capítulo 6 série uniforme – prestações iguaisgsilva/mat_fin_2009_2/slides... · opção end...

Capítulo 6

Série Uniforme –Prestações Iguais

Copyright@ Abelardo Puccini. 2009. Editora Saraiva.

Juros Compostos – Fórmulas - 1


RELAÇÃO ENTRE PMT E FV

FV = PMT [ ( 1 + i )n-1 + ( 1 + i )n-2 + … + ( 1 + i ) + 1 ] (A)

Multiplicando por (1+i): FV = PMT [(1 + i )n + (1 + i )n -1 + … + (1 + i )2 + (1 + i ) ] (B)

Subtraindo (A) de (B):

FV x i = PMT [ ( 1 + i )n - 1 ]

PMT = FV { i / [( 1 +i )n - 1)] }



RELAÇÃO ENTRE PMT, FV e PV:

FV x i = PMT [ ( 1 + i )n - 1 ]

PMT = FV { i / [( 1 +i )n - 1)] }

PMT = PV { i ( 1 + i )n / [ ( 1 + i )n -1 }


No regime de juros compostos é indiferente calcular PMT a partir de PV ou a partir de FV.

No regime de juros simples, o valor de PMT obtido a partir de PV é diferente do obtido a partir de FV.

No regime de juros simples, só são deduzidas

fórmulas interligando PV e FV, sendo a taxa de rentabilidade ( i ) diferente da taxa de desconto (d).

Não utilizar juros simples na análise de fluxos de caixa.


Problemas envolvendo n, i, PV, PMT - 1

Determine o valor do principal de um financiamento realizado com uma taxa efetiva de 1% a.m., a juros compostos, para ser liquidado com 12 prestações mensais de $1.000,00.

Dados:• n = 12 meses• i = 1 % a.m.• PMT = $1.000,00Opção END – HP 12C

Solução: Cálculo do principal


n i PV PMT FV

12 1,00 11.255,08 -1.000,00 0,00


Um banco financia equipamentos com prazo de 2 anos a uma taxa de 3% a.t. a juros compostos. Determine o valor da prestação trimestral de um equipamento cujo valor à vista é de $20.000,00.

Dados:• n = 2 anos = 8 trimestres• i = 3 % a.t.• PV= $20.000,00Opção END – HP 12C

Solução: cálculo da prestação - PMT


n i PV PMT FV

8 3,00 -20.000,00 2.849,13 0,00


À vista, um equipamento custa $11.400,00 e está sendo financiado com $1.400,00 de entrada e mais 4 prestações trimestrais de $2,580,00. Qual a taxa efetiva trimestral cobrada na parcela financiada?

Dados:• n = 4 trimestres• PMT = $2.580,00• PV = $11.400 – $1.400 = $10.000,00Opção END – HP 12C

Solução: cálculo da taxa efetiva (a.t.)


n i PV PMT FV

4 1,2719 -10.000,00 2.580,00 0,00

Problemas envolvendo n, i, PV, PMT – 4 Um financiamento de $1.000,00 é realizado com uma taxa efetiva de

8%a.a., a juros compostos, para ser pago em 4 prestações anuais iguais.

Determine:a) o valor da prestação anual; b) a amortização e juros de cada prestação; c) o saldo devedor do financiamento (principal remanescente) imediatamente após o

pagamento da 2ª prestação; d) o saldo devedor do financiamento, imediatamente antes do pagamento da 2ª prestação.

Dados:• n = 4 anos• i = 8% a.a.• PV= $1.000,00Opção END – HP 12C

a) Cálculo da Prestação anual - PMT

Solução: n i PV PMT FV

4 8,00 -1.000,00 301,92 0,00

Problemas envolvendo n, i, PV, PMT – 5 - Continuação problema anterior.

b) Cálculo da amortização e juros das prestações

c) Principal após 2a.prestação – calcular o VP das duas prestações a serem pagas;

ou, calcula-se o FV do principal (-) FV das prestações pagas

d) Saldo devedor antes da 2ª.prestação

n i PV PMT FV2 8,00 538,41 -301,92 0,00

Ano Prestação Juros Amortização Principal

0 1.000,00

1 301,92 80,00 221,92 778,08

2 301,92 62,25 239,67 538,413 301,92 43,07 258,85 279,564 301,92 22,36 279,56 0,00

Amortizações crescem exponencialmente.

n i PV PMT FV2 8,00 -1.000,00 301,92 538,40

SD = 538,41 + 301,92 = $840,33

Opção END

Problemas envolvendon, i, PV, PMT – 6 Um financiamento de $1.000,00 deve ser liquidado em cinco prestações

mensais, iguais e sucessivas, com uma taxa efetiva de 1% a.m.. Determine o valor dessa prestação mensal, nas seguintes hipóteses:

a) 1ª prestação um mês após a liberação dos recursos (série postecipada - END); b) 1ª prestação no ato da liberação dos recursos (série antecipada - BEGIN).

Solução: – Série Postecipada - END

- Série Antecipada – Begin


n i PV PMT FV5 1,00 -1.000,00 206,04 0,00

n i PV PMT FV5 1,00 -990,10 0,00 1.000,00

n i PV PMT FV5 1,00 -1.000,00 204,00 0,00

Principal no ponto (-1)

V alor da Prestação = $204,00

Relação entre prestações = 206,04 / 1,1 = $204,00

Problemas envolvendon, i, PV, PMT – 7 Uma dívida deve ser liquidada em 3 prestações trimestrais de $1.000,00. Determine o principal dessa dívida para uma taxa efetiva de

1%a.m, a juros compostos.1a. Solução: a) Cálculo da Taxa equivalente trimestral - END

2a. Solução: desconto individual das parcelas


n i PV PMT FV3 1,00 -100,00 0,00 103,03

Opção ENDi = 3,03%a.t

n i PV PMT FV3 3,03 2.826,98 -1.000,00 0,00

n i PV PMT FV

3 1,00 970,59 0,00 -1.000,00

6 1,00 942,05 0,00 -1.000,00

9 1,00 914,34 0,00 -1.000,00

Soma 2.826,98

Cálculo do principal

Problemas envolvendon, i, PV, PMT – 8

O "plano de Natal" de uma loja permite que as vendas de dezembro sejam pagas apenas no ano seguinte, com juros efetivos de 1,5% ao mês. Um cliente realizou compras de $1.000,00, no final de dezembro e deseja pagá-las em 4 prestações mensais. Determine o valor dessas prestações nas seguintes hipóteses:

a) 1a. Prestação ocorrendo em janeirob) 1a. Prestação ocorrendo em abril

Solução:

a) Sem carência – Opção END

n i PV PMT FV

4 1,50 -1.000,00 259,44 0,00Prestação mensal $259,44

Problemas envolvendon, i, PV, PMT – 9 – continuação

O "plano de Natal" de uma loja permite que as vendas de dezembro sejam pagas apenas no ano seguinte, com juros efetivos de 1,5% ao mês. Um cliente realizou compras de $1.000,00, no final de dezembro e deseja pagá-las em 4 prestações mensais. Determine o valor dessas prestações nas seguintes hipóteses:

b) 1ª. Prestação ocorrendo em abril

Solução:

a) Carência de 3 meses (juros capitalizados)

n i PV PMT FV3 1,50 -1.000,00 0,00 1.045,68

Montante no final da carência

n i PV PMT FV4 1,50 -1.045,68 271,30 0,00

Prestação mensal $271,30

Problemas envolvendon, i, FV, PMT – 1

Determine o valor dos 4 depósitos trimestrais indicados no fluxo de caixa a seguir, que permitem que se acumule o montante de $10.000,00 no final do 4º trimestre, com uma taxa de 3% a.t..

Dados: FV = $10.000,00 PV = $0,00 i = 3 % a.t. n = 4 trimestres PMT =?

Cálculo do valor dos depósitos:

n i PV PMT FV

4 3,00 0,00 2.390,27 -10.000,00


Os depósitos anuais de $1.000,00 são remunerados com a taxa efetiva de 10% a.a. Determine o montante acumulado no final do 4º ano, antes da efetivação do 4º depósito.

Dados: FV = ? PV = $0,00 i = 10 % a.a. n = 4 anos PMT = 1.000,00Saldo (FV) após 4o. depósito:

Saldo antes do 4o. Depósito = $4.641,00 - $1.000,00 = $3.641,00

n i PV PMT FV

4 10,00 0,00 -1.000,00 4.641,00



Determine a rentabilidade trimestral efetiva de 4 depósitos trimestrais de $5.000,00 que produzem o montante de $21.000,00.

Dados: FV = $21.000,00 PV = $0,00 i = ? n = 4 trim. PMT = 5.000,00

Cáculo da taxa efetiva (a.t.):

n i PV PMT FV

4 3,2618 0,00 -5.000,00 21.000,00



Os 6 depósitos mensais de $800,00 indicados a seguir recebem uma remuneração de 1,5 % a.m., a juros compostos. Determine os montantes acumulados no final de junho e de setembro.

Montante (FV) no final de junho:

Montante (FV) no final de setembro:

n i PV PMT FV

6 1,50 0,00 -800,00 4.983,64


n i PV PMT FV

3 1,50 -4.983,64 0,00 5.211,29

Problemas envolvendo n, i, FV, PMT – 5

Determine o valor de 6 depósitos iguais, a serem efetuados de janeiro a junho que produzem um montante de $5.000,00, no final de dezembro, com uma taxa de 1% a.m..

Saldo no final de junho:

Valor do depósito mensal:

n i PV PMT FV

6 1,00 4.710,23 0,00 5.000,00


n i PV PMT FV

6 1,00 0,00 765,64 -4.710,23


Um título de renda mensal, com juros de 1% a.m., tem o seguinte fluxo de caixa:

Determine: a) VP dos 12 cupons de $100,00b) VP dos $10.000,00 do 12o.mêsc) VP do título a 1%a.m.

n i PV PMT FVa) 12 1,00 1.125,51 -100,00 0,00b) 12 1,00 8.874,49 0,00 -10.000,00c) Soma 10.000,00

n i PV PMT FV

d) 12 1,50 9.454,62 -100,00 -10.000,00d) Valor da venda p/ 1,5% a.m.

e) Rentabilidade p/ deságio de 5%a.m.

n i PV PMT FV

e) 12 1,4572 -9.500,00 100,00 10.000,00

capítulo 6 série uniforme – prestações iguaisgsilva/mat_fin_2009_2/slides... · opção end...

Documents