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Cálculo 2

Cálculo de volumes

Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução

Dados um plano a, uma reta r desse plano e uma região R do plano a inteiramente contida num dos semi-planos de a determinado por r, vamos considerar o sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno da reta r.

Para isso usaremos ainda seções transversais e tomaremos como eixo orientado o eixo de rotação (a reta r).

Introdução:

a

Volume de SólidosVolume de Sólidos

Volume de um sólido quando é conhecida a

área de qualquer secção transversal.

Exemplo 1:Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de uma pirâmide reta de base quadrada - sendo b a medida da aresta da base e h a altura da pirâmide – é

Colocando o sistema de eixos de modo que o eixo y seja perpendicular à base da pirâmide reta, passando pelo centro, temos:

.31 2hb

Para cada corte transversal na altura h - y, temos que a secção obtida é um quadrado, paralelo à base, cuja área é (2x)2.Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever:

e daí


2x


Exemplo 1:

Logo, o volume da pirâmide é dado por:

e daí

22 4)2()( xxyA

Exemplo 2:Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cilindro reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é V = r2h.

Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no centro da base do cilindro e o eixo x seja perpendicular à base do cilindro, temos:

Para cada corte transversal na altura x, temos que a secção obtida é um círculo, paralelo à base, cuja área é r2.

Logo, o volume do cilindro é dado por:


h


Exemplo 3: Considere a região delimitada por , o eixo x e as retas x = -a e x = a, sendo girada ao redor do eixo x. O sólido originado é uma esfera de raio a. Mostre que seu volume é .

O volume da esfera gerada é:


Volume de um sólido de revolução, obtido pela

rotação em torno ao eixo x - ou y - de um conjunto A.


Cálculo do volumeA soma dos volumes dos n cilindros, que representaremos por Vn, é dada por:

n

iiin

nnn

xcfV

xcfxcfxcfV

1

2

22

221

21

)]([

)]([...)]([)]([


Cálculo do volume– A medida que n cresce muito e cada xi torna-se muito

pequeno, a soma dos volumes dos n cilindros aproxima-se do que intuitivamente entendemos como o volume do sólido B.

Definição– Seja y = f(x) uma função contínua não negativa em [a,b]. Seja

R a região sob o gráfico de f de a até b. O volume do sólido B, gerado pela revolução de R em torno do eixo x, é definido por:

n

iiixmáxn xcfV

i 1

2

0)]([lim


Cálculo do volume– A soma que aparece no slide anterior pode ser substituída pelo

símbolo de integral, uma vez que a função é contínua no intervalo e o limite existe. Logo:

– Vamos analisar agora o volume de alguns sólidos em certas situações especiais.

A

x1=a x2=b

B

dxxfVb

an 2)]([


Exemplo 4: Seja a região R do plano limitada pela curva y = -x2 + 1 e o eixo OX. Determinar o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno do eixo de OX.A intersecção da curva com o eixo OX é dada por: -x2 + 1 = 0.: x2 = 1.: x = ± 1.Para cada x [-1, 1] a seção transversal ao eixo OX é um círculo gerado pela rotação do segmento vertical de comprimento y. Logo, possui área A = y2 e o volume do sólido é igual a:

Portanto:

y


Exercício 5: Se f(x) = x2, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [1, 2].

De acordo com a definição: dxxfVb

a 2)]([


Exercício 6:

A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de , paraé girada ao redor do eixo y:

O volume do sólido é dado por:

2

0

2

0


Quando a região A está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b:Supondo f(x) g(x), para qualquer x que pertença ao intervalo [a, b], o volume do sólido B, gerado pela rotação de R em torno do eixo x, é dado por:

dxxgxfxVb

a

)()( )( 2 2

2 2 )()()( xgxfxA


dxxgxfxVb

a

)()( )( 2 2

2 2 )()()( xgxfxA


Exercício 12: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por x2 = y - 2, 2y - x - 2 = 0, x =0 e x=1 em torno do eixo x.


Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.

a b

y = f(x)

AdxLxfV

b

a

])([ 2

Se o eixo de revolução for a reta y = L, temos:

L


Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.

c

d

y = f(x)

A

Se o eixo de revolução for a reta x = M, temos:

M

dyMygVd

c

])([ 2


Volume de um sólido pelo método dos invólucros

cilíndricos.


Cálculo do volumePodemos imaginar o sólido como sendo constituído por cascas cilíndricas.

O volume de cada uma das cascas é dado por:

ou ainda, colocando e ,


Cálculo do volumeSeja f uma função contínua num intervalo [a,b], com a x < b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x1 = a e x2 = b.

Suponhamos que a região gira ao redor do eixo y, gerando um sólido D, cujo volume queremos calcular.

onde indica o raio de cada invólucroe indica sua altura.


Exercício 13: Através do método dos invólucros cilíndricos encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de y = x , para 0 x 2, ao redor do eixo y.

Usando o método dos invólucros cilíndricos, temos:


Exemplo 14: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre os gráficos de y = x3 e y = x, para 0 x 1, ao redor do eixo y.

As duas funções se encontram nos pontos (0,0) e (1,1).

O volume do sólido pode ser calculado pelo método das cascas e, portanto, é igual a:


Exemplo 15: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 0 x y e x2 + y2 2.

Sólidos de RevoluçãoSólidos de RevoluçãoInicialmente, para obter a região do plano, assinalada na primeira figura, precisamos encontrar a intersecção da reta com a circunferência, sendo x 0:

Logo, x = 1:

Assim, a variação de x ocorre no intervalo e o volume procurado é dado por:


E AGORA!!!!

VAMBORA

VAMOS EMBORA

SIMBORA

RUMBORA

BÓ

BORA

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