Distribución Binomial Negativa

La distribución de Binomial Negativa es una generalización de la distribución geométrica, esuna distribución de probabilidad discreta. Esta distribución puede considerarse como unaextensión o ampliación de la distribución geométrica. La distribución binomial negativa es unmodelo adecuado para tratar aquellos procesos en los que se repite un determinado ensayoo prueba hasta conseguir un número determinado de resultados favorables (por vezprimera). Es por tanto de gran utilidad para aquellos muestreos que procedan de estamanera. Si el número de resultados favorables buscados fuera 1 estaríamos en el caso de ladistribución geométrica. Está implicada también la existencia de una dicotomía de resultadosposibles en cada prueba y la independencia de cada prueba o ensayo, o la reposición de losindividuos muestreados.

En una serie de ensayos Bernoulli independientes, con probabilidad constante p de éxito,sea que la variable aleatoria X denote el número de ensayos hasta que ocurran r éxitos.Entonces X tiene una distribución binomial negativa con parámetros p y r. Donde r= 1,2,3....n

Demostración de la Distribución Binomial Negativa.

∑∞x=k(x-1k-1) pk(1-p)x-

k=1

Inducción sobre k. K=1, En este caso tenemos la distribución geométrica con parámetro p,por lo que:

∑∞x=1(x-11-1) p (1-p) x-1=∑∞x=1p (1-p)x-1=p∑∞x=0(1-p)x=p [1/1-(1-p)]=p/p=1

Suponemos que el resultado es verdadero para k.Suponemos entonces que ∑∞x=k(x-1k-1) pk (1-p) x-k=1. Simplificamos un poco antes dehacer el paso inductivo:

1=∑∞x=k(x-1k-1) pk (1-p) x-k

=∑∞x=k [(x-1)! / (k-1) (x-k)!] pk (1-p)x-k

=pk/ (k-1)! ∑∞x=k (x-1)! /(x-k)! (1-p) x-k

=pk/ (k-1)! ∑∞x=0 (x+k-1)!/x! (1-p)x

Entonces podemos cambiar nuestra hipótesis de inducción (HI) suponiendo que:

∑∞x=0(x-k-1)!/x! (1-p)x= (k-1)!/pk (1)

Demostrando que (1) es válida para k+1, hay que evidenciar que:

∑∞x=0(x+k)! /x! (1-p)x= k!/pk+1 (2)

Tenemos que:

∑∞x=0(x+k)! /x! (1-p)x = ∑∞x=0(x+k) (x+k-1)! /x! (1-p)x

=∑∞x=1x (x+k-1)! / x! (1-p)x+ k ∑∞x=0 (x+k-1)! /x! (1-p)x

HI=∑∞x=1x (x+k-1)! /x! (1-p) x + k (k-1)! / pk (3)

=∑∞x=1x (x+k-1)! / x! (1-p)x + k!/pk

Trabajemos ahora con =∑∞x=1x (x+k-1)! / x! (1-p) x Tenemosque:∑∞x=1x (x+k-1)! / x! (1-p)x= (1-p) ∑∞x=1x (x+k-1)! / x!

(1-p)x-1= (1-p) ∑∞x=0 -d/dp ((x+k-1)! / x! (1-p) x)

= - (1-p) d/dp ∑∞x=0 ((x+k-1)! / x! (1-p) x)

HI= - (1-p) d/dp ((k-19! /pk) (4)= (1-p) k! / pk+1

(d/dp denota la derivada con respecto a p). Insertando (4) en (3) obtenemos:

∑∞x=0(x+k)! /x! (1-p)x = (1-p) k!/ pk+1 + k!/pk

= (1-p) k! + p (k!) / pk+1 (5)= k!/pk+1

Y por lo tanto hemos demostrado (2), lo que implica que la proposición es verdadera!

Demostración de la Función generatriz de momentos de la Distribución BinomialNegativa.

Donde q=1-p

Demostraciones de los Cálculos de la esperanza y varianza en una distribuciónBinomial Negativa.

Demostración del Calculo de la Esperanza:

Utilizando la función generatriz de momentos de la distribución Binomial Negativa, derivandoy utilizando tendremos :

Demostración del Calculo de la Varianza:

Aplicando la segunda derivada a la función generatriz de momentos obtendremos:

Lava-rian-zaesta-radadapor:

En la Distribución Binomial negativa

Esperanza < varianza

Calculo de la Distribución Binomial Negativa

con Matlab

Sintaxis:

Y = nbinpdf(X,R,P)

Descripción:

• Computa la función de distribución binomial negativa para el valor X y losparámetros R y P. X, R y P deben ser del mismo tamaño. La función de densidades 0 a menos que X sea un entero.

• La variable aleatoria representa el número de ensayos necesarios para observarR éxitos. Los ensayos son independientes entre sí. La probabilidad de éxito encada ensayo es constante e igual a P.

• La aplicación principal de esta distribución es una alternativa adecuada para elmodelo de Poisson cuando la frecuencia de ocurrencia no es constante en eltiempo o el espacio. También se emplea para modelar las estadísticas deaccidentes, datos psicológicos, compras del consumidor y otras situacionessimilares en donde la frecuencia de ocurrencia entre grupos o individuos no seespera que sea la misma.