notas de aula fundamentos de matemática...

Notas de aulaFundamentos de Matemática I

Prof Me Samuel Lima Picanço

1. Conjuntos Numéricos

1.1. Números Naturais

Os números naturais (N) são aqueles que aprendemos natu-ralmente. Uma criança não precisa frequentar escola paraaprender a contar Desde pequena, quando indagada sobresua idade, ela já mostra os dedinhos, mesmo que fale umaquantidade diferente daquela que está mostrando. Sendo as-sim, o conjunto dos números naturais é:

N= {0,1,2,3, · · ·}

As operações básicas estão definidas em N mas com certasrestrições. Por exemplo, quando você frequentava as sériesinicias, a professora não passava "contas"do tipo

3−8.

Sendo assim, surge a necessidade de um novo conjunto nu-mérico para estas operações se tornem possíveis.

1.2. Números Inteiros

Os números inteiros (Z) são usados para contar quantidadesinteiras, positivas e negativas. Durante o campeonato de fu-tebol por exemplo, se o seu time não tiver uma defesa muitoboa, provavelmente irá levar mais gols do que fez. O númeroque representa o saldo de gols nesse caso é um número ne-gativo. O conjunto dos números inteiros é:

Z= {· · ·−3,−2,−1,0,1,2,3, · · ·}

Note que todo número natural é também inteiro e podemosescrever que N⊂ Z (N está contido em Z).ASsim como em N, as operações definidas em Z têm cer-tas restrições, como por exemplo, não está definido nesse oconjunto o número

1÷2

por exemplo. Sendo assim, surge a necessidade de um novoconjunto numérico para que sejam possíveis tais operações:

1.3. Números Racionais

Os números racionais (Q) são aqueles que podem ser escri-tos como o resultado de uma divisão entre inteiros, sendoque o divisor deve ser não nulo. Em outras palavras, defini-mos Q assim:

Q={a

b, a,b ∈ Z,b 6= 0

}A partir desta definição irei agora exemplificar os núme-ros racionais e você irá perceber que eles estão presenteso tempo todo em sua vida.

Exemplos

1) 2 é racional pois existem várias divisões cujo resultado é 2

2 =42=−6−3

=189

= · · ·

Com este exemplo fica evidente que todo número in-teiro é também racional e podemos escrever Z ⊂ Q.Agora nos resta averiguar os números racionais nãointeiros:

2) 0,5 é racional pois existem várias divisões cujo resul-tado é 0,5.Basta você imaginar na situação em que um real deveser dividido para duas crianças e cada uma delas iráficar com cinquenta centavos (0,50).

0,5 =12=

50100

=−2−4

= · · ·

3) 1,25 é um número racional pois existem váriasdivisões cujo resultado é 1.25.A partir daqui vamos estabelecer uma maneira deescrever estes números no formato de uma divisão(fração) entre dois inteiros. Note que tanto 0,5quanto 1,25 são números racionais que possuemrepresentação decimal finita. Isso significa quevieram de uma divisão com resto zero. Como nossabase de numeração é a decimal, todas as divisõespor 2, por 5, ou por qualquer número que é umproduto dos fatores 2 e 5, é finita. Sendo assim, todasos números racionais com representação decimalfinita podem ser representados por uma divisão poruma potência de dez. Uma potência de 10 é umnúmero que,em sua composição só aparece o alga-rismo 1 uma vez e o restante dele é formada por zeros.

1,25 =125100

=54

54

é a fração irretudível que representa 1,25. Ela é ob-

tida da simplificação de125100

. Dividimos numerador edenominador por 25 (nesse caso).Note que o numerador da fração é 125, ou se vocêpreferir, 1,25 quando se "esconde"a vírgula. O deno-minador é formado por uma potência de dez (lembra?)e a quantidade de zeros corresponde à quantidade decasas decimais de 1,25, nesse caso, duas.Mas vamos agora entender por que eu posso usar esta

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regra. Nosso objetivo é escrever uma fração que re-presenta 1,25 e, como não sabemos qual é esta fração,iremos chamá-la de x.

1,25 = x (1)

Em (1) vamos transformar o lado esquerdo em um nú-mero inteiro. Para isto, basta analisar o número decasas decimais e multiplicar por uma potência de 10cujo número de zeros corresponda ao número de ca-sas. Aqui temos duas casas então devemos multiplicarpor 100.

1,25(×100) = x(×100) (2)

Lembre-se que, o que fazemos em um dos lados de-vemos fazer também no outro.

125 = 100x

Como o 100 está multiplicando, vai para o outro mem-bro dividindo. Sendo assim:

x =125100

Isto explica o que fizemos de forma direta lá atrás.Tente não decorar o jeito de fazer e sim entender oque está se passando.Faça você mesmo agora, escreva cada um dos seguin-tes números como uma divisão entre dois inteiros:1,2; 0,62; 12,5; 0,025; 0,002

Os próximos exemplos trazem as dízimas periódicas que sãonúmeros racionais que possuem representação decimal infi-nita, porém periódica. Esses números são resultado da di-visão em que o divisor tem algum fator diferente de 2 ou5.

4) 0,333 · · · é um número racional pois é o resultado deuma divisão entre dois inteiros.Nossa missão agora é determinar qual é a fração querepresenta esta dízima. Esta é uma dízima simplespois, após a vírgula, só aparece o período (algarismosque se repetem). Para as dízimas simples você poderáusar a seguinte regra:No numerador escreva o período (nesse exemplo o pe-ríodo é 3). No denominador escreva apenas algaris-mos 9, cuja quantidade vai ser igual à quantidade dealgarismos do período.

0,333 · · ·= 3↗período

9↘quantidade de algarismos do período=

13

Note que13

é a forma simplificada da fração que geroua dízima 0,333 · · · . Dizemos que é sua fração geratriz.Observe ainda que, se a dízima for maior que 1, entãonos será conveniente separar a parte inteira da partedecimal, como no exemplo a seguir:

5) 1,35 · · ·Aqui usamos o traço para indicar quem é o período.Nesse caso, o período é formado pelos algarismos 3 e5.

1,35 · · ·= 1+0,35 · · ·= 1+3599

=99+35

99=

13499

Agora vem a pergunta? Por que, ou de onde veio, estaregra? Novamente irei usar x para representar a fraçãodesconhecida.

0,333 · · ·= x (3)

Agora, na equação 3, busquemos uma maneira de aca-bar com a parte infinita. Primeiro vamos analisar aquantidade de algarismos do período e percebemosque se multiplicarmos por 10, teremos duas equaçõesem que os lados esquerdos terão a mesma parte infi-nita.

0,333 · · ·(×10) = x(×10) (4)

3,333 · · ·= 10x (5)

Agora fazemos (5) - (3), membro a membro e parteinfinita do lado esquerdo irá se cancelar:

3,333 · · ·−0,333 · · ·= 10x− x (6)

3 = 9x

O 9 que está multiplicando vai dividindo e pronto:

x =39=

13

E se a dízima não for simples? Dizemos que uma dízimanão é simles (composta) se, do lado direito da vírgula, alémdo período, aparecer também algum algarismo que não serepete. Irei chamá-lo de intruso.

6) 0,2666 · · ·Nesse caso o intruso é formado pelo algarismo 2 e operíodo por 6.No numerador escreva o intruso seguido do período.Em seguida subtraia o intruso. No denominador con-tinua valendo a regra do 9, porém, agora irá aparecerzero também. A quantidade de zeros é equivalente àquantidade de algarismos do intruso.

0,2666 · · ·= 26↗intruso + período −2

↗intruso

9︸︷︷︸quantidade de algarismos do período

0︸︷︷︸quantidade de algarismos do intruso

=24÷2

90÷2 =12÷3

45÷3 =4

15415 é a forma mais simples da fração que representa0,2666 · · · . Dizemos que é sua fração geratriz.Mas novamente você pode se perguntar: de onde veio

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Notas de aula da disciplina Fundamentos de Matemática I - PUC Goiás - Conjuntos Numéricos

esta regra? Lá vai a explicação:Iremos usar x para representar a fração desconhecida.

0,2666 · · ·= x (7)

Em (7) vamos tentar separar o intruso do período.Nesse exemplo, basta multiplicarmos por 10 pois ointruso é composto apenas por um algarismo.

0,2666 · · ·(×10) = x(×10)

2,666 · · ·= 10x (8)

Vamos agora separar a parte inteira da parte decimal.

2+0,666 · · ·= 10x

A parte fracionária agora você já sabe como fica:69

2+69= 10x

249

= 10x

O 10 multiplicando vai dividindo e pronto:

x =2490

=4

15

Faça você mesmo agora: escreva a fração geratriz decada uma das dízimas periódicas: 0,2 · · · ; 20,13 · · · ;0,123 · · · ; 2,312 · · ·

Os números racionais, como vimos, podem ser todos repre-sentados por uma fração de inteiros. Quais seriam então osnúmeros que não podem ser representados por uma divisãoentre dois inteiros?

1.4. Números Irracionais

Os números irracionais (I) são aqueles que não podem serescritos por meio de uma divisão entre dois inteiros.Ao se expressar a medida da diagonal de um quadrado cujolado é um por exemplo, nos deparamos com um problema:

Fig. 1. Representação do cálculo da diagonal

O número que expressa a medida da diagonal desse qua-drado não é racional. Podemos resolver o problema usandoo famoso Teorema de Pitágoras e a diagonal será a hipote-nusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 1.

x2 = 12 +12

Resolvendo-se a equação temos que:

x2 = 2

E aqui vemos que não existe número racional capaz de ser asolução desse problema.Hoje sabemos que esse número é o

√2. Sendo assim, sur-

gem os números que, assim como este último, não têm re-presentação decimal finita. Diferentemente das dízimas pe-riódicas, os números irracionais têm representação decimalinfinita, porém não periódica.Podemos destacar como números irracionais todas as raízesde índice n não exatas. Além destas temos o π , o famosonúmero de Euler (e), dentre outros que você irá aprender aolongo do curso.Vale dizer que um número é racional ou irracional, ou seja,não pode ser ao mesmo tempo pertencente aos dois conjun-tos.

1.5. Números Reais

O conjunto formado pela reunião dos elementos de Q e I édenominado conjunto dos números Reais (R).

R=Q∪ I

O conjunto dos números reais é formado pelo números quevocê utiliza em seu dia a dia. Praticamente todos os núme-ros que você precisa para contar, medir, somar, dividir, noseu trabalho, são reais. Na disciplina de cálculo diferenciale integral serão os únicos números que você irá precisar.Os números reais podem ser representados por uma reta,chamada reta real, em que cada ponto está associado a umnúmero.

Fig. 2. Reta Real

Vamos agora resolver alguns exercícios com operações bá-sicas com os números reais.


3


1.6. Exercícios Resolvidos

1.6..1 Resolva as operações expressando a resposta naforma de fração

a) 0,5+0,25 = É claro que somar estas quantidades nãoé algo nada difícil de se fazer, ainda mais se você as-sociar cada uma delas a moedinhas de 50 e 25 cen-tavos, respectivamente. Mas aqui iremos explorar asfrações.

0,5 =50100

=12

e0,25 =

25100

=14

Nosso problema agora se resume em somar

12+

14

E vale ressaltar que para somar duas frações é neces-sário que os denominadores delas sejam iguais. O de-nominador de uma fração indica em quantas partes otodo foi dividido. Pense em duas pizzas de mesmotamanho. Você só pode comparar ou somar fatias deuma pizza com a outra se os pedaços forem de mesmotamanho. Para que isto ocorra é necessário que o nu-mero de fatias seja o mesmo.

Fig. 3. Representação das frações por pizzas

Note que é evidente a diferença entre os tamanhos decada fatia. Caso queiramos comparar ou somá-las,devemos antes fazer algum procedimento que nospermita deixá-las do mesmo tamanho. Tal procedi-mento será ilustrado a seguir, primeiro por meio dodesenho.

Fig. 4. Representação das pizzas com fatias de mesmo tamanho

Observe que ter 1 fatia em 2 na primeira pizzaé o equivalente a ter duas fatias em 4. Agora que osdenominadores são iguais, podemos simplesmentesomar os numeradores:

24+

14=

34

É claro que não iremos desenhar pizzas todas as vezesque quisermos somar duas ou mais frações, mesmoporque isso poderia ser trabalhoso demais para deno-minadores muito grandes. Então, qual será o proce-dimento? A ideia é deixar os denominadores iguais epara isto, vamos buscar o menor número que os divideao mesmo tempo.Nesse exemplo foi o 4. Logo o novo denominadorserá 4. Mas se alteramos o denominador, obviamentedeveremos alterar o numerador para obtermos fraçõesequivalentes.

4+

4A pergunta é: qual número multiplicamos pelo antigodenominador para obter o 4? Esse mesmo númerodeverá ser multiplicado no numerador. Na primeirafração foi o 2 e na segunda o 1. Caso não consiga fazerde cabeça, divida o novo denominador pelo antigo.Use o resultado para multiplicar no numerador:

24+

14=

34

b) 1,236 · · ·+ 3,25 Nesse exercício temos uma dízimaperiódica (composta por sinal). Vamos escrever asfrações separadamente:

1,236 · · ·= 1+1,236 · · ·= 1+236−23

900

1+213÷3

900÷3 = 1+71300

=300+71

300=

371300

Esta é só a primeira fração. A próxima será mais sim-ples de se obter:

3,25 =325÷25

100÷25 =134

Agora nos resta somar as frações:

371300

+134

O mínimo múltiplo comum entre 300 e 4 é o próprio300.

300+

300Agora vamos dividir 300 por cada um dos antigos de-nominadores e multiplicar o resultado pelo respectivonumerador:

371300

+975300

=371+975

300=

1346300

1346÷2

300÷2 =673150



c) (0,222 · · ·)2−0,025+1,333 · · · Este exemplo irei re-solver de modo mais direto:(

29

)2

− 251000

+1+39

Note que apareceu um termo a mais que é justamenteo 1 (parte inteira da última dízima).(

29

)2

− 251000

+9+3

9

Para calcular potência de uma fração lembre-se de ele-var o numerador e depois o denominador:

481− 25

1000+

129

Vamos simplifcar as frações possíveis antes de conti-nuar:

481− 25

1000+

129

=481− 25÷25

1000÷25 +12÷3

9÷3

481− 1

40+

43

Vamos recordar aqui um procedimento que vocêaprendeu nas séries inicias para determinar o mínimomúltiplo comum entre 2 ou mais números. Faremosa decomposição simultânea de 81, 40 e 3, em fatoresprimos.

Do lado direito só podem aparecer números primos.Comece pelo menor e vá aumentando, conforme a di-visão for acontecendo:

Note que a divião por 2 não é mais possível. Vamosao próximo primo, que é o 3, e depois, finalmente, ao5.

Agora os fatores que aparecem na decomposição de-vem ser multiplicados. Este será o novo denominador.

2×2×2×3×3×3×3×5 =

23×34×5 = 3240

Divida este número por cada um dos antigos denomi-nadores e multiplique o valor obtido pelo numerador:

1603240

− 813240

+43203240

160−81+43203240

=43993240

1.6..2 Simplifique as expressões a seguir:√

24 +√

54 = Expressões com números irracionaismuitas vezes se tornam uma pedra no sapato dos estu-dantes na área de exatas.O procedimento é simples. Decomponha os radican-dos (números que aparecem dentro da raiz). Em se-guida separe os fatores que se repetem de acordo aoíndice (número sobre escrito dentro da raiz). Nessecaso é 2.

24 = 2×2︸︷︷︸2 f atores

2×2×3

54 = 3×3︸︷︷︸2 f atores

×3×2

√22×2×3+

√32×2×3

Os fatores que têm expoente igual ao índice podemser cortados e escritos fora da raiz. Assim:

2√×2×3+3

√×2×3

Os fatores que ficaram dentro da raiz serão multipli-cados.

2√

6+3√

6

Observe aqui que as raízes ficaram iguais. Assimcomo usamos a ideia das frutas, aqui também vale aanalogia.

2√

6+3√

6 = 5√

6

Portanto: √24+

√54 = 5

√6


5


2. Intervalos Reais

Um intervalo real nada mais é que um subjconjunto de R.Usamos a ideia de intervalo para representar um conjuntoinfinito. Dizemos que um conjunto é infinito se a quanti-dade de elementos dele não puder ser contada.Considerando a e b dois números reais quaisquer, um inter-valo real terá uma das seguintes formas:

[a,b] = {x ∈ R|a≤ x≤ b}

]a,b[= {x ∈ R|a < x < b}

]a,b] = {x ∈ R|a < x≤ b}

[a,b[= {x ∈ R|a≤ x < b}

]−∞,a[= {x ∈ R|x < a}

]−∞,a] = {x ∈ R|x≤ a}

[a,+∞[= {x ∈ R|x≥ a}

]a,+∞[= {x ∈ R|x > a}

Aqui vale a observação que ∞, apenas um símbolo. Pode-mos ainda representar estes intervalos geometricamente eisto será muito útil. Faremos isto conforme os exemplosexijam.

Exemplos

1) Expresse o conjunto {x ∈ R|2x−3 < x+1} em nota-ção de intervalo:Solução:Devemos resolver uma inequação para representar oconjunto na forma de um intervalo:

2x−3 < x+1

Assim como numa equação de 1o grau, resolvemos ainequação isolando a variável:

2x− x < 1+3 =⇒ x < 4

Podemos representar a solução assim:

]−∞,4[

Este resultado significa que, qualquer valor de x me-nor que 4, torna verdadeira a afirmação 2x−3< x+1.

2) Determine o conjunto solução da seguinte inequação:

−3x+5≤ 2x+4

Solução:Novamente, isolando-se a variável, teremos:

−3x−2x≤ 4−5

−5x≤−1

Antes de continuarmos, observe a desigualdade

−3 <−1

. Ela é verdadeira e, você aprendeu que, numa equa-ção, se multiplicarmos ambos os lados por algum va-lor, a igualdade não se altera. Com as inequações, se ovalor multiplicado for negativo, veja o que acontece:

−3× (−1)<−1× (−1)

3 < 1 o que é falso, obviamente

Este erro pode ser corrigido se invertermos o sinal dedesigual também. E faremos sempre! Ao multiplicaro (-1) numa inequação, o sinal se inverte:

−5x× (−1)≤−1× (−1)

5x≥ 1 =⇒ x≥ 15

Vamos representar esta solução graficamente:

Fig. 5. Solução Gráfica da Inequação

3) Estude o sinal da expressão −2x+8Solução:Estudar o sinal de uma expressão significa dizer quaisvalores de x torna aquela expressão positiva, negativaou nula.É claro que posteriormente iremos desenvolver ma-neiras mais diretas para resolver esta questão,maspor enquanto, vamos usar um procedimento eficiente.Lembre-se que, na reta real, o zero está entre os núme-ros negativos e os positivos. Então, vamos primeirodescobrir qual valor de x anula a expressão. Faremosisto igualando a zero.

−2x+8 = 0 =⇒−2x =−8 =⇒ x =−8−2

x = 4

Significa que em 4 a expressão muda de sinal. O queeu sugiro aqui é que você escolha dois números, ummenor que 4 e outro maior que 4. Substitua-os naexpressão e verifique o que acontece:

Para x < 4 (x = 3) =⇒−2×3+8 =⇒−6+8 = 2

2 > 0

Como esta é uma expressão de grau 1, o sinal só sealtera uma vez.



Concluímos que se x < 4 a expressão é positiva e casocontrário, a expressão é negativa. Podemos escrever:

Se x < 4, −2x+8 > 0

Se x = 4, −2x+8 = 0

Se x > 4, −2x+8 < 0

Podemos representar (e nos será muito útil) a expres-são graficamente:

Fig. 6. Solução Gráfica do Estudo do Sinal

4) Estude o sinal da expressão x2 +2x−8Solução:Esta é uma expressão de 2o grau e iremos resolvereste problema usando a fatoração de polinômios tra-balhada em aulas anteriores:x2 +2x−8 não é um trinômio quadrado perfeito (ve-rifique você mesmo). Outra forma de fatorar esta ex-pressão é buscar dois números cujo produto é -8 e asoma é 2.Depois de fazer algum exercício mental você pode ve-rificar que os números procurados são 4 e -2. Entãopodemos escrever:

x2 +2x−8 = (x+4)(x−2)

Agora podemos estudar o sinal da expressão traba-lhando com o produto do lado direito da igualdadeacima. Vamos chamar os fatores de A e B respectiva-mente:

(x+4)︸︷︷︸A

(x−2)︸︷︷︸B

Estudando o sinal de A (usando a mesma ideia doexemplo anterior) temos:

x+4 = 0 =⇒ x =−4

É notório que A > 0 se x >−4 e A < 0 se x <−4.Analogamente:

x−2 = 0 =⇒ x = 2

Daí temos que B > 0 se x > 2 e B < 0 se x < 2. Vamosrepresentar estas informações graficamente: Note que

Fig. 7. Solução Gráfica do Estudo do Sinal de Cada Expressão

Fig. 8. Solução Gráfica do Estudo do Produto das Expressões

é importante respeitar a relação de ordem dos reais,ou sejam, números menores escritos à esquerda.Agora iremos multiplicar a expressão A pela expres-são B, usando a representação gráfica. Observe quena terceira reta (a que representa A ·B) os sinais foramobtidos fazendo-se a multiplicação dos sinais das re-tas anteriores.Podemos escrever então que:

x2 +2x−8 > 0 se x <−4 ou se x > 2

x2 +2x−8 < 0 se −4 < x < 2 (x está entre - 4 e 2)

x2 +2x−8 = 0 se x =−4 ou se x = 2

5) Estude o sinal da expressão −x2− x+2Solução:Aqui, novamente, iremos transformar a expressão emum produto de fatores mais simples. Até agora vocêviu apenas duas possibilidades para um trinômio degrau 2. Ou ele é quadrado perfeito ou é da forma x2 +Sx+P, sendo S a soma de dois números cujo produtoé P. Nesse exemplo, vamos colocar inicialmente o -1em evidência:

−(x2 + x−2)

Sendo assim, a expressão dentro dos parênteses podeser fatorada mais facilmente pois o número que mul-tiplica x2 é 1.Devemos buscar agora dois números cujo produto seja-2 e a soma seja 1. Os números são 2 e -1. Então:

−(x2 + x−2) =−[(x−1)(x+2)]

O sinal de menos antes dos colchetes significa que -1multiplica a expressão. Podemos usar a distributivi-dade no fator x−1 e a expressão se torna:

(−x+1)(x+2)

Assim como no exemplo anterior, vamos chamar osfatores de A e B:

(−x+1)︸︷︷︸A

(x+2)︸︷︷︸B

Estudaremos agora o sinal de A.

−x+1 = 0 =⇒ x = 1

Lembre-se de fazer "testes"em A com valores me-nores e maiores que 1. Descobrimos que, quando


7


x < 1, A > 0 e quando x > 1, A < 0Estudando o sinal de B:

x+2 = 0 =⇒ x =−2

Ao escolher valores em B, menores e maiores que 2,descobrimos que quando x < 2, B < 0 e quandox > 2, B > 0.Vamos representar o estudo do sinal de cada expressãograficamente e em seguida fazer o produto dos sinaisdas expressões:

Fig. 9. Solução Gráfica do Estudo do Produto das Expressões

Analisando a solução gráfica, podemos escrever:

−x2− x+2 > 0 quando −2 < x < 1

−x2− x+2 < 0 quando x <−2 ou x > 1

−x2− x+2 = 0 quando x =−2 ou x = 1

Lembre-se que o segredo para que você fique bom nisso éexercitar. Não meça esforços para praticar o que estudou.

3. Valor Absoluto

O valor absoluto ou módulo de um número real é o tamanhodesse número. Cada número da reta real tem uma distânciaaté o zero e desingaremos de módulo esta distância.Usaremos | | para representar o módulo.

Exemplo

|2|= 2 pois o "tamanho"do 2 é duas unidades.

|−2|= 2 pois o "tamanho"do -2 é duas unidades

Você já deve ter ouvido dizer que o módulo de um númeronunca é negativo, ou que o módulo de um número é onúmero sem o sinal. Mas o verdadeiro sentido disso é: paramedir alguma coisa não usamos valores negativos.

3.1. Definição:

Se x é um número real, então:

|x|={

x se x≥ 0−x se x < 0

Exemplo

1) Determine a solução da inequação

|x|> 1

Solução:Nesta desigualdade, estamos interessados em valoresde x que possuem tamanho maior que 1. Vamos re-presentar isso graficamente:

Fig. 10. Representação para |x|> 1

Note que os extremos do intervalo não fazem partedo conjunto, por isso o representamos com uma "bo-linha"vazia.Os números que têm tamanho maior que 1 são essesda região hachurada da figura 10. Sendo assim:

|x|> 1 =⇒ x <−1 ou x > 1

2) Qual é a solução para a inequação

|x+3| ≤ 4 ?

Solução:Enquanto você não tiver confiança de fazer mais rapi-damente, use o seguinte artifício:

x+3 = A

E agora o problema se resume em resolver a inequa-ção:

|A| ≤ 4

Estamos interessados agora em saber quais são os nú-meros que possuem tamanho menor ou igual a 4. Pen-sando como no exemplo anterior podemos concluirque esses números são todos aqueles compreendidosentre -4 e 4. (Na dúvida, represente graficamente!)Portanto, A está compreendido entre -4 e 4 e iremosrepresentar assim:

−4≤ A≤ 4

Mas queremos resolver a inequação na variável x.Lembre-se que A = x+3, portanto:

−4≤ x+3≤ 4

Esta é uma inequação simultânea e podemos resolvê-la isolando a variável.

−4−3≤ x≤ 4−3

Logo−7≤ x≤ 1

Tente representar graficamente esta solução!



3) Determine a solução para a equação

|x+2|= 2.

Solução:Olhando para a equação interpretamos o seguinte: es-tamos interessados em saber quais os números cujotamanho é 2.Sendo assim, os números que possuem tamanho 2 sãoo próprio 2 e o -2.

x+2 = 2 ou x+2 =−2

Resolvendo cada uma das equações temos:

x = 0 ou x =−4

Portanto, a solução para a equação é o conjunto

S = {−4,0}

Para o próximo exemplo, usaremos uma informação impor-tante sobre o módulo de um número real.

√x2 = |x|

Posteriormente iremos demonstrar esta igualdade.

4) Qual é a solução da equação

x2−4x+4 = 0?

Resolução:Você já deve estar pensando que, como esta é umaequação de 2o, para resolvê-la deveremos usar a fa-mosa Fórmula de Bhaskara. Sim, esta é uma equaçãode 2o grau porém iremos usar outro método de reso-lução.Observe que o lado esquerdo da igualdade é um trinô-mio quadrado perfeito:

x2−4x+4 = (x−2)2

Então a equação pode ser reescrita como:

(x−2)2 = 0

Para eliminar o expoente 2 do primeiro membro ire-mos usar a operação inversa (radiciação) em ambos oslados: √

(x−2)2 =√

0

Usando a ideia de que√

x2 = |x|:

|(x−2)|= 0

Estamos agora interessados em saber quais os núme-ros cujo tamanho é zero. O único número real cujotamanho é zero é o próprio zero.

x−2 = 0 =⇒ x = 2

Portanto a solução da equação é o conjunto unitárioS = {2}

5) Determine o conjunto solução da equação

x2 +6x+9 = 16

Novamente o lado esquerdo da equação de 2o é for-mado por um trinômio quadrado perfeito. Vamos es-crever sua forma fatorada:

(x+3)2 = 16

Escrevendo a raiz quadrada dos dois lados:√(x+3)2 =

√16

Usando a informação√

x2 = |x|:

|(x+3)|= 4

Agora vem a pergunta: quais são os números cujo mó-dulo é 4? A resposta é: -4 e 4.

x+3 = 4 ou x+3 =−4

Resolvendo cada uma das equações:

x = 4−3 ou x =−4−3

x = 1 ou x =−7

A solução da equação então será o conjuntoS = {−7,1}

Talvez você não tenha percebido mas o que fizemos nosexemplos 4 e 5 foi resolver uma equação de 2o grau porum processo bem diferente do que você está acostumado.Vamos resolver mais alguns exemplos assim:

6) Determine o conjunto solução da equação

x2 +6x−7 = 0

Resolução:Esta equação de 2o está no formato que você acostu-mou a ver. Note que o trinômio não é quadrado per-feito. Ele pode ser fatorado como soma e produto,como vimos anteriormente,mas aqui iremos usar umprocedimento chamado de "completar os quadrados".O objetivo dele é completar o trinômio para que elese torne um quadrado perfeito. Preste muita atençãono que será feito porque aparentemente você acharádifícil, mas verá com a prática que não é:Primeiro passo: verifique se o número que multplicao x2 é 1. Se não for, divida a equação inteira por ele.Nesse caso já é 1. Segundo passo: pegue o termo quemultiplica o x e divida-o por 2(só o módulo). Nesseexemplo é o 6.

6÷2 = 3

Terceiro passo: pegue o resultado da divisão do passoanterior e eleve ao quadrado.

32 = 9


9


Se o termo independente fosse 9, então o trinômio se-ria quadrado perfeito. Como não é, vamos para o pró-ximo passo.Quarto passo: acrescente ao termo independente umaquantidade que o torne igual ao resultado obtido noterceiro passo. Nesse caso devemos acrescentar ao -7um número que faça o resultado ser 9. Esse número é16. Só que,numa equação, o que você acrescentar deum lado, deve também acrescentar no outro.

x2 +6x−7+16 = 16

Agora organizando o lado esquerdo:

x2 +6x+9 = 16

Note que a equação agora se tornou idêntica à doexemplo 5 e irei deixar para você resolvê-la. Tente re-solver o exemplo também fatorando o trinômio comosoma e produto.

7) Qual é o conjunto solução da equação

10x2−9x+2 = 0?

Resolução:Note que aqui o termo que multiplica o x2 não é 1.Nesse caso, vamos dividir e equção toda por 10.

10x2−9x+210

=0

10

O lado direito continuará zero e o lado esquerdo fi-cará:

x2− 910

x+2

10= 0

O próximo passo agora é dividir o termo que multi-plica x por 2.

9102

=910· 1

2=

920

Observe que agora devemos elevar este termo ao qua-drado (

920

)2

=81

400

Agora a pergunta é: qual deverá ser o número acres-

centando a210

para que o resultado seja81

400?

?+2

10=

81400

? =81

400− 2

10O mínimo múltiplo comum entre 400 e 10 é o 400.

? =81400− 80

400

? =1

400

Descobrimos que devemos acrescentar em ambos os

lados1

400.

x2− 910

x+(

210

+1

400

)=

1400

Lembre-se que2

10+

1400

= Logo a equação torna-se:

x2− 910

x+81400

=1

400

O primeiro membro desta última equação é um trinô-mio quadrado perfeito e sua forma fatorada é (verifi-que): (

x− 920

)2

=1

400

Vamos calcular agora a raiz quadrada em ambos oslados: √(

x− 920

)2

=

√1

400

Não se esqueça que√

x2 = |x|:∣∣∣∣(x− 920

)∣∣∣∣= 120

Quais são os números cujo tamanho vale1

20? Esses

números são1

20e − 1

20.

Logo:

x− 920

=1

20ou x− 9

20=− 1

20

x =1

20+

920

ou x =− 120

+9

20

x =1020

ou x =820

Simplificando as frações:

x =12

ou x =25

A solução da equação é o conjunto S =

{12,

25

}8) Qual é o conjunto solução da equação

x2 +2x+2 = 0?

Resolução:Vamos resolver a equação completando os quadrados,como fizemos anteriormente.Primeiro observe que o número que multiplica x2 é 1.Só nos resta agora dividir o termo que multiplica x por2 e em seguida elevar o resultado ao quadrado.

2÷2 = 1 =⇒ 12 = 1



Significa que devemos acrescentar algum número nolado esquerdo para que o termo independente (2) setorne 1. Esse número é o -1.

x2 +2x+2−1 =−1

Agora, o primeiro membro da equação pode ser es-crito de forma fatorada, já que é um trinômio qua-drado perfeito.

x2 +2x+1 =−1 =⇒ (x+1)2 =−1

O procedimento agora é análogo ao que fizemos ante-riormente. Calculamos a raiz quadrada em ambos oslados √

(x+1)2 =√−1

Note que do lado direito desta igualdade aparece umaquantidade inexistente no conjunto dos números reais.Como estudamos somente os números reais (pelo me-nos nesta disciplina), dizemos que a equação não temsolução:

S = { }

Os últimos exemplos que resolvemos foi uma aperitivo parao que vamos estudar agora.

4. Equações de 2o Grau

Uma equação de 2o grau tem a forma

ax2 +bx+ c = 0 sendo a,b,c ∈ R e a 6= 0.

A condição de a ser diferente de zero você vai entender jája. Por enquanto, pense que é somente pelo fato de que, sea for zero, o termo de grau 2 "some" e a equação passa a serde primeiro grau.Para resolver equações de grau 2 você poderá todas as vezesque quiser, usar o método de completar os quadrados, comovisto anterioremente. Porém iremos desenvolver agora umafórmula resolutiva, conhecida como Fórmula de Bhaskara.Ela se baseia na ideia estudada.Começaremos dividindo a equação por a:

ax2 +bx+ c = 0(÷a) (9)

x2 +ba

x+ca= 0 (10)

Na equação 10, devemos agora dividir o termo que multi-plica x por 2 e em seguida elevar o resultado ao quadrado.

ba2

=⇒ ba· 1

2=

b2a(

b2a

)2

=b2

4a2

b2

4adeve ser o termo independente. Para que isto ocorra, de-

vemos somar alguma quantidade na equação. Para descobrirque quantidade é esta, resolvemos o seguinte problema:

?+ca=

b2

4a2

Isolando a incógnita:

? =b2

4a2 −ca

Podemos melhorar o lado direito da igualdade reduzindo asfrações ao mesmo denominador:

? =b2

4a2 −4ac4a2 =⇒ ? =

b2−4ac4a2

A quantidade a ser somada em ambos os lados da equação

então éb2−4ac

4a2 .

Portanto, na equação(10) vamos acrescentarb2−4ac

4a2 dosdois lados:

x2 +ba

x+(

ca+

b2−4ac4a2

)=

b2−4ac4a2 (11)

Em (11), (ca+

b2−4ac4a2

)=

b2

4a2

Substindo este resultado:

x2 +ba

x+b2

4a2 =b2−4ac

4a2 (12)

O primeiro membro de (12) é um trinômio quadrado perfeito(verifique)! Sua forma fatorada é:(

x+b

2a

)2

A equação (12) torna-se:(x+

b2a

)2

=b2−4ac

4a2 (13)

Finalmente agora calculamos a raiz em ambos os lados daequação: √(

x+b

2a

)2

=

√b2−4ac

4a2 (14)

Lembre-se que√

x2 = |x|.∣∣∣∣x+ b2a

∣∣∣∣=√

b2−4ac2a

(15)

Vamos chamar o número b2− 4ac de ∆. Na equação (15),ao calcular o módulo do lado esquerdo, aparecerão dois nú-meros no lado direito. Um positivo e outro negativo.

x+b

2a=±√

∆

2a(16)


11


Ao isolar o x no primeiro membro, temos:

x =− b2a±√

∆

2a

ou

x =−b±

√∆

2a

Note que o a aparece na fórmula dividindo uma expressão.Logo seu valor tem que ser diferente de zero. Muitaspessoas passam a vida inteira resolvendo equações de 2o

grau com esta fórmula e não sabem de onde ela veio.A partir de agora, pratique a resolucão de equações dessetipo com e sem a fórmula. Isso fará de você um excelentecalculista!

5. Exercícios Propostos

5.1. Elimine o módulo:

a) |−5|+ |−2|=

b) |−5+8|=

c) |2a|− |3a|=

d) |−a|=

5.2. Resolva as equações:

a) |x|= 2

b) |x+1|= 3

c) |2x−1|= 1

d) |x−2|=−1

e) |2x+3|= 0

5.3. Resolva as Inequações

a) |x| ≤ 1

b) |3x−1|<−2

c) |2x−1|< 3

d) |3x−1|< 13

e) |2x−3|> 3

5.4. Fatore o polinômio de 2o dado:

a) x2−3x+2

b) x2− x−2

c) x2−2x+1

d) x2−6x+9

e) 2x2−3x+1

f) x2−25

g) 3x2 + x−2

i) 4x2−9

j) 2x2−5x

5.5. Resolva a inequação dada:

a) x2−3x+2 > 0

b) x2−5x+6≥ 0

c) x2−3x > 0

d) x2−9 < 0

e) x2− x−2≥ 0

f) 3x2− x≤ 0

g) 4x2−4x−1 < 0

h) 4x2−4x−1≤ 0

5.6. Simplique as expressões:

a)x2−1x−1

b)x3−8x2−4

c)4x2−92x+3

d)1x −1x−1

e)1x2 −1

x−1

f)1x2 − 1

9

x−3

g)1x −

15

x−5

h)1x −

1p

x− p

i)(x+h)2− x2

h

j)1

x+h −1x

h



5.7. Resolva as inequações:

a)2x−1x+1

< 0

b)1− x3− x

≥ 0

c)x−2

3x+1> 0

d) (2x−1)(x+3)< 0

e)3x−22− x

≤ 0

f) x(2x−1)≥ 0

g) (x−2)(x+2)> 0

h)2x−1x−3

> 5

i)x

2x−3≤ 3

j)x−12− x

< 1

6. Funções

Como motivação para o estudo de funções iremos analisaralgumas situações:

Problema 1

Um taxista cobra R$8,00 de bandeirada mais R$1,20 porquilômetro percorrido. Quanto um cliente deverá pagar aofinal de uma corrida?

Problema 2

Um resevatório tem capacidade para 10000 L de água e estácompletamente cheio quando é detectado um furo que deixafluir 0,1 L por minuto. Quantos litros de água restarão noreservatório?

Para os dois problemas a resposta parece impossível.É como se estivesse faltando alguma informação parasolucioná-los. Se voê fosse responder o primeiro certa-mente diria assim: "depende da distância percorrida!"Ecaso fosse responder o segundo diria "depende do tempoque irá se passar até que o reservatório seja remendado!"A palavra "depende"nas suas respostas aparecem antes dasgrandezas distância e tempo. Lembre-se que uma grandezaé algo que pode ser medido. Nos problemas citados, emcada um deles aparecem duas grandezas se relacionando.No primeiro, há uma relação entre o valor a se pagar pelacorrida e a distância percorrida. No segundo problema,a quantidade de água no reservatório se relaciona com otempo que vai durar esse vazamento.Para resolver os problemas, vamos construir uma tabelaem que mostraremos a relação existente entre as grandezasmencionadas.

Distância d (km) - Valor a pagar Q (Reais)1 8+1,20×1 9,202 8+1,20×2 10,403 8+1,20×3 11,604 8+1,20×4 12,80...

. . ....

d 8+1,20×d Q = 1,20d +8Note que conseguimos estabelecer uma "fór-mula"matemática para calcular o valor a se pagar aofinal de uma corrida, qualquer que seja a distância percor-rida. Esta relação é chamada de função. As grandezas sãorepresentadas por variáveis as quais chamaremos variáveldependente (Q) e variável independente (d). Nesta relaçãoé notável que quanto maior for a distância percorrida, maiorserá o valor a pagar.


13


Para o problema do reservatório temos:Tempo t (min) - Volume V (Litros)

1 100000−0,1×1 9 999,910 10000−0,1×10 999960 10000−0,1×60 9994120 10000−0,1×120 9988

.... . .

...t 10000−0,1× t V =−0,1t +10000

Novamente conseguimos estabelecer uma relação entre asgrandezas (volume e tempo). Esta relação também é umafunção cuja variável independente é o tempo e a variáveldependente é o volume de água no reservatório. É de senotar também que, quanto maior for o tempo, menor será ovolume de água no reservatório.Geralmente, nomearemos a variável independente de x e avariável dependente de y. Usaremos f , g, h, etc para nosreferirmos a uma função.Sendo assim, ao olhar para a notação

y = f (x)

interprete: y é uma função cujo nome é f e que depende davariável x.Agora que já estamos mais familiarizados com a ideia, po-demos definir matematicamente uma função.

6.1. Definição

Uma função é uma relação matemática (fórmula) que asso-cia todos os elementos de um conjunto A a correspondentesúnicos em um conjunto B. Usaremos a notação

f : A−→ B

para dizer que f é uma função de A em B.A é chamado de domínio da função e B contra domínio. Oconjunto domínio é formado pelos valores que a variávelindependente pode assumir. No conjunto contra domínioestão os valores da variável dependente. Para entendermelhor este conceito, vejamos alguns exemplos:

Exemplos

1) Dados os conjuntos A = {−2,−1,0,1,2} e

B =

{−1

4− 1

2,−1,

14,

12,1}

e a relação y =1x

,

verifique se esta relação é uma função:Resolução:Primeiramente devemos levar todos os elementosdo conjunto A na relação y=

1x

, no lugar da variável x.

x =−2 =⇒ y =1−2

=−12

x =−1 =⇒ y =1−1

=−1

x = 0 =⇒ y =10

Aqui temos um problema visto que a divisão por zeronão está definida. Vamos fazer os outros cálculos, de-pois iremos concluir algo interessante.

x = 1 =⇒ y =11= 1

x = 2 =⇒ y =12

Vamos representar esta relação por meio de um dia-grama.

Fig. 11. Diagrama que representa a relação y = 1x

Segundo a definição, esta relação não é uma funçãopois, no conjunto A, existe um elemento que não foirelacionado a nenhum valor de B. Este valor é o zero.Note que se retirarmos este elemento do conjunto arelação se torna uma função de A em B.

Fig. 12. Diagrama que representa a função y = 1x

Observe que agora faz sentido falarmos em conjuntodomínio ou contra domínio. Vamos usar a notaçãoD f para denotar domíno de f e CD f para o contradomínio. Nesse caso:

D f = A−{0} leia conjunto A exceto o zero

CD f = B



No contra domíno exite um subjconjunto de extremaimportância chamado Conjunto Imagem (Im f ). Eleé formado por todos os elementos de B que "foramflechados"por meio da função:

Im f =

{−1

2,−1,

12,1}

É muito comum as pessoas fazerem confusão quandoo assunto é escrever o domínio de uma função.Lembre-se: o domínio é o conjunto formado peloselementos que a variável independente pode assumir.

2) Dados os conjuntos A = {−2,−1,0,1,2}, B ={−2,−1− 0,1,2,3,4} e a relação f (x) = x2, verifi-que se esta relação é uma função. Em caso afirma-tivo, determine os conjuntos domínio, contra domínioe imagem.Resolução:Novamente devemos levar cada elemento de A na re-lação, no lugar do x.

x =−2 =⇒ f (−2) = (−2)2 = 4

x =−1 =⇒ f (−1) = (−1)2 = 1

x = 0 =⇒ f (0) = 02 = 0

x = 1 =⇒ f (1) = 12 = 1

x = 2 =⇒ f (2) = 22 = 4

Vamos representar esta relação por meio de um dia-grama.

Fig. 13. Diagrama que representa a função f (x) = x2

Dizemos que os elementos que estão no conjunto ima-gem são as imagens daqueles que pertecem ao domí-nio. Assim, podemos dizer que 4 é a imagem de 2,por exemplo.Olhando para o diagrama percebemos que todos oselementos do conjunto A possuem correspondentesúnicos no conjunto B.Portanto a relação é uma fun-ção de A em B. Nesta função temos:

D f = A

CD f = B

Im = {0,1,4}

3) Uma relação é dada pelo diagrama a seguir. Decida:a relação é uma função? Justifique:

Resolução:Note que o elemento −2 do conjunto A está serelacionando com mais de um elemento em B. Peladefinição, cada elemento de A deve ter apenas umcorrespondente em B. Portanto a relação não é umafunção.Como vimos no exemplo 1, algumas relações mate-máticas podem ter restrições. Caso não haja restrição,diremos que o domínio da função é R. Veremos agoraalguns exemplos que ilustram isto.

4) Qual é o conjunto domínio da função

f (x) =3x−14x+2

?

Resolução:Aqui já estamos assumindo que a relação é uma fun-ção e, portanto, devemos impor condição para que istoseja verdade. Note que temos uma expressão que de-pende de x no denominador. Lembre-se que a divisãopor zero não existe. Portanto:

4x+2 6= 0

Resolvendo a inequação, temos:

x 6=−12

Portanto, o domínio da função é o conjunto de todos

os números reais, exceto −12

.

D f = R−{−1

2

}

5) Determine o domínio da função

f (x) =√

x2 +2x−8.

Resolução:


15


Temos aqui outro "problema": em uma raiz de índicepar, o radicando não pode ser negativo. Portanto de-vemos impor que

x2 +2x−8≥ 0

Nossa missão agora é resolver a inequação de 2o grau.Vamos resolvê-la usando o método trabalhado an-teriormente, transformando a expressão do primeiromembro em um produto de fatores de 1o grau.

x2 +2x−8 = (x+4)(x−2)

Vamos nomear cada um dos fatores:

(x+4)︸︷︷︸A

(x−2)︸︷︷︸B

≥ 0

O estudo do sinal desta expressão se encontra na pá-gina 7 destas notas de aula. Vamos direto para a solu-ção gráfica:

Fig. 14. Solução gráfica para a inequação

Observe que os valores que estamos interessados es-tão à esquerda do -4 e à direira do 2 (onde aparece osinal de + na solução gráfica. Logo:

D f = {x ∈ R|x≤−4 ou x≥ 2}

6.2. Gráfico

Uma forma muito útil de se representar uma função é pormeio de um gráfico. O gráfico de uma função é o conjuntode pontos (x,y) do plano que satisfazem à igualdade y =f (x). Vejamos isso por meio de exemplos.

1) Desenhe o gráfico para a função do exemplo 2, página15.Resolução:Note que observando o diagrama, podemos determi-nar os seguintes pares ordenados:

(−2,4),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,4)

O gráfico desta função será o conjunto formado porestes pontos no plano.

Fig. 15. Gráfico da função y = x2

Observe que este gráfico é um conjunto discreto depontos, ou seja, há "espaços"vazios entre dois pontosvizinhos.

2) Represente graficamente a função f : R −→ R defi-nida por

f (x) = x2.

Resolução:Note que o que diferencia este exemplo do anteriorsão os conjuntos envolvidos. Aqui temos uma funçãoque leva elementos dos reais nos reais. Isto nos dizque o gráfico será uma curva no plano, formado pe-los pontos que satisfazem à relação y = x2. Podemosaproveitar os pontos do gráfico anterior para ter umanoção de como a curva irá se comportar.

Estes conjunto de pontos é discreto, o que não podeser usado aqui, pois a função é de R em R. Sendoassim devemos traçar uma curva que contenha todosestes pontos. O gráfico da função fica:



Fig. 16. Gráfico da função de R em R, f (x) = x2

3) Desenhe a curva que representa o gráfico da função

f (x) =1x.

Resolução:Vamos assumir que a função é de R∗ em R, ou seja, xpode assumir valores reais, com exceção do zero.Devemos construir uma tabela com alguns valoresde x escolhidos por você. Lembre-se, escolha quemvocê quiser, exceto o zero. Irei construir uma tabelapara organizar melhor estes dados:

x f (x) =1x

y

−8 f (−8) =1−8

−18

−4 f (−4) =1−4

−14

−2 f (−2) =1−2

−12

−1 f (−1) =1−1

−1

1 f (1) =11

1

2 f (2) =12

12

4 f (4) =14

14

8 f (8) =18

18

Agora podemos listar os pares ordenados obtidos:(−8,−1

8

),

(−4,−1

4

),

(−2,−1

2

),(−1,1) ,(1,1)

(2,

12

),

(4,

14

),

(8,

18

)Agora marcamos estes pontos no plano temos:

Fig. 17. Alguns pontos do gráfico de f (x) =1x

Observe que com os pontos que temos não consegui-mos ter uma noção concreta do que irá acontecer nográfico nos intervalos ]− 1,0[ e ]0,1[. Portanto seriaconveniente escolher alguns valores deste intervalo.

Irei escolher −12,−1

4,−1

4,

18,

14,

12

Levando estes valores na função vamos obter, respec-tivamente o inverso de cada um deles. Assim, vamosacrescentar os pontos(−1

2,−2

),

(−1

4,−4

),

(−1

8,−8

),

(18,8),

(14,4),

(12,2).


17


Fig. 18. Pontos do gráfico de f (x) =1x

que serão usados paratraçar a curva

Agora conseguimos ter uma noção de como se com-portará a curva que representa o gráfico da função.

Fig. 19. Gráfico de f (x) =1x

4) Construa o gráfico da função

f (x) =x2−25x−5

.

Resolução:Note que para esta função, x deve ser diferente de-5. Note ainda que a expressão que determina a lei deformação da função pode ser simplificada.

x2−25x−5

=(x+5)(x−5)

x−5= x+5

Isso significa que construir o gráfico de

f (x) =x2−25x−5

.

equivale a construir o gráfico de

f (x) = x+5 com x 6=−5

Vamos escolher alguns valores para x e calcular assuas imagens.

x f (x) = x+5 y−2 f (−2) =−2+5 3−1 f (−1) =−1+5 40 f (0) = 0+5 51 f (1) = 1+5 62 f (2) = 2+5 7

Agora vamos marcar os pontos no plano.

Fig. 20. Alguns pontos gráfico da função

Se você sobrepor uma régua aos pontos, observará queeles estão alinhados. Significa que o gráfico pode serconstruído traçando-se uma reta pelos pontos marca-dos. Lembre-se que o -5 não faz parte do domínio. Ogrfico fica assim:



Fig. 21. Gráfico da função f (x) =x2−5x−5

Veja que em x = 5 há um "furo"na reta. Isto ocorreporque a função não está definida ali.

Você deve ter percebido que construir o gráfico de uma fun-ção pode ser algo bem trabalhoso. Por este motivo, com opassar do tempo, você irá desenvolver maneiras de esboçaro gráfico com as informações da lei de formação da função.Por enquanto, é recomendável que você utilize papel mili-metrado para desenhar os gráficos, até que tenha habilidadesuficiente fazê-los de outra forma.

6.3. Função de Primeiro Grau

Vimos anteriormente que uma função é uma regra mate-mática que associa números de um determinado conjuntoa números em outro conjunto. Agora iremos estudar tiposde funções específicas, cada uma com suas particularidades.Primeiramente vamos estudar as funções de Primeiro Grau.Uma função de primeiro grau tem como "regra matemá-tica"uma expressão polinomial de primeiro grau. Ou seja,uma expressão polinomial em que o máximo expoente daincógnita é 1 (um). Matematicamente:

f (x) = ax+b, sendo a,b ∈ R e a 6= 0

A condição a 6= 0 é imposta porque, caso contrário tería-mos uma função constante. O termo a é chamado de taxade variação e indica de quanto será o acréscimo da variá-vel dependente quando a variável independente x sofrer umacréscimo de uma unidade. O termo b é chamado de valorinicial da função. Vejamos isso em exemplos:

Exemplos

1) f (x) = 2x+4Vamos construir uma tabela para comparar os valores

de x e f (x).x f (x)0 41 62 83 104 12

Observe que, os valores da segunda coluna aumentamde 2 em 2, enquanto os valores da primeira coluna sealteram de 1 em 1 unidade. Os valores de x foramescolhidos de propósito a partir do zero. Isto mostrao porquê de b (nesse caso 4) ser chamado de valorinicial da função. Ele mostra o valor que ela assumequando o x é zero. Compare o valor da taxa devariação com os valores que f (x) está assumindo. Aocalcular a diferença entre duas linhas consecutivasvocê irá obter justamente o valor que multiplica o xna função.

2) A função de primeiro grau é muito útil na física. Nesteexemplo iremos usá-la para representar as posições deum móvel em MRU, ao longo de uma trajetória retilí-nea.As posições de uma partícula em MRU são dadas pelafunção

s(t) = 10+4t, no SI.

Note que o 10 na função indica a posição inicial dapartícula (valor inicial da função). O 4 é a taxa de va-riação da posição, ou seja, a velocidade da partícula.Ela vai indicar que a cada 1 segundo que se passa, asposições se alteram (aumentando) 4 metros (ou seja,variação de 4 metros por segundo).Vamos representar esta função graficamente. Para tal,iremos construir uma tabela a fim de estabelecer umarelação entre o tempo que se passa e as posições ocu-padas pela partícula.

t s(t)0 101 142 183 224 26

Cada linha da tabela será um par ordenado com repre-sentação no plano cartesiano.


19


Fig. 22. Pontos obtidos com a função s(t) = 10+4t

Observe que esses pontos estão todos alinhados. Sig-nifica que o gráfico pode ser construído com uma reta,como figura que segue:

Fig. 23. Gráfico da função s(t) = 10+4t

A figura que representa o gráfico de uma função deprimeiro grau é uma reta. Você bem sabe que, umareta fica definida com apenas dois pontos distintos.Sendo assim, a partir de agora, toda vez que vocêquiser representar graficamente uma função deprimeiro grau, basta tomar dois pontos.Observe nesse exemplo que a função posição écrescente, ou seja, quando o tempo aumenta, asposições também aumentam.Uma função é chamada crescente se os valores davariável dependente aumentam quando os valores davariável independente também aumentarem. Casocontrário, ela é chamada de função decrescente. Otermo que irá influenciar no crescimento (ou decres-cimento) da função é justamente sua taxa de variação.Se a esta for positiva, a função será crescente. Se fornegativa a função será decrescente.

3) A função posição de um móvel em MRU é dada pelográfico a seguir:

Fig. 24. Gráfico da função posição

Escreva a função.Resolução:Problemas como este aparecem com muita frequên-cia, portanto fique atento à forma de resolução. Noteque podemos extrair do gráfico as seguintes informa-ções: a posição ocupada no instante 1 segundo é 4metros; no instante 3 segundos, a posição é 1 metro.Lembrando que a velocidade é a taxa de variação daposição em relação ao tempo:

v =s2− s1

t2− t1

Usando as informações mencionadas anterioremente:

v =1−43−1

=−32

Portanto já temos o valor de a da função (já que a= v).Agora nos resta determinar o valor inicial.

s(t) =−32

t +b

Tomando um dos pontos mencionados (por exemplo(1,4)), podemos determinar o valor de b.

s(1) =−32×1+b = 4

−32+b = 4 =⇒ b = 4+

32=⇒ b =

112

Portanto a função procurada é:

s(t) =−32

t +112

Note que esta é uma função decrescente pois a taxade variação é negativa.



Nas funções de primeiro grau, a taxa de variação é constante.Isso significa que a função é crescente em todo domínio oudecrescente. Não haverá mudança de crescimento no grá-fico.Note que não há restrições à variável independente. Portantoo domínio da função de primeiro grau será R. A imagemserá igual ao contra domínio (R).

4) Analise o gráfico da função

f (x) =−4x+12.

Resolução:Analisar o gráfico de uma função é verificar quais va-lores de x fornam f positiva, negativa ou nula.Lembremo-nos que um função (qualquer que seja ela)muda de sinal na raiz. A raiz é o número que tornaa função nula. Ou seja, para determinar a raiz, façaf (x) = 0.

−4x+12 = 0 =⇒ x = 3

Descobrimos que 3 é o número que zera a função.Signifca que os valores de f mudam de sinal ao "pas-sar"pelo x = 3.Vamos fazer um esboço do gráfico olhando apenaspara o eixo x. Não se esqueça de levar em conside-ração o crescimento ou decrescimento do gráfico:

Fig. 25. Esboço do gráfico da função f (x) =−4x+12

Observando o esboço temos que:

f (x)> 0 se x < 3

f (x)< 0 se x > 3

f (x) = 0 se x = 3

6.4. Função de 2o grau

Para iniciar os estudos sobre as funções de segundo grau,vamos tentar resolver o seguinte problema: "Um fazendeirodispõe de 1200 metros de cerca e quer usá-la para cercarum terreno retangular que dá fundos para um rio. Quaisdeverão ser as dimensões do terreno para que ele tenha amaior área possível?"

Fig. 26. Representação da situação

Para solucionar o problema, vamos usar o seguinte modelomatemático.

Fig. 27. Modelo Matemático

A área do retângulo pode ser escrita como:

A = x.y

Queremos determinar x e y que tornem esta área a maiorpossível. Para isto iremos usar a relação:

x+ x+ y = 1200

De onde podemos escrever:

2x+ y = 1200 =⇒ y = 1200−2x

Substituindo o valor de y na equação da área, teremos:

A = x(1200−2x)

Desenvolvendo o lado direito podemos obter a área comouma função da largura x do terreno.

A(x) =−2x2 +1200x

Note que a função é formada por uma expressão polinomialde segundo grau. Chamamos esta relação de função de se-gundo grau.Voltaremos mais tarde na resolução deste problema.


21


De um modo geral, uma função de segundo grau tem a forma

f (x) = ax2 +bx+ c, com a,b,c ∈ R, a 6= 0

O domínio de uma função de segundo grau é o próprio R.Daqui a pouco iremos aprender a determinar o conjuntoimagem.Nos exemplos a seguir iremos analisar as funções por meiode tabelas e graficamente.

Exemplos

a) f (x) = x2

Esta é a função de segundo grau mais simples quepodemos escrever. A partir dela podemos escreveroutras funções por meio de composição de funções.Vamos construir uma tabela com alguns valores parax e suas respectivas imagens.

x f (x)−2 4−1 1

0 01 12 4

Observe que, diferentemente da função de primeirograu, nesta aqui a taxa de variação não é contante.Consequentemente, na função de segundo grau temosuma mudança de crescimento. Pela tabela podemosobservar que antes do x = 0 a função é decrescentee após o zero ela é crescente. Vamos observar agoraisso por meio do gráfico.

Fig. 28. Gráfico da função f (x) = x2

Observe que nossa conclusão sobre o decrescimentoe crescimento foi verificado pelo gráfico (antes dozero a função é decrescente e após o zero a função écrescente).

2) f2(x) = 2x2

Observe que esta função tem uma relação com a fun-ção f (x) = x2. Podemos dizer que f2(x) = 2 f (x). Va-

mos construir a tabela para analisar os valores obtidos.

x f2(x)−2 8−1 2

0 01 22 8

Observe que os valores da segunda coluna foram ob-tidos multiplicando-se as imagens de f (x) por 2. Gra-ficamente teremos:

Fig. 29. Gráfico da função f2(x) = 2x2

Podemos observar que o gráfico da função ficou mais"fechada"ao multiplicarmos x2 por 2. Podemos con-jecturar que quanto maior for o valor do coeficiente a,mais "fechada"será a curva que representa o gráfico.O nome desta curva é parábola.



Na figura a seguir, o gráfico tracejado é o da funçãof (x) = x2. Os gráficos mais "fechados"são de fun-ções com coeficientes maiores que 1. Os gráficosmais "abertos"são de funções com coeficientes meno-res que 1.

Observe que quanto mais próximo de zero for o valorque multiplica o x2, mais próximo de uma reta será acurva que representa a função. Futuramente você irádescobrir porque isso acontece.

3) f3(x) =−x2

Note que esta função é − f . Sendo assim, podemosconstruir a tabela seguinte:

x f3(x)−2 −4−1 −1

0 01 −12 −4

Fig. 30. Gráfico da função f3(x) =−x2

Observe que a abertura (concavidade) da curva estávoltada para baixo. Isto irá acontecer todas as vezes

que o número que multiplica o x2 for negativo.

4) f4(x) = x2 +2Note que esta função foi obtida somando-se duas uni-dades á função f . Podemos escrever f4(x) = f (x)+2.Vamos, a neste exemplo, representar somente grafica-mente, com base nas observações feitas. Sendo as-sim, transladaremos o gráfico de f duas unidades paracima.

Fig. 31. Gráfico da função f4(x) = x2 +2

Nos exemplos que vimos até aqui, analisando o gráfico decada função, podemos definir o conjunto imagem de cadauma delas.O gráfico das funções f e f2 mudam de sentido no x = 0.Elas são decrescentes antes desse valor e crescente após eles.Sendo assim, verificamos que as suas imagens nunca serãonegativas (claro, x2 é sempre positivo). Podemos concluirentão que o conjunto imagem de f e f2 é o mesmo:Im = {y ∈ R|y≥ 0}.Já a função f3 tem valores que nunca serão postivos. Pode-mos escrever: Im f3 = {y ∈ R|y≤ 0}.A função f4 tem imagem maior ou igual a 2. Podemos es-crever então: Im f4 = {y ∈ R|y≥ 2}Até agora só vimos funções em que b = 0. Estas funções te-rão gráficos simétricos em relação ao eixo y. Vejamos agoraexemplos em que a função é completa, ou seja, b 6= 0 e c 6= 0.

5) f5(x) = x2−4x+4Note que a função é formada por um trinômio qua-drado perfeito e você já aprendeu a fatorá-lo. Vejamoscomo ela fica:

f5(x) = (x−2)2

Vamos novamente construir uma tabela para relacio-nar x e f5(x).

x f5(x)0 41 12 03 14 4


23


Observe que aqui, propositalmente, mudamos os va-lores de x na primeira coluna (futuramente você iráaprender a fazer o mesmo para que o gráfico tenhaum formato mais "apresentável"). Vamos marcar es-tes pontos e traçar o gráfico,que vem a seguir:

Fig. 32. Gráfico da função f5(x) = x2−4x+4

Note que, em relação ao gráfico de f (x) = x2, esse foitransladado duas unidades para a direita. Justamentepara que a curva "tocasse"o eixo x na raiz. O formatoda parábola é o mesmo da função f . Sendo assim jápodemos imaginar que o gráfico de qualquer funçãode segundo grau pode ser construído com base nográfico da função f (x) = x2.

6) f6(x) =−x2 +4x+1A expressão formadora da função não é um trinômioquadrado perfeito (verifique!). Mas, assim como fize-mos na resolução de equações de segundo grau, va-mos completar os quadrados. Primeiramente vamosmultiplicar ambos os lados por -1 para que o coefici-ente do x2 seja 1.

− f6(x) = x2−4x−1

Note que o número a ser acrescentado do lado direitoé o 5. Logo vamos acrescentá-lo em ambos os lados:

− f6(x)+5 = x2−4x+4

O lado direito agora é um trinômio quadrado perfeitoe podemos escrever:

− f6(x)+5 = (x−2)2

Isolando-se o f6(x) temos:

f6(x) =−(x−2)2 +5

Note que f6(x) = − f5(x)+5. Sendo assim, basta in-verter a concavidade da parábola anterior e acrescen-tar 5 unidades para cima. Teremos:

Fig. 33. Gráfico da função f6(x) =−x2 +4x+1

Ao usarmos este procedimento para traçar o gráficode uma função de segundo grau (também chamada defunção quadrática), poderemos tirar algumas conclu-sões importantes sobre a mesma. Vejamos o próximoexmeplo antes de construir nossa conjectura.

7) g(x) = 2x2 +5x+1Vamos reduzir a equação de tal forma que o ladodireito transforme-se em um trinômio quadrado per-feito. Para isto comecemos dividindo tudo por 2 (a).

g(x)2

= x2 +52

x+12

Agora devemos acrescentar1716

em ambos os lados.

g(x)2

+1716

= x2 +52

x+2516

O que nos permite escrever

g(x)2

+1716

=

(x+

54

)2

g(x)2

=

(x+

54

)2

− 1716

Isolando-se o g(x) temos:

g(x) = 2(

x+54

)2

− 178

Vamos chamar(

x+54

)2

e h(x) e podemos escrever:

g(x) = 2h(x)− 178

sendo

h(x) =(

x+54

)2



O gráfico de h, pelo que vimos até aqui, será obtido

transladando-se o gráfico de f (x) = x2,54

unidadespara a esquerda (para que a parábola "toque"o eixo xna raiz).

Fig. 34. Gráfico da função h

O que precisamos fazer agora é "fechar"um pouco

esta curva e levá-la178

para baixo. O gráfico fica:

Fig. 35. Gráfico da função g

Vamos agora analisar alguns pontos notáveis do gráfico deuma função de segundo grau. Primeiramente note que a pa-rábola intercepta o eixo y no termo independente da função(c). O eixo x é interceptado nas raízes (caso existam).A parábola muda o seu crescimento num ponto que chama-mos de vértice. Este ponto será chamado de V e suas coor-denadas serão xv e yv. No xv passa uma reta vertical (eixo desimetria da parábola). Note que esta reta está justamente nonúmero de unidades que transladamos o gráfico de f para aesquerda ou para a direita. Na forma reduzida da função, o

xv será o oposto do número que aparece dentro dos parênte-ses. Sendo assim, na função f6 o xv vale 2 e na função g, o

xv =−54

.O yv é a imagem do xv. Se a função estiver escrita na formareduzida, o yv será a quantidade de unidades que a paráboladeve ser transladada (para cima ou para baixo, depende dosinal desse número). Ele é o termo independente na formareduzida da função. Na função f6 yv = 5 e na função g seu

valor é −178

Para quem gosta de fórmulas, xv = −b

2ae yv = −

∆

4a(Re-

duza a função f (x) = ax2+bx+c e mostre que estas fórmu-las são válidas).Note ainda pelos gráficos que, o conjunto imagem de umafunção depende de dois fatores: a concavidade da parábolae o valor do yv. Se a > 0 a convcavidade da parbola é paracima e todos os valores da imagem serão maiores ou iguaisao yv. Se a < 0 a concavidade será para baixo e todos osvalores da imagem da função serão menores ou iguais ao yv.Se a > 0 o yv será o valor mínimo da função e, caso contrá-rio, será o valor máximo.Lembra do problema da área do terreno retangular do iníciodesta seção? Voltemos agora a ele.

A(x) =−2x2 +1200x

Queremos determinar o x que torna a área máxima, ou seja,vamos encontrar o valor de xv.Vamos reduzir esta função. Para tanto, começamos divi-dindo tudo por -2 (a).

−A2= x2−600x

Agora, dividimos 600 por 2 e elevamos o resultado ao qua-drado (o que resulta em 90000.

−A2+90000 = x2−600x+90000

O segundo membro agora é um trinômio quadrado perfeitoe podemos escrever:

−A2+90000 = (x−300)2

Isolando-se o A, temos:

A(x) =−2(x−300)2 +180000

De onde vemos que xv = 300. Portanto, as dimensões quetornam a áre máxima são x = 300 e y = 600. Se quisermossaber a área máxima basta olhar para o termo independentena forma reduzida (que é 180000).

6.4..1 Estudo dos sinais da função quadrática

Estudar os sinais de uma função, seja ela de qual tipo for,é verificar quais valores de x tornam a função negativa, po-sitiva ou nula. Até aqui fizemos estudo dos sinais (ou aná-lise do gráfico) de funções de segundo grau por meio da de-composição do polinômio quadrático em fatores de primeiro


25


grau. Agora iremos usar um esboço do gráfico da funçãoquadrática para estudar os sinais. Vejamos como por meiode exemplos:

Exemplos

1) Estude os sinais da função

f (x) = x2 +4x+3

Resolução:Primeiramente devemos determinar as raízes dafunção (caso existam). Isto porque todo gráficofunção (seja ela de qual tipo for) se anula na raiz.Sendo assim, ao conhecer este número, podemos tirarconclusões importantes sobre a função. Lembre-seque para determinar as raízes, devemos igualar afunção a zero:

x2 +4x+3 = 0∆ = 42−4×1×3

∆ = 16−12

∆ = 4

Com a informação de que o ∆ > 0, já sabemos que afunção tem um gráfico que intercepta o eixo x em doispontos.

x =−4±

√4

2×1

x =−4±2

2

x′=−4+2

2=−1

x′′=−4−2

2=−3

Agora devemos fazer um esboço do gráfico, usandoas informações referentes às raízes e à concavidade.Como a função tem a > 0, a concavidade do gráfico épara cima, "tocando"o eixo x duas vezes.

Fig. 36. Esboço do gráfico de f (x) = x2 +4x+3

Note que o gráfico é positivo antes do −3 e depoisdo −1. É negativo entre esses valores. Sendo assim,podemos escrever:

f (x)> 0 se x <−3 ou x >−1

f (x)< 0 se −3 < x <−1

f (x) = 0 se x =−3 ou x =−1

2) Qual é o domínio da função

f (x) =1√

x2−2x+1?

Resolução:Lembre-se que o domínio de uma função é o conjuntoformado pelos valores que a variável independentepode assumir. Nas funções em que não há restrições,o domínio é o próprio conjunto R. Caso contrário, odomínio será um subjconjunto desse.Nesse exemplo, as restrições são: o denominado nãopode ser zero e o radicando não pode ser negativo.Em outras palavras:

x2−2x+1 > 0

Nosso problema agora se resume em resolver a ine-quação acima descrita.Encarando x2 − 2x + 1 como sendo uma expressãocujo nome iremos escolher A(x), faremos a análise dográfico dessa expressão:

A(x) = x2−2x+1

x2−2x+1 = 0

Resolvendo a equação, encontramos ∆ = 0 (verifi-que!), o que nos diz que existe apenas uma raiz para afunção A. Resolva e comprove que x = 1.Fazendo o esboço do gráfico, temos:

Fig. 37. Esboço do gráfico de A(x) = x2−2x+1

Note que a função A é positiva antes de x = 1 e é po-sitiva depois x = 1. Em outras palavras, a função épositiva se x 6= 1.Logo, o domínio de f é o conjunto

D f = {x ∈ R|x 6= 1}



Exercícios

6.4..2 Estude dos sinais das seguintes funções:

a) f (x) = x2 + x+1

b) f (x) =−2x2 +8

c ) f (x) =−x2 +5x−6

d) f (x) = x2−6x+9

e) f (x) =−3x2−2x−1

6.4..3 Determine o domínio das seguintes funções:

a) f (x) =2x−1

x2−3x+2

b) f (x) =√−x2 +5x−6

c ) f (x) =−x2 +5x−6

d) f (x) = 4√x2 +4x+4

e) f (x) =3√

x2−7x+10

6.4..4 Use um software de sua preferência para desenharo gráfico de cada função do exercício anterior:

6.5. Funções exponenciais

Observe a seguinte situação:Uma aplicação, a juros compostos, acumula juros sobrejuros. Por exemplo, caso a taxa de rendimento seja 5% aomês, ao final do primeiro mês de aplicacão, teremos umacréscimo de 5%, cujo fator de acumulação é 1,05.No mês seguinte, os 5% incidem sobre o valor acumuladodo mês anterior, e o fator de acumulação é o anterior (1,05)vezes 1,05 novamente. E assim sucessivamente. Ao finaldo n-ésimo mês, o fator de acumulação será (1,05)n.Imagine que um investidor aplica R$18000,00 a juroscompostos cuja taxa de rendimento é 4% ao mês. Qual seráo valor resgatado ao final de 2 anos?

Podemos chamar de t o tempo de duração da aplica-ção e de M o valor do montante a ser resgatado ao final doperíodo aplicado.Ao final do primeiro mês de aplicação, temos:

M(1) = 18000+18000×0,04 = 18000(1+0,04)

Ao final do segundo mês temos:

M(2) = 18000(1+0,04)+18000(1+0,04)×0,04

M(2) = 18000(1+0,04)(1+0,04) = 18000(1,04)2

Ao final do terceiro mês temos:

M(3) = 18000(1,04)2 +[18000(1,04)2]×0,04

M(3) = 18000(1,04)2(1,04) = 18000(1,04)3

Seguindo o raciocínio para os próximos meses, podemos di-zer que no t-ésimo mês, a expressão torna-se:

M(t) = 18000(1,04)t (17)

Para determinar o valor do montante resgatado, basta naequação (17) substituir o t por 24 (já que em dois anos te-mos 24 meses). A expressão escrita em (17) é uma funçãoexponencial.Uma função exponencial é qualquer função do tipo

f (x) = ax, com a ∈ R, a > 0 e a 6= 1

Em outras palavras, uma função exponencial é formadapor uma expressão em que a variável independente aparececomo expoente de uma potência real. Vejamos a seguir al-guns exemplos de funções exponenciais:

Exemplos

1) f1(x) = 2x

2) f2(x) =(

12

)x


27


3) f3(x) =−2 ·32x

4) f4(x) = 5 ·(

14

)x2

Na definição para a função exponencial foi dito que o a(base) deve ser positiva e diferente de 1. Você sabe dizero motivo? Discuta com seus colegas em sala sobre essa con-dição.O domínio da função f (x) = ax é R e o conjunto imagem éR∗+.

6.5..1 Gráfico

Vamos construir o gráfico das funções f (x) = 2x e

g(x) =(

12

)x

. Para isto escolheremos alguns valores para x

para que o gráfico tenha um formato desejado.

f (x) = 2x

x f (x) = 2x (x,y)

−3 f (−3) = 2−3 =18

(−3,

18

)−2 f (−2) = 2−2 =

14

(−2,

14

)−1 f (−1) = 2−1 =

12

(−1,

12

)0 f (0) = 20 = 1 (0,1)1 f (0) = 21 = 2 (1,2)2 f (2) = 22 = 4 (2,4)

Marcando estes pontos no plano e ligando-os, temos a se-guinte curva:

Fig. 38. Gráfico de f (x) = 2x

Agora faremos um procedimento semelhante para a função

g(x) =(

12

)x

g(x) =(

12

)x

x g(x) =(

12

)x

(x,y)

−3 g(−3) =(

12

)−3

= 8 (−3,8)

−2 g(−2) =(

12

)−2

= 4 (−2,4)

−1 g(−1) =(

12

)−1

= 2 (−1,2)

0 g(0) =(

12

)0

= 1 (0,1)

1 g(1) =(

12

)1

=12

(1,

12

)2 g(2) =

(12

)2

=14

(2,

14

)3 g(3) =

(12

)3

=18

(3,

18

)Marcando os pontos...

Fig. 39. Gráfico de g(x) =(

12

)x

Analisando os dois gráficos podemos perceber que a fun-ção f é crescente e g é decrescente. A função exponencialé crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. Notemosainda que o gráfico intercepta o eixo y no ponto (0,1), ouseja, a imagem do zero é 1.Outra observação importante é que elas não têm raízes, ouseja, não existe x que torna y nulo. Na função f , quanto me-nor é o valor de x, mais ela se aproxima de zero. E em g,quanto maior é x, mais ela se aproxima de zero.Vejamos agora alguns problemas aplicados às funções expo-nenciais:



Problemas

1) Para analisar o efeito de um remédio no extermínio dedeterminada bactéria, cientistas fizeram experimentosexpondo uma população desse microorganismo aoremédio e verificando o tempo necessário para quefosse exterminada. Ao final, verificou-se que apopulação da bactéria d dias após a exposição aoremédio poderia ser estimada por meio da função

p(d) = 6000(

14

)d

.

Dois dias após a exposição ao remédio, a populaçãoda bactéria reduziu-se a quantos por cento da popula-ção inicial?Resolução:Para determinar a população de bactérias dois diasapós a ingestão do medicamento, basta substituir nafunção, d por 2.

p(2) = 6000(

14

)2

Lembre-se primeiro de resolver a potência para depoismultiplicar:

p(2) = 375

Agora vamos calcular a porcentagem dessa populaçãoem relação à população inicial.

3756000

= 0,0625 = 6,25%

2) Certa empresa utiliza a função n(t) = 600−200(0,6)t

para estimar o número n de peças produzidas mensal-mente por um funcionário com t meses de experiên-cia.

a) Quantas peças são produzidas em um mês porum funcionário com 4 meses de experiência?

b) Estima-se que a produtividade de um funci-onário com 2 meses de experiência aumenta quantospor cento em relação ao mês que foi contratado?Resolução:

a) Neste item, o que queremos, em outraspalavras é determinar a imagem de 4 pela função:

n(4) = 600−200(0,6)4 ≈ 574

Ou seja, serão produzidas aproximadamente 574 pe-ças por um funcionário com 4 meses de experiência.

b) Agora vamos achar a imagem de 2 e em se-guida comparar com a imagem de zero (mês da con-tratação)

n(2) = 600−200(0,6)2 ≈ 528

Agora basta calcular a razão entre este valor e 400(imagem do zero).

528400

= 1,32

Portanto, o aumento na produção é de 32%

6.5..2 Equação Exponencial

Toda equação que apresenta incógnita no expoente é deno-minada equação exponencial. A seguir resolveremos algu-mas equações exponenciais.

Exemplos

1) 3x = 27Resolução:Equações exponenciais mais simples, como essa,podem ser resolvidas igualando-se as bases, ou seja,algum procedimento poderá ser aplicado para que te-nhamos bases iguais, consequentemente, poderemosigualar os expoentes:

3x = 27 =⇒ 3x = 33 =⇒ x = 3

S = {3}

2) 2x−15 = 16Resolução:Assim como no exemplo 1, o objetivo é deixar asbases idênticas:

2x−15 = 16 =⇒ 2x−15 = 24

x−15 = 4 =⇒ x = 19

S = {19}

3) 7x2−9 = 1Resolução:Ao tentar igualar os expoentes nos deparamos com aseguinte pergunta: qual deve ser o expoente de umapotência com base 7 para que o resultado seja 1? Ea resposta é zero, visto que toda potência de base nãonula e expoente zero resulta em 1.

7x2−9 = 1 =⇒ 7x2−9 = 70

x2−9 = 0 =⇒ x2 = 9 =⇒ x =±3

S = {−3,3}

4) 252x+1 = 125−x+2

Resolução:Neste exemplo devemos decompor ambos os lados daequação em potência de base 5.

(52)2x+1 = (53)−x+2

Usando propriedade de potência podemos multiplicaros expoentes:

54x+2 = 5−3x+6 =⇒ 4x+2 =−3x+6


29


7x = 4 =⇒ x =47

S =

{47

}

5) 10x+2 ·100−3x = 10000000Resolução:Neste exemplo as potências são todas de base 10 epodemos escrever:

10x+2 · (102)−3x = 107

10x+2 ·10−6x = 107

Usando propriedade de multiplicação de potênciascom bases iguais

10x+2−6x = 107 =⇒ x+2−6x = 7

−5x = 5 =⇒ x =−1

S = {−1}

6)

√(49

)x

= 0,666 · · ·

Resolução:No lado direito dessa equação temos uma dízima pe-riódica simples e você se recordar bem como escrevê-la no formato de fração:√(

49

)x

=69

Aparentemente as bases em cada lado da igualdadenão ficarão iguais, mas...{[(

23

)2]x} 1

2

=23

Multiplicando-se os expoentes do lado esquerdo fica:(23

)x

=

(23

)1

=⇒ x = 1

S = {1}

7) Determine a solução do sistema:{23x ·4y = 32

42x+y = 1

Resolução:

Vamos inicialmente simplificar cada equação do sis-tema:

23x ·4y = 32 =⇒ 23x · (22)y = 25 =⇒ 3x+2y = 5

42x+y = 1=⇒ 22

2x+y = 20 =⇒ 22−(x+y)= 20 =⇒ 2−x−y= 0

x+ y = 2

Agora devemos resolver o sistema linear obtido:{3x+2y = 5x+ y = 2 =⇒ x = 1 y = 1

S = {(1,1)}

8) 49x−6 ·7x = 7Resolução:Neste exemplo devemos usar uma técnica para resol-ver a equação. Note que 49 = 72.

(72)x = 6 ·7x−7 = 0

Observe que (72)x = (7x)2. Com isso, podemos fazera seguinte substituição: y = 7x.Agora temos a seguinte equação:

y2−6y−7 = 0

Resolva-a usando um método de sua preferência econclua que suas raízes são y

′=−1 e y

′′= 7.

Com os valores de y podemos agora determinar os va-lores de x e consequentemente a solução da equaçãoexponencial.

para y =−1 =⇒ 7x =−1 impossível

para y = 7 =⇒ 7x = 7 =⇒ x = 1

Portanto:S = {1}

6.5..3 Inequação Expoencial

Toda desigualdade que apresenta uma incógnita no expo-ente é denominada inequação exponencial. Veremos a se-guir como resolver algumas inequações desse tipo.

1) 3x < 81Resolução:Ao resolver uma inequação exponencial devemos nosater ao seguinte detalhe: se a base for um númeromaior que um, quanto mais se aumenta o expoente,maior fica a potência. Se a base estiver entre zeroe um, quando aumentamos o expoente,a potênciadiminui. Sendo assim, se na inequação tivermosbase entre zero e um, devemos inverter o sinal dadesigualdade dos expoentes.

3x < 81 =⇒ 3x < 34 =⇒ x < 4



S = {x ∈ R|x < 4}

2)(

12

)−x+1

≥ 14

Resolução:Inicialmente devemos tornar as bases iguais.(

12

)−x+1

≥(

12

)2

Como a base está entre zero e um, devemos inverter osinal da desigualdade para os expoentes:

−x+1≤ 2 =⇒ x≥−1

Portanto:S = {x ∈ R|x≥−1}

3) 25x2−3 ≤(

15

)2

Resolução:Temos que:

25x2−3 ≤(

15

)2

=⇒ (52)x2−3 ≤ 152 =⇒ 52x2−6 ≤ 5−2

Como a base é maior que um o sinal de desigualdadese mantém para os expoentes:

2x2−6≤−2 =⇒ 2x2−4≤ 0

Devemos agora fazer o estudo dos sinais da funçãof (x) = 2x2−4Observe que a parábola tem concavidade voltada paracima e intercepta o eixo x nas raízes que são x

′=√

2e x′′=−√

2.O estudo do sinal da função segue:

Fig. 40. Solução gráfica da inequação

Portanto:

S = {x ∈ R|−√

2≤ x≤√

2}

Exercícios e Problemas

6.5..4 Problema

Determinado imóvel foi avaliado em R$75000,00 e a partirdaí, valoriza-se expoencialmente de acordo com a funçãov(t) = 75(1,1)t , em que t representa o tempo (em anos) ev é o valor do imóvel (em milhares de reais). Qual será ovalor desse imóvel após 3 anos da avaliação?

6.5..5 Problema

Os seres vivos ingerem,por meio da alimentação e respira-ção, uma quantidade de carbono -14 equivalente a quanti-dade presente na atmosfera, que é constante. no entanto,quando morrem, eles param de ingerir esse carbono e como passar do tempo, a quantidade desse elemento diminui noorganismo. Baseados nisso, os arqueologos estimam a idadede um fóssil conforme a quantidade de carbono -14 encon-trado nele. Representado por C a quantidade de carbono-14 presente em um ser vivo antes de morrer e considerandoque a cada 5730 anos a quantidade desse carbono reduz àmetade, a função que permite calcular a quantidade q decarbono-14 presente nesse organismo, em função do tempot, em anos, é dada por

q(t) =C · (2)−

t5730 .

a) Qual é a porcentagem de carbono -14, em relação àoriginal, encontrada num fóssil de 22920 anos?

b) Considere um fóssil cuja idade calculada seja de15000 anos. Podemos afirmar que sua quandidade C

de carbono -14 é inferior a18

da quantidade inicial?Justifique.

6.5..6 Qual é o domínio da função

f (x) =5√

494− x

3 − 3√

7

?

6.5..7 Problema

A função f (t) = 32 · (0,3)t−2013 determine a porcentagemno aumento do número de alunos matriculados no EnsinoFundamental, em certa escola, no ano t, e a função g(t) =2 ·(1,2)t−2013, a porcentagem de aumento do número de alu-nos matriculados no Ensino Médio. A partir de que ano oaumento da porcentagem de alunos matriculados no EnsinoMédio será maior que a do Ensino Fundamental?


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Referências[1] IEZZI, Gelson e MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática

Elementar, Vol. 1. São Paulo: Atual Editora, 2006[2] DANTE, Luiz. Matemática, Vol. único. São Paulo: Editora Ática,

2008.[3] LIMA, Elon Lajes. A Matemática do Ensino Médio, vol. 1 Rio de

Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2003.

Samuel Lima PicançoEscola de Ciências Exatas e da Computação,Pontifícia Universidade Católica de Goiáswhatsapp: 96472143E-mail: [email protected]


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