Cálculo Diferencial e Integal I

Curso de Matemática

Prof. Ma. Polyanna Possani da Costa Petry

DERIVADA

Variação média de 𝑦 = 𝑓 𝑥 :

∆𝑦

∆𝑥=

𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1

é a proporção entre as variações 𝑦 e de 𝑥. A variação média mostra o quanto variou 𝑦 por unidade de 𝑥.

A expressão ∆𝑦

∆𝑥 mede o coeficiente angular (ou inclinação) da

reta que passa pelos pontos 𝑥1, 𝑓 𝑥1 e 𝑥2, 𝑓 𝑥2 , isto é

∆𝑦

∆𝑥= tg 𝛼

DERIVADA

Assim, ∆𝑦

∆𝑥 mede a inclinação da reta secante a curva 𝑦 = 𝑓(𝑥)

nos pontos 𝑥1, 𝑓 𝑥1 e 𝑥2, 𝑓 𝑥2 .

DERIVADA

Buscamos determinar a inclinação da reta tangente a curva 𝒚 = 𝒇(𝒙) num ponto 𝑷.

DERIVADA

• Para isso, tomemos a reta secante a curva 𝒚 = 𝒇(𝒙) que passa pelos pontos P e Q.

DERIVADA

Observe que se fixarmos o ponto P e fizermos Q variar, tornando a distância de 𝒂 até 𝒂 + 𝒉 cada vez menor, isto é 𝒉 tender a zero , a reta secante tenderá a reta tangente. Assim,

DERIVADA

𝒎 = lim𝒉→𝟎

𝒇 𝒂+𝒉 −𝒇(𝒂)

𝒉 fornece a inclinação da reta

tangente a curva 𝒚 = 𝒇(𝒙) em 𝑷.

DERIVADA

Variação instantânea de 𝑦 = 𝑓 𝑥 num ponto 𝑎 é dado pelo limite (quando tal limite existir):

𝑙𝑖𝑚ℎ→0

𝑓 𝑎 + 𝑕 − 𝑓(𝑎)

𝑕

DERIVADA

𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠:

1) Determine a inclinação da reta tangente a curva 𝑦 = 𝑥2 + 1 quando 𝑥 = 0.

2) Determine a variação instantânea de 𝑦 = 𝑥3 − 𝑥2 + 1 no ponto 𝑥 = 2.

DERIVADA

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎:

A derivada de uma função 𝑓, em um ponto 𝑥 de seu domínio, é a variação instantânea de 𝑓 nesse ponto, isto é,

𝑓′ 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚ℎ→0

𝑓 𝑎 + 𝑕 − 𝑓(𝑎)

𝑕

A derivada 𝑓′(𝑎) é o valor do coeficiente angular (ou inclinação)

da reta tangente à curva no ponto 𝑎, 𝑓 𝑎 .

DERIVADA

𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠:

1) Seja 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2 , vamos determinar o valor de sua derivada em um ponto geral 𝑥 ∈ ℝ.

2) Cálculo da derivada da função 𝑓 𝑥 =1

𝑥 no ponto 𝑥 = 2.

DERIVADA

𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠:

1) Seja 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2 , vamos determinar o valor de sua derivada em um ponto geral 𝑥 ∈ ℝ.

2) Cálculo da derivada da função 𝑓 𝑥 =1

𝑥 no ponto 𝑥 = 2.

DERIVADA

Velocidade Suponha que um objeto se mova sobre uma reta de acordo com a equação 𝑠 = 𝑓 𝑡 , no qual 𝑠 é o deslocamento do objeto a partir da origem no instante 𝑡. A função 𝑓 que descreve o movimento é chamada função de posição do objeto.

No intervalo de tempo entre 𝑡 = 𝑎 e 𝑡 = 𝑎 + 𝑕, a variação na posição será 𝑓(𝑎 + 𝑕) − 𝑓(𝑎)

DERIVADA

Velocidade A velocidade média nesse intervalo é

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚é𝑑𝑖𝑎 =𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜=

𝑓 𝑎 + 𝑕 − 𝑓(𝑎)

𝑕

Suponha agora que a velocidade média seja calculada em intervalos cada vez menores em [𝑎, 𝑎 + 𝑕].

A velocidade instantânea no instante 𝑡 = 𝑎 é o limite dessa velocidade média, isto é,

𝑣(𝑎) = 𝑙𝑖𝑚ℎ→0

𝑓 𝑎 + 𝑕 − 𝑓(𝑎)

𝑕

Portanto a a velocidade instantânea 𝒗(𝒕) quando 𝑡 = 𝑎 é a derivada da função posição 𝒔(𝒕) quando 𝑡 = 𝑎 .

DERIVADA

Velocidade Exemplo:

A posição de uma partícula é dada pela equação 𝑠 = 𝑓 𝑡 = 𝑡3 − 6𝑡2 + 9𝑡

onde 𝑡 é medido em segundos e 𝑠 em metros.

a) Encontre a velocidade no instante 𝑡.

b) Qual a velocidade após 2 s? Depois de 4 s?

c) Quando a partícula esta em repouso?

DERIVADA

𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜:

Se uma função 𝑓 tem derivada em um ponto 𝑎, então 𝑓 é contínua em 𝑎.

Observação: A recíproca pode não ser verdadeira, isto é, uma função contínua pode não ter derivada nesse ponto.

Por exemplo, a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 não tem derivada no ponto 𝑥 = 0 (verifique).

Teoremas de Derivação

Outras notações para derivada de uma função 𝑦 = 𝑓 𝑥 : 𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) 𝑜𝑢

𝑑𝑓

𝑑𝑥 𝑜𝑢

𝑑𝑦

𝑑𝑥

Teorema: Sejam 𝑓 e 𝑔 funções que têm derivadas e seja 𝑐 uma constante, então:

i)𝑑

𝑑𝑥[𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)] =

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 +

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥)

ii)𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 −

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥)

Teoremas de Derivação

iii)𝑑

𝑑𝑥𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥

Função potência

•𝑑

𝑑𝑥𝑐 = 0

Demonstração: Faremos em sala de aula

•𝑑

𝑑𝑥𝑥 = 1

Demonstração: Faremos em sala de aula

Exemplo: Determine 𝑑

𝑑𝑥2𝑥 + 5

Teoremas de Derivação

•𝑑

𝑑𝑥𝑥2 = 2𝑥

Demonstração: Faremos em sala de aula

Exemplo: Determine 𝑑

𝑑𝑥𝑥2 + 7𝑥

•𝑑

𝑑𝑥𝑥3 = 3𝑥2

Demonstração: Faremos em sala de aula

Exemplo: Determine 𝑑

𝑑𝑥𝑥3 − 3𝑥3 + 10𝑥 − 9

Teoremas de Derivação

Regra da Potência:

Se 𝑛 for um número real qualquer, então 𝑑

𝑑𝑥𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1

Exemplos: Determine as derivadas das seguintes funções:

1. 𝑓 𝑥 = 𝑥10

2. 𝑔 𝑥 = 3𝑥7

3. 𝑓 𝑥 = 𝑥 +1

3𝑥3

4. 𝑓 𝑥 =1

𝑥2 + 𝑥3

Teoremas de Derivação

Derivada da função exponencial natural 𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥

Faremos a demonstração após estudarmos derivação implícita.

Regra do Produto

Sejam 𝑓 e 𝑔 funções que possuem derivada, então 𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) =

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑔 𝑥

Exemplo:

Se 𝑕 𝑥 = 𝑥𝑒𝑥, encontre 𝑑ℎ

𝑑𝑥.

Teoremas de Derivação

Regra do Quociente

Sejam 𝑓 e 𝑔 funções que possuem derivada, então

𝑑

𝑑𝑥

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

𝑑𝑑𝑥

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥)𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥)

[𝑔 𝑥 2]

Exemplo:

Seja 𝑦 =𝑥2−𝑥−4

𝑥3+3, determine 𝑦′