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CÁLCULO 1

LIMITES

Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

ENGENHARÍA DE PRODUÇÃO

CÁLCULO 1

LIMITES: NOÇÕES INTUITIVA; DEFINIÇÃO; LIMITES LATERAIS CONTINUIDADE.


Noção Intuitiva

Sucessões numéricas

Dizemos que:

1, 2, 3, 4, 5, ....Os termos tornam-se cada vez maiores, sem atingir um limite

x + Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor

x 1

1, 0, -1, -2, -3, ...Os termos tornam-se cada vez menor, sem atingir um limite

x - Os termos oscilam sem tender a um limite

,.....65,

54,

43,

32,

21

,...7,76,5,

45,3,

23,1


Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de “a” (um número real), exceto talvez em a.

c a d

Definição de Limites


Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a “a” e escrevemos:

lim [f(x)] = L x a

Figura 1: Um intervalo aberto de raio 3 em torno de x0 = 5 estará dentro do intervalo aberto (2, 8).


y L + L

L -

0 a - a a + x

O limite de uma função y = ƒ(x), quando x tende a “a“, a R, indicado por lim ƒ(x) é a constante real“L“, se para qualquer (épsilon), R, 0, por menor que seja, existir (delta), R, > 0, tal que:

Definição de Limite


I x – a I < I ƒ(x) - L I < .

Limites

Aproximação à direita

x y

1,5 4

1,3 3,6

1,1 3,2

1,05 3,1

1,02 3,04

1,01 3,02

x y

0,5 2

0,7 2,4

0,9 2,8

0,95 2,9

0,98 2,96

0,99 2,98Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane

Aproximação à esquerda

Seja y = f(x) = 2x + 1

0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

y

x

Limites


Nota-se que quando x tende para 1, pelos dois lados, ao mesmo tempo, y tende para 3, ou seja, (x 1) implica em (y 3). Assim, diz-se que:

Limites

3)12(lim)(lim11

xxfxx

Neste caso o limite é igual ao valor da função. f(x) = f(1) = 3

1limx


Limites

No caso da função f(x) = é diferente pois f(x) não é definida para x = 1. Porém o limite existe e

é igual 3. Ver gráfico a seguir:

122

xxx

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Direitax y0 20,5 2,50,7 2,70,9 2,90,99 2,990,999 2,999

Esquerdax Y1,9 3,91,7 3,71,5 3,51,3 3,31,1 3,11,01 3,01

12)(

2

x

xxxf


0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

y

x

Limites


Quando faz-se x tender para a, por valores menores que a, está-se calculando o limite lateral esquerdo. x a -

Quando faz-se x tender para a, por valores maiores que a, está-se calculando o limite lateral direito. x a +

Para o limite existir, os limites laterais devem ser iguais:

[f(x)] = [f(x)]

Limites Laterais

axlim

axlim


x f(x) = x + 30 3

0,25 3,25

0,75 3,75

0,9 3,9

0,99 3,99

0,999 3,999

x f(x) = x + 32 5

1,5 4,5

1,25 4,25

1,1 4,1

1,01 4,01

1,001 4,001

1,0001 4,0001

4)(lim1

xfx

4)(lim1

xfx

Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiver próximo de 1, mas não for igual a 1.

Dada a função f: IR IR, definida por f(x) = x + 3.

4

1 x

yPela esquerdaPela direita


)(lim1

xfx

Determinar, graficamente,

Dada a função f: IR IR, definida por

1,31,1

)(xparaxxparax

xf

4)(lim1

xfx

2)(lim1

xfx

1

Não existe limite de f(x), quando x tende para 1

2

4


“O limite da função f(x) = x2 quando x tende a 2 é 4”.

Noção Intuitiva de Limite

2

x 2lim(x ) =4


EXERCÍCIO 1

y

x1 5

2

1

O que ocorre com f(x) próximo de x = 1?

Lim f(x) não existex 1


O que ocorre com f(x) quando x = 1?

y

x1 5

3

2

EXERCÍCIO 2

Lim f(x) = L = 2x 1


Lim f(x) sim existe, mas não coincide com f(1)X 1

x1

y

5

2

1

EXERCÍCIO 3O que ocorre com f(x) quando x = 1?


Uma função f é contínua em um intervalo aberto se for contínua em todos os pontos desse intervalo.

ba,

Continuidade de uma função em um intervalo aberto

Uma função é continua no ponto x = a se, e somente se, as seguintes condições forem satisfeitas:


i – existe f(a) ii – existe lim f(x) (devem existir e ser iguais os limites laterais a esquerda e à direita)iii – lim f(x) = f(a)

Obs: Quando uma (ou mais) dessas condições não é satisfeita para x = a, dizemos que a função é descontínua em a .

Uma função f é contínua em um número x0 se

)()(lim 00

xfxfxx

Nenhuma destas funções é contínua em x = xo.

Continuidade de uma função em um número

a) b) c)

Continuidade


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