Universidade do Estado do Rio de Janeiro Colégio de Aplicação Fernando Rodrigues da Silveira

cap-uerj PROJETO MATEMÁTICA VIVA - Edição Experimental

caderno de matemática 8ª série

Nelson de Melo Resende Lilian L. Marques

Monica Rabello de Castro (coord.) Iniciação Científica: Patrícia Vanessa Fabiano

2002

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

Reitora: Nilcéa Freire

Vice-reitor: Celso Pereira de Sá

CENTRO DE EDUCAÇÃO E HUMANIDADES

Diretor: Lincoln Tavares Silva

COLÉGIO DE APLICAÇÃO DA UERJ

Diretor: Aristônio Gonçalves Leite Júnior

Vice-diretor: José Roberto Julianelli

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E DESENHO – DMD

Chefe: Ezequiel Rodrigues de Oliveira

Sub-chefe: José Antônio Novaes

PROJETO MATEMÁTICA VIVA

Coordenação: Monica Rabello de Castro

Índice

Unidade 1 A Matemática das finanças

2

Unidade 2 Densidade dos números racionais

12

Unidade 3 Conversando sobre números reais

17

Unidade 4 Transformações no plano

20

Unidade 5 Equações do 2ºgrau

26

Unidade 6 Gráficos e parábolas

31

Unidade 7 Problemas envolvendo equação do 2ºgrau

38

Unidade 8 Equações que se reduzem a equação do 2ºgrau

43

Unidade 9 Sistemas de Equações

45

Unidade 10 Teorema de Tales

46

Unidade 11 Semelhança

49

Unidade 12 TEOREMA DE PITÁGORAS

52

Unidade 13 Razões trigonométricas

57

Unidade 14 Trabalhando com áreas

60

Unidade 15 Circunferência

61

Unidade 16 Polígonos inscritos e circunscritos

62

Unidade 17 Paralelepípedos e cilindros

66

SUMÁRIO UNIDADE 1 - densidade dos racionais ________________________________1 UNIDADE 2 - conversando sobre números reais ________________________6 UNIDADE 3 - transformações no plano _______________________________8 UNIDADE 4 - equação do 2ºgrau ____________________________________14 UNIDADE 5 - problemas envolvendo equações do 2ºgrau _______________18 UNIDADE 6 - equações que se reduzem a uma equação do 2ºgrau________22 UNIDADE 7 - sistemas de equações _________________________________23 UNIDADE 8 - teorema de Tales _____________________________________24 UNIDADE 9 - teorema de Pitágoras __________________________________27 UNIDADE 10 - trabalhando com áreas _______________________________34

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unidade 1������ ������������� ������� Atividade 1 Leia e responda as perguntas que se seguem: Está chegando o aniversario de Joaquim e por isso ele pediu de presente para sua

mãe um vídeo game. Dona Sonia, sua mãe, concordou mas pediu que ele fosse fazer uma pesquisa de preços. No domingo seguinte, quando seu Manolo comprou o jornal, Joaquim afoitamente correu até ele e pegou a parte dos classificados para procurar os melhores preços e se deparou com o seguinte anúncio:

1) O que é pagamento à vista? ____________________________________________ ______________________________________________________________________ 2) Qual o preço do vídeo game à vista? _____________________________________ 3) O que é pagamento a prazo? ____________________________________________ ______________________________________________________________________ 4) Qual o preço do aparelho caso Dona Sônia opte pelo pagamento a prazo? _____________________________________________________________________ 5) Qual o valor da diferença entre os preços à vista e a prazo? ______________________________________________________________________ 6) Por que existe essa diferença de preços se o objeto de compra é o mesmo? ______________________________________________________________________

Prosseguindo a nossa atividade vamos relembrar o que é porcentagem? Vocês lembram? O símbolo de porcentagem, é o %, este apareceu pela primeira vez no século XVII. 7) Complete as equivalências:

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12% = ..............

= 0,12 120% = ......120

= .........

1,2% = 100......

= 1000......

= ......... 0,12%= 100......

= ..............

= ........

8) Calcule: a) 20% de R$ 500 b) 2,34% de R$ 200 c) 15% do preço à vista do vídeo game . d) 32% do preço a prazo do brinquedo. e) 45% do preço de 2 cartuchos do Show do Milhão. f) 60% do preço de 2 cartuchos do Sonic e 1 do Show do Milhão. 9) Os padrinhos de Joaquim resolveram lhe dar de presente 40% do preço a prazo do vídeo game. Com que quantia eles contribuíram para a compra do brinquedo? 10) A loja ofereceu a D. Sônia um desconto de 15% na compra de um cartucho Sonic The Hedgehog 2. Quanto ela pagou por ele? 11) Uma família decidiu comprar uma casa e vai dar de entrada 30% do preço total do imóvel, na forma de um cheque de R$ 40.500,00. Qual é o preço da casa? 12) Um produto custa R$ 400,00 e é vendido por R$ 520,00. Qual é a porcentagem de lucro? 13) Uma calça que custava R$ 60,00 sofreu um desconto de 5%. Quanto você pagará por essa calça? 14) Por quanto deverei vender um objeto que me custou R$ 720,00 para lucrar 30%? 15) Para a venda de uma geladeira, o cartaz anuncia: R$ 263,00 em 5 vezes ou R$ 1010,00 à vista Quantos por cento, pagará a mais quem comprar a prazo? 16) Numa turma, 80% dos alunos foram aprovados, 15% reprovados e os 6 alunos restantes desistiram do curso. Quantos alunos haviam na turma? 17) Joana saiu para comprar roupas. Chegando lá ela viu que a loja estava oferecendo descontos. O cliente que fosse pagar mais de R$ 15.50 em sua compra ganharia um desconto de 12% e se gastasse mais de R$ 50,00 o desconto seria de 20%. Quanto Joana gastaria se comprasse: 3 blusas de R$ 4,50 cada e duas meias de R$ 1.15 cada? 2 calças de R$ 15.50 cada, mais 3 shorts a R$ 10,00 cada?

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18) Para cada real de salário pago a um empregado, uma empresa gasta mais 1,43 reais na forma de encargos sociais (Pesquise quais são esses encargos). Se um empregado recebe um salário de R$ 600,00: Quanto a empresa gasta, no total para ter esse empregado? Que porcentagem do que a empresa gasta com esse empregado ele mesmo recebe?

Atividade 2 1) Vejamos esse anúncio de uma TV 20”

Agora responda: a) Qual é o valor da diferença entre os preços à vista e a prazo?______________________ b) Quantos por cento corresponde esse valor em relação ao preço à vista? _____________

IMPORTANTE:

1) Atribuímos o nome de juros ao valor encontrado na letra a). 2) A porcentagem encontrada na letra b) chamamos de taxa de juros.

2) Uma calça custa à vista R$ 45,00. Caso um cliente resolva comprar a prazo (em 4x) a loja cobra uma taxa de juro de 10%. Quanto custará o preço da calça na segunda forma de pagamento? 3) Manoela vai comprar uma batedeira a prazo que custará R$ 68,00. Caso tivesse dinheiro para comprar a vista o preço seria de R$ 55,00. Qual foi a taxa de juros cobrada pela loja?

4) Agora vamos analisar um investimento do seu Manoel em uma certa aplicação bancária, sendo a taxa de juros de 2,5% ao mês. Se a quantia depositada é de R$ 200,00, ao final do 1º mês, o saldo do Seu Manoel será de S= 200 + J (juros), sendo J = _______________, ou seja, S = _________. Suponhamos que no final do 1º mês, ele retire os juros, voltando a ter R$ 200,00 na conta. No final do 2º mês, ele novamente faz a retirada dos juros, e assim por diante durante 5 meses.

Que quantia seu Manoel totalizou ao final desse tempo? Total do dinheiro: dinheiro inicial mais juros desses 5 meses T= _______ + __________ = __________

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IMPORTANTE Chamando de:

C: capital , nome que damos a qualquer dinheiro envolvido em uma transação. i: taxa de juros. t: tempo que este dinheiro está sendo investido. M: o montante, nome que damos a soma em dinheiro resultante de uma transação financeira. Temos: M = C + J Sendo J = ______ x ______ x _______ Então M = _____________________ Atenção: Este é um caso típico de cálculo de juros simples. A fórmula a que chegamos é

J = ______. Os juros simples incidem apenas sobre o capital inicial.

Vamos agora resolver alguns exercícios:

1) Se eu depositar R$ 60,00 numa caderneta de poupança ao final do mês terei R$ 75,00. Qual a taxa de juros deste investimento? 2) Se Manolo depositar R$ 75,00 e a taxa for de 0,98% ao mês, qual será o rendimento neste período? 3) Se o rendimento numa caderneta de poupança foi de R$ 3,00 durante um mês a uma taxa de 0,8%, qual quantia foi aplicada? NAS QUESTÕES ABAIXO, CONSIDERE SEMPRE OS JUROS COMO SENDO SIMPLES 4) Uma transação envolveu um capital inicial de R$ 12.000,00. Quanto será a quantia a ser paga por 2 meses de empréstimo se as taxas em cada um dos meses em questão foram : 1º mês, 0,4% e 2º mês, 0,85%. 5) Quanto de juros João receberá por ter investido R$ 28.000,00 durante 15 meses, a taxa de 3% ao mês? 6) Uma aplicação de R$ 8.000,00, pelo prazo de 6 meses, obteve juros de R$ 1.680,00. Qual a taxa mensal correspondente? 7) Uma pessoa toma emprestado de um banco R$ 3.500,00 e, após 8 meses, paga o montante de R$ 4.200,00. A taxa do empréstimo foi de quanto? 8) Na compra de um objeto, cujo valor à vista é R$ 120,00, foi dada uma entrada de 20% e o restante financiado em duas prestações mensais iguais. Sabendo que a taxa de juros foi de 10% ao mês, qual será o valor de cada prestação? 9) Durante quanto tempo devemos aplicar R$ 4.800,00, a taxa de 36% ao ano, para obtermos R$ 3.456,00 de juros? 10) Qual o capital inicial que Antônio necessita investir para ter M montante de R$ 14.800,00 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano?

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Atividade 3

1) Voltemos a analisar o investimento do seu Manoel, suponhamos agora que ele não retire o juros, mês a mês. Geralmente é isto que acontece, por exemplo, se nosso investimento é em caderneta de poupança, não retiramos os juros e eles passam também a contar no cálculo do juros do mês seguinte. Os juros calculados sobre juros são chamados de juros compostos. Vamos ver como esse cálculo acontece:

mês juro montante 0 -- 200,00 1 200,00 x 0,025 x 1 = ______ _______ 2 ____,__ x 0,025 x 1 = ______ _______ 3 ____ ,__ x ____ x 1 = ______ _______

2) Maria a irmã de Manoel, aplicou um capital de R$ 50,00 a juros compostos durante 2 meses, sendo a taxa de juros de 5% ao mês. Quanto recebeu de juros? 3) Joaquim, primo de Manoel, investiu R$ 2.000,00, em regime de juros compostos a 5% ao mês, durante 2 meses. Quanto receberá no final desse período? 4) João resolver casar, por isso pediu emprestado a uma financiadora a quantia de R$ 3.000,00. Ele depois de 3 meses foi negociar o pagamento de sua dívida. Sendo de 4 % ao mês a taxa de juros cobrada pela financiadora, após esse período, quanto devia João? 5) Formalizando nosso estudo: período juros montante 1º j1 = C x i M1= C + j1 = C + ____=> M1 = C (………) 2º j2 = M1 x i M2 = M1 + j2 = M1 + M1 x i = M1(1+i)= C(…….)(……..)=>M2 = ______ 3º j3 = M2 x i M3 = M2 + j3 = ________ = ______ = ___________=>M3 = ______ o que nos permite escrever, para n meses: Mn = ____________ 6) Quanto foi o capital aplicado por Maria Joaquina que, no prazo de 2 meses, com a taxa de juros de 3% ao mês, recebeu o montante de R$ 4.058,00?

Atividade 4

1) Marcos aplicou um capital de R$ 272,00 em regime de juros simples durante 10 dias, a 12% a.m. Quanto recebeu de juro? 2) A quantia de R$ 15000,00 é emprestada para Joaquim, a uma taxa de juros de 20% ao mês. Aplicando-se juros compostos, o valor que deverá ser pago para quitação da dívida, 3 meses depois é.... 3) Para comprar um tênis de R$ 70,00 , Renato deu um cheque pré-datado de 30 dias no valor de R$ 74,20. Qual foi a taxa de juros cobrada?

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4) Seu Manolo possui R$ 80.000,00. Ele aplica 30% desse valor em um investimento que rende juros simples a uma taxa de 3% ao mês durante dois meses, e aplica o restante em outro investimento que rende 2% ao mês, durante 2 meses em juros também. Ao final desse período quanto o investidor possui? 5) A loja VENDE MAIS tem dois planos de venda : a. à vista com 30% de desconto b. em duas parcelas iguais sem aumento de preço( a 1ª paga no ato da compra e a Segunda um mês após) Qual é a taxa de juros cobrada ao mês por essa loja no plano “b” em relação ao preço à vista, ao mês? 6) João aplicou um capital no regime de juros simples, no final de 5 anos ele resgatou o triplo do valor investido. A que taxa de juros anual esse dinheiro foi investido? 7) O IPVA de um carro cujo valor é de R$ 8400,00 é de 3% do valor do carro, e pode ser

pago de uma das seguintes formas: à vista com um desconto de 5%. Qual o valor a ser pago nesse caso? Em três parcelas iguais( sem desconto), sendo a primeira no dia 15/08/02, a segunda 30 dias após e a terceira 60 dias após o dia 15/08. Qual o valor de cada parcela nesse caso? 8) Em um empréstimo por 3 meses, uma pessoa corrigiu o capital emprestado pela taxa inflacionária de 10% capitalizados mensalmente, e ainda obteve um lucro real de 30%. Se o empréstimo foi de R$ 1000,00 , determine o valor recebido no final do período. 9) O preço à vista de uma mercadoria é de R$ 10000,00. O comprador pode, entretanto, pagar 20% de entrada no ato e o restante em uma única parcela de R$ 10160,00 , vencível em 90 dias. Admitindo-se o regime de juros simples comerciais; a taxa de juros anuais cobrada na venda a prazo é de quanto? 10) Uma pessoa deposita R$ 100000,00 em caderneta de poupança que rende 10% a cada mês. Se não fez qualquer retirada, ao final de 3 meses ela terá quanto em sua caderneta? 11) Uma geladeira pode ser comprada à vista por R$ 2000,00 ou em 3 prestações mensais iguais, sendo a primeira delas paga no ato da compra. Se o vendedor cobra juros de 30% ao mês sobre o saldo devedor, o valor de cada prestação é de quanto? Revendo os conceitos aprendidos nesta unidade

Juros é uma palavra que a gente não gosta de ouvir, e com razão, pois na maioria dos casos, os juros são dinheiro pago quando se toma emprestado ou quando uma conta não é paga no dia certo. Há gente (os agiotas) e empresas (financeiras e bancos) que vivem do lucro proporcionado por empréstimos. Quando, por exemplo, alguém toma R$ 200,00 emprestados, e, depois de certo tempo, tem de pagar R$ 215,00, estes R$ 15,00 a mais são juros. A cobrança de dinheiro por empréstimo de dinheiro hoje é uma prática muito usual, especialmente nas compras a prazo, mas nem sempre foi assim. Já houve época, inclusive, que a Igreja Católica condenava essa prática, que era chamada de usura.

Entretanto, ainda existem pessoas que emprestam dinheiro a amigos e não cobram juros. Se, em geral, fugimos dos juros, gostamos de descontos, que é o dinheiro que se deixa de pagar quando acontece uma promoção ou coisa parecida. Juros e descontos não têm que ser necessariamente em dinheiro. Se o vizinho empresta uma xícara de farinha e pede duas na devolução, está cobrando juros na transação. Quando o padeiro coloca mais um pãozinho no pacote depois de já ter pesado, ele está dando um desconto para agradar o freguês.

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Juros e descontos são muito importantes para compreendermos as transações financeiras. Mesmo quando deixamos dinheiro parado em uma caderneta de poupança, este dinheiro é atualizado a cada mês e rende juros.

Nas informações que lemos nos jornais ou que nos são dadas nas lojas ou nos bancos, muitas vezes ao invés da taxa vir expressa por uma porcentagem, ela vem expressa a um número como 0,012 e temos que entender que se trata de uma taxa de 1,2 %. A vida hoje está tão impregnada de taxas e índices que é quase impossível viver sem compreendê-las. Pessoas que não têm escolaridade, terminam por serem enganadas em transações envolvendo porcentagens. Por esse motivo, a porcentagem é um assunto importantíssimo para qualquer cidadão. Devemos conhecer todas as representações em que ela costuma aparecer e aprender a operar com elas.

Prepare sua calculadora, forme grupos de 4 e vamos fazer alguns cálculos com porcentagens. A maior parte das calculadoras tem o símbolo %. Para calcular uma porcentagem, por exemplo, 20% de 500, usando a tecla %, devemos seguir os seguintes passos: Digitar 500→Digitar ×→Digitar 20→Digitar % Aparecerá na tela o resultado 100 que é igual a 20% de 500. Se queremos calcular 1,2% de 250 Digitar 250→Digitar ×→Digitar 1,2→Digitar % Aparecerá na rela o resultado 3 = 1,2 % de 250

Uma outra forma de calcular porcentagens com a calculadora é transformando o percentual em um número decimal. Por exemplo, se queremos calcular 20% de 500, transformamos 20% em

20% = 10020

= 0,2

Em seguida multiplicamos simplesmente 0,2 por 500. Se a tecla % estiver quebrada, assim mesmo poderemos calcular o percentual da seguinte maneira: Digitar 500→Digitar ×→Digitar 0,2 O resultado já conhecemos. Como a operação é comutativa, poderemos inverter que o resultado será o mesmo Digitar 0,2→Digitar ×→Digitar 500 Existe ainda a possibilidade de fazermos a “conta de cabeça”. Isto só será possível se os

números envolvidos forem simples, como é o caso de 20% de 500. Como 20% = 10020

,

então podemos dividir o número por 100, o que é imediato e depois multiplicar por 20, o que também é simples. 500÷100 = 5 → 5×20 = 100. Estes 3 processos podem ser feitos também com o lápis e papel. O que é mais simples depende de quem faz. Às vezes o mais simples para você é o mais complicado para seu colega. Calculando porcentagens por vários caminhos 1) Complete a tabela: Porcentagem 5% 6% 50% 60% 150% 160% Forma Fracionária Forma Decimal 2) Sobre um salário de R$ 240,00 são descontados 8% para a previdência. Qual é o seu salário líquido, isto é, depois de feito o desconto da previdência?

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9

30 Uma família decidiu comprar uma casa e vai dar como entrada 30% do preço total, na forma de um cheque de R$32.500.00. Qual é o preço da casa? 4) Prepare uma tabela, como a que sugerimos abaixo, para organizar a seqüência dos valores 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 90% e 100% de: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 e 100.

Porcentagem Valor

10%

20%

30%

...

...

10 1 2 3 ... ... 20 2 4 6 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Observe a tabela depois de pronta e escreva suas conclusões. Verifique as conclusões dos colegas. 5) Um produto custa R$400.00 e é vendido por R$520.00. Qual é a taxa de lucro? 6) Um corretor de imóveis recebeu R$ 5.000.00 correspondente a 5% da venda efetuada. Qual o valor do imóvel? 7) Fiz uma compra e obtive um desconto de R$200.00 equivalente a 8%. Qual era o valor da compra? 8) José comprou um terreno e, por Ter pago à vista ganhou 15% de desconto, fazendo uma economia de R$22.500.00. Qual era o preço do terreno? Quanto pagou? 9) Dona Marta comprou um televisor pagando a vista, ganhou desconto de 15%. Quanto pagou, se o televisor custava R$600.00?

Operações com números envolvendo as potências de 10 Vocês aprenderam a escrever um número em notação científica na aula de Ciências. Vamos analisar alguns aspectos desta escrita que dizem respeito à matemática que estamos trabalhando este ano.

As operações que devemos realizar com números escritos na notação científica não têm uma matemática especial. Devemos apenas observar as propriedades usuais das operações uma vez que esta escrita envolve potências de 10. Na adição, por exemplo, a potência de 10 é quem determina a ordem de cada algarismo do número. Por exemplo, na adição 2,11.105 + 0,28.103 o algarismo que ocupa a ordem das unidades da primeira parcela será multiplicado por 105, isto é, por 100.000. Portanto, ele está na casa da centena de milhar. Na segunda parcela, o algarismo das unidades está multiplicado por 103, isto é, 1.000 e, portanto, ocupará a casa do milhar. Quando somamos dois números escritos na forma decimal, só podemos somar os algarismos de mesma ordem. Uma forma simples de pensar esta adição é igualando os expoentes das potências de 10 das parcelas, desse modo, os algarismos terão a mesma ordem correspondente. Para igualar as potências de 10, podemos usar a propriedade do produto de potências de mesma base: an.ap = an+p.

Em nosso caso, podemos escrever que 105 = 103.102. Nossa adição é equivalente a 2,11.103.102 + 0,28.103 = 2,11.100.103 + 0,28.103 = 211.103 + 0,28.103 Como 103 é fator comum, pode ser colocado em evidência.

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211.103 + 0,28.103 = (211+0,28).103 = 211,28.103 O resultado deverá então ser convertido para a notação científica:

211,28.103 = 2,1128.102.103 = 2,1128.105 Não estamos trabalhando com os algarismos significativos da notação científica. Este tema é estudado com os professores de Ciências Naturais. Na subtração procedemos de modo semelhante.

A multiplicação é bem mais simples por causa da propriedade comutativa. Tomemos

como exemplo o produto: 2,10.105 × 0,28.103.

Lembrando que podemos fazer a multiplicação em qualquer ordem, pois ele é comutativa, 2,10.105 × 0,28.103 = 2,10. 0,28.103.105 = 2,10. 0,28.108 Nosso problema será multiplicar dois números decimais. 2,10 × 0,28 0,1680 0,4200 0,5880 O resultado será: 2,10.105 × 0,28.103 = 2,10. 0,28.108 = 0,5880.108

A divisão e a potenciação com expoentes inteiros, procedemos de modo semelhante. Atividades (para este trabalho, não utilizaremos a idéia de algarismos significativos e não utilizaremos calculadoras) 1) Transforme os números abaixo em potências de 10 e efetue os cálculos indicados. a) 1000 × 0,000001 × 0,0001 = b) 0,000000001 × 1000000 × 10000000 =

c) 0,0001 + 0,001 + 0,01 = d) 00000001,0

0001,01000000 ××××=

2) Escreva os números abaixo com apenas um algarismo na parte inteira usando as

potências de 10 e efetue os cálculos indicados. a) 0,0002 × 3000000 × 0,0000005 = b) 210000000 × 12500000 X 0,00000004 = c) 22222200 × 0,00011 ÷ 0,000005 = d) 0,0000625 × 0,00004 ÷ 20000000 = e) 300000 + 25000 – 4000000 = f) (12000000 × 0,0000004)5 = g) (2000000 + 10000)3 = g) 04,000003,012000000 ×××××××× = 3) Efetue as operações indicadas dando o resultado na notação científica, desprezando a

noção de algarismos significativos (não despreze os zeros das casas decimais à direita da vírgula).

a) 2,4.103 + 5.102 – 3,54.104 = b) 0,80.1027 + 17.1025 – 1,04.1024 = c) 1,2.10-3×0,5.105 =

+

11

11

d) (1,7.1025 × 2,01.1024)3 = e) 0,300.10-7 + 12.10-5 – 0,4.10-4 = f) (0,2.10-8 + 3,14.10-10)3 = 4) A tabela abaixo contém as distâncias médias dos planetas ao Sol, em quilômetros. Apenas a distância de Plutão ao Sol foi apresentada nos valores mínimo e máximo, devido ao fato da órbita desse planeta ser uma elipse de focos muito distantes, o que a afasta consideravelmente do círculo. Sol Mercúrio Vênus Terra Marte Distância ao Sol (km) - 57.900.000 108.200.000 150.000. 000 227.900.000 Júpiter Saturno Urano Netuno Plutão Distância ao Sol (km)

778.400.000 1.429.400.000 2.875.000.000 4.504.300.000 4.290.000.000 a 7.520.000.000

a) Escreva todos estes números na notação científica. b) Os astrônomos costumam considerar como unitária a distância da Terra ao Sol. Assim

essa distância passa a ser chamada de 1 u.a. (uma unidade astronômica). Calcule, em u.a. as distâncias médias dos outros planetas ao Sol, colocando os resultados em notação científica.

c) Imagine que uma turma resolveu fazer uma representação do sistema planetário no

pátio da escola. A distância entre Sol e Terra ficou, nessa escala, igual a 50 m. Calcule as distâncias dos outros planetas ao Sol para essa escala. Aproveite a simplicidade da notação científica na hora de escolher a escala.

d) Em uma folha de papel A4, faça um desenho esboçando como ficaria a representação

escolhendo uma escala apropriada ao tamanho do papel. e) Calcule a distância da Terra à Marte usando as idéias que aprendemos. f) Calcule a distância entre a Terra e Plutão. g) Compare as distâncias entre a Terra e Marte com a distância entre a Terra e Plutão.

Diga quantas vezes uma distância é da outra. 5) Usando o que já aprendeu sobre as potências de 10, efetue os cálculos indicados. a) 0,000125 × 4 X 1012 ÷ 0,0000000005 = b) 1,2.10-7 + 3,14.10-5 =

c) 1363 10.510.410.5 −−−−−−−− ÷÷÷÷×××× = d) 5

23

10.2

10.5,010.4,6 −−−−−−−− ++++ =

6) Escreva aqui alguns comentários do grupo sobre cálculos envolvendo potências de 10.

Sol Plutão

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12

unidade 2 ������������������������������ Investigando os meios quartos, oitavos e nonos. Atividade 1 Desenhe um losango de lado 10 cm e nomeie-o ABCD. 1) Qual a sua área? Determine o ponto médio de cada um dos lados. Una estes pontos para formar um quadrilátero. Que quadrilátero formou? Como pode justificar? 2) Qual a área deste quadrilátero? 3) Compare a sua área, figura 2, com a área da figura 1, losango ABCD. Qual a razão entre

as duas? Determine o ponto médio de cada um dos lados da figura. Desenhe o novo quadrilátero, figura 3, cujos vértices são estes pontos. 4) Qual a área da figura 3? 5) Compare sua área com a área da figura 1, o que pode afirmar? 6) É possível encontrarmos quadriláteros com este processo indefinidamente?

Por quê? Desenhe o maior número de quadriláteros possíveis e compare a área de cada um deles com a área do quadriláteros ABCD. 7) Qual a razão entre estas áreas e o losango ABCD? 8) Escreva as razões entre os quadriláteros e o losango dado ABCD em ordem decrescente. Se desenhássemos um triângulo equilátero e encontrássemos o ponto médio de seus lados e uníssemos obteríamos um novo triângulo. Qual a razão entre a área do novo triângulo e a do triângulo dado? Repita o processo várias vezes e compare as áreas dos triângulos encontrados com a do triângulo inicial. O que você descobriu? Atividade 2 Desenhe um segmento cujo comprimento seja igual à medida do lado do losango ABCD. Nomeie-o RS. Neste segmento, represente por pontos as frações encontradas na ficha anterior considerando o ponto R como origem. O que observou? Agora, transporte com compasso o comprimento do lado de cada quadrilátero e marque-os no segmento RS.

13

13

Compare cada um deles com a fração correspondente. O que observou? O que concluiu? Atividade 3 1) Marque na reta a posição do zero. Marque as frações nas retas. 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, .... a) u = 8 cm b) u = 4 cm c) u = 2 cm d) u = 1 dm O que acontece quando a medida de u muda e as frações são as mesmas? 2) Seja u = 4cm, marque as frações dos conjuntos dados abaixo na reta usando cores diferentes. A = { 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, 6/2, 7/2,...} B = { 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 5/4, 6/4, 7/4, 8/4, 9/4,...} C = { 1/8, 2/8, 3/8, 4/8, 5/8, 6/8, 7/8, 8/8, 9/8, 10/8,...} a) Existem frações marcadas no mesmo lugar? Por quê? b) O que acontece quando aumentamos o numerador das frações e mantemos o mesmo denominador? c) O que acontece quando mantemos o numerador e aumentamos o denominador? d) O que você verifica em relação à origem quando aumentamos o denominador das frações? e) O que se pode dizer sobre as frações que estão entre 1 e 2? f) E entre 3 e 4? g) É verdade que as frações que estão entre 5 e 6 possuem o numerador maior do que 5 vezes o valor do denominador?

14

14

h) Onde está localizado, nesta reta, o número 3? i) Que frações das seqüências acima coincidem com o número 3? Por quê? j) Sempre podemos marcar outra fração entre duas frações quaisquer? Dê um exemplo. l) Cite 5 frações que estão entre ¼ e 1/2. Atividade 4 Para esta atividade iremos usar a calculadora para encontrar a representação decimal de frações. Para isto deve-se: Teclar o numerador Apertar a tecla da divisão Teclar o denominador da fração Apertar a tecla igual Ler o resultado no visor. Explique porque o procedimento é este. 1) Complete a tabela com a representação decimal de cada fração. 12

= 62

= 112

= 162

22

= 72

= 122

= 172

=

32

= 82

= 132

= 182

=

42

= 92

= 142

= 192

=

52

= 102

= 152

=

O que observou? 2) Escolha quinze frações cujo denominador seja quatro. Anote-as com sua respectiva representação decimal. O que observou? 3) Idem para os oitavos. Compare os resultados de todas as frações e verifique os pontos comuns e não comuns entre elas. Registre. Atividade 5 Atividade adaptada de Baldino, R.R.(G- RIO)

15

15

João e a Maria João e Maria perderam-se na floresta. Na estrada havia toras de madeira nos dois lados durante todo percurso. Uma bruxa, que também andava pela floresta, quando os encontrou deu-lhes uma tarefa como desafio. Se a tarefa fosse cumprida, estariam salvos, caso contrário morreriam. Cada uma das crianças deveria seguir por um dos lados da estrada . Para Maria ela disse: Maria, você pegará a primeira tora e a colocará no saco. A segunda você cortará em dois e colocará um pedaço no saco. A terceira você cortará em três e colocará um pedaço no saco. A quarta você cortará em quatro e colocará um pedaço no saco. E assim por diante. 1) Quanto Maria colocará no saco? Justifique.____________________________________ _________________________________________________________________________ 2) Represente a situação graficamente. Ao João a bruxa deu a seguinte tarefa: A primeira tora você colocará no saco. A segunda você cortará em dois e colocará um pedaço no saco. A terceira você cortará em quatro e colocará um pedaço no saco. A quarta você cortará em oito e colocará um pedaço no saco. E assim por diante. 3) Quais os pedaços que João colocará no saco?_________________________________ __________________________________________________________________________ 4) Quanto ele colocará no saco? Justifique_______________________________________ _________________________________________________________________________ 5) Represente graficamente. a) Ao compararmos o que cada um colocou no saco, o que pode observar? _________________________________________________________________________ b) Quem carregará mais peso?_________________________________________________ c) Quem chegará na casa da bruxa? Por quê?_____________________________________ _________________________________________________________________________ Atividade 6 1) Complete a tabela com a representação decimal de cada fração.

91

= 96

= 911

= 9

16

92

= 97

= ====9

12

917

=

93

= 98

= 9

13=

918

=

94

= 99

= 9

14=

919

=

16

16

95

= 9

10=

915

=

Descobriu algum padrão para estes números? Escreva suas conclusões. 2) Agora faça um estudo das frações que têm denominador 99. Escreva o que descobriu. 3) Faça, por fim, um estudo das frações que têm denominador 999. Escreva o que

descobriu. 4) Escreva suas conclusões sobre a representação decimal das frações. Atividade 7 Investigando mais características dos números racionais 1) Descubra as frações que dão origem às seguintes dízimas periódicas: a) 45,0 b) 54,0 c) 2,1 d) 20,1 2) Aproxime a localização na reta numérica dos racionais abaixo. Explique a aproximação feita, quando for o caso.

a) 9

13 b)

9945

c) 9,0 d) 3,1 e) 51

3) Escreva a fração que representa o total das somas com infinitas parcelas indicadas:

a) ====++++++++++++++++ ...10000

11000

1100

1101

b) ====++++++++++++ ...1000000

2710000

2710027

4) Encontre a fração resultado das somas abaixo.

a) ====++++++++++++ ...1000000

7110000

7110071

b) ====++++++++++++++++ ...5000

1500

1501

51

0 1 0,5

17

17

unidade 3��������������������������������� Atividade 1 1) a) Construa ao lado continuando o “caracol” iniciado, os segmentos de

comprimentos respectivamente, considerando a unidade 1 b) Com a ajuda de um compasso marque o ponto A tal que a(A) = (Lembre-se que a(A) significa comprimento de A). c) Com a ajuda do compasso marque, à direita de A, um ponto B tal que

d) Com a ajuda do compasso marque o ponto C tal que: e) Complete com : B C 2) Coloque de modo a obter sentenças verdadeiras: a) b) 7 c) d) e) 3) Reduza os termos semelhantes: a)

( ) 3BA =m

1

1

1

2

0 1

2 3

4

5)( =Ca

32+ 5

72+

254 +

254 − 21−

254 −

254 −

9

21−-1

=−+ 232225=++ 333 222

18

18

c) d)

Atividade 2 - Racionalização de denominadores ( Adaptado do Livro Matemática... Você Constrói Maria Aparecida B. de Lima, Nicola Siani Filho e Thales do Couto Filho)

1) Para resolver a expressão 83

1 + , precisamos encontrar uma forma de retirar 3 do

denominador através de uma expressão equivalente.

a) Expressão equivalente a 3

1 sem radical no denominador é ___________________

b) Resolva a expressão 83

1 + , utilizando a forma mais simples.

2) Complete para tornar as sentenças abaixo verdadeiras, utilizando o fator que chamamos

de fator racionalizante:

a) 55_______5 2 ==×

b) aaa ==× 3 33 _______

c) 55______5 9 99 7 ==×

d) 77_______7 2 ==× 3) Complete para tornar as sentenças verdadeiras:

a) ( )( ) 21___131313 2 =−=−=−+

b) (((( ))))(((( )))) 22 25_____25 −−−−====++++ = c) ( )( ) 4634937_____ =−=− 4) Racionalize o denominador de cada fração e dê o resultado na forma irredutível:

a) =+ 235

b) =− 23

7

c) =−+

52

52

5) Encontre um único radical que seja equivalente às expressões abaixo: a) 50 + 3 5 - 45 b) 3 4 . 2 . 6 8 c) 3 9 . 3 . 6 27

=−−+ 3573352

=++ 333 3323

19

19

6) Construir com régua e compasso segmentos de medida: a) (2 3 + 2 )cm b) (3 - 5 )cm 7) Encontre o conjunto solução da equação 2x + x 2 = 8. Sejam elegantes e dêem a solução na forma de um radical racionalizado. 8) Encontre um único radical que seja equivalente às expressões abaixo: a) 32 - 7 2 - 8 b) ( 18 + 98 ).( 75 - 12 ) = 9) Encontre o conjunto solução da equação 2 3 x + x 2 = 5. 10) A figura abaixo é a planificação de uma pirâmide de base quadrada. Recorte pelas linhas contínuas e dobre pelas linhas tracejadas montando três pirâmides.

20

20

unidade 4�������� ��� ��������������� Atividades propostas por Silas dos Santos Lopes Ferreira

Atividade 1 - SIMETRIAS 1) Encontre a figura 2, após efetuar a simetria de todos os pontos da figura 1 em relação ao eixo y, e preencha as tabelas com as coordenadas dos pontos dados e dê seus respectivos pontos simétricos (A’,B’,C’,D’,E’ e F’)

A

F

B

E

CD

y

x

FIG 1 FIG 2 FIG 3 x y x y x y 2) Escolha um ponto qualquer do interior da figura 1. Chamando este ponto de G, encontre o G’ na figura 2 e acrescente nas tabelas as coordenadas desses pontos. 3) Que relação podemos observar entre as coordenadas de um ponto da figura 1 e seu simétrico na figura 2 ? Existe uma regra que permita, a partir das coordenadas de um ponto qualquer da figura 1, obter-se as coordenadas do seu simétrico na figura 2? Escreva e explique esta regra. 4) Encontre a figura 3, após efetuar a simetria de todos os pontos da figura 2 em relação a origem O dos eixos coordenados. Complete as tabelas com as coordenadas dos pontos simétricos A”,B”,C”,D”,E”,F” e G”.

21

21

5) Observe a relação entre as coordenadas de um ponto da figura 2 e dê seu simétrico na figura 3. 6) Que transformação poderíamos efetuar em todos os pontos da figura 1 para obter diretamente a figura 3? 7) Observando as tabelas, estabeleça uma regra que permita, a partir das coordenadas de um ponto qualquer da figura 1, obter-se as coordenadas do seu correspondente na figura 3.

Atividade 2 - HOMOTETIAS 1) Encontre a figura 2, após efetuar a homotetia de razão -2 em todos os pontos da figura 1, em relação à origem, e informe as coordenadas dos pontos dados e de seus respectivos pontos homotéticos (A’, B’, C’ e D’) nas tabelas:

y

x

A B

CD

FIG 1 FIG 2 FIG 3 x y x y x y A B C D E 2) Escolha um ponto E qualquer da figura 1 e encontre seu ponto homotético. Informe nas tabelas as coordenadas desses pontos.

22

22

3) Tente estabelecer uma regra que permita, a partir das coordenadas de um ponto qualquer da fig.1, obter-se as coordenadas de seu ponto homotético. 4) Encontre a fig.3, após efetuar a homotetia de razão -3 em todos os pontos da fig.2, em relação à origem, e informe as coordenadas dos pontos homotéticos A”, B”, C”, D” e E”. 5) Estabeleça uma regra que permita, a partir das coordenadas de um ponto qualquer da fig.2, obter as coordenadas de seu ponto homotético na fig.3. 6) Verifique qual transformação poderíamos efetuar em todos os pontos da fig.1 para obter diretamente a fig.3. Estabeleça uma regra que permita, a partir de um ponto qualquer da fig. 1, obter-se as coordenadas de seu ponto correspondente na fig.3. 7) Encontre o segmento A’B’, após efetuar a homotetia de razão 1/3 em todos os pontos do segmento AB, em relação a origem.

y

x

A

B

FIG 1 FIG 2 x y x y A B C 8) Escolha um ponto C qualquer do segmento AB, obtenha seu ponto homotético C’ no segmento A’B’ e informe as coordenadas desses pontos. 9) Compare o comprimento de AB e A’B’. a) Existiria algum ponto de AB que não possuísse correspondente em A’B’? b) Você acha que o segmento AB possui o mesmo número de pontos que A’B’? Discuta esta situação com seu grupo. 10) Para um ponto D de coordenadas (p, q) encontramos o homotético D’? Como deveriam ser suas coordenadas?

23

23

12) Construa um triângulo MNV, conhecendo-se as coordenadas dos pontos M (2, 1) e

N (5, 1) . Escolha o vértice V de modo que a altura do triângulo em relação ao lado MN seja igual a 3 unidades.

12) Encontre o triângulo M’N’O’, após efetuar a homotetia de razão 3 em todos os pontos do triângulo MNO em relação a origem. 13) O que aconteceu com o lado MN do triângulo após a transformação? E com a sua altura relativa ao lado MN ? Calcule as áreas desses dois triângulos. O que você observa? 14) Encontre o triângulo M”N”O”, após efetuar a homotetia de razão 4 em todos os pontos do triângulo MNO em relação a origem. 15) O que aconteceu com o lado do triângulo após essa transformação? E com a sua altura relativa ao lado MN? Calcule a área do triângulo M”N”O” e diga o que você observa em relação à área do triângulo MNO. 16) Se aplicássemos uma homotetia de razão x ao triângulo MNO, o que aconteceria com a sua base? E com sua altura? E com sua área?

Atividade 3 - TRANSLAÇÕES 1) Encontre a fig.2, após efetuar a translação de 5 unidades de todos os pontos da fig.1 no sentido positivo do eixo das abscissas. Informe as coordenadas dos pontos dados de seus correspondentes na fig.2.

24

24

y

x

A B

C D

E

FIG 1 FIG 2 FIG 3 x y x y x y A B C D E 2) Observando as tabelas, estabeleça uma regra que permita, a partir das coordenadas de um ponto qualquer da fig.1, obter as coordenadas do seu ponto correspondente na fig.2. 3) Encontre a fig.3, após efetuar a translação de 3 unidades de todos os pontos da fig.2 no sentido negativo do eixo das ordenadas. Preencha a tabela com as coordenadas dos pontos correspondentes na fig.3. 4) Observando as tabelas, estabeleça uma regra que permita, a partir das coordenadas de um ponto qualquer da fig.2, obter as coordenadas do seu ponto correspondente na fig.3. Atividades propostas por Marcio Azevedo Majdalani Atividade 1 As retas x + y = 7 e x - y = 3 ,determinam com o eixo y um polígono. a) Determine a figura simétrica desse polígono em relação ao eixo y b) O que você observou quanto as coordenadas x e y na nova figura? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ c) Crie uma regra para as simetrias em relação ao eixo y.

25

25

Atividade 2 A reta x + y = 3 forma um triângulo com os eixos x e y ( figura A)

y

x3

3

a) Traçando-se uma outra reta, x . + y = 3, qual figura obtemos?_____________________ 2 b) Que transformação você observou da figura A para figura B? __________________________________________________________________________ c) Crie uma regra para essa transformação e generalize para qualquer outra do tipo. _________________________________________________________________________ Atividade 3 A reta x + y = 10 forma com os eixos x e y um triângulo, o mesmo acontecendo com a reta 2 x + 2 y = 4. a) Que tipo de transformação ocorreu do triângulo menor para o maior? __________________________________________________________________________ b) Como se classificam as retas? _________________________________________________________________________ c) Descubra uma regra para essa transformação. _________________________________________________________________________

26

26

unidade 5���������������������� 1) Observe a figura e responda:

a) Sabendo que a área da figura é 150 m2, escreva a equação da área do retângulo___________________________

b) Essa equação é do 1.ºgrau? Qual é sua variável?_______________________________ c) Qual o valor de x que transforma a equação numa sentença verdadeira?____________ d) Quais são as dimensões deste retângulo?_____________________________________ 2) O desenho abaixo representa a quadra de futebol de sua escola. Sua área é igual a 400

m2 e seu comprimento excede a largura em 30 m.

a) Dê a equação que permite calcular as dimensões do campo de futebol _______________________________________

b) Escreva a equação do item a com o 2.ºmembro igual a zero. _______________________________________

c) Desenvolva o primeiro membro da equação obtida no item b _________________________________________

d) Essa equação é do 1.º grau? Por quê? _________________________________________

e) Qual é o grau dessa equação? _________________________________________ 3) Usando qualquer recurso de cálculo que você já aprendeu, podendo até ser por

tentativas. Encontre os possíveis valores de x que sejam soluções das equações. a) 3x2 – 32 = 0 b) 2 + 4x3 = -2 c) 3x34 ====−−−− d) 21 – 2x = 5 e) (2y – 7) (1 – y) = 0 f) 2y + 14y2 = 0 g) a2 – 6a + 9 = 0 h) 4x2 + 12x + 9 = 0 i) y2 – 3y – 10 = 0 j) x2 = x . x

(x + 5) m

5 m

Recursos que você poderá precisar para resolver as equações: • Fatoração • baab nn ====⇔⇔⇔⇔==== • Potenciação • Equações do 1.ºgrau • Exercícios de apoio

27

27

Exercícios de apoio 1 Nas igualdades abaixo, o produto é nulo. Descubra qual é o n.º representado por ou a) x 7 x 2 = 0 b) (x + 2)2 x = 0 c) ( - 8) (15 – 2) (7 + 2) = 0 d) (y3 + 3) ( - 5) (y2 + 1) = 0 e) ( + 8) ( + 4) = 0 Exercícios de Apoio 2 Copie, trocando por um n.º, de forma a obter um trinômio quadrado perfeito. a) x2 + x x+ 25 b) s2 - s+ 1 c) 4 y2 + 20 y + d) z2 + 8z + e) 4 y2 - y + 9 f) t2 + 4 t + Agora, encontre o conjunto solução para as equações: a) x3 = 8 b) x2=16 c) 2 x3 + 4 = - 50 d) 33 =−x e) 3x = 27 f) 7 x2 – 3 x = 0 g) (x – 17) (x + 11) = 0 h) 3 x3 – 12 x = 0 i) 2 y2 – 6 y = 0 j) (x +3)2 = 0 k) x (x + 5 ) = 0 l) (x + 5)2 = 4

28

28

m) (x – 10)2 = 36

n) ( 32

−x)2 = 49

o) x2 – 6x + 9 = 0 p) x2 – 6x + 9 = 16 q) x2 – 14 x + 49 =9 r) 4 x2 + 4 x + 1 = 16 s) x2 – 12x + 36 = 7 t) 4x2 – 12x + 9 = 16 u) x2 + 4x – 12 = 0 v) x2 + 2x – 8 = 0 4) Considere a equação: Complete:

a) Fatorando o primeiro membro tem-se: x ( )=0 b) O primeiro fator é c) O segundo fator é d) Se então teremos: x =0, cujo conjunto verdade é V1 = ou , cujo conjunto verdade é V2 = e) O conjunto verdade da equação é V = .

5) Considere a equação:

Complete: a) Reduzindo os termos semelhantes obtém-se : = 0. b) Fatorando o primeiro membro tem-se: = 0 . c) Você conclui que: = 0 ou = 0. d) O conjunto verdade da equação é V =

6) Complete o quadro:

042 =− xx

( ) 04 =−xx04=−x

042 =− xx

xxx 422 2 =+

xxx 422 2 =+

29

29

7) Encontre o valor de m de modo que a equação do segundo grau abaixo tenha 2 raízes diferentes. 3x2 – 6x + 2m = 0 8) Para que valores de m a equação x2 – 2x + m = 0 tem duas raízes reais iguais? 9) Para que valores de b a equação 2x2 – bx + b2 = 0 não tem raízes reais? 10) Determine as condições para que a equação mx2 – 6mx + 9 = 0 tenha raízes reais iguais. 11) A equação ax2 – 13x – 6 = 0 tem duas raízes reais. a) Se uma destas raízes é 3, qual é a outra? b) Neste caso, que valor tem o coeficiente a? 12) Encontre a equação do 2o grau cujas raízes são –3 e 4. 13) Sabendo que as soluções das equações abaixo são todas inteiras, tente encontrar “de cabeça” quais são elas: a) x2 – 5x + 6 = 0 b) x2 – 13x + 30 = 0 c) x2 + 3x – 28 = 0

EQUAÇÃO FATORANDO O 1°

MEMBRO CONJUNTO VERDADE (V)

072 =+ xx

0252 =−x

xxx 362 =−

0259 2 =−x22 354 xxxx +=+

0652 =++ xx

0962 =+− xx

01272 =+− xx

30

30

14) Em cada item, encontre as equações cujas raízes são dadas.

a) -1 e 21

b) 32

e 2 c) 0,5 e 1,5

15) Coloque as equações abaixo escritas na forma x2 – Sx + p = 0, e encontre suas raízes “de cabeça”. a) x2 – 5x + 6 = 0 b) x2 – 10x – 11 = 0 16) Dividindo-se o número 4 por um número real encontraremos um resultado igual à soma deste mesmo número real com 4. Quem é este número. 17) No desenho ao lado, está esboçada a horta de um sítio que ocupa uma área retangular de 15 m por 12 m. A dona desta horta deseja aumentar sua área para 340 m2, acrescentando duas faixas laterais de mesma largura, representadas no desenho. a) Qual deve ser a largura y da faixa a ser aumentada? b) Encontre uma única equação que modele este problema. 18) Com , resolva as equações: 19) Considere as expressões x2- 8x+ 7 e 2x - 18.

Encontre os valores reais de x para os quais: a) A primeira expressão dá 0. b) A segunda expressão dá 0. c) A segunda expressão dá 20. d) As duas expressões têm valores iguais.

Acréscimo

Área ocupada pela Horta do

sítio

y

y

ℜ∈x

024x10x)e

04x9x2)d

9)8x)(c

045x5)b

0x7x)a

2

2

2

2

2

====++++−−−−

====++++−−−−

====++++

====−−−−

====−−−−

31

31

unidade 6������ ���������������

A parábola é um lugar geométrico. Para construí-la precisamos saber o que faz de uma curva uma parábola. Todos os pontos de uma parábola estarão a igual distância de uma reta dada, chamada diretriz, e um ponto fixo, chamado foco, que não pertence à diretriz. Para construí-la é preciso encontrar estes pontos. É a isto que vamos nos dedicar agora, a entender como construir uma parábola usando sua definição e a compreender suas características. Sugerimos que você acompanhe a explicação fazendo o traçado da parábola em um papel quadriculado. Separe um compasso e um par de esquadros para que ela fique bem desenhada.

Primeiramente, escolha uma reta, a reta diretriz, e um ponto qualquer, que será o foco. Não importa a posição que coloque a diretriz ou o foco, porém, facilitará se a diretriz for uma linha do quadriculado e o foco um dos pontos de encontro das linhas do quadriculado. Sugerimos que não coloque este ponto a uma distância superior a 3 cm da diretriz. Além disso, procure colocá-lo no centro da folha em relação às margens laterais.

A construção da parábola

Escolhendo a diretriz e o foco, desenhe pontos da parábola, da seguinte forma:

desenhe várias circunferências de centro no foco, com as instruções a seguir e observando o desenho abaixo.

Observe que o objetivo é encontrar pontos que estão a igual distância do Foco e da

reta Diretriz. Se estamos trabalhando em um papel quadriculado e desenhamos a Diretriz sobre uma das retas do quadriculado, todas as outras retas do quadriculado serão paralelas à Diretriz. Portanto, se traçarmos circunferências de centro no Foco e com raios medindo múltiplos do lado de uma quadrícula, teremos pontos da parábola no encontro entre cada circunferência e a paralela que tem a distância à Diretriz igual ao raio desta. Quanto menor forem as quadrículas, mais próximos estarão os pontos encontrados da parábola. Este processo não permite encontrar todos os pontos, mesmo porque trata-se de um conjunto infinito de pontos. Porém, podemos conseguir pontos bastante próximos de modo a poder completar os outros por aproximação, como mostra o desenho acima. Experimente.

Reta diretriz

Foco

Diretriz

Foco

Vértice

1 cm

1 cm

2 cm

2 cm

32

32

Podemos, com este processo, obter ainda parábolas em outras posições utilizando o quadriculado e agindo de modo semelhante. Podemos usar uma linha vertical para diretriz ou ainda uma diagonal. Observe os exemplos.

Observe que na parábola da direita, a distância entre as paralelas é igual à metade da diagonal da quadrícula.

Observando as parábolas esboçadas poderemos chegar à algumas características desta curva. Além da existência de um vértice e do foco, podemos observar, por exemplo, que existe um eixo de simetria perpendicular à diretriz passando pelo vértice. Para cada ponto da parábola, existe um simétrico em relação a este eixo, exceto para o vértice, porque este pertence ao eixo de simetria, e portanto seu simétrico coincidiria com ele próprio.

Espelhos parabólicos do supermercado são um exemplo de aplicação da construção da parábola para objetos que nos cercam. Nos espelhos do supermercado, a concavidade do sólido obtido girando-se uma parábola sobre seu eixo de simetria é a parte não espelhada e no dos faróis a concavidade é espelhada. A concavidade diferencia os dois casos em que as superfícies espelhadas são opostas..

Atividades 1) Em um papel milimetrado, construa 3 parábolas: a) A primeira com a Diretriz sobre qualquer linha horizontal e o foco distando 1 cm da Diretriz. b) A segunda com a Diretriz em qualquer linha vertical e o foco distando 2 cm da Diretriz. c) A terceira com a Diretriz em qualquer diagonal da quadrícula e o foco distando o comprimento de uma diagonal da diretriz. 2) Para cada uma das 3 parábolas construídas, desenhe o eixo de simetria e destaque o vértice. 3) Recortar uma das parábolas construídas passando a tesoura ao longo de toda ela. Guarde esta figura pois será utilizada em uma atividade mais adiante.

D I R E T R I Z

Foco

Diretriz

Foco

Eixo de simetria

33

33

Parábolas no plano cartesiano

Vamos agora construir parábolas no plano cartesiano. O processo é o mesmo, porém estamos interessados em verificar as relações que existem entre as coordenadas cartesianas dos pontos pertencentes a uma parábola. Para iniciar, vamos colocar a diretriz sobre o eixo das abscissas e o foco sobre o eixo das coordenadas, por exemplo, o ponto (0,2). Sabemos desde já que o vértice será o ponto (0,1).

Dado um ponto (x,y) qualquer da parábola, queremos saber qual a relação entre x e y. Vamos pegar um detalhe do gráfico que envolve o ponto (x,y), a diretriz e o foco da parábola e ampliar.

Portanto, substituindo-se o valor de y2 na primeira equação, teremos, y2 = x2 + (y – 2)2 y2 = x2 + y2 – 4 y + 4 Trazendo todos os termos em y para o primeiro membro e deixando os termos em x no segundo membro,

y2 - y2 + 4 y = x2 + 4 4 y = 4 + x2 y = 4

2x + 1

Esta equação nos permite encontrar qualquer outro ponto da curva, pois esta é a lei que expressa a relação entre a abscissa e a ordenada qualquer ponto desta parábola. Por exemplo, para o valor de x = 0, teremos y = 0 + 1 = 1, que é o ponto (0,1), vértice da parábola. Observe:

Se x = 1 y = 41

+ 1, o que nos dá o ponto (1,45

).

Se x = -1 y = 4)1( 2−−−−

+ 1 = 41

+ 1, o que nos dá o ponto (1,45

), portanto, simétrico em

relação a y do ponto anterior.

Eixo x

Eixo y

Ponto (x,y)

Sabemos que se a curva é uma parábola, então a distância de qualquer ponto (x,y) ao foco será igual à distância dele à reta diretriz. Observe que, no caso desta parábola, a distância do ponto à reta diretriz será igual ao valor da ordenada y. A distância do ponto (x,y) ao foco poderá ser encontrada aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo PQF, onde queremos a hipotenusa, tendo como catetos os valores x, para o cateto horizontal e (y – 2) para o cateto vertical. Desse modo, a hipotenusa h, poderá ser calculada na equação: h2 = x2 + (y – 2)2. Sabemos também que se y = h então y2 = h2.

P

F

V

(x,y)

Q

34

34

Se x = 2 y = 4

22

+ 1 = 1 + 1 = 2, o que nos dá o ponto (2,2).

É possível continuar calculando outros pontos e arrumá-los em uma tabela. Observe:

x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3 4 y 2 1,25

1161

1

1161

1,25 2 3,25 5

(x,y) (-2,2) (-1;1,25) (-0,5;1

161

) (0,1)

(-0,5;1161

) (1;1,25) (2,2) (3;3,25) (4,5)

A partir do cálculo de novos pontos, é possível aperfeiçoar ainda mais a curva.

Observe ainda que a equação encontrada é uma equação do segundo grau em x, em que o termo y tem expoente 1. O que aconteceria se desenhássemos uma parábola com diretriz paralela ao eixo y? Vamos ver.

Mais uma vez, vamos pegar um ponto P (x,y) qualquer do plano e aplicar sobre ele as condições para que ele pertença a esta parábola. A distância PF é a hipotenusa h do triângulo assinalado. A distância de P até a diretriz, no caso o eixo y, será igual a abscissa x do ponto P. Os catetos do triângulo retângulo PQF serão y, para o vertical e (x – 2) para o vertical. Nossas condições serão:

x = h e h2 = y2 + (x – 2)2 Portanto, substituindo-se x2 = h2, teremos x2 = y2 + (x – 2)2 x2 = y2 + x2 - 4x + 4 x2 - x2 + 4x = y2 + 4

4x = y2 + 4 x = 4

2y + 1

que é uma equação do segundo grau em y.

Observe que nos dois casos o foco e a diretriz estavam sobre os eixos. Se colocarmos o foco e a diretriz fora dos eixos, porém, mantendo a diretriz paralela a algum dos dois eixos, é possível mostrar que as equações do tipo y = ax2 + bx + c , serão parábolas com diretriz paralela ao eixo x, e x = ay2 + by + c , serão parábolas com diretriz paralela ao eixo y. Nos casos acima, x e y são variáveis enquanto a, b e c são parâmetros. As demais parábolas serão estudadas no ensino médio.

Foco Eixo x

Detalhe P

(x,y)

F

VQ

(2,0)

35

35

Agora vamos inverter, ao invés de conhecida a parábola chegarmos a sua equação, vamos ver como, a partir da equação podemos desenhar a parábola. Considere a equação y = 2x2 + 4x. Vamos construir a parábola que tem esta equação. Vimos acima, que poderemos encontrar pontos de uma parábola atribuindo valores para uma das variáveis e calculando o valor correspondente para a outra. Com este processo, poderemos encontrar um número finito de pontos da curva, porém, sempre poderemos fazer alguma aproximação de modo a estimar seu desenho. Para isso, vamos arrumar os valores encontrados em uma tabela. Como não temos a menor idéia de como esta parábola está posicionada no plano cartesiano, devemos atribuir valores tanto positivos quanto negativos, e a maior variedade possível.

x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3 y 0 -1,5 -2 -1,5 0 2,5 6 16 30 (x,y) (-2;0) (-1,5;-1,5) (-1;-2) (-0,5;-1,5) (0;0) (0,5;2,5) (1;6) (2;16) (3;30) Lembre-se que quando arbitramos, por exemplo, o valor x = -2, este valor deve ser substituído na equação para encontrar o valor correspondente para y.

As atividades que propomos a seguir foram elaboradas para que você explore e observe outras características das parábolas e relacione as características com as equações de cada uma.

Atividades

Para as atividades abaixo, prepare o seguinte material: papel quadriculado ou milimetrado, lápis, borracha, compasso e régua. 1) Desenhe um par de eixos cartesianos tomando como unidade 1cm. Desenhe as seguintes parábolas e identifique as coordenadas do vértice de cada uma delas. a) A diretriz é a paralela ao eixo x que passa pelo ponto (2,3) e o foco é o ponto (4,4). b) A diretriz é a reta paralela ao eixo y, passa pelo ponto (-1,-3) e o foco é o ponto (-2,-2). c) A diretriz é a reta paralela ao eixo x que passa pelo ponto (2,2) e o foco é o ponto (0,0). d) A diretriz é a reta paralela ao eixo y que passa pelo ponto (-3,-3) e o foco é o ponto (-4,0). 2) Dadas as equações abaixo, esboce o desenho das parábolas que as representam, no plano cartesiano. Logo após, responda às perguntas abaixo. a) y = x2 b) y = x2 – 4 c) y = 3x2 – 6x d) y = -x2 e) y = -x2 – 3 f) y = -x2 + 5x - 6 Pergunta-se: i) Observou alguma regularidade entre as equações dadas acima? Escreva o que observou. ii) Quais as parábolas que têm concavidade para cima? iii) Percebeu alguma regularidade nas equações das parábolas que têm concavidade para cima? Escreva o que observou. iv) Quais as parábolas que têm concavidade para baixo? v) Percebeu alguma regularidade nas equações das parábolas que têm concavidade para baixo? Escreva o que observou. vi) Quais as parábolas que têm vértice sobre o eixo das abscissas? vii) Percebeu alguma regularidade nas equações das parábolas que têm vértice sobre o eixo das abscissas? Escreva o que observou.

36

36

3) Determine x e y inteiros de modo que: a) (-1, x + 9) = ( y, 2x2 - 6) b)( 2x2, y2 + y) = (x, 1 - y) 4) Desenhe o eixo de simetria das parábolas que representam as soluções das equações abaixo: a) y = x2 – 4x - 5 b) x2 – 1 = y c) y = x2 + 2x + 3 5) Desenhe um par de eixos cartesianos tomando como unidade 1cm. Desenhe as parábolas seguintes e identifique as coordenadas do vértice de cada uma:

a) A diretriz é a paralela ao eixo y que passa pelo ponto (2,3) e o foco é o ponto (4,4). b) A diretriz é a reta paralela ao eixo x que passa pelo ponto (-1,-3) e o foco é o ponto (-2,-2) 7) Descubra que ponto do eixo de simetria deverá ser o foco de uma parábola de tal forma

que o ponto P pertença a essa parábola. Escreva como resolveu o problema. Verifique com seus colegas se há mais de uma solução para esse desafio.

PP

8) Para cada uma das representações ao lado, determine dois conjuntos: o de valores das

abscissas x e o das ordenadas y de todos os pontos pertencentes às poligonais representadas em cada um dos planos cartesianos. Chame, em cada caso, o conjunto das abscissas de A e o das ordenadas de B.

Plano A Plano B Conjunto A = Conjunto A = Conjunto B = Conjunto B = 8) Represente graficamente, no mesmo plano cartesiano abaixo, as soluções reais das equações: a) x = y2 b) y = x2 + 2 (Como não vai calcular todas as soluções, aproxime os pontos não encontrados para obter uma curva contínua.)

Eixo y

Eixo x

Plano A

Plano B

1

1

1

1

37

37

9) Desenhe um par de eixos cartesianos tomando como unidade 1 cm. Construa sobre ele a parábola mais simples com diretriz paralela ao eixo das abscissas: aquela que representa a equação y = x2. Essa parábola será referência para você fazer comparações. a) Desenhe a parábola que representa y = 2x2. Compare com a parábola de referência. b) Imagine e escreva, antes de desenhar, que diferença em relação às duas parábolas

anteriores você deverá notar na parábola que representa y = 3x2. Desenhe também essa parábola e verifique se acertou seu palpite.

c) Imagine o que se pode dizer da parábola que representa y = 4x2 comparando-a com as

outras 3 que você já desenhou. Compare seu palpite com os de seus colegas. Se vocês não chegarem a um consenso, desenhe também esta parábola.

d) Desenhe agora a parábola que representa y = - x2. Escreva o que ela tem de diferente

em relação à parábola que determinamos como referência. e) Antes de desenhar a parábola que representa y = -2x2, escreva uma comparação entre

o que você espera encontrar e uma outra parábola, já desenhada, que você escolher. Depois, desenhe essa parábola.

f) Escreva o que você espera da parábola y = -3x2, comparando-a com uma outra já

desenhada. Confira seu palpite com os de seus colegas. Se vocês não estiverem concordando com o que vai ocorrer, desenhem a parábola.

10) As parábolas que você estudou no exercício 1 são representações da equação geral y = ax2. Programe um estudo das parábolas que representam a equação y = ax2 + c. Explore aquelas que representam equações mais simples como y = x2 + 1; y = x2 + 2; y = x2 – 1; y = x2 – 2, etc. Desenhe um número de parábolas suficiente para que você possa tirar alguma conclusão acerca do efeito que o parâmetro c provoca na parábola quando ele aparece em uma equação. Escreva sua conclusão e compare com as conclusões de seus colegas. 11) Explore agora as parábolas que representam equações do tipo ax2 + bx. Estude o que ocorre quando se acrescenta o parâmetro b, começando de parábolas que representam equações como y = x2 + x; y = x2 + 2x; y = x2 – x; y = x2 – 2x; etc. Escreva o que você observou nas variações do parâmetro b e, depois, compare com as conclusões tiradas pelos seus colegas.

12) Podemos dizer que as equações literais abaixo representam, cada uma delas, um grupo de parábolas com parâmetros a, b e c. Mostre, através de alguns esboços, duas das principais características de cada grupo de parábolas. Você pode complementar seus esboços escrevendo. Grupo 1 x = ay2 Grupo 2 y = ax2 + c Grupo 3 y = ax2 + bx

38

38

unidade 7���������� ���������������������������������

Resolvendo problemas com as parábolas Seu Adamastor construir um galinheiro retangular e encontrou para cercá-lo apenas 10 m de tela. A Fazenda de Seu Adamastor é muito longe do comércio e ele tem urgência de construir o galinheiro, pois recebeu as galinhas em gaiolas e as coitadinhas estão sofrendo, disse ele. Ele pretende que o galinheiro tenha a maior área possível, pois ele é um amante dos animais e quer que suas galinhas usufruam de bastante espaço. Para economizar tela, Seu Adamastor pretende usar o muro da fazenda servindo como uma das paredes. Você vai ver que, utilizando as parábolas, poderemos ajudar Seu Adamastor a resolver este problema. O que sabemos sobre o problema?

Sabemos que ele só conta com 10 m de tela e que vai utilizar o muro da fazenda como uma das paredes de seu galinheiro. Além disso, sabemos que o galinheiro é retangular. Observando o esboço da situação ilustrado ao lado e considerando as medidas dos dois lados do retângulo x e w, a primeira condição é que o a soma dos três lados que serão cercados por tela seja igual a 10 m, algebricamente podemos escrever:

2x + w = 10. Além disso, sabemos que a área do galinheiro deve ser a maior possível, chamando a

área do galinheiro y, teremos uma segunda condição: y = xw, onde este y deve ser o maior possível.

Agora, vamos usar um pouco da álgebra que conhecemos e um pouco do que sabemos das parábolas para diminuir o sofrimento de Seu Adamastor. Vamos juntar as duas condições em uma só, isto é, formar um sistema com duas equações.

========++++

xwywx 102

Olhando para o sistema, percebemos que temos 3 variáveis, cada um dos lados do retângulo e a área. Vamos eliminar uma delas tomando o valor literal de w na primeira equação e substituindo-o na segunda equação. 2x + w = 10 w = 10 – 2x

Agora, substituindo o valor de w na segunda equação, y = xw y = x(10 – 2x) y = 10x – 2x2

Encontramos desta forma uma equação envolvendo duas variáveis o que significa que a área depende apenas de um dos comprimentos do retângulo. Aliás, desde o início, se fixamos o primeiro lado do retângulo, o segundo pode ser dado em função dele uma vez que o perímetro é uma constante. Isto é, sendo x um dos lados, poderíamos diretamente concluir que o outro teria que ser 10 – 2x.

Já sabemos que a equação do 2o grau encontrada pode ser representada por uma parábola no plano cartesiano. Vamos então esboçar o gráfico desta equação. Para isso, vamos fazer uma tabela, apenas para valores positivos, uma vez que, neste caso, não faz sentido que as variáveis assumam valores negativos. Vamos tomar valores para x aumentando de 1 em 1 de 0 até 10, pois este é o intervalo possível de valores para o lado do retângulo.

Galinheiro

Muro da Fazenda de seu Adamastor

Comprimento do lado = x

Comprimento do outro lado = w

39

39

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 0 8 12 12 8 0 -22 -28 -48 (x,y) (0;0) (1;8) (2;2) (3;12) (4;8) (5;0) (6;-22)

Como o valor da ordenada a partir de 6 será sempre negativo, vamos considerar apenas o intervalo entre 0 e 5. Agora podemos interpolar mais valores entre estes, se julgarmos necessário.

O vértice da parábola é o ponto (2,5;12,5). Portanto, a área máxima será 12,5 m2. E sabemos mais. A abscissa do vértice vai nos dar o comprimento do lado do retângulo que tem a área máxima, portanto, 2,5 m. Se quisermos saber o comprimento do outro lado, bom, isso não será problema para você.

O gráfico fornece também as alternativas que Seu Adamastor teria para a construção de seu galinheiro. Se ele achar que as galinhas não sofrerão muito com um decréscimo de 0,5 m2, poderá optar, por fazer um galinheiro mais largo.

Vimos um exemplo em que as parábolas nos ajudaram a resolver um problema. Outros problemas envolvendo valores máximo ou mínimos poderão também ser modelados por equações do 2o grau, em que a representação gráfica nos ajudará a pensar na solução. Deixaremos então que você resolva alguns. Agora é com você. Para cada problema, escreva uma equação do 2°grau, encontre suas soluções e dê a resposta do problema. 1) O quadrado de um número real somado ao seu quíntuplo é igual a zero. Qual é esse número? Equação do problema: U = Resposta: O número é: 2) Um produto de um número inteiro pelo seu consecutivo é igual a 156. Qual é esse

número? Equação do problema: U = Resposta: O número é:

Poderemos, por exemplo, tomar os valores intermediários entre os já calculados, lembrando que o vértice da parábola é eqüidistante de dois pontos quais- quer que tenham a mesma ordenada.

x 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 y 4,5 11,5 12,5 11,5 4,5

(x,y) (0,5;4,5) (1,5;11,5) (2,5;12,5) (3,5;11,5) (4,5;4,5)

Com mais estes valores, poderemos desenhar uma parábola mais próxima da que é dada pela nossa equação. Olhando para o gráfico e pensando no problema de Seu Adamastor, vamos interpretar o que o gráfico nos diz. Queremos saber como construir um galinheiro de área máxima, a área estando representada no gráfico pela variável y. Só de olhar, dá para ver que a área máxima é obtida pela ordenada do vértice da parábola.

Eixo x

Eixo y

40

40

3) O quadrado da idade de Joana subtraído da metade dessa idade é igual a 14 anos. Calcule a idade de Joana. Equação do problema: U = Resposta: A idade de Joana é: 4) O quadrado de um número natural é igual ao seu dobro somando com 24. Determine esse número: Equação do problema: U = Resposta: 5) Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas, e t é uma transversal. Os ângulos têm medidas em graus dadas por x2-3x e 7x. Qual a medida desses ângulos? Equação do problema: U = Resposta: 6) O quadrado e o retângulo a seguir tem áreas iguais. Observe suas medidas e calcule o que se pede:

a) A medida do lado do quadrado. b) As dimensões do retângulo. c) A área do quadrado. 7) Para revestir uma área igual a 2.500 m2, um pedreiro usou 40.000 azulejos quadrados e iguais. Neste caso, qual a medida do lado de cada azulejo? 8) Em um colégio, o diretor resolveu fazer uma ampliação na quadra de esportes para poder fazer uma arquibancada. Com o orçamento sempre limitado, só havia dinheiro para pavimentar mais 640 m2. A quadra já pavimentada tem as medidas 20 m x 100 m. Se ele quer construir uma faixa de concreto circundando a quadra, como mostra o desenho, tendo a faixa atrás de cada gol a ampliação de 5 m, ele procura saber qual deve ser a ampliação nas laterais da quadra. Modele este problema por uma única equação.

s

t r

x

x

x

x

2x

x-3

Arquibancadas

Quadra já pavimentada

5 m 5 m

x

x

41

41

9) Quero construir uma casa de um só pavimento retangular. Gostaria que a área de minha casa fosse 180 m2 e que o perímetro fosse 38 m. Quais devem ser as dimensões desta casa? 10) Em um retângulo de área 80 cm2, um dos lados tem 11 cm a mais do que o outro lado. Quais são as dimensões do retângulo? 11) Escreva uma equação que sirva para representar o problema proposto e encontre as soluções do problema.

O número de diagonais de um polígono convexo é dado pela expressão 2

3)n(n −−−− , onde n é o número

de lados do polígono. Calcule o número de lados do polígono que possui 14 diagonais. Mais Atividades: 1) Um Rei tinha que decidir, entre muitos pretendentes a casar com sua filha, qual receberia sua aprovação. Desconfiado que os pretendentes estavam interessados apenas no dote da princesa, decidiu que sua filha se casaria com aquele que mostrasse além de interesse, também inteligência.

Colocou o dote em urna de três caixas. Por fora de cada caixa colocou uma sentença. A sentença verdadeira revela onde está o dote.

(Exercício adaptado do livro Matemática Atual - Bigode.) Em que caixa o dote se encontra? Justifique

2) Descubra os números x e y, tais que: a) b) c)

d) e) f) 3) A soma de dois números é 25 e seu produto 250. Quais são os números?

2 é raiz da equação

0452 =+− xx

Caixa 1

O conjunto solução da equação

14449429 2 =++ xx é S={-19/3 , 5/3}

-5 e 1/3 são raízes

da equação ( ) 171 2 =++ xx

Caixa 2

Caixa 3

6.5

==+

yx

yx

6.5

=−=+

yx

yx

25.10

==+

yx

yx

7.8

==+

yx

yx

61

.

65

=

=+

yx

yx

0.3

==+

yx

yx

42

42

4) Escreva uma equação do 2ºgrau cujas raízes são os números correspondentes ao mês e ao dia do seu aniversário.

5) Escreva uma equação do 2º grau que tenha como raízes:

a) 2 e 7 f) e - b) -1 e 4 g) 5 e

c) -2 e –6 h) 2 e –2

d) 4 e 4 i) e

e) 0 e 1851

6) Determine a soma e o produto das raízes das seguintes equações: a) b) c) d)

7) Encontre o valor de m na equação 2x2+ mx- 5 = 0, para que a soma de suas raízes seja 6.

8) Determine o valor de m na equação (m+1)x2- x+ m = 0, para que o produto das raízes seja igual a 1/3.

9) Sejam x’ e x’’ as raízes da equação 16x2 + 8x+ 1 = 0. Qual o valor numérico da expressão:

a) 2(x’+x’’) + (x’.x’’)=

b)3(x’+x’’) – 4(x’.x’’)=

10) Determine o valor de m para que a equação x2- (m-3)x-5 tenha raízes opostas.

11) Calcule o valor de m na equação 2x2-(m+1)x+m-4=0 para que uma das raízes da

equação seja o inverso da outra.

3 3

2

21

031110 2 =++ xx

0436 2 =−− xx

10)1( =++ xxx

53

1 =−

+x

x

43

43

unidade 8������������������� ���!�� ����� �������"�����������#�

Equações Fracionárias Quando uma equação tem variáveis no denominador, então ela é chamada equação fracionária e para resolve-la recaímos numa equação do 2º grau. Exemplos: a) b) c)

Equações Biquadradas Chamamos de equação biquadrada na variável x, toda equação na forma

Exemplos: a)

b) c)

Equações Irracionais

Quando uma equação tem variáveis sob o radicando, então ela é chamada equação irracional. Exemplo: a) b)

01

2 =−

−x

x

31

23 −=+−

xx

12

12

122

2

+−=

−−

− xx

xxx

Você deve saber que não se divide por zero

75 =+x

xx −=+ 11

Devemos observar que 05 ≥+x

024 =++ cbxax ),*,( ℜ∈ℜ∈ℜ∈ cba

053 24 =+− xx

0910 24 =+− xx

09 24 =− xx

44

44

c) d) e)

Atividades:

Resolva as equações:

a)

b) c) d) e) f) g) h) i)

3754 =+x

2=+ xx

06 =+− xx

É conveniente deixar o radical isolado

22

5 −=+

xx

xx

x 28

24 +=−

12

143

2 −−

=−−

xxx

045 24 =+− xx

086 24 =+− xx

056 24 =+− xx

345 =+x

6−= xx

xx =++ 112

45

45

unidade 9�������� ��������������� Há situações em que dois números são desconhecidos. Isso leva a equação com duas incógnitas. Vamos aproveitar e analisar a seguinte situação que aconteceu no ano passado. Um aluno esperto do Cap. resolveu em seu caderno a seguinte questão:

a) Logo na primeira linha da resolução ele cometeu um engano. Qual foi?

b) Corrija o engano e termine a solução do sistema. ( Adaptado do livro Imenes & Lelis, 8ª série)

Atividades: 1) Resolva os sistemas:

a) d) b) e) c)

2) Um fazendeiro percorrendo com um jipe todo o contorno de sua fazenda, que tem forma retangular perfaz 24km. A área ocupada pela fazenda é de 32 km2. Quais são as dimensões da fazenda?

3) Observe a figura ao lado. G H

Sabemos que a área do retângulo ABCD é 96m2

e a área do retângulo EFGH mede 216m2. Determinar as dimensões do retângulo ABCD.

F E

=+

=−

13

122 yx

yx

−==+2282

yx

xyx

==−

365

xy

yx

=−

=

27

222 yx

yx

=−=−

33

1222 yx

yx

C 2 D 3 A B

2

−=−+=

⇒

−=−=−

52

2

52

222 xyx

yx

xyx

yx

52)2( 2 −=−+ xyy

46

46

unidade 10��������� �����������

Imagine que as linhas de seu caderno são exemplos de retas paralelas que conservam a mesma distância entre si. Essa distância é variável, isto é, muda de acordo com o tipo de caderno, fichário (grande ou pequeno). Suponha que as pautas estejam representadas abaixo. Considere três retas destacadas(r, s e t) coincidentes com algumas pautas como mostra a figura e 3 retas transversais (p, m e n) com inclinações bem diferentes entre si. p m n r A D G s B E H t C F I Percebemos que nesse sistema de retas ficam determinados segmentos (AB, BC, DE, EF, GH, HI). Agora, utilizando uma régua, você vai medir todos os segmentos com o máximo cuidado (considere os milímetros). AB=______ DE=______ GH=______ BC=______ EF=______ HI=_______ Agora compare as medidas dos segmentos obtidos entre as paralelas r e s (AB, DE, GH) com as obtidas entre s e t (BC, EF, HI). Obs:. A melhor comparação para saber quantas vezes um segmento é maior (ou menor) que o outro é através da divisão ou razão entre suas medidas. Verifique essa razões:

O que você conclui? Essa conclusão se deve ao fato das partes do seu caderno terem distâncias constantes, logo o feixe de retas paralelas ( pautas) determina sobre cada transversal (p, m e n) segmentos iguais.

=BCAB =

EFDE =

HIGH

47

47

Confira agora:

p m n r A D G s B E H t C F I

Sem usar régua, podemos comparar os segmentos usando u, v e w como unidades;

Você acha que todos os seus colegas em seus respectivos cadernos, uma vez fazendo este sistema de retas, encontrarão os mesmos valores para as constantes u, v e w?

Verifique estas medidas nos diferentes cadernos. O que você pode dizer após esta verificação? Após essa verificação, mudará o resultado da comparação entre os segmentos feita anteriormente? Agora você vai usar a próxima página disponível de seu caderno e escolher três retas paralelas da seguinte forma: escolher r e pular 5 pautas; escolher s, pular 2 pautas e escolher t. Considere 3 transversais com a inclinação que você desejar (se possível bem diferente uma da outra). Meça com a régua as constantes u, v e w. Compare as seguintes razões: O que você pode concluir sobre essas razões? Você poderia com esses segmentos formar outras razões iguais? Tente e escreva as razões. Atividades:

u u u

HIGH

EFDE

BCAB

,,

uu

BCAB

24=

vv

EFDE

24=

ww

HIGH

24=

48

48

1) O mapa mostra um trecho de um loteamento com algumas medidas. Qual é, aproximadamente, o comprimento x no terreno 1.

24m 18m

1 2 3

x 20m

2) Sendo r, s e t paralelas, descubra a medida do segmento AC:

3) Determine x:

a) a b) B

b A C c

4) Sendo r, s e t paralelas, descubra a medida do segmento AC. Justifique sua resposta.

r s t

4cm

2cm A

B

C

x+1

4x-1

3

x 4

AD é bissetriz de  a// b// c

x+8

2x

10

12 D

r s t

4 cm

3 cm

A

B

C

x+1 4x-

49

49

unidade 11������ ��$�����

Polígonos semelhantes Observe os polígonos P e P’:

Os pares de ângulos congruentes (A,A), (B,B), (C,C), (D,D) são chamados de ângulos correspondentes.

Os lados AB e A’B’, BC e B’C’, CD e C’D’, DA e D’A’, que unem os vértices de ângulos correspondentes são chamados lados correspondentes ou homólogos.

O símbolo indicado para semelhança é “ ~ ”, assim em P ~ P’ temos: polígono P semelhante ao polígono P’.

 ≅≅≅≅ Â’ B ≅≅≅≅ B’ � ≅≅≅≅ �’ D ≅≅≅≅ D’

^ ^

^ ^

B

A

D

C

C’

B’

A’

D’ P’

P

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

4

6

10

8

120º A

B

D C

60º

80º 100º

Dois polígonos são semelhantes se: a) Os ângulos correspondentes são congruentes. b) Têm os lados homólogos proporcionais.

2

3

5

4

120º

60º

80º

100º

A

B

C D

50

50

Pela definição, os dois quadriláteros serão semelhantes porque: Â ≅ Â’, B ≅ B’, � ≅ �’, D ≅ D’ e AB = BC = CD = DA = K A’B’ B’C’ C’D’ D’A’

O coeficiente de proporcionalidade K chama-se razão de semelhança. Na figura, a razão de semelhança é 2. Obs: Dois polígonos semelhantes têm a mesma forma e diferem apenas no tamanho. A semelhança é uma relação de equivalência?

Triângulos semelhantes

No caso particular dos triângulos, as duas condições de semelhança (ângulos correspondentes congruentes e lados homólogos proporcionais) não são independentes. Aplicação do Teorema de Tales ao triângulo.

O seguimento da paralela a um dos lados de um triângulo forma com os outros dois lados, um segundo triângulo semelhante ao primeiro.

1) Assinale os pares de polígonos semelhantes:

2) Determinar a razão de semelhança entre 2 polígonos semelhantes, sabendo-se que 2 lados homólogos medem, respectivamente:

a) 51cm e 17cm b) 8cm e 40cm c) 18cm e 12cm

a)

4

3

2,5 b)

2,5

2,5 2,5

12

c)

30º

12

12 12

d) 4

4 4

4 30º

105º

e)

6

6

6

6

6

f)

8

6

g)

5

5

5

5

105º

h)

12

12

12 12

12

^ ^ ^ ^

51

51

3) Num triângulo os lados medem 6cm, 9cm e 12cm. Qual o perímetro de um triangulo

semelhante e menor que o anterior, sendo a razão de semelhança igual a 1 . 3

4) Achar os lados de um triângulo, cujo perímetro é 36m, sabendo-se que é semelhante a outro de lados 6m, 9m e 12m.

5) Ao desenhar a planta de um edifício na escala 1:50, que dimensões devem ser dadas a uma sala de 4,5m por 7m?

6) Calcule o valor de x nas figuras, sendo DE // BD.

7) Qual é a altura de uma torre cuja sombra tem 3m, no mesmo instante que um bastão de 50cm deixa uma sombra de 20cm?

8) Calcule o lado do quadrado inscrito num triângulo, cuja base tem 12cm e a altura 8cm.

2

1

a) A

B C

E D

x

2

6

d) B x A

C

E

D

4 x

9

b)

A B

C

E

D

4 x

9

c)

B C

A

D E 6

x

9

3

52

52

unidade 12��������� �����%�������� A maioria de vocês já deve ter ouvido falar daquela famosa frase que diz que a soma do quadrado com o cateto é igual ao hipopótamo e um monte de palavras esquisitas... Não, espere, não é bem assim. Vamos pedir ajuda ao nosso amigo Pitágoras (esse cara é bom!)

Pitágoras mostrou que se construíssemos três quadrados, cada um tomando por base um dos lados do triângulo retângulo, veríamos que os dois quadrados menores desmontados caberiam exatamente no quadrado maior. Com isto podemos concluir que a soma das áreas dos dois menores é igual a área maior.

Em outras palavras, a2 = b2 + c2, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.

(Adaptação - Aula de estagiário da Uerj

Leonardo José Leite da Rocha Vaz) Atividades:

1) Aplicando o teorema de Pitágoras, determine as medidas indicadas:

2) Uma escada de 5,2 m de comprimento está apoiada em um muro, como mostra a figura. Sabendo que sua distância até o muro vale 2 metros, determine a altura do muro.

PITÁGORAS Nasceu por volta do ano 582 a.C. Viveu primeiramente na ilha de

Samos, no mar Egeu, e mais tarde em Crotona. Tudo o que se sabe

sobre a obra de Pitágoras foi transmitida pelos seus discípulos, que participavam de uma espécie

de seita ou sociedade secreta onde se estudava música, matemática,

filosofia e astronomia.

18 x

24

b 9

5

20 x

3x

53

53

3) Determine a altura de um triângulo equilátero de 6 cm.

4) O tamanho de uma televisão é usualmente medido pela diagonal que atravessa sua tela. Se numa TV de “20 polegadas” a altura da tela mede 12 cm, determine o seu comprimento.

5) Encontre as medidas indicadas nas figuras:

a) b) c) d) e) 6) Num triângulo retângulo, um dos catetos tem 9 cm e sua projeção sobre a hipotenusa tem 5,4 cm. Determine a medida da hipotenusa.

7) Na figura abaixo, determine o diâmetro da circunferência, sabendo que a corda AB mede

15 cm e sua projeção sobre o diâmetro mede 3 cm.

8) As medidas de um triângulo retângulo, em centímetros, são, n, n+1 e n+2. Mostre que esses lados medem 3, 4 e 5 cm.

o

A

B

5 n

10 2

h 8

18

12

b

n

h 10

6

8

14 n

m 28

54

54

9) A figura mostra uma antena retransmissora de rádio de 72m de altura. Ela é sustentada por 3 cabos de aço que ligam o topo da antena ao solo, em pontos que estão a 30 m do pé da antena. Quantos metros de cabo serão gastos para sustentar a antena? 10) Nessa figura, temos um edifício de paredes retangulares. No ponto B será instalada uma lâmpada. Será então colocado um fio que vai de A até B pelas paredes do edifício. Para calcular o menor comprimento que esse fio pode ter, é conveniente imaginar as duas paredes num mesmo plano. Qual é então o menor comprimento do fio? 11) No mapa, as cidades A, B e C são vértices de um triângulo retângulo, sendo que o angulo reto é Â. A estrada AB tem 40 Km e a estrada BC tem 50 Km. As montanhas impedem a construção de uma estrada que ligue diretamente A com C. Por isso, será construída uma estrada da cidade A para a estrada BC, de modo que ela seja a mais curta possível. a) Qual é o comprimento da estrada que será construída? b) O ponto onde essa estrada encontra a estrada BC dista quantos quilômetros da cidade C? 12) Considere o triângulo LMN, sendo M L N = 90o e LO a altura relativa a MN.

30m 30m

30m

A B

o o

A

B

3m

3m

9m

8m

A

B C

L

M O N

55

55

a) Mostre que os triângulos LMN e LMO são semelhantes.

b) Se MN mede 10 cm e LM mede 6 cm, encontre a medida da altura LO.

Mais atividades

1) O quadrado e o triângulo das figuras ao lado têm a mesma área. Nessas condições: a) Escreva a equação correspondente

b) Qual a medida x do lado do quadrado? c) Qual a área do quadrado?

2) A área do retângulo é 20 cm2:

a) Escreva a equação correspondente a este fato b) Encontre x e dê as medidas dos lados do

retângulo

1. 3) Calcule x e y:

t e u são transversais ao feixe de paralelas. 4) Na figura abaixo e é bissetriz do ângulo :

Nessas condições: a) Determine x b) Determine y c) Determine o perímetro do triângulo BEC

x

x

x

X+2

5+x

5−x

BCAD //

a) b) t

u

x

y

5 3

5

A

B C

X+2

X+10

X

24

EF

E

E

B C

A D

F

x

y

2

6

3

4

56

56

DESAFIO: Para resolver um problema, era necessário montar uma equação do 2ºgrau. Ao

montá-la Cristina cometeu um engano no termo b. Resolveu a equação e encontrou as raízes 2 e 6. André também cometeu um erro no termo c , e ao resolver a equação encontrou as raízes 2 e 5 . Agora cabe a você não cometer nenhum engano e determinar a equação.

Fazendo uma revisão:

1) Considere um trapézio isósceles ABCD com base maior AB = 16m; lados não

paralelos 10m, angulo base 60º. Determine: (faça uma figura)

a) O perímetro do triângulo ABC. b) A área do triângulo ABC.

2) Calcule a área do triângulo:

3) Calcular a área do hexágono regular circunscrito a uma circunferência de

comprimento 20π cm.

4) Um hexágono regular está circunscrito a um círculo de raio 6 cm.

a) Calcule o lado do triângulo ABC onde BC é o lado do hexágono e A é o centro da circunferência.

b) Calcule a área do hexágono

5) As diagonais de um paralelogramo medem 10m e 20m e formam um ângulo de 60º. Ache área do paralelogramo .

6) Calcule o valor de x:

a) b)

30º

7 cm

10 cm

2 x 3

6 2x

x 8

4

57

57

D B 3 c) d) 4 12 x C A 3 5 B B P e) f) A C o 5

unidade 13�����!�����������&�����

Cálculo de comprimentos por triangulação

No processo de determinação da altura da pirâmide, a vareta utilizada por Tales podia ter qualquer comprimento, pois a razão entre o comprimento de qualquer vareta e sua respectiva sombra seria sempre a mesma e igual à razão entre a altura da pirâmide e o segmento que vai do centro da pirâmide à extremidade da sombra. Na verdade essa razão depende apenas da hora do dia em que a sombra é medida, ou seja depende da inclinação dos raios de sol.

Sendo assim, não é necessário construir um triângulo retângulo semelhante àquele do qual se pretende conhecer algum comprimento: basta saber a razão entre o lado correspondente e um outro lado de qualquer triângulo semelhante. E essa razão depende apenas dos ângulos. Se a inclinação dos raios é a mesma, então os ângulos cujos vértices foram destacados são congruentes e portanto vale a proporção: v1/s1 = v2/s2 = v3/s3 =.......

15

x

4

x P

P

A

2x x

9

v1

s1 s2

v2

s3

v3

C

58

58

Essa proporção fornece uma razão k que também é a mesma entre a altura VC da pirâmide e o comprimento CS calculado na mesma hora.

Como os ângulos destacados nos três triângulos são congruentes, fazendo translações, podemos levar a coincidir os vértices, de modo a obter a figura ao lado. Tal figura pode representar várias homotetias de foco em S e, da mesma forma, existe a proporcionalidade entre os segmentos verticais, que representam as varetas, e os horizontais, que representam as sombras correspondentes às varetas.

Para cada inclinação dos raios de sol, as mesmas varetas vão produzir sombras de tamanhos diferentes. Teremos então para um novo ângulo uma nova razão: v1/s’ = v2/s’’ = v3/s’’’ =....... = k ’ Como, para cada ângulo há uma mesma razão entre dois catetos, ou entre dois outros lados quaisquer de um

triângulo retângulo, então os matemáticos passaram a dar nomes a essas razões. E para facilitar a resolução de problemas, em especial os que lidavam com astronomia, passaram a construir tabelas onde eram registradas medidas de ângulos e as razões correspondentes. Isso aconteceu a partir do século XIV. A razão entre a vareta e sua sombra recebe o nome de tangente do ângulo i, ou dito de outra forma: a tangente do ângulo i é igual à razão entre o cateto oposto a i e o outro cateto. Fique sabendo:

Podemos definir a tangente de um ângulo i como a razão entre o cateto oposto ao ângulo i e o cateto adjacente ao ângulo i.

As razões trigonométricas no triângulo retângulo : tangente, seno e cosseno. Hoje, a parte da Matemática denominada Trigonometria abrange as relações entre

medidas de ângulos e de lados de um triângulo de que trataremos aqui agora. Porque todos os triângulos retângulos que têm um mesmo ângulo i são semelhantes, verificamos que a razão entre cateto oposto e cateto adjacente é sempre a mesma para todos eles. A mesma semelhança garante que outras razões entre pares de lados correspondentes também serão constantes. Assim, além da razão denominada tangente, outras cinco podem ser obtidas se considerarmos 3 pares de lados correspondentes. Aqui vamos definir apenas 3 dessas razões; as outras 3 são as inversas destas e são estudadas, todas elas, no ensino médio.

Tangente de i = i a adjacente cateto

i a oposto cateto

Seno de i = hipotenusa

i a oposto cateto

Cosseno de i = hipotenusa

i a adjacente cateto

Podemos calcular o valor aproximado dessas razões para qualquer valor de um ângulo agudo construindo triângulos retângulos,

V

C S

v3 v2 v1

V

C S

v3 v2 v1

i

v

s tangente de i = v/s

i z

y x

tangente i = yx

seno i = zx

cosseno i = zy

59

59

medindo seus lados e fazendo divisões. Acontece que esses valores já foram exaustivamente calculados desde longa data e são encontrados reunidos em tabelas que geralmente vêm com o nome de TÁBUA DE RAZÕES TRIGONOM’ÉTRICAS. Hoje há muitas calculadoras que também fornecem esses valores, porém vários livros ainda reproduzem essas tabelas. Dependendo do uso que vai ser feito, o número de casas decimais é maior ou menor. Apresentamos um pedaço de uma tabela com uma seqüência de ângulos de um em um grau com aproximação até milésimos. A tabela usada por um astrônomo terá no mínimo 7 ordens fracionárias e não 3 como esta. Graus Sen Cos Tg Graus Sen Cos Tg 1 0,017 1,000 0,018 46 0,719 0,695 1,036 2 0,035 0,999 0,035 47 0,731 0,682 1,072 3 0,052 0,999 0,052 48 0,743 0,669 1,111 4 0,070 0,998 0,070 49 0,755 0,656 1,150 5 0,087 0,996 0,088 50 0,766 0,643 1,192 6 0,105 0,995 0,105 51 0,777 0,629 1,235

Vejamos um exemplo de como podemos calcular distâncias inacessíveis com ajuda das razões trigonométricas, fazendo a medição de um ângulo e de distâncias acessíveis. Observe, pela figura, a medida de um ângulo para determinar a altura de uma árvore. Medindo o ângulo entre a horizontal OP e a reta que vai da vista do observador (O) até o topo da árvore (T), será possível calcular a altura TS da árvore: • usando a tangente de 22o e as medidas • OP: distância do observador até a árvore e • PS: distância da vista do observador até o

solo. Pelo esquema podemos concluir que a altura

procurada TS será dada por TP + PS Considerando que o triângulo TPO é retângulo em P, podemos escrever: TP/PO = tg 22o Consultando a tabela, encontramos para tg 22o o valor 0,404. Podemos escrever então: TP = PO x 0,404 TS = PO x 0,404 + PS Como é possível medir PO e PS, conhecidos esses comprimentos, é só fazer as contas indicadas. ATIVIDADES 1) O triângulo KLM representado é retângulo em K . Calcule os comprimentos KL e KM com aproximação de 1mm ((O ângulo KML mede 31o e LM= 4,7cm) 2) Conhecendo as medidas dos lados não paralelos de um paralelogramo, e o ângulo agudo formado por esses lados, é possível calcular a área recorrendo ao seno desse ângulo. Observando o desenho, prove que a afirmação é verdadeira e calcule a expressão da área em função de x ,y e do ângulo α 3) Observe a forma como foi armada a medição da altura da árvore. Considerando as medidas obtidas, calcule essa altura. Justifique sua resposta.

1 m

3 m 9 m

T

S

P

K

L

M

31º

4,7 cm

60

60

unidade 14���������$������� �������

Trabalho elaborado pelos alunos da turma 84/1999. 1) No trabalho de Português, Esther fez dois cartazes em forma de paralelogramo. Ela cortou a cartolina com 60 cm na base do paralelogramo e 40 cm de altura. Qual é a área disponível para Esther.

60 cm

2) Thaís foi ao supermercado comprar bebidas para o natal. Seu pai estava lhe esperando no estacionamento, ela desceu a rampa do supermercado com um carrinho de compras. Ela fez a seguinte trajetória:

Calcule área do polígono formado.

3) O padre queria colocar vitrais em sua igreja. Ele queria saber quantos vitrais losangulares diagonais medindo 15 cm e 10 cm ele usaria para cobrir toda sua janela de 3m por 2m.

4) Minha mãe tem um jardim na forma triangular. Qual será a área do jardim de minha mãe, sabendo que o jardim tem 3m de base e 2m de altura?

5) O telhado da minha casa de boneca tem a forma triangular. Meu pai vai mudar as telhas, que tem 1cm2 cada. De quantas telhas meu pai vai precisar, sabendo que a base mede 9cm e a altura 6 cm?

Estacionamento 90 m b

300 m B

30 m h 150 m

61

61

6) Nesta figura a parte 1 tem 38cm2 de área, e a região 246 cm2 . Qual é a área do quadrado de lado x? 7) Um terreno quadrado tem lados de 30cm. Uma parte dele, também quadrada, com lados de 24cm, estava destinada a um armazém. Os planos mudaram, e agora o armazém terá a forma de T, mas ocupando a mesma área anterior. Assim calcule x.

unidade 15������ ��'��� Atividade 1 1) Foi realizado um comício político numa praça semi circular com

raio de 130 metros. A praça esteve lotada, calculando-se uma ocupação média de 4 pessoas por m2 . Quantas pessoas estavam presentes ao comício? Sabe-se que o palanque ocupa uma área correspondente a uma região angular de 20º.

2) Filé estava almoçando na “Tia Elza” na véspera da prova de matemática. Como não

tinha estudado, resolveu testar seus conhecimentos medindo a área do seu prato, que tinha 9cm cm de raio. Sabendo que Filé conseguiu acertar, qual foi o resultado que ele achou?

24cm 6cm 30cm

armazém armazém

24cm

6cm

30cm

x

x

1 2

x

x

y

y

y y

r = 9cm O

62

62

3) Numa praça circular foi colocado um obelisco, conforme a figura:

Determinar a distancia y desconhecida.

unidade 16 ��%��(������������������������

Dizemos que um polígono está inscrito em uma circunferência se todos os seus vértices estão sobre ela. O mesmo é válido para figuras inscritas em outras figuras planas. Por exemplo, os polígonos abaixo estão inscritos nas figuras ressaltadas em amarelo.

Apresentamos abaixo exemplos negativos porque, embora as figuras estejam no interior das ressaltadas em azul, elas não estão inscritas, pois alguns de seus vértices não estão sobre o contorno.

Para falar de polígonos circunscritos em uma circunferência, vamos analisar as

posições relativas possíveis entre uma reta e uma circunferência. Uma reta pode não ter pontos em comum com a circunferência; elas podem ter dois pontos em comum, ou, um último caso, elas têm apenas um ponto em comum. Neste último caso, dizemos que a reta tangência a circunferência.

Um quadrilátero inscrito em uma circunferência

Um triângulo inscrito em um quadrilátero.

Um retângulo inscrito em outro retângulo.

Nesta situação, as duas linhas

não têm pontos em comum

r

Nesta situação

P e Q são pontos comuns às duas linhas

Nesta situação, apenas o ponto T é comum às

duas linhas

s t P

Q

9 m

y 15 m

3 m

63

63

A reta r se chama externa à circunferência. A reta s é chamada reta secante à circunferência. A reta t é chamada reta tangente à circunferência.

Para traçar uma reta tangente a uma circunferência, usamos a propriedade descrita a seguir e que vamos explorar mais tarde:

Uma reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio da circunferência que passa no ponto de tangência, como mostra a ilustração ao lado.

Dizemos que um polígono está circunscrito em uma circunferência se todos os seus lados tangenciam a circunferência. Os polígonos abaixo estão circunscritos nas circunferências ressaltadas em verde:

Observe os exemplos negativos:

Construir polígonos inscritos a partir de uma circunferência dada é relativamente

simples. No entanto, há certos polígonos que não podem ter todos os seus vértices numa mesma circunferência, ou seja, não são inscritíveis ou circunscritíveis. Ser inscritível ou circunscritível é uma propriedade interessante que alguns polígonos têm. Com a próxima oficina proposta, você vai investigar polígonos que podem ou não ser inscritos ou circunscritos em uma circunferência. Para isso, prepare este material: • Um pedaço de folha de isopor, 20 por 20 cm • Um pedaço de cartolina 20 por 20 cm • Linhas coloridas • Alfinetes � Desenhe um círculo de raio igual a 15 cm na cartolina. Assinale o centro do círculo. Cole

a cartolina no isopor. Tente construir polígonos inscritos com os polígonos indicados a seguir, usando como vértice os alfinetes e a linha colorida para fazer os lados. Se possível, use cores diferentes para diferentes polígonos. Conclua, a partir dessa experiência, quais deles são ou não inscritíveis. Considere apenas polígonos formados por poligonais simples.

1. Um retângulo que tenha um dos lados medindo 3 cm; 2. Um trapézio qualquer; 3. Um triângulo isósceles; 4. Um triângulo equilátero; 5. Um losango não quadrado; 6. Um triângulo retângulo; 7. Um trapézio retângulo; 8. Um pentágono convexo; 9. Um hexágono não convexo; 10. Um hexágono convexo. � Aproveite as experiências com a construção de polígonos e escreva o que você acha

que determina se um polígono é inscritível em um círculo ou não. Verifique se seus colegas chegaram às mesmas conclusões que você.

� Até aqui, você investigou como desenhar polígonos inscritos em uma circunferência dado. Agora, propomos investigar o seguinte problema: dada uma figura, queremos saber qual é a circunferência que a inscreve. Antes de seguir adiante, verifique

Um quadrilátero circunscrito em uma circunferência

Um triângulo circunscrito em uma circunferência.

Um hexágono circunscrito a uma circunferência

A circunferência está no interior do quadrilátero e o quadrilátero não está circunscrito nela.

A circunferência está no interior do triângulo, mas ele não está circunscrito nela.

A circunferência não está no interior de um hexágono nem o hexágono está circunscrevendo ela.

A

B

C

D

64

64

se já é capaz de descobrir a circunferência que inscreve o polígono ABCD ilustrado ao lado.

Para encontrar tal circunferência, temos que encontrar seu centro. O centro do circunferência terá de estar à mesma distância de todos os vértices do polígono, e é claro que isso vale para cada par de vértices. Vamos, portanto, procurar um ponto a igual distância de cada par de vértices. O lugar dos pontos que eqüidistam de dois outros chama-se mediatriz e você entenderá o porquê desse nome. Observe o processo de construção da mediatriz:

Considere o segmento AB. Queremos encontrar o lugar de todos os pontos que eqüidistam de A e B. Um dos pontos procurados é certamente o ponto médio de AB. • Traçamos inicialmente uma circunferência de

centro em B e raio maior do que a metade de AB. • Repetimos o mesmo procedimento para o ponto A. • Os dois pontos de encontro entre as circunferências distam o

mesmo de A e B. A reta assinalada em vermelho é a mediatriz do segmento AB: divide AB ao meio e é o lugar de todos os pontos que têm a mesma distância de A e B.

• Observe que poderíamos ter traçado outros pares de círculos com outros raios, mas a mediatriz seria sempre a mesma.

Se um polígono está inscrito em uma circunferência, seus

vértices eqüidistam do centro da circunferência. Considere o quadrilátero ABCD, inscrito na circunferência de centro em O, ao lado. Se os pontos A, B, C e D estão sobre a circunferência, então AO = BO = CO = DO; isto é, os quatro pontos têm a mesma distância do centro O.

Vamos usar essa idéia para obter a circunferência que inscreve o quadrilátero EFGH da ilustração. Estamos procurando pelo centro do círculo que dista igualmente dos pontos E, F, G e H .

Traçamos a mediatriz dos pontos E e F, que é lugar dos pontos que têm a mesma distância entre E e F.

Repetimos o mesmo para os pontos F e G. O ponto de encontro das duas mediatrizes é o lugar que dista a mesma distância dos pontos E, F e G. Se um polígono é inscritível as mediatrizes de todos os seus lados devem ter em comum um mesmo ponto que será o centro da circunferência que o inscreve. Se o quadrilátero EFGH é inscritível, então o centro da

circunferência deve ser este ponto. Descoberto o centro, colocamos a

parte fixa do compasso nele e o grafite em qualquer dos pontos E, F ou G para descobrir o raio. Traçamos, então a circunferência. Se o quadrilátero fosse inscritível, o ponto H ficaria sobre a circunferência, conluímos que ele não é inscritível.

Dessa experiência, podemos tirar algumas conseqüências: • Qualquer triângulo será inscritível porque

E

H

F G

Centro da circunferência

A B

A B

E

H

F G

E

H

F G

A

D C

B

O

����������USAR CÍRCULO OU CIRCUNFERÊNCIA? COLOCAR OS SÍMBOLOS QUE INDICAM ÂNGULO E SEGMENTO RETO? SÃO DÚVIDAS QUE PEÇO À CONCEIÇÃO QUE RESOLVA NAS SUAS CORREÇÕES.

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sempre é possível achar o centro de uma circunferência que contém 3 pontos dados (os vértices do triângulo).

• Nos retângulos, as diagonais são iguais e se cortam sempre no meio, o que nos leva a concluir que retângulos são sempre inscritíveis; os quadrados especialmente.

Para descobrir mais sobre polígonos inscritíveis e circunscritíveis

1) Descubra quais dos polígonos abaixo são inscritíveis em circunferências. Quando for possível, desenhe a circunferência que o inscreve. 2) Em uma circunferência com raio de 5 cm, desenhe polígonos inscritos com as seguintes características: Um paralelogramo que tenha um lado medindo 3 cm. Um triângulo que tenha a altura relativa a um dos lados medindo 4 cm. Um triângulo equilátero. Um quadrado. Um trapézio. Um triângulo retângulo. 3) Verifique a possibilidade de os polígonos simples não convexos, como os da ilustração, serem ou não inscritíveis. Escreva suas conclusões e justifique com desenhos. 4) Copie a linha poligonal XYZ. Depois desenhe um ponto W de modo que XYZW seja um quadrilátero inscritível numa circunferência. Explique como é possível encontrar uma infinidade de soluções para esse desafio. 5) Desenhe os polígonos que têm as seguintes características: a) Um quadrilátero que não é inscritível e que tem todos os seus lados iguais. b) Um pentágono que é inscritível e que possui apenas um ângulo reto. c) Um hexágono que é inscritível e possui todos os ângulos diferentes. 6) Seria simples para Arquimedes calcular o comprimento da circunferência se ela fosse exatamente a média dos perímetros dos 2 quadrados: o inscrito e o circunscrito. Se isso fosse verdadeiro, bastaria uma investigação com esses 2 quadrados e já poderia ser obtido o comprimento da circunferência. Mas Arquimedes sabia que não era assim; por isso, foi preciso estender a investigação para outros polígonos, tentando aproximar o inscrito e o circunscrito cada vez mais da circunferência. Investigue: a) Desenhe uma circunferência com 10 cm de diâmetro, um quadrado circunscrito e um

quadrado inscrito. Verifique se o comprimento da circunferência é mais próxima do perímetro do quadrado circunscrito ou do quadrado inscrito. Use a relação encontrada por Arquimedes.

b) Descubra uma maneira de verificar se resultado obtido no item anterior vale para todas as circunferências.

X

Y Z

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