Calculando umvalor futuro

Uma aula preparada por Luiz A. BertoloIMES-FAFICA

O fundamental

Supomhamos que você coloque $100 numa conta que paga 4% de juros por ano. Quanto você terá na conta no final de um ano?

O fundamental, cont.

Saldo = $100 + ($100 x 0,04) principal juros

Valor futuro = valor presente + juros

FV = PV + (PV x i)

FV = PV (1 + i)

A taxa de juros

A taxa de juros representa a compensação para o valor no tempo do dinheiro e risco.

O valor no tempo do dinheiro é o conceito que um investidor é compensado pelo uso de fundos.

Quanto maior o risco, maior a taxa de juros demandada por um investidor.

Valor futuro exemplo

Suponha que você deposite $1.000 numa conta hoje que pague 5% de juros, composto anualmente. Qual será o saldo na conta no final de quatro anos?

Valor futuro exemplo, cont.

No final de um ano,

FV = $1.000 (1 + 0,05) = $1.050,00

No final de dois anos,

FV = $1.050 (1 + 0,05) = $1.102,50

No final de três anos,

FV = $1.102,50 (1 + 0,05) = $1.157,63 No final de quatro anos,

FV = $1.157,63 (1 + 0,05) = $1.215,50

Juro-sobre-juros

Ano FV

c/juros simples

FV c/juros compostos

Juros sobrejuros

1 $1.050 $1.050,00 $0,00

2 $1.100 $1.102,50 $2,50

3 $1.150 $1.157,63 $7,63

4 $1.200 $1.215,51 $15,51

Valor futuro exemplo, cont.

$1.000,00 $1.050,00 $1.102,50 $1.157,63 $1.215,50

$0

$200

$400

$600

$800

$1.000

$1.200

$1.400

Valor futuro exemplo, cont.

$0

$1.000

$2.000

$3.000

$4.000

$5.000

$6.000

$7.000

$8.000

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

Número de períodos

Valor

Usando a equação de avaliação básica

FV = PV (1 + i)n

Notação

FV = valor futuro

PV = valor presente

i = taxa de juros por período composto

n = número de períodos compostos

Exemplo de valor futuro, cont.

Usando a equação de avaliação básica, PV = $1.000

i = 5%

n = 4

FV = $1.000 (1 + 0,05)4

= $1.000 (1,2155)

= $1.215,50

HP-12C

Tabela dos fatores de composição

taxa de juros

1% 2% 3% 4% 5% 6%

1 1.0100 1.0200 1.0300 1.0400 1.0500 1.0600

2 1.0201 1.0404 1.0609 1.0816 1.1025 1.1236

3 1.0303 1.0612 1.0927 1.1249 1.1576 1.1910

4 1.0406 1.0824 1.1255 1.1699 1.2155 1.2625

5 1.0510 1.1041 1.1593 1.2167 1.2763 1.3382

6 1.0615 1.1262 1.1941 1.2653 1.3401 1.4185

Problema de valor futuro

Se fosse depositado $1.000 numa conta que rendesse 10% de juros ao ano, compostos anualmente, qual seria o saldo na conta no final de quatro anos se não existissem retiradas?

Problema de valor futuro

Solução

Dado: PV = $1.000i = 10%

n = 4

FV = $1.000 (1 + 0,10)4

= $1.464,10

Um outro problema

Suponha que você invista $10.000 num investimento que renda 6% de juros, compostos anualmente. Quanto valerá este investimento daqui a 5 anos? 10 anos? 15 anos?

Um outro problema, cont.

SoluçãoDado: PV = $10,000

i = 6%n = 5, 10

FV5 = $10.000 (1 + 0.06)5 = $13.382,26

FV10 = $10.000 (1 + 0.06)10 = $17.908,48

FV15 = $10.000 (1 + 0.06)15 = $23.965,58

Usando uma calculadora

10000 +/- PV

6 i

5 n

FV

10 n

FV

Usando as tabelas

Usar a tabela dos fatores de composição Achar a entrada na tabela que

corresponda ao i e ao n

FV5 = $10.000 (1,3382) = $13.382

FV10 = $10.000 (1,7908) = $17.908

Freqüência de composição

A taxa de juros, i, é a taxa de juros por período de composição.

Se o juro é composto com freqüência maior do que uma vez por ano, você precisa transladar o juro anual (chamado de APR) numa taxa por período, n.

O número de períodos deve refletir o número de períodos de composição.

Exemplos de Composição

Exemplo 1: Se a APR é 10%, com juro composto semestralmente, a taxa por período é 10% / 2 = 5%

Exemplo 2: Se a APR é 12% e o juro é composto mensalmente, i = 12% / 12 = 1%

Exemplo 3: Se a APR é 8% e o juro é composto trimestralmente, i = 8% / 4 = 2%

Mais um outro problema

Suponha que você deposite $1.000 numa conta que paga 12%, composto mensalmente. Quanto você terá na conta no final de uma ano?

Mais um outro problema, cont.

SoluçãoDado: PV = $1,000

i = 12%/12 = 1%

n = 12

FV = $1.000 (1 + 0,01)12 = 1.126,83

Composição contínua

Se a freqüência de composição (ou desconto) com um período de tempo que se aproxima do infinito, referiremos a isto como composição contínua.

Com composição contínua, o juro é composto instantaneamente.

Composição contínua e fatores

O fator de composição para um period with composição contínua é eAPR.

O fator de composição para mais do que um período de composição é ex APR.

Calculando o valor futuro: composição contínua

Problema

Se você investir $1.000 numa conta que paga 10% de juros, composto continuamente, qual será o saldo na conta no final de cinco anos?

Solução

FV = $1.000 e5(0,10)

FV = $1.000 (1,6487) = $1.648,72$1.648,72

Cálculos: Encontre FVassumindo composição discreta

Problema

PV i n FV

1 $1.000 7 10 2 $500 5% 5 3 $350 2% 100 4 $1.000 6% 20 5 $500 4% 5

Soluções: Encontre FVassumindo composição discreta

Problema PV i n FV 1 $1.000 7 10 $1.967,15 2 $500 5% 5 $638,14 3 $350 2% 100 $2.535,63 4 $1.000 6% 20 $3.207,14 5 $500 4% 5 $608,33

Cálculos: Encontre FVassumindo composição contínua

Problema PV APR No. de anos

FV

1 $1.000 7 10 2 $500 5% 5 3 $350 2% 100 4 $1.000 6% 20 5 $500 4% 5

Soluções: Encontre FVassumindo composição contínua

Problema PV APR No. de

anos

FV

1 $1.000 7% 10 $2.013,75 2 $500 5% 5 $642,01 3 $350 2% 100 $2.586,17 4 $1.000 6% 20 $3.320,12 5 $500 4% 5 $610,70

Problemas Práticos

Problema #1

Se você investir $10.000 numa conta que paga 4% de juros, compostos trimestralmente, quanto estará na conta ao final de 5 anos se você não fizer retiradas?

Problema #2

Se você investir $2.000 numa conta que paga 12% por ano, compostos mensalmente, quanto estará na conta ao final de seis anos se você não fizer retiradas?

Problema #3

Suponha que você invista $3.000 numa conta que paga juros à taxa de 8% por ano, composto semestralmente. quanto você terá na conta ao final de cinco anos, se você não fizer retiradas?

Problema #4

Suponha que você invista $100 por 20 anos numa conta que paga 2% por ano, compostos trimestralmente.

Quanto você terá na conta ao final de 20 anos?

Quanto juro sobre juros estarão na conta ao final de 20 anos?

Problema #5

Suponha que você deposite $100 numa conta que paga 4% de juros, compostos anualmente. Qual é o saldo da conta ao término de três anos se você retirar cada ano somente o juro sobre os juros?

Problema #6

Suponha que você invista $100 hoje num investimento que renda 5% por ano, composto anualmente. Quanto você terá na conta ao término de seis anos?

Problema #7

Suponha que você compre um revista em quadrinhos no final de 1991 por $1. Se você vender a revista em quadrinhos por $5 ao término de 1997, qual é o retorno médio anual (i.e., a média geométrica ou taxa de crescimento anual) sobre seu investimento?

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