capitulo 3- controlo com realimentacao e influencia dos controladores

7/24/2019 Capitulo 3- Controlo Com Realimentacao e Influencia Dos Controladores

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Capitulo 3

Controlo com Realimentação e Influência dosControladores

Maputo, Agosto de 2011

2

3.1 Controlo com Realimentação. Introdução.

Uma acção de controlo com realimentação segue os seguintes passos:

1. Medição do valor da saída (caudal, pressão, nível do líquido, temperaturacomposição) usando um instrumento de medição adequado.

2. Compara o valor indicado ym com o valor desejado ysp (ponto de ajustamento)da saída seja o desvio (erro);

3. O valor do desvio é fornecido ao controlador. O controlador altera o valor davariável manipulada m por forma a reduzir a grandeza do desvio ε.



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3.1 Controlo com Realimentação. Introdução.

Geralmente, o controlador não afecta directamente a variável manipulada, masfá-lo através de um outro mecanismo (geralmente uma válvula de controlo)conhecida como elemento final de controlo.

4

3.2 Tipos de Controladores e a sua FT

CONTROLADOR PROPORCIONAL (P)

A sua saída actuante é proporcional ao erro

(1)Onde:

–Ganho Proporcional – sinal de actuação do controlador quando o erro é nulo (ε = 0)

Um controlador proporcional caracteriza-se pelo seu Ganho Proporcional ou, deforma equivalente, pela sua Banda Proporcional PB, onde:

(2)

Geralmente:

Quanto maior o ganho ou quanto menor a banda proporcional, tanto mais altaserá a sensibilidade do sinal actuante do controlador aos desvios ε.

sc ct k t c += )(.)( ε

ck PB

100=

5001 ≤≤ PB

ck sc

ck

ck



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3.2 Tipos de Controladores e a sua FT (cont)

Considerandoo desvio do sinal de actuação

(3)

Podemos obter a função de transferência para o Controlador Proporcional:

(4)

CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL (PI)

O sinal de actuação está relacionado com o erro pela equação:

(5)

Onde: - - Constante de tempo integral ou tempo de reajuste (min)Geralmente varia na gama

5

)('t c

( ) ( ) sct ct c −='

cc k sG =)(

s

t

I

cc

cdt t k

t k t c ++= ∫0

)()()( ε τ

ε

I τ

min501.0 ≤≤ I τ


Alguns fabricantes usam o reciproco de para calibrar os controladores,conhecido como velocidade de reajustamento (repeticoes por minuto):

O tempo de reajuste é o tempo que o controlador necessita para repetir avariação inicial da acção proporcional na saída

A acção integral faz comque a saída do controlador c(t)varie enquanto existir um erro nasaída do processo, permitindoeliminar até pequenos erros.

Função de transferência:

(6)

6

I τ

I τ

1

I τ

Resposta de um controlador PIA uma variação em degrau no erro

+=

sk sG

I

ccτ

11)(



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CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVADO (PID)

A saída deste controlador é dada por:

(7)

Onde:- É a constante de tempo derivativo (min)

Com a presenca do termo derivativo , o controlador PID antecipa qual seráo erro no futuro imediato e aplica uma acção de controlo que é proporcional à

taxa de variação actual do erro. Por isso se refere muitas vezes como controloantecipado.

7

s Dc

t

I

cc c

dt

d k dt t

k t k t c +++= ∫

ε τ ε

τ ε

0

)()()(

Dτ

dt d ε


Inconvenientes da acção de controlo derivativa:

1. Para uma resposta com erro constante diferente de zero, não dá acção decontrolo, dado que

2. Para uma resposta com muito “ruído” com erro quase zero pode calcularderivadas muito altas originando grandes acções de controlo, embora nãosejam necessárias.

Função de transferência de controlador PID:

(8)

8

++= s

sk sG D

I

cc τ τ

11)(

0=dt

d ε



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3.3 Comportamento Dinámico de Processos comControlo por realimentação

3.3.1 Diagrama de Blocos e Resposta em Circuito Fechado

Consideremos o sistemageneralisado em circuito fechado da figura:

9

3.3 Comportamento Dinámico de Processos comControlo por realimentação (cont)

Desprezando a dinamica das linhas de transmissao temos:

Processo: (9)

Instrumento de Medicao: (10)

Mecanismo de Controlo:

(comparador) (11)

(accao de controlo) (12)

Elemento Final de Controlo: (13)

10

( ) ( ) ( )s ys ys msp −=ε

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sd sGsmsGs y d p +=

( ) ( ) ( )s ysGs y mm =

( ) ( ) ( )ssGsc c ε =

( ) ( ) ( )scsGsm f =



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Manipulando algebricamente as equacoes obtem-se (combinando 13-10):

Substituindoa ultima expressao de m(s) na equacao 9, relativa ao processo,

obtem-se:

(14)

11

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]s ysGs ysGsG

s ys ysGsG

ssGsG

scsGsm

mspc f

mspc f

c f

f

−=

−=

=

=

ε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sd sGs ysGs ysGsGsGs y d mspc f p +−=


Rerranjando a equacao 14, obtem-se:

(15)

que representa a resposta em circuito fechado do processo. Esta é composta dedois termos:

o 1°termo mostra o efeito de uma variacao no ponto de aju stamento na saida. o 2°termo mostra o efeito de uma variacao na carga (pertur bacao) na saida.

As funcoes de transferencia correspondentes sao as funcoes de transferencia emcircuito fechado.

12

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )sd sGsGsGsG

sGs y

sGsGsGsG

sGsGsGs y

mc f p

d sp

mc f p

c f p

++

+=

11



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Designando a equacao 15 pode ser rescritacomo:

(16)

Simplificando ainda mais:

Pode-se, entao, rescrever a equacao 16 como:

(18)

13

( ) ( ) ( ) ( )sGsGsGsG c f p=

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )sd sGsG

sGs y

sGsG

sGs y

m

d sp

m ++

+=

11

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )sGsGsGsG

sGsG

sGsG

m

d

m

sp

+=

+=

1

e

1

carga

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sd sGs ysGs y spsp carga+=


O diagrama de blocos do sistema simplificado tem a seguinte forma:

As funcoesde transferencia global em circuitofechado e dependemnao so da dinamica do processo, mas tambem da dinamica do elemento de medida,do controlador e do elemento final de controlo

14

( )sGsp ( )sGcarga



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Na construcao da FT global em circuito fechado, para qualquer circuito decontrolo com realimentacao, podem usar-se as seguintes regras:

1. O denominador da FT global, tanto para variacoes nas perturbacoes ou noponto de ajustamento, é o mesmo e é dado por:

1 + produto das FT do circuito ou:

2. O numerador da FT global em circuito fechado, é o produto das FT no percursodirecto entre a entrada (ponto de ajustamento ou carga) e a saida controlada.

Assim, o numerador para a FT entre o ponto de ajustamento e a saida é, enquanto que o numerador para a FT entre a carga e a

saida é simplesmentes

15

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sGsGsGsGsG f cm p=

sp y y( ) ( ) ( )sGsGsG p f c

d

yd G


3.3.2 O Problema Servo e o Problema Regulador

Em qualquer sistema de controlo podemos distinguir dois tipos de problemas decontrolo: o problema servo e o problema regulador

Problema Servo- A perturbacao nao varia , enquanto que o ponto deajustamento sofre mudancas. O controlador actua por forma a manter perto de, em variacao.

(19)

Problema Regulador- O ponto de ajustamento permanece o mesmo ,enquanto que a carga varia. O controlador tenta eliminar o impacto das variacoes dacarga e manter perto do ponto de ajustamento que nao sofreu alteracao.

(20)

16

( )( )0=sd y

sp y

( ) ( ) ( )s ysGs y spsp=

( ) 0=s ysp

y

( ) ( ) ( )sd sGs y carga=



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3.3.3 Efeito do Controlo Proporcional na Resposta de um Processo Controlado

A resposta em circuito fechado de um processo (eq 15) é dada por:

Para simplificar a análise vamos admitir que: Gm(s) = 1 e Gf(s) = 1Para o Controlador Proporcional: Gc(s) = kc

de que resulta:

(21)

A questao que se segue é relativa a e

17

)()()()()(1

)()(

)()()()(1

)()()()( sd

sGsGsGsG

sGs y

sGsGsGsG

sGsGsGs y

mc f p

d sp

mc f p

c f p

++

+=

)()(1

)()(

)(1

)()( sd

k sG

sGs y

k sG

k sGs y

c p

d sp

c p

c p

++

+=

pG d G


3.3.3.1 Sistemas de 1ª Ordem

Para sistemas de 1ª ordem:

se: y(0) = m(0) = d(0) = 0 dá: (22)

Assim, para um sistema não controlado tem-se:Constante de tempo = τ pGanho = k p para a manipulação e

k d para a cargaSeja:

e (23)

18

d k mk ydt

dyd p p +=+τ

)(1

)(1

)( sd s

k sm

s

k s y

p

d

p

p

++

+=

τ τ

1)(

+=

s

k sG

p

p

pτ 1

)(+

=s

k sG

p

d d

τ



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combinandoas equacoes 21 e 23 obtem-se:

(24)

rerranjando:

(25)

onde:

; ;

- constante de tempo em circuito fechadoe - ganhos em circuito fechado

19

)(1

)(1

)( sd k k s

k s y

k k s

k k s y

c p p

d sp

c p p

c p

+++

++=

τ τ

)(1'

')(

1'

')( sd

s

k s y

s

k s y

p

d sp

p

p

++

+=

τ τ

c p

p

pk k +

=1

' τ τ c p

c p

pk k

k k k +

=1

'c p

d d

k k k k +

=1

'

' pτ

' pk 'd k


Verifica-se que:

A resposta em circuito fechado de um sistema de 1ª ordem continua a ser de 1ªordem com respeito a variações na carga ou no ponto de ajustamento;

A constante de tempo diminui (τp’ < τp), o que significa que a resposta em circuitofechado é mais rápida do que a resposta em circuito aberto

Os ganhos em E.E. diminuíram.

Consideremos, agora, as variações em degrau quer do ponto de ajustamento, quer dacarga e examinemos as respostas:

Para o Problema servo:

20

0)(e1

)( == sd s

s ysp



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Entao:

e depois da inversao:

Da figura vemos que a resposta final(com t → ∞)nunca atinge o novo valordesejado do ponto de ajustamento.Há sempre uma discrepância chamada“offset ” que é dado por:

Offset = (novo ponto de ajustamento) – (valor último da resposta)

(26)

O offset é um efeito característico do controlo proporcional. Diminui à medida que kc

Aumenta. Teoricamente: Offset → 0 quando kc → ∞ 21

ss

k s y

p

p 1

1'

')(

+=τ

−=

−'

1')( pt

t

p ek t y

c pc p

c p p

k k k k

k k k

+=

+−=−=

1

1

11'1


Para o Problema regulador:

de que resulta

cuja inversao

Verificamos de novo que o controloproporcional não consegue mantera resposta no valor desejado, masapresenta um “offset ”.

Offset = (novo ponto de ajustamento) – (valor final da resposta)(27)

22

ssd es ysp

1)(0)( ==

ss

k s y

p

d 1

1'

')(

+=τ

−=

−'

1')(

pt

t

d ek t y

c p

d d

k k

k k

+−=−=1

0'0



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Embora o controlo proporcional não consiga manter o valor desejado, a respostatorna-se muito mais próxima desse valor do que quando não há controlo.

De novo, teoricamente: Offset → 0 quando kc → ∞

Se Gm = km e Gf = kf teríamos:

1) Para variações em degrau unitário no ponto de ajustamento

(28)

2) Para variações em degrau unitário na carga

(29)

23

m f c p

f c p

k k k k

k k k offset

+−=

1

1

m f c p

d

k k k k

k offset

+−=1


3.3.3.2 Sistemas de 2ª Ordem

A função de transferência é: (30)

Para um problema servo:

Dai: (31)

Sendo: ; ;

Verificamos que: Permanece de 2ª ordem O ganho diminui. Quer o período natural, quer o amortecimento também diminuem.

Isto significa que um processo sobreamortecido, com controlo proporcional evalores adequados de kc pode tornar-se subamortecido (oscilatório).

24

12)(

)()(

22++

==

ss

k

sm

s ysG

p

pξτ τ

0)( =sd

)(1''2)'(

')(

22 s yss

k s y sp

p

++

=

τ ξ τ

c pk k +

=

1'

τ τ

c pk k +

=

1'

ξ ξ

c p

c p

pk k

k k k

+=1

'



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O valor último da resposta para uma variação em degrau unitário no ponto deajustamento será:

E de novo:

(33)

25

[ ]c p

c p

ps k k

k k k s yst y

+===∞→

→ 1')(lim)(

0

c pc p

c p

p

k k k k

k k k offset

+

=

+

−=−=

1

1

1

1'1

26



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3.3.4 Efeito da Accao Integral na Resposta de um Processo Controlado

Considerando de novo o problema servo ( )

Considerando que G m (s) = 1 e G f (s) = 1

Para um processos de 1ª ordem:

Para uma accao intregal simples:

de que resulta: (34)

28

0)( =sd

( )s yGGGG

GGGs y sp

mc f p

c f p

+=1

)(

1)(

+=

s

k sG

p

p

pτ

sk sG

I

ccτ

1)( =

( )s y

sk

s

k

sk

s

k

s y sp

I

c

p

p

I

c

p

p

++

+

=

τ τ

τ τ

1

11

1

1)(



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Rerranjando a equacao 34 resulta em:

(35)

onde: ;

A equacao 35 mostra que a accao integral de controlo aumenta a ordem da dinamicada resposta em circuito fechado. Consequentemente aumenta tambem o atraso naresposta do sistema.

29

( ) ( )s yss

s y sp12

122

++=

ζτ τ

c p

p I

k k

τ τ τ =

c p p

I

k k τ

τ ζ

2

1=


Examinemos a resposta a uma perturbacao em degrau unitario no ponto deajustamento (problema servo):

A forma da resposta depende do valor de , mas o valor final é:

donde: offset = 1 – 1 = 0

Isto significa que a accao integral de controlo elimina o offset.Por outro lado, aumentar a accao integral (i.e aumentar e diminuir torna aresposta do sistema em circuito fechado mais sensivel.

30

( )sss

s y1

12

122

++

=ζτ τ

ζ

( ) ( )[ ] 112

1lim0lim

2200=

++

==∞→→→ ss

yst yss ζτ τ

ck I τ



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3.3.5 Efeito da Accao Derivada na Resposta de um Processo Controlado

Considerando de novo o problema servo:

Considerando , ainda que G m (s) = 1 e G f (s) = 1

Para um processos de 1ª ordem:

Para uma accao derivada:

Pode-se entao escrever: (36)

32

( )s yGGGG

GGGs y sp

mc f p

c f p

+=1

)(

sk sG Dcc τ =)(

1)(

+=

sk sG

p

p

pτ

( )s y

sk s

k

sk s

k

s y sp

Dc

p

p

Dc

p

p

τ τ

τ τ

++

+

=

11

1)(



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3.4 Efeito de Accoes Compostas de Controlo

Os controladores mais usados sao os que combinam a accao proporcional-integral(PI) e proporcional-integral-derivativa (PID)

Efeito da accao PI

A accao combinada dos modos proporcional e integral origina os seguintes efeitos: A ordem da resposta aumenta (efeito da accao Integral)

O offset é eliminado (efeito da accao Integral)

A medida que o aumenta, a resposta torna-se mais rapida (efeito das accoes

proporcional e integral) e mais oscilatoria como resultado da variacao no pontode ajustamento, isto é, aumenta o overshoot e a razao de decaimento (efeito daaccao integral). Valores elevados de criam uma resposta muito sensivel epodem conduzir a instabilidade.

Para valores constantes , a medida que diminue, a resposta torna-se maisrapida e mais oscilatoria com OS e RD mais altos (efeito da accao integral)

33

ck

ck

ck

I τ

34



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3.4 Efeito de Accoes Compostas de Controlo (cont)

Efeito da accao PID

É qualitativamente semelhante a anterior, mas é possivel obter respostas maisrapidas sem necessidade de aumentar excessivamente e portanto mantendoum comportamento mais estavel.

36

ck



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3.5 Seleccao do Tipo de Controlador

Controlador Proporcional

Acelera a resposta do processo controlado. Produz um “offset” (excepto nos processos que contem o termo na sua

funcao de transferencia, tais como o nivel de liquido num tanque ou a pressao deum gas num recipiente.

Controlador Integral

Elimina o “offset”. Desvios maximos maiores. Produz respostas oscilatorias longas. Com o aumento de a resposta mais rapida, mais oscilatoria e pode levar a

instabilidade

Controlo Derivativo

Antecipa futuros erros. Introduz um efeito de estabilidade na resposta do processo em circuito fechado.

38

ck

s1



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3.5 Seleccao do Tipo de Controlador (cont)

1. Sempre que possivel use o controlador proporcional:- Quando se obtem um “offset” aceitavel com valores moderados de .- Quando o processo contem uma accao integral (termo na funcao detransferencia)- controlo de pressoes e niveis de liquidos.

1. Se o controlador proporcional nao é aceitavel use o controlador proporcional-integral (PI). Recomenda-se este tipo de controlador para o controlo de

caudais.

1. Use o controlador proporcional-integral-derivativo (PID) para aumentar avelocidade de resposta em circuito fechado:- Aumenta a velocidade da resposta- Diminui a oscilacao.É normalmente usado para o controlo de temperaturas e composicoes

40

ck

s1

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