camila araújo peres luiz guilherme pantoja...

Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação Departamento de Matemática, Estatística e Informática Curso de Licenciatura em Matemática

Camila Araújo Peres Luiz Guilherme Pantoja Moreira

Recreações topológicas

Belém 2012


Recreações Topológicas

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do titulo de Licenciado em Matemática, Universidade do Estado do Pará. Orientador: Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.

Belém 2012

Dados Internacionais de Catalogação na publicação

Biblioteca do Centro de Ciências Sociais e Educação da UEPA

Peres, Camila Araújo

Recreações topológicas./ Camila Araújo Peres, Luiz Guilherme Pantoja Moreira.

Belém, 2012.

Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura Plena em Matemática) –

Universidade do Estado do Pará, Belém, 2012.

Orientação de: Pedro Franco de Sá

1. Álgebra. 2. Topologia. I. Moreira, Luiz Guilherme Pantoja. II. Sá, Pedro Franco

de (Orientador). III. Título.

CDD: 21 ed. 512


Recreações Topológicas

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do titulo de Licenciado em Matemática, Universidade do Estado do Pará.

Data de aprovação: _____/_____/_______ Banca Examinadora ____________________________________ - Orientador Prof. Pedro Franco de Sá Dr. em Educação Universidade do Estado do Pará Universidade da Amazônia

____________________________________ Prof. Fábio José da Costa Alves Dr. em Geofísica Universidade do Estado do Pará Universidade da Amazônia

____________________________________ Profª. Rosineide de Sousa Jucá Msc. em Educação Universidade do Estado do Pará

A Célia Peres e Aldair Sousa, pela ajuda,

compreensão e paciência.

Camila Araújo Peres

A Leila Moreira, minha mãe, e Maria Raimunda, minha avó,

pelo amor com que me educaram.

Luiz Guilherme Pantoja Moreira

AGRADECIMENTOS

A Deus, o Rei dos reis, por ser simplesmente Deus; por ser o próprio amor (I

João 4:8) e acreditar em nós antes que nós mesmos acreditássemos.

A Universidade do Estado do Pará e ao Departamento de Matemática,

Estatística e Informática, pelo incentivo, oportunidade e apoio inesquecíveis.

Ao professor doutor Pedro Franco de Sá, nosso orientador, por ser único; seu

apoio, cuidado, paciência, amizade e entusiasmo sem igual que, sem dúvida, nos

possibilitaram mais esta conquista.

A nossos familiares e amigos pela ajuda e compreensão em todos os

momentos dessa caminhada.

A nosso amigo Franklin Deyvys, por se fazer presente nos momentos mais

importantes de nossa vida; por sua força e companheirismo de verdadeiro irmão.

A você leitor, que utiliza esse humilde trabalho como base de maiores

pesquisas.

Camila Araújo Peres e

Luiz Guilherme Pantoja Moreira

Há três tipos de pessoas no mundo: as que sabem contar e as que não sabem.

Ian Stewart

RESUMO

PERES, C. A; MOREIRA, L. G. P. Recreações topológicas. 2011. 187 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2011. Este trabalho apresenta os resultados de uma pesquisa bibliográfica sobre a Topologia, também chamada de “Geometria da borracha”, trata-se de um ramo da Matemática que estuda as propriedades das figuras que permanecem inalterantes ainda que sejam submetidas a determinadas deformações. O objetivo que norteou esta pesquisa foi construir um conjunto de atividades de Matemática Recreativa que estão relacionadas com conhecimentos topológicos, até então pouco conhecido fora do meio acadêmico matemático. A pesquisa foi realizada por meio das seguintes etapas: levantamento de material, estudo do material, seleção das recreações e elaboração do texto. Como resultado do estudo, temos um esboço histórico do desenvolvimento da topologia, alguns conceitos relacionados a esta área e um conjunto de 35 desafios com as respectivas soluções que podem ser utilizados desde os anos iniciais do ensino fundamental. Entre os desafios temos o de atravessar uma pessoa por um buraco numa folha de papel e o de construir, em folha de papel, uma superfície com apenas uma face.

Palavras-Chave: Educação Matemática; Matemática Recreativa; Recreações

Topológicas.

ABSTRACT

PERES, C. A; MOREIRA, L. G. P. Recreações topológicas. 2011. 187 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2011.

This work presents the results of a bibliographical research about the Topology, also called “Geometry of the rubber”, it is a branch of the Mathematics that studies the properties of the figures that remain inalterantes still being subjected to certain deformation. The objective that guided this research was to construct a set of activities of Recreativa Mathematics that are related with topological knowledge, until then little known outside of the half mathematical academic. The research was carried through by means of the following stages: survey of material, study of the material, selection of the recreations and elaboration of the text. As result of the study, we have a historical sketch of the development of the topology, some concepts related to this area and a set of 35 challenges with the respective solutions that can be used since the initial years of basic education. Between the challenges we have to cross a person for a hole in a sheet of paper and to construct, in sheet of paper, a surface with only one face. Keywords: Mathematics Education; Recreational Mathematics; Topological

recreations.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Carl Friedrich Gauss .................................................................................. 23

Figura 2: János Bolyai ............................................................................................... 24

Figura 3: Nicolai Lobachevsky ................................................................................... 24

Figura 4: Leibniz ........................................................................................................ 27

Figura 5: Leonard Euler ............................................................................................. 29

Figura 6: Augustus Ferdinand Möbius ....................................................................... 31

Figura 7: Obra Möbius Strip de M. C. Escher ............................................................ 32

Figura 8: Johann Benedikt Listing ............................................................................. 32

Figura 9: Bernhard Riemann ..................................................................................... 33

Figura 10: Felix Cristian Klein .................................................................................... 35

Figura 11: Camille Jordan ......................................................................................... 37

Figura 12: David Hilbert ............................................................................................. 38

Figura 13: Livro Grundlang der Geometrie publicado em 1899 por David Hilbert ..... 39

Figura 14: Jules Henri Ponicaré ................................................................................ 40

Figura 15: Max Dehn ................................................................................................. 41

Figura 16: Poul Heegaad........................................................................................... 41

Figura 17: Heunrich Tietze ........................................................................................ 42

Figura 18: Oswald Veblen ......................................................................................... 44

Figura 19: Georg Birkhofl .......................................................................................... 45

Figura 20: James Alexander ...................................................................................... 45

Figura 21: Francis Guthrie ......................................................................................... 46

Figura 22: Esboço das sete pontes de Königsberg ................................................... 47

Figura 23: Grafo do problema das pontes de Königsberg ......................................... 47

Figura 24: Faixa de Möbius ....................................................................................... 48

Figura 25: Garrafa de Klein ....................................................................................... 49

Figura 26: Francis Ghthrie ......................................................................................... 50

Figura 27: Mapa do Brasil colorido em quatro cores ................................................. 50

Figura 28: De Morgan................................................................................................ 51

Figura 29: Arthur Cayley............................................................................................ 52

Figura 30: Alfred Bray Kemp ..................................................................................... 52

Figura 31: Percy Jonh Heawood ............................................................................... 53

Figura 32: Kenneth Appel e Wolf Gang Haken em 1970 ........................................... 54

Figura 33: Stephen Smale ......................................................................................... 56

Figura 34: Grigori Perelman ...................................................................................... 58

Figura 35: John Milnor ............................................................................................... 61

Figura 36: John Conway............................................................................................ 62

Figura 36: Sergei Novikov ......................................................................................... 63

Figura 38: Daniel Quillen ........................................................................................... 64

Figura 39: Robion Kirby ............................................................................................. 65

Figura 40: Willian Thurston ........................................................................................ 66

Figura 41: Exemplo mostrando ponto interior e exterior de uma circunferência ........ 69

Figura 42: Exemplo de uma curva de Jordan ............................................................ 69

Figura 43: Exemplo de curva fechada simples .......................................................... 70

Figura 44: Exemplos de curvas que não se enquadram na definição de Jordan ...... 70

Figura 45: Exemplo do problema das três utilidades ................................................. 71

Figura 46: Conectando as utilidades às casas 1, 2 e 3 ............................................. 72

Figura 47: sombreamento da curva que passa pelas casas 1 e 2 ............................ 72

Figura 48: Características da curva de Jordan .......................................................... 73

Figura 49: Exemplo de um labirinto ........................................................................... 74

Figura 50: Curva do R2 com auto interseção ............................................................ 74

Figura 51: Curva no R3 sem auto interseção ............................................................ 74

Figura 52: Toros entrelaçados ................................................................................... 78

Figura 53: Exemplo de soma conexa ........................................................................ 80

Figura 54: Retângulo de vértices A, B, C e D ............................................................ 83

Figura 55: Deformação do retângulo ......................................................................... 83

Figura 56: Exemplo de superfícies homeomorfas ..................................................... 84

Figura 57: Esfera e toro: topologicamente não equivalentes..................................... 84

Figura 58: Superfícies topológicas ............................................................................ 85

Figura 59: Modelo de toro plano cortado ao longo das linhas indicadas ................... 86

Figura 60: Modelo de garrafa de Klein plana ............................................................. 86

Figura 61: Construção do plano projetivo .................................................................. 87

Figura 62: Modelo de um plano projetivo .................................................................. 87

Figura 63: Diagrama plano associado à palavra acdc-1db-1a-1b ............................. 89

Figura 64: Exemplos de grafos .................................................................................. 90

Figura 65: Brinquedo “Anéis unidos” ....................................................................... 131

Figura 66: Detalhe do brinquedo “Anéis unidos” ..................................................... 131

Figura 67: Etapa 1 da solução do “Anéis unidos” .................................................... 131

Figura 68: Etapa 2 (a) da solução do “anéis unidos” ............................................... 131

Figura 69: Etapa 2 (b) da solução do “anéis unidos” ............................................... 131

Figura 70: Etapa 3 da solução do “anéis unidos” .................................................... 132

Figura 71: Etapa 4 (a) da solução do “anéis unidos” ............................................... 132

Figura 72: Etapa 4 (b) da solução do “anéis unidos” ............................................... 132

Figura 73: Método original de Wobensmith ............................................................. 138

Figura 74: Método atualmente conhecido ............................................................... 138

Figura 75: Método de James A. Nelson .................................................................. 138

Figura 76: Variante de Williston ............................................................................... 139

Figura 77: Variante de Gardner ............................................................................... 139

Figura 78: Execução atual de Wobensmith ............................................................. 139

Figura 79: Papel retangular com furo circular de diâmetro menor que o da moeda 144

Figura 80: Etapa 1 (a) da solução do desafio “O papel e a moeda” ........................ 144

Figura 81: Etapa 1 (b) da solução do desafio “O papel e a moeda” ........................ 144

Figura 82: Etapa 1 (c) da solução do desafio “O papel e a moeda” ........................ 145



Figura 85: Lenço sobre o dedo indicador ................................................................ 145

Figura 86: Cruze o lenço por baixo ......................................................................... 146

Figura 87: Cruze as pontas por cima ...................................................................... 146

Figura 88: Indicador esquerdo sobre o ponto de cruzamento ................................. 146

Figura 89: Cruze as pontas por cima....................................................................... 147

Figura 90: Cruze as pontas por baixo...................................................................... 147

Figura 91: Levante as pontas .................................................................................. 147

Figura 92: O lenço é solto ....................................................................................... 148

Figura 93: Lenços seguros na mão ......................................................................... 148

Figura 94: Construção do “nó” (a) ........................................................................... 149

Figura 95: Construção do “nó” (b) ........................................................................... 149

Figura 96: Os lenços parecem interligados ............................................................. 150

Figura 97: O lápis, o cadarço e a palhinha .............................................................. 152

Figura 98: Lenço enrolado....................................................................................... 153

Figura 99: Etapa da solução do desafio “O nó” ....................................................... 153

Figura 100: Rode a mão .......................................................................................... 154

Figura 101: Truque “cortando os dedos” (a) ............................................................ 155

Figura 102: Truque “cortando os dedos” (b) ............................................................ 155

Figura 103: Exemplo de padrão .............................................................................. 156

Figura 104: Padrão complexo ................................................................................. 157

Figura 105: Bordas do padrão cobertas com jornais ............................................... 157

Figura 106: Folha de papel com as bordas dobradas ............................................. 159

Figura 107: Corte transversal das contas ................................................................ 167

Figura 108: Cruzam-se as duas pontas do fio ......................................................... 167

Figura 109: As contas caem .................................................................................... 167

Figura 110: Nó direito .............................................................................................. 168

Figura 111: Nó chefalo ............................................................................................ 168

Figura 112: Retire o laço de fio sem tirar o dedo do bolso ...................................... 169

Figura 113: Elástico no dedo indicador ................................................................... 178

Figura 114: Passar o elástico em volta do dedo médio ........................................... 178

Figura 115: Prender o elástico no dedo indicador ................................................... 178

Figura 116: O elástico “dá um salto” para o dedo médio ......................................... 178

Figura 117: Segure o elástico .................................................................................. 179

Figura 118: Elástico retorcido .................................................................................. 179

Figura 119: Inversão direita-esquerda ..................................................................... 180

LISTA DE FOTOGRAFIAS

Fotografia 1: Descrição do brinquedo “barco" ........................................................... 93

Fotografia 2: Etapa 1 (a) da solução do “barco” ........................................................ 93

Fotografia 3: Etapa 1 (b) da solução do “barco” ........................................................ 93

Fotografia 4: Etapa 2 (a) da solução do “barco” ........................................................ 94

Fotografia 5: Etapa 2 (b) da solução do “barco” ........................................................ 94

Fotografia 6: Etapa 2 (c) da solução do “barco” ........................................................ 94

Fotografia 7: Etapa 2 (d) da solução do “barco” ........................................................ 94

Fotografia 8: Argola retirada do brinquedo “barco” .................................................... 94

Fotografia 9: Descrição do brinquedo “Corda” .......................................................... 95

Fotografia 10: Etapa 1 da solução do brinquedo “corda” .......................................... 95

Fotografia 11: Etapa 2 (a) da solução do “corda” ...................................................... 96

Fotografia 12: Etapa 2 (b) da solução do “corda” ...................................................... 96

Fotografia 13: Etapa 3 da solução do “corda” ........................................................... 96








Fotografia 21: Etapa 7 (c) da solução do “corda” ...................................................... 98




Fotografia 25: Etapa 10 (a) da solução do “corda” .................................................... 99

Fotografia 26: Etapa 10 (b) da solução do “corda” .................................................... 99

Fotografia 27: Descrição do brinquedo “peixe” .......................................................... 99

Fotografia 28: Etapa 1 da solução do “peixe” .......................................................... 100



Fotografia 31: Descrição do brinquedo “retângulo” ................................................. 101

Fotografia 32: Etapa 1 da solução do “retângulo” ................................................... 101



Fotografia 35: Etapa 4 (a) da solução do “retângulo” .............................................. 102

Fotografia 36: Etapa 4 (b) da solução do “retângulo” .............................................. 102








Fotografia 44: Descrição do brinquedo “Algemas” .................................................. 104

Fotografia 45: Etapa 1 da solução do “algemas” ..................................................... 105

Fotografia 46: Etapa 2 (a) da solução do “algemas” ............................................... 105

Fotografia 47: Etapa 2 (b) da solução do “algemas” ............................................... 105



Fotografia 50: Etapa 3 (c) da solução do “algemas” ................................................ 106





Fotografia 55: Argola presa no centro novamente. ................................................. 107

Fotografia 56: Descrição do brinquedo “Cruz” ......................................................... 107

Fotografia 57: Etapa 1 da solução do “cruz”............................................................ 108

Fotografia 58: Etapa 2 (a) da solução do “cruz” ...................................................... 108

Fotografia 59: Etapa 2 (b) da solução do “cruz” ...................................................... 108




Fotografia 63: Etapa 4 (c) da solução do “cruz” ...................................................... 109

Fotografia 64: Etapa 4 (d) da solução do “cruz” ...................................................... 109




Fotografia 68: A argola foi recolocada no brinquedo ............................................... 110

Fotografia 69: Exemplo de prego 01 ....................................................................... 111






Fotografia 75: Descrição do brinquedo “Balanço I” ................................................. 112

Fotografia 76: Etapa 1 (a) da solução do “balanço I” .............................................. 112

Fotografia 77: Etapa 1 (b) da solução do “balanço I” .............................................. 112



Fotografia 80: Etapa 3 da solução do “balanço I” .................................................... 113



Fotografia 83: Descrição do brinquedo “Balanço II” ................................................ 114

Fotografia 84: Etapa 1 da solução do “balanço II” ................................................... 114

Fotografia 85: Etapa 2 (a) da solução do “balanço II” ............................................. 115

Fotografia 86: Etapa 2 (b) da solução do “balanço II” ............................................. 115



Fotografia 89: Etapa da solução do “balanço II” ...................................................... 116

Fotografia 90: Descrição do brinquedo “Chave” ...................................................... 116

Fotografia 91: Etapa 1 da solução do “chave” ......................................................... 117

Fotografia 92: Etapa 2 (a) da solução do “chave” ................................................... 117

Fotografia 93: Etapa 2 (b) da solução do “chave” ................................................... 117



Fotografia 96: Etapa 4 da solução do “chave” ......................................................... 118



Fotografia 99: Descrição do brinquedo “Triângulo” ................................................. 119

Fotografia 100: Etapa 1 da solução do “Triângulo” ................................................. 119

Fotografia 101: Etapa 2 da solução do “triângulo” ................................................... 120

Fotografia 102: Etapa 3 (a) da solução do “triângulo” ............................................. 120

Fotografia 103: Etapa 3 (b) da solução do “triângulo” ............................................. 120

Fotografia 104: Etapa 4 (a) da solução do “triângulo” ............................................. 120

Fotografia 105: Etapa 4 (b) da solução do “triângulo” ............................................. 120

Fotografia 106: Descrição do brinquedo “Escada” .................................................. 121

Fotografia 107: Etapa 1 da solução do “escada” ..................................................... 121

Fotografia 108: Etapa 2 (a) da solução do “escada” ............................................... 122

Fotografia 109: Etapa 2 (b) da solução do “escada” ............................................... 122











Fotografia 120: Etapa 10 da solução do “escada” ................................................... 124

Fotografia 121: Etapa 11 (a) da solução do “escada” ............................................. 125

Fotografia 122: Etapa 11 (b) da solução do “escada” ............................................. 125

Fotografia 123: Etapa 12 (a) da solução do “escada” ............................................. 125

Fotografia 124: Etapa 12 (b) da solução do “escada” ............................................. 125

Fotografia 125: Parte superior do brinquedo “escada” ............................................ 125

Fotografia 126: Parte inferior do brinquedo “escada” .............................................. 125

Fotografia 127: Etapa 1 da solução do “octógono” .................................................. 126

Fotografia 128: Etapa 2 (a) da solução do “octógono” ............................................ 126

Fotografia 129: Etapa 2 (b) da solução do “octógono” ............................................ 126

Fotografia 130: Etapa 2 (c) da solução do “octógono” ............................................ 127

Fotografia 131: Etapa 3 da solução do “octógono” .................................................. 127

Fotografia 132: Etapa 4 (a) da solução do “octógono” ............................................ 127

Fotografia 133: Etapa 4 (b) da solução do “octógono” ............................................ 127

Fotografia 134: Argola solta do “octógono” ............................................................. 128

Fotografia 135: Descrição do brinquedo “Corações” ............................................... 128

Fotografia 136: Etapa 1 (a) da solução do “corações” ............................................ 129

Fotografia 137: Etapa 1 (b) da solução do “corações” ............................................ 129

Fotografia 138: Etapa 2 da solução do “corações” .................................................. 129



Fotografia 141: Etapa 3 da solução do “corações” .................................................. 130





Fotografia 146: Primeira faixa (cilíndrica) ................................................................ 133

Fotografia 147: Etapa 1 da construção da segunda faixa ....................................... 133



Fotografia 150: Segunda faixa (faixa de Möbius) .................................................... 133

Fotografia 151: Etapa 1 da construção da terceira faixa ......................................... 134

Fotografia 152: Etapa 2 da construção da terceira faixa. ........................................ 134

Fotografia 153: Terceira faixa .................................................................................. 134

Fotografia 154: Corte longitudinal na faixa (a) ......................................................... 135

Fotografia 155: Corte longitudinal na faixa (b) ......................................................... 135

Fotografia 156: Corte longitudinal na faixa (c) ......................................................... 135

Fotografia 157: Anel com o dobro do diâmetro do anel inicial ................................. 135

Fotografia 158: Corte longitudinal a um terço da borda........................................... 135

Fotografia 159: Corte longitudinal a um terço da borda........................................... 135

Fotografia 160: Anéis de tamanhos diferentes interligados ..................................... 136

Fotografia 161: Anéis idênticos interligados ............................................................ 136

Fotografia 162: Anel e tira ....................................................................................... 140

Fotografia 163: Corte longitudinal ao longo da tira .................................................. 140

Fotografia 164: Faixa atada à volta do anel ............................................................ 140

Fotografia 165: Dobre a folha de papel ao meio ..................................................... 141

Fotografia 166: Corte rente à folha (a) .................................................................... 141

Fotografia 167: Corte rente à folha (b) .................................................................... 141

Fotografia 168: Corte rente à folha (c)..................................................................... 142

Fotografia 169: Corte rente à folha (d) ................................................................... 142

Fotografia 170: Abertura longa e estreita no papel ................................................. 142

Fotografia 171: Recorte em linhas retas (a) ............................................................ 142

Fotografia 172: Recorte em linhas retas (b) ............................................................ 142

Fotografia 173: Recorte em linhas retas (c) ............................................................ 143

Fotografia 174: Recorte em linhas retas (d) ............................................................ 143

Fotografia 175: Recorte em linhas retas (e) ............................................................ 143

Fotografia 176: Buraco na folha de papel................................................................ 143

Fotografia 177: Versão com canudinhos (a) ............................................................ 150

Fotografia 178: Versão com canudinhos (b) ............................................................ 150

Fotografia 179: Versão com canudinhos (c) ............................................................ 151

Fotografia 180: Versão com canudinhos (d) ............................................................ 151

Fotografia 181: Versão com canudinhos (e) ............................................................ 151

Fotografia 182: Punhos atados ............................................................................... 160

Fotografia 183: Passar o laço de fio (a)................................................................... 160

Fotografia 184: Passar o laço de fio (b)................................................................... 160

Fotografia 185: Dar a volta no pulso (a) .................................................................. 161

Fotografia 186: Dar a volta no pulso (b) .................................................................. 161

Fotografia 187: Passar o laço por baixo (a)............................................................. 161

Fotografia 188: Passar o laço por baixo (b)............................................................. 161

Fotografia 189: Passar o laço por cima da mão ...................................................... 161

Fotografia 190: Nó simples no barbante entre os pulsos ........................................ 161

Fotografia 191: Passar o laço de fio por baixo (a) ................................................... 162

Fotografia 192: Passar o laço de fio por baixo (b) ................................................... 162

Fotografia 193: Dar a volta no pulso ....................................................................... 162

Fotografia 194: Colocar o laço na mão.................................................................... 162

Fotografia 195: Passar o laço por baixo do barbante .............................................. 163

Fotografia 196: Passar o laço por cima da mão ...................................................... 163

Fotografia 197: Nó em oito ...................................................................................... 163

Fotografia 198: O elástico está em um dos pulsos .................................................. 163

Fotografia 199: Passar o elástico por baixo do barbante ........................................ 164

Fotografia 200: O elástico está em um dos braços ................................................. 164

Fotografia 201: Passar o elástico por baixo do barbante ........................................ 164

Fotografia 202: O elástico está em um dos braços ................................................. 164

Fotografia 203: Casal atado com fios interligados ................................................... 165

Fotografia 204: Etapa 1 (a) da solução do desafio “anéis interligados” ................... 165

Fotografia 205: Etapa 1 (b) da solução do desafio “anéis interligados” ................... 165

Fotografia 206: Etapa 2 da solução do desafio “anéis interligados” ........................ 165

Fotografia 207: Etapa 3 (a) da solução do desafio “anéis interligados” ................... 166

Fotografia 208: Etapa 3 (b) da solução do desafio “anéis interligados” ................... 166

Fotografia 209: Método para confeccionar o nó (a) ................................................. 167

Fotografia 210: Método para confeccionar o “nó” (b) .............................................. 167

Fotografia 211: Método para confeccionar o nó (c) ................................................. 167

Fotografia 212: Método para confeccionar o “nó” (d) ............................................. 167

Fotografia 213: Passar o laço de fio pela abertura do braço ................................... 169

Fotografia 214: Passar o laço por cima da cabeça ................................................. 170

Fotografia 215: Retirar o laço pela abertura ............................................................ 170

Fotografia 216: Passe o laço pelo outro braço ........................................................ 171

Fotografia 217: Deixe o laço cair no chão ............................................................... 171

Fotografia 218: Desabotoe o colete ........................................................................ 172

Fotografia 219: Passe o colete por cima da cabeça ................................................ 172

Fotografia 220: Colete pendurado nos braços ........................................................ 172

Fotografia 221: Virar o colete do avesso ................................................................. 173

Fotografia 222: Regresse o colete à posição original .............................................. 173

Fotografia 223: Ponha o braço esquerdo na abertura do colete ............................. 174

Fotografia 224: Colocar o colete sobre o ombro esquerdo...................................... 175

Fotografia 225: Libertando o colete do lado direito do casaco ................................ 175

Fotografia 226: Empurrar o colete até o meio da manga ........................................ 176

Fotografia 227: Puxe o colete pela manga .............................................................. 176

Fotografia 228: O colete é solto .............................................................................. 177

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ............................................................................................... 21

2. UMA BREVE HISTÓRIA DA TOPOLOGIA .................................................... 22

2.1. Geometria não euclidiana: a base da Topologia ............................................. 22

2.1.1. Os estudos de Gauss, Bolyai e Lobachevsky ................................................. 22

2.2. Um breve histórico da Topologia .................................................................... 26

2.2.1. As contribuições de Leibniz para a Topologia ................................................ 27

2.2.2. Euler e o início da Topologia .......................................................................... 28

2.2.3. Os estudos de Listing e Möbius ...................................................................... 30

2.2.4. A contribuição de Bernard Riemann e Klein ................................................... 33

2.2.5. Jordan e a Topologia ...................................................................................... 36

2.2.6. David Hilbert ................................................................................................... 37

2.2.7. As contribuições de Poincaré, Max Dehn e Tietze para a Topologia .............. 39

2.2.8. O. Veblen, J. W. Alexander e Lefschetz ......................................................... 44

2.3. Problemas Clássicos da Topologia ................................................................. 46

2.3.1. Euler e as sete pontes de Königsberg ............................................................ 46

2.3.2. Möbius e Klein: superfícies unilaterais ............................................................ 48

2.3.3. O teorema das quatro cores ........................................................................... 49

2.4. A conjectura de Poincaré ................................................................................ 55

2.4.1. O teorema de Poincaré-Perelman .................................................................. 57

2.5. A Topologia hoje ............................................................................................. 61

2.5.1. John Willard Milnor (1931-) ............................................................................. 61

2.5.2. John Horton Conway (1937-) .......................................................................... 62

2.5.3. Sergei Petrovich Novikov (1938-) ................................................................... 63

2.5.4. Daniel Gray Quillen (1940-2011) .................................................................... 64

2.5.5. Robion Cromwell Kirby (1938-) ....................................................................... 65

2.5.6. William Paul Thurston (1946-) ........................................................................ 66

3. ALGUNS CONCEITOS TOPOLÓGICOS ....................................................... 68

3.1. Considerações Introdutórias ........................................................................... 68

3.1.1. Vizinhança ...................................................................................................... 68

3.1.2. Interior e Exterior ............................................................................................ 68

3.1.3. Dimensão ........................................................................................................ 75

3.1.4. Variedades ...................................................................................................... 76

3.2. O que é superfície?......................................................................................... 77

3.2.1. Superfícies Conexas ....................................................................................... 78

3.2.2. Superfícies Fechadas ..................................................................................... 78

3.2.3. Superfícies Trianguláveis ................................................................................ 79

3.2.4. Superfícies Orientáveis e Não Orientáveis ..................................................... 79

3.2.5. Soma conexa de superfícies ........................................................................... 79

3.3. O que é Topologia de Superfície? .................................................................. 80

3.3.1. Palavras associadas a superfícies fechadas .................................................. 88

3.3.2. Invariantes Topológicos: A característica de Euler. ........................................ 89

4. TOPOLOGIA E RECREAÇÃO ....................................................................... 91

4.1. Matemática Recreativa ................................................................................... 91

4.2. Desafios Topológicos ..................................................................................... 93

4.2.1. Quebra-cabeças..............................................................................................93

4.2.2. Papel e Tecido...............................................................................................132

4.2.3. Barbantes e Cordas.......................................................................................154

4.2.4. Casacos e Coletes........................................................................................168

4.2.5. Elásticos........................................................................................................177

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................... 181

REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 183

PERES, C, A; MOREIRA, L. G. P. Recreações topológicas________________________________21

1. INTRODUÇÃO

O ensino regular, há tempos, vem sendo alvo de grandes

questionamentos, uma vez que há defasagens no processo de ensino aprendizagem

e os vínculos educacionais não apresentam o verdadeiro sentido da Educação. No

entanto, gradativamente, o ensino, principalmente de Matemática, vem ganhando

destaque, pois há vários segmentos e alternativas para melhorar o desempenho dos

educandos. Trabalhar com as recreações em sala de aula é uma delas.

Diante disso, nossa proposta é apresentar os resultados de pesquisas

bibliográficas na qual visamos colecionar 35 (trinta e cinco) atividades da

Matemática Recreativa que estão relacionadas aos conhecimentos da Topologia,

uma geometria pouco conhecida no ambiente acadêmico. O interesse por esta

geometria surgiu a partir de leituras sobre o tema que se mostraram interessantes,

curiosas e de cunho inovador face aos inúmeros problemas a ela relacionados, fato

que contrapõe as características até então atribuídas a Matemática, como sendo,

em sua essência, números e fórmulas.

Essa pesquisa foi desenvolvida com base nas seguintes etapas:

levantamento de material, estudo do material, seleção das recreações e elaboração

do texto, na qual autores como O’Shea (2009), Gardner (1991) e Stewart (2009),

além de outros, serviram de base para o desenvolvimento desta pesquisa que foi

dividida em três seções.

Na primeira seção apresentamos os aspectos históricos que nortearam a

criação deste ramo da matemática, apresentando os principais nomes que

contribuíram e ainda contribuem para a Topologia, além de destacarmos os

problemas clássicos a ela relacionados.

Na segunda seção expomos alguns conceitos necessários para o melhor

entendimento da seção seguinte. E por fim, na terceira seção se focalizam as

recreações topológicas apresentadas em um conjunto de atividades que abordam

conceitos matemáticos, por vezes, não explorados ou mencionados.


2. BREVE HISTÓRIA DA TOPOLOGIA

Nesta seção abordaremos aspectos que elucidaram os estudos na

Topologia, destacando os problemas clássicos e os principais nomes que

contribuíram e ainda contribuem para o desenvolvimento deste pensar da

Matemática.

2.1. Geometria não euclidiana e Topologia

A geometria euclidiana, ou melhor, os Elementos de Euclides datam do

reinado de Ptolomeu Sotero a cerca de 300 a. C. em Alexandria. De acordo com

O’Shea (2009, p. 74) o livro é uma reunião da matemática desenvolvida desde Tales

e Pitágoras, “passando por Platão e Arquimedes, e reinterpretou a matemática

milenar dos babilônios e egípcios numa estrutura distintamente grega”. Apesar de o

livro Elementos ser grandioso, muitos matemáticos sempre o questionaram, pois

sabiam que existiam lacunas em sua obra e durante anos houveram discussões

sobre possíveis axiomas alternativos e adicionais.

O quinto postulado de Euclides, hoje chamado de Postulado das

Paralelas, desde o início, foi alvo de grandes questionamentos por ser muito

complicado. Foi então que muitos estudiosos se empenharam a propor uma

demonstração ao questionar que se trataria de um teorema e não um axioma como

propôs Euclides. Mas no final do século XVIII, Johann Friedrich Gauss (1777-1855),

Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) e János Bolyai (1802-1860) iriam

“finalmente esclarecer o papel do quinto postulado e as riquezas que ele escondia”

(O’Shea, 2009, p. 87).

2.1.1. Os estudos de Gauss, Bolyai e Lobachevsky

Carl Friedrich Gauss (Figura 1) foi o cientista mais famoso do século XIX

e considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Ele nasceu em

Brunswich, na Alemanha, foi filho de um operário com educação elementar e uma

empregada doméstica com educação ainda mais deficiente, causas que tornariam

quase impossível obter uma educação de qualidade. No entanto, como afirma O’

SHEA (2009, p. 88):


Para sua (e nossa) sorte, o assistente do professor, Martin Bartels, apesar de ser apenas oito anos mais velho que Gauss, havia estudado matemática em Göttingen. Bartels deu atenção especial a Gauss, e juntos, ele e o professor conseguiram matricular o menino no gymnasium, uma das rigorosas escolas alemãs de segundo grau, orientadas para preparar alunos que desejassem seguir estudos avançados.

Figura 1: Carl Friedrich Gauss Fonte: http://pt.wikipedia.org

Após três anos de estudos em gymnasium (escola preparatória de Ensino

Médio), Gauss recebeu do príncipe, o duque de Brunswick – Wolfenbüttel, um

subsídio regular que era oferecido a jovens promissores, mas financeiramente

carentes (é por esse motivo que podemos destacar as atuais bolsas de estudos

acadêmicos) e, graças a isso, Gauss pôde continuar seus estudos, dando início na

Universidade de Brunswick (1792-1795) e posteriormente na Universidade de

Göttingen (1795 - 1798).

Durante seus estudos em Göttingen, Gauss conheceu Farkas Bolyai

(1775-1856) que mais tarde viria a ser pai de János Bolyai (ver figura 02) –

matemático que também estudou sobre o quinto postulado de Euclides. Gauss e

Farkas fizeram um curso de Abraham Kästner, matemático que muito se interessava

por estudar o quinto postulado; após as aulas eles discutiam sobre os axiomas de

Euclides e a possível independência do postulado das paralelas (O’ SHEA, 2009, p.

89).


Figura 2: János Bolyai

Fonte: http://www.gap-system.org

Em 1798, Gauss e Farkas Bolyai concluíram seus trabalhos e voltaram

para suas casas. A partir daí, Gauss manteve sua vida voltada para os estudos.

Defendeu sua tese de doutorado, a pedido do duque, na Universidade de Helmstedt

e recebeu o grau de doutor em 1799.

Lobachevsky (Figura 3) estudou na Universidade Estadual de Kazan e,

entre seus primeiros professores estava Martin Bartels que havia sido assistente na

escola de Gauss. Bartels atraiu Lobachevsky para estudar matemática e,

posteriormente, foi atraído para o estudo do quinto postulado. Por volta da segunda

década do século XIX, Lobachevsky, em Kazan, e Farkas Bolyai, em

Marosvásárhely, estavam trabalhando longe dos principais centros matemáticos e

grande parte do seu tempo livre era dedicado ao estudo do postulado das paralelas

(O’SHEA, 2009, p. 92).

Figura 3: Nikolai Lobachevsky


Lobachevsky começou a estudar o quinto postulado de Euclides em 1820

e observou que a geometria que se obtém ao negar o quinto postulado fazia sentido.


Três anos depois, ele afirmou que este postulado não havia sido provado em termos

rigorosos e, em 1826, apresentou alguns teoremas sobre os estudos que defendia.

De acordo com o portal “Só Matemática” - desenvolvido pelo grupo

virtuous - em 1829, Lobachevsky publicou o artigo, que se traduz: Sobre os

Princípios da Geometria. Este artigo marca o início da Geometria não euclidiana, na

qual Lobachevsky fica convencido que o quinto postulado de Euclides não pode ser

provado com base nos outros quatro.

Quanto a Farkas Bolyai, este não pode desfrutar da mesma sorte que

teve Gauss, pois seu patrono – a quem lhe havia dado a oportunidade de estudar na

universidade – estava enfrentando problemas financeiros e não pôde mais financiar

seus estudos e lhe restou trabalhar, exaustivamente, como professor de matemática,

química e física na faculdade calvinista em Marosváráhely, na Hungria. Casou-se,

teve um filho e, para complementar sua renda, teve que se ocupar com outras

atividades (O’SHEA, 2009, p. 90).

Ainda segundo o autor, apesar de todas as ocupações, Bolyai continuou a

estudar matemática. Ele então passou a investir e muito nos estudos de seu filho e

sonhava que, ele sim, conseguisse desfrutar de um futuro brilhante na matemática.

E não foi diferente, aos 13 anos de idade, János Bolyai tocava violino, dominava o

cálculo e a mecânica analítica, além de falar várias línguas.

Foi inevitável. János passou a trabalhar/estudar o quinto postulado e

questionar o que acontece quando se admite que ele não é válido. Ele então obteve

as respostas que Gauss já havia tido anteriormente e decidiu não publicar, pois

sabia que a publicação dos seus resultados lhe traria publicidade e incômodo, e isso

era o que ele não desejava.

O’Shea (2009, p. 95) ainda afirma que János havia começado a

desenvolver um novo tipo de geometria, que hoje chamamos de geometria

hiperbólica. Em correspondência ao pai, János afirmou que “estava no processo de

criar um outro mundo novo. Parece ter concluído em 1824”.

Em meados da década de 1820, Gauss concluiu que é possível haver

geometrias em que o quinto postulado deixa de ser válido. Assim, a obra de Gauss,

Bolyai e Lobachevsky mostrou a possibilidade da existência de outras geometrias,


fato que justificou a inclusão por Euclides do quinto postulado como axioma

(O’SHEA, 2009, p. 100).

Matos e Neves (2010, p. 73) acrescenta que “a partir do postulado das

paralelas novas geometrias foram desenvolvidas e no fim do século XIX essas

novas geometrias já eram aceitas. Elas influenciaram, juntamente com a ‘Crise dos

Fundamentos”, o novo modo de pensar em matemática. “A geometria euclidiana

perdeu o status de verdade inquestionável”.

É relevante deixar claro que essas novas geometrias não se tratavam

apenas de curiosidades lógicas, mas são tão reais e valiosas quanto à geometria

plana. O que se tem agora é uma visão muito mais abrangente e diferente do que se

tinha de geometria antes de 1850. E, a essa nova visão chamamos de “geometria

não euclidiana” (O’SHEA, 2009, p. 101).

No entanto, Courant e Robbins (2000, p. 268) afirmam que para a

demonstração da nova geometria não é suficiente propor vários e novos teoremas,

como fizeram Bolyai e Lobachevsky, mas sim, “construir ‘modelos’ desta geometria

que satisfazem todos os axiomas de Euclides, exceto o postulado das paralelas”.

Assim, para Sperling (2008, p. 27) a geometria não euclidiana estuda

transformações e invariâncias que não se encontram no plano euclidiano, ou seja,

não se verifica o quinto postulado de Euclides. Como exemplo, o autor assegura que

a soma dos ângulos internos de um triângulo não é igual a 180º. Desse modo, há

duas possibilidades: maior que 180º (chamada de geometria elíptica) ou menor que

180º (geometria hiperbólica).

Por esse motivo, a geometria não euclidiana ganha forças. E uma de suas

vertentes, destaca-se a Topologia, que viria a se tornar uma forte influencia nos

estudos sobre Matemática Moderna.

2.2. Um breve histórico da Topologia

A partir dos estudos acerca do quinto postulado de Euclides, a Topologia

ganhou destaque nos estudos de vários matemáticos. Segundo Boyer (1974, p.

442), ela pode ser dividida em dois sub-ramos que têm relativamente pouco em


comum: a “Topologia combinatória e a Topologia dos conjuntos de pontos”.

2.2.1. As contribuições de Leibniz para a Topologia

Eves (2004, p. 667) afirma que, perto do fim do século XVII, Leibniz

(Figura 4) usou o termo geometria situs para designar uma espécie de matemática

qualitativa e que mais tarde viria ser conhecida por Topologia.

Figura 4: Leibniz


Gottfried Wilhelm Leibniz nasceu em 1646 em Leipzig e ainda bastante

criança (aos sete anos) entrou na escola aprendendo latim e grego por conta

própria, aparentemente motivado pela vontade de ler os livros de seu pai, Friedrich

Leibniz, professor de filosofia moral em Leipzig que morrera quando Leibniz tinha

apenas seis anos de idade.

Aos doze anos de idade, Leibniz já dominava todo conhecimento corrente

de matemática, filosofia, teologia dentre outros. Aos quinze anos, ele entrou na

universidade de Leipzig; aos dezessete obteve o grau de bacharel; aos vinte ele

estava preparado para o grau de doutor em direito, mas esse lhe foi negado por

causa de sua pouca idade, fato que o obrigou afastar-se de Leipzig, obtendo seu

doutorado na Universidade de Altdorf em Nuremberg, onde lhe foi oferecido um

posto de professor de direito, que recusou (EVES, 2004, p. 442).

Leibniz entrou no serviço diplomático e, em 1672, quando cumpria uma

missão diplomática em Paris, conheceu Huygens, que na ocasião residia neste local.

O jovem diplomata convenceu o cientista a dar-lhe aulas de matemática e Huygens


sugeriu que se ele desejava tornar-se um matemático deveria ler os tratados de

Pascal de 1658-1659.

Segundo O’Connor e Robertson (1998), em 1673 uma missão política

levou Leibniz à Londres, onde comprou um exemplar das Lectiones geometricae de

Barrow, encontrou Oldenburg e Collins, e tornou-se membro da Royal Society onde

exibiu uma máquina de calcular que havia inventado.

Entre 1673 e 1676, Leibniz inventou o seu cálculo e usou pela primeira

vez, em 1675, o símbolo de integral que representava um “S” alongado. Em 1686

Leibniz publicou, na Acta Eruditorum, um trabalho sobre o Cálculo Integral com a

primeira aparição na imprensa da notação ∫. Outra grande conquista de Leibniz, em

Matemática, foi o desenvolvimento do sistema binário de aritmética. Ele aperfeiçoou

seu sistema em 1679, mas não publicou nada até 1701.

Em 1679, Leibniz publica seu famoso livro: Característica Geométrica que

(em termos modernos) busca estudar as propriedades topológicas ao invés das

propriedades métricas das figuras. Insiste que, além da representação coordenada

de figuras necessita-se de outra análise, puramente geométrica ou linear, que

também defina a posição (situs), como a álgebra define a magnitude (STADLER,

2010, p. 06).

Eves (2004, p. 667) afirma que apesar de Leibniz ter apresentado estudos

sobre uma matemática qualitativa, seus estudos sobre geometria situs só viriam a

ganhar forças tempos depois.

2.2.2. Euler e o início da Topologia

Courant e Robbins (2000, p. 286) afirmam que, apesar da Topologia ser

uma criação dos últimos cem anos, houve algumas descobertas anteriores que logo

se alinharam aos estudos mais modernos desta área. O destaque refere-se à

Leonhard Euler (1707-1783) que em 1752, mas observado inicialmente por

Descartes em 1640, relacionou em uma simples fórmula, os números de vértices,

arestas e faces de qualquer poliedro simples. No entanto, essa fórmula vai muito

além dos poliedros da geometria elementar.


Além disso, se imaginarmos a superfície do poliedro ou da esfera feita de uma delgada lâmina de borracha, a fórmula de Euler ainda será válida se a superfície for deformada curvando-se ou esticando-se a borracha até qualquer outra forma, desde que a borracha não se rompa no processo. Isso porque a fórmula está relacionada apenas aos números de vértices, arestas e faces, e não a comprimento, áreas, razões anarmônicas, ou a quaisquer dos conceitos usuais da Geometria Elementar ou Projetiva (COURANT e ROBBINS, 2000, p. 292).

Esse fato faz com que algumas perguntas, no campo da Topologia, não

façam muito sentido. Segundo Kasner e Newman (1976, p. 258), no âmbito

topológico não perguntamos, por exemplo, “Qual o comprimento?”, “A que

distância?”, “De que tamanho” e sim “Onde?”, “Entre o quê?”, “Dentro ou fora?”.

O primeiro trabalho nesta área, merecedor de destaque, é o problema das

Pontes de Königsberg, na qual se destaca o matemático Leonard Euler. Ver figura 5.

Figura 5: Leonard Euler


Euler nasceu em Basiléia e é considerado o mais brilhante gênio da

matemática pura e aplicada de todos os tempos. Além de matemática, ele também

estudou medicina, astronomia, física ótica, teologia e línguas estrangeiras com o pai

e outros professores. Por indicação dos irmãos Bernoulli, a convite de Catarina I,

Euler assumiu a área de medicina e fisiologia na Academia de Ciências de São

Petersburgo (1727).

Em território russo, Euler casou e teve treze filhos e, em 1733 perdeu a

visão do olho direito por excesso de trabalho ou por um problema neurológico. Um

ano depois, Euler introduziu o conceito de derivadas parciais; iniciou pesquisa sobre

mecânica analítica e criou a moderna teoria das frações contínuas e o cálculo das

variações (O’Connor e Robertson, 1998).


No ano de 1748, ele publicou o Introductio in analysin infinitorum, talvez

seu mais importante livro. Euler também estudou mecânica, óptica, acústica e

astrofísica, estudou o movimento lunar, o fenômeno dos eclipses e as posições

relativas dos astros.

Em 1771, ele publicou o livro Institutiones calcalis algebricorum na qual

sistematizou o estudo da álgebra. Nesse mesmo ano, Euler perdeu definidamente a

visão, porém não parou de produzir, fazendo-o através de ditado feito a seus filhos.

No ano de 1783 em São Petersburgo, Euler morre repentinamente.

Euler publicou mais de 500 livros e artigos durante sua vida, mas muitas

outras obras foram publicadas postumamente por quase meio século, totalizando

aproximadamente 900 publicações, com uma produção matemática girando em

torno da inigualável marca de 800 páginas por ano. O seu principal feito, à luz da

Topologia, refere-se ao problema das sete pontes de Königsberg. Esse problema é

considerado o início da Topologia e, por ser um dos problemas clássicos, o

abordaremos mais adiante.

2.2.3. Os estudos de Listing e Möbius

Apesar de Euler ser considerado o matemático que deu início à

Topologia, Möbius (1790-1868), aluno de Gauss, foi quem realmente impulsionou

seu desenvolvimento, dando uma definição precisa do conceito de transformação

topológica. Segundo Pinto (2004, p. 3), esta definição permitiu identificar a Topologia

como o ramo da matemática que estuda as propriedades das figuras que

permanecem inalteradas face às transformações topológicas.

August Ferdinand Möbius (ver Figura 6) nasceu em novembro de 1790

em Schulpforta, na Saxónia. No início da sua vida matemática, trabalhou com Carl

Friedrich Gauss e concluiu os seus estudos com uma tese sobre a ocultação de

estrelas, e dedicou-se à astronomia e matemática. Foi nesse período que a

Alemanha passou a ser um dos principais centros de investigação e de ensino da

matemática.


Figura 6: Augustus Ferdinand Möbius


De acordo com Courant e Robbins (2000, p. 285), aos 68 anos de idades

(1858), Moebius apresentou à academia de Paris uma exposição sumária sobre

superfícies unilaterais. Este trabalho continha fatos bem mais surpreendentes sobre

esta “nova geometria”. O trabalho ficou abandonado nos arquivos da Academia

durante anos e, mais tarde, foi finalmente tornado público pelo próprio Möbius.

Em 1865, Möbius escreveu um artigo na qual descreve que um poliedro é

simplesmente uma coleção de polígonos ligados entre si, fato que gerou o conceito

de “2-complexos” em Topologia. E em 1873, James Clerk Maxwell utilizou

conhecimentos topológicos da conectividade no estudo de campos eletromagnéticos

(EVES, 1992, p. 23).

Nos estudos de Topologia, Möbius estava interessado numa propriedade

das superfícies que é a da possibilidade ou impossibilidade de orientação. E assim

ele construiu uma superfície não orientável que hoje é chamada faixa (ou fita) de

Möbius. Segundo Pinto (2004, p. 4), foi Möbius e Johann Benedikt Listing (1808-

1882) que descobriram esta faixa de um só “lado” (faixa unilateral), que

apresentaremos adiante.

Alguns estudiosos, independentemente da área de atuação,

interessaram-se com as descobertas de Möbius, a destacar o artista gráfico M. C.

Escher. Em suas obras, Escher buscava fugir do óbvio e, segundo Azevedo (sd, p.

4) ele “sabia que uma situação impossível só causa impacto em quem a vê quando

não é imediatamente perceptível”. Suas obras apresentavam certos padrões

geométricos (simetrias) de pavimentação do plano. A faixa de Möbius também

destaca sua predileção em matemática, já que em 1963, Escher colocou, em uma


faixa de Möbius, nove formigas percorrendo-a “continuamente” (AZEVEDO, sd, p. 4).

Ver figura 7.

Figura 7: Obra Möbius strip de M. C. Escher.

Fonte: http://britton.disted.camosun.bc.ca

Em 1954, em Amsterdã, Escher foi convidado a expor seus trabalhos no

Congresso Internacional de Matemática. Segundo Azevedo (sd, p. 5) foi nessa

ocasião que o famoso matemático N. G. de Bruijin (especialista na área de

combinatória que generalizou o método de contagem de Polya) assegurou que os

“congressistas teriam uma grande satisfação ao reconhecer nos trabalhos de Escher

suas próprias ideias interpretadas por meios totalmente diferentes daqueles a que

estavam habituados”.

Segundo O’Shea (2009, p. 271) a palavra Topologia foi utilizada pela

primeira vez por J.B.Listing (Figura 8), em 1847, num pequeno livro intitulado

Vorstudien zur Topologie (Estudos Introdutórios em Topologia). Segundo Eves

(2004, p. 667), esse foi o primeiro livro dedicado ao assunto. Stadler (2010, p. 6)

acrescenta que, em 1861, Listing publicou outro artigo em que descreve a faixa de

Möbius (quatro anos antes que Möbius) na qual estuda a noção de superfícies

conexas.

Figura 8: Johann Benedikt Listing Fonte: http://www.gap-system.org


Listing nasceu em 25 de julho de 1808. Estudou, além de Matemática,

Arquitetura, astronomia, anatomia, fisiologia, botânica, mineralogia, geologia e

química. Listing foi aluno de Gauss, fato que o direcionou para o estudo de conceitos

topológicos. Ele também era um experimentador talentoso e colaborou com Gauss

em experiências de física, em especial as relativas ao magnetismo terrestre.

Segundo Eves (1992, p. 23), no mesmo ano que Listing publicou seu livro

relacionado à Topologia (1847), Gustav Robert Kirchoff, outro aluno de Gauss,

empregou a Topologia de grafos lineares em estudos de circuitos elétricos.

2.2.4. A contribuição de Bernard Riemann e Klein

O’Shea (2009, p. 136) também atribui o surgimento da Topologia a

Bernhard Riemann, outro discípulo de Gauss, que em 10 de julho de 1854 fazia uma

palestra sob o tema Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen

(Das fundações que sustentam a geometria) – tema este oriundo de pouco trabalho,

mas que contribuiu em muito para o desenvolvimento da matemática moderna. No

entanto, Riemann não publicou sua dissertação, pois era muito perfeccionista e

ocupado e se preocupava com as ligações existentes entre Matemática e Física.

Bernhard Riemann (Figura 9) nasceu em 1826, foi um dos seis filhos de

um pastor protestante muito pobre. Sua infância foi muito conturbada, aos sete anos

de idade perdeu a mãe, seu irmão morreu antes dele e suas irmãs morreram ainda

jovens.

Figura 9: Bernhard Riemann


Sua história e sua formação foram resultados de forças econômicas e

sociais. Ele estudou em casa, com ajuda de seu pai até os 14 anos de idade num

http://translate.google.com/translate?hl=pt-BR&prev=_t&sl=en&tl=pt&u=http://www.gap-system.org/%257Ehistory/Mathematicians/Gauss.html


vilarejo em Hanover, na Alemanha. Após, frequentou o gymnasium numa cidade

próxima e, em 1846, mudou-se para Göttingen para estudar teologia na

universidade. Nessa época, a Alemanha passava por um período conturbado e foi

nesse período que Riemann recebeu sua formação.

Assim que entrou na universidade, Riemann começou a se interessar e

elaborar vários cursos matemáticos e, por meio de cartas, perguntou ao pai se

poderia mudar de curso e recebeu uma resposta afirmativa. Assim, entre 1847 a

1849, ele passou os anos acadêmicos em Berlim, fato que o colocou na cena

matemática mais excitante do mundo de então (O’SHEA, 2009, p. 106).

Riemann fez importantes descobertas em relação à compreensão

conceitual em diversas áreas da matemática: teoria das funções, análise de vetores,

geometria projetiva e diferencial, e Topologia. O ensaio de Riemann sobre os

postulados fundamentais da geometria euclidiana, escrito no principio da década de

1850, mas publicado só em 1867, abriu todo o campo da geometria não euclidiana e

tornou-se um clássico na História da Matemática.

Riemann doutorou-se em 1854, lançando as bases da sua geometria (a

geometria não euclidiana que são generalidades da geometria esférica a três

dimensões). Neste mesmo ano, recebeu o cargo de professor auxiliar da

Universidade de Göttingen, e tornou-se professor adjunto em 1857 e, em 1859,

catedrado. Mas em 1862, adoeceu gravemente e, quatro anos depois, em 1866,

Riemann morre, um mês antes de completar 40 anos.

Segundo O’Shea (2009, p. 136), apesar da vida breve, a sua geometria

diferencial foi uma das maiores conquistas científicas do século XIX, não só no

campo da matemática, mas também no da Física, pois abriu caminho á teoria da

relatividade de Einstein, merecendo ser considerado um dos maiores matemáticos

de todos os tempos.

Segundo O’Shea (2009, p. 113), Riemann distinguiu inicialmente as

noções de espaço e geometria (estrutura adicional num espaço); apresentou a

definição de espaço e uma variedade como um tipo particular de espaço que

consiste em regiões onde os pontos podem ser designados como uma coleção de

números.


Sobre os estudos de Riemann, Courant e Robbins (2000, p. 285) afirmam

que “nada, talvez tenha dado mais impulso ao desenvolvimento posterior da

Topologia do que a grande estrutura da teoria das funções de Riemann, na qual os

conceitos topológicos são absolutamente fundamentais”.

Entender a perspectiva de Riemann é fundamental para a compreensão

do desenvolvimento da Matemática e da ciência do século XX e, ainda que Riemann

não estivesse interessado na Topologia em si, ele contribuiu em muito para

compreendermos a Topologia das superfícies (O’SHEA, 2009. p. 127).

Em seus estudos, Riemann deixou claro que o mesmo objeto matemático

poderia não somente ter estruturas diferentes, mas também poderia haver noções

diferentes de equivalência entre objetos e estruturas, ou seja, por certo ponto de

vista, dois objetos com diferentes estruturas poderiam ser o mesmo.

Com o passar do tempo, as ideias de Riemann começaram a se espalhar

em todo o mundo. O'Shea (2009, p. 139) afirma que elas passaram a ser difundidas

“com as de outros matemáticos e em quase todas as áreas da matemática, embora

em locais diferentes, em épocas diferentes e em extensões diferentes”.

Assim como Riemann, Félix Klein (Figura 10) se especializou na teoria

das funções e tinha grande interesse em geometria e Topologia. Para Klein, as

geometrias refletiam simetrias, e objetos geométricos, retas em particular, eram os

que permaneciam iguais quando submetidos a um conjunto estabelecido de

transformações (O’SHEA, 2009, p. 142).

Figura 10: Felix Christian Klein


Felix Christian Klein nasceu em 25 de abril de 1849, em Düsseldorf na

Alemanha. Formado na Universidade de Bonn, lecionou em várias universidades,


entre elas, destaca-se Leipzig (1880-1886) e Göttingen (1886-1913).

Klein dedicou seus trabalhos à geometria não euclidiana, teoria das

funções (a partir do desenvolvimento das ideias de Bernhard Riemann), módulos

elípticos e funções automórficas. Embora tenha trabalhado em vários outros

assuntos, sua principal contribuição foi na geometria.

Em 1871, Klein descobriu que a geometria euclidiana e a não euclidiana

podiam ser vistas como casos particulares de uma superfície projetiva, o que

tornava equivalente a consistência das duas geometrias. Klein desmitificou as novas

geometrias ao afirmar que a geometria euclidiana não era mais do que o estudo do

grupo das transformações euclidianas, a geometria hiperbólica não era mais do que

o estudo do grupo das transformações hiperbólicas (COURANT e ROBBINS, 2000,

p. 268).

Por volta de 1880, ele ampliou a obra de Riemann sobre teoria das

funções, estudando funções que eram invariantes sobre grupos de movimentos do

plano complexo.

Uma invenção bastante famosa de Félix Klein é a garrafa que leva seu

nome. Este também é considerado um dos problemas clássicos da Topologia, e por

isso será apresentado adiante.

2.2.5. Jordan e a Topologia

Jordan também foi um matemático que contribuiu para a Topologia e um

dos seus principais destaques refere-se ao teorema que leva o seu nome. Sobre

esse teorema, mostraremos nossas considerações na seção seguinte.

Marie Ennemond Camille Jordan (Figura 11) nasceu em 1838 em La

Croix-Rousse, na cidade de Lyon, e trabalhou em diferentes áreas da Matemática,

contribuindo para todos os tópicos estudados ao seu tempo.


Figura 11: Camille Jordan

Fonte:http://www.gap-system.org

Ele ganhou fama em toda a Europa ao demonstrar um célebre problema

de álgebra proposto por Niels Abel, segundo o qual é possível resolver qualquer tipo

de equação algébrica por meio de radicais. Considerado o herdeiro e continuador

das ideias de Évariste Galois sobre álgebra e teoria dos grupos, estudou engenharia

de minas e realizou suas primeiras pesquisas matemáticas no campo da geometria.

Jordan foi professor da Escola Politécnica de Paris (1876-1912), reuniu

suas aulas de análise matemática nos três volumes do Cours d'analyse de l'École

Polytechnique (1882), que contribuiu para formar gerações de matemáticos. Deixou

contribuições importantes também no campo da Topologia, que trata das noções

básicas e propriedades de um espaço matemático.

Aos 83 anos (1922), Jordan falece em Milão, Itália. Suas contribuições

especiais estão no estudo de grupos finitos, álgebra linear e multilinear, Topologia,

equações diferenciais e mecânica, entretanto hoje é lembrado por analistas e

topólogos devido à sua prova da afirmação conhecida por Teorema de Jordan ou

Teorema da Curva de Jordan (SÓ BIOGRAFIAS, 2011).

Embora este teorema seja aparentemente óbvio, tem provado ser

extremamente importante para a Topologia e fornece aos estudiosos de matemática

recreativa respostas para muitos problemas clássicos. O problema das três

utilidades é um deles e que será destacada mais adiante.

2.2.6. David Hilbert


Outro estudioso que merece destaque é David Hilbert (Figura 12).

Segundo O’Shea (2009), os seus estudos inicialmente concentravam-se com a

teoria dos invariantes, passando para a teoria algébrica dos números e, no final do

século XIX, interessou-se pelas fundações da geometria.

Figura 12: David Hilbert


David Hilbert nasceu em 1862 em Königsberg na Prússia, hoje conhecida

como Kalingrado e localizada em território russo. Foi um matemático alemão cujo

trabalho em geometria teve a maior influência no campo de estudo desde Euclides.

Depois de fazer um estudo sistemático da geometria Euclidiana, Hilbert propôs um

conjunto de 21 axiomas e analisou o significado deles.

Segundo o site “Enciclopédia Britânica” Hilbert modificou, de forma

altamente original, a matemática dos invariantes na qual provou o teorema que

todos os invariantes podem ser expressos em termos de um número finito. Em seu

Zahlbericht (Comentário sobre Números), um relatório sobre teoria dos números

algébricos publicado em 1897, consolidou o que foi conhecido neste tema e apontou

o caminho para os desenvolvimentos que se seguiram.

Em 1899 ele publicou o livro Grundlagen der Geometrie (Os Fundamentos

da Geometria) – ver figura 13 abaixo, que continha o seu conjunto definitivo de

axiomas para a geometria euclidiana e uma análise concisa de seu significado. Este

livro popular, que apareceu em 10 edições, foi um passo decisivo no tratamento

axiomático da geometria.


Figura 13: Livro Grundlagen der Geometrie publicado em 1899 por David Hilbert

Fonte: http://www.syllogismos.it/libristorici/hilbert.htm

Grande parte da fama de Hilbert refere-se a uma lista de 23 problemas

de pesquisa que ele enunciou, em 1900, no Congresso Internacional de Matemática

em Paris. No seu discurso, entrevistou quase toda a matemática de sua época e se

esforçou para expor os problemas que ele pensou serem significativos para os

matemáticos do século XX. Muitos dos problemas já foram resolvidos, e cada

solução foi um acontecimento notável (O’SHEA, 2009, p. 191).

2.2.7. As contribuições de Poincaré, Max Dehn e Tietze para a Topologia

Foi em 1881 que Felix Klein tomou conhecimento de notas publicadas por

Henri Poincaré intituladas: Das funções fuchsianas; eles começaram a trocar

correspondências tão fascinantes e complexas quanto irônicas (O’Shea, 2009, p.

153).


Jules Henri Poincaré (Figura 14) nasceu em 29 de abril de 1854. Era uma

criança inquestionavelmente inteligente e, apenas com 15 anos de idade (1869),

mostrou ter talento para a matemática. Contudo, dois anos depois, passou nos

exames do primeiro grau quase reprovado em matemática, quando se confundiu

com uma pergunta simples sobre séries geométricas. Redimiu-se pouco depois ao

ganhar o primeiro prémio em matemática nos exames para a Escola de Silvicultura

sem ter tirado quaisquer apontamentos nas aulas.

Figura 14: Jules Henri Poincaré


Poincaré foi recebido na École Polytechnique, ninho da Matemática

francesa. Aí ganhou fama como menino-prodígio da Matemática e lá permaneceu de

1873 até 1875, data em que ingressou na École des Mines. Apenas com 27 anos de

idade, Poincaré estabeleceu a teoria geral das funções automorfas, dando a sua

representação por séries. Esta descoberta deu-lhe a chave do mundo algébrico.

Poincaré, por ironia, começou a recriar e redescobrir alguns dos

resultados encontrados por Riemann épocas atrás, no entanto, deu a suas novas

funções o nome de Fuchs, dando assim a impressão de que se alinhava com a visão

de Weierstrass.

Mas, foi em 1904 que ele formulou um dos problemas matemáticos que

tirou o sono de muitos durante décadas em busca de uma solução: A conjectura de

Poincaré, que será estudada mais adiante.

... a conjectura de Poincaré, exerceu uma influência sobre os matemáticos. Ali estava a questão mais simples gerada ao se pensar a forma do universo. Para quem se aventurou nos artigos topológicos, a questão passou a ser uma obsessão. A primeira vítima, além do próprio Poincaré, foi o brilhante Max Dehn. (O’SHEA, p. 180, 2009)


Max Dehn (Figura 15) nasceu em treze de novembro de 1878 na

Alemanha. Estudou em Göttingen, sob supervisão de Hilbert, e obteve seu

doutorado em 1900 com a tese intitulada: Die Legendreschen Sätze über die

Winkelsumme im Dreieck.

Figura 15: Max Dehn


Segundo O’Connor e Robertson (1997), em 1907, Dehn, em conjunto com

Poul Heegaad (Figura 16), escreveu uma das primeiras exposições sobre Topologia

e, mas tarde, formulou um dos problemas mais importantes – o problema da palavra

e do isomorfismo.

Figura 16: Poul Heegaad


Em 1910, Max Dehn e Heegaard publicaram um artigo sobre Topologia

tridimensional onde construiam esferas homólogas usando a chamada, cirurgia de

Dehn. Nesse artigo, eles acreditavam que suas argumentações pudessem

demonstrar a conjectura de Poincaré. No entanto, O’Shea (2009, p. 182) afirma que

“o artigo deixou claro para o restante da comunidade matemática que, verdadeira ou

não, a conjectura era muito difícil”.


O artigo de 1910 é interessante também por várias outras razões. Mostrou que havia uma conexão entre esferas de homologia e a geometria não euclidiana. Também investigou algumas conexões entre teoria dos nós e variedade tridimensional. Um dos resultados mais impressionantes baseava-se num resultado notório, hoje chamado de lema de dehn, que este acreditava ter provado. Mas descobriu-se mais tarde que a demonstração tinha uma falha, e o lema de Dehn só seria demonstrado em 1957 (O’SHEA, 2009, p. 182).

Os trabalhos de Dehn sobre Topologia o levaram para o estudo de

grupos, especialmente apresentações de grupo que surgem naturalmente de

considerações topológicas. Apesar de seu interesse por Topologia, este não foi o

único, pois Dehn, também escreveu sobre a estática, aviões projetivos e História da

Matemática.

O’Shea (2009, p. 183) afirma que foi Tietze (Figura 17) que evitou que

Dehn publicasse sua demonstração errada da conjectura de Poincaré. O autor ainda

acrescenta que ele foi um dos grandes nomes a estudar sobre Topologia na época.

Figura 17: Heinrich Tietze


Heinrich Franz Friedrich Tietze nasceu em agosto de 1880 na Austria. Em

1898, iniciou seus estudos em Technische Hochschule, Viena. Tietze foi

supervisionado por Gustav von Escherich durante todo seu estudo de doutorado

iniciado em 1902 e concluído em 1904.

Foi durante uma palestra de Wirtinger que Tietze começou a se interessar

por Topologia e, a partir de então, passou a ser seu tema de estudo principal. Em

1908, Tietze apresentou sua habilitação sobre tópicos topológicos.

Segundo O’Connor e Robertson (2000), Tietze ainda contribuiu para os

fundamentos da Topologia geral e desenvolveu um importante trabalho sobre as


subdivisões de complexos celulares. Em 1908, reconheceu um grupo fundamental

de um espaço de todos os invariantes. Neste mesmo artigo, Tietze afirma que os

grupos fundamentais são invariantes topológicos, introduzidos inicialmente por

Poincaré em 1895.

Os estudos de Tietze na Topologia abrangem a teoria dos nós, a curva de

Jordan e o mapeamento de áreas contínuas. Ele ainda contribuiu em outras áreas

da matemática, tais quais: frações contínuas, números primos e geometria

diferencial.

De acordo com Chinn e Steenrod (1975, p. 8), os trabalhos em Topologia

combinatória ou algébrica começaram a ser estudadas em 1890 por Henri Poincaré

(1854-1912) a partir de seu trabalho sobre a teoria do cálculo integral em espaços

multidimensionais. No entanto, segundo Boyer (1974, p. 442), o termo Analysis situs

(cujo significado é “Análise de lugar”) foi utilizado pela primeira vez, em 1895, por

Poincaré; este termo designava a disciplina que hoje é chamada de Topologia.

Contudo, deixou de ser utilizado a partir da década de 1920.

Convém deixar claro que Poincaré não foi o inventor da Topologia, mas

lhe deu asas. O’Shea (2009, p. 180) referente ao trabalho de Poincaré diz que “seus

seis artigos sobre Topologia criaram praticamente do nada, o campo da Topologia

algébrica. A nova disciplina levaria a alguns dos grandes sucessos da matemática

do século XX”.

Pinto (2004, p. 6), acrescenta que:

Henri Poincaré foi um dos primeiros matemáticos a procurar invariantes topológicos aplicáveis a superfícies de Riemann de dimensões superiores. Ao fazê-lo ajudou a descobrir o ramo particular da Topologia atualmente conhecido por Topologia algébrica, que tenta utilizar conceitos da Álgebra na classificação e no estudo das superfícies de Riemann.

Segundo Boyer (1974, p. 420), a Topologia combinatória é o estudo de

“aspectos qualitativos intrínsecos das configurações espaciais que permanecem

invariantes por transformações biunívocas contínuas com inversa contínua, ou seja,

é a área da geometria cujo interesse é estudar os objetos geométricos do ponto de

vista do arranjo entre várias partes essenciais que os compõem” (Sampaio, 2008, p.

11).


2.2.8. O. Veblen, J. W. Alexander e Lefschetz

Segundo Courant e Robbins (2000, p. 286) os norte americanos Veblen,

Alexander e Lefschetz também deram suas contribuições para o desenvolvimento da

Topologia.

Para O’Shea (2009, p. 203), Vebler (1880-1960) e Birkhoff (1884-1944)

concluíram sua graduação em Harvard e seguiram seus estudos em Chicago, onde

obteriam o grau de doutor em 1903 e 1907, respectivamente. Em sua tese, Veblen

abordou sobre os axiomas da geometria e após a defesa, interessou-se por

Topologia e relatividade.

Em seus estudos Oswald Veblen (Figura 18) já tinha começado a realizar

pesquisas em Topologia e, em 1905 publicou Theory on plane curves in non-metrical

analysis situs. (O’Connor e Robertson, 2005).

Figura 18: Oswald Veblen


Em 1922, Veblen estudou as ideias de Poincaré sobre Topologia e

apresentou para matemáticos americanos. Birkhoff (Figura 19), de maneira

independente, interessou-se pelos trabalhos de Poincaré e percebeu que elas

tratavam de sistemas dinâmicos.


Figura 19: Georg Birkhoff


Segundo O’Shea (2009, p. 203) em 1913, Birkhoff “ficou famoso por

demonstrar o último teorema geométrico de Poincaré, o teorema conjectural que ele

não tinha demonstrado e publicou relutantemente no ano de sua morte”. O autor

ainda acrescenta que, pelo fato de ser um norte americano, sua demonstração

recebeu status de descrédito em Göttingen.

James W. Alexander (Figura 20) foi aluno de Veblen. Sua colaboração

surge quando mostra que a Topologia das variedades pode ser estendida para

poliedros. Antes de 1920, Alexander havia mostrado que a homologia de um

complexo simplicial é um invariante topológicos. Em seus trabalhos ele rearranjou as

ideias de Poincaré em termos mais rigorosos (O’Connor e Robertson, 2000).

Figura 20: James Alexander


Os autores ainda acrescentam que as contribuições de Alexander não se

limitaram a esses estudos. Ele também contribuiu para a generalidade do teorema

da curva de Jordan. Em 1928, descobriu o teorema é passou a ser importante para a


teoria dos nós. Este último foi alvo de extenso trabalho juntamente com a teoria

combinatória dos complexos, até o final de sua vida (1971).

Além de Alexander, Lefschetz (1884-1972) também seguiu os estudos de

Veblen. No entanto, Lefschetz (Figura 21) trabalhou isoladamente e mostrou

aplicações de Poincaré desde a Topologia até os estudos em álgebra, bem além de

qualquer coisa que este tinha elaborado (O’Shea, 2009, p. 205).

Figura 21: Solomon Lefschetz


Entre 1911 e 1919, Lefschetz escreveu vários trabalhos que se

mostraram importantes na Topologia, apesar dele está fora dos grandes centros de

pesquisa matemática da época.

2.3. Problemas Clássicos da Topologia

Mostraremos agora, os problemas que impulsionaram alguns estudos na

Topologia. Problemas estes, considerados clássicos por muitos pesquisadores da

área.

2.3.1. Euler e as sete pontes de Königsberg

O problema das pontes de Königsberg consiste em efetuar um passeio

pela cidade de modo a passar por todas as pontes uma única vez. Em 1736, Euler

publicou um artigo sobre a solução deste problema intitulado Solutio problematis ad

geometriam situs pertinentis que se traduz como “solução de um problema

relacionado com a geometria de posição”.


Königsberg é uma antiga cidade alemã, hoje conhecida como

Kaliningrado e localizada em território russo. Essa cidade é cortada por duas

vertentes de um rio, formando uma ilha. Sete pontes ligam a cidade à ilha, conforme

mostra a figura 22.

Figura 22: Esboço das sete Pontes de Königsberg

Fonte: www.inf.ufpr.br

Segundo Pinto (2004, p. 2), Euler percebeu que este problema pouco, ou

nada, tinha a ver com geometria. O próprio título do artigo indica que Euler estava

ciente de que lidava com um tipo diferente de geometria em que a distância não era

relevante. Segundo Devlin (2002, p. 253) “esta independência da geometria é a

essência da Topologia”.

Figura 23: Grafo do problema das pontes de Königsberg

Fonte: SAMPAIO, 2008.

De acordo com Peres, Moreira e Sá (2010, p. 6), quando Euler tomou

conhecimento deste problema ele não só o resolveu como formulou respostas a

vários outros problemas semelhantes, fato que fez com que seus estudos

evoluíssem para a moderna teoria dos grafos lineares (abordaremos o conceito de

grafo na seção seguinte). A figura 23 mostra o diagrama (um exemplo de grafo) do

problema atrás citado.


Euler percebeu que o número de vértices num grafo deve ser sempre par,

ou então, possuir apenas dois vértices ímpares para que possa ser percorrido de

uma só vez. Assim, como o problema das pontes de Königsberg apresenta quatro

vértices ímpares, então trata-se de um problema sem solução (SAMPAIO, 2008, p.

19).

Segundo Schemmer e Pereira (sd, p. 2) Euler percebeu a existência de

algumas propriedades das figuras geométricas que não dependiam da forma nem do

tamanho das figuras. Percebeu que poderia torcer, esticar, puxar algumas figuras,

sem que essas propriedades se alterassem. Essas e outras propriedades são ditas

topológicas.

2.3.2. Möbius e Klein: superfícies unilaterais

A faixa de Möbius (Figura 24) é um problema topológico na qual são

apresentadas as superfícies não orientáveis. Trata-se de uma descoberta particular

interessante feito por Möbius e Listing.

Figura 24: Faixa de Möbius

Fonte: pt.wikipedia.org

Möbius e Listing estudaram esta superfície em 1858, em trabalhos não

publicados na época. Em 1862, Listing mostrou que a faixa apresenta apenas um

bordo e em 1865, independentemente de Listing, Möbius analisou as propriedades

da faixa como uma superfície triangulável, poliédrica e não-orientável num estudo

mais completo sobre o tema. Somente em 1858, a propriedade de que a faixa

apresenta apenas um lado foi apontada por ambos.


Na verdade, segundo Devlin (2002, p. 259) é matematicamente incorreto

dizer que a faixa de Möbius tem um único lado, pois ele afirma que “esta é

definitivamente, a forma como os matemáticos apresentam usualmente a faixa de

Möbius ás crianças ou aos estudantes novos de Topologia” (tradução nossa). Isso

porque a verdadeira história é algo mais sutil, pois as superfícies matemáticas não

têm “lados”.

A faixa de Möbius é de fácil construção e, a partir dela, Courant e Robbins

(2000, p. 316), destacam algumas variações que se tornam interessantes frente aos

resultados encontrados, sobre esses problemas falaremos mais tarde.

A garrafa de Klein é uma junção de duas faixas de Möbius e segundo

Stewart (2010, 194), Felix Klein inventou uma superfície em forma de garrafa em

1882 e que passou a ser importante na Topologia devido ser um exemplo de uma

superfície sem arestas e com apenas um “lado”, ou seja, superfície fechada não

orientável (Figura 25).

Figura 25: Garrafa de Klein.

Fonte: Xerxes, 2011

Para Stewart (2010, p. 195) o único motivo de Klein ao inventar essa

garrafa foi que ela surgiu naturalmente na teoria da superfície de Riemann na

análise complexa, que “significa – de uma maneira bonita – certos comportamentos

bizarros que surgem quando tentamos desenvolver o cálculo sobre os números

complexos”.

2.3.3. O teorema das quatro cores

Outro problema clássico da Topologia diz respeito ao Teorema das

Quatro Cores. A história desse problema começou em 1852, quando Francis Guthrie

(Figura 26) tentava colorir os vários distritos do mapa de Inglaterra de tal modo que

dois distritos vizinhos não tivessem a mesma cor. Depois de ter refletido sobre o


problema, conjecturou que qualquer mapa poderia ser colorido com apenas quatro

cores (SAMPAIO, 2004, p. 2).

Figura 26: Francis Guthrie


A figura 27 mostra o mapa do Brasil, colorido com apenas quatro cores,

que exemplifica a afirmação de Francis Guthrie.

Figura 27: Mapa do Brasil colorido em quatro cores. Fonte: Autores

Francis Guthrie, que foi advogado, botânico e, sobretudo, matemático,

tinha um irmão mais novo, Frederick Guthrie, que era aluno de Augustus De Morgan

(Figura 28). Em Outubro de 1852, Frederick apresentou a conjectura do seu irmão

mais velho ao professor de De Morgan. Este ficou muito entusiasmado e, no mesmo

dia, escreveu uma carta a William Rowan Hamilton na qual explicava o problema.

Esta carta foi conservada e encontra-se hoje nos arquivos do Trinity College em

Dublin (STEWART, 2009, p. 17).


Figura 28: De Morgan


Contrastando com a animação de De Morgan, Hamilton não achou o

problema interessante. Respondeu quatro dias mais tarde dizendo que tão cedo não

tencionava debruçar-se sobre a questão. Nos tempos que se seguiram, foi

sobretudo através de De Morgan que a comunidade científica tomou conhecimento

da Conjectura das Quatro Cores. De Morgan escreveu algumas cartas para outros

matemáticos conhecidos, o problema foi discutido e teve alguns desenvolvimentos.

Por exemplo, De Morgan ocupou-se durante algum tempo com a questão de saber

se quando quatro países têm dois a dois fronteiras comuns, um deles tem de estar

dentro dos outros três (STEWART, 2009, p. 18).

Depois de 1860, por um período de cerca de vinte anos, o interesse dos

matemáticos pelo Problema das Quatro Cores esmoreceu. Pelo menos, não aparece

discutido na literatura matemática desse tempo. Mas não foi esquecido. Com efeito,

em 13 de Julho de 1878, Arthur Cayley (Figura 29) indagava na seção de

Matemática da Royal Society se porventura alguém já submetera uma solução da

Conjectura das Quatro Cores. O próprio Cayley publicou uma pequena análise do

problema nos Proceedings of the Royal Geographical Society em 1879 (SAMPAIO,

2004, p. 4).

Cayley era um advogado brilhante, mas aproveitava todo o tempo que

podia para a Matemática. Entre outras áreas, contribuiu significativamente para o

desenvolvimento da Geometria Algébrica.


Figura 29: Arthur Cayley

Fonte: http://www.gap-system.or

Em 1879, Alfred Bray Kempe (Figura 30), que era também advogado e

que tinha estudado no Trinity College de Cambridge, onde fora aluno de Cayley,

publicou uma demonstração completa do Teorema das Quatro Cores no American

Journal of Mathematics.

Figura 30: Alfred Bray Kempe


A demonstração de Kempe foi estudada por vários matemáticos de

renome, alguns deles tendo feito sugestões para melhorar a demonstração.

Portanto, em 1879 considerava-se definitivamente estabelecido o Teorema das

Quatro Cores.

Mas, em 1890, Percy John Heawood (Figura 31) provou que a

demonstração de Kempe tinha um erro. No mesmo artigo, Heawood lamentava não

ter sido capaz de obter nenhuma demonstração alternativa do teorema. Conseguiu,

no entanto dar mais um passo positivo. Provou o teorema das cinco cores, na qual


afirma que são necessárias apenas cinco cores para colorir um mapa plano onde

países de fronteira comum apresentem cores diferentes (STEWART, 2009, p.19).

Figura 31: Percy John Heawood

Fonte: learn-math.info

Heawood estudou também a questão do número de cores necessárias

para colorir mapas sobre vários tipos de superfícies fechadas para além da esfera,

as chamadas superfícies esféricas com “asas”. Estas questões também já tinham

sido abordadas por Kempe. Heawood contribuiu de maneiro relevante no estudo

destes problemas. E surpreendentemente, eles foram resolvidos antes do Problema

das Quatro Cores. Contribuições nestes assuntos foram dadas por Gerhard Ringel e

J.W.T.Youngs e também por Jean Mayer (SAMPAIO, 2004, p. 43).

Durante 124 anos, muitos métodos foram desenvolvidos para atacar o

Problema das Quatro Cores. Em 1967, o livro de Ore impulsiona os estudos que se

produzira até à data em Teoria de Grafos para abordar o problema, bem como de

vários outros problemas que foram sendo solucionados nesse percurso.

Finalmente, em 1976, com a ajuda de um IBM 360, em Urbana (Illinois),

Kenneth Appel e Wolfgang Haken apresentaram uma demonstração do Teorema

das Quatro Cores. Quando a notícia do feito se espalhou pelos vários

departamentos de matemática, houve um enorme entusiasmo, muitos professores

interromperam as aulas para comemorar. Mas a euforia esfriou em muitos deles

quando souberam que essa demonstração incluía mais de mil horas do uso de

computadores de alta velocidade. A prova era longa para ser verificada à mão e

havia sempre a possibilidade de os computadores terem cometido algum erro de

difícil detecção.


Hoje em dia a validade da demonstração é aceita na generalidade da

comunidade matemática, mas continua a ser polêmica, pois se trata de uma

argumentação baseada numa grande quantidade de cálculos por computador,

impossíveis de ser verificados detalhadamente por um ser humano durante toda a

sua vida.

Vale a pena lembrar que muitos matemáticos contribuíram com o seu

trabalho para o feliz desfecho em 1976. Para além dos nomes já referidos e de

muitos outros, destaca Birkhoff e Heeschque que teriam contribuído com ideias que

se tornaram fundamentais na obtenção da prova de Appel e Haken.

Figura 32: Kenneth Appel e Wolfgang Hakenem 1970

Fonte: Sampaio, 2008.

John Koch também está relacionado ao teorema das quatro cores, tendo

trabalhado com Appel e Haken nos programas computacionais que levaram à

solução deste. Em Agosto de 1994, no Congresso Internacional de Matemática, em

Zurique, Paul D. Seymour apresentou uma prova simplificada do Teorema das

quatro cores, cujo resultado foi formulado em trabalho conjunto com Neil Robertson,

Daniel P. Sanders e Robin Thomas. Eles também não conseguiram dispensar o uso

do computador. Contudo, foram capazes de reduzir a quantidade de cálculos para

um nível mais tolerável.

Apesar disso, a questão de desenvolver uma demonstração que não

necessite o auxílio de computadores continua em aberto.


2.4. A conjectura de Poincaré

Depois dos trabalhos de Dehn e Tietze, ninguém mais duvidava da

dificuldade em resolver a Conjectura de Poincaré. Os avanços de sua descoberta

começaram a surgir nos trabalhos de James W. Alexander. Segundo O’Shea (2009,

p. 199), Alexander demonstrou que duas variedades tridimensionais que tinham o

mesmo grupo fundamental não eram homeomorfas.

Segundo Stewart (2009, p. 147), em 1904 Poincaré tentava compreender

as “variedades tridimensionais”. O’Shea (2009, p. 199) ainda acrescenta que “a

conjectura de Poincaré é o caso especial dessa pergunta: quando os grupos

fundamentais têm apenas um único elemento. Alexander aumentou enormemente

as apostas sobre a conjectura de Poincaré e levantou a clara possibilidade de ela

ser falsa”.

Em 1936 a conjectura já era um dos problemas que tirava o sono de

muitos matemáticos e, nesse mesmo período, a Topologia já estava se

consolidando. Fato que motivou a criação de dois textos, Lehrtbuch der Topologie

escrito por Seifert e Threlfall e Topologie de Aleksandrov e Hopf, que tornaram

possível entender à obra de Poincaré (O’SHEA, 2009, p. 200).

Segundo Sodero (2009, p. v) a conjectura de Poincaré afirma que

qualquer variedade de dimensão 3, compacta, sem bordo e simplesmente conexa é

homeomorfa a S³ (esses e outros conceitos serão abordados na próxima seção); e a

conjectura generalizada de Poincaré diz que qualquer n-variedade compacta, sem

bordo, com o mesmo tipo de homotopia de uma n-esfera Sn é homeomorfa a Sn.

Em outras palavras, Stewart (2009, p. 148) afirma que essa conjectura

insere-se naturalmente no estudo sobre a forma do universo, já que ela afirma que

todo o espaço tridimensional fechado “sem buracos” tem uma forma essencialmente

esférica, fato que leva os astrónomos e os cosmólogos a observa o mundo à nossa

volta procurando compreender as leis da matéria e da energia (que estão

intimamente ligadas à geometria e a “forma” do Universo). Leis essas que regem a

evolução do Universo e que a Teoria da Relatividade de Einstein nos ajuda a

compreender.


Sodero (2009, p. v) ainda acrescenta que foi em 1960 que Stephen Smale

(Figura 33) demonstrou a conjectura generalizada de Poincaré para o caso n ≥ 5 em

seu artigo intitulado Generalized Poincaré’s Conjecture in Dimension Greater than

Four. Em 1982, outro fato acontece trazendo consigo uma solução considerada de

longe mais complicada que todas as anteriores: o caso da dimensão 4, resolvido por

Michael Freedman.

Figura 33: Stephen Smale


Esta conjectura é, antes de tudo, uma questão sobre Topologia. Como

sabemos, aos olhos da Topologia, as superfícies de uma bola de futebol e de uma

bola de futebol americano são indistintas, pois são superfícies de dimensão 2 que

podem ser obtidas uma da outra por deformação. Em contrapartida, a superfície de

uma rosquinha, por exemplo, já é distinta das anteriores, pois apesar de também

possuir duas dimensões, possui um buraco no meio, e mesmo que seja deformada

(desde que não seja rasgada, partida ou colada), não é possível transformá-la na

superfície de uma bola; o buraco permanecerá sempre lá.

Outra propriedade que distingue a superfície de uma bola de uma

rosquinha é a seguinte: imagine que se desenha um contorno fechado na superfície

da bola; então este contorno fechado pode sempre ser progressivamente encolhido

até ficar um só ponto; na superfície da rosquinha isso não acontece, uma vez que,

se o contorno for desenhado de forma a dar a volta ao buraco central é impossível

encolher o contorno para além do tamanho do buraco. Como consequência não se

pode reduzir o contorno a um só ponto. É fato: matematicamente a superfície de

uma bola, ou esfera, é a única superfície fechada de dimensão 2 na qual todos os


contornos ou caminhos desenhados podem ser encolhidos até se tornarem um único

ponto.

A grosso modo, a conjectura de Poincaré é exatamente esta mesma

questão, com a diferença de que o foco desta vez são superfícies e espaços de

dimensão 3. Foi após, aproximadamente, cem anos que a conjectura foi finalmente

provada por Grigori Perelman em 2003, fato que levou a considera-la com um

teorema.

2.4.1. O teorema de Poincaré-Perelman

Como já sabemos, a conjectura de Poincaré foi formulada no ano de 1904

por Jules Henri Poincaré [1854 - 1912], um grande matemático francês. Desde essa

data permanecia sem solução. Durante muito tempo ninguém conseguiu decidir se a

conjectura era verdadeira ou falsa. Gerações de matemáticos dedicaram notáveis

esforços a fim de chegar a uma resposta.

A fama de Grigori Perelman [1966-] vem merecidamente da qualidade e

importância histórica do seu trabalho. Foi ele quem demonstrou em 2002/2003 que a

conjectura é verdadeira, e esse foi provavelmente o primeiro grande acontecimento

na matemática do século XXI. A repercussão desta solução no meio matemático é

enorme e alarga o conhecimento atual sobre espaços e geometrias de dimensão

três. A história da busca da solução é interessante como, diga-se de passagem,

frequentemente sucede com problemas de tal teor.

Grigori Perelman (Figura 34) nasceu em Leningrado, União Soviética

(atual São Petersburgo, Rússia) no dia 13 de junho de 1966. Este matemático

recluso e misterioso trabalhava até dezembro de 2005 no Instituto Steklov de

Matemática, em São Petersburgo, mas se demitiu. Quase sempre recusa entrevistas

e muito raramente fala em público. Há cerca de dez anos, no seu início de carreira,

visitou várias universidades americanas, onde desenvolveu um trabalho considerado

“brilhante” por colegas. Depois voltou para a Rússia e daí desapareceu.


Figura 34: Grigori Perelman

Fonte: news.rtl.lu

Durante oito anos, Perelman permaneceu silencioso em São Petersburgo;

não publicou artigos e ninguém sabia onde ele trabalhava. Seu nome foi esquecido.

Porém, em Novembro de 2002, para surpresa de toda a comunidade

matemática, Perelman publicou num arquivo científico da internet (ArXiv.org) um

primeiro artigo sobre o seu trabalho. Neste artigo intitulado The entropy formula for

the Ricci flow and its geometric applications, Perelman desenvolve uma estratégia

de ataque ao problema originalmente proposto pelo matemático americano Richard

Hamilton: A teoria do fluxo de Ricci.

Explorado e desenvolvido por Richard Hamilton, este problema baseia-se

em uma equação diferencial relacionada à introduzida por Joseph Fourier [1768 –

1830] 160 anos mais cedo para estudar a condução de calor. Com a equação de

fluxo de Ricci, Hamilton obteve resultados surpreendentes na geometria. Porém, os

progressos na sua aplicação à conjectura levaram-no a um impasse causado, em

grande parte, pela formação de singularidades que desafiaram a compreensão

matemática.

Perelman estava perigosamente próximo de provar a inatingível

conjectura de Poincaré. Desde então o trabalho de Perelman - o artigo de 2002 e

outros dois que publicou em Abril de 2003 intitulados Ricci flow with surgery on

three-manifolds e Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain

three-manifolds – foi o foco de intensas pesquisas. A prova que Perelman descobriu

da conjectura de Poincaré foi possível graças a uma série de novos elementos.


Ao longo dos últimos quatro anos, matemáticos de todo o mundo, peritos

nas técnicas e dificuldades da Conjectura de Poincaré, esforçaram-se arduamente a

fim de entender os elaborados métodos de Perelman, examinaram em detalhes os

argumentos do matemático procurando falhas nos seus raciocínios, mas tudo em

vão. As dificuldades foram ultrapassadas, as dúvidas esclarecidas e a solução de

Perelman foi, de maneira gradual, aceita pela comunidade matemática. Atualmente

a conjectura de Poincaré é um teorema, pois não somente é uma afirmação como foi

demonstrada (CARLSON, 2010).

Antes de Perelman, a maioria dos peritos na conjectura concordava em

que a resposta à questão era positiva, mas não conseguiam prová-la. Perelman,

diferentemente dos estudiosos anteriores, respondeu afirmativamente com

renomada demonstração esta questão que há quase 100 anos vinha sendo

estudada.

Numerosas falsas demonstrações foram aparecendo ao longo dos anos,

mas todas estavam incompletas ou com raciocínios equivocados. Resultados

análogos à Conjectura de Poincaré já tinham sido demonstrados, porém, a

dimensão três, que tinha sido originalmente estudada por Poincaré, permanecia

aparentemente insolúvel.

No dia 18 de março de 2010, o Clay Mathematics Institute (CMI) anunciou

que o Dr. Grigori Perelman de São Petersburgo, na Rússia, ganhou o Prêmio do

Milênio pela resolução da conjectura de Poincaré.

O CMI, em 2000, estabeleceu os sete Problemas do Milênio. A conjectura

de Poincaré é um deles. Estes prêmios foram criados, dentre outros motivos, para

registrar alguns dos problemas mais difíceis com que os matemáticos lutaram na

virada do segundo milênio; para elevar a consciência do público em geral o fato de

que, em matemática, a fronteira ainda está aberta e que esta ciência é rica em

problemas importantes que ainda não foram resolvidos; para enfatizar a importância

de trabalhar em direção a uma solução mais profunda dos problemas mais difíceis e

reconhecer realizações em matemática de magnitude histórica (CLAY

MATHEMATICS INSTITUTE, 2010).


Surpreendendo o mundo mais uma vez, o gênio recusou o prêmio de um

milhão de dólares oferecido pelo instituto e se recolheu ao seu minúsculo

apartamento nos arredores de São Petersburgo, que ele divide com sua mãe. Mais

uma vez - não é a primeira vez que Perelman recusa um prêmio. Em 2006, quando

recebeu a Medalha Fields, o prêmio de maior prestígio em matemática, ele também

o recusou.

Em uma entrevista ao jornal russo Komsomolskaya Pravda, Perelman

decidiu romper o silêncio e falar a um jornalista e produtor de uma empresa de

cinema, que vai fazer um documentário sobre ele. Nenhum outro jornalista havia

conseguido, até então, tirar uma única palavra da boca dele (PRAVDA, 2011).

O documentário mencionado pretende relatar a vida de Grigori Perelman

além de discutir a cooperação e a luta entre três grandes escolas de matemática do

mundo: russa, chinesa e americana. Essas três escolas são os mais avançados no

mundo em termos do caminho da aprendizagem e do controle do Universo.

Perelman também disse que não gosta de dar entrevistas, porque os

jornalistas não estão interessados em ciência, senão em saber detalhes sobre sua

vida pessoal. Perelman diz que o único problema que os atormenta é o fato de ele

ter recusado o valor de um milhão de dólares. O cientista também se sente ofendido

com o apelido dado pela mídia – Gricha - um diminutivo usual para Grigori.

O aspecto mais extraordinário de toda esta história é que o trabalho que

Perelman apresentou em 2002/2003 ultrapassa as fronteiras da demonstração da

Conjectura de Poincaré. De fato os métodos de Perelman permitem provar um

resultado ainda mais amplo e poderoso: a Conjectura de Geometrização. Esta

conjectura foi formulada no fim dos anos 70 pelo matemático americano William

Thurston, e propõe um esquema mais ou menos completo de classificação de todos

os espaços de três dimensões. Assim, neste amplo e significativo resultado, o

problema da esfera aparece como apenas um caso particular, isto é, ao demonstrar

a Conjectura de Geometrização, Perelman prova automaticamente a conjectura de

Poincaré.

As ideias e métodos apresentados nos trabalhos de Perelman já

encontraram novas aplicações na Análise e Geometria. Certamente, os avanços da


matemática encontrados nos trabalhos deste misterioso matemático são bem

maiores do que a princípio imaginamos.

2.5. A Topologia hoje

A topologia foi e continua sendo foco de estudo de muitos matemáticos,

mesmo no século XXI. Perelman é só um deles. Por isso, listamos alguns a seguir,

resumindo suas principais contribuições em pesquisas que foram e/ou vem sendo

desenvolvidas nos dias atuais.

2.5.1. John Willard Milnor (1931-)

Figura 35: John Milnor


John Milnor atua na Universidade Estadual de Nova York, em Stony

Brook, desde 1988. Em 1962, ele foi premiado com a Medalha Fields no Congresso

Internacional de Matemáticos, em Estocolmo. Sua realização mais notável, que

desempenhou um papel importante na atribuição desta medalha, foi a prova de que

uma esfera 7-dimensional pode ter várias estruturas diferenciáveis. Foi este trabalho

que abriu um novo campo na topologia diferencial.

Em suma, Milnor mostrou que na esfera de sete dimensões existem 28

diferentes estruturas diferenciáveis. Ele distingue estas estruturas usando

invariantes numéricos baseados em polinômios Todd - polinômios estudados em

geometria algébrica que desempenham esse papel fundamental na classificação de

variedades. Milnor os usou para este fim pelo fato de eles possuirem propriedades


aritméticas, envolvendo os números de Bernoulli, que refletem, de forma profunda,

ainda que não totalmente compreendidas, estas propriedades diferenciais.

Apesar de ter feito uma quantidade substancial de trabalhos em topologia

algébrica na década de 1950, o interesse atual de Milnor é dinâmica, especialmente

a dinâmica holomorfa.

Finalmente, Milnor é membro da Sociedade de Filosofia Americana e tem

desempenhado um papel importante na American Mathematical Society. Entre os

muitos serviços que tem prestado para a matemática está a edição da Annals of

Mathematics, que ele faz desde 1962.

2.5.2. John Horton Conway (1937-)

Figura 36: John Conway

Fonte:http://www.gap-system.org

John Conway tem dado contribuições notáveis em muitas áreas diferentes.

Na matemática, além de suas contribuições inovadoras para a teoria dos grupos e

sua criação dos números surreais, ele fez diferentes pesquisas em teoria dos nós,

teoria dos números, teoria dos jogos, formas quadráticas, teoria de codificação, e as

pavimentações.

Conway recebeu vários prêmios: Berwick Prize (1971) e Polya Prize (1987),

ambos pela Sociedade Matemática de Londres, Leroy P Steele Prize para exposição

matemática (2000), pela Sociedade Matemática Norte-Americana e o Honorary DSc

(2001) pela Universidade de Liverpool, são alguns deles.


Conway também é escritor. Escreveu e tem escrito importantes livros: On

numbers and games (1976), Winning ways for your mathematical plays V. 1 e 2

(1982), Sphere packings, lattices and groups (1988), The book of numbers (1996),

On Quaternions and Octonions (2003) e, finalmente, Symmetries of things (2008) –

brilhantes publicações.

2.5.3. Sergei Petrovich Novikov (1938-)

Figura 37: Sergei Novikov


Sergei Novikov cresceu em um ambiente matemático, não somente pelos

interesses de membros da família, mas também porque uma sociedade especial foi

formada onde os filhos de vários matemáticos receberam instruções adicionais.

Novikov trabalha na Universidade de Maryland, nos Estados Unidos

desde 1996, e mantém laços estreitos com a Universidade de Moscou, na Rússia.

Ele também é chefe dos grupos de pesquisa em Geometria e Topologia no Instituto

Steklov.

O trabalho de Novikov, até 1971, foi na topologia algébrica e diferencial.

Depois de 1971, Novikov ficou interessado em física matemática e sistemas

dinâmicos. Ele estudou uma grande variedade de aplicações da matemática, tais

como sistemas dinâmicos na teoria dos modelos cosmológicos homogêneos, a

teoria espectral de operadores lineares, teoria quântica de campos e teoria das

cordas. Em 1982, tornou-se interessado em problemas topológicos que surgem na

teoria física de metais.

Novikov recebeu muitas honras por seu excelente trabalho. Talvez o mais

importante destes prêmios foi a Medalha Fields, que ele recebeu em 1970. Em 1981,


tornou-se membro titular da Academia de Ciências da URSS, recebendo o Prêmio

Lobachevsky da Academia, no mesmo ano.

2.5.4. Daniel Gray Quillen (1940-2011)

Figura 38: Daniel Quillen


Dan Quiller, como alguns estudiosos o chamam, faleceu em abril do ano

em que escrevemos este texto Não poderíamos deixar, no entanto, de citar, ainda

que brevemente, suas contribuições à topologia.

Em 1978, Quillen recebeu a Medalha Fields no Congresso Internacional

de Matemáticos realizado em Helsínquia. Antes disso, ele recebeu o prêmio como o

principal arquiteto da K-teoria algébrica (1972) - uma nova ferramenta que utilizou

com sucesso métodos geométricos e topológicos e ideias para formular e resolver

grandes problemas em álgebra, principalmente em teoria dos anéis e teoria do

módulo.

K-teoria algébrica é uma extensão das ideias de Grothendieck de anéis

comutativos. As ideias de Grothendieck foram usadas por Atiyah e Hirzebruch

quando criaram a K-teoria topológica. Com certeza, o ano de Quillen passado em

Paris sob a influência de Grothendieck e em Princeton trabalhando com Atiyah foram

fatores importantes no desenvolvimento da K-teoria algébrica de Quillen. Em 2000, a

revista K-Teoria até emitiu uma parte especial dedicada a Quillen por ocasião do seu

sexagésimo aniversário.


De 1984 até 2006 Quillen foi Professor de Matemática Pura na

Universidade Magdalen, em Oxford, tendo atingido a idade de 65 anos. Daí, Quillen

se aposentou.

2.5.5. Robion Cromwell Kirby (1938-)

Figura 39: Robion Kirby Fonte: pt.wikipedia.org

Robion Cromwell Kirby recebeu seu Ph. D. da Universidade de Chicago

em 1965. Ele logo se tornou um professor assistente da UCLA. Nela desenvolveu o

seu "truque do toro" que lhe permitiu provar, em dimensões superiores a quatro (com

o trabalho conjunto adicional com Larry Siebenmann), quatro dos sete mais

importantes problemas da topologia geométrica de Milnor. Como consequência, em

1971, ele foi agraciado com o Prêmio Oswald Veblen de Geometria pela American

Mathematical Society.

Kirby é especializado em topologia de baixa-dimensionalidade. Este

matemático contribuiu para a invenção da invariante Kirby-Siebenmann, usada para

classificar as PL-estruturas sobre uma variedade topológica, e provou o resultado

fundamental sobre o chamado cálculo Kirby. Além destas e outras contribuições

matemáticas significativas, Kirby possui muita influência no campo, com mais de 50

alunos de doutorado e uma famosa lista de problemas.

Em 1995 ele se tornou o primeiro matemático a receber o NAS Award for

Scientific Reviewing da Academia Nacional de Ciências para o seu problema na lista

de topologia de baixa-dimensionalidade, e em 2001, foi eleito para a Academia

Nacional de Ciências. Atualmente, além de professor da Universidade da Califórnia,

em Berkeley, ele é o presidente da Mathematical Sciences Publishers, uma pequena


editora acadêmica sem fins lucrativos, que se concentra em matemática e revistas

de engenharia.

2.5.6. William Paul Thurston (1946-)

Figura 40: William Thurston


As ideias de Thurston revolucionaram completamente o estudo da

topologia em duas e em três dimensões, trazendo uma nova e frutífera interação

entre análise, topologia e geometria.

Por suas ideias inovadoras, Thurston recebeu muitas honrarias além da

Medalha Fields. Em 1976, seu brilhante trabalho sobre folheações o levou a ser

premiado com o Prêmio Oswald Veblen de Geometria da American Mathematical

Society. Em 1979, ele foi o segundo matemático a receber o Prêmio Alan T

Waterman.

Em 1991, Thurston deixou a Universidade de Princeton e voltou para a

Universidade da Califórnia em Berkeley, como professor de Matemática. Em 1993,

foi nomeado Diretor do Mathematical Sciences Research Institute, em Berkeley.

Em 1996, mantendo-se na Universidade da Califórnia, ele se mudou de

Berkeley para Davis. Então, em 2003, foi nomeado Professor de Matemática e

Ciência da Computação na Cornell University. Em 1997, ele publicou Three-

dimensional geometry and topology. Vol. 1, livro que, mais tarde, em 2005, rendeu-

lhe o prêmio American Mathematical Society Book


O Livro de Thurston é quase único na compreensão intuitiva de sutis

ideias geométricas que ele proporciona. Foi extremamente influente para estudantes

de pós-graduação e pesquisadores experientes. Um livro que tem desempenhado

um papel tão importante e dinâmico na matemática moderna é eminentemente

merecedor do Prêmio do Livro AMS.


3. ALGUNS CONCEITOS TOPOLÓGICOS

A Topologia é um ramo da Matemática bastante abrangente. Por esse

motivo, nesta seção apresentaremos alguns conceitos topológicos que precisam ser

definidos a fim de obtermos uma melhor compreensão de alguns aspectos

topológicos. Aspectos estes que, a priori, parecem incompreensíveis por si só, ou

ainda, sem as devidas considerações, seu entendimento pode não condizer com as

reais intenções propostas. Dizer que as considerações aqui tratadas são

apresentadas de maneira intuitiva pode ser um erro. No entanto, o leitor deve

perceber até que ponto as recreações abordadas na seção seguinte se valem dos

conceitos aqui apresentados.

3.1. Considerações Introdutórias

Para Borges (2005) é de fundamental importância conhecer e entender

alguns conceitos introdutórios da Topologia. Destacaremos alguns que se fazem

essenciais para o desenvolvimento deste trabalho, tais quais:

3.1.1. Vizinhança

Os conceitos de adjacência ou vizinhança estão relacionados ao estar

infinitamente próximo de algo. Garding (1997, p. 140) nos mostra a seguinte

definição:

Seja x um ponto de um espaço topológico E (será definido mais adiante).

Todo subconjunto de E contendo um conjunto aberto que contém x diz-se uma

vizinhança de x .

3.1.2. Interior e Exterior

Para Prado (2008) os conceitos que aqui trataremos são intuitivos, já que

eles nos direcionam para uma característica de estar dentro e/ou fora, ou seja,

consideramos que dentro é algo que está interno (interior) e encontrar-se do lado de

fora é está externo (exterior). No entanto, a autora adverte que esses conceitos só


fazem sentido quando estamos trabalhando com bordas ou fronteiras que delimitam

uma superfície, a esses conceitos trataremos rigorosamente mais adiante.

O exemplo por ela tratado refere-se à circunferência ( ), onde é possível

visualizar pontos no interior (A, B e C) e ponto exterior a ela (D).Ver figura 41.

Figura 41: Exemplo mostrando ponto interior e exterior de uma circunferência

Fonte: Prado, 2008

É a partir desse conceito que podemos melhor entender o Teorema de

Jordan (Figura 42), já que para figuras mais complicadas, a simples observação de

tais pontos não é suficiente.

Figura 42: Exemplo de uma curva de Jordan

Fonte: Autores

Uma estratégia para sabermos qual ponto é interior ou exterior é colorir a

curva para assim, encontrarmos a resposta desejada. No entanto, para algumas

curvas esse método é um tanto quanto exaustivo, motivo pelo qual, Jordan mostrou

um modo simples para resolver esse feito topológico. Assim,

A maneira mais simples de dizer se os dois pontos estão dentro ou fora da figura, é traçando uma linha reta a partir de cada ponto para uma área claramente situada fora da curva. Se a linha reta cruzar a curva um número de vezes par, o ponto está fora; se for um número ímpar de vezes o ponto está dentro. (BERGAMINI apud PRADO, 2008, p. 10)

Kasner e Newman (1976, p. 263) afirmam que uma curva que divide o

plano em um interior e exterior é chamada simples, ou seja, aquela que não se

intercepta. Ver figura 43.


Figura 43: Exemplo de curva fechada simples Fonte: Autores

No entanto, há figuras que não condizem com a definição de Jordan, tais

quais são apresentadas na figura 44.

(a) (b)

(c)

Figura 44: Exemplos de curvas que não se enquadram na definição de Jordan Fonte: Autores

Na figura 44 (a) tem-se dois interiores e um exterior, já a figura 44 (b)

apresenta vários interiores e um exterior e na figura 44 (c) exemplificamos uma

superfície com um interior e dois exteriores. Diante disso, podemos dizer que uma

Curva de Jordan é dita fechada simples.

De acordo com Bergamini (1969, p. 186), o círculo é, para os topólogos,

um traçado legítimo, pois apresenta interior e exterior e, para passar de um lado a

outro é necessário cruzar ao menos uma linha de sua fronteira. A curva de Jordan é

nada mais que um círculo torcido que perdeu sua forma e, por mais estranho que

isso pareça, tal curva pode ser considerada como um círculo deformado (KASNER E

NEWMAN 1976, P. 264).


Assim,

Na Geometria métrica, o círculo é definido como o lugar geométrico de todos os

pontos equidistantes de um ponto dado, o que significa que todos os raios de um

círculo são de igual comprimento. Mas, em Topologia, “igual comprimento” não

tem significado. Então o círculo é visto como uma curva com propriedade

fundamental de dividir o plano todo em um exterior e um interior. (Kasner e

Newman, 1976, p. 264)

O teorema de Jordan, segundo Kasner e Newman (1976, p. 263) pode

parecer um tanto quanto idiota ou mesmo maravilhoso. Ele torna-se idiota frente a

clareza de seus enunciados e maravilhoso por ser simples, modesto e importante.

Embora este teorema seja aparentemente óbvio, tem provado ser

extremamente importante para topólogos e fornece aos estudiosos de matemática

recreativa respostas para muitos problemas clássicos. O problema das três

utilidades é um deles. Ver figura 45.

Figura 45: Exemplo do problema das três utilidades Fonte: Autores

A tarefa do problema das três utilidades é desenhar linhas que ligam três

utilidades (água, gás e eletricidade) para cada uma das três casas sem que qualquer

uma das conexões se cruzem.

A tarefa parece ser simples uma vez que, no mundo real, empresas de

utilidade realizam tais ligações diariamente. No entanto nosso mundo é

tridimensional e as conexões são capazes de chegar aos destinos passando umas

sobre as outras. Aqui devemos fazer as conexões necessárias em um pedaço

bidimensional de papel.

Para começar, vamos desenhar as linhas das utilidades de algumas das

casas. A figura 46 mostra todos as três utilidades ligadas às casas 1 e 2.


Figura 46: Conectando as utilidades as casas 1, 2 e 3 Fonte: Autores

Se sombrearmos a curva fechada simples que passa pela casa 1, água,

casa 2, e eletricidade, verificamos que a casa 3 está no interior dessa curva. Esta

ainda não foi associada ao gás, que está no exterior da curva. De acordo com o

teorema da curva de Jordan, é impossível conectá-los sem cruzar a curva.

Figura 47: Sombreamento da curva que passa pelas casas 1 e 2 Fonte: Autores

Independentemente de como sejam conectadas as utilidades uma

situação deste tipo sempre surge. Concluímos, portanto, á luz da topologia, que o

problema não tem solução.

Um par de observações levará a outro resultado não menos

interessante: Se dois pontos, que se encontram ambos no interior ou ambos no

exterior de uma curva fechada simples, são unidos, a curva será atravessada

um número par de vezes ou não será atravessada (zero cruzamentos, o mínimo

possível). Cada vez que cruzarmos a curva e depois voltarmos ao lado original,

adicionamos dois cruzamentos à contagem mínima. A figura 48 (a) ilustra esta

situação.


Se dois pontos que se encontram em “lados opostos” de uma curva

fechada simples são unidos, a curva será atravessada um número ímpar de

vezes. Aqui, o número mínimo de cruzamentos possíveis é um. Como antes, cada

vez que cruzarmos a curva e depois voltarmos ao lado original adicionamos dois

cruzamentos à contagem mínima. A figura 48 (b) ilustra esta situação.

(a) (b)n b

Figura 48: Características da curva de Jordan Fonte: http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbjordan.htm

Estas observações nos conduzem a uma regra simples, já tratada acima,

para descobrir se um ponto está dentro ou fora de uma curva fechada simples ou

labirinto. Una um ponto a um ponto arbitrário no exterior da curva (fora do desenho)

e conte o número de vezes que a conexão cruza a curva. Se este número for par,

então ambos os pontos estão no mesmo “lado” da curva (exterior). Se, por outro

lado, este número for ímpar, então os dois pontos estão em lados opostos da curva

e, portanto, o ponto dado está dentro da curva.

Se tivermos interessados em estudar os trançados ou labirintos (Figura

49), devemos lembrar que eles representam outro ramo da Topologia, a qual

conhecemos como teoria das redes, ou teoria dos grafos, como chamam alguns

estudiosos do ramo.


Figura 49: Exemplo de um labirinto Fonte: diglitmedia.blogspot.com

No labirinto, Bergamini (1969, p. 186) afirma que não há a ocorrência de

interior, pois por apresentar entrada e saída, “todos os percursos do trançado ligam

para o lado de fora, sem cruzar qualquer fronteira”. O autor ainda acrescenta que

essa teoria fornece uma regra matemática para sair de qualquer labirinto, mas se

torna tão complicada quanto sair dele.

Uma questão importante destacada por Prado (2008) refere-se ao ponto

de auto interseção. Se considerarmos uma curva representada no R² (Figura 50) ela

apresenta um ponto de auto interseção que pode ser eliminada e representada no

espaço tridimensional (Figura 51). Nessa última não faz sentido falarmos de interior

e exterior, já que no R³ uma curva não apresenta essas características.

Figura 50: Curva no R² com auto interseção Figura 51: Curva no R³ sem auto interseção Fonte: PRADO, 2008. Fonte: PRADO, 2008.


Assim, dizer que uma curva apresenta interior e exterior é admitir que se

trata de uma curva fechada e além disso, simples. Tais características estão

presentes na Curva de Jordan.

3.1.3. Dimensão

A nossa intuição estabelece que dimensão seja algo que pode ser visto

de acordo com as especificidades de cada objeto, por exemplo, dizemos que um

livro é tridimensional porque é necessário um espaço tridimensional para representá-

lo completamente.

No entanto, O’Shea (2009, p. 39) orienta para a necessidade de entender

tal conceito além, compreendê-lo como algo que “se refere ao número de direções

independentes necessárias para representar todos os pontos próximos de um ponto

dado num objeto”. Por exemplo, a superfície da terra é bidimensional porque, para

representá-la numa região, usamos um mapa num pedaço de papel, ou ainda,

podemos usar dois números, como latitude e longitude, para representar qualquer

ponto próximo de um ponto dado.

De acordo com Courant e Robbins (2000, p. 303) o conceito de dimensão

passa a estar relacionado a um “conjunto de pontos de dimensão zero”. Eles ainda

afirmam que

Qualquer conjunto finito de pontos tem a propriedade de que cada ponto do conjunto

pode ser encerrado em uma região do espaço que pode ser tornada tão pequena

quanto se deseje, e que não contenha quaisquer pontos do conjunto de suas

fronteiras. Esta propriedade é agora tomada como a definição de dimensão zero.

(COURANT e ROBBINS, 2000, p. 303)

Desse modo, se considerarmos um conjunto vazio, dizemos que ele

apresenta dimensão -1. Diante disso, os autores afirmam que os conceitos seguintes

são representados de maneira óbvia. A dimensão 1 compreende um conjunto de

pontos que não possui dimensão -1 e zero, e se cada ponto do conjunto puder ser

encerrado dentro de uma região arbitrariamente pequena cuja fronteira corta o

conjunto num conjunto de dimensão zero. Por exemplo, um segmento de reta

apresenta dimensão 1, pois a “fronteira de qualquer intervalo é um par de pontos,

que é um conjunto de dimensão zero”.


De maneira análoga, podemos definir os conceito de qualquer dimensão,

desde que este não tenha qualquer dimensão inferior. Por exemplo, um conjunto

terá dimensão n se não tiver qualquer dimensão inferior, e “se cada ponto desse

conjunto puder ser encerrado dentro de uma região arbitrariamente pequena cuja

fronteira corte esse conjunto em um novo de dimensão n-1” (COURANT e

ROBBINS, 2000, p. 304).

3.1.4. Variedades

Segundo O’Shea (2009, p. 113), Riemann definiu espaço como

consistindo em pontos, e variedade como um tipo particular de espaço que consiste

em regiões em que os pontos podem ser designados por coleções de números.

O autor afirma que a variedade mais simples é a reta dos números,

denominada por R. É fato: imaginamos geometricamente os números e os

associamos aos pontos da reta. A segunda variedade mais simples é o plano R² por

vezes considerado como o conjunto de pares de números reais. O autor também cita

o espaço tridimensional, denotado por R³, que é o “conjunto cujos pontos são triplos

de números reais” (O’SHEA, 2009, p. 113).

O espaço n-dimensional, indicado por Rn, é o conjunto de coleções

ordenadas de n números reais. Assim, “Os ‘pontos’ dele são coleções ordenadas de

n números reais, ou n-triplas, e ele é n-dimensional porque são necessários n

números para especificar qualquer ponto” (O’SHEA, 2009, p. 114).

O autor ainda define variedade n-dimensional como sendo um conjunto

em que o conjunto de pontos próximos a um ponto dado é parecido à região no

espaço n-dimensional. O autor completa que

Apesar de não podermos desenhar uma figura no espaço n-dimensional se n for maior que 3, não existe nada de estranho ou inimaginável com relação a ela. Se n for igual a 5, então o espaço pentadimensional nada mais é que o conjunto de coleções ordenadas de cinco números reais. Sabemos o que são números reais e o que significa uma coleção ordenada de cinco deles. Então, qual o problema se não podemos desenhá-los? (O’Shea, 2009, p.114)

O’Shea (2009, p.40) afirma que algumas variedades tem bordo, outras

não. O bordo de uma variedade bidimensional é a sua extremidade, ou coleção de


extremidades, vista na perspectiva de alguém sobre a variedade. Um plano infinito

não tem bordo, mas um disco no plano tem, a saber, o círculo que o limita.

A noção de bordo se aplica a objetos de dimensões diferentes. Um círculo

não tem bordo (apesar de ser o bordo do disco contido nele), da mesma forma, um

toro não apresenta bordo (apesar de ser o bordo do ar dentro da câmara).

Dizemos que se uma variedade bidimensional tem bordo, então ele é

unidimensional, generalizando temos que, se uma variedade tem bordo, então esse

bordo é inferior a uma dimensão.

Para O’Shea (2009, p. 39) em muitos casos, os matemáticos utilizam a

palavra superfície como sinônimo de variedade bidimensional, o que é um equivoco,

pois nem toda variedade bidimensional representa a superfície de um sólido. Isso

passa a ser verdade quando em uma variedade é possível definir coerentemente

direita e esquerda, fato que garante que uma variedade bidimensional é também

uma superfície.

3.2. O que é superfície?

Até o presente momento, vínhamos tratando o conceito de superfície sem

defini-la. A necessidade desse conceito, entretanto, mostra-se fundamental para as

linhas posteriores.

Segundo Sampaio (2008, p. 39), superfícies são objetos geométricos

bidimensionais. Nessa geometria só é permitido mover-se em dois graus de

liberdade, por exemplo, a superfície de uma esfera, a superfície do plano da

geometria euclidiana, a superfície de uma câmara de ar, dentre tantas outros que

não existem no nosso mundo real, mas apenas na nossa imaginação da geometria

platoniana. Isso significa que, um ponto move-se somente para frente, para trás e

para os lados, nunca para cima nem para baixo, essa característica só é possível

num ambiente tridimensional.

Sampaio (2008, p. 29) ainda acrescenta que o conceito de superfície se

torna mais claro quando supomos que, para cada dois pontos de uma superfície,

podemos traçar uma linha geodésica que os une. Assim, se considerarmos dois


pontos A e B numa superfície e quisermos traçar nela um caminho (uma curva) de

menor comprimento possível indo de A até B, esse caminho seria um segmento

geodésico.

São vários os exemplos que mostram essas características, entre eles

destacam-se as geodésicas do plano euclidiano que são linhas retas e as

superfícies de uma esfera apresentam as geodésicas como sendo arcos de grandes

círculos, entre outros.

Zeeman (apud PRADO 2008) destaca outras propriedades que

caracterizam uma superfície, e são elas: Conexa; Fechada e Triangulável.

3.2.1. Superfícies Conexas

Uma superfície é dita conexa quando for possível traçar um caminho que

una dois pontos da mesma, sem que este saia da superfície. Deste modo, um par de

toros entrelaçados (figura 52), por exemplo, não é considerado uma superfície

conexa, uma vez que para dois pontos situados um em cada toro, é impossível

traçar um caminho que os una sem que este caminho saia da superfície.

Figura 52: Toros entrelaçados Fonte: Prado, 2008

3.2.2. Superfícies Fechadas

Para Sampaio (2008, p. 39) uma superfície é dita fechada quando não

tem bordo e pode ser “recortada” em um número finito de pedaços triangulares. O

autor também afirma que o termo superfície fechada é sinônimo de superfície

compacta e sem bordo. São exemplos de superfícies fechadas a esfera, o toro, a

garrafa de Klein e o plano projetivo. O plano euclidiano, no entanto, não é uma


superfície fechada, pois não pode ser subdividido em um número finito de regiões

triangulares. O autor conclui que uma superfície que não é fechada e não tem bordo

(como o plano euclidiano) é chamada superfície aberta.

3.2.3. Superfícies Trianguláveis

Segundo Prado (2008, p. 16) “ser triangulável significa decompor a

superfície em um número finito de vértices, arestas e faces”. Como dito

anteriormente, uma superfície fechada pode ser decomposta em um número finito

de pedaços triangulares, processo chamado de triangulação. Zeeman (apud

PRADO, 2008) cita importantes propriedades desse processo. A primeira delas é

que uma aresta é aresta exatamente de dois triângulos. Outra propriedade é que

cada vértice é vértice de pelo menos três triângulos.

3.2.4. Superfícies Orientáveis e Não Orientáveis

Para Sampaio (2008, p. 39) uma superfície que contenha um caminho

fechado que inverte orientação é denominada superfície não orientável. Veremos

adiante que é não orientável toda superfície que contém dentro de si uma faixa de

Möbius. Do contrário, se a superfície não contém nenhum caminho fechado desse

tipo ela é dita superfície orientável. São exemplos de superfícies não orientáveis a

Garrafa de Klein e o Plano Projetivo. Já a esfera e o toro bidimensional são

superfícies orientáveis.

3.2.5. Soma conexa de superfícies

Segundo Sampaio (2008, p. 41), a soma conexa de duas superfícies é

uma nova superfície. O autor destaca que, para fazer a soma conexa de duas

superfícies separadas uma da outra e sem pontos em comum, é preciso primeiro

aproximá-las uma da outra (Figura 53-a). Feito isso, é preciso cortar e remover uma

pequena região circular de cada uma das duas superfícies criando, ao fazer isso,

bordos circulares em cada uma delas (Figura 53 -b). Daí, basta esticar as superfícies

para fora, aproximá-las pelos seus bordos circulares até que, finalmente, sejam


colados um no outro dando origem à soma conexa das superfícies (Figura 53 c e d),

aqui denotada por A#B (soma conexa das superfícies A e B).

(a) (b)

(d) (c)hhh

Figura 53: Exemplo de soma conexa

Fonte: PRADO, 2008

Sampaio (2008, p. 41, 42) afirma que todas as superfícies fechadas

concebíveis são construídas, por meio de um número finito de somas conexas, a

partir das superfícies básicas: a esfera, o toro, o plano projetivo e a garrafa de Klein.

Esta última, no entanto, nem é tão básica assim, uma vez que é, topologicamente

falando, a soma conexa de dois planos projetivos.

3.3. O que é Topologia de Superfície?

Como já sabemos, a Topologia refere-se a um campo de estudo que

abrange padrões de proximidade e posição. Trata-se de um ramo da matemática

que estuda os “espaços topológicos”, que são considerados uma extensão da

geometria.

Lima (2003, p. 71) define espaços topológicos como uma Topologia num

conjunto X é uma coleção de partes de X , chamados os abertos da topologia,

com as seguintes propriedades:

1) e X pertencem a ;

2) Se 1,..., nA A então 1 ... nA A


3) Dada uma família arbitrária L

A com A para cada L , tem-

se L

A

.

O autor ainda afirma que espaço topológico é um par ,X onde X é

um conjunto e é uma Topologia em X . Garding (1997, p. 139) ainda acrescenta

que um espaço topológico apresenta três requisitos mínimos, a saber: “toda união

de conjuntos abertos é aberta; as intersecções finitas de conjuntos abertos são

abertas; a intersecção de todos os abertos que contém um mesmo ponto é o próprio

ponto”.

Nessa, geometria podemos transformar, por exemplo, um quadrado em

um círculo; esse em um triângulo e assim sucessivamente de maneira que as

características topológicas permaneçam invariantes (RISSI, 2008, p. 5).

Os conceitos tratados neste são de fundamental importância para o

estudo da Topologia, bem como outros que segundo Borges (2005) são

caracterizadas como noções topológicas.

A experiência nos coloca em contato ora com corpos duros, ora com corpos macios os quais, quando submetidos à forças suficientes podem ter a sua forma ou tamanho alterados. Um corpo duro pode ser idealmente transformado em um corpo rígido, isto é, um corpo que não sofre qualquer mudança no seu tamanho ou na sua forma quando em movimento. Dizemos, então, que a forma e o tamanho de um corpo rígido são invariantes quando submetido ao movimento ou, em linguagem mais sofisticada: as propriedades métricas de um corpo rígido são invariantes sob a transformação do movimento (Borges, 2005, p. 17).

Rissi (2008, p. 5) ainda afirma que as formas geométricas, na Topologia

são uma só, pois estuda somente as propriedades que não se alteram com as

transformações, fato que também atribui a Topologia denominações de Geometria

da Borracha ou Geometria Elástica.

Borges (2005, p. 19) afirma que em uma “transformação topológica” não

há “fusões”, caso contrário pontos distintos se transformariam em pontos não

distintos, fato que destruiria a vizinhança entre os mesmos. E, não pode haver

rompimentos, pois se houvessem propriedades como interior e exterior seriam

destruídas.


Ele ainda acrescenta que são necessárias duas condições para

caracterizar uma transformação topológica entre duas figuras A e B, a destacar:

a) Cada ponto a de A faz correspondência a um só ponto b de B; a recíproca

também é verdadeira, fato esse que denominamos de correspondência biunívoca;

b) A transformação topológica é contínua nos dois sentidos. Dados dois

pontos a e a’ de A se, por um movimento de a sua distância ao ponto a’ tender a

zero, igualmente tende a zero a distância entre os dois pontos correspondentes b e

b’ de B; a recíproca é verdadeira. Essa característica fica evidenciada quando, ao

dobrarmos um pedaço de arame sem rompê-lo, a vizinhança entre pontos do arame

antes de ser dobrado é preservada no arame dobrado.

Do mesmo modo, se quisermos fazer uma transformação inversa, basta

desdobrarmos o mesmo arame de modo que pontos vizinhos no arame dobrado

permanecerão vizinhos no arame distendido. Essas considerações tornam-se

válidas para entendermos a “topologia de superfícies”.

Como já sabemos, para Sampaio (2008, p. 30) as superfícies são objetos

geométricos bidimensionais, exemplos disso são as bolas de plástico – modelo físico

de superfícies esféricas e, as câmaras de ar – modelo de superfície denominada

toro bidimensional. Ele ainda acrescenta que são quatro as deformações que não

afetam a topologia de uma superfície, a saber:

1. Esticar ou inflar a superfície ou parte dela;

2. Encolher a superfície ou parte dela;

3. Entortar a superfície ou parte dela;

4. Cortar a superfície segundo uma linha suave nela demarcada e,

posteriormente, colar novamente, uma na outra, as bordas geradas por esse

recorte, resgatando a superfície original com a linha demarcada. A este

procedimento é dado o nome de recorte e colagem.

Essas deformações são chamadas de transformações topológicas a qual

definimos como deformações legais. Deste modo,

Define-se então a topologia de uma superfície como o conjunto de aspectos geométricos dessa superfície que não se alteram quando aplicamos qualquer uma dessas quatro deformações. Quando duas superfícies têm a


mesma topologia, dizemos que elas são topologicamente equivalentes ou, como dizem os topólogos, superfícies homeomorfas (Sampaio, 2008, p. 31).

As superfícies homeomorfas, segundo Marar (2004, p. 4) referem-se às

transformações contínuas que podem ser desfeitas, fato que demonstra que os

objetos podem ser feitos com material perfeitamente deformável, ou seja, o que se

mantém é a essência da forma. Essas características, como se pode notar,

representam propriedades muito diferentes das propriedades geométricas tal como

conhecemos, como por exemplo, as noções de comprimento ou ângulo.

Para exemplificar tal situação, consideremos o retângulo (Figura 54) e a

figura 55 representada a seguir.

Figura 54: Retângulo de vértices A, B, C e D Figura 55: Deformação do retângulo.

Fonte: BORGES, 2005. Fonte: BORGES, 2005.

Apenas pelo bom senso, diríamos que as duas figuras acima não tem

nada em comum, no entanto, nosso estudo em Topologia nos faz perceber que a

segunda nada mais é que uma deformação da primeira, pois algumas propriedades

permanecem inalteradas já que os pontos E, D e F permanecem, respectivamente,

entre os pontos A e C, B e F, C e D. Isso caracteriza uma transformação topológica:

“conservou a ordem dos pontos citados, embora não conservado a retidão dos lados

e os ângulos tenham sofrido alterações profundas” (BORGES, 2005, p. 18).

Outro exemplo diz respeito ao círculo, já tratado em linhas anteriores, na

qual podemos dizer que a curva de Jordan é homeomorfa ao círculo e, com isso,

concluímos que qualquer curva pode ser deformada, desde que tenha esta

propriedade, podendo ser encarada como um equivalente topológico de um círculo.

Por isso, qualquer curva simples no plano é topologicamente equivalente ao círculo.

Para Lima (2003, p. 72), homeomorfismo é uma bijeção contínua

:h X Y cuja inversa também é contínua. E, segundo Prado (2008, p. 22) dizemos


que “duas superfícies são homeomorfas quando existe uma função biunívoca entre

elas. Assim, duas superfícies são homeomorfas se existe uma função entre elas que

seja contínua, invertível e a sua inversa seja contínua”.

Segundo Sampaio (2008, p. 30) se há uma superfície obtida de outra por

uma combinação, em um número finito de vezes, de algumas ou todas as três

primeiras transformações acima apresentadas então elas são isotópicas, e diante

disso, concluímos que as superfícies isotópicas são homeomorfas. Por exemplo,

faremos a esfera sofrer duas deformações legais não necessariamente iguais.

(a): Esfera (b): Esfera deformada (c): Esfera deformada

Figura 56: Exemplo de superfícies homeomorfas Fonte: Prado, 2008

Na figura é possível perceber que a figura 56 (b) e (c), obtidas a partir de

uma esfera (figura 56-a), são homeomorfas e podemos dizer que também são

isotópicas à esfera (PRADO, 2008, p. 23).

No entanto, se tentarmos transformar uma esfera num toro, utilizando as

deformações legais, não conseguiremos, pois de acordo com a autora, para tal feito

é preciso cortar um pedaço da superfície e com isso, perder sua continuidade, ou

seja, não conseguimos uma função biunívoca que relacione a esfera e o toro e por

isso, não há homeomorfismo entre elas (superfícies topologicamente não

equivalentes). Ver figura 57.

Figura 57: Esfera e Toro: topologicamente não equivalentes Fonte: PRADO, 2008


Na topologia de superfície, duas delas são essenciais, são elas: o cilindro

e a faixa de Möbius que segundo Marar (2004, p. 3) são topologicamente obtidas a

partir de um retângulo, as demais superfícies se dá ao processo de identificação ao

longo das linhas de borda ou por meio de fusões de duas ou mais superfícies. O

autor ainda afirma que esse modo de representar uma superfície na topologia é

denominado modelo plano da superfície.

Marar (2004, p. 4) destaca uma lista de superfícies topológicas, na qual a

esfera (figura 58 - a) é topologicamente um cilindro com as circunferências de dois

discos coladas nas suas bordas. O toro (Figura 58 - b), entretanto, representa um

cilindro com as duas bordas identificadas. O plano projetivo (Figura 58 - c) – faixa de

Möbius com um disco colado ao longo da borda. E, a garrafa de Klein (Figura 58 - d)

que representa duas faixas de Möbius identificadas ao longo da borda (Figura 58 -

e). A partir disso e de operações adequadas, podemos obter todas as superfícies na

topologia.

(a) (b)

(c) (d) (e)

Figura 58: Superfícies topológicas Fonte: Marar, 2004.


As superfícies apresentadas na figura acima podem ser representadas

por meio de um diagrama. E, Marar (2004, p. 5) afirma que “para se obter o modelo

plano de qualquer superfície procedemos da maneira inversa, isto é, cortamos a

superfície a ser modelada ao longo de curvas até que seja possível planificar a

superfície”.

Para produzir o toro plano, Sampaio (2008, p. 32) afirma que é preciso

colar, aos pares, as arestas opostas do retângulo, uma na outra. Assim, “se o

retângulo é visto como tendo uma aresta de cima, outra de baixo e outras duas

laterais à direita e à esquerda, então precisamos colar a aresta de cima na de baixo,

na esquerda, com esse procedimento obtemos a representação do toro plano”.

Como mostra a figura 59.

Figura 59: Modelo de toro plano cortado ao longo das linhas indicadas Fonte: Sampaio, 2008

O modelo plano da garrafa de Klein é similar ao modelo do toro, o que era

de se esperar, já que ambos são originários de um cilindro com bordas idênticas, de

modo que, invertendo uma de suas setas, o identificamos. Esse modelo pode ser

construído colando-se a aresta superior na inferior e, em seguida colamos a aresta

esquerda na direita, após uma torção de 180 graus em uma das extremidades da

faixa retangular.

Figura 60: Modelo de garrafa de Klein plana

Fonte: Sampaio, 2008


Podemos perceber que as superfícies apresentadas até agora possuem

diagramas constituídos por uma região poligonal plana. No entanto, para construir

um plano projetivo, Sampaio (2008, p. 36) orienta para a necessidade de

inicialmente considerarmos o hemisfério sul da superfície de uma esfera, ou seja,

uma semiesfera.

Figura 61: Construção do plano projetivo


O autor ainda acrescenta que o plano projetivo pode também ser

concebido por um diagrama plano circular de duas arestas curvilíneas. Para sua

construção colamos cada ponto da linha do equador (que representa o bordo da

semiesfera) ao ponto do equador diametralmente oposto.

Figura 62: Modelo de um plano projetivo


Veremos agora que podemos simplificar os modelos planos evitando as

notações de setas de maneira a identifica-las por letras e, como afirma Marar (2004,

p. 6) esse é “um ponto crucial da representação das superfícies em topologia”, visto

que superfícies que apresentam a mesma palavra são homeomorfas. Sobre essa

notação, o autor assegura que:

Criaremos uma sequência de letras, percorrendo-se o bordo do modelo plano, por exemplo, no sentido horário. Ao encontrar uma letra neste percurso ela fará parte da sequência de letras, caso o sentido do percurso coincida com o sentido da seta à qual a letra está associada. Se o sentido da seta for contrário ao do percurso, então a letra com um expoente -1 fará parte da sequência de letras. Esta sequência é denominada palavra


associada à superfície. Através das palavras chegamos a uma descrição altamente sintética da superfície. (MARAR, 2004, p. 6)

O autor conclui afirmando que essa representação dispensa qualquer

redundância ou desvio de significado, pois sua clareza revela o máximo de beleza

descritiva de uma ideia.

3.3.1. Palavras associadas a superfícies fechadas

Representar as superfícies por palavras é guardar todas as informações a

cerca da sua configuração poligonal plana e, desse modo, podemos operar de várias

maneiras as palavras e ainda obter a mesma superfície, chamadas de operações da

gramática topológica (MARAR, 2004, p. 7).

As palavras associadas às quatro superfícies identificadas acima são,

segundo Sampaio (2008, p. 50):

Superfícies Palavra

Toro Plano aba-1b-1

Garrafa de Klein aba-1b

Esfera aa-1

Plano projetivo aa

Quadro 1: Modelo de superfícies representadas em palavras Fonte: Sampaio, 2008

A associação superfície/palavra mostrada no quadro 1 acima está

representada no sentido horário de cada modelo plano, no entanto, Marar (2004, p.

6) alerta que independente do sentido e do vértice onde se começa a construção,

teremos a mesma superfície, por exemplo, as palavras ba-1b-1a e ab-1a-1b ainda

representam um toro.

Se numa palavra uma letra está entre duas letras iguais então aquela que

está no meio pode ser deslocada invertendo-se o sinal de seu expoente, por

exemplo, a palavra associada à Garrafa de Klein também pode ser representada por

aabb, o que resulta em uma concatenação das palavras e, nesse caso, aa e bb

representam as duas faixas de Möbius que compõe a Garrafa de Klein (MARAR,

2004, p. 7).


Sampaio (2008, p. 50) afirma que para a reciprocidade de informações,

por exemplo, poderíamos ter palavra acdc-1db-1a -1b e construir um diagrama plano

associado a ela. Como nessa palavra cada letra aparece duas vezes, então

considerando as repetições, temos oito letras, fato que a associa a um diagrama

octogonal. E, na mesma sequencia apresentada fixamos as letras nos vértices do

octógono e em seguida, percorremos o sentido horário de suas arestas para

demarcar as setas e, para letras com expoente -1 a seta muda de sentido, como

mostra a figura 63.

Figura 63: Diagrama plano associado à palavra acdc-1

db-1

a -1

b Fonte: Sampaio, 2008

3.3.2. Invariantes topológicos: A característica de Euler.

Segundo Devlin (2002, p. 258), existem características usadas para

distinguir superfícies. Às características que possuem tal objetivo chamamos

invariantes topológicos.

O número de arestas (ou bordos) e a orientação são exemplos de

invariantes topológicos. O número de arestas diferencia, por exemplo, a faixa de

Möbius da cilíndrica, mas não é suficiente, por exemplo, para distinguir um disco de

duas dimensões de uma faixa de Möbius: ainda que ambos possuam uma única

borda, não são equivalentes na topologia. A orientação, por sua vez, diferencia

esferas, cilindros e faixas de Möbius, mas não é suficiente para distinguir a esfera de

um toro por um motivo óbvio: ambos são orientáveis e não possuem arestas.

Existe, no entanto, um invariante topológico, além do número de arestas e

orientação: a característica de Euler. Antes de falarmos sobre ela, julgamos válido o


registro da definição de grafo (ou rede, como tratam alguns estudiosos) proposta por

Sampaio (2008, p. 16).

O autor afirma que um grafo é “uma figura constituída de um número finito

de arcos (ou curvas), chamados arcos ou arestas do grafo, cujas extremidades são

chamadas de vértices do grafo”. Na figura 64 estão apresentados alguns exemplos

de grafos.

Figura 64: Exemplos de grafos

Fonte: Sampaio, 2008.

Se desenharmos um grafo em uma superfície, o número de vértices,

arestas e faces do mesmo não se alteram mesmo que a superfície em que estiver

desenhado sofra uma transformação topológica (DEVLIN, 2002, p. 258).

Assim, podemos aplicar aos grafos em qualquer superfície o mesmo

raciocínio utilizado por Euler quando estabeleceu a constante V A F nos grafos,

em um plano e em uma esfera. Segundo Devlin (2002, p.264), o valor desta

constante para qualquer grafo em uma determinada superfície é conhecida como a

característica de Euler da tal superfície. O autor alerta que devemos nos assegurar

de que o grafo desenhado cubra toda a superfície, e que não se trate de um grafo

plano em uma pequena região da superfície.

Segundo este mesmo autor, número de bordos, orientação e

característica de Euler são suficientes para distinguir qualquer par de superfícies não

equivalentes topologicamente.


4. TOPOLOGIA E RECREAÇÃO

Segundo Lorenzato (2006), o mais importante para o aluno não é apenas

conhecer as verdades matemáticas, mas também

obter a alegria da descoberta, a percepção de sua competência, a melhoria de sua auto imagem, a certeza de que vale a pena procurar soluções e fazer constatações, a satisfação do sucesso, e compreender que a matemática longe de ser um bicho papão, é um campo de saber onde ele, aluno pode navegar (LORENZATO, 2006, p. 25).

Pensando nisso, nosso objetivo nesta seção é apresentar um conjunto de

35 (trinta e cinco) recreações topológicas divididas em quatro subseções, a saber:

quebra cabeça, papel e tecido, barbante e cordas, casacos e coletes e elásticos.

Antes disso, falaremos um pouco sobre a Matemática Recreativa e seu interessante

propósito.

4.1. Matemática Recreativa

Quando falamos em Matemática Recreativa, pode ser que a primeira

palavra que venha à mente seja “recreação”.

A Matemática Recreativa é um ramo da Matemática que tem por

finalidade evidenciar uma aplicação mais prática desta disciplina. Este ramo vem

tentar extinguir os conceitos que, não muitas vezes, afastam nossos olhos e

pensamentos de uma aplicação ainda mais significativa desta importante ciência.

Segundo Sá (2006, p. 60), a Matemática Recreativa tem sido uma grande

fonte de problemas não padrões interessantes além de contribuir consideravelmente

no processo de ensino aprendizagem, uma vez que intervém lógica ou cálculo de

algum modo.

Segundo Menezes, Brito e Santos (2004, p. 2), desde a Antiguidade, em

diversos jogos, eram essenciais as mais variadas habilidades matemáticas. A estas

atividades chamamos “recreações matemáticas”.

As autoras enfatizam que, do ponto de vista histórico, existem registros da

existência de problemas recreativos desde os papiros até hoje. Elas afirmam que os


problemas recreativos existem desde o documento matemático mais antigo

conhecido: o Papiro Rhind, datado de 1650 a.C., que possivelmente foi copiado pelo

seu autor, o escriba Ahmes, de um documento 200 anos mais antigo, o qual parece

corresponder a um caderno de exercícios de um estudante. (Menezes, Brito e

Santos, 2004, p.2.)

Segundo Menezes e Fossa (2004, p. 7), as recreações constituem uma

classe especial de problemas. Eles afirmam que o primeiro trabalho em matemática

de cunho lúdico conhecido é o Nouvelle Arithmétique appliquée au commerce et a la

marine mis en vers de Léon Chavignaud, datado de 1484.

Os autores citam outro trabalho completo sobre recreações matemáticas

intitulado Problémes plaisant et délectables qui si font par lês nombres de Gaspar

Bachet de Meriziac. Em seus estudos, Menezes e Fossa (2004) destacam ainda a

obra de Ozanam, ampliada por Montucla, uma compilação do que havia sido feito

até então sobre recreações matemáticas acrescida de diferentes versões e

comentários. São exemplos de recreações desafios como quebra-cabeças e

truques.

Os quebra-cabeças de arame, segundo Montoya e Flores (2003), são

engenhosos brinquedos que consistem em várias partes, a ser separados. A difusão

que estão alcançando estes “jogos”, seu interesse lúdico, assim como a riqueza de

aspectos geométricos e topológicos que utilizam, foram agentes condutores desta e

outras pesquisas; pesquisas estas que tem incentivado estudiosos do assunto a

analisar suas qualidades educativas para o ensino da Matemática.

Os truques, por sua vez, aqui apresentados como atividades

desafiadoras, podem possuir o modo de funcionamento matemático ou ter a

Matemática apenas em seus efeitos (GARDNER, 1991, p. 83). Estes truques podem

ser considerados topológicos por parecerem violar leis topológicas elementares.

Como a Topologia trata de propriedades que permanecem inalterantes

em face da transformação contínua do objeto, não é de surpreender que o campo de

ação da “mágica topológica”, se limite, quase por completo, a materiais flexíveis tais

como papel, tecido, fio, corda e elásticos.


4.2. Desafios topológicos

4.2.1. Quebra-cabeças

Desafio 01

Nome: BARCO

Figura:

Fotografia 1: Descrição do brinquedo “barco"

Fonte: Autores

Desafio: Retirar a argola principal sem danificar o brinquedo.

Etapas da Solução:

1. Passe a argola principal pela base do barco.

Fotografia 2: Etapa 1 (a) da solução do “barco” Fotografia 3:Etapa 1 (b) da solução do “barco” Fonte: Autores Fonte: Autores


2. Contorne a argola principal pelo arame que representa a vela do barco.

Fotografia 4: Etapa 2 (a) da solução do “barco” Fotografia 5: Etapa 2(b) da solução do “barco”

Fonte: Autores Fonte: Autores

Fotografia 6: Etapa 2(c) da solução do “barco” Fotografia 7: Etapa 2(d) da solução do “barco”


3. A argola está solta.

Fotografia 8: Argola retirada do brinquedo “barco”

Fonte: Autores

4. Para recolocar a argola faça o caminho inverso. Comece colocando a argola no

início do arame.


Desafio 02

Nome: CORDA

Figura:

Fotografia 9: Descrição do brinquedo “Corda”

Fonte: Autores

Desafio: Soltar e recolocar a corda na peça sem danificar o brinquedo.


1. Puxe a corda de modo que a argola fique junto ao furo direito da peça.

Fotografia 10:Etapa 1 da solução do brinquedo “corda”

Fonte: Autores

2. Puxe a outra extremidade da corda (sem argola) de modo que ela passe por este

furo.


Fotografia 11:Etapa 2 (a) da soluçãodo

“corda” Fotografia 12: Etapa 2 (b) da solução

do “corda” Fonte: Autores Fonte: Autores

3. Em seguida passe a argola por dentro da corda.

Fotografia 13: Etapa 3 da solução do “corda”

Fonte: Autores

4. Puxe a extremidade sem argola de volta ao outro lado da peça.

Fotografia 14: Etapa 4 (a) da solução

do “corda” Fotografia 15: Etapa 4 (b) da solução

do “corda” Fonte: Autores Fonte: Autores

PERES, C, A; MOREIRA, L. G. P. Recreações topológicas_______________________________97

5. Tirar a corda nesta etapa será óbvio. Basta puxar a extremidade com argola.

Fotografia 16:Etapa 5 da solução do “corda”

Fonte: Autores

6. Para recolocar a corda na peça execute o caminho inverso. Comece colocando

a extremidade da corda sem a argola pelo furo direito e depois pelo furo

esquerdo.

Fotografia 17:Etapa 6 (a) da solução

do “corda” Fonte: Autores

Fotografia 18:Etapa 6(b) da solução do “corda”

Fonte: Autores

7. Envolva a peça com o laço da extremidade sem a argola fazendo com que o

mesmo passe pelo furo direito.




Fonte: Autores


Fotografia 21: Etapa 7 (c) da solução do “corda”

Fonte: Autores

8. Passe a argola pela extremidade.




Fonte: Autores

9. Puxe a extremidade sem argola retirando a mesma do furo.

Fotografia 24: Etapa 9 da solução do “corda”

Fonte: Autores

10. Por fim, puxe a extremidade com argola. Acorda foi recolocada novamente na

peça.




Fotografia 26:Etapa 10 (b) da solução do “corda”

Fonte: Autores

Desafio 03

Nome: PEIXE

Figura:

Fotografia 27: Descrição do brinquedo “peixe”

Fonte: Autores

Desafio: Soltar e recolocar o “peixe” no arco sem prejudicar o brinquedo.


1. Encaixe a “boca do peixe” dentro de qualquer uma das argolas.


Fotografia 28: Etapa 1 da solução do “peixe”

Fonte: Autores

2. Passe a argola da base por dentro da boca do peixe.


Fonte: Autores

3. Tire a boca do peixe de dentro da argola do arco e o peixe estará solto.


Fonte: Autores

4. Para recolocá-lo basta fazer o caminho inverso. Comece colocando aboca do

peixe dentro da argola do arco por baixo da base. Passe a argola da base por

dentro da boca do peixe que estará recolocado.


Desafio 04

Nome: RETÂNGULO

Figura:

Fotografia 31: Descrição do brinquedo “retângulo”

Fonte: Autores

Desafio: Soltar e recolocar o retângulo do arco sem prejudicá-lo.


1. Entre com o retângulo dentro de uma das argolas do arco.

Fotografia 32: Etapa 1 da solução do “retângulo”

Fonte: Autores

2. Passe a argola da base dentro do retângulo.



Fonte: Autores

3. Passe o retângulo dentro da outra argola do arco.


Fonte: Autores

4. Passe também a argola da base dentro do retângulo.


do “retângulo” Fonte: Autores

Fotografia 36:Etapa 4 (b) da solução do “retângulo”

Fonte: Autores

5. Passe a argola do arco menor por dentro do retângulo.





Fonte: Autores

6. Coloque o retângulo dentro de uma das argolas do arco menor libertando-o

deste.


Fonte: Autores

7. Para libertar o retângulo do arco passe a argola da base por dentro do retângulo.


Fonte: Autores

8. Em seguida, passe a argola do arco por dentro do retângulo.



Fonte: Autores

9. Coloque o retângulo dentro da argola do arco e passe a argola da base por

dentro dele libertando-o. Para recolocar o retângulo siga os passos anteriores na

ordem inversa.




Fonte: Autores

Desafio 05

Nome: ALGEMAS

Figura:

Fotografia 44: Descrição do brinquedo “Algemas”

Fonte: Autores


Desafio: Soltar e recolocar a argola nas algemas.


1. Coloque as argolas opostas das algemas dentro da argola central.

Fotografia 45: Etapa 1 da solução do “algemas”

Fonte: Autores

2. Faça uma leve torção em uma das algemas e a argola sairá do centro delas.


do “algemas” Fonte: Autores

Fotografia 47:Etapa 2 (b) da solução do “algemas”

Fonte: Autores

3. Nessa etapa separar a argola das algemas será óbvio.




Fonte: Autores


Fotografia 50: Etapa 3 (c) da solução do “algemas”

Fonte: Autores

4. Para recolocar a argola ponha a argola em, qualquer das extremidades livres das

algemas.




Fonte: Autores

5. Abra as algemas bem devagar deixando a argola descer para o centro.




Fonte: Autores

6. Você será induzido a fazer uma leve torção (ou pode soltar uma das algemas) e

ficará surpreso ao ver a argola prender no centro das algemas.


Fotografia 55: Argola presa no centro novamente.

Fonte: Autores

Desafio 06

Nome: CRUZ

Figura:

Fotografia 56: Descrição do brinquedo “Cruz”

Fonte: Autores

Desafio: Soltar e recolocar a argola principal na “cruz”.


1. Junte a primeira cruz à peça central mantendo a argola principal na segunda

cruz.


Fotografia 57: Etapa 1 da solução do “cruz”

Fonte: Autores

2. Leve a segunda cruz até a extremidade de uma das hastes da peça central.


do “cruz” Fonte: Autores

Fotografia 59:Etapa 2 (b) da solução do “cruz”

Fonte: Autores

3. Passe a argola principal pelo vão entre as duas argolas a peça central.

Fotografia 60: Etapa 3 da solução do “cruz”

Fonte: Autores

4. Percorra com a argola principal o contorno da cruz/peça central até que ela se

liberte do restante do brinquedo.





Fonte: Autores

Fotografia 63:Etapa 4(c) da solução do

“cruz” Fonte: Autores

Fotografia 64:Etapa 4 (d) da solução do “cruz”

Fonte: Autores

5. Para recolocar a argola comece colocando a mesma pelo vão da peça central.

i Fotografia 65: Etapa 5 da solução do “cruz”

Fonte: Autores

6. Percorrendo o contorno da cruz/peça central é inevitável: a argola será

recolocada no brinquedo.





Fonte: Autores

Fotografia 68: A argola foi recolocada no brinquedo

Fonte: Autores

Desafio 07

Nome: PREGOS

Desafio: Separar e unir novamente as peças.

Descrição:

Os pregos consistem em duas ou mais peças ligadas que, em

determinadas posições, podem ser separadas. Nestes quebra-cabeças, a espessura

do material é muito importante, pois é apenas na posição correta que é possível

desentrelaçar as partes.

Exemplos:


Fotografia 69: Exemplo de prego 01 Fotografia 70: Exemplo de prego 02 Fonte: http://www.professorpuzzle.com Fonte: http://www.professorpuzzle.com

Fotografia 71: Exemplo de prego 03 Fotografia 72: Exemplo de prego 04 Fonte: http://www.professorpuzzle.comFonte: http://www.professorpuzzle.com

Fotografia 73: Exemplo de prego 05 Fotografia 74: Exemplo de prego 06 Fonte:Autores Fonte: Autores


Desafio 08

Nome: Balanço I

Figura:

Fotografia 75: Descrição do brinquedo “Balanço I”

Fonte: Autores

Desafio: Soltar e recolocar a argola principal no balanço.

Etapas da solução:

1. Encaixar a argola direita na peça central;


do “balanço I” Fonte: Autores

Fotografia 77:Etapa 1 (b) da solução do “balanço I”

Fonte: Autores

2. Conduzir a argola principal até que passe pela bola direita de maneira com

que ela permaneça depois da peça central;





Fonte: Autores

3. Passar a argola por dentro da peça central;

Fotografia 80: Etapa 3 da solução do “balanço I”

Fonte: Autores

4. Passar novamente a argola por dentro da bola da direita. Finalmente a argola

estará solta.




Fonte: Autores


5. Para recolocar a argola no brinquedo basta seguir os passos de maneira

inversa.

Desafio 09

Nome: Balanço II

Figura:

Fotografia 83: Descrição do brinquedo “Balanço II”

Fonte: Autores

Desafio: Soltar e recolocar a argola principal sem danificar o brinquedo.


1. Primeiramente, coloque a argola principal junto à bola direita dentro de sua

haste 1. Certifique-se de que a argola principal está entre a haste 1 e a bola

esquerda;

Fotografia 84: Etapa 1 da solução do “balanço II”

Fonte: Autores

2. Conduza a argola principal de maneira com que a bola passe por dentro

desta haste.



do “balanço II” Fonte: Autores

Fotografia 86:Etapa 2 (b) da solução do “balanço II”

Fonte: Autores

3. Tire a argola principal de dentro da haste;


Fonte: Autores

4. Passe a argola principal por dentro da haste;


Fonte: Autores

5. Finalmente, passe abola por dentro da argola principal; feito isso a argola

estará solta.


Fotografia 89: Etapa da solução do “balanço II”

Fonte: Autores

6. Para recolocar a argola basta seguir os procedimentos de maneira inversa.

Desafio 10

Nome: Chave

Figura:

Fotografia 90: Descrição do brinquedo “Chave”

Fonte: Autores

Desafio: Soltar e recolocar a argola na chave sem danificar o brinquedo.


1. Conduza a argola principal até a parte superior da chave como mostra a

Fotografia abaixo:


Fotografia 91:Etapa 1 da solução do “chave”

Fonte: Autores

2. Mantendo a argola principal na chave, passe uma das argolas próximas a

uma das bolas por dentro do furo central da chave;


do “chave” Fonte: Autores

Fotografia 93:Etapa 2 (b) da solução do “chave”

Fonte: Autores

3. Desça a argola principal e passe a bola que está junto à chave por dentro

dela;




Fonte: Autores


4. Conduza a argola principal de modo que ela passe por dentro do furo central

da chave;

Fotografia 96: Etapa 4 da solução do “chave”

Fonte: Autores

5. Passe a bola por dentro da argola. Feito isso, a argola estará solta;




Fonte: Autores

6. Para recolocar a argola basta seguir os passos de maneira inversa.


Desafio 11

Nome: Triângulo

Figura:

Fotografia 99: Descrição do brinquedo “Triângulo”

Fonte: Autores

Desafio: Soltar e recolocar a haste no triângulo sem danificar o brinquedo.


1. Conduza a haste de modo que ela fique próxima à argola como ilustra a

Fotografia abaixo.

Fotografia 100: Etapa 1 da solução do “Triângulo”

Fonte: Autores

2. Depois faça com que a ponta da haste passe por dentro da argola;


Fotografia 101: Etapa 2 da solução do “triângulo”

Fonte: Autores

3. Em seguida, conduza a haste de maneira a contornar todo a estrutura do

triângulo;


do “triângulo” Fonte: Autores

Fotografia 103:Etapa 3 (b) da solução do “triângulo”

Fonte: Autores

4. Depois passe a haste pela argola. Feito isso, a haste finalmente estará solta.

Para recolocar a haste basta seguir os procedimentos de maneira inversa.


do “triângulo” Fonte: Autores

Fotografia 105:Etapa 4 (b) da solução do “triângulo”

Fonte: Autores


Desafio 12

Nome: Escada

Figura:

Fotografia 106: Descrição do brinquedo “Escada”

Fonte: Autores

Desafio: Retirar e recolocar a haste “presa” na escada sem danificar o brinquedo..


1. Entrar com a ponta da haste na argola 1;

Fotografia 107: Etapa 1 da solução do “escada”

Fonte: Autores

2. Passar as argolas 2 e 3 pela abertura da haste;



do “escada” Fonte: Autores

Fotografia 109:Etapa 2 (b) da solução do “escada”

Fonte: Autores

3. Colocar a ponta da haste na argola 2e passar a argola 3 por dentro da

haste;




Fonte: Autores

4. Separar a haste de maneira das argolas 1 e 2;




Fonte: Autores

5. Entrar com a ponta da haste na argola 2;



Fonte: Autores

6. Passar a argola 3 por dentro da haste;


Fonte: Autores

7. Puxar a haste, tirando-a da argola 2; e ela sairá facilmente.


Fonte: Autores

Para recolocar a haste, siga os passos abaixo:

8. Coloque a haste por dentro da argola 2 e depois passe a argola 3 por

dentro da abertura dela.





Fonte: Autores

9. Gire a haste de maneira que ela saia das argolas 2 e 3;


Fonte: Autores

10. Passe a argola 1 por dentro da haste;


Fonte: Autores

11. Passe a haste por dentro da argola 1 e 2 e coloque a argola 3 por dentro

dela;





Fonte: Autores

12. Finalmente, passe as argolas 2 e 3 por dentro da haste e a argola estará

recolocada no brinquedo.




Fonte: Autores

Desafio 13

Nome: OCTÓGONO

Figura:

Fotografia 125:Parte superior do

brinquedo “escada” Fonte: Autores

Fotografia 126:Parte inferior do brinquedo “escada”

Fonte: Autores


Desafio: Libertar a argola e recolocá-la na peça.


1. Coloque a argola em contato com somente uma das alças como ilustra a imagem

a seguir. Nesta imagem identificamos um dos furos. O chamaremos furo

principal;

Fotografia 127: Etapa 1 da solução do “octógono”

Fonte: Autores

2. Passe a alça que toca a argola pelo furo principal;


do “octógono” Fonte: Autores

Fotografia 129:Etapa 2 (b) da solução do “octógono”

Fonte: Autores


Fotografia 130: Etapa 2 (c) da solução do “octógono”

Fonte: Autores

3. Passe a bola pela alça;

Fotografia 131: Etapa 3 da solução do “octógono”

Fonte: Autores

4. Puxe a alça de volta para o outro lado da peça e a argola será solta.


do “octógono” Fonte: Autores

Fotografia 133:Etapa 4 (b) da solução do “octógono”

Fonte: Autores


Fotografia 134: Argola solta do “octógono”

Fonte: Autores

5. Para recolocar a argola na peça execute os passos anteriores em ordem inversa.

Desafio 14

Nome: CORAÇÕES

Figura:

Fotografia 135: Descrição do brinquedo “Corações”

Fonte: Autores

Desafio: Separar os corações sem romper o barbante nem desamarrar as

“moedas”.


1. Passe o barbante por um dos furos superiores do coração maior.



do “corações” Fonte: Autores

Fotografia 137:Etapa 1 (b) da solução do “corações”

Fonte: Autores

2. Passe a extremidade com a moeda por dentro da alça do barbante.

Fotografia 138: Etapa 2 da solução do “corações”

Fonte: Autores

3. Puxe o barbante de modo que ele retorne ao lado inicial.




Fonte: Autores

4. Passe agora o barbante pelo outro furo do coração maior.


Fotografia 141: Etapa 3 da solução do “corações”

Fonte: Autores

5. Passe a extremidade com a moeda também por dentro da alça do barbante.




Fonte: Autores

6. Puxe o barbante para o lado inicial. A partir daí separar os corações será

óbvio.




Fonte: Autores


Desafio 15

Nome: Anéis unidos

Figura:

Figura 65: Brinquedo “Anéis unidos” Figura 66: Detalhe do brinquedo “Anéis unidos”

Fonte: Britton, 2006. Fonte: Britton, 2006.

Desafio: Transferir um dos anéis à alça do outro anel.


1. Puxe a alça central (indicada pela seta na imagem a seguir) para baixo e

deslize o anel direito de modo a passá-lo pela abertura desta alça;

Figura 67: Etapa 1 da solução do “Anéis unidos”

Fonte: Britton, 2006.

2. Puxe as duas alças (indicadas com as setas) em sua direção. Observe então

que um “laço duplo” sai agora do orifício central;

Figura 68:Etapa 2 (a) da solução do

“anéis unidos” Fonte: Britton, 2006.

Figura 69:Etapa 2 (b) da solução do “anéis unidos”



3. Passe o anel por dentro do laço duplo movendo-o à mesma posição só que

do lado oposto.

Figura 70: Etapa 3 da solução do “anéis unidos”


4. Daqui basta inverter as duas primeiras etapas, isto é, desfazer o laço duplo e

deslizar o anel de modo a retirá-lo da abertura da alça central.

Figura 71:Etapa 4 (a) da solução do

“anéis unidos” Fonte: Britton, 2006.

Figura 72:Etapa 4 (b) da solução do “anéis unidos”


4.2.2. Papel e tecido

Desafio 16

Nome: Faixas curiosas

Desafio: Construir uma faixa que tenha uma única face.

Descrição: Prepare três grandes faixas de papel seguindo as instruções a seguir.

1. Na primeira faixa junte os extremos sem torcer.


Fotografia 146: Primeira faixa (cilíndrica)

Fonte: Autores

2. À segunda faixa aplique uma torção simples (semi-torção ou meia volta)

(Fotografia 148) antes de colar as pontas (Fotografia 149).

Fotografia 147: Etapa 1 da construção

da segunda faixa Fonte: Autores

Fotografia 148: Etapa 2 da construção da segunda faixa Fonte Autores

Fotografia 149: Etapa 3 da construção

da segunda faixa Fonte: Autores

Fotografia 150: Segunda faixa (faixa de Möbius)

Fonte: Autores


3. A terceira faixa deve ser torcida duas vezes ou, em outras palavras, deve ser

dada uma torção completa (Fotografia 152) antes de unir suas pontas

(Fotografia 153).

Fotografia 151:Etapa 1 da construção

da terceira faixa Fonte: Autores

Fotografia 152:Etapa 2 da construção da terceira faixa.

Fonte: Autores

Fotografia 153: Terceira faixa

Fonte: Autores

Com a ajuda de uma tesoura, corte a primeira tira ao meio

longitudinalmente, começando numa ponta e continuando a cortar até regressar ao

ponto de partida. Como esta é uma faixa cilíndrica, o resultado é pouco

surpreendente: duas novas faixas idênticas e também cilíndricas.

No entanto, quando a segunda tira é cortada do mesmo modo

descobrimos, com surpresa, que nesta segunda operação, obtém-se uma única

faixa, com o dobro do diâmetro original (Fotografia 157). A faixa construída é a não

tão famosa superfície de Möbius (Fotografia 150).

Esta curiosa superfície, quando cortada ao meio longitudinalmente

(Fotografias 154, 155 e 156), se torna um único e grande anel (Fotografia 157).

Matemáticos afirmam que este corte acrescenta uma segunda aresta e, por

consequência, um segundo lado (BERGAMINI, 1965, p.182).


Fotografia 154:Corte longitudinal na

faixa (a) Fonte: Autores

Fotografia 155:Corte longitudinal na faixa (b)

Fonte: Autores

Fotografia 156:Corte longitudinal na

faixa (c) Fonte: Autores

Fotografia 157:Anel com o dobro do diâmetro do anel inicial

Fonte: Autores

Se por outro lado, o corte for efetuado a um terço da borda da tira

(Fotografia 158 e Fotografia 159), o resultado é um grande anel com outro, menor,

interligado (Fotografia 160). Muitos outros resultados são apresentados nos estudos

de Gardner (1991), Sampaio e Malagutti (2008), Sampaio (2008) e Stewart (2009).

Fotografia 158:Corte longitudinal a um

terço da borda Fonte: Autores

Fotografia 159:Corte longitudinal a um terço da borda Fonte: Autores


Fotografia 160: Anéis de tamanhos diferentes interligados

Fonte: Autores

O corte longitudinal da terceira tira traz consigo um resultado tão curioso

quanto os anteriores: dois anéis interligados (Fotografia 161).

Fotografia 161: Anéis idênticos interligados

Fonte: Autores

Posteriormente, este truque adquiriu variações e novas versões,

consideravelmente mais espetaculares.

A primeira que vamos considerar aqui foi desenvolvida pelo ilusionista

Phil Foxwell. Eis as etapas do truque:

1. O executante exibe três enormes faixas e papel de embrulho (medindo cerca

de 20 cm de largura e 3,65 m de comprimento), preparadas da forma que

descrevemos anteriormente. As torções não são tão evidentes em tamanho

grande.

2. Duas pessoas da platéia são chamadas e, a cada uma, são entregues uma

faixa e uma tesoura.


3. O executante anuncia que receberá certo prêmio a primeira pessoa que

conseguir cortar a faixa em dois anéis separados, e ilustra este feito com a

faixa restante, cortando-a ao meio e mostrando os anéis ao público.

4. À ordem do mágico, os concorrentes começam. O mágico faz ensejo de

entregar o prêmio ao vencedor, quando “descobre” que este não cumpriu as

instruções uma vez que, produziu um só anel ou dois interligados.

5. O prêmio é então entregue ao outro concorrente, mas logo lhe é retirado,

quando se descobre que também este não conseguiu obter anéis separados.

Por volta de 1920, o ilusionista americano Carl Brema começou a utilizar

no truque musselina vermelha em vez de papel. Como as faixas agora podiam ser

rasgadas pelo meio, o truque, além de adquirir mais rápida execução, ficou mais

colorido. Ted Beal, no mesmo período, só que desta vez na Inglaterra, apresentou

uma versão em papel que começava com uma única e grande tira. Quando tal tira

era cortada ao meio eram obtidas duas faixas: uma torcida duas vezes, outra sem

torções. Cada uma destas faixas também era cortada ao meio por dois

espectadores. Um deles obtendo anéis separados e o outro, anéis interligados.

Na América, James C. Wobensmith - advogado da Filadélfia e mágico

amador- independentemente de Beal, desenvolveu um método em que usava uma

faixa bastante larga de musselina, que era rasgada ao meio de forma a produzir

duas faixas separadas. Rasgando uma delas, obtinham-se dois anéis ligados. A

outra, uma vez rasgada, produzia um único e grande anel. O método original de

Wobensmith para preparar a faixa está ilustrado na Figura73.

Posteriormente, este método foi melhorado até a forma em que é

atualmente conhecido (Figura 74). Gardner (1991) sugere que se faça uso de uma

cola de secagem rápida para unir os extremos.


Figura 73: Método original de Wobensmith Figura 74: Método atualmente conhecido

Fonte: Gardner, 1991, p. 87 Fonte: Gardner, 1991, p. 87

Gardner (1991, p. 86) cita os mágicos Harry Blackstone e S.S. Henry,

conhecidos por utilizar o truque de Wobensmith nas suas apresentações. Tal truque,

porém, vinha acompanhado de uma arenga no palco sobre um mágico num

espetáculo de feira a quem era pedido que fizesse cintos para a “Mulher Gorda” e

para os “Gêmeos Siameses”. Depois de rasgada ao meio, a faixa de musselina dava

origem a duas novas faixas. Uma destas era rasgada ao meio para formar dois

“cintos” para os Gêmeos, enquanto a outra originaria a faixa maior para a Mulher

Gorda.

Em 1926, James A. Nelson apresentou um método de preparar uma faixa

de papel de modo que dois cortes produzam uma cadeia de três anéis interligados .

Esse método está ilustrado a seguir.

Figura 75: Método de James A. Nelson

Fonte: Gardner, 1991, p. 88.

Na Hugard’s Magic Monthly de dezembro de 1949, Martin Gardner

descreveu duas interessantes variantes em musselina. Uma delas, da autoria de

William R. Williston (ilustrada na Figura76) possui as seguintes características: o

primeiro corte produz uma faixa com o dobro do tamanho original e o segundo uma

faixa ainda maior, quatro vezes maior que a primeira. A segunda variante, concebida


por Gardner, é ilustrada na Figura77. Do primeiro corte resulta uma faixa única

grande, enquanto o segundo dá dois anéis interligados.

Figura 76: Variante de Williston Figura 77: Variante de Gardner


Muitas outras combinações podem ser desenvolvidas. A execução atual

de Wobensmith utiliza a faixa representada na Figura 78. Da primeira vez que se

rasga, obtêm-se dois anéis separados. Rasga-se então um deles de modo a

produzir uma cadeia de três anéis interligados. O outro é rasgado para dar um único

e grande anel. Este é então rasgado mais uma vez para dar uma ainda maior.

Figura 78: Execução atual de Wobensmith

Fonte: Gardner, 1991, p. 90


Desafio 17

Nome: A tira e o anel

Desafio: Atar um nó à volta de um anel colocado em uma tira de TNT.

Descrição: Segundo Gardner (1991, p. 89), este pequeno truque é apontado por

Stanley Collins no Magic WandYear Book de 1948-49.

Coloque um pequeno anel sólido numa tira de TNT e una as pontas desta

depois de efetuadas três torções simples em uma das pontas (Fotografia 162). O

corte ou rasgão longitudinal (Fotografia 163) resultará numa faixa larga atada à volta

do anel (Fotografia 164).

Fotografia 162: Anel e tira

Fonte: Autores Fotografia 163: Corte longitudinal ao longo

da tira Fonte: Autores

Fotografia 164: Faixa atada à volta do anel

Fonte: Autores


Desafio 18

Nome: O buraco

Desafio: Passe por um buraco de uma folha de papel.


1. Dobre a folha de papel ao meio. Ela pode ser do tamanho de uma folha

sulfite ou menor.

Fotografia 165: Dobre a folha de papel ao meio

Fonte: Autores

2. Em seguida, a partir de aproximadamente 1 cm de uma das bordas, faça

um recorte rente à dobra do papel até chegar a 1 cm da outra borda.

Fotografia 166: Corte rente à folha (a) Fotografia 167: Corte rente à folha (b) jjj

Fonte: Autores Fonte: Autoresjjjj


Fotografia 168: Corte rente à folha (c) Fotografia 169: Corte rente à folha (d) jjj

Fonte: Autores Fonte: Autores jjjj

3. Fazendo isso você deixa uma abertura longa e estreita no centro do

papel, de fora a fora.

Fotografia 170: Abertura longa e estreita no papel

Fonte: Autores

4. Com a tesoura, faça quantos recortes puder na folha dobrada em linhas retas, como ilustra a Fotografia.

Fotografia 171: Recorte em linhas retas (a) Fotografia 172: Recorte em linhas retas (b)



Fotografia 173: Recorte em linhas retas (c) Fotografia 174: Recorte em linhas retas (d)


Fotografia 175: Recorte em linhas retas (e)

Fonte: Autores

5. Abra a folha cuidadosamente e um grande buraco surgirá. Buraco este, o

qual você poderá passar por ele.

Fotografia 176: Buraco na folha de papel

Fonte: Autores

Para compreendermos o desafio acima consideramos que uma superfície

pode ser recortada até aproximar-se de uma linha. Esta linha descoberta é do

matemático e lógico italiano Giuseppe Peano (1858 – 1932). O processo de recortar

a superfície até fazê-la aproximar-se de uma linha, é um processo infinito (BORGES,

2005, p. 27-28).


Borges (2005, p. 28) ainda ressalta que problemas como este evidenciam

o caráter qualitativo da Topologia, uma disciplina “que trata de coisas que podem ser

expressas sem medida ou número” - frase que, segundo o autor, foi usada pelo

matemático alemão Félix Hausdorff (1868 - 1942).

Desafio 19

Nome: O papel e a moeda

Desafio: Passe uma moeda com certo diâmetro pelo buraco circular (com diâmetro

menor que o da moeda) de uma folha de papel.

Descrição: Tenha em mãos um pedaço de papel retangular com um furo circular no

centro e uma moeda de diâmetro um pouco maior que o do buraco tal como ilustra a

Figura 79.

Figura 79: Papel retangular com furo circular de diâmetro menor que o da moeda.

Fonte: Dudeney, 2003


1. Dobre o pedaço de papel no meio e coloque a moeda dentro do papel de

modo que ela se encaixe no buraco.

Figura 80: Etapa 1 (a) da solução do desafio

“O papel e a moeda” Figura 81: Etapa 1 (b) da solução do desafio

“O papel e a moeda” Fonte: Dudeney, 2003 Fonte: Dudeney, 2003


Figura 82: Etapa 1 (c) da solução do desafio “O papel e a moeda”


2. Puxe simultaneamente as abas superiores do papel para o centro e a moeda

passará pelo buraco.

Figura 83: Etapa 2 (a) da solução do desafio “O papel e a moeda”


Figura 84: Etapa 2 (a) da solução do desafio “O papel e a moeda”


Desafio 20

Nome: O dedo que escapa

Desafio: Atar um lenço à volta dos dedos de um amigo de modo que ao puxar o

lenço os dedos permaneçam ilesos.

Descrição: Segure um lenço enrolado pelos cantos opostos e coloque-o sobre o

dedo indicador estendido de um amigo, como se mostra na figura a seguir.

Figura 85: Lenço sobre o dedo indicador


Ate o lenço à volta do dedo do espectador e peça pra que ele coloque o

indicador esquerdo sobre o direito. Depois, o lenço será firmemente torcido à volta

de ambos os dedos e o método de atar é o seguinte:


1. Cruze o lenço por baixo do dedo como ilustra a figura abaixo. Ao longo

dos restantes dos movimentos, o extremo assinalado pela letra A tem de estar

virado para si no ponto de cruzamento, sempre que houver este se cruzar com o

outro extremo. Se isso não for seguido, o truque não irá funcionar.

Figura 86: Cruze o lenço por baixo


2. Cruze as pontas por cima.

Figura 87: Cruze as pontas por cima


3. O espectador coloca o seu indicador esquerdo sobre o ponto de

cruzamento.

Figura 88: Indicador esquerdo sobre o ponto de cruzamento


4. Cruze as pontas por cima de modo que o extremo adequado fique virado

para si.


Figura 89: Cruze as pontas por cima.


5. Cruze as pontas em baixo.

Figura 90: Cruze as pontas por baixo.


6. Levante as pontas e segure-as com a mão esquerda. É aqui que os

dedos parecerão firmemente atados um ao outro.

Figura 91: Levante as pontas Fonte: Gardner, 1991, p. 92

7. Segure a ponta do dedo inferior, enquanto o espectador retira o outro

dedo do pano. Levante a mão esquerda. O lenço solta-se.


Figura 92: O lenço é solto


Quando você puxa lenço para cima, este é liberto do dedo que ele

“segurava”. Embora o tecido pareça estar firmemente atado à volta de ambos os

dedos, o método de atar é tal que deixa o indicador direito do espectador fora da

curva fechada formada pelo lenço (GARDNER, 1991, p. 91).

Desafio 21

Nome: Lenços interligados

Desafio: Una dois lenços de modo que eles pareçam firmemente ligados e, ao

serem puxados em direção oposta, separem-se facilmente.

Descrição: Dois lenços, de preferência com cores contrastantes, são torcidos até

cada um ficar como uma corda, sendo ambos seguros na mão esquerda (Figura 93).

Figura 93: Lenços seguros na mão


A mão direita vai por baixo do lenço escuro, agarra a ponta A e enrola

uma vez á volta do outro lenço (Figura 94).


Figura 94: Construção do “nó” (a)


A extremidade B do lenço escuro, por sua vez, passa por baixo e depois

por cima do outro lenço (figura 95).

Figura 95: Construção do “nó” (b)


As pontas B e C são juntas por baixo e agarradas com a mão direita. As

pontas A e D, por sua vez, são juntas em cima e agarradas com a mão esquerda

(figura 96).


Figura 96: Os lenços parecem interligados


Os lenços parecem estar firmemente ligados, mas quando se puxam as

pontas separam-se facilmente. Gardner (1991, p. 93) afirma que com o uso de

lenços grandes de seda, cada um pode ser enrolado duas vezes à volta do outro, e

ainda assim é possível separá-los facilmente.

Sampaio e Malagutti (2008) apresentam uma versão deste truque com

canudinhos. As fotografias a seguir ilustram esta versão.

Fotografia 177: Versão com canudinhos (a) Fotografia 178: Versão com canudinhos (b)



Fotografia 179: Versão com canudinhos (c) Fotografia 180: Versão com canudinhos (d)


Fotografia 181: Versão com canudinhos (e)

Fonte: Autores

Desafio 22

Nome: O lápis, o cadarço e a “palhinha”

Desafio: Enrolar um cadarço à volta de um lápis e uma “palhinha” e ao puxar o

cadarço aparentemente cortar a palhinha em duas partes.

Descrição: Este truque faz referência a um truque comercializado em 1950 por

Stewart Judah. Um lápis e uma “palhinha” são colocados lado a lado.

Quando se puxa o cadarço para soltá-lo, ele parece penetrar o lápis,

cortando a palhinha em duas partes. Eis as etapas do truque:


Figura 97: O lápis, o cadarço e a palhinha

Fonte: http://britton.disted.camosun.bc.ca/judahtrick.pdf

Truques como este se baseiam no princípio de conseguir que uma série

de enrolamentos desfaça, grosso modo, aquilo que foi feito por outra série

(GARDNER, 1991, p. 93-94).

Desafio 23

Nome: O nó

Desafio: Segurar um lenço pelas extremidades e, nunca largando nenhuma destas,

dá um nó no centro.


Para obter tal feito você deve torcer o lenço deixando-o como uma corda

e colocá-lo sobre uma mesa. Deve, então, cruzar os braços e, nessa posição,

debruçar-se sobre a mesa e segurar uma ponta do lenço em cada mão. Quando se

descruzam os braços, forma-se automaticamente um nó no centro do lenço.

Do ponto de vista topológico, braços, corpo e lenço formam uma curva

fechada conhecida como “nó de trevo”. Quando se descruzam os braços, este nó,

que estava nos braços, é transferido para o tecido.


Gardner (1991, p. 95) aponta uma variante interessante do desafio acima

descrito que pode ser realizada com um pedaço de corda ou um lenço colocado

sobre uma mesa, como se mostra na Figura 98. As etapas desta nova solução são

as seguintes:

Figura 98: Lenço enrolado

Fonte: Gardner, 1991

1. Segure a ponta B do lenço com a mão direita e peça aos espectadores que

observem com atenção o método que usa para dar um nó.

2. Faça deslizar a mão esquerda por baixo da extremidade B, com a palma para

baixo.(Figura 99)

Figura 99: Etapa da solução do desafio “O nó”

Fonte: Gardner, 1991

3. Rode a mão para trás como na Figura 100de modo a agarrar a extremidade

A. Ao separar as mãos, formar-se-á um nó no lenço.


Figura 100: Rode a mão

Fonte: Gardner,1991, p. 95

Este movimento é difícil de ser seguido. Podemos realizar o truque o

número de vezes que quisermos e, ainda assim, por alguma razão desconhecida

ainda, os outros não conseguirão formar nenhum nó cada vez que tentarem imitá-lo.

4.2.3. Barbantes e Cordas

Segundo Stewart (2009, p. 16), a Topologia surgiu nos últimos 150 anos e

hoje se constitui o tema central da disciplina. O autor concebe a ideia de que a

Topologia trata de estruturas como os nós e elos, que são formações geométricas

que resistem a transformações bastante drásticas. Os nós continuam formados

mesmo antes que o barbante seja entortado ou esticado.

São vários os truques e habilidades topológicas feitos com barbante que

podem ser considerados topológicos. Quais de nós nunca fizemos um laço de

barbante e o enrolou pelos dedos de uma maneira que, por um simples puxão, se

soltasse parecendo atravessar os dedos? Há outros truques em que o executante

utiliza peças de roupas e/ou pertences do espectador. Enfim, vejamos alguns deles:

Desafio 24

Nome: Cortando os dedos

Desafio: Atar aos dedos um pedaço de barbante e puxá-lo de modo que os dedos

saiam ilesos.

Descrição: Apanhe 1 m de barbante e o amarre, formando uma curva fechada.

Prenda uma extremidade do dedo mínimo da mão esquerda, dê a volta com o


barbante, prenda-o no próximo dedo, gire novamente na mesma direção e continue

até passar por trás do polegar (Figura 101).

Agora o enrosque pela frente do polegar e o prenda ao redor dos dedos,

em ordem inversa (Figura 102). Esteja certo de que, ao retornar, todas as voltas

foram feitas na direção oposta à realizada na primeira vez.

Dobre o polegar sobre a palma da mão, soltando o barbante. Puxe com

força pela ponta que sobrou do dedo mínimo e seus dedos sairão ilesos, a menos, é

claro, que você tenha feito algo errado.

Figura 101: Truque “cortando os dedos” (a) Figura 102: Truque “cortando os dedos” (b) Fonte: Stewart, 2009, p. 15 Fonte: Stewart, 2009, p. 15

Segundo Gardner (1991, p. 96), antigamente os truques feitos atualmente

com auxílio de um barbante eram executados com ligas, razão pela qual ficaram

conhecidos como truques com ligas. Veremos, a seguir, um destes truques e

algumas variações dele.

Desafio 25

Nome: Padrões com ligas

Desafio: Pedir a um amigo que disponha um barbante de modo a formar um padrão

em cima de uma mesa. Depois disso, pedir que ele ponha um dedo dentro de um

dos laços do barbante e puxar o barbante de modo a prender o dedo.


Descrição:

Como controlar este truque fazendo o barbante não só prender o dedo do

amigo como também soltá-lo, independentemente do lugar onde ele coloque o

dedo? Consideremos, por exemplo, a Figura 103 que ilustra um padrão bem

simples.

Figura 103: Exemplo de padrão


O espectador pode escolher um dos laços: A ou B. O segredo está na

maneira como se une as pontas. As setas C e D indicam as duas maneiras pelas

quais as duas pontas podem ser unidas.

Gardner (1991) sugere a utilização de um cinto de couro masculino no

lugar do barbante. Basta dobrar o cinto em dois e enrolar o mesmo em espiral.

Como na versão anterior, você pode fazer o cinto prender-se ou soltar-se sempre

que quiser.

Desafio 26

Nome: A liga do gigante

Desafio: Descobrir se um ponto está no interior ou no exterior de uma curva.

Descrição:

Ate as pontas de um barbante de seis metros ou mais de comprimento de

modo a formar uma curva fechada. Peça a alguém que disponha o fio sobre uma

mesa formando um padrão tão complexo quanto quiser, como, por exemplo, o da

figura 104. Atente para que o barbante nunca cruze a si mesmo em algum ponto.


Depois disso, jornais devem ser dispostos pelas bordas como se ilustra na figura

105, de modo que uma única região retangular interior ao padrão possa ser vista.

Peça então a um amigo colocar o dedo sobre o padrão em qualquer ponto

que deseje, unindo firmemente o dedo à mesa. Se um dos jornais for retirado e uma

porção exterior do barbante puxada horizontalmente, o barbante prenderá ou não no

dedo do espectador?

Figura 104: Padrão complexo Fonte: Gardner, 1991, p. 96

Figura 105: Bordas do padrão cobertas com jornais


A complexidade do padrão, associada ao fato de as suas extremidades se

encontrarem ocultas, torna impossível, á primeira vista, saber que pontos da mesa

estão dentro ou fora da curva fechada formada pelo barbante. No entanto, você

pode dizer corretamente, todas as vezes que o truque for executado, se o barbante

vai ou não prender o dedo do espectador.


Podemos utilizar ainda variações deste mesmo truque. A primeira delas

utiliza alfinetes coloridos: O executante coloca “aleatoriamente” alguns alfinetes na

parte visível do padrão, puxa o fio pela mesa e o padrão fica, surpreendentemente,

livre de todos os alfinetes. Pode ainda ser colocado um alfinete de cor diferente e

puxar o fio de modo que este se liberte de todos os alfinetes menos daquele de cor

diferente. Pode-se ainda colocar os alfinetes dentro da curva fechada.

Evidentemente neste caso, ao puxar o fio, este forma um círculo fechado que rodeia

todos os alfinetes. Regras relativamente simples regem a execução destes truques.

Eis o segredo.

O segredo

Segundo Gardner (1991, p. 99), se dois pontos quaisquer do padrão

estão ambos no interior da curva formada pelo barbante, então a linha imaginária

que une os dois cruza os ramos do barbante um número par de vezes. Com

raciocínio análogo, aplica-se a regra se ambos os pontos estão no exterior da curva.

Porém, se um dos pontos se encontrar no interior e outro no exterior, então a linha

que une os dois cortará os ramos um número ímpar de vezes. Tal afirmação tem

base em um teorema da Topologia conhecido como “teorema da curva de Jordan”.

Segundo Bergamini (1965, p. 186), a curva de Jordan é um círculo torcido

que perde a forma. Mesmo torcido, o círculo permanece possuindo interior e

exterior. Deste modo, para passar de um lado para outro, é preciso cruzar pelo

menos uma linha.

Assim, enquanto os jornais são colocados, mova o seu olhar em direção

ao padrão a partir do exterior até chegar a um ponto mais centralizado e fácil de

memorizar. Por exemplo, o espaço representado por A, fixado na figura 104; ele é

um espaço exterior.

Colocados os jornais, fica fácil determinar se um dado ponto se encontra

no exterior ou no interior. Basta traçar uma linha imaginária (não necessariamente

uma reta) que una o ponto em questão a um ponto que pertença ao espaço A

atentando para o número de vezes que a linha atravessa os ramos do barbante.

O funcionamento das variantes deste truque não apresenta dificuldade.

Podemos colocar rapidamente dez ou mais alfinetes no exterior da curva fechada.


Basta pôr o primeiro alfinete do lado de fora, atravessar duas linhas e pôr outro,

atravessar mais duas e pôr outro, e assim por diante.

Se quisermos que um dos alfinetes fique preso antes de fixá-lo na mesa,

atravessamos o barbante uma vez a partir de qualquer um dos alfinetes restantes.

De forma igualmente rápida, podemos dispor os alfinetes no interior da curva.

Como nem sempre você não pode dar uma olhada rápida ao padrão

antes de colocar os jornais, o melhor a fazer é dispor os alfinetes sem dizer o feito a

que se pretende. Ao puxar o fio temos duas possibilidades igualmente

surpreendentes: ou ele solta todos os alfinetes ou prende a todos.

Uma outra versão deste truque pode ser executada com lápis e papel. Eis

suas etapas:

1. Peça a um amigo que desenhe uma curva fechada tão complexa quanto

quiser em uma folha de papel retangular. Lembre: as linhas não podem se

cruzar.

2. A seguir, dobre todas as margens da folha de modo que somente uma região

retangular interior seja visualizada (figura 106). É neste momento memoriza

um ponto interior.

Figura 106: Folha de papel com as bordas dobradas

Fonte: Autores

3. Peça ao seu amigo que desenhe vários “X’s” em seis (ou mais) pontos do

padrão.

4. Assinale os “X’s” que se situam no interior do padrão.


5. Ao desdobrar as margens. Verifica-se que suas escolhas de “X’s” estão

corretas.

Desafio 27

Nome: Punhos atados

Desafio:

Esse desafio é dividido em duas etapas. Ate os pulsos com um único

pedaço de barbante como ilustra a fotografia 182. Manipule o barbante (sem o cortar

ou sequer desatar seus nós) formando nele um nó simples (I) e um nó em oito (II). A

segunda etapa deste desafio é colocar e tirar um elástico no/do barbante sem o

cortar ou sequer desatar (III).

Fotografia 182: Punhos atados

Fonte: Autores


(I) Nó simples

1. Passe um laço de fio sob a parte do barbante que envolve um dos pulsos.

Fotografia 183: Passar o laço de fio (a) Fotografia 184: Passar o laço de fio (b)



2. Dê uma volta no pulso com o laço e depois passe este por cima da mão de

modo que ele envolva o pulso.

Fotografia 185: Dar a volta no pulso (a) Fotografia 186: Dar a volta no pulso (b)


3. Em seguida, passe o laço por baixo da parte do barbante que envolve o

pulso.

Fotografia 187: Passar o laço por baixo (a) Fotografia 188: Passar o laço por baixo (b)


4. Finalmente passe o laço novamente por cima da mão.

Fotografia 189: Passar o laço por cima da mãoFotografia 190: Nó simples no barbante entre

os pulsos Fonte: Autores Fonte: Autores


Para desfazer o nó execute os passos anteriores em ordem inversa. O nó

em oito é feito a partir do nó simples (que já fizemos atrás) ao centro do fio.

(II) Nó em oito

1. Passe novamente o laço de fio sob a parte do barbante que envolve um dos

pulsos.

Fotografia 191: Passar o laço de fio por

baixo (a) Fonte: Autores

Fotografia 192: Passar o laço de fio por baixo (b)

Fonte: Autores

2. Dê uma volta no pulso com o laço e traga este novamente por cima da mão.

Fotografia 193: Dar a volta no pulso Fotografia 194: Colocar o laço na mão


3. Passe outra vez por baixo do barbante


Fotografia 195: Passar o laço por baixo do barbante

Fonte: Autores

4. Finalmente, passe o laço novamente por cima da mão.

Fotografia 196: Passar o laço por cima

da mão Fonte: Autores

Fotografia 197: Nó em oito Fonte: Autores

Perceba a única diferença entre a confecção destes nósé que, neste

último caso, se dão duas voltas no laço.

(III) Elástico

1. Coloque o elástico em um dos pulsos.

Fotografia 198: O elástico está em um dos pulsos

Fonte: Autores


1. Passe o elástico por baixo do barbante que envolve este pulso. Nesse

momento o elástico estará em um dos seus braços.

Fotografia 199: Passar o elástico por baixo

do barbante Fonte: Autores

Fotografia 200: O elástico está em um dos braços

Fonte: Autores

2. Passando o elástico por cima da mão transfira-o para o centro do barbante.

Fotografia 201: Passar o elástico por

baixo do barbante Fonte: Autores

Fotografia 202: O elástico está em um dos braços

Fonte: Autores

Os mesmos movimentos, em sentido inverso, permitirão naturalmente

retirar o elástico.

Desafio 28

Nome: Anéis interligados

Desafio: Atando duas pessoas do modo ilustrado na fotografia 182, com os fios

interligados (Fotografia 203), manuseie o barbante (sem danificar quaisquer partes

dos barbantes ou desatar seus nós) de modo a separar o par.


Fotografia 203: Casal atado com fios interligados

Fonte: Autores


1. Passe um laço de um dos barbantes por baixo do que envolve o pulso da

outra pessoa conforme ilustram as fotografias.


do desafio “anéis interligados” Fonte: Autores

Fotografia 205: Etapa 1 (b) da solução do desafio “anéis interligados”

Fonte: Autores

2. Passe o laço por cima da mão.

Fotografia 206: Etapa 2 da solução do desafio “anéis interligados”

Fonte: Autores

3. Passe novamente por baixo do barbante e o par será separado.



do desafio “anéis interligados” Fonte: Autores

Fotografia 208: Etapa 3 (b) da solução do desafio“anéis interligados”

Fonte: Autores

Um divertido jogo de salão consiste em atar desta maneira e aos pares as

pessoas em certo ambiente. As soluções para todos estes problemas dependem do

fato de o circuito formado pelo barbante, braços e corpo não ser uma verdadeira

curva fechada, e sim uma curva separável nos pulsos (Gardner, 1991, p. 100, 101).

Desafio 29

Nome: Colar da avó

Desafio: Enfiar algumas contas em dois pedaços de fio e puxar as pontas dos fios

de modo que as contas caiam dos fios sem danificá-los.

Descrição:

Este truque bastante antigo, cujo princípio tem sido aplicado em muitos

truques com faixas e fio, é conhecido no meio ilusionista por “colar da avó”. Para

fazê-lo são usados três contas e dois pedaços de barbante. Mostram-se primeiro as

contas enfiadas em dois pedaços de fio e quando um espectador puxa as pontas, as

contas caem do fio para as mãos do executante “misteriosamente”.

O segredo

O segredo está no nó. A figura 106 ilustra o método para enfiar as contas.

Perceba que os dois pedaços de fio parecem atravessar todas as três contas, mas

na realidade são dobrados de modo a voltar para trás (as fotografias 209, 210, 211,

212 nos mostram como confeccionar esse nó). Daí, as duas pontas do fio se cruzam

(figura 108) e quando puxadas as pontas, as contas caem do fio como se o tivessem

atravessado (figura 109).


Figura 107: Corte transversal das contas Figura 108: Cruzam-se as duas pontas do fio


Figura 109: As contas caem Fonte: Gardner, 1991, p. 102

Fotografia 209: Método para

confeccionar o nó (a) Fonte: Autores

Fotografia 210: Método para confeccionar o “nó” (b)

Fonte: Autores

Fotografia 211: Método para

confeccionar o nó (c) Fonte: Autores

Fotografia 212: Método para confeccionar o “nó” (d)

Fonte: Autores

Desafio 30

Nome: Nó falso


Desafio: Construir um nó falso

Descrição:

O nó conhecido por nó “chefalo” é um dos muitos nós falsos que têm sido

desenvolvidos pelos ilusionistas. Começa por um genuíno nó direito (Figura 110).

Uma das pontas, então, é entrelaçada para dentro e para fora como mostra a figura

111. Ao puxarmos as pontas, o nó prontamente se desfaz.

Figura 110: Nó direito Figura 111: Nó chefalo


4.2.4. Casacos e coletes

Gardner (1991, p. 103) elenca três truques de salão de tipo topológico

que fazem uso de um colete masculino. Aqui o apresentamos como desafios. De um

prisma topológico, um colete pode ser considerado uma superfície bilateral com três

orlas não ligadas, sendo que cada uma destas é uma curva fechada simples. Se

abotoado, ele torna-se uma superfície bilateral com quatro orlas deste tipo.

Desafio 31

Nome: O laço

Desafio: Em primeiro lugar, peça a um amigo que use colete que coloque um laço

de barbante sobre o seu braço e enfie o polegar no bolso inferior do colete, tal como

se mostra na figura 112. Agora retire o laço de fio do seu amigo sem que este retire

o dedo do bolso.


Figura 112: Retire o laço de fio sem tirar o dedo do bolso



1. Passe o laço pela abertura do braço;

Fotografia 213: Passar o laço de fio pela abertura do braço Fonte: Autores

2. Passe o laço por cima da cabeça;


Fotografia 214: Passar o laço por cima da cabeça Fonte: Autores

3. Retire o laço pela abertura do outro braço;

Fotografia 215: Retirar o laço pela abertura Fonte: Autores

4. Passe o braço pelo laço.


Fotografia 216: Passe o laço pelo outro braço Fonte: Autores

5. Já que, neste momento, o laço envolve o peito, por baixo do colete, deixe que

ele caia no chão.

Fotografia 217: Deixe o laço cair no chão Fonte: Autores

Stewart (2009, p. 293) apresenta uma nova versão do mesmo truque

onde, no lugar do colete, um paletó é utilizado e a mão do homem deve permanecer

no bolso deste paletó. Segundo o autor, a ideia topológica é que, pelo fato do paletó

possuir buracos, o barbante não se encontra efetivamente ligado ao corpo,

tampouco ao paletó.


Desafio 32

Nome: Colete ás avessas

Desafio: Peça ao amigo de colete que entrelace os dedos à frente do corpo. Feito

isso, vire o colete do avesso sem que a pessoa deixe de ter os dedos entrelaçados.


1. Desabotoe o colete;

Fotografia 218: Desabotoe o colete Fonte: Autores

2. Passe o colete por cima da cabeça de modo a ficar pendurado nos braços;

Fotografia 219: Passe o colete por

cima da cabeça Fonte: Autores

Fotografia 220: Colete pendurado nos braços

Fonte: Autores


3. Vire o colete do avesso através das aberturas dos braços;

Fotografia 221: Virar o colete do avesso

Fonte: Autores

4. Regresse o colete à posição original. O colete estará às avessas.

Fotografia 222: Regresse o colete à posição original

Fonte: Autores

Segundo Gardner (1991, p. 104-105) este mesmo feito é possível de um

ponto de vista topológico sem se chegar a desabotoar o colete. A única dificuldade,


no entanto, está no fato do colete ser apertado demais para passar sobre a cabeça

sem ser desabotoado. Uma forma fácil de fazer este desafio em si próprio: atando os

pulsos com uma corda de 30 cm para ter liberdade de movimentos.

É possível ainda virar o colete ainda que um casaco esteja sendo usando

por cima dele e as mãos do espectador estejam atadas. Basta passar o casaco por

cima da cabeça, deixando-o pendurado nos braços. Depois, vire o colete do avesso

como atrás descrito, com as aberturas dos braços a passar sobre o casaco. Depois

que o colete, já invertido, estiver na posição, o casaco passa por cima da cabeça

antes de retornar a sua posição.

Desafio 33

Nome: Casaco e colete

Desafio: Vista um colete e depois um casaco. Agora, tire o colete sem tirar o

casaco.

Etapas da solução: Desabotoe o colete e siga as etapas a seguir

1. Em seguida, puxe o lado esquerdo do casaco para dentro da abertura do

braço esquerdo, a partir de fora.

Fotografia 223: Ponha o braço esquerdo na abertura do colete Fonte: Autores


2. Passe esta abertura por cima do ombro esquerdo e depois para baixo, até

ficar sobre o braço esquerdo. Fazendo isso, a abertura envolverá o casaco

por trás do ombro esquerdo.

Fotografia 224: Colocar o colete sobre o ombro esquerdo Fonte: Autores

3. Continue a passar a abertura dando uma volta completa no corpo, isto é,

passe por cima do ombro e braços direitos até libertar o colete do lado direito

do casaco.

Fotografia 225: Libertando o colete do lado direito do casaco Fonte: Autores

4. O colete, que está, neste momento, pendurado no ombro direito por baixo do

casaco, deve ser empurrado até o meio da manga direita do casaco.


Fotografia 226: Empurrar o colete até o meio da manga Fonte: Autores

5. Meta a mão pela manga direita, segure o colete e puxe-o por esta.

Fotografia 227: Puxe o colete pela manga Fonte: Autores


Fotografia 228: O colete é solto Fonte: Autores

4.1.2.5. ELÁSTICOS

Agora falaremos de mais dois truques com elásticos, ambos de caráter

topológico.

Desafio 34

Nome: O elástico saltitante

Desafio: Prenda um elástico nos dedos indicador e médio e faça com que num

rápido salto, ele prenda no dedo médio.

Descrição:

Ponha o elástico no dedo indicador (Figura 113). Passe a ponta em volta

do dedo médio (Figura 114) prendendo-a novamente no indicador (Figura 115).

Certo de que o elástico foi enlaçado nos dedos exatamente como atrás descrito,

peça que alguém segure a ponta do seu indicador.

Assim que lhe segurarem o indicador, dobre o dedo médio. Se o elástico

tiver sido colocado corretamente, uma parte dele deslizará da ponta do dedo médio.

Isto faz com que o elástico salte, libertando-se completamente do indicador e ficando

pendurado no dedo médio conforme ilustra a figura 116. O estranho é que é bem


difícil que outras pessoas consigam reproduzir este pequeno e, ao mesmo tempo,

“misterioso” truque.

Figura 113: Elástico no dedo

indicador Fonte: Gardner, 1991, p. 106

Figura 114: Passar o elástico em volta do dedo médio


Figura 115: Prender o elástico no dedo indicador


Figura 116: O elástico “dá um salto” para o dedo médio


Desafio 35:

Nome: O elástico torcido

Desafio: Faça as torções de um elástico “desaparecerem misteriosamente”.

Descrição:

Segure um elástico largo e comprido da forma indicada na figura 117.

Faça deslizar o polegar e o indicador direitos nas direções indicadas pelas setas.

Desse modo, o elástico deve ser retorcido duas vezes, tal como se mostra na figura

118.


Figura 117: Segure o elástico Fonte: Gardner, 1991, p. 107

Figura 118: Elástico retorcido Fonte: Gardner, 1991, p. 106

Agora peça a alguém que lhe tire o elástico, agarrando-o exatamente da

mesma maneira. A pessoa deve segurar o elástico da mesma forma que você

segurara. Em outras palavras, o polegar e o indicador direito da pessoa retiram a

parte de cima do elástico do seu polegar e indicador direitos, enquanto a mão

esquerda dela tira do mesmo modo a parte de baixo do elástico da sua mão

esquerda.

Peça para ela retirar as torções do elástico mudando as posições das

mãos, não podendo, é claro, alterar a forma como segura as pontas do elástico. Seja

qual for o modo como mover as mãos, ela vai descobrir que é impossível desfazer

as torções do elástico.

Por fim, faça sua “mágica”: pegue com cuidado no elástico, segurando-o

do mesmo modo que antes. Muito lentamente, baixe a mão esquerda e levante a

mão direita, como ilustrado na figura 119. Feito isso, as torções desaparecem

“misteriosamente”.


Figura 119: Inversão direita-esquerda


Segundo Gardner (1991, p. 108), o que acontece, topologicamente

falando, é que o elástico torcido, juntamente com os seus braços e corpo, formam

um tipo de estrutura que permite a fácil retirada das torções do elástico. Porém,

quando a outra pessoa recebe o elástico, somente uma parte desta estrutura

concebe o que o autor chama de “inversão esquerda-direita”. Como resultado, a

estrutura se torna topologicamente diferente da anterior.


5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

O objetivo desta pesquisa foi construir um conjunto de atividades da

Matemática Recreativa que possuem aspectos topológicos e podem ser trabalhados

nas aulas de Matemática com vistas a atribuir um caráter inovador às mesmas.

O estudo das recreações topológicas pode propiciar a construção do

conhecimento da Matemática de forma significativa, lúdica e prazerosa. Por meio

delas, acreditamos que o aluno pode conhecer melhor esta disciplina, ainda que

sem formalidades.

Cientes da dificuldade que muitos educadores passam em sala de aula

em “prender” a atenção do aluno por meio de “atividades matemáticas”- como

muitas vezes chamamos meros exercícios e operações de pouco significado para o

aluno – propomos o uso das recreações topológicas a fim de contribuir para um

ensino de matemática, desde a Educação Infantil, menos rígido, mas com maior

qualidade cujo propósito seja introduzir, de maneira diferente, as primeiras

aprendizagens em Matemática.

Nessa perspectiva, Xavier, Santana e Vergetti (2010) enfatizam que

A partir de uma prática docente que esteja pautada no aprender como uma atividade dinâmica, cheia de significado, seu objetivo não tem apenas a preocupação com o desenvolvimento das noções e conceitos matemáticos, mas privilegia a percepção do aluno enquanto sujeito, que tem ideias próprias, está inserido em uma determinada cultura, que tem sentimentos e vontades. Esse sujeito tem a oportunidade de aprender matemática e tem a necessidade de desenvolver suas diferentes competências cognitivas. Assim, podemos trabalhar a matemática por meio de jogos e brincadeiras desde a Educação Infantil (XAVIER, SANTANA e VERGETTI, 2010, p. 4).

Diante disso, este trabalho mostrou-se de essencial relevância à nossa

formação uma vez que, no decorrer do curso, sempre nos nortearam

questionamentos sobre alternativas metodológicas para o ensino e aprendizagem de

Matemática que transpusessem os números, os cálculos e fórmulas que

costumeiramente nos deparamos.

Consideramos de grande valia um trabalho que desmistificasse essas

estigmatizantes características e fosse, ao mesmo tempo, motivador. Pesquisar a

Topologia, ramo que valoriza a forma e está relacionada à Matemática qualitativa, se


mostrou bastante gratificante e despertou nosso interesse a prosseguir nossos

estudos nessa perspectiva.

Assim, esperamos que o conjunto de atividades aqui apresentado seja um

material de apoio durante o processo de ensino, aprendizagem e avaliação da

matemática na Educação básica.

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