Capítulo

Matemática

Toldos são muito usados para proteger a entrada de casas ou lojas do excessode sol ou de chuvas.

O que você vai estudar neste capítulo1.Semelhançadetriângulos

retângulos2.Relaçõesmétricasno

triânguloretângulo3.OteoremadePitágoras

90

5

A cobertura que pode ser vista na foto acima é chamada de toldo. Observando a imagem é possível verificar que o toldo forma com a parede um ângulo reto. Olhando a lateral do toldo podemos identifi-car uma figura que lembra um triângulo retângulo, em que parte da quina da parede representa um dos catetos, parte da beirada do toldo representa o outro cateto, e a haste de metal que sustenta a cobertura representa a hipotenusa.

x Imagine um toldo como o apresentado acima, em que a lateral da cobertura tem 1 ,5 metro de comprimento. Se a haste metálica ti-ver 2,5 metros de comprimento, quantos metros deverá ter a dis-tância entre o ponto de fixação da haste na parede e a cobertura?

O teorema de Pitágoras

Mar

k W

infr

ey/S

hutt

erst

ock/

ID/B

R

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1. Semelhança de triângulos retângulosOs triângulos ABC e EFG são retângulos, e a medida do ângulo A

é igual à do ângulo E.

A

B C F G

E

x Você pode concluir que esses triângulos são semelhantes? Por quê?

Revendo alguns fatos que você estudou

1. Observea figuraeverifiqueseosparesdetriângulos em cada item são semelhantes.Justifiquesuaresposta.a) nABCenDEF.

b) nABCenGHI.

c) nDEFenGHI.

2. Façaoquesepede.a) Todosostriângulosaseguirsãotriângulosretângulosisósceles.

Explique,porescrito,porqueelessãosemelhantes.PM

NF

ED

C A

B

b) Escreva as razões entre as medidas dos lados correspondentesdosparesdetriângulossemelhantes.

3. Nafiguraexistemtrêsparesdetriângulossemelhantes.A

B D C

a) Quaissãoeles?Justifiquesuaresposta.

b) Emcadacaso,escrevaasrazõesentreasmedidasdosladoscorres-pondentes.

Lembre-sedeque

marcasiguais

indicamângulosou

ladosdemedidas

iguais.

H

I

F G

E

DC

B

A

MultimídiaUsando semelhança de triângulos retângulos

Em uma situação cotidiana, pode acontecer de precisarmos medir objetos de grande dimen-são vertical, cuja altura nos impeça de usar um instrumento de medida comum. Nessas horas, o conceito de semelhança de triângulos pode ser muito útil. No site apresentado a seguir, é possível fazer uso desse conceito para medir coisas em três contextos diferentes. Disponível em: <http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/medindo_objetos/index2.html>. Acesso em: 19 mar. 2012.

Observe como os meninos da animação encontrada no site con-seguem as medidas nos três contextos e expe-rimente usar o mesmo procedimento para medir alguma coisa bem alta, como um poste de luz elétrica, uma árvore, um prédio, etc. Não se esqueça de desenhar um esquema representando os objetos, as sombras e os triângulos. Em seguida, responda:a) No esquema que você

fez, os triângulos são retângulos? Por quê?

b) Por que os dois triângulos retângulos formados com os objetos e sua sombra são semelhantes?

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4. Observeasfigurasaseguir.

A

C H B

A

C B

A

H

C

H

A B

Aqui você vê os mesmos triângulos desenhados separadamente para facilitar o estudo da semelhança.

a) Mostreque:nABC,nHBA,nABC,nHACenHBA,nHAC

b) Emcadacaso,escrevaasrazõesentreasmedidasdosladoscor-respondentes.

c) CalculeAH,CHeHB.d) VerifiquequeAH3CB5AC3AB.e) VerifiquequeAH25CH3HB.

2. Relações métricas no triângulo retânguloVocê já viu que, no estudo da semelhança, os triângulos retângu-

los são especiais. Nas próximas atividades, você vai conhecer outras propriedades exclusivas desses triângulos, bem como algumas fór-mulas relacionadas com essas propriedades.

x Na figura a seguir, qual é a medida do segmento CH?A

C BH

8 cm

16 cm

Estudando as relações métricas em um triângulo retângulo

5. Observeodiálogo.Emseguida,façaoquesepede.

No triângulo ABC, AH é a altura relativa à hipotenusa. Veja mais alguns nomes para os lados desse triângulo.

Giz

de

Cer

a/ID

/BR

Você se lembra?

Os lados de um triângulo retângulo têm nomes. Veja:

CatetoCateto

Hipotenusa

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Agora,notriânguloOPQabaixo, identifiqueoselementos indicados,associandoaossegmentosassuasrespectivasmedidas.

3 cm

4 cm

3,2 cm

1,8 cm2,4 cm

P

O Q

H

a) ocatetomaior;

b) ocatetomenor;

c) ahipotenusa;

d) aalturarelativaàhipotenusa;

e) osegmentomaiordeterminadopelaalturasobreahipotenusa;

f) osegmentomenordeterminadopelaalturasobreahipotenusa;

g) oânguloopostoaocatetomenor;

h) oânguloopostoaocatetomaior;

i) oânguloopostoàhipotenusa.

6. NotriânguloretânguloCAB,AHéaalturarelativaàhipotenusaCB.Asle-trasminúsculasindicamasmedidasdossegmentos,emumamesmaunidadedemedida.Assim:AB5c,AC5b,CB5a,AH5h,CH5meHB5n.

A

BC H

b c

a

h

m n

Nessetriângulo,identifiquepelasletrasminúsculasasmedidasdosseguinteselementos:

a) ocatetomaior;

b) ocatetomenor;

c) ahipotenusa;

d) aalturarelativaàhipotenusa;

e) osegmentomaiordeterminadopelaalturasobreahipotenusa;

f) osegmentomenordeterminadopelaalturasobreahipotenusa.

RoteiroEscrevendo um poema

Utilizando as palavras deste capítulo – como lados e ângulos; catetos e hipotenusas; ângulos agudos, retos e obtusos –, elabore uma estrofe de um poema. E não se esqueça de colocar um título!

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Tome nota

Observenovamenteotriânguloaseguir.A

BC H

b c

a

h

m n

Vocêjásabeque:nHBA,nHACe: HB ______ HA    5 HA ______ 

HC   5    AB ______ 

AC  

SubstituindoHBporn,HAporheHCpormem HB ______ HA    5    HA ______ HC

   , tem-se n ___h   5 h ____ m  .

De n___h 5 h ____ m vemqueh25mn.

Afórmulah25mnexpressaoseguintefato:emumtriânguloretângulo,aalturarelativaàhipo-tenusadeterminasobreessahipotenusadoissegmentostaisqueoprodutodesuasmedidaséigualaoquadradodamedidadaaltura.

7. Observeostriângulosdafiguraerespondaàsquestões.A

BC H

b c

a

h

m n

a) QuaissãoostriânguloscujasemelhançadáorigemàrelaçãoAB ______ HA   5   CB ______ CA

  ?

b) Substituindoossegmentosdaproporçãodoitemapelasletrasquerepresentamsuasmedidas,vocêpodeconcluirquea?h5b?c?Porquê?

c) Escrevacomsuaspalavrasoresultadoexpressopelafórmulabc5ah.

8. Usandoamesmafiguradaatividade7,escrevaostriânguloscujasemelhançaoleva-ráaconcluirquec25aneb25am.

Tome nota

Vejanoquadroumresumodosresultadosobtidosatéagora.Essesresultadossãochamadosrelações métricas no triângulo retângulo.

A

BC H

b c

a

h

m n

SeotriânguloCAB éretânguloeAHéaalturarelativaàhipotenusa,então:

h2 5 mnbc 5 ahc2 5 anb2 5 am

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9. Emcadacasoaseguir,calculexey.Asfigurasnãoestãoemescalaetodososnúmerossereferemàmesmaunidadedemedida.a)

9

15

12

xy

b) 4,5

7,5

6

x

y

3. O teorema de Pitágoras Você já conhece o teorema de Pitágoras. Veja como ele pode ser

resumido por meio de uma figura e de uma fórmula.

A

BC

b c

a

a2 5 b2 1 c2

Você notou? O teorema de Pitágoras diz que a área do quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

a

a2

c2

b2

c

b

x Os catetos de um triângulo retângulo medem 1,5 cm e 2 cm. Quanto mede a sua hipotenusa?

Usando o teorema de Pitágoras para calcular algumas medidas em triângulos retângulosAcompanhe, agora, como deduzir o teorema de Pitágoras usando

semelhança de triângulos e um pouquinho de Álgebra. Nas atividades anteriores você viu que para os triângulos da figura

temos: A

BC H

b c

a

h

m n

Na estante

O livro Os peregrinos, de Egídio Trambaiolli Neto (coleção “O contador de Histórias e outras histó-rias da Matemática”, FTD, 1998), aborda o teorema de Pitágoras, o teorema de Tales e as relações métri-cas do triângulo retângulo.

Fac-

sím

ile/F

TD

Capa do livro Os peregrinos.

b2 5 am e c2 5 an

Vejatambémoobjeto educacional digital“TeoremadePitágoras”.

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Adicionando membro a membro as igualdades b2 5 am e c2 5 an, obtém-se:

b2 1 c2 5 am 1 an 5 a(m 1 n) 5 a 3 a 5 a2

Com isso fica demonstrado que a2 5 b2 1 c2.

10.Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente,1,5cme2cm.Calculeamedidadahipotenusaeamedidadaalturarelativaàhipotenusa.

Tome nota

UmaformaresumidadeescreveroteoremadePitágorasé:Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

11.Deacordocomasmedidasindicadasnafigura,calculexey.A

B C

12 cm

13 cm

x y

12.Observeafiguraabaixoecalculexey.

x

y

13

12

9

13.Observe as medidas indicadas por letrasminúsculasnafigura.Depois,façaoquesepede.a) Considerandom57en521,calculea,

b,ceh.

b) Considerandoa512em53,calculeb,c,hen.

c) Considerandoh52cXX 3em53cXX 2,calcu-lea,b,cen.

B

A C

H

c

b

nh

am

Para saber maisVerificando se um triângulo é retângulo.

Conhecendo-se a medida dos lados a, b e c de um triângulo, já ordenados de modo que a < b < c, como saber se o triângulo é ou não retângulo? A resposta a essa pergunta é bem simples: basta verificar se a expressão numérica a2 1 b2 5 c2 é verdadeira ou falsa.

Por exemplo, o triângulo de lados de medidas 2, 3 e 4 não é retângulo, pois a igualdade 22 1 32 5 42 é falsa. Por outro lado, o triângulo de lados de medidas 31, 480 e 481 é retângulo, pois a igual-dade 4812 5 4802 1 312 é verdadeira (verifique!).

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Algumas aplicações do teorema de Pitágoras

14.Umarampademadeiraparaacessoaumaplataformadecargaestáapoia-dasobreduasvigas,conformeafiguraaseguir.Calcule,aproximadamen-te,quantosmetrosdevigasãonecessáriosparaoapoiodarampa.

15.Nafiguraabaixo,ocaisdemadeiraestáauma altura de 3metros da água, e o bar-co está preso ao cais por uma corda de12metros.Calculeadistânciaaproximadad do barco ao cais sabendo que a cordaqueoprendeestátotalmenteesticada.

16.Doisaviões,AeB,partemdomesmoaeroportoO.Umsegueparaonorte,eooutro,paraleste.Umahoradepoisdapartida,aposiçãode-lesnateladoradardatorredecontroleéaquesevênafigu-ra. A unidade de medida cor-respondenteaoladodagradedoradaré1km.Peloquesevênoradar,qualéadistânciareal,emlinhareta,entreeles?

17. Otriânguloaoladoéequilátero.Calculeamedidahdaalturadessetriângulo.

N

E

A

O B

NNO

NNO NNE

NE

ENE

ESE

SSESSO

OSO

ONO

E

SES

SO

O

10 cm

5 cm

A

C BD

h

Edi

toria

l SM

/Gui

lher

me

Cas

agra

ndi

ConexõesTriângulo retângulo e a construção civil

A maioria das casas e prédios, quando vistos de cima, apresenta paredes que formam um ângulo de 90 graus entre elas. Para fazer construções com essa característica, antes de erguer as paredes, verifica-se se elas serão construídas formando um ângulo reto. Veja um procedimento comumente usado nesse caso:

I. Na linha que indica onde se pretende levantar uma das paredes, marca-se um ponto P a 4 metros a partir do seu início.

II. Na linha que indica onde a outra parede deverá ser construída, marca-se um ponto Q a 3 metros a partir do seu início.

III. Verifica se a distância entre os pontos P e Q marcados nos passos anteriores é de 5 metros.

x Como você pode expli-car, usando seus conhe-cimentos matemáticos, que o procedimento apresentado no texto está correto?

Giz

de

Cer

a/ID

/BR

1,5 m

5 m

viga de metal

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98

18.Observe a figura ao lado e obtenha uma fómulaque permita calcular a medida d da diagonalde um quadrado em função da medida ℓ dolado.

19.Afiguraaoladomostraumtriânguloequiláterocujoladomedeℓecujaalturamedeh.Façaoquesepedeeobtenhaumafórmulaquerelacioneamedidadaalturaeamedidadoladodessetriângulo.

a) Expliqueporqueh25ℓ22(ℓ ___2

)2.

b) Mostrequeh5ℓ cXX 3________2

.

c) Calcule,agora,oladodeumtriânguloequiláterocujaalturaé5cXX 3.

20.Calculeamedidadadiagonaldeumquadradocujoladomede6cm.

21.Vocêvaideduzirafórmulaquepermitecalcularame-didadadiagonalRPdeumblocoretangularemfunçãodasmedidasa,becdesuasarestas.Paraisso,obser-veafiguraabaixoefaçaoquesepede.

a) Observe,nabasedobloco,otriânguloNMP.Deleseconcluiquex25a21c2.Porquê?

b) Agora,vejaotriânguloamareloRNP.Deleseconcluiquey25x21b2.Porquê?

c) Naigualdadey25x21b2,substituax2pora21c2eextraiaaraizquadradadeambososmembros.

22.Useafórmulaquevocêacaboudededuzirparacalcularamedidadadiagonaldeumblocoretangularcujasmedidasdasarestassãoa51,5cm,b52cmec56cm.

Tome nota

Nasúltimastrêsatividadesvocêobtevetrêsfórmulasimportantesrelacionandoasmedidas:

� hdaalturaeℓdoladodotriânguloequilátero:h5ℓ cXX 3________2

� ddadiagonaleℓdoladodoquadrado:d5ℓ cXX 2

� ydadiagonalea,becdasarestasdeumblocoretangular:y5cXXXXXXXXXX  a21b21c2

A B

CD

d �

�

A

C BD

h

� 2

�

R Q

MN

S

O P

T

x

b

a

c

y

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99

23.Junte-seadoiscolegasefaçacomoosegípcios.Parafacilitar,pegueumbarbante,marquecomtintadecanetaospontosde1a13,igualmenteespaçados,everifiqueseotriânguloobtidoéretângulo.a) Use como unidade de medida a distância entre duas marcas. Quais são, nesse

caso,asmedidasdecadaumdoscatetosedahipotenusa?

b) Use,agora,umbarbantecomodobrodocomprimentodoprimeiro,marquecomtintadecanetaospontosde1a13,igualmenteespaçados,erepitaaexperiência.Otriânguloaindaéretângulo?

c) Usandocomounidadedemedidaadistânciaentreosdoisnósdoprimeirobarban-te,quaisserãoasmedidasdosegundotriângulo?

d) Osegundotriânguloésemelhanteaoprimeiro?Porquê?

Leitura

A geometria dos egípcios e situações do cotidianoO maior historiador da Antiguidade foi Heródoto (cerca de 500 a.C.), o qual considera o desenvolvimento

da geometria no Egito ser consequência direta das inundações periódicas das terras cultiváveis às margens do rio Nilo. Devido às águas das enchentes apagarem as demarcações determinadas para os terrenos de plantio, foram criadas técnicas de mensuração, que permitissem uma maior agilidade nessa demarcação.

Foi a partir da necessidade da mensuração dos terrenos e da experiência com o meio ambiente, ou seja, da prática da resolução desses problemas da vida cotidiana dos egípcios, que os conceitos e fórmulas geométricas foram se desenvolvendo e se tornaram conhecidos.

[...]

O esquadro de cordas dos egípciosVocê saberia dizer como provavelmente os egípcios conseguiram traçar, com meios bem rudimentares, a

figura de um triângulo retângulo a partir dos números 3, 4 e 5?Tudo indica que dividiam uma corda em doze partes iguais por meio de 13 nós, obtendo um artefato que

poderia ser considerado um esquadro de corda.

Com o auxílio de três estacas o fixavam no ter-reno a ser demarcado. Para tanto, primeiro, fixavam um dos trechos da corda contendo 3, 4 ou 5 partes. Enquanto iam tentando juntar as pontas da corda até que as duas se encontrassem, esticavam os seus outros dois trechos. Com esta técnica, obtinham a forma de triângulo retângulo sobre o terreno.

Disponível em: <http://www.uff.br/cdme/tangrans_pitagoricos/saber_mais.html>. Acesso em: 17 mar. 2012.

Giz

de

Cer

a/ID

/BR

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Retomar e concluir

100

O capítulo termina aqui. Você estudou muitas coisas! E continuará estudando muito mais!Esta seção ajudará você a avaliar sua aprendizagem sobre os temas abordados neste capítulo. Descubra

o quanto você aprendeu!Sucesso em sua autoavaliação!

Será que eu sei...Vouconferirfazendoasatividades...

1....identificartriângulosretângulossemelhantes? ...26,27e38

2....identificarosprincipaiselementosdeumtriânguloretângulo? ...34,35,36,37e38

3....usarasrelaçõesmétricasnotriânguloretânguloparacalcularasmedi-dasdeseusprincipaiselementos?

...27e31

4....aplicaroteoremadePitágorasnaresoluçãodeproblemas?...24,25,27,28,29,30,32,33,34,35,36e37

24.Verifique se são triângulos retângulos ostriânguloscujosladosmedem:a) 3,4e5 c) 48,55e73

b) 10,12e20 d) 7,10e15

25.Calculeamedidadadiago-nalmaiordolosangomos-tradoaolado:

26.Dadas as medidas do triângulo abaixo,calculex.

x

5 cm

8 cm

17 cm

27. Na figura a seguir, o quadrilátero ABCD éumretângulo.Calculemex.

A B

CD

m

x

6 cm

8 cm

28.Aáreadeumtrapézio isóscelesé40cm2e suas bases medem, respectivamente,13cme7cm.Calculeoperímetroeame-didadadiagonaldessetrapézio.

A B

CD E F

29.Afiguraaseguirrepresentaumcubocujaaresta mede 2cXX 2 cm. Calcule o perímetrodoretânguloazul.

30.Qualéoperímetrodopolígonoaseguir?

200 m

30 m

70 m

80 m

160 m

A G

UE

V

ATIVIDADES SObRE O CAPíTULO

15 cm

20 cm

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101

31.O triângulo que aparece no telhado dafachada da casa é retângulo isósceles.Calculeamedidahdaalturadafachada.

8 m

12 m

h

32.Nafiguraaseguirestãoindicadas,comco-resdiferentes,trêspossibilidadesqueumeletricistatemparapassarumfiodopontoA ao ponto B. Qual das possibilidades eledeveescolherparagastaraquantidademí-nimadefio?

A

EF

B

4,20 m

2,70 m C

8 m

33.Doaltodeumarampasolta-seumaesferaconformesevênafigura.Calculeadistân-cia, em metro, percorrida por essa esferadopontoAaopontoC.

80 cm

60 cm 150 cm

A

B C

34.A escada cuja figura se vê abaixo tem10degraus,cadaumcom17cmdealturae26,4cmdelargura.Calculeamedidadocorrimão,representadopelosegmentoDE.

A

D

B

C

E

35.Abasedapirâmidedafiguraéumquadradode lado de medida x.Aaresta dessa pirâ-midemedea,aalturamedeheEéopontomédiodadiagonalAC.Escreva uma fórmularelacionandoh,aex.

36.Façaoquesepede.a) EscrevaascoordenadasdospontosA

eBvistosnafiguraabaixo.

b) Calculeadistânciaentreeles,istoé,cal-culeamedidadeAB.

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7

A

B

x

y

37. Calcule a distância entre dois pontos, Me N, cujas coordenadas são M (12, 9) eN(20,15).

38.Desenhedoistriângulosretângulosquenãosejam semelhantes e explique por escritoporquenãoexistesemelhançaentreeles.

Fazendo um resumoFaça o que se pede.

x Escreva as condições que devem ser satis-feitas para que dois triângulos, ABC e DEF, sejam semelhantes.

x Desenhe um triângulo retângulo e a altura relativa à hipotenusa. Nomeie os vértices com letras maiúsculas e os comprimentos dos segmentos com letras minúsculas. A partir do seu desenho, escreva as fórmulas obtidas no capítulo, por meio de seme-lhança de triângulos retângulos.

x Escreva com suas palavras o enunciado do teorema de Pitágoras.

A

B

C

D E

h

V

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