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Notas de Aulas – Aula 4
Berenice Vilela Alvarenga Alves
Disciplina: Cálculo Numérico
ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS (continuação)
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (ou MÉTODO DAS TANGENTES)
É um dos mais conhecidos e eficiente método para obtenção de raízes de equações
não lineares.
O método constitui-se num processo iterativo que permite construir uma sequência
numérica xk
convergente para x , sendo x uma aproximação para a raiz real
de y = f(x).
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÉTODO
Considerando que:
i) x [a,b]
ii) f e f´são contínuas em [a,b]
iii) f´ 0 em [a,b]
Sejam:
0x , uma aproximação inicial da raiz real, dentro do intervalo [a,b].
C, a curva representativa da função y = f(x), cuja tangente em 0
x é T.
x1
, a interseção da reta T com o eixo dos x.
Para relacionar as variáveis 0
x e x1
devemos lembrar que a declividade da reta tangente T,
em P é igual a derivada da função em 0
x , isto é:
tg f (́x )0
(1)
Pela relação trigonométrica no triângulo retângulo P0
x x1
temos que a declividade é igual a:
f (x )0tg
x x0 1
(2)
Igualando (1) e (2), vem:
f (x ) f (x )0 0f (́x ) x x
0 0 1x x f (́x )0 1 0
Evidenciando x1
, fica:
f (x )0x x
1 0 f (́x )0
Repetindo o procedimento para um ponto Q( x1
,f( x1
)) da curva C, obtemos, analogamente:
f (x )1x x
2 1 f (́x )1
E, assim por diante, obtemos o algoritmo de Newton-Raphson:
f (x )kx x , k 0,1,2,3,...
k 1 k f (́x )k
Exercícios
1) Obter pelo método de Newton-Raphson, a raiz de 2f (x) x sen x , sabendo que
f(x) tem uma raiz intervalo [0,5, 1]. Utilizar 0
x 1 e como critério de parada o valor
f (x ) x xk k 1 k
.
k xk
xk 1
f (x )k x x
k 1 k
2) Utilizar o método de Newton-Raphson, para determinar uma raiz aproximada da
função 3f (x) 2x ln x 5 , com 210 , sabendo que e a raiz pertence ao
intervalo[1, 2] .
k xk
xk 1
3) Calcule pelo método de Newton-Raphson, uma aproximação x da raiz da função
3f (x) x x 1 , considerando x 10 , tal que o erro seja inferior a 0,01.
k xk
xk 1