mÉtrica em espaÇos de curvatura constante métrica de uma projeção estereográfica sobre um...
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MÉTRICA EM ESPAÇOS DE CURVATURA CONSTANTE
•métrica de uma projeção estereográfica sobre um plano
P1
R
P1
(projetado sobre o plano) P2
P2
(r’,)r’
transformação de coordenadas:
2
cot2, gRr
esféricas:ds2=R2d2+R2sin2d2
22,2,2
2
2,
2
41
1 drdr
Rr
ds
1. perímetro de um círculo geodésico
r’ é fixo dr’→0
2
2,
,
41
Rr
drds
2
2,
2
2,
4
,0
2 4
,
1
2
1Rr
Rr
rd
rdsC
2. área de um círculo geodésico
ddrggdArr
,,,
2
2,
,
2
2,
4
2,0
2 0
,
4
,
11Rr
r
Rr
rdr
rdA
Como para uma superfície esférica: 2
1
R
22,2,22,
2
41
1 drdrr
ds
métrica de um planoem coordenadaspolares
deformação que uma esfera deve sofrer paratranformar-se num plano ou vice-versa.
22,2,22,
2
41
1 drdrr
ds
reescrevendo
x1=r’cosx2=r’sin
][)](1[
1 22
2122
2214
2 dxdxxx
ds
Métrica válida para superfície de curvatura constante de qualquer sinal
Forma generalizada a um no de dimensões n
]...[)]...(1[
1 222
21222
2214
2n
n
dxdxdxxxx
ds
Métricas 3D para espaço de Ҝ constante
Em coordenadas esféricas :x1=r sin cosx2=r sin sinx3=r cos
]sin[]1[
1 2222222
4
22 drdrdr
Kds
r
Forma + comum da métrica na cosmologia :
r
x3
x1x2
)(sin1
22222
22 dda
Ka
dads
41
2rK
ra
Nota: a não é o raio próprio.
R
r
a
Ex. caso 2D Coordenadas (a,)
222
22
1da
a
dads
r = raio próprio medido sobre a superfície
Cálculo do raio próprio
Fixando os ângulos e :
voltando a superfície 3D...
21 Ka
dads
)(sin1
22222
22 dda
Ka
dads
,
021
a
Ka
dadsr
APLICAÇÃO : HIPER-ESFERA
Definição: espaços de curvatura positiva e constante
)(sin1
22222
22 dda
Ka
dads
com K > 0 e constante
)arcsin(1
102
aKa
dar
a
•raio próprio deuma esfera geodésica
• área (de uma esfera de raio a dentro deste espaço)
2 0
2
0
2
4
sin
a
ddadddagggdA aa
)sin(
1)( rra
A área de uma esfera de raio próprio r imersa em umespaço de Ҝ > 0 e constante:
)(sin4
)( 2 rrA
•r cresce: área máxima quando
1
2
r
4maxA
• quando
r 0min A
O volume de uma esfera de raio a dentro de um espaço Ҝ > 0 e constante
para uma métrica ortogonal :
321332211 dxdxdxgggdV
a
aaaa
daaddV
0
22/32
2
0
2
0
1)arcsin(4
1sin
Vmáx volume engloba todo o espaço de Ҝ > 0 e constante:
2/3
2
max
2
V
volume finito ! espaço de Ҝ > 0 e constante é finito
mas sem bordas...
Espaço de Ҝ 0 e constante são infinitos
Entretanto...
Ex.: uma esfera de volume V(a) dentro de um espaço decurvatura negativa
)1ln(12
1sin)(
222/3
02
2
0
2
0
aaaa
a
addaV
a
Quando a→∞ V(a) →∞ Espaços deste tipo sãoditos espaços infinitos
Se Ҝ=0 , o volume de uma esfera em um espaço euclidiano é:
V(a)=(4/3)a3 Tb quando a→∞ V(a) →∞
Espaços Riemannianos
Definição: sempre que ds2 for representado por uma formadiferencial qualdrática MÉTRICA RIEMANNIANA
Ex. para uma superfície
),(, 21
2221
21
2
1,
2
xxfCeBA
CdxdxBdxAdxdxdxgds
Característica importante: métrica riemanniana é localmenteeuclidiana !!
Demonstração: nas viz. De um ponto P0, A0, B0 e C0 são números:
22
0
00
2
2
0
010
220210
210
2
42dx
A
BCdx
A
BdxA
dxCdxdxBdxAds
Fazendo:
2
2/1
0
20
0,2
2
0
010
,1
2
2
xA
BCx
xA
BxAx
ds2=dx’1+dx’2Nas viz. De ponto sobre uma superfícieRiemanniana a métrica pode ser aproximadacomo uma métrica euclidiana
Através de medidas de ângulos,perímetros ou áreas sobre uma dadasuperfície podemos medir a Ҝ
Ir até as galáxias mais distantes efazer medidas por triangulação (!!!!??)
Número de galáxias num dado volume
Galáxias uniformemente distribuídas:aumentando o raio aumenta o no de galáxias
Se raio → 2raio:
K=0:N → 8N
k=+1:N < 8N
k=-1:N > 8N
Modelos cosmológicos R(t)
esférica hiperbólica