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CAPÍTULO IV

TEORIA DE JOGOS

TEORIA DE JOGOS

Dalila Fontes ANÁLISE DE DECISÃO Faculdade de Economia.

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Teoria de Jogos

• Caracterização:

i. Cenário determinístico

ii. Um conjunto de agentes de decisão (jogadores)

iii. Um conjunto de estratégias (acções) puras

iv. Uma função utilidade para cada jogador que permite determinar

os ganhos associados a cada estratégia.

Jogos de Soma Nula

• Os jogadores são oponentes

• A soma das utilidades dos os jogadores é constante (nula)

• Se tivermos dois jogadores, o que um ganha é igual ao que o

outro perde.

TEORIA DE JOGOS


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Exemplo 1

1 2 3 4

1 3,-3 1,-1 5,-5 2,-2

2 5,-5 3,-3 2,-2 10,-10

3 4,-4 0,0 1,-1 4,-4

• O que é ganho pelo jogador A é perdido pelo

jogador B

• É natural admitir que o resultado é o mais

favorável

• Repetições do jogo conduziriam a ciclos

� Não estável

TEORIA DE JOGOS


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Exemplo 2

1 2 3 4

1 3,-3 1,-1 5,-5 2,-2

2 5,-5 3,-3 4,-4 10,-10

3 4,-4 0,0 1,-1 4,-4

• Nem sempre é possível encontrar uma estratégia

pura estável (ponto sela)

• Nestes casos tem de se recorrer a estratégias

mistas

• Uma estratégia mista é uma distribuição de

probabilidades

• das estratégias puras.

TEORIA DE JOGOS


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Exemplo 3

1 2 3

1 4 3 1

2 -1 4 2

3 1 2 0

Estratégia Mista:

Jogador A (1/2,1/2,0)

Jogador B (1/6,0,5/6)

TEORIA DE JOGOS


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• Seja pi (qi) a probabilidade do jogador A (B) optar

pela estratégia pura i.

• O vector p=[p1,p2,...,pN] (q=[q1,q2,...,qN]) definirá

a estratégia do jogador A (B).

• A solução que procuramos corresponde a optimizar

as seguintes funções:

�� =��

��

��

�� ×

ii

iiji

jppup

i

1 com minmax

e

�� =��

��

��

�� ×−

jj

jijj

iqquq

j

1 com minmax

TEORIA DE JOGOS


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71

A resolução dos seguintes problemas de PL

corresponde à solução pretendida.

10

1

:a Sujeito

Maximizar

≤≤

=

≥×

�

�

i

ii

iiji

p

p

xup

x

10

1

:a Sujeito

Minimizar

≤≤

=

≤×

�

�

j

jj

jijj

q

q

yuq

y

A solução óptima corresponde a um ponto sela uma vez que

nenhum dos jogadores pode melhorar o seu resultado por

alteração somente da sua estratégia.

TEORIA DE JOGOS


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Jogo de Soma Nula – Estratégias Mistas

Resolução gráfica:

• Apenas se pode usar com dois jogadores;

• Um deles não pode ter mais de duas/três estratégias;

• Sejam x1 e (1-x1) as probabilidades das estratégias do A;

• Sejam y1, y2,..., y3 as probabilidades das estratégias do B.

Ganhos do jogador B associados a cada estratégia:

Estratégia 1: 2111 )1( upup ×−+×

Estratégia 2: 2212 )1( upup ×−+×

�

Estratégia M: MM upup 21 )1( ×−+×

O ponto máximo da função linear por segmentos obtida minimizando os

ganhos corresponde à solução óptima.

TEORIA DE JOGOS


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73

Exemplo 5

1 2 3 4

1 3 1 5 2

2 5 3 2 10

3 4 0 1 4

TEORIA DE JOGOS


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Jogo de Soma Nula – Estratégias Mistas

• Isto faz sentido se o jogo for jogado repetitivamente.

• Mas se for jogado uma só vez qual é a lógica?

• Há uma e uma s só estratégia simples a ser jogada!

� • Nenhuma estratégia é melhor que outra sem a

influência do oponente.

• Importante é garantir que o adversário não sabe qual

a nossa opção nem quais as nossas probabilidades.

• Assim, a melhor estratégia é escolher aleatoriamente

uma estratégia pura a partir da distribuição de

probabilidades da estratégia mista óptima.

TEORIA DE JOGOS


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75

Jogo de Soma não Nula

• Situações de conflito, mas nem sempre se verifica.

• Este tipo de jogos divide-se em:

i. Conflito – não há comunicação antes do jogo ii. Cooperação – há comunicação antes do jogo

Dilema do prisioneiro (Ball 1985)

Dois prisioneiros foram apanhados na posse de dinheiro

falso. A este delito corresponde uma pena dee 2 anos de

prisão. Apesar das autoridades desconfiarem que os dois

prisioneiros também são responsáveis pela produção do

referido dinheiro falso, não têm provas. A este segundo

crime corresponde uma pena de 8 anos.

A polícia oferece a cada prisioneiro a possibilidade de

confessar em troca do anulamento da sua pena se o outro

prisioneiro não confessar. Se ambos confessarem a pena é

reduzida para 5 anos.

TEORIA DE JOGOS


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O ponto de Sela é generalizado para de Equilíbrio (Nash, 1950).

A escolha feita pelos jogadores é um ponto de equilibro se

nenhum jogador puder melhorar o seu resultado por alteração

somente da sua decisão.

Exemplo 6

C1 C2

R1 10,4 1,5

R2 9,9 0,3

Exemplo 7

C1 C2 C3

R1 10,4 1,5 98,4

R2 9,9 0,3 99,8

R3 1,98 0,100 100,98

Exemplo 8

C1 C2 C3 C4

R1 5,10 0,11 1,20 10,10

R2 4,0 1,1 2,0 20,0

R3 3,2 0,4 4,3 50,1

R4 2,93 0,92 0,91 100,90

Exemplo 9

C1 C2 C3 C4

R1 5,10 0,11 1,10 10,20

R2 4,0 1,1 2,0 20,1

R3 3,2 0,4 4,3 50,1

R4 2,93 0,92 0,91 100,90

TEORIA DE JOGOS


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77

Negociação -- Cooperação

Divisão da Tarte

Sejam A e B 2 jogadores e θA e θB as suas porções.

Os ganhos serão:

Se θA+θB≤1 πA= θA e πB = θB.

Se θA+θB>1 πA= πB = 0.

Qualquer estratégia (θA,θB): θA+θB =1 é equilíbrio de Nash.

1

θ

1

Equilíbrio de Nash

Ganhos Possíveis

X

θ A

Β

X

U A

U B

Fronteira de Pareto

U A

U B U

Axiomas

Simetria a ordem dos jogadores não afecta a solução óptima

Eficiência a solução satisfaz a optimalidade de Pareto

Invariância a solução está na fronteira

Independência se eliminarmos soluções a óptima mantém-se

TEORIA DE JOGOS


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78

Solução de Nash

A solução óptima corresponde a

( )( )BBAA

UUXU

UUUUU −−=≥∈

max*

Para o caso da divisão da tarte

( ) ( )0 0 max1

−−≤+ BA

BA

θθθθ

ou equivalentemente

( )( ) 1max AA θθ −

e a solução é obtida quando

( )2

10 d 2

=⇔=−A

A

AA

dθ

θθθ

TEORIA DE JOGOS


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Negociação – Partilha de Risco

Nenhum dos indivíduos está interessado neste jogo.

E conjuntamente?

Como o poderiam dividir?

TEORIA DE JOGOS


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80

Negociação – Partilha de risco

Seja (x0,y0) não pertencente a A1 nem a A2.

Se for possível encontrar (x1,y1), (x2,y2) tal que:

x1+x2=x0

y1+y2=y0

y1≤g(x1) e y2 ≤g(x2)

Então o jogo é colectivamente aceitável.

Jogo partilhado x1k e x2k

Cada partição corresponde a uma matriz de m×2 e a soma da linha k é xk. A utilidade de cada jogador é ui=p1u(x1i)+p2u(x2i)+...+pnu(xin).

Todas as soluções que satisfaçam a optimalidade de pareto são soluções

interessantes.

TEORIA DE JOGOS


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81

Negociação – Partilha de risco

Fronteira de Pareto

.Para cada ponto na fronteira existe uma tangente descrita por

kuu =+ 2211 λλ , onde 121 =+ λλ e 0, 21 ≥λλ

Para cada par ),( 21 λλ encontra-se o par ),( 21 uu que

( )2211 max uu λλ +

e que se obtém fazendo

)(')(' 222111 xuxu λλ =

A fronteira é obtida variando 1λ e 2λ entre 0 e 1, tal que

121 =+ λλ

De entre estas soluções escolhe-se a que maximiza o produto

dos ganhos dos indivíduos (solução de Nash)

( ) ( ){ }0222

0111 max xxuxxu −×−

TEORIA DE JOGOS


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82

Dois empresários têm a hipótese de fazer um negócio conjunto

que requer um investimento de 100 mil euros. Se este for bem

sucedido proporcionará um retorno de 60%, enquanto que se

fracassar 20% do capital investido é perdido. Os empresários

estimam as probabilidades de sucesso e fracasso em 80% e

20%, respectivamente. Caso os empresários não cheguem a

acordo, ou seja o negócio não se faça, ambos têm já prevista

uma alternativa de investimento. Neste último caso o

empresário 1 obteria um rendimento de 7% enquanto para o

empresário 2 este seria de 5%.

a) Sabendo que a função utilidade da riqueza adicional para cada

empresário é 3)( xxu = , determine e represente graficamente

todas as partilhas do referido negócio com interesse para ambos

os empresários.

b) Indique no gráfico da alínea anterior qual a partilha a escolher

recorrendo ao critério de Nash. (Dado que se pretende uma

aproximação da solução de Nash e não propriamente a solução

de Nash, pode indicar uma parte da curva em vez de um ponto.)

Notas

i) Use x para a quantidade de riqueza adicional e em milhares de euros.

ii) Se o negócio não se fizer há uma alternativa de investimento.

3)( xxu = 3 2

'

3

1)(

xxu =

TEORIA DE JOGOS


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83

Resolução

As partilhas com interesse para ambos satisfazem Pareto.

⇔=⇔=3 2

2

2

3 21

12

'221

'11

33)()(

kkkk

xxxuxu

λλλλ

kk xx 22/3

211 )( λλ=⇔

Como kkkkkk xxxxxx 1221 −=⇔=+ logo

kk xx 2/32

2/31

2/31

1 λλλ

+=

Variando o valor de λ1 entre 0 e 1 (λ2=1-λ1) obtêm-se todos os

valores de x1k (x11 e x12) e x2k (x21 e x22).

Os valores de utilidade serão então calculados como

)(2.0)(8.0

)(2.0)(8.0

22212

12111

xuxuU

xuxuU

×+×=

×+×=

TEORIA DE JOGOS


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84

λ1 x11 x12 U1 x21 x22 U2 0.00 0.00 0.00 0.00 60.00 -20.00 2.59 0.10 2.14 -0.71 0.85 57.86 -19.29 2.56 0.20 6.67 -2.22 1.24 53.33 -17.78 2.49 0.30 13.15 -4.38 1.56 46.85 -15.62 2.38 0.40 21.15 -7.05 1.83 38.85 -12.95 2.24 0.50 30.00 -10.00 2.05 30.00 -10.00 2.05 0.60 38.85 -12.95 2.24 21.15 -7.05 1.83 0.70 46.85 -15.62 2.38 13.15 -4.38 1.56 0.80 53.33 -17.78 2.49 6.67 -2.22 1.24 0.90 57.86 -19.29 2.56 2.14 -0.71 0.85 1.00 60.00 -20.00 2.59 0.00 -0.00 0.00

TEORIA DE JOGOS


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Negociação – Não Cooperação

Vejamos o exemplo da divisão da tarte, mas onde existe

a possibilidade de fazer ofertas e contra ofertas.

Neste caso as estratégias não são apenas acções mas sim

regras de escolha de acções baseadas em acções

escolhidas em períodos anteriores (decisões encadeads).

Problema:

Jogadores: A e B.

Acções: oferta, aceitação e rejeição.

Ganhos: se �A for aceite ao fim de m períodos

�A = �m �Am,

�B = �m (1 - �Am,

� =1/(+r) < 1 é um factor de desconto

(incentivo para negociar mais cedo).

TEORIA DE JOGOS


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Primeiro, sem descontar: � =1

Suponhamos que o jogador A é o primeiro a propor �A e

o jogador B o último a aceita ou recusar.

Suponhamos também que em caso de indiferença, o

jogador em causa aceita a proposta.

�� O jogador A só está interessado na solução �A =1.

Neste caso o jogador B é indiferente pois se rejeitar

ambos recebem zero, �A = �B = 0.

Se aceitar �A =1 e �B = 0.

A vantagem do jogador A reside no facto de ser o

último a propor (oferecer), logo recebe toda a tarte.

TEORIA DE JOGOS


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87


Factor de desconto: � =0.9

Suponhamos que o jogador A é o primeiro a propor �A e

o jogador B o último a aceita ou recusar.

Análise temporal do fim para o início.

Período �A �B � iππππ Oferece

T 1 0 �T=�. �T-1 A

T-1 � 1- � �T-1= �. �T-2

B

T-2 1-�(1-�) �(1-�) �T-2= �. �T-3

A

T-3 �(1-�(1-�)) 1-�(1-�(1-�)) �T-3= �. �T-4 B

A/B obtém uma maior fatia quando propõe oferta.

Considerando só os períodos em que A propõe (ou B) o

ganho diminui com o tempo.

Continuando a parte de A tende para 1/(1+�) (=0.526)

TEORIA DE JOGOS


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Factor de desconto diferentes, i.e. �A e �B

Quaisquer que sejam os factores de desconto, a parte de

A é dada por:

BA

BA γγγγγγγγ

γγγγθθθθ−

−=

11

Considerando os factores de desconto forem iguais

podemos concluir que:

• Se � for baixo então há incentivo a chegar a

acordo cedo logo a importância do primeiro

período é muito grande. (�=0.1 então �A=0.909)

• Se � for elevado então não há incentivo a chegar a

acordo cedo. (�=0.99 então �A=0.503)

TEORIA DE JOGOS


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Com custo de negociação (sem desconto) e tendo

B um custo de “atraso” maior.

Análise temporal.

Período �A �B Oferece

T x 1-x B

T+1 x+CB 1-x-CB A

T+2 x+CB-CA 1-x-CB+CA B

T+3 x+2CB-CA 1-x-2CB+CA A

T+4 x+2CB-2CA 1-x-2CB+2CA B

Como o custo do B é maior do que o custo de A, o A

recebe cada vez mais (e B cada vez menos), ou seja, B

estaria disposto a desistir e ganhar zero.

A fica com tudo, pois o B tem mais a perder.

TEORIA DE JOGOS


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Com custo de negociação (sem desconto) e tendo

A um custo de “atraso” maior.

O A recebe cB e o B recebe 1-cB .

O A sabe que o B vai oferecer (0,1) no segundo período.

Do primeiro para o segundo período o B vai perder cB

então está disposto a aceitar 1- cB no primeiro período.

Com custos de negociação iguais (sem desconto).

Qualquer divisão onde cada um dos intervenientes

receba pelo menos c=cA=cB corresponde a um ponto de

equilíbrio.

TEORIA DE JOGOS


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Jogos com n-pessoas

Função característica

{ }nN ,,2,1 �= --conjunto de jogadores.

NS ⊆ -- é uma coligação de |S| jogadores.

)(SV --função característica.

Exemplo 1:

O José Silva desenvolveu um medicamento novo que

não consegue produzir e comercializar sozinho. No

entanto pode vender a fórmula a uma de duas empresas

farmacêuticas. O José e a empresa por ele seleccionada

dividirão o lucro de 1 milhão de euros.

1}),({0})({})({

,0({})

===

=

empresaJoséV

empresaVJoséV

V

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Exemplo 2:

O Sr. António é dono de um terreno que vale 1 milhão

de euros. O terreno pode ser urbanizado e como tal o seu

valor comercial aumentará.

Se a urbanização for feita pela empresa SC o seu valor

passará para 2 milhões de euros, enquanto que se esta for

feita pela ME este valor será de 3 milhões de euros.

Encontre a função característica para cada um destes

exemplos.

TEORIA DE JOGOS


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Propriedades da Função Característica

Superaditividade

Sejam A e B dois subconjuntos de jogadores

{}. e , =∩⊆ BANBA

Então

)()()( BVAVBAV +≥∪

Racionalidade

Seja },,,{ 21 nxxxX �= o vector dos ganhos.

X é solução candidata se

Nii

n

ii

iVx

xNV

∈

=

∀≥

= �

}),({

)(1

Determine as soluções do exemplo 2.

TEORIA DE JOGOS


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Dominância

Dados dois vectores de ganhos },,,{ 21 nxxxX �=

e },,,{ 21 nyyyY �= diz-se que Y domina X com

uma coligação S, Y >S X se:

Siiiji

Sii

xyxySj

SVy

∈

∈

∀≥>∈∃

≤�

, e :

)(

1

A solução X pode ser eliminada, pois nunca será

escolhida, já que os jogadores em S se podem juntar em

coligação e como tal receber os ganhos em Y.

TEORIA DE JOGOS


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95

Exemplo 3:

Considere um jogo com 3 pessoas, com a seguinte

função característica.

0({}) =V

0})3({})2({})1({ === VVV

2.0})3,2({2.0})3,1({1.0})2,1({

===

V

V

V

1})3,2,1({ =V

Sejam X e Y as soluções dadas a seguir:

)05.0,09.0,05.0(=X e )1.0,8.0,1.0(=X .

Mostre que XY }3,1{> .

TEORIA DE JOGOS


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96

Encontrar Soluções Não Dominadas

Exemplo 1:

},,,{ 21 nxxxX �= é solução sse:

3,2,1}),({ =≥ iiVxi e 11

=�=

n

iix

X é não dominada sse:

NSSi

i SVx ⊆∈

∀≥� )(

Exemplo 2:

TEORIA DE JOGOS


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Valor de Shappley

As soluções não dominadas nem sempre proporcionam

ganhos equitativos.

No exemplo 1, o inventor do medicamento é o jogador

mais importante. Mas faz sentido receber todo o lucro?

Lloyd Shappely desenvolveu uma forma alternativa de

distribuir os ganhos, baseada nos seguintes axiomas.

Axioma 1: alterar a ordem dos jogadores conduz á troca

dos respectivos ganhos.

Axioma 2: )(1

NVxn

ii =�

=

Axioma 3: Um jogador que não acrescente valor a

nenhuma coligação recebe 0.

TEORIA DE JOGOS


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Axioma 4: Se x e y são os valores de shappley para os

jogos V eV , respectivamente. Então x+y é o valor de

shappley para o VV +

Valor de Shappley

Se os axiomas forem aceites então

�⊆∀∉

−∪=NSSini SViSVSPx

:))(}){()((

onde

n!

SnSSPn

)!1( ! )(

−−=

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