cap 8
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EMA 091 D - MECNICA DOS FLUIDOS - Profa. Adriana Silva Frana
Eescoamento Interno Viscoso, Incompressvel Escoamentos internos: escoamentos completamente limitados por superfcies slidas ex: tubos, dutos, bocais, etc
Laminares Turbulentos soluo analtica numrica/experimental Regime de escoamento = f(Re) Experimento de Reynolds
Laminar: filamento nico, sem disperso, sem mistura de camadas adjacentes Turbulento: movimento aleatrio, mistura de camadas e disperso do corante decorrente de pequenas flutuaes de velocidade de alta frequncia superpostas ao movimento mdio do fluido A turbulncia ocorre quando as foras viscosas no so capazes de conter flutuaes aleatrias geradas no movimento do fluido (ex. rugosidade do slido) Aumenta a viscosidade: efeito de amortecimento do movimento aleatrio Aumenta a densidade: aumentam a fora de inrcia Escoamentos em tubos (seo circular): transio ocorre para Re 2300
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Escoamento laminar na regio de entrada de um tubo
y Uo x D
regio de entrada
perfil de velocidades completamente desenvolvido
Escoamento completamente desenvolvido: forma do perfil de velocidades no varia com a distncia x (a camada limite atingiu a linha de centro do tubo e o escoamento completamente viscoso) Comprimento de entrada, L: distncia jusante, com relao entrada, em que se inicia o escoamento completamente desenvolvido
Escoamento laminar:
L VD 0,06 D
para Re = 2300 L 140D
Escoamento turbulento: L 25D a 40D (o crescimento da camada limite mais rpido) Escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas a) Ambas as placas estacionrias b) Placa superior se movimentando com velocidade U (quadro)
Estudar exemplos 8.1 a 8.3
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Escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubovolume de controle anelar
dr r y x R
dr dx
(a)
(b)
rx 2rdxdp p + dx dx 2rdr
p 2rdr
drx rx + dr dr 2(r + dr )dx (c)
Escoamento axisimtrico coordenadas cilndricas vc anelar Para regime permanente completamente desenvolvido: Fs x = 0
Somando-se as foras de superfcie, na direo x, explicitadas na figura (c): p 2rdrdx + rx 2drdx + rx 2rdrdx = 0 x r (1)
Dividindo a equao (1) por 2rdrdx :
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p rx rx 1 d(r rx ) = + = x r r r dr rx funo apenas de r, portanto: 1 d(r rx ) p = = cons tan te x r dr Integrando a equao (3): r p c rx = + 1 2 x r Como rx = du : dr du r p c1 = + dr 2 x r ou d(r rx ) p =r dr x
(2)
(3)
(4)
(5)
Integrando a equao (5):u= r 2 p c1 + ln r + c 2 4 x u = 0 em r = R (6)
Condio de contorno:
A velocidade deve ser finita em r = 0, portanto, c1 = 0 :
R 2 p c2 = 4 x r 2 p R 2 p u= 4 x 4 x 2 R 2 p r u= 1 4 x R
(7)
(8)
(9)
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Distribuio de tenso de cisalhamento: rx = Vazo em volume:r r R R 1 p 2 2 Q = A V dA = 0 u 2rdr = 0 r R 2rdr 4 x
du r p = dr 2 x
(10)
(
)
(11)
R 4 p Q= 8 x Vazo em volume em funo da queda de presso: O gradiente de presso constante, portanto, equao (12) fica: R 4 p pR 4 pD 4 Q= = = 8 L 8L 128L Velocidade mdia:V= Q Q R 2 p = = A R 2 8 x
(12)
p p 2 p1 p = = e a L L x
(13)
(14)
Ponto de Velocidade Mxima: Umax du =0 dr du 1 p = r = 0 em r = 0 dr 2 x R 2 p u = u max = U = = 2V 4 x (15)5
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Exerccios em sala:
1. (8.6) O perfil de velocidade para escoamento completamente desenvolvido entre placas paralelas estacionadas dado por u=a(h2/4-y2), onde a uma constante, h o espaamento entre as placas e y a distncia medida a partir da linha de centro de folga. Desenvolva a razo entre as velocidades mdia e mxima 2. (8.13) Uma alta presso em um sistema criada por um pequeno conjunto pisto-cilindro. O dimetro do pisto 6 mm e ele penetra 50 mm no cilindro. A folga radial entre o pisto e o cilindro de 0,002mm. Despreze deformaes elsticas do pisto e do cilindro causadas pela presso. Considere que as propriedades do fluido so aquelas do leo SAE 10W a 35oC. Estime a taxa de vazamento para uma presso no cilindro de 600MPa.
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ESCOAMENTO EM TUBOS E DUTOS Objetivo: avaliar as variaes de presso que resultam do escoamento em dutos Escoamento sem atrito: Bernoulli2 2 p 2 V2 p1 V1 + + gz1 = + + gz 2 2 2
A presso varia se houver variao de velocidade ou do potencial
Exemplo: escoamento no-viscoso em um duto horizontal de seo reta constante - se a vazo do fluido constante: A PRESSO NO VARIA!!!! EFEITO DO ATRITO: causa uma queda ou perda de presso
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Consideraes de energia no escoamento em tubos
2 g z
y 1 x
Princpio de conservao de energia
r r & & & & Q Ws Wcisalhamento Woutros = VC ed + SC (e + p)V dA (16) tem que
V2 e=u+ + gz 2& & & (1) Ws = Woutros = Wcisalhamento = 0 (2) escoamento permanente (3) escoamento incompressvel (4) energia interna e presso uniformes atravs das sees 1 e 2
(17)
Consideraes:
Sob estas condies, a equao da energia reduz-se ap p & & & & Q = m(u 2 u1 ) + m 2 1 + mg (z 2 z1 ) 2 2 V2 V1 + A V2 dA 2 A V1dA1 2 2 1 2
(18)
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Coeficiente de energia cintica V2 V2 V2 & A 2 VdA = A 2 VdA = m 2 ou (19)
=
3 A V dA
& mV 2
(20) = 2,0 = 1,0
Escoamentos laminares: Escoamentos turbulentos: Perda de carga:
2 2 & = m(u u ) + m p 2 p1 + mg (z z ) + m 2 V2 1V1 (21) & & Q & 2 & 1 2 1 2 2
Dividindo a equao (21) pela vazo em massa:2 2 2 V2 1V1 p 2 p1 Q = u 2 u1 + + gz 2 gz1 + dm 2 2
(22)
Rearranjando a equao (22):2 2 p 1 + 1V1 + gz1 p 2 + 2 V2 + gz 2 = (u 2 u1 ) Q (23) 2 2 dm
p V 2 + gz representa a energia mecnica Na equao (23), o termo + 2 Q por unidade de massa em uma seo transversal. O termo (u 2 u1 ) dm igual diferena em energia mecnica por unidade de massa entre as sees 1 e 2. Ele representa a converso (irreversvel) de energia mecnica na seo 1 em energia trmica no desejada (u2 u1), e a perda de energia9
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Q por transferncia de calor . Identifica-se este grupo de termos como dm a perda de carga total por unidade de massa e identificamos o mesmo pelo smbolo, h l T . Portanto,2 2 p 1 + 1V1 + gz1 p 2 + 2 V2 + gz 2 = h l T 2 2
(24)
A energia por unidade de peso do lquido escoando no lugar de energia por unidade de massa d:2 2 p h 1 + 1V1 + z1 p 2 + 2 V2 + z 2 = l T = H l T g g 2g 2g g
(25)
Nesta forma, a dimenso de H l T de unidade de comprimento. Clculo de perda de carga A perda de carga total a soma das perdas distribudas, hl, devido aos efeitos de atrito no escoamento completamente desenvolvido em tubos de seo constante, com as perdas localizadas, h l m , devido a entradas, acessrios, mudanas de rea e outras. Perdas distribudas: fator de atrito Para escoamento completamente desenvolvido: h l mp1 p 2 = g (z 2 z1 ) + h l Se o tubo for horizontal, z2 = z1: p1 p 2 p = hl = (27)2 V12 V2 = 0 e 1 = 2 2 2
(26)
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Desta forma, a perda de carga distribuda pode ser expressa como a perda de presso para escoamento completamente desenvolvido atravs de um tubo horizontal de rea constante. A perda de carga representa a energia mecnica convertida em energia trmica por efeitos de atrito. Logo, a perda de carga para escoamento completamente desenvolvido em tubos de rea constante depende to somente dos detalhes do escoamento atravs do conduto. A perda de carga independente da orientao do tubo. Escoamento laminar: p = 128LQ D4
=
128LV (D 2 / 4) D4
= 32
L V D D
(28)
Substituindo a equao (28) na equao (27): h l = 32 L V L V 2 64 L V 2 = = 64 D D D 2 VD Re D 2 (29)
Escoamento turbulento: Perda de carga avaliada por dados experimentais correlacionados por meio de anlise dimensional. Para tubo de rea constante: VD : L e = f , , VD D D V 2 p L e = Re, , D D V 2 L e = Re, , D D V2 hl p
Reconhecendo que Re =
Considerando as perdas distribudas:
Experimentos mostram que a perda de carga adimensional diretamente proporcional a L/D. Portanto, hl = L e 1 Re, D D
V2
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A razo entre a perda de carga e a energia cintica por unidade de massa : hl = L e 2 Re, D D
1 2 V 2
A funo desconhecida 2 (Re, e / D) definida como fator de atrito: e f 2 Re, D Portanto, hl = f L V2 D 2 (30)
f determinado experimentalmente. Para escoamento laminar: Clculo do fator de atrito: f la min ar = 64 Re
e/D 2,51 = 2 log + 0,5 3,7 Re f 0,5 f 1 A equao (31) requer uma soluo iterativa. Um bom saque inicial : e / D 5,74 f o = 0,25log + 0,9 3,7 Re Opo: encontrar f pelo diagrama de Moody !2
(31)
(32)
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Tabela 8.1 valores de rugosidade tabelados para diversos materiais comuns Escoamento turbulento em tubos lisos: f = 0,316 Re 0,25 Re 105
(ateno para o intervalo de aplicabilidade de correlaes empricas!!!) Perdas Localizadas Separao do escoamento perdas de carga adicionais As perdas localizadas podem ser expressas como h lm = K V2 2 (33)
em que K o coeficiente de perda e deve ser determinado experimentalmente. A perda de carga tambm pode ser expressa como L V2 h lm = f e D 2 em que Le o comprimento equivalente de tubo reto. Entradas Tabela 8.2 (34)
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Mudana sbita de rea contraes e expanses
Contraes e expanses graduais
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Vlvulas e conexes comprimentos equivalentes
ESTUDAR EXEMPLOS 8.5 A 8.10
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