano, uma membrana elástica e flexível que pode vibrar como a pele de um tambor. Ao ser atingido pelas ondas de pressão do ar, o tímpano vibra com frequência igual à da onda sonora. Sons graves produzem uma vibração de baixa frequência, enquanto sons agudos fazem o tímpano vibrar com altas frequências. As vibrações do tímpano são, então, transmitidas para três minúsculos ossos da orelha média: o martelo, a bigorna e o estribo. Esses ossos, atuando como alavancas, ampli-ficam a intensidade das forças e transmitem as variações de pressão à ore-lha interna. As ondas de pressão são enviadas para o nervo auditivo e convertidas em impulsos elétricos, que são transmitidos ao cérebro.

O cérebro de um adulto normal é capaz de distinguir, aproximada-mente, 400.000 sinais diferentes e convertê-los em sons correspondentes. Mas, para que esse mecanismo funcione como foi descrito, a onda sonora deve apresentar altura e intensidade convenientes.

AlturaA altura de um som é uma característica relacionada à frequência da

onda sonora: sons altos, com altas frequências, são sons agudos; sons baixos, com baixas frequências, são sons graves.

A orelha de um ser humano normal é capaz de perceber somente as ondas sonoras situadas no intervalo de frequências de, aproximadamente, 20 Hz a 20.000 Hz. Ou seja, o som mais grave que uma orelha humana normal pode ouvir tem frequência de cerca de 20 Hz, e o som mais agudo detectável, de 20.000 Hz.

Sons com frequência abaixo de 20 Hz são denominados infrassons, e os sons com frequência acima de 20.000 Hz são chamados de ultrassons. (Fig. 3.52)

Figura 3.52 Faixa de frequências de sons audíveis pelos seres humanos.

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As principais fontes de infrassons incluem abalos sísmicos, trovões, vulcões e ondas produzidas por vibrações de maquinaria pesada. Estas últimas podem ser particularmente perigosas para trabalhadores, visto que os infrassons podem causar danos ao corpo humano. Atuando por ressonância, eles podem provocar consideráveis movimentos e irritações nos órgãos internos do corpo do operário. Pesquisas recentes indicam que manadas de elefantes emitem infrassons para demarcar territórios.

Os ultrassons são bastante utilizados em aplicações médicas e em outros campos, principalmente para gerar imagens. (Fig. 3.53) Com esse exame é possível detectar precocemente anomalias que, de outra forma, não poderiam ser investigadas.

Muitos animais podem perceber os ultrassons. Um cachorro, por exemplo, ouve sons de até 50.000 Hz; um morcego emite e detecta fre-quências de até 100.000 Hz; baleias e golfinhos se comunicam com os de sua espécie usando ultrassons.

Intensidade

A intensidade de uma onda sonora está relacionada à quantidade de energia que ela transmite a certo ponto do espaço. Quanto maior a intensidade do som, mais forte ele será, e maior será também seu volume. Som fraco terá menor intensidade e menor volume.

No caso de uma onda que se propaga em todas as direções do espaço, portanto tridimensional (onda plana ou onda esférica), a intensidade I da onda é obtida pela relação entre a potência Pot da fonte que emitiu a onda e a área S atingida pela onda em um determina do instante. Ou seja:

l 5 Pot ___ S

No SI, a potência da fonte é medida em watts (W), a área atingida pela onda, em m2, e a intensidade da onda, em W/m2.

Para uma fonte que emite uniformemente ondas sonoras esféricas em todas as direções do espaço, a área atingida pela onda em um determinado instante corresponde à área de uma casca esférica (S 5 4 ? p ? R2). Assim, a intensidade da onda sonora a uma distância d da fonte é dada por:

l 5 Pot ________ 4 ? p ? d2

Para que a orelha humana perceba a onda sonora como som, ela deve ter intensidade entre aproximadamente 10212 W/m2 e 1 W/m2.

Sons com intensidade abaixo de 10212 W/m2 não transmitem energia suficiente para fazer o tímpano vibrar e, para o ser humano, correspon-dem ao silêncio absoluto. Já os sons com intensidade acima de 1 W/m2 transmitem tanta energia ao tímpano que ele, ao vibrar, o faz com tão grande amplitude que provoca dor e desconforto na orelha. (Fig. 3.54)

Figura 3.53 Imagens de gêmeos de 16 semanas, obtidas com o uso de ultrassom, colorizadas artificialmente.

Silêncio absoluto

Sons perceptíveis

Dor e desconforto

10–12 I (W/m2)1Figura 3.54 Faixa de intensidades de sons perceptíveis pelos seres humanos.

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A faixa de intensidade audível é tão extensa que os cientistas criaram outra grandeza para quantificar o volume de um som, o nível de inten-sidade sonora, representado por b.


Silêncioabsoluto (0 dB)

Sussurro(15 dB)

20 40 60 80 120 140 160

Ronronar deum gato (25 dB)

Farfalhar de folhas (20 dB)

Ruídos de umacasa comum (50 dB)

Aspiradorde pó (75 dB)

Restaurantebarulhento (80 dB)

Britadeira(100 dB)

Motosserra(115 dB)

Rock “pesado” (120 dB)

Decolagem deavião a jato (150 dB)

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O nível de intensidade sonora b, medido em decibel (dB), para um

som de intensidade I é calculado por: b 5 10 ? log l __ l0 , em que I0 é a

intensidade mínima de referência 10212 W/m2.

O diagrama abaixo ilustra, para fins de comparação, o nível de inten-sidade sonora de alguns sons. (Fig. 3.55)

Figura 3.55 Exemplos de sons do cotidiano e seus correspondentesníveis de intensidade sonora.

Uma sirene produz no ar um som cujo nível de intensidade sonora, a 10 m de distância, é de 90 dB. Considerando que a intensidade mínima necessária para que um som seja percebido é 10212 W/m2, determine a intensidade I dessa onda sonora a uma distância de 10 m da fonte e a potência sonora Pot da sirene.

O nível de intensidade sonora é dado por: b 5 10 ? log l __ l0 , em que I0 5 10212 W/m2.

Temos, então:

90 5 10 ? log l _____ 10212 V  9 5 log l _____

10212   V     I _____ 10212

5 109 V I 5 1023 W/m2

A intensidade de uma onda é dada pela razão entre a potência da fonte emissora e a área

atingida pela onda em um determinado instante: l 5 Pot ___ S .

No caso de uma onda sonora cuja frente de onda é uma superfície esférica, temos: l 5 Pot ________ 4 ? p ? R2 ,

em que 4 ? p ? R 2 é a área da superfície esférica de raio R.

Portanto:

1023 5 Pot __________ 4 ? p ? 1022 V  Pot 5 4 ? p ? 1021 V  Pot 1,26 W

O exemplo seguinte explora os conceitos de nível de intensidade sonora e de intensidade de uma onda.

Fonte: FISHBANE, Paul M.; GASIOROWICZ, Stephen e THORNTON, Stephen T. Physics for Scientists and Engineers. 2. ed. New Jersey: Prentice-Hall, 1996 (com adaptações).

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62. As ondas denominadas som, infrassom e ultrassom não podem ser transmitidas de um ponto a outro: a) no ar. b) na água. c) nos metais. d) através de uma parede de tijolos. e) na superfície da Lua.

63. (Uespi) Analise as afirmativas abaixo: I. Uma onda sonora necessita de um meio material

para se propagar. II. Numa onda longitudinal, as partículas vibram na

mesma direção em que as ondas se propagam. III. Todas as ondas sonoras têm igual amplitude de

vibração. IV. As ondas sonoras propagam-se no vácuo com uma

velocidade de 300.000 km/s.Qual é a alternativa correta?a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.c) Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras.d) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.e) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras.

64. (PUC-RJ) Considere as afirmações a respeito de uma onda sonora:

I. É uma onda longitudinal.

II. A densidade das moléculas no meio oscila no espaço.

III. A velocidade de propagação independe do meio.

Quais dessas afirmações são verdadeiras?

a) I, II e III. b) I e II. c) I e III.d) II e III.e) Nenhuma delas.


65. (Cefet-PR) Não se propagam no vácuo as:a) micro-ondas.b) ondas de raios X.c) ondas de rádio.d) ondas de ultrassom.e) ondas do infravermelho.

66. (FCM-MG) A figura mostra um recipiente contendo um bloco de ferro, água e ar. Uma fonte sonora F produz um som que atravessa o ar, a água e o ferro em distâncias d iguais. Denominam-se os tempos gastos pelo som para atravessá-los tar, tágua e tferro, respectivamente. A relação entre esses tempos é:a) tágua . tar . tferro b) tar . tágua . tferro c) tferro . tágua . tar

d) tar 5 tágua 5 tferro

Proposta experimental

Nesta montagem bastante simples você poderá comprovar algumas características da transmissão dos sons. Vamos montar um “telefone” e, para isso, você precisará do seguinte material:

•doiscoposplásticosvaziosdeiogurte;•10mdebarbantefininhoeresistente;•umpregopequeno.Faça um pequeno furo no fundo de cada um dos copos, suficiente para passar o barbante. Passe o

barbante pelo furo e dê um nó na ponta para impedir que o fio escape. Para usar o telefone, convide um(a) colega. Peça a ele(a) que coloque o copo encostado na orelha.

Mantendo o barbante bem esticado, fale com ele(a) mantendo o outro copo contra a sua boca. Tente responder às perguntas:

•Porqueobarbantedevesermantidoesticado?•Oqueacontecesevocê,enquantoestáfalando,segurarofioesticadoentreopolegareoindicador?•Oquevocêesperaqueaconteçaaoseamarrarumsegundobarbanteesticado,ligadoaoutrocopo,

no meio do fio de seu telefone?

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CC

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67. (Cefet-PR) Analise as proposições: I. Uma onda sonora é elástica porque as partículas

de ar são submetidas a uma força de restituição, que tende a fazê-las voltar às posições iniciais.

II. Um som grave tem um período menor que um som agudo.

III. A intensidade do som depende da energia que chega a nossos ouvidos em cada segundo.

Julgando-as verdadeiras ou falsas, a sequência correta será:

a) V; V; V. c) V; F; V. e) F; F; F.b) V; V; F. d) F; V; V.


10 100 1.000 10.000

0

20

40

60

80

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Frequência (Hz)

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68. (Fuvest-SP) Uma onda eletromagnética propaga--se no ar com velocidade praticamente igual à da luz no vácuo (c 5 3 ? 108 m/s), enquanto o som propaga-se no ar com velocidade aproximada de 330 m/s. Deseja-se produzir uma onda audível que se propague no ar com o mesmo comprimento de onda daquelas utilizadas para transmissões de rádio em frequência modulada (FM) de 100 MHz (100 ? 106 Hz). A frequência da onda audível deverá ser aproximadamente de:a) 110 Hz d) 108 Hzb) 1.033 Hz e) 9 ? 1013 Hzc) 11.000 Hz

69. (PUC-RJ) Quanto maior a amplitude de uma onda sonora, maior sua (seu):a) intensidade.b) frequência.c) comprimento de onda.d) velocidade de propagação.e) período.

70. (Uespi) Sabemos que o homem sofre muito com a poluição sonora, pois a mesma causa, entre outros, irritação, estresse emocional e diminuição da capacidade auditiva. Para evitar a poluição sonora, devemos limitar nos sons:a) os seus comprimentos de onda. b) a sua altura.c) o seu timbre.d) a sua frequência.e) a sua intensidade.

Utilize o texto abaixo para responder aos enunciados de 71 a 73.(Cesgranrio-RJ) Quando o ouvido humano é sub-metido continuamente a ruídos de nível sonoro superior a 85 dB, sofre lesões irreversíveis. Por isso, o Ministério do Trabalho estabelece o tempo máximo diário que um trabalhador pode ficar exposto a sons muito intensos.Esses dados são apresentados na tabela abaixo.

Nível sonoro Tempo máximo de exposição (h)

85 8

90 4

95 2

100 1

Observa-se, portanto, que a cada aumento de 5 dB no nível sonoro, o tempo máximo de exposição cai pela metade. Sabemos ainda que, ao assistir um show de rock, espectadores próximos às caixas de som estão expostos a um nível sonoro de 110 dB.

71. De 90 dB para 105 dB, o tempo máximo de ex-posição, segundo os dados da tabela, sofre uma redução de:a) 12,5% c) 70,0% e) 87,5%b) 30,0% d) 77,5%

72. De acordo com as informações anteriores, a duração máxima aceitável de um show de rock, para espec-tadores próximos às caixas de som, deveria ser de:a) 30 min. d) 7 min e 30 s.b) 20 min. e) 3 min e 45 s.c) 15 min.

73. O nível de intensidade sonora (N) é expresso em decibéis (dB) por:

Nível sonoro (dB) 5 10 ? log10 I __ I0

onde: I 5 intensidade sonora fornecida pela caixa de som;

I0 5 intensidade-padrão, correspondente ao limiar da audição (para o qual N 5 0).

Para o nível de intensidade N 5 120 dB, a intensidade sonora, fornecida pela caixa de som, deverá ser de:

a) 1013 ? I0 b) 1012 ? I0

c) 1.200 ? I0

d) 120 ? I0

e) 12 ? I0

74. (Unicamp-SP) É usual medirmos o nível de uma fonte sonora em decibéis (dB). O nível em dB é relacionado à intensidade I da fonte pela fórmula:

Nível sonoro (dB) 5 10 ? log10 I __ I0

onde I0 5 10212 W/m2 é um valor padrão de intensidade muito próximo do limite de audibilidade humana.Os níveis sonoros necessários para uma pessoa ouvir variam de indivíduo para indivíduo. No gráfico abaixo esses níveis estão representados em função da fre-quência do som para dois indivíduos, A e B. O nível sonoro acima do qual um ser humano começa a sentir dor é aproximadamente 120 dB, independentemente da frequência.

a) Que frequências o indivíduo A consegue ouvir me-lhor que o indivíduo B?

b) Qual a intensidade I mínima de um som (em W/m2) que causa dor em um ser humano?

c) Um beija-flor bate as asas 100 vezes por segundo, emitindo um ruído que atinge o ouvinte com um nível de 10 dB. Quanto a intensidade I desse ruído precisa ser amplificada para ser audível pelo indivíduo B?

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164 • Unidade ii

Johann Christian Doppler

fO < fFfO > fF

fFvOvO

fO : frequênciapercebidapeloobservador

fF : frequênciaemitidapela fonte

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Efeito Doppler-FizeauUm fenômeno que pode ocorrer com qualquer onda — seja ela

mecânica ou eletromagnética, transversal ou longitudinal —, mas bas-tante perceptível quando acontece com as ondas sonoras, é o chamado efeito Doppler-Fizeau. O nome é uma homenagem ao físico austríaco Johann Christian Doppler, um dos primeiros cientistas que investiga-ram esse fenômeno, e ao físico francês Armand Hippolyte Louis Fizeau (1819-1896).

O efeito Doppler consiste em uma mudança aparente na frequência da onda percebida por um observador. Ele se verifica sempre que há um movimento relativo entre a fonte que gerou a onda e o observador que a percebe.

A mudança aparente na frequência da onda pode ter basicamente duas causas:

uma alteração na velocidade relativa da onda, devido ao movimento •do observador

e/ou uma alteração no comprimento de onda da onda, devido ao movimento •da fonte.

Analisemos com mais detalhes a primeira das duas causas, o movi-mento do observador.

Com o movimento do observador, o comprimento de onda não se altera. Então, pela equação das ondas (v 5 l ? f ), podemos concluir que a velocidade relativa da onda e a frequência percebida pelo observador serão grandezas diretamente proporcionais: maior velocidade relativa implica maior frequência percebida.

Se o observador se movimentar com velocidade vO ao encontro das frentes de ondas, a velocidade relativa das ondas aumentará em relação a ele. Nesse caso, o observador perceberá a onda com uma frequência aparente maior — no caso de uma onda sonora, o som parecerá mais agudo. Obviamente, se ele se deslocar no mesmo sentido de propagação da onda, a velocidade relativa da onda diminuirá e, consequentemente, a frequência percebida será menor; no caso de uma onda sonora, o som parecerá mais grave. (Fig. 3.56)

Vejamos agora a explicação para a segunda causa, o movimento, com velocidade vF, da fonte de ondas.

O movimento da fonte de ondas não altera a velocidade com que a onda se propaga no meio. Então, da equação das ondas (v 5 l ? f ), podemos concluir que o comprimento de onda e a frequência da onda serão grandezas inversamente proporcionais: um menor comprimento de onda implica uma maior frequência.

Figura 3.56 Durante a aproximação o som é mais agudo; durante o afastamento é mais grave. (Representação sem escala, uso de cores-fantasia.)

Físico e matemático austríaco, nasceu em Salzburg e morreu em Veneza aos 50 anos, vítima de tuberculose. Por recomendação de um professor de Matemática do Liceu de Salzburg, Doppler foi mandado em 1822 para o Instituto Politécnico de Viena, onde se graduou em 1825. Nos quatro anos seguintes, esteve na Universidade de Viena, onde estudou Matemática Avan-çada, Mecânica e Astronomia. Em 1842, então como professor de Mate-mática e Geometria Prática do Instituto Técnico de Praga, Doppler apresentou as bases teóricas do fenômeno no artigo “Sobre as cores da luz emitida pelas estrelas duplas”. Nesse trabalho ele demonstrou teoricamente que, se a frequência de uma onda sonora produ-zida por uma fonte em movimento varia para um observador em repouso, a cor da luz emitida por uma estrela dupla também poderia variar de acordo com a velocidade das estrelas em relação à Ter-ra. A luz emitida por uma estrela dupla teria cores diferentes, dependendo se a estrela estivesse se aproximando ou se afastando da Terra.Em 1845, o meteorologista holandês Christoph Hendrik Diederik Buys Ballot (1817-1890) confirmou experimen-talmente o efeito Doppler sonoro. Na versão revisada que Doppler publicou de seu artigo em 1846, o efeito era con-siderado como uma consequência tanto do movimento da fonte de ondas como do observador que as recebia.

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Retrato de Doppler (1803-1853).

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fO > fFfO < fF

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Adiante da fonte, devido ao movimento desta, as frentes de onda estarão mais próximas e as ondas te-rão, aparentemente, um comprimento de onda menor. Portanto, a frequência percebida pelo observador será maior (som mais agudo). Atrás da fonte, as frentes de onda estarão mais afastadas uma da outra, e as ondas terão, dessa vez, um comprimento de onda aparente-mente maior. Assim, o observador irá perceber uma onda com frequência aparentemente menor (som mais grave). (Fig. 3.57)

Como regra geral, podemos estabelecer que:

na aproximação entre fonte e observador, a frequência •percebida aumenta (no caso de som, este se torna mais agudo);

no afastamento entre a fonte e o observador, a •frequência percebida diminui (no caso de som, este se torna mais grave).

A frequência percebida pelo observador fO e a frequência da onda emitida pela fonte fF se relacionam de acordo com a expressão:

f0 ______ V vO

5 fF ______ V vF

, em que V é a velocidade da onda.

A expressão anterior apenas pode ser utilizada quando o efeitoDoppler ocorre com ondas mecânicas. Os sinais das velocidades vO e vF são dados de acordo com uma trajetória orientada sempre do observador para a fonte de ondas.

O efeito Doppler é utilizado em uma grande variedade de aplicações médicas com ondas ultrassônicas na faixa de 106 Hz. Elas sofrem reflexão nas hemácias sanguíneas que estão em movimento, devido ao qual os ultrassons refletidos têm frequência diferente daquela com que foram emitidos. A variação na frequência das ondas refletidas pode ser usada para determinar a velocidade do fluxo de sangue. De modo análogo, a técnica pode ser usada para detectar os movimentos do peito de um feto e monitorar seus batimentos cardíacos.

Também em sonares, o efeito Doppler tem aplicação para medir a velocidade de objetos que refletem as ondas de ultrassom emitidas pelo equipamento.

O efeito Doppler também ocorre com as ondas eletromagnéticas, como a luz, mas, nesse caso, a frequência percebida pelo observador não pode ser calculada pela fórmula anterior. A fórmula acima é válida apenas para ondas mecânicas (ondas sonoras, ondas na água etc.).

Uma aplicação importante do efeito Doppler-Fizeau é a que se verifica na Astronomia, em que a velocidade de galáxias distantes pode ser deter-minada pela variação na frequência da luz recebida pelos astrônomos na Terra. A luz de galáxias distantes é percebida com frequências menores do que aquelas com que foram emitidas, indicando que elas estão se afastando de nós (o fenômeno é conhecido como deslocamento para o vermelho, já que o vermelho é a luz visível com mais baixa frequência). Assim, quanto maior o deslocamento para o vermelho, maior a velocidade de afastamento da galáxia. Os astrônomos conseguiram, com essa técnica, detectar que quanto mais afastada a galáxia, maior é a sua velocidade de afastamento. Tal observação é a base para a ideia de que o Universo está se expandindo.

Figura 3.57 Em frente à fonte, as ondas têm menor comprimento de onda (som mais agudo) e atrás da fonte, têm maior comprimento de onda (som mais grave). (Representação sem escala, uso decores-fantasia.)

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166 • UNIDADE II

Aplicação tecnológica

Observador emmovimento

Observador emmovimento

Radarmóvel

Ondasincidentes

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O radar (acrônimo para a expressão, em inglês, radio detection and ranging), equipamento desenvolvido durante a década de 30 e utilizado durante a Segunda Guerra Mundial, é um sistema que permite a detecção da posição, da distância e da velocidade de um objeto por meio de ondas eletromagnéticas refletidas pelo objeto em questão.

Um radar consiste basicamente em um transmissor e um recep-tor, geralmente posicionados em um mesmo local. O transmissor emite uma série de pulsos de ondas eletromagnéticas de rádio, com comprimento de onda da ordem de 1 m, e o receptor capta os pulsos de ondas refletidos por um corpo. Esses pulsos refletidos (ecos) são convertidos em sinais de vídeo e monitorados em uma tela.

Como a velocidade de propagação v das ondas eletromagnéti-cas é conhecida (3 108 m/s), a distância D entre o corpo que refletiu as ondas e o transmissor pode ser calculada por meio da medição do intervalo de tempo t transcorrido entre a emissão dos pulsos e o retorno desses mesmos sinais à estação receptora:

v 2 D _____ t

V D v t _____ 2

A direção em que o corpo se movimenta em relação ao trans-missor pode ser facilmente obtida, visto que uma antena direcional, em constante movimento de rotação, vasculha o espaço ao redor do transmissor.

A velocidade do corpo que refletiu as ondas é calculada levando-se em conta que o sinal refletido retorna ao receptor comfrequência alterada devido ao efeito Doppler.

Um modelo mais simples de radar é usado atualmente pelas polícias e prefeituras para medir a velocidade de aproximação de veículos em estradas, ruas e avenidas.

A figura abaixo mostra um radar móvel sendo usado para medir a velocidade de aproximação de um automóvel.

Devido à aproximação entre a fonte e o observador (nesse caso, o automóvel em movimento e seu motorista), as ondas refletidas pelo carro retornam ao radar com uma frequência maior do que aquela com que foram emitidas e, portan to, com um menor comprimento de onda. A velocidade do carro pode ser, então, calculada de acordo com a variação sofrida pela frequência da onda.

Em alguns casos, uma máquina fotográfica conectada ao radar permite fotografar o carro em caso de excesso de velocidade. Esse equipamento tem se mostrado de grande valia no combate aos motoristas infratores e na tentativa de coibir abusos.

Radar

(A) Placas de trânsito sinalizando radar e velocidade máxima permitida na via. (B) Radar móvel. (C) Radar fixo em Campinas-SP, 2006.


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QuestãoSe o radar for apontado para um veículo que dele se afasta, o que podemos afirmar a respeito da fre-quência e do comprimento de onda da onda refletida no carro que se afasta em comparação com a onda emitida pelo radar?

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500 Hz520 Hz

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A sirene de uma fábrica emite um som com frequência de 500 Hz. Considerando que a velocidade do som no ar seja de 300 m/s, determine com que velocidade um observador deve se movimentar nas proximida des dessa sirene para perceber seu som com a frequência de 520 Hz.

O observador deverá perceber um som mais agudo (com frequência mais alta) e, assim, precisará aproximar-se da sirene. Seja V a velocidade do som e vO a velocidade desse observador. A figura abaixo mostra a orientação positiva para a velocidade do observador.

Com os dados fornecidos no enunciado do problema, temos:

fO ______ V vO

5 fF ______ V vF

V 520 ________ 300 1 vO 5 500 ____ 300   V  300 1 vO 5 520 ? 300 ________ 500   V  vO 5 12 m/s

A figura abaixo mostra uma lancha navegando em um lago de águas tranquilas com velocidade de 60 km/h. Sabendo que o ângulo , mostrado na figura, é tal que sen 5 1 __ 3 , ou seja, 19,47°, determine a velocidade de propagação das ondas criadas pela lancha na água do lago.

De acordo com a figura, no intervalo de tempo durante o qual a lancha se desloca de A até B, a onda criada pela lancha no ponto A irá se deslocar de A até C.

Considerando que as velocidades da lancha e da onda são constantes, o intervalo de tempo

Dt para os respectivos percursos é dado por: v 5 Ds ___ Dt

V  Dt 5 Ds ___ v

Temos, portanto: AB _____ vlancha 5 AC ____ vonda

  V  vonda 5 vlancha ? AC ___ AB

Mas a relação AC ___ AB corresponde ao sen . Então: vonda 5 vlancha ? sen

Com os valores fornecidos no enunciado, temos: vonda 5 60 ? 1 __ 3 V vonda 5 20 km/h

O exemplo seguinte mostra o que acontece quando uma fonte de ondas desloca-se em um meio com velocidade maior que a de propagação das ondas nesse meio.

Os exemplos a seguir mostram a aplicação da teoria do efeito Doppler na resolução de alguns problemas numéricos.



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Um avião se desloca com velocidade Mach 2, isto é, igual ao dobro da velocidade do som, criando a onda de choque mostrada na figura a seguir.

Determine a abertura do cone da onda de choque.

No triângulo retângulo destacado na figura, a medida da hipotenusa AB corresponde à dis-tância D percorrida pelo avião no mesmo intervalo de tempo em que o som percorre a distância d, medida do cateto AC, oposto ao ângulo .

Temos, então: vavião 5 2 ? vsom 5 D ___ Dt

V  D 5 2 ? vsom ? Dt e vsom 5 d ___ Dt

V  d 5 vsom ? Dt

Portanto: sen 5 d __ D V sen 5 vsom ? Dt

__________ 2 ? vsom ? Dt

  V  sen 5 1 __ 2   V  5 30°

O exemplo a seguir explora o fenômeno conhecido como explosão sônica, que ocorre quando um corpo se movimenta com velocidade maior que a velocidade das ondas sonoras no meio em questão, caso semelhante ao da lancha do exemplo anterior. Nesse caso, ondas sonoras se superpõem e geram a chamada onda de choque, uma onda de grande intensidade.

75. Uma fonte produz ondas na superfície da água de um lago, e um barco, em repouso no meio do lago, ao ser atingido pelas ondas, oscila com frequência de 5 Hz.O barco passa, então, a se movimentar sobre a reta que liga o barco à fonte. Sabendo que o barco passa a oscilar com frequência de 8 Hz e que a velocidade de propagação das ondas na água é de 20 m/s, podemos afirmar que:a) o barco aproxima-se da fonte com velocidade de

8 m/s.b) o barco afasta-se da fonte com velocidade de

8 m/s.c) o barco aproxima-se da fonte com velocidade de

12 m/s.


d) o barco afasta-se da fonte com velocidade de12 m/s.

e) o barco aproxima-se da fonte com velocidade de16 m/s.

76. (PUC-RS) Um observador parado na calçada de uma avenida observa a passagem de um carro-ambulância com sirene acionada. Após a passagem do carro, o observador percebe que a frequência do som da sirene diminuiu. Esse fenômeno é conhecido como efeito: a) Doppler. d) fotoelétrico.b) Volta. e) de reverberação.c) Joule.


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C3 D E F G A B C4

Frequência (Hz) 264 297

dó ré mi fá sol lá si dó

330 352 396 440 495 528

1 oitava

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8 Sons musicaisSe um copo de vidro cai no chão, ele pode se quebrar e produzir um

grande número de vibrações irregulares. O som resultante nos é desa-gradável e recebe o nome de ruído.

A maioria dos sons que convencionamos chamar de música baseia-se em uma escala musical, sons que apresentam ondas sonoras com padrões regulares e que nos soam agradáveis, as notas musicais. A escala musical consiste em uma série de notas que mantêm entre si certas relações de frequências.

O tipo mais comum de escala musical possui oito notas. O intervalo entre a primeira e a última nota é denominado oitava. A frequência da última nota é exatamente o dobro da frequência da primeira. As notas compreendidas em uma oitava formam uma gama. A figura abaixo mostra as frequências das notas musicais de uma gama que vai do dó médio (C3) ao dó médio seguinte (C4). (Fig. 3.58)

Figura 3.58 Cada nota musical corresponde a uma determinada frequência.

77. (PUC-Campinas-SP) Um professor lê o seu jornal sentado no banco de uma praça e, atento às ondas sonoras, analisa três eventos:

I. O alarme de um carro dispara quando seu proprie-tário abre a tampa do porta-malas.

II. Uma ambulância se aproxima da praça com a sirene ligada.

III. Um mau motorista, impaciente, após passar pela praça, afasta-se com a buzina permanentemente ligada.

O professor percebe o efeito Doppler apenas:

a) no evento I, com frequência sonora invariável.b) nos eventos I e II, com diminuição da frequência.c) nos eventos I e III, com aumento da frequência.d) nos eventos II e III, com diminuição da frequência

em II e aumento em III.e) nos eventos II e III, com aumento da frequência em

II e diminuição em III.

78. (PUC-Minas) Leia as afirmativas com cuidado. I. Se uma fonte sonora se aproxima de um observador,

a frequência percebida por este é menor do que a que seria percebida por ele se a fonte estivesse em repouso em relação a esse mesmo observador.

II. As ondas sonoras são exemplos de ondas longitu-dinais, e as ondas eletromagnéticas são exemplos de ondas transversais.

III. A interferência é um fenômeno que só pode ocorrer com ondas transversais.

Com relação às afirmativas, identifique, abaixo, a opção correta.

a) Se apenas as afirmativas I e II forem falsas.b) Se apenas as afirmativas II e III forem falsas.c) Se apenas as afirmativas I e III forem falsas.d) Se todas forem verdadeiras.e) Se todas forem falsas.

79. (Faap-SP) Considere que a velocidade máxima permi-tida nas estradas seja de somente 80 km/h. A sirene de um posto rodoviário soa com uma frequência de 700 Hz, enquanto um veí culo de passeio e um policial rodoviário se aproximam do posto emparelhados.O policial dispõe de um medidor de frequências sono-ras. Dada a velocidade do som de 350 m/s, ele deverá multar o motorista do carro quando seu aparelho medir uma frequência sonora de, no mínimo:a) 656 Hz c) 655 Hz e) 860 Hzb) 745 Hz d) 740 Hz

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Fonte: TERRAZZAN, Eduardo A., “EscalasMusicais”, Revista de Ensino de Ciências, n. 20, julho de 1988, p. 60. (Disponível em:<http://www.cienciamao.if.usp.br/dados/rec/_escalasmusicaiseduardoat.arquivo.pdf>.Acesso em: 22 mar. 2010.)

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Cada som musical apresenta qualidades que o diferenciam de outros: a altura, a intensidade e o timbre.

A frequência de uma determinada nota musical está relacionada à frequência do harmônico fundamental. Assim, se um instrumento musical, como o piano por exemplo, emite uma nota lá de 440 Hz, então a corda que a emite vibra com frequência fundamental de 440 Hz, e o som correspondente terá uma certa intensidade (volume).

Entretanto, outros harmônicos superiores — o segundo, o terceiro, o quarto etc. — também estarão presentes, e com intensidades diferentes. Os harmônicos superiores presentes variam de instrumento para instrumento e são os responsáveis pelo timbre característico de cada instrumento musical. O timbre é uma qualidade do som que nos permite diferenciar dois sons de mesma altura, mas produzidos por fontes distintas.

Ao falarmos ao telefone, ou quando estamos gripados, nossa voz soa com timbre diferente, pois harmônicos superiores são suprimidos.

Outra constatação interessante a respeito de nossa voz é que ela nos parece diferente quando a ouvimos gravada. A explicação é relativamente simples. Quando falamos, e ouvimos nossa própria voz, nossos ouvidos per-cebem duas ondas sonoras: a que se propaga pelo ar e a que se transmite pelos tecidos do crânio. A onda resultante, o som que percebemos, possui um determinado timbre. Mas, quando gravamos nossa voz, o microfone do gravador capta apenas a onda que se propaga pelo ar, que naturalmente possui um timbre diferente daquele. Portanto, nossa voz soa às outras pessoas como a que ouvimos na gravação.

O timbre de um som está relacionado com o padrão da onda resultante. Assim, cada instrumento musical terá um timbre característico.

A forma da onda resultante para uma mesma nota musical executada por três instrumentos distintos, um diapasão, uma flauta e um clarinete, é ligeiramente diferente uma da outra. (Fig. 3.59)

O diapasão nada mais é que uma barra metálica dobrada em forma de U, que, quando percutido, pode vibrar com frequência constante, a qual depende apenas de suas dimensões e do material com que é feito. Como a frequência de vibração de um diapasão é constante, ele pode ser usado para afinar outros instrumentos musicais.

O diapasão é fixado sobre uma caixa de ressonância. (Fig. 3.60) Quase to-dos os instrumentos musicais usam a ressonância para produzir seus sons.

RessonânciaRessonância é a capacidade de um objeto de vibrar com a mesma frequência

de outro corpo vibrante que se encontra nas proximidades. Esse é um fenômeno que pode ocorrer com praticamente qualquer sistema físico.

Você já deve ter presenciado a vibração do vidro de uma janela quando um caminhão barulhento passa por perto. Isso ocorre porque o som produ-zido pelo caminhão tem frequência igual a uma das frequências naturais de vibração do vidro da janela.

Uma ponte, por exemplo, pode ser comparada a uma corda fixa pelas extremidades e, como sabemos, tal sistema pode vibrar com inúmeras fre-quências naturais. Se uma tropa de soldados passar marchando sobre uma ponte, há o risco de a frequência da marcha coincidir com uma das frequências naturais de oscilação da ponte. Se isso acontecer, a ponte absorverá energia pouco a pouco e a amplitude de oscilação aumentará, podendo provocar a ruína da estrutura.

Figura 3.59 Representação da onda correspondente a som produzido por (A) diapasão; (B) flauta e (C) clarinete.

Fonte: Projeto Sonoridade em Artes, Saúde e Tecnologia – UFMG. (Disponível em:

<http://cefala.org/brfonologia/acustica_osom_4. php>. Acesso em: 1o abr. 2010.)

Figura 3.60 Diapasão e caixa de ressonância. (Representação sem escala, uso de cores-fantasia.)

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Figura 3.61 Um balanço é um sistema equivalente a um pêndulo simples.

Figura 3.62 Instrumentos musicais de corda (violino, em cima, e violão, embaixo).

Outro exemplo bastante elucidativo do fenômeno da ressonância é o balanço de brinquedo. Um balanço assemelha-se a um pêndu-lo simples, que consiste basicamente em uma massa presa a um fio inextensível de comprimento L, que tem sua outra extremidade presa a um ponto fixo. (Fig. 3.61) O pêndulo simples possui uma única fre-

quência natural de oscilação: f 5 1 __ T , com T 5 2 ? p ? dXX L __ g .

A história dos instrumentos musicais é fascinante. Escavações arqueológicas na China encontra-ram flautas, feitas com ossos de cegonhas, fabricadas por homens pré-históricos que datam entre 5.700 e 7.000 anos atrás.

Pesquise e discuta com seus cole-gas onde e quando diferentes instru-mentos musicais foram inventados, que tipos existem em outros países e em que tipo de música eles são utilizados. Procurem descobrir, tam-bém, como as formas e os tamanhos de diferentes instrumentos musicais mudaram ao longo da história.

Atividade em grupo

A criança no balanço, mesmo sem tocar o chão com os pés, pode fazer o balanço oscilar e atingir grandes amplitudes. Para isso, basta ela começar a se movimentar, para a frente e para trás, com frequência igual à frequência na-tural de oscilação do balanço. Devido ao fenômeno da ressonância, a energia da criança irá pouco a pouco se transferindo e acumulando-se no balanço.

No caso de um violão, a vibração da corda provoca a vibração do ar contido dentro da caixa do violão por ressonância. Isso faz com que o som tenha sua intensidade aumentada, sendo possível ouvi-lo. Uma guitarra, por outro lado, não possui caixa de ressonância e, por esse motivo, o som precisa ser amplificado eletronicamente.

Cordas vibrantesQuando a corda de um instrumento musical é colocada em estado de

vibração, esta se transmite para o ar nas vizinhanças da corda, e uma onda so-nora, com frequência igual à da vibração da corda, é originada. (Fig. 3.62)

A frequência da nota musical emitida pelo instrumento musical corresponde à frequência do harmônico fundamental ou primeiro har -mônico. No caso de um instrumento de corda (violão, contrabaixo, pia-no, harpa etc.), a frequência fundamental da corda é dada, como vimos

anteriormente, por: f1 5 v ____ 2 ? L .

Nessa expressão, v é a velocidade de propagação da onda na corda

de comprimento L. A velocidade da onda é calculada por: v 5 dXX F __   ,

em que F é a intensidade da força tensora e é a densidade linear da corda (massa por unidade de comprimento).

Os harmônicos superiores da corda, com frequências fn 5 n ? f1 (em que

n 5 1, 2, 3, 4, ...), que podem estar presentes, conferem ao som do instrumento seu timbre característico. Assim, se um violão e um cavaquinho emitirem uma mesma nota musical, as cordas de ambos vibrarão com harmônicos fundamen-tais de mesma frequência. Entretanto, os harmônicos superiores presentes em cada uma das cordas podem diferir, e é essa diferença, no número e na inten-sidade dos harmônicos superiores, que define o timbre do instrumento.

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Tubos sonorosVocê pode produzir um som musical agradável, se soprar de modo

adequado no gargalo de uma garrafa ou na extremidade de um tubinho vazio de caneta esferográfica. A garrafa ou o tubinho de caneta, nesse caso, funcionam como instrumentos musicais de sopro.

Nos instrumentos musicais de sopro, uma onda estacionária longi-tudinal estabelece-se na coluna de ar existente no interior de um tubo. (Fig. 3.63) A coluna de ar é posta em vibração por meio de uma palheta, localizada na embocadura do instrumento, ou pela própria vibração dos lábios do músico.

O tubo onde se estabelece a onda estacionária é denominado tubo aberto, quando suas duas extremidades são abertas, e tubo fechado, quando a extremidade oposta à da embocadura recebe uma tampa. (Fig. 3.64)

Figura 3.63 Instrumentos musicais de sopro (órgão acústico na Catedral de Arequipa, Peru, à esquerda, e flauta inca, à direita).

Figura 3.64 Representação esquemática: (A) do tubo aberto; (B) do tubo fechado.

Observe que o ar próximo a uma extremidade aberta do tubo pode vibrar intensamente e, nessa extremidade, teremos o estabelecimento de um ventre da onda estacionária. Por outro lado, na extremidade fechada do tubo, o ar é impedido de vibrar, devido à presença da tampa e, nessa extremidade, estabelece-se um nó da onda estacionária.

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Terceiro harmônico: f3 = 3 • f1

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Primeiro harmônico: f1 = ––––vsom

2 • L

Segundo harmônico: f2 = 2 • f1

Primeiro harmônico: f1 = ––––vsom

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Terceiro harmônico: f3 = 3 • f1

Quinto harmônico: f5 = 5 • f1

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Figura 3.65 Esquema para os três primeiros modos de vibração da coluna de ar no interior de tubos abertos e de tubos fechados.

Observe que os tubos abertos se comportam como as cordas vibrantes, podendo apresentar todos os harmônicos superiores, múltiplos inteiros da fre-quência fundamental:

fn 5 n ? f1 5 n ? vsom ____ 2 ? L , com n 5 1, 2, 3, 4, 5, ...

Para os tubos fechados, apenas os harmônicos superiores de ordem ímpar podem estar presentes. Então, para os tubos fechados:

f1 5 i ? f1 5 i ? vsom ____ 4 ? L , com i 5 1, 3, 5, 7, 9, ...

A onda estacionária mais simples que pode se formar em um tubo, como no caso das cordas, corresponde ao primeiro harmônico ou harmônico fundamental. As ondas estacionárias mais complexas correspondem aos harmônicos superiores. Mostramos, a seguir, os possíveis modos de vibração da coluna de ar em um tubo aberto e em um tubo fechado. (Fig. 3.65)

Lembrando que a distância de ventre a ventre vizinho é igual a l __ 2 e entre

um ventre e um nó vizinho é igual a l __ 4 , podemos determinar a frequência de

cada harmônico em função do comprimento L do tubo e da velocidade vsom de propagação do som.

Você poderá ouvir nitidamente um som melodioso, se passar contínua e periodicamente um dedo úmido pela borda de uma taça de cristal fino. Também já deve ter ouvido dizer que um tenor pode quebrar uma taça de cristal apenas com o som de sua voz.

Como você explica esses fenômenos?

Você sabe por quê?

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A afinação de um instrumento musical de corda em geral é obtida com um ajuste adequado da velocidade de propagação da onda na corda. Isso pode ser conseguido alterando-se convenientemente a tensão à qual a corda está submetida. Para a afinação de um instrumento que funciona com colunas de ar vibrantes, como um órgão de tubos de uma igreja, a velocidade de propa-gação da onda corresponde à velocidade do som, que dificilmente pode ser controlada, pois esta depende da temperatura absoluta do ar. Nesse caso, torna-se necessário realizar um ajuste no comprimento do tubo. Para melhor entender essa afirmação, acompanhe a resolução do problema seguinte.

Um tubo aberto de órgão foi afinado de modo a vibrar no modo fundamental com uma frequência de 440 Hz, correspondente à da nota lá, num ambiente em que a velocidade de pro-pagação do som no ar era de 330 m/s.

a) Qual é o comprimento L desse tubo aberto?b) Se o órgão for usado num ambiente em que a velocidade de propagação do som seja de

300 m/s, qual deverá ser o novo comprimento L’ desse tubo aberto?

a) No modo fundamental, temos, ao longo do comprimento L do tubo, a formação de um único nó central. Então: L 5 l __ 2 V l 5 2 ? L.

Pela equação das ondas: v 5 l ? f V 330 5 2 ? L ? 440 V L 5 3 __ 8 m 5 0,375 m

b) Quando se altera a velocidade do som, é preciso também, para manter a afinação, alterar o comprimento L do tubo. Seja L’ o novo comprimento do tubo para uma velocidade do som igual a 300 m/s.

Temos, então: v 5 l ? f V 300 5 2 ? L’ ? 440 V L’ 0,341 m

Portanto, para manter a afinação do tubo, seu comprimento deve ser reduzido 0,034 m, ou seja, 3,4 cm.

Um tubo sonoro aberto emite um som fundamental com frequência de 330 Hz. Considerando que a velocidade do som no ar, nas condições ambientes, seja de 330 m/s, determine:

a) o comprimento L do tubo;

b) a frequência do som fundamental que o tubo passa a emitir caso a extremidade aberta receba uma tampa.

a) No modo fundamental, a coluna de ar no interior do tubo vibra em regime estacionário com um único nó central e com ventres nas extremidades abertas, conforme a figura ao lado.Nessas condições, temos:

l __ 2 5 L V  l 5 2 ? LPela equação das ondas:

v 5 l ? f V 330 5 2 ? L ? 330 V  L 5 0,5 m

b) Colocando-se uma tampa na extremidade aberta, temos, nesta, a formação de uma região nodal e, no modo fundamental, a coluna de ar passa a vibrar como na figura ao lado.

Temos, nessa nova situação, que:

l __ 4 5 L V l 5 4 ? L V l 5 4 ? 0,5 V l 5 2 m

Pela equação das ondas:

v 5 l ? f V  330 5 2 ? f V  f 5 165 Hz

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O exemplo a seguir ilustra a aplicação dessa teoria na análise do som emitido por um tubo sonoro.


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A propriedade que permite distinguir o som dos dois instrumentos é:a) o comprimento de ondab) a amplitude.c) o timbre.d) a velocidade de propagação.e) a frequência.

82. (EsPCEx-SP) Uma flauta e um violino emitem a mes-ma nota musical com mesma intensidade. O ouvido humano reconhece os dois sons por distinguir o(a):a) comprimento de onda dos dois sons fundamentais.b) frequência das ondas fundamentais.c) amplitude das ondas fundamentais.d) frequências dos harmônicos que acompanham os

sons fundamentais.e) período das frequências fundamentais.

83. (PUC-RS) Um tubo sonoro ressoa com mais intensida-de na frequência de 680 hertz. Com experimentação apropriada, percebe-se a formação, no interior do tubo, de uma sucessão de nós e ventres. Sabendo--se que a velocidade de propagação do som é de 340 m/s, conclui-se que a distância entre dois nós consecutivos é, em cm, igual a:a) 15 c) 25 e) 40b) 20 d) 30

84. (Cefet-PR) A corda de um instrumento musical, de 68 cm de comprimento, vibra transversalmente com uma fre-quência de 340 Hz. O som produzido pela corda coloca em ressonância o ar de um tubo fechado que emite o seu som fundamental. Se a velocidade do som no tubo é 340 m/s, o comprimento do tubo é, em cm, igual a:


a) 17 b) 25 c) 34 d) 50 e) 68

85. (PUC-Campinas-SP) Uma proveta graduada tem 40,0 cm de altura e está com água no nível de 10,0 cm de altura. Um diapasão de frequência de 855 Hz vibrando próximo à extremidade aberta da proveta indica ressonância. Uma onda estacionária possível é representada na figura abaixo.

A velocidade do som, nessas condições, é, em m/s:

a) 326 d) 350b) 334 e) 358c) 342

86. (Unic-MT) Um tubo sonoro fechado, cheio de ar, emite um som fundamental de 3,4 kHz. Sabendo-se que a velocidade do som no ar é de 340 m/s, pode-se dizer que o comprimento do tubo é:

a) 3,4 mb) 0,340 mc) 0,50 md) 0,25 me) 0,025 m

80. Uma corda de violão com comprimento L vibra emi-tindo a nota musica mi, com frequência de 330 Hz. Qual deve ser o novo comprimento da parte vibrante dessa mesma corda para que ela emita o som da nota lá, com frequência de 440 Hz?

81. (UFF-RJ) Ondas sonoras emitidas no ar por dois instrumentos musicais distintos, I e II, têm suas amplitudes representadas em função do tempo pelos gráficos abaixo.

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Sugestões de leitura

Ciência e mágica com som, de Chris Oxlade (São Paulo, Editora Nobel, 1. ed., 1995, Coleção Ciência e Mágica)Por meio de truques de mágica, este livro apresenta princípios básicos de Acústica. Para realizar os diversos truques podem ser usados os materiais do dia a dia.

Nas ondas do som, de Valdir Montanari e Paulo Cunha (São Paulo, Editora Mo-derna, 1. ed., 1996, Coleção Desafios)A audição desempenha um papel importante na comunicação. A observação desse fato levou os autores a fazerem uma retrospectiva histórica da evolução dos conceitos sobre o som, suas principais aplicações e perigos no mundo moderno. O texto trata da ondulatória e da emissão de som, das qualidades fisiológicas dos sons e faz uma análise dos instrumentos musicais.

87. (Fuvest-SP) Um músico sopra a extremidade aberta de um tubo de 25 cm de comprimento, fechado na outra extremidade, emitindo um som na frequência f 5 1.700 Hz. A velocidade do som no ar, nas condi-ções do experimento, é v 5 340 m/s. Dos diagramas abaixo, aquele que melhor representa a amplitude de deslocamento da onda sonora estacionária, excitada no tubo pelo sopro do músico, é:

89. (ITA-SP) Um diapasão de 440 Hz soa acima de um tubo de ressonância contendo um êmbolo móvel como mostrado na figura. A uma tempe-ratura de 0 °C, a primeira ressonância ocorre quando o êmbolo está a uma distância h abaixo do topo do tubo. Dado que a velocidade do som no ar (em m/s) a uma temperatura T (em °C) é v 5 331,5 1 0,607 ? T, conclui-se que a 20 °C a posição do êmbolo para a primeira ressonância, relativa à sua posição a 0 °C, é:

Navegue na web

Ondas sonoras<http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=Sound> (Acesso em: jan. 2010.)

O aplicativo em Java permite verificar várias características de ondas sonoras, como altura, intensidade, interferência e reflexão. Podem-se ouvir as ondas sonoras e detectar, por exemplo, a variação de sua amplitude numa situação de interferência.

88. (Cefet-PR) Dois tubos sonoros, A e B, vibram em on-dulação estacionária complexa de forma que o oitavo modo de vibração de A ressoa com o segundo modo de vibração de B. Levando em conta que a extremi-dade do tubo A é aberta e que a de B é fechada, o quociente entre os comprimentos dos tubos, dado

por LA __ LB

, vale:

a) 4 __ 3 c) 5 __ 2 e) 7 __ 2

b) 8 __ 3 d) 16 ___ 3

a) 2,8 cm acima.b) 1,2 cm acima.c) 0,7 cm abaixo.d) 1,4 cm abaixo.e) 4,8 cm abaixo.

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capítulo 3 ondas e som

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