Processo de Quatro-Tanques: Uma Abordagem Multivarivel

Engenharia de Controle e Automao Controle Multivarivel

Felipe Jung, Marina Padilha

Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia Campus Luzerna

1 Introduo

Sistemas multivariveis esto presentes em inmeras situaes, onde so vrios

os parmetros ou variveis que sofrem alterao ao receber a ao de uma ou mais

excitao. Pode-se citar sistemas de presso, por exemplo, que ao receber uma ao

mecnica para modificar seu volume, tanto a temperatura quanto a presso do sistema

so alteradas. Neste sentido, a presso e a temperatura podem ser monitoradas para

efeito de controle e segurana.

Em sistemas modernos podem existir muitas entradas e muitas sadas, e elas

podem ser inter-relacionadas de maneira complexa. Para analisar esse tipo de sistema,

essencial reduzir a complexidade das expresses matemticas, bem como recorrer a

ferramentas computacionais para a maioria das anlises. A abordagem no espao de

estados a mais apropriada para analisar o sistema sob esse ponto de vista.

Neste trabalho ser apresentado o modelo no-linear composto por quatro

tanques, ilustrado na Figura 1. Primeiramente sero obtidas as equaes diferenciais que

descrevem o sistema, para em seguida obter seu modelo linearizado. A partir do modelo

linear sero projetados e aplicados os mtodos de controle multivariveis. Finalmente,

os mesmos controladores sero inseridos no modelo no-linear do sistema de quatro-

tanques, a fim de comparar as respostas entre o sistema linearizado e o sistema no-

linear, alm de avaliar a ao dos controladores.

2 Levantamento do Modelo-Linear

A Figura 1 apresenta a planta a ser modelada no espao de estados. O fluxo da

bomba 1 dividido para o tanque 1 e tanque 4 atravs da vlvula proporcional 1, e o

fluxo da bomba 2 dividido entre os tanques 2 e 3 atravs da vlvula proporcional 2. Os

quatro tanques possuem vazo de sada que dependem do nvel de lquido.

Figura 1 - Sistema Quatro-Tanques

Os fluxos da Bomba 1 e Bomba 2 so dados em funo da tenso aplicada e

uma constante de proporcionalidade, conforme as equaes a seguir.:

1

2

Cada vlvula distribui esse fluxo entre dois tanques de forma complementar. A

Vlvula 1 distribui o fluxo entre os tanques 1 e 4, de acordo com o parmetro .,

conforme as equaes a seguir:

3

4

Para a Vlvula 2:

5

6

Outros fluxos que precisam ser determinados so os fluxo de sada dos tanques, que

no podem ser controlados uma vez que a sada apenas um orifcio de rea constante.

Desta forma determinado apenas em funo da altura da coluna de gua, conforme

equaes a seguir:

7

8

9

10

Por fim, define-se o volume acumulado em cada tanque, conforme a equao a

seguir.

11

A partir de todas as equaes descritas aqui, o comportamento de cada tanque

pode ser obtido. A equao para o tanque 1 :

12

13

A equao para o tanque 2

14

15

A equao para o tanque 3 :

16

17

E a equao para o tanque 4 :

18

19

Estas equaes diferenciais no so lineares. Para tanto, preciso determinar

os pontos de equilbrio do sistema para ento lineariz-las. Como a sada a ser

controlada a altura do tanque 1 e do tanque 2, os termos variantes das equaes

( ) devem ser iguais zero. Define-se ento os pontos de equilbrio:

20

21

22

23

E os pontos de equilbrio:

[ ]

24

[ ]

25

26

27

A linearizao pode ser obtida atravs da matriz jacobiana, definida por:

[

]

28

A funo linearizada do sistema de tanques pode ser obtida a partir de:

( ) ( ) 29

Onde e o controle do sistema linearizado indicam a

variao do estado e controle no lineares em relao ao equilbrio. O termo ( ) da

igualdade nulo, pois a funo ( ) no equilbrio . Ou seja, no

existe variao. Como , ento , tal que ( ) :

Sendo as matrizes jacobianas:

[

]

30

[

]

31

Aplicando as equaes na matriz jacobiana, obtm-se as matrizes a seguir:

[

]

32

[

]

33

As equaes de estado do sistema linearizado so dados por:

34

35

Onde a matriz jacobiana e a matriz . A matriz que define a

equao de sada do sistema escrita em funo da altura do nvel dos tanques 1 e 2,

sendo estes nveis lidos por sensores que daro valores de tenso proporcional ao nvel

do lquido segundo uma constante . Logo, a matriz C :

[

] 36

Os parmetros da planta so listados a seguir:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Onde a seo transversal do tanque , a seo do orifcio de sada de

tanque , a constante do medidor de nvel e a acelerao da gravidade.

Os pontos de operao definidos so descritos a seguir:

A partir destes valores, as matrizes A, B e C podem ser obtidas mediante a

substituio dos parmetros. Desta forma, as matrizes A, B e C so:

[

] 37

[

] 38

[

] 39

A matriz de transferncia obtida a partir da seguinte equao.

40

Logo,

[

]

41

2.1 Validaes

Neste sistema so feitos os testes de controlabilidade, observabilidade e

controlabilidade total de sada, de acordo com as equaes a seguir.

| | | 42

| | | 43

| | | 44

Onde o posto das matrizes e deve ser maior que n e o posto da matriz

deve ser m, sendo estes os ndices especificados nas equaes 34 e 35. As matrizes

para verificao da controlabilidade e observabilidade deste modelo fsico atende a estes

requisitos.

O script quatro_tanques.m apresenta a obteno das matrizes deste modelo e

os testes de observabilidade e controlabilidade. A figura a seguir ilustra os estados do

sistema e as sadas, em malha aberta com condies iniciais nulas.

Figura 2: Diagrama de blocos do sistema em malha aberta

(a) (b) Figura 3: (a) Estados do sistema e (b) sadas do sistema

0 50 100 150 200 250 3000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (c

m)

Estados do Sistema Linear

h1

h2

h3

h4

0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (V

)

Sadas do Sistema Linear

y1

y2

3 Projeto dos controladores

3.1 Implementao em Modelo Linear

3.1.1 Controlador por Realimentao de Estados

O controlador por realimentao de estados inserido no sistema conforme

ilustra a figura a seguir, onde a matriz K calculada a partir da resposta desejada do

sistema.

Figura 4: Diagrama de blocos do sistema com realimentao de estados

Os polos desejados para o sistema so:

[ ]

A matriz de ganhos K obtida pela funo place :

[

]

Como o sistema tem mais de uma entrada, o mtodo de Ackerman no pode ser

utilizado para obter a matriz de ganhos.

As figuras a seguir mostram a resposta do sistema com condio inicial nula e

entrada em degrau unitrio.

Observa-se que o sistema com ganho na realimentao de estados melhorou em

relao ao sistema em malha aberta quanto ao seguimento de referncia. Porm, ainda

existe um erro, alm do fato do tempo de assentamento estar prximo ao do sistema em

malha aberta.

Devido esta caracterstica, um controlador de ao integradora foi inserido na

planta visando eliminao do erro em regime permanente.

A rotina do MatLab statefeedback.m apresenta o projeto pelo mtodo de

controle por Realimentao de Estados.

(a) (b)

(c)

Figura 5: Realimentao de estados: (a) estados do sistema, (b) sadas do sistema e (c) sinal de controle.

3.1.2 Projeto de Integrador no Espao de Estados

A Figura 6 ilustra o diagrama de blocos do sistema com realimentao de

estados e com integrador.

Figura 6: Diagrama de blocos do sistema com realimentao de estados e com integrador

Para o projeto deste conjunto de controladores necessrio reescrever a matriz

A e a matriz B nas formas:

[

] [ ]

Como as dimenses das matrizes aumentam, preciso especificar mais dois

polos, sendo estes:

[ ]

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (c

m)

Estados do Sistema

h1

h2

h3

h4

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (V

)

Sadas do Sistema

y1

y2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (V

)

Sinal de Controle

u1

u2

Com a funo place, obtm-se a seguinte matriz de ganhos:

[

]

Desta forma, o ganho do integrador e o ganho de realimentao so:

[

]

[

]

As respostas so ilustradas na Figura 7. A rotina utilizada para o clculo e

obteno destes controladores integ.m.

(a) (b)

(c)

Figura 7: Sistema com integrador: (a) estados, (b) sadas e (c) ao de controle

3.1.3 Observador de Estados de Ordem Plena

Outro mtodo utilizado para o controle de sistemas multivariveis conhecido

como observadores de estados. Este regulador utilizado quando as variveis de estado

no esto disponveis para realimentao. Desta forma, necessrio estimar os estados

no mensurveis.

Para que seja possvel esta estimao de estados condio obrigatria que o

sistema seja de estado completamente observvel. A Figura 8 apresenta como o

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Estados do Sistema

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (c

m)

h1

h2

h3

h4

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Sada do Sistema

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (V

)

y1

y2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Sinal de Controle

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (V

)

u1

u2

estimador inserido na planta e a Figura 9 apresenta as respostas obtidas com a

utilizao deste mtodo na planta estudada.

Figura 8: Diagrama de blocos da planta com observador de estados

A matriz de ganho K obtida do mesmo mtodo apresentado no item 3.1., com

os mesmos polos em malha fechada. recomendado que os polos do observador sejam

de 2 a 5 vezes mais rpidos que os polos da planta, para que o erro de estimao seja

reduzido mais rapidamente.

Desta forma, escolhendo os polos desejados do observador como quatro vezes

mais rpido, os polos da planta e do observador so, respectivamente:

[ ]

[ ]

A partir da funo place a matriz de ganho para a realimentao de estados

obtida :

[

]

A matriz de ganhos do observador obtida a partir da matriz

Onde so os coeficientes do polinmio caracterstico desejado

para o observador:

Desta forma, o polinmio do observador:

Logo, obtido por:

[ ] [

]

Onde a matriz de observabilidade. A matriz de ganho para o observador

obtida :

[

]

As respostas obtidas com este mtodo de controle podem ser observadas na

Figura 9. O script para este mtodo observ.m.

(a) (b)

(c)

Figura 9: Observador de estados: (a) estados, (b) sadas e(c) sinal de controle

3.1.4 Observador de Estados de Ordem Plena com Integrador

Neste procedimento, um integrador foi adicionado ao sistema com observador

de estados com o objetivo do seguimento de referncia. O diagrama de blocos do

sistema resultante est ilustrado a seguir.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Estados Estimados

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (c

m)

xe1

xe2

xe3

xe4

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Sada do Sistema

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (V

)

y1

y2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Sinal de Controle

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (V

)

u1

u2

Figura 10: Diagrama de blocos do observador com integrador

Para este sistema, o procedimento de clculo para e foi o mesmo

utilizado no item 3.1.2 e o ganho do estimador foi obtido de forma semelhante ao

item 3.1.3. As respostas para este sistema podem ser observadas na Figura 11. O script

que simula este mtodo integ_observ.m.

(a) (b)

(c)

Figura 11: Observador com integrador: (a) estados, (b) sadas e (c) sinal de controle

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Estados Estimados

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (c

m)

xe1

xe2

xe3

xe4

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Sada do Sistema

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (V

)

y1

y2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Sinal de Controle

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (V

)

u1

u2

3.1.5 Observador de Estados de Ordem Mnima

Para que seja possvel projetar um observador de estados de ordem mnima

necessrio que a matriz (45) tenha posto .

[

] 45

Onde:

[

] 46

A matriz obtida indicada em 47 e tem posto 1, quando deveria ter posto 3.

Desta forma, no possvel aplicar o observador de ordem mnima neste sistema.

[

] 47

3.1.6 LQR

A partir do Regulador Linear Quadrtico (Linear Quadratic Regulator) obtida

uma matriz K de ganho timo, que, para uma lei de controle , minimiza a

funo custo:

48

Neste caso, no so determinados polos desejados para a planta em malha

fechada, e sim as matrizes de ponderao e , sendo estas definidas positivas. A

funo utilizada para o clculo deste controlador a funo lqr, que alm do ganho,

retorna tambm a matriz soluo da equao de Ricatti, equao 49, e os autovalores do

sistema em malha fechada . A matriz de ganhos obtida por 50.

49

50

A soluo da equao de Ricatti e a matriz de ganho do LQR obtidas com

a funo lqr so, respectivamente:

[

] 51

[

] 52

O diagrama de blocos deste sistema o mesmo para o sistema com

realimentao de estados, ilustrado na Figura 4. As respostas obtidas com este

controlador so mostradas na Figura 12. O script que simula este mtodo qt_lqr.m.

(a) (b)

(c)

Figura 12: LQR: (a) estados, (b) sadas e (c) sinal de controle

As matrizes e consideradas para os clculos so:

[

] 53

[

] 54

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Estados do Sistema

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (c

m)

h1

h2

h3

h4

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tempo(s)

Am

plit

ude s

inal (V

)

Sada do Sistema

y1

y2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Sinal de Controle

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (V

)

u1

u2

3.1.7 LQG

O Regulador LQG (Linear Quadratic Gaussian) uma combinao do

controlador LQR, que minimiza um critrio quadrtico, e de um observador particular,

chamado de Filtro de Kalman, que projetado para minimizar a varincia do erro de

estimao. O diagrama de blocos deste sistema o mesmo apresentado na Figura 8,

onde a matriz de ganho obtida com o LQR e a matriz do observador obtido com

o Kalman.

O LQR o mesmo obtido anteriormente. O ganho do observador Kalman

obtido a partir da funo kalman no Matlab. Esta funo, alm do ganho do

observador, calculado por 56, retorna tambm a soluo da equao de Ricatti, que para

o observador Kalman definida por 55.

55

56

Sendo e matrizes referentes perturbao e rudos na planta, arbitradas

como:

[

] 57

[

] 58

Desta forma, o ganho e a matriz soluo de Ricatti para o observador Kalman

so, respectivamente:

[

] 59

[

] 60

Os grficos das respostas podem ser observados na Figura 13.

Para esse sistema, foi elaborado o script qt_lqg.m, e para observar os efeitos

da perturbao e rudos na planta preciso executar o modelo do SimuLink lqg_pert.

(a) (b)

(c)

Figura 13: Controle LQG (a) estados, (b) sada e (c) sinal de controle

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Estados do Sistema

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (c

m)

h1

h2

h3

h4

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tempo(s)

Am

plit

ude s

inal (V

)

Sada do Sistema

y1

y2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0Sinal de Controle

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (V

)

u1

u2

3.2 Implementao em Modelo No-Linear

Os mesmos controladores projetados para a planta linear, sero inseridos no

modelo no linear com o objetivo de comparar as respostas. Sero abordados os

mtodos de realimentao de estados, observador de estados com integrador e o LQG.

Todos os sistemas foram simulados com condies iniciais nulas e entradas de

referncia e .

3.2.1 Sistema em Malha Aberta

Primeiramente verificou-se a resposta do sistema em malha aberta. Para esta

situao as entradas foram e , com condies iniciais nulas. As

respostas obtidas podem ser visualizadas na Figura 14.

(a) (b)

Figura 14: Resposta em malha aberta do sistema no-linear

Apesar de este sistema ser no-linear, percebe-se que o tempo de assentamento

para o degrau unitrio menor que a da resposta mostrada na Figura 3 com o sistema

linearizado. Contudo, se a amplitude do degrau for aumentada, a amplitude da sada no

aumenta linearmente com o aumento da amplitude do degrau, e tambm o tempo de

resposta se tornar mais lento. O mesmo no ocorre com o sistema linearizado.

0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

1.5

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (c

m)

Estados do Sistema No-Linear

h1

h2

h3

h4

0 50 100 150 200 250 3000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (V

)

Sadas do Sistema No-Linear

y1

y2

3.2.2 Sistema com Realimentao de Estados

Neste procedimento, verificou-se o controle por realimentao de estados com

a mesma matriz de ganhos obtida no item 3.1.1. Os grficos obtidos so mostrados na

Figura 15.

Observa-se que para o mesmo valor de entrada de referncia os modelos no

chegaram ao mesmo valor de regime permanente. Embora a amplitude de ambas as

repostas divirjam, o comportamento se assemelha.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 15: (a) Sada sistema linear, (b) erro sistema linear, (c) sada sistema no-linear e (d) erro sistema

no-linear

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5005

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (V

)

Sadas do Sistema Linear

y1

y2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-2

0

2

4

6

8

10

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (V

)

Sinal de Erro (e=r-u) - Sistema Linear

e1

e2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5004

5

6

7

8

9

10

11

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (V

)

Sadas do Sistema No-Linear

y1

y2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-2

0

2

4

6

8

10

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (V

)

Sinal de Erro (e=r-u) - Sistema No-Linear

e1

e2

3.2.3 Observador de Estados com Integrador

Aplicando o mesmo controlador do item 3.1.4 na planta no linear, os grficos

obtidos so apresentados na Figura 17.

Observando a Figura, pode-se afirmar que ambos os sistemas responderam de

forma satisfatria ao controle por observador-integrador. Devido ao integradora,

ambos os sistemas convergiram para o valor de entrada de referncia. O inconveniente

deste sistema de controle a amplitude da ao de controle, bastante elevada e exigiria

atuadores muito grandes e mais caros do que o necessrio.

Entretanto, para fins de simulao e comparao observou-se que tanto os

grficos de sada quanto de erro tm comportamentos muito parecidos e mesma resposta

em regime permanente.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 16: Sistema com observador-integrador (a) Sada sistema linear, (b) erro, (c) sada sistema no

linear e (d) erro sistema no linear

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

2

4

6

8

10

12

14Sada do Sistema Linear

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (V

)

y1

y2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-50

0

50

100

150

200

250Sinal de Erro (e=r-u) - Sistema Linear

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (V

)

e1

e2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

2

4

6

8

10

12

14Sada do Sistema No-Linear

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (V

)

y1

y2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-50

0

50

100

150

200

250Sinal de Erro (e=r-u) - Sistema No-Linear

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (V

)

e1

e2

3.2.4 LQG

A partir do diagrama de blocos ilustrado na Figura 17 foram obtidas as curvas

de respostas dos sistemas, no-linear e linear, e o sinal de erro, exibidas na Figura 17.

Figura 17: Diagrama de Blocos para implementao do LQG em planta no-linear

Apesar do LQG ser um controlador com observador timo, observa-se na

Figura 17(a) que o sistema no segue referncia. Por outro lado, a ao de controle no

alcana valores to elevados, demandando mais esforo do efetuador.

Tanto o modelo linear quanto o no linear apresentam mesmo comportamento

em regime transitrio, divergindo dos valores de resposta permanente.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 18: Sinais obtidos do modelo linear e no-linear com controlador LQG

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

1

2

3

4

5

6

7

Tempo(s)

Am

plit

ude s

inal (V

)

Sada do Sistema Linear

y1

y2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-12

-10

-8

-6

-4

-2

0Sinal de Erro (e=r-u) - Sistema Linear

Tempo(s)

Am

plit

ude S

inal (V

)

e1

e2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5Sadas do Sistema No-Linear

Tempo(s)

Am

plit

ude s

inal (V

)

y1

y2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5002

4

6

8

10

12

14Erro do Sistema No-Linear (e=r-u)

Tempo(s)

Am

plit

ude s

inal (V

)

e1

e2

4 Concluso

Enquanto a teoria de controle convencional fundamentada na relao entrada-

sada, ou funo de transferncia, a teoria de controle moderno baseada na descrio

de um sistema de equaes em termos de n equaes diferenciais de primeira ordem, as

quais podem ser combinadas em uma equao diferencial vetorial-matricial de primeira

ordem, podendo representar sistemas Multiple In - Multiple Out (MIMO). O uso de uma

notao vetorial-matricial simplifica bastante a representao matemtica do sistema de

equaes. O aumento do nmero de variveis de estados, do nmero de entradas, ou do

nmero de sadas no aumenta a complexidade das equaes, apenas o sistema aumenta

ligeiramente a sua complexidade de anlise.

Em vista disso, sistemas multivariveis podem abranger sistemas de ordem

bastante elevada, dificultando a anlise para controle. Desta forma, as simulaes de

diferentes sistemas de controle podem ser comparadas para a escolha da melhor

estratgia para atingir o objetivo do projeto.

Neste trabalho foram aplicados os mtodos utilizados para o controle MIMO,

ou multivarivel, em uma planta no linear, cuja representao no espao de estados foi

obtida atravs da matriz Jacobiana.

Primeiramente os reguladores foram projetados e aplicados no modelo

linearizado, onde se verificou que tanto com o controle por realimentao de estados

quanto com o por observador de estados, o sistema possui um grande erro em regime

permanente. Com a insero de integradores, tanto na realimentao quanto no

observador, notou-se uma melhora em relao ao regime permanente, ambos

apresentando novamente resultados muito semelhantes.

Utilizando a estratgia de controle com integrador observou-se que o esforo

de controle muito elevado, pois uma estratgia bastante agressiva o que exigiria

atuadores muito potentes, pesados e caros.

As estratgias de controle que utilizam controladores timos, por serem

baseadas na minimizao da funo custo, apresentam ao de controle com amplitudes

reduzidas, evitando a saturao do atuador. A grande vantagem em relao ao mtodo

de alocao de polos que o sistema utiliza a menor energia para o resultado com erro

minimizado.

A anlise de sistemas apenas pela resposta em regime permanente e ao do

controlador nem sempre suficiente para a garantia de um sistema robusto. Em

sistemas reais impossvel filtrar e reduzir completamente a ao de perturbaes e

rudos, o que torna essencial a incluso destes na simulao dos sistemas a fim de se

determinar a estratgia que minimize os efeitos destes na planta a ser controlada.

Apesar da importncia desta anlise, rudos e perturbaes no foram

abordados de forma predominante, uma vez que o foco do trabalho o projeto de

controladores para sistemas multivariveis. Em vista disso, podero ser desenvolvidos

outros trabalhos com o objetivo de estudar o efeito destes rudos e perturbaes na

planta e como cada controlador atua para diminuir a interferncia no sistema.

Referncias

[1] GOLNARAGHI, Farid; KUO, Benjamin C. Sistemas de controle automtico. 9.

ed. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos, 2012.

[2] JOHANSSON, Karl H., The Quadruple-Tank Process: A Multivariable

Laboratory Process with an Adjustable Zero, IEEE TRANSACTIONS ON

CONTROL SYSTEMS TECHNOLOGY, VOL. 8, NO. 3, MAY 2000.

[3] NISE, Norman S. Engenharia de Sistemas de Controle. Rio de Janeiro: LTC,

2011.

[4] OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 5. ed. So Paulo:

Pearson Prentice Hall, 2010.

1 Introduo2 Levantamento do Modelo-Linear2.1 Validaes

3 Projeto dos controladores3.1 Implementao em Modelo Linear3.1.1 Controlador por Realimentao de Estados3.1.2 Projeto de Integrador no Espao de Estados3.1.3 Observador de Estados de Ordem Plena3.1.4 Observador de Estados de Ordem Plena com Integrador3.1.5 Observador de Estados de Ordem Mnima3.1.6 LQR3.1.7 LQG

3.2 Implementao em Modelo No-Linear3.2.1 Sistema em Malha Aberta3.2.2 Sistema com Realimentao de Estados3.2.3 Observador de Estados com Integrador3.2.4 LQG

4 ConclusoReferncias