capítulo 6 transformação de tensão no...
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Prof. MSc. Douglas M. A. [email protected]
Resistência dos Materiais I – SLIDES 06
Capítulo 6
Transformação de
tensão no plano
SLIDES 06 – Capítulo 6 / Transformação de tensão no plano
REMA I – Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
Objetivos do capítulo
Transformar as componentes de tensão
associadas a um determinado sistema de
coordenadas em componentes associadas a um
sistema de coordenadas com uma orientação
diferente
Obter a tensão normal máxima e a tensão de
cisalhamento máxima em um ponto e determinar
a orientação dos elementos sobre os quais elas
agem
2
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6.1 Transformação de tensão no plano
3
O estado geral de tensão no plano em um ponto é representado
por uma combinação de duas componentes de tensão normal, σx
e σy, e uma componente de tensão de cisalhamento, τxy.
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=
O estado plano de tensão em um ponto é representado
exclusivamente por três componentes que agem sobre um
elemento que tenha uma orientação específica neste ponto.
6.1 Transformação de tensão no plano
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Tensões em planos inclinados
5
=
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Tensões em planos inclinados
Exemplo 6.1 Represente o estado de tensão no
ponto em um elemento orientado a
30º no sentido horário em relação
à posição mostrada.
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Exemplo 6.1 Represente o estado de tensão no ponto
em um elemento orientado a 30º no sentido
horário em relação à posição mostrada.
Tensões no plano a-a:
DCL
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Exemplo 6.1 Equilíbrio: ΣFx’ = 0 e ΣFy’ = 0
DCL
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Exemplo 6.1 Tensões no plano b-b (ortogonal ao plano a-a)
DCL
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Exemplo 6.1 Equilíbrio: ΣFx’ = 0 e ΣFy’ = 0
DCL
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Exemplo 6.1 Apresentação da Solução:
Extra → 1º Invariante de tensões
A soma de tensão normais em quaisquer dois planos mutualmente
normais é invariante, isto é:
constante'' yxyx
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6.2 Equações gerais de
transformação de tensão no plano
Objetivo:
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Transformar as componentes de tensão
normal (σ) e de cisalhamento (τ) dos eixos x, y
para os eixos coordenados x’, y’ por meio de
equações.
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6.2 Equações gerais de
transformação de tensão no plano
Convenção de sinal positivo:
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6.2 Equações gerais de
transformação de tensão no plano
Componentes de tensão normal e de
cisalhamento
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(a) (b)
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6.2 Equações gerais de
transformação de tensão no plano
Componentes de tensão normal e de
cisalhamento
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(c)
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6.2 Equações gerais de
transformação de tensão no plano
Componentes de tensão normal e de
cisalhamento
Aplicando as equações de equilíbrio ao
diagrama de corpo livre (c), obtêm-se:
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)1.6(2sin2cos22
'
xy
yxyx
x
)2.6(2cos2sin2
''
xy
yx
yx
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6.2 Equações gerais de
transformação de tensão no plano
Componentes de tensão normal e de
cisalhamento
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Para a obtenção das
tensões no plano
normal ao eixo y’,
faz-se a substituição
de θ por θ+90º nas
equações
anteriores:
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6.2 Equações gerais de
transformação de tensão no plano
Componentes de tensão normal e de
cisalhamento
Para a obtenção das tensões no plano normal
ao eixo y’, faz-se a substituição de θ por θ+90º
nas equações anteriores:
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)3.6(2sin2cos22
'
xy
yxyx
y
)4.6(2cos2sin2
''
xy
yx
yx
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6.2 Equações gerais de
transformação de tensão no plano
Exemplo 6.2 Represente o estado de tensão no ponto em um
elemento orientado a 30º no sentido horário em
relação à posição mostrada.
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Utilizar as equações
de transformação de
tensão.
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6.2 Equações gerais de
transformação de tensão no plano
Exemplo 6.2
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6.3 Tensões principais e tensão de
cisalhamento máxima no plano
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Na prática da engenharia é importante determinar
a orientação dos planos que fazem com que a
tensão normal seja máxima e mínima ou o plano
em que a tensão de cisalhamento seja máxima.
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Tensões principais no plano
Diferencia-se a equação (6.1) em relação a θ e
igua-la a zero para obter σmax e σmin.
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)1.6(2sin2cos22
'
xy
yxyx
x
02cos22sin22
'
xy
yxx
d
d
)5.6(2
2tanyx
xy
p
Resolvendo-se essa equação,
obtém-se a orientação dos
planos de tensão normal
máxima e mínima:
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Tensões principais no plano
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)6.6(22
2
2
2,1 xy
yxyx
A solução tem duas raízes, θp1 e θp2, cujos valores de seno e
de cosseno podem ser atribuídos à equação (6.1) e obter:
21
:Nota
Os valores de σ1 e σ2 são denominados tensões principais no
plano e os planos correspondentes sobre os quais agem são
denominados planos principais de tensão (ver figura).
Substituindo θp1 e θp2 na equação (6.2) obtém-se τx’y’= 0, isto é,
nenhuma tensão de cisalhamento age nos planos
principais.
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Tensões principais no plano
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Tensão de cisalhamento máxima no
plano
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A orientação de um elemento
cujas faces estão submetidas
à tensão de cisalhamento
máxima é obtida tomando-se
a derivada da equação (6.2)
em relação a θ e igualando a
zero:
)7.6(2
2tanxy
yx
s
Usando qualquer uma das
duas raízes θs1 ou θs2, pode-
se determinar a τmax tomando
os valores de sen (2θs) e de
cos(2θs) e substituindo na
equação (6.2). Resultado:
)8.6(2
2
2
max xy
yx
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Tensão de cisalhamento máxima no
plano
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Substituindo os valores de
sen (2θs) e de cos (2θs) na
equação (6.1), obtém-se a
tensão normal nos planos em
que ocorre a τmax:
Cisalhamento Puro:
)9.6(2
yx
med
Corresponde ao estado de
tensão em que o elemento
está sujeito a apenas tensões
de cisalhamento.
Desta forma, não há tensões
normais atuando nas faces
do elemento.