aulas serie2

Series Numericas

Maria do Carmo Martins

Novembro de 2006

Definicao e generalidades

Seja (un) uma sucessao de numeros reais. Chama-se serienumerica ou serie de numeros reais ou soma infinita aexpressao que se obtem somando todos os termos de (un).Simbolicamente:

u1 + u2 + u3 + · · ·+ un + . . . =∞∑

n=1

un

=∞∑1

un

=∑

un

Definicao e generalidades

Considerando a serie∑

un, tem-se

u1

u2...

un...

termos da serie

em que un e o termo geral da serie.

Observacao

Por vezes e conveniente considerar series do tipo∑∞

n=0 un, ou maisgeralmente,

∑∞n=p un, onde p e um numero natural. Assim, sao

tambem series as expressoes

∞∑n=2

un = u2 + u3 + · · ·+ un + . . .

∞∑n=8

un = u8 + u9 + · · ·+ un + . . .

Sucessao associada a uma serie

Considere-se a serie numerica∑

un. Define-se

S1 = u1 primeiro termo da serieS2 = u1 + u2 soma dos dois primeiros termos da serieS3 = u1 + u2 + u3 soma dos tres primeiros termos da serie...Sn = u1 + u2 + · · ·+ un soma dos n primeiros termos da serie...


S1

S2...

Sn...

somas parciais da serie

∑un

(Sn)n∈N ou (Sn) e uma sucessao de numeros reais chamadasucessao das somas parciais da serie

∑un ou sucessao

associada a serie.

Exercıcio:Considere a serie

∑ 1n . Calcule S2, S3, S10 e Sn.


Considere-se a serie∑

un. Entao

Sn = u1 + u2 + · · ·+ un−1 + un

Sn−1 = u1 + u2 + · · ·+ un−1

Sn − Sn−1 = (u1 + · · ·+ un−1 + un)− (u1 + · · ·+ un−1) = un.

Assim,Sn − Sn−1 = un.

Exemplo: Seja Sn = nn+1 o termo geral geral da sucessao das

somas parciais da serie∑

un. Determine un.

Convergencia da sucessao associada a serie

Considere-se a serie numerica∑

un e seja (Sn) a sua sucessaoassociada. Entao

(Sn) converge ⇔∑

un converge.

Natureza de uma serie

Diz-se que a serie de termo geral un e convergente se existirem R o

limn→∞

Sn = S .

O numero real S diz-se a soma da serie∑

un. Escreve-seentao,

∑un = S .

Diz-se que a serie de termo geral un e divergente se asucessao associada a serie for divergente, isto e, selim Sn = ∞ ou 6 ∃ lim Sn.

Chama-se natureza de uma serie a propriedade de serconvergente ou divergente.

Observacao

Note-se que sendo (Sn) uma sucessao, o calculo do limite de Sn

obedece as propriedades algebricas dos limites das sucessoes,podendo aplicar-se, sempre que seja possıvel, as regras praticas jaestudadas.

Exemplos

Estude a natureza das series:

1

∑ 1

n(n + 1);

2

∑c , com c ∈ R \ {0};

3

∑0;

4

∑(−1)n+15.

Resto de uma serie

Seja∑

un uma serie numerica. Chama-se resto de ordem p daserie

∑un a serie que se obtem suprimindo os p primeiros termos

da serie. Simbolicamente

Rp = up+1 + up+2 + · · · =∞∑

n=1

up+n.

Exemplo:Escreva o resto de ordem 4 da serie

∑ 1n .

Observacao

Suponhamos que∑

un e uma serie numerica convergente cujasoma e S . Entao

S =∑

un = u1 + u2 + · · ·+ un︸︷︷︸Sn

+ un+1 + un+2 + . . .︸︷︷︸Rn

ou seja,

S = Sn + Rn

Rn = S − Sn.

Observacao (continuacao)

Tomando limites, tem-se:

lim Rn = lim (S − Sn)

= lim S − lim Sn

= S − S

= 0.

Concluimos entao que uma serie e convergente se o resto de ordemn for um infinitesimo, isto e:∑

un e convergente ⇔ lim Rn = 0

Serie geometrica

Chama-se serie geometrica a toda a serie da forma

∑arn−1 =

∞∑n=0

arn = a + ar + ar2 + ar3 + · · ·+ arn + . . .

Refira-se que, numa serie geometrica cada termo pode obtido apartir do termo anterior multiplicando pela razao r .

Exemplo:Verifique que a serie

∑ 12n e geometrica e indique a razao.

Natureza da serie Geometrica (1)

Estudemos a natureza (convergente ou divergente) da seriegeometrica. Escrevendo a sucessao das somas parciais,multiplicando por r e subtraindo, vem

Sn = a + ar + ar2 + · · ·+ arn−1

rSn = ar + ar2 + ar3 · · ·+ arn−1 + arn

Sn − rSn =(a + ar + · · ·+ arn−1

)−

(ar + · · ·+ arn−1 + arn

)Sn − rSn = a− arn

Sn(1− r) = a− arn


Consideremos os seguintes casos:1) Se r 6= 1, entao Sn = a−ar

1−r .

Calculemos o limite de Sn:

lim Sn = lima− arn

1− r

= lim

(a

1− r− arn

1− r

)=

a

1− r− lim

arn

1− r

=a

1− r− a

1− rlim rn

Sendo rn uma exponencial, o limite vai depender da base.


Assim, teremos de considerar os casos:

1 |r | < 1;

2 |r | > 1;

3 r = −1.

Analisemos cada caso:

Se |r | < 1, entao lim rn = 0 e assim lim Sn = a1−r .

Sendo (Sn) convergente, entao a serie∑

arn−1 e convergentee a sua soma e S = a

1−r .

Natureza da serie geometrica (4)

Se |r | > 1, entao lim rn = ∞ e assim lim Sn = ∞.Sendo (Sn) divergente, entao a serie

∑arn−1 e divergente.

Se r = −1, entao∑

arn−1 e divergente, pois:

Se n e par, entao Sn = a1−(−1) −

a1−(−1) = 0, pelo que

lim Sn = 0.

Se n e ımpar, entao Sn = a1−(−1) −

(− a

1−(−1)

)= a, pelo que

lim Sn = a.

Assim, Sn = a para n ımpar e Sn = 0 para n par. E sabido queesta sucessao nao tem limite e, portanto, a serie e divergente.

Natureza da serie geometrica (5)

2) Se r = 1, entao Sn = na. Calculando o limite de Sn tem-se:

lim Sn = lim na = ∞

Como (Sn) e divergente, entao∑

arn−1 e divergente.

Conclusao:

A serie geometica∑

arn−1 converge se, e so se, |r | < 1. Nestecaso, a sua soma e

S =a

1− r.

Exemplos

Determine a natureza das seguintes series e, em caso deconvergencia, calcule a respectiva soma:

1

∑ 2

3n;

2

∑ (5

4

)n

.

Serie de Mengoli

Chama-se serie de Mengoli1 a toda a serie cujo termo geral podeser escrito numa das seguintes formas:

un = an − an+1; (1)

un = an − an+2; (2)

un = an − an+p, p ∈ N. (3)

1Pietro Mengoli, matematico italiano que em em 1650 estabeleceu s somade grande numero de series de termos positivos e a divergencia da serieharmonica

Exemplos

Verifique que sao de Mengoli as seguintes series:

1

∑ 1

n(n + 1);

2

∑ 1

n(n + 3).

Serie de Mengoli

Analisemos cada um dos casos da definicao anterior. Consideremoso caso (1). Admitamos que existe uma sucessao (an) tal queun = an − an+1. Tem-se

Sn = u1 + u2 + u3 + · · ·+ un

= (a1 − a2) + (a2 − a3) + · · ·+ (an−1 − an) + (an − an+1)

= a1 − an+1.


lim Sn = lim(a1 − an+1)

= lim a1 − lim an+1

= a1 − lim an+1

Serie de Mengoli

Portanto,

(Sn) converge ⇔ (an) converge∑un converge ⇔ (an) converge

Conclusao: A serie de Mengoli∑un =

∑(an − an+1)

converge se, e so se, (an) for convergente. A sua soma e

S = a1 − lim an.

Serie de Mengoli

Consideremos o caso (2). Admitamos que existe uma sucessao(an) tal que un = an − an+2. Tem-se

Sn = u1 + u2 + u3 + · · ·+ un

= (a1 − a3) + (a2 − a4) + (a3 − a5) + · · ·+ (an−2 − an) +

+(an−1 − an+1) + (an − an+2)

= a1 + a2 − an+1 − an+2.


lim Sn = lim(a1 + a2 − an+1 − an+2)

= a1 + a2 − lim an+1 − lim an+2

Serie de Mengoli

Portanto,

(Sn) converge ⇔ (an) converge∑un converge ⇔ (an) converge


∑(an − an+2)

converge se, e so se, (an) for convergente. A sua soma e

S = a1 + a2 − 2 lim an.

Serie de Mengoli

Consideremos, finalmente, o caso (3). Admitamos que existe umasucessao (an) tal que un = an − an+p, com p ∈ N. Tem-se

Sn = u1 + u2 + u3 + · · ·+ un

= (a1 − a1+p) + (a2 − a2+p) + · · ·+ (an−1 − an−1+p) +

+(an − an+p)

= a1 + a2 + · · ·+ ap − an+1 − an+2 − · · · − an+p.


lim Sn = lim(a1 + a2 + · · ·+ ap − an+1 − an+2 − an+p)

= a1 + a2 + · · ·+ ap − lim an+1 − lim an+2 − lim an+p

= a1 + a2 + · · ·+ ap − p lim an

Serie de Mengoli


∑(an − an+p),

com p ∈ N, converge se, e so se, (an) for convergente. A sua somae

S = a1 + a2 + · · ·+ ap − p lim an.

Exercıcio

Calcule a soma das series das seguintes series

1

∑ 1

n(n + 1);

2

∑ 1

n(n + 3).

Serie Aritmetica

Chama-se serie artmetica a toda a serie em que e constante adiferenca entre um termo e o seu antecedente.Portanto, a serie

∑un e uma serie aritmetica se un+1 − un = r ,

com r constante. Tem-se assim,

Sn = u1 + u2 + · · ·+ un︸︷︷︸soma de n termos de uma p.a.

=u1 + un

2n

Como lim Sn = ∞, a serie aritmetica e sempre divergente.

Exemplo:Determine a natureza da serie

∑2n.

Serie geometrica-aritmetica

Chama-se serie geometrica-aritmetica a toda a serie da forma∑narn−1 = a + 2ar + 3ar2 + 4ar3 + · · ·+ narn−1 + . . .

Exemplo:Verifique que a serie

∑ n2n e uma serie geometrica-aritmetica.

Natureza da serie geometrica-aritmetica (1)

Estudemos a natureza da serie∑

narn−1, procedendo de modoanalogo ao das series geometricas.

Sn = a + 2ar + 3ar2 + · · ·+ (n − 1)arn−2 + narn−1

rSn = ar + 2ar2 + 3ar3 · · ·+ (n − 1)arn−1 + narn

Sn − rSn = a + ar + ar2 + · · ·+ arn−2 + arn−1︸︷︷︸soma de n termos de uma p.g.

−narn

Sn(1− r) =a− arn

1− r− narn


Consideremos os seguintes casos:1) Se r 6= 1, entao Sn = a−arn

(1−r)2− narn

1−r .


lim Sn = lim

(a− arn

(1− r)2− narn

1− r

)Sendo rn uma exponencial, o limite vai depender da base. Assim,teremos de considerar os casos:

1 |r | < 1;

2 |r | > 1;

3 r = −1.

Analisemos cada caso:


Se |r | < 1, entao

lim Sn = lim

(a− arn

(1− r)2− narn

1− r

)= lim

(a

(1− r)2− arn

(1− r)2− anrn

1− r

)Ora, se |r | < 1, entao:

lim rn = 0lim nrn = lim

n(1r

)n =2 0.

Assim, lim Sn = a(1−r)2

. Sendo (Sn) convergente, entao a serie∑narn−1 e convergente e a sua soma e S = a

(1−r)2.

2Recorde-se que a exponencial de base maior que 1 evolui mais rapidamentedo que qualquer potencia do seu expoente


Se |r | > 1,

Sn =a− arn

(1− r)2− narn

1− r

=a− arn − narn)(1− r)

(1− r)2

=a− [arn − narn(1− r)]

(1− r)2

=a− rn [a + na(1− r)]

(1− r)2

Assim lim Sn = ∞. Sendo (Sn) divergente, entao a serie∑narn−1 e divergente.


Se r = −1, entao∑

narn−1 e divergente, pois:

Se n e par, entao Sn = −na2 , pelo que lim Sn depende do sinal

de a.Se n e ımpar, entao Sn = a+na

2 , pelo que

lim Sn = lima + na

2=

{+∞ se a > 0−∞ se a < 0

Assim, nao existe lim Sn e, portanto, a serie e divergente.


2) Se r = 1, entao Sn = an+an2

2 . Calculando o limite de Sn tem-se:

lim Sn = liman2 + an

2= ∞

Como (Sn) e divergente, entao∑

narn−1 e divergente.

Conclusao: A serie geometrica-aritmetica∑

narn−1 converge se,e so se, |r | < 1. Neste caso, a sua soma e

S =a

(1− r)2.

Teorema 1 - Criterio Geral de Cauchy

Para que uma serie∑

un seja convergente e necessario e suficienteque

∀δ > 0,∃n0 ∈ N : n > n0 ⇒ |Sn+p − Sn| < δ,∀p ∈ N

isto e,

∀δ > 0,∃n0 ∈ N : n > n0 ⇒ |un+1 +un+2 + · · ·+un+p| < δ,∀p ∈ N

Note-se que:Teorema (Criterio de Cauchy para as sucessoes) Seja (un)uma sucessao numerica.

(un) converge ⇔ ∀δ > 0,∃n0 ∈ N : n > n0 ⇒ |un+p−un| < δ,∀p ∈ N.

Corolario 1 - Condicao necessaria para a convergencia(serie)

Se a serie∑

un e convergente, entao lim un = 0.

Observacao: O corolario anterior diz-nos que∑un converge ⇒ lim un = 0.

No entanto,lim un = 0 6⇒

∑un converge.

Exemplo

Aplicando o criterio geral de convergencia determine a natureza daserie

∑ 1n .

Corolario 2

Se∑

un e uma serie tal que lim un 6= 0, entao a serie∑

un edivergente.

lim un 6= 0 ⇒∑

un e divergente.

Exemplo: Determine a natureza da serie∑ n+1

3n−1 .

Teorema 2

Se c e uma constante nao nula, entao as series∑

un e∑

c un saoda mesma natureza e, no caso de convergencia, se for S a soma de∑

un, entao c S sera a soma de∑

c un.

Exemplo: Estude a natureza das series:

1

∑ 1

3n(n + 1)

2

∑ a

n, a 6= 0

3

∑5e

1n

Teorema 3

Sejam∑

un e∑

vn duas series convergentes, cujas somas saorespectivamente S ′ e S ′′. Entao

1 A serie∑

(un + vn) e convergente e a sua soma e S ′ + S ′′.

2 A serie∑

(un − vn) e convergente e a sua soma e S ′ − S ′′.

Exemplo: Mostre que∑

( 42n−1 − 2

n2+3n) e convergente.

Corolario

Se a serie∑

un e convergente e a serie∑

vn e divergente (ouvice-versa), entao a serie

∑(un + vn) e divergente.

Exemplo: Determine a natureza das series

1

∑(

1

4n− 1

4n)

2

∑(2 + e)

Conclusao

∑un convergente∑vn convergente

}⇒

∑(un + vn) convergente.

∑un convergente∑vn divergente

}⇒

∑(un + vn) divergente.

∑undivergente∑vndivergente

}⇒ nada se pode concluir acerca

da natureza da serie∑

(un + vn).

Teorema 4

Se uma serie,∑

un, e convergente, entao a serie,∑

u′n, que seobtem associando dois a dois os termos consecutivos da serie deforma a construir novos termos e tambem convergente e tem amesma soma.

Corolario:Se

∑u′n e divergente, entao

∑un e divergente.

Teorema 5

A natureza de uma serie nao se altera se modificarmos um numerofinito dos seus termos, isto e,

- Se duas series diferem de um numero finito de termos elastem a mesma natureza.

Nota: As series∑

an e∑

a′n tem a mesma natureza, mas podemnao ter a mesma soma.

Exemplo: Determine a natureza da serie∑un = 1 + 2 + 3 +

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ · · ·

e, em caso de convergencia, calcule a soma.

Series de termos nao negativos

Uma serie∑

un diz-se de termos nao negativos se

un ≥ 0,∀n ∈ N.

Exemplo:

1

∑n e de termos nao negativos.

2

∑n2 e de termos nao negativos.

3

∑(n − 5) nao e de termos nao negativos.

4

∑(n − 1) e de termos nao negativos.

Serie de termos nao positivos

Uma serie∑

un diz-se de termos nao positivos se

un ≤ 0,∀n ∈ N.

Exemplo:

1

∑−n e de termos nao positivos.

2

∑−n2 e de termos nao positivos.

3

∑(n − 5) nao e de termos nao positivos.

4

∑(1− n) e de termos nao positivos.

Observacao

Suponhamos que∑

an e uma serie de termos nao positivos.Entao, por definicao an ≤ 0,∀n ∈ N. Mas,

an ≤ 0,∀n ∈ N ⇔ −an ≥ 0,∀n ∈ N

pelo que, a serie∑

(−an) = −∑

an e uma serie de termos naonegativos. Assim, o estudo de uma serie de termos nao positivosreduz-se ao estudo de uma serie de termos nao negativos, uma vezque as series

∑an e

∑−an tem a mesma natureza.

Teorema 6 - Condicao necessaria e suficiente deconvergencia de uma serie de termos nao negativos

E condicao necessaria e suficiente para que uma serie de termosnao negativos seja convergente que a sucessao (Sn), das somasparciais da serie, seja limitada superiormente.

Exemplo: Prove que∑ 1

n! e convergente, utilizando o teoremaanterior.

Teorema 7 - Criterio de comparacao

Sejam∑

un e∑

vn duas series de termos nao negativos, tais que

un ≤ vn, ∀n ∈ N.

Entao

1 Se∑

vn converge, entao∑

un converge

2 Se∑

un diverge, entao∑

vn diverge

Serie majorante e serie minorante

Chama-se serie majorante de uma serie∑

un a serie∑

vn, talque

un ≤ vn, ∀n ∈ N.

∑vn e a serie majorante da serie

∑un∑

un e a serie minorante da serie∑

vn

O teorema anterior pode ser enunciado do seguinte modo:

1 A convergencia da serie majorante implica a convergencia daserie minorante.

2 A divergencia da serie minorante implica a divergencia da seriemajorante.

Observacao

Como a natureza de uma serie nao depende dos seus primeirostermos (em numero finito), o teorema anterior ainda e valido parao caso em que a condicao un ≤ vn se verifica apenas a partir deuma certa ordem, isto e, se

∃n0 ∈ N : n ≥ n0 ⇒ un ≤ vn.

Exemplo: Determine a natureza da serie∑ 1

5n(n+1) , aplicando ocriterio de comparacao.

Exemplos

1 Utilizando o criterio de comparacao, conclua que a serie∑ 1√n

e divergente.

2 Determine a natureza da serie∑ 1

nn .

Corolarios

Corolario 1: Sejam∑

un uma serie de termos nao negativos e∑vn uma serie de termos positivos. Se existir um c > 0, tal que a

condicaoun

vn≤ c

se verifica a partir de uma certa ordem, entao:

1 Se∑

vn e convergente, entao∑

un converge.

2 Se∑

un e divergente, entao∑

vn diverge.

Corolario 2: Sejam∑

un e∑

vn duas series de termos positivos.Se existirem c > 0 e d > 0 tais que c ≤ un

vn≤ d , a partir de uma

certa ordem, entao as series∑

un e∑

vn sao da mesma natureza.

Corolario 3 - Criterio de comparacao por limites

Sejam∑

un e∑

vn duas series de termos positivos. Entao:

1 Se lim unvn

= ` 6= 0,+∞ (entao) as series∑

un e∑

vn sao damesma natureza.

2 Se lim unvn

= 0, entao a convergencia de∑

vn implica aconvergencia de

∑un ou a divergencia de

∑un implica a

divergencia de∑

vn.

3 Se lim unvn

= +∞, entao a convergencia de∑

un implica aconvergencia de

∑vn ou a divergencia de

∑vn implica a

divergencia de∑

un.

Exemplo

Utilizando o criterio de comparacao por limites, estude a naturezada serie ∑ n + 1

n · 4n.

Corolario 4 - Comparacao de razoes

Sejam∑

un e∑

vn duas series de termos positivos. Se existir umaordem p, a partir da qual un+1

un≤ vn+1

vn, entao:

Se∑

vn converge, entao∑

un converge.

Se∑

un diverge, entao∑

vn diverge.

Exemplo: Estude a natureza das series:

1

∑ 2n + 5

3n − 11

2

∑ log n

n

3

∑ 1 + sen n

2n

4

∑log(1 +

3

n)

Series de Dirichlet

Chama-se Serie de Dirichlet3 a toda a serie da forma∑ 1

nα ,sendo α um numero real.

Exemplo:

1

∑ 1

n(serie harmonica); α = 1.

2

∑ 1

n3;α = 3.

3

∑ 1

n−9;α = −9.

4

∑ 1

n−52

;α = −5

2.

3Peter Gustave Lejeune Dirichlet (1805-1859), matematico Alemao, foiprofessor em Berlin e Gottingen e deu importantes contribuicoes para a Analisee Teoria dos Numeros

Teorema 8

Seja (un) uma sucessao de termos nao negativos e decrescente.Entao as series

∞∑1

un e∞∑

k=0

2k · u2k

sao da mesma natureza.

Corolario

A serie∑ 1

nα converge para α > 1 e diverge para α ≤ 1.

Exemplos

1 Estude a natureza da serie∑ n + 1√

3n3 + 2.

2 Recorrendo ao criterio de comparacao por limites, determine anatureza das seguintes series:

1

∑ n + 43√

n7 + 2

2

∑log(1 +

3

n3)

3

∑ sen 1n√

n3 + 2

Series de Bertrand

Chama-se Serie de Bertrand a toda a serie da forma

∞∑n=2

1

nα(log n)p, com α, β ∈ R.

Observacao: Note-se que:

Se α > 1, a serie de Bertrand converge ∀β ∈ R;

Se α < 1, a serie diverge ∀β ∈ R;

Se α = 1, entao

Se β > 1 a serie converge;Se β ≤ 1 a serie diverge.

Exemplos

1

∞∑2

1

n2 log n; Serie de Bertrand convergente α = 2 > 1.

2

∞∑2

1

n2(log n)3; Serie de Bertrand convergente α = 1 e

β = 3 > 1.

3

∞∑2

1

n log n; Serie de Bertrand divergente α = 1 e β = 1.

Teorema 9 - Criterio da razao

Seja∑

un uma serie de termos positivos.

1 Se existir k > 0 tal que

∃p ∈ N : n ≥ p ⇒ un+1

un≤ k < 1,

entao a serie converge.

2 Se∃p ∈ N : n ≥ p ⇒ un+1

un≥ 1,

entao a serie diverge.

Corolario 1 - Criterio D’Alembert 4

Seja∑

un uma serie de termos positivos. Suponhamos que

limun+1

un= ` (` finito ou infinito)

1 Se ` < 1, entao∑

un e convergente

2 Se ` > 1, entao∑

un e divergente

3 Se ` = 1, nada se pode concluir quanto a natureza da serie∑un.

4Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783), notavel matematico, filosofo eescritor Frances do tempo dos enciclopedistas, foi secretario perpetuo daAcademdia Francesa.

Observacao

Sendo lim un+1

un= 1, nada se pode concluir, no entanto,

se lim un+1

un= 1+ (por valores superiores a 1), entao a serie∑

un e divergente.

Se lim un+1

un= 1−, entao nada se pode concluir quanto a

natureza de∑

un.

Exemplo

Aplicando o Criterio D´Alembert, estude a natureza das series

1

∑ 1

n.

2

∑ 1

n2.

3

∑ n

n + 1.

Corolario 2

Seja∑

un uma serie de termos positivos.

1 Se limun+1

un< 1, entao

∑un converge

2 Se limun+1

un> 1, entao

∑un diverge.

Resumo

Dada a serie∑

un, com un > 0, ∀n ∈ N,

limun+1

un=

` < 1,

∑un converge

` > 1,∑

un diverge` = 1+,

∑un diverge

` = 1−, nada se pode concluir.

6 ∃ limun+1

une se

{limun+1

un< 1,

∑un converge

limun+1

un,

∑un diverge

Nota

O criterio de D’Alembert aplica-se as series que apresentam no seutermo geral:

- produtos

- potencias

- factoriais

Exemplo

Determine a natureza das series:

1

∑ n + 3

(n + 2)!

2

∑ n3

n!

3

∑ n + 2 + 2n

5n

Teorema 10 - Criterio da Raiz

Seja∑

un uma serie de termos nao negativos.

1 Se existir uma ordem a partir da qual n√

un ≤ k < 1 (k > 0),entao a serie

∑un e convergente.

2 Se existir uma ordem a partir da qual n√

un ≥ 1, entao a serie∑un e divergente.

Corolario 1 - Criterio de Cauchy

Seja∑

un uma serie de termos nao negativos. Suponhamos quelim n

√un = `

1 Se ` < 1, entao∑

un e convergente

2 Se ` > 1, entao∑

un e divergente

3 Se ` = 1, nada se pode concluir quanto a natureza da serie.

Observacao

Se lim n√

un = 1+, entao a serie∑

un e divergente.

Se lim n√

un = 1−, entao nada se pode concluir quanto anatureza da serie

∑un.

Corolario 2

Seja∑

un uma serie de termos nao negativos:

1 Se lim n√

un < 1, entao∑

un converge.

2 Se lim n√

un > 1, entao∑

un diverge.

Exemplo

Estude a natureza das series

1

∑(1 +

1

n)n

2

2

∑ |sen n|n

n2

3

∑[n2 log(1 +

1

2n)tg

1

n]n

Resumo

Dada a serie∑

un, com un ≥ 0, ∀n ∈ N

lim n√

un =

` < 1,

∑un converge

` > 1,∑

un diverge` = 1+,

∑un diverge

` = 1−, nada se pode concluir.

6 ∃ lim n√

un e se

{lim n√

un < 1,∑

un convergelim n√

un,∑

un diverge

Nota

O criterio de Cauchy aplica-se nos casos em que todos os factoresdo termo geral da serie estao elevados, pelo menos, ao expoente n,isto e, utiliza-se quando un esta elevado a n, n2, n3, · · · .

Teorema 11

Seja (un) uma sucessao de termos positivos. Entao:

1 limun+1

un≤ lim n

√un

2 lim n√

un ≤ limun+1

un

Corolario

Seja (un) uma sucessao de termos positivos. Se lim un+1

un= A,

entao lim n√

un = A.

Criterio de Raabe5

Seja∑

un uma serie de termos positivos tal quelim[n( un

un+1− 1)] = ` (finito ou nao). Entao:

1 Se ` > 1, entao∑

un converge

2 Se ` < 1, entao∑

un diverge.

5Joseph L. Raabe (1801-1859) foi um dos percursores da somabilidade dasseries pela media das somas parciais, metodo que utilizou para alguns tiposespeciais de series

Observacao

Se lim[n( unun+1

− 1)] = 1+, entao nada se pode concluir quantoa natureza da serie.

Se lim[n( unun+1

− 1)] = 1−, entao a serie∑

un e divergente.

Exemplos

1 Aplicando o criterio de Raabe estude a natureza das series:1√

n + 1−√

n;

2∑ 1·3·5···(2n−1)

2·4·6···2n .

2 Aplicando o criterio de Raabe, determine os valores de a paraos quais a serie∑ a(a + 1)(a + 2) · · · (a + n − 1)

n!

e convergente.

aulas serie2

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