biomecânica e otimização topológica com h … · 5.1.2 definição do modelo material ..... 83...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

TESE DE DOUTORADO

Biomecânica e Otimização Topológica com H-Adaptatividade

em Implantes Dentários Nitretados a Plasma em Cátodo Oco

Karilany Dantas Coutinho

NATAL/RN

JUNHO/2014

ii


CENTRO DE TECNOLOGIA




Tese de Doutorado submetida à


como parte dos requisitos para obtenção do título de

DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA

Doutoranda: Karilany Dantas Coutinho

Orientador: Prof. Dr. João Carlos Arantes Costa Júnior.

Co-orientador: Prof. Dr. Custódio Leopoldino de Brito Guerra Neto.

Natal, Junho de 2014.

iii





Karilany Dantas Coutinho

Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de

Doutor em Engenharia Mecânica

sendo aprovada em sua forma final.

João Carlos Arantes Costa Júnior

Orientador

UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede.

Catalogação da Publicação na Fonte. Coutinho, Karilany Dantas Biomecânica e otimização topológica com H-adaptatividade em implantes dentários nitretados a plasma em cátodo oco / Karilany Dantas Coutinho. – Natal, RN, 2014. 200 f.

Orientador: Prof. Dr. João Carlos Arantes Costa Júnior. Co-orientador: Prof. Dr. Custódio Leopoldino de Brito Guerra Neto.

Tese (Doutorado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica.

1. Nitretação em plasma - Tese. 2. Fadiga - Tese. 3. Biomecânica -

Tese. 4. Implantes dentários - Tese. 5. Nitretação em cátodo oco - Tese. 6. Otimização topológica – Tese. I. Costa Júnior, João Carlos Arantes. II. Guerra Neto, Custódio Leopoldino de Brito. III. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. IV. Título. RN/UF/BCZM CDU 621.785.53

v

Dedicatória

Esta tese é dedicada:

Ao meu filho, Pedro Augusto Coutinho Barros

por todos os momentos maravilhosos que ele me

proporciona, pelo carinho imenso e amor.

vi

Agradecimentos

Ao professor João Carlos Arantes Costa Júnior, expresso com satisfação meus

agradecimentos, pela sua excelente orientação e maturidade científica, amizade,

paciência e grande incentivo que foram essenciais para a execução deste trabalho.

Ao professor Custódio Leopoldino de Brito Guerra Neto, agradeço pela

extraordinária co-orientação, grande incentivo e amizade, fundamentais para a

conclusão deste trabalho.

À Professora Caroline Dantas Vilar Wanderley pelo incentivo, amizade e

fundamental ajuda em adquirir a matéria prima para a efetivação deste trabalho.

Ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica da Universidade

Federal do Rio Grande do Norte pela oportunidade de estudos.

Aos professores: Caroline Dantas Vilar Wanderley, Raimundo Carlos Silvério

Freire Júnior, Rômulo Ribeiro Magalhães de Sousa, Thércio Henrique de Carvalho

Costa e Wesley Góis, por terem gentilmente participado da banca examinadora.

À empresa DENTOFLEX® Sistema de Implantes, pela parceria e incentivo à

pesquisa, fornecendo os implantes dentários e todo o instrumental para realização do

trabalho. Em especial ao Consultor Científico Dr. Antônio Moretto Neto.

Ao professor Rômulo Ribeiro Magalhães de Sousa, coordenador do Laboratório

de Plasma do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Piauí, pela sua

gentileza em atender-me, pela valiosa ajuda e por disponibilizar sua equipe de alunos

na preparação do procedimento experimental do processo de nitretação a plasma.

vii

Ao Laboratório de Ensaios Mecânicos CENIC, São Carlos/SP, pelo incentivo à

pesquisa.

Ao Departamento de Engenharia Biomédica da UFRN.

Aos Professores: Cláudio Romero Rodrigues de Almeida, Gláucio Bezerra

Brandão, José Daniel Diniz Melo, Raimundo Carlos Silvério Freire Júnior, Rubens

Maribondo do Nascimento e Thércio Henrique de Carvalho Costa, pelo incentivo e

ajuda para realizar esta pesquisa.

Ao Aluno Jader Silva pela ajuda na elaboração dos desenhos na plataforma

CAD.

Aos meus pais (Romualdo e Josete), às minhas irmãs (Karla e Karol) e aos

meus sobrinhos (Matheus e Letícia) pelo grande apoio.

Ao Gustavo de Araujo Barros, pelo amor e carinho. Seus conselhos, atenção,

incentivo e grande paciência foram importantíssimos.

Ao meu filho, Pedro Augusto, seu sorriso, carinho e amor me incentiva a cada

dia para novas conquistas, você me faz muito feliz.

A Deus.

viii

Sumário

Dedicatória .................................................................................................................. v

Agradecimentos .......................................................................................................... vi

Sumário .................................................................................................................... viii

Lista de Figuras ......................................................................................................... xii

Lista de Símbolos e Abreviações ............................................................................. xviii

Resumo .................................................................................................................... xxii

Abstract .................................................................................................................. xxiii

Capítulo 1 .................................................................................................................... 1

Introdução ................................................................................................................... 1

1.1 Contribuição Científica ..................................................................................... 5

1.2 Objetivos ........................................................................................................... 6

Capítulo 2 .................................................................................................................... 7

Revisão Bibliográfica ................................................................................................... 7

2.1 Aspectos Biológicos ........................................................................................... 7

2.1.1 Osseointegracão ................................................................................................. 7

2.1.2 Titânio como Biomaterial ............................................................................... 12

2.2 Aspectos Tecnológicos da Nitretação por Plasma ........................................... 16

2.2.1 Plasma ............................................................................................................ 16

2.2.2 Nitretação Iônica ............................................................................................. 18

2.2.3 Nitretação em Cátodo Oco .............................................................................. 20

2.2.4 Nitretação do Titânio ...................................................................................... 21

2.3 Biocompatibilidade do Nitreto de Titânio ....................................................... 25

2.4 Ensaios Biomecânicos ...................................................................................... 27

2.5 Otimização Estrutural ..................................................................................... 28

2.5.1 Formas Clássicas de Otimização Estrutural .................................................... 31

ix

2.5.2 Otimização Topológica .................................................................................... 34

2.5.3 Otimização em Implantes Dentários ............................................................... 37

Capítulo 3 .................................................................................................................. 41

Caracterização e Análise Experimental ...................................................................... 41

3.1 Metodologia Experimental .............................................................................. 41

3.2 Tratamento Superficial de Nitretação em Cátodo Oco .................................... 43

3.2.1 Procedimento Experimental de Nitretação em Cátodo Oco em Discos de Ti-CP

........................................................................................................................ 43

3.2.2 Ensaio de Molhabilidade em Discos de Ti-CP ................................................. 46

3.2.3 Ensaio de Rugosidade em Discos de Ti-CP ..................................................... 47

3.2.4 Caracterização de Fases na Superfície dos Discos de Ti-CP ............................ 48

3.2.5 Microscopia Eletrônica de Varredura .............................................................. 49

3.2.6 Procedimento Experimental de Nitretação em Cátodo Oco Utilizando

Implantes Dentários ................................................................................................... 50

3.2.7 Caracterização de Fases na Superfície dos Implantes Dentários ...................... 55

3.2.8 Microdureza Vickers nos Implantes Dentários ................................................ 56

3.2.9 Ensaio Biomecânico de Fadiga em Flexão Utilizando Implantes Dentários .... 58

Capítulo 4 .................................................................................................................. 66

Análise Linear Estática de Tensões em Implantes Dentários ..................................... 66

4.1 Descrição do Modelo de Elementos Finitos ..................................................... 66

4.2 Cargas Aplicadas e Condições de Contorno .................................................... 69

4.3 Análise de Tensões no Implante Dentário ....................................................... 71

4.3.1 Caso de Carga 1: ............................................................................................. 71

4.3.2 Caso de Carga 2: ............................................................................................. 72

Capítulo 5 .................................................................................................................. 75

Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos ........................................ 75

5.1 Minimização da Flexibilidade em Implantes Dentários ................................... 80

5.1.1 Formulação do Problema ................................................................................ 81

x

5.1.2 Definição do Modelo Material ......................................................................... 83

5.1.3 Definição das Constantes cx, cy e cz ................................................................. 85

5.1.4 Formulação do Problema de Ótimo no Contínuo ............................................ 88

a) Método Lagrangeano Aumentado ................................................................... 88

5.1.5 Refino da Malha com Adaptatividade h .......................................................... 91

5.1.6 Validação do Modelo de Otimização Proposto ................................................ 97

a) Viga bi-apoiada com carga aplicada na parte central superior: ....................... 99

b) Viga bi-apoiada com carga aplicada na parte central inferior: ...................... 101

5.2 Minimização de Massa em Implantes Dentários ............................................ 104

5.2.1 Formulação do Problema .............................................................................. 106

5.2.2 Definição do Modelo Material ....................................................................... 107

5.2.3 Critério de Tensão de Falha com Relaxação ................................................. 109

5.2.4 Definição das Constantes cx, cy e cz ............................................................... 110

5.2.5 Formulação do Problema com Relaxação ...................................................... 111

5.2.6 Formulação do Problema de Ótimo no Contínuo .......................................... 113

a) Método Lagrangeano Aumentado ................................................................. 113

5.2.7 Refino da Malha com Adaptatividade h ........................................................ 116

5.2.8 Validação do Modelo de Otimização Proposto .............................................. 116

a) Viga bi-apoiada com carga aplicada na parte central superior ...................... 117

b) Viga bi-apoiada com carga aplicada na parte central inferior: ...................... 121

Capítulo 6 ................................................................................................................ 125

Resultados e Discussões ........................................................................................... 125

6.1 Ensaio de Nitretação a Plasma em Cátodo Oco dos Disco de Ti-CP Grau II 125

6.2 Ensaio de Molhabilidade dos Discos de Ti .................................................... 125

6.3 Ensaio de Rugosidade dos Discos de Ti ........................................................ 128

6.4 Microscopia Eletrônica de Varredura dos Discos de Ti ................................. 129

6.5 Caracterização de Fases na Superfície dos Discos de Ti ................................ 129

xi

6.6 Ensaio de Nitretação a Plasma em Cátodo Oco dos Implantes Dentários ..... 130

6.7 Caracterização de Fases na Superfície dos Implantes Dentários .................... 131

6.8 Microdureza Vickers nos Implantes Dentários .............................................. 132

6.9 Resultado do Ensaio de Fadiga em Flexão dos Implantes Dentários............. 133

6.10 Microscopia Eletrônica de Varredura dos Implantes Dentários ..................... 140

6.11 Otimização Topológica Estrutural em Implantes Dentários .......................... 145

6.11.1 Minimização da Flexibilidade em Implantes Dentários ................................. 145

6.11.2 Minimização de Massa em Implantes Dentários ............................................ 151

Capítulo 7 ................................................................................................................ 156

Considerações Finais ................................................................................................ 156

7.1 Caracterização e Análise Experimental ......................................................... 156

7.2 Tecnologia de Desenvolvimento de Topologias em Implantes Dentários ....... 157

Capítulo 8 ................................................................................................................ 159

Trabalhos Futuros ................................................................................................... 159

8.1 Sugestões para Trabalhos Futuros ................................................................ 159

Referências Bibliográficas ........................................................................................ 161

Apêndice A .............................................................................................................. 186

Apêndice B .............................................................................................................. 195

Apêndice C .............................................................................................................. 198

xii

Lista de Figuras

Figura 2.1: Oxidação do Implante, Adaptação de Kasemo (2002). ............................ 15

Figura 2.2: Processo de nitretação iônica. .................................................................. 19

Figura 2.3: Configuração esquemática de uma amostra na nitretação em Cátodo Oco.

.................................................................................................................................. 21

Figura 2.4: Formas clássicas de otimização estrutural, Kiyono C. Y. (2008): a)

Otimização Dimensional. b) Otimização de Forma. C) Otimização Topológica. ....... 32

Figura 2.5: Descrição Level Set de um Domínio 2D: a) Representação do Domínio. b)

Modelo Level Set. Luo et al., 2008. ............................................................................ 33

Figura 2.6: Obtenção da Topologia via Derivada Topológica, Novotny et al (2002). 34

Figura 3.1: Fluxograma de execução da Metodologia Experimental. ......................... 42

Figura 3.2: Reator de plasma. .................................................................................... 44

Figura 3.3: a) Aparato experimental utilizado para a nitretação em plasma nos discos;

b) Detalhe da localização do disco de Ti no aparato experimental. ........................... 45

Figura 3.4: Nitretação em plasma nos discos de Ti.................................................... 46

Figura 3.5: Ângulo de contato estático ou técnica da gota séssil. .............................. 47

Figura 3.6: Ensaio de rugosidade superficial dos discos. ............................................ 48

Figura 3.7: Diagrama SHIMADZU XDR-600, SHIMADZU CORPORATION. ......... 49

Figura 3.8: Implante dentário torque interno Swith 3,75mm x 13mm DENTOFLEX®

sem tratamento superficial. ........................................................................................ 50

Figura 3.9: Corpos de prova: Cilindro de titânio e Implante dentário. ...................... 51

Figura 3.10: Limpeza no aparelho de ultrasson. ......................................................... 52

Figura 3.11: Posicionamento do implante dentário no cilindro de titânio. ................. 53

Figura 3.12: Posicionamento dos corpos de prova no porta amostra. ........................ 53

Figura 3.13: Nitretação em plasma nos implantes dentários de Ti. ........................... 54

Figura 3.14: Figura esquemática dos pontos de aplicação de carga (Vista superior do

implante dentário). .................................................................................................... 57

Figura 3.15: Posicionamento do implante dentário na morça de fixação para aplicação

de carga. .................................................................................................................... 57

Figura 3.16: Posicionamento do implante dentário no microdurômetro. .................... 58

Figura 3.17: Configuração do sistema para ensaio de componente protético, ABNT

NBR ISO 14801:2007. ................................................................................................ 60

xiii

Figura 3.18: Configuração utilizada no ensaio para aplicação da carga. .................... 61

Figura 3.19: Configuração utilizada no ensaio de fadiga para os corpos de prova...... 62

Figura 4.1: Discretização de ¼ de implante dentário. ................................................ 68

Figura 4.2: Casos de carga: a) Caso 1. b) Caso 2. ..................................................... 70

Figura 4.3: Condições de Contorno: a) Planos de Simetria. b) Deslocamentos

prescritos. .................................................................................................................. 70

Figura 4.4: Caso 1 - Tensão máxima de von Mises igual a 146,9MPa . Visualização

no interior do implante dentário. ............................................................................... 71

Figura 4.5: Caso 1 - Tensão máxima de von Mises igual a 146,9MPa . Visualização

na região externa do implante dentário. .................................................................... 72

Figura 4.6: Visualização da Convergência do Resultado: a) Malha inicial com 3.830

elementos. b) Malha refinada com 7.525 elementos. .................................................. 72

Figura 4.7: Caso 2 - Tensão máxima de von Mises igual a 119MPa . Visualização no

interior do implante dentário. .................................................................................... 73

Figura 4.8: Caso 2 - Tensão máxima de von Mises igual a 119MPa . Visualização na

região externa do implante dentário. ......................................................................... 73


elementos. b) Malha refinada com 7.525 elementos. .................................................. 74

Figura 5.1: Fluxograma do Processo de Otimização com Adaptatividade ................. 79

Figura 5.2: Coordenadas do baricentro do elemento finito Tetra4, Coutinho (2006). 86

Figura 5.3: Condição de simetria no plano xy ........................................................ 87

Figura 5.4: Condição de simetria no plano xz ........................................................ 87

Figura 5.5: Condição de simetria no plano yz ........................................................ 88

Figura 5.6: a) Elemento Tetraedro; b) Elemento Tetraedro Refinado com 8

Elementos .................................................................................................................. 94

Figura 5.7: Detalhe do Refino Elemento TETRA4 .................................................... 94

Figura 5.8: Compatibilidade das Malhas Durante o Refino ....................................... 94

Figura 5.9: Processo de suavização Laplaciano: a) Malha inicial. b) Malha após

suavização. ................................................................................................................. 95

Figura 5.10: Gradiente de Distribuição de Densidade ................................................ 98

Figura 5.11: a) Diagrama de Corpo Livre do Problema: b) ½ de Simetria da

Estrutura ................................................................................................................... 99

xiv

Figura 5.12: Resultado do Problema: a) Malha com 231 Elementos. b) Malha com

462 Elementos .......................................................................................................... 100

Figura 5.13: Resultado do Problema com Malha apresentando 1.510 elementos (1º

nível de refino) ......................................................................................................... 100


nível de refino) ......................................................................................................... 100


nível de refino), retirando os elementos com densidade inferior a 0,8. ..................... 101

Figura 5.16: Problema de otimização de uma viga bi-apoiada com carga aplicada na

parte central inferior. ............................................................................................... 102

Figura 5.17: Resultado do Problema: a) Malha com 1.878 elementos. a) Malha com

3.756 elementos. ....................................................................................................... 102


nível de refino) ......................................................................................................... 103


nível de refino), retirando os elementos com densidade inferior a 0,8. ..................... 103

Figura 5.20: Diagrama de corpo livre para viga bi-apoiada com carga aplicada na

parte central: ½ de Simetria da Estrutura ............................................................... 117

Figura 5.21: Resultado do Problema: Malha inicial contendo 1.002 elementos. ....... 118

Figura 5.22: Resultado do problema antes do processo de refino h-adaptativo: Malha

espelhada contendo 2.004 elementos. ....................................................................... 118

Figura 5.23: Gráfico de função de falha da malha espenhada contendo 2.004

elementos ................................................................................................................. 119

Figura 5.24: Resultado do Problema após o 1º nível de refino, malha contendo 2.432

elementos ................................................................................................................. 120


elementos ................................................................................................................. 121

Figura 5.26: Resultado final do problema após o 1º nível de refino, retirando os

elementos com densidade inferior a 0,8: a) Vista no plano xy. b) Vista isométrica. 121

Figura 5.27: Problema de otimização de uma viga bi-apoiada com carga aplicada na

parte central inferior. ............................................................................................... 122

Figura 5.28: Resultado do Problema: Malha contendo 1.012 elementos. .................. 122

xv


espenhada contendo 2.024 elementos. ...................................................................... 123


elementos. ................................................................................................................ 123

Figura 5.31: Resultado do problema após o 1º nível de refino h-adaptativo: Malha

espenhada contendo 11.098 elementos. .................................................................... 124

Figura 5.32: Gráfico de função de falha da malha espenhada após o 1º nível de refino

h-adaptativo: Malha espenhada contendo 23.575 elementos. ................................... 124

Figura 5.33: Resultado final do problema (1º nível de refino), retirando os elementos

com densidade inferior a 0,8: a) Vista no plano xy. b) Vista isométrica. ................. 125

Figura 6.1: Disco de Ti-CP Grau II após o Tratamento Superficial. ....................... 125

Figura 6.2: Tempo de Ensaio: 01 segundo. a) Disco de Ti sem Tratamento; b) Disco

de Ti com Tratamento............................................................................................. 126

Figura 6.3: Tempo de Ensaio: 30 segundos. a) Disco de Ti sem Tratamento; b) Disco


Figura 6.4: Tempo de Ensaio: 60 segundos. a) Disco de Ti sem Tratamento; b) Disco


Figura 6.5: Molhabilidade dos discos de Ti com e sem tratamento.......................... 127

Figura 6.6: Rugosidade superficial dos discos tratados e sem tratamento. ............... 128

Figura 6.7: Fotomicrografias em MEV da Superfície, (a) Nitretada e (b) Sem

Tratamento. ............................................................................................................. 129

Figura 6.8: Difratogramas de raios-X das amostras de Ti Puro e Ti Nitretado ....... 130

Figura 6.9: Corpos de prova nitretados a plasma .................................................... 131

Figura 6.10: Implante Dentário após o Tratamento Superficial ............................... 131

Figura 6.11: Espectro Raman no Implante Dentário após o Tratamento Superficial de

Cátodo Oco com Ciclindro ....................................................................................... 132

Figura 6.12: Curva Força versus Deslocamento da amostra 01 obtida no Ensaio

Estático. .................................................................................................................. 134

Figura 6.13: Amostra após Ensaio Estático. Modo de Falha: Deformação na Conexão

Munhão-Implante .................................................................................................... 135

Figura 6.14: Curva Obtida no Ensaio de Fadiga. Configuração Utilizada no Ensaio de

Fadiga para os Corpos de Prova. ............................................................................. 137

Figura 6.15: Amostras após o Ensaio de Fadiga. ..................................................... 138

xvi

Figura 6.16: Amostras Fraturadas durante o Ensaio de Fadiga: Amostras 02, 03, 04,

06 e 09. .................................................................................................................... 138

Figura 6.17: Amostras Fraturadas durante o Ensaio de Fadiga: Amostras 10 a 13. 138

Figura 6.18: Detalhe do Aspecto das Fraturas. ........................................................ 139

Figura 6.19: Fotomicrografias em MEV do Implante sem Tratamento (a) Vista

Frontal e (b) Detalhe com aumento de 1000x. ........................................................ 140

Figura 6.20: Fotomicrografias em MEV do Implante com Tratamento (a) Vista

Frontal e (b) Detalhe com aumento de 1000x. ........................................................ 141

Figura 6.21: Seção Transversal do Implante após Fratura Detalhando a Região de

Titânio Puro - Fratura Dúctil. ................................................................................ 142

Figura 6.22: Seção Transversal do Implante após Fratura Detalhando a Região

Externa com deposição de Nitreto de Titânio - Fratura Frágil. .............................. 143

Figura 6.23: Seção Transversal do Implante após Fratura Detalhando a Região

Interna com deposição de Nitreto de Titânio - Fratura Frágil................................. 144

Figura 6.24: Diagrama de Corpo Livre do Problema: a) Condições de contorno. b)

Caso 1. C) Caso 2. ................................................................................................... 147

Figura 6.25: Resultado do Problema com malha apresentando 3.510 elementos,

0, 80 : a) Região interna do implante dentário b) Região externa do implante

dentário. .................................................................................................................. 147



dentário. .................................................................................................................. 148


0,90 : a) Região interna do implante dentário b) Região externa do implante

dentário. .................................................................................................................. 148



dentário. .................................................................................................................. 149



dentário. .................................................................................................................. 149

xvii



dentário. .................................................................................................................. 150



dentário. .................................................................................................................. 150



dentário. .................................................................................................................. 151

Figura 6.34: Resultado do Problema com malha apresentando 3.510 elementos: a)

Região interna do implante dentário b) Região externa do implante dentário. ....... 152

Figura 6.35: Gráfico de função de falha da malha antes do processo de refino h-

adaptativo. .............................................................................................................. 152

Figura 6.36: Resultado do problema após o 1º nível de refino h-adaptativo. ........... 153

Figura 6.37: Gráfico de função de falha da malha após o processo de refino h-

adaptativo. .............................................................................................................. 153

Figura 6.38: Resultado do Problema com malha apresentando 3.510 elementos: a)

Região interna do implante dentário b) Região externa do implante dentário. ....... 154

Figura 6.39: Gráfico de função de falha da malha antes do processo de refino h-

adaptativo. .............................................................................................................. 154

Figura 6.40: Resultado do problema após o 1º nível de refino h-adaptativo. ........... 155

Figura 6.41: Gráfico de função de falha da malha após o processo de refino h-

adaptativo. .............................................................................................................. 155

xviii

Lista de Símbolos e Abreviações

Símbolo Descrição

sA área de impressão

b vetor de força de corpo

dc limites das derivadas parciais da densidade relativa

div operador divergência

d vetor direção minimizador da função no espaço de projeto

B matriz de deformação-deslocamento

HD equação constitutiva homogeneizada

oD equação constitutiva com parâmetros de elasticidade do material

completamente denso

HvolD equação constitutiva homogeneizada dos termos volumétricos

HdistD equação constitutiva homogeneizada dos termos de distorção

e número do elemento

e eletron

e energia de deformação

2

Ee norma da energia de deformação

E módulo de Young do material relativo a densidade (porosidade)

oE módulo de Young do material completamente denso

err erro

f função objetivo

F força

edg restrição de estabilidade

xix

G módulo de cisalhamento

0G molécula de gás no estado fundamental

G íon da molécula de gás no estado fundamental

h restrição de igualdade

ph profundidade de penetração

H conjunto dos deslocamentos admissíveis

oH conjunto das variações admissíveis

I distância compreendida entre o ponto de aplicação da força e o engaste

do implante no bloco de poliacetal

k número de interações

K matriz de rigidez

distK matriz de rigidez dos termos de distorção

volK matriz de rigidez dos termos volumétricos

, i j variáveis auxiliares

rJ conjunto dos elementos a serem refinados

maxeL comprimento da maior aresta do tetraedro

M momento fletor

m grau de liberdade

n número do nó do elemento

en número de elementos da malha

nn número de nós da malha

n vetor normal

P vetor carga

Pref i ponteiro de vetor que identifica os elementos que serão refinados

xx

Q e medida de qualidade do e-ésimo elemento

¡ conjunto dos números reais

inr raio da espera inscrita no tetraedro

aR rugosidade média

sccm standard cubic centimeters per minute

tol tolerância

u unidade de massa atômica

u vetor de deslocamento admissível

u vetor de deslocamento prescrito

ua unidade de absorvância

uc unidade de comprimento

ucd unidade de carga distribuída

ut unidade de tensão

v vetor de deslocamento virtual

V volume

w carga distribuída

x vetor posição

mx coordenadas do baricentro

X conjunto que define as variáveis de projeto

by dimensão do braço de alavanca

α fração de volume prescrito

β tamanho do passo

A£ função lagrangiana aumentada

η parâmetro de penalidade microestrutural

xxi

ε tensor deformação linear elástico

ξ potencial

ϕ parâmetro que define o critério de refino quanto ao erro calculado

, multiplicadores de Lagrange

e erro médio do elemento

G erro médio global

ν coeficiente de Poisson do material

eρ densidade média do elemento

ρ densidade relativa

infρ limite inferior da densidade relativa

limρ densidade limite

supρ limite superior da densidade relativa

ρ vetor de densidade relativa

u parte do contorno com deslocamento prescrito

t parte do contorno com tração prescrita

domínio do corpo

σ tensor tensão

yσ tensão de escoamento

ψ restrição de desigualdade

, ω ζ parâmetro de penalidade da função Lagrangiana

TiNδ estrutura do tipo cúbica de faces centradas

Tiα estrutura hexagonal compacta do titânio

xxii

Resumo

Nos últimos anos tem-se observado um grande crescimento em tecnologias para

modificação de superfícies de implantes que reduzam o tempo de espera da

cicatrização, assim como possibilite seu uso com sucesso em áreas de baixa densidade

óssea. Dentre as diferentes técnicas, a nitretação por plasma desponta como forte

candidata, uma vez que a mesma já está sendo empregada com excelentes resultados

no titânio e suas ligas, aplicados com maior frequência na confecção de implantes de

quadril, ombro e tornozelo. Entretanto, seu uso em implantes dentários é bastante

limitado devido às altas temperaturas do processo (entre 700 Co e 800 Co )

resultando em distorções nessas peças que possuem geometria complexa e alto grau de

precisão. O objetivo deste trabalho é avaliar a osseointegração e resistência mecânica

de amostras de titânio grau II nitretadas, através da configuração de descarga em

cátodo oco. Além disto, propor formulações para determinação da topologia ótima

estrutural do implante dentário em estudo, com o intuito de aperfeiçoar sua forma,

que seja eficiente, competitiva e com alta definição. No processo de nitretação, as

amostras foram tratadas em temperatura de o450 C e pressão de 150 Pa , durante 1

hora de tratamento. Esta condição foi escolhida por apresentar os melhores resultados

de molhabilidade em trabalhos anteriores, onde sistematizou-se diferentes condições

de pressão, temperatura e tempo. As amostras tratadas foram caracterizadas por

Difração de Raios-X, Microscopia Eletrônica de Varredura, Rugosidade, Microdureza

e Molhabilidade. Posteriormente, foram realizados ensaios biomecânicos de fadiga.

Finalizando com uma proposta de formulação através do método de otimização

topológica tridimensional, combinado a um processo de refino h-adaptativo. Os

resultados mostraram que a nitretação a plasma, utilizando a técnica de descarga em

cátodo oco, produziu mudanças na textura superficial dos corpos de prova, aumento

da rugosidade superficial, da molhabilidade e da microdureza quando comparado a

amostra sem tratamento. No ensaio biomecânico de fadiga, o implante tratado não

apresentou sinal de falha, após cinco milhões de ciclos, a uma carga máxima de fadiga

de 84, 46 N . Os resultados do processo de otimização topológica apresentaram

leiautes otimizados bem definidos do implante dentário, com uma nítida distribuição

de material e definição do contorno.

Palavras-chaves: Biomecânica. Fadiga. Implantes Dentários. Nitretação em Plasma.

Nitretação em Cátodo Oco. Otimização Topológica. Osseointegração.

xxiii

Abstract

In recent years there has been a significant growth in technologies that modify

implant surfaces, reducing healing time and allowing their successful use in areas with

low bone density. One of the most widely used techniques is plasma nitration, applied

with excellent results in titanium and its alloys, with greater frequency in the

manufacture of hip, ankle and shoulder implants. However, its use in dental implants

is very limited due to high process temperatures (between 700 Co and 800 Co ),

resulting in distortions in these geometrically complex and highly precise components.

The aim of the present study is to assess osseointegration and mechanical strength of

grade II nitrided titanium samples, through configuration of hollow cathode

discharge. Moreover, new formulations are proposed to determine the optimum

structural topology of the dental implant under study, in order to perfect its shape,

make it efficient, competitive and with high definition. In the nitriding process, the

samples were treated at a temperature of 450 Co and pressure of 150 Pa , during 1

hour of treatment. This condition was selected because it obtains the best wettability

results in previous studies, where different pressure, temperature and time conditions

were systematized. The samples were characterized by X-ray diffraction, scanning

electron microscope, roughness, microhardness and wettability. Biomechanical fatigue

tests were then conducted. Finally, a formulation using the three dimensional

structural topology optimization method was proposed, in conjunction with an h-

adaptive refinement process. The results showed that plasma nitriding, using the

hollow cathode discharge technique, caused changes in the surface texture of test

specimens, increases surface roughness, wettability and microhardness when

compared to the untreated sample. In the biomechanical fatigue test, the treated

implant showed no flaws, after five million cycles, at a maximum fatigue load of

84.46 N . The results of the topological optimization process showed well-defined

optimized layouts of the dental implant, with a clear distribution of material and a

defined edge.

Keywords: Plasma nitriding. Hollow Cathode Nitriding. Biomechanics. Fatigue.

Topological Optimization. Dental Implants. Osseointegration.

Capítulo 1

Introdução

A partir dos estudos fundamentais de Brånemark et al. (1969), Brånemark et

al. (1977), Schroeder et al. (1976) e Schroeder et al. (1978), os implantes

osseointegrados transformaram-se em uma ferramenta possível e confiável na

reposição dental. Os implantes foram desenvolvidos para seguir um rígido protocolo

cirúrgico permitindo o tratamento de desdentados parciais ou totais, e são aceitos

universalmente até os dias de hoje.

Ainda que o método de implantes já tenha se consagrado como uma possível

possibilidade para a restauração das perdas dentais, Wennerberg e Albrektsson

(2011), a eventual confirmação de que determinadas superfícies possibilitam o maior e

o mais rápido contato ósseo, na fase de cicatrização, e durabilidade, quanto em sua

funcionalidade, poderá certamente contribuir para aperfeiçoar o procedimento, ver

Olivares-Navarrete et al. (2012).

A necessidade de se definir uma superfície em implantes metálicos compatíveis

com uma boa resposta óssea é imperativa na pesquisa básica de implantes,

especialmente na busca de soluções para área de baixa densidade óssea, Klein et al.

(2011).

O implante, uma vez em contato com o meio biológico, é caracterizado por

mudanças dinâmicas em suas propriedades superficiais, envolvendo uma cascata de

reações que ocorre entre o meio biológico e o biomaterial, formando asism um “filme

Capítulo 1 – Introdução 2

de condicionamento” que modula as respostas celulares do hospedeiro, Stadlinger et

al. (2009).

Segundo Rupp et al. (2004), a molhabilidade e a energia superficial exercem

um importante papel na adsorção de proteínas, aumentando a formação de adesões

focais por osteoblastos na superfície do implante, Lai et al. (2009) e Zhao et al.

(2011). Uma topografia de superfície hierárquica foi descrita por Rupp (2004), onde

parâmetros espaciais e híbridos de rugosidade aumentaram a molhabilidade dinâmica

da superfície. Considerando que a rugosidade e a molhabilidade, interferem com os

processos de adsorção de proteínas, é possível que células sejam fortemente

influenciadas por ambas, se chegarem à superfície do implante, Rupp (2004).

Estudos apontam que uma osseointegração mais rápida pode ser alcançada

pela texturização da superfície do implante, ver Le Guehennec et al. (2008),

Wennerberg e Albrektsson (2009), Lai et al. (2009) e Zhao et al. (2011). A explicação

para essa constatação pode estar no mecanismo da osseointegração comprovado por

Kasemo (2002).

A molhabilidade de uma superfície é um fenômeno que influencia a

osseointegração. No processo de osseointegração, as moléculas de água são as

primeiras chegarem à superfície do implante, comparada as proteínas, as células e as

outras moléculas existentes no sangue, ver Lai et al. (2009).

Na busca por superfícies que supram a necessidade de se obter uma rápida

osseointegração, diversas pesquisas são desenvolvidas, com o objetivo de modificar

tais superfícies, por meio de métodos mecânicos, químicos e físicos de tratamento de

superfície, obtendo-se assim, diversos níveis de texturas, ver Xuanyong (2004), Silva


(2006) e Silva et al. (2013). Nesse sentido, busca-se nesta pesquisa uma superfície que

atenda a essa necessidade. Selecinou-se, desta forma, o processo de nitretação em

plasma pelas excelentes propriedades mecânicas, estabilidade química e

biocompatibilidade, Cho e Park (2003), quando aplicada ao titânio. Seu uso para

implantes de quadril, joelho, ombro e tornozelo tem levado a uma crescente

resistência à abrasão e colonização bacteriana reduzida, comparada a outras

superfícies de implantes clinicamente utilizadas, Alves Jr. et al. (2005), Sá et al

(2009) e Coelho et al. (2012). Entretanto, uma limitação do uso da nitretação em

implantes dentais está na alta temperatura do processo, entre 700 e 800 Co ,

podendo causar distorções no implante devido a sua geometria e precisão dimensional,

Mishra (2003).

Uma alternativa para solucionar esse problema é o tratamento na configuração

de Cátodo Oco. Este método consiste em nitretar a peça numa atmosfera altamente

ionizada. Uma alta densidade de íons significará maior bombardeamento na

superfície, ocasionando uma alta incidência energética. Esta configuração de eletrodos

é utilizada quando deseja-se aumentar o dano superficial e ter um gradiente térmico

produzido pelo aumento da taxa de colisão e de ionização. Uma das vantagens da

utilização deste tratamento superficial é que o mesmo não fere a biocompatibilidade

do titânio. O processo também contribui para uma boa adesão, proliferação celular e

boa ancoragem óssea, Guerra Neto (2009).

Além da textura superficial, a engenharia odontológica vem mostrando

resultados de novas técnicas e novos materiais para desenvolvimento de implantes


cada vez mais semelhantes à dentição natural, tanto estética quanto

biomecanicamente, proporcionando conforto e equilíbrio aos pacientes desdentados.

A biomecânica relacionada à otimização desses implantes e componentes

protéticos pode ter um papel decisivo para o sucesso, podendo estes ter a capacidade

de melhor distribuição de forças, diminuindo então, a carga sobre o osso

circunjacente. Juntamente com esses fatores, uma oclusão equilibrada é foco dos

profissionais da área, pois, uma força oclusal excessiva, principalmente durante a

mastigação, pode levar a altos níveis de tensão ao osso e ao implante, trazendo

possíveis complicações ao sistema prótese/implante/periimplante como: reabsorções

ósseas, desaparafusamentos, deformidades e/ou fraturas de tais componentes e

implantes, Silva et al. (2007).

Nesse trabalho, superfícies de titânio foram nitretadas por plasma usando a

técnica de descarga por cátodo oco, visando seu uso em implantes dentais.

Caracterizações importantes como molhabilidade, rugosidade, microdureza,

microscopia eletrônica de varredura e fases superficiais foram analisadas. Em uma

segunda etapa, ensaios biomecânicos de fadiga foram realizados com os implantes

(corpos de prova) de acordo com o especificado na norma técnica ABNT ISO

14801:20071. Testes estáticos e dinâmicos foram realizados com o objetivo de observar

o comportamento biomecânico dos implantes tratados a plasma determinando-se a

carga máxima de resistência e escoamento do sistema.

1 O laboratório responsável pela execução do teste de fadiga disponibiliza para a realização do ensaio a

versão do ano de 2007 da norma. Porém, é importante ressaltar que no mercado já existe uma versão

atualizada, ABNT NBR ISO 14801:2012, a revisão da norma, no que diz respeito ao ensaio, não

apresenta modificações significativas.


Além da etapa de ensaios, foi proposta uma formulação, utilizando o método

de elementos finitos e otimização topológica tridimensional combinando um processo

de refino h-adaptativo.

Nesse sentido, enquanto o material utilizado para a confecção do implante

tiver o módulo de elasticidade muito maior que o do osso circunjacente a raiz do

dente, devido ao implante estar situado numa posição intermediária entre a carga e o

osso, sempre a rigidez predominante do sistema em análise, considerado-a em série,

será predominada pela rigidez do material mais flexível. No caso em questão, o

material do implante é o Ti-CP grau II que possui um módulo de elasticidade muito

superior ao do osso, desse modo, o procedimento de otimização da servirá para

confeccionar novas propostas de geometria.

1.1 Contribuição Científica

A pesquisa tem como contribuição científica a caracterização e a análise do

comportamento biomecânico de fadiga em implantes dentários tratados

superficialmente por meio da técnica de nitretação a plasma em cátodo oco.

Ademais, na área de otimização topológica, a contribuição está relacionada a

propor formulações tridimensionais utilizando um esquema de refino h-adatpativo

para concepção de estruturas otimizadas do implante dentário em estudo.


1.2 Objetivos

A pesquisa tem como objetivo caracterizar e estudar o comportamento

biomecânico de implantes nitretados a plasma em cátodo oco e adicionalmente,

propor formulações, através do método de otimização topológica para estruturas 3D,

que sejam eficientes, competitivas e capaz de proporcionar leiautes2 de alta definição.

Como objetivos específicos, tem-se:

1. Tratar e caracterizar superfícies das amostras nitretadas por plasma em

cátodo oco;

2. Analisar o comportamento biomecânico de implantes tratados por plasma

em cátodo oco através de ensaios biomecânicos de fadiga e pelo método de elementos

finitos;

3. Conceber estruturas otimizadas para o sistema de implante estudado, com

formulação sob critério de minimização de flexibilidade3 e sujeito a restrição de

volume de material.

4. Conceber estruturas otimizadas para o sistema de implante estudado, sob

minimização de massa e atendendo a um critério integral de tensão.

2 Apesar de pouco utilizado na literatura, o termo leiaute é mais adequado para definir a disposição

dos membros estruturais, do que o termo topologia. No contexto, utilizam-se os dois termos como

sinônimos. 3 O termo flexibilidade, utilizado no texto, refere-se ao trabalho de deformação elástica do corpo

quando submetido aos esforços externos.

Capítulo 2

Revisão Bibliográfica

2.1 Aspectos Biológicos

2.1.1 Osseointegracão

A Bioengenharia tem avançado no sentido de proporcionar ao homem uma

melhor qualidade de vida e longevidade. A ciência busca recuperar órgãos devolvendo

a função perdida em consequência do avanço da idade, doenças ou traumas com

perdas precoces. A Engenharia e a Odontologia passa então a interagir com outros

ramos, percebendo que interdisciplinaridade é exigência necessária para evolução na

área de biomateriais, Kasemo (2002).

A aplicação dos biomateriais, para confecção de próteses, reporta épocas

remotas. Descobertas antropológicas na Europa e na América Central indicam que o

homem tentou, desde muito, repor partes do corpo perdidas (dentes), usando

materiais homólogos (dentes humanos e de animais), com propósito aparentemente

estético, Ceschin (1984).

A primeira tentativa de realizar-se um implante endósseo foi relatada em 1919,

por Greenfield, utilizando um implante de iridioplatina. Diversas outras tentativas de

implantar materiais para substituição de dentes ausentes foram relatadas ao longo da

história. Em 1939, Strock descreveu um parafuso de cromo-cobalto-molibidênio

(Vitallium). No século passado, década de quarenta, surgiram vários tipos de

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 8

implantes no mercado, por exemplo, os implantes subperiostais apresentado à

comunidade científica na época, eram colocados sobre o tecido ósseo e sob o periósteo.

A prótese era conectada imediatamente após a inserção do implante. Problemas

periodontais severos retirou a técnica do mercado. Em 1962, Scialom propôs os

implantes agulhados de tântalo, Scialom (1962).

Anos mais tarde, surgiram os implantes laminados, sendo originalmente usados

na sua fabricação ligas de cromo, níquel e vanádio e mais recentemente, óxido de

alumínio e ligas de titânio. Estes implantes estão associados a complicações no tecido

mole e perda óssea acelerada, além do que, são de difícil remoção provocando danos

significantes ao tecido ósseo adjacente, Eriksson (1983).

Paralelamente a isto, pesquisadores na Suécia iniciaram, em 1952, um novo

conceito de implantes dentais osseointegrados, com eficácia clínica comprovada por

meio de inúmeros casos suportando próteses em plena função por longos períodos. O

mesmo autor, em estudos experimentais com implantes dentais em forma de parafuso,

foi o primeiro a relatar uma interface de contato direto osso-titânio, sem interposição

de tecido mole, Brånemark (1969).

O termo osseointegração foi usado pela primeira vez por Brånemark (1977). No

decorrer dos anos setenta, este fenômeno chamado de osseointegração foi chamado de

anquilose funcional, Schroeder (1976). Todavia, o conceito de um contato direto entre

o osso e os implantes metálicos, sem nenhum tecido mole interposto, descrito 1969

por Brånemark era de alta controvérsia, nesta época e até o começo dos anos 80, não

se sabia se o contato direto entre osso e implante era passível de ser alcançado.

Contudo, os resultados clínicos positivos com os implantes ósseo-integrados, levaram


os pesquisadores a acreditarem em uma ancoragem óssea direta e através de

observações clínicas. Tornou-se evidente que os assim chamados implantes ósseo-

integrados não são perdidos com o tempo, mas o contrário é o que parece ocorrer,

Albrektsson et al. (1990). Outros estudos conduzidos paralelamente, estudos

similares, abriram novos horizontes na implantodontia, Schulte (1980).

Foi sugerida por autores uma nova definição, onde osseointegração é a conexão

estrutural e funcional entre o tecido ósseo (ativo e organizado) e a superfície de um

implante em função, Brånemark (1985). Esta definição foi criticada porque não define

o nível de resolução, não inclui a quantidade mínima necessária de contato

osso/implante para justificar a osseointegração, Albrektsson et al. (1981). Uma

recente definição de osseointegração não tem melhorado os conceitos anteriores, mas

tem usado muitas palavras necessárias para a definição: osseointegração é uma

coexistência estrutural e funcional, possivelmente de forma simbiótica, entre tecido

biológico diferenciado e adequadamente remodelado com componentes sintéticos

duráveis, definido e controlados, com função clínica específica e sem rejeição

mecânica, Albrektsson et al. (1990). Contudo, a osseointegração não deve ser

considerada um critério único para avaliação do sucesso de implantes. Este resultado

depende, de forma segura, da interrelação entre vários componentes como uma

técnica controlada, uso de brocas novas, perfuração sequencial, uso de baixa rotação e

irrigação constante, Albrektsson et al. (1987). Além deste, tem-se a

biocompatibilidade do material, geometria do implante e manipulação durante a

usinagem, Henry (1987) e Johansson e Albrektsson (1987).


Na microscopia óptica é possível demonstrar que implantes de titânio

comercialmente puro (Ti-CP) apresentam uma média de 90% ou mais de contato

direto entre o osso cortical e o implante, com pelo menos um ano de instalação. Em

algumas áreas é observada uma linha branca entre o osso e o metal. Geralmente esta

linha não apresenta tecido vivo, nem coloração e tem entre 1 e 10 m de espessura

sendo indicativo de ancoragem óssea, Albrektsson et al. (1981). Avaliando 2.768

implantes instalados seguindo um rígido protocolo cirúrgico, pesquisadores relataram

índices de sucesso de 81% na maxila e 91% na mandíbula além do impacto positivo

na situação psicológica e social dos pacientes, Adell et al. (1991).

O desenvolvimento na área de implantes odontológicos deu origem a uma

variedade de sistemas com diferentes geometrias, materiais e texturas. A

caracterização dos biomateriais baseia-se fundamentalmente na avaliação de

propriedades físicas e químicas, como a composição do material, sua resistência à

corrosão e suas propriedades mecânicas, Meffert, Langer e Fritz (1992) e Oleinick

(1993). Há, contudo um aspecto importante que deve ser analisado e que diz respeito

a sua biocompatibilidade, isto é, como o meio biológico responde aos estímulos

induzidos pelo material estranho, e ao mesmo tempo, como esse material implantado

responde química e fisicamente ao ambiente biológico, Gross (1988).

Para determinar a biocompatibilidade de um biomaterial é importante

entender o fenômeno na interface entre o material e o sistema biológico onde este

material está sendo implantado, como os constituintes moleculares do sistema

biológico entram em contato e interagem com os constituintes moleculares da

superfície do biomaterial, Ratner, Johnston e Lenk (1987). A biocompatibilidade


como sendo a capacidade de um determinado material para desenvolver uma resposta

apropriada do hospedeiro quando utilizado em uma aplicação específica, Kasemo

(2002). Em 1993, pesquisadores definiram biocompatibilidade como sendo o

aproveitamento que o material faz das proteínas e células do meio biológico. Neste

caso, as proteínas na interface e o processo de reconhecimento celular são

fundamentais. Para isto, é necessário que as propriedades intrínsecas da superfície do

biomaterial sejam biologicamente adequadas, Ratner (1993). Assim é de fundamental

importância compreender que a superfície do material é a chave da

biocompatibilidade em um sistema de implantes, Ratner, Johnston e Lenk (1987).

A natureza da superfície pode ser descrita em termos de composição química,

morfologia e energia superficial. Sabe-se que essas propriedades, em geral, governam a

resposta biológica a um material implantado que, por sua vez, pode envolver também

fatores físicos como forma, textura da superfície e movimentos interfaciais relativos,

também como fatores químicos associados com a composição e estrutura da superfície,

Baier e Meyer (1988). Contudo, os detalhes dessas interações não estão totalmente

compreendidos, Kasemo (2002). Um estudo sobre adesão celular à superfície de

biomateriais relatou que sua topografia e energia de superfície desempenham um

papel essencial na adesão osteoblástica, Anselme (2000).

Pesquisadores estudaram carregamento mecânico variado em implantes dentais

através de próteses com observação do impacto dessas forças na osseointegração. As

forças transmitidas influenciam os tecidos periimplantares. Excessivas forças

mecânicas afetam a diferenciação do tecido ósseo. Os autores concluíram que é


essencial controlar as forças para promover melhor a osseointegração, Murat, Saime e

Kyvonc (2004).

Estudos realizados em 2004 utilizaram implantes metálicos cobertos com

plasma de hidroxilapatita em tíbias de coelhos e observados oito semanas depois da

colocação dos implantes a osseointegração. Foram administrados vários marcadores

ósseos para que, através das diferentes cores, pudesse identificar a remodelação óssea.

Segundo os autores, a presença dos implantes revestidos com hidroxilapatita

estimulou o crescimento ósseo na região medular, nenhum coelho mostrou qualquer

evidência de inflamação na região implantada. O implante estava cercado de muito

osso e pouco tecido fibroso, Rigoa (2004).

Ainda em 2004, pesquisadores estudaram a interface osso/implante em cadáver

para força de ancoragem em ortodontia. Os autores concluíram que na interface havia

remodelamento ósseo a 1mm da superfície que suportou o implante servindo de

ancora para movimentações ortodônticas, Sarandeep e Roberts (2004).

2.1.2 Titânio como Biomaterial

As grandes reservas de Titânio encontram-se no Canadá, Austrália e Estados

Unidos. Do total de titânio extraído, a maior parte é transformada em pigmentos de

dióxido de titânio para uso em tintas. Apenas de 5% a 10% são utilizados na sua

forma metálica, Fraker (1987) e Parr et al. (1985). O titânio é um material reativo e

existe usualmente, na natureza, em forma de um composto químico. Uma

consequência importante dessa reatividade é que o titânio está coberto de uma

camada de óxido, Kasemo e Lausma (1987). O titânio existe como um elemento puro,


registrado na tabela periódica com o número atômico 22 e um peso atômico de

47,9u representando o nono elemento mais abundante na natureza e o quarto

elemento metálico estrutural mais abundante na camada externa da terra.

O titânio puro é um material dúctil e não-magnético, o mesmo é produzido em

quantidade comerciais por aquecimento do minério rutilo 2TiO e ilmenita

2FeO TiO , na presença de carbono e cloro, produzindo, dessa forma, o

tetracloreto de titânio. A redução do tetracloreto de titânio com o metal magnésio em

atmosferas de argônio, resulta em uma esponja de titânio, conforme mostrado nas

Equações (2.1) e (2.2), ver Fraker (1987).

2 2 4 2

2TiO Cl C TiCl CO (2.1)

4 22 4 2 4TiCl Mg Na Ti MgCl NaCl (2.2)

O titânio é um metal resistente e aproximadamente 50% mais leve que o aço.

O titânio puro sofre uma mudança cristalográfica quando aquecido em torno de

822 Co . Esse tipo de transformação ocorre em muitos materiais e produz propriedades

significativamente diferentes das de seu estado original. O elemento titânio dissolve

alguns outros materiais para formar ligas de titânio, entre os quais estão: a prata, o

alumínio, o arsênico, o cobre, o ferro, o gálio, o urânio, o vanádio e o zinco. A adição

de quantidades em traços de elementos como carbono, oxigênio, nitrogênio e ferro

podem melhorar significativamente as propriedades mecânicas do titânio puro. A

maioria dos produtos de titânio comercialmente puro contém traços de alguns destes

elementos, Albrektsson et al. (1983) e Fraker (1987).


Para que se alcance um sucesso em longo prazo dos implantes é necessário que

o material possua características fundamentais como: biocompatibilidade, resistência

ao desgaste, resistência à corrosão e resistência à fratura, Parr (1985).

A Tabela 2.1 mostra as concentrações máximas de impureza permitidas no Ti-

CP e suas ligas.

Tabela 2.1: Concentrações máximas permitidas para as impurezas em Ti-CP e ligas (% em

peso).

Liga Elemento (% de Impureza)

N C H Fe O Al V Ti

grau ITi 0,03 0,10 0,015 0,02 0,18 – – Balanço

grau IITi 0,03 0,10 0,015 0,03 0,25 – – Balanço

grau IIITi 0,05 0,10 0,015 0,03 0,35 – – Balanço

grau IVTi 0,05 0,10 0,015 0,05 0,40 – – Balanço

grau VTi 0,05 0,08 0,012 0,25 0,13 5,5–6,5 3,5–4,5 Balanço

O conhecimento das propriedades físicas e químicas da superfície é de

fundamental importância para se poder discutir a biocompatibilidade. A importância

se deve a vários tipos de interações como forças de Van-der Walls, fortes uniões

químicas e outras que estão na dependência da microestrutura de superfície em escala

atômica, Kasemo e Lausma (1988).

As propriedades de uma superfície são de fundamental relevância para a

tendência da mesma adsorver átomos ou moléculas estranhas. Diferentes superfícies

apresentam diferentes propriedades de adsorção, e estas diferenças estão intimamente


relacionadas com aspectos químicos de biocompatibilidade, Meachim e Williams

(1993).

Quando usinado, o Ti-CP está sendo exposto de forma repentina, a uma

atmosfera constituída de ar, substâncias lubrificantes e resfriadoras, ficando o mesmo

susceptível à dissociação das moléculas de oxigênio no ar, resultando em uma

formação, extremamente rápida, de óxido na superfície, ver Kasemo e Lausma (1987).

A Figura 2.1 mostra com detalhe o processo de oxidação de um implante

dentário. No primeiro momento, ocorre uma adsorção de moléculas de oxigênio que se

dissociam imediatamente para átomos. Após 10 nanossegundos, forma-se a primeira

camada monoatômica de oxigênio e aproximadamente dentro de um milisegundo,

uma outra camada de óxido se forma, com aproximadamente 1 nm 10 Å . O

crescimento de óxido aumenta em poucos nanômetros na espessura do implante. E

dentro de 1 minuto, a espessura de óxido aumentará na ordem de 50 Å a 100 Å. A

espessura, composição química e microestrutura do óxido nesta fase, dependerão de

alguns fatores tais como: pressão e velocidade de usinagem, que determina a

temperatura da superfície, desta forma, pode-se esperar variações consideráveis da

superfície de óxido com diferentes condições de usinagem, Kasemo (2002).

Figura 2.1: Oxidação do Implante, Adaptação de Kasemo (2002).


No Ti-CP existem vários óxidos, sendo que mais próximo do metal, há uma

predominância de TiO e adjacente ao tecido encontramos o 2

TiO , Albrektsson et al.

(1983). A camada de 2

TiO é impermeável ao oxigênio e previne a troca de elétrons e

qualquer reação de oxirredução na superfície. Desta forma, os produtos de corrosão

nos tecidos não estão em forma de íon e sim como óxidos estáveis, Zitter e Plenk

(1987). Em meios fisiológicos a camada de óxido é altamente protetora prevenindo o

contato entre o meio e o metal base. Isso significa que possivelmente não existe o

contato direto entre o metal e seus tecidos hospedeiros, mas certamente, entre o

tecido e a superfície do óxido formado, Kasemo (1983).

2.2 Aspectos Tecnológicos da Nitretação por Plasma

2.2.1 Plasma

O termo plasma aplica-se a um gás contendo espécies neutras e eletricamente

carregadas como elétrons, íons positivos, íons negativos, átomos e moléculas,

Rossnagel, Cuono e Westwood (1989). Na média, um plasma é eletricamente neutro

porque qualquer desbalanceamento de carga resultará em campos elétricos que

tendem a mover as cargas de modo a restabelecer o equilíbrio. Como resultado disso,

a densidade de elétrons mais a densidade de íons negativos, deve ser igual à

densidade de íons positivos. As cargas livres no plasma podem mover-se em resposta

a qualquer campo elétrico e neutraliza-lo. Se uma carga qualquer é inserida num

plasma ou um campo é imposto, produzindo um potencial, as cargas livres, compostas

de elétrons, na grande maioria, se moverão formando uma blindagem elétrica,

denominada blindagem de Debye, Alves Jr (1985).


Em laboratório, o plasma pode ser produzido através da aplicação de uma

diferença de potencial entre dois eletrodos. Quando uma diferença de potencial é

aplicada entre dois eletrodos (contidos num sistema hermeticamente fechado e a uma

pressão suficientemente baixa), elétrons e íons são acelerados pelo campo elétrico,

colidindo com outras partículas e produzindo assim mais íons e elétrons através da

combinação descrita na Equação (2.3), Howatson (1965):

0 2e G G e (2.3)

Onde 0G é o átomo ou molécula do gás no estado fundamental, G representa

um íon deste gás e e são os elétrons.

Devido a esta produção de cargas, uma corrente elétrica é gerada variando com

a diferença de potencial entre eletrodos. O cátodo é a região mais importante no

estudo da nitretação iônica porque é nele onde se desenvolve a maioria dos eventos

responsáveis pelas características da camada nitretada. Dentre estes eventos, destaca-

se o Sputtering da superfície, isto é, a dissipação de calor pelo bombardeio das

partículas, criação de defeitos na rede cristalina do cátodo (peça), deposição de

nitretos, adsorção e a difusão de nitrogênio, Chapman (1980), Edenhofer (1974).

Quando um íon energético colide com a superfície do cátodo, ele produzirá Sputtering

dos átomos contaminantes ou da superfície do cátodo. Ele pode também ser refletido

pela superfície como íon de alta energia (colisão elástica) ou como uma partícula

neutra.


2.2.2 Nitretação Iônica

Nos últimos anos tem-se observado um grande crescimento de técnicas de

tratamento de superfícies que são ambientalmente limpas. Dentre elas está a

nitretação iônica, que consiste na nitretação de superfícies metálicas quando inseridas

em plasma de nitrogênio. Além dos fatores ambientais, várias são as vantagens desta

técnica sobre as convencionais. As mais importantes são: baixa temperatura de

tratamento, melhor controle da espessura da camada, tempo de tratamento inferior,

uniformidade na espessura da camada, nitretação de partes da peça, maior economia

de energia no processo de tratamento superficial, Alves Jr (1985).

O processo conhecido como nitretação iônica (ion-nitriding), nitretação em

descarga luminosa (glow discharge nitring) ou Nitretação por Plasma (Plasma

Nitring), foi patenteado em 1931 por J. J. Egan nos Estados Unidos e em 1932 por

Berghaus na Alemanha. Apenas em 1960 teve início o seu uso comercial, Santos

(1987).

O equipamento típico de nitretação iônica é constituído basicamente de um

sistema de vácuo, uma fonte de potência e um reator, conforme ilustrado na Figura

2.2. O esquema de vácuo deve ser capaz de atingir em torno de 210 Torr de pressão e

possuir válvulas para controlar a vazão dos gases introduzidos para o tratamento. A

fonte de potência possui uma saída de corrente contínua, com voltagem máxima de

aproximadamente 1500V , e uma corrente capaz de fornecer energia à peça para que

ela seja aquecida a uma temperatura entre 300 Co e 700 Co , Alves Jr (1995). No

reator estão dois eletrodos onde o cátodo é também o porta amostra. Ainda no reator


deverá existir saídas para medida da pressão, temperatura e outras variáveis

desejadas para o melhor controle do processo. O processo deverá ainda conter

entradas para a atmosfera nitretante, bomba de vácuo e outros acessórios que sejam

necessários para a nitretação da amostra.

Figura 2.2: Processo de nitretação iônica.

O processo consiste em expor superfícies metálicas a um plasma nitretante, o

qual é gerado devido a uma diferença de potencial entre dois eletrodos. Estes

eletrodos estão contidos em um reator hermeticamente fechado, onde é introduzido a

atmosfera nitretante (tipicamente uma mistura de 2 2 20%N H ) a uma pressão

entre 1 a 10 mbar . Os íons criados devido a essa diferença de potencial, em torno de

600V , bombardeiam a superfície da peça presa ao cátodo, aquecendo-a até a

temperatura de trabalho.


Para pressões baixas, a descarga possui um brilho de cor de rosa de pequena

intensidade que é característico do material do cátodo (geralmente aço) e do gás. A

medida que se aumenta a pressão, este brilho vai ficando mais intenso e mais

localizado em torno do cátodo, até que se atinge uma condição de descarga propícia

para a nitretação.

Nestas condições, o plasma já está revestindo completamente o cátodo e a peça

a ser nitretada. Os íons deste plasma estão sendo acelerados para a superfície do

cátodo onde diversos efeitos ocorrem, dentre eles o aquecimento da peça devido ao

bombardeamento pelos íons, Edenhofer (1974). A partir daí, é contado o tempo de

duração do processo. Após este tempo, a fonte é desligada e a peça é deixada resfriar

naturalmente.

2.2.3 Nitretação em Cátodo Oco

Uma extensão do processo de nitretação iônica é a nitretação em cátodo oco,

do inglês, Hollow Cathode Discharge (HCD). Este método consiste em nitretar a peça

em uma atmosfera altamente ionizada. A alta ionização é obtida porque os elétrons

no plasma são obrigados a refletirem sucessivamente entre duas superfícies catódicas,

Alves (2005). A Figura 2.3 ilustra esta situação. Elétrons são repelidos pelo cátodo

central, que pode ser a peça que se deseja nitretar, em direção aos cátodos externos.

Ao se aproximarem destes, são também repelidos realizando, assim, um movimento

de zigue-zague que aumentará a taxa de ionização da região em questão.

Uma alta densidade de íons significará maior bombardeamento na superfície,

ocasionando uma alta incidência energética. Esta configuração de eletrodos é utilizada


quando se deseja aumentar o dano superficial, ou seja, para uma mesma temperatura

de processo, produze-se mais defeitos na superfície que na nitretação iônica

convencional.

Figura 2.3: Configuração esquemática de uma amostra na nitretação em Cátodo Oco.

2.2.4 Nitretação do Titânio

Os nitretos de titânio caracterizam-se pela combinação de algumas

propriedades das cerâmicas: alto ponto de fusão 3160 3250 C o , alta dureza

2500 3000HV , estabilidade térmica e química, resistência ao desgaste e à

corrosão, com algumas propriedades metálicas tais como: baixo coeficiente de atrito e

alta condutividade térmica e elétrica, Fouilland (1998) e Mezger (1992). Há vários

tipos de nitretos de titânio. A literatura refere-se com mais frequência ao TiN e ao

2Ti N .

As propriedades dos Nitretos de Titânio são exploradas na produção de

componentes mecânicos, no aumento da vida útil de ferramentas de corte e na

tecnologia da microeletrônica. Sua semelhança em cor com o ouro (amarelo) é

considerada uma qualidade importante já explorada em relojoaria e tendo seu uso

sugerido no recobrimento de superfícies metálicas de próteses odontológicas. O


interesse das comunidades científica e acadêmica são crescente em relação a estes

compostos.

Nos últimos 10 anos, a odontologia, ortopedia e cardiologia têm investigado

suas propriedades de resistência superficial e biocompatibilidade. A nitretação em

plasma não é a única maneira de obtenção de nitretos de titânio. Revestimentos de

nitreto de titânio, em especial TiN , podem ser introduzidos sobre superfície do

titânio ou aço inox, com outros métodos como o de Deposição Química de Vapor ou

Chemical Vapor Deposition (CVD) e Deposição Física de Vapor, ou Physical Vapor

Deposition (PVD).

Pesquisas sobre técnicas relatam que a nitretação e a carbonitretação são as

técnicas de difusão com plasma mais usadas nas indústrias para o tratamento

superficial de peças mecânicas. O conceito básico no uso da implantação iônica para

melhorar as propriedades superficiais de uma liga de titânio é fundamentado na

possibilidade de formar nitretos ou carbetos abaixo da superfície da liga. Os nitretos e

carbetos de titânio são materiais duros que melhoram as propriedades tribológicas da

superfície, ou seja: aumentam a resistência ao desgaste e a dureza superficial, Yilbas

(1996).

O interesse pela aplicação de técnicas de modificação de superfície,

especialmente a superfície do Ti-CP e da liga 6 4Ti Al V pela medicina remonta à

década de 1980. A liga 6 4Ti Al V é extensamente utilizada em prótese de joelho e

fêmur desde a década de 1970. Ao longo dos anos de 1980 houve a constatação da

falha em condições assépticas, de próteses de joelho e fêmur após longo período de

uso. A inspeção dos tecidos que circundavam estas próteses que falharam mostrou-os


com uma coloração enegrecida. Este fenômeno foi creditado ao desgaste superficial do

titânio e do polietileno que compõem a prótese. O atrito entre os componentes devido

ao uso desgastou a superfície dos mesmos e danificaram a camada protetora

superficial de óxidos do titânio, fazendo com que partículas dos três componentes da

liga e do polietileno se dispersassem nos tecidos. Embora não tenha sido ligado

nenhum efeito tóxico sistêmico frente à presença destes elementos enegrecidos, sua

presença levou à mobilização de células inflamatórias especialmente macrófagos que

geraram a osteólise e perda asséptica dos implantes. Houve um consenso no sentido

da necessidade de um tratamento superficial que reduzisse a baixa resistência ao

atrito desta liga, preservando suas qualidades, Johansson et al. (1993), Wang e

Fenton (1996) e Sovak, Weiss e Gotman (2000).

Vários métodos capazes de gerar nitretos de titânio na superfície do mesmo e

de suas ligas foram então investigados. Observou-se na literatura disponível que o

modelo de pesquisa predominante compara as propriedades tribológicas do Ti-CP e a

liga 6 4Ti Al V com e sem tratamento superficial. Vários métodos sofisticados de

análises são amiúde encontrados nestes estudos, como a difratometria de Raios-X ou

X-Ray Difratometry (XRD) e Análise por Reações Nucleares, do inglês Nuclear

Reaction Analysis) (NRA).

Rie et al, em 1995, nitretaram amostras de 6 4Ti Al V e 5 2,5Ti Al Fe

com o objetivo de incrementar as características de resistência à abrasão e dureza

superficial destas ligas. Os parâmetros operacionais foram: tempo de nitretação (14

horas), temperatura ( o700 C, o800 C e o900 C), voltagem (550V, 350V e 650V ) e

pressão (6000Pa, 100Pa e 350Pa ). Com o objetivo de aumentar a camada externa


de TiN , às amostras foram recobertas com TiN por meio de PVD após a nitretação.

As camadas obtidas foram caracterizadas em termos de microestrutura, composição e

dureza. No estudo, a espessura das camadas de 2

e TiN Ti N aumentaram com

temperatura, voltagem e a pressão do gás. O uso de PVD após a nitretação

incrementou esta camada superficial em 2,1micrometros. A resistência à corrosão das

amostras tratadas foi similar as amostras não tratadas. Os autores referenciaram que

a alta resistência à corrosão das ligas de titânio é creditada a camada de óxido que se

forma espontaneamente na presença de oxigênio. No entanto, esta camada pode ser

destruída pela corrosão devido aos micro movimentos entre o implante e os tecidos,

levando à formação de tecidos de granulação.

Estudos referente ao processo de CDV para a obtenção industrial de

coberturas de TiN é usado há mais de 20 anos, porém a alta temperatura exigida no

processo 1000 Co não é adequada às ligas odontológicas. Já a obtenção de TiN

através de PVD exige o aquecimento do substrato a temperaturas que variam entre

200 e 500 Co , tornando possível seu uso em Odontologia. A coloração da cobertura é

dependente da quantidade de nitrogênio presente durante o processo, Mezger e

Creugers (1992).

Em 1991, Steele et al. testaram a nitretação em plasma na superfície de

espátulas de inserção de resinas, tentando solucionar o problema de aderência do

material restaurador à mesma quando está sendo inserido na cavidade. O resultado

do trabalho mostrou o aumento da resistência superficial das espátulas, mas não

impediu a aderência de resina.


2.3 Biocompatibilidade do Nitreto de Titânio

Keller, Grotendodorst e Dougherty, em 1988, demonstraram que os fatores que

afetam a resposta celular e tecidual frente aos biomateriais utilizados em implantes

dentais são classificados como fatores temporais e espaciais. Os primeiros referem-se à

sequência de acontecimentos após a colocação de um implante que envolve a adesão,

migração e diferenciação celular. Em termos espaciais, um implante deve propiciar a

formação de uma interface entre o tecido ósseo e os tecidos moles que permitam o

desenvolvimento e manutenção da estabilidade biomecânica e um selamento que

impeça a infecção microbiana que pode levar a periimplantite. Eles relataram que a

superfície do material a ser implantado é tão importante para a biocompatibilidade

que está levando ao surgimento de uma nova engenharia denominada “de tecidos”,

especialidade dedicada à pesquisa de formas de tratamentos superficiais que

aperfeiçoem as respostas celulares e teciduais frente ao contato com um dado

material, Keller, Grotendodorst e Dougherty (1988).

Em 1981, foram discutidas as mudanças que ocorrem em termos da definição

de biocompatibilidade e exigências a um material biocompatível. Em um passado

recente, era fundamental que o material, a ser implantado, fosse quimicamente puro,

“inerte” e tivesse boas características físico-mecânicas. O termo biocompatível era

aplicado a um material que preenchesse principalmente essas características.

Atualmente, é importante considerar que há papéis de extremo dinamismo a serem

cumpridos pelos novos materiais de alta tecnologia. Há necessidade de uma

controlada reatividade com o meio biológico e a superfície. Segundo Williams (1981),

a biocompatibilidade é bem definida como “uma coleção de fenômenos associados às


interações entre os biomateriais e o ambiente fisiológico que permita a coexistência de

ambos”.

O Ti-CP tem a sua biocompatibilidade creditada à camada de óxidos que se

forma em sua superfície em contato com o ar, água ou meio biológico. As alterações

superficiais causadas pela formação de nitretos de titânio, através do uso de técnicas

como CVD, PVD, implantação iônica e nitretação em plasma têm levado ao

desenvolvimento recente e progressivo de pesquisas que investigam suas propriedades

biológicas.

O nitreto de titânio é considerado pelo órgão de certificação americano, FDA

(U.S. Food and Drug Administration), como um material biologicamente inerte e

adequado ao uso em implantes de titânio e suas ligas, Sovak et al. (2000).

A capacidade de síntese proteica e a expansão fenotípica de osteoblastos e

fibroblastos são fundamentais em um processo de osseointegração. As alterações

destas características fornecem informações importantes no que diz respeito a

biocompatibilidade de um material a ser implantado.

Pesquisas sobre nitretação relatam que o titânio e a liga 6 4Ti Al V são

limitados em relação ao desgaste superficial por abrasão e adesão quando comparados

às ligas de Co Cr Mo . Sovak et al. (2000), comentam algumas limitações dos

métodos de nitretação, especialmente do PVD, que teriam limitada adesão ao

substrato e espessura muito pequena. Os autores desenvolveram um método de

modificação de superfícies denominado de Power Immersion Reaction Assisted

Coating (PIRAC), através do qual é possível a formação de filmes de TiN com maior

espessura. O método é adequado ao uso em componentes de formato complexo. Neste


estudo, foi avaliada a capacidade de osseointegração de implantes de Ti-CP e da liga

6 4Ti Al V , tratados pelo método PIRAC quando inseridos em fêmures de ratos.

O estudo avaliou o percentual de tecido ósseo formado 85% , junto aos implantes

tratados. A mineralização do tecido ósseo unida aos implantes foi avaliada pela

fluorescência da oxitetraciclina e indicou forte atividade de mineralização,

histoquimicamente. O tecido ósseo formado junto aos implantes estava em íntimo

contato com os mesmos, sem qualquer tipo de tecido fibroso interposto. Sovak et al.

(2000) concluíram que o método de modificação de superfícies PIRAC forma um filme

de TiN com biocompatibilidade e capacidade de osseointegração, comparáveis às do

Ti-CP e da liga 6 4Al V .

2.4 Ensaios Biomecânicos

Biomecânica é o estudo do movimento e do efeito das forças sobre os sistemas

biológicos e em organismos vivos, Schwarz (1996). A compreensão básica da

biomecânica, das propriedades estruturais e materiais do osso, assim como dos efeitos

que os carregamentos apresentam em ossos, permitem aos especialistas tomarem

decisões racionais na escolha do método mais adequado para a fixação das fraturas,

Radasch (1999).

O tecido ósseo está sob constante processo de aperfeiçoamento e adaptação

para sustentar as cargas aplicadas pelo deslocamento fisiológico, estando relacionadas

tanto as propriedades materiais quanto a geometria estrutural, Diniz et al. (2009).

Devido à função que desempenham, os ossos são constantemente submetidos a

diversos tipos de esforços, semelhantes as estruturas utilizadas na engenharia. As


forças e os momentos que o esqueleto apendicular deve resistir, permitem a

biomecânica avanços na substituição total nas articulações, na fixação de fraturas e

no remodelamento ósseo, Nishioka et al. (2010). Por esse motivo, é necessária a

compreensão da biomecânica do osso normal intacto, dos fraturados e da mecânica

dos implantes empregados, Hulse e Hyman (2007).

Testes biomecânicos têm se tornado comuns, Dallabrida et al. (2005). A área

da biomecânica é vasta e apresenta numerosas variáveis a serem analisadas, tornando

necessário considerar três aspectos especialmente importantes: a composição e as

propriedades do material, a sua geometria e a força atuante, Nishioka et al. (2010).

Testes biomecânicos podem ser realizados com várias finalidades: para testar

ou comparar diferentes métodos de fixação, a resistência de diferentes implantes,

Mesquita et al. (2010), ou ainda para estudar a distribuição das tensões no osso e o

deslocamento, após aplicação de determinado método de estabilização de fraturas,

Schmaedecke (2007).

2.5 Otimização Estrutural

Em um passado ainda recente, os projetos nas indústrias, em geral,

costumavam ser desenvolvidos por meio de modelos estruturais simples. Os cálculos

eram baseados em experiências anteriores, estabelecidos a décadas, e após a etapa de

projeto, eram realizados os testes e as validações experimentais.

Algumas indústrias possuem procedimentos próprios para a concepção de seus

produtos, utilizando a análise estrutural como ferramenta. Desta forma, a etapa de


tentativa e erro em protótipos é realizada via simulação computacional, diminuindo

os custos e agilizando o processo de fabricação do produto final.

Uma nova concepção de engenharia fundamenta-se naquilo que a natureza e as

tendências gerais sempre buscam: o ótimo. A alta competitividade entre as empresas,

porém, obrigou-as a oferecer seus produtos a custos cada vez mais reduzidos, levando

os engenheiros a desenvolver metodologias para conceber melhores projetos,

despontando, como alternativa, o uso de técnicas de otimização.

O campo de aplicações dos métodos de otimização (MO) ampliou-se à medida

que a tecnologia computacional se desenvolveu, permitindo, atualmente, que o mesmo

seja empregado em sistemas estruturais complexos tais como projetos de pontes,

viadutos, componentes automotivos, aeroespaciais, biomecânicos, dentre outros.

Na engenharia, ou em qualquer outra área do conhecimento, a relação custo

benefício é indispensável para a viabilidade do projeto. Uma etapa importante na

decisão de um projeto é a escolha dos parâmetros que estarão envolvidos no processo,

a escolha correta do equacionamento destes parâmetros é a chave para o sucesso do

projeto.

A otimização é uma ferramenta poderosa para diversas áreas e colabora na

determinação de melhores respostas possíveis a um dado problema. Ela é um processo

numérico que visa a obtenção de uma configuração estrutural com desempenho ótimo,

satisfazendo algumas restrições tanto sobre as variáveis de projeto quanto sobre o

comportamento da estrutura.

Os primeiros conceitos de otimização estrutural foram introduzidos no final do

século XIX por Maxwell (1872). O objetivo de Maxwell seria obter um projeto de


uma ponte que utilizasse a menor quantidade de material e que não falhasse. Em

1904, a ideia de Maxwell foi retomada por Michell (1904) no qual decidiu aplicar o

método para o projeto de vários tipos de estruturas com o menor volume de material;

ainda hoje, suas famosas estruturas são referência na teoria moderna da Otimização

Topológica.

Entre os anos de 1904 e 1960 pesquisas mostram que não houve evolução nos

estudos da otimização estrutural, sendo estudados apenas problemas acadêmicos sem

aplicações práticas. Na década de 60, com o surgimento dos computadores e do

Método de Elementos Finitos (MEF), problemas práticos de otimização estrutural

passaram a ser estudados principalmente nas indústrias. Um dos primeiros avanços

nos métodos de programação matemática para a otimização estrutural foi realizado

por Schmit (1960), ele introduziu a ideia de unir a análise estrutural, via métodos de

elementos finitos, a um método de programação matemática não-linear a fim de

automatizar a criação de projetos otimizados.

Na década de 1970, vários algoritmos de otimização para problemas não-

lineares de otimização foram implementados. A maior parte desses algoritmos já

havia sido desenvolvidos no século XIX, no entanto, somente com o advento dos

computadores e de linguagens de programação é que eles puderam ser implementados.

Nesta década, alguns problemas de leiaute foram resolvidos, mas para uma classe

muito restrita de estruturas, vistos como uma extensão do conceito de otimização

desenvolvido por Michell (1904). Nos anos de 1980, surgiram os primeiros softwares

comerciais dedicados à otimização estrutural e além disso, alguns softwares de CAE,

do inglês Computer Aided Engineering, passaram a incluir em seus códigos, módulos


de otimização estrutural. No final da mesma década, surge o método de otimização

topológica (MOT).

Nos anos de 1990, a otimização estrutural foi bastante utilizada em aplicações

práticas de projeto, este fato trouxe de volta o interesse em projetos ótimos de

estruturas, de modo que problemas de otimização estrutural, previamente discutidos,

foram reexaminados para gerar formas e topologias ótimas. De 1990 até os dias

atuais, o MOT já está disponível em softwares comerciais, sendo estendido para

outras áreas da engenharia, além da estrutural mecânica, como elétrica, fluidos e

biomecânica.

2.5.1 Formas Clássicas de Otimização Estrutural

Um problema de otimização pode ser definido como: minimizar ou maximizar

uma função objetivo sujeita a um conjunto de restrições. A função objetivo está

relacionada com o parâmetro a ser maximizado ou minimizado e as restrições são os

limites impostos à solução da otimização. Considerando estes conceitos, tem-se

algumas abordagens em otimização estrutural.

A otimização paramétrica ou dimensional, do inglês size optimization, Figura

2.4(a), consiste em assumir para a estrutura uma forma fixa previamente definida,

neste caso, a estrutura está discretizada com elementos de treliça, onde as

características geométricas, como, por exemplo, a área da secção transversal de cada

elemento são as variáveis de projeto do problema.


A otimização de forma, shape optimization, onde os contornos externos e

internos da estrutura são parametrizados por curvas splines e os parâmetros dessas

curvas constituem as variáveis de projeto, Figura 2.4(b).

A otimização topológica ou topology optimization, Figura 2.4(c), objeto de

estudo da pesquisa, abordada com mais detalhes no item 2.5.2, consiste em se obter a

configuração ótima, buscando encontrar a melhor distribuição de material no interior

da estrutura. As variáveis de projeto podem ser, por exemplo, medidas que indicam a

distribuição de material em cada ponto do domínio.

Figura 2.4: Formas clássicas de otimização estrutural, Kiyono C. Y. (2008): a) Otimização

Dimensional. b) Otimização de Forma. C) Otimização Topológica.

Outra abordagem para o método de otimização é o de conjunto-nível, do inglês

Level Set Method. O método parte da ideia básica de relacionar fronteiras 2 de

com a curva de nível de uma função portadora de dimensão mais elevada

(frequentemente mencionada também como função level set), definida sobre um

domínio de referência “D” que contém , ver Figura 2.5. Variações de produzem

variações nas curvas de nível e, portanto, na fronteira 2 .


a) b)

Figura 2.5: Descrição Level Set de um Domínio 2D: a) Representação do Domínio. b) Modelo

Level Set. Luo et al., 2008.

A Figura 2.5 (a) mostra esquematicamente o domínio fixo D, que admite

conter todas as formas admissíveis de , ou seja, D com representando a

fronteira de . A funcão é mostrada na Figura 2.5 (b). Nesta figura, verifica-se que o

sinal da função x pode ser usado para definir o interior, exterior e fronteira de .

0 \ 2 Região com Material

0 Fronteira

0 \ Região sem MaterialD

x x

x x

x x (2.4)

Para uma descrição detalhada do método do conjunto-nível sugere-se consultar

Osher e Sethian (1988) e Sethain e Wiegmann (1999).

Outra forma possível de obter a topologia ótima é através do cálculo da

derivada topológica, a qual uma função definida no domínio fornece, em cada ponto

deste, a sensibilidade da função custo ao criar-se um pequeno furo numa dada posição

do referido domínio, ver Figura 2.6.


Figura 2.6: Obtenção da Topologia via Derivada Topológica, Novotny et al (2002).

Com esta metodologia é possível calcular a derivada topológica utilizando todo

procedimento matemático já desenvolvido no contexto de análise de sensibilidade à

mudança de forma, conduzindo a uma formulação simples e construtiva.

2.5.2 Otimização Topológica

A primeira fase de um projeto estrutural consiste na definição do projeto

conceitual4, isto é, definições geométricas e materiais, de modo a atender os requisitos

de projeto. Porém, além de simplesmente atender os requisitos de projeto, a

engenharia e o mercado sempre estiveram interessados em melhorar o desempenho

das estruturas e reduzir o custo necessário para atender tais requisitos. Com o

objetivo de auxiliar o projeto e a otimização das estruturas, a Otimização Topológica,

também denominada otimização de leiaute, propõe um método capaz de auxiliar o

engenheiro na definição do projeto conceitual do leiaute ou topologia da estrutura.

Neste método, o leiaute da estrutura é definido não somente pela sua forma, ou seja,

pelo contorno externo da estrutura, mas também por sua topologia: furos internos e

conectividades.

4 Projeto conceitual define-se como a fase inicial do processo de projeto de um produto.


A vantagem da otimização topológica em relação aos outros métodos

tradicionais de otimização é que ela é capaz de alterar o leiaute da estrutura original,

auxiliando no projeto conceitual.

O Método de Otimização Topológica (MOT) consiste em um método

computacional que permite, segundo um critério de projeto, determinar a topologia

ótima de uma estrutura. Essencialmente, o método distribui o material no interior de

um domínio fixo de projeto de forma a maximizar ou minimizar uma função custo

especificada. A estrutura, em cada ponto do domínio, pode variar com ou sem a

presença de material (problema binário, do tipo 0-1). Este mesmo problema,

originalmente binário de distribuição de material, quando trabalhado de forma não

linear é transformado em um problema contínuo, de modo a assumir valores

intermediários de densidade, Coutinho, Costa e Alves (2011). Entretanto, a

implementação desta abordagem para um problema de otimização 0-1, requer o uso

de algoritmos de otimização discreta, tornando a abordagem instável, Coutinho

(2006). Para contornar este problema adota-se, em geral, a abordagem de material

composto fictício como forma de relaxação, contendo uma microestrutura

caracterizada pela presença de vazios, isto é porosidade.

As dificuldades relacionadas a aplicação do MOT são relativas à instabilidade

numérica, decorrentes da modificação do problema binário. De forma geral, pode-se

dividir estes problemas em três categorias: dependência de malha, instabilidade de

tabuleiro e mínimos locais, Peterson e Sigmund (1998).

O problema de dependência de malha, mesh dependence, é caracterizado pelo

fato de se obter diferentes soluções, conforme a discretização de malha de elementos


finitos, para o mesmo problema de otimização topológica, isto é, mesmas condições de

contorno e domínio de projeto. Seria intuitivo pensar que quanto maior o número de

elementos de uma malha de elementos finitos, melhor seria o resultado final ótimo.

Porém, o que se observa é que com o aumento da discretização de um mesmo

problema, conservando o domínio e com as mesmas condições de contorno, conforme

dito, a topologia da estrutura ótima pode se alterar, aumentando o número de

membros da estrutura, caracterizando o problema de dependência de malha.

Segundo Kiyono (2008), uma das formas de evitar a dependência de malha,

por exemplo, é através da relaxação do problema, tornando-o bem-posto. Contudo,

em alguns casos, esta aplicação não é interessante, pois a topologia apresenta

elementos com materiais intermediários, o que impede a identificação da geometria.

O problema de instabilidade de tabuleiro, checkerboard problem, é

caracterizado pela formação de regiões de elementos com e sem material, disposto na

forma de tabuleiro. Este tipo de instabilidade é indesejável na solução pois não

configura uma ótima distribuição de material.

De acordo com Coutinho (2006), nos problemas de mínimos locais, a maioria

dos problemas de projeto topológico são não convexos, no que acarreta a existência de

muitos mínimos locais. A não convexidade do problema leva a possibilidade de

encontrarmos muitos mínimos locais e diferentes soluções para o mesmo problema,

discretizado quando são utilizadas diferentes estimativas iniciais para as variáveis e

diferentes parâmetros de algoritmos de otimização. Isto ocorre porque as provas de

convergência dos algoritmos funcionam para programação convexa, enquanto que


para programação não convexa apenas garante-se a convergência para pontos

estacionários, que não são necessariamente mínimos globais.

O projeto da estrutura requer a definição das dimensões e do leiaute ótimo dos

membros, necessários para suportar um determinado conjunto de cargas prescritas.

De acordo com Costa Jr (2003), um processo de otimização com adaptatividade visa

produzir leiautes com um número menor de membros estruturais e bem mais

definidos, favorecendo ao processo de fabricação. A abordagem, apresenta ser uma

ferramenta promissora, quanto à intenção de se obter leiautes estruturais ótimos.

2.5.3 Otimização em Implantes Dentários

Nos últimos anos, as análises via otimização tem se mostrado uma ferramenta

poderosa para investigar problemas relacionados com a área da biomecânica, uma vez

que tem como vantagens ajustar e moldar a estrutura, a fim de se obter o projeto

ótimo. Com o auxílio deste mecanismo, diversos projetos tem sido desenvolvidos,

trazendo constantes inovações e mudanças.

O trabalho de Tesk e Widera (1973) foi o primeiro a utilizar o método dos

elementos finitos em implantes dentários e, posteriormente, tornou-se uma ferramenta

cada vez mais útil para a previsão da distribuição de tensões na área de contato de

implantes com o osso cortical e ao redor do implante com o osso esponjoso, uma vez

que o alto nível de concentração de tensão ou de distribuição de tensão pode existir

nas regiões do osso cortical, ao redor do implante, o que geralmente leva a reabsorção

óssea, Kitamura et al. (2005). Diversos fatores, incluindo a carga aplicada, quantidade


e qualidade do osso, geometria, comprimento, diâmetro, forma e material do

implante, pode afetar os níveis de tensão na região do implante, Geng et al. (2001).

Com o objetivo de analisar o comportamento da tensão ao redor do implante,

diversos outros estudos foram realizados. Em 2005, Petrie e Williams (2005),

analisaram e compararam os efeitos da tensão da relação entre o diâmetro,

comprimento e conicidade do implante, calculadas na crista óssea. Nesta pesquisa,

foram criados modelos tridimensionais de elementos finitos da mandíbula com osso

esponjoso de baixa e alta baixa densidade. Ainda neste estudo, foram aplicada cargas

oclusais oblíquas de 200N na vertical e 40N na horizontal. O diâmetro do implante

variou de 3,5mm a 6,0mm, o comprimento de 5,75mm a 23,5mm, e conicidade de 0° a

14°, resultando em 16 tipos de implantes. O diâmetro, o comprimento e a conicidade

tiveram de ser analisados em conjunto, devido aos efeitos de interatividade de tensões

na área da crista óssea. Finalmente, os autores concluíram que implantes largos,

relativamente longos e cilíndricos, são a alternativa mais viável se o objetivo é

minimizar tensões periimplantares na crista óssea alveolar. Implantes estreitos, curtos

e com conicidade na região da crista óssea deve ser evitados, especialmente com ossos

de baixa densidade.

Ainda em 2005, Sevimay et al. (2005), construíam modelos de elementos finitos

tridimensionais a fim de investigar o efeito da distribuição de tensão em diferentes

ossos em uma coroa simples. Chang et al. (2010), analisaram e compararam a tensão

na interface osso-implante em um modelo de elementos finitos tridimensional

anisotrópico de implantes osseointegrados na maxila posterior.


Desta forma, diversas tentativas foram e tem sido feita para otimizar a forma

dos implantes dentários, com o objetivo de otimizar a distribuição de tensões ao longo

da interface osso-implante. Segundo Shi et al. (2007), análises utilizando implantes

cônicos otimizados, sob cargas axiais e oblíqua, apresentavam menores valores de

tensão do que os observados em modelos de implantes dentário disponíveis no

mercado.

Alguns estudos envolvendo o MOT, podem ser verificados com mais frequência

na literatura quando relacionados a implantes lombares e ortopédicos, ver Zhong et al

(2006). Pesquisas envolvendo implantes dentários são teoricamente recentes, havendo

poucas publicações na área, Chang (2012).

Os algoritmos de otimização topológica geram a melhor distribuição de

material, sujeito a um conjunto de cargas e restrições, determinando assim, o melhor

leiaute de material. Em 2006, Zhong et al. (2006) moldou um espaçador lombar via

otimização topológica com o objetivo de minimizar o volume em cerca de 36%,

proporcionando mais estabilidade a coluna vertebral, aumentando o espaço para o

enxerto ósseo e reduzindo o custo do material. Shi et al. (2007), propôs uma

formulação através de otimização topológica para determinar a melhor forma de um

implante dentário com o objetivo de minimizar a concentração de tensão ao redor do

mesmo. Segundo o autor, os resultados obtidos pelo método utilizado reduziu a

concentração de tensão ao redor do implante. Em 2012, Kang et al. (2012), utilizaram

um esquema de otimização topológica para gerar macroestruturas de implante

ortopédicos ótimos a fim de minimizar as deformações perto da interface osso-

implante. Chen et al. (2013), desenvolveram um técnica multiobjetivo de otimização


para maximizar o contato osso-implante, denominado na literatura como

osseointegração, e minimizar a tensão de cisalhamento de Tresca na região peri-

implante.

Além de projetos macroetruturais, pesquisas apontam que o Método de

Otimização Topológica aplicado a componentes biomecânicos provou ser uma

ferramenta eficaz também para projetos microestruturais cujo o objetivo é regularizar

as propriedades mecânicas efetivas em aplicações de remodelagem óssea, ver Adachi

et al. (2006), Chen et al. (2011) e (2009) e Sturm et al. (2010).

Capítulo 3

Caracterização e Análise Experimental

Neste capítulo serão apresentados os ensaios experimentais realizados nas

superfícies de titânio após o tratamento de nitretação em cátodo oco. Como

contribuição, acrescentando e dando continuidade ao trabalho de Guerra Neto (2009),

teremos a incorporação dos seguintes ensaios: Ensaio Biomecânico de Fadiga, Ensaio

de Espectroscopia Raman, Ensaio em MEV e Ensaio de Microdureza, para análise e

caracterização dos implantes dentários nitretados a plasma.

Na seção 3.1, será realizada a descrição da metodologia experimental utilizada

na pesquisa e nas seções subsequentes, o detalhamento de cada procedimento.

3.1 Metodologia Experimental

A metodologia experimental do presente trabalho foi dividida em três partes:

Na primeira parte, foram realizados os tratamentos superficiais em plasma de

cátodo oco com discos de Ti-CP grau II, em seguida, foram realizadas caracterizações

como molhabilidade, rugosidade, caracterização de fases e microscopia eletrônica de

varredura.

Na segunda, realizou-se nitretação por descarga em Cátodo Oco em implantes

dentários. Com o objetivo de executar a terceira fase da metodologia experimental,

um ensaio biomecânico de fadiga nos implante dentários, conforme especificado em

norma ABNT NBR ISO 14801:2007.

Capítulo 3 – Caracterização e Análise Experimental 42

A fase experimental deste trabalho foi executada obedecendo as etapas

mostradas conforme fluxograma da Figura 3.1.

Figura 3.1: Fluxograma de execução da Metodologia Experimental.


3.2 Tratamento Superficial de Nitretação em Cátodo Oco

As condições de tratamento superficial de nitretação em cátodo oco utilizadas

neste trabalho foram selecionadas com base na pesquisa de Guerra Neto, Silva e

Alves (2009). Na pesquisa referenciada, apresentou-se um estudo sistemático variando

pressão, tempo de tratamento e temperatura do sistema utilizando amostras de Ti-

CP, na mesma verificou-se a condição ótima para o tratamento, conforme mostrado

na Tabela 3.1.

Tabela 3.1: Condição de tratamento superficial de Nitretação em Cátodo Oco, Guerra Neto

(2005).

Pressão (Pa) Tempo (h) Temperatura (°C) Atmosfera

150 1 450 80% H2 e 20% N2

3.2.1 Procedimento Experimental de Nitretação em Cátodo Oco em

Discos de Ti-CP

Nesta etapa do trabalho foram utilizados 12 discos de Ti-CP (grau II), Tabela

3.2, medindo 15mm de diâmetro por 1mm de espessura. As amostras foram divididas

em dois grupos: 06 discos para tratamento com nitretação em plasma em descarga de

catodo oco e 06 discos sem tratamento (controle).

Tabela 3.2: Composição química do Titânio Grau II.

Elementos Elemento (% de Impureza)

N C H Fe O Al V Ti

grau IITi 0,03 0,10 0,015 0,03 0,25 – – Balanço


A preparação discos para a realização do procedimento experimental foi

executada conforme sugerido por Guerra Neto, Silva e Alves (2009). Os discos foram

embutidos em resina poliéster e foram lixadas em uma sequência de lixas d’água com

granulações 220, 360, 400 e 600. Os mesmos tiveram suas superfícies polidas, no

equipamento denominado Politriz AROTEC, modelo APL-2 e série 212560, com

alumina 1μm, até que uma rugosidade média 0,2 μm fosse atingida.

Em seguida, os discos foram desembutidos e limpos em banho com éter de

petróleo e acetona por 20 minutos em ultrassom. O objetivo desse procedimento foi

remover contaminantes que poderiam interferir no processo de nitretação iônica. A

seguir, os mesmos foram colocados no sistema de nitretação em plasma, Figura 3.2.

Figura 3.2: Reator de plasma.

O aparato experimental utilizado para a nitretação por plasma, consistiu de

uma câmara hermeticamente fechada (reator de nitretação por plasma) contendo um

ânodo na parte superior e uma base catodicamente polarizada, ver esquema na Figura

3.3. A fonte de tensão era contínua, voltagem e corrente máximas de 1500V e 2A,


respectivamente. A geometria da câmara de vácuo do reator utilizada no processo foi

cilíndrica cujas dimensões são 30cm de diâmetro e 30cm de altura, confeccionada de

aço inoxidável austenítico, Figura 3.2.

Sobre o porta amostra foi posicionada a peça a ser nitretada. Em torno dessa

peça adicionou-se a configuração em cátodo oco, consistindo de um cilindro com uma

tampa na parte superior. A configuração do cátodo Oco foi confeccionada em aço

inoxidável, e suas paredes internas revestidas com Ti, a fim de evitar contaminação

da peça. Fixou-se a distância entre a superfície da amostra, o diâmetro interno do

cilindro e a tampa superior do cátodo oco, denominada no texto em distância entre

cátodos, em 9mm, conforme sugerido em Guerra Neto, Silva e Alves (2009).

A temperatura foi medida por um termopar cromel-alumel em contato com o

porta amostra e controlada pela variação contínua da tensão e da corrente entre

eletrodos.

a) b)

Figura 3.3: a) Aparato experimental utilizado para a nitretação em plasma nos discos; b)

Detalhe da localização do disco de Ti no aparato experimental.


Figura 3.4: Nitretação em plasma nos discos de Ti.

Após finalizado o tratamento de superfície, Figura 3.4, os discos foram

submetidos a um rígido protocolo de limpeza, em ultra-som, para remoção de

gorduras, proteínas e carboidratos, utilizando detergente enzimático DEIV 3E

(proporção de 2,5ml/500ml de água bidestilada), durante 10 minutos. Após isto, mais

uma lavagem em álcool absoluto, submetido por 10 minutos em ultra-som. Outra, em

água destilada, permanecendo 10 minutos em ultra-som.

Cada etapa foi repetida duas vezes. As amostras foram secadas com secador

por um minuto e acondicionadas em embalagens apropriadas para esterilização em

plasma de peróxido de hidrogênio.

Em seguida, os discos foram submetidos a ensaio de caracterização superficial.

3.2.2 Ensaio de Molhabilidade em Discos de Ti-CP

A molhabilidade das superfícies pode ser quantificada pelo ângulo de contato

de um líquido com o substrato sólido. Quanto maior a molhabilidade, maior é a

interação da superfície analisada com o meio biológico. Uma característica importante

que fornece informações sobre a molhabilidade é a existência da histerese do ângulo

de contato, a qual fornece correlações entre a energia, a rugosidade e a

heterogeneidade das superfícies, Coutinho (2007).


No ensaio de molhabilidade desta pesquisa, a técnica utilizada foi à

determinação do ângulo de contato estático ou técnica da gota séssil, Figura 3.5.

As amostras foram posicionadas em uma superfície plana e utilizando uma

micropipeta digital de volume ajustável, de forma perpendicular, e muito próximo a

superfície, gotejou-se 0,25 microlitros da solução na amostra testada. A solução era

composta de: 3,57% de glicose (Euro-Collins5); 60% de glicerina, com o intuito de

tornar o líquido mais viscoso; e corante, para auxiliar na visualização.

De forma a padronizar o teste e por serem gotas muito pequenas, realizou-se o

acompanhamento da mudança do ângulo por 01 segundo, 30 segundos e 60 segundos.

Figura 3.5: Ângulo de contato estático ou técnica da gota séssil.

3.2.3 Ensaio de Rugosidade em Discos de Ti-CP

O ensaio de rugosidade superficial foi obtido a partir do equipamento

Rugosímetro da marca Taylor Robson, modelo SURTRONIC 3, com cut-off ou

comprimento de onda do filtro igual 0,25mm.

No ensaio mensurou-se o parâmetro de rugosidade média, Ra . As medidas

foram verificadas em três direções diferentes, em ângulos de aproximadamente

120 12o± , ver Figura 3.6.

5 Euro-Collins é uma solução utilizada para fluxo hipotérmico e acondicionamento de órgãos incluindo

rins, fígado e pâncreas para transporte e preservação antes do transplante. Esta solução é usada para

transplantes vivos e de cadáver.


Figura 3.6: Ensaio de rugosidade superficial dos discos.

3.2.4 Caracterização de Fases na Superfície dos Discos de Ti-CP

O método de difração com raios-X (DRX) é utilizado para estudar a estrutura

de cristais. Ele fornece informações estruturais, tais como, parâmetro de rede,

determinação de fase, etc. sobre o material que está sendo investigado.

As intensidades obtidas em ângulos 2θ, representadas por meio dos picos nos

difratogramas, Figura 3.7, correspondem à difração do feixe incidente por um

determinado conjunto de planos do cristal. A quantificação de fases a partir da

difração de raios-X se apoia nas intensidades dos picos do difratograma, as quais,

além de guardarem uma relação característica da estrutura cristalina de cada fase

componente, refletem a proporção das fases na amostra.

Para análise das fases superficiais dos discos foi utilizado um difratômetro de

raios-X, marca SHIMADZU, modelo XRD-6000.

As amostras foram analisadas com ângulos de varredura, 2θ , entre 30o e 80o ;

ângulo de avanço de 0, 02 o e tempo de contagem 3s por passo numa velocidade de

1 / mino .


Figura 3.7: Diagrama SHIMADZU XDR-600, SHIMADZU CORPORATION.

3.2.5 Microscopia Eletrônica de Varredura

O MEV é um microscópio eletrônico capaz de produzir imagens de alta

resolução da superfície de uma amostra. O princípio de funcionamento dele consiste

em um feixe elétrons primários que tende a “varrer” a superfície da amostra,

retirando elétrons secundários que serão capturados por um detector especial e

processa o sinal eletrônico gerando a imagem observada no sistema. Normalmente se

utiliza ampliação entre 50 a 30.000 vezes de aumento. Sua principal vantagem é a

elevada profundidade de foco, permitindo análise de superfícies de fratura.

O MEV utilizado na pesquisa foi o modelo TM3000 Hitachi.


3.2.6 Procedimento Experimental de Nitretação em Cátodo Oco

Utilizando Implantes Dentários

O equipamento utilizado para a execução do ensaio foi um reator de nitretação

por plasma, com as mesmas especificações mencionadas na seção 3.2.1.

Nesta técnica, vinte e cinco implantes dentários, foram nitretados em cátodo

oco, onde dezesseis deles foram destinados aos ensaios biomecânicos estáticos e

dinâmicos de fadiga, ver item 6.8; e os demais implantes, aos ensaios de Raman e

MEV.

O implante hexágono externo com 13mm de comprimento por 3,75mm de

diâmetro selecionado neste trabalho é utilizado na reabilitação oral e tem por objetivo

substituir as raízes dentárias, ver Figura 3.8. A seleção deste deu-se devido ao mesmo

ser utilizado com mais frequência no mercado.

Figura 3.8: Implante dentário torque interno Swith 3,75mm x 13mm DENTOFLEX® sem

tratamento superficial.

A metodologia experimental dividiu-se em 3 etapas: Lixamento e limpeza do

porta amostra e do cilindro de titânio; limpeza dos corpos de prova e; nitretação no

reator de plasma.

Na primeira etapa, lixou-se o disco de titânio, denominado de porta amostra,

ver Figura 3.2, onde foram posicionados os corpos de prova a serem nitretados. Os


corpos de provas descritos neste item são compostos pelo conjunto: cilindro de Ti-CP

Grau II, designado de cátodo oco e o implante dentário DENTOFLEX® sem

tratamento superficial, conforme verificado na Figura 3.9.

Figura 3.9: Corpos de prova: Cilindro de titânio e Implante dentário.

Em paralelo a esta etapa, lixou-se o cilindro de titânio, cujas dimensões são

25,4mm de diâmetro externo, 1,2mm de espessura de parede e 15mm de altura.

Após o lixamento, imergiram-se os mesmos em acetona e realizou-se a secagem

utilizando um secador de ar quente simples comercial.

A segunda etapa, relacionou-se com o procedimento de limpeza dos copos de

prova. Primeiro, depositou-se o cilindro de titânio dentro de um recipiente plástico e

adicionou-se no interior do mesmo uma solução própria para ataque de titânio

3 2 3HF HNO H O , a fim de remover a camada de óxido do cilindro. A

importância da utilização de um recipiente plástico deu-se devido a utilização do

ácido fluorídrico na solução de ataque. Realizado o procedimento de ataque, retirou-se

o cilindro de titânio da solução, secando-o e colocando-o em outro recipiente contendo

acetona, com o objetivo de retirar o excesso de óxido. Junto a este procedimento, em

um outro recipiente, depositou-se o implante dentário, imergindo-o em acetona. Os


dois recipientes contendo o cilindro e o implante de titânio foram encaminhados a um

aparelho de ultrassom, finalizando a limpeza em 15 minutos.

Passados 15 minutos, retiraram-se os recipientes do aparelho de ultrasson e os

corpos de provas dos respectivos recipientes, ver Figura 3.10. Executando,

posteriormente, o procedimento de secagem do cilindro de titânio e do implante, com

algodão e secador de ar quente comercial.

Figura 3.10: Limpeza no aparelho de ultrasson.

A terceira etapa, realizada no reator de plasma, posicionou-se o cilindro de

titânio no centro do porta amostra, contido no interior do reator de plasma, em

seguida, adicionou-se o implante dentário, posicionando-o no centro do cilindro de

titânio, respeitando uma distância de aproximadamente 9mm entre a medida externa

do implante e o diâmetro interno do cilindro de titânio, de acordo com o sugerido em

Guerra Neto, Silva e Alves (2009), ver Figura 3.11.


Figura 3.11: Posicionamento do implante dentário no cilindro de titânio.

A figura Figura 3.12 mostra a disposição dos corpos de prova no porta amostra

do reator a plasma.

Figura 3.12: Posicionamento dos corpos de prova no porta amostra.

Ao posicionar os corpos de prova, fechou-se a câmara do reator de plasma e foi

acionada a bomba de vácuo para remoção do ar no interior do reator, até que

atingisse um valor de pressão de aproximadamente 0,8 mbar. Ajustou-se os

multímetros (corrente e tensão) em 10A e 200V, para o controle do experimento.

Feito isto, acionou-se a chave do gerador de plasma. Aumentou-se o valor da tensão

até que a mesma atingisse um valor de tensão suficiente (aproximadamente 260V)

para que o plasma seja gerado.

Em seguida, introduziu-se o gás (H2) na quantidade de 20 sccm (standard cubic

centimeters per minute) para realizar o pré-tratamento, do inglês, presputtering, e

aguardou-se a temperatura atingir 300°C. Neste ponto, todos os parâmetros foram


anotados (corrente, tensão, pressão e temperatura). Foi aguardado mais 30 minutos e

anotou-se novamente esse conjunto de variáveis, encerrando assim o pré-tratamento.

Finalizando a etapa do pré-tratamento, ajustou-se a quantidade de gás para a

que seja utilizada no tratamento de nitretação a plasma em cátodo oco, isto é, 24

sccm de H2 e 06 sccm de N2, ou seja, 80% de H2 e 20% de N2. Após o ajuste, anotou-se

mais uma vez os parâmetros, devido a influência da modificação dos gases e a cada 15

minutos, até atingir a temperatura do tratamento (450 °C). Neste intervalo de

tempo, regulou-se a válvula de pressão até que a mesma atingisse um valor de 1,5

mbar.

Atingida a temperatura de 450 °C e pressão de 1,5 mbar do tratamento,

anotou-se os parâmetros (início do tratamento) e registrou-se os valores a cada 30

minutos até o término do tratamento, ou seja 1 hora após ter atingido a temperatura

no início do tratamento, 450 °C.

Figura 3.13: Nitretação em plasma nos implantes dentários de Ti.

Ao completar uma hora de tratamento, diminui-se a voltagem no variador de

tensão, até a corrente no multímetro zerar. Desligou-se o gerador de plasma e os


multímetros. Aguardou-se a temperatura atingir o valor abaixo de 60 °C retirando-se

as peças nitretadas no interior do reator de plasma.

3.2.7 Caracterização de Fases na Superfície dos Implantes Dentários

A técnica de espectroscopia Raman foi utilizada para o mapeamento químico

das superfícies modificadas por meio da identificação de nitreto de titânio depositado

na superfície do implante.

Basicamente, a técnica consiste no uso uma fonte monocromática de luz a

qual, ao atingir um objeto, é espalhada por ele, gerando luz de mesma energia ou de

energia diferente da incidente. No primeiro caso, o espalhamento é chamado de

elástico e não é de interesse, mas no segundo (espalhamento inelástico) é possível

obter muitas informações importantes sobre a composição química do objeto a partir

dessa diferença de energia.

Na prática, um feixe de radiação laser (monocromática, portanto) de baixa

potência é usado para iluminar pequenas áreas do objeto de interesse e ao incidir

sobre a área definida, é espalhado em todas as direções, sendo que uma pequena

parcela dessa radiação é espalhada inelasticamente, isto é, com frequência (ou

comprimento de onda) diferente da incidente.

Na espectroscopia Raman realizada neste experimento utilizou-se um laser de

785nm.


3.2.8 Microdureza Vickers nos Implantes Dentários

O ensaio de dureza Vickers é realizado conforme descrito na norma ABNT

NBR NM ISO 6507-1:2008.

A dureza Vickers baseia-se na resistência que o material oferece à penetração

de uma pirâmide de diamante de base quadrada e ângulo entre faces de 136º, sob

uma determinada carga. O valor de dureza Vickers (HV) é o quociente da força

aplicada, F , pela área de impressão, sA , deixada no corpo ensaiado.

Suwanprateeb (1998), realizou uma análise geométrica do penetrador Vickers e

encontrou a fórmula da dureza Vickers em função da profundidade, ph , da penetração

no material. Conforme demonstrado na Equação (3.1).

2

2 2

1,8544 cos 74

4 cos 16p

FHV

h=

o

o (3.1)

O ensaio de microdureza foi utilizado o equipamento Microdurômetro Digital

MV 2000, fabricante Pantec. O ensaio foi realizado em um implante dentário, com

tratamento superficial em cátodo oco e em outro, sem tratamento superficial. O

objetivo foi verificar a influência do processo de nitretação a plasma em cátodo oco na

dureza do material tratado superficialmente.

Em cada amostra ensaiada, aplicaram-se seis pontos de carga, a fim de

verificação do valor da dureza local, ver Figura 3.14.

O valor de carga aplicada para o implante sem tratamento foi de 0,98N; e no

implante com tratamento, uma carga de 2,94N, ambas durante 15 segundos.


A Figura 3.14 mostra os pontos de aplicação de carga durante o ensaio de

microdureza Vickers.

Figura 3.14: Figura esquemática dos pontos de aplicação de carga (Vista superior do

implante dentário).

A Figura 3.15 e a Figura 3.16, mostram o posicionamento do implante na

morça de fixação durante o ensaio de microdureza Vickers.

Figura 3.15: Posicionamento do implante dentário na morça de fixação para aplicação de

carga.


Figura 3.16: Posicionamento do implante dentário no microdurômetro.

Por fim, calculou-se a média ponderada dos valores de dureza e o desvio

padrão amostral.

3.2.9 Ensaio Biomecânico de Fadiga em Flexão Utilizando Implantes

Dentários

O ensaio biomecânico de fadiga em flexão deste trabalho foi executado

conforme especificado pela norma ABNT NBR ISO 14801 e realizado por um

laboratório devidamente acreditado pela CGCRE/INMETRO de acordo com a norma

ABNT NBR ISO/IEC 17025.

Segundo norma técnica específica para o ensaio, realizou-se inicialmente um

ensaio estático e posteriormente, o ensaio dinâmico de fadiga.

Para o ensaio estático, utilizou-se a máquina SHIMADZU AG-

IS/I/IC/EZGraph 100kN. O ensaio foi realizado com uma amostra (implantes

dentários, hexagonal externo com 13mm de comprimento e 3,75mm de diâmetro, com


tratamento superficial) sendo a mesma fixada a um bloco fabricado em poliacetal6, a

fim de identificação da carga de referência para execução de um posterior ensaio de

fadiga em flexão.

A Tabela 3.3 mostra os parâmetros utilizados durante o ensaio estático

biomecânico.

Tabela 3.3: Parâmetros utilizados no Ensaio Estático.

Velocidade de Ensaio (mm/min) 5

I 12,3mm*

Meio Temperatura Ambiente

Amostras Ensaiadas 01

Material Bloco Base Poliacetal

Equipamento de Ensaio Shimadzu AG-IS/I/IC/EZGraph 100kN

* Valor utilizado devido à altura do pilar (considerado exposição de 3mm do implante, valor

equivalente a absorção óssea, segundo ABNT NBR ISO 14801).

O ensaio dinâmico de fadiga, realizado no equipamento BRASVALVULAS

BME 5 120/AT, foi executado com 12 (doze) amostras fixadas a um bloco

confeccionado também do material poliacetal.

A intensão da realização do referido ensaio mecânico foi avaliar a eficácia do

tratamento superficial aplicado ao implante em estudo, nitretação a plasma em

cátodo oco, e promover resultados para alimentar a análise topológica estrutural, via

elementos finitos, conforme descrito no Capítulo 4. A partir deste ensaio biomecânico

6 Poliacetal (POM), também conhecido como Acetal, é um polímero proveniente do formaldeído, um

plástico resistente, descoberto em 1956.


de fadiga foi possível analisar as propriedades mecânicas do material ensaiado, tais

como: a força de escoamento, utilizada análise de tensões do implante dentário

através de um modelo de elementos finitos, conforme descrito no Capítulo 4; a força

de ruptura do implante; apresentar a localização da falha e o momento fletor máximo

para a força máxima de resistência à ruptura.

A Figura 3.17 mostra a configuração do sistema para o ensaio do componente

protético durante o ensaio biomecânico, conforme especificado na norma ABNT NBR

ISO 14801:2007.

Figura 3.17: Configuração do sistema para ensaio de componente protético, ABNT NBR ISO

14801:2007.


A Tabela 3.4 mostra os parâmetros utilizados no ensaio biomecânico de fadiga

dos implantes nitretados a plasma em cátodo oco.

Tabela 3.4: Parâmetros utilizados no Ensaio de Fadiga.

Força de Frequência 422,25 N

Frequência 15 Hz

Razão entre Carregamentos 0,1

Número de Ciclos 65 10 Ciclos



Equipamento de Ensaio Brasvalvulas BME 5 120/AT

A Figura 3.18 representa a configuração utilizada no ensaio biomecânico para a

aplicação do carregamento. E na Figura 3.19, a distribuição dos corpos de prova no

bloco de poliacetal.

Figura 3.18: Configuração utilizada no ensaio para aplicação da carga.


Figura 3.19: Configuração utilizada no ensaio de fadiga para os corpos de prova.

Para realizar o ensaio, o implante foi fixado de forma que seu eixo central

fizesse um ângulo de 30o em relação direção do carregamento do equipamento do

ensaio.

Uma força de carregamento posicionada sobre o eixo longitudinal central do

implante, Figura 3.17, de F 422,25 N foi aplicada através de um componente de

carregamento resistente à deformação com uma superfície de contato hemisférica para

a transferência de carga, colocado sobre a extremidade livre da parte da conexão. A

força de carregamento foi aplicada à superfície de carregamento hemisférica por um

dispositivo de força com uma superfície plana normal à direção de carregamento da

máquina.

A cada ensaio as superfícies de carregamento hemisférico e de carregamento do

dispositivo foram examinadas visualmente, a fim de assegurar que não ocorreu

deformação permanente.


A parte de ancoragem óssea do corpo de prova foi fixada em um dispositivo de

fixação rígida com módulo de elasticidade 3GPa 7, conhecido no mercado como

Poliacetal, ver Tabela 3.5, conforme especificado em norma. O dispositivo foi

projetado para não deformar o corpo de prova e fixado ao corpo de prova a uma

distância de 3,0mm a partir do nível ósseo, Figura 3.17.

Tabela 3.5: Proprieades Mecânicas do Poliacetal.

Densidade 1410 kg/m3

Tensão de Escoamento a Tração 66 MPa

Tensão de Ruptura a Compressão 100 MPa

Tensão de Ruptura a Flexão 95 MPa

Módulo de Elasticidade 3000 MPa

Fonte: www.matweb.com

A dimensão do braço de alavanca é definida como:

sen30b

y I o (3.2)

Com 12,3mmI , tem-se 6,15mmb

y . O momento fletor correspondente a

2,59 Nm fora definido pela expressão:

Fb

M y (3.3)

Quanto ao ambiente do ensaio o mesmo foi realizado em ambiente fechado a

uma temperatura de 20 Co .

7 Segundo especificado em norma técnica ABNT NBR ISSO 14801, o material de embutimento deverá

apresentar um módulo de elasticidade superior a 3 GPa, valor este próximo ao módulo de elasticidade

do Osso.


Os resultados do ensaio de flexão descrito neste item foram comparados aos

resultados do relatório de ensaio 585/11, rev. 0, da empresa DENTOFLEX Materiais

Odontológicos LTDA, parceira desta pesquisa, Tabela 3.6.

Tabela 3.6: Parâmetros utilizados no ensaio de fadiga DENTOFLEX 585/11, rev.0.

Norma Técnica ISO 14.801:2007

Ensaio Ensaio de Fadiga em Flexão

Corpo de Prova Implante Torque Interno 3,25mm x

11,5mm (Titânio)

I 11mm

Força de Frequência 602,34 N

Frequência 15 Hz

Razão entre Carregamentos 0,1

Número de Ciclos 65 10 Ciclos



O ensaio de fadiga referenciado no relatório 585/11, rev. 0, foi realizado

utilizando como corpo de prova o implante hexágono externo com 3,5mm de diâmetro

e 11,5mm de comprimento. A utilização deste implante, deu-se devido ao mesmo

oferecer menores proporções em relação aos outros confeccionados pela empresa,

tornando-o mais crítico estruturalmente, comparado com os outros modelos. Como

resultado, obteve-se para o ensaio estático um valor de carga máxima de 602,34N.


Para o ensaio de fadiga, um limite de resistência à fadiga de 176,6N para 65 10

ciclos, resultando em um valor crítico de momento de 0,97N.m.

Capítulo 4

Análise Linear Estática de Tensões em

Implantes Dentários

Neste capítulo será realizada uma análise de tensões para o modelo do

implante em estudo. A estrutura do implante dentário foi avaliada

computacionalmente a partir dos carregamentos adquiridos nos resultados do ensaio

biomecânico de fadiga, conforme descrito nas seções 3.2.9 e 6.9.

O objetivo dessa análise é quantificar a magnitude dos esforços e os seus efeitos

na estrutura do implante, ou seja, determinar o estado de tensão e deformação da

estrutura em estudo sob a ação de cargas externas. O critério de falha utilizado foi o

de von Mises. Como resultado, o valor da tensão de escoamento foi obtido e o mesmo

será utilizado para alimentar a análise de otimização topológica, descrita no Capítulo

5. Ademais, por si só, a análise efetuada neste capítulo é de grande importância para

se avaliar o comportamento do implante perante o esforço do ensaio.

4.1 Descrição do Modelo de Elementos Finitos

O Método dos Elementos Finitos foi desenvolvido para resolver equações

diferenciais parciais. Problemas físicos e de engenharia definidos em meios contínuos

são descritos por suas equações de estado, que normalmente são equações diferenciais

parciais. A solução destes problemas na sua forma analítica só é possível ou ainda

viável para sistemas muito simples. Assim, para os casos de sistemas mais complexos

Capítulo 4 – Análise Linear Estática de Tensões em Implantes Dentários 67

que envolvem geometrias e condições de contorno mais sofisticadas deve-se optar por

procedimentos de aproximação com precisão aceitável para a aplicação de engenharia

em questão.

A ideia básica do Método dos Elementos Finitos é aproximar o domínio real de

integração do problema por uma região resultante da soma de pequenos elementos

basilares, chamados de elementos finitos, transformando assim a região do domínio de

contínuo para discreto. Esta divisão do domínio é conhecida como malha, que nada

mais é do que o conjunto de elementos finitos resultante do modelo de aproximação.

A malha é formada de elementos compostos de faces e nós, que são pontos de

intersecção e ligação entre os elementos. A grande "sacada" do Método dos Elementos

Finitos é não buscar uma função admissível que satisfaça as condições de contorno

para todo o domínio, o que pode ser praticamente impossível em um problema

complexo, e sim buscar estas soluções em cada elemento separadamente, portanto

realizando uma segunda aproximação (além do modelo de aproximação geométrica),

agora no espaço de soluções.

O modelo de elementos finitos considerado neste estudo, a fim de viabilizar a

análise de tensões, tomou como base o ensaio biomecânico de fadiga, seção 6.9. Para

diminuir o custo computacional, analisou-se ¼ de simetria do implante dentário. O

elemento finito utilizado nessa análise foi o linear de base lagrangiana, o tetraédrico

de quatro nós.

O material utilizado na análise foi o titânio comercialmente puro, conforme

pode ser verificado na Tabela 4.1.


Tabela 4.1: Propriedades Mecânicas do Ti-CP.

Titânio Comercialmente Puro (Ti-CP)

oE 116 GPa

G 43 GPa

6 34,5 10 kg mm

Fonte: www.matweb.com

As propriedades refetentes aos elementos tridimensionais estão correlacionadas

ao titânio comercialmente puro, material utilizado para fabricar o implante dentário.

Na análise, são respeitadas as condições geométricas do implante dentário,

exceto pela existência da rosca do implante originalmente estudado. A ausência da

rosca no modelo, Figura 4.1, deu-se devido à dificuldade de processamento

computacional.

O filme de camada nitretada depositada ao implante dentário, após o

tratamento superficial de Nitretação em Cátodo Oco, não foi considerado na análise

de elementos finitos, devido ao pequeno valor de espessura da mesma, correspondente

a 0,05mm, ver seção 6.10.

Figura 4.1: Discretização de ¼ de implante dentário.


4.2 Cargas Aplicadas e Condições de Contorno

Conforme descrito na seção 4.1, foi considerado ¼ de simetria do implante para

a análise estrutural estática. Desta forma, de maneira similar, ¼ da força de

escoamento determinada via ensaio biomecânico, ou seja 43,28N , também foi

utilizada para o dimensionamento do mesmo.

No modelo, foram analisados dois casos de carregamentos, com o objetivo de

simular o esforço mastigatório:

Caso 1: A força escoamento aplicada, na área da região do hexágono externo

do implante, de forma que sua direção fizesse um ângulo de 30o com o eixo

central do implante, ver Figura 4.2 (a).

Caso 2: Força de escoamento aplicada, na área da região do hexágono externo

do implante, de forma compressiva em relação ao eixo central do implante, ver

Figura 4.2 (b).

As considerações para as condições de contorno da análise deu-se da seguinte

forma: A região descrita como 1 permanece livre ao longo do comprimento do

implante e fixo nas demais direções. E para a região 2 , fixo ao longo do

comprimento do implante e livre nas demais direções. Simulando o contato

osso/implante, conforme ilustrado na Figura 4.3.


a) b)

Figura 4.2: Casos de carga: a) Caso 1. b) Caso 2.

a) b)

Figura 4.3: Condições de Contorno: a) Planos de Simetria. b) Deslocamentos prescritos.


4.3 Análise de Tensões no Implante Dentário

Esta seção apresenta o resultado da análise estática de tensão, através do

MEF, no implante dentário. Na análise utilizou-se como critério de falha o Critério de

falha de von Mises.

4.3.1 Caso de Carga 1:

A Figura 4.4 e a Figura 4.5 mostram a distribuição da tensão de von Mises na

parte interna e externa do implante dentário para o caso de carga 1, respectivamente,

com o ponto de concentração de tensão apresentado região da conexão munhão-

implante.

Figura 4.4: Caso 1 - Tensão máxima de von Mises igual a 146,9MPa . Visualização no

interior do implante dentário.

A Figura 4.5 representa a distribuição de tensão na região externa do implante

dentário.


Figura 4.5: Caso 1 - Tensão máxima de von Mises igual a 146,9MPa . Visualização na

região externa do implante dentário.

A Figura 4.6 mostra a convergência do resultado, para o caso de carga 1, com

a inalteração do resultado após refino local da malha na região de ponto crítico da

análise, isto é, local onde ocorre a concentração de tensão.

a) b)


elementos. b) Malha refinada com 7.525 elementos.

4.3.2 Caso de Carga 2:

A Figura 4.7 e a Figura 4.8 mostram a distribuição da tensão de von Mises na

parte interna e externa do implante dentário para o caso de carga 2, respectivamente.


Figura 4.7: Caso 2 - Tensão máxima de von Mises igual a 119MPa . Visualização no interior

do implante dentário.

A Figura 4.8 representa a distribuição de tensão na região externa do implante

dentário.

Figura 4.8: Caso 2 - Tensão máxima de von Mises igual a 119MPa . Visualização na região

externa do implante dentário.

A Figura 4.9 mostra a convergência do resultado, para o caso de carga 2, com

a inalteração do resultado após refino local da malha na região de ponto crítico da

análise.


a) b)


elementos. b) Malha refinada com 7.525 elementos.

Capítulo 5

Otimização Topológica 3D com Refinamento

Adaptativos

A instalação de implantes dentários é uma técnica repositora do elemento

dental. No entanto, estudos mostram que os implantes dentários falham

ocasionalmente quando não conseguem permanecer osseointegrados, resultando na

perda do osso da crista alveolar, Shi et al. (2007). A perda óssea depende de muitos

fatores, por exemplo, a biocompatibilidade do implante, a técnica cirúrgica, o

tratamento restaurador, as características geométricas e de superfície do implante e as

condições de carga em relação à qualidade e quantidade do osso circundante. O osso

circundante tem a capacidade de adaptar-se a forma do implante, por meio de

reabsorção e deposição, de acordo com os estímulos mecânicos que ele se encontra

exposto, pontos importantes para o sucesso do implante, Pinto (2011). Vários fatores

podem afetar o nível de tensão no osso circundante ao implante, estes incluem: as

cargas aplicadas, a qualidade e a quantidade de osso, o material e a forma do

implante. Uma vez que a qualidade do osso e as cargas aplicadas são fatores que não

podem ser alterados, a escolha de um implante dentário com uma forma e material

favorável tem sido o foco de muitas pesquisas a fim de reduzir o nível de

concentração de tensões no osso, Petrie e Williams (2005).

Capítulo 5 – Otimização Topológica 3D com Refinamento Adaptativos 76

As técnicas de otimização estrutural, e principalmente a de topológica, tem

sido pouco utilizadas como ferramenta de “criação” de implantes dentários,

especialmente na fase inicial de projeto, Chang et al. (2012). O objetivo do presente

estudo foi empregar a tecnologia da otimização topológica a fim de derivar formas

alternativas para os implantes dentários.

Como contribuição, propõe-se uma tecnologia inovadora de concepção de

implantes dentários otimizados. Estes implantes possuirão novas formas, sendo

necessário para sua confecção uma quantidade menor de material estrutural, e com a

possibilidade de serem produzidos com maior controle da rigidez e da resistência aos

esforços, a depender do processo de otimização empregado. Essa inovadora tecnologia

permitirá desenvolver uma nova forma de fixação osso/implante.

É importante ressaltar que ao se projetar um implante toma-se como

parâmetro de referência, que este possua as mesmas propriedades encontradas na raiz

do dente. Ao analisar a flexibilidade, a qual depende da geometria e da propriedade

do material, verifica-se que o material utilizado como base, em nosso caso o Ti-CP

grau II, possui um módulo de elasticidade muito superior ao do osso, então, mesmo

que se utilize uma função objetivo que a princípio se distancia do que se almeja, aos

olhos da implantodontia, devido a tamanha discrepância entre as propriedades dos

dois materais citados, a flexibilidade alcançada no processo de otimização, não

produzirá qualquer prejuízo ou desvantagem, pois o implante sempre será muito mais

rígido do que raiz do dente. Entretanto, justamente devido a alta resistência

proporcionada pelo Titânio é que podemos utilizar um procedimento de minimização

da flexibilidade, prescrevendo valores fracionados do material e assim obter novos


implantes, com inovadoras geometrias. O processo de otimização se torna mais

consistente quando se utiliza o procedimento de minimização da massa sob restrição

de tensão, o qual irá realizar uma distribuição ótima de acordo com a solicitação, sem

a necessidade de prescrição de valores baseados na experiência do projetista.

Visando obter uma melhor definição da topologia final do implante, agrega-se

ao processo de otimização uma estratégia de refino h-adaptativo, que será aplicada a

ambas as formulações. Este processo utiliza um elemento finito tetraédrico de quatro

nós, denominado no texto como TETRA4, Apêndice C.

A vantagem desta proposta, em relação às técnicas de otimização topológica

existentes aplicadas ao processo de obtenção de implantes, como no trabalho de

Chang et al. (2012), está na utilização de um elemento finito tridimensional com

adaptatividade, gerando topologias mais realísticas que as proporcionadas em modelos

bidimensionais. A implementação de um esquema de refino h-adaptativo, possibilita

uma estratégia de refino seletiva, baseada em estimadores de erro das informações da

qualidade da malha e dos resultados gerados pela topologia resultante da malha

inicial; e proporciona um grande desempenho na obtenção de topologias com alta

qualidade da resolução, devido ao baixo custo computacional.

A formulação é baseada na abordagem material, proposta por Bendsoe e

Kikuchi (1988), considera uma equação constitutiva homogeneizada dependente

apenas da densidade relativa do material. A microestrutura utilizada para a descrição

das propriedades materiais é do tipo SIMP (Solid Isotropic Material with Penalty).

A implementação computacional foi feita em linguagem de programação

Fortran 95, objetivando diminuir o custo computacional, foi utilizado um


solucionador de sistema linear, utilizando o armazenamento do tipo banda variável

(classicamente conhecido na literatura como sky line ou ainda profile matrix). No

algoritmo, foi implementado um esquema de reordenamento nodal da malha de

elementos finitos, denominado Reverse Cuthill-McKee (RCM), Apêndice A.2.

A fase de otimização topológica deste trabalho foi executada obedecendo as

etapas mostradas conforme fluxograma da Figura 5.1.


Figura 5.1: Fluxograma do Processo de Otimização com Adaptatividade


5.1 Minimização da Flexibilidade em Implantes Dentários

A formulação de otimização topológica tridimensional apresentada nesta seção

foi combinada a um processo de refino h-adaptativo. A abordagem tem por objetivo

proporcionar leiautes competitivos e com definição proporcional ao tamanho médio do

elemento utilizado, de modo a minimizar a flexibilidade e atender a um pré-definido

limite de volume material.

O método de otimização de leiaute empregado é baseado na abordagem de

material proposta por Bendsoe (1995) e Bendsoe e Kikuchi (1998). Nestes trabalhos,

a equação constitutiva homogeneizada é função somente da densidade relativa do

material, denotada por ρ .

A formulação proposta utiliza o clássico elemento finito tetraédrico de quatro

nós, TETRA4, o qual interpola não só as componentes do campo de deslocamento,

assim como o campo de densidade relativa. Visando evitar a instabilidade do tipo

tabuleiro, é imposta uma restrição do tipo caixa às componentes do gradiente da

densidade relativa do material, como sugerido por Sigmund e Sigmund (1999). Esta

abordagem gera um processo de otimização de leiaute muito robusto e eficiente. A

principal desvantagem é a ocorrência de uma camada de material de densidade

intermediária, inf1ρ ρ , ao longo do contorno material. É importante observar

que a região de densidade intermediária ao longo do contorno pode ser

consideravelmente reduzida, pela utilização de um esquema de refino h-adaptativo

adequado.


5.1.1 Formulação do Problema

O problema de otimização de leiaute pode ser formulado da seguinte forma:

Determinar a distribuição de densidade relativa do material, tal que seja solução

de:

min f u

ρ (5.1)

sujeito a:

a) Restrição de Volume:

d

(5.2)

sendo o volume do espaço de projeto, a densidade relativa e fração de volume

prescrita com 0,1 .

b) Restrições Laterais:

Considera-se a densidade relativa do material, , sendo definida no intervalo

inf,1 , com

inf0 , isto é:

inf sup( ) 0 e ( ) 0 , x x x (5.3)

c) Restrições de Estabilidade:

2

20 , para , e ; .

dc d x y z

d

xx . (5.4)

As restrições de estabilidade são empregadas visando:

1. Assegurar a existência de solução para o problema de otimização de leiaute,

ver Bendsoe (1995), como também, Petersson e Sigmund (1998);


2. Evitar o problema de instabilidade de tabuleiro e;

3. Reduzir a dependência da solução do leiaute ótimo com relação à malha

inicial utilizada.

Neste ponto é importante enfatizar que, para obter um bom desempenho

computacional, é imprescindível a utilização de um elemento finito com baixa ordem

de interpolação. Porém, a utilização de elementos de ordem baixa pode ocasionar, no

caso da omissão da restrição de estabilidade, o aparecimento de instabilidade

numérica, Costa Jr. (2003).

As constantes , , e x y z

c c c , subseção 5.1.3, definem os limites laterais para as

componentes do gradiente da densidade relativa e visa a imposição adequada de

condições de contorno de simetria, quando necessárias.

Determinar u ρ em u

x , Apêndice B, tal que:

div , . u x b 0 x (5.5)

Com u

é a parte do contorno com deslocamento prescrito, é o tensor

tensão e b a força de corpo prescrita aplicada ao corpo.

O tensor tensão é definido por:

Hu D u (5.6)

e

, .t

u x n t x (5.7)


Sendo:

HD o tensor constitutivo homogeneizado do material, associada à microestrutura

utilizada; é o tensor deformação; nvetor normal, t

parte do contorno com carga

prescrita, t é a carga prescrita aplicada no contorno t

.

Multiplicando a equação de equilíbrio mecânico (5.5) pela função peso v ,

deslocamento virtual, e integrando-a sobre o domínio , tem-se:

odiv , H

v b v 0 v d d . (5.8)

ou

odiv , HT

v b v 0 v d d d (5.9)

H o é o conjunto das variações admissíveis descrito como:

21 , em

uH H v v v 0 xo | = , com deslocamento admissível

,H H u o sendo u o deslocamento prescrito. E 1H o espaço de Hilbert.

5.1.2 Definição do Modelo Material

Na definição das propriedades mecânicas do material no problema de

otimização topológica, utilizou-se uma formulação de microestruturas porosas,

caracterizado pelo modelo material do tipo SIMP, Bendsoe (1995) e Bendsoe e

Sigmund (1999), parametrizadas por sua densidade relativa.

No modelo proposto, define-se o módulo de elasticidade em termos da

densidade relativa.

E E o . (5.10)


Onde E o é o módulo de elasticidade relativo ao material completamente denso e é

o parâmetro de penalidade microestrutural do modelo. Este parâmetro penaliza

regiões com densidades intermediárias resultando em leiautes ótimos com reduzidas

regiões de densidade intermediária. Neste trabalho é considerado, como sugerido por

Bendsoe e Sigmund (1999), o seguinte parâmetro de penalidade, 4 . De acordo

Sigmund (1998), para 3 4 pode-se determinar uma microestrutura a qual

representa uma realização física de um material composto, cuja equação constitutiva

homogeneizada reproduz as propriedades do material poroso no ponto considerado.

Ou seja, para todo leiaute ótimo existe uma configuração física realizável, passível de

ser fabricada.

Esta relação da equação (5.10) permite-se escrever a equação constitutiva

homogeneizada associada ao modelo microestrutural, como:

o,H D Dηρρ (5.11)

sendo Do a matriz que contém os parâmetros de elasticidade do elemento denso.

Para contornar o efeito do travamento volumétrico, aplica-se um esquema de

integração seletiva no qual calcula-se, separadamente, os termos volumétricos e os

termos referentes a parte de distorção. Desta forma, obtém-se:

( )H H Hvol dist

D D Dρ . (5.12)

Sendo definido que

ρ

ρ11

22

( ) e

( )

H

H Hvol dist H

0 0D 0D D

0 0 0 D (5.13)


e ainda

ν νν ν

ν ν νρν ν ν ν

ν νν ν

11

11 1

11

1 1 2 1 1

11 1

H E

D (5.14)

e

ρν22

1 0 0

0 1 02 1

0 0 1

H E

D (5.15)

Separando os termos de rigidez volumétrica e de distorção, obtém-se:

vol dist K K K . (5.16)

Fazendo uso da equação constitutiva homogeneizada, define-se:

T Hvol vol d

K B D B (5.17)

e

T Hdist dist d

K B D B (5.18)

Para o esquema de integração seletiva, subintegra-se os termos volumétricos da

Equação (5.17), e integra-se de maneira completa os termos de distorção definidos na

Equação (5.18).

5.1.3 Definição das Constantes cx, cy e cz

Na definição das constantes , e x y z

c c c , considerou-se um elemento genérico

conforme mostrado na Figura 5.2, sendo , , ,i i i i

x y zx p/ 1,..., 4i as


coordenadas dos vértices e , ,m m m m

x y zx as coordenadas do baricentro do

elemento finito tetraédrico de quatro nós.

Figura 5.2: Coordenadas do baricentro do elemento finito Tetra4, Coutinho (2006).

Agora, denotando:

min

min p/ 1,...,4ii

d d i (5.19)

é definido que

min

1e e e ex y z

c c c cd

. (5.20)

Uma modificação dos limites ex

c , ey

c e ez

c , deve ser realizada se no mínimo uma

das faces do elemento coincide com algum plano de simetria. Aqui, são considerados

três casos possíveis:

Para o plano de simetria - xy , considerou-se que a face abc do elemento

coincide com o plano xy de simetria. Neste caso, de acordo com o ilustrado na

Figura 5.3, deve-se ter: 0w e / 0z . Sendo assim, a imposição da última

condição é alcançada denotando 0ez

c .


Figura 5.3: Condição de simetria no plano xy

No Plano de simetria - xz , considera-se que a face cbd do elemento

coincidente com o plano xz de simetria. Assim, de acordo com a ilustração na

Figura 5.4, deve-se ter: 0v e / 0y . A imposição da última condição é

alcançada denotando 0ey

c .

Figura 5.4: Condição de simetria no plano xz

Para o Plano de simetria - yz considerando que a face acd do elemento

coincidente com o plano yz de simetria, de acordo com a ilustração na Figura 5.5,

deve-se ter: 0u e / 0x . A imposição da última condição é alcançada

denotando 0ex

c .


Figura 5.5: Condição de simetria no plano yz

5.1.4 Formulação do Problema de Ótimo no Contínuo

a) Método Lagrangeano Aumentado

O problema de otimização a ser resolvido, já definido pelas Equações (5.1) a

(5.4), pode ser formulado utilizando o Método do Lagrangiano Aumentado que

consiste em transformar um problema com restrições em um problema equivalente de

minimização sem restrições, que é a solução de uma sequência de problemas de

mínimo com restrições laterais. A abordagem aqui será feita na forma de algoritmo

com vistas à formulação computacional, o qual segue:

1. Definir valores iniciais: 00,5

k

, 0k , 0k , k 0 , 1, 0erro , k ,

k e tol .

2. Enquanto err tol , efetuar o laço, caso contrário ir para o passo 3:

(i) Solução do problema de minimização com restrições laterais:

min , , ; , , k k k kA

£ X (5.21)


sendo rinf sup

| ; 1, ,nn

i ni n X ¡ … e

nn é o número de nós da malha.

Definindo

3

1

1 1

1, , ;

1, ,

e

k k k k k kA k

nk k

ej ej j ejkj ej

£ f h h

g

(5.22)

Sendo definido que: f ρ é a função objetivo, ( )h ρ é a restrição de volume e

( ( ), , )k kej ej j ej

g ρ são as restrições de estabilidade. Com:

2

( ) ( ) , se ( )2

( ( ), , )

, se ( )2 2

k kj ejk k

ej ej j ej ejk k

k k k kej ej j ejj ej j ej

ej

g g g

g

g

ρ ρ ρ

ρρ

(5.23)

para 1, , e 1, ..., 3e

e n j … .

Por conveniência, o índice , e d x y z é também denotado por 1,2 e 3j .

Desta forma,

3

1 1

2 1 e

n n n

nejkA

k kj en n nj

d£ df hd d

(5.24)

com

1

n n n

mr

rn n r n

udf f fd u

(5.25)

sendo m o grau de liberdade e n o número do nó do elemento.

Reescrevendo a Equação (5.25):


,n n nn n n

df ff

d

uu . (5.26)

Tem-se que:

Ku P , (5.27)

derivando a Equação (5.27) em relação a nn

:

n n nn n n

K u Pu K . (5.28)

Como a carga P não depende da densidade, denota-se que:

n

n n

nn n

u KK u R (5.29)

1

n nn n

u KK u . (5.30)

Substituindo a equação (5.30) na equação (5.26), tem-se:

1,n

n n

nn n

df ff

d

u K R (5.31)

,n

n n

Tn

n n

df ff

d

K u R (5.32)

desde que 1 T K K :

1 ,n

n n

nn n

df ff

d

K u R . (5.33)

(ii) Atualizar o ponto de projeto

1k k k d . (5.34)


(iii) Atualização dos multiplicadores de Lagrange:

1 2max 0,k k kh

x (5.35)

e

1 2max 0, p/ 1,..., ; 1,..., 3.k k k

ej ej ej ej

g e n j

x (5.36)

(iv) Atualização do parâmetro de penalidade da Função Lagrangiana

Aumentada:

1 , se , 0,1

k k crit

kcrit

, (5.37)

e

1 , se , 0,1

k k crit

k j j j j j jcritjj

, (5.38)

(v) Determinação do erro

1 1 1

1 1 2 2

13 3

max , max , max

e max

k k k k k ke e e ee e e

k ke ee

a b c

d

(5.39)

então, max , , ,erro a b c d .

3. Fim do laço.

5.1.5 Refino da Malha com Adaptatividade h

O processo de refino proposto nesta pesquisa foi sugerido inicialmente por

Costa Jr. (2003), porém o mesmo foi aplicado a problemas bidimensionais. O método

consiste na solução de uma sequência de problemas de otimização, intercalado por um


passo de refino h-adaptativo. No modelo a ser otimizado, cada nível do processo é

obtido a partir de uma malha anterior de acordo com a aplicação de um esquema de

refino. O número total de níveis de refinos h-adaptativos a serem aplicados é definido

de modo prescrito. Desta forma, a determinação da topologia ótima consiste na

solução de uma sequência de problemas, onde cada um consiste na otimização do

leiaute seguido por um esquema de refino h-adaptativo. As principais vantagens na

utilização do processo de refino estão relacionadas com a melhor definição do

contorno material, a redução do número de variáveis de projeto e a diminuição do

erro da solução da equação de estado.

a) Estratégia de Refino da Malha

O conjunto de elementos, r

J , a serem refinados no processo de otimização é

definido como sendo todos os elementos cuja sua densidade média é maior ou igual a

0, 85 .

No algoritmo de otimização, para auxiliar no processo de identificação do

conjunto de elementos a serem refinados, foi introduzido um ponteiro de vetor,

denominado no texto como Pref e , contendo o número total de elementos da malha,

1,...,e

e n . Se 1Pref e então o e-ésimo elemento deverá ser refinado, isto é,

re J . Caso contrário, se 0Pref e , então o elemento não será refinado,

re J .

Proposta de refino h-adaptativo:

1. Iniciar ponteiro 0Pref e , 1, ...,e

e n .

2. Para cada elemento, 1,...,e

e n , verificar:


Se sup0,85 ,e med

então denotar 1Pref e , assim, o elemento

pertence ao conjunto r

J . Se inf, 0,85

e , então é verificado se o

elemento tem pelo menos um nó pertencente a alguma face comum aos

elementos com densidade média apta para o refino, ou seja, sup0,85 .

Desta forma, este elemento também será refinado e pertencerá ao

conjunto r

J . Proporcionando melhor qualidade na malha refinada.

3. Determinar a medida de qualidade Q e de cada elemento, 1,...,e

e n ,

a qual é definida por:

max

2 6ine

Q e rL

. (5.40)

Onde:

in

r é o raio da esfera inscrita no tetraedro;

max

max 12,23, 34, 41,13,24eL é o comprimento da maior aresta

do tetraedro.

Se 0, 55e

Q , redefine-se o valor do ponteiro para 1Pref e . Assim,

todos os elementos distorcidos são refinados.

Agora, uma vez que todos os passos acima foram realizados, é obtida

uma primeira estimativa do conjunto r

J .

O esquema de refino do elemento descrito nos passos 1 ao 3, é ilustrado na

Figura 5.6 e Figura 5.7.


a) b)

Figura 5.6: a) Elemento Tetraedro; b) Elemento Tetraedro Refinado com 8 Elementos

Figura 5.7: Detalhe do Refino Elemento TETRA4

A Figura 5.8 ilustra a forma com que a malha é compatibilizada durante o

processo de refino h-adaptativo.

Figura 5.8: Compatibilidade das Malhas Durante o Refino

b) Processo de suavização condicional Laplaciano

Para melhorar a qualidade da malha, depois do passo de refino, emprega-se um

processo de suavização denominado por Laplaciano condicional, Figura 5.9, sendo que

vn denota o número de nós dos vértices adjacentes associado com o nó nx , ver

Equação (5.41). O processo de suavização é aplicado, em ordem crescente, a todos os

nós dos vértices que estão no interior da malha.


Os nós do contorno são mantidos fixos. O processo Laplaciano é

condicional, portanto, ele somente será aplicado se a qualidade da malha do conjunto

de elementos melhorar. A qualidade de um conjunto de elementos é definida como

sendo a qualidade do pior elemento do conjunto. A medida da qualidade do elemento

é dada pela Equação (5.40). Ao aplicar o processo de suavização Laplaciano, uma

nova posição teste do nó nx é determinada, a qual é denotada por nx , entretanto, o

nó nx só será movido para a nova posição teste se a qualidade da malha não

diminuir.

1

1 vn

n inv

n

x x (5.41)

a) b)

Figura 5.9: Processo de suavização Laplaciano: a) Malha inicial. b) Malha após suavização.

c) Estimador de erro

Nesta etapa foi feito uso do estimador de erro proposto por Zienkiewicz e Zhu

(1990 e 1991), o qual é baseado numa técnica de recuperação do gradiente por meio

da norma da energia, ver Babusvka et al. (1986), Georges e Shephard (1991), Bugeda

(1991) e Wilberg e Abdulwahab (1997). Sendo ρ uma dada densidade relativa nodal

realizável do problema. Então, o erro local do deslocamento pode ser definido como:


h e u uρ ρ ρ (5.42)

onde u ρ e hu ρ correspondem, respectivamente, à solução exata e à solução

aproximada. Então, a norma da energia do erro pode ser escrita como:

2

E

H d

e D e eρ ρ ε ρ ε ρ . (5.43)

Agora, o erro local da tensão pode ser expresso em termos do erro local do

deslocamento como segue:

H Hh h e D u u D eσ ρ σ ρ σ ρ ρ ε ρ ρ ρ ε ρ . (5.44)

Sendo assim, a norma da energia do erro pode ser reescrita da seguinte forma:

12

E

Hh h d

e Dρ σ ρ σ ρ ρ σ ρ σ ρ . (5.45)

Como a distribuição de tensão exata é desconhecida, aproxima-se σ ρ por uma

solução melhorada *σ ρ , a qual é mais refinada que hσ ρ . Daí, o indicador de erro

é aproximado por:

12 * *

E

Hh h d

e Dρ σ ρ σ ρ ρ σ ρ σ ρ . (5.46)

d) Determinação de *σ ρ

Para a determinação da solução melhorada *σ ρ , aplica-se a técnica de

projeção proposta por Zienkiewicz e Zhu (1990 e 1991), que é baseada no fato de que

a solução do campo de deslocamento aproximada pelo elemento finito 0h C u ρ

mas o campo de tensão resultante é apenas contínuo por partes. A determinação de

*σ ρ consiste na solução por mínimos quadrados do potencial ξ ρ , sendo


* *h h

d

ξ ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ ρ . (5.47)

Aqui, *σ ρ é interpolado dentro de cada elemento como

* *

1

dn

j jj

N

σ σ , (5.48)

onde *jσ é o tensor das tensões avaliados no j -ésimo nó do elemento, e jN são as

funções clássicas de interpolação usadas na interpolação do campo de deslocamentos.

Agora, uma vez que *σ ρ é determinado, pode-se calcular o erro médio global

G , como

11 H

G h h d

Dσ ρ σ ρ ρ σ ρ σ ρ ; (5.49)

o erro médio do elemento e , como

1* *1

e

He h h e

e

d

Dσ ρ σ ρ ρ σ ρ σ ρ . (5.50)

A estratégia adotada para verificar, se um dado elemento deve ser refinado,

devido ao critério de erro medido, é dada por: se 1 , com 0e G ϕ ϕ , então

refina-se o elemento.

5.1.6 Validação do Modelo de Otimização Proposto

Nesta subseção serão mostrados alguns resultados obtidos com a aplicação do

método otimização topológica 3D sob restrição de flexibildade. As respostas são

provenientes de exemplos clássicos, já conhecidos na literatura. O objetivo é validar a

formulação proposta.


Por simplicidade, foi utilizado o mesmo módulo de Young para todos os casos,

9116 10E ut o e Coeficiente de Poisson 0,34ν . Para melhor visualização da

topologia resultante foram descartados os elementos com densidade abaixo de 0, 8 .

Na região em detalhe, conforme pode ser verificado na Figura 5.10, o contorno da

topologia é formado por um gradiente de distribuição de densidade, devido ao campo

de interpolação utilizado. Considerando a espessura do gradiente de densidade

(camada de definição do contorno), definida apenas por um elemento, tem-se a

condição ótima de nitidez do contorno da topologia. Conclui-se então que o tamanho

médio dos elementos que formam a camada define a qualidade da topologia. Agora,

analisando o elemento com maior densidade possível na camada de definição do

contorno, tem-se 0,751e

ρ considerando inf0, 005ρ , Equação (5.51) Sendo assim,

basta que o valor limite da densidade a ser desconsiderado seja lim e e ρ ρ ρ .

1 1 1 0,005

0,7514e

ρ (5.51)

Figura 5.10: Gradiente de Distribuição de Densidade


a) Viga bi-apoiada com carga aplicada na parte central superior:

O problema de otimização consiste em um bloco, conforme ilustrado na Figura

5.11, cujas dimensões são a 0,5uc , b 1, 0uc e c 0,1uc . Para diminuir o tempo

de processamento do problema, foi considerado ½ de simetria da estrutura com 231

elementos e 99 nós, Figura 5.11 (b). A estrutura foi analisada aplicando-se uma carga

distribuída uniformemente de 6146,9 10 ucdw e utilizando-se uma fração de

volume de 40%. O bloco está fixo em suas extremidades inferiores nas três direções,

ou seja, com deslocamento prescrito 0,0,0 , sendo 1 2 . O caso foi avaliado com

dois níveis de refino, conforme pode ser verificado na Figura 5.13 e na Figura 5.14.

Os elementos com densidade acima de 0, 8 estão representados pela cor

vermelha, resultado da topologia.

a) b)

Figura 5.11: a) Diagrama de Corpo Livre do Problema: b) ½ de Simetria da Estrutura

A Figura 5.12 (a) representa o resultado da estrutura utilizando uma malha

com 231 elementos; a Figura 5.12 (b), simula a mesma estrutura apresentada na

Figura 5.12 (a), com os elementos da malha duplicados e espelhados tomando-se

como referência a condição de simetria do problema.


a) b)

Figura 5.12: Resultado do Problema: a) Malha com 231 Elementos. b) Malha com 462

Elementos

A Figura 5.13 mostra o resultado do problema após o primeiro nível de refino

com adaptatividade h.

Figura 5.13: Resultado do Problema com Malha apresentando 1.510 elementos (1º nível de

refino)

A Figura 5.14 apresenta o resultado do problema após o segundo nível de

refino com adaptatividade h.


refino)


A Figura 5.15 mostra o resultado final da topologia retirando-se os elementos

com densidade inferior a 0, 8 .


refino), retirando os elementos com densidade inferior a 0,8.

b) Viga bi-apoiada com carga aplicada na parte central inferior:

O problema consiste em um bloco, conforme ilustrado na Figura 5.16, cujas

dimensões são a 6uc , b 6uc e c 1uc . Ao bloco, foi considerado a condição de

contorno de simetria, a fim de diminuir o tempo de processamento do problema. No

modelo simulou-se ½ estrutura contendo 1.878 elementos e 566 nós, e após o primeiro

nível de refino h-adaptativo o problema apresentou 10.194 elementos e 2.370 nós. A

estrutura foi analisada aplicando-se uma carga distribuída de 6146,9 10 ucdw e

utilizando-se uma fração de volume de 30%. O bloco está fixo nas extremidades

inferiores nas três direções, ou seja, com deslocamento prescrito 0, 0,0 .


vermelha, resultado da topologia, Figura 5.19.


Figura 5.16: Problema de otimização de uma viga bi-apoiada com carga aplicada na parte

central inferior.

A Figura 5.17 (a) representa o resultado da estrutura utilizando uma malha

com 1.878 elementos; a Figura 5.17 (b), simula a mesma estrutura representada na

Figura 5.17 (a), com os elementos da malha duplicados e espelhados tomando-se

como referência a condição de simetria do problema.

a) b)

Figura 5.17: Resultado do Problema: a) Malha com 1.878 elementos. a) Malha com 3.756

elementos.

A Figura 5.18 mostra o resultado do problema após o primeiro nível de refino

com adaptatividade h.



refino)




refino), retirando os elementos com densidade inferior a 0,8.


5.2 Minimização de Massa em Implantes Dentários

Nesta seção é proposta uma formulação de otimização topológica

tridimensional também combinada a um processo de refino h-adaptativo que tem por

objetivo proporcionar leiautes competitivos e de alta definição, de modo a minimizar

a massa e atender a um critério de tensão.

Segundo Costa Jr. (2003), é definitivo a consideração de restrições de tensão

para fins de manufatura no ponto de vista da engenharia. As considerações destas

restrições envolvem algumas dificuldades numéricas: A necessidade de se considerar

um grande número de restrições, necessárias para uma aproximação adequada do

critério paramétrico de tensão local. E o fato das restrições de tensão apresentar um

comportamento altamente não linear, com respeito às variáveis de projeto, o que

requer a utilização de algoritmos de programação matemática muito robusta.

Com o aumento da complexidade do algoritmo de otimização e da análise de

sensibilidade, o custo computacional para a aplicação do método de otimização

topológica, que já envolve um número elevado de variáveis de projeto, é acrescido

significativamente.

A transformação de um critério de tensão local para um critério de medida

global é um modo de evitar a utilização de um grande número de restrições. A

medida de tensão global é implementada como uma única restrição, reduzindo

consideravelmente o custo computacional necessário para resolver o problema de

otimização.


O problema de otimização topológica sob restrições de tensão local está sujeito

a problemas de singularidade, devido à degeneração do espaço de projeto. A região

factível do espaço de projeto contém apêndices degenerados, onde o algoritmo de

otimização tem grande dificuldade de atingir o ótimo sem violar a restrição de tensão.

Regiões de baixa densidade permanecem às vezes altamente deformadas, ou seja,

quando a densidade tende para o limite inferior nestas regiões, o estado de tensão na

microestrutura tende para um valor não nulo superior ao limite de tensão. Portanto,

o procedimento de otimização não consegue remover o material nesta região sem

violar a restrição de tensão. O paradoxo é que, se o material fosse totalmente

removido, a restrição de tensão obviamente não estaria ativa.

Para contornar o problema de singularidade, considera-se uma relaxação e na

restrição de tensão, conforme proposto por Cheng e Guo (1997). Esta técnica de

perturbação das restrições, resulta em uma relaxação dos limites de tensão em regiões

de baixa densidade.

Neste trabalho, o método faz uso de uma microestrutura intermediária

artificial do tipo SIMP (Solid Isotropic Material with Penalty), mesma metodologia

adotada no item 5.1.2, onde a equação constitutiva homogeneizada é função somente

da densidade relativa do material. Para estabilizar a solução e assim evitar problemas

de tabuleiro, impõem-se restrições de estabilidade, de modo a controlar as variações

de densidade em cada direção. As equações de estado são aproximadas pelo Método

dos Elementos Finitos de Galerkin, com a utilização de um clássico elemento finito

tetraédrico de quatro nós, designado neste trabalho por TETRA4, o qual interpola


linearmente o campo de densidades relativas, além das componentes do campo de

deslocamentos.

Na solução do problema discreto de otimização, foi aplicado o Método do

Lagrangiano Aumentado. Como consequência, o problema de otimização reduz-se à

solução de uma sequência de problemas de limites laterais do tipo caixa, o qual é

resolvido por um método de projeção de segunda ordem que utiliza um método de

quasi-Newton sem memória.

Visando a redução do custo computacional para a determinação da topologia

ótima, é considerada uma relaxação da restrição local de tensão, pela sua

transformação em um critério de medida global.

5.2.1 Formulação do Problema

O problema de otimização da massa pode ser formulado da seguinte forma:

Determinar a distribuição de densidade relativa do material, tal que seja solução

de:

min f

ρ (5.52)

Sendo f a função objetivo sujeito a:

a) Restrição de tensão:

*

1 0eq

y

, (5.53)

com *eq

a tensão equivalente e y a tensão de escoamento do material.


b) Restrições laterais:

inf sup0 e 0 , x x x (5.54)

c) Restrições de estabilidade:

2

20 , para , e ; .

dc d x y z

d

xx . (5.55)

5.2.2 Definição do Modelo Material

O modelo material utilizado foi do tipo SIMP, o mesmo considerado no

processo de minimização de flexibilidade citado no item 5.1.2.

No modelo proposto, define-se o módulo de elasticidade em termos da

densidade relativa.

E E o . (5.56)

Onde Eo é o módulo de elasticidade relativo ao material completamente denso e o

expoente é o parâmetro de penalidade microestrutural do modelo, considerado

nesta pesquisa como sendo 4 .

A equação constitutiva homogeneizada também estpa associada ao modelo

microestrutural, ver Equação (5.57):

oH D D . (5.57)

sendo o D a matriz que contém os parâmetros de elasticidade do elemento denso.


Para contornar o efeito do travamento volumétrico, também aplicou-se um

esquema de integração seletiva: calcula-se, separadamente, os termos volumétricos e

os termos referentes a parte de distorção, Equação (5.58):

( )H H Hvol dist

D D D . (5.58)

Sendo definido que

11

22

( ) e

( )

HH H

Hvol dist

0 0D 0D D

0 0 0 D (5.59)

e ainda

11

11 1

11

1 11 1 2

11 1

HE

D (5.60)

e

22

1 0 0

0 1 02 1

0 0 1

H E

D (5.61)

Separando os termos de rigidez volumétrica e de distorção, obtém-se:

vol dist K K K . (5.62)

Fazendo uso da equação constitutiva homogeneizada, define-se:

T Hvol vol

d

K B D B (5.63)


e

T Hdist dist

d

K B D B (5.64)

Para o esquema de integração seletiva, subintegra-se os termos volumétricos da

Equação (5.63), e integra-se de maneira completa os termos de distorção definidos na

Equação (5.64).

Além da consideração do modelo material, na propriedade mecânica do

material, devido ao objetivo desta seção ser minimizar a massa sujeito a um critério

de tensão, definiu-se uma medida para a tensão efetiva de acordo com os

trabalhos de Duysinx e Sigmund (1998) e Duysinx e Bendsoe (1998):

*

(5.65)

Definida a Equação (5.65), introduz-se uma restrição de tensão local, o qual

define um critério de falha do material em termos da tensão efetiva de von Mises:

* eq

eq y

(5.66)

onde y é a tensão admissível.

5.2.3 Critério de Tensão de Falha com Relaxação

A formulação da restrição de tensão estabelece que esta será imposta de acordo

com a densidade do material. Rearranjando a Equação (5.66), tem-se:

*

1 0eq

y

. (5.67)


Porém, a modificação proposta não é suficiente para evitar problemas de

singularidade devido degeneração do espeço de projeto. Uma técnica para contornar

esta dificuldade é reformular o problema como uma sequência de problemas com

características mais atraentes, cujas soluções ótimas poderão ser alcançadas com

menor esforço computacional, Coutinho (2006). A técnica denominada de perturbação

das restrições, relaxação e , proposta por Cheng e Guo (1997) foi implementada neste

trabalho e resulta em uma relaxação dos limites de tensão nas regiões de baixa

densidade.

*

sup1eq

y

e

. (5.68)

Esta relaxação atua sobre a parte degenerada do espaço de projeto,

possibilitando a criação e remoção de furos sem violar a restrição de tensão. Isto é,

para cada 0e , o problema relaxado é caracterizado por um espaço de projeto não

tanto degenerado e o fator sup em e garante que a restrição de tensão real está

imposta para sup . Desta forma, torna-se mais acessível atingir um ótimo local

com algoritmos de otimização baseados nas condições de Karush-Kuhn-Tucker, ver

Coutinho (2006).

5.2.4 Definição das Constantes cx, cy e cz

Na definição das constantes , e x y z

c c c , considerou-se um elemento genérico

conforme mostrado na Figura 5.2, sendo , , ,i i i i

x y zx p/ 1,..., 4i as

coordenadas dos vértices e , ,m m m m

x y zx as coordenadas do baricentro do

elemento finito tetraédrico de quatro nós, ver Equação (5.69).


min

min p/ 1,...,4ii

d d i (5.69)

é definido que

min

1e e e ex y z

c c c cd

. (5.70)

Uma modificação dos limites ex

c , ey

c e ez

c , deve ser realizada se no mínimo uma

das faces do elemento coincide com algum plano de simetria, ver item 5.1.3.

Para cada plano de simetria, considera-se que a face do elemento seja

coincidente ao respectivo plano de simetria. Por exemplo, para o plano de simetria

xz , deve-se ter: 0w e / 0z . Sendo assim, a imposição da última condição

é alcançada denotando 0ez

c . De forma similar, considera-se aos demais planos de

simetria.

5.2.5 Formulação do Problema com Relaxação

Definido o critério de falha com relaxação, item 5.2.3, subseção 5.2.1, o

problema tridimensional será reformulado da seguinte forma:

1min d

x . (5.71)

Sujeito a restrição de tensão com relaxação:

*

sup1eq

y

e

. (5.72)

As restrições laterais e as restrições de estabilidade, conforme definidas nas Equações

(5.54) e (5.55), respectivamente.


a) Restrição de Tensão com Relaxação Integrada

Com o propósito de reduzir o custo computacional do problema, impôs-se neste

trabalho, conforme sugerido por Costa Jr. e Alves (2003), um critério global de

tensão. O Critério é calculado de forma integral, analisando-se todo o campo de

tensão, tornando-o mais eficiente que critérios pontuais propostos na literatura.

A restrição de tensão efetiva com relaxação e , definida na Equação (5.68),

satisfeita para todo x , representa uma restrição paramétrica. Desta forma, o

método consiste na relaxação da condição pontual (critério local) através da

consideração de uma restrição integrada, isto é, da utilização de um critério global:

e

1

*1

1 1 0 .

p p

eq

y

d

(5.73)

Com ( ) max 0, ( )f fx x , representando a parte positiva de ( )f x .

A medida global definida na Equação (5.73) é denominada média-p integral.

No caso em que p , a restrição média-p aproxima, no limite, a restrição pontual

e*

max 1 1 0eq

y

x. (5.74)

Quando p o problema torna-se mal-condicionado, fazendo com que o

critério de falha integral tenda a ser influenciado por apenas um valor de pico do

campo de tensão, enquanto em outros pontos a tensão é ignorada. Isto pode ocasionar

um comportamento oscilatório do algoritmo de otimização, possibilitando a falha da

convergência do processo de otimização. Desta forma, a escolha do valor de p deve

resultar de um compromisso de resultados numéricos.


5.2.6 Formulação do Problema de Ótimo no Contínuo

a) Método Lagrangeano Aumentado

O problema de otimização a ser resolvido, já definido pelas Equações (5.71),

(5.73) e (5.55), pode ser formulado utilizando o Método do Lagrangiano Aumentado

que consiste em transformar um problema com restrições em um problema

equivalente de minimização sem restrições, que é a solução de uma sequência de

problemas de mínimo com restrições laterais. A abordagem aqui será feita na forma

de algoritmo com vistas à formulação computacional, o qual segue:

1. Definir valores iniciais: 00,5

k

, 0k , 0k , k 0 , 1, 0erro , k ,

k e tol .

2. Enquanto err tol , efetuar laço , caso contrário ir para o passo 3:

(i) Solução do problema de minimização com restrições laterais:

min , , ; , , k k k kA

£ X (5.75)

sendo rinf sup

| ; 1, ,ni n

i n X ¡ … e n

n é o número de nós da malha.

Definindo

1

31

1 1

1, , ; , ,

1, ,

e

e

nk k k k k k

A e e eke

nk k

ej ej j ejkj ej

£ f g

g

(5.76)

Sendo definido que: f ρ é a função objetivo, , ,k ke e e

g é a restrição de

tensão com relaxação integrada e ( ( ), , )k kej ej j ej

g são as restrições de estabilidade.


Com:

2

( ) ( ) , se ( )2

, ,, se ( )

2 2

k kk k e

e e e ek k

k k k ke e ee e

e

g g g

gg

ρ ρ ρ

ρ (5.77)

e

2

( ) ( ) , se ( )2

( ( ), , )

, se ( )2 2

k kj ejk k

ej ej j ej ejk k

k k k kej ej j ejj ej j ej

ej

g g g

g

g

ρ ρ ρ

ρρ

(5.78)

para 1, , e 1,...,3e

e n j … .

Por conveniência, o índice , e d x y z é também denotado por 1,2 e 3j .

Desta forma,

3

1 1

1 1 e

n n n n

nejA e

k kj en n n nj

d£ ddfd d

(5.79)

com

4

n

e

n

dfd

(5.80)

sendo n

n o número de nós.

A sensibilidade de cada nó para cada elemento é definida por:

4

n

e e

n

f

ρ. (5.81)

E para cada nó da malha será:


ρ ρ1

e

n n

ne

n ne

df fd

. (5.82)

(ii) Atualização dos multiplicadores de Lagrange:

1 2max 0,k k kh

x (5.83)

e

1 2max 0, p/ 1,..., ; 1,..., 3.k k k

ej ej ej ej

g e n j

x (5.84)

(iii) Atualização do parâmetro de penalidade da Função Lagrangiana

Aumentada:

1 , se , 0,1

k k crit

kcrit

, (5.85)

e

1 , se , 0,1

k k crit

k j j j j j jcritjj

, (5.86)

(iv) Determinação do erro

1 1 1

1 1 2 2

13 3

max , max , max

e max

k k k k k ke e e ee e e

k ke ee

a b c

d

(5.87)

então, max , , ,erro a b c d .

3. Fim do laço.


5.2.7 Refino da Malha com Adaptatividade h

Será considerado o processo de refino conforme sugerido no item 5.1.5. A

solução do problema será dada através de uma sequencia de respostas do processo de

otimização, intercalada por um passo de refino h-adaptativo. Cada nível do processo é

obtido a partir de uma malha anterior e o número total de níveis de refinos h-

adaptativos a serem aplicados é definido de modo prescrito. O processo de suavização

também foi do tipo Laplaciano condicional, conforme descrito na subseção 5.1.5 (b).

Os estimadores de erro são os mesmos definidos na subseção 5.1.5 (c) e o critério de

refino foi apresentado na subseção 5.1.5 (d).

As principais vantagens na utilização do processo de refino estão relacionadas

com a melhor definição do contorno material, a redução do número de variáveis de

projeto e a diminuição do erro da solução da equação de estado.

5.2.8 Validação do Modelo de Otimização Proposto

Nesta subseção serão mostrados alguns resultados obtidos com a aplicação do

método otimização topológica 3D sob restrição de tensão. As respostas são

provenientes de exemplos clássicos, já conhecidos na literatura. O objetivo é validar a

formulação proposta. Por simplicidade, foi utilizado o mesmo módulo de Young para

todos os casos, 9116 10E ut o e Coeficiente de Poisson 0,34ν . Para melhor

visualização da topologia resultante foram descartados os elementos com densidade

abaixo de 0, 8 , conforme descrito na subseção 5.1.6.


a) Viga bi-apoiada com carga aplicada na parte central superior

O problema consiste em um bloco, conforme ilustrado na Figura 5.20, com

dimensões: a 6uc , b 6uc e c 0,5uc . Para diminuir o tempo de processamento

do problema, foi considerado ½ de simetria de uma estrutura com 1.002 elementos e

379 nós. A estrutura foi analisada aplicando-se uma carga distribuída de

6146,9 10 ucdw . O bloco está fixo nas três direções em sua extremidade inferior,

ou seja, com deslocamento prescrito 0, 0,0 . O caso foi avaliado com um nível de

refino, conforme pode ser verificado na Figura 5.24.

Figura 5.20: Diagrama de corpo livre para viga bi-apoiada com carga aplicada na parte

central: ½ de Simetria da Estrutura

A Figura 5.21 representa o resultado da topologia antes do processo de refino

h-adaptativo com uma malha contendo condições de simetria e 1.002 elementos.


Figura 5.21: Resultado do Problema: Malha inicial contendo 1.002 elementos.

A Figura 5.22 mostra o resultado da topologia antes do processo de refino h-

adaptativo da mesma malha apresentada na Figura 5.21, porém, duplicando-se e

espelhando-se os elementos da malha e tomando-se como referência a região de

simetria do problema, a malha contém 2.004 elementos.


espelhada contendo 2.004 elementos.


A Figura 5.23 reprsenta o gráfico de função de falha da estrutura com 2.004

elementos no valor máximo de 1,21.

Figura 5.23: Gráfico de função de falha da malha espenhada contendo 2.004 elementos

A Figura 5.24 apresenta o resultado do problema após o primeiro nível de

refino com adaptatividade h, os elementos da malha foram duplicados espelhados na

região e tomou-se como base para o procedimento a simetria do problema, a malha

contém 2.432 elementos.


Figura 5.24: Resultado do Problema após o 1º nível de refino, malha contendo 2.432

elementos

A

Figura 5.25 mostra o gráfico da função de falha da estrutura com 2.432

elementos no valor máximo de 1,27 .


Figura 5.25: Gráfico de função de falha da malha espenhada contendo 2.004 elementos



a) b)

Figura 5.26: Resultado final do problema após o 1º nível de refino, retirando os elementos

com densidade inferior a 0,8: a) Vista no plano xy. b) Vista isométrica.

b) Viga bi-apoiada com carga aplicada na parte central inferior:

O problema consiste em um bloco cujas dimensões são a 6uc , b 6uc e

c 0,5uc , conforme ilustrado na Figura 5.27. Ao bloco, foi considerado a condição de

contorno de simetria, a fim de diminuir o tempo de processamento do problema. No

modelo simulou-se ½ estrutura contendo 1.012 elementos e 381 nós. A estrutura foi

analisada aplicando-se uma carga distribuída de 6146,9 10 ucdw . O bloco está


fixo nas extremidades inferiores nas três direções, ou seja, com deslocamento prescrito

0, 0,0 .

Figura 5.27: Problema de otimização de uma viga bi-apoiada com carga aplicada na parte

central inferior.

A Figura 5.28 representa o resultado da topologia antes do processo de refino

h-adaptativo com uma malha contendo condições de simetria e 1.012 elementos

Figura 5.28: Resultado do Problema: Malha contendo 1.012 elementos.

A Figura 5.29 mostra o resultado da topologia antes do processo de refino h-

adaptativo da mesma malha apresentada na Figura 5.28, porém, duplicando-se e

espelhando-se os elementos da malha e tomando-se como referência a região de

simetria do problema, a malha contém 2.024 elementos.



espenhada contendo 2.024 elementos.

A Figura 5.30 mostra o gráfico da função de falha da estrutura com 2.024

elementos no valor máximo de 1,27 , localizada nos pontos de fixação.

Figura 5.30: Gráfico de função de falha da malha espenhada contendo 2.024 elementos.


refino com adaptatividade h, os elementos da malha foram duplicados espelhados na

região e tomou-se como base para o procedimento a simetria do problema, a malha

contém 11.098 elementos.


Figura 5.31: Resultado do problema após o 1º nível de refino h-adaptativo: Malha espenhada

contendo 11.098 elementos.

A Figura 5.32 representa o gráfico da função de falha da estrutura com 11.098

elementos no valor máximo de 1, 42 , localizada nos pontos de fixação.

Figura 5.32: Gráfico de função de falha da malha espenhada após o 1º nível de refino h-

adaptativo: Malha espenhada contendo 23.575 elementos.




a) b)

Figura 5.33: Resultado final do problema (1º nível de refino), retirando os elementos com

densidade inferior a 0,8: a) Vista no plano xy. b) Vista isométrica.

Capítulo 6

Resultados e Discussões

6.1 Ensaio de Nitretação a Plasma em Cátodo Oco dos Disco

de Ti-CP Grau II

O aspecto visual dos discos apresentaram uma coloração amarelada condizente

com resultados obtidos na pesquisa de referência, ver Guerra Neto, Silva e Alves

(2009).

A Figura 6.1, mostra o detalhe da coloração obtida após o processo de

nitretação, característico de um filme de nitreto de titânio estequiométrico.

Figura 6.1: Disco de Ti-CP Grau II após o Tratamento Superficial.

6.2 Ensaio de Molhabilidade dos Discos de Ti

A quantidade de líquidos sobre uma superfície metálica está diretamente

relacionada as tensões superficiais atuantes na superfície do metal. Este fenômeno é

de extrema importância para a osseointegração. O sangue tem na sua composição

90% de água, esta capacidade de adsorção de água pela superfície, conhecida como

Capítulo 6 – Resultados e Discussões 126

molhabilidade, é de fundamental importância para o sucesso na adesão celular e

consequentemente osseointegração, Zhao et al. (2011).

No presente trabalho, observou-se que as amostras nitretadas apresentaram

resultados de molhabilidade superior às amostras sem tratamento. Verificou-se que

nas amostras nitretadas, houve um rápido espalhamento da gota séssil após os

primeiros 30 segundos. Destaca-se que o mesmo não ocorreu com a molhabilidade do

disco não nitretado, a gota não se acomodou na superfície satisfatoriamente, Figura

6.2 à Figura 6.4.

a) b)

Figura 6.2: Tempo de Ensaio: 01 segundo. a) Disco de Ti sem Tratamento; b) Disco de Ti

com Tratamento.

a) b)

Figura 6.3: Tempo de Ensaio: 30 segundos. a) Disco de Ti sem Tratamento; b) Disco de Ti

com Tratamento.


a) b)

Figura 6.4: Tempo de Ensaio: 60 segundos. a) Disco de Ti sem Tratamento; b) Disco de Ti

com Tratamento.

Medidas do ângulo de contato para as amostras com tratamento e sem

tratamento revelaram uma grande diferença de valores, conforme mostrado no gráfico

da Figura 6.5.

Figura 6.5: Molhabilidade dos discos de Ti com e sem tratamento.

De acordo com os resultados, verificou-se que após 60s, a gota séssil na

superfície não nitretada apresentava um ângulo de contato de 45°; enquanto na

superfície nitretada, um valor de 19°.


6.3 Ensaio de Rugosidade dos Discos de Ti

A rugosidade é uma grandeza importante a ser analisada em uma superfície.

Estudos mostram que superfícies com rugosidades moderadas demonstram melhores

respostas quanto a osseointegração, Brandão et al. (2010).

Os discos de titânio nitretados apresentaram rugosidade de 0,45μm, enquanto

que os sem tratamento a rugosidade foi de 0,20μm, ver Figura 6.6.

Figura 6.6: Rugosidade superficial dos discos tratados e sem tratamento.

Comparando os resultados da molhabilidade com os da rugosidade, observou-se

uma relação direta entre essas grandezas, embora outros trabalhos produzidos em

laboratório tenham mostrado que nem sempre existe essa concordância, Alves Jr.

(2005). Verificou-se que amostras tratadas a plasma com catodo oco apresentaram

uma rugosidade mediana comparada a outros trabalhos publicados na literatura. No

entanto, em relação a molhabilidade o valor apresenta-se significativamente superior,

Guerra Neto, Silva e Alves (2009).


6.4 Microscopia Eletrônica de Varredura dos Discos de Ti

A superfície de titânio nitretado a plasma, quando observada por MEV,

apresentou uma textura rugosa e uniforme, com precipitados (pontos brancos)

dispersos e com um caminho médio entre eles de 5 µm, Figura 6.7.

Superfícies com estas características favorecem o processo de adesão celular

osteoblástica aos biomateriais, ou seja, a adesão das células localizadas na superfície

do osso, Gebran e Wassal (2007).

(a) (b)

Figura 6.7: Fotomicrografias em MEV da Superfície, (a) Nitretada e (b) Sem Tratamento.

6.5 Caracterização de Fases na Superfície dos Discos de Ti

Na Figura 6.8 está apresentado o difratograma (Intensidade8 em a.u versus 2

em graus) do titânio nitretado e sem tratamento. Os espectros DRX tratados

apresentaram reflexões de -TiNδ bem definidos e deslocamento de picos referentes à

difração dos diferentes planos cristalográficos do Ti-CP. Este deslocamento está

8 A intensidade é medida em unidades de absorvância (u.a), e é definida como sendo a capacidade

intrínseca dos materiais em absorver radiações em frequência específica.


associado à presença do nitrogênio em solução sólida, na rede cristalina do Titânio,

como elemento instesticial.

Segundo Alves Jr. et al. (2005), picos são mais intensos quando a temperatura

e o tempo de tratamento aumentam, mantendo constante a pressão de trabalho.

Figura 6.8: Difratogramas de raios-X das amostras de Ti Puro e Ti Nitretado

6.6 Ensaio de Nitretação a Plasma em Cátodo Oco dos


O aspecto visual, dos corpos de prova apresentaram uma camada superficial de

cor amarelada condizente com resultados obtidos na pesquisa de referência, ver

Guerra Neto, Silva e Alves (2009).

A Figura 6.9 ilustra o posicionamento dos corpos de prova após o processo de

nitretação em cátodo oco. A Figura 6.10, mostra o detalhe da coloração obtida após o


processo de nitretação, característico de um filme de nitreto de titânio

estequiométrico.

Figura 6.9: Corpos de prova nitretados a plasma

Figura 6.10: Implante Dentário após o Tratamento Superficial

6.7 Caracterização de Fases na Superfície dos Implantes

Dentários

A Figura 6.11 apresenta a Espectrometria Raman do implante tratado a

plasma em cátodo oco com cilindro.

No espectro, pode-se observar uma leve formação de filme de Nitreto de

Titânio sobre o implante devido a presença de uma banda de absorção localizada

entre 200 a 1350cm− e outro pico em torno de −1540cm .


Figura 6.11: Espectro Raman no Implante Dentário após o Tratamento Superficial de Cátodo

Oco com Ciclindro

6.8 Microdureza Vickers nos Implantes Dentários

A Tabela 6.1 mostra o valor médio obtido para a dureza Vickers do ensaio de

microdureza dos implantes nitretados a plasma e dos implantes sem tratamento,

conforme norma ABNT NBR NM ISO 6507-1:2008.

Os resultados mostraram que o implante nitretado a plasma apresentou uma

dureza de aproximadamente quatro vezes maior que o implante sem tratamento.

Tabela 6.1: Média e Desvio Padrão do Ensaio de Microdureza Vickers em Implantes

Dentários.

Grupo Média Desvio Padrão

Implante Sem Tratamento 417,33 HV 9,67

Implante Com Tratamento 1738,00 HV 16,06


6.9 Resultado do Ensaio de Fadiga em Flexão dos Implantes

Dentários

Em teste de fadiga, realizado conforme norma ABNT NBR ISO 14801:2007

que regulamenta a aprovação dos produtos na certificação FDA (U.S. Food and Drug

Administration), o sistema de implante Hexágono Externo da empresa

DENTOFLEX® Sistema de Implantes com tratamento superficial Nitretação a

Plasma em Cátodo Oco, não apresentou sinal de falha após 5 milhões de ciclos, sob

frequência de 15Hz, Carga de 84,46N e Momento Fletor Máximo de 0.52Nm.

Pesquisas mostram que os sistemas de implante podem apresentar fraturas por

fadiga e estas falhas ocorrem devido ao processo mastigatório cuja duração é de

aproximada de 20 minutos por dia ou 80 ciclos por minuto, estimando-se, desta

forma, cerca de 1600 ciclos mastigatórios por dia, ver Petterson e Johns (1992) e

Mattos, Elias e Mota (2009). Baseado nestes dados, pode-se calcular, para o implante

estudado na pesquisa, um carregamento teórico equivalente a aproximadamente 8

anos e meio de utilização submetido a um valor máximo de carga dinâmica.

A Tabela 6.2 resume os resultados obtidos no ensaio estático.

Tabela 6.2: Resultado do Ensaio Estático.

Amostra

Força de

Escoamento

(N)

Momento no

Escoamento

(Nm)

Força Máxima

(N)

Momento

Máximo (Nm)

01E 173,12 1,06 442,25 2,59


A força e o momento obtido no escoamento foi determinada por meio do ensaio

estático, Figura 6.12, como sendo a interseção da linha paralela à porção elástica da

curva: Força versus Deslocamento, deslocada em 0,2% do deslocamento total.

A Figura 6.13 mostra o corpo de prova e modo de falha após o ensaio. A

deformação foi apresentada na conexão munhão e implante.

Figura 6.12: Curva Força versus Deslocamento da amostra 01 obtida no Ensaio Estático.


Figura 6.13: Amostra após Ensaio Estático. Modo de Falha: Deformação na Conexão

Munhão-Implante


A Tabela 6.3 resume os resultados obtidos no ensaio dinâmico de fadiga.

Tabela 6.3: Resultado do Ensaio Dinâmico de Fadiga em Flexão.

Amostra Força Máxima (N)* Momento Máximo (Nm) Número de Ciclos

02 -337,86 2,08 31,16 10

03 -253,39 1,56 41,52 10

04 -168,93 1,04 42,17 10

05 -84,46 0,52 65×10

06 -126,75 0,78 61,11×10

07 -84,46 0,52 65×10

08 -84,46 0,52 65×10

09 -168,93 1,04 41,55 10

10 -253,39 1,56 30,99 10

11 -337,86 2,08 30,62 10

12 -295,67 1,82 31,34 10

13 -295,67 1,82 30,65 10

* O sinal negativo indica carga de compressão.


A Figura 6.14 apresenta a curva obtida no ensaio de fadiga, Momento Máximo

versus Número de Ciclos.

Figura 6.14: Curva Obtida no Ensaio de Fadiga. Configuração Utilizada no Ensaio de Fadiga

para os Corpos de Prova.

A Figura 6.15 apresenta o bloco fabricado de Poliacetal contendo dezessete

amostras. A amostra 01E foi utilizada para realizar o ensaio estático e as demais

direcionadas ao ensaio de fadiga. Conforme citado em norma, ABNT NBR ISO

14801:2007, preferencialmente três amostras devem ser ensaiadas com pelo menos

quatro forças diferentes, desta forma das dezesseis amostras expostas, doze foram

utilizadas para execução do ensaio de fadiga.


Figura 6.15: Amostras após o Ensaio de Fadiga.

As Figura 6.16 e Figura 6.17 mostram as fraturas durante o ensaio de fadiga e

a Figura 6.18, detalhe no local do rompimento.

Figura 6.16: Amostras Fraturadas durante o Ensaio de Fadiga: Amostras 02, 03, 04, 06 e 09.

Figura 6.17: Amostras Fraturadas durante o Ensaio de Fadiga: Amostras 10 a 13.


(a) (b)

Figura 6.18: Detalhe do Aspecto das Fraturas.

Estudos mostram que alguns materiais, quando submetidos a algum tipo de

tratamento tendem a elevar a sua dureza e consequentemente, diminuir a ductilidade

e a tenacidade do material, Alves (2011).

Os resultados do ensaio de fadiga, em implantes dentários tratados

superficialmente de acordo com a metodologia de nitretação a plasma, adotada nesta

pesquisa, mostraram um limite de fadiga 52,17% inferior quando comparado ao

resultado do implante sem tratamento, relatório 585/11, rev. 0.

A Nitretação a Plasma é um processo que eleva a dureza superficial, resultado

este mostrado no ensaio de microscopia e confirmado pela análise de microdureza do

material, conforme mostrado nos itens 6.10 e 6.8. O aumento da dureza diminui a

ductilidade e a capacidade do material absorver energia, tornando-o mais frágil,

diminuindo assim o limite de fadiga em relação ao limite de fadiga do material sem

tratamento.


6.10 Microscopia Eletrônica de Varredura dos Implantes

Dentários

Uma grandeza muito importante para se avaliar o desempenho no contato

entre duas superfícies é a textura superficial.

A Figura 6.19 e a Figura 6.20 ilustram a micrografia da região inferior, frontal

dos implantes sem tratamento e com tratamento, respectivamente.

A Figura 6.19 mostra a textura da superfície do implante comercial sem

tratamento, típica de usinagem, com uma superfície heterogênea, micro fissuras e

defeitos. A Figura 6.20 mostra a superfície do implante nitretado, diferentemente do

implante sem tratamento, a análise da superfície do implante nitretado indica que a

mesma foi fortemente texturizadas pelo bombardeamento das partículas do plasma.

As linhas paralelas circunferenciais, vistas na Figura 6.19(b), não são mais visíveis. A

superfície mostra formação de microcavidades e aparenta ser mais áspera que a do

implante sem tratamento.

a) b)

Figura 6.19: Fotomicrografias em MEV do Implante sem Tratamento (a) Vista Frontal e (b)

Detalhe com aumento de 1000x.


a) b)

Figura 6.20: Fotomicrografias em MEV do Implante com Tratamento (a) Vista Frontal e (b)

Detalhe com aumento de 1000x.

A Figura 6.21, mostra a seção transversal do implante nitretado a plasma em

cátodo oco após a fratura durante o ensaio de fadiga. O objetivo desta análise foi

verificar como se deu o início da fratura e sua característica em cada uma das fases

presentes.

As ranhuras radiais mostradas em detalhe nas Figura 6.21 (b) e Figura 6.23

(c), indicam que a trinca tendeu a se propagar da região externa para a interna do

implante. A microestrutura mostrada em detalhe Figura 6.21 (c) revela a região de

titânio puro do implante nitretado com um comportamento característico de fratura

dúctil.

As microestruturas ilustradas na Figura 6.22 e na Figura 6.23 mostram em

detalhe a quantidade de filme de nitreto de titânio depositado no implante dentário,

com a formação de um anel em sua seção transversal, de espessura aproximadamente

0,05mm, ou seja, 50 m , desconsiderando a espessura do filete da rosca igual a

0,175mm. De acordo com as figuras, os detalhes mostram uma textura típica de

fratura frágil.


Figura 6.21: Seção Transversal do Implante após Fratura Detalhando a Região de Titânio

Puro - Fratura Dúctil.


Figura 6.22: Seção Transversal do Implante após Fratura Detalhando a Região Externa com

deposição de Nitreto de Titânio - Fratura Frágil.


Figura 6.23: Seção Transversal do Implante após Fratura Detalhando a Região Interna com

deposição de Nitreto de Titânio - Fratura Frágil.


6.11 Otimização Topológica Estrutural em Implantes Dentários

De acordo com as respostas obtidas nos processos de otimização topológica, as

geometrias otimizadas do implante dentário em estudo apresentaram ausência de

material próximo ao início da formação da rosca e uma concavidade na extremidade

inferior da geometria. Fato este positivo quando relacionado à aderência e ao

crescimento do osso em relação ao implante. Desta forma, a utilização de um material

biodegradável, adicionalmente, em contato com o material do implante tenderia a

facilitar o processo de instalação, conservando a geometria original do mesmo, e

consequentemente, favorecendo a osseointegração, promovendo o crescimento e a

adesão do osso na parte onde o material tenderia a degradar-se, ocupando o espaço

com ausência de material do implante otimizado. Estudos recentes mostram a

utilização de revestimentos biodegradáveis que permitem realizar implantes. A

técnica consiste em cobrir o implante com um revestimento biodegradável que, em

contato com o osso, se dissolve e, durante este processo de degradação é capaz de

liberar compostos de silício e outras moléculas bioativas induzindo a criação de osso,

Suay (2013).

6.11.1 Minimização da Flexibilidade em Implantes Dentários

O problema ilustrado na Figura 6.24 descreve um implante hexágono externo

com 13mm de comprimento e 3,75mm de diâmetro, fabricado de titânio, cujo módulo

de Young é 9116 10 .E Pa o

Dois casos de carga foram simulados, conforme exposto na seção 4.3:


Caso 1: Tensão de escoamento, aplicada, na área da região do hexágono

externo do implante, de forma que a direção da carga fizesse um ângulo de 30o com o

eixo central do implante, ver Figura 6.24 (b). Considerou-se as cargas conforme o

critério de falha de von Mises: 6 242,40 10 N/mL

w e 6 2127,21 10 N/mT

w .

Caso 2: Tensão de escoamento compressiva de 6 2146,9 10 N/mw aplicada

na região do hexágono externo do implante dentário, ver Figura 6.24 (c)

Para diminuir o esforço computacional, considerou-se ¼ de simetria com uma

malha inicial de 1.755 elementos.

Quanto às condições de contorno, considerou-se na parte externa lateral do

implante, identificada com o deslocamento prescrito 1 , livre ao longo do

comprimento do implante e fixo nas demais direções e para o deslocamento prescrito

2 , fixo ao longo do comprimento do implante e livre nas demais direções, simulando

o contato osso/implante.


vermelha, resultado da topologia.

Duas frações de volumes foram consideradas pra os dois casos de carga do

problema, apresentando uma fração de volume de 80% e utilizando 90% de volume de

material.


a) b) c)

Figura 6.24: Diagrama de Corpo Livre do Problema: a) Condições de contorno. b) Caso 1. C)

Caso 2.

a) Caso 1:

A Figura 6.25 representa o resultado da topologia com ½ do implante dentário,

antes do processo de refino h-adaptativo, a uma fração de volume de 80%.

a) b)

Figura 6.25: Resultado do Problema com malha apresentando 3.510 elementos, 0, 80 : a)

Região interna do implante dentário b) Região externa do implante dentário.

A Figura 6.26 representa o resultado da topologia com ½ do implante dentário

a uma fração de volume de 80%, após o primeiro nível de refino h-adaptativo.


a) b)

Figura 6.26: Resultado do Problema com malha apresentando 25.296 elementos, 0, 80 :

a) Região interna do implante dentário b) Região externa do implante dentário.



a) b)

Figura 6.27: Resultado do Problema com malha apresentando 3.510 elementos, 0,90 : a)



a uma fração de volume de 90%, após um nível de refino h-adaptativo.


a) b)

Figura 6.28: Resultado do Problema com malha apresentando 25.728 elementos, 0,90 :


b) Caso 2:



a) b)

Figura 6.29: Resultado do Problema com malha apresentando 3.510 elementos, 0, 80 : a)



a uma fração de volume de 80%, após o primeiro nível de refino h-adaptativo.


a) b)

Figura 6.30: Resultado do Problema com malha apresentando 25.198 elementos, 0, 80 :




a) b)

Figura 6.31: Resultado do Problema com malha apresentando 3.510 elementos, 0,90 : a)



a uma fração de volume de 90%, após um nível de refino h-adaptativo.


a) b)

Figura 6.32: Resultado do Problema com malha apresentando 25.728 elementos, 0,90 :


6.11.2 Minimização de Massa em Implantes Dentários

Nessa subseção, serão analisados os mesmos casos de carga descritos na

subseção 6.11.1, porém para abordagem de minimização de massa em implantes

dentários.

O problema ilustrado na Figura 6.24, descreve um implante hexágono externo

com 13mm de comprimento e 3,75mm de diâmetro. O implante em estudo é fabricado

de titânio e apresenta módulo de Young igual a 9116 10 .E Pa o

Com o objetivo de diminuir o esforço computacional, foi considerado ¼ de

simetria do implante e uma malha inicial apresentando 1.755 elementos.

As condições de contorno expostas na subseção 6.11.1 também foram

mantidas.


a) Caso 1:


antes do processo de refino h-adaptativo.

a) b)

Figura 6.33: Resultado do Problema com malha apresentando 3.510 elementos: a) Região

interna do implante dentário b) Região externa do implante dentário.



a) b)

Figura 6.34: Gráfico de função de falha da malha antes do processo de refino h-adaptativo.



refino com adaptatividade h, a malha contém 23.104 elementos.

a) b)

Figura 6.35: Resultado do problema após o 1º nível de refino h-adaptativo.



a) b)

Figura 6.36: Gráfico de função de falha da malha após o processo de refino h-adaptativo.


b) Caso 2:


antes do processo de refino h-adaptativo.

a) b)

Figura 6.37: Resultado do Problema com malha apresentando 3.510 elementos: a) Região

interna do implante dentário b) Região externa do implante dentário.


elementos no valor máximo de 1, 39 .

a) b)

Figura 6.38: Gráfico de função de falha da malha antes do processo de refino h-adaptativo.



refino com adaptatividade h, a malha contém 11.994 elementos.

a) b)

Figura 6.39: Resultado do problema após o 1º nível de refino h-adaptativo.


elementos no valor máximo de 1, 44 .

a) b)

Figura 6.40: Gráfico de função de falha da malha após o processo de refino h-adaptativo.

Capítulo 7

Considerações Finais

7.1 Caracterização e Análise Experimental

Baseado no que foi proposto e realizado pela avaliação do desempenho das

amostras nitretadas em plasma:

1. A superfície das amostras nitretadas apresentaram melhores resultados no

que se refere a molhabilidade e rugosidade, quando compadados as

amostras sem tratamento;

2. A análise em MEV mostrou que a fratura ocorreu da face externa para a

interna do implante;

3. A análise em MEV mostrou que em regiões onde ocorreu o tratamento

superficial, ou seja, com deposição de nitreto de titânio, o comportamento

da fratura deu-se de forma fráfil, em contra partida, em regiões sem

deposição, ou seja, com presença de titânio puro, a fratura propagou-se

ductilmente;

4. O ensaio de microdureza mostrou um aumento de aproximadamente 4

vezes na microdureza do implante tratado, quando comparado aos

implantes sem tratamento;

Capítulo 7 – Considerações Finais 157

5. O processo de nitretação a plasmas adotado na pesquisa aumenta da

dureza do material e consequente, interfere na resistência a fadiga do

implante tratado;

6. No ensaio biomecânico de fadiga, o implante tratado não apresentou sinal

de falha, após 5 milhões de ciclos, a uma carga máxima de fadiga de

84,46N, valor 52,17% inferior comparado ao ensaio de fadiga dos implantes

sem tratamento, relatório 585/11, rev. 0.

7.2 Tecnologia de Desenvolvimento de Topologias em


Em relação a nova tecnologia de desenvolvimento de topologias em implantes

dentários, conclui-se que:

1. Para possibilitar uma melhor visualização da topologia foram considerados

como elementos densos, somente elementos que apresentaram densidade

superior a 0,8, tendo em vista que tais elementos de baixa densidade não

influenciam na determinação ou até mesmo na modificação da topologia;

2. A resolução final do contorno do material é diretamente dependente do

tamanho médio do elemento finito, representando uma relação direta no custo

computacional;

3. A utilização de um sistema de refino adaptativo modifica controladamente

a topologia em relação a malha inicial de modo a aproveitar os resultados

Capítulo 7 – Considerações Finais 158

anteriores, refinando de modo inteligente apenas nas regiões de interesse e

assim proporcionando leiautes nítidos e bem caracterizados;

4. A utilização de um elemento de baixa ordem, Tetra4, em conjunto com as

restrições laterais nas componentes do gradiente da densidade relativa,

possibilitou um desenvolvimento de um algoritmo de alta performance, robusto

e estável, sem problemas de instabilidade de tabuleiro;

5. A implementação do esquema de integração seletiva, aplicado ao cálculo

da matriz de rigidez, contornou o efeito do travamento volumétrico ocasionado

pela utilização do elemento Tetra4;

6. As geometrias otimizadas do implante para as duas metodologias propostas

apresentaram concavidadee em sua extremidade inferior e na localização da

rosca, possibilitando assim uma melhor aderência e crescimento do osso.

Tornando o implante mais estável e reduzindo custos com material para o

implante. A desvantagem da geometria está relacionada ao processo de

fabricação, tornando-o mais complexo devido a nova topologia.

Capítulo 8

Trabalhos Futuros

8.1 Sugestões para Trabalhos Futuros

O presente estudo deu origem a discussões que poderão incentivar

pesquisadores a realizar um estudo biomecânico utilizando outras técnicas de

tratamento superficial que favoreçam a resistência mecânica a fadiga.

Sugerem-se os seguintes pontos temáticos para futuros trabalhos:

1. Tratar superficialmente os implantes por oxidação a Plasma em cátodo

Oco com o objetivo de melhorar a característica de resistência a fadiga do

material. Estudos mostram que técnicas de tratamento superficial

utilizando oxidação, tendem a melhorar estas propriedades, Zimmer

(2011);

2. Ensaios de nitretação em cátodo oco diminuindo a temperatura de

tratamento com o objetivo de agredir menos as propriedades relacionadas

a resistência do material e manter as propriedades relacionadas a

molhabilidade e rugosidade;

3. Aplicar a técnica utilizando a metodologia da gaiola catódica, tendo em

vista a melhor deposição do nitreto de titânio e avaliação da resistência

mecânica;

Capítulo 8 – Trabalhos Futuros 160

4. Aplicar a técnica utilizando a metodologia de nitretação iônica

convencional;

5. Otimizar o controle do processo de nitretação;

6. Considerar a modelagem do contato osso/implante;

7. Estudar um biomaterial que seja biodegradável, aderente ao titânio e que

possa preencher a ausência de material, em virtude do processo de

otimização topológica proposto para o implante dentário. O intuito é

auxiliar na instalação do implante dentário, tendo em vista uma possível

eliminação de partes da rosca na qual facilita a instalação do mesmo no

paciente. A utilização deste material biodegradável tenderia a facilitar o

processo de osseointegração, ocupando o espaço biodegradado do implante

otimizado.

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Apêndice 186

Apêndice A

A.1. Matrizes Esparsas

Matrizes esparsas são matrizes nas quais a maioria das posições é preenchida

por zeros.

A.1.1. Banda e Envelope de Matrizes

Considere a matriz n nA ¡ , simétrica positiva definida, com entradas ijA ,

com 1, , .i n …

min 0 .i ijf j AA (a.1)

Isto é, if A corresponde a primeira coluna cujo elemento na linha i é diferente de

zero.

Segundo Cuthill e McKee (1969), define-se:

, com 1 ,i i

i f i nA A (a.2)

max 1 .ì

i nA A (a.3)

Em que iA é a largura de banda da i-ésima linha de A e A é a largura de

banda da matriz A . A banda da matriz A é definida como

Band , 0 .i j i jA A (a.4)

Conforme ilustrado nas Equações (a.6) e (a.7).

Apêndice 187

O envelope da matriz A é definido como:

Env , 0 .i

i j i jA A (a.5)

Conforme ilustrado nas Equações (a.8) e (a.9)

A.1.2. Fatoração de Cholesky

Seja n nA ¡ uma matriz simétrica positiva definida, então existe uma única

matriz n nG ¡ triangular inferior com elementos positivos na diagonal tal que

TGGA . A fatoração TGGA é conhecida como fatoração de Cholesky e no

algoritmo a seguir é apresentado uma forma de obter-se G .

As Equações (a.6) e (a.7) ilustram a banda, números em vermelho e a largura

de banda, número sublinhado, para duas matrizes simétricas.

1

1 1

1 1 1

1 1 1 1

0 1 1 0 0

1 1 0 0 2

1 1 1 1 1 0 0

2 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1

2 1 0 0

2 0 0

3 2

0 3

(a.6)

0

2 2

3 3 0

0 4 4

0 0

10 0 2 3 0 0 0

10 2 3 0 0 0

10 0 4 0 0

10 4 0 0

0 10 2 2

0 0 10 0

0 0 0 10

2

0 2 0

(a.7)

Apêndice 188

As Equações (a.8) e (a.9) ilustram o envelope, números em vermelho, para

duas matrizes simétricas.

1

1 1

1 1 1

1 1 1 1

1 1 0 0

1 1 0 0

1 1 1 1 1 0 0

2 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1

2 1 0 0

2 0 0

0 3 2

0 32

(a.8)

10 0 2 3 0 0 0

0 10 2 3 0 0 0

10 0 4 0 0

10 4 0 0

0 0 10 2 2

0 0 0 0 10 0

0 0 0

2 2

3 3 0

4 4

2

2 00 10

(a.9)

A.2. Método Cuthill-McKee Reverso

Proposto por Cuthill e McKee (1969), o algoritmo Cuthill Mckee é um método

de reordenamento aplicado a matrizes esparsas para redução do envelope e largura de

banda. Estudos realizados posteriormente por George (1971) mostraram que a solução

do Cuthill e Mckee pode ser melhorada simplesmente invertendo a ordem de

numeração. Foi então definido o Reverse Cuthill Mckee, que passou a ser umas das

heurísticas mais utilizadas para o problema de minimização da largura de banda e do

envelope devido a boa qualidade de solução, o baixo tempo de execução e a facilidade

de implementação.

Apêndice 189

Considere a matriz A e seu fator de Cholesky G dados por:

1 1 1 1 1 1 1

1 10 0 0 0 0 0

1 0 10 0 0 0 0

1 0 0 10 0 0 0

1 0 0 0 10 0 0

1 0 0 0 0 10 0

1 0 0 0 0 0 10

A

(a.10)

1, 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

1, 0 3,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

1, 0 0,3 2,9 0,0 0,0 0,0 0,0

1, 0 0,3 0,3 2,9 0,0 0,0 0,0

1, 0 0,3 0,3 0, 4 2,9 0,0 0,0

1, 0 0,3 0,3 0, 4 0, 4 2,8 0,0

1, 0 0,3 0,3 0, 4 0, 4 0,5 2, 8

G

(a.11)

Observa-se que vários elementos nulos na parte triangular inferior de A são

não nulos em G . A perda de elementos nulos ao realizar a fatoração de Cholesky é

denominada de preenchimento e deve ser evitada sempre que possível.

Na seção A.1.2. verificou-se que a fatoração de Cholesky preserva a banda e o

envelope da matriz. Por esse motivo, ao utilizar matrizes de banda e envelope

pequenos o preenchimento da matriz também será pequeno.

Exemplo 1: Considere a matriz A e G dada por:

Apêndice 190

1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 1 1 1 1

1 1 2 1 1 1 1

1 1 1 2 1 0 0

1 1 1 1 2 0 0

0 1 1 0 0 3 2

0 1 1 0 0 2 3

A

(a.12)

1 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 0 0 1 0

0 1 1 0 0 0 1

G

(a.13)

Verifica-se que a largura da banda de A e G é 5 e o envelope é 19.

Agora, considere a matriz = =' ' 'T TA PAP G G , em que P é uma matriz de

permutação, dada por:

2 1 1 1 1 0 0

1 2 1 1 1 0 0

1 1 1 1 1 0 0

1 1 1 2 1 1 1'

1 1 1 1 2 1 1

0 0 0 1 1 3 2

0 0 0 1 1 2 3

A

(a.14)

Apêndice 191

1,4 0 0 0 0 0 0

0,70 1,2 0 0 0 0 0

0,70 0,40 0,57 0 0 0 0

0,70 0,40 0,57 1 0 0 0

0,70 0,40 0,57 0 1 0 0

0 1 1 0 0 1 0

0 1 1 0 0 0 1

G

(a.15)

Verifica-se que a largura da banda de 'A e 'G é 4 e o envelope é 15.

Verifica-se a possibilidade de pre-processar a matriz de forma a reduzir a

banda e envelope.

Na próxima subseção apresentamos algumas definições da Teoria de Grafos

que serão utilizadas no algoritmo estudado para obter uma permutação que busca

reduzir a largura de banda e envelope.

A.2.1. Grafos e Matrizes Esparsas

Um grafo é, fundamentalmente, um modo de representar uma relação binária

entre objetos. Considere um grafo ( );G V E= como um conjunto de vértices

1 2, ,V v v= … e um conjunto de arestas, que são representadas por pares não

ordenados, por exemplo, 1 2, ,e v v= … .

Assim como um grafo, uma matriz também descreve uma relação binária entre

objetos através de seus elementos não nulos. Uma matriz simétrica n n×∈A ¡ induz

um grafo ( )G A , onde os vértices do grafo correspondem as dimensões da matriz e a

Apêndice 192

aresta ,e i j= existe, se e somente se, 0ij

A ≠ . A Figura a. 1 é ilustrado o grafo em

a relação a matriz Equação (a.16).

1 1 1 1 1 0 0

1 2 1 1 1 1 1

1 1 2 1 1 1 1

1 1 1 2 1 0 0

1 1 1 1 2 0 0

0 1 1 0 0 3 2

0 1 1 0 0 2 3

(a.16)

Figura a. 1: Ilustração do Grafo

É importante destacar que permutar, simetricamente, linhas e colunas de uma

matriz corresponde a renumerar os vértices do grafo. Na Equação (a.17) é ilustrado

uma permutação da matriz presente na Figura a.2 e a renumeração dos vértices do

grafo.

1 1 1 1 1 0 0

1 2 1 1 1 0 0

1 1 1 1 1 0 0

1 1 1 2 1 1 1

1 1 1 1 2 1 1

0 0 0 1 1 3 2

0 0 0 1 1 2 3

(a.17)

Apêndice 193

Figura a. 2:Ilustração grafo correspondente a permutação simétrica de uma matriz

A.3. Método Cuthill-McKee Reverso

Cuthill e McKee (1969) propuseram uma heurística de reordenação, ver

algoritmo, cujo objetivo principal é reduzir a largura de banda de uma matriz

simétrica n n×∈A ¡ .

Algoritmo: Pseudo-Código de Cuthill-McKee

Entrada: Grafo ( )G A e um vértice inicial v .

Saída: o , novo ordenamento dos vértices de ( )G A .

1: Marca todos os vértices como não visitados.

2: vetor de zeroso←

3: 1i ←

4: fila vaziaf ←

5: Adicionar v na fila f.

6: Marca v como visitado.

7: enquanto f não for vazia faça

8: Desenfileira f em v.

9: i

o v←

10: 1i i← +

11: para todo vértice w adjacente a v, em ordem crescente de grau, faça

12: se w ainda não foi visitado então

13: Adicionar v na fila f.

14: Marca w como visitado.

15: fim

Apêndice 194

16: fim

17: fim

Para o caso de uma matriz A cujo grafo não é conexo, Cuthill e McKee

propõe aplicar a mesma heurística para cada uma das componentes conexas.

George (1971), verificou experimentalmente que ao reverter o ordenamento

obtido pelo Algoritmo Cuthill-McKee, isto é, trocando 1n io

− + para 1,2, , ,i n= … o novo

ordenamento mantém a mesma banda mas diminui o envelope da matriz. Esta versão

do algoritmo é conhecida como Método Cuthill-McKee Reverso.

Apêndice 195

Apêndice B

B.1. Formulação Forte do Problema

Determinar 0Hu tal que:

div b 0 (b.1)

Problema Mecânico:

em t

n t (b.2)

B.2. Formulação Fraca do Problema

Definições:

Conjunto dos deslocamentos admissíveis H :

.| , ;

suf reg uH u u u x u x x (b.3)

oH H u (b.4)

Conjunto das variações admissíveis oH :

o .| , 0 em

suf reg uH v v v (b.5)

Como resultado, podemos decompor o campo de deslocamento como:

o, H U u u u (b.6)

sendo u o deslocamento.

Apêndice 196

B.1.1 Problema Mecânico:

Multiplicando a equação de equilíbrio mecânico, Equação (b.1), pela função

peso v (deslocamento virtual) e integrando-a sobre o domínio Ω, obtemos:

odiv 0 , d d H

v b v v (b.7)

Sabendo que v é o tensor deformação virtual, o qual por ser simétrico pode

ser rearranjado e consequentemente utilizado no formato de vetor e representado por

, de modo que ˆ v v . Agora, pela regra do produto obtém-se:

ˆdiv div divT v v v v (b.8)

reordenado a Equação (b.8):

ˆdiv div T v v (b.9)

substituindo a Equação (b.9) na Equação (b.7), obtém-se

oˆdiv 0 , T d d d H

v b v v (b.10)

e pelo teorema da divergência de Gauss para primeira parte da equação (b.10):

div T d d

v n v (b.11)

Da equação (b.2), tem-se: em t

n t .

Então,

divt

T d d

v t v (b.12)

Apêndice 197

substituindo a Equação. (b.12) na Equação (b.10), tem-se

o

ˆ , t

d d d H

b v t v v (b.13)

Agora, sabendo que:

D u (b.14)

substituindo a Equação (b.14) na Equação (b.13), obtém-se

o

ˆ , t

d d d H

D b v t v v (b.15)

Apêndice 198

Apêndice C

C.1. Elemento Finito Tretraédrico de Quatro Nós (TETRA4)

Considere um elemento finito tetraédrico conforme mostrado na Figura C. 1,

de base lagrangiana de quatro nós, sendo , ,n i i i

x y zx , p/ 1,..., 4i as

coordenadas dos vértices e ,m m m

x yx as coordenadas do baricentro do elemento.

Figura C. 1 - Coordenadas do elemento finito TETRA4.

A descrição do campo de deslocamento pelo elemento finito faz uso de três

graus de liberdade por nó. Sendo denotado por eq o vetor de graus de liberdade do

elemento, de modo que:

1 1 1 2 2 2 3 3 3

Te v u w u v w u v w q (c.1)

C.1.1. Campo de Deslocamento

Sendo o vetor de deslocamento u de um ponto qualquer x de coordenadas

, ,x y z do domínio , definido por:

Apêndice 199

, , ; , ,

u

vx y z x y zw

u x u x (c.2)

Aproximando o campo de deslocamentos pelo Método dos Elementos Finitos,

obtém-se:

, , , , , , ; e e eu u e

x y z x y z x y z u x u u N q x (c.3)

sendo e o domínio do elemento e como cada nó do elemento possui três graus de

liberdade, o vetor de deslocamento eu

q (global) do elemento é escrito como:

1 1 1 2 2 2 3 3 3T

eu

u v w u v w u v w q (c.4)

e eu

N é a matriz de função de forma a ser aplicada no campo de deslocamentos a qual

é definida por

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

e e e e

e e e e eu

e e e e

N N N N

N N N N

N N N N

N (c.5)

C.1.2. Campo de Deformação

Sendo o vetor deformação 3D definido por:

, , , , ,xx yy zz xy yz zx

(c.6)

ou ainda:

u u

u

v

w

u (c.7)

Apêndice 200

em que o operador diferencial u é uma matriz a ser aplicada sobre o vetor de

deslocamentos, definida por:

0 0

0 0

0 0

0

0

0

u

x

y

z

y x

z x

z y

(c.8)

Aproximando o campo de deformação pelo Método dos Elementos Finitos,

obtém-se:

e e e e eu u u u u u u

u u N q B q (c.9)

denota-se por eu

B a matriz deformação-deslocamento, a qual é definida como:

1, 2, 3, 4,

1, 2, 3, 4,

1, 2, 3, 4,

1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4,

1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4,

1, 1, 2, 2,

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

e e e ex x x x

e e e ey y y y

e e e ez z z ze

e e e e e e e euy x y x y x y x

e e e e e e e ez x z x z x z x

e e e ez y z y

N N N N

N N N N

N N N N

N N N N N N N N

N N N N N N N N

N N N N

B

3, 3, 4, 4,0e e e e

z y z yN N N N

(c.10)

biomecânica e otimização topológica com h … · 5.1.2 definição do modelo material ..... 83...

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