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Notas em Matemtica Aplicada 21

Editores

Eliana X.L. de AndradeUniversidade Estadual Paulista - UNESPSo Jos do Rio Preto, SP, Brasil

Rubens SampaioPontifcia Universidade Catlica do Rio de JaneiroRio de Janeiro, RJ, Brasil

Geraldo N. SilvaUniversidade Estadual Paulista - UNESPSo Jos do Rio Preto, SP, Brasil

A Sociedade Brasileira de Matemtica Aplicada e Computacional - SBMACpublica, desde as primeiras edies do evento, monografias dos cursos que so mi-nistrados nos CNMAC.

A partir do XXVI CNMAC, para a comemorao dos 25 anos da SBMAC, foicriada a srie Notas em Matemtica Aplicada para publicar as monografias dosminicursos ministrados nos CNMAC.

O livro correspondente a cada minicurso deve ser preparado em latex, as figurasem eps e deve ter entre 60 e 100 pginas. O texto deve ser redigido de forma clara,acompanhado de uma excelente reviso bibliogrfica e de exerccios de verificaode aprendizagem ao final de cada captulo.

Alm do livro, cada responsvel por minicurso deve preparar transparncias eoutros materiais didticos que julgar convenientes. Todo o material ser colocado disposiao dos interessados no site da SBMAC.

objetivo da srie publicar textos dos encontros regionais e de outros eventospatrocinados pela SBMAC.

Sociedade Brasileira de Matemtica Aplicada e Computacional

2006

Notas em Matemtica Aplicada

Ttulos publicados para o XXIX CNMAC - 2006

21 Uma Introduo Teoria de Cdigos

Carlile Campos Lavor, Marcelo Muniz Silva Alves, Rogrio

Monteiro de Siqueira, Sueli Irene Rodrigues Costa

22 Anlise e Processamento de Sinais

Rubens Sampaio, Edson Cataldo, Alexandre de Souza Brando

23 Introduo aos Mtodos Discretos de Anlise Numrica de EDO e EDP

David Soares Pinto Jnior

24 Representaes Computacionais de Grafos

Llian Markenzon, Oswaldo Vernet

25 Ondas Ocenicas de Superfcie

Leandro Farina

26 Tcnicas de Modelagem de Processos Epidmicos e Evolucionrios

Domingos Alves, Henrique Fabrcio Gagliardi

Veja outros ttulos da srie ao final deste livro.

UMA INTRODUO TEORIA DE CDIGOS

Carlile Campos Lavor - UNICAMPclavor@ime.unicamp.br

Marcelo Muniz Silva Alves - UFPRmarcelo@mat.ufpr.br

Rogrio Monteiro de Siqueira - UNICAMProgerms@ime.unicamp.br

Sueli Irene Rodrigues Costa - UNICAMPsueli@ime.unicamp.br

Sociedade Brasileira de Matemtica Aplicada e Computacional

So Carlos - SP, Brasil2006

Coordenao Editorial: Sandra Augusta Santos

Coordenao Editorial da Srie: Eliana Xavier Linhares de Andrade

Editora: SBMAC

Impresso na Grfica: Grfica e Editora Carnicelli

Capa: Matheus Botossi Trindade

Patrocnio: SBMAC

Copyright c2006 by (Carlile Campos Lavor, Marcelo Muniz Silva Alves, RogrioMonteiro de Siqueira e Sueli Irene Rodrigues Costa)Direitos reservados, 2006 pela SBMAC. A publicao nesta srie no impede o autorde publicar parte ou a totalidade da obra por outra editora, em qualquer meio, desdeque faa citao edio original.

Catalogao elaborada pela Biblioteca do IBILCE/UNESPBibiotecria: Maria Luiza Fernandes Jardim Froner

Uma Introduo Teoria de Cdigos / Carlile Campos Lavor [et al.].- So Carlos, SP : SBMAC, 2006.90 p.:il. ; 20,5cm. - (Notas em Matemtica Aplicada; v. 21)

ISBN 85-86883-25-5

1. Cdigos Corretores de Erros 2. Reticulados 3. Cdigos Esfricos4. Cdigos Qunticos. I. Lavor, Carlile Campos. II. Alves, Marcelo Muniz Silva.III. Siqueira, Rogrio Monteiro. IV. Costa, Sueli Irene Rodrigues. V. Srie

CDD - 51

Contedo

Prefcio 7

1 Cdigos Corretores de Erros: Uma Breve Introduo 9

1.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.1 Exemplos de codigos binrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Cdigos de Bloco, Distncias e Equivalncia de Cdigos . . . . . . . 121.3 Cdigos Lineares e Cdigos de Hamming . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Cdigos de Hamming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.2 Decodificao de um cdigo de Hamming . . . . . . . . . . . 21

1.4 Cdigos q-rios: A Distncia de Lee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5 Probabilidade de Erro em Canais Binrios Simtricos . . . . . . . . . 251.6 Leituras de Aprofundamento e Extenso . . . . . . . . . . . . . . . . 261.7 Exerccios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Reticulados 292.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Reticulados no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Regies Fundamentais e Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4 Matriz de Gram e o Determinante de um Reticulado . . . . . . . . . 342.5 Reticulados Congruentes e Reticulados Equivalentes . . . . . . . . . 362.6 Reticulados e Cdigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.6.1 Construo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6.2 Reticulados obtidos pela construo A . . . . . . . . . . . . . 41

2.7 Reticulados e Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.8 Leituras de Aprofundamento e Extenso . . . . . . . . . . . . . . . . 462.9 Exerccios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Cdigos Esfricos 493.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Representao Geomtrica de Sinais Contnuos . . . . . . . . . . . . 50

3.2.1 Um exemplo: o M-PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.2 Representao geomtrica de sinais . . . . . . . . . . . . . . . 51

5

6

3.3 Propriedades Importantes de uma Constelao de Sinais. . . . . . . . 523.3.1 O limitante de Bhattacharyya . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4 Limitantes para Cdigos Esfricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4.1 O limitante da unio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.2 O Limitante de Tth, Coxeter e Brckzy . . . . . . . . . . 563.4.3 O Limitante de Rankin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5 Os Cdigos Simplex e Biortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.5.1 O cdigo simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.5.2 O cdigo biortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.6 Cdigos de Grupo Cclico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.7 Cdigos de Grupo Cclico em Dimenso Trs . . . . . . . . . . . . . 623.8 Exerccios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.9 Leituras de Aprofundamento e Extenso . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Cdigos Qunticos 674.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2 Os Postulados da Mecnica Quntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3 Cdigos Qunticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3.1 Cdigo de inverso de bit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3.2 Cdigo de inverso de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3.3 Cdigo de Shor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.4 Leituras de Aprofundamento e Extenso . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Apndice 79

Bibliografia 83

Prefcio

A onipresena do computador na nossa sociedade, com o uso de sistemas de comu-nicao digital nas mais diversas reas, tem levado ao estudo e desenvolvimento denovas estruturas e mtodos matemticos que dem suporte a essas novas tecnolo-gias digitais. Estes vem a integrar a teoria da informao, uma rea de pesquisae aplicaes em pleno desenvolvimento, cujo marco inicial o trabalho de C. E.Shannon, A Mathematical Theory of Communication, publicado em 1948.

A teoria de cdigos corretores de erro uma subrea da teoria da informaoque lida com o problema geral da transmisso de mensagens de forma confivel. Ela utilizada de modo essencial nas comunicaes via computador, rdio, televiso esatlites.

A proposta deste texto a de ser uma introduo a esta teoria, enfatizandoo instrumental matemtico associado e explorando as propriedades das estruturasenvolvidas numa abordagem, sempre que possvel, geomtrica. Procuramos manteros pr-requisitos a um mnimo: o contedo usual de um primeiro curso de lgebralinear e das disciplinas de clculo da graduao.

O texto est organizado em quatro captulos. No primeiro, cuja leitura deveanteceder a dos demais, apresentada uma breve introduo teoria de cdigos.Os captulos 2, 3 e 4 so razoavelmente independentes e introduzem o leitor a trssubreas da teoria de cdigos: reticulados, cdigos esfricos e cdigos qunticos.

Este trabalho reflete, em parte, a experincia de pesquisa dos autores que in-tegram o projeto temtico interdisciplinar Cdigos Geometricamente Uniformes,que tem o suporte da FAPESP e conta com pesquisadores e alunos de ps-graduaode engenharia eltrica e de matemtica.

Os autores agradecem o apoio de suas instituies de origem, da SociedadeBrasileira de Matemtica Aplicada e Computacional (SBMAC) e dos rgos defomento pesquisa: CNPq (processos 304573/2002-7 e 305282/2003-4) e FAPESP(processos 02/07473-7 e 02/14072-9).

Tambm agradecemos o suporte tcnico de Joo Strapasson na elaborao daverso final deste trabalho.

Ressaltamos que o texto foi um trabalho de equipe de todos os autores, aquilistados em ordem alfabtica.

Campinas, 27 de abril de 2006.

Os Autores

7

8

Captulo 1

Cdigos Corretores de Erros:

Uma Breve Introduo

1.1 Introduo

Sistemas de comunicao so onipresentes em nossa sociedade hoje. Em particular,o advento dos computadores e seu uso nos mais diversos setores levaram buscade bons sistemas onde a informao transmitida e processada na forma digital.Por exemplo, fotos so transmitidas de um s