aula5 - value-at-risk

7/23/2019 Aula5 - Value-at-Risk

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Aula 5

Value-at-Risk

Prof. Jos Valentim Machado Vicente, D.Sc.

[email protected]


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Aula 5 2

Contedo da Aula

O qe Va!"

Modelos Paramtricos

Mtodo Delta#$ormal

Simla%&o 'ist(rica


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Aula 5 )

O que VaR?

Metodolo*ia de avalia%&o do risco +ro+osta +elo anco J.P.

Mor*an em -/.

Valor monet0rio das +erdas a qe ma carteira est0 sjeita, a m

determinado n1vel de confian%a e dentro de m horionte detem+o.

3arteira com VaRde !4 -.)55.555, em m dia e +ara m n1vel

de confian%a de 67, si*nifica qe h0 67 de +robabilidade de

a+rarmos ma +erda de mais de !4 -.)55.555 em m dia. O ainda qe com 67 de confian%a a +erda n&o ser0 s+erior a

!4 -.)55.555.


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Aula 5 /

O que VaR?

O VaRest0 sem+re associado a8

ma moeda 9valor monet0rio:.

m intervalo de tem+o 9qando devemos notar a +erda:.

ma +robabilidade 9com qe freq;


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Aula 5 6

O que VaR?

=ormalmente temos,

Onde8

o n1vel de si*nific>ncia 9o 9- ? : o n1vel de confian%a:

adotado.

Xt a varia%&o no valor da carteira de +re%oXt.

VaR o valor em risco +ara o horionte de tem+o t.

.:9 = VaRXP t


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Aula 5

A Distribuio Normal

A distribi%&o normal o Bassiana ma das mais im+ortantes

distribi%Ces de +robabilidade.

la serve como ma eEcelente a+roEima%&o +ara ma *rande

classe de distribi%Ces qe tncia +r0tica. $ota%&o8 N9,2: si*nifica distribi%&o normal com mdia e

vari>ncia 2. J0ZFN95,-: si*nifica distribi%&o normal +adr&o,

isto , com mdia ero e a vari>ncia nit0ria.


7/42Aula 5 G

@H,2G7

6,/@7

,G)7

3 2 1 3+2+1

A Distribuio Normal

I


8/42Aula 5 H

A maior +arte dos dados se encontram em torno da mdia. A

medida qe nos afastamos dela, tanto +ara mais como +ara

menos, a +robabilidade de ocorr


9/42Aula 5

A Distribuio Normal

Pro+riedade8 Se X tem distribi%&o normal N9,2: ent&o 9 ?

:K tem distribi%&o normal +adr&o.

Labela da distribi%&o normal +adr&o.

z FPZzN

#) 5,55-)6

#2 5,522G6

#- 5,-6H66

5 5,6


10/42Aula 5 -5

A Distribuio Normal

Eem+lo8 S+onha qe a altra H de m brasileiro adlto seja

distrib1da normalmente com mdia -G5 cm e vari>ncia -55

cm2. 3alcle a +robabilidade da altra de m brasileiro sorteado

ao acaso ser maior qe 2,5 m.

PHI 255N FPH? -G5 I )5N F

FP9H? -G5:K-5 I )N F

= PZI )N F 9simetria: F FPZ ? )N F 9tabela: F 5,55-)6.


11/42Aula 5 --

Modelos aramtri!os " VaRde um#ni!o Ati$o

'i+(tese - # Retorno Aritmti!o 9S-? S5NKS5, onde S5 o +re%odo ativo hoje e S- o +re%o do ativo amanh&: distrib1donormalmente.

Para m horionte de tem+o t diferente de m dia, temos8

onde volatilidade di0ria do retorno aritmtico do ativo, X5+osi%&o marcada a mercado da carteira, isto , valor atalinvestido no ativo, e z-#constante relativa ao nmero de desvios

+adrCes +ara o n1vel de confian%a desejado.

.-5

= zXVaR

.-5 tzXVaR =


12/42Aula 5 -2


Eem+lo8 3onsidere ma carteira formada nicamente +or a%Cesda Petrobras no dia 5/K--K255/. S+onha qe qeiramosdeterminar o VaR+ara o dia 56K--K255/ com n1vel de confian%a

de 67. Posi%&o de -5.555 a%Ces de Petrobras,X5F /,/Q-5.555F !4

//.55. $1vel de confian%a 67 zF -,6. Volatilidade da Petrobras F -,2-7 9mtodo sim+les com

janela de 5 dias, isto , o desvio +adr&o estimado tendo+or base ma amostra dos ltimos 5 dias:.

VaR9- dia: F //.55Q-,6Q-,2-7 F !4 -H.H62.


13/42Aula 5 -)



14/42Aula 5 -/


'i+(tese 2 ? Retorno %eomtri!o 9lnS-KS5N: distrib1donormalmente.

onde g a volatilidade do retorno *eomtrico de m dia.

Para os mesmos dados do eEem+lo anterior temos VaR F !4

-./5.

stimando a volatilidade via RMA com lambda F 5,/ temos8

,- -5gzeXVaR

=

( ) .@.@/5-!4-55.// 72-,-@6,- == eVaR


15/42Aula 5 -6

Modelos aramtri!os " VaRdeuma Carteira

Para carteiras formadas +or dois ativos temos de levar em conta

o efeito da correla%&o8

Onde8

VaRcF Value at Riskda carteira

VaR-FValue at Riskdo ativo - da carteira VaR2F Value at Riskdo ativo 2 da carteira;

-,2 F coeficiente de correla%&o entre o ativo - e o ativo 2.

.2 2-2,-222- VaRVaRVaRVaRVaRc ++=


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Aula 5 -


Eem+lo8 3arteira F -5 mil a%Ces Petrobras e -5 milhCes a%Ces

de Lelemar, o VaRcom 9- # : F 67

Eerc1cio8 Verifiqe qe o VaRda carteira menor qe a somados VaRTs das das a%Ces 9efeito da diversifica%&o:.

5.H./4!

2G/H--HH62665),522G/H--HH62

dia:9-

22

=

++

=CVaR


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Aula 5 -G

Uma forma alternativa de calclar o VaR de ma carteira

formada +or dois ativos consiste em, +rimeiramente, calclar a

vari>ncia da carteira e em se*ida em+re*ar ma das f(rmlas

de VaRvistas anteriormente.


[ ]

=

2

-

22-2

-22-

2-2

w

www

c


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Aula 5 -H

O Mtodo Delta-Normal

$o mtodo Delta#$ormal, o Va! de m ativo 9o carteira: qe

res+onde n&o linearmente em rela%&o a m fator de risco

calclado atravs de ma linearia%&o de +rimeira ordem.

Eem+los8 A sensibilidade do +r


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Aula 5 -


O VaRde m +osi%&o em o+%Ces +ode ser a+roEimado +elo VaRde ma +osi%&o com+osta +elo ativo objeto em valor i*al a vees a +osi%&o em o+%Ces8

onde si*ma a volatilidade do retorno do ativo objeto.

VaRde m t1tlozerocu!on a+roEimado +or8

onde si*ma a volatilidade do retorno da taEa de jros. Se aca+italia%&o cont1na ent&o a duration i*al a ".

= -5zXVaRo!#$o

+= -5:-9 zXi"

VaR%uros


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Aula 5 25


3onsidere ma carteira formada +or -55.555 o+%Ces sobre

Petrobras no dia 5/K--K255/. Determine o Va! +ara o dia

56K--K255/ com 67 de confian%a. S+onha v0lido o modelo de

WS. S+onha tambm qe o nico risco im+ortante o devaria%&o no +re%o do ativo objeto. Dados da o+%&o8 StriXe F ,

+rao F 62 dias, taEa +ara 62 dias F -6.6)7 a.a. 9cont1na:,

+r


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Aula 5 2-

O Mtodo Delta-%ama-Normal

O mtodo delta#normal consiste em faer m a+roEima%&o de

+rimeira ordem +ara a infl


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Aula 5 22

Modelos No aramtri!os

Eistem mercados em qe a s+osi%&o de m distribi%&o

normal +ara os retornos dos ativos n&o corres+onde a realidade.

Eem+los8

Mercado de d(lares no rasil entre os anos de -/ e -H. Mercados nos qais eEiste +robabilidade n&o des+re1vel de

ocorr


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Aula 5 2)


$os mercados em qe eEistem maiores ocorr


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Aula 5 2/


m estat1stica, distribi%Ces com cadas *ordas s&o chamadas

de le+tocrticas. Uma medida da eEtens&o dos dados observados

qe caem +erto do centro o nas cadas de ma distribi%&o

dada +ela crtose. A crtose de m conjnto de dados x-, ...,xndefinida como

A fn%&o 3U!L do MS Ecel calcla a crtose.

( ))

:9

:9-:9

-/

/

= =

n

i

i

X&P

X'ex

nXCurt


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Aula 5 26


A crtose de ma distribi%&o normal ero 9diemos qe a

distribi%&o mesocrtica:. Uma crtose maior qe ero

9le+tocrtica: indica ma distribi%&o com *randes +icos, cadas

*rossas e +ocos dados intermedi0rios. J0 ma crtose menorqe ero 9+laticrtica: si*nifica qe a distribi%&o +ossi mitos

dados de ma*nitde intermedi0ria e m +ico +eqeno.


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Aula 5 2



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Aula 5 2G


Otro +roblema bastante srio dos modelos +aramtricos ocorre

qando a carteira a ser analisada ma fn%&o n&o linear de +elo

menos m dos fatores de risco. Ysso acontece com as o+%Ces8

dada ma varia%&o no +re%o do ativo objeto +odemos a+enasa+roEimar a varia%&o no +r


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Aula 5 2H

&imulao 'ist(ri!a

Passo -8 Definir m +er1odo de tem+o e estdar as varia%Ces de

+re%os ocorrida nesse +er1odo.

Passo 28 m+re*ar estas varia%Ces +ara reavaliar a carteira em

cada m dos cen0rios hist(ricos. Passo )8 sse conjnto de dados determina a distribi%&o da

carteira se*ndo a srie de cen0rios simlados

Passo /8 Determinar o qantil dos dados simlados

corres+ondente ao n1vel de confian%a adotado.


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Aula 5 2

&imulao 'ist(ri!a

Eem+lo8 3onsidere ma carteira formada nicamente +or a%Ces

da Petrobras no dia 5/K--K255/. S+onha qe qeiramos

determinar o VaR +ara o dia 56K--K255/ com m n1vel de

confian%a de 67. A +osi%&o em Petrobras de -5.555 a%Ces.=echamento de Petrobras em 5/K--K255/ i*al !4 /./, lo*o o

valor da carteira !4 //.55,55.


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Aula 5 )5

&imulao 'ist(ri!a

Data Retorno )% Data* )% *

5/#$ov#255/ 5.627 /,26.6/ -)#Oct#255/ #),/./)

5)#$ov#255/ 5.-)7 -,25G.H5 -#Oct#255/ #2-,GG.G6

5-#$ov#255/ 5.27 6,HG).H 2H#Jn#255/ #-G,22.2

2#Oct#255/ 5.-7 -,62-.6H 56#A*#255/ #-,22.25

2H#Oct#255/ #5.57 #H,6//.)- 5G#Jl#255/ #-,5H2.HG

2G#Oct#255/ 5.2G7 2,6-.G) 22#Jl#255/ #-),-)./2#Oct#255/ #-.--7 #-5,/6. 26#Jn#255/ #-),)/.25

Z Z Z Z Z

-/#Jn#255/ -.567 ,-H.H/ 2)#Jn#255/ )H,6H5.26


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Aula 5 )-

&imulao 'ist(ri!a

O Va! com 67 de confian%a o 67 Percentil da ltima colna

da tabela anterior. Para calclar o +ercentil de ma srie de

dados voc< +ode sar a fn%&o P!3$LY[ do MS Ecel.

O +ercentil +ode ser calclado de v0rias maneiras. Por eEem+lo,se os dados s&o -, 2, ) e /, ent&o o Ecel considera qe esses s&o

os +ercentis 5, )).))7, .G7 e -557 res+ectivamente.

Valores intermedi0rios s&o obtidos +or inter+ola%&o.

nt&o o Va! !4 -).G)G.


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Aula 5 )2

&imulao 'ist(ri!a

Eerc1cio8 3onsidere ma carteira formada +or a%Ces da

Petrobras e da Vale no dia 5/K--K255/. Determine o VaR+ara o

dia 56K--K255/ com m n1vel de confian%a de 67. A +osi%&o

em Vale de -6.555 a%Ces e em Petrobras de -5.555 a%Ces.


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Aula 5 ))

&imulao 'ist(ri!a

Va! F )-.2H

Data PKB Petr PKB Vale PKB carteira

/#nov#5/ /,26.6/ -,)62.)- ,2GG.H

)#nov#5/ -,25G.H5 G,6H6.-5 H,G2.H

-#nov#5/ 6,HG).H )5).62 ,-GG.65

2#ot#5/ -,62-.6H /,2G2.)5 6,G).HH

2H#ot#5/ #H,6//.)- #2/,6/5. #)),5H/.

-/#jn#5/ ,-H.H/ #2/,G)5.6/ #-/,H--.G5


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Aula 5 )/

&imulao 'ist(ri!a

3onsidere ma carteira formada +or -55.555 o+%Ces sobre

Petrobras no dia 5/K--K255/. Determine o Va! +ara o dia

56K--K255/ com 67 de confian%a. Para calclar o +re%o

simlado se o modelo de WS. S+onha qe o nico riscoim+ortante o de varia%&o no +re%o do ativo objeto. Dados da

o+%&o8 StriXe F , +rao F 62 dias, taEa +ara 62 dias 9e 6- dias:

F -6.6)7 a.a. 9cont1na:, +r


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Aula 5 )6

&imulao 'ist(ri!a

Data Pre%o Petr Preco call Varia%&o

5/#nov#5/ /,H /,)- #-,//

5)#nov#5/ /,- /,5H #-,G

5-#nov#5/ 6,5H /,)G #-,)H

2#ot#5/ /,/ /,-5 #-,6

2H#ot#5/ ),/ ),6) #2,22

2G#ot#5/ /,G/ /,- #-,6... ... ... ...

-/#jn#5/ 6,/H /,2 #-,-)


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Aula 5 )

&imulao 'ist(ri!a

3alcle o Va! de ma carteira no dia 5/K--K5/ +ara o dia

56K--K5/ de ma carteira formada +or ma [L$ vencendo em 65

dias. Use n1vel de confian%a de 67. Pre%o atal da [L$ F !4

H,G6-/ 9taEa cont1na F -,557 a.a.:. $esse eEerc1cio, o mais natral sar a decom+osi%&o em

vrtice adjacentes da [L$. $o entanto, +ara sim+lificar

simlamos a+enas a taEa de / dias, obtida +or inter+ola%&o.

Va! F !4 5,-6 9sol%&o:.
http://xn--aes-2la4e.xls/http://xn--aes-2la4e.xls/


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Aula 5 )G

&imulao 'ist(ri!a

Data LaEa Pre%o [L$ Varia%&o

5/#nov#5/ -,5H7 ,2- #5,-6

5)#nov#5/ -6,27 ,62 5,-6

5-#nov#5/ -6,/7 ,/ 5,-2

2#ot#5/ -,5-7 ,)6 #5,5-

2H#ot#5/ -,5-7 ,) #5,5-

2G#ot#5/ -,5-7 ,)6 #5,52... ... ... ...

-/#jn#5/ -,5/7 ,2 #5,5G


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Aula 5 )H

&imulao 'ist(ri!a

Simla%&o hist(rica consiste em constrir ma base de

movimentos di0rios de todos os fatores de risco de mercado.

Vanta*em da S'8

!eflete a distribi%&o mltivariada hist(rica dos fatores derisco.

Desvanta*em da S'

$&o incor+ora atalia%Ces da volatilidade 9ti+o RMA e

BA!3':. Ysto , n&o incor+ora volatilidade estoc0stica.


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Aula 5 )

&imulao 'ist(ri!a

Sol%&o -8 Amostrar mais freq;entemente das observa%Ces mais

recentes.

odoXh, !ichardson, e Rhitela\ 9-H: +ro+Cem ma

vers&o dessa aborda*em no qal o +eso da observa%&o n]-dias atr0s i*al a lambda vees o +eso da observa%&o ndias

atr0s. Para determinar o +articlar +ercentil necess0rio

ordenar as observa%Ces dos ltimos Ndias e, come%ando da

menor, acmlar os +esos at che*ar no +ercentil.


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Aula 5 /5

&imulao 'ist(ri!a

Sol%&o 28 Ajstar as observa%Ces +ela volatilidade

BA!3'KRMA estimada diariamente 9'll e Rhite, -H:.

Seja *ta varia%&o +ercental hist(rica na data t.

Seja t a volatilidade BA!3'KRMA no dia t e N avolatilidade BA!3'KRMA no dia N 9hoje:. nt&o

devemos *t+or *t^onde

t

t

Nt

*

* =^


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Aula 5 /-

&imulao 'ist(ri!a

Eerc1cio8 A+liqe os dois mtodos anteriores +ara a carteira no

dia 5/K--K5/ formada +or -5.555 a%Ces de Petrobras.


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+eitura

Jorion, 9255G: ? Vale#at#!isX

3a+1tlos 6, G e -5.

'll, J. O+tions, =tres and Other Derivatives, 255.

3a+1tlo -.

odoXh, J., M. !ichardson, and !. Rhitela\, _Lhe est of

oth Rorlds,_R+S,- Ma` -H, ++. /#G.

'll, J. 3, and A. Rhite, _Yncor+oratin* Volatilit` U+datin* into

the 'istorical Simlation Method for Vale at !isX,_ournal of

Risk- -, no. - 9-H:, 6#-.

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