cap. 4 – aula #6im250/site im250/sites...produto vetorial e a regra da mão direita • o produto...

EM 461 – Prof. Eugênio Rosa

Cap. 4 – aula #12

Momento da Quantidade de Movimento

& Exercícios

Aplicação: máquinas de fluxo, bombas

e turbinas


Plano da aula

Será apresentado uma equação do momento da quantidade de

movimento para calcular o torque e a potência em máquinas de

fluxo rotativas.

AeolipileHeros

10 AD-70 AD

Alexandria, Egito Romano

Eolípila, do grego Æolipile, também denominada

de Máquina de Heron ou Máquina Térmica de

Heron, é uma esfera oca, abastecida por uma bacia

com água, que é aquecida para produzir vapor,

fazendo com que este produza movimento. O

aparelho consiste de uma câmara com tubos

curvados, por onde o vapor é expelido. Wikipédia

https://www.youtube.com/watch?v=Y8eb3ak1f9g


Recapitulação Produto Vetorial


Produto vetorial e a regra da mão direita• O produto r x V tem como direção um plano normal ao plano

definido por r e V.

• O sentido de r x V é determinado a ‘regra da mão direita’.

r

VV r. .

r V

. .

rV

O sentido do produto r x V é determinado girando os dedos da mão direita de r para V.

O sentido de r x V é indicado pelo sentido do polegar.

O sentido do produto V x r é determinado girando os dedos da mão direita de V para r.

O sentido de V x r é indicado pelo sentido do polegar


Produto Vetorial e o Sistema de Coordenadas

Sistema cilíndrico-polar com vetores unitários r,,z

O sentido dos eixos no sistema de coordenadas segue a ‘regra da mão

direita’

Verifique no quadro abaixo o sentido (+ ou -) dos vetores unitários

resultantes do produto vetorial.

k

. .

r

r k

k r

k r

r k

k r

r k

Importante: os produtos k x r e r x k definem que o sentido de giro de

positivo é anti-horário e horário é negativo. Verifique!


H: vetor momento da

quantidade de movimento

sistema

dMV dH r r V d

dt dt

r d MV

dt

H

. .

• r e V são os vetores posição e

velocidade medidos a partir do

referencial (Inercial ou NI).

• H é normal ao plano definido pelos

vetores r e d(MV)/dt.


O Momento da Quantidade de Movimento

xyz ext relsistema

dV d F ar d

dr r

t

A taxa de variação do momento da quantidade de movimento é

obtida tomando o produto vetorial entre o vetor posição r e a 2ª lei

de Newton :

O lado esquerdo representa a taxa de variação do torque do sistema; o

1º termo do lado direito representa os torques externos (forças de

superfície, gravidade e mecânica) e o 2º termo o torque devido a

aceleração relativa.


Equação do Momento da Q.

Movimento

A eq. transporte momento Q.M é obtida fazendo o torque da Q.M.:

xyz xyz r EXT rel

V.C. S.C. V.C.

dV d V n V r r dA F ar

dr d

t

onde (r x Fext) representam os momentos externos, ou torques causados, pelas forças de campo, superfície e mecânicas.

SE o referencial for não-inercial, porém sem translação, o torque devido a aceleração relativa, está associado aos termos de rotação:

rel rel xyz

dT r a r r r 2 V r r

dt

Coriolis CentrifugaAcel. rotação

Veja os termos de aceleração no apêndice I na aula#12


Simplificações Eq. Momento da Q. Mov.

A maioria das aplicações em máquinas de fluxo ocorrem em:

1. Regime permanente, d/dt = 0

2. Sem torque exercido pelas forças de campo e de superfície,

3. Neste caso a equação momento da Q. M. se reduz para:

xyz r eixo rel

S.C. V.C.

V n V dAr T ar d

rel xyzr a = r 2 V r r


i) Use um referencial Inercial.

Exemplo 1 – Um tubo único com saída radial (máquina de Deamur) gira com frequência constante f = 33-1/3 rpm. A vazão de água Q é 13,8 l/min. Considere que o tubo tem área A, tal que V0 = Q/A.Determine o torque que deve ser aplicado para manter a rotação constante.

r eixo

S.C.

V n V dA Tr

, Vk,1 = -V0=Q/A

Vr,2=V0

V,2=2R

Escreva as velocidades relativas ref. Inercial

1 0 2 0ˆ ˆˆ ˆˆ ˆV 0r;0 ; V k e V V r; R ;0k

0

2 2Q r V eixo 2 2 1 1

T Q r V r V

Resolva a integral que define o torque:

eixo 2 2

0

2

T Q r V

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆQ Rr;0 ;0k V r; R ;0k

ˆQ R k

Resposta: T0 = -R2Q

O torque aponta o sentido da rotação como era esperado! Para

bombear requer trabalho: T.


Exemplo 2 – Um tubo único com saída radial

(maquina de Deamur) gira com frequência

constante f = 33-1/3 rpm. A vazão de água Q é

13,8 l/min.

Determine o torque que deve ser aplicado para

manter a rotação constante.

i) Use um referencial N.I. girando com o tubo; , V1

, V2

Velocidades relativas ref. N.I.

1 0 2 0ˆ ˆˆ ˆˆ ˆV 0r;0 ; V k e V V r;0 ;0k

Fluxo torque Q.M. ref. N.I.

r z r 2 2 1 1

S.C.

V n V dA Q r V r Vr 0

Aceleração relativa

rel xyza 2 V r

Vetor rotação, em rad/s ˆˆˆ0r;0 ; k

xyz 0 0

2 2

ˆ ˆˆ2 V 2 V k r 2 V

ˆ ˆ ˆ ˆr r k k r r r

Componentes arel

0 rel

V.C.

R

2

0

0

R

2

0 0

0

T a d

ˆˆˆ ˆrr r r; 2 V ;0k Adr

ˆˆˆ2 rV r Adr - R V Ak

r

Integral de arel

Substituindo os termos na eq. torque e reconhecendo Q = V0A, então: 2

0ˆT R Q k

Os dois métodos dão as mesmas respostas.

r z r eixo rel

S.C. V.C.

rV n V dA T a dr


Comentário

Os exemplos (1) e (2) trata-se da bomba de Deamur.

O ex. (1) foi resolvido usando um referencial inercial e o ex. (2) foi

resolvido um referencial NI.

Conclusões:

• Os dois casos dão o mesmo resultado: T0 = -R2Q.

• É mais fácil de chegar a resposta utilizando o referencial

Inercial.

Sugestão aos alunos: usem o referencial Inercial para problemas

para determinação de torques!


Habilidades desejadas p/ 2022 e EM461

Item 10 (Declining) - Como inovar se você usa a tecnologia disponívelInovação tecnológica requer conhecimento fundamental!


Exemplo transiente 3 – Um aspersor de água para gramados tem um braço que roda com velocidade angular constante em ‘O’. O fluxo de massa que entra em ‘O’ é Q e o fluido é incompressível. Considere que o aspersor parta do repouso, (0)=0 e o mancal possui um torque resistivo T0.

i) Encontre a Eq. Momento da Q.Mov. p/ um ref. Inercial ;ii) Determine expressão p/ rotação em regime permanente incluindo o torque resistivo, –Tok, .iii) Considere o item (ii) mas sem torque resistivo. Determine a máxima rotação .

Velocidade

entrada0

QV

A

L

T0

r

V

Torque

resistivo

Problemas similares no livro texto: 4.169, 170, 171, 174 e 175

32

0

t

0

L di : A L LV AV T

3 dt

se T 0; t Q A L 1 e onde L 3 Q A

i) (t) em um referencial

Inercial e estacionário;

2 0

0 2

Q A T(ii) : T k Q L LV k 0

L QL

ii) torque –Tok, determine em

regime permanente.

2Q A

(iii) : Q L LV 0L

iii) sem torque, determine a

máx. rotação

https://www.youtube.com/watch?v=cPakkXpSs0c


2

SVdP

dn Rc

Sucção: linhas de corrente curvas em sentido ao centro, sucção é uma área de baixa pressão e não uniforme devido a curvatura das linhas de corrente.

Injeção: linhas de corrente paralelas, descarga a pressão ambiente (atm.) e pressão uniforme porque as linhas de corrente não possuem curvatura

Responda rápido: para apagar uma vela você ‘assopra’ ou ‘succiona o ar’?

Bernoulli normal as

linhas de corrente

Qual é a diferença entre Sucção e Injeção do ponto

de vista das linhas de corrente e da pressão?

Área

baixa

pressão Área

pressão

atm

filmeVamos representar um dispositivo que faz sucção e descarga

onde há curvatura nas linhas de corrente então

há grad P!

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-3 & 4-VOLUME_CONTROLE/InjecaoxSuccao.mov


Escolha da S.C. quando há sucção ou injeção

• A injeção de massa é típica de jato, as linhas de corrente são paralelas, a pressão é uniforme e a S.C. pode ficar próxima da descarga do jato.

• A sucção possui pressão baixa e não uniforme, como não conhecemos P então o melhor a fazer é colocar longe da sucção que a pressão tende a ser uniforme como sugerido na figura.

R REGRA:

Não se coloca uma

fronteira onde há variação

de pressão, porque não se

conhece como P ela está

variando!

S.C. sucçãoP ~ Patm

V ~ 0


Escolha da S.C. quando há jato

• Na descarga de um bocal forma um jato.

• A pressão do jato é definida pela pressão ambiente (constante).

• As linhas de corrente são quase paralelas, há uma abertura devido a difusão turbulenta.

• A S.C. pode interceptar o jato na descarga ou próximo. Não haverá força de pressão porque é P ambiente!

• Este comportamento é diferente da sucção, gravem isto.

Descarga do jato

no ambiente

Pressão ambiente

constante Perfil médio velocidades


Exemplo 4 - Um tubo com entrada radial é

colocado no fundo de uma piscina com água.

Na sua extremidade oposta está um mancal

(sem atrito) onde uma mangueira é conectada

fazendo sucção de forma que a água da piscina

entra no tubo com uma vazão Q. Na ausência

de torques externos pergunta-se qual é a

velocidade angular do tubo?

0

QResposta : 0 e V k

A

Q sucção

R

r

V

Resposta: Um aspersor com sucção gera uma distribuição de pressão não-uniforme na sucção e também na sua superfície que pode causar um torque de forças de superfície mas não há informação para calcular.

Para resolver esta indeterminação do torque devido as forças de superfície temos uma alternativa: deslocar a fronteira da S.C. para longe.

Neste caso a velocidade é radial (somente sucção) não produzindo torque e portanto sem rotação!


Máquina de Fluxo Radial

(Bomba Centrífuga)

suc

ção

descarga


Máq

uin

ad

e f

lux

ora

dia

l: r

oto

r d

e

um

ab

om

ba

cen

tríf

ug

a


2 2

0 2 1

2 2 2

0 2 1

Resposta :

T k Q R R k

Pot T Q R R

Exemplo 5 – A figura abaixo mostra um esquemático de uma bomba centrífuga. Água, = 1000 kg/m3, entra axialmente e passa através das pás da bomba que giram com velocidade angular ; a velocidade do fluido muda de V1 para V2 e a pressão de P1 para P2.

(i) Encontre uma expressão para o torque T0 que deve ser aplicado nas pás.

(ii) Calcule a potência, P = T0. . Considere r1 = 0,2m, r2 = 0,5 m e b = 0,15m. A bomba na rotação de 600 rpm produz uma vazão Q = 2,5 m3/s.

r

S.C.

V n V dA Tr


Como varia a Pressão c/ vazão Q e o raio R do rotor,

o Torque, a Potência de eixo de uma bomba real?

2 2 2

p 0 2 1W T Q R R

A potência de acionamento mecânico é linear com Q, mas cresce com R2 e com 2. Note que a teoria dada segue o dado experimental

Variação da altura de elevação Hp com a vazão e eficiência da bomba para rotores com vários diâmetros. Previsão de H será visto no cap. 10

As curvas da bomba são determinadas experimentalmente e fornecidas pelo fabricante.


Vamos recapitular as diferenças entre sucção e

descarga em forma de jato para vocês

responderem o próximo exercício.


Exercício - Uma lavadora de pratos possui um aspersor de água

como mostrado. A água sai com um ângulo de 45o com a horizontal

por seis furos de 6 mm diâmetro, espaçados de 10 cm entre sí com

uma velocidade de 15 m/s. Calcule a velocidade de rotação limite

considerando um mancal sem atrito.

Resposta:

A rotação limite é =(3/7) (V.sen45o)/L = 45,3 rad/s (7,2Hz)

onde V = 15m/s e L = 0,1m.

furos de

6 mmm/6 m/6 m/6

10cm 10cm 10cm

r


Exercícios recomendados

(1) A simple turbomachine is constructed from a disk with two internalducts that exit tangentially through square holes. Water at 20°C entersnormal to the disk at the center, as shown. The disk must drive, at 250rev/min, a small device whose retarding torque is 1.5 Nm. Whatis the proper mass flow of water, in kg/s?

(2) The three-arm lawn sprinkler receives 20°C water through the center

at 2.7 m3/h. If collar friction is negligible, what is the steady rotation

rate in rev/min for (a) = 0° and (b) = 40°?


Exercícios Recomendados

The water wheel, with a radius of R = 2,4 m, is being driven at = 3rev/s by a Vj = 46 m/s jet of water at 20°C. The jet diameter is dj = 6,35cm. Assume that there are many buckets on the water wheel.

Remark – The phrase “there are many buckets on the water wheel”means the water jet always intercept a bucket or a fractions of twoneighbor buckets. This hypothesis allows to evaluate the torque as if thewater jet hits the bucket as shown on the figure.

Hint – the power is a function U. The maximum power is obtained when dP/dU = 0

(i) Show that the power is given by: P = F.U = ]Q(Vj – U)(1+Sen)] where U = 2R,

Q is the water flow rate discharged by the nozzle and = 75o.

(ii) Assuming no losses, what is the horsepower developed by the wheel?

(iii) For what speed = rev/min will the horsepower developed be a maximum?


Exercícios recomendados (Aula 13)

(1) Resp: 𝜔 =𝑉𝑠

𝑅−

𝑇0

𝜌𝑄𝑅2, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑄 = 2𝑉𝑠𝐿

2

(2) Resp: 𝑉𝑆 =𝑄/3

𝜋𝐷2

4

; 𝜔𝑓 =𝑉𝑠𝑐𝑜𝑠 𝜃

𝑅;

𝜃 = 0 → 𝜔 = 43,3𝑟ad

sou 413,69

rev

min;

𝜃 = 40 → 𝜔𝑓 = 316,91rev

min

(3) Resp:ℎ2

ℎ=

ℎ2

ℎ!=

1+𝑠𝑒𝑛𝜃

2; xp= −h ⋅ tan𝜃

4) Resp: P = F ⋅ 𝑈 = 𝜌𝐴𝑗𝑉𝑗𝑈 𝑉𝐽 − 𝑈 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 ; 𝜃 = 180 − 𝛼; 𝛼 = 90 − 75

Onde: 𝑉𝑐𝑎ç𝑎𝑚𝑏𝑎 =𝑉𝑗

2ou Ω =

𝑉𝑐𝑎ç𝑎𝑚𝑏𝑎

𝑅


FIM


Apêndice I

Aplicação da teoria de Volume de

Controle na bomba de Deamur.

Demonstração do cálculo da curva da

altura de elevação com a vazão, H x Q


Bomba de Demour –

Torque e Potência

Para um ref. Inercial, trabalharemos com

as velocidades absolutas. Não há termo de

aceleração N.I.!

A bomba de Deamur requer um trabalho

externo para colocar o tubo em rotação.

O torque = Q. mov (2) na direção

tangencial x R. Na origem, r = 0, não há

torque.

A potência de acionamento é calculada

pelo produto do torque externo x a

rotação!

T

T T2

T

2 2

Vazão massica m VA Q

Vel. tangencial V R

Força tang. F Q V Q R

Torque T F R Q R

Potencia P T Q R

S.C.

23

Referencial

Inercial

VR

VT, FT

VR

R

R2 3

g

1


Bomba de Demour - ModeloModelo sem atrito:

(1)-(2) sem rotação e sem adição de trabalho: pode usar Bernoulli!

(2)-(3) com rotação, usar Bernoulli com velocidades absolutas de um ref. Inercial

R2 3

g

1

Trecho (1) – (2)P1 = Patm

Z1 = 0 m

V1 = 0 m/s

P2 = P2 (?)

Z2 = H m

V2 = V m/s (?)

2

atm 2

2

2 atm

V P P gH

2V

P P gH 02

Trecho (2) – (3)

P3 = Patm

Z3 = h m (?)

V3 = (V2 + 2𝑅2 )1/2 m/s (?)

P2 = P2 (?)

Z2 = h m (?)

V2 = V m/s (?)

2 2 2

2 atm

2 2 2

2 atm

V R P P

2V R

P P2 2

Igualando as pressões revela que a altura de elevação, H, é

proporcional ao quadrado da rotação e ao quadrado do raio! Isto

se confirma também em bombas centrífugas reais.

2 2R

H2g

cap. 4 – aula #6im250/site im250/sites...produto vetorial e a regra da mão direita • o produto...

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