bc0405 Esperança matemáticaPublicado em 23/06/2011

Se duas moedas são lançadas 16 vezes e o número de caras por lançamento é em 4 deles, é em 7 deles e é

dois em 5 deles, qual é o número médio de caras por lançamento?

Se é uma v.a. então valor médio (ou valor esperado, ou esperança) da v.a. é dado por

se é discreta e assume valores e tem função de massa de probabilidade então

no caso infinito exigimos convergência absoluta, na prática significa que se alterarmos o ordem dos fatores

o limite não muda, o que nos permite escrever (verifique a igualdade)

se é contínua e tem função de densidade de probabilidade então

Exemplo 43 (variável aleatória indicadora) Seja variável aleatória indicadora da

ocorrência do evento , i.e., se ocorre e se ocorre, ou ainda, para todo

Então .

Observação 3 (uma justificativa informal para (15)) A definição de valor médio no caso

discreto é intuitiva. No caso contínuo podemos justificar, ingenuamente, da seguinte maneira:

Sejam , para todo , uma coleção de intervalos centrados em que particiona a

reta e que, por simplicidade, supomos de mesmo comprimento . Definimos a v.a. discreta

sobre o mesmo espaço amostral dada por

que assume os valores ( ). Assim e a esperança de é

Notas de aulaJair Donadelli

Seguir

Seguir “Notas de

aula”

Obtenha todo post novo

entregue na sua caixa de

entrada.

Insira seu endereço de e-mail

Cadastre-me

Tecnologia WordPress.com

Notemos que se , então e , logo

Portanto, a definição de esperança para a variável deve satisfazer , logo

quando , i.e.

pois ; (lembremos que ).

Exemplo 44 Seja o resultado de um lançamento de um dado,

Qual a probabilidade ?

Exemplo 45 Num jogo de azar você ganha com probabilidade e com

probabilidade . O ganho médio de uma aposta é

No caso de , temos , qual é a probabilidade de você ganhar numa

aposta?

Exemplo 46 Num jogo com 3 moedas, você ganha se ocorrerem três caras ou coroas, você

perde se ocorrer uma ou duas caras, se é o ganho então o ganho médio é

Exemplo 47 Seja o tempo de vida útil de um equipamento eletrônico. tem f.d.p.

O tempo médio de vida é

O seguinte resultado é muito útil. A prova do caso discreto é bem fácil e fica como exercício, a prova do caso

contínuo é difícil e pulamos.

Teorema 9 Seja uma variável aleatório com função de probabilidade . Seja uma função

real. Então é uma variável aleatória cuja média é

onde a soma é sobre todo real tal que ; caso seja uma v.a.discreta, e cuja média é

caso seja uma v.a.contínua.

Exemplo 48 Seja o resultado do lançamento de um dado, como no exemplo 44.

Notemos que, com o resultado do exemplo 44 podemos concluir que ; em

geral não vale para v.a.’s quaisquer.

Exemplo 49 Seja o número de carros lavados num lava-rápido em 1 hora

Para carros lavados o atendente recebe reais do gerente. O ganho médio é

Exemplo 50 Se é uma v.a.com f.d.p

e é dada por então

Corolario 10 Para quaisquer e v.a.

Demonstração: Usando o teorema anterior com temos, no caso discreto, somando-se sobre todo

tal que

e no caso contínuo

Exemplo 51 Reconsiderando o exemplo 49, podemos usar o corolário e calcular

No caso do exemplo 50

Exemplo 52 Numa urna estão 1 bola branca e 1 bola preta; uma bola é escolhida ao acaso, se

for preta ela é devolvida e mais uma bola preta é colocada na urna e o sorteio é repetido, se sair

bola branca o experimento termina. Se é o número de rodadas até terminar então

e média é (essa é a série harmônica).

Exemplo 53 Seja uma variável com f.d.p.

tem esperança

Observação 4 No caso dos dois últimos exemplos dizemos que a variável aleatória não tem

esperança finita.

Exercício 44 Prove o caso discreto do teorema acima, i.e., .

— Variância —

A variância da v.a. é uma medida de quão dispersos estão os valores que a variável assume com relação ao

valor médio, é dada pelo valor esperado da v.a.

O seguinte exercício fornece um modo, em geral, mais fácil para computar a variância.

Exercício 45 Prove que

O desvio padrão é definido como a raiz quadrada positiva da variância

Suponhamos que é, por exemplo, a quantidade de refrigerante engarrafada por uma máquina de uma

fábrica em ( ). Então é a dispersão dos valores de com respeito a média em , o desvio

padrão é uma medida de dispersão em .

Exemplo 54 A variância no valor resultante de um lançamento de dado é (veja os exemplos 44

e 48) ( ). O desvio padrão é .

Exemplo 55 Qual é o valor médio da soma dos pontos no lançamento de dois dados? O espaço

amostral é composto por 36 eventos elementares igualmente prováveis

Se é o resultado da soma dos lançamentos, então sua função de massa de probabilidade é

O valor esperado da soma é

e o da variância é

o desvio padrão vale , aproximadamente. Notemos que no intervalo

está concentrado da massa de probabilidade.

Exemplo 56 Um canal digital transmite informação em pacotes de 4 bits. Os bit podem ser

recebidos com erro e denota o número de bits errados num pacote, com função de

distribuição acumulada

assim,

e o valor médio do número de bits errados é

e a variância

portanto o desvio padrão é .

— Propriedades da esperança —

A esperança de uma variável aleatória satisfaz as seguintes propriedades enunciadas como exercícios. Convém

ressaltar que o caso contínuo tem, em geral, maior dificuldade, mas que o caso discreto é simples na maioria

dos casos.

Exercício 46 Para fixado e ( ), vale e .

Exercício 47 Prove que se então .

Exercício 48 Prove que se (i.e., ) então .

Exercício 49 Se é uma v.a. contínua que assume valores não-negativos então

. Se além de não-negativa é inteira (portanto discreta), então

.

Exercício 50 (soma de variáveis aleatórias) Sejam e v.a.’s sobre o mesmo espaço

amostral e a soma delas é a função dada por . Então

Prove que se então

Exercício 51 Para , .

Exercício 52 Se é real positivo e uma v.a. então

(Dica: Defina por se , caso contrário . Determine e use o

exercício 48)

Exercício 53 (desigualdade de Chebyshev) Se é real positivo e uma v.a. de esperança

finita então

(Dica: use o exercício anterior com .)

Se fizermos em (17) obtemos a probabilidade de desviar de por pelo menos desvios padrão

Exercício 54 (desigualdade de Markov) Se é real positivo e uma v.a. então

para todo .

Exercício 55 Se e então .

Exemplo 57 Consideremos lançamentos de uma moeda com os resultados independentes.

Seja a variável indicadora (exemplo 43) do evento “ocorre cara”. A v.a.

é a quantidade de ocorrência de cara e é o número médio de ocorrência de cara.

A esperança de é, usando o exercício 50

e a variância é , assim precisamos calcular .

se então

e se então

portanto

De volta à variância de temos

A esperança de é, usando linearidade da esperança (corolário 10)

e a variância é, pelo exercício 51,

Usando a desigualdade de Chebyshev, eq.~(17), para qualquer

portanto

Por exemplo, fazendo temos que o número médio de caras está no intervalo

com probalidade maior que .

Mais que isso, a probabilidade tende a quando . Esse resultado foi provado pela

primeira vez em 1713, por Jacob Bernoulli, sem usar a desigualdade de Chebyshev,

desconhecida na época.

Teorema 11 (Lei Fraca dos Grandes Números) Sejam v.a.’s independentes e

identicamente distribuídas, cada uma com média finita e com variância finita. Então

para todo

quando .

A Lei Forte dos Grandes Números estabelece que, sob as mesmas hipóteses da lei fraca,

Demostração do teorema 9. Vamos provar a parte referente a v.a. contínua. Primeiro, provaremos que se

assume valores não-negativos então

De fato,

na segunda igualdade trocamos a ordem de integração.

Segundo, assumiremos que para todo . Então,

em que

que é o estabelecido no enunciado para não negativa.

Pra finalizar, se assume valores reias então definimos as v.a.’s não negativas

e temos que , portanto,

Prova da desigualdade de Chebyshev Para demonstrar a desigualdade de Chebyshev, primeiro

mostramos a seguinte desigualdade de Markov: Se é uma variável aleatória não-negativa e então

Demonstracao: Dados e como no enunciado defina ( ) por

Então e portanto

donde concluímos (23).

Agora, se é uma variável aleatória qualquer com então logo para todo

temos por (23) com

e de temos a seguinte desigualdade de Chebyshev

para todo .

Demonstração da Lei Fraca dos Grande Números Sejam uma seqüência de variáveis

aleatórias independentes, identicamente distribuídas e todas com valor esperado e variância finitos.

Share th is :

Curt i r is s o:

Be the first to like this.

Gosto

Sobre jairdonadellijr

Professor

Ver todas as mensagens por jairdonadellijr →

e temos

Usando a desigualdade de Chebyshev (17), concluímos para todo

Problema: Pedro e Paula ambos querem cortar um pedaço de papel retangular. Como ambos são

probabilistas eles determinam a forma exata do retângulo utilizando realizações de uma v.a. positiva, digamos

, como se segue. Pedro é preguiçoso e gera apenas uma única realização dessa v.a.; então ele corta um

quadrado que tem comprimento e largura igual a esse valor. Paula gosta de diversidade e gera duas realizações

independentes de . Ela, então, corta um retângulo com largura igual a primeira realização e comprimento

igual ao da segunda realização. Serão as áreas cortadas por Pedro e Paula diferentes em média? se forem,

Pedro ou Paula deverá ter um retângulo com área maior?

Esse post foi publicado em IPE e marcado desigualdade de Chebyshev, desigualdade de Markov, desvio padrão, esperança, Lei dos Grandes Números, valor esperado,

valor médio, variância. Guardar link permanente.

Notas de aula

Compartilhar

Relacionado

IMPE – bc1414 – Função geradora de probabilida… IMPE – bc1414 – Cadeias de Markov a tempo dis… IMPE – bc1414 – Recorrência, transiência e período

Em "impe" Em "impe" Em "impe"

O tema Twenty Ten. Blog no WordPress.com.