Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice

CAPÍTULO 7TEORIAS DE PRODUÇÃO E CUSTO —

TRATAMENTO ALGÉBRICO

EXERCÍCIOS

1. Dentre as funções de produção a seguir, quais apresentam rendimentos crescentes, constantes ou decrescentes de escala?

a. F(K, L) = K2 L

b. F(K, L) = 10K + 5L

c. F(K, L) = (KL)0,5

Os rendimentos de escala referem-se à relação existente entre nível de produção e aumentos proporcionais de todos os seus insumos. Representamos esta relação da seguinte forma:

F(K, L) > F(K, L) implica rendimentos crescentes de escala;

F(K, L) = F(K, L) implica rendimentos constantes de escala; e

F(K, L) < F(K, L) implica rendimentos decrescentes de escala.

a. Aplicando estas relações à equação F(K, L) = K2L,

F(K, L) = (K)2 (L) = 3K2L = 3F(K, L).

que é maior que F(K, L); portanto, essa função de produção apresenta rendimentos crescentes de escala.

b. Aplicando a mesma técnica a F(K, L) = 10K + 5L,

F(K, L) = 10K + 5L = F(K, L).

A função de produção apresenta rendimentos constantes de escala.

c. Aplicando a mesma técnica a F(K, L) = (KL)0.5,

F(K, L) = (K L)0.5 = (2)0.5 (KL)0.5 = (KL)0.5 = F(K, L).

Essa função de produção apresenta rendimentos constantes de escala..

2. A função de produção de um determinado produto é dada por Q = 100KL. Sendo o custo do capital de $120 por dia e o do trabalho $30 por dia, qual será o custo mínimo de produção para 1000 unidades de produto?

A combinação de capital e mão-de-obra minimizadora de custos é aquela onde

.

87

Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice

O produto marginal da mão-de-obra é dQdL

K100 . O produto

marginal do capital é dQ

dK100L . Portanto, a taxa marginal de

substituição técnica é100100

KL

KL

.

Para determinar a razão ótima entre capital e mão-de-obra, considere a taxa marginal de substituição técnica igual à razão entre a remuneração da mão-de-obra e a taxa de locação do capital:

KL

30120

, ou L = 4K.

Substitua esse valor de L na função de produção e resolva para o K que gera uma produção de 1.000 unidades:

1.000 = (100)(K)(4K), ou K = 1,58.

Como L é igual a 4K, L é igual a 6,32.

Com esses níveis para os dois insumos, o custo total é:

CT = wL + rK, ou

CT = (30)(6,32) + (120)(1,58) = $379,20.

Para verificar se K = 1,58 e L = 6,32 são os níveis minimizadores de custo dos insumos, considere pequenas mudanças em K e L. em torno de 1,58 e 6,32. Para K = 1.6 e L = 6.32, o custo total é $381,60, e para K = 1,58 e L = 6,4, o custo total é $381,6, ambos maiores do que $379,20. Logo, concluímos que os níveis calculados de K e L são aqueles que minimizam o custo.

3. Suponha que uma função de produção tenha a expressão F(K, L) = KL2 e que o custo do capital seja $10 e o do trabalho seja $15. Qual será a combinação de trabalho e capital capaz de minimizar o custo de produção para qualquer quantidade de produto?

A combinação de capital e trabalho que minimiza o custo satisfaz a condição

.

O produto marginal do trabalho é dQdL

KL2 . O produto marginal

do capital é dQdK

L 2 .

Para determinar a razão ótima entre capital e trabalho, iguale a taxa marginal de substituição técnica à razão entre os preços dos insumos:

2 15102

KL

L , ou K = 0.75L.

88

Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice

Logo, a razão capital-trabalho deve ser de 0,75 para que o custo de produzir qualquer nível de produto seja minimizado.

4. Suponha que o processo de produção de agasalhos esportivos da empresa Polly’s Parkas seja descrito pela função:

Q = 10K0,8(L - 40)0,2

em que Q é o número de agasalhos produzidos, K é o número de horas-máquina e L é o número de horas de trabalho. Além de capital e trabalho, $10 de matérias-primas são consumidos na produção de cada agasalho.

Conhecemos a função de produção: Q = F(K,L) = 10K.8(L - 40).2

Também sabemos que o custo de produção inclui, além dos custos do capital e do trabalho, $10 de matérias primas por unidade produzida. Logo, a função de custo total é:

CT(Q) = wL + rK + 10Q

a. Minimizando o custo sujeito à função de produção, derive as demandas de K e L como função do produto (Q), salários (w), e aluguel das máquinas (r). Derive a função de custo total, (custos como função de Q, r, w e da constante referente aos $10 de matéria-prima por unidade produzida).

Precisamos encontrar as combinações de K e L que minimizam tal função de custo para qualquer nível de produção Q e preços dos insumos r e w. Para tanto, montamos o Lagrangeano:

= wL + rK + 10Q - [10K.8 (L - 40).2 - Q]

Derivando com relação a K, L, e , e igualando a zero:

89

Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice

(1)

90

Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice

∂Φ∂K

=r −10λ(.8)K−.2(L −40).2 =091

Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice

(2)

92

Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice

∂Φ∂L

=w−10λK .8(.2)(L −40)−.8 =093

Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice

(3)

94

Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice

∂Φ∂λ

=10K .8(L −40).2 −Q=0.95

Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice

As primeiras duas equações implicam:

e

ou

96

Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice

rw

=4(L −40)

K.

97

Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice

que pode ser reescrito da seguinte forma:

e .

Inserindo as equações acima na equação (3), obtemos soluções para K e L:

e .

ou

e

Estes são os valores de K e L que minimizam o custo. Inserindo tais valores na função de custo total, podemos obter a função de custo em função de r,w, e Q:

b. Este processo requer trabalhadores qualificados que ganham $32 por hora. O valor do aluguel das máquinas é de $64 por hora. Sendo estes os preços dos fatores, qual é o custo total como função de Q? Esta tecnologia apresenta rendimentos crescentes, decrescentes ou constantes de escala?

Dados os valores w = 32 e r = 64, a função de custo total pode ser escrita da seguinte forma:

CT(Q)=19,2Q+1280.

A função de custo médio é dada por

CMe(Q) = 19,2 + 1280/Q.

Para determinar o tipo de rendimentos de escala, inicialmente escolha uma combinação de insumos e calcule o nível de produção; em seguida, dobre as quantidades de todos os insumos calcule o novo nível de produção e compare com o nível original. Supondo K=50 e L=60, o nível de produção é Q1= 10(50)0.8(60-40)0.2 = 416.3. Para K=100 e L=120, o nível de produção passa a ser Q2= 10(100)0.8(120-40)0.2 = 956. Dado que Q2/Q1 > 2, a função de produção apresenta rendimentos crescentes de escala.

c. A empresa Polly’s Parkas planeja produzir 2000 unidades por semana. Com o preço dos fatores indicados acima, quantos trabalhadores eles deveriam contratar (considere 40 horas de

98

Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice

trabalho semanal) e quantas máquinas deveriam alugar (também considere utilização de 40 horas semanais)? Quais os custos marginal e médio neste nível de produção?

Dado Q = 2.000 por semana, podemos calcular as quantidades necessárias dos insumos K e L a partir das fórmulas obtidas no item (a):

e

Logo, L = 154,9 horas de trabalho e K = 2.000/8,7 = 229,9 horas de máquina. Supondo uma semana de trabalho de 40 horas, obtemos L = 154,9/40 = 3,87 trabalhadores por semana e K = 229,9/40 = 5,74 máquinas por semana. Polly’s Parkas deveria contratar 4 trabalhadores e alugar 6 máquinas por semana.

Sabemos que as funções de custo total e custo médio são dadas por:

CT(Q)= 19,2Q + 1280

CMe(Q) = 19,2 + 1280/Q

de modo que a função de custo marginal é

CMg(Q) = d CT(Q) / d Q = 19,2.

O custo marginal é constante e igual a $19,2 por agasalho e o custo médio é 19,2+1280/2000 = $19,84 por agasalho.

99