Geometria Analtica GonzalezFT Representao Geomtrica do Produto Escalar.

Dado dois vetores e , no nulos, e um ngulo entre eles, definimos:

. = ||||cos

Utilizando a lei dos cossenos podemos escrever:

ou . = ||||cos Exemplo do livro: Vetores e Geometria Analtica (Paulo Winterle) Pg. 52.

Dados ||= 2 , ||= 3 e calcule:

a) . = b) || = c) || =

Mdulo do Produto Vetorial

Dado dois vetores e , chamamos de mdulo do produto vetorial e indicamos por |x| o valor encontrado atravs do clculo abaixo.

|x|= ||.||. sen(

Exemplos: Determine o mdulo produto vetorial x abaixo:

1. = (6, 0, -2) = (0, 8, 0)

2. = (1, 1, -1) = (2, 4, 6)

3. = (1, 3, -2) = (-1, 0, 5)

Exerccio 01. Um parafuso apertado por uma chave de boca que plica uma fora de 40 N em uma chave de 0,25 m, veja figura abaixo. Determine o mdulo do torque em torno do eixo do parafuso. Obs.: .

Exerccio 02. Calcule e determine se tem sentido de entrar na pgina ou o contrrio.a)

b)

REA DE UM PARALELOGRAMO

Dado dois vetores e , chamamos de mdulo do produto vetorial e indicamos por |x| o valor encontrado atravs do clculo abaixo.

|x|= ||.||. sen( Sua interpretao geomtrica a rea do paralelogramo abaixo:

Seja um paralelogramo construdo sobre = (B- A) e = (D- A) e h a sua altura.Sabemos que a rea do paralelogramo igual a: rea(ABCD) = dist(AB).h

Porem tambm sabemos que: dist(AB) = || e h = ||.sen

Portanto: rea(ABCD) = ||||.sen ou melhor rea(ABCD) = |x|

Exemplos:

1) Sendo ||= 4, ||= 3 e = 1500 o ngulo entre os vetores, calcular:

a) a rea do paralelogramo construdo sobre e .b) a rea do tringulo construdo sobre os vetores u e v;

2) Calcule a rea do paralelogramo construdo sobre e , dados:

a) = (1, 0, -2) = (0, 8, 0)

b) = (0, 1, -1) = (2, 4, 6)

3) Calculara rea do tringulo construdo sobre = 2i j + k e = -i + j - k.

4) No tringulo de vrtices A= (0, 0, 2), B= (3,- 2, 8)e C= (- 3,- 5, 10), calcular:a) a medida dos lados a, b, c.b) a medida dos ngulos , B, C.c) a rea do tringulo.

MULTIPLICAO MISTA

Dados os vetores , e , o produto misto destes trs vetores o escalar representado por:

Quanto ordem das operaes, realiza-se inicialmente o produto interno e em seguida o produto externo. Sua interpretao geomtrica a rea do paraleleppedo abaixo: Os trs vetores no coplanares u, v e w representam arestas de um paraleleppedo.Sabe-se da geometria espacial que o volume do paraleleppedo o produto da rea da base pela altura: V = rea(ABCD).h

Sabemos tambm que: rea(ABCD) = |x|

h = ||cos (Tringulo retngulo AEE)

Fazendo as devidas substituies:

V = |x|.||.cos V = |x|.||. Exemplos: 1) Dados os vetores u = 3i- 2j+ 6k, v =- 3i- 5j+ 8k e w = i+ k, calcular:a) a rea do paralelogramo construdo sobre u e v.b) o volume do paraleleppedo construdo sobre u, v e w.c) a altura (em valor absoluto) do paraleleppedo.

2) Dados os vetores =(3, -1, 1), =(1, 2, 2) e =(2, 0, -3) calcule:

a) (,,) b) (,,)

3) Calcule o volume do paraleleppedo determinado por =(2, 1, 4); =(-1, 0, 2) e

= (1, 2, 3).

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