biologia estrutural - azevedolab.net · representação gráfica de ondas, ... propósitos da...

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1. Cristalização.

2. Coleta de dados de difração de raios X.

3. Interpretação do padrão de

difração de raios X

4. Resolução da estrutura.

5. Análise.

Etapas para resolução da

estrutura 3D de

macromoléculas biológicas por

cristalografia

2

Cristalografia

Fenômenos ondulatórios são comuns,

desde de exemplos bucólicos, como uma

onda formada num lago a fenômenos não

tão óbvios, como as ondas

eletromagnéticas que compõem a luz. A

representação gráfica de ondas,

normalmente satisfatória para os

propósitos da biologia estrutural, faz uso

de funções periódicas, como a função

seno. Na figura ao lado, temos uma gota

d’água que caiu sobre uma superfície

calma de um reservatório de água. O

impacto da gota deforma a superfície,

criando uma cratera na água. A fluidez da

água faz com que a cratera formada seja

rapidamente preenchida gerando um

padrão de ondas. A foto é um instante

congelado do fenômeno, onde vemos as

ondas que se formaram a uma certa

distância de onde a gota incidiu.

Foto de alta velocidade de uma gota incidindo sobre a

superfície d’ água.

Disponível em: <

http://www.sciencephoto.com/media/75567/view >

Acesso em: 21 de setembro de 2018. 3

Ondas

http://www.sciencephoto.com/media/75567/view

Para representarmos o instante

congelado da figura, temos que

considerar a variação senoidal da

amplitude (altura da onda) em função da

posição (x). A origem é o ponto x = 0,

indicado ao lado. Picos sucessivos de

amplitude máxima (A) têm uma distância

fixa entre eles, indicada na figura, tal

distância é o comprimento de onda ().

Como o instante está congelado no

tempo, o fenômeno não apresenta

variação com o tempo. A amplitude (y),

varia com a posição (x), ou seja, y(x).

Assim, a representação da variação da

amplitude (y(x)) em função da posição (x)

da onda ao lado, com amplitude máxima

(A) e comprimento de onda (), tem a

seguinte forma:Imagem que se forma devido à queda de uma gota

d´água sobre a superfície.

Disponível em: <

http://www.sciencephoto.com/media/75566/view >

Acesso em: 21 de setembro de 2018.

X =0

)2

Asen( y(x) x

Eixo x

4

Ondas

http://www.sciencephoto.com/media/75566/view

Vamos considerar a onda mostrada na

foto ao lado (parte superior). A onda

apresenta um comprimento de onda ()

de 1,5 cm e a amplitude máxima (A) é 0,5

cm. Assim, sua representação matemática

é dada por:

O gráfico de y(x) está mostrado na figura

abaixo, onde vemos claramente a relação

entre o fenômeno físico (figura superior) e

a representação gráfica (figura inferior).

As linhas tracejadas verticais indicam a

equivalência entre os picos da onda na

água (fenômeno físico) e os picos da

função seno da representação

matemática.

x)1,5cm

2πcm)sen( (0,5 y(x)

x)λ

2π Asen( y(x)

Fonte da imagem: http://www.sciencephoto.com/media/2470/enlarge

5

Ondas

Da mesma forma que representamos a

onda em função da sua variação com a

distância x, podemos analisar a variação

temporal da onda. Podemos pensar na

representação em função do tempo, como

se fixássemos nossa visão em um ponto

específico da água (ponto vermelho da

figura). Tal ponto subiria e desceria,

submetido a um movimento oscilatório,

devido à passagem da onda. A onda viaja

com velocidade v, assim, o tempo (t) que

a onda demora da origem até o nosso

ponto de observação (ponto vermelho da

figura), com coordenada x é dado por:

v

x t

0 x

Um ponto x (indicado em vermelho) cuja a altura (y) varia

com

o tempo (t).

Disponível em: <

http://www.sciencephoto.com/media/2470/enlarge >


6

Ondas

http://www.sciencephoto.com/media/2470/enlarge

A altura da onda no ponto x (y(t)) varia

com o tempo t. O tempo que o ponto x

demora para descrever um ciclo completo

do movimento é o período da onda (T).

Considerando que o ponto x está na

altura máxima, ele demora um tempo T

para voltar a este ponto de altura máxima.

O número de vezes que o ponto x sobe e

desce em 1 segundo é a frequência da

onda (f), e é dada pelo inverso do

período, como segue:

A frequência é medida em Hertz (Hz).

T

1 f

0 x


com

o tempo (t).

Disponível em: <



7

Ondas


Se consideramos uma situação particular,

onde a onda se deslocou um

comprimento de onda, ou seja, onda x =

, temos que o tempo que a onda leva

para percorrer 1 é o período (T), assim t

= T. Usando tal informação, temos que,

para t = T e x = a seguinte relação:

Se lembrarmos que 1/T é a frequência (f),

temos:

Ou seja,

T

t

x v

0 x

T

1.

T v

f v


com

o tempo (t).

Disponível em: <



8

Ondas


Agora podemos representar a amplitude

(y) em função do tempo, sabemos que:

Onde e

Substituindo tais igualdades, temos:

Chegando à relação que representa a

onda em função do tempo:

0 x

)2

Asen( y(x) x

f

v v.t x

v.t).v

fAsen(2 )

2Asen( y(t)

x

f.t) Asen(2 y(t)


com

o tempo (t).

Disponível em: <



9

Ondas


Assim temos duas formas principais de

representarmos a variação da amplitude

(y) de uma onda. Em função da posição

(x),

Onde é o comprimento de onda.

Ou em função do tempo (t):

Onde f é a frequência. A igualdade 2f

aparece rotineiramente no estudo das

ondas, e recebe o nome de frequência

angular ().Disponível em: <



)2

Asen( y(x) x

f.t) Asen(2 y(t)

A variação da amplitude da onda pode ser representada em

função do tempo (y(t) ou em função da posição (y(x)), como

indicado nas equações ao lado.

10

Ondas


Caracterizamos as ondas mecânicas periódicas, ou ondas periódicas, pela oscilação

dos átomos e moléculas que compõem o meio onde a onda se propaga. A frequência

da onda (f) é a frequência de oscilação dos átomos e moléculas do meio. O período (T

= 1 / f ) é o tempo que leva para um átomo ou molécula particular passar por um ciclo

completo do movimento de oscilação. O comprimento de onda () é a distância entre

dois átomos (ou moléculas) que oscilam em fase, ao longo da direção de propagação

da onda mecânica. Na representação abaixo temos a variação da amplitude (A) em

função da posição x.

A

11

Ondas

E

B

x

As ondas eletromagnéticas são constituídas de campos elétricos (E) e magnéticos (B)

oscilantes, que propagam-se com velocidade constante. Podemos imaginar o campo

como uma região do espaço onde atuam forças. O campo gravitacional é a região do

espaço onde atuam forças gravitacionais. O campo elétrico é a região do espaço onde

atuam forças elétricas. O campo elétrico é perpendicular ao campo magnético, como

vemos na figura abaixo.

12

Ondas Eletromagnéticas

Exemplos de ondas eletromagnéticas: raios X, radiação gama, ondas de rádio, luz

visível, radiação ultravioleta e radiação infravermelha. A onda eletromagnética pode

propagar-se no vácuo, o que não acontece com ondas mecânicas como as ondas

sonoras. Para efeitos da interação dos raios X com a matéria, desconsideramos o

campo magnético, visto que este é bem menos intenso que o campo elétrico.

E

B

x

13


f = cComprimento de onda

frequência

Velocidade da luz

Para ondas eletromagnéticas deslocando-se no vácuo temos c = 3.108 m/s.

14


Comprimento de onda (m) Radiação

10-15

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

1

10

102

103

Raios gama e raios X

Ultravioleta

Luz visível

Infravermelha

Ondas de rádio

A radiação eletromagnética pode ser

representada pelo comprimento de onda.

Ondas de rádio apresentam

comprimentos de onda da ordem de

metros. Se diminuirmos mais o

comprimento de onda, chegamos na faixa

do infravermelho, a radiação presente no

seu controle remoto. A próxima faixa é o

espectro visível. Avançando temos

radiação ultravioleta, que pode causar

danos nas células. Raios X e radiação

gama são as radiações mais energéticas

do espectro de radiação.

15


As figuras ao lado mostram interferência

entre ondas, temos duas ondas em fase,

ondas 1 e 2, onde seus máximos e

mínimos coincidem e as ondas

apresentam o mesmo comprimento de

onda. O resultado da soma das duas

ondas (1 e 2) é uma onda com a

amplitude resultante igual à soma das

amplitudes das ondas 1 e 2 e

comprimento de onda igual ao das ondas

1 e 2. No caso de interferência destrutiva,

temos as ondas fora de fase (3 e 4),

exatamente meio comprimento de onda,

onde o máximo da onda 3 coincide com o

mínimo da onda 4. O resultado da soma é

uma onda de amplitude zero.

Interferência construtiva Interferência destrutiva

1 3

2 4

1 + 2 3 + 4

16

Interferência de Ondas

Podemos representar matematicamente ondas e, consequentemente, fenômenos

ondulatórios, por meio de funções periódicas como seno e cosseno, ou combinações

dessas funções. A onda abaixo pode ser representada pela seguinte função:

E1 (t) = A . sen ( .t) , onde A indica a amplitude da onda, é a frequência angular (

= 2.f ), onde f é a frequência. O campo é expresso em unidades de campo (uc) e o

tempo em unidades de tempo(ut)

A

17

Representação Matemática de Ondas

As figuras abaixo mostram os gráficos de duas ondas, sendo que a segunda

apresenta o dobro da frequência da primeira. Vemos claramente que dobramos o

número de ondas completas no mesmo período.

E1 = 2.sen(.t); = 2.f, com f = 0,159 Hz

E2 = 2.sen(.t); = 2.f, com f = 0,318 Hz

18


Abaixo temos a representação gráfica de 6 ondas, com a frequência variando de 0,159

Hz até 15,9 Hz.

f = 0,159 Hz f = 1,59 Hz f = 2,385 Hz

f = 3,18 Hz f = 3,975 Hz f = 15,9 Hz

19


Vamos considerar agora a influência da amplitude na representação gráfica das

ondas. Temos abaixo a representação gráfica de 3 ondas, com amplitudes 1, 2 e 4. A

representação matemática de cada onda está colocada abaixo. Todas as ondas têm a

mesma frequência (f = 0,159 Hz).

E1 = 1.sen(.t); = 2.f, com f = 0,159 Hz

E2 = 2.sen(.t); = 2.f, com f = 0,159 Hz

E3 = 4.sen(.t); = 2.f, com f = 0,159 HzE1

E2

E3

20


Outra característica física da onda é sua fase. A fase representa a posição da onda

com relação a origem do sistema de coordenadas no qual a onda é desenhada. Por

exemplo, a onda E2 = 2.sen(.t + ) está deslocada radianos em relação à onda E1

= 2.sen(.t). Abaixo temos a representação gráfica de duas ondas, sendo que a

segunda está deslocada /2 radianos com relação à primeira.

E1 = 2.sen(.t)

E2 = 2.sen(.t + /2)E1E2

21


Na figura abaixo temos 3 ondas representadas. A onda 1 com fase zero, a onda 2 com

fase /6 e a onda e com fase /3. Vemos que a adição da fase positiva desloca a onda

para a esquerda, como se tivéssemos adiantado a onda com relação à origem. Todas

as ondas têm a mesma amplitude (A = 2) e frequência (f = 0,159 Hz).

E2 = 2.sen(.t + /6)

E3 = 2.sen(.t + /3)

E1 = 2.sen(.t )

E1

E2

E3

22


Na sequência abaixo temos 6 ondas desenhadas, a onda 1 com fase zero, e as

seguintes somando-se /6, sucessivamente até chegar na onda 6 com uma fase de

5/6.

1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

E

t(s)

E1 = 2.sen(.t )

1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

E E2 = 2.sen(.t + /6)

1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

E3 = 2.sen(.t + /3)E

1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

E

t(s)

E4 = 2.sen(.t + /2)

t(s)

1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

E5 = 2.sen(.t + 2/3)

t(s) 1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

t(s)

E E E6 = 2.sen(.t + 5/6)

t(s)

23


1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

Subtraindo-se uma fase /6, teremos a ondas representadas abaixo. Vemos

claramente que com a subtração a onda fica atrasada com relação à origem.

1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

E

t(s)

E1 = 2.sen(.t ) E

E2 = 2.sen(.t - /6) E3 = 2.sen(.t - /3)

E

E

t(s)

E4 = 2.sen(.t - /2)

t(s)

E5 = 2.sen(.t - 2/3)

t(s)t(s)

E EE6 = 2.sen(.t - 5/6)

t(s)

24


Vamos considerar a soma de duas ondas (E1 e E2), ambas com mesma frequência,

mas com amplitudes 2 uc e 4 uc, respectivamente, como representado abaixo, uc é

unidade de campo elétrico, para deixarmos de uma forma geral.

E1 (t) = 2.sen(.t)

E2 (t) = 4.sen(.t)

E(t) =E1(t) + E2(t) =

E(t) =2.sen(.t ) + 4.sen(.t) = 6. sen(.t)

25


Consideremos agora uma segunda onda (onda 2) com a mesma amplitude A,

comprimento de onda e deslocada um ângulo de fase , em relação a onda 1.

Podemos representar matematicamente a onda 2 por meio da seguinte função: E2 (t)

= A . sen ( .t + ), onde A indica a amplitude da onda, é a frequência angular =

2.f , onde f é a frequência, indica a fase da onda, como vimos anteriormente.

E1 (t) = 2.sen(.t)

E2 (t) = 2.sen(.t+)

26


Estamos em condições de considerar a soma de duas ou mais ondas de fase

qualquer. Por exemplo, as ondas E1 e E2, quando somadas geram a onda E1 + E2, o

resultado gráfico mostrado abaixo.

E1 (t) = 2.sen(.t)

E2 (t) = 2.sen(.t+)

E1+E2 = 2[sen(.t) + sen(.t+)]

E1+E2

27


Vamos considerar a soma de 3 ondas, E1, E2 e E3, como indicado abaixo.

E1 (t) = 2.sen(.t)

E2 (t) = 2.sen(.t+1)

E3 (t) = 2.sen(.t+2)

E1+E2 + E3= 2[sen(.t) + sen(.t+1) + sen(.t+2) ]

E1+E2+E3

Uma forma alternativa de representarmos

soma de ondas, é a partir da soma no

plano complexo, que será descrita a

seguir.

28


Uma onda com comprimento de onda

constante () é caracterizada por duas

quantidades, a amplitude (A) e o ângulo

de fase (). Essas duas quantidades

caracterizam um vetor de módulo (A), no

plano complexo, que faz um ângulo ()

com o eixo dos reais. Quantidades

complexas (Z) são representadas no

plano complexo (diagrama de Argand),

onde o eixo x é chamado de eixo real, e o

eixo y eixo complexo. A projeção do vetor

A ao longo do eixo real é representado

por “a=Acos()”, e a projeção ao longo do

eixo imaginário por “b=Asen()”, assim

uma quantidade complexa “Z”, pode ser

representada por: Z = a + ib .

Eixo Real

Eix

o I

ma

gin

ário

Z = a + ib

a

bA

29

Diagrama de Argand

A representação gráfica indicada no

diagrama de Argand permite três

representações equivalentes das

características geométricas das ondas.

Inicialmente a representação simples:

Z = a + ib,

onde a e b já foram definidos como

projeções. Depois a indicação explícita

das projeções (representação

trigonométrica):

Z = a + ib = A.cos() + iA.sen() =

= A. [cos() + isen() ]

Por último a representação exponencial,

como cos + isen é o exponencial ei,

temos:

Z = A.ei.

Z = a + ib = A.cos() + iA.sen() =

= A. [cos() + isen() ]

= A. ei, onde i é o número

complexo i = (-1)1/2

Eixo Real

Eix

o I

ma

gin

ário

Z = a + ib

a

bA

30

Diagrama de Argand

E2

E12 4 6 8 10 12

-6

-4

-2

2

4

6

E(t)

t

Eix

o I

ma

gin

ário

Eixo Real

Abaixo temos o diagrama de Argand (plano complexo) à esquerda e a representação

gráfica de duas ondas E1 e E2, à direita. As representações são equivalentes, as

ondas E1 e E2 estão com uma diferença de fase (figura da direita), o que equivale a

uma diferença no diagrama de Argand à esquerda.

E2

E1

31

Diagrama de Argand

2 4 6 8 10 12

-6

-4

-2

2

4

6

E2

E1

E(t)

t

Eix

o I

ma

gin

ário

Eixo RealE2

E1 (t) = A.sen(.t)E2 (t) = E1e

i.

A onda E1 tem fase zero, ou seja, começa na origem. A onda E2 apresenta uma fase

com relação à E1. Usando-se a notação complexa exponencial, podemos representar

a onda E2 em função da onda E1, levando-se em conta a diferença de fase. Tal

realidade física é expressa matematicamente como: E2=E1.ei, indicando a diferença

de fase () entre as duas ondas.

32

Diagrama de Argand

2 4 6 8 10 12

-6

-4

-2

2

4

6

A somatória das duas ondas pode ser representada como

segue:

E(t) = E1(t) + E2(t) = E1(t) + E1(t).ei. =E1[1 + ei.]

E2

E1

E(t)

t

Eix

o I

ma

gin

ário

Eixo RealE2

E1 (t) = A.sen(.t)E2 (t) = E1e

i.

33

Diagrama de Argand

2 4 6 8 10 12

-6

-4

-2

2

4

6

A representação complexa permite mostrar de forma compacta as ondas, facilitando

operações matemáticas, como a soma de ondas mostrada abaixo. A interação dos

raios X com os cristais nada mais é que o resultado da soma de várias ondas

que incidem sobre o cristal. Aplicaremos os conceitos vistos aqui ao estudarmos

difração de raios X.

E(t) = E1(t) + E2(t) = E1(t) + E1(t).ei. =E1[1 + ei.]

E2

E1

E(t)

t

Eix

o I

ma

gin

ário

Eixo RealE2

E1 (t) = A.sen(.t)E2 (t) = E1e

i.

34

Diagrama de Argand

Drenth, J. (1994). Principles of Protein X-ray Crystallography. New York: Springer-

Verlag.

Stout, G. H. & Jensen, L. H. (1989). X-Ray Structure Determination. A Practical Guide.

2nd ed. New York: John Wiley & Sons.

http://www.wolfram.com/

Última atualização em 21 de setembro de 2018. 35

Referências

http://www.wolfram.com/

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