capacitores e dielétricos

PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson [email protected] Última atualização: 30/08/2005 13:19 H

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 3

Capítulo 31 - Capacitores e Dielétricos

Problemas

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

Problemas Resolvidos 26. Um capacitor de armaduras planas, mas não paralelas, é constituído por duas placas quadradas

que formam entre si um ângulo θ, conforme na Fig. 32. O lado do quadrado é igual a a. Mostre que a capacitância deste capacitor, para valores de θ muito pequenos, é

2

0 12

a aCd d

ε θ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(Sugestão: O capacitor pode ser dividido em faixas infinitesimais que estejam efetivamente em paralelo.)

(Pág. 94)

Solução. Considere o esquema abaixo:

θ

dx

a

d

y

x Tomando-se dois elementos de placas de comprimento dx e largura a, o conjunto representa um capacitor de placas paralelas de capacitância dC que possui área dA e distância de separação entre as placas l. Capacitância dC:

0 0 0

tandA adx adxdCl d y d x

ε ε εθ

= = =+ +

O capacitor da figura pode ser considerado como sendo uma associação em paralelo de capacitores dC e, neste caso, somam-se (integram-se) as capacitâncias:

00 tana adxC dCd xε

θ= =

+∫ ∫

0 tanln 1tan

a aCd

ε θθ

⎛= +⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (1)

No Apêndice H deste livro vê-se que a função ln (1+x) pode ser expandida em série de Taylor, sendo o resultado:

( ) ( )2 31 1ln 1 12 3

x x x x x+ = − + − <

Considerando-se

________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 - Capacitores e Dielétricos

2


tanaxdθ

=

e tomando-se apenas os dois primeiros termos da série:

2 2

2

tan tan tan tan tanln 1 12 2

a a a a ad d d d dθ θ θ θ⎛ ⎞ ⎛+ ≈ − = −⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝θ ⎞⎟⎠

Considerando-se θ ≈ 0, isto implica em tan θ ≈ θ. Logo:

tanln 1 1

2a a

d dad

θ θ θ⎛ ⎞ ⎛+ ≈ −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

(2)

Substituindo-se (2) em (1):

0 12

a a aCd d

ε θ θθ

⎛ ⎞≈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

2

0 12

a aCd d

ε θ⎛ ⎞≈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

[Início]

27. A diferença de potencial fornecida pela bateria B da Fig. 33 é igual a 12 V. (a) Calcule a carga

em cada capacitor após ter sido fechada a chave S1. (b) Idem, quando também estiver fechada a chave S2. Suponha que C1 = 1 μF, C2 = 2 μF, C3 = 3 μF e C4 = 4 μF.

(Pág. 94)

Solução. (a) Considere o esquema a seguir:

C1 C3

C2 C4

V

C13

C24

V

=

Os capacitores C1 e C3 estão associados em série. Isto significa que:

1 313

1 3

C CCC C

=+

1 3q q=


3


O mesmo é verdadeiro para os capacitores C2 e C4:

2 424

2 4

C CCC C

=+

2 4q q=

Como a ddp entre as placas de C13 e C24 é igual a V, temos: 1 3 2V V V V V= + = + 4

Tomando-se:

31 11 3

1 3 1

qq qV V VC C C C

= + = + = + 1

3

q

11 3

1 1V qC C⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

1 31

1 3

C Cq VC C

=+

1 3 9 μCq q= =

De forma semelhante:

2 42

2 4

C Cq VC C

=+

2 4 16 μCq q= =

(b) Considere o esquema a seguir:

C1 C3

C2 C4

V

C1 C3

C2 C4

V V

C12 C34

= =

341212 34

12 34

qqV V VC C

= + = +

Onde, por se tratar de uma associação de capacitores em série: 12 34q q=

Logo:

1212 34

1 1V qC C

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

12 3412 34

12 34

C Cq q VC C

= =+

Como C12 e C34 são associações de capacitores em paralelo, temos:

( )( )( ) ( )

1 2 3 412 34

1 2 3 4

C C C Cq q V

C C C C+ +

= =+ + +

12 34 25,2 μCq q= =


4


Mas:

1212

12

8,4 μCqVC

= =

Logo: 1 12q V C= 1

1 8,4 μCq =

2 12q V C= 2

1 16,8 μCq =

De forma semelhante: 3 10,8 μCq =

1 14,4 μCq =

[Início]

38. Seja um capacitor cilíndrico de raios iguais a a e b, respectivamente como ilustra a Fig. 4.

Mostre que a metade da sua energia potencial elétrica está acumulada no interior de um cilindro de raio igual a r a= b .

(Pág. 95)

Solução. Considere o esquema a seguir:


5


a b

r+

−

++

+

+

++

+

−

−−

−

−

−

−

−

−

−−

−

−

−

−

Capacitância de um capacitor cilíndrico:

( )02

lnLCb a

πε=

Energia potencial elétrica acumulada num capacitor cilíndrico:

( )22

0

ln2 4

q b aqUC Lπε

= = (1)

Densidade de energia (u) entre as placas de um capacitor cilíndrico:

dUudV

=

(20

1 . .2 .2

dU udV E L r drε π⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

) (2)

Campo elétrico entre as placas de um capacitor cilíndrico:

02

qELrπε

= (3)

Substituindo-se (3) em (2):

2

0 2 2 2 204qdU Lrdr

L rε π

π ε⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2

04q drdU

Lrπε= (4)

Condição que resolve o presente problema:

2

r

a

UdU =∫ (5)

Substituindo-se (1) e (4) em (5):

( )22

0 0

ln14 2 4

r

a

q b aq dr drLr r Lπε πε

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

1ln ln2

r ba a=

2

ln lnr ba a

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2r b

a a⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠


6


r ba a=

r a= b

[Início]


7

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