Campo Magnético criado por correntes

• Ainda no ano de 1820, os cientistas do mundo todo acreditavam que os fenômenos elétricos e magnéticos eram totalmente independentes um do outro. No entanto, o físico dinamarquês H. Oersted notou que isso não era verdade.

• Utilizando-se inicialmente de um fio condutor retilíneo, por onde passava uma corrente elétrica, Oersted posicionou sobre esse fio uma agulha magnética, orientada livremente na direção norte-sul. Fazendo passar uma corrente no fio, observou que a agulha sofria um desvio em sua orientação, e que esse desvio era perpendicular a esse fio.

Campo Magnético criado por correntes

• Ao interromper a passagem de corrente elétrica, a agulha voltou a se orientar na direção norte-sul.

• Assim, ele concluiu que a corrente elétrica no fio se comportava como um imã colocado próximo à agulha magnética. Ou seja, a corrente elétrica estabeleceu um campo magnético no espaço em torno dela, e esse campo foi o agente responsável pelo desvio da agulha magnética.

• Podemos concluir que as cargas elétricas em movimento criam, numa região do espaço próximo a ela, um campo magnético

• Essa descoberta foi fundamental para a unificação da eletricidade com o magnetismo, que passaram a constituir um importante ramo da ciência denominado eletromagnetismo.

• Iniciaremos este capítulo determinando o campo magnético produzido pela corrente de um pequeno elemento de um fio percorrido por corrente.

Campo Magnético criado por correntes

• Estamos interessados em calcular o campo magnético B em um ponto próximo P. Para isto dividimos mentalmente o fio em elementos infinitesimais ds e definimos para cada elemento um vetor comprimento ds cujo módulo é ds e direção e sentido é o da corrente no elemento ds. Podemos definir um elemento de corrente ids e calcular o campo dB no ponto P.

• Experimentalmente, verifica-se que

ou

onde µ0 é a permeabilidade magnética do vácuo e vale :

𝑑𝐵=𝜇04𝜋

𝑖𝑑𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑟 2

𝑑 �⃗�=𝜇04𝜋

𝑖𝑑 �⃗� 𝑥𝑟𝑟2

• Esta lei é a lei de Bio-Savart, chamada assim em homenagem aos físicos que a obtiveram em meados de 1820. Verifica-se que o campo magnético do fio é a soma vetorial de todos os elementos do fio!

�⃗�=𝜇04𝜋∫ 𝑖𝑑 �⃗� 𝑥 �̂�

𝑟 2Válido para correntes estacionárias!!!!

Campo Magnético criado por um fio longo e retilínio

𝐵=𝜇0 𝑖2𝜋𝑟

Campo Magnético criado por uma corrente em um fio em forma de arco

𝐵=𝜇0 𝑖𝜙2𝜋 𝑟

A figura abaixo mostra um fio percorrido por uma corrente i e tem a forma de um arco de raio R e ângulo central π/2 rad, ladeado por dois trechos retilíneos cujos prolongamentos se interceptam no centro C do arco. Determine o campo no ponto C.

A figura abaixo mostram dois fios paralelos longos percorridos por correntes i1 e i2 em sentidos opostos. Determine o módulo e a orientação do campo magnético no ponto P para i1 = 15 A e i2 = 32 A e d=5,3 cm.

Forças entre fios paralelos• Dois fios longos paralelos percorridos por correntes exercem forças um sobre o

outro. A figura abaixo mostra dois fios nesta situação. Vamos calcular a força no fio b devido a corrente que passa no fio a.

• O campo no fio b é mostrado na figura e tem o valor de

• A força, como vimos antes, é

• Portanto, o módulo

• Com direção e sentidos dados pela regra da mão direita.

𝐵=𝜇0 𝑖𝑎2𝜋 𝑑

�⃗�=𝑖𝑏 �⃗� 𝑥 �⃗�

𝐹𝐵=𝜇0 𝐿𝑖𝑎 𝑖𝑏2𝜋 𝑑

Forças entre fios paralelos• Para determinar a força exercida sobre um fio percorrido por corrente por

outro fio percorrido por corrente determine primeiro o campo produzido pelo segundo fio na posição do primeiro; em seguida, determine a força pelo campo sobre o primeiro fio.

• Fio com correntes de mesmo sentido se atraem e de sentido contrários se repelem

• A força entre correntes em fios paralelos é usada para definir o Ampère: “ o ampère é a corrente constante que, quando mantida em dois condutores retilíneos, paralelos, de comprimentos longos e seção reta despreezível, separadas por 1 metro no vácuo, produz em cada um uma força de módulo de 2 x 10-7N/m

A lei de Ampere• A partir da Lei de Biot-Savart é possível calcular o campo magnético associado a

uma distribuição estacionária de corrente somando-se as contribuições ao campo de todos os elementos infinitesimais de corrente ao longo do circuito em questão. No caso de uma distribuição complicada de correntes o cálculo pode ser bastante trabalhoso e, em muitos casos, exigir o uso de um computador. Para casos com simetrias é extremamente útil utilizar a lei de Ampere.

• A lei recebe este nome em homenagem ao jovem físico André Marie Ampère que, de posse dos resultados de Oersted, estudou o campo magnético produzido por um fio. A versão matemática proposta aqui foi pela primeira vez enunciada por outro grande físico, James Clerk Maxwell.

A lei circuital de Ampere

∮ �⃗� .𝑑 �⃗�=𝜇0𝑖𝑒𝑛𝑣

• A lei de Ampère afirma que, dada um curva amperiana, a circulação no sentido arbitrário definido por ds do produto escalar entre este vetor e B é igual ao produto da permeabilidade magnética pela corrente envolvida.

• A amperiana deve ser envolvida pela mão direita, com os dedos apontando no sentido da integração. Uma corrente no sentido do polegar estendido é uma corrente positiva, do contrário, negativa.

Válido para correntes estacionárias!!!!

A lei circuital de Ampere: aplicações

• Fio longo retilíneo percorrido por corrente

• Fio de espessura R

𝐵=𝜇0 𝑖2𝜋𝑟

Lado externo

Lado externo

Lado interno

𝐵=𝜇0 𝑖2𝜋𝑟

𝐵=𝜇0𝑖 𝑟2𝜋 𝑅2

A figura mostra a seção reta de um cilindro longo condutor oco de raio interno a=2cm e raio interno b= 4cm. O cilindro conduz uma corrente para fora do plano do papel, e o módulo da densidade de corrente na seção reta é dado por J=cr2 com c=3 x 106 A/m4 e r em metros. Qual é o campo magnético B em um ponto situado a 3 cm do eixo central do cilindro?

A lei circuital de Ampere: aplicações• Solenóide percorrido por uma corrente i

Solenoide esticado

Solenoide ideal: longo, diâmetro muito pequeno e fio com seção reta quadrada.

𝐵=𝜇0 𝑖𝑛Campo magnético

uniforme no centro

A lei circuital de Ampere: aplicações• Toróide: solenoide cilindrico que encurvado até as extremidades se tocarem.

𝐵=𝜇0𝑁𝑖2𝜋𝑟

Campo magnético de uma bobina• Qual o campo magnético provocado por uma bobina a uma

distância z do seu eixo central?

𝐵=𝜇0 𝑖 𝑅2

2 (𝑅2+𝑧 2)32

�⃗�=𝜇0 �⃗�2𝜋 𝑧 3

Para z>>R

Lei de Bio-Savart