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TÓPICOS EM FÍSICA CLÁSSICA

Aulas 4 - 5 - Eletrostática

Tópicos em Física Clássica - Aula IV 2

O PROBLEMA BÁSICO DO ELETROMAGNETISMO: DADO UM CONJUNTO DE CARGAS E CAMPOS QUAL SERÁ A CONFIGURAÇÃO DE EQUILÍBRIO?

x

Cargas

Distribuição de cargas em condutores

y

z

Ponto onde queremos calcular o campo

P

r

ri ’

(r’)


CONCEITOS BÁSICOSAlguns conceitos básicos:

a) Fonte do campo: carga que cria o campo:

- Carga é fonte de campo elétrico (E);

- Carga em movimento é fonte de campo magnético (B).

b) Eletrostática: envolve o cálculo de campos em sistemas de referência nos quais as fontes do campo estão em repouso relativo.

Neste caso o problema básico se reduz ao cálculo do campo elétrico E (ou, alternativamente, do potencial elétrico );

c) Eletrodinâmica: estudo dos campos quando estamos em sistemas de referência nos quais as cargas estão em movimento.


PROPRIEDADES DA CARGA ELÉTRICAA carga elétrica apresenta as seguintes propriedades básicas:

A carga elétrica apresenta dois tipos (sabores) denominados de positivo ( + ) e negativo ( - ). A carga elétrica é quantizada. Toda carga elétrica observada é múltiplo da carga fundamental, a

carga do elétron ou do próton.

Propriedade básica do eletromagnetismo: uma carga elétrica influencia o comportamento de outra carga elétrica:

Cargas de sinais contrários -> atração

Cargas de sinais iguais -> repulsão

- A carga elétrica é conservada (conservação global da quantidade de carga).

F21 F12q1 q2

F21 F12

q1 q2

5

PROPRIEDADES DA INTERAÇÃO ENTRE CARGAS ELÉTRICAS (REPOUSO RELATIVO)

A força elétrica entre duas cargas depende do valor das cargas elétricas. Matematicamente: F q1 q2.

A força entre duas cargas elétricas depende apenas da distância entre as duas cargas. A dependência é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as duas cargas:

Tópicos em Física Clássica - Aula IV

21 2

1

| |

F

r r

F21q1

F12

q2

r2

r1 – r2

r1

z

y

x

• Na eletrostática, a terceira lei de Newton é válida: F12 = - F21


PROPRIEDADES DA INTERAÇÃO ENTRE CARGAS ELÉTRICAS (REPOUSO RELATIVO (CONT.)

1 221 12 1 23

1 2| |

q qk

F F r r

r r

Nesta expressão F21 é a força exercida pela partícula com carga q2 sobre a partícula com carga q1.

A constante k depende do sistema de unidades usado. No SI:

120

0

1 8,854 10 F/m

4 k

• Podemos agrupar estes resultados experimentais na Lei de Coulomb:


PROPRIEDADES DA INTERAÇÃO ENTRE CARGAS ELÉTRICAS (REPOUSO RELATIVO (CONT.)

Princípio da superposição: quando temos mais de duas partículas interagindo a força resultante sobre uma delas, devida às demais, é dada pela soma das forças sobre a partícula em análise:

31

30 1

| |

1

4 | |

jj i

j i ji ji

i j

ji

j j i ji ji

i k

q qk

qq

F r rr r

F r rr r


DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA No caso de termos distribuições de cargas não pontuais, a soma deve ser transposta para uma

integral sobre a densidade de carga:

O conceito de campo: ao invés de falarmos da força sobre uma partícula podemos falar sobre a força por unidade de carga da partícula campo. Se dividirmos a força sobre a k-ésima partícula pela carga desta partícula, então o campo na região da partícula será dado por:

33

0

1 ( ')( ) ' ( ')

4 | ' |q d r

rF r r r

r r

F(r) q

(r’)

r'

r – r’

r

z

y

x

330 0

1 ( ')( ) lim ' ( ')

4 | ' |

qd r

q

F rE r r r

r r

q é a chamada carga de teste: não pode interferir na distribuição que cria o campo.

LEI DE GAUSS

Tópicos em Física Clássica - Aula IV9

d

q

n

Er

O que acontece com a componente do campo normal à superfície?

20

cos.

4

qda da

r

En

2

cos dad

r

0

.4

qda d

En

Integrando sobre a superfície S (fechada) :

0

se limitado por .

0 se limitado por S

qq V S

da

q V S

En


0

3

0

.1

( ') '

i

i

S

V

q

dad r

En

r

Para uma distribuição de cargas (pontuais ou uma densidade volumétrica de carga):

Cargas pontuais

Distribuição volumétrica de cargas

Forma diferencial da lei de Gauss

Para podermos escrever em forma diferencial a lei de Gauss vamos analisar o teorema da divergência de Gauss para um campo vetorial qualquer:

3. .S V

da d x An A

SV

Fluxo de A

Aplicando ao campo elétrico:

3 3

0

1. ' . ' ( ') '

S V V

da d r d r

En E r0

( ). ( )

r

E r

Forma diferencial da lei de Gauss

LEI DE GAUSS (CONT.)

11

O POTENCIAL ESCALARO campo elétrico é um campo de rotacional nulo. Isso é facilmente verificável a partir da expressão para E:


33

0

1 '' ( ')

4 | ' |

d r

r r

E rr r

O rotacional atua somente sobre a variável r e não sobre a variável r’, portanto o rotacional atua somente sobre a fração no integrando, a qual pode ser reescrita como:

3

' 1

| ' || ' |

r r

r rr r

Logo:

3

0

3

0

0

1 1' ( ')

4 | ' |

1 1' ( ') ( ) 0

4 | ' |

0

Nesta expressão:

1 1( ) ( ')

4 | ' |

d r

d r

E rr r

E r rr r

E

r rr r

Potencial eletrostático

O POTENCIAL ESCALAR (CONT.)


Portanto, o campo elétrico pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar:

( ) E r

Observações:

• Na definição do potencial eletrostático a integração é sobre todas as cargas no universo;

• O potencial é definido a menos de uma constante arbitrária.


INTERPRETAÇÃO FÍSICA DO POTENCIAL ESCALAR

Vamos calcular o trabalho que devemos executar contra o campo eletrostático E, para levarmos uma carga elétrica q de um ponto a até um ponto b com velocidade constante. Observe-se que esse trabalho é executado contra a força elétrica F = q E:

. .b b

a a

W d q d F l E la

bdlq

Usando que E = - :

.b b

b a

a a

W q d q d q l

O campo eletrostático é um campo conservativo:

. . 0b

b a

a

d d E l E l


DISTRIBUIÇÕES SUPERFICIAIS DE CARGAS E DIPOLOS. DESCONTINUIDADES NO CAMPO E NO POTENCIAL

Teríamos um mundo perfeito se não tivéssemos limites! O que fazer em um contorno?

Vamos aplicar a lei de Gauss a um disco cujas bases estão uma na parte superior da superfície e outra na base inferior. As faces laterais possuem áreas desprezíveis.

2 10

.

E E n

Esta equação expressa o fato de que há uma descontinuidade nas componentes normais do campo elétrico . As componentes tangenciais, no entanto, são contínuas.

1 2

1 2

0

1 2 2 20

2 1 2

1 2 2 2 2 10

1.

1. .

Como e 1:

. . .

S S

s S

S S

ds ds

ds ds ds

S S

ds ds A A

1 1

1

1 1

En

E n E n

n n

E n E n E E n


Consideremos uma camada formada por duas superfícies muito próximas

POTENCIAL DEVIDO A UMA DISTRIBUIÇÃO DE DIPOLOS SOBRE UMA SUPERFÍCIE S

O potencial pode ser escrito como:

0 0 '

1 ( ') 1 ( ')( ) ' ''

4 | ' | 4 | ' |S S

da dad

r r

rr r r r n

Para d << |r - r’|podemos expandir o denominador na segunda integral usando a identidade:

22 2

1 1 1 . 1 11 ... . ...

| | 2 . x x xxx a

a xa

x a a x


Logo, após substituir esta expressão na integral do potencial e tomar o limite:

( ) 0lim ( ) ( ) ( )

d xd D

x x x

Obtemos:

0

1 1( ) ( ') . ' '

4 | ' |S

D da

r r n

r r

Observando que:

2

1 cos '. ' '

| ' | | ' |

dada d

n

r r r r

Então:

0

1( ) ( ')

4S

D d

r r2 1

0

D

Há uma descontinuidade no potencial ao cruzar a dupla camada !!!


A EQUAÇÃO DE POISSON

O campo elétrico é descrito a partir das duas equações:

0

.

0

E

E

Lembrando que o campo eletrostático pode ser escrito em termos de um potencial escalar (devido à segunda das igualdades acima):

2

0

( )( ) ( ) .( ( )) ( )

r

E r r r rEquação de

Poisson

Importante: nessa equação a quantidade (r) indica a densidade de carga na posição onde estamos calculando o potencial.

q1 ,r1q1 , r2

r3

1 1 1 1 1

32 2 2 2 2 2 2

3 3 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0

V

q

q d v

r r r

r r r r

r r

18

A EQUAÇÃO DE POISSON (CONT.)


Se na região de interesse não existem fontes do campo, então temos a equação de Laplace:

2 0

Teorema de Green

Motivação -> Temos, normalmente, condições de contorno a serem satisfeitas. Isto torna as integrações mais difíceis de serem calculadas.

Solução de uma equação diferencial passa pela obtenção da solução geral (classe de soluções) e da aplicação das condições de contorno

relevantes ao problema


Vamos começar pelo teorema da divergência de Gauss:

3. .V S

d x da A AnS

V

A

Vamos fazer:

A Então:

2.( ) .

e

.n

n

Derivada normal à superfície S dirigida de dentro para fora

Substituindo essa expressão no Teorema da Divergência de Gauss:

2 3.V S

d x dan

Primeira

identidade de Green

EQUAÇÃO DE POISSON (CONT.)

20



Vamos agora trocar por (e vice-versa) e subtrairmos da identidade a nova identidade, obteremos o que chamamos de segunda identidade de Green:

2 3

2 3

2 2 3

.

.

V S

V S

V S

d x dan

d x dan

d x dan n

Se agora tomarmos as seguintes identidades:

2 21 1 14 ( ')

| ' | R R

r rr r


Então quando r está no interior da superfície S:

3

0

3

0

1 1 14 ( ') ( ') ( ') ' '

' '

1 ( ') 1 1 1( ) ' '

4 4 ' '

V S

V S

d r daR n R R n

d r daR R n n R

r r r r

rr

Se r estiver fora do volume de integração a integral sobre o volume é nula.


22



Unicidade de soluções: condições de Dirichlet e Newmann

Problema: unicidade da solução para o potencial. Quais são as condições de contorno apropriadas ao problema?

S

V

Suponhamos que existam duas soluções para a equação de Poisson em um volume V limitado por uma superfície S ( 1 e 2) as quais satisfazem as mesmas condições de contorno. Seja U = 2 - 1 . Então, no interior de S:

2 0U

Portanto, ou U é nulo (igual a zero) ou U/ n = 0 sobre S, conforme sejam dadas condições de contorno de Dirichlet ou Newmann.

f(x,y,z) conhecida sobre a superfície S -> Condições de Dirichlet

Ou, alternativamente, f’(x,y,z) conhecida sobre a superfície S -> Condições de Newmann.

23Tópicos em Física Clássica - Aula IV

Vamos usar agora a primeira identidade de Green, com:

U 2 3.V S

uU U U U d x U da

n

Em qualquer caso (U=0 ou U/n = 0 no contorno) temos que:

2 3| | 0V

U d x Portanto, temos que U=0 o que implica que a função U é constante no interior do volume V.Caso 1: condições de Dirichlet no contorno -> US = 0. Nesse caso temos que:

1 2 A solução é única.

Caso 2: condições de Newmann no contorno -> U/n = 0 . Nesse caso temos que:

1 2 constante


Observações:

• A imposição das duas condições ao mesmo tempo não é possível;

• As duas soluções são, em geral, diferentes.


SOLUÇÃO GERAL DE PROBLEMAS ELETROSTÁTICOS DE CONTORNO: FUNÇÕES DE GREEN

Obtivemos anteriormente a solução para a equação de Poisson:

3

0

1 ( ') 1 1 1( ) ' '

4 4 ' 'V S

d r daR R n n R

r

r

Condição de Newmann Condição

de Dirichlet

Na obtenção dessa equação usamos, nas identidades de Green:

1

| |

r - r'

Potencial da carga

puntiforme

2 14 ( ')

| ' |

r rr r


Este é um exemplo de um a classe de funções que satisfazem à equação mais geral:

2

2

' ( , ') 4 ( ')

Nesta expressão:

1( , ') ( , ')

| ' |

com F satisfazendo: ( , ') 0

G

G F

F

r r r r

r r r rr r

r r

Equação de Laplace dentro do volume V.

Se usarmos na expressão para o potencial G ( r , r’ ) = e escolhermos F( r , r’ ) tal que consigamos eliminar ou sua derivada da expressão para o potencial obteremos apenas uma das condições de contorno dentro da integral para :

3

0

1 1( ) ( ') ' '

4 4 ' 'V S

GG d r G da

n n

r r

Caso 1: condições de contorno de Dirichlet – GD = 0 para todo r’ sobre S:

3

0

1 1( ) ( ') ' '

4 4 '

V S

GG d r da

n

r r

FUNÇÕES DE GREEN (CONT.)


V

FUNÇÕES DE GREEN (CONT.)

Caso 2: condições de contorno de Newmann – GN/ n’= - 4/S para todo r’ sobre S:

3

0

3

0

1 1 4( ) ( ') ' '

4 4 '

1 1 1( ) ( ') ' ' '

4 4 '

1Mas: '

V S

V S S

SS

G d r G dan S

G d r G da dan S

daS

r r

r r

Valor médio do potencial sobre a superfície S. Vale zero se a superfície S vai ao infinito.

Interpretação da função F – Essa função satisfaz a equação de Laplace dentro do volume V. Portanto representa uma solução do potencial criado por cargas externas a V.

S

2 ( , ') 0F r r

27

ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA


Questão: qual o trabalho para trazer uma carga do infinito até um ponto do espaço?

x

z

y

trajetória

r1

r2

( )i i i iW q r

Se as cargas geradoras do campo estiverem localizadas nas posições rj

então o potencial sobre a i-ésima carga será dado por:1 1

0 01 1

1

4 | | 4 | |

n nj ji

i ii j i jj j

j i j i

q qqW

r r r r

A energia potencial total do sistema de n cargas será dada então por:

0 01 1 1 1

1 1

4 | | 8 | |

j in n ni j i j

i j i ji j i ji j

q q q qW

r r r r

28

ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA (CONT.)


Se a distribuição de cargas for contínua, a soma é substituída por uma integral:

3 3

0

3

1 ( ) ( ')'

8 | ' |

1( ) ( )

2

W d r d r

W d r

r r

r r

r r

Vamos resolver o problema agora olhando, alternativamente para o campo elétrico. Vamos reescrever a equação acima, usando a equação de Poisson, como:

3 20 ( ) ( )2

W d r

r r

Integrando por partes essa expressão:

2 30

2 30

| |2

| |2

W d r

W d r

E

Esta expressão não contém mais

referência alguma às cargas !!!

Densidade de energia (w) Esta é uma

quantidade positiva !!!


Para um sistema de condutores mantidos a potenciais Vi e cargas qi, no vácuo, podemos escrever o potencial em função das cargas e de certas grandezas geométricas chamadas de coeficiente de capacidade. O potencial no enésimo condutor pode ser escrito como:

1

n

i ij jj

V p Q

Termos que contém a geometria do problema

Podemos, ao menos formalmente, inverter a equação acima para obter as cargas nos condutores:

1

; ( 1,.., )n

i ij jj

Q C V i n

Se i =j (Cii) temos as capacitâncias dos condutores.

Para i j falamos em coeficientes de capacitância

Interpretação: a capacitância de um condutor é a carga total no condutor quando o mesmo é mantido a um potencial unitário, com os potenciais de todos os outros condutores mantidos no zero.

Para um sistema de condutores:

1

1 1

2 2

n

i i ij i ji i j

W Q V C V V

ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA (CONT.)

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