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23/06/2017

Capítulo 9Controle multivariável de

processos

• Até agora só foram considerados processos com um único objetivo de controle ou uma única variável a sercontrolada.

Controle de sistemas multivariáveis

Introdução

• É comum termos processos com múltiplos objetivos de controle ou com múltiplas variáveis a seremcontroladas.

• Podem ser definidos objetivos de controle individuais e o uso de técnicas específicas individuais para cadacontrole, caso os objetivos ou a variáveis não interajam umas com a outras.

• Abordaremos agora as técnicas de controle quando não há como fazer um tratamento individual de cadaobjetivo de controle, ou seja, consideram-se interações entre os objetivos.

• Trataremos dos sistemas MIMO (multiple input / multiple output systems) ou sistemas multivariáveis.

• Abordaremos a questão da interação (acoplamento) entre malhas de controle.

• Veremos como eliminar ou diminuir o acoplamento entre variáveis associadas a malhas distintas.

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Exemplos de sistemas MIMO:


Sistemas MIMO – Interação entre laços

Tanque de mistura.

Variáveis controladas (saídas):

• Vazão da mistura (w)• Composição da mistura (x)

Variáveis manipuladas (entradas):

• Vazão de escoamento do líquido 1 (w1)• Vazão de escoamento do líquido 2 (w2)




Reator químico.


• Temperatura• Composição


• Vazão de água refrigerante• Vazão de alimentação do processo

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Evaporador.


• Nível• Vazão de processo• Composição de saída


• Vazão de vapor• Vazão de entrada• Vazão de saída

Aspectos a serem considerados no controle de sistemas MIMO:



• Quais os efeitos do acoplamento (interação) entre malhas de controle na respostado sistema.

• Qual o nível de acoplamento entre as malhas e como associar (parear), da melhorforma, as variáveis controladas e as variáveis manipuladas.

• Possibilidade do acoplamento entre malhas ser eliminado ou reduzido através deum controle apropriado.

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Exemplo de acoplamento entre malhas de sistemas MIMO – efeitos na resposta:


Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Tanque de mistura. Características do projeto do processo:• solução 1: 10% de peso em sal;• solução 2: 35% de peso em sal;• solução de saída: fluxo de 100lb/h com 20% de

peso em sal

Em regime permanente - Balanço entre massatotal e massa de sal no tanque:

2211

21

xwxwwx

www

+=

+=

35,0

10,0

20,0

lb/h100

2

1

=

=

=

=

x

x

x

w

Solução:

lb/h0,40

lb/h0,60

2

1

=

=

w

w

Exemplo de acoplamento entre laços de sistemas MIMO:



Tanque de mistura. Seja o escoamento 2 e um aumento da vazão (w2) de2,0lb/h, ou seja, de 40,0lb/h para 42,0lb/h.

Pelo modelo, isso causa uma aumento da composição (x)para 20,3%.

Em regime permanente o ganho estático será

=

−

−=

lb/h

%sal 15.0

0,400,42

0,203,202xK

Ganho relacionando a composição de saída emrelação à vazão do escoamento do líquido 2.

A vazão de saída cresceu para 60,0 + 42,0 =102,0lb/h.

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Tanque de mistura. Efeito do acoplamento entre os laços no ganho

Controle da vazão do produto a partir damanipulação do escoamento 1.

Seja o escoamento 2 e um aumento da vazão (w2) de2,0lb/h, ou seja, de 40,0lb/h para 42,0lb/h.

Como consequência, o controlador ajusta (em regimepermanente) a vazão w1 para 58,0lb/h. Isso para manter xem 100,0lb/h.

Pela equação do balanço de massas, a composição desaída cresce para 20,5% de sal.

O ganho relacionando a composição de saída em relação àvazão do escoamento do líquido 2 passa a ser

=

−

−=′

lb/h

%sal 25.0

0,400,42

0,205,202xK Aumento

de 67%






Malha aberta

Malha fechada

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Algo semelhante ocorre no ganho em relação à vazão desaída, se um laço de composição for criado.

Ocorreu um acoplamento positivo

O fechamento de uma malha (laço) causou um aumento doganho (positivo) em uma outra possível malha.

Em um acoplamento negativo o fechamento de uma malhacausa uma diminuição do ganho em uma outra possívelmalha, podendo até torna-lo negativo.

Obs. Inversão de sinal em um ganho ao longo de umamalha pode causar instabilidade.

Associando variáveis controladas com variáveis manipuladas



Precisamos de medidas quantitativas que permitam fazer associações (pareamentos) entre variáveis controladase variáveis manipuladas.

Seja o sistema MIMO dado a seguir

Esquema geral de um processso 2 x 2 - duas entradas (m1 e m2) e duas saídas (c1 e c2)

Variáveis manipuladas

Variáveis controladas

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Vamos calcular a sensibilidade (ganho) de cada variávelcontrolada para cada variável manipulada.

Os 4 ganhos de malha aberta:

cte 1

111

2 →∆

∆=

mm

cK

cte 2

112

1→∆

∆=

mm

cK

cte 1

221

2 →∆

∆=

mm

cK

cte 2

222

1→∆

∆=

mm

cK

Kij : ganho relacionando a j-ésima entrada à i-ésima saída.

IMPORTANTE: Observar que quando se varia uma variável manipulada a outra é mantida constante.




Seja K12 > K11. Pode parecer que devemos escolher m2para ajustar c1. Isso nem sempre será correto.

O problema é que não podemos comparar diretamente ganhos que possuem unidades diferentes.

Mesmo trabalhando com quantidades relativas (%TO / %CO), ranges de sensores/transmissores e deelementos finais de controle influenciariam os ganhos, mas não tendo relação com os acoplamentosexistentes no processo.

Além dos ganhos de malha aberta, calcularemos também os ganhos em malha fechada.

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Para cada (pareamento) associação (variável controlada/ variável manipulada), determina-se o ganho para umasaída, mantendo-se a outra constante.

Isso implica que dada uma variável manipulada e uma variável controlada no cálculo de um ganho, asoutras variáveis manipuladas devem ser ajustadas por malhas fechadas para levar as outras variáveiscontroladas a seus valores de referência.




Vamos calcular a sensibilidade (ganho) de cada variávelcontrolada para cada variável manipulada (com asoutras variáveis controladas constantes).

Os 4 ganhos de malha fechada:

cte 1

111

2 →∆

∆=′

cm

cK

cte 2

112

2 →∆

∆=′

cm

cK

cte 1

221

1→∆

∆=′

cm

cK

cte 2

222

1→∆

∆=′

cm

cK

K’ij : ganho relacionando a j-ésima entrada à i-ésima saída.

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Medidas de acoplamento ou ganhos relativos:

ij

ij

ijK

K

′=µ

µ ij : medida de acoplamento ou ganho relativo

11

1111

K

K

′=µ

12

1212

K

K

′=µ

21

2121

K

K

′=µ

22

2222

K

K

′=µ

Para um processo 2 x 2:

• Ganhos relativos são adimensionais.• Ganhos relativos são independentes de ranges de sensores/transmissores e de elementos finais de

controle.




Medidas de acoplamento ou ganhos relativos:

ij

ij

ijK

K

′=µ

µ ij : medida de acoplamento ou ganho relativo

Interpretações:

• Se o ganho relativo para um determinado par saída i - entrada j não depender de outras malhas o µij

correspondente é unitário.• Quanto maior o acoplamento, mais µij se desvia da unidade.• Quando o acoplamento é positivo µij é positivo e menor que a unidade.• Quando o acoplamento é negativo µij é positivo maior que a unidade ou negativo.

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Regra para pareamento (associação):

Para diminuir os acoplamentos em um sistema MIMO os pares (variável manipulada – variável controlada) devem ser tais que os ganhos relativos sejam os mais próximos da unidade.

Observações:

• Até aqui todas as discussões foram feitas considerando-se apenas a condição de regime permanente.• Em sistemas que exibem acoplamentos negativos a regra pode não ser válida.• Pareamento com ganho relativo negativo deve ser evitado ao máximo (possibilidade de instabilidade).• Evitar pareamento com ganho relativo nulo (ganho nulo de malha aberta) e ganho relativo muito alto (ganho

de malha fechada próximo de zero).




Exemplo:

Seja a tabela com ganhos relativos:

• Pode-se mostrar que a soma dos elementos de uma coluna vale a unidade, bem como a soma dos elementos de uma linha também vale a unidade.

• µ11 = µ22 = 0,20 = 1/5, logo para esses pareamentos o ganho de uma malha cresce 5 vezes com o fechamento da outra malha.

• µ12 = µ21 = 0,80 = 4/5, logo para esses pareamentos o ganho de uma malha cresce apenas 1,25 vezes com o fechamento da outra malha.

• O acoplamento será menor criando os pares (c2,m1) e (c1,m2).

m1 m2

c1 0,20 0,80

c2 0,80 0,20

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Exemplo:

Seja a tabela com ganhos relativos:

• µ11 = µ22 = 2,0= 1/0,5, logo para esses pareamentos o ganho de uma malha cai a metade com o fechamento da outra malha.

• µ12 = µ21 = -1,0 = 1/(-1), logo para esses pareamentos o ganho de uma malha muda de sinal com o fechamento da outra malha. É uma situação indesejada.

• O acoplamento será menor criando os pares (c1,m1) e (c2,m2).

m1 m2

c1 2,0 -1,0

c2 -1,0 2,0

Cálculo dos ganhos relativos para um sistema 2 x 2



• Seja o sistema em condição de regime permanente.• Caso o sistema seja não linear assuma uma

linearização em torno de um certo ponto de operação.• Podemos determinar os ganhos relativos a partir

apenas dos ganhos em malha aberta.• Em caso de alteração do ponto de operação no

sistema não linear, uma nova linearização deverá serrealizada.

A partir dos ganhos estáticos em malha aberta e em condição de regime permanente:

2221212

2121111

mKmKc

mKmKc

∆+∆=∆

∆+∆=∆

• Foi utilizado o princípio da superposição, já que se considera o sistema linear.• Cada variação de uma variável controlada foi expressa como combinação linear das variações das

variáveis manipuladas. As coordenadas das combinações são os ganhos em malha aberta.

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Seja o pareamento entre a entrada m1 e a saída c1. Fechemos a malha para o par (m2,c2).

Assumindo que o controlador tem ação integral, se variarmos m1, m2 será variado para manter constante c2 novalor de setpoint. Assim∆c2=0.

02221212 =∆+∆=∆ mKmKc 1

22

212 m

K

Km ∆−=∆⇒

1

22

21

121111m

K

KKmKc ∆−∆=∆⇒




Pareamento entre a entrada m1 e a saída c1. Malha fechada para o par (m2,c2).

Pela definição de ganho de malha fechada:

cte 1

1

11

2 →∆

∆=′

cm

cK

1

22

21

121111m

K

KKmKc ∆−∆=∆

22

21122211

22

21121111

K

KKKK

K

KKKK

−=−=′⇒ Ganho de malha fechada obtido a

partir dos ganhos de malha aberta.

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Por procedimento semelhante, os ganhos de malhafechada para os outros três pares possíveis((m1,c2),(m2,c1),(m2,c2)) podem ser obtidos:

22

2112221111

K

KKKKK

−=′

21

2112221112

K

KKKKK

−

−=′

12

2112221121

K

KKKKK

−

−=′

11

2112221122

K

KKKKK

−=′




Finalmente os ganhos relativos poder ser obtidos:

21122211

221111

KKKK

KK

−=µ

21122211

211212

KKKK

KK

−

−=µ

21122211

211221

KKKK

KK

−

−=µ

21122211

221122

KKKK

KK

−=µ

Observamos que:• µ11=µ22, pois representam a mesma

escolha de pares.• De forma semelhante µ12=µ21.• Vemos que µ11+µ12 = µ21+µ22 = µ11+µ21 =

µ12+µ22 = 1.• Essas propriedades se estendem para

sistemas n x n.

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2211

21

xwxwwx

www

+=

+=

j

i

ctemj

i

mij

m

c

m

cK

jkk

j ∂

∂=

∆

∆=

≠

=

→∆ 0lim

Os ganhos em malha aberta são dados por:

Exemplo: Tanque de mistura

Expressando as variáveis controladas em funçãodas variáveis manipuladas:

2

2211

2

1

1

ww

xwxwx

www

+

+=

+=Não linear




Exemplo: Tanque de misturaCalculando as derivadas parciais:

11 =wK 12 =wK

( )( )2

21

122

1ww

xxwK x

+

−−=

( )( )2

21

121

2ww

xxwK x

+

−=

Calculando os ganhos relativos:21

11

ww

ww

+=µ

21

2

2ww

ww

+=µ

21

2

1ww

wx

+=µ

21

1

2ww

wx

+=µ

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Exemplo: Tanque de mistura

21

1

1ww

ww

+=µ

21

22

ww

ww

+=µ

21

21

ww

wx

+=µ

21

12

ww

wx

+=µ

• Ganhos relativos positivos e menores que a unidade.

• Os pareamentos devem ser feitos tal que os ganhosrelativos associados sejam o mais próximo da unidade.

• Devido à não linearidade os ganhos relativos e osconsequentes pareamentos dependem das condições deoperação.

• O pareamento depende qual vazão de entrada é maior

� Se w1>w2: escolher os pares (w,w1) e (x,w2).� Se w2>w1: escolher os pares (w,w2) e (x,w1).

Estratégia geral de pareamento: Controlar a vazão de saídacom o escoamento de maior vazão de entrada e controlar acomposição de saída com o escoamento de menor vazão deentrada.

Cálculo dos ganhos relativos para sistemas n x n (n malhas de controle ou n pares entrada-saída)



Ganhos relativos a partir dos ganhos de malha aberta para sistemas n x n (método matricial de Bristol, 1966)

K’ij : ganho de malha fechada relacionando a j-ésima entrada à i-ésima saída (ck constante c/ k≠i).

Kij : ganho de malha aberta relacionando a j-ésima entrada à i-ésima saída (mk constante c/ k≠j).

ij

ij

cj

i

mj

i

ijK

K

m

c

m

c

ikk

jkk

′=

∆

∆

∆

∆

=

≠

≠µ

Como no caso de sistemas 2 x 2

Seja K a matriz dos ganhos estáticos de malha aberta.

Na forma vetorial-matricial o vetor variações das variáveis controladas (∆c) em função do vetor variações dasvariáveis manipuladas (∆m) é dado por

mKc ∆=∆

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Cálculo dos ganhos relativos para sistemas n x n (n malhas de controle ou n pares entrada-saída)



mKc ∆=∆ logo cKm ∆=∆ −1 Seja 1−= KB cBm ∆=∆⇒

Para o j-ésimo elemento de ∆m:njnijijj cBcBcBm ++∆++∆=∆ ......11

ondeijci

j

jiKc

mB

jkk

′=

∆

∆=

≠

1

ou seja, os elementos de B correspondem aos inversos dos ganhos de malha fechada transpostos.

Combinando a expressão de Bji com a expressão de µij vemos que

ijji

ij

ij

ij KBK

K=

′=µ


Sistemas MIMO – Desacoplamento entre malhas

A partir da análise pelos ganhos relativos (menores desvios em relação à unidade) pode-se tentar desacoplar asmalhas que mantêm interação.

O projeto de desacopladores é semelhante ao projeto do controladores feedfoward, com a diferença que osdesacopladores fazem parte de malhas de controle realimentadas.

Seja o processo linear MIMO 2 x 2 dado na forma de diagrama de blocos (caracterização dinâmica no domínio s):

No processo MIMO G12(s) e G21(s) sãoresponsáveis pelo acoplamento.

Gv1(s) e Gv2(s) modelam os elementosfinais de controle.

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Digamos que pela análise dos ganhos relativos os pares formados são (m1, c1) e (m2, c2). O controle será feito daseguinte forma.

Projeto de desacoplador a partir do diagrama de blocos

Para o par (m1, c1) o controlador édado por Gc1(s).Para o par (m2, c2) o controlador édado por Gc2(s)

Como essas malhas poderiam serdesacopladas?

H1(s) e H2(s) modelam ossensores/transmissores.



Na proposta a seguir, o desacoplamento é obtido com as funções de transferência D21(s) e D12(s)


D21(s) deve cancelar o efeito de M1(s)em C2(s) e D12(s) deve cancelar oefeito de M2(s) em C1(s).

Então

0)()()()()()(

)(12211112

2

1 =+= sGsGsGsGsDsM

sCvv

0)()()()()()(

)(21122221

1

2 =+= sGsGsGsGsDsM

sCvv

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M1(s) é visto como uma perturbação para C2(s) e M2(s) é visto como uma perturbação para C1(s)


Resolvendo as equações para D12(s) eD21(s)

)()(

)()()(

111

122

12sGsG

sGsGsD

v

v−=

)()(

)()()(

222

211

21sGsG

sGsGsD

v

v−=

Essa técnica pode ser usada parasistemas MIMO 2 x 2, mas é necessárioconhecer os modelos dos elementos(seja por modelagem física/matemáticaou por identificação).



Projeto de desacoplador a partir do diagrama de blocosAs funções de transferênciarelacionando variável manipulada ecorrespondente variável controlada são

)()()()()()(

)(12221111

1

1 sGsGsDsGsGsM

sCvv +=

)()()()()()(

)(21112222

2

2 sGsGsDsGsGsM

sCvv +=

Substuindo D21(s) e D12(s)

−=

)(

)()()()(

)(

)(

22

1221

111

1

1

sG

sGsGsGsG

sM

sCv

−=

)(

)()()()(

)(

)(

11

2112

222

2

2

sG

sGsGsGsG

sM

sCv

Com essas funções, mais H1(s) e H2(s), os controladores agora podem ser projetados, independentemente.

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Projeto de desacoplador para sistemas MIMO n x n

Para generalizar o procedimento de desacoplamento devemos trabalhar com notação vetorial-matricial.

Quanto maior o número de variáveis controladas, maior a complexidade do projeto.Por exemplo, em um sistema 4 x 4 são necessários 12 desacopladores. De forma geral são necessários n(n-1)desacopladores.

Para desacoplamento devemos ter

=

)(

)(

)(

.

1)()(

)(1)(

)()(1

.

)()()(

)()()(

)()()(

)(

)(

)(

2

1

21

221

112

2

1

21

22221

11211

sM

sM

sM

sDsD

sDsD

sDsD

sGsGsG

sGsGsG

sGsGsG

sC

sC

sC

nnn

n

n

PPP

PPP

PPP

n nnnn

n

n

M

L

MOMM

L

L

L

MOMM

L

L

M

)(sC )(sM)(sPG )(sD

)()()()( ssss P MDGC =ou seja



Projeto de desacoplador para sistemas MIMO n x n

)()()( sss P MGC ′=seja )()()( sss PP DGG =′onde

)()()()( ssss P MDGC =

( ) )()()(1

ssS PP GGD ′=−

)(.

)(00

0)(0

00)(

)(22

11

s

sG

sG

sG

s

nnP

P

P

MC

′

′

′

=

K

MOMM

L

L

logo

diagonal

Para determinar D(s) são montadas n2 equações independentes. As n2 incógnitas são os n(n-1) elementos nãodiagonais de D(s) e os n elementos diagonais de G´P(s).

Na prática esse procedimento pode ser muito complexo em função da inversão de matriz de funções detransferências. Existem métodos (não discutidos aqui) que podem ser utilizados para resolver esse problema (verreferências).

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