Cálculo 1Introdução a Limites e Continuidades

Prof: MSc. Jonathan Willian Zangeski Novais

Definição intuitiva de limite:Considere a função f(x) = 2x+3 , e tivesse que responder a seguinte pergunta:Para que valor a função vai quando x se aproxima de 1?X f(x)

0,95 4,9

0,96 4,92

0,97 4,94

0,98 4,96

0,99 4,98

X f(x)

1,006 5,012

1,007 5,014

1,008 5,016

1,009 5,018

1,01 5,02

Parece razoável dizer que o valor de f(x) aproxima-se cada vez mais de 5, quando x se aproxima de 1. Ou seja, 5 é o limite da função f quando x tende a 1.

Assim:lim𝑥→ 1

𝑓 (𝑥 )=5

lim𝑥→𝑎

𝑓 (𝑥 )=𝐿

Lê-se: limite de f(x) quando x tende a 1 é 5.De uma forma geral

No início tínhamos a funçãof(x) = 2x+3, e quando x se aproxima de 1, temos o limite igual a 5.O que acontece se jogarmos o número 1 na função?f(1) = 2 . 1 + 3 = 5Ou seja:

lim𝑥→ 1

𝑓 (𝑥 )= 𝑓 (1)

Mas será que isso vale para qualquer função?

Considere a f R – {-2 , 2} -> R definida por:

lim𝑥→ 2

𝑓 (𝑥 )=0,25

Qual o valor da função quando x tente a 2?

Mas como validar isso?

f(x) = Não pode ser zero!

Parece razoável dizer que:

Por produtos notáveis sabe-se que: Com x-2 diferente de zero. Simplificando:

lim𝑥→ 2

1(𝑥+2)

   =12+2

=14=0,25

Assim vimos que a função não estava definida em x=2, porém obtivemos que limx→2

f ¿¿

Isso significa que nem sempre o valor de uma função em um determinado ponto é igual ao seu limite nesse ponto. Isto é nem sempre:limx→a

f ¿¿

Considere a f: definida porf ¿

Vamos calcular o limx→0

f ¿¿

Parece que Mas essa não é a resposta correta!

Considere a f: definida porlim𝑥→ 0

√𝑥 ²+9−3𝑥 ²

❑

Aqui precisamos usar um artifício algébrico, multiplicaremos o numerador e o denominador por :lim𝑥→ 0

√𝑥 ²+9−3𝑥 ²

¿ lim𝑥→0

√𝑥 ²+9−3𝑥 ²

√𝑥 ²+9+3√𝑥 ²+9+3

lim𝑥→0

√𝑥 ²+9−3𝑥 ²

¿ lim𝑥→0

√𝑥 ²+9−3𝑥 ²

√𝑥 ²+9+3√𝑥 ²+9+3Fazendo produtos notáveis teremos:

lim𝑥→0

√𝑥 ²+9−3𝑥 ²

¿ lim𝑥→0

(√𝑥2+9)²−3²𝑥 ²(√𝑥2+9+3)

❑

¿ lim𝑥→ 0

𝑥 ²

𝑥 ² (√𝑥2+9+3)❑

Sabendo que x se aproxima de 0, mas não pode ser 0, temos que ¿ lim𝑥→ 0

𝑥 ²

𝑥 ² (√𝑥2+9+3)❑ ¿ lim

𝑥→ 0

1

(√𝑥2+9+3)❑

lim𝑥→ 0

√𝑥 ²+9−3𝑥 ²

¿ lim𝑥→0

1

(√𝑥2+9+3)❑

Note que quando x se aproxima de 0, se aproxima de 6. Assim: lim𝑥→ 0

√𝑥 ²+9−3𝑥 ²

¿ lim𝑥→0

1

(√𝑥2+9+3)❑

lim𝑥→ 0

√𝑥 ²+9−3𝑥 ²

¿ 1(√0²+9+3)

¿ 16

Resumindo, aprendemos hoje que:lim𝑥→ 1

(2𝑥+3 )=5

Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3lim

𝑥→ 0

√𝑥 ²+9−3𝑥 ²

¿ lim𝑥→0

1

(√𝑥2+9+3)¿ 16

Exercício: Calcule os seguintes limites:lim𝑥→ 1

𝑥 ²−𝑥+1

lim𝑥→ 5

𝑥 ²−4 𝑥+3

lim𝑥→2

❑5 𝑥 ³+4𝑥−3

lim𝑥→ 2

𝑥−3𝑥 ²−9

 = 

lim𝑥→ 1

𝑥−1√𝑥−1