NOTAS DE AULA

Introdução à Matemática Financeira

Prof. Dr. Silvio Alexandre de Araujo

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

1. Juros simples 2. Juros compostos 3. Séries periódicas uniformes 4. Planos de amortização de empréstimos e financiamentos 5. Cálculo financeiro em contexto inflacionário 6. Avaliação de investimentos de capital: métodos e critérios

Bibliografia PUCCINI, A. L. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada - Ed. compacta. Editora Saraiva. São Paulo, 2006. ATENÇÃO: 1) Acesse o site: http://www.saraivauni.com.br e faça seu cadastro como aluno! Lá você terá disponíveis arquivos que serão muito úteis para a disciplina! 2) Vou disponibilizar na minha página o material utilizado em aula: http://www.dcce.ibilce.unesp.br/~saraujo

Critério de Avaliação: Prova 1 (P1): 24/09/2010 (sexta-feira) Prova 2 (P2): 19/11/2010 (sexta-feira) Prova de Recuperação (RC): A definir

Se Nota= (P1 + P2) ÷2≥ 5.0 Aprovado

Senão Se Recuperação= Nota + RC ÷ 2 ≥ 5.0 Aprovado Senão Reprovado.

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Aula – Capítulo 1

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FLUXO DE CAIXA

• Entradas e saídas de caixa de uma operação financeira ao longo do seu prazo de

duração.

• As operações financeiras precisam ser representadas pelos seus fluxos de caixa para poderem ser corretamente analisadas com os conceitos de matemática financeira.

• As saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais negativos e são representadas por setas apontadas para baixo.

• As entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e são representadas por setas apontadas para cima.

FLUXO DE CAIXA – CONVENÇÕES

CONVENÇÃO DE FINAL DE PERÍODO

• Valores que ocorrem ao longo dos períodos são representados nos finais dos respectivos períodos.

UNIDADES DE TEMPO anos semestres trimestres meses dias

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DEFINIÇÕES DE JUROS

• Remuneração do dinheiro aplicado.

• Custo do dinheiro tomado emprestado.

REGIMES DE JUROS

• JUROS SIMPLES

- Juros de cada período são sempre calculados sobre o capital inicial aplicado (principal). - Juros acumulados ao longo dos períodos não rendem juros, apesar de ficarem retidos pela instituição financeira. - Crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, é linear (ou em progressão aritmética )

• JUROS COMPOSTOS

- Juros de cada período são calculados sobre o saldo existente no início do respectivo período. - Juros acumulados ao longo dos períodos, quando retidos pela instituição financeira, são capitalizados e passam a render juros. - Crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, é exponencial (ou em progressão geométrica). TAXAS DE JUROS

• % a.d. (diárias)

• % a.s. (semestrais)

• % a.m. (mensais)

• % a.a. (anuais)

• % a.t. (trimestrais)

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O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

• $1.000,00 na data de hoje não são iguais a $1.000,00 em outra data futura.

O dinheiro cresce no tempo devido à taxa de juros.

• Se aplicarmos $1.000,00, hoje, a 8% a.a. teremos um rendimento anual de $80,00, proporcionando um montante de $1.080,00, no final do ano.

• Para uma taxa de juros de 8% a.a., tanto faz termos $1.000,00, hoje, ou $1.080,00, daqui a um ano.

• $1.000,00 hoje somente serão iguais a $1.000,00 daqui a um ano na hipótese absurda de a taxa de juros ser nula.

Montantes em datas diferentes só devem ser somados após transformados em valores de uma mesma data, mediante aplicação correta de uma taxa de juros

OBJETIVOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

• Transformar fluxos de caixa em outros equivalentes, com aplicação das taxas de juros de cada período, para se levar em consideração o valor do dinheiro no tempo.

• Obter a taxa interna de retorno, embutida no fluxo de caixa.

• Analisar e comparar diversas alternativas de fluxos de caixa para uma mesma operação.

COMENTÁRIOS E CONCLUSÕES

• O regime de juros conceitualmente correto é o de juros compostos.

• Somente o regime de juros compostos permite uma avaliação correta dos fluxos de caixa das operações financeiras.

• Análises e comparações de fluxos de caixa, no regime de juros simples, podem conduzir a resultados incorretos.

• Juros simples só devem ser utilizados na obtenção do fluxo de caixa da operação financeira.

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SIMBOLOGIA E CONVENÇÕES ADOTADAS

Série postecipada (END) Série antecipada (BEGIN)

n - Número de períodos de capitalização de juros; i - Taxa de juros em cada período, em %; PV - Valor presente, capital inicial aplicado; FV - Valor futuro, montante no final de n períodos; PMT - Pagamentos periódicos de mesmo valor que ocorrem no final (end) ou no início de cada período (begin)

COMENTÁRIOS SOBRE SIMBOLOGIA E CONVENÇÕES

• A unidade de tempo da taxa de juros i deve coincidir com a unidade de tempo do período n;

• Na HP-12C e no Excel, o valor de n pode ser fracionário.

• Na HP-12C e no Excel:

- os cinco elementos são sempre interligados; - anular o quinto elemento que não participar do problema; - observar a convenção de sinal; - fluxos de caixa não homogêneos têm solução especial.

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Aula – Capítulo 2

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JUROS SIMPLES

Relembrando... - Juros de cada período são sempre calculados sobre o capital inicial aplicado (principal). - Juros acumulados ao longo dos períodos não rendem juros, apesar de ficarem retidos pela instituição financeira. - Crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, é linear (ou em progressão aritmética).

Exemplo 1: Considere um investimento de $1000,00 no banco ABC, pelo prazo de 4 anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros simples. Determine o valor do saldo credor desse investidor no banco ABC no final de cada um dos quatro anos da operação.

ANO Saldo no Juros Saldo no final Pagto do Saldo no final

início do ano do ano antes ano do ano após

do ano do pagamento pagamento

0 1.000,00 1.000,00 1 1.000,00 80,00 1.080,00 0,00 1.080,00

2 1.080,00 80,00 1.160,00 0,00 1.160,00

3 1.160,00 80,00 1.240,00 0,00 1.240,00

4 1.240,00 80,00 1.320,00 1.320,00 0,00

Exemplo 2: Considere um investimento de $1000,00 no banco ABC, pelo prazo de 2 anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros simples. Ao resgatar esse investimento no final de dois anos, o investidor decide reaplicar esse valor no próprio

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banco ABC, por mais dois anos, nas mesmas condições da 1a aplicação. Determine o valor do saldo credor desse investidor no banco ABC no final dessa segunda operação.

ANO Saldo no Juros Saldo no final Pagto do Saldo no final

início do ano do ano antes ano do ano após

do ano do pagamento pagamento

0 1.160,00 1.160,00

1 1.160,00 92,80 1.252,00 0,00 1.252,00

2 1.252,00 92,80 1.345,60 1.345,60 0,00

Fluxo de Caixa

JUROS COMPOSTOS

Relembrando... - Juros de cada período são calculados sobre o saldo existente no início do respectivo período. - Juros acumulados ao longo dos períodos, quando retidos pela instituição financeira, são capitalizados e passam a render juros. - Crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, é exponencial (ou em progressão geométrica).

Exemplo 3: Vamos considerar agora um investimento de $1000,00 no banco ABC, pelo prazo de 4 anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros compostos. Determine o valor do saldo credor desse investidor no banco ABC no final de cada um dos quatro anos da operação.

ANO Saldo no Juros Saldo no final Pagto do Saldo no final

início do ano do ano antes ano do ano após

do ano do pagamento pagamento

0 1.000,00 1.000,00

1 1.000,00 80,00 1.080,00 0,00 1.080,00

2 1.080,00 86,40 1.166,40 0,00 1.166,40

3 1.166,40 93,31 1.259,71 0,00 1.259,71

4 1.259,71 100,78 1.360,49 1.360,49 0,00

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COMPARAÇÃO do comportamento gráfico: (Exemplos 1 e 3) Juros Simples X Juros Compostos

Crescimento do Dinheiro a 8% a.a. Exemplo 4: Vamos considerar agora um investimento de $1000,00 no banco ABC, pelo prazo de 2 anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros compostos. Ao resgatar esse investimento no final de dois anos, o investidor decide reaplicar esse valor no próprio banco ABC, por mais dois anos, nas mesmas condições da 1a aplicação. Determine o valor do saldo credor desse investidor no banco ABC no final dessa segunda operação.

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ANO Saldo no Juros Saldo no final Pagto do Saldo no final

início do ano do ano antes ano do ano após

do ano do pagamento pagamento

0 1.166,40 0,00 1.166,40

1 1.166,40 93,31 1.259,71 0,00 1.259,71

2 1.259,71 100,78 1.360,49 1.360,49 0,00

Fluxo de Caixa

Exercícios 1: Exercícios da página 23 do livro.