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ESTAT ´ ISTICA E PROBABILIDADES DISTRIBUIC ¸ ˜ AO BINOMIAL NEGATIVA Dr. Jos´ e Walter C´ ardenas Sotil Universidade Federal do Amap´ a Curso de Engenharia El´ etrica Janeiro de 2014 (Dr. Jos´ e Walter C´ ardenas Sotil) Estat´ ıstica e Probabilidades - EE - T2013 Janeiro de 2014 1 / 15

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  • ESTAT́ISTICA E PROBABILIDADES

    DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL NEGATIVA

    Dr. José Walter Cárdenas Sotil

    Universidade Federal do AmapáCurso de Engenharia Elétrica

    Janeiro de 2014

    (Dr. José Walter Cárdenas Sotil) Estat́ıstica e Probabilidades - EE - T2013 Janeiro de 2014 1 / 15

  • Sumário

    1 Binomial negativa

    2 Exerćıcio 1

    3 Exerćıcio 2

    (Dr. José Walter Cárdenas Sotil) Estat́ıstica e Probabilidades - EE - T2013 Janeiro de 2014 2 / 15

  • Distribuição binomial negativa

    Distribuição binomial negativa

    Consideremos uma sequência infinita de provas de Bernoulli comparâmetro p (probabilidade de sucesso).

    A variável aleatória X segue uma distribuição binomial negativa comparâmetros p e r (r-ésimo sucesso), se:

    X: número de provas de Bernoulli até incluir o r-ésimo sucesso

    Assim, se r = 1 temos a distribuição geométrica

    1→ P(X = 1) = p01→ P(X = 2) = qp

    001→ P(X = 3) = q2p...

    ...

    00 · · · 01→ P(X = k) = qk−1p (probabilidade de obter o primeirosucesso na k-ésima prova)

    (Dr. José Walter Cárdenas Sotil) Estat́ıstica e Probabilidades - EE - T2013 Janeiro de 2014 3 / 15

  • Distribuição binomial negativa

    Se r = 2

    11→ P(X = 2) = p2q0 = C 2−12−1 p2q2−2

    011, 101→ P(X = 3) = qp2 + qp2 = 2qp2 = C 2−13−1 p2q3−2

    0011, 0101, 1001,→ P(X = 4) = 3q2p2 = C 2−14−1 p2q4−2

    ......

    k provas: P(X = k) = C 2−1k−1p2qk−2 (probabilidade de obter o segundo

    sucesso na k-ésima prova)

    Probabilidade de obter o r-ésimo sucesso na k-ésima prova deBernoulli

    P(X = k) = C r−1k−1prqk−r , k = r , r + 1, · · ·

    (Dr. José Walter Cárdenas Sotil) Estat́ıstica e Probabilidades - EE - T2013 Janeiro de 2014 4 / 15

  • Distribuição binomial negativa

    Verificando que P(X = k) = C r−1k−1prqk−rp é uma distribuição de

    probabilidade

    ∞∑k=r

    P(X = k) =∞∑k=r

    C r−1k−1prqk−r

    = pr∞∑k=r

    C r−1k−1qk−r

    = pr · 1(1− q)r

    = pr · 1pr

    = 1

    (Dr. José Walter Cárdenas Sotil) Estat́ıstica e Probabilidades - EE - T2013 Janeiro de 2014 5 / 15

  • Distribuição binomial negativa

    Esperança e variância

    Teorema. Se a variável aleatória X segue uma distribuição binomialnegativa com parâmetros p e r , então:

    µX = E [X ] =∞∑k=r

    kP(X = k) =∞∑k=r

    kC r−1k−1prqk−r =

    r

    p

    E [X 2] =∞∑k=r

    k2P(X = k) =∞∑k=r

    k2C r−1k−1prqk−r =

    r2 + rq

    p2

    var(X ) = E [X 2]− (E [X ])2 = rqp2

    σX =

    √rq

    p

    (Dr. José Walter Cárdenas Sotil) Estat́ıstica e Probabilidades - EE - T2013 Janeiro de 2014 6 / 15

  • Distribuição binomial negativa no R

    Distribuição binomial negativa no R

    P(X = k) = C r−1k−1prqk−r : dnbinom(k − r , r , p)

    P(X ≤ k) =k∑

    j=r

    C r−1j−1 prqj−r : pnbinom(k − r , r , p, lower .tail = TRUE )

    P(X > k) =∞∑

    j=k+1

    C r−1j−1 prqj−r : pnbinom(k − r , r , p, lower .tail = FALSE )

    (Dr. José Walter Cárdenas Sotil) Estat́ıstica e Probabilidades - EE - T2013 Janeiro de 2014 7 / 15

  • Exerćıcio 1

    Em um jogo de basquete a probabilidade de Bob acertar um arremessolivre é 70%. Qual é a probabilidade que Bob acerte seu terceiro arremessolivre no seu quinto arremesso?

    (Dr. José Walter Cárdenas Sotil) Estat́ıstica e Probabilidades - EE - T2013 Janeiro de 2014 8 / 15

  • Solução

    k = 5r = 3p = 0, 70

    acertar o terceiro arremesso livre no quinto arremesso

    P(X = 5) = C 3−15−1 p3q5−3 = dnbinom(5-3,3,0.70) = 18,52%

    (Dr. José Walter Cárdenas Sotil) Estat́ıstica e Probabilidades - EE - T2013 Janeiro de 2014 9 / 15

  • Gráfico: Distribuição de probabilidades

    r

  • Gráfico: Distribuição Acumulada

    r

  • Exerćıcio 2

    Suponha que P(nascimento de um menino)=0.5. Um casal quer terexatamente duas meninas e terá filhos até essa condição ser satisfeita.

    a) Qual é a probabilidade da faḿılia ter quatro filhos?

    b) Qual é a probabilidade da faḿılia ter no máximo quatrofilhos?

    c) Quantos filhos espera-se que essa faḿılia tenha?

    (Dr. José Walter Cárdenas Sotil) Estat́ıstica e Probabilidades - EE - T2013 Janeiro de 2014 12 / 15

  • Solução. X: número de nascimentos até ter a segundamenina

    p = 0, 50, q = 0, 50, r = 2

    a) X =4:

    P(X = 4) = C 2−14−1 0, 5020.504−2=dnbinom(4-2,2,0.50) = 18.75%

    b) X ≤ 4:P(X ≤ 4) = pnbinom(4-2,2.0.50) = 68,75%

    c) Esperança e variância

    E [X ] =r

    p=

    2

    0, 50= 4

    Var [X ] =rq

    p2=

    2 · 0, 500, 502

    = 4

    σX =√Var [X ] =

    √4 = 2

    (Dr. José Walter Cárdenas Sotil) Estat́ıstica e Probabilidades - EE - T2013 Janeiro de 2014 13 / 15

  • Gráfico: Distribuição de probabilidades

    r

  • Gráfico: Distribuição Acumulada

    r