Inferência – Parte 4Inferência – Parte 4Análise de Análise de

Regressão LinearRegressão Linear

Correlação Linear.Correlação Linear.

Coeficiente de Correlação

• É a forma matemática criada pelo qual possibilita descrever de forma compacta através de um número se existe alguma relação entre uma e a outra variável em análise.

Coeficiente de Correlação de Pearson.

• É o Modelo pelo qual avalia os dados para comprovar se uma das variáveis é explicada pela outra através de uma Reta.

• Notação

.amostraumadeforemser

;populaçãoumadeforemdadososseρ

Coeficiente de Correlação de Pearson.

• Definição.

Se os dados se referirem a:

Uma População Uma Amostra

YX σ.σ

)Y,X(covρ =

Yx s.s

)Y,X(covr =

Co-Variância* Conceito *

• Na definição do Coeficiente de Correlação de Pearson apareceu o número cov( X , Y ), e este número é conhecido por Co-Variância entre X e Y, cuja definição é:

Co-Variância* Definição *

Uma População N

)μy(.)μx()Y,Xcov( YiXi∑ −−

=

Uma Amostra 1−

−−= ∑

n

)yy(.)xx()Y,Xcov( ii

Coeficiente de Correlação de Pearson.* 1a Propriedade *

• O valor de r é um número compreendido entre −1 e +1 (inclusive), sendo que:

c. quanto mais próximo de +1 ou de −1 for o seu valor, indica que existe um grau maior de relação entre as variáveis em estudo,

e. Próximo de zero não existe relação;

Coeficiente de Correlação de Pearson.* 2a Propriedade *

• Desenvolvendo a definição, tanto para População, como para Amostra, chega a:

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

−×−

−=

])y(y.n[])x(x.n[

)y(.)x(y.x.nr

iiii

iiii

2222

Coeficiente de Correlação de Pearson.* Exemplo *

• Encontre o coeficiente de correlação de Pearson aos dados sobre capacidade de inspiração máxima relacionando o pré-operatório e o pós-operatório.

Coeficiente de Correlação de Pearson.* Exemplo *

• Dados (Já citados)

Pré-operatório 150 150 120 150 80 200 120 120 120

Pós-operatório 56 88 50 150 28 128 100 120 75

Pré-operatório 140 140 120 92 120 40 120 120 180

Pós-operatório 130 40 116 68 100 52 80 80 120

Coeficiente de Correlação de Pearson.* Solução do Exemplo *

• Sejam as variáveis:

x a variável Capacidade de inspiração no pré-operatório;

y no pós-operatório,

• De posse dos dados e da equação vem:

Coeficiente de Correlação de Pearson.* Solução do Exemplo *

• Efetuando os cálculos, vem:

Dados

Pré-operatório 150 150 120 150 80 200 120 120 120 Pós-operatório 56 88 50 150 28 128 100 120 75

Pré-operatório 140 140 120 92 120 40 120 120 180 Pós-operatório 130 40 116 68 100 52 80 80 120

Equação

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

−×−

−=

])y(y.n[])x(x.n[

)y(.)x(y.x.nr

iiii

iiii

2222

* Solução do Exemplo *Cálculos Intermediários

• n = 18;

∑ =++++= 196212120180501208815056150 .......y.x ii

∑ =+++++= 2822180150120150150 ...x i

Dados

Pré-operatório 150 150 120 150 80 200 120 120 120 Pós-operatório 56 88 50 150 28 128 100 120 75

Pré-operatório 140 140 120 92 120 40 120 120 180 Pós-operatório 130 40 116 68 100 52 80 80 120

Equação

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

−×−

−=

])y(y.n[])x(x.n[

)y(.)x(y.x.nr

iiii

iiii

2222

* Solução do Exemplo *Cálculos Intermediários

∑ =+++++= 764310180150120150150 222222 ...x i

∑ =+++++= 557159120150508856 222222 ...y i

∑ =+++++= 1581120150508856 ...y i

Equação

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

−×−

−=

])y(y.n[])x(x.n[

)y(.)x(y.x.nr

iiii

iiii

2222

Dados

Pré-operatório 150 150 120 150 80 200 120 120 120 Pós-operatório 56 88 50 150 28 128 100 120 75

Pré-operatório 140 140 120 92 120 40 120 120 180 Pós-operatório 130 40 116 68 100 52 80 80 120

* Solução do Exemplo *Na fórmula

• De posse dos valores dos cálculos intermediários:

• Vem:

n = 18; ∑ = 2822ix ∑ = 7643102ix

∑ = 196212ii y.x ∑ = 5811iy ∑ = 5571592iy

)()(r

22 581155715918282276431018

5811282219621218

−××−×

×−×=

* Solução do Exemplo *Na fórmula

• Chega a:

• Como r não está nem próximo de Zero e nem de +1 ou de -1 indica que existe uma relação entre o pré-operatório e o pós-operatório, porem o grau de relação entre elas não é muito explicativo.

58810,r =

Coeficiente de Determinação

• É elevar o coeficiente de correlação ao quadrado.

• Notação: r2;

• Exemplo: Do exemplo anterior tem-se: r2 = 0,5882 = 0,3459 ou 34,59%

Coeficiente de Determinação* Interpretação *

• O valor acima indica que a capacidade de inspiração no pós-operatório é explicada pela pré-operatória em 34,59%.

Correlação Linear.Coeficiente de Pearson

FIM. Prof Gercino Monteiro Filho