capítulo 3 - usp€¦ · capítulo 3: dinâmica crítica do modelo de baxter-wu _____ 33 o estudo...

Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________

25

Capítulo 3

Dinâmica crítica do modelo

de Baxter-Wu 3.1 O Modelo

O modelo de Baxter-Wu foi introduzido por Wood e Griffiths56 e resolvido

exatamento no contexto de mecânica estatística de equilíbrio por R.J. Baxter e

F.Y.Wu em 197336,37,57. Trata-se de um modelo bidimensional onde as

variáveis são do tipo Ising ( 1±=iσ ) e residem em uma rede triangular

(Figura 3.1).

A Hamiltoniana contém interações entre os 3 spins que formam os

vértices de cada triângulo e com o campo magnético quando ele existir.

∑ ∑−−=Ηkji

ikji hJ,,

σσσσ . (3.1)


26

Esse modelo é autodual56,58 e tem a mesma temperatura crítica, quando

em campo nulo, do modelo de Ising convencional, dada por:

( ) ...4406867,021ln21

=+==cB

c TkJ

K (3.2)

Fig. 3.1: Rede triangular do modelo de Baxter-Wu.

O estado fundamental do modelo de Baxter-Wu é quatro vezes

degenerado59 (Figura 3.2) um deles é o estado ferromagnético, ou seja, aquele

em que todos os sítios da rede são preenchidos com sinais positivos. As outras

três configurações são tais que dois terços dos spins são negativos sendo que

em cada triângulo deve haver a presença de um vértice positivo (estado

ferrimagnético)


27

Estado Ferromagnético

Estados Ferrimagnéticos

Fig. 3.2: Quatro estados fundamentais do modelo de Baxter-Wu. Uma configuração do estado

ferromagnético, e três do estado ferrimagnético.


28

Pelo fato do modelo apresentar a mesma simetria e o mesmo grau de

degenerescência do estado fundamental do modelo de Potts60 com 4 estados e

do modelo de Ising com interação de três spins em uma das direções

(Figura 3.3) espera-se que esses três modelos estejam na mesma classe de

universalidade, apresentando os mesmos expoentes críticos. Isso significa

que α = ν = 2/3 e β = 1/12.

Modelo de Baxter-Wu

Ising com interações de

3 spins em uma das direção

Modelo de Potts

de 4 estados

Fig. 3.3: Estados fundamentais dos modelos de Baxter-Wu, Ising com interações de 3 spins

em uma das direções e do Potts de 4 estados.

O interessante é que, embora esteja na mesma classe de universalidade

do Potts com 4 estados, o modelo de Baxter-Wu não apresenta o operador

marginal (dimensão do operador = dimensão do espaço onde está embebido o

sistema) que tanto dificulta a determinação dos expoentes críticos no caso do

Potts-4.

A simetria do modelo de Baxter-Wu é semi-global uma vez que a

Hamiltoniana é simétrica por inversão de todos os spins de duas sub-redes

quaisquer, das três sub-redes41 triangulares interpenetrantes que compõem a

rede original. Na figura 3.4 fica claro que cada sítio de uma sub-rede interage

com 6 vizinhos formados apenas pelas outras duas sub-redes.


29

Fig. 3.4: O modelo de Baxter-Wu é definido por uma rede triangular formado por três sub-

redes. Sub-rede 1 representado por , sub-rede 2 por e a última sub-rede por .


30

Como o interesse nessa dissertação é investigar o modelo a partir do

comportamento universal em tempos curtos (quando o comprimento de

correlação ainda é pequeno e conseqüentemente não há problemas com o

“critical slowing down”) estaremos trabalhando com uma coleção de amostras

que evoluem no tempo de acordo com uma dinâmica previamente escolhida

(banho térmico, Glauber ou Metrópolis). As grandezas medidas são a

magnetização dependente do tempo e seus momentos, a derivada logarítmica

da magnetização em relação ao desvio da temperatura crítica e a correlação

entre a magnetização no instante t = 0 e a magnetização no instante t.

Seguindo os trabalhos de Janssen et al.34 e Zheng54 e colaboradores

três condições iniciais são utilizadas. A primeira delas é o caso em que as

amostras são geradas com magnetização média igual a zero e comprimento de

correlação também. A segunda quando as amostras são características de

temperatura alta mas têm uma magnetização residual m0 e a terceira, aquela

em que o estado inicial das amostras é o estado ordenado (m0 = 1). Como já

pudemos observar no capítulo 2, cada uma dessas condições permitirá obter

informações acerca dos expoentes dinâmicos e estáticos. Finalmente,

utilizamos uma outra abordagem que consiste em usar condições iniciais

mistas para estimar o valor do expoente crítico dinâmico z 39,61.

É importante ressaltar que as estimativas para esse expoente são muito

desencontradas para a maioria dos modelos. Mesmo para o modelo de Ising

bidimensional só muito recentemente chegou-se a um consenso razoável a

respeito do valor correto de z. Quanto aos outros expoentes o dinâmico θ só

pode ser determinado por essa abordagem de tempos curtos enquanto os

estáticos β e ν servem apenas para confirmar as relações de escala.


31

3.2 Resultados Nessa investigação utilizamos, na maioria das vezes, a dinâmica de

banho térmico (heat-bath ), onde o novo estado do spin iσ no instante t+1 é

absolutamente independente do seu estado no instante t. Para obtê-lo,

compara-se um número aleatório r com a probabilidade do spin ser +1 no

próximo passo, aqui designada por ( )tpi . Assim, teremos:

( ) ( )[ ]rtpsinalt ii −=+ 1σ (3.3)

sendo ( )( )

( ) ( )thth

th

i ii

i

eee

tp −+= e ∑=

kjikjii tttKth

,,

)()()()( σσσ .

Pelo fato dos spins da rede da figura 3.4 se repetirem no sentido

horizontal a cada três posições e na vertical a cada duas, dificultando a

implementação de um programa, em todas as simulações adotamos uma rede

oblíqua que pode ser transposta sem problemas para uma rede convencional e

que apresenta a repetição dos spins a cada três posições, em ambos os eixos.

(a) (b) Fig. 3.5: Representação da rede utilizada nas simulações. (a) Rede oblíquo (b) Confi guração da

rede oblíquo transposta em uma rede convencional.

i

j

Sub-rede

Sub-rede 3

i

j


32

rede oblíquo transposta em uma rede convencional.

Durante todo o trabalho usamos condições periódicas de contorno e

para que não houvesse truncamento das interações entre os spins, as redes

escolhidas sempre foram múltiplas de três.

Fig. 3.6: Rede inapropriada (par) para o modelo de Baxter-Wu devido ao truncamento das

interações entre os spins e ao número diferente de spins de cada sub-rede.

3.2.1 Determinação do expoente dinâmico z

Para a determinação do expoente crítico dinâmico z, primeiramente

utilizamos a técnica do colapso, trabalhando com o quarto cumulante de

Binder62 generalizado para tratar situações de não equilíbrio ,

2)2(

)4(

4 )(31),0,(

MM

LtU −==ε , (3.4)

essa técnica se mostrou útil na determinação do expoente crítico z em

simulações de tempos curtos54,55, apresentando bons resultados quando

comparados às técnicas convencionais de equilíbrio.


33

O estudo do cumulante de Binder foi feito para o caso de magnetização

inicial igual a zero e a relação de escala é dada por:

),,(),,( 1

44 LbtbTTULtTTU zcc

−−=== , (3.5)

sendo b = L/L’. Dessa forma o expoente z pode ser facilmente obtido

ajustando-se o fator de escala temporal zb de modo que os dois lados da

expressão (3.5) colapsem. Em outras palavras, o cumulante pode ser descrito

por uma função de escala do tipo:

)/(),,(4

zc LtfLtTTU == . (3.6)

A Figura 3.7 mostra o colapso do cumulante de Binder entre pares de

redes, cujo fator de escala é dado por 2'/ =LL .

0 100 2000,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

U4

t

L = 12 L = 24

(a)

200 300 400

0,5

U4

t

L = 24 L = 48

(b) Fig. 3.7: Cumulante de Binder U4 sendo para (a) L = 12 e 24 e em (b) L = 24 e 48. Em ambos

os casos a linha vermelha foi ajustada no eixo do tempo sobre a curva de pontos negros de

acordo com o fator de escala 2z , com z = 2.3. O sistema partiu do estado m0 = 0 .

Os cumulantes das redes menores (12 e 24) foram representados nas

figuras por pontos pretos, enquanto os pontos das linhas em vermelho referem-

se às redes de tamanho L2 (L = 24 no caso a e L = 48 no caso b) depois de

feito o rescaling no tempo. O domínio de valores para o qual o colapso ainda


34

é observado é dado por 1.03.2 ±=z . Para a construção do gráfico do

cumulante foram realizadas médias sobre cinco simulações com 50000

amostras cada uma.

Trabalhando com o cumulante de Binder pode-se perceber claramente a

importância de se respeitar a simetria do modelo de Baxter-Wu41.

A figura 3.8 mostra, por exemplo, a deformação do cumulante quando

não se trabalha com redes com L = 3 n, n ∈ Z+.

0 50 100

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

U4

t

L = 15 L = 16

Fig. 3.8: Deformação do cumulante de Binder U4 para o modelo de Baxter-Wu numa rede 16

confirmando a necessidade de trabalhar com tamanho de rede múltiplo de três.

Já na figura 3.9 mostramos o comportamento do cumulante quando não

são consideradas as sub-redes para o cálculo da magnetização. O leitor pode

observar que o cumulante da rede de maior tamanho (L = 51) cresce mais

rapidamente do que a de menor tamanho (L = 21), comportamento inverso do

esperado.


35

0 20 40 60 80 1000,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

U

4

t

L = 51 L = 21

Fig. 3.9: Comportamento do cumulante de Binder U4 , para o modelo de Baxter-Wu, quando

não se considera a existência das 3 sub-redes.

O valor que encontramos para o expoente dinâmico z (~2.3) é bem

diferente daquele obtido por Santos e Figueiredo42.

Eles encontraram para z o valor de 2.07 ± 0.01 quando m0 = 1 e

1.96 ± 0.02 quando m0 = -1/3 utilizando a técnica de Zheng53 (veja também

Wang et al 63) que utiliza o segundo cumulante:

zdc t

MM

LtTTU /2

)2(

2 1),,( ∝−

== , (3.7)

onde d é a dimensão do sistema, com as amostras partindo do estado

ordenado (magnetização inicial igual 1 ou -1/3) .


36

Usando a mesma técnica (partindo do estado ferromagnético) nós

obtivemos (Figura 3.10) o z = 2.03 ± 0.01, próximo daquele encontrado por

Santos e Figueiredo42. A diferença utilizando o mesmo procedimento se deve

ao fato de estarmos usando a dinâmica de banho térmico e com uma rede de

102x102 sítios ao passo que eles trabalharam com a dinâmica de Glauber e

com uma rede com L = 258.

1001E-4

1E-3

tanφ = 0.9876 + 0.0003

L = 102

( M

(2) m

0=1 /

M2

m0=

1 ) -

1

t

Fig 3.10: Gráfico do cumulante U2 quando o processo dinâmico é iniciado com o sistema em

estado ordenado (m0 = 1). As barras de erro foram calculadas para 10 conjuntos de 30000

amostras e apresentam-se menores que o tamanho dos pontos.

Já foi verificado, porém, que a técnica de Zheng53 leva a valores de z

mais baixos do que o real como ocorreu na determinação do expoente z para o

modelo de Ising com interação de três spins em uma das direções39 e no

modelo de Potts com 3 estados53. Isso decorre, de acordo com o nosso ponto

de vista39,61, do fato de que o cumulante não deve obedecer à lei de potências

td/z quando partimos do estado ordenado.


37

Para superar esse problema foi sugerido61 trabalhar com condições

iniciais mistas, ou seja, quando são utilizadas para o cálculo da média da

magnetização 10 =m e para a média do segundo momento 00 =m .

Essas condições são adotadas uma vez que o segundo momento varia

como54,

zdttM /)/2()2( )( νβ−∝ , (3.8)

onde d é a dimensão do sistema e β ,ν e z são os expoentes críticos do

modelo, quando as amostras são tomadas inicialmente com magnetização zero

)0( 0 =m . Por sua vez, o comportamento de escala da magnetização

zttM νβ /)( −∝ , (3.9)

é observado quando o sistema evolui a partir do estado inicial ordenado65, ou

seja, quando 10 =m . Considerando esses dois domínios independentes e

fazendo a seguinte a seguinte razão 22 )()( tMtM teremos:

zd

m

m tM

MLtF /

2

1

0

)2(

0

0),( ∝==

= . (3.10)

Aplicando esse método obtivemos através da inclinação da reta da

figura 3.11 o valor de 003.0296.2 ±=z . As médias e o desvio padrão foram

tomadas sobre 10 simulações independentes, com 30000 amostras cada uma.


38

Fig. 3.11: Gráfico do quociente <M(2)

>/<M>2 em função do tempo, considerando-se o

crescimento do segundo momento da magnetização a partir do estado desordenado

(m0 = 0) e o decaimento da magnetização a partir do estado ordenado (m0 = 1). O resultado

para z foi 2.296 ± 0.001. As barras de erro foram calculadas a partir de 10 séries.

Para tentar eliminar o impasse quanto ao valor de z decidimos lançar

mão de outras técnicas para a sua determinação.

O primeiro teste consistiu em utilizarmos novamente o colapso das

curvas do cumulante de Binder54,62,

2)2(

)4(

4 )(31),0,(

MM

LtU −==ε , (3.11)

para diferentes tamanhos de rede, mas dessa vez com o sistema partindo do

estado ordenado, ou seja, m0=1.

1001E-4

1E-3

0,01

tanφ = 0.871+0.001

L = 144

U=<

M(2

) >m

0=0/<

M>2 m

0=1

t


39

A Figura 3.12 mostra o colapso do cumulante de Binder entre o par de

redes (192 x 96), cujo fator de escala é dado por 2'/ =LL . Para obter o melhor

ajuste, exibido na figura, o valor utilizado para z foi 2.28. Variações de 2% em

torno desse valor conduzem também a colapsos aceitáveis e, portanto, a

estimativa para o expoente fica dada por z = 2.28 ± 0.05. Optamos por

trabalhar com redes maiores visando a eliminação de efeitos de tamanho finito.

Fig. 3.12: Cumulante de Binder U4 , com o sistema partindo do estado ordenado (m 0 = 1). As

linhas cheias representam as curvas com L = 96 (em vermelho) e L = 192 (em preto) e os

círculos abertos a curva com L = 192 reescaladas no tempo com o fator de escala 2z ,

com z = 2.28 ± 0.05. Cada curva foi feita fazendo a média de cinco conjuntos de 30 mil

amostras. As barras de erro são menores do que os círculos utilizados como símbolos.

Também se pode calcular o z utilizando o cumulante54,

2

)2(

||1),(

~MM

LtU −= (3.12)

e trabalhando com amostras que partem do estado ordenado.

0 200 400 6000,650

0,655

0,660

0,665

0,670

L = 96

z = 2.28 + 0.05

L = 192

UL

t

U4


40

A Figura 3.13 mostra o colapso do cumulante U~

para as redes com

L = 196 e 92. O intervalo onde o colapso é observado é dado por

z = 2.29 ± 0.05.

Fig. 3.13: Cumulante de Binder U~

, com o sistema partindo do estado ordenado (m0=1). As

linhas cheias representam as curvas com L = 96 (em vermelho) e L = 192 (em preto) e os

círculos abertos a curva com L = 192 reescaladas no tempo com o fator de escala 2z ,

com z = 2.29 ± 0.05. Cada curva foi feita fazendo a média de cinco conjuntos de 30 mil

amostras. As barras de erro são menores do que os círculos utilizados como símbolos.

Para a construção da figura 3.13 foram realizadas médias sobre cinco

simulações com 30000 amostras.

Na seqüência, resolvemos investigar o comportamento do expoente z

nos dois casos anteriores, em função do tempo. Realizamos então o colapso

local e observamos que nos primeiros passos z está muito próximo de 2,

atingindo depois um patamar de aproximadamente 2.28 para o cumulante de

Binder com m0 = 1 (Figura 3.14.a) e de aproximadamente 2.29 para o

cumulante U~

(Figura 3.14.b).

0 200 400 600 800 1000

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

z = 2.29 + 0.05

L = 96

L = 192

U

t

U


41

Fig. 3.14: Curvas mostrando os valores de z obtidos com m0 =1 a partir do colapso local de uma

rede 96 ← 192, (a) para o cumulante de Binder e (b) para o cumulante U. Em ambos os

casos o t representa os passos de Monte Carlo da rede menor.

Uma outra abordagem foi ainda utilizada para confirmar o valor de z.

Dessa vez trabalhamos com a proposta de Soares et al66 que também explora

o comportamento em tempos curtos para a investigação do expoente crítico

dinâmico z. Essa abordagem, conhecida como “finite-size dynamical scaling

approach” (FSDSA), parte das mesmas premissas que o grupo da Alemanha

utilizou mas a análise da relaxação é feita com duas quantidades introduzidas

por P. M. C. de Oliveira67 para sistemas em equilíbrio.

Sabe-se que, para uma dada quantidade P, a relação de escala

dinâmica pode ser escrita como:

),,,(),,,( 1/1 LtHPbLbtbHbbP zy εε φν −−− = , (3.13)

0 500 1000 1500 20001,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

B

z

z

2,29 + 0,05

t

0 500 1000 1500 20001,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

A

2,28 + 0,05

t


42

onde b é o fator de escala , ε é a temperatura reduzida, H é o campo magnético

e L o tamanho da rede . Os expoentes ν, y e z são expoentes críticos e φ é a

dimensão anômala da quantidade P. Em geral, quando φ = 0, a variável P é

candidata a uma função de escala. Segundo P.M.C de Oliveira67, as

quantidades:

= ∑

=

N

iiN

tS1

1sinal)( σ (3.14)

e

= ∑∑

basei

topoi M

sinalM

sinaltR σσ11

)( (3.15)

apresentam dimensão anômala φ = 0. Nas equações acima, N = Ld é o número

total de spins e M = Ld-1 são os spins das linhas (em duas dimensões) ou

planos (em três) mais distantes entre si. Assim, a equação de escala para

essas quantidades pode ser escrita da seguinte maneira:

),,,(),,,( 01/1 LtHSbLbtbHbbS zy εεν =−− , (3.16)

),,,(),,,( 01/1 LtHRbLbtbHbbR zy εεν =−− . (3.17)

Considerando H = 0 e supondo que o sistema esteja na criticalidade,

0=ε , pode-se obter o expoente crítico dinâmico z reescalando, no tempo,

redes de tamanhos distintos.

Investigamos o comportamento de escala das quantidades S(t) e R(t)

para o modelo de Baxter-Wu. As médias para a obtenção de cada curva foram

feitas com 5 conjuntos de 50.0000 amostras.

A Figura 3.15 mostra a evolução temporal da quantidade S para as

redes L = 24, 36 (linhas cheias) e da rede L = 36 após o rescaling temporal (a

curva com bolas vazias). O colapso das curvas é obtido quando z = 2.3 ± 0.1.


43

0 100 200 300 400 500

0,8

1,0

L = 36

z = 2.3 +0.1

L = 24

S

(t)

t

Fig. 3.15: Comportamento temporal de S(t) para as redes L=24 e 36 (linhas cheias). A curva

L = 36 (círculos abertos) está reescalada no tempo. O colapso foi obtido para z = 2.3. O

sistema partiu do estado ordenado, ou seja, m0 = 1.

O mesmo valor de z = 2.3 ± 0.1 foi encontrado no estudo da função R(t)

diante de duas condições iniciais diferentes (m0 = 1 e m0 = 0).

A figura 3.16.a apresenta o colapso das curvas 24 e 36, quando o

sistema parte do estado ordenado, ou seja, m0 = 1. Já na figura 3.16.b, o

estado inicial é preparado de forma que a magnetização seja nula em cada

sub-rede m0 = 0.


44

0 50 100 1500,80

0,85

0,90

0,95

1,00

z = 2.3 +0.1

L = 24

L = 36

R(t

)

t

(a)

0 100 200

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

z = 2.3 +0.1

L = 24

L = 18

R(t

)

t

(b) Fig. 3.16: Comportamento de R(t) em função do tempo. (a) Partindo o sistema do estado

ordenado m0 = 1, curva L = 36 (símbolo aberto) está reescalada no tempo sobre a curva L = 24.

O melhor ajuste das curvas foi obtido com z = 2.3 (b) Partindo do estado inicial m0 = 0 a curva

L = 24 (símbolos abertos) está reescalada no tempo sobre a curvas L = 18 (linha cheia). O

colapso é observado quando z = 2.3.

Portanto, todos os métodos apresentados indicam que o valor de z deve

ser muito próximo de 2.3 como se mostra na Tabela 3.1.

Tab. 3.1: Valores de z para o modelo de Baxter-Wu usando a dinâmica de banho térmico e

várias grandezas dependentes do tempo.

Técnica empregada m0 Rede Z

0 12 ← 24 2.3 ± 0.1 U4 1 96 ← 192 2.28 ± 0.05

U~

1 96 ← 192 2.29 ± 0.05 S 1 24 ← 36 2.3 ± 0.1

1 24 ← 36 2.3 ± 0.1 R

0 18 ← 24 2.3 ± 0.1 F Mista 102 2.296±0.001

Nenhum dos resultados por nós obtidos para o expoente z suporta o

valor encontrado por Santos e Figueiredo42 ( z = 1.96 ± 0.02 e 2.07± 0.01) a

menos do segundo cumulante com m0 = 1 que também já se revelou

inadequado na determinação de z para o modelo de Ising com interação de

multispin39.


45

3.2.2 Determinação do expoente dinâmico θ

Talvez a maior contribuição dos trabalhos de Huse35 e Janssen et al34

tenha sido a descoberta de um novo expoente dinâmico, independente de

todos os outros até então conhecidos. Esse novo expoente θ governa o

comportamento polinomial da magnetização em função do tempo, conhecido

como “critical initial slip” e não foi calculado por Figueiredo e Santos42.

Esse comportamento anômalo da magnetização em função do tempo

pode ser descrito por uma lei de potências universal dada por:

θtmtM 0)( ∝ , (3.18)

onde m0 é a magnetização inicial e θ o novo expoente crítico dinâmico.

A primeira estimativa numérica que obtivemos para θ (expoente não

determinado por Santos e Figueiredo) foi baseada na evolução da

magnetização de amostras cuidadosamente preparadas (com comprimento de

correlação zero e m0 pequena). As dificuldades, nesse tipo de cálculo,

decorrem da necessidade de preparar as amostras com determinada

magnetização e também de fazer o delicado limite para m0 → 0. Para um

número finito de spins, as possibilidades para valores pequenos de m ficam

bastante reduzidas.

A figura 3.17 mostra o resultado de nossas simulações que conduziram

ao valor de 005.0175.0 ±−=θ . Aqui a magnetização inicial foi 01.00 =m em

cada sub-rede e as médias foram feitas sobre 60000 amostras de aresta L=60.

Para o cálculo do erro foram utilizadas oito simulações independentes.


46

10 1001E-3

0,01

tanφ = -0.175 +0.005

m0= 0.01

L = 60

M(t

)

t

Fig. 3.17: Evolução temporal da magnetização no gráfico log-log para uma rede L=60 com

m0 = 0.01. A inclinação da curva fornece o valor do expoente crítico dinâmico

θ = -0.175 ± 0.005.

Devido ao fato do expoente θ ter apresentado um valor bem inferior a

zero, ao contrário do modelo de Ising com interação de 3 spins, que apresenta

um valor próximo de zero e negativo, como foi observado por Wang et al63 e

Simões e Drugowich de Felício39, também utilizamos uma técnica alternativa

mais eficiente para o cálculo de θ , proposta por Tomé e de Oliveira51 para

modelos que apresentam simetria up-down . Eles mostram que esse expoente

pode ser calculado independentemente a partir da correlação temporal

da magnetização em amostras com configurações iniciais aleatórias que

também exibe comportamento polinomial,

θtStSN

MtMQi j

ji ∝== ∑∑ )0()(1

)0()( (3.19)


47

evitando a necessidade da preparação inicial das amostras com magnetização

pequena e diferente de zero e a delicada extrapolação numérica para o caso

00 →m e portanto obtendo-se barras de erros bem menores. A figura 3.18

mostra em escala log-log o comportamento da grandeza Q para redes com

60=L . A inclinação dessa curva fornece o valor de 001.0181.0 ±−=θ ,

compatível com a estimativa anterior.

10 1001E-4

1E-3

tanφ = - 0.181+0.001

L = 60

Q

t

Fig. 3.18: Estudo da correlação temporal da magnetização para L=60. A magnetização inicial

do sistema é tomada aleatoriamente e a barra de erro foi calculada sobre 8 conjuntos de 60000

amostras.

Repetimos as simulações para verificar possível influência da dinâmica

sobre o valor de θ. Inicialmente utilizamos a dinâmica de Glauber onde a

probabilidade de inverter um dado spin depende explicitamente do estado do

spin iσ no instante t. Isso ocorre porque, dependendo do valor do spin iσ , o

número aleatório será comparado a diferentes partes do intervalo de


48

probabilidades. A operação pode ser resumida como:

( ) ( )[ ] ( )( )[ ] ( )

−=−−−

+=−+=+

11sinal

1sinal1

tsertp

tsertpt

ii

iii σ

σσ (3.20)

Os resultados obtidos com a dinâmica de Glauber sugerem

universalidade para o novo expoente (ver tabela 3.2 ).

Na seqüência, trabalhamos com a dinâmica de Metrópolis onde um novo

valor é proposto para o spin, verificando-se em seguida se a energia da

amostra diminuiu ou aumentou. Na primeira situação, o novo estado é aceito

sem restrição; caso contrário a mudança do spin só poderá ser aceita se um

número aleatório r, gerado entre 0 e 1, for menor do que exp(-β∆E), onde ∆E

é o acréscimo de energia da velha para a nova configuração. Resumindo,

teremos que

( ) ( )[ ] ( )( )[ ] ( )

−=−−

+=−+=+

−

+

1

11

tsertpsinal

tsertpsinalt

ii

iii

σ

σσ (3.21)

só que dessa vez )(tpi é dada por:

( ) ( )( )thi

ietp 2,1min m=±

A tabela 3.2 mostra que a atualização por Metrópolis modifica

ligeiramente o valor de θ e não permite uma perfeita caracterização da

universalidade para o comportamento da magnetização em tempos curtos.

Observamos, no entanto, que todos os resultados foram obtidos por meio das

duas técnicas e são compatíveis entre si.


49

Tab.3.2: Valor de θ para o modelo de Baxter-Wu, usando as dinâmicas de banho térmico,

Glauber e Metrópolis. Tamanho da rede L = 60. A média e as barras de erro foram calculadas

sobre 8 conjuntos de 60000 amostras.

Método θ

Mag. Residual (m0 = 0.01)

Tomé e de Oliveira

Correlação

Banho Térmico -0.175 ± 0.005 -0.181 ± 0.001

Glauber -0.172 ± 0.005 -0.185 ± 0.001

dinâ

mic

a

Metropolis -0.218 ± 0.009 -0.200 ± 0.001

A razão para encontrarmos um valor negativo para θ, bem diferente

daquele obtido para o modelo de Ising com interação de 3 spins e do modelo

de Potts com 4 estados que segundo a conjectura de Okano et al64 deveria ser

negativa mas muito próximo de zero pode estar relacionada com a ausência de

um operador marginal no modelo de Baxter-Wu (operador marginal é aquele

que tem a dimensão de escala igual à dimensionalidade do sistema e cujo

efeito frente a uma operação do grupo de renormalização não é aumentado

nem diminuído). Como se sabe, operadores desse tipo estão presentes nos

modelos de Potts, oito-vértices e Ashkin-Teller e são responsáveis pela não

universalidade característica daqueles casos.

3.2.3 Determinação do expoente ν

Tomando para z a estimativa conservadora 1.03.2 ±=z é possível

obter o valor do expoente estático ν através da derivada da magnetização53, a

qual apresenta a forma de escala:

0''

/10 |)'(ln|),(ln == ∂=∂ ττ

νττ ττ FttM z . (3.22)


50

onde ∂τ é a derivada em relação à temperatura nas vizinhanças da temperatura

crítica.

A figura 3.19 mostra o comportamento de ),(ln ττ tM∂ quando

002.0=∆τ e 102=L . A inclinação da reta fornece 006.0680.0/1 ±=zν .

Portanto, chegamos a 03.064.0 ±=ν , um resultado que pode ser considerado

bom quando comparado ao valor exato19 3/2=ν e tendo em vista as

estimativas obtidas por outros métodos.

Fig. 3.19: Comportamento da derivada do logaritmo da magnetização em função do tempo em

gráfico log-log. O gráfico foi obtido repetindo-se dez vezes cada simulação com 30000

amostras. Relações de escala indica que a inclinação da curva é dada por 1/ zν .


51

3.2.4 Determinação do expoente β

Tendo em mãos os valores dos expoentes ν (0.64±0.03) e z (2.3±0.1)

podemos calcular o expoente crítico estático β , por meio do decaimento da

magnetização quando m0 = 1:

zttM νβ /)( −∝ (3.23)

A figura 3.20 apresenta em escala log-log o comportamento da

magnetização contra o tempo e a inclinação da curva permite estimar o valor

de 006.0077.0 ±=β , que deve ser comparado com 1/12 = 0,08333.

100

1

tanφ = -0,0524 + 0,0001

mo = 1

L = 402

M(t

)

t

Fig 3.20: Comportamento no gráfico log-log do decaimento da magnetização com m0 =1 para

rede L=402. A barra de erro foi calculada sobre 3 conjuntos de 1000 amostras.


52

Em resumo, os expoentes críticos estáticos encontrados para o modelo

de Baxter-Wu usando a dinâmica de tempos curtos:

03.064.0 ±=ν ,

e

006.0077.0 ±=β

estão muito próximos daqueles encontrados por Baxter e Wu19 e também dos

resultados para o modelo de Potts com quatro estados60 , ou seja, ν = 2/3 e

β = 1/12.

E para os expoentes críticos dinâmicos mostramos por seis maneiras

diferentes que o nosso valor para o expoente z não confirmam os resultados

obtidos por Santos e Figueiredo42 ( z = 1.96 ± 0.02 e 2.07± 0.01) levando-nos a

concluir que o verdadeiro valor de z seja 2.3 ± 0.1. Já para o expoente θ, os

resultados:

005.0175.0 ±−=θ (por magnetização residual)

e

001.0181.0 ±−=θ (por correlação),

revelam um diferença marcante entre o modelo de Baxter-Wu e o de Ising com

interação de três spins provavelmente relacionado a ausência de um operador

marginal no modelo de Baxter-Wu.

capítulo 3 - usp€¦ · capítulo 3: dinâmica crítica do modelo de baxter-wu _____ 33 o estudo...

Documents